مقالات

6.3: مضاعفة كثيرات الحدود - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • اضرب كثيرة الحدود في أحادية الحد
  • اضرب ذات الحدين في ذات الحدين
  • اضرب ثلاثي الحدود في ذات الحدين

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. التوزيع: 2 (x + 3).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.10.31.
  2. اجمع العبارات المتشابهة: (x ^ {2} + 9x + 7x + 63 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.3.37.

اضرب كثير الحدود في عدد أحادي

لقد استخدمنا خاصية التوزيع لتبسيط عبارات مثل 2 (x − 3). لقد ضربت كلا الحدين في الأقواس ، x و 3 ، في 2 ، لتحصل على 2x − 6. باستخدام المفردات الجديدة لهذا الفصل ، يمكنك القول أنك كنت تضرب ذات الحدين ، x − 3 ، في أحادية ، 2.

ضرب أ ذات الحدين بواسطة أ أحادي لا شيء جديد بالنسبة لك! هذا مثال:

تمرين ( PageIndex {1} )

اضرب: 4 (x + 3).

إجابه
نشر.
تبسيط.

تمرين ( PageIndex {2} )

اضرب: 5 (x + 7).

إجابه

5x + 35

تمرين ( PageIndex {3} )

اضرب: 3 (y + 13).

إجابه

3 سنوات + 39

تمرين ( PageIndex {4} )

اضرب: y (y − 2).

إجابه
نشر.
تبسيط.

تمرين ( PageIndex {5} )

اضرب: x (x − 7).

إجابه

(س ^ {2} -7 س )

تمرين ( PageIndex {6} )

اضرب: د (د − 11).

إجابه

(د ^ {2} -11 د )

تمرين ( PageIndex {7} )

اضرب: (7x (2 x + y) )

إجابه
نشر.
تبسيط.

تمرين ( PageIndex {8} )

اضرب: 5 (x (x + 4 y) )

إجابه

(5 × ^ {2} +20 × ص )

تمرين ( PageIndex {9} )

اضرب: 2 (ص (6 ص + ص) )

إجابه

(12 ف ^ {2} +2 ص r )

تمرين ( PageIndex {10} )

اضرب: (- 2 y left (4 y ^ {2} +3 y-5 right) )

إجابه
نشر.
تبسيط.

تمرين ( PageIndex {11} )

اضرب: (- 3 ص يسار (5 ص ^ {2} +8 ص -7 يمين) )

إجابه

(- 15 ص ^ {3} -24 ص ^ {2} +21 ص )

تمرين ( PageIndex {12} )

اضرب: 4 (x ^ {2} left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )

إجابه

(8 × ^ {4} -24 × ^ {3} +20 × ^ {2} )

تمرين ( PageIndex {13} )

اضرب: 2 (x ^ {3} left (x ^ {2} -8 x + 1 right) )

إجابه
نشر.
تبسيط.

تمرين ( PageIndex {14} )

اضرب: 4 (x left (3 x ^ {2} -5 x + 3 right) )

إجابه

(12 × ^ {3} -20 × ^ {2} +12 × )

تمرين ( PageIndex {15} )

اضرب: (- 6 a ^ {3} left (3 a ^ {2} -2 a + 6 right) )

إجابه

(- 18 أ ^ {5} +12 أ ^ {4} -36 أ ^ {3} )

تمرين ( PageIndex {16} )

اضرب: ((x + 3) p )

إجابه
المونومال هو العامل الثاني.
نشر.
تبسيط.

تمرين ( PageIndex {17} )

اضرب: ((x + 8) p )

إجابه

(س ص + 8 ​​ص )

تمرين ( PageIndex {18} )

اضرب: ((a + 4) p )

إجابه

(أ ف + 4 ص )

اضرب ذات الحدين في ذات الحدين

مثلما توجد طرق مختلفة لتمثيل ضرب الأعداد ، هناك عدة طرق يمكن استخدامها لضرب a ذات الحدين مرات ذات الحدين. سنبدأ باستخدام خاصية التوزيع.

اضرب ذات الحدين في ذات الحدين باستخدام خاصية التوزيع

انظر إلى التمرين ( PageIndex {16} ) ، حيث ضربنا قيمة ذات الحدين في أحادي.

قمنا بتوزيع ملف ص تحصل:
ماذا لو كان لدينا (x + 7) بدلا من ص?
نشر (x + 7).
وزع مرة أخرى.
اجمع بين الشروط المتشابهة.

لاحظ أنه قبل الجمع بين المصطلحات المتشابهة ، كان لديك أربعة مصطلحات. لقد قمت بضرب حدي أول ذي الحدين في حدين من ذي الحدين الثاني - أربعة مضاعفات.

تمرين ( PageIndex {19} )

اضرب: ((y + 5) (y + 8) )

إجابه
نشر (ذ + 8).
وزع مرة أخرى
اجمع بين الشروط المتشابهة.

تمرين ( PageIndex {20} )

اضرب: ((x + 8) (x + 9) )

إجابه

(س ^ {2} +17 س + 72 )

تمرين ( PageIndex {21} )

اضرب: ((5 x + 9) (4 x + 3) )

إجابه

(20 × ^ {2} +51 × + 27 )

تمرين ( PageIndex {22} )

اضرب: ((2 y + 5) (3 y + 4) )

إجابه
التوزيع (3ذ + 4).
وزع مرة أخرى
اجمع بين الشروط المتشابهة.

تمرين ( PageIndex {23} )

اضرب: ((3 ب + 5) (4 ب + 6) )

إجابه

(12 ب ^ {2} +38 ب + 30 )

تمرين ( PageIndex {24} )

اضرب: ((أ + 10) (أ + 7) )

إجابه

(أ ^ {2} +17 أ + 70 )

تمرين ( PageIndex {25} )

اضرب: ((4 y + 3) (2 y-5) )

إجابه
نشر.
وزع مرة أخرى.
اجمع بين الشروط المتشابهة.

تمرين ( PageIndex {26} )

اضرب: ((5 y + 2) (6 y-3) )

إجابه

(30 عامًا ^ {2} -3 ص -6 )

تمرين ( PageIndex {27} )

اضرب: ((3 c + 4) (5 c-2) )

إجابه

(15 ج ^ {2} +14 ج -8 )

تمرين ( PageIndex {28} )

اضرب: ((x-2) (x-y) )

إجابه
نشر.
وزع مرة أخرى.
لا توجد شروط متشابهة للجمع.

تمرين ( PageIndex {29} )

اضرب: ((أ + 7) (أ-ب) )

إجابه

(أ ^ {2} -أ ب + 7 أ -7 ب )

تمرين ( PageIndex {30} )

اضرب: ((x + 5) (x-y) )

إجابه

(س ^ {2} -س ص + 5 س -5 ص )

اضرب ذات الحدين في ذات الحدين باستخدام طريقة FOIL

تذكر أنه عندما تضرب ذات الحدين في ذات الحدين ، تحصل على أربعة حدود. في بعض الأحيان يمكنك الجمع بين المصطلحات المتشابهة للحصول على ثلاثي الحدود، ولكن في بعض الأحيان ، كما هو الحال في التمرين ( PageIndex {28} ) ، لا توجد مصطلحات متشابهة يمكن دمجها.

دعنا نلقي نظرة على المثال الأخير مرة أخرى ونولي اهتمامًا خاصًا لكيفية حصولنا على المصطلحات الأربعة.

[ start {array} {c} {(x-2) (x-y)} {x ^ {2} -x y-2 x + 2 y} end {array} ]

من أين أتى المصطلح الأول (x ^ {2} )؟

نحن نختصر "الأول ، الخارجي ، الداخلي ، الأخير" كحرف FOIL. الحرفان يرمزان إلىFأولا االرحم أنانر إلast '. من السهل تذكر كلمة FOIL وتضمن أننا نجد جميع المنتجات الأربعة.

[ begin {array} {c} {(x-2) (xy)} {x ^ {2} -x y-2 x + 2 y} {F qquad O qquad I qquad L} نهاية {مجموعة} ]

لنلق نظرة على (x + 3) (x + 7).

خاصية التوزيعرقائق

لاحظ كيف تتناسب المصطلحات في السطر الثالث مع نموذج FOIL.

سنقوم الآن بعمل مثال حيث نستخدم نمط حدي حدي القوس الأول لضرب حدين.

تمرين ( PageIndex {31} ): كيفية ضرب قيمة ذات الحدين باستخدام طريقة FOIL

اضرب باستخدام طريقة FOIL: ((x + 5) (x + 9) )

إجابه





تمرين ( PageIndex {32} )

اضرب باستخدام طريقة FOIL: ((x + 6) (x + 8) )

إجابه

(س ^ {2} +14 س + 48 )

تمرين ( PageIndex {33} )

اضرب باستخدام طريقة FOIL: ((y + 17) (y + 3) )

إجابه

(ص ^ {2} +20 ص + 51 )

نلخص خطوات طريقة FOIL أدناه. طريقة FOIL تنطبق فقط على مضاعفات ذات الحدين ، وليس كثيرات الحدود الأخرى!

عدة ذات حدين باستخدام طريقة الحرق

عندما تضرب بطريقة FOIL ، فإن رسم الخطوط سيساعد عقلك على التركيز على النمط ويسهل تطبيقه.

تمرين ( PageIndex {34} )

اضرب: (y − 7) (y + 4).

إجابه

تمرين ( PageIndex {35} )

اضرب: (x − 7) (x + 5).

إجابه

(س ^ {2} -2 س -35 )

تمرين ( PageIndex {36} )

اضرب: (ب − 3) (ب + 6).

إجابه

(ب ^ {2} +3 ب -18 )

تمرين ( PageIndex {37} )

اضرب: (4x + 3) (2x − 5).

إجابه

تمرين ( PageIndex {38} )

اضرب: (3x + 7) (5x − 2).

إجابه

(15 × ^ {2} +29 × 14 )

تمرين ( PageIndex {39} )

اضرب: (4y + 5) (4y − 10).

إجابه

(16 ص ^ {2} -20 ص -50 )

كانت الضربات النهائية في الأمثلة الأربعة الأخيرة عبارة عن قيم ثلاثية لأنه يمكننا جمع الحدين الأوسطين. هذا ليس هو الحال دائما.

تمرين ( PageIndex {41} )

اضرب: (10c − d) (c 6).

إجابه

(10 ​​ج ^ {2} -60 ج-ج د + 6 د )

تمرين ( PageIndex {42} )

اضرب: (7x − y) (2x − 5).

إجابه

(14 × ^ {2} -35 × 2 × ص + 10 ص )

كن حذرا من الأس في المثال التالي.

تمرين ( PageIndex {44} )

اضرب: ( left (x ^ {2} +6 right) (x-8) )

إجابه

(x ^ {3} -8 x ^ {2} +6 x-48 )

تمرين ( PageIndex {45} )

اضرب: ( left (y ^ {2} +7 right) (y-9) )

إجابه

(ص ^ {3} -9 ص ^ {2} +7 ص -63 )

تمرين ( PageIndex {47} )

اضرب: ((2 a b + 5) (4 a b-4) )

إجابه

(8 أ ^ {2} ب ^ {2} +12 أ ب -20 )

تمرين ( PageIndex {48} )

اضرب: ((2 x y + 3) (4 x y-5) )

إجابه

(8 × ^ {2} ص ^ {2} +2 × ص -15 )

اضرب ذات الحدين في ذات الحدين باستخدام الطريقة الرأسية

عادةً ما تكون طريقة FOIL هي أسرع طريقة لضرب ذات الحدين ، لكنها فقط يعمل مع ذات الحدين. يمكنك استخدام خاصية التوزيع للعثور على حاصل ضرب أي اثنين من كثيرات الحدود. الطريقة الأخرى التي تعمل مع جميع كثيرات الحدود هي الطريقة الرأسية. إنها تشبه إلى حد كبير الطريقة التي تستخدمها لضرب الأعداد الصحيحة. انظر بعناية إلى هذا المثال الخاص بضرب الأعداد المكونة من رقمين.

الآن سنطبق نفس الطريقة لمضاعفة ذات الحدين.

تمرين ( PageIndex {49} )

اضرب باستخدام الطريقة الرأسية: ((3 y-1) (2 y-6) )

إجابه

لا يهم أي من الحدين يذهب في الأعلى.

( start {array} {lll} { text {Multiply} 3 y-1 text {by} -6 text {.}} && { text {Multiply} 3 y-1 text {by } 2 ص نص {.}} & & & { qquad space3 y-1} & & { dfrac { space space times 2 y-6} { quad-18 y +6}} & نص {منتج جزئي} & &

ParseError: EOF متوقع (انقر للحصول على التفاصيل)

Callstack: في (Bookshelves / Algebra / Book: _Elementary_Algebra_ (OpenStax) /06:_Polynomials/6.03:_Multiply_Polynomials) ، / content / body / div [4] / div [3] / div [1] / dl / dd / p [ 2] / span ، السطر 1 ، العمود 3 في wiki.page () في (الدورات / Remixer_ الجامعة / اسم المستخدم: _pseeburger / MTH_098_Elementary_Algebra / 6: _Polynomials / 6.3: _Multiply_Polynomials) ، / content / body / div [1] / pre ، line 2 ، العمود 14
& text {part product} & text {Add like terms.} && text {product} end {array} )

لاحظ أن المنتجات الجزئية هي نفسها المصطلحات الواردة في طريقة FOIL.

تمرين ( PageIndex {50} )

اضرب بالطريقة الرأسية: ((5 م -7) (3 م -6) )

إجابه

(15 م ^ {2} -51 م + 42 )

تمرين ( PageIndex {51} )

اضرب بالطريقة الرأسية: ((6 b-5) (7 b-3) )

إجابه

(42 ب ^ {2} -53 ب + 15 )

لقد استخدمنا الآن ثلاث طرق لضرب ذات الحدين. تأكد من ممارسة كل طريقة ، وحاول تحديد الطريقة التي تفضلها. تم سرد الطرق هنا معًا لمساعدتك على تذكرها.

مضاعفة حدين

لمضاعفة القيم ذات الحدين ، استخدم:

  • خاصية التوزيع
  • طريقة احباط
  • الطريقة العمودية

تذكر أن FOIL تعمل فقط عند ضرب ذات حدين.

اضرب ثلاثي الحدود في ذو الحدين

لقد ضربنا المونومرات في المونوميرات ، وحيدة الحدود في كثيرات الحدود ، وذات الحدين في ذات الحدين. الآن نحن جاهزون لمضاعفة أ ثلاثي الحدود بواسطة أ ذات الحدين. تذكر أن FOIL لن تعمل في هذه الحالة ، ولكن يمكننا استخدام إما خاصية التوزيع أو الطريقة الرأسية. ننظر أولاً إلى مثال باستخدام خاصية التوزيع.

تمرين ( PageIndex {52} )

اضرب باستخدام خاصية التوزيع: ((b + 3) left (2 b ^ {2} -5 b + 8 right) )

إجابه
نشر.
تتضاعف.
اجمع بين الشروط المتشابهة.

تمرين ( PageIndex {53} )

اضرب باستخدام خاصية التوزيع: ((y-3) left (y ^ {2} -5 y + 2 right) )

إجابه

(ص ^ {3} -8 ص ^ {2} +17 ص -6 )

تمرين ( PageIndex {54} )

اضرب باستخدام خاصية التوزيع: ((x + 4) left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )

إجابه

(2 × ^ {3} +5 × ^ {2} -7 × + 20 )

لنقم الآن بعملية الضرب نفسها باستخدام الطريقة الرأسية.

تمرين ( PageIndex {55} )

اضرب باستخدام الطريقة الرأسية: ((ب + 3) يسار (2 ب ^ {2} -5 ب + 8 يمين) )

إجابه

من الأسهل وضع كثير الحدود مع عدد أقل من الحدود في الأسفل لأننا نحصل على عدد أقل من المنتجات الجزئية بهذه الطريقة.

اضرب (2ب2 − 5ب + 8) بنسبة 3.
اضرب (2ب2 − 5ب + 8) ب.
أضف شروط مماثلة.

تمرين ( PageIndex {56} )

اضرب باستخدام الطريقة الرأسية: ((y-3) left (y ^ {2} -5 y + 2 right) )

إجابه

(ص ^ {3} -8 ص ^ {2} +17 ص -6 )

تمرين ( PageIndex {57} )

اضرب باستخدام الطريقة الرأسية: ((x + 4) left (2 x ^ {2} -3 x + 5 right) )

إجابه

(2 × ^ {3} +5 × ^ {2} -7 × + 20 )

لقد رأينا الآن طريقتين يمكنك استخدامهما لضرب a ثلاثي الحدود ذات الحدين. بعد ممارسة كل طريقة ، ستجد على الأرجح أنك تفضل طريقة على الأخرى. نسرد كلتا الطريقتين هنا ، لسهولة الرجوع إليها.

مضاعفة ثلاثية بواسطة ثنائية

لضرب ثلاثي الحدود في ذات الحدين ، استخدم:

  • خاصية التوزيع
  • الطريقة العمودية

ملحوظة

قم بالوصول إلى هذه الموارد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع ضرب كثيرات الحدود:

  • ضرب الأسس 1
  • ضرب الأسس 2
  • ضرب الأسس 3

المفاهيم الرئيسية

  • طريقة FOIL لمضاعفة ذات حدين- لمضاعفة حدين:
    1. اضرب أولا مصطلحات.
    2. اضرب الخارجي مصطلحات.
    3. اضرب داخلي مصطلحات.
    4. اضرب الاخير مصطلحات.
  • ضرب حدين—لمضاعفة القيم ذات الحدين ، استخدم:
    • خاصية التوزيع (مثال)
    • طريقة احباط (مثال)
    • الطريقة العمودية (مثال)
  • ضرب ثلاثي الحدين في ذات الحدين- لضرب ثلاثي الحدود في ذات الحدين ، استخدم:
    • خاصية التوزيع (مثال)
    • الطريقة العمودية (مثال)

لمضاعفة كثيرات الحدود ، عليك أن تعرف كيف
1) لاستخدام قانون التوزيع: ( quad a (b + c) = ab + ac quad ) أو ( quad (b + c) a = ba + ca quad ) ، وهو أحد القواعد الأساسية للجبر ،

2) monomials متعددة ،
3) وأضف شروطًا متشابهة في plynomial ،

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) مثال 1
اضرب الآحاد والكثيرات الحدود التالية
أ) (2 (6 س + 2) رباعي ) ب) ( رباعي - 3 × (2 × ^ 2 - س) رباعي )
ج) ( quad - dfrac <1> <2> x ^ 2 (4 x ^ 2 - 2x + 6 x y) )

حل المثال 1
أ)
معطى ( qquad 2 (6 x + 2) )

Mulitply ثوابت معًا والمتغيرات معًا
( qquad qquad = 2 (6) (س) + 2 (2) )

تبسيط
( qquad qquad = 12 × + 4 )

ب)
معطى ( qquad - 3 x (2 x ^ 2 - x) )

Mulitply ثوابت معًا والمتغيرات معًا
( qquad qquad = -3 (2) (س س ^ 2) -3 (-1) (س س) )

تبسيط
( qquad qquad = -6x ^ 3 + 3x ^ 2 )

ج)
معطى ( qquad - dfrac <1> <2> x ^ 2 (4 x ^ 2 - 2x + 6 x y) )

Mulitply ثوابت معًا والمتغيرات معًا
( qquad qquad = - dfrac <1> <2> (4) (x ^ 2 x ^ 2) - dfrac <1> <2> (-2) (x ^ 2 x) - dfrac < 1> <2> (6) (س ^ 2 س ص) )

تبسيط
( qquad qquad = - 2x ^ 4 + x ^ 3 - 3x ^ 3 y )


6.3: مضاعفة كثيرات الحدود - الرياضيات

الشكل العام لكثير الحدود في x:

أ n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +. . . + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0 حيث

درجة المصطلح هي مجموع الأسس على المتغيرات في المصطلح.

المصطلح 4x 3 y 5 لديه الدرجة 8 منذ ذلك الحين.

درجة كثير الحدود هي درجة أعلى درجة.

لكتابة كثير الحدود بترتيب تنازلي لمتغير معين يعني كتابة كثير الحدود من المصطلح ذي الأس الأعلى (في متغير معين) على اليسار تنازليًا إلى المصطلح ذي الأس الأقل (في متغير معين) على اليمين.

أمثلة على كثيرات الحدود في x
اسم مثال الدرجة العلمية ملحوظة
أحادي 3x 2 2 مصطلح واحد (أحادي)
ذات الحدين 1 فترتين (ثنائية)
ثلاثي الحدود 3 ثلاثة شروط (ثلاثي)
متعدد الحدود 4 العديد من المصطلحات (بولي)

يمكن أن تكون كثيرة الحدود في أكثر من متغير واحد.

أمثلة على كثيرات الحدود في x و y
اسم مثال الدرجة العلمية ملحوظة
أحادي 3 × 2 ص 3 5 مصطلح واحد (أحادي)
ذات الحدين 2 فترتين (ثنائية)
ثلاثي الحدود 7 ثلاثة شروط (ثلاثي)
متعدد الحدود 5 العديد من المصطلحات (بولي)

مثال: إضافة و
إزالة الأقواس
إضافة مثل الشروط

1) إزالة الأقواس (وزع "-" من خلال). 2) اجمع بين الشروط المتشابهة.

مثال: اطرح من
إزالة الأقواس
إضافة مثل الشروط

  • تعمل FOIL فقط عند ضرب القيم ذات الحدين - تعمل خاصية التوزيع عند ضرب أي كثيرات حدود معًا.

مثال: (2x + 3) (4x + 5)
(2x + 3) (4x + 5) =
= 2x (4x + 5) + خاصية التوزيع
= (2x) (4x) + (2x) (5) + 3 (4x) + 3 (5) خاصية التوزيع مرة أخرى
= 8 س 2 + 10 س + 12 س + 15 تبسيط
= 8 س 2 + 22 س + 15 الجمع بين الشروط المتشابهة

مثال: (2x - 3) (4x 2 - 5x + 6)
(2 س - 3) (4 س 2 - 5 س + 6) =
= 2x (4x 2-5x + 6) - خاصية التوزيع
= (2x) (4x 2) - (2x) (5x) + (2x) (6) - 3 (4x 2) + 3 (5x) - 3 (6) خاصية التوزيع مرة أخرى
= 8x 3 - 10x 2 + 12x - 12x 2 + 15x - 18 تبسيط
= 8x 3 - 22x 2 + 27x - 18 الجمع بين الشروط المتشابهة

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2 (أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2 (أ + ب) (أ - ب) = أ 2 - ب 2 ملاحظة: أ و ب قد يكون أي تعبير جبري.


ضرب ثلاثي الحدود ومتعدد الحدود

1)

أولاً ، نقوم بتوزيع ملف واحصل على

بعد ذلك ، نوزع 3 ونحصل على

الآن لدينا ، لكننا لم ننتهي لأن هناك مجموعة من المصطلحات المتشابهة التي يمكننا جمعها معًا. أضف 4x 2 و 3x 2 لتحصل على 7x 2. أضف أيضًا 1x و 12 x لتحصل على 13x. تأكد من أن الإجابة النهائية في الشكل القياسي:.

2)

أولاً ، نقوم بتوزيع ملف واحصل على

بعد ذلك ، نوزعواحصل على

ثم نقوم بتوزيع ملفواحصل على

الآن لدينا ، لكننا لم ننتهي لأنه يمكننا الجمع بين الحدود المتشابهة. اجمعهم للحصول على إجابتنا النهائية (بالشكل القياسي): .

كما ترى ، لا يهم عدد الحدود في كل كثير الحدود. أنت فقط تستمر في التوزيع. ليس الأمر صعبًا ، لكن عليك أن تكون حريصًا جدًا في عملك.

ممارسة: : اضرب كثيرات الحدود

1)

2)

3)

4)

5)


الجبر: ضرب كثيرات الحدود

بخلاف الجمع والطرح ، لا تحتاج إلى مصطلحات متشابهة من أجل مضاعفة كثيرات الحدود (ولا تحتاج إلى مصطلحات متشابهة لتقسيم كثيرات الحدود ، لكنني سأناقش ذلك في القسم التالي). في الواقع ، يعد ضرب كثيرات الحدود أمرًا سهلاً للغاية. كل ما عليك فعله هو تطبيق القواعد الأسية وخاصية التوزيع ، وكلاهما تعلمته في مواجهة التعبيرات.

منتجات مونوماليس

إليك ما يجب عليك فعله لمضاعفة اثنين من الأحاديات معًا:

  1. اضرب معاملاتهم. النتيجة هي معامل الإجابة.
  2. ضع قائمة بجميع المتغيرات التي تظهر في أي من المصطلحين. يجب أن تتبع هذه المعامل الذي حصلت عليه في الخطوة 1 ، ويفضل أن يكون بترتيب أبجدي.
  3. اجمع القوى. حدد مجموع أسس المتغيرات المتطابقة واكتبها فوق المتغير المقابل في الإجابة.
كيف ستفعل ذلك؟

تخبرك الخطوة 3 بإضافة صلاحيات المتغيرات المطابقة بسبب القاعدة الأسية من التعبيرات المواجهة التي تنص على ذلك x أ x ب = س أ + ب . (ناتج التعبيرات الأسية ذات القواعد المطابقة يساوي الأساس المرفوع إلى مجموع القوى).

حتى لو بدت الخطوات غريبة في البداية ، فلا داعي للقلق. تعد عملية ضرب المونومرات مهارة ستفهمها بسرعة كبيرة.

مثال 3: احسب حاصل الضرب.

  • (أ) (-3x 2 ذ 3 ض 5 )(7xz 3 )
  • المحلولاضرب أولاً المعامِلات: -3 7 = -21 ثم ضع قائمة بجميع المتغيرات التي تظهر في المشكلة بترتيب أبجدي. (لا يهم أن المونومال الثاني لا يحتوي على ملف ذ. طالما يظهر المتغير في أي مكان في المشكلة ، يجب أن تدرجه بجوار المعامل الذي وجدته للتو.)
  • -21xyz
  • اجمع الأسس لكل متغير قمت بإدراجه. المصطلح الأول له x أس 2 ، والحد الثاني به x للقوة 1 ، لذلك سيكون الجواب x إلى القوة 2 + 1 = 3. وبالمثل ، فإن ض يجب أن تكون قوة الإجابة 8 ، نظرًا لوجود z أس 5 في أحادية الحدود الأولى و a z أس 3 في الثانية. نظرًا لوجود حد y واحد فقط ، يمكنك نسخ أسه إلى الإجابة النهائية ، فلا يوجد شيء يمكن إضافته.
  • -21x 3 ذ 3 ض 8
  • (ب) 3ث 2 x(2wxy - x 2 ذ 2 )
  • المحلول: طبق خاصية التوزيع بضرب كلا الحدين في 3ث 2 x.
  • 3ث 2 x(2wxy) + 3ث 2 x(-x 2 ذ 2 )
  • ابحث عن كل منتج على حدة.
  • 6ث 3 x 2 ذ - 3ث 2 x 3 ذ 2
لديك مشاكل

المشكلة 3: احسب المنتج.

3x 2 ذ (5x 3 + 4x 2 ذ - 2ذ 5 )

ذات الحدين وثلاثية الحدود وما بعدها

نقطة حرجة

يركز بعض معلمي الجبر على طريقة FOIL ، وهي تقنية لضرب ذات الحدين. يرمز كل حرف إلى زوج من المصطلحات في ذات الحدين ، الأول ، والخارجي ، والداخل ، والأخير.

إذا لم تكن قد سمعت من قبل عن FOIL ، فلا بأس بذلك ، لأنه يعمل فقط مع الحالة الخاصة لضرب حدين ، بينما يعمل أسلوب التوزيع المتعدد الخاص بي مع جميع المنتجات متعددة الحدود. علاوة على ذلك ، إذا كنت تستخدم طريقتى ، فسينتهي بك الأمر في الواقع إلى فعل FOIL على أي حال ، على الرغم من أنه غير مقصود.

تحذر كيلي

بمجرد الضرب ، تأكد دائمًا من معرفة ما إذا كان يمكنك تبسيط النتيجة. يطلب كل معلم جبر في العالم إجابات مبسطة ، وإذا لم تمتثل ، فمن المعروف أنهم يفعلون أشياء مثل وضع علامة على الإجابات الخاطئة ، أو إزالة النقاط ، أو (في الحالات القصوى) الغضب لدرجة أنهم يرسلون الكائن السيبراني في الوقت المناسب لقتلك قبل التسجيل في صفهم.

يعد حساب المنتجات متعددة الحدود نوعًا من التحرر. كما قلت ، لا يلزم أن يكون هناك أي قاسم مشترك بين حدين يمكن ضربهما معًا. (استنادًا إلى الأزواج الذين قابلتهم ، أعتقد أن الأمر نفسه ينطبق على الأشخاص ، لكني استطراداً). ومع ذلك ، يمكنك حتى الآن مضاعفة التعبيرات متعددة الحدود فقط إذا كان أحدها أحادي الحدود. في المثال 3 (أ) ، كان لديك اثنين من الأحاديات ، وفي المثال 3 (ب) والمسألة 3 ، كنت توزع monomial. اتضح أن مضاعفة كثيرات الحدود بأكثر من مصطلح يمكن تحقيقه من خلال نسخة معدلة قليلاً من خاصية التوزيع.

لديك مشاكل

المشكلة 4: ابحث عن المنتج وقم بتبسيطه. (2x + ذ)(x - 3ذ)

بفضل خاصية التوزيع ، أنت تعرف بالفعل أن التعبير أ(ب + ج) يمكن إعادة كتابتها كـ أب + أ فقط اضرب أ بكل شيء بين قوسين. بطريقة مماثلة ، يمكنك حساب حاصل ضرب التعبير (أ + ب)(ج + د) ، على الرغم من أنك في هذه الحالة تضرب القيم ذات الحدين. بدلا من مجرد توزيع أ، كما فعلت قبل لحظات ، ستوزع كل حد في أول ذي حدين خلال الثانية ذات الحدين ، واحدًا تلو الآخر.

بمعنى آخر ، ستضرب كل شيء في ذات الحدين الثاني في أ ثم نكررها ونكررها مرة أخرى ، هذه المرة بضرب كل شيء في ب.

لذا ، ما زلت تقوم بالتوزيع ، تقوم بذلك مرتين فقط ، هذا كل شيء. ماذا لو كنت تضرب ثلاثي الحدود في ثلاثي الحدود؟ اتبع نفس الإجراء وزع كل حد في كثير الحدود الأول خلال الثاني ، واحدًا تلو الآخر.

  • (أ + ب + ج)(د + ه + F) = ميلادي + أ + af + دينار بحريني + يكون + فرنك بلجيكي + قرص مضغوط + م + راجع

في حال كنت تتساءل ، لا يجب أن تتطابق أعداد المصطلحات في كثيرات الحدود. يمكنك ضرب ذات الحدين في ثلاثي الحدود بنفس السهولة ، كما سترى في المثال 4.

مثال 4: ابحث عن المنتج وقم بتبسيطه.

المحلول: كل ​​مصطلح من كثير الحدود الأيسر ، x و 2ذ، يجب توزيعها من خلال كثير الحدود الثاني ، واحدًا تلو الآخر.

  • (x)(x 2 ) + (x)(2س ص) + (x)(-ذ 2 ) + (-2ذ)(x 2 ) + (-2ذ)(2س ص) + (-2ذ)(-ذ 2 )

إذا وضعت كل المصطلحات بين قوسين ، فلا داعي للقلق بشأن العلامات فورًا. لا يهم إذا كانت بعض المصطلحات موجبة والبعض الآخر سلبية ، فاكتبها كلها بين قوسين واجمع كل حاصل الضرب معًا.

الآن كل ما عليك فعله هو مضاعفة أزواج المونوميل معًا.

تخبرك اتجاهات المشكلة بالتبسيط ، مما يعني أنه يجب عليك الآن البحث عن مصطلحات متشابهة يمكن دمجها. إذا نظرت عن كثب ، سترى أن المصطلحين 2x 2 ذ و 2x 2 ذ لها نفس المتغير ، بحيث يمكن دمجها للحصول على 0 (إنهما متضادان لبعضهما البعض ، لذلك سيلغي كل منهما الآخر). بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك الجمع بين المصطلحات -س ص 2 و -4س ص 2 للحصول على -5س ص 2 .

مقتطف من دليل الأبله الكامل للجبر 2004 بقلم دبليو مايكل كيلي. جميع الحقوق محفوظة بما في ذلك حق الاستنساخ كليًا أو جزئيًا بأي شكل. تستخدم بالترتيب مع كتب ألفا، عضو في Penguin Group (USA) Inc.


مدونة Symbolab

يمكن أن يكون ضرب كثيرات الحدود أمرًا صعبًا لأن عليك الانتباه لكل مصطلح ، ناهيك عن أنه يمكن أن يكون شديد الفوضى. هناك عدة طرق لضرب كثيرات الحدود ، اعتمادًا على عدد الحدود في كل كثير الحدود. في هذا المنشور ، سنركز على كيفية ضرب متعددي الحدود بمصطلحين وكيفية ضرب اثنين أو أكثر من كثيرات الحدود.

اضرب متعددي الحدود

عند ضرب كثيرات الحدود بمصطلحين ، فإنك تستخدم طريقة FOIL. تعمل طريقة FOIL فقط في ضرب كثيرات الحدود ذات المصطلحين. FOIL تعني الأول ، الخارجي ، الداخلي ، الأخير. يتيح لك هذا معرفة ترتيب كيفية توزيع الحدود وضربها. دعونا & # 8217s نرى كيف يعمل.

يعد ضرب هذه كثيرات الحدود أمرًا بسيطًا لأنك إذا حفظت هذه الهويات ، فكل ما عليك هو إدخال القيم والحصول على إجابة.

ضرب كثيرات حدود متعددة المصطلحات

لا يمكنك استخدام طريقة FOIL لمضاعفة كثيرات الحدود هذه. بدلًا من ذلك ، عليك أن تضرب كل حد في كثير حدود واحد في كل حد في الآخر. يمكنك القيام بذلك بضرب كل حد من كثير الحدود في كثير الحدود الآخر. قد يكون هذا أمرًا صعبًا لأنه من السهل تفويت فصل دراسي واحد. عندما نقوم بعمل أمثلة على ذلك ، سيصبح من الأسهل فهم كيفية حلها.

عند ضرب كثيرات الحدود ، قد تصادف ضرب المتغيرات مع الأس في المتغيرات ذات الأسس. في هذه الحالة ، نستخدم قاعدة الأس هذه:

بالنسبة لهذه القاعدة ، يجب أن يكون الأساس أو المتغير هو نفسه. عند ضرب المتغيرات في الأسس ، فإنك تجمع الأسس معًا.


دعونا & # 8217s نرى بعض الأمثلة لفهم كيفية ضرب كثيرات الحدود.
المثال الأول (اضغط هنا):


أسئلة وأجوبة حول ضرب كثيرات الحدود

كيف تقوم بضرب ثلاث كثيرات الحدود؟

مضاعفة ثلاث كثيرات الحدود هي عملية من خطوتين تتضمن الخطوتين التاليتين:

  • مضاعفة المعاملات
  • مضاعفة المتغيرات باستخدام قوانين الأسس عند الاقتضاء.

لنأخذ مثالاً لفهم ضرب ثلاث كثيرات الحدود.
مثال: اضرب (3 م + 2) ، 4 ن 2 ، 7 ص.

  • تتم كتابة كثيرات الحدود الواردة أعلاه على أنها (3 م + 2) × 4 ن 2 × 7 ص
  • باستخدام خاصية التوزيع لضرب كثير الحدود نحصل على ((3m × 4n 2) + (2 × 4n 2)) × 7p = (12mn 2 + 8n 2) 7p = 84mn 2 p + 56n 2 p

وبالتالي ، يمكن عرض الضرب أعلاه على أنه (3 م + 2) × 4 ن 2 × 7 ع = 84 مليون ن 2 ع + 56 ن 2 ص.

كيف يمكننا ضرب كثيرات الحدود باستخدام طريقة الصندوق؟

يمكن ضرب اثنين أو أكثر من كثيرات الحدود باستخدام طريقة الصندوق. تتم كتابة المصطلحات عبر مربع ويتم كتابة المنتجات المقابلة لها داخل المربع.
مثال: (3x 2 + 2x + 4) (4x + 5)

ستتم كتابة 3x 2 + 2x + 4 على الجانب الرأسي من الصندوق بينما سيتم كتابة 4x + 5 على الجانب الأفقي من الصندوق ، أو العكس. بعد ذلك ، سنقوم أولاً بضرب 3x 2 في 4x ، ثم 3x 2 في 5 ، وكتابة المنتجات في القسم المقابل من المربع. ثانيًا ، سنضرب 2x في 4x و 2x في 5 ونكتب حاصل الضرب. يتم ملء العمود الأخير من المربع بضرب 4 في 4x و 4 في 5. أخيرًا ، سنضيف جميع الحدود الستة التي تم الحصول عليها للحصول على الإجابة النهائية.
إذن ، نتيجة ضرب كل من كثيرات الحدود هي (12x 3 + 23x 2 + 26x + 20).

كيف تضرب ذات الحدين باستخدام طريقة الشبكة؟

فيما يلي خطوات ضرب كثيرات الحدود بطريقة الصندوق أو طريقة الشبكة:
مثال: (س + 6) (2 س + 3)

سيتم كتابة x + 6 على الجانب الرأسي من المربع بينما سيتم كتابة 2x + 3 على الجانب الأفقي من المربع ، أو العكس. اضرب كل حد في المصطلحات الخاصة به. لذلك ، المنتج الذي نحصل عليه هو (2x 2 + 15x + 18).

كم عدد الطرق الموجودة لضرب كثيرات الحدود؟

هناك طريقتان لضرب كثيرات الحدود:

ما الذي يمثله FOIL في مضاعفة ذات الحدين؟

FOIL لتقف على الأول ، الخارجي ، الداخلي الأخير في ضرب ذات الحدين. تتضاعف ذات الحدين على النحو التالي:

  • الخطوة 1: اضرب الحد الأول من كل ذي حدين.
  • الخطوة 2: الآن اضرب المصطلح الخارجي لكل ذي حدين.
  • الخطوة 3: بمجرد الانتهاء من ذلك ، اضرب الآن الحدود الداخلية للحدين.
  • الخطوة 4: الآن يتم ضرب الحدود الأخيرة.
  • الخطوة 5: بمجرد الانتهاء من جميع الخطوات الأربع المذكورة أعلاه ، تتم إضافة المنتجات التي تم الحصول عليها عند إضافة كل خطوة ، مثل دمج المصطلحات ويتم تبسيط الإجابة.

ما هي أفضل طريقة لمضاعفة كثيرات الحدود؟

أفضل طريقة لضرب كثيرات الحدود هي خاصية التوزيع لضرب كثيرات الحدود. خطوات ضرب كثير الحدود باستخدام خاصية التوزيع هي:

  • الخطوة 1: اكتب كلاً من كثيرات الحدود معًا.
  • الخطوة 2: من بين القوسين ، احتفظ بقوس واحد ثابتًا.
  • الخطوة 3: الآن اضرب كل مصطلح من القوس الآخر.

كيف تضرب اثنين من ثلاثي الحدود معًا؟

يمكن ضرب اثنين من ثلاثي الحدود معًا باستخدام طريقة الصندوق بالإضافة إلى خاصية التوزيع. لنأخذ مثالاً لفهم عملية ضرب اثنين من ثلاثي الحدود.

مثال: اضرب (5xy + 2x + 3) ب (x 2 + 3xy + 7)

  • تمت كتابة المقدارين المذكورين أعلاه بالشكل (5xy + 2x + 3) × (x 2 + 3xy + 7)
  • باستخدام خاصية التوزيع في الضرب متعدد الحدود نحصل على (5xy + 2x + 3) × (x 2 + 3xy + 7) = 5x 3 y + 15x 2 y 2 + 2x 3 + 6x 2 y + 44xy + 3x 2 + 14x + 21

وبالتالي ، يمكن عرض الضرب أعلاه على النحو التالي (5xy + 2x + 3) × (x 2 + 3xy + 7) = 5x 3 y + 15x 2 y 2 + 2x 3 + 6x 2 y + 44xy + 3x 2 + 14x + 21 .


أسئلة

& lta href = & # 8221 / intermediatealgebraberg / back-matter / answer-key-6-5 / & # 8221 & gtAnswer Key 6.5


WikiHows ذات الصلة


منتجات متعددة العناصر

الأهداف

  1. أوجد حاصل ضرب حدين.
  2. استخدم خاصية التوزيع لضرب أي اثنين من كثيرات الحدود.

في القسم السابق ، تعلمت أن المنتج أ (2 س + ص) يتوسع إلى أ (2 س) + أ (ص).

فكر الآن في المنتج (3x + z) (2x + y).

نظرًا لأن (3x + z) بين قوسين ، يمكننا التعامل معها كعامل واحد والتوسع (3x + z) (2x + y) بنفس طريقة A (2x + y). هذا يعطينا

إذا فكنا الآن كل من هذه الحدود ، فلدينا

لاحظ أنه في الإجابة النهائية ، يتم ضرب كل حد من أحد الأقواس في كل حد من الأقواس الأخرى.

لاحظ أن هذا تطبيق للخاصية التوزيعية.

لاحظ أن هذا تطبيق للخاصية التوزيعية.

نظرًا لأن - 8x و 15x هما مصطلحان متشابهان ، فقد نقوم بدمجهما للحصول على 7x.

في هذا المثال ، تمكنا من تجميع حدين لتبسيط الإجابة النهائية.

هنا مرة أخرى ، قمنا بدمج بعض الحدود لتبسيط الإجابة النهائية. لاحظ أن ترتيب الحدود في الإجابة النهائية لا يؤثر على صحة الحل.


شاهد الفيديو: الصف التاسع الرياضيات تحليل كثيرات الحدود إلى العوامل 2 (شهر اكتوبر 2021).