مقالات

7.1: إيجاد الدوال المركبة والمعكوسة - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • إيجاد وتقييم الدوال المركبة
  • حدد ما إذا كانت الدالة واحد لواحد
  • أوجد معكوس دالة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. إذا كان (f (x) = 2 x-3 ) و (g (x) = x ^ {2} +2 x-3 ) ، ابحث عن (f (4) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 3.48.
  2. حل من أجل (x ) ، (3x + 2y = 12 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 2.31.
  3. بسّط: (5 frac {(x + 4)} {5} -4 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع المثال 1.25.

في هذا الفصل ، سوف نقدم نوعين جديدين من الوظائف ، الوظائف الأسية والوظائف اللوغاريتمية. يتم استخدام هذه الوظائف على نطاق واسع في الأعمال والعلوم كما سنرى.

البحث عن وتقييم الوظائف المركبة

قبل أن نقدم الوظائف ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على عملية أخرى على وظائف تسمى التكوين. في التكوين ، ناتج وظيفة واحدة هو إدخال دالة ثانية. بالنسبة للوظائف (f ) و (g ) ، يتم كتابة التكوين (f∘g ) ويتم تحديده بواسطة ((f∘g) (x) = f (g (x)) ).

نقرأ (f (g (x)) ) كـ " (f ) of (g ) of (x )."

لعمل تكوين ، يصبح ناتج الوظيفة الأولى ، (g (x) ) ، مدخلات الوظيفة الثانية ، (f ) ، ولذا يجب أن نتأكد من أنها جزء من مجال (F).

التعريف ( PageIndex {1} )

تكوين الوظائف (f ) و (g ) مكتوب (f cdot g ) ويتم تحديده بواسطة

((f circ g) (x) = f (g (x)) )

نقرأ (f (g (x)) ) كـ (f ) من (g ) من (x ).

لقد استخدمنا بالفعل التركيب دون استخدام الترميز عدة مرات من قبل. عندما قمنا برسم وظائف تربيعية باستخدام الترجمات ، كنا نؤلف وظائف. على سبيل المثال ، إذا رسمنا (g (x) = x ^ {2} ) رسمًا بيانيًا أولًا على شكل قطع مكافئ ثم نقلناه لأسفل رأسيًا أربع وحدات ، فإننا نستخدم التركيبة المحددة بواسطة ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) حيث (f (x) = x − 4 ).

مثال ( PageIndex {1} )

للوظائف (f (x) = 4x-5 ) و (g (x) = 2x + 3 ) ، ابحث عن

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )

المحلول:

  1. استخدم تعريف ((f circ g) (x) ).
    نشر.
    تبسيط.
    الجدول 10.1.1
  2. استخدم تعريف ((f circ g) (x) ).
    نشر.
    تبسيط.
    الجدول 10.1.2

لاحظ الفرق في النتيجة في الجزء أ. والجزء ب.

ج. لاحظ أن ((f cdot g) (x) ) يختلف عن ((f circ g) (x) ). في الجزء أ. قمنا بتكوين الوظائف. الآن في الجزء ج. نحن لا نؤلفهم ، نحن نضاعفهم.

استخدم تعريف ((f cdot g) (x) ).

((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )

عوّض (f (x) = 4 x-5 ) و (g (x) = 2 x + 3 ).

((f cdot g) (x) = (4 x-5) cdot (2 x + 3) )

تتضاعف.

((f cdot g) (x) = 8 × ^ {2} +2 × -15 )

تمرين ( PageIndex {1} )

للوظائف (f (x) = 3x-2 ) و (g (x) = 5x + 1 ) ، ابحث عن

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )
إجابه
  1. (15x + 1 )
  2. (15 × -9 )
  3. (15 × ^ {2} -7 × 2 )

تمرين ( PageIndex {2} )

للوظائف (f (x) = 4 x-3 ) و (g (x) = 6x-5 ) ، ابحث عن

  1. ((f circ g) (x) )
  2. ((g circ f) (x) )
  3. ((f cdot g) (x) )
إجابه
  1. (24 × 23 )
  2. (24 × 23 )
  3. (24 × ^ {2} -38 × + 15 )

في المثال التالي سنقوم بتقييم تركيبة لقيمة محددة.

تمرين ( PageIndex {3} )

للدوال (f (x) = x ^ {2} -9 ) و (g (x) = 2x + 5 ) ، ابحث عن

  1. ((f circ g) (- 2) )
  2. ((ز دائرة و) (- 3) )
  3. ((f circ f) (4) )
إجابه
  1. (-8)
  2. (5)
  3. (40)

تمرين ( PageIndex {4} )

للدوال (f (x) = x ^ {2} +1 ) و (g (x) = 3x-5 ) ، ابحث عن

  1. ((f circ g) (- 1) )
  2. ((g circ f) (2) )
  3. ((f circ f) (- 1) )
إجابه
  1. (65)
  2. (10)
  3. (5)

تحديد ما إذا كانت الوظيفة هي واحد لواحد

عندما قدمنا ​​الوظائف لأول مرة ، قلنا أ وظيفة هي علاقة تسند لكل عنصر في مجاله عنصرًا واحدًا بالضبط في النطاق. لكل زوج مرتب في العلاقة ، تتم مطابقة كل (x ) - قيمة مع قيمة (y ) - واحدة فقط.

استخدمنا مثال عيد الميلاد لمساعدتنا في فهم التعريف. كل شخص لديه عيد ميلاد ، لكن لا أحد لديه عيدان ميلاد ولا بأس أن يشارك شخصان عيد ميلاد. نظرًا لأن كل شخص لديه عيد ميلاد واحد بالضبط ، فإن هذه العلاقة هي وظيفة.

الوظيفة هي واحد لواحد إذا كانت كل قيمة في النطاق تحتوي على عنصر واحد بالضبط في المجال. لكل زوج مرتب في الوظيفة ، كل منهما ذ-تتطابق القيمة مع قيمة (x ) واحدة فقط.

مثالنا على علاقة عيد الميلاد ليس دالة رأس برأس. يمكن لشخصين مشاركة نفس عيد الميلاد. قيمة النطاق 2 أغسطس هي عيد ميلاد ليز ويونيو ، وبالتالي فإن قيمة النطاق الواحدة لها قيمتان للمجال. لذلك ، فإن الوظيفة ليست واحد لواحد.

التعريف ( PageIndex {2} )

الوظيفة هي واحد لواحد إذا كانت كل قيمة في النطاق تتوافق مع عنصر واحد في المجال. لكل زوج مرتب في الوظيفة ، تتم مطابقة كل قيمة (y ) - بقيمة واحدة فقط (x ). لا توجد قيم متكررة (ص ) -.

مثال ( PageIndex {3} )

لكل مجموعة من الأزواج المرتبة ، حدد ما إذا كانت تمثل دالة ، وإذا كان الأمر كذلك ، ما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد.

  1. ({(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)})
  2. ({(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)})

المحلول:

  1. ({(-3,27),(-2,8),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)})

    تتم مطابقة كل قيمة (س ) مع قيمة واحدة فقط (ص ). إذن هذه العلاقة هي دالة.

    لكن كل (y ) - قيمة لا تقترن بواحد فقط (x ) - القيمة ، ((- 3،27) ) و ((3،27) ) ، على سبيل المثال. إذن هذه الوظيفة ليست واحد لواحد.

  2. ({(0,0),(1,1),(4,2),(9,3),(16,4)})

    تتم مطابقة كل قيمة (س ) مع قيمة واحدة فقط (ص ). إذن هذه العلاقة هي دالة.

    نظرًا لأن كل قيمة (y ) - يتم إقرانها بقيمة (x ) - واحدة فقط ، فإن هذه الوظيفة هي واحد لواحد.

تمرين ( PageIndex {5} )

لكل مجموعة من الأزواج المرتبة ، حدد ما إذا كانت تمثل دالة ، وإذا كان الأمر كذلك ، فهي دالة واحد لواحد.

  1. ({(-3,-6),(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)})
  2. ({(-4,8),(-2,4),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,4),(4,8)})
إجابه
  1. وظيفة واحد لواحد
  2. وظيفة؛ لا واحد لواحد

تمرين ( PageIndex {6} )

لكل مجموعة من الأزواج المرتبة ، حدد ما إذا كانت تمثل دالة ، وإذا كان الأمر كذلك ، فهي دالة واحد لواحد.

  1. ({(27,-3),(8,-2),(1,-1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)})
  2. ({(7,-3),(-5,-4),(8,0),(0,0),(-6,4),(-2,2),(-1,3)})
إجابه
  1. ليست وظيفة
  2. وظيفة؛ لا واحد لواحد

لمساعدتنا في تحديد ما إذا كانت العلاقة دالة ، نستخدم اختبار الخط العمودي. مجموعة النقاط في نظام الإحداثيات المستطيلة هي الرسم البياني لوظيفة إذا تقاطع كل خط رأسي مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر. أيضًا ، إذا تقاطع أي خط رأسي مع الرسم البياني في أكثر من نقطة واحدة ، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة.

يمثل الخط العمودي قيمة (x ) - ونتحقق من أنه يتقاطع مع الرسم البياني في قيمة (y ) - واحدة فقط. ثم إنها وظيفة.

للتحقق مما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد ، نستخدم عملية مماثلة. نستخدم خطًا أفقيًا ونتحقق من أن كل خط أفقي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة فقط. يمثل الخط الأفقي قيمة (y ) - ونتحقق من أنه يتقاطع مع الرسم البياني في قيمة (x ) - واحدة فقط. إذا تقاطع كل خط أفقي مع الرسم البياني لدالة ما في نقطة واحدة على الأكثر ، فهي دالة رأس برأس. هذا ال اختبار الخط الأفقي.

التعريف ( PageIndex {3} )

اختبار الخط الأفقي

إذا تقاطع كل خط أفقي مع الرسم البياني لدالة ما في نقطة واحدة على الأكثر ، فهي دالة رأس برأس.

يمكننا اختبار ما إذا كان الرسم البياني للعلاقة دالة باستخدام اختبار الخط العمودي. يمكننا بعد ذلك معرفة ما إذا كانت الوظيفة واحدة لواحد بتطبيق اختبار الخط الأفقي.

مثال ( PageIndex {4} )

يحدد

  1. ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة ، وإذا كان الأمر كذلك ،
  2. سواء كان وجهًا لواحد

المحلول:



  1. الشكل 10.1.40

نظرًا لأن أي خط رأسي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر ، فإن الرسم البياني هو الرسم البياني للدالة. نظرًا لأن أي خط أفقي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر ، فإن الرسم البياني هو الرسم البياني لدالة رأس برأس.

ب.

نظرًا لأن أي خط رأسي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر ، فإن الرسم البياني هو الرسم البياني للدالة. يتقاطع الخط الأفقي الموضح في الرسم البياني مع نقطتين. لا يمثل هذا الرسم البياني دالة رأس برأس.

تمرين ( PageIndex {7} )

يحدد

  1. ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة ، وإذا كان الأمر كذلك ،
  2. سواء كان وجهًا لواحد
إجابه
  1. ليست وظيفة
  2. وظيفة واحد لواحد

تمرين ( PageIndex {8} )

يحدد

  1. ما إذا كان كل رسم بياني يمثل رسمًا بيانيًا لدالة ، وإذا كان الأمر كذلك ،
  2. سواء كان وجهًا لواحد
إجابه
  1. وظيفة؛ لا واحد لواحد
  2. وظيفة واحد لواحد

أوجد عكس الدالة

لنلقِ نظرة على دالة واحد لواحد ، (f ) ، ممثلة بالأزواج المرتبة ( {(0،5) ، (1،6) ، (2،7) ، (3،8) } ). لكل (x ) - قيمة ، (f ) يضيف (5 ) للحصول على (y ) - القيمة. للتراجع عن إضافة (5 ) ، نطرح (5 ) من كل قيمة (ص ) - ونعود إلى القيمة الأصلية (س ). يمكننا تسمية هذا "أخذ معكوس (f )" وتسمية الوظيفة (f ^ {- 1} ).

لاحظ أن الأزواج المرتبة (f ) و (f ^ {- 1} ) لها قيم (x ) - و (y ) - تم عكسها. مجال (f ) هو نطاق (f ^ {- 1} ) ومجال (f ^ {- 1} ) هو نطاق (f ).

التعريف ( PageIndex {4} )

معكوس دالة معرفة بواسطة أزواج مرتبة

إذا كانت (f (x) ) دالة فردية تكون أزواجها المرتبة على شكل ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((y ، x) ).

في المثال التالي سنجد معكوس دالة محددة بواسطة أزواج مرتبة.

مثال ( PageIndex {5} )

أوجد معكوس الدالة ( {(0،3)، (1،5)، (2،7)، (3،9) } ). حدد مجال ومدى الدالة العكسية.

المحلول:

هذه الوظيفة هي واحد لواحد لأن كل قيمة (س ) - تقترن بقيمة (ص ) - واحدة بالضبط.

لإيجاد المعكوس ، نعكس قيم (x ) - القيم و (y ) - في الأزواج المرتبة للدالة.

( start {array} {ll} { text {Function}} & { {(0،3)، (1،5)، (2،7)، (3،9) }} { text {الوظيفة العكسية}} & { {(3،0)، (5،1)، (7،2)، (9،3) }} { text {مجال الوظيفة العكسية}} & { {3، 5، 7، 9 }} { text {Range of Inverse Function}} & { {0، 1، 2، 3 }} end {array} )

تمرين ( PageIndex {9} )

أوجد معكوس ( {(0،4)، (1،7)، (2،10)، (3،13) } ). حدد مجال ومدى الدالة العكسية.

إجابه

دالة عكسية: ( {(4،0)، (7،1)، (10،2)، (13،3) } ). المجال: ( {4،7،10،13 } ). النطاق: ( {0،1،2،3 } ).

تمرين ( PageIndex {10} )

أوجد معكوس ( {(- 1،4)، (- 2،1)، (- 3،0)، (- 4،2) } ). حدد مجال ومدى الدالة العكسية.

إجابه

دالة عكسية: ( {(4، -1)، (1، -2)، (0، -3)، (2، -4) } ). المجال: ( {0،1،2،4 } ). النطاق: ( {- 4، -3، -2، -1 } ).

لقد لاحظنا للتو أنه إذا كانت (f (x) ) دالة فردية تكون أزواجها المرتبة على الشكل ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((y، x) ).

لذلك إذا كانت النقطة ((أ ، ب) ) على الرسم البياني للدالة (f (x) ) ، فإن الزوج المرتب ((b ، a) ) موجود على الرسم البياني (f ^ {- 1} (س) ). انظر الشكل 10.1.43.

المسافة بين أي زوجين ((أ ، ب) ) و ((ب ، أ) ) يتم قطعها إلى النصف من خلال السطر (ص = س ). لذلك نقول أن النقاط عبارة عن صور معكوسة لبعضها البعض من خلال السطر (y = x ).

نظرًا لأن كل نقطة على الرسم البياني للدالة (f (x) ) هي صورة معكوسة لنقطة على الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} (x) ) ، فإننا نقول إن الرسوم البيانية هي صور معكوسة لـ بعضها البعض عبر السطر (ص = س ). سنستخدم هذا المفهوم لرسم معكوس دالة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {6} )

رسم بياني ، على نفس نظام الإحداثيات ، معكوس دالة واحد لواحد المعروضة.

المحلول:

يمكننا استخدام النقاط على الرسم البياني لإيجاد نقاط على الرسم البياني المعكوس. بعض النقاط على الرسم البياني هي: ((- 5 ، −3) ، (- 3 ، −1) ، (- 1،0) ، (0،2) ، (3،4) ).

لذلك ، ستحتوي الدالة العكسية على النقاط: ((- 3 ، −5) ، (- 1 ، −3) ، (0 ، −1) ، (2،0) ، (4،3) ).

لاحظ كيف أن الرسم البياني للوظيفة الأصلية والرسم البياني للوظائف العكسية عبارة عن صور معكوسة عبر السطر (y = x ).

تمرين ( PageIndex {11} )

رسم بياني ، على نفس نظام الإحداثيات ، معكوس دالة واحد لواحد.

إجابه

تمرين ( PageIndex {12} )

رسم بياني ، على نفس نظام الإحداثيات ، معكوس دالة واحد لواحد.

إجابه

عندما بدأنا مناقشتنا للدالة العكسية ، تحدثنا عن كيف أن الدالة العكسية "تبطل" ما فعلته الوظيفة الأصلية لقيمة في مجالها من أجل العودة إلى القيمة الأصلية (x ) - القيمة.

التعريف ( PageIndex {5} )

وظائف معكوسة

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ) ، لجميع (x ) في مجال (f )

(f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ) ، لجميع (x ) في مجال (f ^ {- 1} )

يمكننا استخدام هذه الخاصية للتحقق من أن وظيفتين مقلوبتان لبعضهما البعض.

تمرين ( PageIndex {13} )

تحقق من أن الوظائف هي دوال عكسية. (f (x) = 4 x-3 ) و (g (x) = frac {x + 3} {4} ).

إجابه

(g (f (x)) = x ) و (f (g (x)) = x ) ، لذا فهي مقلوبة.

تمرين ( PageIndex {14} )

تحقق من أن الوظائف هي دوال عكسية. (f (x) = 2 x + 6 ) و (g (x) = frac {x-6} {2} )

إجابه

(g (f (x)) = x، ) و (f (g (x)) = x، ) لذا فهي مقلوبة.

لقد وجدنا انعكاسات دالة محددة بواسطة أزواج مرتبة ومن رسم بياني. سننظر الآن في كيفية إيجاد المعكوس باستخدام معادلة جبرية. تستخدم الطريقة فكرة أنه إذا كانت (f (x) ) دالة واحد لواحد مع أزواج مرتبة ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x ) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((ص ، س) ).

إذا عكسنا (x ) و (y ) في الوظيفة ثم حللنا من أجل (y ) ، نحصل على وظيفة عكسية.

مثال ( PageIndex {8} ) كيفية البحث عن معكوس دالة واحد لواحد

أوجد معكوس (f (x) = 4 x + 7 ).

المحلول:

الخطوة 1. استبدل (y ) بـ (f (x) ).استبدل (f (x) ) بـ (y ). ( start {align} f (x) & = 4 x + 7 y & = 4 x + 7 end {align} )
الخطوة 2: تبادل المتغيرات (س ) و (ص ).استبدل (x ) بـ (y ) ثم (y ) بـ (x ). (س = 4 ص + 7 )
الخطوه 3: حل من أجل (ص ).

اطرح (7 ) من كل جانب.

اقسم على (4 ).

(س -7 = 4 ص )
( فارك {x-7} {4} = ص )
الخطوة 4: استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).استبدل (y ) بـ (f ^ {- 1} (x) ). ( frac {x-7} {4} = f ^ {- 1} (x) )
الخطوة الخامسة: تحقق من أن الوظائف مقلوبة.

إظهار (f ^ {- 1} (f (x)) = x )

و (f يسار (f ^ {- 1} (x) right) = x )

( begin {align} f ^ {- 1} (f (x)) & stackrel {؟} {=} x f ^ {- 1} (4x + 7) & stackrel {؟} {= } x frac {(4x + 7) -7} {4} & stackrel {؟} {=} x frac {4x} {4} & stackrel {؟} {=} x x & = x f (f ^ {- 1} (x)) & stackrel {؟} {=} x f left ( frac {x-7} {4} right) & مكدس {؟} {=} x 4 left ( frac {x-7} {4} right) + 7 & stackrel {؟} {=} x x-7 + 7 & stackrel {؟ } {=} x x & = x end {align} )
الجدول 10.1.7

تمرين ( PageIndex {15} )

أوجد معكوس الدالة (f (x) = 5x-3 ).

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = frac {x + 3} {5} )

تمرين ( PageIndex {16} )

أوجد معكوس الدالة (f (x) = 8 x + 5 ).

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = frac {x-5} {8} )

نلخص الخطوات أدناه.

كيف تجد معكوس دالة واحد لواحد

  1. استبدل (y ) بـ (f (x) ).
  2. بدّل المتغيرات (س ) و (ص ).
  3. حل من أجل (ص ).
  4. استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).
  5. تحقق من أن الوظائف مقلوبة.

مثال ( PageIndex {9} ) كيفية البحث عن معكوس دالة واحد لواحد

أوجد معكوس (f (x) = sqrt [5] {2 x-3} ).

المحلول:

(f (x) = sqrt [5] {2 x-3} )

استبدل (y ) بـ (f (x) ).

(y = sqrt [5] {2 x-3} )

بدّل المتغيرات (س ) و (ص ).

(x = sqrt [5] {2 y-3} )

حل من أجل (ص ).

استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +3} {2} )

تحقق من أن الوظائف مقلوبة.

( start {array} {rr} {f ^ {- 1} (f (x)) stackrel {؟} {=} x} & {f left (f ^ {- 1} (x) right ) stackrel {؟} {=} x} {f ^ {- 1} ( sqrt [5] {2x-3}) stackrel {؟} {=} x} & {f left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right)} stackrel {؟} {=} x { frac {( sqrt [5] {2x-3}) ^ {5} +3} {2} stackrel {؟} {=} x} & { sqrt [5] {2 left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right) -3} stackrel {؟} {=} x} { frac {2x-3 + 3} {2} stackrel {؟} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5} + 3-3} stackrel {؟} {=} x} { frac {2x} {2} stackrel {؟} {=} x} & { sqrt [5] {x ^ {5}} stackrel {؟} {= } x} {x = x} & {x = x} end {array} )

تمرين ( PageIndex {17} )

أوجد معكوس الدالة (f (x) = sqrt [5] {3 x-2} ).

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +2} {3} )

تمرين ( PageIndex {18} )

أوجد معكوس الدالة (f (x) = sqrt [4] {6 x-7} ).

إجابه

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {4} +7} {6} )

المفاهيم الرئيسية

  • تكوين الدوال: تكوين الدوال (f ) و (g ) مكتوب (f∘g ) ويتم تحديده بواسطة

    ((f circ g) (x) = f (g (x)) )

    نقرأ (f (g (x)) ) كـ (f ) من (g ) من (x ).
  • اختبار الخط الأفقي: إذا تقاطع كل خط أفقي مع الرسم البياني لدالة في نقطة واحدة على الأكثر ، فهي دالة رأس برأس.
  • معكوس دالة محددة بواسطة أزواج مرتبة: إذا كانت (f (x) ) دالة فردية تكون أزواجها المرتبة على شكل ((x، y) ) ، فإن وظيفتها العكسية (f ^ {- 1} (x) ) هي مجموعة الأزواج المرتبة ((y ، x) ).
  • وظائف معكوسة: لكل (x ) في مجال دالة واحد لواحد (f ) و (f ^ {- 1} ) ،

    (و ^ {- 1} (و (س)) = س )
    (و يسار (و ^ {- 1} (س) يمين) = س )

  • كيف تجد معكوس دالة واحد لواحد:
    1. استبدل (y ) بـ (f (x) ).
    2. بدّل المتغيرات (س ) و (ص ).
    3. حل من أجل (ص ).
    4. استبدل (f ^ {- 1} (x) ) بـ (y ).
    5. تحقق من أن الوظائف مقلوبة.

قائمة المصطلحات

وظيفة واحد لواحد
تكون الوظيفة واحدة لواحد إذا كانت كل قيمة في النطاق تحتوي على عنصر واحد بالضبط في المجال. لكل زوج مرتب في الوظيفة ، تتم مطابقة كل قيمة (y ) - بقيمة واحدة فقط (x ).

7.1: إيجاد الدوال المركبة والمعكوسة - الرياضيات

وظائف معكوسة & # 8211
في الرياضيات ، يُقال أن الدالة a هي معكوس أخرى ، b ، إذا أعطيت ناتج b a فتُرجع قيمة الإدخال المعطاة لـ b. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن يكون هذا صحيحًا لكل عنصر في المجال المشترك (النطاق) من b. بعبارة أخرى ، بافتراض أن x و y ثوابت ، إذا كانت b (x) = y و a (y) = x ، فيُقال أن الدالة a معكوس للدالة b.

مثال على الدالة العكسية & # 8211
ضع في اعتبارك الدالتين a (x) = 5x + 2 و b (y) = (y-2) / 5. هنا الوظيفة b هي دالة عكسية لـ a. يمكننا أن نرى هذا عن طريق إدخال القيم في الوظائف. على سبيل المثال عندما تكون x هي 1 يكون ناتج a هو (1) = 5 (1) + 2 = 7. استخدام هذا الناتج كـ y في الدالة b يعطي b (7) = (7-2) / 5 = 1 الذي كان قيمة الإدخال لتعمل أ.

  • f و g كلاهما وظيفتان واحد لواحد. تقوم وظائف واحد إلى واحد بتعيين كل قيمة في مجالها إلى قيمة واحدة بالضبط في المجال المشترك (النطاق). مثال على وظيفة واحد إلى واحد هو f (x) = x
  • المجال المشترك (المدى) لـ f هو مجال g والعكس صحيح

ملحوظة: بعض الوظائف قابلة للعكس فقط لمجموعة من القيم المحددة في مجالها. في هذه الحالة ، يقتصر كل من نطاق ومجال الدالة العكسية على تلك القيم فقط.

وظائف مركبة & # 8211
الوظيفة المركبة هي وظيفة يكون مدخلها وظيفة أخرى. لذلك ، إذا كان لدينا وظيفتان A (x) ، ترسمان العناصر من المجموعة B إلى المجموعة C ، و D (x) ، والتي ترسم من المجموعة C إلى المجموعة E ، فإن مركب هاتين الوظيفتين ، مكتوب كـ DoA، هي وظيفة تحدد العناصر من B إلى E ، أي DoA = D (A (x)).
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الدالتين A (x) = 5x + 2 و B (x) = x + 1. الوظيفة المركبة AoB = A (B (x)) = 5 (x + 1) + 2.

  • بالنظر إلى الوظيفة المركبة ضباب = f (g (x)) يجب أن يكون المجال المشترك لـ g مجموعة فرعية ، أي مجموعة فرعية مناسبة أو غير مناسبة ، من مجال f
  • الدوال المركبة ترابطية. بالنظر إلى الوظيفة المركبة أ س ب س ج ترتيب العملية غير ذي صلة ، أي (أ س ب) س ج = أ س (ب س ج).
  • الدوال المركبة ليست تبادلية. وبالتالي AoB ليس هو نفسه أفعى. باستخدام المثال A (x) = 5x + 2 و B (x) = x + 1 AoB = A (B (x)) = 5 (x + 1) + 2 حين أفعى = B (A (x)) = (5x + 2) + 1.

القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. تدرب على امتحان GATE قبل الامتحان الفعلي بفترة طويلة من خلال الاختبارات الشاملة حسب الموضوع والمتاحة في دورة سلسلة اختبارات GATE.


دوال مركبة

الوظيفة المركبة هي دالة يتم إنشاؤها عند استخدام دالة كقيمة إدخال لدالة أخرى. بشكل أساسي ، يصبح ناتج الوظيفة الداخلية (الوظيفة المستخدمة كقيمة إدخال) مدخلات الوظيفة الخارجية (القيمة الناتجة).

بالنسبة للوظائف f (x) و g (x) ، عند استخدام g (x) كمدخل لـ f (x) ، تتم كتابة الوظيفة المركبة على النحو التالي:

يشير الرمز المركب & إلى دالة مركبة - يبدو مشابهًا لرمز الضرب ، ⋅ ، لكنه لا يعني نفس الشيء. (f & compfn g) (x) هو نفس الشيء مثل f (g (x)).

(f & compfn g) (x) ليست هي نفسها (g & compfn f) (x). (g & compfn f) (x) هي نفس الشيء مثل g (f (x)) ، والتي غالبًا ما تكون مختلفة عن f (g (x)).

يمكنك استخدام الدوال المركبة للتحقق مما إذا كانت وظيفتان معكوستان لبعضهما البعض لأنها ستتبع القاعدة:

يمكنك إيجاد مركب من دالتين عن طريق استبدال كل x في الدالة الخارجية بمعادلة الدالة الداخلية (الإدخال).

معطى: f (x) = 4x 2 + 3 g (x) = 2x + 1

تمامًا كما هو الحال مع الوظائف العكسية ، تحتاج إلى تطبيق قيود المجال حسب الضرورة على الوظائف المركبة. يجب أن يلتزم المركب المكون من وظيفتين f (x) و g (x) بقيود المجال لـ f (x) و g (x). في المثال أعلاه ، تحتوي كلتا الوظيفتين على مجالات لجميع الأرقام الحقيقية ، لذلك لم يكن لدوالهما المركبة أي قيود على المجال أيضًا.

لنلقِ نظرة على مثال تنطبق عليه قيود المجال.

على الرغم من أن g (x) = x 2 لها مجال لجميع الأعداد الحقيقية ، إلا أن المجال لها [0، & infin). لذلك ، فإن الوظيفة المركبة (f & compfn g) (x) و (g & compfn f) (x) كلاهما لهما قيود مجال [0، & infin).


MAT 112 الرياضيات القديمة والمعاصرة

نجمع بين وظيفتين للحصول على دالة جديدة باستخدام تركيب الدالة. بالنظر إلى وظيفتين (f ) و (g ) نقوم بإنشاء وظيفة جديدة بحيث تكون صورة (a ) في مجال (f ) هي (g (f (a)) text <.> ) لحساب (g (f (a)) ) نطبق أولاً (f ) لتحديد (f (a) text <،> ) ثم نطبق (g ) على النتائج. يعمل هذا فقط إذا كان (f (a) ) في مجال (g text <.> )

التعريف 7.3.1.

اسمح (f Colon A to B text <،> ) ودع (g Colon B to C text <.> ) يكون (g circ f text <،> ) هو الوظيفة (g circ f Colon A to C ) المحددة بواسطة

نقرأ (g circ f ) على أنها "مركب (الوظائف) (g ) و (f text <.> )" قرأنا ((g circ f) (x) ) كـ "مركب من (g ) و (f ) لـ (x )" أو كـ " (g ) لـ (f ) لـ (x text <.> )"

نقطة تفتيش 7.3.2. تعريف الوظيفة المركبة.

يمكننا تخفيف الشروط على المجال ومجال الرمز (f ) و (g ) فقط من خلال اشتراط أن يكون المجال الرمزي لـ (f ) مجموعة فرعية من مجال (g text <.> )

في الفيديو في الشكل 7.3.3 ، نحفز تكوين الوظائف ونعطي أمثلة.

تقييم الوظائف المركبة ليس أكثر صعوبة من تقييم الوظائف.

مثال 7.3.4. حساب مركب من وظيفتين.

دع (f: <1،2،3،4،5 > to Z ) يُعطى بواسطة (f (x) = 3 cdot x ) و (g: Z to Z ) من خلال (g (x) = x + 2 text <.> )

لنفترض أن (h: = g circ f ) هو مركب (f ) و (g text <.> ) مجال (g circ f ) هو مجال (f ) ) وهي ( <1،2،3،4،5 > ) والمجال الرمزي لـ (g circ f ) هو ( Z ) وهو المجال السري لـ (g text < ،> ) باختصار:

نقيم (ح ) في عدة أعداد صحيحة.

أولاً نحسب (ح (5) نص <.> ) من خلال تعريف (ح ) كمركب (و ) و (ز ) لدينا

نقيم (g (f (5)) ) من الداخل إلى الخارج. نستخدم أولاً تعريف (f ) لإيجاد (f (5) = 3 cdot 5 = 15 text <.> ) ثم نقوم بتقييم (g ) في نتيجة هذا الحساب ، أي 15 . نحن نحصل

مثال 7.3.5. مركب من ( mathrm) و ( mathrm).

نستخدم الدوال ( mathrm القولون N to I ) و ( mathrm القولون I إلى G ) من المثال 7.1.5 والمثال 7.1.7 الوارد في الجداول في الشكل 7.1.4 والشكل 7.1.6 على التوالي.

للعثور على درجة الطالب ، نحتاج أولاً إلى البحث عن رقم تعريف الطالب في الجدول من الشكل 7.1.4 ثم باستخدام رقم التعريف ، ابحث عن الدرجة في الجدول من الشكل 7.1.4.

لذلك للعثور على درجة أليس ، نبحث أولاً عن رقم تعريفها في الشكل 7.1.4 ونجد أنه 1001. من الشكل 7.1.6 ، حصلنا على أن درجة الطالب برقم التعريف 1001 هي (B text <. > ) وبالتالي فإن درجة أليس في MAT 112 هي (B text <.> )

الآن نقوم بصياغة هذه العملية من حيث تكوين الوظيفة: الوظيفة المركبة

إعطاء اسم الطالب يعطي درجة الطالب. مجال ( mathrm دائرة نص) هي مجموعة أسماء الطلاب والمجال المشترك لـ ( mathrm دائرة نص) هي المجموعة (G = ) الدرجات. نحن نحصل

في الشكل 7.3.9 ، نعطي مثالاً على مركب من وظيفتين معطاهما في الرسم التخطيطي.

نقطة تفتيش 7.3.6. قيم دالة مركبة.
مثال 7.3.7. مركب من وظيفتين جبريتين.

دع (s: N to N ) يتم تقديمها بواسطة (s (n): = n ^ 2 ) كما في المثال 7.1.10 ، ودع (m: N to Z_5 ) تُعطى بواسطة (m (a): = a fmod 5 ) كما في المثال 7.1.11.

الوظيفة المركبة (m circ s ) هي دالة من ( N ) إلى ( Z_5 text <،> ) ولدينا ذلك ((m circ s) (n) = m left (s (n) right) = m (n ^ 2) = n ^ 2 fmod 5 ) لكل (n in N text <.> ) لاحظ أن القاعدة الجبرية لـ ( m circ s ) هي نفس القاعدة الجبرية للدالة (g ) في الشكل 7.1.9. ومع ذلك ، فإن (m circ s neq g ) نظرًا لأن مجال (m circ s ) هو ( N ) ومجال (g ) هو ( Z_5 text <. > )

الترتيب الذي تتكون به الوظائف مهم ، أي أن هناك وظائف (f ) و (g ) مثل (g circ f neq f circ g text <.> )

مثال 7.3.8. ترتيب التكوين مهم.

نظهر أن ترتيب تكوين الوظيفة مهم. دعونا (f: N to N ) معطى من قبل (f (n): = 2 cdot n ) و (g: N to N ) معطى من قبل (g (m) : = m ^ 2 text <.> ) تسمح لنا مجالات (f ) و (g ) بتكوين التركيبات (g circ f ) و (f circ g text < .> ) لإثبات أن (f circ g ) لا يساوي (g circ f ) نحتاج فقط إلى إيجاد (b in N ) مع ((g circ f ) (b) ne (f circ g) (b) text <.> ) بالنسبة لـ (b = 3 ) لدينا


3 إجابات 3

$ f، g $ هي الوظائف المحددة في السؤال.

أو ما يعادله ، من خلال تعريف الدالة العكسية $ f ^ <-1> $

أو ما يعادله ، من خلال تعريف الدالة العكسية $ g ^ <-1> $

بعد الجمع بين $ (A) $ و $ (B) $ ، نحصل على

ومن ثم ، بحكم التعريف ، القيمة عند $ c $ للدالة العكسية $ (g circ f) ^ <-1> $ ، هي

من $ (1) $ و $ (3) $ نستنتج أنه لهذه الدوال $ f، g $ وعكساتهما $ f ^ <-1>، g ^ <-1> $ تحمل الهوية التالية:

ما فعلته حتى الآن هو حساب $ f ^ <-1> $ و $ g ^ <-1> $ و $ f ^ <-1> circ g ^ <-1> $. الآن تريد محاولة العثور على $ (g circ f) ^ <-1> $ مباشرةً ، وقارن ذلك بما قمت بحسابه (من أجل التحقق من الصيغة).

لذا ، فقد اكتشفت أن $ (g circ f) (a) = frac <2a + 1> <3> $. كيف نكتشف $ (g circ f) ^ <-1> $؟

بالضبط بنفس الطريقة التي نحسب بها معكوس أي دالة. إذا أوقفك أحدهم في الشارع ، صوب مسدسه نحوك وقال

"هنا ، لدي هذه الوظيفة: $ h (a) = frac <2a + 1> <3>، $ أحتاج إلى صيغة $ h ^ <-1> $. أعطها لي أو سأطلق النار عليك !

فأنت لست بحاجة إلى معرفة أين جاءت هذه الوظيفة ، كل ما عليك فعله هو معرفة المعكوس: $ start b & amp = frac <2a + 1> <3> 3b & amp = 2a + 1 3b-1 & amp = 2a & amp vdots end$ إلخ. عند الانتهاء ولديك معادلة لـ $ h ^ <-1> (a) = (g circ f) ^ <-1> (a) $ ، يمكنك مقارنتها بالصيغة التي وجدتها لـ $ f ^ <-1> circ g ^ <-1> $ وتحقق من حصولك على نفس الوظيفة.


تقييد المجالات لإيجاد المعكوسات

يعد تقييد المجال مهمًا للوظائف العكسية للأس واللوغاريتمات لأننا في بعض الأحيان نحتاج إلى إيجاد معكوس فريد.

أهداف التعلم

تحديد انعكاسات الوظائف عن طريق تقييد المجالات الخاصة بهم

الماخذ الرئيسية

النقاط الرئيسية

  • يتم تعريف [اللاتكس] f ^ <-1> (x) [/ latex] على أنه الوظيفة العكسية لـ [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] إذا كانت تعكس باستمرار [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] معالجة.
  • بشكل غير رسمي ، تقييد وظيفة [اللاتكس] f [/ اللاتكس] هو نتيجة لاقتطاع مجالها.
  • [اللاتكس] f (x) =لا يحتوي ^ <2> [/ latex] ، بدون أي قيود على المجال ، على وظيفة عكسية ، لأنه يفشل في اختبار الخط الأفقي.

الشروط الاساسية

وظائف معكوسة

يتم تعريف [اللاتكس] f ^ <-1> (x) [/ latex] على أنه الوظيفة العكسية لـ [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] إذا كانت تعكس باستمرار [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] معالجة. بمعنى ، إذا حول [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] [اللاتكس] a [/ اللاتكس] إلى [اللاتكس] b [/ اللاتكس] ، فيجب أن تحويل [لاتكس] ب [/ لاتكس] إلى [لاتكس] أ [/ لاتكس]. بشكل أكثر إيجازًا ورسمية ، [اللاتكس] f ^ <-1> x [/ latex] هي الوظيفة العكسية لـ [اللاتكس] f (x) [/ اللاتكس] إذا [لاتكس] f (^ <-1> (x)) = x [/ لاتكس].

الدالات العكسية & # 8217 المجال والمدى: إذا كانت [latex] f [/ latex] خرائط [latex] X [/ latex] إلى [latex] Y [/ latex] ، فإن خرائط [latex] f ^ <-1> [/ latex] [latex] Y [/ latex ] العودة إلى [اللاتكس] X [/ اللاتكس].

قيود المجال: القطع المكافئ

بشكل غير رسمي ، يكون تقييد الوظيفة نتيجة لتقليص مجالها. تذكر ذلك:

إذا كانت [latex] f [/ latex] خرائط [latex] X [/ latex] إلى [latex] Y [/ latex] ، فإن خرائط [latex] f ^ <-1> [/ latex] [latex] Y [/ latex ] العودة إلى [اللاتكس] X [/ اللاتكس]. هذا ليس صحيحًا بالنسبة للدالة [اللاتكس] f (x) = x ^ 2 [/ latex].

بدون أي قيود على المجال ، لا تحتوي [اللاتكس] f (x) = x ^ 2 [/ latex] على دالة عكسية لأنها تفشل في اختبار الخط الأفقي. ولكن إذا حددنا المجال ليكون [لاتكس] x & gt 0 [/ لاتكس] ، فسنجد أنه يجتاز اختبار الخط الأفقي وبالتالي لديه وظيفة عكسية. يوجد أدناه الرسم البياني للقطع المكافئ و & # 8220inverse. & # 8221 لاحظ أن القطع المكافئ لا يحتوي على & # 8220true & # 8221 معكوس لأن الوظيفة الأصلية فشلت في اختبار الخط الأفقي ويجب أن يكون لها مجال مقيد ليكون لها معكوس.

فشل اختبار الخط الأفقي: رسم بياني للقطع المكافئ بالمعادلة [اللاتكس] y = x ^ 2 [/ latex] ، يفتح المنحنى على شكل U. فشلت هذه الدالة في اختبار الخط الأفقي ، وبالتالي لا يوجد لها معكوس. المعادلة العكسية [اللاتكس] y = sqrt[/ لاتكس] (رسم بياني آخر) يتضمن فقط قيم الإدخال الإيجابية لمجال القطع المكافئ & # 8217s. ومع ذلك ، إذا حددنا المجال ليكون [اللاتكس] x & gt0 [/ اللاتكس] ، فسنجد أنه يجتاز اختبار الخط الأفقي وسيطابق الوظيفة العكسية.

تقييد المجال: الدالات الأسية واللوغاريتمية

تقييد المجال مهم للوظائف العكسية للأس واللوغاريتمات لأننا في بعض الأحيان نحتاج إلى إيجاد معكوس فريد. معكوس الدالة الأسية دالة لوغاريتمية ، وعكس الدالة اللوغاريتمية هو دالة أسية.

مثال 1

هل [latex] x = 0 [/ latex] في مجال الوظيفة [latex] f (x) = log (x) [/ latex]؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما قيمة الوظيفة عندما [اللاتكس] x = 0 [/ اللاتكس]؟ تحقق من النتيجة.

لا ، الوظيفة ليس لها قيمة محددة لـ [لاتكس] x = 0 [/ لاتكس]. للتحقق ، افترض أن [latex] x = 0 [/ latex] في مجال الوظيفة [latex] f (x) = log (x) [/ latex]. ثم هناك بعض الأرقام [اللاتكس] n [/ اللاتكس] مثل أن [اللاتكس] n = السجل (0) [/ اللاتكس]. تعطي إعادة الكتابة كمعادلة أسية: [اللاتكس] 10n = 0 [/ اللاتكس] ، وهو أمر مستحيل نظرًا لعدم وجود مثل هذا الرقم الحقيقي [اللاتكس] n [/ اللاتكس]. لذلك ، [latex] x = 0 [/ latex] ليس في مجال الوظيفة [اللاتكس] f (x) = log (x) [/ latex].


إيجاد الدوال المركبة والمعكوسة

في هذا الفصل ، سوف نقدم نوعين جديدين من الوظائف ، الوظائف الأسية والوظائف اللوغاريتمية. يتم استخدام هذه الوظائف على نطاق واسع في الأعمال والعلوم كما سنرى.

البحث عن وتقييم الوظائف المركبة

قبل أن نقدم الوظائف ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على عملية أخرى على وظائف تسمى تكوين. في التكوين ، ناتج وظيفة واحدة هو إدخال دالة ثانية. للوظائف و

التكوين مكتوب f g

ويتم تعريفه بواسطة (f ∘ g) (x) = f (g (x)).

لعمل تكوين ، إخراج الوظيفة الأولى ، g (x) ،

يصبح مدخلات الوظيفة الثانية ، F، ولذا يجب أن نتأكد من أنه جزء من مجال F.

تكوين الوظائف F و ز هو مكتوب f · g

لقد استخدمنا بالفعل التركيب دون استخدام الترميز عدة مرات من قبل. عندما قمنا برسم وظائف تربيعية باستخدام الترجمات ، كنا نؤلف وظائف. على سبيل المثال ، إذا رسمنا الرسم البياني لأول مرة g (x) = x 2

كعنصر مكافئ ثم نقله لأسفل رأسيًا بأربع وحدات ، كنا نستخدم التركيبة المحددة بواسطة (f ∘ g) (x) = f (g (x))

سيوضح المثال التالي أن (f g) (x) ،

عادة ما ينتج عنه نواتج مختلفة.

للوظائف f (x) = 4 x - 5

استخدم تعريف (f ∘ g) (x).

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | نشر. | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”>

استخدم تعريف (f ∘ g) (x).

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | نشر. | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”>

لاحظ الفرق في النتيجة في الجزء والجزء.

يختلف عن (f ∘ g) (x).

في الجزء ⓐ قمنا بتكوين الوظائف. الآن جزئيًا ⓒ نحن لا نؤلفهم ، نحن نضاعفهم. * * *

استخدم تعريف (f · g) (x). (f · g) (x) = f (x) · g (x) عوّض f (x) = 4 x - 5 و g (x) = 2 x + 3. (f · g) (x) = (4 x - 5) · (2 ​​x + 3) اضرب. (و · ز) (س) = 8 × 2 + 2 × - 15

للوظائف f (x) = 3 x - 2

للوظائف f (x) = 4 x - 3 ،

في المثال التالي سنقوم بتقييم تركيبة لقيمة محددة.

للوظائف f (x) = x 2-4 ،

استخدم تعريف (f ∘ g) (−3).

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”>

استخدم تعريف (g ∘ f) (1).

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”>

استخدم تعريف (f ∘ f) (2).

| | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”> | تبسيط. | | <: valign = ”top”>

للوظائف f (x) = x 2-9 ،

للوظائف f (x) = x 2 + 1 ،

تحديد ما إذا كانت الوظيفة هي واحد لواحد

عندما قدمنا ​​الوظائف لأول مرة ، قلنا أ وظيفة هي علاقة تسند لكل عنصر في مجاله عنصرًا واحدًا بالضبط في النطاق. لكل زوج مرتب في العلاقة ، كل منهما x-value is matched with only one ذ-القيمة.

We used the birthday example to help us understand the definition. Every person has a birthday, but no one has two birthdays and it is okay for two people to share a birthday. Since each person has exactly one birthday, that relation is a function.

A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each ذ-value is matched with only one x-القيمة.

Our example of the birthday relation is not a one-to-one function. Two people can share the same birthday. The range value August 2 is the birthday of Liz and June, and so one range value has two domain values. Therefore, the function is not one-to-one.

A function is one-to-one if each value in the range corresponds to one element in the domain. For each ordered pair in the function, each ذ-value is matched with only one x-القيمة. There are no repeated ذ-القيم.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.

Each x-value is matched with only one ذ-القيمة. So this relation is a function.

But each ذ-value is not paired with only one x-value, ( −3 , 27 )

for example. So this function is not one-to-one.

Each x-value is matched with only one ذ-القيمة. So this relation is a function.

Since each ذ-value is paired with only one x-value, this function is one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

To help us determine whether a relation is a function, we use the اختبار الخط العمودي. A set of points in a rectangular coordinate system is the graph of a function if every vertical line intersects the graph in at most one point. Also, if any vertical line intersects the graph in more than one point, the graph does not represent a function.

The vertical line is representing an x-value and we check that it intersects the graph in only one ذ-القيمة. Then it is a function.

To check if a function is one-to-one, we use a similar process. We use a horizontal line and check that each horizontal line intersects the graph in only one point. The horizontal line is representing a ذ-value and we check that it intersects the graph in only one x-القيمة. If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function. هذا ال horizontal line test.

If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function.

We can test whether a graph of a relation is a function by using the vertical line test. We can then tell if the function is one-to-one by applying the horizontal line test.

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. Since any horizontal line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a one-to-one function.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. The horizontal line shown on the graph intersects it in two points. This graph does not represent a one-to-one function.

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

ⓐ Not a function ⓑ One-to-one function

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

ⓐ Function not one-to-one ⓑ One-to-one function

Find the Inverse of a Function

Let’s look at a one-to one function, f

, represented by the ordered pairs < ( 0 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 8 ) >.

-القيمة. To ‘undo’ the addition of 5, we subtract 5 from each y

-value and get back to the original x

-القيمة. We can call this “taking the inverse of f

” and name the function f −1 .

Notice that that the ordered pairs of f

-values reversed. The domain of f

is a one-to-one function whose ordered pairs are of the form ( x , y ) ,

then its inverse function f −1 ( x )

is the set of ordered pairs ( y , x ) .

In the next example we will find the inverse of a function defined by ordered pairs.

Find the inverse of the function < ( 0 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 9 ) >.

Determine the domain and range of the inverse function.

This function is one-to-one since every x

-value is paired with exactly one y

To find the inverse we reverse the x

-values in the ordered pairs of the function.* * *

Function < ( 0 , 3 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 7 ) , ( 3 , 9 ) >Inverse Function < ( 3 , 0 ) , ( 5 , 1 ) , ( 7 , 2 ) , ( 9 , 3 ) >Domain of Inverse Function < 3 , 5 , 7 , 9 >Range of Inverse Function


10.1 Finding Composite and Inverse Functions

In this chapter, we will introduce two new types of functions, exponential functions and logarithmic functions. These functions are used extensively in business and the sciences as we will see.

Find and Evaluate Composite Functions

Before we introduce the functions, we need to look at another operation on functions called composition . In composition, the output of one function is the input of a second function. For functions f f and g , g , the composition is written f ∘ g f ∘ g and is defined by ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) . ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) .

Composition of Functions

The composition of functions f و ز is written f ∘ g f ∘ g and is defined by

We have actually used composition without using the notation many times before. When we graphed quadratic functions using translations, we were composing functions. For example, if we first graphed g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 as a parabola and then shifted it down vertically four units, we were using the composition defined by ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) where f ( x ) = x − 4 . f ( x ) = x − 4 .

مثال 10.1

المحلول

Notice the difference in the result in part ⓐ and part ⓑ .

In the next example we will evaluate a composition for a specific value.

مثال 10.2

المحلول

Determine Whether a Function is One-to-One

When we first introduced functions, we said a function is a relation that assigns to each element in its domain exactly one element in the range. For each ordered pair in the relation, each x-value is matched with only one ذ-القيمة.

We used the birthday example to help us understand the definition. Every person has a birthday, but no one has two birthdays and it is okay for two people to share a birthday. Since each person has exactly one birthday, that relation is a function.

A function is one-to-one if each value in the range has exactly one element in the domain. For each ordered pair in the function, each ذ-value is matched with only one x-القيمة.

Our example of the birthday relation is not a one-to-one function. Two people can share the same birthday. The range value August 2 is the birthday of Liz and June, and so one range value has two domain values. Therefore, the function is not one-to-one.

One-to-One Function

A function is one-to-one if each value in the range corresponds to one element in the domain. For each ordered pair in the function, each ذ-value is matched with only one x-القيمة. There are no repeated ذ-القيم.

مثال 10.3

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and, if so, if the function is one-to-one.

المحلول

Each x-value is matched with only one ذ-القيمة. So this relation is a function.

Each x-value is matched with only one ذ-القيمة. So this relation is a function.

Since each ذ-value is paired with only one x-value, this function is one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

For each set of ordered pairs, determine if it represents a function and if so, is the function one-to-one.

To help us determine whether a relation is a function, we use the vertical line test . A set of points in a rectangular coordinate system is the graph of a function if every vertical line intersects the graph in at most one point. Also, if any vertical line intersects the graph in more than one point, the graph does not represent a function.

The vertical line is representing an x-value and we check that it intersects the graph in only one ذ-القيمة. Then it is a function.

To check if a function is one-to-one, we use a similar process. We use a horizontal line and check that each horizontal line intersects the graph in only one point. The horizontal line is representing a ذ-value and we check that it intersects the graph in only one x-القيمة. If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function. This is the horizontal line test .

اختبار الخط الأفقي

If every horizontal line intersects the graph of a function in at most one point, it is a one-to-one function.

We can test whether a graph of a relation is a function by using the vertical line test. We can then tell if the function is one-to-one by applying the horizontal line test.

مثال 10.4

Determine ⓐ whether each graph is the graph of a function and, if so, ⓑ whether it is one-to-one.

المحلول

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. Since any horizontal line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a one-to-one function.

Since any vertical line intersects the graph in at most one point, the graph is the graph of a function. The horizontal line shown on the graph intersects it in two points. This graph does not represent a one-to-one function.

Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.

Determine whether each graph is the graph of a function and, if so, whether it is one-to-one.

Find the Inverse of a Function

Inverse of a Function Defined by Ordered Pairs

In the next example we will find the inverse of a function defined by ordered pairs.

مثال 10.5

المحلول

مثال 10.6

Graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to one function shown.

المحلول

We can use points on the graph to find points on the inverse graph. Some points on the graph are: ( −5 , −3 ) , ( −3 , −1 ) , ( −1 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 , 4 ) ( −5 , −3 ) , ( −3 , −1 ) , ( −1 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 3 , 4 ) .

So, the inverse function will contain the points: ( −3 , −5 ) , ( −1 , −3 ) , ( 0 , −1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 4 , 3 ) ( −3 , −5 ) , ( −1 , −3 ) , ( 0 , −1 ) , ( 2 , 0 ) , ( 4 , 3 ) .

Notice how the graph of the original function and the graph of the inverse functions are mirror images through the line y = x . y = x .

Graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to one function.

Graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to one function.

When we began our discussion of an inverse function, we talked about how the inverse function ‘undoes’ what the original function did to a value in its domain in order to get back to the original x-القيمة.

Inverse Functions

We can use this property to verify that two functions are inverses of each other.

مثال 10.7

المحلول

The functions are inverses of each other if g ( f ( x ) ) = x g ( f ( x ) ) = x and f ( g ( x ) ) = x . f ( g ( x ) ) = x .

Verify that the functions are inverse functions.

Verify that the functions are inverse functions.

We have found inverses of function defined by ordered pairs and from a graph. We will now look at how to find an inverse using an algebraic equation. The method uses the idea that if f ( x ) f ( x ) is a one-to-one function with ordered pairs ( x , y ) , ( x , y ) , then its inverse function f −1 ( x ) f −1 ( x ) is the set of ordered pairs ( y , x ) . ( y , x ) .

If we reverse the x و ذ in the function and then solve for ذ, we get our inverse function .

مثال 10.8

How to Find the inverse of a One-to-One Function

Find the inverse of f ( x ) = 4 x + 7 . f ( x ) = 4 x + 7 .

المحلول

Find the inverse of the function f ( x ) = 5 x − 3 . f ( x ) = 5 x − 3 .

Find the inverse of the function f ( x ) = 8 x + 5 . f ( x ) = 8 x + 5 .

We summarize the steps below.

كيف

How to Find the inverse of a One-to-One Function

مثال 10.9

How to Find the Inverse of a One-to-One Function

Find the inverse of f ( x ) = 2 x − 3 5 . f ( x ) = 2 x − 3 5 .

المحلول

Find the inverse of the function f ( x ) = 3 x − 2 5 . f ( x ) = 3 x − 2 5 .

Find the inverse of the function f ( x ) = 6 x − 7 4 . f ( x ) = 6 x − 7 4 .

القسم 10.1 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

Find and Evaluate Composite Functions

In the following exercises, find the values described.

Determine Whether a Function is One-to-One

In the following exercises, determine if the set of ordered pairs represents a function and if so, is the function one-to-one.

In the following exercises, determine whether each graph is the graph of a function and if so, is it one-to-one.

In the following exercises, find the inverse of each function. Determine the domain and range of the inverse function.

In the following exercises, graph, on the same coordinate system, the inverse of the one-to-one function shown.

In the following exercises, determine whether or not the given functions are inverses.

In the following exercises, find the inverse of each function.

تمارين الكتابة

Explain how the graph of the inverse of a function is related to the graph of the function.

Explain how to find the inverse of a function from its equation. Use an example to demonstrate the steps.

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. In math every topic builds upon previous work. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. Whom can you ask for help?Your fellow classmates and instructor are good resources. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Intermediate Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 6 مايو 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Section URL: https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/10-1-finding-composite-and-inverse-functions

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    Trigonometric Functions and Their Inverses

    In other sections, you learned that for a function (f(f^<&minus1>(x))=x) for all values of (x) for which (f^<&minus1>(x)) is defined. If this property is applied to the trigonometric functions, the following equations will be true whenever they are defined:

    As well, you learned that (f^ <&minus1>(f(x))=x) for all values of (x) for which (f(x)) is defined. If this property is applied to the trigonometric functions, the following equations that deal with finding an inverse trig function of a trig function, will only be true for values of (x) within the restricted domains.

    These equations are better known as composite functions. However, it is not necessary to only have a function and its inverse acting on each other. In fact, it is possible to have composite function that are composed of one trigonometric function in conjunction with another different trigonometric function. The composite functions will become algebraic functions and will not display any trigonometry. Let&rsquos investigate this phenomenon.

    When solving these types of problems, start with the function that is composed inside of the other and work your way out. Use the following problems as a guideline.

    We know that (sin^<&minus1>dfrac><2>=dfrac<4>), within the defined restricted domain. Then, we need to find (sin dfrac<4>), which is (dfrac><2>). So, the above properties allow for a short cut. (sinleft(sin^<&minus1>dfrac><2> ight)=dfrac><2>), think of it like the sine and sine inverse cancel each other out and all that is left is the (dfrac><2>).

    2. Without using technology, find the exact value of each of the following:

    (cosleft( an^<&minus1>sqrt<3> ight): First find ( an^<&minus1>sqrt<3>), which is (dfrac<3>). Then find (cosdfrac<3>). Your final answer is (dfrac<1><2>). Therefore, (cosleft( an^<&minus1>sqrt<3> ight)=dfrac<1><2>).

    Earlier, you were asked to solve (sin^<&minus1>left(cosleft(dfrac<3 pi><2> ight) ight)).

    To solve this problem: (sin^<&minus1>left(cosleft(dfrac<3 pi><2> ight) ight)), you can work outward.

    Find the exact value of (cos^<&minus1>dfrac><2>), without a calculator, over its restricted domain.


    Composition of Functions

    Two functions $f: A ightarrow B$ and $g: B ightarrow C$ can be composed to give a composition $g o f$. This is a function from A to C defined by $(gof)(x) = g(f(x))$

    مثال

    Let $f(x) = x + 2$ and $g(x) = 2x + 1$, find $( f o g)(x)$ and $( g o f)(x)$.

    المحلول

    $(f o g)(x) = f (g(x)) = f(2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3$

    $(g o f)(x) = g (f(x)) = g(x + 2) = 2 (x+2) + 1 = 2x + 5$

    Some Facts about Composition

    If f and g are one-to-one then the function $(g o f)$ is also one-to-one.

    If f and g are onto then the function $(g o f)$ is also onto.

    Composition always holds associative property but does not hold commutative property.


    شاهد الفيديو: الرياضيات تأسيسي - صف 12 - الدوال المركبة-3 (شهر اكتوبر 2021).