مقالات

4.7: وظائف عقلانية - رياضيات


أهداف التعلم

  • استخدم تدوين السهم.
  • حل مسائل تطبيقية تتضمن دوال كسرية.
  • أوجد مجالات الوظائف المنطقية.
  • حدد الخطوط المقاربة العمودية.
  • حدد الخطوط المقاربة الأفقية.
  • ارسم وظائف عقلانية.

لنفترض أننا نعلم أن تكلفة صنع منتج ما تعتمد على عدد العناصر ، (س ) ، المنتجة. يتم الحصول على هذا من خلال المعادلة (C (x) = 15000x − 0.1x ^ 2 + 1000. ) إذا أردنا معرفة متوسط ​​تكلفة إنتاج (x ) عناصر ، فسنقسم دالة التكلفة على عدد العناصر ، (س ). دالة متوسط ​​التكلفة ، التي تنتج متوسط ​​التكلفة لكل عنصر للعناصر المنتجة (x ) هي

[f (x) = dfrac {15000x − 0.1x ^ 2 + 1000} {x} nonumber ]

تتطلب العديد من مشاكل التطبيق الأخرى إيجاد قيمة متوسطة بطريقة مماثلة ، مما يعطينا متغيرات في المقام. ستحتوي هذه الوظيفة ، المكتوبة بدون متغير في المقام ، على قوة عدد صحيح سالب.

في الأقسام القليلة الماضية ، عملنا مع دوال كثيرة الحدود ، وهي دوال ذات أعداد صحيحة غير سالبة للأسس. في هذا القسم ، نستكشف الدوال الكسرية التي لها متغيرات في المقام.

استخدام تدوين السهم

لقد رأينا الرسوم البيانية الأساسية دالة متبادلة والوظيفة التربيعية المربعة من دراستنا لوظائف مجموعة الأدوات. افحص هذه الرسوم البيانية ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ) ، ولاحظ بعض ميزاتها.

تظهر عدة أشياء إذا فحصنا الرسم البياني لـ (f (x) = frac {1} {x} ).

  • على الفرع الأيسر من الرسم البياني ، يقترب المنحنى من (x ) - المحور ((y = 0) ) كـ (x rightarrow - infty ).
  • مع اقتراب الرسم البياني من اليسار (x = 0 ) ينخفض ​​المنحنى ، ولكن عندما نقترب من الصفر من جهة اليمين ، يرتفع المنحنى.
  • أخيرًا ، على الفرع الأيمن من الرسم البياني ، تقترب المنحنيات من (x ) - المحور ((y = 0) ) كـ (x rightarrow infty ).

للتلخيص ، نستخدم تدوين السهم لتوضيح أن (x ) أو (f (x) ) تقترب من قيمة معينة (Table ( PageIndex {1} )).

جدول ( PageIndex {1} )
رمزالمعنى
(x rightarrow a ^ - ) (x ) يقترب من a من اليسار ( (x
(x rightarrow a ^ + ) (x ) يقترب من a من اليمين ( (x> a ) ولكنه قريب من (a ))
(x rightarrow infty ) (س ) يقترب من اللانهاية ( (س ) يزداد بلا حدود)
(x rightarrow - infty ) (س ) يقترب من اللانهاية السلبية ( (س ) يتناقص بلا حدود)
(f (x) rightarrow infty )الناتج يقترب من اللانهاية (يزيد الناتج بدون حدود)
(f (x) rightarrow - infty )الناتج يقترب من اللانهاية السالبة (الناتج ينخفض ​​بدون قيود)
(و (س) السهم الأيمن أ )الإخراج يقترب (أ )

السلوك المحلي لـ (f (x) = frac {1} {x} )

لنبدأ بالنظر إلى الدالة المتبادلة ، (f (x) = frac {1} {x} ). لا يمكننا القسمة على الصفر ، مما يعني أن الوظيفة غير معرفة عند (x = 0 ) ؛ لذلك الصفر ليس في المجال. عندما تقترب قيم الإدخال من الصفر من الجانب الأيسر (تصبح قيمًا صغيرة جدًا وسالبة) ، تنخفض قيم الوظيفة دون قيود (بمعنى آخر ، تقترب من اللانهاية السالبة). يمكننا أن نرى هذا السلوك في Table ( PageIndex {2} ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س )–0.1–0.01–0.001–0.0001
(f (x) = frac {1} {x} )–10–100–1000–10,000

نكتب في تدوين السهم

مثل (x rightarrow 0 ^ -، f (x) rightarrow - infty )

عندما تقترب قيم الإدخال من الصفر من الجانب الأيمن (تصبح قيمًا موجبة وصغيرة جدًا) ، تزداد قيم الوظيفة بدون حدود (تقترب من اللانهاية). يمكننا أن نرى هذا السلوك في Table ( PageIndex {3} ).

جدول ( PageIndex {3} )
(س )0.10.010.0010.0001
(f (x) = frac {1} {x} )10100100010,000

نكتب في تدوين السهم

كـ (x rightarrow 0 ^ +، f (x) rightarrow infty ).

راجع الشكل ( PageIndex {2} ).

يؤدي هذا السلوك إلى إنشاء ملف الخط المقارب الرأسي، وهو خط رأسي يقترب منه الرسم البياني ولكن لا يتقاطع معه أبدًا. في هذه الحالة ، يقترب الرسم البياني من الخط العمودي (x = 0 ) حيث يصبح الإدخال قريبًا من الصفر (الشكل ( PageIndex {3} )).

التعريف: ASYMPTOTE الرأسي

الخط المقارب العمودي للرسم البياني هو خط عمودي (س = أ ) حيث يميل الرسم البياني نحو اللانهاية الموجبة أو السالبة مع اقتراب المدخلات من (أ ). نحن نكتب

كـ (x rightarrow a ) ، (f (x) rightarrow infty ) ، أو كـ (x rightarrow a ) ، (f (x) rightarrow - infty ).

سلوك نهاية (f (x) = frac {1} {x} )

عندما تقترب قيم (x ) من اللانهاية ، تقترب قيم الدالة من (0 ). عندما تقترب قيم (x ) من اللانهاية السالبة ، تقترب قيم الدالة من (0 ) (الشكل ( PageIndex {4} )). رمزيًا ، باستخدام تدوين السهم

كـ (x rightarrow infty ) ، (f (x) rightarrow 0 ) ، وك (x rightarrow - infty ) ، (f (x) rightarrow 0 ).

بناءً على هذا السلوك العام والرسم البياني ، يمكننا أن نرى أن الدالة تقترب من الصفر ولكنها لا تصل أبدًا إلى الصفر ؛ يبدو أنه يستقر عندما تصبح المدخلات كبيرة. يؤدي هذا السلوك إلى إنشاء ملف خط مقارب أفقي، وهو خط أفقي يقترب منه الرسم البياني مع زيادة أو نقصان الإدخال دون حدود. في هذه الحالة ، يقترب الرسم البياني من الخط الأفقي (y = 0 ). راجع الشكل ( PageIndex {5} ).

التعريف: ASYMPTOTE الأفقي

أ خط مقارب أفقي من الرسم البياني هو خط أفقي (y = b ) حيث يقترب الرسم البياني من الخط حيث تزيد المدخلات أو تنقص دون حدود. نحن نكتب

كـ (x rightarrow infty text {or} x rightarrow - infty ) ، (f (x) rightarrow b ).

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام تدوين السهم.

استخدم تدوين السهم لوصف السلوك النهائي والسلوك المحلي للدالة الموضحة في الشكل ( PageIndex {6} ).

المحلول

لاحظ أن الرسم البياني يعرض خطًا مقاربًا رأسيًا عند (x = 2 ) ، مما يخبرنا أن الوظيفة غير محددة عند (x = 2 ).

كـ (x rightarrow 2 ^ - ) ، (f (x) rightarrow - infty ، ) وك (x rightarrow 2 ^ + ) ، (f (x) rightarrow infty ) ).

ومع تناقص المدخلات بلا حدود ، يبدو أن الرسم البياني يستوي عند قيم الإخراج (4 ) ، مما يشير إلى خط مقارب أفقي عند (y = 4 ). مع زيادة المدخلات بلا حدود ، تتوقف مستويات الرسم البياني عند (4 ).

كـ (x rightarrow infty ) ، (f (x) rightarrow 4 ) وك (x rightarrow - infty ) ، (f (x) rightarrow 4 ).

تمارين ( PageIndex {1} )

استخدم تدوين السهم لوصف السلوك النهائي والسلوك المحلي للدالة التربيعية التبادلية.

إجابه

سلوك النهاية: مثل (x rightarrow pm infty )، (f (x) rightarrow 0 )؛

السلوك المحلي: مثل (x rightarrow 0 )، (f (x) rightarrow infty ) (لا توجد تقاطعات x أو y)

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام التحويلات لرسم دالة منطقية.

ارسم رسمًا بيانيًا للدالة المقلوبة بنقل وحدتين إلى اليسار وثلاث وحدات لأعلى. حدد الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية للرسم البياني ، إن وجدت.

المحلول

يؤدي تحريك الرسم البياني لليسار 2 وأعلى 3 إلى إنشاء الدالة

[f (x) = dfrac {1} {x + 2} +3 ]

أو ما يعادله ، من خلال إعطاء المصطلحات قاسمًا مشتركًا ،

[f (x) = dfrac {3x + 7} {x + 2} ]

يتم عرض الرسم البياني للوظيفة التي تم تغييرها في الشكل ( PageIndex {7} ).

لاحظ أن هذه الوظيفة غير معرّفة عند (x = −2 ) ، والرسم البياني يظهر أيضًا خطًا مقاربًا رأسيًا عند (x = −2 ).

كـ (x rightarrow −2 ^ - ) ، (f (x) rightarrow - infty ) ، وكما (x rightarrow −2 ^ + ) ، (f (x) rightarrow infty ).

مع زيادة المدخلات وتنقصها بدون حدود ، يبدو أن الرسم البياني يستوي عند قيم الإخراج 3 ، مما يشير إلى خط مقارب أفقي عند (y = 3 ).

كـ (x rightarrow pm infty ) ، (f (x) rightarrow 3 ).

التحليلات

لاحظ أنه تم إزاحة الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية لليسار 2 وأعلى 3 جنبًا إلى جنب مع الوظيفة.

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم الرسم البياني ، وابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية للدالة التربيعية المقلوبة التي تم إزاحتها لليمين بمقدار 3 وحدات ولأسفل بمقدار 4 وحدات.

المحلول

يتم إزاحة الوظيفة والخطوط المقاربة بمقدار 3 وحدات لليمين و 4 وحدات لأسفل. كـ (x rightarrow 3 ) ، (f (x) rightarrow infty ) ، وك (x rightarrow pm infty ) ، (f (x) rightarrow −4 ).

الوظيفة هي (f (x) = frac {1} {{(x − 3)} ^ 2} −4 ).

حل المشكلات التطبيقية التي تنطوي على وظائف عقلانية

في المثال ( PageIndex {2} ) ، قمنا بإزاحة وظيفة مجموعة الأدوات بطريقة نتج عنها الوظيفة (f (x) = frac {3x + 7} {x + 2} ). هذا مثال على دالة عقلانية. أ وظيفة عقلانية هي وظيفة يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة دالتين كثيرتي الحدود. تتطلب منا العديد من مشاكل العالم الحقيقي إيجاد نسبة دالتين كثيرتي الحدود. غالبًا ما تتضمن المشكلات التي تنطوي على معدلات وتركيزات وظائف عقلانية.

التعريف: الوظيفة المنطقية

أ وظيفة عقلانية هي وظيفة يمكن كتابتها على أنها حاصل قسمة وظيفتين كثيرتي الحدود (P (x) ) و (Q (x) ).

[f (x) = dfrac {P (x)} {Q (x)} = dfrac {a_px ^ p + a_ {p − 1} x ^ {p − 1} + ... + a_1x + a_0 } {b_qx ^ q + b_ {q − 1} x ^ {q − 1} + ... + b_1x + b_0} ، space Q (x) ≠ 0 ]

مثال ( PageIndex {3} ): حل مشكلة تطبيقية تتضمن دالة عقلانية

يحتوي خزان الخلط الكبير حاليًا على 100 جالون من الماء حيث تم خلط 5 أرطال من السكر. سيفتح صنبور يصب 10 جالونًا من الماء في الدقيقة في الخزان في نفس الوقت الذي يُسكب فيه السكر في الخزان بمعدل 1 رطل في الدقيقة. أوجد تركيز السكر (رطل لكل جالون) في الخزان بعد 12 دقيقة. هل هذا تركيز أكبر مما كان عليه في البداية؟

المحلول

ليكن عدد الدقائق منذ فتح الصنبور. نظرًا لأن الماء يزيد بمعدل 10 جالونات في الدقيقة ، ويزداد السكر بمعدل رطل واحد في الدقيقة ، فهذه معدلات تغير ثابتة. يخبرنا هذا أن كمية الماء في الخزان تتغير خطيًا ، وكذلك كمية السكر في الخزان. يمكننا كتابة معادلة بشكل مستقل لكل منها:

الماء: (W (t) = 100 + 10t ) بالغالون

السكر: (S (t) = 5 + 1t ) بالجنيه

سيكون التركيز (C ) هو نسبة رطل السكر إلى جالون الماء

[C (t) = dfrac {5 + t} {100 + 10t} ]

يتم إعطاء التركيز بعد 12 دقيقة من خلال تقييم (C (t) ) في (t = 12 ).

[ start {align} C (12) & = dfrac {5 + 12} {100 + 10 (12)} & = dfrac {17} {220} end {align} ]

وهذا يعني أن التركيز هو 17 رطلاً من السكر مقابل 220 جالونًا من الماء.

التركيز في البداية

[ start {align} C (0) & = dfrac {5 + 0} {100 + 10 (0)} & = dfrac {1} {20} end {align} ]

نظرًا لأن ( frac {17} {220} ≈0.08> frac {1} {20} = 0.05 ) ، يكون التركيز أكبر بعد 12 دقيقة منه في البداية.

التحليلات

لإيجاد الخط المقارب الأفقي ، اقسم المعامل الرئيسي في البسط على المعامل الرئيسي في المقام:

[ dfrac {1} {10} = 0.1 ]

لاحظ أن الخط المقارب الأفقي (y = 0.1. ) وهذا يعني أن التركيز ، (C ، ) نسبة رطل السكر إلى جالون الماء ، سيقترب من 0.1 على المدى الطويل.

تمرين ( PageIndex {3} )

هناك 1200 طالب جديد و 1500 طالب في السنة الثانية في رالي تمهيدي ظهرًا. بعد الساعة 12 ظهرًا ، يصل 20 طالبًا جديدًا إلى التجمع كل خمس دقائق بينما يغادر 15 طالبًا في السنة الثانية التجمع. أوجد نسبة الطلاب الجدد إلى طلاب السنة الثانية في الساعة 1 مساءً.

إجابه

( فارك {12} {11} )

البحث عن مجالات الوظائف العقلانية

أ الخط المقارب الرأسي يمثل قيمة تكون فيها دالة عقلانية غير معرَّفة ، بحيث لا تكون هذه القيمة في مجال الوظيفة. لا يمكن أن تحتوي الدالة المقلوبة على قيم في مجالها تجعل المقام يساوي صفرًا. بشكل عام ، لإيجاد مجال دالة كسرية ، علينا تحديد المدخلات التي تسبب القسمة على صفر.

التعريف: مجال الوظيفة المنطقية

يشمل مجال الدالة الكسرية جميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك التي تجعل المقام يساوي صفرًا.

الكيفية: بالنظر إلى دالة عقلانية ، أوجد المجال.

  1. ساوي المقام بالصفر.
  2. حل لإيجاد قيم x التي تجعل المقام يساوي صفرًا.
  3. المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء تلك الموجودة في الخطوة 2.

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن مجال دالة منطقية

أوجد مجال (f (x) = dfrac {x + 3} {x ^ 2−9} ).

المحلول

ابدأ بجعل المقام يساوي صفرًا والحل.

[س ^ 2-9 = 0 ]

[x ^ 2 = 9 ] [x = pm 3 ]

المقام يساوي صفرًا عند (x = pm 3 ). مجال الوظيفة هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء (x = pm 3 ).

التحليلات

يؤكد الرسم البياني لهذه الوظيفة ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {9} ) ، أن الوظيفة لم يتم تعريفها عند (x = pm 3 ).

يوجد خط مقارب عمودي عند (x = 3 ) وثقب في الرسم البياني عند (x = −3 ). سنناقش هذه الأنواع من الثقوب بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا القسم.

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد مجال (f (x) = frac {4x} {5 (x − 1) (x − 5)} ).

إجابه

المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء (س = 1 ) و (س = 5 ).

تحديد الخطوط المقاربة العمودية للوظائف المنطقية

من خلال النظر إلى الرسم البياني للدالة المنطقية ، يمكننا التحقق من سلوكها المحلي ومعرفة ما إذا كانت هناك خطوط مقاربة بسهولة. حتى أننا قد نكون قادرين على تقريب موقعهم. حتى بدون الرسم البياني ، لا يزال بإمكاننا تحديد ما إذا كانت دالة كسرية معينة لها أي خطوط مقاربة ، وحساب موقعها.

الخطوط المقاربة الرأسية

يمكن العثور على الخطوط المقاربة العمودية لوظيفة عقلانية من خلال فحص عوامل المقام غير المشتركة للعوامل في البسط. تحدث الخطوط المقاربة العمودية عند أصفار هذه العوامل.

الكيفية: إعطاء دالة منطقية ، حدد أي خطوط مقاربة رأسية للرسم البياني الخاص بها

  1. حلل البسط والمقام إلى عوامل.
  2. لاحظ أي قيود في مجال الوظيفة.
  3. اختصر التعبير بحذف العوامل المشتركة في البسط والمقام.
  4. لاحظ أي قيم تجعل المقام صفرًا في هذه النسخة المبسطة. هذا هو المكان الذي تحدث فيه الخطوط المقاربة العمودية.
  5. لاحظ أي قيود في المجال حيث لا تظهر الخطوط المقاربة. هذه انقطاعات قابلة للإزالة ، أو "ثقوب".

مثال ( PageIndex {5} ): تحديد الخطوط المقاربة العمودية

أوجد الخطوط المقاربة العمودية لمخطط (k (x) = frac {5 + 2x ^ 2} {2 − x − x ^ 2} ).

المحلول

أولًا ، حلل البسط والمقام إلى عوامل.

[k (x) = dfrac {5 + 2x ^ 2} {2 − x − x ^ 2} ].

[= dfrac {5 + 2x ^ 2} {(2 + x) (1-x)} ]

للعثور على الخطوط المقاربة العمودية ، نحدد مكان عدم تحديد هذه الوظيفة عن طريق ضبط المقام على صفر:

[(2 + س) (1 − س) = 0 ]

[س = −2،1 ]

لا (x = –2 ) ولا (x = 1 ) أصفار البسط ، لذلك تشير القيمتان إلى خطين مقاربين عموديين. يؤكد الرسم البياني في الشكل ( PageIndex {10} ) موقع الخطين المقاربين الرأسيين.

الشكل ( PageIndex {10} ).

الانقطاعات القابلة للإزالة

من حين لآخر ، سيحتوي الرسم البياني على ثقب: نقطة واحدة حيث لم يتم تعريف الرسم البياني ، يشار إليها بدائرة مفتوحة. نسمي مثل هذا الثقب أ انقطاع قابل للإزالة. على سبيل المثال ، يمكن إعادة كتابة الدالة (f (x) = frac {x ^ 2−1} {x ^ 2−2x − 3} ) عن طريق تحليل البسط والمقام إلى عوامل.

[f (x) = dfrac {(x + 1) (x − 1)} {(x + 1) (x − 3)} ]

لاحظ أن (x + 1 ) عامل مشترك في البسط والمقام. صفر هذا العامل ، (x = −1 ) ، هو موقع الانقطاع القابل للإزالة. لاحظ أيضًا أن (x – 3 ) ليس عاملاً في كل من البسط والمقام. صفر هذا العامل ، (س = 3 ) ، هو الخط المقارب العمودي. راجع الشكل ( PageIndex {11} ). [لاحظ أن الانقطاعات القابلة للإزالة قد لا تكون مرئية عند استخدام آلة حاسبة للرسم البياني ، اعتمادًا على النافذة المحددة.]

حالات إيقاف الوظائف المنطقية القابلة للإزالة

أ انقطاع قابل للإزالة يحدث في الرسم البياني لدالة عقلانية عند (x = a ) إذا كان (a ) صفرًا لعامل في المقام مشترك مع عامل في البسط. نحن نحلل البسط والمقام ونفحص العوامل المشتركة. إذا وجدنا أيًا منها ، فسنساوي العامل المشترك بالصفر ونحلها. هذا هو موقع الانقطاع القابل للإزالة. هذا صحيح إذا كان تعدد هذا العامل أكبر من أو يساوي ذلك في المقام. إذا كان تعدد هذا العامل أكبر في المقام ، فلا يزال هناك خط مقارب عند هذه القيمة.

مثال ( PageIndex {6} ): تحديد الخطوط المقاربة العمودية والانقطاعات القابلة للإزالة للرسم البياني

ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية والانقطاعات القابلة للإزالة في الرسم البياني (k (x) = frac {x − 2} {x ^ 2−4} ).

المحلول

حلل البسط والمقام إلى عوامل.

[k (x) = dfrac {x − 2} {(x − 2) (x + 2)} ]

لاحظ أن هناك عامل مشترك في البسط والمقام ، (x – 2 ). صفر لهذا العامل هو (س = 2 ). هذا هو موقع الانقطاع القابل للإزالة.

لاحظ أن هناك عاملًا في المقام غير موجود في البسط ، (x + 2 ). صفر لهذا العامل هو (x = −2 ). الخط المقارب العمودي هو (x = −2 ). راجع الشكل ( PageIndex {12} ).

الرسم البياني لهذه الوظيفة سيكون له خط مقارب عمودي عند (x = −2 ) ، لكن عند (x = 2 ) سيكون للرسم البياني ثقب.

تمرين ( PageIndex {5} )

ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية والانقطاعات القابلة للإزالة في الرسم البياني (f (x) = frac {x ^ 2−25} {x ^ 3−6x ^ 2 + 5x} ).

إجابه

انقطاع قابل للإزالة عند (س = 5 ).

الخطوط المقاربة العمودية: (س = 0 ) ، (س = 1 ).

تحديد الخطوط المقاربة الأفقية للوظائف المنطقية

بينما تصف الخطوط المقاربة العمودية سلوك الرسم البياني باسم انتاج كبير جدًا أو صغير جدًا ، تساعد الخطوط المقاربة الأفقية في وصف سلوك الرسم البياني كـ إدخال يصبح كبيرًا جدًا أو صغيرًا جدًا. تذكر أن السلوك النهائي لكثير الحدود سيعكس سلوك المصطلح الرئيسي. وبالمثل ، فإن السلوك النهائي للدالة المنطقية سوف يعكس سلوك نسبة الدالة التي تمثل نسبة المصطلحات الرئيسية.

هناك ثلاث نتائج مميزة عند التحقق من الخطوط المقاربة الأفقية:

حالة 1: إذا كانت درجة المقام> درجة البسط ، فيوجد أ خط مقارب أفقي في (ص = 0 ).

مثال: (f (x) = dfrac {4x + 2} {x ^ 2 + 4x − 5} )

في هذه الحالة ، يكون سلوك النهاية (f (x) ≈ frac {4x} {x ^ 2} = frac {4} {x} ). يخبرنا هذا أنه مع زيادة المدخلات أو نقصانها بدون قيود ، ستعمل هذه الوظيفة بشكل مشابه للدالة (g (x) = frac {4} {x} ) ، وستقترب المخرجات من الصفر ، مما ينتج عنه خط مقارب أفقي عند (y = 0 ). يرى شكل ( PageIndex {13} ). لاحظ أن هذا الرسم البياني يتقاطع مع الخط المقارب الأفقي.

الحالة 2: إذا كانت درجة المقام <درجة البسط بواحد ، نحصل على خط مقارب مائل.

مثال: (f (x) = dfrac {3x ^ 2−2x + 1} {x − 1} )

في هذه الحالة ، يكون سلوك النهاية (f (x) ≈ frac {3x ^ 2} {x} = 3x ). يخبرنا هذا أنه مع زيادة المدخلات أو نقصانها بدون قيود ، ستعمل هذه الوظيفة بشكل مشابه للدالة (g (x) = 3x ). مع نمو المدخلات بشكل كبير ، ستنمو المخرجات ولن تستقر ، لذلك لا يحتوي هذا الرسم البياني على خط مقارب أفقي. ومع ذلك ، فإن الرسم البياني (g (x) = 3x ) يبدو وكأنه خط قطري ، وبما أن (f ) سوف يتصرف بشكل مشابه لـ (g ) ، فإنه سيقترب من خط قريب من (y = 3x ). هذا الخط هو خط مقارب مائل.

لإيجاد معادلة الخط المقارب المائل ، قسّم ( frac {3x ^ 2−2x + 1} {x − 1} ). حاصل القسمة هو (3x + 1 ) والباقي هو 2. الخط المقارب المائل هو الرسم البياني للخط (g (x) = 3x + 1 ). راجع الشكل ( PageIndex {14} ).

الحالة 3: إذا كانت درجة المقام = درجة البسط ، فهناك خط مقارب أفقي عند (y = dfrac {a_n} {b_n} ) ، حيث (a_n ) و (b_n ) هما على التوالي البادئة معاملات (p (x) ) و (q (x) ) لـ (f (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} ) ، (q (x) ≠ 0 ).

مثال: (f (x) = dfrac {3x ^ 2 + 2} {x ^ 2 + 4x − 5} )

في هذه الحالة ، يكون سلوك النهاية (f (x) ≈ dfrac {3x ^ 2} {x ^ 2} = 3 ). يخبرنا هذا أنه مع زيادة حجم المدخلات ، ستعمل هذه الوظيفة مثل الوظيفة (g (x) = 3 ) ، وهي خط أفقي. كـ (x rightarrow pm infty ) ، (f (x) rightarrow 3 ) ، ينتج عنه خط مقارب أفقي عند (y = 3 ). راجع الشكل ( PageIndex {15} ). لاحظ أن هذا الرسم البياني يتقاطع مع الخط المقارب الأفقي.

لاحظ أنه في حين أن التمثيل البياني للدالة الكسرية لن يتجاوز a أبدًا الخط المقارب الرأسي، قد يتقاطع الرسم البياني أو لا يتقاطع مع خط مقارب أفقي أو مائل. أيضًا ، على الرغم من أن الرسم البياني للدالة الكسرية قد يحتوي على العديد من الخطوط المقاربة العمودية ، إلا أن الرسم البياني سيكون له خط مقارب أفقي واحد (أو مائل) على الأكثر.

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام بأكثر من درجة ، فإن نهاية السلوك من الرسم البياني سيحاكي سلوك كسر السلوك النهائي المخفّض. على سبيل المثال ، إذا كانت لدينا الوظيفة

[f (x) = dfrac {3x ^ 5 − x ^ 2} {x + 3} ]

مع نهاية السلوك

[f (x) ≈ dfrac {3x ^ 5} {x} = 3x ^ 4 ] ،

سيبدو السلوك النهائي للرسم البياني مشابهًا لسلوك كثير حدود متساوٍ مع معامل رئيسي موجب.

(x rightarrow pm infty، f (x) rightarrow infty )

المحاولات الأفقية للوظائف المنطقية

ال خط مقارب أفقي يمكن تحديد دالة كسرية بالنظر إلى درجات البسط والمقام.

  • درجة البسط أقل من درجة المقام: خط مقارب أفقي عند (ص = 0 ).
  • درجة البسط أكبر من درجة المقام بواحد: لا يوجد خط مقارب أفقي ؛ خط مقارب مائل.
  • درجة البسط تساوي درجة المقام: خط مقارب أفقي عند نسبة المعاملات الأولية.

مثال ( PageIndex {7} ): تحديد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

بالنسبة للوظائف المدرجة ، حدد الخط المقارب الأفقي أو المائل.

  1. (g (x) = dfrac {6x ^ 3−10x} {2x ^ 3 + 5x ^ 2} )
  2. (h (x) = dfrac {x ^ 2−4x + 1} {x + 2} )
  3. (k (x) = dfrac {x ^ 2 + 4x} {x ^ 3−8} )

المحلول

لهذه الحلول ، سنستخدم (f (x) = dfrac {p (x)} {q (x)} ، space q (x) ≠ 0 ).

  1. (g (x) = frac {6x ^ 3−10x} {2x ^ 3 + 5x ^ 2} ): درجة (p = ) درجة (q = 3 ) ، لذلك يمكننا أوجد الخط المقارب الأفقي بأخذ نسبة الحدود الرئيسية. يوجد خط مقارب أفقي عند (y = frac {6} {2} ) أو (y = 3 ).
  2. (h (x) = frac {x ^ 2−4x + 1} {x + 2} ): درجة (p = 2 ) ودرجة (q = 1 ). بما أن (p> q ) بمقدار 1 ، يوجد خط مقارب مائل في ( dfrac {x ^ 2−4x + 1} {x + 2} ).
  3. (k (x) = frac {x ^ 2 + 4x} {x ^ 3−8} ): درجة (p = 2 ) <درجة (q = 3 ) ، لذلك يوجد خط مقارب أفقي (ص = 0 ).

مثال ( PageIndex {8} ) تحديد الخطوط المقاربة الأفقية

في مسألة تركيز السكر سابقًا ، أنشأنا المعادلة (C (t) = frac {5 + t} {100 + 10t} ).

ابحث عن الخط المقارب الأفقي وقم بتفسيره في سياق المشكلة.

المحلول

كل من البسط والمقام خطي (الدرجة 1). نظرًا لأن الدرجات متساوية ، سيكون هناك خط مقارب أفقي عند نسبة المعاملات الأولية. في البسط ، الحد الأول (t ) ، مع المعامل 1. في المقام ، الحد الأول هو 10t ، مع المعامل 10. سيكون الخط المقارب الأفقي عند نسبة هذه القيم:

(t rightarrow infty، space C (t) rightarrow frac {1} {10} )

سيكون لهذه الوظيفة خط مقارب أفقي عند (y = frac {1} {10} ).

يخبرنا هذا أنه مع زيادة قيم t ، ستقترب قيم (C ) من ( frac {1} {10} ). في السياق ، هذا يعني أنه مع مرور الوقت ، سيقترب تركيز السكر في الخزان من عُشر رطل من السكر لكل جالون من الماء أو ( frac {1} {10} ) رطل لكل جالون .

مثال ( PageIndex {9} ): تحديد الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية

أوجد الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية للدالة

(f (x) = dfrac {(x − 2) (x + 3)} {(x − 1) (x + 2) (x − 5)} )

المحلول

أولاً ، لاحظ أن هذه الوظيفة ليس لها عوامل مشتركة ، لذلك لا توجد انقطاعات محتملة قابلة للإزالة.

سيكون للوظيفة خطوط مقاربة عمودية عندما يكون المقام صفرًا ، مما يؤدي إلى عدم تحديد الوظيفة. سيكون المقام صفرًا عند (س = 1 ، –2 ، ) و (5 ) ، مشيرًا إلى الخطوط المقاربة العمودية عند هذه القيم.

يحتوي البسط على الدرجة (2 ) ، بينما يحتوي المقام على الدرجة 3. نظرًا لأن درجة المقام أكبر من درجة البسط ، فإن المقام سينمو بشكل أسرع من البسط ، مما يتسبب في اتجاه النواتج نحو الصفر مثل تصبح المدخلات كبيرة ، وهكذا (x rightarrow pm infty ) ، (f (x) rightarrow 0 ). سيكون لهذه الوظيفة خط مقارب أفقي عند (y = 0. ) انظر الشكل ( PageIndex {16} ).

تمرين ( PageIndex {6} )

ابحث عن الخطوط المقاربة الرأسية والأفقية للوظيفة:

(f (x) = dfrac {(2x − 1) (2x + 1)} {(x − 2) (x + 3)} )

إجابه

الخطوط المقاربة العمودية في (س = 2 ) و (س = –3 )

خط مقارب أفقي عند (ص = 4 ).

مفاهيم الوظائف المنطقية

أ وظيفة عقلانية سيكون لها (y ) - تقاطع عند (f (0) ، ) إذا تم تعريف الوظيفة عند الصفر. لن يكون للدالة المنطقية (y ) - تقاطع إذا لم يتم تعريف الدالة عند الصفر.

وبالمثل ، سيكون للدالة المنطقية (x ) - اعتراضات عند المدخلات التي تجعل الناتج صفرًا. نظرًا لأن الكسر يساوي صفرًا فقط عندما يكون البسط صفرًا ، فلا يمكن أن تحدث تقاطعات x إلا عندما يكون بسط الدالة الكسرية يساوي صفرًا.

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد اعتراضات دالة منطقية

أوجد تقاطعات (f (x) = dfrac {(x − 2) (x + 3)} {(x − 1) (x + 2) (x − 5)} ).

المحلول

يمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور y بإيجاد الدالة عند صفر

(و (0) = dfrac {(0−2) (0 + 3)} {(0−1) (0 + 2) (0-5)} )

(= - dfrac {6} {10} )

(= - dfrac {3} {5} )

(=−0.6)

ال x- تحدث التداخلات عندما تكون الوظيفة تساوي صفرًا:

(0 = dfrac {(x − 2) (x + 3)} {(x − 1) (x + 2) (x − 5)} ) هذا هو صفر عندما يكون البسط صفرًا.

(0 = (س − 2) (س + 3) )

(س = 2 ، 3 )

ال ذ- التقاطع هو ((0، –0.6) ) ، تقاطعات x هي ((2،0) ) و ((- 3،0) ). انظر الشكل ( PageIndex {17} ).

تمرين ( PageIndex {7} )

بمعرفة دالة التربيع المقلوب التي تم إزاحتها 3 وحدات لليمين و 4 وحدات لأسفل ، اكتب هذه دالة كسرية. بعد ذلك ، ابحث عن تقاطع x و y والخطوط المقاربة الأفقية والعمودية.

إجابه

بالنسبة لدالة المقلوب التربيعية المحولة ، نجد الصيغة الكسرية.

(f (x) = dfrac {1} {{(x − 3)} ^ 2} −4 = dfrac {1−4 {(x − 3)} ^ 2} {{(x − 3)} ^ 2} = dfrac {1−4 (x ^ 2−6x + 9)} {(x − 3) (x − 3)} = dfrac {−4x ^ 2 + 24x − 35} {x ^ 2− 6x + 9} )

نظرًا لأن البسط هو نفس درجة المقام ، فنحن نعلم أنه (x rightarrow pm infty )، (f (x) rightarrow −4 )؛ لذلك (y = –4 ) هو الخط المقارب الأفقي. بعد ذلك ، قمنا بتعيين المقام على صفر ، ووجدنا أن الخط المقارب العمودي هو (x = 3 ) ، لأنه (x rightarrow 3 ) ، (f (x) rightarrow infty ). ثم نضع البسط مساويًا لـ (0 ) ونجد أن تقاطعات x هي في ((2.5،0) ) و ((3.5،0) ). أخيرًا ، قمنا بتقييم الدالة عند 0 ووجدنا تقاطع y ليكون عند ((0، - frac {35} {9}) ).

رسم بياني للوظائف العقلانية

في المثال ( PageIndex {10} ) ، نرى أن بسط الدالة الكسرية يكشف عن x- مفاهيم الرسم البياني ، في حين يكشف المقام عن الخطوط المقاربة العمودية للرسم البياني. كما هو الحال مع كثيرات الحدود ، قد يكون لعوامل البسط قوى عددية أكبر من واحد. لحسن الحظ ، التأثير على شكل الرسم البياني عند تلك التقاطعات هو نفسه الذي رأيناه مع كثيرات الحدود.

ستعكس الخطوط المقاربة العمودية المرتبطة بعوامل المقام إحدى الدالتين المتبادلتين لمجموعة الأدوات. عندما تكون درجة العامل في المقام غريبة ، فإن السمة المميزة هي أنه على جانب واحد من التقارب العمودي يتجه الرسم البياني نحو اللانهاية الموجبة ، وعلى الجانب الآخر يتجه الرسم البياني نحو اللانهاية السلبية. راجع الشكل ( PageIndex {18} ).

عندما تكون درجة العامل في المقام متساوية ، فإن السمة المميزة هي أن الرسم البياني إما يتجه نحو اللانهاية الموجبة على جانبي الخط المقارب العمودي أو يتجه نحو اللانهاية السلبية على كلا الجانبين. راجع الشكل ( PageIndex {19} ).

على سبيل المثال ، الرسم البياني لـ (f (x) = dfrac {{(x + 1)} ^ 2 (x − 3)} {{(x + 3)} ^ 2 (x − 2)} ) هو الموضح في الشكل ( PageIndex {20} ).

  • عند تقاطع x (x = −1 ) المقابل لعامل ({(x + 1)} ^ 2 ) للبسط ، فإن الرسم البياني "يرتد" ، بما يتوافق مع الطبيعة التربيعية للعامل.
  • عند تقاطع x (x = 3 ) المقابل لعامل ((x − 3) ) للبسط ، يمر الرسم البياني عبر المحور كما نتوقع من عامل خطي.
  • عند الخط المقارب العمودي (x = −3 ) المقابل لعامل ({(x + 3)} ^ 2 ) للمقام ، يتجه الرسم البياني نحو اللانهاية الموجبة على جانبي الخط المقارب ، بما يتوافق مع السلوك للدالة (f (x) = frac {1} {x ^ 2} ).
  • عند الخط المقارب العمودي (س = 2 ) ، المقابل للعامل ((س − 2) ) للمقام ، يتجه الرسم البياني نحو اللانهاية الموجبة على الجانب الأيسر من الخط المقارب ونحو اللانهاية السالبة على الجانب الأيمن ، بما يتوافق مع سلوك الوظيفة (f (x) = frac {1} {x} ).

Howto: إعطاء دالة كسرية ، ارسم رسمًا بيانيًا.

  1. أوجد قيمة الدالة عند 0 لإيجاد تقاطع y.
  2. حلل البسط والمقام إلى عوامل.
  3. بالنسبة للعوامل في البسط غير الشائعة في المقام ، حدد مكان كل عامل من عوامل البسط يساوي صفرًا لإيجاد تقاطع x.
  4. أوجد تعدد تقاطعات x لتحديد سلوك الرسم البياني عند تلك النقاط.
  5. بالنسبة للعوامل في المقام ، لاحظ تعدد الأصفار لتحديد السلوك المحلي. بالنسبة لتلك العوامل غير المشتركة في البسط ، أوجد الخطوط المقاربة العمودية عن طريق تعيين تلك العوامل مساوية للصفر ثم حلها.
  6. بالنسبة للعوامل في المقام المشتركة للعوامل في البسط ، أوجد نقاط التوقف القابلة للإزالة عن طريق جعل هذه العوامل مساوية لـ 0 ثم حلها.
  7. قارن درجات البسط والمقام لتحديد الخطوط المقاربة الأفقية أو المائلة.
  8. ارسم الرسم البياني.

مثال ( PageIndex {11} ): رسم دالة عقلانية

ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f (x) = frac {(x + 2) (x − 3)} {{(x + 1)} ^ 2 (x − 2)} ).

المحلول

يمكننا أن نبدأ بملاحظة أن الدالة محللة بالفعل ، مما يوفر لنا خطوة.

بعد ذلك ، سنجد الاعتراضات. بإيجاد قيمة الدالة عند الصفر ، نحصل على تقاطع y:

(f (0) = dfrac {(0 + 2) (0−3)} {{(0 + 1)} ^ 2 (0−2)} )

(=3)

لإيجاد تقاطعات x ، نحدد متى يكون بسط الدالة صفرًا. بوضع كل عامل يساوي الصفر ، نجد تقاطعات x عند (x = –2 ) و (x = 3 ). في كل منها ، سيكون السلوك خطيًا (تعدد 1) ، مع مرور الرسم البياني عبر التقاطع.

لدينا تقاطع y عند ((0،3) ) وتقاطع x عند ((- 2،0) ) و ((3،0) ).

لإيجاد الخطوط المقاربة العمودية ، نحدد متى يساوي المقام صفرًا. يحدث هذا عندما (x + 1 = 0 ) وعندما (x – 2 = 0 ) ، مما يعطينا خطوط مقاربة عمودية عند (x = –1 ) و (x = 2 ).

لا توجد عوامل مشتركة في البسط والمقام. هذا يعني أنه لا توجد انقطاعات قابلة للإزالة.

أخيرًا ، درجة المقام أكبر من درجة البسط ، مما يخبرنا أن هذا الرسم البياني يحتوي على خط مقارب أفقي عند (y = 0 ).

لرسم الرسم البياني ، قد نبدأ برسم نقاط التقاطع الثلاثة. نظرًا لأن الرسم البياني لا يحتوي على تقاطعات x بين الخطوط المقاربة العمودية ، وتقاطع y موجب ، فإننا نعلم أن الوظيفة يجب أن تظل موجبة بين الخطوط المقاربة ، مما يتيح لنا ملء الجزء الأوسط من الرسم البياني كما هو موضح في الشكل {21} ).

تم تربيع العامل المرتبط بالخط المقارب العمودي عند (x = −1 ) ، لذلك نعلم أن السلوك سيكون هو نفسه على جانبي الخط المقارب. يتجه الرسم البياني نحو اللانهاية الموجبة حيث تقترب المدخلات من الخط المقارب على اليمين ، لذا سيتجه الرسم البياني نحو اللانهاية الموجبة على اليسار أيضًا.

بالنسبة إلى الخط المقارب العمودي عند (x = 2 ) ، لم يكن العامل مربعًا ، لذا سيكون للرسم البياني سلوك معاكس على جانبي الخط المقارب. راجع الشكل ( PageIndex {22} ). بعد المرور عبر تقاطعات x ، سيستقر الرسم البياني بعد ذلك باتجاه ناتج صفر ، كما هو موضح في الخط المقارب الأفقي.

تمرين ( PageIndex {8} )

بالنظر إلى الوظيفة (f (x) = frac {{(x + 2)} ^ 2 (x − 2)} {2 {(x − 1)} ^ 2 (x − 3)} ) ، استخدم خصائص كثيرات الحدود والوظائف المنطقية لوصف سلوكها ورسم الوظيفة.

إجابه

خط مقارب أفقي عند (y = frac {1} {2} ). الخطوط المقاربة العمودية في (س = 1 ) و (س = 3 ). تقاطع ص عند ((0، frac {4} {3}) ).

تقاطعات x عند ((2،0) ) و ((- 2،0) ). ((- 2،0) ) هو صفر مع تعدد (2 ) ، والرسم البياني يرتد عن المحور السيني عند هذه النقطة. ((2،0) ) هو صفر واحد ويتقاطع الرسم البياني مع المحور عند هذه النقطة.

كتابة وظائف عقلانية

الآن بعد أن حللنا معادلات الدوال الكسرية وكيفية ارتباطها بالرسم البياني للدالة ، يمكننا استخدام المعلومات التي يقدمها الرسم البياني لكتابة الدالة. سيكون للدالة الكسرية المكتوبة في شكل عامل x-تقاطع حيث كل عامل من البسط يساوي الصفر. (يحدث استثناء في حالة الانقطاع القابل للإزالة.) ونتيجة لذلك ، يمكننا تكوين بسط للدالة التي يمر رسمها البياني عبر مجموعة من x-التداخلات بإدخال مجموعة مقابلة من العوامل Likewise, because the function will have a vertical asymptote where each factor of the denominator is equal to zero, we can form a denominator that will produce the vertical asymptotes by introducing a corresponding set of factors.

WRITING RATIONAL FUNCTIONS FROM INTERCEPTS AND ASYMPTOTES

اذا كان rational function has x-intercepts at (x=x_1,x_2,...,x_n), vertical asymptotes at (x=v_1,v_2,…,v_m), and no (x_i=) any (v_j), then the function can be written in the form:

(f(x)=adfrac{ {(x−x_1)}^{p_1} {(x−x_2)}^{p_2}⋯{(x−x_n)}^{p_n} }{ {(x−v_1)}^{q_1} {(x−v_2)}^{q_2}⋯{(x−v_m)}^{q_n}})

where the powers (p_i) or (q_i) on each factor can be determined by the behavior of the graph at the corresponding intercept or asymptote, and the stretch factor (a) can be determined given a value of the function other than the x-intercept or by the horizontal asymptote if it is nonzero.

Given a graph of a rational function, write the function.

  1. Determine the factors of the numerator. Examine the behavior of the graph at the x-intercepts to determine the zeroes and their multiplicities. (This is easy to do when finding the “simplest” function with small multiplicities—such as 1 or 3—but may be difficult for larger multiplicities—such as 5 or 7, for example.)
  2. Determine the factors of the denominator. Examine the behavior on both sides of each vertical asymptote to determine the factors and their powers.
  3. Use any clear point on the graph to find the stretch factor.

Example (PageIndex{12}): Writing a Rational Function from Intercepts and Asymptotes

Write an equation for the rational function shown in Figure (PageIndex{24}).

المحلول

The graph appears to have x-intercepts at (x=–2) and (x=3). At both, the graph passes through the intercept, suggesting linear factors. The graph has two vertical asymptotes. The one at (x=–1) seems to exhibit the basic behavior similar to (dfrac{1}{x}), with the graph heading toward positive infinity on one side and heading toward negative infinity on the other. The asymptote at (x=2) is exhibiting a behavior similar to (dfrac{1}{x^2}), with the graph heading toward negative infinity on both sides of the asymptote. See Figure (PageIndex{25}).

We can use this information to write a function of the form

(f(x)=adfrac{(x+2)(x−3)}{(x+1){(x−2)}^2})

To find the stretch factor, we can use another clear point on the graph, such as the ذ-intercept ((0,–2)).

(−2=adfrac{(0+2)(0−3)}{(0+1){(0−2)}^2})

(-2=adfrac{−6}{4})

(a=dfrac{−8}{−6}=dfrac{4}{3})

This gives us a final function of (f(x)=frac{4(x+2)(x−3)}{3(x+1){(x−2)}^2}).

المعادلات الرئيسية

Rational Function(f(x)=dfrac{P(x)}{Q(x)}=dfrac{a_px^p+a_{p−1}x^{p−1}+...+a_1x+a_0}{b_qx^q+b_{q−1}x^{q−1}+...+b_1x+b_0},space Q(x)≠0)

المفاهيم الرئيسية

  • We can use arrow notation to describe local behavior and end behavior of the toolkit functions (f(x)=frac{1}{x}) and (f(x)=frac{1}{x^2}). See Example (PageIndex{1}).
  • A function that levels off at a horizontal value has a horizontal asymptote. A function can have more than one vertical asymptote. انظر المثال.
  • Application problems involving rates and concentrations often involve rational functions. انظر المثال.
  • The domain of a rational function includes all real numbers except those that cause the denominator to equal zero. انظر المثال.
  • The vertical asymptotes of a rational function will occur where the denominator of the function is equal to zero and the numerator is not zero. انظر المثال.
  • A removable discontinuity might occur in the graph of a rational function if an input causes both numerator and denominator to be zero. انظر المثال.
  • A rational function’s end behavior will mirror that of the ratio of the leading terms of the numerator and denominator functions. See Example, Example, Example, and Example.
  • Graph rational functions by finding the intercepts, behavior at the intercepts and asymptotes, and end behavior. انظر المثال.
  • If a rational function has x-intercepts at (x=x_1,x_2,…,x_n), vertical asymptotes at (x=v_1,v_2,…,v_m), and no (x_i=) any (v_j), then the function can be written in the form

Rational Expressions and Functions: Your Complete Guide

Learning about Rational Expressions and Functions can be tough. Once you feel you mastered one type of problem you get stumped on the next. This course is structured to not leave you behind in the dust. I start off each section with basic definitions and processes you will need to know moving through the course. I then present two types of videos to you for each skill. First is the overview video where I explain the concept as a whole like a typical lecture in a classroom. I then work through multiple examples showing you step by step how to complete different types of problems. We both know watching someone do math is not the best way to learn. You have to practice! Each section you are provided with multiple worksheets to practice your skills as well as the answers to check your work. Revert back to videos if you get stuck and forget how to solve the problems. Once you feel you have a good grasp of your understanding it is time to take your quiz. There are multiple quizzes provided for each section. Take the quizzes as many times as you need to earn 100%.

There is no pressure you are hear to learn. By taking this course you will not only gain a better understanding of Rational Expressions and Functions but you will gain confidence to solve more problems on your own. That is why I created this course. I want students to no longer fear learning math or walking into their math class because they just don't understand. Everyone can learn math. Some it just takes a little longer, some just need a little boast and some need a course like I designed to guide them through the material. Heck once you complete this course, show your teacher! You deserve and A. I am here for you and by joining this course you are now one of my students just as important to me as the 140 students I teach in the classroom during the school year. So please keep in touch, let me know how I am doing and if there is anything extra I can provide to assist you with your learning of Rational Expressions and Equations.


اشترى في كثير من الأحيان جنبا إلى جنب

إعادة النظر

Iteration of Rational Functions

Complex Analytic Dynamical Systems

"This book makes available a comprehensive, detailed, and organized treatment of the foundations of the theory of iteration of rational functions of a complex variable. The material covered extends from the original memoirs of Fatou and Julia to the recent and important results and methods of Sullivan and Shishikura. Many of the details of the proofs have not occurred in print before ."―ZENTRALBLATT MATH


Algebra II

Emphasis on functions returns as the functional families learned in Algebra I are studied in more detail. Algebra II expands on quadratic, polynomial, exponential, radical and rational functions and introduces logarithmic functions. Students learn how to use and operate on complex numbers so that complex solutions of quadratic and polynomial functions can be considered. This course focuses on more abstract and theoretical concepts, allowing students to improve their critical thought processes. The primary goal of this course is for students to own a strong understanding of all types of functions and prepare them for Pre-Calculus.

Review of Equations & Exponents

  1. 1.1 Introduction to Equations
  2. 1.2 Multistep & Distributive Part I
  3. 1.3 Multistep & Distributive Part II
  4. 1.4 Equations with Multiple Variables
  5. 1.5 Slope & Rate of Change
  6. 1.6 Calculating Slope Using a Graph
  7. 1.7 Calculate Slope Using dydx & Intercepts
  8. 1.8 Slope-Intercept Form
  9. 1.9 Equation of a Line
  10. 1.10 Introduction to Exponents
  11. 1.11 The Product Property
  12. 1.12 The Quotient Property
  13. 1.13 Zero and Negative Exponents
  14. 1.14 Fractional Exponents
  15. 1.15 Power of a Power Property
  16. 1.16 Power of a Product Property
  17. 1.17 Power of a Fraction
  18. 1.18 Simplifying Algebraic Expressions with Exponents

Systems of Linear Equations & Inequalities

  1. 2.1 Intro to Systems of Linear Equations & Inequalities
  2. 2.2 Solving a System of Equations by Substitution
  3. 2.3 Solving a System of Equations by Elimination
  4. 2.4 Graphing Systems of Linear Equations
  5. 2.5 Graphing Systems of Inequalities
  6. 2.6 Linear Programming

Polynomial Functions

  1. 3.1 Introduction to Polynomials
  2. 3.2 Adding & Subtracting Polynomials
  3. 3.3 Multiplying Polynomials
  4. 3.4 Dividing Polynomials Using Long Division
  5. 3.5 Dividing Polynomials Using Synthetic Division
  6. 3.6 Remainder Theorem
  7. 3.7 Factor Theorem
  8. 3.8 Factoring Polynomials Using the GCF
  9. 3.9 Factoring Using Difference of Squares
  10. 3.10 Factoring Perfect Square Trinomials
  11. 3.11 Factoring Trinomials
  12. 3.12 Factoring Using Sums or Difference of Cubes
  13. 3.13 Solving Equations Using Factoring

المهام

  1. 4.1 Introduction to Functions
  2. 4.2 Function Notation & Evaluation
  3. 4.3 Domain of a Function & Interval Notation
  4. 4.4 Range of a Function & Interval Notation
  5. 4.5 Adding & Subtracting Functions
  6. 4.6 Multiplying & Dividing Functions
  7. 4.7 Composition of Functions
  8. 4.8 Inverse Functions
  9. 4.9 Composition and Inverse
  10. 4.10 Piecewise Functions
  11. 4.11 Step Functions

Complex Numbers

  1. 5.1 Introduction to Imaginary & Complex Numbers
  2. 5.2 Adding & Subtracting Complex Numbers
  3. 5.3 Multiplying Complex Numbers
  4. 5.4 Complex Conjugates
  5. 5.5 Dividing Complex Numbers
  6. 5.6 Absolute Value & Complex Numbers

Polynomial Functions Solving & Graphing

  1. 6.1 Finding a Polynomial Given the Roots
  2. 6.2 Location Principle & Multiplicity of Zeros
  3. 6.3 Rational Root Theorem
  4. 6.4 The Quadratic Formula
  5. 6.5 The Complex Conjugate Root Theorem
  6. 6.6 Fundamental Theorem of Algebra & Descartes Rule of Signs
  7. 6.7 Graphing Polynomials

Quadratic Functions

  1. 7.1 Introduction to Quadratic Functions
  2. 7.2 Graphing Quadratic Functions in Vertex Form
  3. 7.3 Solving Quadratics with Square Roots
  4. 7.4 Solving Quadratics with Completing the Square
  5. 7.5 Converting Quadratic Function to Vertex Form using Completing the Square
  6. 7.6 Graphing Quadratic Inequalities
  7. 7.7 Applications of Quadratics

Exponential & Logarithmic Functions

  1. 8.1 Intro to Exponential & Logarithmic Properties
  2. 8.2 Exponential Growth
  3. 8.3 Exponential Decay
  4. 8.4 Logarithmic Functions
  5. 8.5 Evaluating Logarithmic Functions
  6. 8.6 Product Property of Logarithms
  7. 8.7 Quotient Property of Logarithms
  8. 8.8 Power Property of Logarithms
  9. 8.9 Exponential-Logarithmic Inverse Properties
  10. 8.10 Application of Logarithms
  11. 8.11 The Natural Exponential Function
  12. 8.12 The Natural Logarithm
  13. 8.13 Solving Logarithmic Equations

Exponential & Logarithmic Functions

  1. 9.1 Introduction to Rational Functions
  2. 9.2 Direct Variation
  3. 9.3 Inverse Variation
  4. 9.4 Joint & Combined Variation
  5. 9.5 Simplifying Rational Expressions
  6. 9.6 Adding & Subtracting Rational Expressions
  7. 9.7 Multiplying Rational Expressions
  8. 9.8 Dividing Rational Expressions
  9. 9.9 Complex Fractions
  10. 9.10 Solving Rational Equations
  11. 9.11 Graph of a Rational Function
  12. 9.12 Graph of a Rational Function Continued

Radical Functions

  1. 10.1 Introduction to Radical Functions
  2. 10.2 Simplifying Radicals - Numerical
  3. 10.3 Simplifying Radicals - Algebraic
  4. 10.4 Multiplying Radicals
  5. 10.5 Dividing Radicals
  6. 10.6 Adding & Subtracting Radicals
  7. 10.7 Solving Radical Equations
  8. 10.8 Graphing Radical Functions

Conic Sections

  1. 11.1 Introduction to Conic Sections
  2. 11.2 Distance & Midpoint Formulas
  3. 11.3 Parabolas Part I
  4. 11.4 Parabolas Part II
  5. 11.5 Circles Part I
  6. 11.6 Circles Part II
  7. 11.7 Ellipses Part I
  8. 11.8 Ellipses Part II
  9. 11.9 Hyperbolas Part I
  10. 11.10 Hyperbolas Part II
  11. 11.11 Solving Non Linear Systems

Statistics & Probability

  1. 12.1 Introduction to Statistics
  2. 12.2 Independent & Dependent Events
  3. 12.3 Measures of Central Tendency
  4. 12.4 Hisotgrams & Circle Graphs
  5. 12.5 Stem & Leaf Plots
  6. 12.6 Box & Whisker Plots
  7. 12.7 Scatter Plots
  8. 12.8 Permutations
  9. 12.9 Combinations
  10. 12.10 Measures of Dispersion

Series & Patterns

  1. 13.1 Introduction to Series & Patterns
  2. 13.2 Sequences & Series
  3. 13.3 Arithmetic Sequences
  4. 13.4 Arithmetic Series
  5. 13.5 Geometric Sequences
  6. 13.6 Finite Geometric Series
  7. 13.7 Infinite Geometric Series
  8. 13.8 Pascal's Triangle
  9. 13.9 Binomial Theorem

علم المثلثات

  1. 14.1 Introduction to Trigonometric Functions
  2. 14.2 Finding an Unknown Angle
  3. 14.3 Reciprocal Ratios
  4. 14.4 Sine Law
  5. 14.5 Cosine Law
  6. 14.6 Angles in Standard Position
  7. 14.7 Special Triangles & Exact Values

المصفوفات

  1. 15.1 Introduction to Matrices
  2. 15.2 Basic Matrix Operations
  3. 15.3 Matrix Multiplication
  4. 15.4 Determinant of a Matrix
  5. 15.5 Inverse of a Matrix

Rational Functions Contents : This page corresponds to § 3.5 (p. 289) and § 3.6 (p. 299) of the text. Suggested Problems from Text: مقدمة

A rational function is one that can be written as a polynomial divided by a polynomial. Since polynomials are defined everywhere, the domain of a rational function is the set of all numbers except the zeros of the denominator.

f(x) = x / (x - 3). The denominator has only one zero, x = 3. So the domain of f is the set of all numbers other than 3.

Domain of f: (-inf, 3) union (3, inf).

The graph of f is pictured below.

Asymptotes

Look again at the graph of f(x) = x / (x - 3) shown above. Since 3 is not in the domain of f, there is no point on the graph with first coordinate 3, so there has to be a break in the graph. In fact, we can see that the function values become unbounded (go to infinity or negative infinity) as x approaches 3. The following tables of function values illustrate this behavior.

We say that f (x) approaches infinity as x approaches 3 from the right , or

The phrase from the right is important. It means that we are using values for x that are larger than 3 and getting close to 3. The next table shows the behavior of f as x approaches 3 from the left.

We say that f(x) approaches negative infinity as x approaches 3 from the left. Here we will use a superscript - to indicate approaching from the left.

In the last section we pointed out that polynomial graphs either rise to the right or fall to the right. The graph of the rational function f does neither of these. It appears from the picture that the points on the graph of f approach the horizontal line y = 1 as x goes right and as x goes left. The tables below provide further evidence that this is the case.

f(x) -> 1 as x -> inf and f(x) -> 1 as x -> - inf,

The vertical line x = 3 and the horizontal line y = 1 are examples of asymptotes . An asymptote is a line that a graph gets close to as x goes to plus or minus infinity or a particular number.

Definition of Horizontal and Vertical Asymptotes

The line x = a is a vertical asymptote of the graph of f if f(x) -> ± infinity as x -> a from the left or the right.

The line y = b is a horizontal asymptote of the graph of f if f(x) -> b as x -> ± infinity.

In general, the graph of a rational function will have a vertical asymptote at a zero of the denominator. The exception to this rule is the case where the numerator and denominator share a zero.

g(x) = (x 2 - 4) / (x - 2). g is a rational function and g is not defined at 2 because 2 is a zero of the denominator. However, 2 is also a zero of the numerator, and we can simplify the quotient.

(x 2 - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2.

However, the function g is not equal to the function h(x) = x + 2, because h is defined at 2 while g is not! (This point is usually mentioned in a College Algebra class and then promptly forgotten.)

The graph of g does not have a vertical asymptote through 2. The graph of g is the line y = x + 2 with a hole where the point (2, 4) would be.

You can usually see from a graphing utility whether or not the graph of a rational function has a horizontal asymptote. However it is generally not clear from the picture exactly what number the asymptote goes through on the y-axis. Generating a table as we did above gives you a much better idea of where the horizontal asymptote is.

f(x) = x 2 / (x - 3). The graph of f is pictured below.

We see from the graph that f(x) -> -inf as x -> 3 - , and f(x) -> inf as x -> 3 + . It is also clear from the picture that the graph has no horizontal asymptote . The graph rises to the right and falls to the left.

The dotted line is a slant asymptote of the graph of f. Slant asymptotes are discussed on page 302 of the text.

It is possible to tell whether or not a rational function has a horizontal asymptote, and if so, exactly where it is, by analyzing the leading terms of the numerator and denominator. This procedure is described in detail on page 291 of the text.

It is certainly possible to be fooled by a graph. Consider the graph pictured below.

This appears to be a graph with the y-axis as a vertical asymptote. In fact this is the graph of f(x) = 5x / (x 2 + 0.01), as rendered by the Java Grapher. The denominator has no (real) zeros, so the graph has no vertical asymptotes.

Use a graphing utility to graph f(x) = 3x 2 / (x 2 - 16). Find all asymptotes. إجابه

طلب

We are going to enclose a corral adjacent to a river as in the diagram below. No fence is needed on the river side. The enclosed area needs to be 800 square yards. Find the dimensions x and y that require the least amount of fence.

Since we are given that the area must be 800 sq yds, and the area of a rectangle is the product of the two dimensions, this gives us an equation that x and y must satisfy.

x y = 800.

Solving for y yields

y = 800 / x.

Let F stand for the length of fence used, in yards. Since there is one side of length x and two sides of length y, we have

F = x + 2y.

Substituting for y yields

F = x + 2(800 / x).

F = x + 1600 / x.

F is a rational function. Its graph has the y-axis (x = 0) as a vertical asymptote, because F is not defined at 0. The graph of F has no horizontal asymptote, but the line y = x is a slant asymptote.

F = x + 1600 / x

Note that since the variable x in this problems stands for a length, we are only interested in values x > 0, so we may focus on quadrant I of the graph of F.

We need to find the first coordinate of the relative minimum point in quadrant I, for that is the length x corresponding to the smallest values of F, and our goal is to use the smallest possible amount of fence.

One of the graded assignments for the course will be to complete this problem by using a graphing utility to approximate the coordinates of the relative minimum point and find the x and y dimensions of the corral that require the least amount of fence.


Solved Examples

Find the x-intercepts of the function give below:

Set the numerator of this rational function equal to zero and solve for ( ext ):

[ egin ext x^2+ ext x - 2 &= 0 ( ext x&minus1)( ext x+2) &= 0 end ]

Solutions for this polynomial are -

and plot the graph for the function.

Factoring the numerator, we have

[ egin 3 ext x^3&minus6 ext x &= 0 3 ext x( ext x^2&minus2) &= 0 end ]

Given the factor ( 3 ext x ), the polynomial equals ( 0 ) when ( 3 ext x = 0 ) or ( ext x = 0 ).

Let the second factor equal zero, and solve for ( ext x ) :

Thus, the three roots or x-intercepts are:

( herefore ext< x-intercepts >: 0, &minus&radic2 ext < and >&radic2 )

Sketch the graph of the following function.
[ ext < f(x) >= dfrac < ext x+3 >< ext x&minus1>]

So, we&rsquoll start off with the intercepts.

Now, we need to determine the asymptotes.

Let&rsquos first find the vertical asymptotes.

( egin ext x &minus1 &= 0 ext x &= 1 end )
So, we&rsquove got one vertical asymptote. This means that there are now two regions of ( ext x )&rsquos.

They are ( ext x < 1 ) and ( ext x >1 ).

Now, the largest exponent in the numerator and denominator is ( 1 ) and so by the fact, there will be a horizontal asymptote at the line.

Now, we just need points in each region of ( ext x )&rsquos.

Since the ( ext ) and ( ext < x-intercept >) are already in the left region we won&rsquot need to get any points there.

That means that we&rsquoll just need to get a point in the right region.

It doesn&rsquot really matter what value of ( ext x ) we pick here we just need to keep it fairly small so it will fit onto our graph.

&rArr ( (2,5) )
Okay, putting all this together gives the following graph.

Find the vertical asymptotes of

Notice that, based on the linear factors in the denominator, singularities exists at ( ext x= -4 ) and ( ext x= -1 ).

Also, notice that one linear factor ( ( ext x+4) ) cancels with the numerator.

However, one linear factor ( ( ext x+4)) remains in the denominator because it is squared.

Therefore, a vertical asymptote exists at
[ ext x= -4 ]
The linear factor ( ( ext x+1) ) also does not cancel out thus, a vertical asymptote also exists at

Vertical asymptotes are at

( herefore) ( ext x = -1 ext < and > ext x = &minus4 )

Find any horizontal or oblique asymptote of

Since, the polynomials in the numerator and denominator have the same degree ( (2) ), we can identify that there is one horizontal asymptote and no oblique asymptote.

The coefficient of the highest power term is ( 6 ) in the numerator and ( 3 ) in the denominator.

Hence, horizontal asymptote is given by ( ext y= dfrac63=2 )

( herefore ext : ext y = 2 )


Solved Examples on Rational Functions

For ACT Students
The ACT is a timed exam. $60$ questions for $60$ minutes
This implies that you have to solve each question in one minute.
Some questions will typically take less than a minute a solve.
Some questions will typically take more than a minute to solve.
The goal is to maximize your time. You use the time saved on those questions you solved in less than a minute, to solve the questions that will take more than a minute.
So, you should try to solve each question correctly و timely.
So, it is not just solving a question correctly, but solving it correctly on time.
Please ensure you attempt all ACT questions.
There is no "negative" penalty for any wrong answer.

For JAMB and CMAT Students
Calculators are not allowed. So, the questions are solved in a way that does not require a calculator.

For WASSCE Students
Any question labeled WASCCE is a question for the WASCCE General Mathematics
Any question labeled WASSCE-FM is a question for the WASSCE Further Mathematics/Elective Mathematics

For GCSE Students
All work is shown to satisfy (and actually exceed) the minimum for awarding method marks.
Calculators are allowed for some questions. Calculators are not allowed for some questions.

For NSC Students
For the Questions:
Any space included in a number indicates a comma used to separate digits. separating multiples of three digits from behind.
Any comma included in a number indicates a decimal point.
For the Solutions:
Decimals are used appropriately rather than commas
Commas are used to separate digits appropriately.

Review:
Given a Rational Function:
To Find the Vertical Asymptote (VA):
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero (if applicable after simplifying the function)
(3.) Solve for the value of $x$
(4.) $VA: x = value$

To Find the Horizontal Asymptote (HA):
(1.) Arrange the numerator in standard form
(2.) Arrange the denominator in standard form
(3.) If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, $HA: y = 0$
(4.) If the degree of the numerator is the same as the degree of the denominator,
$HA: y = dfrac$

If the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator, then onto the Slant Asymptote (or Oblique Asymptote)

To Find the Slant Asymptote (SA):
If the degree of the numerator is greater than the degree of the denominator,
$SA: y = quotientofdfrac$

To Find the $x-intercept$:
(1.) Set $y = 0$
(2.) Solve for the value of $x$
(3.) $x-intercept = (value, 0)$

To Find the $y-intercept$:
(1.) Set $x = 0$
(2.) Solve for the value of $y$
(3.) $y-intercept = (0, value)$

Solve all questions.
Show all work.

(1.) Determine the $x-intercept$ and the $y-intercept$ for the function.

$ f(x) = dfrac [5ex] $ Show/Hide Answer

(2.) ACT Consider the graph of the equation $y = dfrac<3x - 12><2x - 6>$ in the standard $(x, y)$ coordinate plane.
Which of the following equations represents the عمودي asymptote of the graph?

$ F.:: x = 2 [3ex] G.:: x = 3 [3ex] H.:: x = 4 [3ex] J.:: x = 6 [3ex] K.:: x = 12 [3ex] $ Show/Hide Answer

(3.) Determine the intercepts and the vertical asymptote of

$ f(x) = dfrac [5ex] $ Show/Hide Answer

(4.) ACT Which of the following linear equations gives the vertical asymptote for the graph of $y = dfrac<201x + 202><203x + 204>$ in the standard $(x, y)$ coordinate plane?

Only two asymptotes apply to the function: the Vertical Asymptote (VA) and the Slant Asymptote (SA)
So, we shall find both asymptotes.
Then, we shall answer the question (the intersection of both asymptotes)

$ underline [3ex] y = dfrac<2x(x + 2)> [5ex] Nothingcancels [3ex] Set hedenominator o solveforx [3ex] x - 3 = 0 [3ex] x = 0 + 3 [3ex] x = 3 [3ex] VA:x = 3 [3ex] underline [3ex] y = dfrac<2x(x + 2)> [5ex] y = dfrac<2x^2 + 4x> [5ex] y = dfrac<2x^2 + 4x + 0> [5ex] equire يبدأ 2x + 10 [-3pt] x - 3 enclose<2x^2 + 4x + 0>kern-.5ex [-3pt] underline<2x^2 - 6xphantom<000>> [-3pt] 10x + 0phantom <0>[-3pt] underline10x - 30> [-3pt] phantom<0>30 [-3pt] end [3ex] SA: y = 2x + 10 [3ex] underline [3ex] VA:x = 3 [3ex] SA: y = 2x + 10 [3ex] y = 2(3) + 10 [3ex] y = 6 + 10 [3ex] y = 16 [3ex] Intersection:(x, y) = (3, 16) $

(6.) ACT In the standard $(x, y)$ coordinate plane, the graph of which of the following equations has the line $x = 2$ as a vertical asymptote?

To determine the vertical asymptote:
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero
(3.) Solve for $x$

$ All hefunctionsarealreadysimplified [3ex] Lookingat hedenominators: [3ex] x - 2 = 0 [3ex] x = 2 [3ex] CorrectOption: C $

To determine the vertical asymptote:
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero
(3.) Solve for $x$

(10.) ACT At what value(s) of x is $dfrac<(x - 3)^2>$ undefined?

F. 0 only
ج. 0 and 3 only
ح. -3 only
ج. -3 and 0 only
ك. -3, 0, and 3 only

The function is undefined when the denominator is zero.
In other words, find the vertical asymptote of the function.

$ underline [3ex] f(x) = dfrac<(x - 3)^2> [5ex] Nothingcancels [3ex] Set hedenominator o solveforx [3ex] x^2 = 0 [3ex] x = pm sqrt <0>[3ex] x = pm 0 [3ex] x = 0 [3ex] VA:x = 0 $

(12.) ACT The equation $y = dfrac<2x^2 - 18>$ has 2 vertical asymptotes and 1 horizontal asymptote.
What is the horizontal asymptote?

$ F. x = 0 [3ex] G. x = 3 [3ex] H. x = 9 [3ex] J. y = 0 [3ex] K. y = 2 [3ex] $ Show/Hide Answer

(14.) ACT In the standard $(x, y)$ coordinate plane, when $a e 0$ and $b e 0$, the graph of $f(x) = dfrac<2x + b>$ has a عرضي asymptote at:

$ F. y = 2 [3ex] G. y = a [3ex] H. y = -a [3ex] J. y = -dfrac <2>[5ex] K. y = dfrac [5ex] $ Show/Hide Answer

Use the following information to answer questions 15 - 17

ACT Consider the rational function $f(x) = dfrac$, whose graph is shown in the standard $(x, y)$ coordinate plane below.

(15.) ACT What is the value of $f(x)$ at $x = 4$?

$ F. 4 [3ex] G. 2 [3ex] H. dfrac<5> <3>[5ex] J. -1 [3ex] K. -dfrac<7> <3>[5ex] $ Show/Hide Answer

(16.) ACT What is the domain of $f(x)$?
(Note: The domain of a function is all the $x-values$ for which the function is defined.)

أ. All real values of $x$ except $pm 3$

ب. All real values if $x$ except $dfrac<9><7>$

ج. All real values of $x$ except $7$

د. All real values of $x$ except $pm 3$ and $7$

E. All real values of $x$ where $x le -6$ or $x ge 8$

In this case: (based on this question):
Th denominator cannot be zero
لماذا ا؟
Because division by zero is undefined
Therefore, to find the domain, set the denominator to zero and استبعاد the value of $x$ that makes the denominator to be zero

$ x - 7 = 0 [3ex] x = 0 + 7 [3ex] x = 7 [3ex] $ Therefore, the domain is the set of all the real values of $x$ except $7$

(17.) ACT How many horizontal and/or vertical asymptotes are there for the graph of $f(x)$?

$ F. 4 [3ex] G. 3 [3ex] H. 2 [3ex] J. 1 [3ex] K. 0 [3ex] $ Show/Hide Answer

To determine the vertical asymptote:
(1.) Simplify the function
(2.) Set the denominator to zero
(3.) Solve for $x$

$ underline [3ex] f(x) = dfrac [5ex] f(x) = dfrac [5ex] f(x) = dfrac<(x + 3)(x - 3)> [5ex] Nothingcancels [3ex] Set hedenominator o solveforx [3ex] x - 7 = 0 [3ex] x = 7 [3ex] VA:x = 7. only1verticalasymptote [5ex] underline [3ex] numeratorinstandardform . yes [3ex] denominatorinstandardform . yes [3ex] DegreeofNumerator = 2 [3ex] DegreeofDenominator = 1 [3ex] $ Because the Degree of the Numerator is greater than the Degree of the Denominator, there is رقم horizontal asymptote.
In this case, we have a slant asymptote.
Therefore, we have only 1 vertical asymptote.
The correct option is ج.


Properties of Rational Numbers

Here are some properties based on arithmetic operations such as addition and multiplication when performed on the rational irrational numbers.

  • Closure Property: This property states that when any two rational numbers are added, the result is also a rational number.

Example: 1/2 + 1/3 = (3 + 2)/6 = 5/6
So it is closed under addition, the same way for other operations also it remains closed.
Example: 1/2 -1/3=1/6
1/2* 1/3=1/6
1/2/1/3=3/2

  • Commutative Property: The sum of two rational numbers are commutative, as they can be added in any order.

For example:1/2+1/3=5/6 or 1/3+1/2=5/6
The product of two rational numbers is a rational number.
Example: 1/2 x 1/3 = 1/6 or 1/3*1/2=1/6
This property holds true for addition and multiplication , but it does not hold true for Subtraction and division of rational numbers.

  • Associative Property: In this property, when we Take any three rational numbers a, b and c.

(a + b) + c and a + (b + c) is the same .
It states that you can add or multiply numbers regardless of how they are grouped.

For example, given numbers are 5, -6 and 2/3 ( 5 &ndash 6 ) + 2/3= -1+2/3=-1/3 Now, 5 + ( -6 + 2/3)=-1/3.
But again this property does not hold true for subtraction and division.

  • Distributive Property: This property says that when we multiply a sum of integers by another integer it equals to the same result when we multiply each integer by another integer and then add the products together. In other words, it is the distributive property of multiplication by making use of integers.

Distributive property states that for any three integers x, y and z we have
x * ( y + z ) = (x * y) +( x * z)
2*(3+4)=(2*3)+(2*4) = 14


Graph some more complicated functions

Graphs of normal polynomials are always unbroken lines or smooth curves. Rational functions, by contrast, sometimes have breaks which separate the graph into two or more disconnected pieces. A break in the graph of a function is called a discontinuity. Think about it as a gap on the road you are driving.

Polynomials have no breaks or discontinuities because they deal mainly with the process of addition, subtraction and multiplication. Rational functions deal with the process of division. Division makes room for discontinuity to take place in the graph of the function, particularly in places where a division by zero exists. Before we go on, it is vital for you to remember that division by zero is undefined or does not exist. In other words, a fraction cannot have zero in the denominator. Here are three samples of fractions that are undefined: 5/0, 12/0, x/0 and/or any other fraction which has zero in the denominator. The equation (y=frac<5>) is undefined at exactly one place: when (x=1).

Example A:

In this case, x CANNOT = 2 in the denominator because it will create division by zero. If x = 2 in the denominator of the above fraction, there will be a break or discontinuity in the graph or picture of the function.

How to graph the above function:

1) Create an (x, y) table.
2) Select different values for x OTHER THAN x = 2.
3) Use algebra to simplify the fraction.
4) Graph each point on the xy-plane. NOTE: The xy-plane is also called the Coordinate Plane. This idea is taught in geometry.

I will select the following 4 values for x: 0, 3, 4 and 5.

Here are the four points in (x, y) form:

After graphing all four points, the graph will look like this:

NOTE: There are functions with squares, cubes, etc that will NEVER yield division by zero regardless what values we decide to select for x. The squaring and cubing process will do away with division by zero.

Again, follow the steps given in Sample A.

I decided to select the following 4 values for x: 0, -1, 3 and 1/2.

This is what our function looks like:

A break in the graph of the function can happen in two ways:

1) A Missing Point (also called Removable Singularity or Discontinuity).

2) Asymptotes. I will discuss asymptotes in math lesson: Graphing Rational Functions. الجزء 2.

In the function y = x^2 - x + 12/(x - 4), if x = 4, there is discontinuity or a gap in the graph of the function because when x = 4, division by zero is the result.

Here's what the above graph looks like when x = 4:

When facing division by zero, I can factor the numerator and denominator of the fraction. I will now factor the above fraction. Why factor? After factoring, I'll be able to select ANY value for x in terms of making a graph without removable singularity.

In the equation y = x + 3, I can select ANY value for x to find points in the (x, y) form.

The first type of break is known as REMOVABLE SINGULARITY, which is a missing point on the graph of the function. Removable singularity takes place when a chosen value for x leads to division by zero. If you factor and then simplify the rational function, division by zero can be avoided.

Asymptotes: An Introduction

In the function f(x) = (x + 3)/(x - 2), x CANNOT equal 2 because it would yield division by zero in the denominator, which does not exist. But what happens when x almost equals 2?
For example, in the sample above, if x = 2.3, then this will happen:

We can see here that as the value of x decreases, y increases. The closer x will get to 2, the bigger y will be. Of course, the opposite is also true. As x increases, y decreases.

Geometrically speaking, there will be a near-vertical line that appears as x gets closer to 2. It will approach, but never actually touch, x=2. The vertical line x=2 is called the asymptote. Here is an illustration:

Asymptote on the right upward side of the vertical line looks like this:


The above pictures represent vertical asymptotes. Both asymptotes get closer to 2 but never quite reach the vertical line at point (2, 0 ).

There are many more pictures of asymptotes. Look for them in future lessons.


إعادة النظر

1. Write a function that fits the following criteria:

2. Write a function that fits the following criteria:

3. Write a function that fits the following criteria:

4. Write a function that fits the following criteria:

5. Write a function that fits the following criteria:

Give the equations of the vertical asymptotes for the following functions.

حدد الثقوب والمعادلات للخطوط المقاربة العمودية للوظائف المنطقية التالية.


شاهد الفيديو: Even More Rational Functions (شهر اكتوبر 2021).