مقالات

2.7: حل المتباينات الخطية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • ارسم المتباينات على خط الأعداد
  • حل المتباينات باستخدام خصائص الطرح والجمع لعدم المساواة
  • حل المتباينات باستخدام خصائص القسمة والضرب لعدم المساواة
  • حل المتباينات التي تتطلب التبسيط
  • ترجمة إلى عدم المساواة وحلها

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. ترجم من الجبر إلى اللغة الإنجليزية: (15> x ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.3.1.
  2. حل: (n − 9 = −42 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.1.7.
  3. حل: (- 5p = −23 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.2.1.
  4. حل: (3a − 12 = 7a − 20 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.3.22.

المتباينات بيانيًا على خط الأعداد

هل تتذكر ما يعنيه أن يكون الرقم حلاً لمعادلة؟ حل المعادلة هو قيمة المتغير الذي يصنع بيانًا صحيحًا عند استبداله في المعادلة.

ماذا عن حل عدم المساواة؟ ما الرقم الذي يجعل المتباينة (x> 3 ) صحيحة؟ هل تفكر، 'x يمكن أن يكون 4 '؟ هذا صحيح ، لكن x يمكن أن يكون 5 أيضًا ، أو 20 ، أو حتى 3.001. أي عدد أكبر من 3 هو حل للمتباينة (x> 3 ).

نعرض حلول المتباينة (x> 3 ) على خط الأعداد من خلال تظليل جميع الأرقام الموجودة على يمين 3 ، لتوضيح أن جميع الأعداد الأكبر من 3 هي حلول. نظرًا لأن الرقم 3 نفسه ليس حلاً ، فقد وضعنا قوسًا مفتوحًا في 3. يظهر الرسم البياني (x> 3 ) في الشكل ( PageIndex {1} ). يرجى ملاحظة أنه يتم استخدام الاصطلاح التالي: تشير الأسهم ذات اللون الأزرق الفاتح إلى الاتجاه الإيجابي والأسهم الزرقاء الداكنة تشير إلى الاتجاه السلبي.

الرسم البياني للتباين (x geq 3 ) يشبه إلى حد كبير الرسم البياني (x> 3 ) ، لكننا الآن نحتاج إلى إظهار أن 3 هو حل أيضًا. نقوم بذلك بوضع قوس عند (x = 3 ) ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {2} ).

لاحظ أن رمز الأقواس المفتوحة ، (، يوضح أن نقطة نهاية المتباينة غير متضمنة. رمز القوس المفتوح ، [، يوضح أن نقطة النهاية مضمنة.

تمرين ( PageIndex {1} )

رسم بياني على خط الأعداد:

  1. (س leq 1 )
  2. (س <5 )
  3. (س> 1 )
إجابه

1. (x leq 1 ) وهذا يعني أن جميع الأرقام أقل من أو تساوي 1. نظلل جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد على يسار 1 ونضع قوسًا عند x = 1 لإظهار أنه متضمن .

2. (x <5 ) وهذا يعني أن جميع الأرقام الأقل من 5 ، ولكن لا تشمل 5. نظلل جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد على يسار 5 ونضع قوسًا عند x = 5 لإظهار أنه ليس كذلك متضمن.

3. (x> −1 ) وهذا يعني جميع الأعداد الأكبر من but1 ، لكن لا تشمل −1. نظلل جميع الأرقام الموجودة على خط الأعداد على يمين 1 ، ثم نضع قوسًا عند x = −1 لإظهار أنه غير مدرج.

تمرين ( PageIndex {2} )

رسم بياني على خط الأعداد:

  1. (س ليك −1 )
  2. (س> 2 )
  3. (س <3 )
إجابه

تمرين ( PageIndex {3} )

رسم بياني على خط الأعداد:

  1. (س> −2 )
  2. (س <−3 )
  3. (س جيك -1 )
إجابه

يمكننا أيضًا تمثيل المتباينات باستخدام تدوين الفاصل. كما رأينا أعلاه ، المتباينة (x> 3 ) تعني جميع الأعداد الأكبر من 3. لايوجد حد أعلى لحل هذه المتباينة. في تدوين الفاصل، نعبر عن (x> 3 ) كـ ((3، infty) ). يُقرأ الرمز ( infty ) على أنه "ما لا نهاية". إنه ليس رقمًا حقيقيًا. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) كلاً من خط الأعداد وتدوين الفاصل الزمني.

المتباينة (x leq 1 ) تعني كل الأعداد الأصغر من أو التي تساوي 1. لايوجد نهاية أدنى لهذه الأعداد. نكتب (x leq 1 ) في تدوين الفاصل الزمني كـ ((- infty، 1] ). يُقرأ الرمز (- infty ) على أنه "سالب اللانهاية". الشكل ( PageIndex {4 } ) يعرض كلاً من خط الأعداد وتدوين الفاصل الزمني.

عدم المساواة ، وخطوط الأرقام ، وتدوين الفواصل

هل لاحظت كيف يتطابق القوس أو القوس في تدوين الفاصل مع الرمز الموجود في نقطة نهاية السهم؟ تظهر هذه العلاقات في الشكل ( PageIndex {5} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

رسم بياني على خط الأعداد واكتب تدوين الفترة الزمنية:

  1. (س> 2 )
  2. (س leq −1.5 )
  3. (x geq frac {3} {4} )
إجابه

تمرين ( PageIndex {6} )

رسم بياني على خط الأعداد واكتب تدوين الفاصل الزمني:

  1. (س ليك −4 )
  2. (س جيك 0.5 )
  3. (x <- frac {2} {3} )
إجابه

حل المتباينات باستخدام خصائص الطرح والجمع لعدم المساواة

تنص خصائص الطرح والجمع على أنه إذا تساوت كميتان ، فعندما نجمع أو نطرح نفس المقدار من كلا الكميتين ، فإن النتائج ستكون متساوية.

خصائص المساواة

[ start {array} {ll} { textbf {Subtraction Property of Equality}} & { textbf {Addition Property of Equality}} { text {For any number} a، b، text {and} c،} & { text {For any number} a، b، text {and} c} { text {if} qquad quad a = b،} & { text {if} qquad رباعي أ = ب} { نص {ثم} أ - ج = ب - ج. } & { text {then} a + c = b + c} end {array} ]

الخصائص المماثلة تنطبق على عدم المساواة.

على سبيل المثال ، نعلم أن −4 أقل من 2.
إذا طرحنا 5 من كلا الكميتين ، فهل لا يزال الطرف الأيسر أقل من الطرف الأيمن؟
نحصل على −9 على اليسار و 3 على اليمين.
ونعلم أن −9 أقل من 3.

بقيت علامة عدم المساواة كما هي.

جدول ( PageIndex {1} )

وبالمثل ، يمكننا أن نبين أن المتباينة أيضًا تظل كما هي عند الجمع.

هذا يقودنا إلى خصائص الطرح والجمع لعدم المساواة.

خصائص عدم المساواة

[ start {array} {ll} { textbf {Subtraction Property of Inequality}} & { textbf {Addition Property of Inequality}} { text {For any number} a، b، text {and} c،} & { text {For any number} a، b، text {and} c} { text {if} qquad quad a b} & { text {if} qquad quad a> b} { نص {ثم} أ - ج> ب - ج. } & { text {then} a + c> b + c} end {array} ]

نستخدم هذه الخصائص لحل المتباينات ، باتباع نفس الخطوات التي استخدمناها لحل المعادلات. لحل المتباينة (x + 5> 9 ) ، ستبدو الخطوات كما يلي:

[ start {array} {rrll} {} & {x + 5} & {>} & {9} { text {اطرح 5 من كلا الجانبين للعزل} x.} & {x + 5 - 5 } & {>} & {9 - 5} {} & {x} & {>} & {4} end {array} ]

أي عدد أكبر من 4 هو حل لهذه المتباينة.

تمرين ( PageIndex {7} )

حل المتباينة (n - frac {1} {2} leq frac {5} {8} ) ، وارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
أضف ( frac {1} {2} ) إلى جانبي المتباينة.
تبسيط.
ارسم الحل على خط الأعداد.
اكتب الحل في تدوين الفترة.

تمرين ( PageIndex {8} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(p - frac {3} {4} geq frac {1} {6} )

إجابه

تمرين ( PageIndex {9} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(r - frac {1} {3} leq frac {7} {12} )

إجابه

حل المتباينات باستخدام خصائص القسمة والضرب لعدم المساواة

تنص خصائص القسمة والضرب للمساواة على أنه في حالة تساوي كميتين ، عندما نقسم أو نضرب كلتا الكميتين بنفس المقدار ، ستكون النتائج متساوية أيضًا (بشرط ألا نقسم على 0).

خصائص المساواة

[ start {array} {ll} { textbf {Division Property of Equality}} & { textbf {MUltiplication Property of Equality}} { text {For any number a، b، c، c} neq 0} & { text {لأي أرقام a، b، c}} { text {if} qquad a = b} & { text {if} qquad quad a = b} { text {then} quad frac {a} {c} = frac {b} {c}} & { text {then} quad ac = bc} end {array} ]

هل هناك خصائص مماثلة لعدم المساواة؟ ماذا يحدث للمتباينة عندما نقسم أو نضرب كلا الطرفين في ثابت؟

تأمل في بعض الأمثلة العددية.

اقسم كلا الجانبين على 5.اضرب كلا الطرفين في 5.
تبسيط.
املأ علامات عدم المساواة.
جدول ( PageIndex {2} )

ظلت علامات عدم المساواة كما هي.

هل تظل المتباينة كما هي عند القسمة أو الضرب في عدد سالب؟

اقسم كلا الجانبين على -5.اضرب كلا الطرفين في -5.
تبسيط.
املأ علامات عدم المساواة.
جدول ( PageIndex {3} )

عكست علامات عدم المساواة اتجاهها.

عندما نقسم أو نضرب متباينة على رقم موجب ، فإن علامة المتباينة تبقى كما هي. عندما نقسم أو نضرب متباينة على رقم سالب ، تنعكس علامة عدم المساواة.

فيما يلي خصائص القسمة والضرب لعدم المساواة لسهولة الرجوع إليها.

خصائص التقسيم والتعدد من عدم المساواة

لأية أعداد حقيقية أ ، ب ، ج

[ start {array} {ll} { text {if} a 0، text {then}} & { frac {a} {c} < frac {b} {c} text {and} ac b text {and} c> 0، text {then}} & { frac {a} {c}> frac {b} {c} text {and} ac> bc} { text {if} a frac {b} {c} text {and} ac> bc} { text {if} a> b text {and} c <0، text {then}} & { frac {a} {c} < frac {b} {c} text {and} ac

عندما كنا قسمة أو اضرب عدم المساواة من خلال:

  • إيجابي رقم ، يبقى عدم المساواة نفس.
  • نفي رقم ، عدم المساواة ينعكس.

تمرين ( PageIndex {11} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(9 ج> 72 )

إجابه

(ج> 8 )

((8، infty) )

تمرين ( PageIndex {12} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(12 يوم leq 60 )

إجابه

(د leq 5 )

((- infty، 5] )

تمرين ( PageIndex {14} )

حل كل متباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(- 8 م <32 )

إجابه

(ف> −4 )

تمرين ( PageIndex {15} )

حل كل متباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(- 7r leq −70 )

إجابه

حل أوجه عدم المساواة

أحيانًا عند حل متباينة ، ينتهي المتغير إلى اليمين. يمكننا إعادة كتابة المتباينة في الاتجاه المعاكس لإيصال المتغير إلى اليسار.

[ start {array} {l} x> a text {له نفس المعنى} a

فكر في الأمر على أنه "إذا كان Xavier أطول من Alex ، فإن Alex يكون أقصر من Xavier."

تمرين ( PageIndex {17} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(24 leq frac {3} {8} م )

إجابه

تمرين ( PageIndex {18} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

(- 24 < frac {4} {3} n )

إجابه

تمرين ( PageIndex {20} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

( frac {k} {- 12} leq 15 )

إجابه

تمرين ( PageIndex {21} )

حل المتباينة ، بياني الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

( frac {u} {- 4} geq -16 )

إجابه

​​​​​

حل المتباينات التي تتطلب التبسيط

تتطلب معظم حالات عدم المساواة أكثر من خطوة لحلها. نتبع نفس الخطوات التي استخدمناها في الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية ، ولكن تأكد من الانتباه عن كثب أثناء الضرب أو القسمة.

تمرين ( PageIndex {23} )

حل المتباينة (3q geq 7q − 23 ) ، ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل باستخدام تدوين الفترة.

إجابه

تمرين ( PageIndex {24} )

حل المتباينة (6x <10x + 19 ) ، ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل باستخدام تدوين الفترة.

إجابه

تمرين ( PageIndex {25} )

حل المتباينة (8p + 3 (p 12)> 7p − 28 ) ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل باستخدام رمز الفترة.

إجابه
بسّط كل جانب قدر الإمكان.8p + 3 (ص 12)> 7 ص 28
نشر.8p + 3p − 36> 7p − 28
اجمع بين الشروط المتشابهة.11 ص 36> 7 ص 28
اطرح 7p من كلا الطرفين لتجميع المتغيرات الموجودة على اليسار.11p − 36−7p> 7p − 28−7p
تبسيط.4p − 36> 28
أضف 36 لكلا الطرفين لتجميع الثوابت على اليمين.4p − 36 + 36> 28 + 36
تبسيط.4p> 8
قسّم طرفي المتباينة على 4 ؛ عدم المساواة يبقى كما هو. ( فارك {4p} {4}> 84 )
تبسيط. (ف> 2 )
ارسم الحل على خط الأعداد.
اكتب الحل في تدوين الفترة. ((2، infty) )

تمرين ( PageIndex {26} )

حل المتباينة (9y + 2 (y + 6)> 5y − 24 ) وارسم الحل على خط الأعداد واكتب الحل على شكل فترة.

إجابه

تمرين ( PageIndex {27} )

حل المتباينة (6u + 8 (u − 1)> 10u + 32 ) ، ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في صيغة الفترة.

إجابه

تمامًا مثل بعض المعادلات متطابقات وبعضها متناقضات ، قد تكون عدم المساواة هويات أو تناقضات أيضًا. نتعرف على هذه الأشكال عندما يتبقى لنا ثوابت فقط عندما نحل المتباينة. إذا كانت النتيجة عبارة صحيحة ، فلدينا هوية. إذا كانت النتيجة بيان خاطئ ، فلدينا تناقض.

تمرين ( PageIndex {28} )

حل المتباينة (8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x ) ، ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه
بسّط كل جانب قدر الإمكان.8x − 2 (5 − x) <4 (x + 9) + 6x
نشر.8 س − 10 + 2 س <4x + 36 + 6 س
اجمع بين الشروط المتشابهة.10x 10 <10x + 36
اطرح 10x من كلا الجانبين لتجميع المتغيرات على اليسار.10x − 10−10x <10x + 36−10x
تبسيط.−10<36
لقد ولت xx's ، ولدينا بيان حقيقي.اللامساواة هي هوية.
الحل هو كل الأعداد الحقيقية.
ارسم الحل على خط الأعداد.
اكتب الحل في تدوين الفترة. ((- infty، infty) )

تمرين ( PageIndex {29} )

حل المتباينة (4b − 3 (3 − b)> 5 (b − 6) + 2b ) ، ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل باستخدام تدوين الفترة.

إجابه

تمرين ( PageIndex {30} )

حل المتباينة (9h − 7 (2 − h) <8 (h + 11) + 8h ) ، ارسم الحل على خط الأعداد ، واكتب الحل باستخدام تدوين الفترة.

إجابه

تمرين ( PageIndex {32} )

حل المتباينة ( frac {1} {4} x - frac {1} {12} x> frac {1} {6} x + frac {7} {8} ) ، رسم الحل بيانيًا على خط الأعداد ، واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه

تمرين ( PageIndex {33} )

حل المتباينة ( frac {2} {5} z - frac {1} {3} z < frac {1} {15} z - frac {3} {5} ) ، رسم الحل بيانيًا على خط الأعداد ، واكتب الحل في تدوين الفترة.

إجابه

ترجمة إلى عدم المساواة وحل

لترجمة الجمل الإنجليزية إلى عدم المساواة ، نحتاج إلى التعرف على العبارات التي تشير إلى عدم المساواة. بعض الكلمات سهلة ، مثل "أكثر من" و "أقل من". لكن البعض الآخر ليس واضحًا.

فكر في عبارة "على الأقل" - ماذا يعني أن يكون "عمرك 21 عامًا على الأقل"؟ يعني 21 أو أكثر. العبارة "على الأقل" هي نفسها "أكبر من أو يساوي".

جدول ( PageIndex {4} ) يعرض بعض العبارات الشائعة التي تشير إلى عدم المساواة.

> ( جيك )< ( leq )
"data-valign =" middle "class =" lt-math-15134 "> أكبر منأكبر من أو يساوياقل منأصغر من أو يساوي
"data-valign =" middle "class =" lt-math-15134 "> أكبر منهذا على الاقلأصغر منعلى الأكثر
"data-valign =" middle "class =" lt-math-15134 "> أكبر منليس أقل منلديه أقل منليس أكثر من
"data-valign =" middle "class =" lt-math-15134 "> يتجاوزهو الحد الأدنىأقل منهو الحد الأقصى
جدول ( PageIndex {4} )

تمرين ( PageIndex {34} )

ترجمة وحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفترة ورسم بياني على خط الأعداد.

اثنتي عشرة مرة ج لا يزيد عن 96.

إجابه
يترجم.
حل — قسّم كلا الطرفين على 12.
تبسيط.
اكتب في تدوين الفترة.
رسم بياني على خط الأعداد.

تمرين ( PageIndex {35} )

ترجمة وحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفترة ورسم بياني على خط الأعداد.

عشرين مرة ذ هو 100 على الأكثر

إجابه

تمرين ( PageIndex {36} )

ترجمة وحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفترة ورسم بياني على خط الأعداد.

تسع مرات ض لا يقل عن 135

إجابه

تمرين ( PageIndex {37} )

ترجمة وحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفترة ورسم بياني على خط الأعداد.

ثلاثون أقل من x 45 على الأقل.

إجابه
يترجم.
حل — أضف 30 للطرفين.
تبسيط.
اكتب في تدوين الفترة.
رسم بياني على خط الأعداد.

تمرين ( PageIndex {38} )

ترجمة وحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفترة ورسم بياني على خط الأعداد.

تسعة عشر أقل من ص لا تقل عن 47

إجابه

تمرين ( PageIndex {39} )

ترجمة وحل. ثم اكتب الحل في تدوين الفترة ورسم بياني على خط الأعداد.

أربعة أكثر من أ 15 على الأكثر.

إجابه

المفاهيم الرئيسية

  • خاصية الطرح لعدم المساواة
    لأية أرقام أ ، ب ، ج ،
    إذا كان a إذا كانت a> b ثم a − c> b c.
  • إضافة خاصية عدم المساواة
    لأية أرقام أ ، ب ، ج ،
    إذا كانت a إذا كانت أ> ب ثم أ + ج> ب + ج.
  • خصائص القسمة والضرب لعدم المساواةذ
    لأية أرقام أ ، ب ، ج ،
    إذا كان a 0 ، ثم ac bc.
    إذا كان a> b و c> 0 ، ثم ac> bc و ac> bc.
    إذا كان a bc و ac> bc.
    إذا كانت a> b و c <0 ، فإن ac
  • عندما كنا قسمة أو اضرب عدم المساواة من خلال:
    • إيجابي رقم ، يبقى عدم المساواة نفس.
    • نفي رقم ، عدم المساواة ينعكس.

حل خطوتين المتباينات الخطية

لحل متباينة من خطوتين ، قم بإلغاء الجمع أو الطرح أولاً باستخدام العمليات العكسية ، ثم التراجع عن الضرب أو القسمة.

العملية العكسية للجمع هي الطرح والعكس صحيح.

وبالمثل ، فإن العملية العكسية للضرب هي القسمة والعكس صحيح.

لاحظ أنه عندما تضرب أو تقسم طرفي المتباينة على رقم سالب ، فعكس المتراجحة.

أولًا ، علينا عزل الحد المتغير في أحد طرفي المتباينة. هنا ، على اليسار ، يضاف 1 إلى الحد المتغير ، 2 x. العملية العكسية للجمع هي الطرح. لذا اطرح 1 من كلا الطرفين.

الآن ، لدينا المتغير x مضروبًا في 2. عملية الضرب العكسية هي القسمة. لذلك ، اقسم كلا الطرفين على 2.

أي أن المتباينة صحيحة لجميع قيم x الأقل من 3.

إذن ، حلول المتباينة 2 x + 1 & lt 7 هي جميع الأعداد الأصغر من 3.

نحتاج أولاً إلى عزل الحد المتغير & ناقص 3 x على اليسار. العملية العكسية للطرح هي الجمع. لذا ، أضف 8 إلى كلا الجانبين.

لعزل المتغير x ، قسّم كلا الجانبين على & ناقص 3.

لاحظ أنه عندما تضرب أو تقسم طرفي المتباينة على رقم سالب ، فعكس المتراجحة.

لذلك ، فإن حلول عدم المساواة & ناقص 3 x & ناقص 8 & ge & ناقص 2 كلها أرقام أقل من أو تساوي & ناقص 2.


حل المتباينات الخطية

ملخص
& # 8226 القسم 2.7 في الكتاب المدرسي:
& # 8211 رسم المتباينات على خط الأعداد & أمبير
تدوين الفاصل
& # 8211 استخدام خاصية الإضافة لعدم المساواة
& # 8211 استخدام خاصية الضرب لعدم المساواة
& # 8211 حل المتباينات باستخدام كلا الخاصيتين

رسم المتباينات على أ
خط الأعداد وتدوين الفاصل الزمني

مجموعة الحلول
& # 8226 مجموعة الحلول & # 8211 جميع القيم التي تفي بملف
عدم المساواة
& # 8226 غالبًا ما يتم التعبير عن مجموعة الحلول باستخدام ملف
رقم الخط

رسم المتباينات على رقم
خط
& # 8226 النظر في عدم المساواة x & gt 1
& # 8211 ما هي بعض قيم x التي تجعل امتداد
عدم المساواة صحيح؟

• <2, 3, 4, 5, …>
& # 8211 وهكذا يمكن أن تكون x أي قيمة أكبر من 1

& # 8226 يشير إلى أي اتجاه على خط الأعداد
زيادة القيم؟
& # 8211 هل يمكن أن تكون x = 1 حلاً للمتباينة؟

& # 8226 بما أن x = 1 ليست في مجموعة الحلول ، فإننا نضع أ
أقواس حول 1 على خط الأعداد

& # 8226 الآن فكر في x & # 8805 1
& # 8211 رسوم بيانية تقريبًا بنفس الطريقة باستثناء

& # 8226 هل x = 1 مضمنة في مجموعة الحلول؟
& # 8211 نظرًا لأن x = 1 جزء من مجموعة الحلول ، فإننا نضع قوسًا حول 1
على خط الأعداد

& # 8226 معطى x & lt a أو x & gt a:
& # 8211 الأقواس تدور حول a على خط الأعداد (لا
شامل)

& # 8226 معطى x & # 8804 a أو x & # 8805 a:
& # 8211 القوس يدور حول a على خط الأعداد (ضمناً)

تدوين الفاصل
& # 8226 سهل بمجرد الحصول على الرسم البياني

& # 8226 يمثل & # 8220endpoints & # 8221 للرسم البياني
& # 8211 First & # 8220value & # 8221 هو ما يتم تظليله إلى أقصى حد
اليسار على الرسم البياني
& # 8211 Second & # 8220value & # 8221 هي ما يتم تظليله إلى أقصى حد
على اليمين على الرسم البياني
& # 8211 يمثل السهم المظلل & # 8734

& # 8226 الأقواس تدور دائمًا حول اللانهاية

رسم المتباينات على رقم
تدوين الخط والفاصل أمبير (مثال)
المثال 1: رسم بياني على خط الأعداد واكتب فيه
تدوين الفاصل الزمني:

إضافة خاصية عدم المساواة
& # 8226 يعمل بنفس طريقة الإضافة
خاصية EQuality

& # 8226 عند إضافة رقم أو
مطروح من المتغير:
& # 8211 أضف رقم OPPOSITE إلى كلا الجانبين

& # 8226 النظر في 2 & الملازم 7
& # 8211 ماذا يحدث عندما نضيف 2 لكلا الجانبين؟
& # 8211 ماذا يحدث عندما نطرح 5؟

إضافة خاصية عدم المساواة
(مثال)
المثال 2: حل ، رسم بيانيًا ، واكتب الحل
مجموعة في تدوين الفاصل:

خاصية الضرب في اللامساواة
& # 8226 تقريبًا نفس الضرب
خاصية EQuality

& # 8226 عندما يتم ضرب المتغير بـ a
عدد:
& # 8211 قسمة كلا الجانبين على الرقم
بما في ذلك الإشارة

& # 8226 النظر في 4 & GT 2
& # 8211 ماذا يحدث عندما نقسم على 2؟
& # 8211 ماذا يحدث عندما نقسم على -2؟

& # 8226 وهكذا عندما نقسم عدم المساواة
برقم سلبي:
& # 8211 تبديل اتجاه المتباينة
& # 8211 الفشل في تبديل عدم المساواة عند
القسمة على الرقم السلبي هي أ
خطأ عام!

خاصية الضرب لـ
عدم المساواة (مثال)
المثال 3: حل ، رسم بيانيًا ، واكتب الحل
تم تعيينه في تدوين الفاصل الزمني:

حل المتباينات باستخدام
كلا الخاصيتين

حل المتباينات باستخدام كليهما
الخصائص (مثال)
المثال 4: حل ، رسم بيانيًا ، واكتب الحل
تم تعيينه في تدوين الفاصل الزمني:

مثال 5: حل ، رسم بيانيًا ، واكتب الحل
تم تعيينه في تدوين الفاصل الزمني:

ملخص
& # 8226 بعد دراسة هذه الشرائح ، يجب أن تعرف
كيف تفعل ما يلي:
& # 8211 ارسم متباينة على خط الأعداد
& # 8211 فهم خصائص الجمع والضرب
من عدم المساواة
& # 8211 حل المتباينات ورسمها بيانيًا

& # 8226 ممارسة إضافية
& # 8211 راجع قائمة المشاكل المقترحة لـ 2.7

& # 8226 الدرس التالي
& # 8211 حل معادلات القيمة المطلقة (القسم هـ.1)


حل المتباينات الخطية

ان عدم المساواة هي جملة بها ، & le ، أو & ge كفعلها. مثال على ذلك هو 3x - 5 0 صحيح ، ثم ac bc صحيح.
عبارات مماثلة تنطبق على a & le b.

عندما يتم ضرب طرفي المتباينة في عدد سالب ، يجب أن نعكس علامة المتباينة.
المتباينات من الدرجة الأولى مع متغير واحد ، مثل تلك الموجودة في المثال 1 أدناه ، هي المتباينات الخطية.

مثال 1 حل كل مما يلي. ثم رسم مجموعة الحلول بيانيًا.
أ) 3x - 5
يحل 13 - 7x & ge 10x - 4
طرح 10x
13 - 17x & ge -4

القسمة على -17 وعكس علامة عدم المساواة
x & le 1

مجموعة الحل هي أو (- & infin، 1]. الرسم البياني لمجموعة الحلول موضح أدناه.

عدم المساواة المركبة

عندما يتم ربط اثنين من المتباينات بالكلمة و أو الكلمة أو، أ عدم المساواة المركبة لقد تكون. متباينة مركبة مثل
-3 1. ثم رسم مجموعة الحلول بيانيًا.
المحلول نحن لدينا

2x - 5 & le -7 أو 2x - 5> 1.
2x & le -2 أو 2x> 6 إضافة 5
x & le -1 أو x> 3. القسمة على 2
مجموعة الحل هي أو x> 3>. يمكننا أيضًا كتابة الحل باستخدام تدوين الفترة ورمز اتحاد أو تضمين كلتا المجموعتين: (- & infin -1] (3، & infin). الرسم البياني لمجموعة الحلول موضح أدناه.

للتحقق ، رسم بياني y1 = 2 س - 5 ، ص2 = -7 ، وص3 = 1. لاحظ أن أو x> 3> ، ص1 & لو ذ2 أو ذ1 > ذ3.

المتباينات ذات القيمة المطلقة

تحتوي المتباينات أحيانًا على تدوين القيمة المطلقة. الخصائص التالية تستخدم لحلها.
بالنسبة إلى> 0 والتعبير الجبري X:
| X | a يعادل X a.
عبارات مماثلة تنطبق على | X | & le a و | X | & جنرال الكتريك أ.


الرياضيات PreCalculus Mathematics في نبراسكا

في القسم السابق تحدثنا عن الخطية المعادلات، وهي عبارات رياضية تشير إلى تساوي تعبيرين. ولكن ماذا لو أردنا مقارنة التعبيرات ذات "الأحجام" المختلفة؟

في هذا القسم ، ستفعل.

تمثل حلولًا لعدم المساواة باستخدام مجموعة متنوعة من التمثيلات

المتباينات الخطية الفرعية

الرمز ( gt ) يسمى an ، والبيان (a gt b ) يسمى. هناك أربعة رموز لعدم المساواة:

تسمى المتباينات التي تتضمن الرموز ( gt ) أو ( lt ) تلك التي تتضمن ( ge ) أو ( le ).

إذا كانت المتباينة تحتوي على متغير واحد أو أكثر ، فإن أ من تلك المتباينة هي أي مجموعة من القيم يمكن أن تحل محل المتغيرات لإنتاج بيان صحيح. على سبيل المثال ، (3 ) هو حل لـ (2x & gt2 ) لأن (2 cdot3 & gt2 ) عبارة صحيحة. لكن (3 ) ليس هو الحل الوحيد! في الواقع ، أي رقم أكبر من (1 ) هو حل. بينما تحتوي المعادلات الخطية على حل واحد أو صفر أو عدد لا نهائي من الحلول ، يمكن أن تحتوي المتباينات الخطية على مجموعات حلول أكثر تعقيدًا.

حل المتباينات الخطية مشابه جدًا لحل المعادلات الخطية. يكمن الاختلاف الرئيسي في الضرب والقسمة: إذا ضربنا أو قسمنا طرفي المتباينة على رقم سالب ، فيجب عكس اتجاه المتباينة. على سبيل المثال ، إذا ضربنا طرفي المتباينة

بسبب هذه الخاصية ، يجب مراجعة قواعد حل المعادلات الخطية قليلاً لحل المتباينات الخطية.

لحل متباينة خطية

يمكننا إضافة العدد نفسه إلى طرفي المتباينة أو طرح نفس العدد من طرفي المتباينة بدون تغيير حلولها.

قد نضرب أو نقسم طرفي المتباينة على أ إيجابي عدد.

إذا ضربنا أو قسمنا طرفي المتباينة على a نفي العدد ، يجب علينا عكس اتجاه رمز عدم المساواة.

مثال 53

حل المتباينة (4 - 3x ge -17 text <.> )

استخدم القواعد أعلاه لعزل (x ) في أحد طرفي المتراجحة.

لاحظ أننا عكسنا اتجاه المتباينة عندما قسمنا على (- 3 text <.> ) أي عدد أصغر من أو يساوي (7 ) هو حل للمتباينة.

يتضمن A رمزين متباينين. لحل متباينة مركبة ، نستخدم نفس الخطوات السابقة ، بتطبيق العمليات على "الجوانب" الثلاثة لرموز المتباينة.

مثال 54

حل (4 le 3x + 10 le 16 text <.> )

نعزل (x ) بإجراء العمليات نفسها على الجوانب الثلاثة للمتباينة.

الحلول هي جميع الأرقام بين (- 2 ) و (2 نص <،> ) ضمناً.

الحذر 55

لاحظ في المثال السابق أنه في المتباينة المركبة ، يكون كلا رمزي المتباينة في نفس "الاتجاه". عادةً لن ترى شيئًا مثل (4 lt x geq 8 ) أو (- 3 geq x leq 2 text <.> )

تدوين الفاصل الزمني للقسم الفرعي

طريقة شائعة لتمثيل حلول عدم المساواة هي مع. الفاصل الزمني هو مجموعة تتكون من جميع الأرقام الحقيقية بين رقمين (أ ) و (ب نص <.> )

تتضمن المجموعة (- 2 le x le 2 ) نقاط النهاية (- 2 ) و (2 text <،> ) لذلك نسميها a ، ونشير إليها بـ ([- 2 ، 2] ) (انظر الشكل 56 أ). يخبرنا الأقواس المربعة أن نقاط النهاية مضمنة في الفترة الزمنية. الفاصل الزمني الذي لا يتضمن نقاط النهاية الخاصة به ، مثل (- 2 lt x lt 2 text <،> ) يسمى an ، ونشير إليه بأقواس دائرية ، ((- 2 ، 2) ) (انظر الشكل 56 ب).

الحذر 57

لا تخلط بين الفاصل الزمني المفتوح ((- 2 ، 2) ) والنقطة ((- 2 ، 2) نص) الترميز هو نفسه ، لذلك يجب أن تقرر من السياق ما إذا كانت فترة أو نقطة قيد المناقشة.

يمكننا أيضًا مناقشة ، مثل (x lt 3 ) و (x ge -1 text <،> ) الموضحة في الشكل 58. نشير إلى الفاصل (x lt 3 ) بواسطة ((- infty، 3) text <،> ) والفاصل (x ge -1 ) بواسطة ([- 1، infty ) text <.> ) الرمز ( infty text <،> ) بالنسبة إلى اللانهاية ، لا يمثل رقمًا حقيقيًا محددًا ولكنه يشير إلى أن الفاصل الزمني يستمر إلى الأبد على طول الخط الحقيقي. نستخدم دائمًا الأقواس المستديرة بجوار ( pm infty ) في فترات لانهائية.

أخيرًا ، يمكننا دمج فترتين أو أكثر في مجموعة أكبر. على سبيل المثال ، المجموعة التي تتكون من (x lt -1 ) أو (x gt 2 text <،> ) الموضحة في الشكل 59 ، هي فترتين ويتم الإشارة إليها بواسطة ((- infty، -2) كوب (2 ، infty) نص <.> )

العديد من حلول المتباينات هي فترات أو اتحادات فترات.

مثال 60

اكتب كل مجموعة من مجموعات الحلول باستخدام تدوين الفترة ورسم مجموعة الحلول على خط الأعداد بيانيًا.


حل أنظمة المتباينات الخطية

حلول نظام من المتباينات الخطية هي الأزواج المرتبة التي تحل جميع المتباينات في النظام. لذلك ، لحل هذه الأنظمة ، ارسم مجموعات حلول المتباينات على نفس مجموعة المحاور وحدد مكان تقاطعها. يحدد هذا التقاطع ، أو التداخل ، منطقة حلول الأزواج المرتبة المشتركة.

مثال 1: ارسم مجموعة الحلول: <- 2 x + y & gt - 4 3 x - 6 y ≥ 6.

المحلول: لتسهيل عملية الرسم البياني ، حللنا أولاً من أجل ذ.

بالنسبة للمتباينة الأولى ، نستخدم حدًا متقطعًا معرف بواسطة y = 2 x - 4 ونظلل جميع النقاط فوق الخط. بالنسبة للمتباينة الثانية ، نستخدم حدًا صلبًا محددًا بواسطة y = 1 2 x - 1 ونظلل جميع النقاط أدناه. التقاطع معتم.

الآن نقدم الحل مع التقاطع المظلل فقط.

المثال 2: ارسم مجموعة الحلول: <- 2 x + 3 y & gt 6 4 x - 6 y & gt 12.

المحلول: ابدأ بحل المتباينات لـ ذ.

استخدم خطًا متقطعًا لكل حد. بالنسبة إلى المتباينة الأولى ، ظلل جميع النقاط فوق الحد. بالنسبة إلى المتباينة الثانية ، ظلل كل النقاط أسفل الحد.

كما ترى ، لا يوجد تقاطع بين هاتين المنطقتين المظللتين. لذلك ، لا توجد حلول متزامنة.

المثال 3: ارسم مجموعة الحلول:

المحلول: يشكل تقاطع جميع المناطق المظللة المنطقة المثلثية كما هو موضح في الصورة أدناه:

بعد رسم جميع المتباينات الثلاث على نفس مجموعة المحاور ، نحدد أن التقاطع يقع في المنطقة المثلثية الموضحة في الصورة.

يشير الرسم إلى أن (−1 ، 1) هي نقطة مشتركة. كتحقق ، استبدل هذه النقطة في المتباينات وتحقق من أنها تحل جميع الشروط الثلاثة.

مفتاح الوجبات الجاهزة

  • لحل أنظمة المتباينات الخطية ، ارسم مجموعات الحلول لكل متباينة على نفس مجموعة المحاور وحدد مكان تقاطعها.

تمارين الموضوع

الجزء أ: حل أنظمة المتباينات الخطية

حدد ما إذا كانت النقطة المعطاة هي حل لنظام المعادلات الخطية المعطى.


مشاكل المسافة والوقت

الأهداف

عند الانتهاء من هذا القسم ، يجب أن تكون قادرًا على:

  1. تحديد مشاكل معدل المسافة والوقت.
  2. قم بتطبيق صيغة المسافة لحل المشكلات في هذه المجموعة.

هناك صيغة أخرى غالبًا ما توجد في المشكلات اللفظية هي

d = rt (المسافة = المعدل X الوقت) ،

وهي صيغة المسافة للمعدل الثابت. بالنظر إلى المعدل الذي يتحرك به الجسم والوقت الذي يتحرك فيه بهذا المعدل ، يمكننا إيجاد المسافة التي يتحرك بها الجسم.

مثال 1 سيارة تسير بسرعة 55 ميلاً في الساعة لمدة أربع ساعات. إلى أي مدى يسافر؟

باستخدام الصيغة d = rt ، استبدل r = 55 و t = 4 لتحصل على

وبالتالي ، فإن المسافة المقطوعة تساوي 220 ميلاً.

إلى أي مدى ستقطع السيارة في ساعة واحدة؟ بعد ساعتين؟ في ثلاث ساعات؟

إذا تم إعطاء المسافة والسعر معًا ، فيمكننا إيجاد الوقت.

مثال 2 كم من الوقت ستستغرق طائرة تبلغ سرعتها الأرضية 530 ميلاً في الساعة لتقطع 2120 ميلاً؟

في هذه الحالة ، دع d = 2،120 و r = 530 في الصيغة

لذلك سوف يستغرق الأمر أربع ساعات لقطع المسافة.

تحقق دائمًا من توافق الوحدات. بمعنى ، إذا تم تحديد السرعة بالأميال في الساعة ، فيجب أن تكون المسافة أيضًا بالأميال.

يمكننا أيضًا إيجاد المعدل إذا أعطيت لنا المسافة والوقت.

مثال 3 مشى شخص 21 ميلا في ساعات. ما هو متوسط ​​سعر الشخص؟

نعوض بـ d = 21 و t = 3.5 في الصيغة

كان متوسط ​​سعر الشخص ستة أميال في الساعة.

نوع واحد من مسائل المسافة يتضمن كائنين يغادران من نفس النقطة ويسيران في نفس الاتجاه.

يمكنك أيضًا ترك الوقت بصيغة كسر. ثم

مثال 4 سارق بنك يغادر المدينة متجهًا شمالًا بمتوسط ​​سرعة 120 كيلومترًا في الساعة. يغادر الشريف بعد ساعتين في طائرة تسافر بسرعة 200 كيلومتر في الساعة. كم من الوقت سيستغرق الشريف للقبض على السارق؟

في هذا الجدول يمثل x الوقت الذي يستغرقه العمدة للقبض على السارق. لاحظ أن المسافة 120 (x + 2) و 200 x تأتي من الصيغة d = rt.

استخدم جدولًا مثل هذا الجدول عند تضمين جسمين متحركين أو أكثر. يسمح بإجراء مقارنات سهلة.

تأتي المعادلة من حقيقة أن الشريف والسارق قد قطعوا نفس المسافة عندما يمسك الشريف السارق. هكذا،

سيقبض الشريف على السارق خلال ثلاث ساعات.

لاحظ أنه منذ أن غادر العمدة بعد ساعتين ، سيكون السارق هاربًا لمدة x + 2 ساعة عند القبض عليه.
عندما يقبض الشريف على السارق ، يكون كل منهما قد قطع نفس المسافة.

الشيك: سافر سارق البنك لمدة خمس ساعات بسرعة 120 كم / ساعة لمسافة 5 (120) = 600 كم.

سافر الشريف لمدة ثلاث ساعات بسرعة 200 كم / ساعة لمسافة 3 (200) = 600 كم.

هناك نوع آخر من مسائل المسافة ، وهو عبارة عن كائنين يغادران من نفس النقطة ويسيران في اتجاهين متعاكسين.

مثال 5 تبدأ باميلا وسو من نفس النقطة والمشي في اتجاهين متعاكسين. المعدل الذي يبتعدون به عن بعضهم البعض هو 11 ميل في الساعة. At the end of three hours Pamela stops and Sue continues to walk for another hour. At the end of that time Pamela has walked twice as far as Sue. How far apart are they?

We use the following table:

The problem tells us the time and lets us represent the distance. To represent the value for r we divide the distance by the time.

The sum of their rates is 11 mph.

Thus, they are 36 miles apart.

Check: Pamela's rate is Sue's rate is Their total rate is 11 mph. Also, Pamela's distance (24) is twice Sue's distance (12).

Again, check to make sure the answers agree with the original problem.

Still another type of distance problem involves two objects that leave from two different points and travel toward each other.

مثال 6 Juan and Steven started 36 miles apart and walked toward each other, meeting in three hours. If Juan walked two miles per hour faster than Steven, find the rate of each.

If we let x represent the rate at which Steven walked, then Juan's rate would be represented by x + 2.

First set up the following table:

We represent the distance as the product of the rate and time (d = rt).

The total distance they have traveled is 36 miles. هكذا،

Juan's rate = 7 mph
Steven's rate = 5 mph.

Check: Juan's rate (7) is two miles per hour faster than Steven's (5). Also 3(7) + 3(5) = 21 + 15 = 36.

Within the class of problems using d = rt is a subclass of problems concerned with parallel and opposing forces.

Parallel forces travel in the same direction, and opposing forces travel in opposite directions.

The normal speed of the plane will be reduced by the speed of the wind.

مثال 7 A plane, whose speed in still air is 550 mph, flies against a headwind of 50 mph. How long will it take to travel 1,500 miles?

We use the formula d = rt. The distance is 1,500 miles and the rate of the plane against the wind will be its still air speed (550 mph) reduced by the headwind (50 mph).

Thus, it will take three hours to travel the distance.
Check: 3(550 - 50) = 3(500) = 1,500

المثال 8 Mike can row his boat from the hunting lodge upstream to the park in five hours. He can row back from the park to the lodge downstream in three hours. If Mike can row x kilometers per hour in still water, and if the stream is flowing at the rate of two kilometers per hour, how far is it from the lodge to the park?

In working the problem we assume that the rate of the stream will increase or decrease the rate of the boat by two kilometers per hour. Since x represents Mike's speed in still water, we obtain

Setting the distance upstream equal to the distance downstream, we obtain

Notice that x is not the solution to the problem but is Mike's rate of rowing in still water. However, the question asked is "What is the distance from the lodge to the park?" To answer this use either the distance upstream or downstream since they are the same. Using the upstream distance, we have

When Mike is rowing upstream, he is opposing the direction of the current. When he rows downstream, he is parallel to the stream's current.

See if you get the same answer using the distance downstream.


2.7: Solve Linear Inequalities

1. Solve the following inequality and give the solution in both inequality and interval notation.

[4left( ight) - 1 > 5 - 7left( <4 - z> ight)]

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

We know that the process of solving a linear inequality is pretty much the same process as solving a linear equation. We do basic algebraic manipulations to get all the (z)’s on one side of the inequality and the numbers on the other side. Just remember that what you do to one side of the inequality you have to do to the other side as well. So, let’s go through the solution process for this linear inequality.

First, we should clear out the parenthesis on both sides and do any simplification that we can. القيام بهذا يعطي ،

[egin4z + 8 - 1 > 5 - 28 + 7z 4z + 7 > - 23 + 7zend] Show Step 2

We can now subtract 7(z) from both sides and subtract 7 to both sides to get,

Note that we could just have easily subtracted 4(z) from both sides and added 23 to both sides. Each will get the same result in the end.

For the final step we need to divide both sides by -3. Recall however that because we are dividing by a negative number we need to switch the direction of the inequality to get,

So, the inequality form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black]<>) and the interval notation form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black] < ight)>>) .


2.7: Solve Linear Inequalities

6. Solve the following inequality and give the solution in both inequality and interval notation.

إظهار كل الخطوات إخفاء كل الخطوات

Just like with single inequalities solving these follow pretty much the same process as solving a linear equation. The only difference between this and a single inequality is that we now have three parts of the inequality and so we just need to remember that what we do to one part we need to do to all parts.

Also, recall that the main goal is to get the variable all by itself in the middle and all the numbers on the two outer parts of the inequality.

So, let’s start by subtracting (frac<1><6>) from all the parts. هذا يعطي،

Finally, all we need to do is multiply all three parts by -2 to get,

Don’t forget that because we were multiplying everything by a negative number we needed to switch the direction of the inequalities.

So, the inequality form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black]<< - frac<<23>> <3>le x < - frac<<11>><3>>>) (we flipped the inequality around to get the smaller number on the left as that is a more “standard” form). The interval notation form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black]<><3>, - frac<<11>><3>> ight)>>) .

For the interval notation form remember that the smaller number is always on the left (hence the reason for flipping the inequality form above!) and be careful with parenthesis and square brackets. We use parenthesis if we don’t include the number and square brackets if we do include the number.


شاهد الفيديو: حل المتباينات الخطية بالتحليل الجبري. الرياضيات. العلاقات النسبية (شهر اكتوبر 2021).