مقالات

5.2: تبسيط التعبيرات الجذرية - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات الجذرية
  • استخدم خاصية Quotient لتبسيط التعابير الجذرية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ( dfrac {x ^ {9}} {x ^ {4}} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.13.
  2. بسّط: ( dfrac {y ^ {3}} {y ^ {11}} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.13.
  3. بسّط: ( left (n ^ {2} right) ^ {6} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 5.17.

استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات الجذرية

سنبسط المقادير الجذرية بطريقة مشابهة لطريقة تبسيط الكسور. لتبسيط الكسر ، نبحث عن أي عوامل مشتركة في البسط والمقام.

أ تعبير جذري، ( sqrt [n] {a} ) ، يعتبر مبسطًا إذا لم يكن يحتوي على عوامل (m ^ {n} ). إذن ، لتبسيط تعبير جذري ، نبحث عن أي عوامل في الجذر تمثل قوى الفهرس.

التعريف ( PageIndex {1} ): التعبير الجذري المبسط

للأرقام الحقيقية (a ) و (m ) ، و (n geq 2 ) ،

( sqrt [n] {a} ) يعتبر مبسطًا إذا لم يكن (a ) له عوامل (m ^ {n} )

على سبيل المثال ، يُعتبر ( sqrt {5} ) مبسطًا لأنه لا توجد عوامل تربيع كاملة في (5 ). لكن ( sqrt {12} ) غير مبسط لأن (12 ) له عامل مربع كامل هو (4 ).

وبالمثل ، تم تبسيط ( sqrt [3] {4} ) لأنه لا توجد عوامل تكعيبية مثالية في (4 ). لكن ( sqrt [3] {24} ) لم يتم تبسيطه لأن (24 ) له عامل تكعيبي مثالي (8 ).

لتبسيط المقادير الجذرية ، سنستخدم أيضًا بعض خواص الجذور. الخصائص التي سنستخدمها لتبسيط التعبيرات الجذرية تشبه خواص الأسس. نحن نعرف ذلك

[(أ ب) ^ {n} = أ ^ {n} ب ^ {n}. ]

المقابلة ل خاصية المنتج من الجذور يقول ان

[ sqrt [n] {a b} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b}. ]

التعريف ( PageIndex {2} ): خاصية المنتج لـ (N ^ {th} ) الجذور

إذا كان ( sqrt [n] {a} ) و ( sqrt [n] {b} ) عددًا حقيقيًا ، و (n geq 2 ) عددًا صحيحًا ، إذن

( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} quad text {and} quad sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} = sqrt [n] {ab} )

نستخدم خاصية المنتج للجذور لإزالة جميع العوامل التربيعية الكاملة من الجذر التربيعي.

مثال ( PageIndex {1} ): بسّط الجذور التربيعية باستخدام خاصية حاصل الضرب للجذور

بسّط: ( sqrt {98} ).

المحلول:

الخطوة 1: أوجد العامل الأكبر في الجذر وهو القوة الكاملة للمؤشر.

نرى أن (49 ) هو أكبر عامل في (98 ) وله قوة (2 ).

( sqrt {98} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب عاملين باستخدام هذا العامل.

بمعنى آخر (49 ) هو أكبر عامل مربع كامل لـ (98 ).

(98 = 49 cdot 2 )

اكتب دائمًا عامل المربع الكامل أولاً.

( sqrt {49 cdot 2} )
الخطوة 2: استخدم قاعدة الضرب لإعادة كتابة الجذر على هيئة حاصل ضرب جذرين. ( sqrt {49} cdot sqrt {2} )
الخطوه 3: تبسيط جذر القوة الكاملة. (7 sqrt {2} )

جربه ( PageIndex {1} )

بسّط: ( sqrt {48} )

إجابه

(4 sqrt {3} )

جربه ( PageIndex {2} )

بسّط: ( sqrt {45} ).

إجابه

(3 sqrt {5} )

لاحظ في المثال السابق أن الشكل المبسط لـ ( sqrt {98} ) هو (7 sqrt {2} ) ، وهو حاصل ضرب عدد صحيح وجذر تربيعي. نكتب دائمًا العدد الصحيح أمام الجذر التربيعي.

احرص على كتابة العدد الصحيح بحيث لا يتم الخلط بينه وبين الفهرس. التعبير (7 sqrt {2} ) مختلف جدًا عن ( sqrt [7] {2} ).

قم بتبسيط التعبير الجذري باستخدام خاصية المنتج

  1. أوجد العامل الأكبر في الجذر وهو القوة الكاملة للمؤشر. أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب عاملين باستخدام هذا العامل.
  2. استخدم قاعدة حاصل الضرب لإعادة كتابة الجذر باعتباره حاصل ضرب جذرين.
  3. بسّط جذر القوة الكاملة.

سنطبق هذه الطريقة في المثال التالي. قد يكون من المفيد أن يكون لديك جدول كامل من المربعات والمكعبات والقوى الرابعة.

مثال ( PageIndex {2} )

تبسيط:

  1. ( sqrt {500} )
  2. ( sqrt [3] {16} )
  3. ( sqrt [4] {243} )

المحلول:

أ.

( sqrt {500} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع كامل.

( sqrt {100 cdot 5} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt {100} cdot sqrt {5} )

تبسيط.

(10 ​​ sqrt {5} )

ب.

( sqrt [3] {16} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب كامل. (2 ^ {3} = 8 )

( sqrt [3] {8 cdot 2} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {2} )

تبسيط.

(2 sqrt [3] {2} )

ج.

( sqrt [4] {243} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل قوة رابع مثالي. (3 ^ {4} = 81 )

( sqrt [4] {81 cdot 3} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [4] {81} cdot sqrt [4] {3} )

تبسيط.

(3 sqrt [4] {3} )

جربه ( PageIndex {3} )

تبسيط: أ. ( sqrt {288} ) ب. ( sqrt [3] {81} ) ج. ( sqrt [4] {64} )

إجابه

أ. (12 sqrt {2} ) ب. (3 sqrt [3] {3} ) ج. (2 sqrt [4] {4} )

جرب ذلك ( PageIndex {4} )

تبسيط: أ. ( sqrt {432} ) ب. ( sqrt [3] {625} ) ج. ( sqrt [4] {729} )

إجابه

أ. (12 sqrt {3} ) ب. (5 sqrt [3] {5} ) ج. (3 sqrt [4] {9} )

المثال التالي يشبه إلى حد كبير الأمثلة السابقة ، ولكن مع المتغيرات. لا تنس استخدام علامات القيمة المطلقة عند أخذ جذر زوجي لتعبير به متغير في الجذر.

مثال ( PageIndex {3} )

تبسيط:

  1. ( sqrt {x ^ {3}} )
  2. ( sqrt [3] {x ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {x ^ {7}} )

المحلول:

أ.

( sqrt {x ^ {3}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع كامل.

( sqrt {x ^ {2} cdot x} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt {x ^ {2}} cdot sqrt {x} )

تبسيط.

(| x | sqrt {x} )

ب.

( sqrt [3] {x ^ {4}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب كامل.

( sqrt [3] {x ^ {3} cdot x} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [3] {x ^ {3}} cdot sqrt [3] {x} )

تبسيط.

(x sqrt [3] {x} )

ج.

( sqrt [4] {x ^ {7}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل قوة رابع مثالي.

( sqrt [4] {x ^ {4} cdot x ^ {3}} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [4] {x ^ {4}} cdot sqrt [4] {x ^ {3}} )

تبسيط.

(| x | sqrt [4] {x ^ {3}} )

جرب ذلك ( PageIndex {5} )

تبسيط: أ. ( sqrt {b ^ {5}} ) ب. ( sqrt [4] {y ^ {6}} ) ج. ( sqrt [3] {z ^ {5}} )

إجابه

أ. (b ^ {2} sqrt {b} ) ب. (| y | sqrt [4] {y ^ {2}} ) ج. (z sqrt [3] {z ^ {2}} )

جربه ( PageIndex {6} )

تبسيط: أ. ( sqrt {p ^ {9}} ) ب. ( sqrt [5] {y ^ {8}} ) ج. ( sqrt [6] {q ^ {13}} )

إجابه

أ. (p ^ {4} sqrt {p} ) ب. (p sqrt [5] {p ^ {3}} ) ج. (q ^ {2} sqrt [6] {q} )

نتبع نفس الإجراء عندما يكون هناك معامل في الجذر. في المثال التالي ، كل من الثابت والمتغير لهما عوامل مربعة كاملة.

مثال ( PageIndex {4} )

تبسيط:

  1. ( sqrt {72 n ^ {7}} )
  2. ( sqrt [3] {24 × ^ {7}} )
  3. ( sqrt [4] {80 y ^ {14}} )

المحلول:

أ.

( sqrt {72 n ^ {7}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع كامل.

( sqrt {36 n ^ {6} cdot 2 n} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt {36 n ^ {6}} cdot sqrt {2 n} )

تبسيط.

(6 يسار | n ^ {3} يمين | sqrt {2 n} )

ب.

( sqrt [3] {24 × ^ {7}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام العوامل المكعبة الكاملة.

( sqrt [3] {8 × ^ {6} cdot 3 ×} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [3] {8 × ^ {6}} cdot sqrt [3] {3 x} )

أعد كتابة الجذر الأول بالشكل ( left (2 x ^ {2} right) ^ {3} ).

( sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x} )

تبسيط.

(2 × ^ {2} sqrt [3] {3 x} )

ج.

( sqrt [4] {80 y ^ {14}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

( sqrt [4] {16 y ^ {12} cdot 5 سنوات ^ {2}} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [4] {16 y ^ {12}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

أعد كتابة الجذر الأول بالشكل ( left (2 y ^ {3} right) ^ {4} ).

( sqrt [4] { left (2 y ^ {3} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

تبسيط.

(2 left | y ^ {3} right | sqrt [4] {5 y ^ {2}} )

جربه ( PageIndex {7} )

تبسيط: أ. ( sqrt {32 y ^ {5}} ) ب. ( sqrt [3] {54 p ^ {10}} ) ج. ( sqrt [4] {64 q ^ {10}} )

إجابه

أ. (4 س ^ {2} sqrt {2 y} ) ب. (3 ص ^ {3} sqrt [3] {2 p} ) ج. (2 q ^ {2} sqrt [4] {4 q ^ {2}} )

جرب ذلك ( PageIndex {8} )

تبسيط: أ. ( sqrt {75 a ^ {9}} ) ب. ( sqrt [3] {128 م ^ {11}} ) ج. ( sqrt [4] {162 n ^ {7}} )

إجابه

أ. (5 أ ^ {4} sqrt {3 أ} ) ب. (4 م ^ {3} sqrt [3] {2 م ^ {2}} ) ج. (3 | n | sqrt [4] {2 n ^ {3}} )

في المثال التالي ، نستمر في استخدام نفس الأساليب على الرغم من وجود أكثر من متغير واحد تحت الجذر.

مثال ( PageIndex {5} )

تبسيط:

  1. ( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {40 × ^ {4} ص ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {48 × ^ {4} ص ^ {7}} )

المحلول:

أ.

( sqrt {63 u ^ {3} v ^ {5}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع كامل.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4} cdot 7 u v} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt {9 u ^ {2} v ^ {4}} cdot sqrt {7 u v} )

أعد كتابة الجذر الأول بالشكل ( left (3 u v ^ {2} right) ^ {2} ).

( sqrt { left (3 u v ^ {2} right) ^ {2}} cdot sqrt {7 u v} )

تبسيط.

(3 | u | v ^ {2} sqrt {7 u v} )

ب.

( sqrt [3] {40 × ^ {4} ص ^ {5}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مكعب كامل.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3} cdot 5 x y ^ {2}} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

أعد كتابة الجذر الأول بالشكل ((2xy) ^ {3} ).

( sqrt [3] {(2 x y) ^ {3}} cdot sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

تبسيط.

(2 x y sqrt [3] {5 x y ^ {2}} )

ج.

( sqrt [4] {48 × ^ {4} ص ^ {7}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل قوة رابع مثالي.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4} cdot 3 y ^ {3}} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [4] {16 x ^ {4} y ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

أعد كتابة الجذر الأول بالشكل ((2xy) ^ {4} ).

( sqrt [4] {(2 × ص) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

تبسيط.

(2 | x y | sqrt [4] {3 y ^ {3}} )

جرب ذلك ( PageIndex {9} )

تبسيط:

  1. ( sqrt {98 a ^ {7} b ^ {5}} )
  2. ( sqrt [3] {56 × ^ {5} ص ^ {4}} )
  3. ( sqrt [4] {32 × ^ {5} ص ^ {8}} )
إجابه
  1. (7 left | a ^ {3} right | b ^ {2} sqrt {2 a b} )
  2. (2 x y sqrt [3] {7 x ^ {2} y} )
  3. (2 | x | y ^ {2} sqrt [4] {2 x} )

جرب ذلك ( PageIndex {10} )

تبسيط:

  1. ( sqrt {180 م ^ {9} n ^ {11}} )
  2. ( sqrt [3] {72 × ^ {6} ص ^ {5}} )
  3. ( sqrt [4] {80 × ^ {7} ص ^ {4}} )
إجابه
  1. (6 م ^ {4} يسار | n ^ {5} يمين | sqrt {5 م n} )
  2. (2 × ^ {2} y sqrt [3] {9 y ^ {2}} )
  3. (2 | x y | sqrt [4] {5 x ^ {3}} )

مثال ( PageIndex {6} )

تبسيط:

  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2. ( sqrt [4] {- 16} )

المحلول:

أ.

( sqrt [3] {- 27} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام العوامل المكعبة الكاملة.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} )

خذ الجذر التكعيبي.

(-3)

ب.

( sqrt [4] {- 16} )

لا يوجد رقم حقيقي (n ) حيث (n ^ {4} = - 16 ).

ليس رقمًا حقيقيًا

جرب ذلك ( PageIndex {11} )

تبسيط:

  1. ( sqrt [3] {- 64} )
  2. ( sqrt [4] {- 81} )
إجابه
  1. (-4)
  2. لا يوجد رقم حقيقي

جرب ذلك ( PageIndex {12} )

تبسيط:

  1. ( sqrt [3] {- 625} )
  2. ( sqrt [4] {- 324} )
إجابه
  1. (- 5 sqrt [3] {5} )
  2. لا يوجد رقم حقيقي

لقد رأينا كيفية استخدام ترتيب العمليات لتبسيط بعض المقادير بالجذور. في المثال التالي ، لدينا مجموع عدد صحيح وجذر تربيعي. نبسط الجذر التربيعي لكن لا يمكننا إضافة التعبير الناتج إلى العدد الصحيح لأن أحد المصطلحين يحتوي على جذري والآخر لا يحتوي على ذلك. يتضمن المثال التالي أيضًا كسرًا بجذر في البسط. تذكر أنه من أجل تبسيط كسر ، تحتاج إلى عامل مشترك في البسط والمقام.

مثال ( PageIndex {7} )

تبسيط:

  1. (3+ sqrt {32} )
  2. ( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

المحلول:

أ.

(3+ sqrt {32} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع كامل.

(3+ sqrt {16 cdot 2} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

(3+ sqrt {16} cdot sqrt {2} )

تبسيط.

(3 + 4 مربع {2} )

لا يمكن إضافة المصطلحين لأن أحدهما له جذري والآخر لا. إن محاولة إضافة عدد صحيح وجذر يشبه محاولة إضافة عدد صحيح ومتغير. هم ليسوا مثل الشروط!

ب.

( dfrac {4- sqrt {48}} {2} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام أكبر عامل مربع كامل.

( dfrac {4- sqrt {16 cdot 3}} {2} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( dfrac {4- sqrt {16} cdot sqrt {3}} {2} )

تبسيط.

حلل العامل المشترك إلى عوامل من البسط.

( dfrac {4 (1- sqrt {3})} {2} )

احذف العامل المشترك 2 من البسط والمقام.

( dfrac { إلغاء {2} cdot 2 (1- sqrt {3})} { إلغاء {2}} )

تبسيط.

(2 (1- sqrt {3}) )

جرب ذلك ( PageIndex {13} )

تبسيط:

  1. (+5 sqrt {75} )
  2. ( dfrac {10- sqrt {75}} {5} )
إجابه
  1. (5 + 5 مربع {3} )
  2. (2- sqrt {3} )

جربه ( PageIndex {14} )

تبسيط:

  1. (2+ sqrt {98} )
  2. ( dfrac {6- sqrt {45}} {3} )
إجابه
  1. (2 + 7 مربع {2} )
  2. (2- sqrt {5} )

استخدم خاصية Quotient لتبسيط التعبيرات الجذرية

عندما تضطر إلى تبسيط تعبير جذري ، فإن الخطوة الأولى التي يجب عليك اتخاذها هي تحديد ما إذا كان الجذر هو قوة مثالية للمؤشر. إذا لم يكن كذلك ، تحقق من البسط والمقام بحثًا عن أي عوامل مشتركة وقم بإزالتها. قد تجد كسرًا فيه كل من البسط والمقام قوى تامة للمؤشر.

مثال ( PageIndex {8} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {45} {80}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

المحلول:

أ.

( sqrt { dfrac {45} {80}} )

بسّط ما بداخل الجذر أولًا. أعد الكتابة موضحًا العوامل المشتركة للبسط والمقام.

( sqrt { dfrac {5 cdot 9} {5 cdot 16}} )

بسّط الكسر بإزالة العوامل المشتركة.

( sqrt { dfrac {9} {16}} )

تبسيط. ملاحظة ( left ( dfrac {3} {4} right) ^ {2} = dfrac {9} {16} ).

( dfrac {3} {4} )

ب.

( sqrt [3] { dfrac {16} {54}} )

بسّط ما بداخل الجذر أولًا. أعد الكتابة موضحًا العوامل المشتركة للبسط والمقام.

( sqrt [3] { dfrac {2 cdot 8} {2 cdot 27}} )

بسّط الكسر بإزالة العوامل المشتركة.

( sqrt [3] { dfrac {8} {27}} )

تبسيط. ملاحظة ( left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} = dfrac {8} {27} ).

( dfrac {2} {3} )

ج.

( sqrt [4] { dfrac {5} {80}} )

بسّط ما بداخل الجذر أولًا. أعد الكتابة موضحًا العوامل المشتركة للبسط والمقام.

( sqrt [4] { dfrac {5 cdot 1} {5 cdot 16}} )

بسّط الكسر بإزالة العوامل المشتركة.

( sqrt [4] { dfrac {1} {16}} )

تبسيط. ملاحظة ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {4} = dfrac {1} {16} ).

( dfrac {1} {2} )

جرب ذلك ( PageIndex {15} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {75} {48}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54} {250}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32} {162}} )
إجابه
  1. ( dfrac {5} {4} )
  2. ( dfrac {3} {5} )
  3. ( dfrac {2} {3} )

جربه ( PageIndex {16} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {98} {162}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24} {375}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {4} {324}} )
إجابه
  1. ( dfrac {7} {9} )
  2. ( dfrac {2} {5} )
  3. ( dfrac {1} {3} )

في المثال الأخير ، كانت خطوتنا الأولى هي تبسيط الكسر تحت الجذر بإزالة العوامل المشتركة. في المثال التالي سوف نستخدم الامتداد خاصية الحاصل للتبسيط تحت الجذر. نقسم الأسس المتشابهة بطرح الأسس ،

( dfrac {a ^ {m}} {a ^ {n}} = a ^ {m-n} ، quad a neq 0 )

مثال ( PageIndex {9} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

المحلول:

أ.

( sqrt { dfrac {m ^ {6}} {m ^ {4}}} )

بسّط الكسر الموجود داخل الجذر أولًا. اقسم الأسس المتشابهة بطرح الأسس.

( sqrt {m ^ {2}} )

تبسيط.

(| م | )

ب.

( sqrt [3] { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {5}}} )

استخدم خاصية حاصل القسمة للأسس لتبسيط الكسر تحت الجذر أولًا.

( sqrt [3] {a ^ {3}} )

تبسيط.

(أ)

ج.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {10}} {a ^ {2}}} )

استخدم خاصية حاصل القسمة للأسس لتبسيط الكسر تحت الجذر أولًا.

( sqrt [4] {a ^ {8}} )

أعد كتابة الجذر باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

( sqrt [4] { left (a ^ {2} right) ^ {4}} )

تبسيط.

(أ ^ {2} )

جربه ( PageIndex {17} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {a ^ {8}} {a ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [4] { dfrac {x ^ {7}} {x ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {y ^ {17}} {y ^ {5}}} )
إجابه
  1. (| أ | )
  2. (| س | )
  3. (ص ^ {3} )

جرب ذلك ( PageIndex {18} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {x ^ {14}} {x ^ {10}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {m ^ {13}} {m ^ {7}}} )
  3. ( sqrt [5] { dfrac {n ^ {12}} {n ^ {2}}} )
إجابه
  1. (س ^ {2} )
  2. (م ^ {2} )
  3. (n ^ {2} )

تذكر الحاصل على خاصية الطاقة؟ قال إنه يمكننا رفع الكسر إلى أس عن طريق رفع البسط والمقام للقوة بشكل منفصل.

( left ( dfrac {a} {b} right) ^ {m} = dfrac {a ^ {m}} {b ^ {m}}، b neq 0 )

التعريف ( PageIndex {3} )

خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية

إذا كانت ( sqrt [n] {a} ) و ( sqrt [n] {b} ) أرقامًا حقيقية ، (b neq 0 ) ، ولأي عدد صحيح (n geq 2 ) من ثم،

( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} text {and} dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )

مثال ( PageIndex {10} ) كيفية تبسيط حاصل قسمة التعبيرات الجذرية

بسّط: ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} )

المحلول:

الخطوة 1: بسّط الكسر في الجذر ، إن أمكن.

لا يمكن تبسيط ( dfrac {27 m ^ {3}} {196} ).

( sqrt { dfrac {27 م ^ {3}} {196}} )

الخطوة 2: استخدم خاصية الحاصل لإعادة كتابة الجذر على أنه حاصل قسمة جذرين.

أعدنا كتابة ( sqrt { dfrac {27 m ^ {3}} {196}} ) ليكون حاصل قسمة ( sqrt {27 m ^ {3}} ) و ( sqrt {196} ).

( dfrac { sqrt {27 م ^ {3}}} { sqrt {196}} )

الخطوه 3: بسّط الجذور في البسط والمقام.

(9 م ^ {2} ) و (196 ) مربعان كاملان.

( dfrac { sqrt {9 م ^ {2}} cdot sqrt {3 m}} { sqrt {196}} )

( dfrac {3 م مربع {3 م}} {14} )

جربه ( PageIndex {19} )

بسّط: ( sqrt { dfrac {24 p ^ {3}} {49}} ).

إجابه

( dfrac {2 | p | sqrt {6 p}} {7} )

جربه ( PageIndex {20} )

بسّط: ( sqrt { dfrac {48 x ^ {5}} {100}} ).

إجابه

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt {3 x}} {5} )

بسّط الجذر التربيعي باستخدام خاصية الحاصل

  1. بسّط الكسر في الجذر إن أمكن.
  2. استخدم خاصية الحاصل لإعادة كتابة الجذر على هيئة حاصل قسمة جذرين.
  3. بسّط الجذور في البسط والمقام.

مثال ( PageIndex {11} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {45 × ^ {5}} {y ^ {4}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {24 × ^ {7}} {y ^ {3}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {48 × ^ {10}} {y ^ {8}}} )

المحلول:

أ.

( sqrt { dfrac {45 × ^ {5}} {y ^ {4}}} )

لا يمكننا تبسيط الكسر في الجذر. أعد الكتابة باستخدام خاصية الحاصل.

( dfrac { sqrt {45 × ^ {5}}} { sqrt {y ^ {4}}} )

بسّط الجذور في البسط والمقام.

( dfrac { sqrt {9 x ^ {4}} cdot sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

تبسيط.

( dfrac {3 x ^ {2} sqrt {5 x}} {y ^ {2}} )

ب.

( sqrt [3] { dfrac {24 × ^ {7}} {y ^ {3}}} )

لا يمكن تبسيط الكسر في الجذر. استخدم خاصية الحاصل للكتابة في صورة جذرين.

( dfrac { sqrt [3] {24 × ^ {7}}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام العوامل المكعبة الكاملة.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {6} cdot 3 x}} { sqrt [3] {y ^ {3}}} )

أعد كتابة البسط كحاصل ضرب جذرين.

( dfrac { sqrt [3] { left (2 x ^ {2} right) ^ {3}} cdot sqrt [3] {3 x}} { sqrt [3] {y ^ { 3}}} )

تبسيط.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [3] {3 x}} {y} )

ج.

( sqrt [4] { dfrac {48 × ^ {10}} {y ^ {8}}} )

لا يمكن تبسيط الكسر في الجذر.

( dfrac { sqrt [4] {48 × ^ {10}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

استخدم خاصية الحاصل للكتابة في صورة جذرين. أعد كتابة كل جذر كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

( dfrac { sqrt [4] {16 × ^ {8} cdot 3 × ^ {2}}} { sqrt [4] {y ^ {8}}} )

أعد كتابة البسط كحاصل ضرب جذرين.

( dfrac { sqrt [4] { left (2 x ^ {2} right) ^ {4}} cdot sqrt [4] {3 x ^ {2}}} { sqrt [4] { left (y ^ {2} right) ^ {4}}} )

تبسيط.

( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {3 x ^ {2}}} {y ^ {2}} )

جرب ذلك ( PageIndex {21} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {80 م ^ {3}} {n ^ {6}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {108 c ^ {10}} {d ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {80 × ^ {10}} {y ^ {4}}} )
إجابه
  1. ( dfrac {4 | m | sqrt {5 m}} { left | n ^ {3} right |} )
  2. ( dfrac {3 c ^ {3} sqrt [3] {4 c}} {d ^ {2}} )
  3. ( dfrac {2 x ^ {2} sqrt [4] {5 x ^ {2}}} {| y |} )

جرب ذلك ( PageIndex {22} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {54 u ^ {7}} {v ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {40 r ^ {3}} {s ^ {6}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {162 م ^ {14}} {n ^ {12}}} )
إجابه
  1. ( dfrac {3 u ^ {3} sqrt {6 u}} {v ^ {4}} )
  2. ( dfrac {2 r sqrt [3] {5}} {s ^ {2}} )
  3. ( dfrac {3 left | m ^ {3} right | sqrt [4] {2 m ^ {2}}} { left | n ^ {3} right |} )

تأكد من تبسيط الكسر في الجذر أولاً ، إن أمكن.

مثال ( PageIndex {12} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

المحلول:

أ.

( sqrt { dfrac {18 p ^ {5} q ^ {7}} {32 p q ^ {2}}} )

بسّط الكسر في الجذر إن أمكن.

( sqrt { dfrac {9 p ^ {4} q ^ {5}} {16}} )

أعد الكتابة باستخدام خاصية الحاصل.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {5}}} { sqrt {16}} )

بسّط الجذور في البسط والمقام.

( dfrac { sqrt {9 p ^ {4} q ^ {4}} cdot sqrt {q}} {4} )

تبسيط.

( dfrac {3 p ^ {2} q ^ {2} sqrt {q}} {4} )

ب.

( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )

بسّط الكسر في الجذر إن أمكن.

( sqrt [3] { dfrac {8 x ^ {3} y ^ {5}} {27}} )

أعد الكتابة باستخدام خاصية الحاصل.

( dfrac { sqrt [3] {8 × ^ {3} ص ^ {5}}} { sqrt [3] {27}} )

بسّط الجذور في البسط والمقام.

( dfrac { sqrt [3] {8 x ^ {3} y ^ {3}} cdot sqrt [3] {y ^ {2}}} { sqrt [3] {27}} )

تبسيط.

( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )

ج.

( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )

بسّط الكسر في الجذر إن أمكن.

( sqrt [4] { dfrac {a ^ {5} b ^ {4}} {16}} )

أعد الكتابة باستخدام خاصية الحاصل.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {5} b ^ {4}}} { sqrt [4] {16}} )

بسّط الجذور في البسط والمقام.

( dfrac { sqrt [4] {a ^ {4} b ^ {4}} cdot sqrt [4] {a}} { sqrt [4] {16}} )

تبسيط.

( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

جرب ذلك ( PageIndex {23} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {50 × ^ {5} y ^ {3}} {72 × ^ {4} y}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {16 x ^ {5} y ^ {7}} {54 x ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {5 a ^ {8} b ^ {6}} {80 a ^ {3} b ^ {2}}} )
إجابه
  1. ( dfrac {5 | y | sqrt {x}} {6} )
  2. ( dfrac {2 x y sqrt [3] {y ^ {2}}} {3} )
  3. ( dfrac {| a b | sqrt [4] {a}} {2} )

جربه ( PageIndex {24} )

تبسيط:

  1. ( sqrt { dfrac {48 م ^ {7} n ^ {2}} {100 م ^ {5} n ^ {8}}} )
  2. ( sqrt [3] { dfrac {54 x ^ {7} y ​​^ {5}} {250 × ^ {2} y ^ {2}}} )
  3. ( sqrt [4] { dfrac {32 a ^ {9} b ^ {7}} {162 a ^ {3} b ^ {3}}} )
إجابه
  1. ( dfrac {2 | m | sqrt {3}} {5 left | n ^ {3} right |} )
  2. ( dfrac {3 x y sqrt [3] {x ^ {2}}} {5} )
  3. ( dfrac {2 | a b | sqrt [4] {a ^ {2}}} {3} )

في المثال التالي ، لا يوجد شيء يمكن تبسيطه في القواسم. بما أن فهرس الجذور هو نفسه ، فيمكننا استخدام خاصية الحاصل مرة أخرى ، لدمجها في جذري واحد. سننظر بعد ذلك لمعرفة ما إذا كان بإمكاننا تبسيط المقدار.

مثال ( PageIndex {13} )

تبسيط:

  1. ( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {96 × ^ {7}}} { sqrt [4] {3 × ^ {2}}} )

المحلول:

أ.

( dfrac { sqrt {48 a ^ {7}}} { sqrt {3 a}} )

لا يمكن تبسيط المقام ، لذا استخدم خاصية الحاصل للكتابة في صورة جذري واحد.

( sqrt { dfrac {48 a ^ {7}} {3 a}} )

بسّط الكسر تحت الجذر.

( sqrt {16 a ^ {6}} )

تبسيط.

(4 يسار | أ ^ {3} يمين | )

ب.

( dfrac { sqrt [3] {- 108}} { sqrt [3] {2}} )

لا يمكن تبسيط المقام ، لذا استخدم خاصية الحاصل للكتابة في صورة جذري واحد.

( sqrt [3] { dfrac {-108} {2}} )

بسّط الكسر تحت الجذر.

( sqrt [3] {- 54} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام العوامل المكعبة الكاملة.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3} cdot 2} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} cdot sqrt [3] {2} )

تبسيط.

ج.

( dfrac { sqrt [4] {96 × ^ {7}}} { sqrt [4] {3 × ^ {2}}} )

لا يمكن تبسيط المقام ، لذا استخدم خاصية الحاصل للكتابة في صورة جذري واحد.

( sqrt [4] { dfrac {96 × ^ {7}} {3 × ^ {2}}} )

بسّط الكسر تحت الجذر.

( sqrt [4] {32 × ^ {5}} )

أعد كتابة الجذر كمنتج باستخدام عوامل القوة الرابعة المثالية.

( sqrt [4] {16 × ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب جذرين.

( sqrt [4] {(2 x) ^ {4}} cdot sqrt [4] {2 x} )

تبسيط.

(2 | x | sqrt [4] {2 x} )

جربه ( PageIndex {25} )

تبسيط:

  1. ( dfrac { sqrt {98 z ^ {5}}} { sqrt {2 z}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 500}} { sqrt [3] {2}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {486 م ^ {11}}} { sqrt [4] {3 م ^ {5}}} )
إجابه
  1. (7z ^ {2} )
  2. (- 5 sqrt [3] {2} )
  3. (3 | m | sqrt [4] {2 م ^ {2}} )

جربه ( PageIndex {26} )

تبسيط:

  1. ( dfrac { sqrt {128 م ^ {9}}} { sqrt {2 m}} )
  2. ( dfrac { sqrt [3] {- 192}} { sqrt [3] {3}} )
  3. ( dfrac { sqrt [4] {324 n ^ {7}}} { sqrt [4] {2 n ^ {3}}} )
إجابه
  1. (8 م ^ {4} )
  2. (-4)
  3. (3 | n | sqrt [4] {2} )

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع تبسيط التعبيرات الجذرية.

  • تبسيط الجذر التربيعي والجذر التكعيبي باستخدام المتغيرات
  • عبر عن جذري في شكل مربع مبسط والجذور التكعيبية مع المتغيرات والأس
  • تبسيط الجذور التكعيبية

المفاهيم الرئيسية

  • التعبير الجذري المبسط
    • للأرقام الحقيقية (أ ، م ) و (n≥2 )
      ( sqrt [n] {a} ) يعتبر مبسطًا إذا كان (a ) لا يحتوي على عوامل (m ^ {n} )
  • خاصية المنتج لـ (n ^ {th} ) الجذور
    • لأية أرقام حقيقية ، ( sqrt [n] {a} ) و ( sqrt [n] {b} ) ، وأي عدد صحيح (n≥2 )
      ( sqrt [n] {ab} = sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] {b} ) و ( sqrt [n] {a} cdot sqrt [n] { ب} = sqrt [n] {ab} )
  • كيفية تبسيط تعبير جذري باستخدام خاصية المنتج
    1. أوجد العامل الأكبر في الجذر وهو القوة الكاملة للمؤشر.
      أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب عاملين باستخدام هذا العامل.
    2. استخدم قاعدة حاصل الضرب لإعادة كتابة الجذر باعتباره حاصل ضرب جذرين.
    3. بسّط جذر القوة الكاملة.
  • خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية
    • إذا كان ( sqrt [n] {a} ) و ( sqrt [n] {b} ) أرقامًا حقيقية ، (b ≠ 0 ) ، ولأي عدد صحيح (n≥2 ) إذن و ( sqrt [n] { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} ) و ( dfrac { sqrt [n] {a}} { sqrt [n] {b}} = sqrt [n] { dfrac {a} {b}} )
  • كيفية تبسيط تعبير جذري باستخدام خاصية الحاصل.
    1. بسّط الكسر في الجذر إن أمكن.
    2. استخدم خاصية الحاصل لإعادة كتابة الجذر على هيئة حاصل قسمة جذرين.
    3. بسّط الجذور في البسط والمقام.

8.2 تبسيط التعبيرات الجذرية

سنبسط المقادير الجذرية بطريقة مشابهة لطريقة تبسيط الكسور. يتم تبسيط الكسر إذا لم يكن هناك عوامل مشتركة في البسط والمقام. لتبسيط الكسر ، نبحث عن أي عوامل مشتركة في البسط والمقام.

التعبير الجذري المبسط

للأرقام الحقيقية أ و م، و ن ≥ 2 ، ن ≥ 2 ،

لتبسيط المقادير الجذرية ، سنستخدم أيضًا بعض خواص الجذور. الخصائص التي سنستخدمها لتبسيط التعبيرات الجذرية تشبه خواص الأسس. نعلم أن (أ ب) ن = أ ن ب ن. (أ ب) ن = أ ن ب ن. تقول المقابلة الخاصة بخاصية المنتج للجذور أن a b n = a n · b n. أ ب ن = أ ن · ب ن.

ملكية المنتج لـ ن الجذور

نستخدم خاصية المنتج للجذور لإزالة جميع العوامل التربيعية الكاملة من الجذر التربيعي.

مثال 8.13

تبسيط الجذور التربيعية باستخدام خاصية المنتج للجذور

المحلول

احرص على كتابة العدد الصحيح بحيث لا يتم الخلط بينه وبين الفهرس. التعبير ٧ ٢ ٧ ٢ يختلف كثيرًا عن ٢ ٧. 2 7.

كيف

بسّط تعبيرًا جذريًا باستخدام خاصية المنتج.

  1. الخطوة الأولى. ابحث عن أكبر عامل في الجذر وهو القوة الكاملة للمؤشر. أعد كتابة الجذر في صورة حاصل ضرب عاملين باستخدام هذا العامل.
  2. الخطوة 2. استخدم قاعدة الضرب لإعادة كتابة الجذر على هيئة حاصل ضرب جذرين.
  3. الخطوة 3. بسّط جذر القوة الكاملة.

سنطبق هذه الطريقة في المثال التالي. قد يكون من المفيد أن يكون لديك جدول كامل من المربعات والمكعبات والقوى الرابعة.

مثال 8.14

المحلول

المثال التالي يشبه إلى حد كبير الأمثلة السابقة ، ولكن مع المتغيرات. لا تنس استخدام علامات القيمة المطلقة عند أخذ جذر زوجي لتعبير به متغير في الجذر.

مثال 8.15

المحلول

نتبع نفس الإجراء عندما يكون هناك معامل في الجذر. في المثال التالي ، كل من الثابت والمتغير لهما عوامل مربعة كاملة.

مثال 8.16

المحلول

في المثال التالي ، نستمر في استخدام نفس الأساليب على الرغم من وجود أكثر من متغير واحد تحت الجذر.

مثال 8.17

المحلول

مثال 8.18

المحلول

لقد رأينا كيفية استخدام ترتيب العمليات لتبسيط بعض المقادير بالجذور. في المثال التالي ، لدينا مجموع عدد صحيح وجذر تربيعي. نبسط الجذر التربيعي لكن لا يمكننا إضافة التعبير الناتج إلى العدد الصحيح لأن أحد المصطلحين يحتوي على جذري والآخر لا يحتوي على ذلك. يتضمن المثال التالي أيضًا كسرًا بجذر في البسط. تذكر أنه من أجل تبسيط كسر ، تحتاج إلى عامل مشترك في البسط والمقام.

مثال 8.19

المحلول

لا يمكن إضافة المصطلحين لأن أحدهما له جذري والآخر لا. إن محاولة إضافة عدد صحيح وجذر يشبه محاولة إضافة عدد صحيح ومتغير. هم ليسوا مثل الشروط!

استخدم خاصية Quotient لتبسيط التعبيرات الجذرية

عندما تضطر إلى تبسيط تعبير جذري ، فإن الخطوة الأولى التي يجب عليك اتخاذها هي تحديد ما إذا كان الجذر هو قوة مثالية للمؤشر. إذا لم يكن كذلك ، تحقق من البسط والمقام بحثًا عن أي عوامل مشتركة وقم بإزالتها. قد تجد كسرًا فيه كل من البسط والمقام قوى تامة للمؤشر.

مثال 8.20

المحلول

في المثال الأخير ، كانت خطوتنا الأولى هي تبسيط الكسر تحت الجذر بإزالة العوامل المشتركة. في المثال التالي سنستخدم خاصية حاصل القسمة للتبسيط تحت الجذر. نقسم الأسس المتشابهة بطرح الأسس ،

المثال 8.21

المحلول

تذكر حاصل لخاصية الطاقة؟ قال إنه يمكننا رفع الكسر إلى أس عن طريق رفع البسط والمقام للقوة بشكل منفصل.

يمكننا استخدام خاصية مشابهة لتبسيط جذر كسر. بعد إزالة جميع العوامل المشتركة من البسط والمقام ، إذا لم يكن الكسر قوة كاملة للمؤشر ، فإننا نبسط البسط والمقام بشكل منفصل.

خاصية الحاصل للتعبيرات الجذرية

مثال 8.22

كيفية تبسيط حاصل حاصل التعبيرات الجذرية

المحلول

كيف

بسّط جذرًا تربيعيًا باستخدام خاصية الحاصل.

  1. الخطوة 1. بسّط الكسر في الجذر ، إن أمكن.
  2. الخطوة 2. استخدم خاصية حاصل القسمة لإعادة كتابة الجذر على أنه حاصل قسمة جذرين.
  3. الخطوة 3. بسّط الجذور في البسط والمقام.

مثال 8.23

المحلول

تأكد من تبسيط الكسر في الجذر أولاً ، إن أمكن.

مثال 8.24

المحلول

في المثال التالي ، لا يوجد شيء يمكن تبسيطه في القواسم. بما أن الفهرس على الجذور هو نفسه ، فيمكننا استخدام خاصية الحاصل مرة أخرى لدمجها في جذري واحد. سننظر بعد ذلك لمعرفة ما إذا كان بإمكاننا تبسيط المقدار.

مثال 8.25

المحلول

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع تبسيط التعبيرات الراديكالية.

القسم 8.2 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات الجذرية

في التمارين التالية ، استخدم خاصية المنتج لتبسيط التعبيرات الجذرية.

في التدريبات التالية ، بسّط باستخدام علامات القيمة المطلقة حسب الحاجة.

استخدم خاصية Quotient لتبسيط التعبيرات الجذرية

في التمارين التالية ، استخدم خاصية Quotient لتبسيط الجذور التربيعية.

تمارين الكتابة

اشرح كيف تعرف أن x 10 5 = x 2. × 10 5 = × 2.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ بعد مراجعة قائمة التحقق هذه ، ما الذي ستفعله لتصبح واثقًا من جميع الأهداف؟

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/8-2-simplify-radical-expressions

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    دائمًا ما يكون الجذر التربيعي لعدد صحيح موجب ليس مربعًا كاملًا عددًا غير نسبي. يفقد التمثيل العشري لمثل هذا الرقم الدقة عند تقريبه ، ويستغرق الحساب بدون مساعدة الآلة الحاسبة وقتًا طويلاً. بدلاً من استخدام التمثيل العشري ، فإن الطريقة القياسية لكتابة هذا الرقم هي استخدام صيغة جذرية مبسطة ، والتي تتضمن كتابة الجذر بدون مربعات كاملة كعوامل للرقم تحت رمز الجذر.

    تتضمن عملية وضع جذر تربيعي في شكل جذري مبسط إيجاد عوامل تربيعية كاملة ثم تطبيق الهوية أ ب = أ × ب مربع= sqrt times sqrt أ ب

    ، مما يسمح لنا بأخذ جذر عوامل التربيع الكاملة.

    وبالمثل ، فإن الجذور ذات الدرجة الأعلى (الجذور التكعيبية ، الجذور الرابعة ، إلخ) يتم تبسيطها عندما لا يكون لها عوامل تحت الجذر تكون قوى مثالية بنفس درجة الجذر.


    5.2: تبسيط التعبيرات الجذرية - الرياضيات

    كيف تبسط تعبير متغير؟
    كيف تستخدم خاصية التوزيع لتبسيط التعابير؟


    أ مصطلح هو ثابت أو متغير في التعبير. المصطلح المتغير هو نتاج أعداد ومتغيرات ، مثل 2x أو 3y. المصطلحات المتغيرة لها معامل عددي. الجزء رقم من مصطلح متغير هو معامل في الرياضيات او درجة .

    مثال: في المدى المتغير 2x,
    2 هو المعامل
    x هو المتغير
    و 2 x تعني "2 مرة x"

    حالة خاصة: في المصطلح المتغير x ، يكون المعامل 1 (لأن "x" هي نفسها "1x")

    معامل 6x هو 6 ، ومعامل 4y 2 هو -4 ، ومعامل x هو 1.

    يتم فصل المصطلحات عن طريق الجمع (+) أو الطرح (-).
    في التعبير 12 + 3x + 2x 2 ، المصطلحات الثلاثة هي 12 و 3x و 2x 2.
    في التعبير 5x - 12 ، الحدان هما 5x و -12.


    شروط الأعجاب هي المصطلحات التي تحتوي على نفس المتغيرات (ونفس الأسس لتلك المتغيرات.)
    ال المعاملات لا يهم ، فقط المتغير (المتغيرات).

    هذه عبارة عن مصطلحات مثل: 2x و 3 x و 5 و 7 و -5y و 13y و 5k و -k و -7 و 0 و 5x 3 و -19x 3

    هؤلاء هم ليس المصطلحات المتشابهة: 2x و 6 و 4x و 5y و 3y و 5 k و 4 m 3 و 4 m 5


    الجمع بين المصطلحات المتماثلة
    جزء واحد من تبسيط التعبير هو تجميع الحدود المتشابهة. يتم ذلك عن طريق إضافة أو طرح معاملات المصطلحات المتشابهة. يمكن دمج الشروط المتشابهة فقط.

    مثال: يمكن تبسيط 2x + 3x + 7 وكتابته كـ 5x + 7 لأن 2x + 3x = (2 + 3) x = 5x. لا يمكن الجمع بين 5x و 7 لأنهما ليسا متشابهين.

    مثال: 5 م + 6 ص - 7 + 4 م - 2 م - 8 يمكن تبسيطها وكتابتها على شكل 3 م + 10 م - 15 لأن
    5 م و -2 م 3 م
    6p و 4 p تساوي 10p
    -7 و -8 هي -15


    تحتوي بعض التعبيرات على أقواس يجب إزالتها قبل دمج المصطلحات المتشابهة.

    خاصية التوزيع: a (b + c) = ab + ac

    The distributive property allows you to remove parentheses from around an algebraic expression by multiplying every term inside the parentheses by the number outside.

    أمثلة:
    2(3x+5) can be rewritten as 6x+10 because 2•3x=6x and 2•5=10.
    3(4x-6) can be rewritten as 12x-18 because 3•4x=12x and 3•-6=-18.
    -(4m+5) can be rewritten as -4m-5 because -1•4m=-4m and -1•5=-5. -(4m+5) is the same as -1(4m+5)

    ل تبسيطan expression means to write the expression with 1) NO parentheses and 2) NO like terms!
    1st: Get rid of any parentheses using the distributive property.
    2nd: Combine any like terms.

    مثال: Simplify 4(3x+2)+5x-9


    Questions (with solutions given below)

    DO NOT use the calculator to answer the follwoing questions

    Part 1 - Given the following:
    ( 2^6 = 64 ) , ( 3^5 = 243 ) , ( 5^3 = 125 ), ( 0^7 = 0 ), ( 1^ <20>= 1 ), ( 2^9 = 512 ), ( 5^5 = 3125 ), ( 10^5 = 100000 ) , ( 0.1^3 = 0.001 )
    find the values of the following:
    ( sqrt <512>) , ( sqrt[5] <3125>) , ( sqrt[5] <243>) , ( sqrt[6] <64>) , ( sqrt[3] <0.001>) , ( sqrt[20] <1>) , ( sqrt[5] <100000>) , ( sqrt[7] <0>) , ( sqrt[3] <125>)

    Part 2 - Given the following:
    ( sqrt <64>= 8 ) , ( sqrt[5] <7776>= 6) , ( sqrt[3] <1000>= 10 ) , ( sqrt[7] <128>= 2) , ( sqrt[7] <0.0000001>= 0.1) , ( sqrt <10000>= 100) , ( sqrt[4] <20736>= 12) , ( sqrt[9] <512>= 2)
    find the values of the following:
    ( 2^7 ) , ( 0.1^7 ) , ( 6^5 ) , ( 8^2 ) , ( 2^9 ) , ( 12^4 ) , ( 10^3 ) ( 100^2 )

    Part 3 - Simplify the following:
    ( sqrt <5^2>) , ( (sqrt[5]<3>)^5) , ( sqrt[3] <10^3>) , ( (sqrt[7]<128>)^7 )


    Simplifying Radical Expressions – Example 1:

    Find the square root of (sqrt<144x^2 >).

    Find the factor of the expression (144x^2: 144=12×12) and (x^2=x×x), now use radical rule: (sqrt[n]=a), Then: (sqrt<12^2 >=12) and (sqrt =x) Finally: (sqrt<144x^2>=sqrt<12^2>×sqrt=12×x=12x)

    Simplifying Radical Expressions – Example 2:

    Write this radical in exponential form. (sqrt[3])

    To write a radical in exponential form, use this rule: (sqrt[n]=x^>) Then: (sqrt[3]=x^<3>>)

    Simplifying Radical Expressions – Example 3:

    First factor the expression (8x^3: 8x^3=2^3×x×x ×x), we need to find perfect squares: (8x^3=2^2×2×x^2×x=2^2×x^2×2x), Then: (sqrt <8x^3 >=sqrt<2^2 ×x^2>×sqrt<2x>)
    Now use radical rule: (sqrt[n]=a), Then: (sqrt<2^2 ×x^2 >×sqrt<(2x)>=2x×sqrt<2x>=2xsqrt<2x>)


    Multiplication and Division of Radical Expressions

    Note&emsp&emsp&emsp&emspThe final radical must be in standard form.

    &emsp&emspTo multiply one radical by a radical expression of more than one term, we use the distributive law: a(b+c)=ab+ac .

    مثال & emsp & emspMultiply 3root(2)(5root(6)-2root(10)) and simplify.

    Solution&emsp&emsp 3root(2)(5root(6)-2root(10))

    مثال & emsp & emspMultiply 2root(3xy)(4root(x)-3root(y)) and simplify.

    Solution&emsp&emsp 2root(3xy)(4root(x)-3root(y))

    &emsp&emspTo multiply two radical expressions, each with more than one term, follow the same arrangement as in multiplying polynomials.

    مثال & emsp & emspMultiply (2root(3)-4root(2)) by (3root(3)+root(2)) and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    مثال & emsp & emspMultiply root(3x)-root(2y) by 5root(3x)+2root(2y) and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    مثال & emsp & emspExpand (root(x+3)+root(x-2))^2 and simplify.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp

    Let&rsquos see how our math solver simplifies this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp (root(a)+root(b))^2=(root(a)+root(b))(root(a)+root(b))=a+2root(ab)+b &emsp&emspWhen the radicals have different indices, we apply the rule root(n,a^m)=root(nk,a^mk) to make the indices the same as their LCM and then apply root(n,a)root(n,b)=root(n,ab) .

    أمثلة & emsp & emsp1. root(3)root(3,3^2) = root(6,3^3)root(6,3^7)=root(6,3^7)=3root(6,3)

    10.5&emsp&emspDivision of Radical Expressions

    THEOREM&emsp&emspWhen a,b &isin R,a>0,b>0 , and n &isin N , then root(n,a)/root(n,b)=root(n,a/b) .

    &emsp&emspRadical expressions can be divided according to the above theorem only when the radical indices are the same. For different radical indices, the preliminary step to make them the same must be carried out.

    أمثلة & emsp & emsp1. root(15)/root(5)=root(15/5)=root(3)

    &emsp&emsp Sometimes the numerator of a fractional radicand is not an exact multiple of the denominator, for example root(3/2) To simplify such a radical, multiply both numerator and denominator of the radicand by the smallest number that will make the denominator a perfect root.

    Note&emsp&emsp&emsp&emspThe denominator is a perfect root if the exponent of each factor is an integral multiple of the radical index.

    &emsp&emspTo simplify root(3/2) multiply the numerator and denominator of the radicand by 2 .

    &emsp&emspIt is easier to manipulate 1/2 root(6) than root(3/2) .

    Remark&emsp&emspWhen the radical expression is of the form a/(b&radicc) , multiply the numerator and the denominator by root(c) .

    مثال & emsp & emspDivide root(15) by root(21) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(15)/root(21)=root(15/21)=root(5/7)=root((5*7)/(7*7))=1/7root(35)

    مثال & emsp & emspDivide root(3xy) by root(4a^3b) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3xy)/root(4a^3b)=root((3xy)/(2^2a^3b))=root((3xy)/(2^2a^4b)*(ab)/(ab))

    مثال & emsp & emspPut root((3a^2b^3)/(20xy^5)) in standard form.

    Solution&emsp&emsp root((3a^2b^3)/(20xy^5)) = root((3a^2b^3)/(2^2*5xy^5)*(5xy)/(5xy)

    مثال & emsp & emspDivide root(3,3) by root(3,20) and put in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3,3)/root(3,20)=root(3,3/(2^2*5))=root(3,3/(2^2*5)*(2*5^2)/(2*5^2)

    مثال&emsp&emspPut root(3,(81x^6y^7)/(8a^8b^10) in standard form.

    Solution&emsp&emsp root(3,(81x^6y^7)/(8a^8b^10) = root(3,(3^4x^6y^7)/(2^3a^8b^10))=root(3,(3^4x^6y^7)/(2^3a^8b^10)*(ab^2)/(ab^2))

    &emsp&emspThe definition of addition of fractions, (a+b)/c=a/c+b/c , is used to divide a radical expression with more than one term by a one-term radical.

    مثال&emsp&emspDivide and simplify (3root(6)-6root(10))/(3root(2)) .

    Solution&emsp&emsp (3root(6)-6root(10))/(3root(2))

    مثال&emsp&emspDivide and simplify (root(7x)-root(2y))/root(14xy) .

    Solution&emsp&emsp (root(7x)-root(2y))/root(14xy)

    &emsp&emspWhen we multiply the radical expressions (root(a)+root(b)) and (root(a)-root(b)) , we have get the rational expression (a-b) . Each of the expressions (root(a)+root(b)) and (root(a)-root(b)) is called a rationalizing factor of other.

    أمثلة & emsp & emsp1. root(2)-root(3) is a rationalizing factor of root(2)+root(3) .

    &emsp&emsp&emsp&emsp&emsp&emsp 2. 2+3root(2) is a rationalizing factor of 2-3root(2) .

    &emsp&emspTo facilitate the manipulation with a radical expression such as (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3)) , we change the fraction to an equivalent one with a rational denominator. This can be accomplished by multiplying both numerator and denominator by the rationalizing factor of the denominator, 2root(2)-root(3) .

    &emsp&emspThis operation is called rationalizing the denominator

    مثال & emsp & emspRationalize the denominator of root(2)/(2-root(3)) .

    Solution&emsp&emsp root(2)/(2-root(3))

    مثال & emsp & emspRationalize the denominator of (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3)) .

    Solution&emsp&emsp (root(2)+root(3))/(2root(2)+root(3))

    Let&rsquos see how our math solver simplifies this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.


    Add Radicals

    Adding radicals is very simple action. There is only one thing you have to worry about, which is a very standard thing in math. You can’t add radicals that have different index or radicand. The only thing you can do is match the radicals with the same index and radicands and add them together.

    Summation is done in a very natural way so $sqrt[3] <2>+ sqrt[3] <2>= 2sqrt[3]<2>$

    But summations like $sqrt[3] <2>+ sqrt[4]<2725>$ can’t be done, and you simply leave it just the way it is.


    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    Here we have to keep √30 as it is.

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible

    =  √(3 x 3 x 3) + √(5 x 3 x 7) +   √(3 x 3 x 3 x 2 x 2) - √(5 x 5 x 3) 

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    =  √(3 x 3 x 5) + √(2 x 2 x 5) +  √(5 x 2 x 2 x 2 x 2) - √(5 x 2 x 2 x 2) 

    Simplify the following radical expression 

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible

     =  3 √5 + 2 √(5 x 19) + 3 √(3 x 3 x 13) - √(3 x 2 x 13)

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  3 √(2 x 2 x 2 x 2 x 2) - 2 √(2 x 2 x 2) + √(5 x 5 x 2) 

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  2√(2 x 2 x 3) - 3√(3 x 3 x 3) -  √(3 x 3 x 3 x 3 x 3) 

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

    = √(2 x 3 x 3 x 3)-√(5 x 5 x 5 x 5 x 2 x 2)- √(3 x 2 x 2 x 2)

      =  3 √(3 x 2) - (5 x 5 x 2) - (2 x 2) √(2 x 3)

    Simplify the following radical expression

      =  √(5 x 3 x 3) - √(5 x 5) -  √(5 x 2 x 2 x 2 x 2)

    Simplify the following radical expression

    First we have to split the given numbers inside the radical as much as possible.

      =  5 √95  -  2 √(2 x 5 x 5) - 3 √(3 x 3 x 2 x 2 x 5) 

      =  5 √95 - (2 x 5) √2 - (3 x 2 x 3 )√5

    إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

    نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

    يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


    Simplifying Radicals Expressions with Imperfect Square Radicands

    Imperfect squares are the opposite of perfect squares. As radicands, imperfect squares don’t have an integer as its square root. Instead, the square root would be a number which decimal part would continue on endlessly without end and won’t show any repeating pattern. وهنا بعض الأمثلة:

    As you can see, the decimal part of these square roots won’t repeat nor terminate. These numbers can’t even be expressed accurately with fractions of integers. How do we simplify them? To tell you the truth, it’s quite simple.

    How did we do it? Well, in reality, there’s another property of radical expressions, which is the سيادة المنتج of radical expressions.

    The Product Rule of Radical Expressions

    The Product Rule indicates radical expression behavior. That is, if two or more radical expressions with the same index—let’s say ن—are multiplied, the result would be equal to the radical expression of the product between the previous radicands, with the index of ن. To understand it better, consider the equation below:

    With this rule, we can more easily simplify radical expressions that are seemingly complicated like before. Let’s deepen our understanding with a few more examples.

    From the equation above, we separate the radicand (72) into three different numbers (4, 9, and 2). Afterward, we put each of the numbers into its own radical expressions, then grouped them again into a more manageable form, which is ​​.

    There are multiple ways of simplifying ​. Can you find the different methods of solving it? Try it!

    Once you’ve done, take a look at this one.

    The problem is similar to the one before. The only difference is that we split apart the 4s into two 2s for each, giving it more explanations as to how the radical expressions with the radicands of 4 are simplified.

    The Quotient Rule of Radical Expressions

    ال قاعدة الحاصل denotes the property of radicals differently. That is, the division between two or more radical expressions with the same index—let’s say ن—is always equal to the radical expression of the quotient between the previous radicands, with the index of ن. Look at the following:

    Well, looking simply at the definition will hardly do any good. Let’s sharpen our calculation skill with a couple of examples:

    Voila! The rather convoluted expression of ​ is easily solved using the rule.

    Let’s take a look at a more difficult problem:

    This time, the road we took is longer but it’s actually not that different. Look at the process and you’ll see that it only takes simple calculations.

    In case you are wondering, we multiply the equation with ​ to rationalize the denominator.​ equals 1, so the figure won’t change the underlying value of the equation if multiplied with it.


    شاهد الفيديو: تبسيط التعبيرات الجذرية (شهر اكتوبر 2021).