مقالات

3.2: استخدم إستراتيجية حل المشكلات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تعامل مع مشاكل الكلمات بموقف إيجابي
  • استخدم إستراتيجية حل المشكلات لحل المشكلات الكلامية
  • حل مسائل العدد

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. ترجمة "6 أقل من مرتين x"في تعبير جبري.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 1.3.43.
  2. حل: ( frac {2} {3} x = 24 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.2.10.
  3. حل: (3 س + 8 = 14 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.3.1.

تعامل مع مشاكل الكلمات بموقف إيجابي

"إذا كنت تعتقد أنك تستطيع ... أو تعتقد أنك لا تستطيع ... فأنت على حق." - هنري فورد

العالم مليء بمشاكل الكلمات! هل سيؤهلني دخلي لاستئجار تلك الشقة؟ ما مقدار اللكمة التي أحتاجها للحفلة؟ ما هو حجم الماس الذي يمكنني تحمله لشراء صديقتي؟ هل يجب أن أسافر أو أقود السيارة إلى لم شمل عائلتي؟ كم أحتاج من المال لملء السيارة بالبنزين؟ ما مقدار الإكرامية التي يجب أن أتركها في المطعم؟ كم عدد الجوارب التي يجب أن أحزمها لقضاء الإجازة؟ ما هو حجم الديك الرومي الذي أحتاجه لشرائه لعشاء عيد الشكر ، ثم ما هو الوقت الذي أحتاجه لوضعه في الفرن؟ إذا قمت أنا وأختي بشراء هدية لأمنا ، فكم يدفع كل منا؟

الآن بعد أن تمكنا من حل المعادلات ، أصبحنا مستعدين لتطبيق مهاراتنا الجديدة على مشاكل الكلمات. هل تعرف أي شخص لديه تجارب سلبية في الماضي مع مشاكل في الكلام؟ هل راودتك أفكار مثل الطالب أدناه (الشكل ( PageIndex {1} ))؟

عندما نشعر أنه ليس لدينا سيطرة ، ونستمر في تكرار الأفكار السلبية ، فإننا نضع حواجز أمام النجاح. نحن بحاجة إلى تهدئة مخاوفنا وتغيير مشاعرنا السلبية.

ابدأ بقائمة جديدة وابدأ في التفكير بأفكار إيجابية. إذا أخذنا زمام الأمور واعتقدنا أننا يمكن أن نكون ناجحين ، فسنكون قادرين على السيطرة على مشاكل الكلمات! اقرأ الأفكار الإيجابية في الشكل ( PageIndex {2} ) وقلها بصوت عالٍ.

فكر في شيء ما ، خارج المدرسة ، يمكنك فعله الآن ولكن لم يكن بإمكانك فعله قبل 3 سنوات. هل تقود السيارة؟ التزلج على الجليد؟ طبخ وجبة شهية؟ تتحدث لغة جديدة؟ حدثت تجاربك السابقة مع مشاكل الكلمات عندما كنت أصغر سنًا - والآن أنت أكبر سنًا ومستعدًا للنجاح!

استخدم إستراتيجية حل المشكلات لمشكلات الكلمات

لقد راجعنا ترجمة العبارات الإنجليزية إلى تعبيرات جبرية ، باستخدام بعض المفردات والرموز الرياضية الأساسية. قمنا أيضًا بترجمة الجمل الإنجليزية إلى معادلات جبرية وحلنا بعض مسائل الكلمات. تطبق مسائل الكلمات الرياضيات على مواقف الحياة اليومية. أعدنا صياغة الموقف في جملة واحدة ، وخصصنا متغيرًا ، ثم كتبنا معادلة لحل المسألة. تعمل هذه الطريقة طالما أن الموقف مألوف والرياضيات ليست معقدة للغاية.

الآن ، سنقوم بتوسيع استراتيجيتنا حتى نتمكن من استخدامها لحل أي مشكلة في الكلمات بنجاح. سنقوم بإدراج الإستراتيجية هنا ، ثم سنستخدمها لحل بعض المشكلات. نلخص أدناه استراتيجية فعالة لحل المشكلات.

استخدم استراتيجية لحل المشكلات لحل مشكلات الكلمات.

  1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. اسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية.
  4. يترجم في معادلة. قد يكون من المفيد إعادة صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.
  5. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

تمرين ( PageIndex {1} )

اشترت بيلار محفظة للبيع مقابل (18 دولارًا ) ، وهو نصف السعر الأصلي. ما هو السعر الأصلي للمحفظة؟

إجابه

الخطوة 1. اقرأ المشكلة. اقرأ المشكلة مرتين أو أكثر إذا لزم الأمر. ابحث عن أي كلمات غير مألوفة في قاموس أو على الإنترنت.

في هذه المشكلة ، هل من الواضح ما تتم مناقشته؟ هل كل كلمة مألوفة؟

دع p = السعر الأصلي للمحفظة.

الخطوة 2. تحديد ما تبحث عنه. هل سبق لك أن دخلت غرفة نومك لتحصل على شيء ما ثم نسيت ما كنت تبحث عنه؟ من الصعب العثور على شيء ما إذا لم تكن متأكدًا من ماهيته! اقرأ المشكلة مرة أخرى وابحث عن الكلمات التي تخبرك بما تبحث عنه!

في هذه المشكلة ، تخبرنا الكلمات "ما هو السعر الأصلي للمحفظة" بما نحتاج إلى العثور عليه.

الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. اختر متغيرًا لتمثيل تلك الكمية. يمكننا استخدام أي حرف للمتغير ، ولكن اختر حرفًا يسهل تذكر ما يمثله.

الخطوة 4. الترجمة في معادلة. ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة جبرية.

أعد قراءة المشكلة بعناية لترى كيف ترتبط المعلومات المقدمة. في كثير من الأحيان ، هناك جملة واحدة تعطي هذه المعلومات ، أو قد تساعد في كتابة جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ابحث عن الكلمات الرئيسية للمساعدة في ترجمة الجملة إلى الجبر. ترجم الجملة إلى معادلة.

أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ( color {cyan} underbrace { strut color {black} mathbf {18}} quad underbrace { strut color {black} textbf {is}} quad underbrace { color {black } textbf {نصف السعر الأصلي.}} )
ترجم إلى معادلة. (18 qquad = qquad qquad qquad frac {1} {2} cdot p )

الخطوة 5. حل المعادلة باستخدام تقنيات جبرية جيدة. حتى لو كنت تعرف الحل على الفور ، فإن استخدام الأساليب الجبرية الجيدة هنا سوف يعدك بشكل أفضل لحل المشكلات التي ليس لها إجابات واضحة.

حل المعادلة. (18 = فارك {1} {2} ص )
اضرب كلا الطرفين في 2. ({ color {red} {2}} cdot 18 = { color {red} {2}} cdot frac {1} {2} p )
تبسيط. (36 = ع )

الخطوة 6. تحقق الإجابة في المشكلة للتأكد من أنها منطقية. حللنا المعادلة ووجدنا أن (p = 36 ) ، مما يعني أن "السعر الأصلي" كان ($ 36 )

هل 36 دولارًا منطقيًا في المشكلة؟ نعم ، لأن 18 هي نصف 36 ، وكانت المحفظة معروضة للبيع بنصف السعر الأصلي.

إذا كان هذا تمرينًا لواجب منزلي ، فقد يبدو عملنا كما يلي:

اشترت بيلار محفظة للبيع مقابل (18 دولارًا ) ، وهو نصف السعر الأصلي. ما هو السعر الأصلي للمحفظة؟

الخطوة 7. الإجابة السؤال بجملة كاملة. تساءلت المشكلة "ما هو السعر الأصلي للمحفظة؟"

الجواب على السؤال هو: "كان السعر الأصلي للمحفظة 36 دولارًا".
دعونا (ع = ) السعر الأصلي.
(18 ) نصف السعر الأصلي.
(18 = فارك {1} {2} ص )
اضرب كلا الطرفين في (2 ). ({ color {red} {2}} cdot 18 = { color {red} {2}} cdot frac {1} {2} p )
تبسيط. (36 = ع )
التحقق من. هل ($ 36 ) سعر معقول للمحفظة؟
نعم فعلا.
هل (18 ) نصف (36 )؟
(18 stackrel {؟} {=} frac {1} {2} cdot 36 )
(18 = 18 علامة اختيار )
كان السعر الأصلي للمحفظة ($ 36 ).

تمرين ( PageIndex {2} )

اشترى Joaquin خزانة كتب للبيع مقابل ($ 120 ) ، وهو ما يعادل ثلثي السعر الأصلي. ما هو السعر الأصلي للخزانة؟

إجابه

($180)

تمرين ( PageIndex {3} )

خمسا الأغاني في قائمة تشغيل مارييل من الريف. في حالة وجود (16 ) أغنية ريفية ، ما هو العدد الإجمالي للأغاني في قائمة التشغيل؟


إجابه

(40)

دعونا نجرب هذا النهج بمثال آخر.

تمرين ( PageIndex {4} )

شكلت جيني وزملاؤها مجموعة دراسة. كان عدد الفتيات في مجموعة الدراسة ثلاثة أكثر من ضعف عدد الأولاد. كان هناك (11 ) فتاة في مجموعة الدراسة. كم عدد الأولاد في مجموعة الدراسة؟

إجابه
الخطوة 1. اقرأ المشكلة.
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.كم عدد الأولاد في مجموعة الدراسة؟
الخطوة 3. الاسم. اختر متغيرًا لتمثيل عدد الأولاد.دعونا (n = ) عدد الأولاد.
الخطوة 4. الترجمة. أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة بكل المعلومات المهمة. ( color {cyan} underbrace { color {black} textbf {The number} color {black} textbf {of girls} (11)} quad underbrace { strut text {} color {black} textbf {was}} quad underbrace { color {black} textbf {ثلاثة أكثر من} color {black} textbf {ضعف عدد الأولاد}} )
ترجم إلى معادلة. ( qquad 11 qquad quad = qquad qquad quad 2b + 3 )
الخطوة 5. حل المعادلة. ( كواد 11 = 2 ب + 3 )
اطرح 3 من كل جانب.
تبسيط. ( رباعي 8 = 2 ب )
قسّم كل جانب على 2. ( quad dfrac {8} { color {red} {2}} = dfrac {2b} { color {red} {2}} )
تبسيط. ( رباعي 4 = ب )
الخطوة 6. تحقق. أولا ، هل إجابتنا معقولة؟ نعم ، يبدو أن وجود (4 ) فتيان في مجموعة دراسة أمر جيد. المشكلة تقول أن عدد الفتيات كان (3 ) أكثر من ضعف عدد الأولاد. إذا كان هناك أربعة أولاد فهل يكون ذلك أحد عشر فتاة؟ مرتين (4 ) أولاد (8 ). ثلاثة أكثر من (8 ) هو (11 ).
الخطوة 7. الإجابة السؤال.كان هناك (4 ) فتيان في مجموعة الدراسة.

تمرين ( PageIndex {5} )

اشترى Guillermo كتبًا دراسية ودفاتر ملاحظات من متجر الكتب. كان عدد الكتب المدرسية (3 ) أكثر من ضعف عدد الدفاتر. اشترى (7) كتباً. كم عدد الدفاتر التي اشتراها؟

إجابه

(2)

تمرين ( PageIndex {6} )

عمل جيري في ألغاز سودوكو وألغاز الكلمات المتقاطعة هذا الأسبوع. عدد ألغاز Sudoku التي أكملها هو ثمانية أكثر من ضعف عدد الألغاز المتقاطعة. أكمل (22 ) ألغاز سودوكو. كم عدد الألغاز المتقاطعة التي فعلها؟

إجابه

(7)

حل مسائل العدد

الآن بعد أن أصبح لدينا استراتيجية لحل المشكلات ، سنستخدمها في عدة أنواع مختلفة من المشكلات الكلامية. النوع الأول الذي سنعمل عليه هو "مشاكل العدد". تعطي مسائل الأرقام بعض الدلائل على رقم واحد أو أكثر. نستخدم هذه القرائن لكتابة معادلة. لا تظهر مشاكل الأرقام عادةً على أساس يومي ، ولكنها توفر مقدمة جيدة لممارسة استراتيجية حل المشكلات الموضحة أعلاه.

تمرين ( PageIndex {7} )

الفرق بين عدد وستة هو (13 ). ابحث عن الرقم.

إجابه
الخطوة 1. هل كل الكلمات مألوفة؟
الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.الرقم
الخطوة 3. الاسم. اختر متغيرًا لتمثيل الرقم.دع (n = ) الرقم.
الخطوة 4. الترجمة. تذكر أن تبحث عن كلمات رئيسية مثل "فرق ... لـ ... و ..."
أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة. ( color {cyan} underbrace { color {black} textbf {الفرق بين الرقم و} mathbf {6}} quad underbrace { strut color {black} textbf {is}} رباعي underbrace { strut color {black} mathbf {13}} )
ترجم إلى معادلة.
الخطوة 5. حل المعادلة.
تبسيط. ( رباعي ن = 19 )
الخطوة 6. تحقق.
الفرق بين (19 ) و (6 ) هو (13 ). يتحقق!
الخطوة 7. الإجابة السؤال.الرقم (19 ).

تمرين ( PageIndex {8} )

الفرق بين عدد وثمانية هو (17 ). ابحث عن الرقم.

إجابه

(25)

تمرين ( PageIndex {9} )

الفرق بين العدد وأحد عشر هو (- 7 ). ابحث عن الرقم.

إجابه

(4)

تمرين ( PageIndex {11} )

مجموع أربعة أضعاف عدد واثنين هو (14 ). ابحث عن الرقم.

إجابه

(3)

تمرين ( PageIndex {12} )

مجموع ثلاثة في عدد وسبعة هو (25 ). ابحث عن الرقم.

إجابه

(6)

تطلب منا بعض مشكلات الكلمات العددية إيجاد رقمين أو أكثر. قد يكون من المغري تسمية كل منهم بمتغيرات مختلفة ، لكن حتى الآن لم نحل سوى المعادلات بمتغير واحد. لتجنب استخدام أكثر من متغير واحد ، سنقوم بتعريف الأرقام من حيث نفس المتغير. تأكد من قراءة المشكلة بعناية لاكتشاف كيفية ارتباط جميع الأرقام ببعضها البعض.

تمرين ( PageIndex {14} )

رقم واحد هو ستة أكثر من الآخر. مجموع الأعداد أربعة وعشرون. أوجد الأرقام.

إجابه

9, 15

تمرين ( PageIndex {15} )

مجموع عددين هو ثمانية وخمسون. رقم واحد أكبر بأربعة من الآخر. أوجد الأرقام.

إجابه

27, 31

تمرين ( PageIndex {17} )

مجموع عددين هو سالب 23. رقم واحد أقل بسبعة من الآخر. أوجد الأرقام.

إجابه

-15, -8

تمرين ( PageIndex {18} )

مجموع عددين هو (- 18 ). رقم واحد هو (40 ) أكثر من الآخر. أوجد الأرقام.

إجابه

-29, 11

تمرين ( PageIndex {20} )

رقم واحد هو ثمانية أكثر من ضعف آخر. مجموعهم هو سالب أربعة. أوجد الأرقام.

إجابه

(-4,; 0)

تمرين ( PageIndex {21} )

رقم واحد هو ثلاثة أكثر من ثلاثة أضعاف الآخر. مجموعهم (- 5 ). أوجد الأرقام.

إجابه

(-3,; -2)

تتضمن بعض المشكلات العددية أعدادًا صحيحة متتالية. أعداد صحيحة متتالية هي الأعداد الصحيحة التي تتبع بعضها البعض مباشرة. أمثلة على الأعداد الصحيحة المتتالية هي:

[ start {array} {l} {1،2،3،4} {-10، -9، -8، -7} {150،151،152،153} end {array} ]

لاحظ أن كل رقم يزيد بمقدار واحد عن الرقم الذي يسبقه. لذلك إذا حددنا العدد الصحيح الأول على أنه (n ) ، فإن العدد الصحيح التالي هو (n + 1 ). واحد بعد ذلك أكثر من (n + 1 ) ، لذا فهو (n + 1 + 1 ) ، وهو (n + 2 ).
[ start {array} {ll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {صحيح}} {n + 1} & {2 ^ { text {nd}} text {عدد صحيح متتالي}} {n + 2} & {3 ^ { نص {rd}} نص {عدد صحيح متتالي} ldots نص {إلخ}} نهاية {مجموعة} ]

تمرين ( PageIndex {23} )

مجموع عددين صحيحين متتاليين هو 95. أوجد الأرقام.

إجابه

47, 48

تمرين ( PageIndex {24} )

مجموع عددين صحيحين متتاليين هو 31. أوجد الأرقام.

إجابه

-16, -15

تمرين ( PageIndex {26} )

أوجد ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها −96.

إجابه

-33, -32, -31

تمرين ( PageIndex {27} )

أوجد ثلاثة أعداد صحيحة متتالية مجموعها −36.

إجابه

-13, -12, -11

الآن وقد عملنا مع الأعداد الصحيحة المتتالية ، سنقوم بتوسيع عملنا ليشمل الأعداد الصحيحة الزوجية المتتالية والأعداد الصحيحة الفردية المتتالية. أعداد صحيحة متتالية بل هي أعداد صحيحة تتبع بعضها البعض مباشرة. أمثلة على الأعداد الصحيحة المتتالية هي:

[ start {array} {l} {18،20،22} {64،66،68} {-12، -10، -8} end {array} ]

لاحظ أن كل عدد صحيح (2 ) أكثر من الرقم الذي يسبقه. إذا استدعينا الأول (n ) ، فإن التالي هو (n + 2 ). سيكون التالي (n + 2 + 2 ) أو (n + 4 ).
[ start {array} {cll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {even integer}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} نص {عدد صحيح متتالي}} {n + 4} & {3 ^ { نص {rd}} نص {عدد صحيح متتالي} ldots نص {إلخ}} نهاية {مجموعة} ]

أعداد صحيحة فردية متتالية هي أعداد صحيحة فردية تتبع بعضها البعض مباشرة. ضع في اعتبارك الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية (77 ) و (79 ) و (81 ).

[ start {array} {l} {77،79،81} {n، n + 2، n + 4} end {array} ]

[ start {array} {cll} {n} & {1 ^ { text {st}} text {odd integer}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} نص {عدد صحيح فردي متتالي}} {n + 4} & {3 ^ { نص {rd}} نص {عدد صحيح فردي متتالي} نقاط نص {إلخ}} نهاية {مجموعة} ]

هل يبدو من الغريب إضافة 2 (عدد زوجي) للانتقال من عدد صحيح فردي إلى التالي؟ هل تحصل على رقم فردي أو زوجي عندما نضيف 2 إلى 3؟ إلى 11؟ إلى 47؟

سواء كانت المشكلة تتطلب أرقامًا زوجية متتالية أو أرقامًا فردية ، فلا يتعين عليك فعل أي شيء مختلف. النمط لا يزال كما هو - للانتقال من عدد فردي أو زوجي واحد إلى التالي ، أضف 2.

تمرين ( PageIndex {28} )

أوجد ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها 84.

إجابه

[ start {array} {ll} { textbf {الخطوة 1. اقرأ} text {the problem.}} & {} { textbf {الخطوة 2. حدد} text {ما نبحث عنه. }} & { text {ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية}} { textbf {الخطوة 3. الاسم} text {الأعداد الصحيحة.}} & { text {Let} n = 1 ^ {st} text {even أعداد صحيحة.}} {} & {n + 2 = 2 ^ {nd} نص {عدد صحيح زوجي متتالي}} {} & {n + 4 = 3 ^ {rd} نص {عدد صحيح متتالي}} { textbf {الخطوة 4. ترجمة.}} & {} { text {إعادة صياغة جملة واحدة. }} & { text {مجموع الأعداد الصحيحة الزوجية هو 84.}} { text {ترجم إلى معادلة.}} & {n + n + 2 + n + 4 = 84} { textbf {الخطوة 5. حل} text {المعادلة. }} & {} { text {دمج المصطلحات المتشابهة.}} & {n + n + 2 + n + 4 = 84} { text {طرح 6 من كل جانب.}} & {3n + 6 = 84} { text {قسّم كل جانب على 3.}} & {3n = 78} {} & {n = 26 space 1 ^ {st} text {عدد صحيح}} { } & {n + 2 space 2 ^ {nd} text {صحيح}} {} & {26 + 2} {} & {28} {} & {n + 4 space 3 ^ {rd} text {صحيح}} {} & {26 + 4} {} & {30} { textbf {الخطوة 6. تحقق.}} & {} { 26 + 28 + 30 stackrel {؟} {=} 84} & {} {84 = 84 checkmark} & {} { textbf {الخطوة 7. الإجابة} text {the question.}} & { text {الأعداد الصحيحة الثلاثة المتتالية هي 26 و 28 و 30.}} end {array} ]

تمرين ( PageIndex {29} )

أوجد ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها 102.

إجابه

32, 34, 36

تمرين ( PageIndex {30} )

أوجد ثلاثة أعداد صحيحة زوجية متتالية مجموعها −24.

إجابه

−10,−8,−6

تمرين ( PageIndex {31} )

يكسب الزوجان معًا 110.000 دولار في السنة. الزوجة تكسب 16000 دولار أقل من ضعف ما يكسبه زوجها. ماذا يكسب الزوج؟

إجابه
الخطوة 1. تحديد ما نبحث عنه.كم يكسب الزوج؟
الخطوة 3. الاسم.
اختر متغيرًا لتمثيل المبلغ
الزوج يكسب.
دع (ح = ) المبلغ الذي يكسبه الزوج.
تكسب الزوجة (16000 دولار ) أقل من ضعف ذلك. (ساعتان 16،000 ) المبلغ الذي تكسبه الزوجة.
الخطوة 4. يكسب الزوج والزوجة معا (110 ألف دولار).
أعد صياغة المشكلة في جملة واحدة باستخدام
كل المعلومات الهامة.
ترجم إلى معادلة.
الخطوة 5. حل المعادلة. (ح + 2 س - 16000 = 110.000 )
اجمع بين الشروط المتشابهة. (3 ساعات - 16000 = 110.000 )
أضف (16000 ) للطرفين وبسّط. (3 ساعات = 126000 )
اقسم كل جانب على (3 ). (ح = 42000 )
(42000 دولار ) المبلغ الذي يكسبه الزوج
(ساعتان - 16000 ) المبلغ الذي تكسبه الزوجة
(2(42,000) − 16,000)
(84,000 − 16,000)
(68,000)
الخطوة 6. تحقق.
إذا كانت الزوجة تكسب ($ 68،000 ) وكسب الزوج ($ 42،000 ) فهل المجموع ($ 110،000 ) (؟ نعم!
الخطوة 7. الإجابة السؤال.يكسب الزوج (42000 دولار ) في السنة.

تمرين ( PageIndex {32} )

وفقًا لجمعية تجار السيارات الوطنية ، بلغ متوسط ​​تكلفة السيارة في عام 2014 ما قيمته 28500 دولار. كان هذا 1500 دولار أقل بستة أضعاف من التكلفة في عام 1975. ما هو متوسط ​​تكلفة السيارة في عام 1975؟

إجابه

$5000

تمرين ( PageIndex {33} )

تظهر بيانات التعداد السكاني في الولايات المتحدة أن متوسط ​​سعر المنزل الجديد في الولايات المتحدة في نوفمبر 2014 كان 280900 دولار. كان هذا 10700 دولار أكثر من 14 مرة من السعر في نوفمبر 1964. ما هو متوسط ​​سعر منزل جديد في نوفمبر 1964؟

إجابه

$19300

المفاهيم الرئيسية

  • استراتيجية حل المشكلات
    1. اقرأ المشكلة. ثم ترجم الجملة الإنجليزية إلى معادلة الجبر.
    2. يحل المعادلة باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
    3. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
    4. إجابه السؤال بجملة كاملة.
  • أعداد صحيحة متتالية
    الأعداد الصحيحة المتتالية هي الأعداد الصحيحة التي تتبع بعضها البعض مباشرة.

    [ start {array} {cc} {n} & {1 ^ { text {st}} text {صحيح}} {n + 1} & {2 ^ { text {nd}} text {عدد صحيح متتالي}} {n + 2} & {3 ^ { نص {rd}} نص {عدد صحيح متتالي} ldots نص {إلخ}} نهاية {مجموعة} ]


    الأعداد الصحيحة الزوجية المتتالية هي أعداد صحيحة تتبع بعضها البعض مباشرة.

    [ start {array} {cc} {n} & {1 ^ { text {st}} text {صحيح}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {عدد صحيح متتالي}} {n + 4} & {3 ^ { نص {rd}} نص {عدد صحيح متتالي} ldots نص {إلخ}} نهاية {مجموعة} ]


    الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية هي أعداد صحيحة فردية تتبع بعضها البعض مباشرة.

    [ start {array} {cc} {n} & {1 ^ { text {st}} text {صحيح}} {n + 2} & {2 ^ { text {nd}} text {عدد صحيح فردي متتالي}} {n + 4} & {3 ^ { text {rd}} نص {عدد صحيح فردي متتالي} ldots نص {إلخ}} end {array} ]


أول ما لدينا في القائمة هو إستراتيجية قدمها برانسفورد وستاين في عام 1984. وهي تسمى نهج "IDEAL" لحل المشكلات. دعونا نكسرها.

أنا & # 8211 تحديد المشكلة

ه & # 8211 استكشاف الاستراتيجيات الممكنة

دعونا نتعرف على كل حرف في استراتيجية حل مشكلة IDEAL.

الاول هو أنا تحديد المشكلة. بدلاً من الخوض في لعبة إلقاء اللوم ، حاول أن تجد بالضبط ما هي المشكلة؟ قد لا تكون المشكلة الحقيقية هي المشكلة التي تواجهها الآن. على سبيل المثال: فشل فريق المبيعات في تحقيق الأهداف هذا العام. بدلاً من إلقاء اللوم بالكامل على المبيعات ، حاول العثور على سبب فشلها هذا الشهر. ربما لم يكن هناك دعم كاف من فريق التطوير لتحسين المنتج أو أن فريق الدعم لم يساعد. هناك دائمًا سبب يؤدي إلى مشكلة ، وهذه هي الخطوة الأولى.

الثاني هو د تحديد السبب. بعد معرفة جميع الأسباب المحتملة ، حدد المشكلة في سطر واحد. ما هي المشكلة بالضبط؟ ليس الموقف الذي تواجهه لأن ذلك يمكن أن يكون أحد نتائج السبب الرئيسي. حدد السبب في سطر واحد بسيط. تحديد السبب يمكن أن يخلصك من العديد من المشاكل القادمة. على سبيل المثال ، إذا فشلت إحدى الشركات في أداء مهمة ما في الوقت المحدد ، وكان السبب هو "ضعف الاتصال بين الفرق" ، فهناك أكثر من مشكلة يمكن حلها عن طريق حل السبب.

لحل مشكلة "ضعف التواصل بين الفرق" ، يمكنك استخدام أدوات مختلفة للتواصل. من خلال حل السبب ، يمكن أيضًا تحسين إنتاجية العمل. سيقل الوقت المستغرق للمهام ، وسيقل متوسط ​​الوقت اللازم لإكمال المشروع. ومن ثم ، فإن حل القضية سيحل مشاكل متعددة.

الثالث هو ه استكشاف الاستراتيجيات الممكنة. الآن بعد أن عرفت السبب الذي شكل المشكلة ، عليك مرة أخرى أن تقوم بالعصف الذهني. فكر في جميع الحلول والاستراتيجيات الممكنة التي يمكن تنفيذها بسهولة في مكان عملك. يجب عليك بالتأكيد أخذ اقتراحات من زملائك في الفريق ، لأنهم عانوا من المشكلة.

الخطوة الرابعة هي أ ط م. اختر من قائمة الحلول الممكنة وابدأ في العمل عليها. إليك المتعة في عدم تضييع وقتك وتقليل الإنتاجية. عند تجربة حل جديد بسرعة ، سترى التغييرات بسرعة كبيرة أيضًا. الآن ، إذا كنت تعتقد أن حلًا معينًا لا يحل المشكلة ، فيمكنك الانتقال بسرعة إلى الحل التالي. بهذه الطريقة ، ستجد سير العمل المطلوب في فترة قصيرة.

آخر واحد هو إل تراجع و إل يكسب لأن هناك دائمًا بعض التعلم. هناك اقتباس رائع من روبرت إتش شولر ، "المشكلات ليست علامات توقف ، إنها إرشادات." لم يكن إيقاف المشكلة في يدك في وقت ما ، ولكن يمكنك إيقاف الأحداث الغريبة القادمة من خلال تعلم درس.


تعرف على المشكلة عن طريق طرح الأسئلة والحصول على جميع المعلومات ذات الصلة في العلن.

اسأل فريقك الأسئلة الرئيسية التي ستجعلهم ينفتحون ويشاركون:

  • متى كانت آخر مرة عمل فيها هذا النظام بشكل صحيح؟
  • متى ظهرت هذه المشكلة؟
  • ماذا نعرف / لا نعرف عن هذه المشكلة؟

اختتم هذه الخطوة إنشاء تعريف من جملة واحدة ل ال مشكلة.

قم بمراجعة / تحرير هذه الجملة (كمجموعة) حتى تمثل تحديك / هدفك بوضوح وبإيجاز.


إيجاد الأنماط في مسائل الرياضيات:

إذن متى يجب على الأطفال استخدامها حل المشكلة من خلال إيجاد نمط؟ حسنًا ، عندما تعطي المشكلة مجموعة من البيانات ، أو نمطًا مستمرًا ويمكن ترتيبه في جدول ، فمن الجيد التفكير في البحث عن النمط وتحديد & # 8220rule & # 8221 للنمط.

كما ذكرت عندما ناقشت حل المشكلات من خلال إعداد قائمة ، إيجاد نمط يمكن أن يكون مفيدًا للغاية ويوفر الكثير من الوقت عند العمل على حل مشكلة الكلمات. ومع ذلك ، في بعض الأحيان ، قد لا يتعرف الطالب على النمط على الفور ، أو قد يتعثر في كل تفاصيل السؤال.

يعد إعداد جدول وملء المعلومات الواردة في السؤال طريقة رائعة للقيام بذلك تنظيم الأشياء وتقديم الصورة المرئية بحيث يمكن تحديد "قاعدة" النمط. يمكن بعد ذلك استخدام "القاعدة" للعثور على إجابة السؤال. هذا يزيل العمل الشاق المتمثل في إكمال الجدول ، وهو أمر رائع بشكل خاص إذا كان هناك الكثير من العمليات الحسابية.

لكن الجدول مفيد أيضًا للأطفال الذين يعانون من الرياضيات ، لأنه يمنحهم طريقة للوصول إلى الحل حتى لو واجهوا صعوبة في العثور على النمط ، أو لم يكونوا واثقين من أنهم يستخدمون "القاعدة" بشكل صحيح.

لأنه على الرغم من أن استخدام نمط معروف يمكن أن يوفر لك الوقت ويلغي الحاجة إلى ملء الجدول بأكمله ، إلا أنه ليس ضروريًا. يمكن للطالب غير المؤكد أن يواصل ملء طاولته ببساطة حتى يصل إلى الحل الذي يبحث عنه.

تعد مساعدة الطلاب على تعلم كيفية إعداد جدول مفيدًا أيضًا لأنه يمكنهم استخدامه لتنظيم المعلومات (مثل إعداد قائمة) حتى لو لم يكن هناك نمط يمكن العثور عليه ، لأنه يمكن إجراؤه بطريقة منهجية ، مما يضمن أنه لم يتم استبعاد أي شيء.

إذا كان طلابك يتعلمون فقط كيفية القراءة وإنشاء الجداول ، فإنني أقترح وجودهم ضع دائرة حول إجابتهم في الجدول لإثبات أنهم فهموا السؤال وعرفوا أين في الجدول للعثور على الإجابة.

إذا كان لديك طلاب أكبر سنًا ، شجعهم على إيجاد نمط في الجدول وشرحه بالكلمات ، ثم أيضًا باستخدام الرموز الرياضية و / أو المعادلة. سيساعدهم ذلك على تكوين روابط وزيادة الإحساس بالأرقام. كما سيساعدهم أيضًا على معرفة كيفية استخدام "القاعدة" أو المعادلة لحل السؤال المحدد بالإضافة إلى عمل تنبؤات حول البيانات.

من المهم أيضًا أن يفكر الطلاب في ما إذا كان نمطهم سيستمر بشكل متوقع أم لا. في بعض الحالات ، قد يبدو النمط في اتجاه واحد للمدخلات القليلة الأولى ، ثم يتغير ، لذلك من المهم مراعاة ذلك لأن المشكلات تزداد صعوبة.

هناك الكثير من الأمثلة على المشكلات التي يُعد فيها إنشاء جدول وإيجاد نمط إستراتيجية مفيدة ، ولكن إليك مثال واحد فقط لك:

قرر بن التحضير لسباق الماراثون من خلال الجري لمدة عشر دقائق في اليوم ، ستة أيام في الأسبوع. كل أسبوع ، يزيد وقته في الجري بدقيقتين في اليوم. كم دقيقة سيجري في الأسبوع الثامن؟

يشتمل الجدول على رقم الأسبوع (ننظر إلى الأسابيع 1-8) ، بالإضافة إلى عدد الدقائق في اليوم وإجمالي الدقائق للأسبوع. الخطوة الأولى هي ملء أول أسبوعين بحساب الوقت الإجمالي.

بمجرد العثور على الأسابيع 1-3 ، يمكنك ذلك رؤية نمط وتكون قادرًا على حساب إجمالي الدقائق للأسبوع 8. على سبيل المثال ، في هذه الحالة ، يزداد إجمالي عدد الدقائق بمقدار 12 كل أسبوع ، أي أنه في الأسبوع 8 ، سيتم تشغيله لمدة 144 دقيقة.

إذا لم يكن الأمر كذلك ، فما عليك سوى الاستمرار في الجدول حتى تصل إلى الأسبوع 8 ، وبعد ذلك ستحصل على إجابتك.

أعتقد أنه من المهم بشكل خاص أن أوضح للطلاب أنه من المقبول تمامًا إكمال الجدول بأكمله (أو متابعة جدول معين) إذا لم يروا أو لا يعرفون كيفية استخدام النمط لحل المشكلة.

كنت أعمل مع طالبة ذات مرة وتم إعطاؤها طاولة ، ولكن تم بعد ذلك طرح سؤال حول المعلومات غير مدرج في هذا الجدول. كانت قادرة على إخباري بالنمط الذي رأته ، لكنها لم تكن قادرة على استخدام "القاعدة" بشكل صحيح للعثور على الإجابة. أصررت على أنها ببساطة تمد الطاولة حتى تجد ما تحتاجه. ثم لقد أوضحت لها كيفية استخدام "قاعدة" النمط للحصول على نفس الإجابة.

أتمنى أن تجد هذا مفيدا! يعد البحث عن الأنماط وإيجادها جزءًا أساسيًا من تعليم الرياضيات! إذا كنت تبحث عن المزيد من الأفكار لاستكشاف الأنماط ، فاطلع على هذا المنشور الضخم "أفكار لأنماط التدريس لمرحلة ما قبل المدرسة".

وبالطبع ، لا تفوّت المشاركات الأخرى في سلسلة حل مشكلات الرياضيات هذه:

لا تنفد من المرح أفكار الرياضيات

إذا استمتعت بهذا المنشور ، فستحب أن تكون جزءًا من مجتمع Math Geek Mama! أرسل بريدًا إلكترونيًا كل أسبوع يحتوي على أفكار رياضية ممتعة وجذابة وموارد مجانية وعروض خاصة. انضم إلى أكثر من 124000 قارئ حيث نساعد كل طفل على النجاح والازدهار في الرياضيات! بالإضافة إلى ذلك ، احصل على كتابي الإلكتروني المجاني ، 5 ألعاب الرياضيات يمكنك لعبها اليوم, كهدية لك!

النجاح! الآن يرجى التحقق من بريدك الإلكتروني لتأكيد اشتراكك والحصول على هدية مجانية!

تعليقات

واجهت الكثير من المشاكل في اكتشاف الأنماط عندما كنت في المدرسة. لحسن حظها ، ابنتي تهزها! ستكون هذه التقنية مفيدة لها عندما تكبر قليلاً! #ThoughtfulSpot

لا يجب أن ينتهي وقت الرياضيات بالدموع

انضم إلى أكثر من 130.000 من الآباء والمدرسين الذين يتعلمون نصائح واستراتيجيات جديدة ، بالإضافة إلى تلقي موارد جذابة لجعل الرياضيات ممتعة. بالإضافة إلى ذلك ، احصل على دليلي ، "5 ألعاب يمكنك لعبها اليوم لجعل الرياضيات ممتعة" ، كهدية مجانية لتبدأ بها!


3.2 ما هو تحليل الخوارزمية؟ ¶

من الشائع جدًا أن يقوم طلاب علوم الكمبيوتر المبتدئين بمقارنة برامجهم مع بعضهم البعض. ربما لاحظت أيضًا أنه من الشائع أن تبدو برامج الكمبيوتر متشابهة جدًا ، خاصة البرامج البسيطة. غالبًا ما ينشأ سؤال مثير للاهتمام. عندما يحل برنامجان نفس المشكلة ولكن يبدو أنهما مختلفان ، هل أحدهما أفضل من الآخر؟

للإجابة على هذا السؤال ، علينا أن نتذكر أن هناك فرقًا مهمًا بين البرنامج والخوارزمية الأساسية التي يمثلها البرنامج. كما ذكرنا في الفصل الأول ، الخوارزمية عبارة عن قائمة عامة خطوة بخطوة من الإرشادات لحل مشكلة ما. إنها طريقة لحل أي حالة من حالات المشكلة مثل أن الخوارزمية تعطي النتيجة المرجوة عند وجود مدخل معين. من ناحية أخرى ، فإن البرنامج عبارة عن خوارزمية تم ترميزها في بعض لغات البرمجة. قد يكون هناك العديد من البرامج لنفس الخوارزمية ، اعتمادًا على المبرمج ولغة البرمجة المستخدمة.

لاستكشاف هذا الاختلاف بشكل أكبر ، ضع في اعتبارك الوظيفة الموضحة في ActiveCode 1. هذه الوظيفة تحل مشكلة مألوفة ، بحساب مجموع الأول ن أعداد صحيحة. تستخدم الخوارزمية فكرة متغير تراكمي تمت تهيئته إلى 0. ثم يتكرر الحل من خلال ن أعداد صحيحة ، مضيفا كل منها إلى المجمع.

انظر الآن إلى الوظيفة في ActiveCode 2. للوهلة الأولى ، قد يبدو الأمر غريبًا ، ولكن عند إجراء مزيد من الفحص ، يمكنك أن ترى أن هذه الوظيفة تقوم في الأساس بنفس الشيء مثل الوظيفة السابقة. السبب في عدم وضوح ذلك هو ضعف الترميز. لم نستخدم أسماء معرّفات جيدة للمساعدة في سهولة القراءة ، واستخدمنا عبارة مهمة إضافية أثناء خطوة التراكم التي لم تكن ضرورية حقًا.

طرح السؤال الذي طرحناه مسبقًا ما إذا كانت إحدى الوظائف أفضل من الأخرى. الجواب يعتمد على المعايير الخاصة بك. الدالة sumOfN هي بالتأكيد أفضل من الدالة foo إذا كنت مهتمًا بقابلية القراءة. في الواقع ، ربما تكون قد شاهدت العديد من الأمثلة على ذلك في دورة البرمجة التمهيدية الخاصة بك لأن أحد الأهداف هناك هو مساعدتك في كتابة برامج سهلة القراءة والفهم. ومع ذلك ، في هذه الدورة ، نحن مهتمون أيضًا بتوصيف الخوارزمية نفسها. (نأمل بالتأكيد أن تستمر في السعي لكتابة رمز مقروء ومفهوم.)

يهتم تحليل الخوارزمية بمقارنة الخوارزميات بناءً على كمية موارد الحوسبة التي تستخدمها كل خوارزمية. نريد أن نكون قادرين على النظر في خوارزميتين ونقول إن إحداهما أفضل من الأخرى لأنها أكثر كفاءة في استخدامها لتلك الموارد أو ربما لأنها تستخدم أقل. من هذا المنظور ، فإن الوظيفتين أعلاه تبدو متشابهة للغاية. كلاهما يستخدم بشكل أساسي نفس الخوارزمية لحل مشكلة الجمع.

في هذه المرحلة ، من المهم التفكير أكثر فيما نعنيه حقًا بموارد الحوسبة. هناك طريقتان مختلفتان للنظر إلى هذا. إحدى الطرق هي النظر في مقدار المساحة أو الذاكرة التي تتطلبها الخوارزمية لحل المشكلة. عادةً ما يتم تحديد مقدار المساحة التي يتطلبها حل المشكلة من خلال حالة المشكلة نفسها. ومع ذلك ، في كثير من الأحيان ، هناك خوارزميات لها متطلبات مساحة محددة للغاية ، وفي هذه الحالات سنكون حريصين للغاية على شرح الاختلافات.

كبديل لمتطلبات المساحة ، يمكننا تحليل ومقارنة الخوارزميات بناءً على مقدار الوقت الذي تتطلبه للتنفيذ. يشار إلى هذا الإجراء أحيانًا باسم "وقت التنفيذ" أو "وقت تشغيل" الخوارزمية. إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها قياس وقت تنفيذ الوظيفة sumOfN هي إجراء تحليل معياري. هذا يعني أننا سنتتبع الوقت الفعلي المطلوب للبرنامج لحساب نتائجه. في Python ، يمكننا قياس دالة من خلال ملاحظة وقت البدء ووقت الانتهاء فيما يتعلق بالنظام الذي نستخدمه. في وحدة الوقت ، توجد وظيفة تسمى الوقت والتي ستعيد وقت ساعة النظام الحالي بالثواني منذ نقطة بداية عشوائية. من خلال استدعاء هذه الوظيفة مرتين ، في البداية والنهاية ، ثم حساب الفرق ، يمكننا الحصول على عدد الثواني بالضبط (الكسور في معظم الحالات) للتنفيذ.

تُظهر القائمة 1 وظيفة sumOfN الأصلية مع استدعاءات التوقيت المضمنة قبل التجميع وبعده. ترجع الدالة مجموعة تتكون من النتيجة ومقدار الوقت (بالثواني) المطلوب للحساب. إذا قمنا بإجراء 5 استدعاءات للوظيفة ، كل منها يحسب مجموع أول 10000 عدد صحيح ، نحصل على ما يلي:

نكتشف أن الوقت ثابت إلى حد ما ويستغرق تنفيذ هذا الرمز حوالي 0.0019 ثانية في المتوسط. ماذا لو قمنا بتشغيل الدالة بإضافة أول 100000 عدد صحيح؟

Again, the time required for each run, although longer, is very consistent, averaging about 10 times more seconds. For n equal to 1,000,000 we get:

In this case, the average again turns out to be about 10 times the previous.

Now consider ActiveCode 3 , which shows a different means of solving the summation problem. This function, sumOfN3 , takes advantage of a closed equation (sum_^ i = frac <(n)(n+1)><2>) to compute the sum of the first n integers without iterating.

If we do the same benchmark measurement for sumOfN3 , using five different values for n (10,000, 100,000, 1,000,000, 10,000,000, and 100,000,000), we get the following results:

There are two important things to notice about this output. First, the times recorded above are shorter than any of the previous examples. Second, they are very consistent no matter what the value of n . It appears that sumOfN3 is hardly impacted by the number of integers being added.

But what does this benchmark really tell us? Intuitively, we can see that the iterative solutions seem to be doing more work since some program steps are being repeated. This is likely the reason it is taking longer. Also, the time required for the iterative solution seems to increase as we increase the value of n . However, there is a problem. If we ran the same function on a different computer or used a different programming language, we would likely get different results. It could take even longer to perform sumOfN3 if the computer were older.

We need a better way to characterize these algorithms with respect to execution time. The benchmark technique computes the actual time to execute. It does not really provide us with a useful measurement, because it is dependent on a particular machine, program, time of day, compiler, and programming language. Instead, we would like to have a characterization that is independent of the program or computer being used. This measure would then be useful for judging the algorithm alone and could be used to compare algorithms across implementations.


3.2. What Is Algorithm Analysis?¶

It is very common for beginning computer science students to compare their programs with one another. You may also have noticed that it is common for computer programs to look very similar, especially the simple ones. An interesting question often arises. When two programs solve the same problem but look different, is one program better than the other?

In order to answer this question, we need to remember that there is an important difference between a program and the underlying algorithm that the program is representing. As we stated in Chapter 1, an algorithm is a generic, step-by-step list of instructions for solving a problem. It is a method for solving any instance of the problem such that given a particular input, the algorithm produces the desired result. A program, on the other hand, is an algorithm that has been encoded into some programming language. There may be many programs for the same algorithm, depending on the programmer and the programming language being used.

To explore this difference further, consider the function shown in ActiveCode 1 . This function solves a familiar problem, computing the sum of the first ن integers. The algorithm uses the idea of an accumulator variable that is initialized to 0. The solution then iterates through the ن integers, adding each to the accumulator.

Now look at the function in ActiveCode 2 . At first glance it may look strange, but upon further inspection you can see that this function is essentially doing the same thing as the previous one. The reason this is not obvious is poor coding. We did not use good identifier names to assist with readability, and we used an extra assignment statement during the accumulation step that was not really necessary.

The question we raised earlier asked whether one function is better than another. The answer depends on your criteria. The function sumOfN is certainly better than the function foo if you are concerned with readability. In fact, you have probably seen many examples of this in your introductory programming course since one of the goals there is to help you write programs that are easy to read and easy to understand. In this course, however, we are also interested in characterizing the algorithm itself. (We certainly hope that you will continue to strive to write readable, understandable code.)

Algorithm analysis is concerned with comparing algorithms based upon the amount of computing resources that each algorithm uses. We want to be able to consider two algorithms and say that one is better than the other because it is more efficient in its use of those resources or perhaps because it simply uses fewer. From this perspective, the two functions above seem very similar. They both use essentially the same algorithm to solve the summation problem.

At this point, it is important to think more about what we really mean by computing resources. There are two different ways to look at this. One way is to consider the amount of space or memory an algorithm requires to solve the problem. The amount of space required by a problem solution is typically dictated by the problem instance itself. Every so often, however, there are algorithms that have very specific space requirements, and in those cases we will be very careful to explain the variations.

As an alternative to space requirements, we can analyze and compare algorithms based on the amount of time they require to execute. This measure is sometimes referred to as the “execution time” or “running time” of the algorithm. One way we can measure the execution time for the function sumOfN is to do a benchmark analysis. This means that we will track the actual time required for the program to compute its result. In Python, we can benchmark a function by noting the starting time and ending time with respect to the system we are using. In the time module there is a function called time that will return the current system clock time in seconds since some arbitrary starting point. By calling this function twice, at the beginning and at the end, and then computing the difference, we can get an exact number of seconds (fractions in most cases) for execution.

Listing 1 shows the original sumOfN function with the timing calls embedded before and after the summation. The function returns a tuple consisting of the result and the amount of time (in seconds) required for the calculation. If we perform 5 invocations of the function, each computing the sum of the first 10,000 integers, we get the following:

We discover that the time is fairly consistent and it takes on average about 0.0019 seconds to execute that code. What if we run the function adding the first 100,000 integers?

Again, the time required for each run, although longer, is very consistent, averaging about 10 times more seconds. For n equal to 1,000,000 we get:

In this case, the average again turns out to be about 10 times the previous.

Now consider ActiveCode 3 , which shows a different means of solving the summation problem. This function, sumOfN3 , takes advantage of a closed equation (sum_^ i = frac <(n)(n+1)><2>) to compute the sum of the first n integers without iterating.

If we do the same benchmark measurement for sumOfN3 , using five different values for n (10,000, 100,000, 1,000,000, 10,000,000, and 100,000,000), we get the following results:

There are two important things to notice about this output. First, the times recorded above are shorter than any of the previous examples. Second, they are very consistent no matter what the value of n . It appears that sumOfN3 is hardly impacted by the number of integers being added.

But what does this benchmark really tell us? Intuitively, we can see that the iterative solutions seem to be doing more work since some program steps are being repeated. This is likely the reason it is taking longer. Also, the time required for the iterative solution seems to increase as we increase the value of n . However, there is a problem. If we ran the same function on a different computer or used a different programming language, we would likely get different results. It could take even longer to perform sumOfN3 if the computer were older.

We need a better way to characterize these algorithms with respect to execution time. The benchmark technique computes the actual time to execute. It does not really provide us with a useful measurement, because it is dependent on a particular machine, program, time of day, compiler, and programming language. Instead, we would like to have a characterization that is independent of the program or computer being used. This measure would then be useful for judging the algorithm alone and could be used to compare algorithms across implementations.


Stage 5. Postpurchase Use and Evaluation

At this point in the process you decide whether the backpack you purchased is everything it was cracked up to be. Hopefully it is. If it’s not, you’re likely to suffer what’s called postpurchase dissonance . You might call it buyer’s remorse. Typically, dissonance occurs when a product or service does not meet your expectations. Consumers are more likely to experience dissonance with products that are relatively expensive and that are purchased infrequently.

You want to feel good about your purchase, but you don’t. You begin to wonder whether you should have waited to get a better price, purchased something else, or gathered more information first. Consumers commonly feel this way, which is a problem for sellers. If you don’t feel good about what you’ve purchased from them, you might return the item and never purchase anything from them again. Or, worse yet, you might tell everyone you know how bad the product was.

Companies do various things to try to prevent buyer’s remorse. For smaller items, they might offer a money back guarantee or they might encourage their salespeople to tell you what a great purchase you made. How many times have you heard a salesperson say, “That outfit looks so great on you!” For larger items, companies might offer a warranty, along with instruction booklets, and a toll-free troubleshooting line to call or they might have a salesperson call you to see if you need help with product. Automobile companies may offer loaner cars when you bring your car in for service.

Companies may also try to set expectations in order to satisfy customers. Service companies such as restaurants do this frequently. Think about when the hostess tells you that your table will be ready in 30 minutes. If they seat you in 15 minutes, you are much happier than if they told you that your table would be ready in 15 minutes, but it took 30 minutes to seat you. Similarly, if a store tells you that your pants will be altered in a week and they are ready in three days, you’ll be much more satisfied than if they said your pants would be ready in three days, yet it took a week before they were ready.


Determine the Causes

Fishbone Diagram

Once you have defined the problem, you are ready to dig deeper and start to determine what is causing it.  You can use a fishbone diagram to help you perform a cause and effect analysis.

If you consider the problem as a gap between where you are now and where you want to be, the causes of the problem are the obstacles that are preventing you from closing that gap immediately.

This level of analysis is important to make sure your solutions address the actual causes of the problem instead of the symptoms of the problem. If your solution fixes a symptom instead of an actual cause, the problem is likely to reoccur since it was never truly solved.


Use a Problem Solving Strategy

    Translate “six less than twice x” into an algebraic expression.

If you missed this problem, review [link].

If you missed this problem, review [link].

If you missed this problem, review [link].

Have you ever had any negative experiences in the past with word problems? When we feel we have no control, and continue repeating negative thoughts, we set up barriers to success. Realize that your negative experiences with word problems are in your past. To move forward you need to calm your fears and change your negative feelings.

Start with a fresh slate and begin to think positive thoughts. Repeating some of the following statements may be helpful to turn your thoughts positive. Thinking positive thoughts is a first step towards success.

I think I can! I think I can!

While word problems were hard in the past, I think I can try them now.

I am better prepared now—I think I will begin to understand word problems.

I am able to solve equations because I practiced many problems and I got help when I needed it—I can try that* * *

It may take time, but I can begin to solve word problems.

You are now well prepared and you are ready to succeed. If you take control and believe you can be successful, you will be able to master word problems.

Use a Problem Solving Strategy for Word Problems

Now that we can solve equations, we are ready to apply our new skills to word problems. We will develop a strategy we can use to solve any word problem successfully.

Normal yearly snowfall at the local ski resort is 12 inches more than twice the amount it received last season. The normal yearly snowfall is 62 inches. What was the snowfall last season at the ski resort?

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. What was the snowfall last season?
Step 3. Name what we are looking for and choose a variable to represent it. Let s = the snowfall last season.
Step 4. Translate. Restate the problem in one sentence with all the important information.
Translate into an equation.
Step 5. Solve the equation.
Subtract 12 from each side.
تبسيط.
Divide each side by two.
تبسيط.
Step 6. Check: First, is our answer reasonable? Yes, having 25 inches of snow seems OK. The problem says the normal snowfall is twelve inches more than twice the number of last season. Twice 25 is 50 and 12 more than that is 62.
Step 7. Answer the question. The snowfall last season was 25 inches.

Guillermo bought textbooks and notebooks at the bookstore. The number of textbooks was three more than twice the number of notebooks. He bought seven textbooks. How many notebooks did he buy?

Gerry worked Sudoku puzzles and crossword puzzles this week. The number of Sudoku puzzles he completed is eight more than twice the number of crossword puzzles. He completed 22 Sudoku puzzles. How many crossword puzzles did he do?

He did seven crosswords puzzles.

We summarize an effective strategy for problem solving.

  1. Read the problem. Make sure all the words and ideas are understood.
  2. Identify what you are looking for.
  3. اسم what you are looking for. Choose a variable to represent that quantity.
  4. Translate into an equation. It may be helpful to restate the problem in one sentence with all the important information. Then, translate the English sentence into an algebra equation.
  5. Solve the equation using proper algebra techniques.
  6. التحقق من the answer in the problem to make sure it makes sense.
  7. إجابه the question with a complete sentence.

Solve Number Word Problems

We will now apply the problem solving strategy to “number word problems.” Number word problems give some clues about one or more numbers and we use these clues to write an equation. Number word problems provide good practice for using the Problem Solving Strategy.

The sum of seven times a number and eight is thirty-six. Find the number.

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. the number
Step 3. Name what you are looking for and choose a variable to represent it. يترك ن = the number.
Step 4. Translate: Restate the problem as one sentence. Translate into an equation.
Step 5. Solve the equation. Subtract eight from each side and simplify. Divide each side by seven and simplify.
Step 6. Check. Is the sum of seven times four plus eight equal to 36? 7 · 4 + 8 = ? 36 28 + 8 = ? 36 36 = 36 ✓
Step 7. Answer the question. The number is 4.

Did you notice that we left out some of the steps as we solved this equation? If you’re not yet ready to leave out these steps, write down as many as you need.

The sum of four times a number and two is fourteen. Find the number.

The sum of three times a number and seven is twenty-five. Find the number.

Some number word problems ask us to find two or more numbers. It may be tempting to name them all with different variables, but so far, we have only solved equations with one variable. In order to avoid using more than one variable, we will define the numbers in terms of the same variable. Be sure to read the problem carefully to discover how all the numbers relate to each other.

The sum of two numbers is negative fifteen. One number is nine less than the other. Find the numbers.

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. two numbers
Step 3. Name what you are looking for by choosing a variable to represent the first number. “One number is nine less than the other.” Let n = 1 st number. n − 9 = 2 nd number
Step 4. Translate. Write as one sentence. Translate into an equation. The sum of two numbers is negative fifteen.
Step 5. Solve the equation. اجمع بين الشروط المتشابهة. Add nine to each side and simplify. تبسيط.
Step 6. Check. Is −12 nine less than −3 ? −3 − 9 = ? − 12 −12 = −12 ✓ Is their sum −15 ? −3 + ( −12 ) = ? − 15 −15 = −15 ✓
Step 7. Answer the question. The numbers are −3 and −12 .

The sum of two numbers is negative twenty-three. One number is seven less than the other. Find the numbers.

The sum of two numbers is negative eighteen. One number is forty more than the other. Find the numbers.

Some number problems involve consecutive integers. Consecutive integers are integers that immediately follow each other. Examples of consecutive integers are:

Notice that each number is one more than the number preceding it. Therefore, if we define the first integer as ن, the next consecutive integer is n + 1 .

The one after that is one more than n + 1 ,

We will use this notation to represent consecutive integers in the next example.

Find three consecutive integers whose sum is −54 .

Step 1. Read the problem.
Step 2. Identify what you are looking for. three consecutive integers
Step 3. Name each of the three numbers Let n = 1 st integer. n + 1 = 2 nd consecutive integer n + 2 = 3 rd consecutive integer
Step 4. Translate. Restate as one sentence. Translate into an equation. The sum of the three integers is −54 .
Step 5. Solve the equation. اجمع بين الشروط المتشابهة. Subtract three from each side. Divide each side by three.
Step 6. Check. −19 + ( −18 ) + ( −17 ) = −54 −54 = −54 ✓
Step 7. Answer the question. The three consecutive integers are −17 , − 18, and −19 .

Find three consecutive integers whose sum is −96 .

Find three consecutive integers whose sum is −36 .

Now that we have worked with consecutive integers, we will expand our work to include consecutive even integers و consecutive odd integers. Consecutive even integers are even integers that immediately follow one another. Examples of consecutive even integers are:

Notice each integer is two more than the number preceding it. If we call the first one ن, then the next one is n + 2 .

The one after that would be n + 2 + 2

Consecutive odd integers are odd integers that immediately follow one another. Consider the consecutive odd integers 63, 65, and 67.

Does it seem strange to have to add two (an even number) to get the next odd number? Do we get an odd number or an even number when we add 2 to 3? to 11? to 47?

Whether the problem asks for consecutive even numbers or odd numbers, you do not have to do anything different. The pattern is still the same—to get to the next odd or the next even integer, add two.

Find three consecutive even integers whose sum is 120

Find three consecutive even integers whose sum is 102.

Find three consecutive even integers whose sum is −24 .

When a number problem is in a real life context, we still use the same strategies that we used for the previous examples.

A married couple together earns $110,000 a year. The wife earns $16,000 less than twice what her husband earns. What does the husband earn?

According to the National Automobile Dealers Association, the average cost of a car in 2014 was $28,400. This was $1,600 less than six times the cost in 1975. What was the average cost of a car in 1975?

The average cost was $5,000.

US Census data shows that the median price of new home in the U.S. in November 2014 was $280,900. This was $10,700 more than 14 times the price in November 1964. What was the median price of a new home in November 1964?

The median price was $19,300.

Solve Percent Applications

There are several methods to solve percent equations. In algebra, it is easiest if we just translate English sentences into algebraic equations and then solve the equations. Be sure to change the given percent to a decimal before you use it in the equation.

ⓒ 168 is what percent of 112?

| | | | | <: valign=”top”>| Translate into algebra. يترك ن = the number. | | | | <: valign=”top”>| Multiply. | | | | <: valign=”top”>| | | | 37.8 is 45% of 84. | <: valign=”top”>

| | | | | <: valign=”top”>| Translate. يترك ن = the amount. | | | | <: valign=”top”>| Multiply. | | | | <: valign=”top”>| Divide both sides by 0.085 and simplify. | | | | <: valign=”top”>| | | | 8.5% of $56 is $4.76 | <: valign=”top”>

We are asked to find percent, so we must have our result in percent form.
Translate into algebra. يترك p = the percent.
Multiply.
Divide both sides by 112 and simplify.
Convert to percent.
168 is 150% of 112.

Translate and solve: ⓐ What number is 45% of 80? ⓑ 7.5% of what amount is $1.95? ⓒ 110 is what percent of 88?


شاهد الفيديو: استراتيجية حل المشكلات (شهر اكتوبر 2021).