مقالات

1.2: نظم الإحداثيات المستطيلة والرسوم البيانية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • ارسم أزواجًا مرتبة في نظام إحداثيات ديكارتي.
  • رسم المعادلات عن طريق رسم النقاط.
  • معادلات الرسم البياني باستخدام أداة الرسوم البيانية.
  • ابحث عن (س ) - اعتراضات و (ص ) - اعتراضات.
  • استخدم صيغة المسافة.
  • استخدم صيغة النقطة المتوسطة.

انطلق Tracie من Elmhurst ، IL ، للذهاب إلى Franklin Park. في الطريق ، توقفت بضع مرات للقيام ببعض المهام. تتم الإشارة إلى كل نقطة بنقطة حمراء في الشكل ( PageIndex {1} ). عند وضع شبكة إحداثيات مستطيلة على الخريطة ، يمكننا أن نرى أن كل محطة تتماشى مع تقاطع خطوط الشبكة. في هذا القسم ، سنتعلم كيفية استخدام خطوط الشبكة لوصف المواقع والتغييرات في المواقع.

رسم أزواج مرتبة في نظام الإحداثيات الديكارتية

تصف قصة قديمة كيف ابتكر عالم الرياضيات / الفيلسوف في القرن السابع عشر رينيه ديكارت النظام الذي أصبح أساسًا للجبر أثناء مرضه في الفراش. وفقًا للقصة ، كان ديكارت يحدق في ذبابة تزحف على السقف عندما أدرك أنه يستطيع وصف موقع الذبابة فيما يتعلق بالخطوط العمودية التي شكلتها الجدران المجاورة لغرفته. نظر إلى الخطوط العمودية كمحاور أفقية ورأسية. علاوة على ذلك ، من خلال تقسيم كل محور إلى أطوال وحدة متساوية ، رأى ديكارت أنه من الممكن تحديد موقع أي كائن في مستوى ثنائي الأبعاد باستخدام رقمين فقط - الإزاحة من المحور الأفقي والإزاحة من المحور الرأسي.

في حين أن هناك دليلًا على وجود أفكار مشابهة لنظام شبكة ديكارت منذ قرون ، كان ديكارت هو الذي قدم المكونات التي تشكل نظام الإحداثيات الديكارتية ، وهو نظام شبكي له محاور عمودية. سمى ديكارت المحور الأفقي المحور (س ) - والمحور الرأسي (ص ) - المحور.

يُطلق على نظام الإحداثيات الديكارتية أيضًا اسم نظام إحداثيات مستطيل، على أساس مستوى ثنائي الأبعاد يتكون من المحور (س ) والمحور (ص ). عموديًا على بعضها البعض ، تقسم المحاور المستوى إلى أربعة أقسام. كل قسم يسمى رباعي. الأرباع مرقمة عكس اتجاه عقارب الساعة كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

مركز المستوى هو النقطة التي يتقاطع عندها المحورين. يُعرف باسم الأصل ، أو النقطة ((0،0) ). من الأصل ، يتم تقسيم كل محور أيضًا إلى وحدات متساوية: أرقام متزايدة وموجبة إلى اليمين على المحور (س ) وأعلى (ص ) - المحور ؛ الأرقام السالبة المتناقصة إلى اليسار على المحور (س ) وأسفل المحور (ص ). تمتد المحاور إلى اللانهاية الموجبة والسالبة كما هو موضح في رؤوس الأسهم في الشكل ( PageIndex {3} ).

يتم تحديد كل نقطة في المستوى من خلال (x ) - الإحداثي ، أو الإزاحة الأفقية من الأصل ، والإزاحة (y ) - الإزاحة الرأسية من الأصل. معًا ، نكتبهم كزوج مرتب يشير إلى المسافة المجمعة من الأصل في النموذج ((x ، y) ). يُعرف الزوج المرتب أيضًا باسم زوج الإحداثيات لأنه يتكون من إحداثيات (x ) - و (y ). على سبيل المثال ، يمكننا تمثيل النقطة ((3 ، −1) ) في المستوى عن طريق تحريك ثلاث وحدات إلى يمين الأصل في الاتجاه الأفقي ، ووحدة واحدة لأسفل في الاتجاه الرأسي. راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

عند تقسيم المحاور إلى زيادات متباعدة بشكل متساوٍ ، لاحظ أنه يمكن اعتبار المحور (س ) - بشكل منفصل عن المحور (ص ). بمعنى آخر ، بينما يمكن تقسيم المحور (س ) - وتسميته وفقًا لأعداد صحيحة متتالية ، يمكن تقسيم (ص ) - المحور وتسميته بزيادات (2 ) ، أو (10 ​​) ) أو (100 ). في الواقع ، قد تمثل المحاور وحدات أخرى ، مثل السنوات مقابل الرصيد في حساب التوفير ، أو الكمية مقابل التكلفة ، وما إلى ذلك. ضع في اعتبارك نظام الإحداثيات المستطيل في المقام الأول كطريقة لإظهار العلاقة بين كميتين.

نظام الإحداثيات الديكارتية

مستوى ثنائي الأبعاد حيث

  • (س ) - المحور هو المحور الأفقي
  • (ص ) - المحور هو المحور الرأسي

يتم تعريف النقطة في المستوى على أنها زوج مرتب ، ((س ، ص) ) ، بحيث يتم تحديد (س ) من خلال المسافة الأفقية من الأصل و (ص ) يتم تحديدها من خلال المسافة العمودية من الأصل.

مثال ( PageIndex {1} ): رسم النقاط في نظام إحداثيات مستطيل

ارسم النقاط ((- 2،4) ) ، ((3،3) ) ، و ((0 ، −3) ) في المستوى.

المحلول

لرسم النقطة ((- 2،4) ) ، ابدأ من الأصل. الإحداثي (س ) هو (- 2 ) ، لذا انقل وحدتين إلى اليسار. الإحداثي (ص ) - هو (4 ) ، لذا حرك أربع وحدات لأعلى في الاتجاه الموجب (ص ).

لرسم النقطة ((3،3) ) ، ابدأ مرة أخرى من الأصل. الإحداثي (س ) هو (3 ) ، لذا انقل ثلاث وحدات إلى اليمين. الإحداثي (ص ) - هو أيضًا (3 ) ، لذا حرك ثلاث وحدات للأعلى في الاتجاه الموجب (ص ).

لرسم النقطة ((0 ، −3) ) ، ابدأ مرة أخرى في الأصل. الإحداثي (x ) - هو (0 ). يخبرنا هذا بعدم التحرك في أي اتجاه على طول المحور (س ). الإحداثي (ص ) - هو (- 3 ) ، لذا انقل ثلاث وحدات لأسفل في الاتجاه السالب (ص ). انظر الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {5} ).

التحليلات

لاحظ أنه عندما يكون أي من الإحداثيين صفرًا ، يجب أن تكون النقطة على محور. إذا كان الإحداثي (س ) - صفرًا ، تكون النقطة على المحور (ص ). إذا كان الإحداثي (y ) - صفرًا ، تكون النقطة على المحور (x ).

رسم المعادلات عن طريق رسم النقاط

يمكننا رسم مجموعة من النقاط لتمثيل معادلة. عندما تحتوي هذه المعادلة على متغير (x ) ومتغير (y ) ، يطلق عليها اسم المعادلة في متغيرين. يسمى الرسم البياني الخاص بها أ رسم بياني في متغيرين. أي رسم بياني على مستوى ثنائي الأبعاد هو رسم بياني في متغيرين.

لنفترض أننا نريد رسم المعادلة (y = 2x − 1 ). يمكننا البدء باستبدال قيمة (x ) في المعادلة وتحديد القيمة الناتجة لـ (y ). كل زوج من (x ) - و (y ) - هو زوج مرتب يمكن رسمه. يسرد الجدول ( PageIndex {1} ) قيم (x ) من (- 3 ) إلى (3 ) والقيم الناتجة لـ (y ).

جدول ( PageIndex {1} )
(س ) (ص = 2 س − 1 ) ((س ، ص) )
(−3) (ص = 2 (−3) −1 = −7 )((−3,−7))
(−2) (ص = 2 (−2) −1 = −5 )((−2,−5))
(−1) (ص = 2 (−1) −1 = 3 )((−1,−3))
(0) (ص = 2 (0) −1 = 1 )((0,−1))
(1) (ص = 2 (1) −1 = 1 )((1,1))
(2) (ص = 2 (2) −1 = 3 )((2,3))
(3) (ص = 2 (3) −1 = 5 )((3,5))

يمكننا رسم النقاط في الجدول. تشكل نقاط هذه المعادلة المحددة خطًا ، لذا يمكننا توصيلها (الشكل ( PageIndex {6} )). هذا ليس صحيحا لجميع المعادلات.

لاحظ أن القيم المختارة (x ) تعسفية ، بغض النظر عن نوع المعادلة التي نرسمها. بالطبع ، قد تتطلب بعض المواقف قيمًا معينة لـ (س ) ليتم رسمها من أجل رؤية نتيجة معينة. بخلاف ذلك ، فمن المنطقي اختيار القيم التي يمكن حسابها بسهولة ، ومن الأفضل دائمًا اختيار القيم السلبية والإيجابية. لا توجد قاعدة تحدد عدد النقاط التي يجب رسمها ، على الرغم من أننا نحتاج إلى نقطتين على الأقل لرسم خط. مع ذلك ، ضع في اعتبارك أنه كلما زاد عدد النقاط التي نرسمها ، زادت دقة رسم الرسم البياني.

Howto: إعطاء معادلة ، رسم بياني عن طريق رسم النقاط

  1. اصنع جدولًا يحتوي على عمود واحد يسمى (س ) ، وعمودًا ثانيًا يسمى بالمعادلة ، وعمودًا ثالثًا يسرد الأزواج المرتبة الناتجة.
  2. أدخل (x ) - القيم أسفل العمود الأول باستخدام القيم الموجبة والسالبة. تحديد (x ) - القيم بالترتيب العددي سيجعل الرسم البياني أبسط.
  3. حدد (س ) - القيم التي ستنتج (ص ) - القيم مع القليل من الجهد ، ويفضل تلك التي يمكن حسابها عقليًا.
  4. ارسم الأزواج المرتبة.
  5. قم بتوصيل النقاط إذا كانت تشكل خطاً.

مثال ( PageIndex {2} ): رسم معادلة في متغيرين بيانيًا عن طريق رسم النقاط

ارسم المعادلة (y = −x + 2 ) برسم النقاط.

المحلول

أولاً ، نقوم ببناء جدول مشابه للجدول ( PageIndex {2} ). اختر قيم (س ) واحسب (ص ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س ) (ص = س + 2 ) ((س ، ص) )
(−5) (ص = - (- 5) + 2 = 7 )((−5,7))
(−3) (ص = - (- 3) + 2 = 5 )((−3,5))
(−1) (ص = - (- 1) + 2 = 3 )((−1,3))
(0) (ص = - (0) + 2 = 2 )((0,2))
(1) (ص = - (1) + 2 = 1 )((1,1))
(3) (ص = - (3) + 2 = -1 )((3,−1))
(5) (ص = - (5) + 2 = -3 3)((5,−3))

الآن ، ارسم النقاط. قم بتوصيلهم إذا كانوا يشكلون خطًا. راجع الشكل ( PageIndex {7} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

أنشئ جدولًا وارسم المعادلة بيانيًا عن طريق رسم النقاط: (y = dfrac {1} {2} x + 2 ).

إجابه

يرجى مراجعة الجدول ( PageIndex {3} ) والرسم البياني أدناه.

جدول ( PageIndex {3} )
(س ) (ص = 12 س + 2 ) ((س ، ص) )
(-2) (ص = 12 (2) + 2 = 1 )((−2,1))
(-1) (ص = 12 (-1) + 2 = 32 )((−1,32))
(0) (ص = 12 (0) + 2 = 2 )((0,2))
(1) (ص = 12 (1) + 2 = 52 )((1,52))
(2) (ص = 12 (2) + 2 = 3 )((2,3))

معادلات الرسوم البيانية باستخدام أداة الرسم البياني

تتطلب معظم حاسبات الرسوم البيانية تقنيات مماثلة لرسم المعادلة. يجب أحيانًا معالجة المعادلات بحيث تتم كتابتها بالأسلوب (y = ) _____. TI-84 Plus ، والعديد من الآلات الحاسبة الأخرى ، لها وظيفة الوضع ، والتي تسمح بتعديل النافذة (شاشة عرض الرسم البياني) بحيث يمكن رؤية الأجزاء ذات الصلة من الرسم البياني.

على سبيل المثال ، تم إدخال المعادلة (y = 2x − 20 ) في TI-84 Plus الموضح في الشكل ( PageIndex {9a} ). في الشكل ( PageIndex {9b} ) ، يظهر الرسم البياني الناتج. لاحظ أنه لا يمكننا أن نرى على الشاشة حيث يتقاطع الرسم البياني مع المحاور. تعرض شاشة النافذة القياسية في TI-84 Plus (- 10≤x≤10 ) و (- 10≤y≤10 ). راجع الشكل ( PageIndex {9c} ).

من خلال تغيير النافذة لإظهار المزيد من المحور (x ) - الموجب والمزيد من المحور (y ) - السالب ، لدينا رؤية أفضل للرسم البياني و (x ) - و ( ذ ) - اعتراضات. راجع الشكل ( PageIndex {10a} ) والشكل ( PageIndex {10b} ).

مثال ( PageIndex {3} ): استخدام الأداة المساعدة للرسوم البيانية لرسم معادلة

استخدم أداة الرسم البياني لرسم المعادلة بيانيًا: (y = - dfrac {2} {3} x− dfrac {4} {3} ).

المحلول

أدخل المعادلة في (y = text {function} ) في الآلة الحاسبة. اضبط إعدادات النافذة بحيث تظهر كل من التقاطع (x ) - و (y ) - في النافذة. راجع الشكل ( PageIndex {11} ).

العثور على (س ) -اعتراضات و (ص ) -يعترض

ال يعترض من الرسم البياني هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحاور. التقاطع (x ) - هو النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع (س ) - المحور. في هذه المرحلة ، يكون الإحداثي (y ) - صفرًا. التقاطع (y ) - هو النقطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور (y ) -. في هذه المرحلة ، يكون الإحداثي (x ) - صفرًا.

لتحديد (x ) - التقاطع ، نضع (y ) مساويًا للصفر ونحل قيمة (x ). وبالمثل ، لتحديد (y ) - التقاطع ، نضع (x ) مساويًا للصفر ونحل من أجل (y ). على سبيل المثال ، لنجد تقاطعات المعادلة (y = 3x − 1 ).

للعثور على (x ) - التقاطع ، اضبط (y = 0 ).

[ begin {align *} y & = 3x - 1 0 & = 3x - 1 1 & = 3x dfrac {1} {3} & = x end {align *} ]

(س ) - التقاطع: ( left ( dfrac {1} {3}، 0 right) )

للعثور على (y ) - التقاطع ، اضبط (x = 0 ).

[ start {align *} y & = 3x - 1 y & = 3 (0) - 1 y & = -1 end {align *} ]

(ص )− التقاطع: ((0,−1))

يمكننا تأكيد أن نتائجنا منطقية من خلال ملاحظة الرسم البياني للمعادلة كما في الشكل ( PageIndex {12} ). لاحظ أن الرسم البياني يتقاطع مع المحاور حيث توقعنا ذلك.

Howto: أعطِ معادلة ، ابحث عن التداخلات

  1. ابحث عن (x ) - التقاطع عن طريق ضبط (y = 0 ) وحل من أجل (x ).
  2. ابحث عن (y ) - التقاطع عن طريق ضبط (x = 0 ) وحل من أجل (y ).

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن تقاطعات المعادلة المعطاة

أوجد تقاطعات المعادلة (y = −3x − 4 ). ثم ارسم الرسم البياني باستخدام التقاطعات فقط.

المحلول

اضبط (y = 0 ) للعثور على (x ) - التقاطع.

[ begin {align *} y & = -3x - 4 0 & = -3x - 4 4 & = -3x dfrac {4} {3} & = x end {align *} ]

(س ) - التقاطع: ( left (- dfrac {4} {3}، 0 right) )

اضبط (x = 0 ) للعثور على (y ) - التقاطع.

[ begin {align *} y & = -3x - 4 y & = -3 (0) - 4 y & = -4 end {align *} ]

(ص )− التقاطع: ((0,−4))

ارسم كلا النقطتين وارسم خطًا يمر بهما كما في الشكل ( PageIndex {13} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

ابحث عن تقاطعات المعادلة وارسم الرسم البياني: (y = - dfrac {3} {4} x + 3 ).

إجابه

(س ) - التقاطع ((4،0) ) ؛ (ص ) - التقاطع ((0،3) )

باستخدام صيغة المسافة

المستمدة من نظرية فيثاغورس، ال صيغة المسافة يستخدم لإيجاد المسافة بين نقطتين في المستوى. نظرية فيثاغورس ، (أ ^ 2 + ب ^ 2 = ج ^ 2 ) ، مبنية على مثلث قائم الزاوية حيث (أ ) و (ب ) هما أطوال الأرجل المجاورة للزاوية اليمنى ، و (ج ) هو طول الوتر. راجع الشكل ( PageIndex {15} ).

علاقة الأضلاع (| x_2 − x_1 | ) و (| y_2 − y_1 | ) بالجانب (d ) هي نفسها بين الجانبين (a ) و (ب ) إلى الجانب (ج ). نستخدم رمز القيمة المطلقة للإشارة إلى أن الطول رقم موجب لأن القيمة المطلقة لأي رقم موجبة. (على سبيل المثال ، (| -3 | = 3 ).) تشير الرموز (| x_2 − x_1 | ) و (| y_2 − y_1 | ) إلى أن أطوال أضلاع المثلث موجبة. لإيجاد الطول (c ) ، خذ الجذر التربيعي لكلا طرفي نظرية فيثاغورس.

[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 rightarrow c = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ]

ويترتب على ذلك أن صيغة المسافة معطاة

[d ^ 2 = {(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2 rightarrow d = sqrt {{(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2} ]

لا يتعين علينا استخدام رموز القيمة المطلقة في هذا التعريف لأن أي عدد تربيع يكون موجبًا.

المسافة بين نقطتين

بالنظر إلى نقطتي النهاية ((x_1، y_1) ) و ((x_2، y_2) ) ، تُعطى المسافة بين نقطتين بواسطة

[d = sqrt {{(x_2 − x_1)} ^ 2 + {(y_2 − y_1)} ^ 2} ]

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد المسافة بين نقطتين

أوجد المسافة بين النقطتين ((- 3، −1) ) و ((2،3) ).

المحلول

دعونا أولاً نلقي نظرة على التمثيل البياني للنقطتين. قم بتوصيل النقاط لتشكيل مثلث قائم الزاوية كما في الشكل ( PageIndex {16} )

ثم احسب طول (د ) باستخدام صيغة المسافة.

[ begin {align *} d & = sqrt {{(x_2 - x_1)} ^ 2 + {(y_2 - y_1)} ^ 2} & = sqrt {{(2 - (- 3))} ^ 2 + {(3 - (- 1))} ^ 2} & = sqrt {{(5)} ^ 2 + {(4)} ^ 2} & = sqrt {25 + 16} & = sqrt {41} end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {3} )

أوجد المسافة بين نقطتين: ((1،4) ) و ((11،9) ).

إجابه

( sqrt {125} = 5 sqrt {5} )

مثال ( PageIndex {6} ): إيجاد المسافة بين موقعين

دعنا نعود إلى الموقف الذي تم تقديمه في بداية هذا القسم.

انطلق Tracie من Elmhurst ، IL ، للذهاب إلى Franklin Park. أوجد المسافة الإجمالية التي قطعتها تريسي. قارن هذا بالمسافة بين موقعي البداية والنهاية.

المحلول

أول شيء يجب علينا فعله هو تحديد الأزواج المرتبة لوصف كل مركز. إذا قمنا بتعيين موضع البداية عند الأصل ، فيمكننا تحديد كل نقطة من النقاط الأخرى عن طريق عد الوحدات شرقًا (يمينًا) وشمالًا (أعلى) على الشبكة. على سبيل المثال ، المحطة الأولى هي (1 ) كتلة شرقًا و (1 ) بلوك شمالًا ، لذا فهي عند ((1،1) ). المحطة التالية هي (5 ) كتل إلى الشرق ، لذا فهي عند ((5،1) ). بعد ذلك ، سافرت (3 ) كتل شرقًا و (2 ) بلوك شمالًا إلى ((8،3) ). أخيرًا ، سافرت (4 ) بلوكات شمالًا إلى ((8،7) ). يمكننا تسمية هذه النقاط على الشبكة كما في الشكل ( PageIndex {17} ).

بعد ذلك ، يمكننا حساب المسافة. لاحظ أن كل وحدة شبكية تمثل (1،000 ) قدم.

  • من موقع انطلاقها إلى محطتها الأولى عند ((1،1) ) ، ربما تكون Tracie قد قادت شمالًا (1000 ) قدم ثم شرقًا (1000 ) قدم ، أو العكس. في كلتا الحالتين ، قادت (2000 ) قدم إلى محطتها الأولى.
  • محطتها الثانية عند ((5،1) ). من ((1،1) ) إلى ((5،1) ) ، قاد تريسي شرقًا (4000 ) قدم.
  • محطتها الثالثة عند ((8،3) ). يوجد عدد من المسارات من ((5،1) ) إلى ((8،3) ). أياً كان الطريق الذي قررت Tracie استخدامه ، فإن المسافة هي نفسها ، حيث لا توجد شوارع زاوية بين النقطتين. لنفترض أنها قدت القيادة شرقاً (3000 ) قدم ثم شمالاً (2000 ) قدم بإجمالي (5000 ) قدم.
  • محطة Tracie النهائية عند ((8،7) ). هذا محرك مستقيم شمالًا من ((8،3) ) بإجمالي (4000 ) قدم.

بعد ذلك ، سنضيف المسافات المدرجة في Table ( PageIndex {4} ).

جدول ( PageIndex {4} )
من الىعدد الأقدام المقطوعة
((0،0) ) إلى ((1،1) )(2,000)
((1،1) ) إلى ((5،1) )(4,000)
((5،1) ) إلى ((8،3) )(5,000)
((8،3) ) إلى ((8،7) )(4,000)
مجموع(15,000)

المسافة الإجمالية التي قطعتها Tracie هي (15000 ) قدم ، أو (2.84 ) ميل. ومع ذلك ، فهذه ليست المسافة الفعلية بين وضعي البداية والنهاية. لإيجاد هذه المسافة ، يمكننا استخدام صيغة المسافة بين النقطتين ((0،0) ) و ((8،7) ).

[ begin {align *} d & = sqrt {{(0-8)} ^ 2 + {(7-0)} ^ 2} & = sqrt {64 + 49} & = sqrt {113} & = 10.63 text {Units} end {align *} ]

عند (1،000 ) قدم لكل وحدة شبكة ، تكون المسافة بين Elmhurst ، IL ، إلى Franklin Park هي (10630.14 ) قدم ، أو (2.01 ) ميل. ينتج عن صيغة المسافة حسابًا أقصر لأنه يعتمد على وتر المثلث القائم ، وهو قطري مستقيم من الأصل إلى النقطة ((8،7) ). ربما سمعت مقولة "كما يطير الغراب" ، والتي تعني أقصر مسافة بين نقطتين لأن الغراب يمكن أن يطير في خط مستقيم على الرغم من أن الشخص الموجود على الأرض يضطر إلى قطع مسافة أطول على الطرق الموجودة.

باستخدام صيغة نقطة الوسط

عندما تُعرف نقاط النهاية لقطعة مستقيمة ، يمكننا إيجاد النقطة في المنتصف بينهما. تُعرف هذه النقطة بنقطة المنتصف وتُعرف الصيغة باسم صيغة نقطة الوسط. بالنظر إلى نقاط النهاية لقطعة مستقيمة ((x_1، y_1) ) و ((x_2، y_2) ) ، تنص صيغة نقطة الوسط على كيفية العثور على إحداثيات نقطة الوسط M.

[M = left ( dfrac {x_1 + x_2} {2} ، dfrac {y_1 + y_2} {2} right) ]

يظهر عرض رسومي لنقطة المنتصف في الشكل ( PageIndex {18} ).لاحظ أن مقاطع الخط على جانبي نقطة الوسط متطابقة.

مثال ( PageIndex {7} ): إيجاد نقطة المنتصف لقطعة السطر

أوجد نقطة منتصف المقطع المستقيم بنقطتي النهاية ((7، −2) ) و ((9،5) ).

المحلول

استخدم الصيغة لإيجاد نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة.

[ start {align *} left ( dfrac {x_1 + x_2} {2} ، dfrac {y_1 + y_2} {2} right) & = left ( dfrac {7 + 9} {2} ، dfrac {-2 + 5} {2} right) & = left (8، dfrac {3} {2} right) end {align *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد نقطة منتصف المقطع المستقيم بنقاط النهاية ((- 2، −1) ) و ((- 8،6) ).

إجابه

( left (-5، dfrac {5} {2} right) )

مثال ( PageIndex {8} ): البحث عن مركز دائرة

قطر الدائرة له نقاط نهاية ((- 1 ، −4) ) و ((5 ، −4) ). أوجد مركز الدائرة.

المحلول

مركز الدائرة هو مركز أو منتصف قطرها. وبالتالي ، فإن صيغة نقطة الوسط ستعطي نقطة المركز.

[ start {align *} left ( dfrac {x_1 + x_2} {2} ، dfrac {y_1 + y_2} {2} right) & = left ( dfrac {-1 + 5} {2 } ، dfrac {-4-4} {2}) right) & = left ( dfrac {4} {2} ، - dfrac {8} {2} right) & = ( 2،4) نهاية {محاذاة *} ]

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية.

1. نقاط التآمر على مستوى الإحداثيات

2. ابحث عن تقاطعات x و y بناءً على الرسم البياني لخط

المفاهيم الرئيسية

  • يمكننا تحديد أو رسم نقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية باستخدام أزواج مرتبة ، والتي يتم تعريفها على أنها إزاحة من (س )-المحور والإزاحة من (ص )-محور. انظر المثال.
  • يمكن رسم معادلة في المستوى عن طريق إنشاء جدول للقيم ونقاط التخطيط. انظر المثال.
  • يؤدي استخدام آلة حاسبة بيانية أو برنامج كمبيوتر إلى جعل معادلات الرسوم البيانية أسرع وأكثر دقة. يجب عادةً إدخال المعادلات بالصيغة (y = ) _____. انظر المثال.
  • إيجاد (x ) - و (y )-يمكن أن تحدد اعتراضات الرسم البياني لخط. هذه هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحاور. انظر المثال.
  • تُشتق صيغة المسافة من نظرية فيثاغورس وتُستخدم لإيجاد طول قطعة مستقيمة. انظر المثال والمثال.
  • توفر معادلة نقطة المنتصف طريقة لإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف التي تقسم مجموع إحداثيات (س ) ومجموع إحداثيات (ص ) - لنقاط النهاية بمقدار (2 ). انظر المثال والمثال.

1.2: نظم الإحداثيات المستطيلة والرسوم البيانية - الرياضيات

بداية الجبر
الدرس 20: نظام الإحداثيات المستطيلة

  1. ارسم النقاط على نظام إحداثيات مستطيل.
  2. حدد الربع أو المحور الذي تقع عليه النقطة.
  3. أخبر ما إذا كان الزوج المرتب هو حل معادلة في متغيرين أم لا.
  4. أكمل زوجًا مرتبًا له قيمة واحدة مفقودة.

نظام الإحداثيات المستطيلة

  1. خط الأعداد الأفقي هو x - المحور.
  2. خط الأعداد العمودي هو ذ - المحور.

وهي مقسمة إلى أربعة الأرباع والتي تم تمييزها على هذا الرسم البياني بالأرقام الرومانية.

ترتبط كل نقطة على الرسم البياني بـ زوج مرتب. عند التعامل مع س ، ص الرسم البياني x تنسيق دائما أولا و ذ تنسيق دائمًا ما يحتل المرتبة الثانية في الزوج المرتب ( س ، ص ). إنه حل لمعادلة في متغيرين. على الرغم من وجود قيمتين في الزوج المرتب ، كن حذرًا من أنه يرتبط بنقطة واحدة فقط على الرسم البياني ، تصطف النقطة مع كل من x قيمة الزوج المرتب ( x -المحور) و ذ قيمة الزوج المرتب ( ذ -محور).

ب (-1 ، 2) تقع في الربع الثاني.

ج (-3 ، -4) تقع في الربع الثالث.

د (2 ، 0) تقع على x -محور.

ه (0 ، 5) تقع على ذ -محور.

بما أن النقطة A تقابل 2 على x -المحور و -3 على ذ -المحور إذن زوج & # 8217s المرتب هو (2 ، -3).

بما أن النقطة B تقابل 3 على x -المحور و 2 على ذ -المحور إذن زوج B & # 8217s المرتب هو (3 ، 2).

بما أن النقطة C تقابل -2 على x -المحور و 3 على ذ -المحور إذن زوج C & # 8217s المرتب هو (-2 ، 3).

نظرًا لأن النقطة D تقابل -3 على x -المحور و- 4 على ذ -المحور إذن زوج D & # 8217s المرتب هو (-3 ، - 4).

نظرًا لأن النقطة E تقابل -3 على x -المحور و 0 على ذ -المحور إذن الزوج المرتب E & # 8217s هو (-3 ، 0).

نظرًا لأن النقطة F تقابل 0 على x -المحور و 2 على ذ -المحور إذن زوج F & # 8217s المرتب هو (0، 2).

حلول المعادلات
في متغيرين

بمعنى آخر ، إذا كانت معادلتك تحتوي على متغيرين x و ذ ، وتقوم بتوصيل قيمة لـ x وقيمته المقابلة ل ذ ويظهر البيان الرياضي ليكون صحيحًا ، ثم x و ذ القيمة التي عوضتها معًا ستشكل حلًا للمعادلة.

يمكن أن تحتوي المعادلات في متغيرين على أكثر من حل.

نكتب عادةً حلول المعادلات في متغيرين في أزواج مرتبة.

مثال 3 : حدد ما إذا كان كل زوج مرتب هو حل للمعادلة المحددة.
ذ = 5 x - 7 (2, 3), (1, 5), (-1, -12)

أي رقم هو x قيمة وأي واحد هو ذ القيمة؟ ان كان هذا ما تقول x = 2 و ذ = 3 ، أنت محق!

دع & # 8217s أدخل (2 ، 3) في المعادلة ونرى ما نحصل عليه:

هذا بيان صحيح ، لذا (2 ، 3) هو حل للمعادلة ذ = 5 x - 7.

دعونا الآن & # 8217s نلقي نظرة على (1 ، 5).

أي رقم هو x قيمة وأي واحد هو ذ القيمة؟ ان كان هذا ما تقول x = 1 و ذ = 5 ، أنت محق!

دعونا & # 8217s المكونات (1 ، 5) في المعادلة ونرى ما حصلنا عليه:

عفوًا ، يبدو أن لدينا أنفسنا بيان خطأ. هذا يعني أن (1 ، 5) ليس حلاً للمعادلة 5 x - 7.

أي رقم هو x قيمة وأي واحد هو ذ القيمة؟ ان كان هذا ما تقول x = -1 و ذ = -12 ، أنت على حق!

لنضع & # 8217s (-1، -12) في المعادلة ونرى ما نحصل عليه:

لاحظ أنه تم إعطاؤك ثلاثة أزواج مرتبة فقط للتحقق منها ، ومع ذلك ، هناك عدد لا حصر له من الحلول لهذه المعادلة. سيكون من المرهق للغاية العثور عليهم جميعًا.

أي رقم هو x قيمة وأي واحد هو ذ القيمة؟ ان كان هذا ما تقول x = 3 و ذ = 5 ، أنت محق!

دع & # 8217s أدخل (3 ، 5) في المعادلة ونرى ما نحصل عليه:

هذا بيان صحيح ، لذا (3 ، 5) هو حل للمعادلة x = 3.

دعونا الآن & # 8217s نلقي نظرة على (2 ، 3).

أي رقم هو x قيمة وأي واحد هو ذ القيمة؟ ان كان هذا ما تقول x = 2 و ذ = 3 ، أنت محق!

دع & # 8217s أدخل (2 ، 3) في المعادلة ونرى ما نحصل عليه:

عفوًا ، يبدو أن لدينا أنفسنا بيان خطأ. هذا يعني أن (2 ، 3) ليس حلاً للمعادلة x = 3.

أي رقم هو x قيمة وأي واحد هو ذ القيمة؟ ان كان هذا ما تقول x = 3 و ذ = 4 ، أنت محق!

دع & # 8217s أدخل (3 ، 4) في المعادلة ونرى ما نحصل عليه:

لاحظ أنه تم إعطاؤك ثلاثة أزواج مرتبة فقط للتحقق منها ، ومع ذلك ، هناك عدد لا حصر له من الحلول لهذه المعادلة. سيكون من المرهق للغاية العثور عليهم جميعًا.


إيجاد القيمة المقابلة في زوج مرتب
إعطاء متغير واحد & # 8217 قيمة

في بعض الأحيان يتم إعطاؤك قيمة أحد المتغيرات وتحتاج إلى إيجاد القيمة المقابلة للمتغير الآخر. الخطوات المتبعة في القيام بذلك هي:

الخطوة 1: أدخل القيمة المعطاة للمتغير في المعادلة.

الخطوة 2: حل المعادلة للمتغير المتبقي.

ان كان هذا ما تقول x ، انت على حق.

يسد 1 ل x في المعادلة وحل من أجل ذ نحن نحصل:

في الزوج المرتب (، -1) ، هو -1 المعطى لـ x أو ال ذ القيمة؟

ان كان هذا ما تقول ذ ، انت على حق.

يسد -1 ل ذ في المعادلة وحل من أجل x نحن نحصل:

مثال 6 : أكمل جدول قيم المعادلة.

يسد 0 من أجل ذ في المعادلة وحل من أجل x نحن نحصل:

يسد -1 ل ذ في المعادلة وحل من أجل x نحن نحصل:

يسد 1 ل ذ في المعادلة وحل من أجل x نحن نحصل:

نملأ الجدول نحصل عليه:

لتحقيق أقصى استفادة من هذه ، يجب عليك حل المشكلة بنفسك ثم التحقق من إجابتك بالنقر فوق الارتباط الخاص بالإجابة / المناقشة الخاصة بهذه المشكلة. ستجد في الرابط الإجابة بالإضافة إلى أي خطوات تم اتباعها للعثور على هذه الإجابة.

تمرين المشكلة 1 أ: ارسم كل نقطة وقم بتسمية الربع أو المحور الذي تقع فيه النقطة.

تمرن على مشكلة 2 أ: أعثر على x- و ذ- إحداثيات النقاط التالية المعنونة.


نظام العلاقات والإحداثيات المستطيلة

أشياء كثيرة في الحياة اليومية مرتبطة. على سبيل المثال ، عادةً ما ترتبط درجة الطالب و rsquos في الدورة التدريبية بمقدار الوقت الذي يقضيه في الدراسة ، بينما يعتمد عدد الأميال لكل جالون من الغاز المستخدم في رحلة بالسيارة على سرعة السيارة. قد تعطي القيادة بسرعة 55 ميلاً في الساعة 31 ميلاً للغالون الواحد ، بينما قد تؤدي القيادة بسرعة 65 ميلاً في الساعة إلى تقليل المسافة المقطوعة بالميل في الغاز إلى 28 ميلاً لكل جالون.

يمكن كتابة أزواج الأرقام ذات الصلة ، مثل 55 و 31 أو 65 و 28 في الرسم التوضيحي لأميال الغاز ، كأزواج مرتبة. يتكون زوج الأرقام المرتب من رقمين ، مكتوبين داخل قوسين ، حيث يكون تسلسل الأرقام مهمًا. على سبيل المثال ، (4 ، 2) و (2 ، 4) أزواج مرتبة مختلفة لأن ترتيب الأرقام مختلف. تم بالفعل استخدام تدوين مثل (3 ، 4) في هذا الكتاب لإظهار فاصل زمني على خط الأعداد. الآن يتم استخدام نفس الترميز للإشارة إلى زوج مرتب من الأرقام. في كل حالة تقريبًا ، سيكون الاستخدام المقصود واضحًا من سياق المناقشة.

علاقات تسمى مجموعة الأزواج المرتبة علاقة. مجال العلاقة هو مجموعة العناصر الأولى في الأزواج المرتبة ، ونطاق العلاقة هو مجموعة جميع العناصر الثانية المحتملة. في مثال القيادة أعلاه ، النطاق هو مجموعة جميع السرعات الممكنة والنطاق هو مجموعة الأميال الناتجة لكل جالون. في هذا النص ، نحصر المجالات والنطاقات في قيم الأرقام الحقيقية.

تُستخدم الأزواج المرتبة للتعبير عن حلول المعادلات في متغيرين.

على سبيل المثال ، نقول إن (1 ، 2) هو حل 2x -y = 0 ، نظرًا لأن استبدال 1 عن x و 2 عن y في المعادلة يعطي

بيان صحيح. عندما يمثل زوج مرتب حل معادلة مع المتغيرين x و y ، يتم كتابة y -value أولاً.

على الرغم من أن أي مجموعة من الأزواج المرتبة هي علاقة ، فإننا في الرياضيات مهتمون أكثر بالعلاقات التي تمثل مجموعات حل من المعادلات. قد نقول أن المعادلة تحدد العلاقة ، أو أنها معادلة العلاقة. للتبسيط ، غالبًا ما نشير إلى معادلات مثل

ص = 3 س + 5 أو س ^ 2 + ص ^ 2 = 16
كعلاقات ، على الرغم من أن مجموعة حل المعادلة تقنيًا هي العلاقة.

مثال 1 البحث عن الأزواج والمجالات والنطاقات المطلوبة

لكل علاقة محددة أدناه ، أعط ثلاثة أزواج مرتبة تنتمي إلى العلاقة ، وحدد المجال ونطاق العلاقة.
(أ)

ثلاثة أزواج مرتبة من العلاقة هي أي ثلاثة أزواج من خمسة أزواج مرتبة في المجموعة. المجال هو مجموعة العناصر الأولى ،
<2, 7, 10, -4, 0>,
والنطاق هو مجموعة العناصر الثانية ،
<5, -1, 3, 0>,

للعثور على زوج مرتب للعلاقة ، اختر أي رقم لـ x أو y واستبدله في المعادلة للحصول على القيمة المقابلة للمتغير الآخر. على سبيل المثال
وافر ، دع x = -2. ثم

إعطاء الزوج المرتب (-2 ، -9). إذا كانت y = 3 ، إذن

1 = س ،
والزوج المرتب هو (1 ، 3). تحقق من أن (0، -1) ينتمي أيضًا إلى العلاقة. نظرًا لأن x و y يمكن أن تأخذ أي قيم عدد حقيقي ، فإن كلا من المجال والنطاق هما (-inf ، inf) ،

تحقق من أن الأزواج المرتبة (1،2) و (0 و 1) و (2،5) تنتمي إلى العلاقة. بما أن x يساوي الجذر التربيعي الأساسي لـ y - 1 ، فإن المجال مقيد بـ (0، inf). أيضًا ، فقط الأعداد غير السالبة لها جذر تربيعي حقيقي ، لذلك يتم تحديد النطاق من خلال المتباينة

نظام التنسيق المستطيل نظرًا لأن دراسة العلاقات غالبًا ما تتضمن النظر إلى الرسوم البيانية الخاصة بهم ، فإن هذا القسم يتضمن مراجعة موجزة لمستوى الإحداثيات. كما هو مذكور في الفصل 1 ، كل رقم حقيقي يتوافق مع نقطة على خط الأعداد. يتم إعداد هذه المراسلات من خلال إنشاء نظام إحداثيات للخط. تمتد هذه الفكرة إلى بعدين من المستوى عن طريق رسم خطين متعامدين ، أحدهما أفقي والآخر عمودي. تتقاطع هذه الخطوط عند نقطة o تسمى الأصل. يسمى الخط الأفقي المحور السيني ، والخط العمودي يسمى المحور الصادي.

بدءًا من الأصل ، يمكن تحويل المحور x إلى خط أعداد بوضع أرقام موجبة على اليمين وأرقام سالبة على اليسار. يمكن تحويل المحور y إلى خط أعداد حيث ترتفع الأعداد الموجبة إلى الأعلى وتنخفض الأرقام السالبة.

يشكل المحور x والمحور y معًا نظام إحداثيات مستطيل ، أو نظام إحداثيات ديكارت (سمي على اسم أحد المخترعين المشاركين ، Ren & eacute Descartes ، وكان المخترع الآخر هو Pierre de Fermat). المستوى الذي يتم إدخال نظام الإحداثيات فيه هو المستوى الإحداثي أو المستوى xy. يقسم المحور السيني والمحور الصادي المستوى إلى أربع مناطق ، أو عبارة عن أرباع ، كما هو موضح في الشكل 3.1. لا تنتمي النقاط الموجودة على المحور السيني والمحور الصادي إلى رباعي.

تتوافق كل نقطة P في المستوى xy مع زوج مرتب فريد (أ ، ب) من الأرقام الحقيقية. الرقمان a و b هما إحداثيات النقطة P. لتحديد النقطة المقابلة للزوج المرتب (3 ، 4) على المستوى xy ، على سبيل المثال ، ارسم خطًا رأسيًا عبر 3 على المحور x وخط أفقي عبر 4 على المحور y. يتقاطع هذان الخطان عند النقطة A في الشكل 3.2. النقطة أ تقابل الزوج المرتب (3 ، 4). أيضًا في الشكل 3.2 ، يتوافق B مع الزوج المرتب (-5 ، 6) ، C إلى (-2 ، -4) ، D لـ (4 ، -3) ، و E لـ (-3 ، 0). غالبًا ما تُكتب النقطة P المقابلة للزوج المرتب (أ ، ب) على أنها P (أ ، ب) كما في الشكل 3.1 ويشار إليها بـ & ldquothe point (a، b). & rdquo

كما سنرى لاحقًا في هذا الفصل ، فإن الرسم البياني للعلاقة هو مجموعة النقاط في المستوى التي تتوافق مع الأزواج المرتبة للعلاقة.

هناك صيغتان ، صيغتا المسافة ونقطة المنتصف ، ستكونان مفيدتين في دراستنا للعلاقات في هذا الفصل.

صيغة المسافة باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا تطوير صيغة لإيجاد المسافة بين أي نقطتين في المستوى. على سبيل المثال ، يوضح الشكل 3.3 النقاط P (-4 ، 3) و R (8 ، -2).

لإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين ، أكمل مثلث قائم الزاوية كما هو موضح في الشكل. هذا المثلث القائم الزاوية له زاوية 90 درجة عند (8 ، 3). طول الضلع الأفقي للمثلث

حيث يتم استخدام القيمة المطلقة للتأكد من أن المسافة ليست سالبة. طول الضلع الرأسي للمثلث
|3 - (-2)| = 5
وفقًا لنظرية فيثاغورس ، يكون طول الضلع المتبقي من المثلث هو
الجذر (12 ^ 2 + 5 ^ 2) = الجذر (144 + 25) = الجذر (169) = 13
المسافة بين (-4،3) و (8، -2) هي 13.

للحصول على صيغة عامة للمسافة بين نقطتين على مستوى إحداثيات ، دع P (x_1 ، y_1) و R (x_2 ، y_2) أي نقطتين مميزتين في المستوى ، كما هو موضح في الشكل 3.4. أكمل مثلثًا بتحديد موقع النقطة Q بالإحداثيات (x_2 ، y_1). باستخدام نظرية فيثاغورس ، نحصل على المسافة بين P و R ، مكتوبة d (P ، R) ، مثل

ملاحظة استخدام أشرطة القيمة المطلقة ليس ضروريًا في هذه الصيغة ، لأنه بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية a و b ، | a-b | ^ 2 = (a-b) ^ 2.
يمكن تلخيص صيغة المسافة على النحو التالي.

صيغة المسافة افترض أن P (x_1، y_1) و R (x_2، y_2) نقطتان في المستوى الإحداثي. ثم تُعطى المسافة بين P و R ، المكتوبة d (P ، R) ، بواسطة صيغة المسافة d (P ، R) = الجذر ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2

على الرغم من أن إثبات صيغة المسافة يفترض أن P و R ليسا على خط أفقي أو عمودي ، فإن النتيجة صحيحة لأي نقطتين.

مثال 2 استخدام صيغة المسافة

أوجد المسافة بين P (-8،4) و Q (3، -2).
وفقًا لمعادلة المسافة ،

ملاحظة كما هو موضح في المثال 2 ، من المعتاد ترك المسافة بين نقطتين في شكل جذري بدلاً من تقريبها باستخدام آلة حاسبة (ما لم يتم تحديدها بطريقة أخرى بالطبع).

عبارة من النموذج & ldquoIf p ، ثم q & rdquo تسمى تعليمة شرطية. العبارة ذات الصلة & ldquoIf q ، ثم p & rdquo تسمى العكس. درسنا في الفصل الثاني نظرية فيثاغورس. عكس نظرية فيثاغورس هو أيضًا بيان صحيح: إذا كانت الأضلاع أ ، ب ، ج في المثلث ترضي ، فإن المثلث هو مثلث قائم الزاوية له أطوال أ و ب والوتر بطول ج. يمكن استخدام هذا لتحديد ما إذا كانت النقاط الثلاث هي رؤوس مثلث قائم الزاوية ، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال 3 تحديد ما إذا كانت ثلاث نقاط هي خواص المثلث الأيمن

هل النقاط الثلاث م (-2،5) ، ن (12،3) ، م (10 ، -11) رؤوس مثلث قائم الزاوية؟
يظهر في الشكل 3.5 مثلث به النقاط الثلاث المعطاة كرؤوس. هذا المثلث هو مثلث قائم الزاوية إذا كان مربع طول الضلع الأطول يساوي مجموع مربعي أطوال ضلعين آخرين. استخدم صيغة المسافة لإيجاد طول كل ضلع من أضلاع المثلث.

د (M، N) = الجذر ([12 - (- 2) ^ 2] + (3-5) ^ 2) = الجذر (196 + 4) = الجذر (200) د (M ، Q) = الجذر ([ 10 - (- 2) ^ 2] + (- 11-5) ^ 2) = الجذر (144 + 256) = الجذر (400) = 20 د (N ، Q) = الجذر ((10-12) ^ 2 + (-11-3) ^ 2) = الجذر (4 + 196) = الجذر (200)

بما أن 20 ^ 2 = جذر (200) + جذر ((200) ^ 2) ، أو 400 = 400 ، هي عبارة صحيحة.

هذا يثبت أن المثلث هو مثلث قائم الزاوية يربط الوتر M و Q.
باستخدام إجراء مشابه للإجراء الوارد في المثال 3 ، يمكن تحديد ما إذا كانت النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم. النقاط التي تقع على خط تسمى خطية متداخلة. ثلاث نقاط على خط واحد إذا كان مجموع المسافات بين زوجين من النقاط يساوي المسافة بين الزوج المتبقي من النقاط.

مثال 4 تحديد ما إذا كانت ثلاث نقاط متعامدة

هل النقاط (-1 ، 5) ، (2 ، -4) ، (4 ، -10) متصلة؟

المسافة بين (-1 ، 5) و (2 ، -4) هي

المسافة بين (2 ، -4) و (4 ، -10) هي

أخيرًا ، المسافة بين زوج النقاط المتبقي (-1 ، 5) و (4 ، -10) هي

نظرًا لأن 3root (10) + 2root (10) = 5root (10) ، فإن النقاط الثلاث متداخلة.

صيغة ميد بوينت تُستخدم صيغة نقطة الوسط لإيجاد إحداثيات نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة. (تذكر أن نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة هي على مسافة متساوية من نقاط نهاية المقطع.) لتطوير صيغة نقطة المنتصف ، دع (x_1، y_1) و (x_2، y_2) أي نقطتين مميزتين في المستوى. (على الرغم من أن الشكل 3.6 يوضح (x_1 & lty_2) ، فلا يلزم ترتيب معين.) افترض أن النقطتين ليستا على خط أفقي أو عمودي. لنفترض أن (x، y) هي نقطة منتصف الجزء الذي يربط (x_1، y_1) و (x_2، y_2). ارسم خطوطًا عمودية من كل نقطة من النقاط الثلاث إلى المحور السيني ، كما هو موضح في الشكل 3.6.
بما أن (x، y) هي نقطة منتصف المقطع المستقيم الذي يربط (x_1، y_1)
و (x_2 ، y_2) ، المسافة بين x و x_1 ، تساوي المسافة بين x و x_2 بحيث

من خلال هذه النتيجة ، فإن x-coordinate للنقطة الوسطى هو متوسط ​​-تكوينات نقاط نهاية المقطع. بطريقة مماثلة ، y-coordinate للنقطة الوسطى هو (y_1 + y_2) / 2 ، مما يثبت العبارة التالية.

صيغة MIDPOINT نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة بنقاط النهاية (x_1 ، y_1)) و (x_2 ، y_2) هي

بعبارة أخرى ، تنص معادلة نقطة الوسط على أنه تم العثور على إحداثيات نقطة الوسط للقطاع عن طريق حساب متوسط ​​إحداثيات x ومتوسط ​​إحداثيات y لنقاط نهاية المقطع. في التمرين 43 ، يُطلب منك التحقق من أن الإحداثيات أعلاه تفي بتعريف نقطة المنتصف.

مثال 5: استخدام صيغة MIDPOINT

أوجد نقطة المنتصف M للمقطع بنقاط النهاية (8 ، -4) و (-9 ، 6).
استخدم صيغة النقطة المتوسطة لتجد أن إحداثيات M هي

مثال 6 استخدام صيغة MIDPOINT

مقطع خط له نقطة نهاية عند (2 ، -8) ونقطة منتصف عند (-1 ، -3) ابحث عن نقطة النهاية الأخرى للمقطع.

صيغة x-coordinate للنقطة الوسطى هي (x_1 + x_2) / 2. هنا x-coordinate من نقطة المنتصف هو -1. ترك x_1 = 2 يعطي


مثال مشكلة:

المحلول: أستعاض x = −1، 0، 1 في معادلة الخط نحصل عليها ذ = −4، −1، 2 في المقابل.

x -1 0 1
ذ -4 -1 2

يتم اختيار مقياس كلا المحورين بناءً على قيم الإحداثيات التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة.

في الرسم البياني ، ارسم نقاط الإحداثيات الديكارتية (−1 ، −4) ، (0 ، −1) و (1 ، 2).

برجاء إبداء آرائكم حول هذا الموضوع منهج بوابة 2013 لملف pdf الميكانيكي بالتعليق على المدونة
اربط النقاط بقطعة مستقيمة وقم بتمديدها في كلا الاتجاهين. وهكذا نحصل على الرسم البياني المطلوب


أفقي تكون الأسطر عندما يكون " (y = ) رقم" على سبيل المثال ، " (y = 5 )" (مع عدم وجود " (x )" في المعادلة) هو خط أفقي حيث (y ) يساوي 5 . ال المنحدر صفر ( 0 ) ، بما أن (0x ) تعني عدم وجود (x ). يمكنك تذكر ذلك لأن " (y )" تبدو مقلوبة " (ح )" ، و " (ح )" هي بداية كلمة "أفقي". يقع السطر " (y = 0 )" على محور (x ).

رأسي تكون الأسطر عندما يكون " (x = ) رقم" على سبيل المثال ، " (x = 2 )" (مع عدم وجود " (y )" في المعادلة) هو خط عمودي حيث (x ) يساوي 2 . المنحدر غير معرف، مثل الخط يتساقط من السماء. يمكنك تذكر هذا لأنه يمكنك رسم " (v )" في " (x )" ، و " (v )" هي بداية كلمة "عمودي". يقع السطر " (x = 0 )" على محور (y ) -.

إذن هذا هو ما " 0 "والمنحدرات غير المحددة تبدو كما يلي:


الإحداثيات في معادلة المستوى والرسوم البيانية في متغيرين

دع PI يكون مستويًا واجعل X و Y خطين متعامدين بشكل متبادل في PI يتقاطعان عند النقطة O. باستخدام الخطين X و Y ، سنربط زوجًا من الأرقام بكل نقطة في المستوى. إذا كانت P نقطة وكان (أ ، ب) هو الزوج المرتبط بـ P ، فإن أ و ب هما إحداثيات P. الرقم أ هو أبسيسا أو أول إحداثي ص. بينما b هو الإحداثي أو الإحداثي الثاني لـ P. نشير إلى نقطة وإحداثياتها بواسطة
ص: (أ ، ب).
يتم تحديد إحداثيات P بالطريقة التالية. اختر اتجاهًا من O على طول X باعتباره الاتجاه الإيجابي على X ، وبالمثل ، اختر اتجاهًا إيجابيًا لـ Y. من المعتاد اختيار الاتجاهات الإيجابية كما هو موضح في الأسهم في الشكل 1. باختيار وحدة قياس على كل من الخطين ، نحدد المسافات الموجبة في الاتجاه الإيجابي على X و Y والمسافات السالبة في الاتجاه الآخر على كل خط ، بحيث تكون كل نقطة على المحور على مسافة موجهة من الأصل O. انظر الشكل 2. لنفترض أن k و h هما السطران الموجودان

& emsp & emsp

& emsp & emsp

& emsp & emsp P الموازية لـ X و Y على التوالي. ثم يتقاطع h مع X في نقطة على مسافة موجهة من النقطة O ، بينما يتقاطع k مع Y عند نقطة على مسافة موجهة b من النقطة O. ثم يكون زوج إحداثيات P هو (أ ، ب). في الشكل 2 ، يكون زوج الإحداثيات P هو (3 ، 3.5).
يُطلق على الخطين X و Y جنبًا إلى جنب مع الاتجاهات الموجبة ووحدة القياس نظام الإحداثيات الديكارتية للمستوى. يُطلق على المستوى الذي يتم فيه إدخال نظام إحداثيات اسم المستوى الإحداثي. الخطان X و Y هما المحوران الأفقي والعمودي ، على التوالي ، للنظام ، ونقطة تقاطعهما O هي أصل النظام.
نلاحظ أن المحاور تقسم المستوى إلى أربعة أجزاء تسمى أرباع المستوى. الترقيم عكس اتجاه عقارب الساعة من الربع العلوي الأيمن هم أول ، وثاني ، وثالث ، ورابع من المستوى. كل النقاط في الربع الأول لها إحداثيات موجبة ، وتلك الموجودة في الربع الثاني لها الإحداثي الأول سالب والإحداثي الثاني موجب ، وهكذا.
إحدى المشكلات البسيطة التي تنشأ هي تحديد موقع أو رسم نقطة يتم تقديم إحداثياتها. والثاني هو تقدير إحداثيات نقطة معينة.

مثال 1.& emsp & emspPlot (-2،4.5) و (3، -7).

& emsp & emsp

مثال 2. تقدير إحداثيات P و Q الواردة أدناه.

& emsp & emsp

& emsp & emsp باستخدام صيغة فيثاغورس من هندسة المستوى ، يمكننا التوصل إلى صيغة للمسافة بين نقطتين بدلالة إحداثيات هاتين النقطتين. دع P: (X1، ص1) وسؤال: (X2، ص2) أن تعطي. تشير إلى المسافة بين P و Q بواسطة d (P ، Q). انظر الشكل 3. بواسطة نظرية فيثاغورس

& emsp & emsp

مثال 3. ارسم النقطتين P: (-4،3) و Q: (2، -1) وابحث عن المسافة بينهما.

& emsp & emsp

7.2 & emsp & emspGraphing المعادلات في متغيرين
& emsp & emsp & emsp & emsp

& emsp & emsp & emsp النظر في المعادلة في متغيرين

حل هذه المعادلة هو زوج من الأرقام (أ ، ب) بحيث عند إجراء الاستبدال س = أ ، ص = ب في (1) ، ينتج عن بيان رقمي صحيح. إذن (4،0) و (6 ، 1) حلين ، بينما (1 ، 2) ليست حلاً. مجموعة حل (1) هي مجموعة كل أزواج الحل.
& emsp & emsp نرمز إلى الوضع العام بالطريقة التالية. يترك (x، y) تمثل أي تعبير في المتغيرين x و y. ثم حل

هو زوج من الأرقام (أ ، ب) بحيث أن الاستبدال x = أ ، ص = ب في (2) ينتج عنه بيان رقمي صحيح. مجموعة الحلول هي مجموعة كل أزواج الحلول.
نظرًا لأن مجموعة الحلول (2) عبارة عن مجموعة من أزواج الأرقام الحقيقية ، فقد نرسم هذه الأزواج كنقاط في مستوى إحداثيات. تسمى الصورة الناتجة في المستوى بالرسم البياني (2). بالنسبة لمعظم المعادلات ، يمكننا رسم عدد محدود فقط من النقاط بالضبط ثم إجراء تخمين متعلم (أكثر أو أقل) في النقاط الأخرى.

مثال 1. & emsp & emspالرسم البياني x-2y = 4.

& emsp & emsp أولاً نقوم ببناء جدول يسرد بعض أزواج الحلول

x & emsp & emsp y & emsp & emspComputations
-2 -3 & emsp & emsp -2-2y = 4 لذا -2y = 6 ، ص = -3
-1 -(5/2) -1-2 ص = 4 لذا -2 ص = 5 ، ص = - (5/2)
0 -2
1 -(3/2)
2 -1
3 -(1/2)
4 0
5 1/2
6 1

ثم ارسم هذه النقاط في مستوى إحداثيات. يبدو أن هذه النقاط تقع على خط مستقيم وقد نخمن أنها كذلك. في الواقع ، سنرى قريبًا أنهم على علاقة خطية.

دعونا نرى كيف يولد حلالنا الرسم البياني لهذه المعادلة والمعادلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

مثال 2. & emsp & emspالرسم البياني x ^ 2 + y ^ 2 = 4.

& emsp & emsp قم ببناء جدول بأزواج الحلول.

x ذ الحسابات
-2 0 (-2) ^ 2 + ص ^ 2 = 4 ، ص ^ 2 = 0 لذا ص = 0
-1 + - & جذر 3 (-1) ^ 2 + ص ^ 2 = 4 ، ص ^ 2 = 3 لذا ص = + - & جذر 3
0 +-2
1 + - & جذر 3
2 0

ارسم هذه النقاط في مستوى إحداثيات. يبدو أن هذه النقاط تقع على الدائرة ذات المركز (0،0) ونصف القطر 2. سوف نظهر في النهاية أن هذا هو الحال بالفعل.

دعونا نرى كيف يولد حلالنا الرسم البياني لهذه المعادلة والمعادلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

مثال 3. & emsp & emspالرسم البياني y = x ^ 2 + 1.

& emsp & emsp قم ببناء جدول بأزواج الحلول.

x ذ
-3 10
-2 5
-1 2
0 1
1 2
2 5
3 10

& emsp & emsp ارسم هذه النقاط في مستوى إحداثيات وربطها بمنحنى سلس.

& emsp & emsp

دعونا نرى كيف يولد حلالنا الرسم البياني لهذه المعادلة والمعادلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.


نظام الإحداثيات المستطيلة - المفهوم

قام كارل بتدريس الرياضيات العليا في عدة مدارس ويدير حاليًا شركته الخاصة للدروس الخصوصية. يراهن على أنه لا أحد يستطيع التغلب على حبه للأنشطة المكثفة في الهواء الطلق!

في الجبر ، غالبًا ما نستخدم نظام إحداثيات مستطيل لرسم الخطوط والقطوع المكافئة والصيغ الأخرى. تشمل المصطلحات المهمة التي يجب أن تكون على دراية بها المحور y والمحور x والإحداثيات y والإحداثيات x والنقاط ، ويمكن أيضًا تسمية نظام الإحداثيات المستطيل بنظام الإحداثيات أو المحور x-y.

نظام الإحداثيات المستطيلة طريقة عامة لرسم الكثير من المعلومات بالرسم البياني. تسمعه يطلق عليه نظام الإحداثيات المستطيل الذي تسمعه ويسمى نظام الإحداثيات أحيانًا تسمعه بالمحور xy. هناك طرق مختلفة لصياغتها كلها ستشير دائمًا إلى شبكة الفرز القياسية التي ربما تكون قد رأيتها من قبل ، لذا فإن الأشياء القليلة التي نحتاج إلى التحدث عنها هي هناك محور س ومحور ص.
المحور x هو المحور الأفقي ، والمحور y هو المحور الذي يرتفع لأعلى ولأسفل. حسنًا ، كيف نشير إلى نقاط محددة هو ، هل إحداثي x وإحداثي y جيد؟ لذا ، إذا قلت النقطة 3 ، -2 ، فما يعنيه ذلك هو أننا نذهب لأسفل على المحور x 3 ، لذا فإن الموجب في الاتجاه الصحيح ، لذلك ننتقل على ثلاثة 1 ، 2 ، 3 ثم ننتقل إلى الأسفل 2 ، 1 ، 2 النقطة -3 ، 2 هنا تقريبًا غير مكتمل مع المقياس ، لذا قد أكون بعيدًا قليلاً ولكن سيكون حول هذه النقطة.

حسنًا ، بعض المصطلحات الأخرى التي نرغب في وصفها هي أن نرى هنا أن & # 39s أربع مناطق مختلفة لهذا الرسم البياني ، أشير إليها هل الأرباع بخير؟ ولأسباب غير معروفة بالنسبة لي ، هذا هو الربع 1 ثم نذهب عكس اتجاه عقارب الساعة ، إذن هذا هو 2 رباعي 3 وهذه النقطة التي رسمناها في الربع 4 ، حسنًا؟ لذلك فهي طريقة سهلة حقًا بالنسبة لنا للتمييز نوعًا ما عندما نشير إلى نقطة هناك عدد من النقاط التي تحدث ، يمكننا أن نقول & quotoh! النقطة في الربع 2 ، نعلم أننا نتحدث عن شيء ما هنا. & quot
لذا ، فإن هذا النوع من النظرة العامة الموجزة لنظام الإحداثيات المستطيلة ، بينما نواصل استكشاف المزيد من الرسوم البيانية وسنرى المزيد من هذا.


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

عندما نضع نموذجًا لعلاقة بين متغيرين بصريًا ، فإننا نستخدم نظام الإحداثيات الديكارتية. يغطي هذا القسم المفردات والأفكار الأساسية التي تأتي مع نظام الإحداثيات الديكارتية.

الشكل 3.1.1. درس فيديو بديل

ديكارت رينيه.

تُنسب العديد من الأفكار والاتفاقيات المستخدمة في الرياضيات إلى (أو على الأقل تحمل اسمها) René Descartes 1 en.wikipedia.org/wiki/René_Descartes. نظام الإحداثيات الديكارتية هو أحد هؤلاء.

يحدد نظام الإحداثيات الديكارتية موقع كل نقطة في المستوى. بشكل أساسي ، يعطي النظام كل نقطة في المستوى "عنوانها" الخاص بها فيما يتعلق بنقطة البداية. سنستخدم شبكة الشارع كقياس. هنا خريطة مع منزل كارل في المركز. تُظهر الخريطة أيضًا بعض الشركات المجاورة. افترض أن كل وحدة في الشبكة تمثل كتلة مدينة واحدة.

إذا كان لدى كارل ضيف من خارج المدينة يسأله عن كيفية الوصول إلى المطعم ، فيمكن أن يقول كارل:

"أولاً ، انتقل (2 ) إلى الشرق (على اليمين على الخريطة) ، ثم انتقل (3 ) إلى الشمال (لأعلى على الخريطة)."

يتم استخدام رقمين لتحديد موقع المطعم. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم استدعاء هذه الأرقام وتتم كتابتها على أنها ((2،3) نص <.> ) يمثل الإحداثي الأول (2 نص <،> ) المسافة المقطوعة من منزل كارل إلى الشرق (أو إلى اليمين أفقيًا على الرسم البياني). يمثل الإحداثي الثاني (3 نص <،> ) المسافة إلى الشمال (أعلى عموديًا على الرسم البياني).

للسفر من منزل كارل إلى متجر الحيوانات الأليفة ، كان يذهب (3 ) بلوك غربًا ، ثم (2 ) بلوك شمال.

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يعد ملف إيجابي الاتجاهات إلى حق أفقيا و أعلى عموديا. ال نفي الاتجاهات إلى متبقى أفقيا و أسفل عموديا. إذن ، الإحداثيات الديكارتية لمتجر الحيوانات الأليفة هي ((- 3،2) نص <.> )

ملاحظة 3.1.5.

من المهم معرفة أن ترتيب الإحداثيات الديكارتية هو (أفقي ، رأسي). هذه الفكرة لتوصيل المعلومات الأفقية قبل المعلومات العمودية متسقة في معظم الرياضيات.

نقطة تفتيش 3.1.6.
تحذير 3.1.7. مشكلة التدوين: إحداثيات أم فاصل؟

لسوء الحظ ، فإن تدوين الزوج المرتب يشبه تمامًا تدوين الفاصل لفترة مفتوحة. سياق الكلام سيساعدك على فهم ما إذا كان ((1،3) ) يشير إلى النقطة (1 ) وحدة يمين الأصل و (3 ) وحدات لأعلى ، أو إذا كان ((1،3) ) يشير إلى الفاصل الزمني من جميع الأعداد الحقيقية بين (1 ) و (3 نص <.> )

تقليديا ، المتغير (س ) يمثل الأرقام على المحور الأفقي ، لذلك يطلق عليه. المتغير (ص ) يمثل الأرقام على المحور الرأسي ، لذلك يطلق عليه. تلتقي المحاور عند النقطة ((0،0) text <،> ) والتي تسمى. يتم تمثيل كل نقطة في المستوى ب ، ((س ، ص) نص <.> )

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، ستبدو خريطة حي كارل على النحو التالي:

التعريف 3.1.9. نظام الإحداثيات الديكارتية.

نظام الإحداثيات الديكارتية 2 en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system هو نظام إحداثي يحدد كل نقطة بشكل فريد في المستوى عن طريق زوج من الإحداثيات الرقمية ، وهي مسافات موقعة (موجبة / سالبة) إلى النقطة من نقطتين متعامدة ثابتة خطوط موجهة ، تقاس بنفس وحدة الطول. يُطلق على هذين الخطين المرجعيين اسم و ، والنقطة التي يلتقيان فيها هي. غالبًا ما تسمى المحاور الأفقية والعمودية بـ و.

المستوى القائم على المحور (س ) - المحور (ص ) يسمى أ. يسمى الزوج المرتب المستخدم لتحديد موقع النقطة بالنقطة ، ويتكون من an و a. على سبيل المثال ، النقطة ((1،2) نص <،> ) لها (س ) - تنسيق (1 نص <،> ) و (ص ) - تنسيق (2 نص <.> ) الأصل له إحداثيات ((0،0) text <.> )

ينقسم نظام الإحداثيات الديكارتية إلى أربعة ، كما هو موضح في الشكل 3.1.10. يتم تسمية الأرباع تقليديا بالأرقام الرومانية.

مثال 3.1.11.

على الورق ، ارسم نظام إحداثيات ديكارتي بوحدات ، ثم ارسم النقاط التالية: ((3،2) ، (- 5 ، -1) ، (0 ، -3) ، (4،0) نص <. > )


1.2: نظم الإحداثيات المستطيلة والرسوم البيانية - الرياضيات

في الإحداثيات الديكارتية (أو الإحداثيات المستطيلة) ، `` عنوان '' نقطة ص يُعطى من خلال رقمين حقيقيين يشيران إلى مواقع الإسقاطات العمودية من النقطة إلى خطين متعامدين وثابتين متدرجين ، يُطلق عليهما المحاور. إذا تم الإشارة إلى إحداثي واحد x والآخر ذ، وتسمى المحاور x-محور و ال ذ-محورونكتب ص=(x,ذ). عادة x- يتم رسم المحور الأفقي مع x زيادة إلى اليمين ، و ذ- يتم رسم المحور الرأسي مع ذ زيادة الصعود. النقطة x=0, ذ= 0 هو الأصلحيث تتقاطع المحاور. انظر الشكل 1.

  
الشكل 1: في الإحداثيات الديكارتية ، ص=(4,3), س=(-1.3,2.5), ص=(-1.5,-1.5), س= (3.5 ، -1) ، و تي= (4.5،0). المحاور تقسم الطائرة إلى أربعة الأرباع: ص يقع في الربع الأول ، س في الثانية ص في الثالث و س في الرابع. تي على الجانب الإيجابي x-محور.

سيلفيو ليفي
الأربعاء 4 أكتوبر 16:41:25 بتوقيت المحيط الهادئ الصيفي 1995

تم اقتباس هذه الوثيقة من الإصدار الثلاثين من جداول وصيغ رياضية قياسية CRC (مطبعة CRC). النسخ غير المصرح به ممنوع.


11.1 استخدم نظام الإحداثيات المستطيلة

على سبيل المثال ، يقع مركز الطلاب في القسم 2 ب. وهي موجودة في قسم الشبكة أعلى الرقم 2 2 وبجوار الحرف B. في أي قسم من خطوط الشبكة يوجد الملعب؟ الملعب في القسم 4 د.

مثال 11.1

المحلول

تمامًا كما تستخدم الخرائط نظام الشبكة لتحديد المواقع ، يتم استخدام نظام الشبكة في الجبر لإظهار العلاقة بين متغيرين في نظام إحداثيات مستطيل. لإنشاء نظام إحداثيات مستطيل ، ابدأ بخط أرقام أفقي. اعرض كلاً من الأرقام الموجبة والسالبة كما فعلت من قبل ، باستخدام وحدة مقياس مناسبة. يسمى خط الأعداد الأفقي هذا x-محور.

الآن ، قم بعمل خط أعداد رأسي يمر عبر المحور x-المحور x عند 0. 0. ضع الأعداد الموجبة فوق 0 0 والأرقام السالبة أسفل 0. 0. انظر الشكل 11.3. هذا الخط العمودي يسمى ذ-محور.

في نظام الإحداثيات المستطيلة ، يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب. الرقم الأول في الزوج المرتب هو x-تنسيق النقطة ، والرقم الثاني هو ذ-تنسيق النقطة.

زوج مرتب

إذن ، كيف تساعدك إحداثيات نقطة ما في تحديد موقع نقطة على المستوى x - y x - y؟

مثال 11.2

المحلول

لاحظ أن ترتيب الإحداثيات مهم ، لذلك ، (1 ، 3) (1 ، 3) ليست نفس النقطة مثل (3 ، 1). (3 ، 1).

ارسم كل نقطة على نفس نظام الإحداثيات المستطيل: (5 ، 2) ، (2 ، 5). (5 ، 2) ، (2 ، 5).

ارسم كل نقطة على نفس نظام الإحداثيات المستطيل: (4 ، 2) ، (2 ، 4). (4 ، 2) ، (2 ، 4).

مثال 11.3

ارسم كل نقطة في نظام الإحداثيات المستطيلة وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة:

المحلول

ارسم كل نقطة على نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة.

ارسم كل نقطة على نظام إحداثيات مستطيل وحدد الربع الذي تقع فيه النقطة.

كيف تؤثر العلامات على موقع النقاط؟

مثال 11.4

المحلول

ربما لاحظت بعض الأنماط أثناء رسمك للنقاط في المثالين السابقين.

لكل نقطة في الربع الرابع ، ما الذي تلاحظه بشأن علامات الإحداثيات؟

ماذا عن علامات إحداثيات النقاط في الربع الثالث؟ الربع الثاني؟ الربع الأول؟

هل يمكنك أن تعرف فقط بالنظر إلى الإحداثيات في أي ربع تقع النقطة (−2 ، 5)؟ في أي ربع يقع (2 ، −5)؟

يمكننا تلخيص أنماط إشارات الأرباع على النحو التالي. انظر أيضًا الشكل 11.7.

النقاط على المحاور

ما هو الزوج المرتب للنقطة التي يتقاطع عندها المحاور؟ عند هذه النقطة يكون كلا الإحداثيين صفراً ، وبالتالي يكون الزوج المرتب (0 ، 0) (0 ، 0). النقطة لها اسم خاص. يطلق عليه الأصل.

الأصل

مثال 11.5

ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات:

المحلول

ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات:

ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات:

تحديد النقاط على الرسم البياني

في الجبر ، القدرة على تحديد إحداثيات نقطة معروضة على الرسم البياني لا تقل أهمية عن القدرة على رسم النقاط. للتعرف على x-تنسيق نقطة على الرسم البياني ، اقرأ الرقم الموجود على x-المحور أعلى أو أسفل النقطة مباشرة. للتعرف على ذ-تنسيق نقطة ، اقرأ الرقم الموجود على ذ-المحور مباشرة إلى يسار أو يمين النقطة. تذكر أن تكتب الزوج المرتب بالترتيب الصحيح (س ، ص). (س ، ص).

مثال 11.6

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

المحلول

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

مثال 11.7

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

المحلول

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة:

تحقق من حلول معادلة في متغيرين

جميع المعادلات التي قمنا بحلها حتى الآن كانت معادلات ذات متغير واحد. في كل حالة تقريبًا ، عندما حللنا المعادلة ، حصلنا على حل واحد بالضبط. انتهت عملية حل المعادلة بعبارة مثل x = 4. س = 4. ثم تحققنا من الحل بالتعويض مرة أخرى في المعادلة.

فيما يلي مثال على معادلة خطية في متغير واحد وحلها الوحيد.

لكن يمكن أن تحتوي المعادلات على أكثر من متغير واحد. يمكن كتابة المعادلات ذات المتغيرين في الصورة العامة A x + B y = C. أ س + ب ص = ج. معادلة من هذا الشكل تسمى المعادلة الخطية في متغيرين.

معادلة خط مستقيم

لاحظ أن كلمة "line" مكتوبة بخط خطي.

فيما يلي مثال لمعادلة خطية في متغيرين ، x x و y: y:

حل معادلة خطية في متغيرين

مثال 11.8

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلول المعادلة س + 4 ص = 8: س + 4 ص = 8:

المحلول

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة الآتية: 2 س + 3 ص = 6 2 س + 3 ص = 6

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة الآتية: 4 س - ص = 8 4 س - ص = 8

مثال 11.9

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلول المعادلة. ص = 5 س - 1: ص = 5 س - 1:

المحلول

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة التالية: y = 4 x - 3 y = 4 x - 3

حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة المعطاة: y = −2 x + 6 y = −2 x + 6

أكمل جدول حلول المعادلة الخطية

سنبدأ بالنظر في حلول المعادلة y = 5 x - 1 y = 5 x - 1 التي وجدناها في المثال 11.9. يمكننا تلخيص هذه المعلومات في جدول الحلول.

لإيجاد حل ثالث ، سنترك x = 2 x = 2 ونحل من أجل y. ذ.

الزوج المرتب هو حل لـ y = 5 x - 1 y = 5 x - 1. سنضيفه إلى الجدول.

مثال 11.10

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة ص = 4 س - 2: ص = 4 س - 2:

المحلول

النتائج ملخصة في الجدول.

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: y = 3 x - 1. ص = 3 س - 1.

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: y = 6 x + 1 y = 6 x + 1

مثال 11.11

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة 5 س - 4 ص = 20: 5 س - 4 ص = 20:

المحلول

النتائج ملخصة في الجدول.

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: 2 س - 5 ص = 20. 2 س - 5 ص = 20.

أكمل الجدول لإيجاد ثلاثة حلول للمعادلة: 3 س - 4 ص = 12. 3 س - 4 ص = 12.

إيجاد حلول للمعادلات الخطية في متغيرين

مثال 11.12

أوجد حلًا للمعادلة 3 س + 2 ص = 6. 3 س + 2 ص = 6.

المحلول

الخطوة 1: اختر أي قيمة لأحد المتغيرات في المعادلة. يمكننا التعويض بأي قيمة نريدها عن x x أو بأي قيمة لـ y. ذ.
دعنا نختار x = 0. س = 0.
ما قيمة y y إذا كانت x = 0 x = 0؟
الخطوة 2: عوّض بهذه القيمة في المعادلة.
أوجد قيمة المتغير الآخر.

عوّض 0 0 من أجل x. x.
تبسيط.

اقسم كلا الجانبين على 2.
الخطوه 3: اكتب الحل كزوج مرتب. لذلك ، عندما تكون س = 0 ، ص = 3. س = 0 ، ص = 3. يتم تمثيل هذا الحل من خلال الزوج المرتب (0 ، 3). (0 ، 3).
الخطوة الرابعة: التحقق من.
هل النتيجة معادلة صحيحة؟
نعم!

أوجد حل المعادلة: 4 س + 3 ص = 12. 4 س + 3 ص = 12.

أوجد حل المعادلة: 2 س + 4 ص = 8. 2 س + 4 ص = 8.

قلنا أن المعادلات الخطية في متغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول ، ووجدنا للتو واحدًا منهم. لنجد بعض الحلول الأخرى للمعادلة 3 س + 2 ص = 6. 3 س + 2 ص = 6.

مثال 11.13

أوجد ثلاثة حلول أخرى للمعادلة 3 س + 2 ص = 6. 3 س + 2 ص = 6.

المحلول

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: 2 س + 3 ص = 6. 2 س + 3 ص = 6.

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: 4 س + 2 ص = 8. 4 س + 2 ص = 8.

دعونا نجد بعض الحلول لمعادلة أخرى الآن.

مثال 11.14

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة س - 4 ص = 8. س - 4 ص = 8.

المحلول

تذكر أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول لكل معادلة خطية. أي نقطة تجدها هي حل إذا جعلت المعادلة صحيحة.

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: 4 س + ص = 8. 4 س + ص = 8.

أوجد ثلاثة حلول للمعادلة: x + 5 y = 10. س + 5 ص = 10.

وسائل الإعلام

الوصول إلى موارد إضافية عبر الإنترنت

القسم 11.1 تمارين

مع التدريب يأتي الإتقان

ارسم النقاط على نظام الإحداثيات المستطيلة

في التدريبات التالية ، ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات.

في التدريبات التالية ، ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات وحدد الربع الذي توجد فيه النقطة.

في التدريبات التالية ، ارسم كل نقطة على شبكة إحداثيات.

تحديد النقاط على الرسم البياني

في التدريبات التالية ، قم بتسمية الزوج المرتب لكل نقطة معروضة.

تحقق من حلول معادلة في متغيرين

في التدريبات التالية ، حدد الأزواج المرتبة التي تمثل حلولًا للمعادلة المحددة.

إيجاد حلول للمعادلات الخطية في متغيرين

في التمارين التالية ، أكمل الجدول لإيجاد حلول لكل معادلة خطية.

الرياضيات اليومية

وزن الطفل سجلت ماكنزي وزن طفلها كل شهرين. يتم سرد عمر الطفل ، بالأشهر ، والوزن ، بالجنيه ، في الجدول ، وتظهر كزوج مرتب في العمود الثالث.

ⓐ ارسم النقاط على شبكة إحداثيات.

ⓑ لماذا احتاج فقط رباعي؟

وزن الطفل سجلت لطريشة طول ابنها ووزنه كل عام. طوله ، بالبوصة ، ووزنه ، بالجنيه ، مدرجان في الجدول ، ويظهران كزوج مرتب في العمود الثالث.

ⓐ ارسم النقاط على شبكة إحداثيات.

ⓑ لماذا احتاج فقط رباعي؟

تمارين الكتابة

هل سبق لك استخدام خريطة بنظام إحداثيات مستطيل؟ صِف الخريطة وكيف استخدمتها.

كيف تحدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً لمعادلة معينة؟

الاختيار الذاتي

ⓐ بعد الانتهاء من التمارين ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم إتقانك لأهداف هذا القسم.

ⓑ إذا كانت معظم الشيكات الخاصة بك:

…بثقة. تهانينا! لقد حققت الأهداف في هذا القسم. فكر في مهارات الدراسة التي استخدمتها حتى تتمكن من الاستمرار في استخدامها. ماذا فعلت لتصبح واثقًا من قدرتك على فعل هذه الأشياء؟ كن دقيقا.

... مع بعض المساعدة. يجب معالجة هذا بسرعة لأن الموضوعات التي لا تتقنها تصبح حفرًا في طريقك إلى النجاح. في الرياضيات ، كل موضوع يعتمد على عمل سابق. من المهم التأكد من أن لديك أساسًا قويًا قبل المضي قدمًا. من يمكنك طلب المساعدة؟ زملائك في الفصل والمدرس هم موارد جيدة. هل يوجد مكان في الحرم الجامعي يتوفر فيه مدرسو الرياضيات؟ هل يمكن تحسين مهاراتك الدراسية؟

... لا - لا أفهم! هذه علامة تحذير ويجب ألا تتجاهلها. يجب أن تحصل على المساعدة على الفور وإلا ستغرق بسرعة. راجع معلمك في أقرب وقت ممكن لمناقشة وضعك. يمكنكما معًا وضع خطة لتزويدك بالمساعدة التي تحتاجها.

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Prealgebra 2e
    • تاريخ النشر: 11 مارس 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/11-1-use-the-rectangular-coordinate-system

    © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    شاهد الفيديو: 2-الاحداثيات القطبيه للصف الحادي عشر المتقدم والثاني عشر العام (شهر اكتوبر 2021).