مقالات

5.1: حل أنظمة المعادلات عن طريق الرسوم البيانية


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام المعادلات
  • حل نظام المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني
  • أوجد عدد حلول النظام الخطي
  • حل تطبيقات نظم المعادلات عن طريق الرسوم البيانية

ملحوظة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. للمعادلة (y = frac {2} {3} x − 4 )
    ⓐ هل (6،0) حل؟ ⓑ هل (−3، −2) حل؟
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 2.1.1.
  2. أوجد الميل والجزء المقطوع من المحور y للخط 3x − y = 12.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 4.5.7.
  3. أوجد تقاطع x و y للخط 2x − 3y = 12.
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، فراجع التمرين 4.3.7.

حدد ما إذا كان الزوج المطلوب هو حل لنظام المعادلات

في القسم الخاص بحل المعادلات الخطية والمتباينات ، تعلمنا كيفية حل المعادلات الخطية بمتغير واحد. تذكر أن حل المعادلة هو قيمة المتغير الذي يصنع بيانًا صحيحًا عند استبداله في المعادلة. الآن سوف نعمل مع أنظمة المعادلات الخطية، اثنان أو أكثر من المعادلات الخطية مجمعة معًا.

التعريف: نظام المعادلات الخطية

عندما يتم تجميع معادلتين خطيتين أو أكثر معًا ، فإنها تشكل نظامًا من المعادلات الخطية.

سنركز عملنا هنا على أنظمة من معادلتين خطيتين في مجهولين. يمكنك لاحقًا حل أنظمة أكبر من المعادلات.

فيما يلي مثال لنظام من معادلتين خطيتين. نستخدم قوسًا لإظهار أن المعادلتين مجمعتان معًا لتكوين نظام معادلات.

معادلة خطية في متغيرين ، مثل 2x + ذ = 7 ، لديها عدد لا حصر له من الحلول. رسمها البياني عبارة عن خط. تذكر أن كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة وكل حل للمعادلة هو نقطة على الخط.

لحل نظام من معادلتين خطيتين ، نريد إيجاد قيم المتغيرات التي تمثل حلًا لكلتا المعادلتين. بمعنى آخر ، نحن نبحث عن الأزواج المرتبة (x, ذ) تجعل كلا المعادلتين صحيحين. هذه تسمى حلول لنظام المعادلات.

التعريف: حلول نظام المعادلات

حلول نظام المعادلات هي قيم المتغيرات التي تجعل كل المعادلات صحيحة. يتم تمثيل حل نظام من معادلتين خطيتين بواسطة زوج مرتب (x, ذ).

لتحديد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام من معادلتين ، فإننا نستبدل قيم المتغيرات في كل معادلة. إذا كان الزوج المرتب يجعل كلا المعادلتين صحيحًا ، فهذا حل للنظام.

دعونا ننظر في النظام أدناه:

[ start {cases} {3x − y = 7} {x − 2y = 4} end {cases} ]

هل الزوج المرتب (2، −1) حل؟

جعل الزوج المرتب (2 ، −1) كلا المعادلتين صحيحًا. لذلك (2، −1) هو حل لهذا النظام.

دعونا نجرب زوجًا مرتبًا آخر. هل الزوج المرتب (3 ، 2) حل؟

جعل الزوج المرتب (3 ، 2) معادلة واحدة صحيحة ، لكنه جعل المعادلة الأخرى خاطئة. لأنه ليس حلا ل على حد سواء المعادلات ليست حلا لهذا النظام.

تمرين ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام: ( begin {cases} {x − y = −1} {2x − y = −5} end {cases} )

  1. (−2,−1)
  2. (−4,−3)
إجابه

1.

(−2، −1) لا يجعل كلا المعادلتين صحيحين. (−2، −1) ليس حلاً.

2.

(−4، −3) لا يجعل كلا المعادلتين صحيحين. (−4، −3) حل.

تمرين ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام: ( begin {cases} {3x + y = 0} {x + 2y = −5} end {cases} )

  1. (1,−3)
  2. (0,0)
إجابه
  1. نعم
  2. رقم

تمرين ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام: ( begin {cases} {x − 3y = −8} {−3x − y = 4} end {cases} )

  1. (2,−2)
  2. (−2,2)
إجابه
  1. رقم
  2. نعم

حل نظام المعادلات الخطية بالرسوم البيانية

سنستخدم في هذا الفصل ثلاث طرق لحل نظام المعادلات الخطية. الطريقة الأولى التي سنستخدمها هي الرسم البياني. الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط. كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة. لنظام من معادلتين ، سنرسم خطين بيانيًا. ثم يمكننا رؤية جميع النقاط التي تمثل حلولًا لكل معادلة. ومن خلال إيجاد القاسم المشترك بين السطور ، سنجد الحل للنظام.

تحتوي معظم المعادلات الخطية في متغير واحد على حل واحد ، لكننا رأينا أن بعض المعادلات تسمى التناقضات، ليس لها حلول وللمعادلات الأخرى ، تسمى الهويات ، كل الأرقام هي حلول. وبالمثل ، عندما نحل نظامًا من معادلتين خطيتين ممثلتين برسم بياني لخطين في نفس المستوى ، فهناك ثلاث حالات محتملة ، كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {1} ):

بالنسبة للمثال الأول لحل نظام المعادلات الخطية في هذا القسم وفي القسمين التاليين ، سنحل نفس نظام معادلتين خطيتين. لكننا سنستخدم طريقة مختلفة في كل قسم. بعد رؤية الطريقة الثالثة ، ستقرر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل هذا النظام.

التمرين ( PageIndex {4} ): كيفية حل نظام المعادلات الخطية بالرسوم البيانية

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( start {cases} {2x + y = 7} {x − 2y = 6} end {cases} )

إجابه

تمرين ( PageIndex {5} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {x − 3y = −3} {x + y = 5} end {cases} )

إجابه

(3,2)

تمرين ( PageIndex {6} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {- x + y = 1} {3x + 2y = 12} end {cases} )

إجابه

(2,3)

فيما يلي الخطوات التي يجب استخدامها لحل نظام المعادلات الخطية عن طريق الرسوم البيانية.

لحل نظام المعادلات الخطية عن طريق الرسم.

  1. ارسم المعادلة الأولى.
  2. ارسم المعادلة الثانية على نفس نظام إحداثيات المستطيل.
  3. حدد ما إذا كانت المستقيمات متقاطعة أم متوازية أم متطابقة.
  4. تحديد الحل للنظام.
    • إذا تقاطعت الخطوط ، حدد نقطة التقاطع. تحقق للتأكد من أنه حل لكلتا المعادلتين. هذا هو الحل للنظام.
    • إذا كانت الخطوط متوازية ، فلا يوجد حل للنظام.
    • إذا كانت السطور هي نفسها ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.

تمرين ( PageIndex {7} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( start {cases} {y = 2x + 1} {y = 4x − 1} end {cases} )

إجابه

كلتا المعادلتين في هذا النظام بصيغة الميل والمقطع ، لذلك سنستخدم ميلهما و ذ- مفاهيم لرسمها. ( start {cases} {y = 2x + 1} {y = 4x − 1} end {cases} )

أوجد المنحدر و ذ- اعتراض
المعادلة الأولى.
أوجد المنحدر و ذ- اعتراض
المعادلة الأولى.
ارسم الخطين.
حدد نقطة التقاطع.تتقاطع الخطوط عند (1 ، 3).
افحص الحل في كلا المعادلتين.
الحل هو (1، 3).

تمرين ( PageIndex {8} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( start {cases} {y = 2x + 2} {y = -x − 4} end {cases} )

إجابه

(−2,−2)

تمرين ( PageIndex {9} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( start {cases} {y = 3x + 3} {y = -x + 7} end {cases} )

إجابه

(1,6)

تم إعطاء كلا المعادلتين في التمرين ( PageIndex {7} ) بصيغة ميل-تقاطع. هذا جعل من السهل علينا رسم الخطوط بسرعة. في المثال التالي ، سنقوم أولاً بإعادة كتابة المعادلات في صيغة ميل-تقاطع.

تمرين ( PageIndex {10} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( start {cases} {3x + y = −1} {2x + y = 0} end {cases} )

إجابه

سنحل كلا المعادلتين من أجل yy حتى نتمكن من رسم بياني بسهولة باستخدام المنحدرات و ذ- اعتراضات. ( start {cases} {3x + y = −1} {2x + y = 0} end {cases} )

حل المعادلة الأولى من أجل ذ.

أوجد المنحدر و ذ-تقاطع.

حل المعادلة الثانية من أجل ذ.

أوجد المنحدر و ذ-تقاطع.

ارسم الخطوط.
حدد نقطة التقاطع.تتقاطع الخطوط عند (−1 ، 2).
افحص الحل في كلا المعادلتين.
الحل هو (−1، 2).

تمرين ( PageIndex {11} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {- x + y = 1} {2x + y = 10} end {cases} )

إجابه

(3,4)

تمرين ( PageIndex {12} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {2x + y = 6} {x + y = 1} end {cases} )

إجابه

(5,−4)

عادة عندما يتم إعطاء المعادلات في شكل قياسي ، فإن الطريقة الأكثر ملاءمة لرسمها هي باستخدام التقاطع. سنفعل ذلك في التمرين ( PageIndex {13} ).

تمرين ( PageIndex {13} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( start {cases} {x + y = 2} {x − y = 4} end {cases} )

إجابه

سوف نجد x- و ذ- مفاهيم كلا المعادلتين واستخدامها لرسم الخطوط.

للعثور على اعتراضات ، دعونا x = 0 وحل
إلى عن على ذ، ثم السماح ذ = 0 وحل من أجل x.
( start {align} x + y & = 2 quad x + y = 2 0 + y & = 2 quad x + 0 = 2 y & = 2 quad x = 2 end {align } )
للعثور على اعتراضات ، دعونا
x = 0 ثم دعونا ذ = 0.
start {array} {rlr} {xy} & {= 4} & {xy} & {= 4} {0-y} & {= 4} & {x-0} & {= 4} {-y} & {= 4} & {x} & {= 4} {y} & {= -4} end {array}
ارسم الخط.
حدد نقطة التقاطع.يتقاطع المستقيمان عند (3 ، −1).
افحص الحل في كلا المعادلتين.

( start {array} {rllrll} {x + y} & {=} & {2} & {xy} & {=} & {4} {3 + (- 1)} & { stackrel { ؟} {=}} & {2} & {3 - (-1)} & { stackrel {؟} {=}} & {4} {2} & {=} & {2 checkmark} & {4} & {=} & {4 checkmark} end {array} )

الحل هو (3، −1).

تمرين ( PageIndex {14} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {x + y = 6} {x − y = 2} end {cases} )

إجابه

(4,2)

تمرين ( PageIndex {15} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {x + y = 2} {x − y = -8} end {cases} )

إجابه

(5,−3)

هل تتذكر كيفية رسم معادلة خطية باستخدام متغير واحد فقط؟ سيكون إما خطًا رأسيًا أو أفقيًا.

تمرين ( PageIndex {17} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {y = −1} {x + 3y = 6} end {cases} )

إجابه

(9,−1)

تمرين ( PageIndex {18} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {x = 4} {3x − 2y = 24} end {cases} )

إجابه

(4,−6)

في جميع أنظمة المعادلات الخطية حتى الآن ، تقاطعت الخطوط وكان الحل نقطة واحدة. في المثالين التاليين ، سنلقي نظرة على نظام المعادلات الذي ليس له حل ونظام المعادلات الذي يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.

تمرين ( PageIndex {20} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {y = - frac {1} {4} x + 2} {x + 4y = -8} end {cases} )

إجابه

لا حل

تمرين ( PageIndex {21} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {y = 3x − 1} {6x − 2y = 6} end {cases} )

إجابه

لا حل

تمرين ( PageIndex {23} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {y = −3x − 6} {6x + 2y = }12} end {cases} )

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول

تمرين ( PageIndex {24} )

قم بحل كل نظام من خلال رسم بياني: ( start {cases} {y = frac {1} {2} x − 4} {2x y 4y = 16} end {cases} )

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول

إذا كتبت المعادلة الثانية في التمرين ( PageIndex {22} ) بصيغة تقاطع الميل ، فقد تدرك أن المعادلات لها نفس الميل ونفسهما ذ-تقاطع.

عندما رسمنا السطر الثاني في المثال الأخير بالرسم البياني ، رسمناه مباشرة فوق السطر الأول. نقول أن الخطين متطابقان. الخطوط المتزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ذ-تقاطع.

الخطوط المتوافقة

الخطوط المتزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ذ-تقاطع.

حدد عدد حلول نظام خطي

ستكون هناك أوقات نرغب فيها في معرفة عدد الحلول لنظام المعادلات الخطية ، لكن قد لا نضطر في الواقع إلى إيجاد الحل. سيكون من المفيد تحديد ذلك بدون رسوم بيانية.

لقد رأينا أن خطين في نفس المستوى يجب أن يتقاطعان أو يتوازيان. أنظمة المعادلات في التمرين ( PageIndex {4} ) وحتى التمرين ( PageIndex {16} ) تحتوي جميعها على سطرين متقاطعين. كل نظام لديه حل واحد.

النظام الذي يحتوي على خطوط متوازية ، مثل Exercise ( PageIndex {19} ) ، ليس له حل. ماذا حدث في التمرين ( PageIndex {22} )؟ المعادلات لها خطوط متزامنة، ولذلك كان لدى النظام عدد لا نهائي من الحلول.

سننظم هذه النتائج في الشكل ( PageIndex {2} ) أدناه:

الخطوط المتوازية لها نفس الميل ولكنها مختلفة ذ- اعتراضات. لذا ، إذا كتبنا كلتا المعادلتين في نظام من المعادلات الخطية في صيغة الميل والمقطع ، يمكننا أن نرى عدد الحلول بدون رسم بياني! انظر إلى النظام الذي توصلنا إليه في التمرين ( PageIndex {19} ).

( start {array} {cc} & begin {cases} {y = frac {1} {2} x − 3} {x − 2y = 4} end {cases} text { السطر الأول في صيغة الميل - التقاطع.} & text {إذا حللنا المعادلة الثانية لـ} y ، text {نحصل على} & x-2 y = 4 y = frac {1} {2 } x -3 & x-2 y = -x + 4 & y = frac {1} {2} x-2 m = frac {1} {2}، b = -3 & m = frac {1 } {2} ، ب = -2 نهاية {مجموعة} )

الخطان لهما نفس الميل ولكنهما مختلفان ذ- اعتراضات. هم خطوط متوازية.

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) كيفية تحديد عدد حلول نظام خطي من خلال النظر إلى المنحدرات والتقاطعات.

دعنا نلقي نظرة أخرى على معادلاتنا في التمرين ( PageIndex {19} ) التي أعطتنا خطوطًا متوازية.

[ begin {cases} {y = frac {1} {2} x − 3} {x − 2y = 4} end {cases} )]

عندما كان كلا الخطين في شكل تقاطع ميل كان لدينا:

[y = frac {1} {2} x-3 quad y = frac {1} {2} x-2 ]

هل تدرك أنه من المستحيل أن يكون لديك زوج واحد مرتب (س ، ص) يكون حلاً لكلا المعادلتين؟

نسمي نظام معادلات مثل هذا نظام غير متسق. ليس لها حل.

يسمى نظام المعادلات الذي يحتوي على حل واحد على الأقل أ نظام متسق.

أنظمة متسقة وغير متسقة

أ نظام متسق من المعادلات هو نظام من المعادلات مع حل واحد على الأقل.

ان نظام غير متسق من المعادلات هو نظام معادلات بدون حل.

نقوم أيضًا بتصنيف المعادلات في نظام معادلات عن طريق استدعاء المعادلات لا يعتمد أو يعتمد. إذا كانت معادلتين معادلات مستقلة، كل منهم لديه مجموعة الحلول الخاصة به. الخطوط المتقاطعة والخطوط المتوازية مستقلة.

إذا كانت معادلتان تابعتان ، فإن جميع حلول إحدى المعادلات هي أيضًا حلول للمعادلة الأخرى. عندما نرسم اثنين المعادلات التابعة، نحصل على خطوط متزامنة.

معادلات مستقلة ومعادلة

معادلتان لا يعتمد إذا كانت لديهم حلول مختلفة.

معادلتان يعتمد إذا كانت جميع حلول إحدى المعادلات هي أيضًا حلول للمعادلة الأخرى.

دعونا نلخص هذا من خلال النظر في الرسوم البيانية للأنواع الثلاثة من الأنظمة. راجع الشكل ( PageIndex {4} ) والشكل ( PageIndex {5} ).

تمرين ( PageIndex {25} )

بدون رسم بياني ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات: ( start {cases} {y = 3x − 1} {6x − 2y = 12} end {cases} )

إجابه

( start {array} {lrrl} text {سنقارن المنحدرات والاعتراضات} & start {cases} {y = 3x − 1} {6x − 2y = 12} end {cases} نص {من السطرين.} text {المعادلة الأولى موجودة بالفعل} text {نموذج تقاطع المنحدر.} & {y = 3x - 1} text {اكتب الثانية المعادلة في} text {المنحدر –شكل التقاطع.} & 6x-2y & = & 12 & -2y & = & -6x - 12 & frac {-2y} {- 2} & = & frac {-6x + 12} {- 2} & y & = & 3x-6 text {ابحث عن ميل وتقاطع كل سطر.} & y = 3x-1 & y = 3x-6 & m = 3 & m = 3 & b = -1 & b = -6 text {بما أن المنحدرات هي نفس تقاطع andy-intercepts} text {مختلفة ، فإن الخطوط متوازية.} end { مجموعة مصفوفة})

نظام المعادلات الذي تكون رسومه البيانية خطوط متوازية ليس له حل وغير متسق ومستقل.

تمرين ( PageIndex {26} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

( start {cases} {y = −2x − 4} {4x + 2y = 9} end {cases} )

إجابه

لا يوجد حل غير متسق مستقل

تمرين ( PageIndex {27} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

( start {cases} {y = frac {1} {3} x − 5} {x-3y = 6} end {cases} )

إجابه

لا يوجد حل غير متسق مستقل

تمرين ( PageIndex {28} )

بدون رسم بياني ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات: ( start {cases} {2x + y = −3} {x − 5y = 5} end {cases} )

إجابه

( start {array} {lrrlrl} text {سنقارن المنحدرات والتقاطعات} & start {cases} {2x + y = -3} {x − 5y = 5} end {cases} نص {من السطرين.} نص {اكتب المعادلة الثانية في} text {ميل – نموذج التقاطع.} & 2x + y & = & - 3 & x − 5y & = & 5 & y & = & -2x -3 & -5y & = & - x + 5 &&&& frac {-5y} {- 5} & = & frac {-x + 5} {- 5} &&&& y & = & frac {1} {5} x-1 text {ابحث عن منحدر وتقاطع كل سطر.} & y & = & -2x-3 & y & = & frac {1} {5} x-1 & m & = & -2 & m & = & frac {1} {5} & b & = & - 3 & b & = & - 1 text {بما أن المنحدرات هي نفس تقاطعات andy } text {مختلفة ، الخطوط متوازية.} end {array} )

يحتوي نظام المعادلات الذي تتقاطع رسومه البيانية على حل واحد وهو متسق ومستقل.

تمرين ( PageIndex {29} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

( begin {cases} {3x + 2y = 2} {2x + y = 1} end {cases} )

إجابه

حل واحد متسق ومستقل

تمرين ( PageIndex {30} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

( start {cases} {x + 4y = 12} {−x + y = 3} end {cases} )

إجابه

حل واحد متسق ومستقل

تمرين ( PageIndex {31} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات. ( start {cases} {3x − 2y = 4} {y = frac {3} {2} x − 2} end {cases} )

إجابه

( start {array} {lrrlrl} text {سنقارن بين المنحدرات والتقاطعات للخطين.} & start {cases} {3x − 2y} & = & {4} {y} & = & { frac {3} {2} x − 2} end {cases} text {اكتب المعادلة الثانية في} text {المنحدر –شكل التقاطع.} & 3x-2y & = & 4 & -2y & = & -3x +4 & frac {-2y} {- 2} & = & frac {-3x + 4} {- 2} & y & = & frac {3} {2 } x-2 text {ابحث عن ميل وتقاطع كل سطر.} & y & = & frac {3} {2} x-2 text {بما أن المعادلات متماثلة ، فإنهما يحتويان على نفس المنحدر} text {و samey-intercept وبالتالي تتطابق الأسطر.} end {array} )

يحتوي نظام المعادلات الذي تكون رسومه البيانية خطوطًا متزامنة على عدد لا نهائي من الحلول وهو متسق ومعتمد.

تمرين ( PageIndex {32} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

( begin {cases} {4x − 5y = 20} {y = frac {4} {5} x − 4} end {cases} )

إجابه

عدد لانهائي من الحلول المتسقة والمعتمدة

تمرين ( PageIndex {33} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

( start {cases} {−2x − 4y = 8} {y = - frac {1} {2} x − 2} end {cases} )

إجابه

عدد لانهائي من الحلول المتسقة والمعتمدة

حل تطبيقات نظم المعادلات بالرسوم البيانية

سوف نستخدم نفس استراتيجية حل المشكلات التي استخدمناها نماذج الرياضيات لإنشاء وحل تطبيقات أنظمة المعادلات الخطية. سنقوم بتعديل الإستراتيجية قليلاً هنا لجعلها مناسبة لأنظمة المعادلات.

استخدم إستراتيجية حل مشكلة لأنظمة المعادلات الخطية.

  1. اقرأ المشكلة. تأكد من فهم كل الكلمات والأفكار.
  2. تحديد ما نبحث عنه.
  3. اسم ما نبحث عنه. اختر المتغيرات لتمثيل تلك الكميات.
  4. يترجم في نظام المعادلات.
  5. يحل نظام المعادلات باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.
  6. التحقق من الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.
  7. إجابه السؤال بجملة كاملة.

الخطوة 5 حيث سنستخدم الطريقة المقدمة في هذا القسم. سنرسم المعادلات بالرسم البياني ونجد الحل.

تمرين ( PageIndex {34} )

تصنع سوندرا 10 ليترات من عصير الفاكهة والصودا. عدد ليترات عصير الفاكهة هو 4 أضعاف عدد ليترات من المشروبات الغازية. كم ليترًا من عصير الفاكهة وكم ليترًا من الصودا تحتاج سوندرا؟

إجابه

الخطوة 1. اقرأ المشكلة.

الخطوة 2. تحديد ما نبحث عنه.

نحن نبحث عن عدد ليترات عصير الفاكهة وعدد ليترات من المشروبات الغازية التي ستحتاجها سوندرا.

الخطوة 3. الاسم ما نبحث عنه. اختر المتغيرات لتمثيل تلك الكميات.

دع f = عدد لترات عصير الفاكهة.
ج = عدد ليترات الصودا

الخطوة 4. الترجمة في نظام المعادلات.

لدينا الآن النظام. ( start {cases} {f + c = 10} {f = 4c} end {cases} )

الخطوة 5. حل نظام المعادلات باستخدام تقنيات الجبر الجيدة.

نقطة التقاطع (2 ، 8) هي الحل. هذا يعني أن سوندرا تحتاج إلى 2 ليتر من الصودا و 8 ليترات من عصير الفاكهة.

الخطوة 6. تحقق الإجابة في المشكلة وتأكد من أنها منطقية.

هل هذا منطقي في المشكلة؟

نعم ، عدد ليترات عصير الفاكهة ، 8 هو 4 أضعاف عدد ليترات من المشروبات الغازية ، 2.

نعم ، 10 ليترات من البانش هي 8 ليترات من عصير الفاكهة بالإضافة إلى 2 ليترات من المشروبات الغازية.

الخطوة 7. الإجابة السؤال بجملة كاملة.

تحتاج سوندرا إلى 8 ليترات من عصير الفاكهة و 2 ليترات من الصودا.

تمرين ( PageIndex {35} )

يصنع ماني 12 ليترًا من عصير البرتقال من التركيز والماء. عدد لترات الماء 3 أضعاف عدد كوارتات التركيز. كم لترًا من التركيز وكم ليترًا من الماء يحتاجه ماني؟

إجابه

يحتاج ماني 3 ليترات عصير مركز و 9 ليترات ماء.

تمرين ( PageIndex {36} )

تقوم Alisha بإعداد مشروب قهوة بحجم 18 أونصة مصنوع من القهوة والحليب. عدد أوقيات القهوة المخمرة أكبر بخمس مرات من عدد أوقيات الحليب. كم أوقية من القهوة وكم أوقية من الحليب تحتاجها أليشا؟

إجابه

تحتاج أليشا إلى 15 أونصة من القهوة و 3 أونصات من الحليب.

قائمة المصطلحات

خطوط متزامنة
الخطوط المتزامنة هي خطوط لها نفس الميل ونفس الشيء ذ-تقاطع.
نظام متسق
نظام المعادلات المتسق هو نظام معادلات به حل واحد على الأقل.
المعادلات التابعة
تعتمد معادلتان إذا كانت جميع حلول إحدى المعادلات هي أيضًا حلول للمعادلة الأخرى.
نظام غير متناسق
نظام المعادلات غير المتسق هو نظام معادلات بدون حل.
معادلات مستقلة
معادلتان مستقلتان إذا كان لديهما حلان مختلفان.
حلول نظام المعادلات
حلول نظام المعادلات هي قيم المتغيرات التي تجعل كل المعادلات صحيحة. يتم تمثيل حل نظام من معادلتين خطيتين بواسطة زوج مرتب (x, ذ).
نظام المعادلات الخطية
عندما يتم تجميع معادلتين خطيتين أو أكثر معًا ، فإنها تشكل نظامًا من المعادلات الخطية.

5.1: حل أنظمة المعادلات عن طريق الرسوم البيانية

من أجل التحقيق في مواقف مثل تلك الخاصة بالشركة المصنعة لألواح التزلج ، نحتاج إلى إدراك أننا نتعامل مع أكثر من متغير واحد وعلى الأرجح أكثر من معادلة واحدة. أ نظام المعادلات الخطية يتكون من معادلتين خطيتين أو أكثر تتكون من متغيرين أو أكثر بحيث يتم النظر في جميع المعادلات في النظام في وقت واحد. لإيجاد الحل الفريد لنظام المعادلات الخطية ، يجب أن نجد قيمة عددية لكل متغير في النظام تفي بجميع المعادلات في النظام في نفس الوقت. قد لا تحتوي بعض الأنظمة الخطية على حل وقد يكون لدى البعض الآخر عدد لا حصر له من الحلول. من أجل أن يكون للنظام الخطي حل فريد ، يجب أن يكون هناك على الأقل عدد من المعادلات بقدر وجود المتغيرات. ومع ذلك ، فإن هذا لا يضمن حلاً فريدًا.

في هذا القسم ، سننظر في أنظمة المعادلات الخطية في متغيرين ، والتي تتكون من معادلتين تحتويان على متغيرين مختلفين. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك النظام التالي من المعادلات الخطية في متغيرين.

ال المحلول إلى نظام المعادلات الخطية في متغيرين هو أي زوج مرتب يفي بكل معادلة على حدة. في هذا المثال ، الزوج المرتب (4 ، 7) هو الحل لنظام المعادلات الخطية. يمكننا التحقق من الحل بتعويض القيم في كل معادلة لمعرفة ما إذا كان الزوج المرتب يحقق كلا المعادلتين. سنبحث قريبًا في طرق إيجاد مثل هذا الحل إذا كان موجودًا.

بالإضافة إلى مراعاة عدد المعادلات والمتغيرات ، يمكننا تصنيف أنظمة المعادلات الخطية بعدد الحلول. أ نظام متسق من المعادلات لها حل واحد على الأقل. يعتبر النظام المتسق أن يكون نظام مستقل إذا كان يحتوي على حل واحد ، مثل المثال الذي اكتشفناه للتو. الخطان لهما منحدرات مختلفة ويتقاطعان عند نقطة واحدة في المستوى. يعتبر النظام المتسق أن يكون نظام تابع إذا كانت المعادلات لها نفس الميل ونفس الشيء ذ- اعتراضات. بمعنى آخر ، تتطابق الخطوط بحيث تمثل المعادلات نفس الخط. كل نقطة على الخط تمثل زوج إحداثيات يرضي النظام. وبالتالي ، هناك عدد لا حصر له من الحلول.

نوع آخر من نظام المعادلات الخطية هو نظام غير متسق، وهو الخط الذي تمثل فيه المعادلات خطين متوازيين. الخطوط لها نفس الميل ومختلفة ص-يعترض. لا توجد نقاط مشتركة لكلا الخطين ، وبالتالي لا يوجد حل للنظام.

ملاحظة عامة: أنواع الأنظمة الخطية

هناك ثلاثة أنواع من أنظمة المعادلات الخطية في متغيرين وثلاثة أنواع من الحلول.

  • ان نظام مستقل لديه زوج حل واحد بالضبط [لاتكس] يسار (س ، ص يمين) [/ لاتكس]. النقطة التي يتقاطع عندها الخطان هي الحل الوحيد.
  • ان نظام غير متسق ليس له حل. لاحظ أن الخطين متوازيان ولن يتقاطعان أبدًا.
  • أ نظام تابع عدد لا نهائي من الحلول. الخطوط متزامنة. إنهما نفس الخط ، لذا فإن كل زوج إحداثيات على الخط هو حل لكلتا المعادلتين.

يقارن الشكل 2 التمثيلات الرسومية لكل نوع من أنواع النظام.

الكيفية: بالنظر إلى نظام المعادلات الخطية والزوج المرتب ، حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً أم لا.

  1. عوّض الزوج المرتب في كل معادلة في النظام.
  2. حدد ما إذا كانت العبارات الصحيحة ناتجة عن الاستبدال في كلا المعادلتين إذا كان الأمر كذلك ، فالزوج المرتب هو حل.

مثال 1: تحديد ما إذا كان الزوج المطلوب هو حل لنظام المعادلات

حدد ما إذا كان الزوج المرتب [لاتكس] يسار (5،1 يمين) [/ لاتكس] هو حل لنظام المعادلات المحدد.

المحلول

استبدل الزوج المرتب [اللاتكس] left (5،1 right) [/ latex] في كلا المعادلتين.

الزوج المرتب [لاتكس] يسار (5،1 يمين) [/ لاتكس] يلبي كلا المعادلتين ، لذا فهو الحل للنظام.

تحليل الحل

يمكننا رؤية الحل بوضوح من خلال رسم التمثيل البياني لكل معادلة. نظرًا لأن الحل هو زوج مرتب يرضي كلا المعادلتين ، فهو نقطة على كلا الخطين وبالتالي نقطة تقاطع الخطين.

جربه 1

حدد ما إذا كان الزوج المرتب [لاتكس] يسار (8،5 يمين) [/ لاتكس] هو حل للنظام التالي.


حل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام الرسوم البيانية

أ نظام ال المعادلات الخطية هي مجرد مجموعة من معادلتين خطيتين أو أكثر.

في متغيرين (x & thinsp & thinsp و & thinsp & thinsp y) ، يكون الرسم البياني لنظام من معادلتين عبارة عن زوج من الخطوط في المستوى.

هناك ثلاثة احتمالات:

  • تتقاطع الخطوط عند نقطة الصفر. (الخطوط متوازية).
  • تتقاطع الخطوط عند نقطة واحدة بالضبط. (أغلب الحالات.)
  • تتقاطع الخطوط في عدد لا نهائي من النقاط. (تمثل المعادلتان نفس الخط.)

كيفية حل نظام معادلات باستخدام طريقة الرسوم البيانية

هذه الطريقة مفيدة عندما تحتاج فقط إلى إجابة تقريبية ، أو إذا كنت متأكدًا تمامًا من حدوث التقاطع عند إحداثيات صحيحة. فقط ارسم الخطين برسم بياني ، وانظر أين يتقاطعان!

حل النظام بالرسم البياني.

المعادلتان في صيغة الميل والمقطع.

الخط الأول ميله 0.5 وتقاطع المحور ص يساوي 2.

الخط الثاني ميله & ناقص 2 وتقاطع ص لـ & ناقص 3.

ارسم الخطين كما هو موضح.

الحل هو المكان الذي يتقاطع فيه الخطان ، النقطة (& ناقص 2 ، 1). أي x = & ناقص 2 و y = 1.


ج: هنا أرفق صورة حتى تفهم كل خطوة.

س: في APOR ، r = 9 و q = 15. احسب طول الضلع p لأقرب منزلة عشرية. أ 12.0 В. 17.5 ص ج 1.

ج: نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم الزاوية ، مربع ضلع الوتر يساوي مجموع.

س: ارسم الخط الذي يحتوي على ميل 1 يمر بالنقطة (-1 ، -2). -10 10 تدقيق التفسير

ج: سنحل ما يلي.

س: أي من العلاقات التالية لا يمثل دالة؟ أ (4 ، 4) ، (5 ، 4) ، (6 ، 4)> ب (4 ، 4).

ج: سوف نستخدم تعريف الوظيفة لحل هذه المشكلة

س: حل المتباينة. عبر عن الإجابة باستخدام تدوين الفترة. | x + 1 2 8

ج: استخدم قاعدة عدم المساواة

س: لنفترض أن f: [a، b] → R تكون دالة معينة ، مع a ، b ER. تقارب موحد لسلسلة من interpolat.

ج: دع & # x27s تجد وظيفة معينة مضمونة أم لا.

س: إذا تم رمي الكرة مباشرة لأعلى بسرعة 20 قدمًا / ثانية ، فإن ارتفاعها (بالقدم) بعد t ثانية.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: حل المعادلة اللوغاريتمية التالية. التعبير عن الحلول غير المنطقية في الشكل الدقيق وقرارًا.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: من الرسم البياني ، حدد تقاطعي x و y والخطوط المقاربة الرأسية والأفقية. (إذا كان.


كيفية حل أنظمة المعادلات بالرسوم البيانية

ما هو حل نظام المعادلات التالي؟

على اليمين ، رسم بياني من الخطين

حل النظام هو نقطة التقاطع: (1، 2)

مشاكل الممارسة

ممارسة 1

استخدم طريقة الرسم البياني لحل نظام المعادلات أدناه

حل هذا النظام هو نقطة التقاطع: (1،3).

الممارسة 2

حل نظام المعادلات الخطية التالية عن طريق التمثيل البياني.

$ text 2y = 4x + 2 text 2y = -x + 7 $

$ text 2y = 4x + 2 frac <1> <2> 2y = frac <1> <2> (4x + 2) y = 2x +1 $

$ text 2y = 8x - 2 frac <1> <2> 2y = frac <1> <2> (8x - 2) y = 4x +1 $

ارسم كل معادلة لإيجاد نقطة التقاطع - وهو الحل. (نفس المشكلة السابقة)


نظم المعادلات

يحتوي نظام المعادلات على معادلتين خطيتين أو أكثر تشترك في اثنين أو أكثر من المعادلات. لإيجاد حل لنظام المعادلات ، يجب أن نجد قيمة (أو نطاق من القيم) يكون صحيحًا من أجلها الكل المعادلات في النظام.

يمكن أن تخبرنا الرسوم البيانية للمعادلات داخل النظام عن عدد الحلول الموجودة لهذا النظام. انظر إلى الصور أدناه. يُظهر كل خط سطرين يشكلان نظام معادلات (في الرسم البياني على اليمين ، يتم وضع الخطين على شكل خط واحد). كم عدد النقاط المشتركة التي يكشف عنها كل نظام من الخطوط؟

حل واحد

لا توجد حلول

حلول لانهائية

إذا تقاطعت الرسوم البيانية للمعادلتين ، فهناك حل واحد صحيح لكلتا المعادلتين.

إذا لم تتقاطع الرسوم البيانية للمعادلتين (على سبيل المثال ، إذا كانت متوازية) ، فلا توجد حلول صحيحة لكلتا المعادلتين.

إذا كانت الرسوم البيانية للمعادلتين هي نفسها ، فهناك عدد لا حصر له من الحلول الصحيحة لكلتا المعادلتين.

تذكر أن الرسم البياني للخط يمثل كل نقطة يمكن حلها لمعادلة ذلك الخط. لذلك عندما تتقاطع الرسوم البيانية لمعادلتين ، تقع نقطة التقاطع في كلا الخطين ، مما يعني أنه حل ممكن لـ على حد سواء المعادلات. عندما لا تتلامس الرسوم البيانية لمعادلتين ، فلا توجد نقاط مشتركة ولا توجد حلول ممكنة للنظام. عندما تكون الرسوم البيانية لمعادلتين فوق بعضهما البعض ، فإنهما يشتركان في جميع نقاطهما ويكون كل منهما حلاً ممكنًا.


حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة الاستبدال

1. حل الأنظمة الخطية بطريقة الاستبدال.
2. استخدم طريقة الاستبدال لتحديد الأنظمة التي لا تحتوي على حل أو العديد من الحلول بلا حدود.
3. حل المشكلات باستخدام طريقة الاستبدال.

حل كل نظام باستخدام طريقة الاستبدال. إذا لم يكن هناك حل أو عدد لا حصر له من
الحلول ، لذلك اذكر.

& # 8226 يحب الطلاب اتباع خطوات محددة ، لذا أعطهم قائمة بالخطوات لاستخدامها في حل الأنظمة
بالتناوب. ابدأ بـ: افصل متغيرًا بمعامل 1 أولاً.
& # 8226 يعتقد العديد من الطلاب أنه يجب عليهم حل المشكلة من أجل y. أكد أنه لا يهم ما إذا كان المتغير
تم حلها من أجل x أو y.
& # 8226 استخدم أقلام ملونة أو علامات للتأكيد في معادلة واحدة على ما سيتم استبداله في
معادلة أخرى.
& # 8226 إذا تم استخدام آلة حاسبة للرسم البياني في الفصل ، فإن الرسم البياني على الآلة الحاسبة يعد طريقة جيدة
ل التحقق من حلول.

الإجابات: 1. أ. (& # 82111 ، 4) ب. (3 ، 2) ج. (3 ، & # 82115) د. (4 ، 4) 2. أ. (1 ، 1) ب. (& # 82113 ، 9) ج. (2 ، 1) د. (4 ، 0)

4 ا. لا يوجد حل ب. حلول لا نهائية
ج. حلول لانهائية د. لا حل


طريقة الرسم البياني

إذا أردنا حل نظام المعادلة الخطية بهذه الطريقة ، فيجب أن نعرف ذلك الرسم البياني لكل معادلة خطية هو الخط. هذا هو السبب في أننا نسمي هذه الوظيفة الدالة الخطية. الآن ، يمكننا بسهولة رسم تلك الخطوط في مستوى الإحداثيات.

حل النظام هو النقطة التي يتقاطع فيها هذان الخطان. يمكننا أن نرى أن النتيجة هي $ (x، y) = (3،2) $.

يمكننا الآن محاولة حل نفس المشكلة بطريقة الجمع.


حل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني (قياسي) (أ)

Teacher s can use math worksheets as test s, practice assignment s or teaching tool s (for example in group work , for scaffolding or in a learning center ). Parent s can work with their children to give them extra practice , to help them learn a new math skill or to keep their skills fresh over school breaks . Student s can use math worksheets to master a math skill through practice, in a study group or for peer tutoring .

Use the buttons below to print, open, or download the PDF version of the Solve Systems of Linear Equations by Graphing (Standard) (A) math worksheet. The size of the PDF file is 85118 bytes . Preview images of the first and second (if there is one) pages are shown. If there are more versions of this worksheet, the other versions will be available below the preview images. For more like this, use the search bar to look for some or all of these keywords: math, algebra, linear, equation, system, graph, solve, standard .

ال Print button will initiate your browser's print dialog. ال Open button will open the complete PDF file in a new tab of your browser. ال Teacher button will initiate a download of the complete PDF file including the questions and answers (if there are any). If a Student button is present, it will initiate a download of only the question page(s). Additional options might be available by right-clicking on a button (or holding a tap on a touch screen). I don't see buttons!

The Solve Systems of Linear Equations by Graphing (Standard) (A) Math Worksheet Page 1 The Solve Systems of Linear Equations by Graphing (Standard) (A) Math Worksheet Page 2

Systems of Linear Inequalities

Learning Objectives:
1. Use mathematical models involving systems of linear inequalities.
2. Graph the solution sets of systems of linear inequalities.

1. Graph the solution set of each system.

2. Name one point that is a solution for each system of linear inequalities in examples
1a, 1b, and 1c.

• When the inequality symbol is > or <, the line should be dashed (- - - - -).
• When the inequality symbol is ≥ or ≤, the line should be solid ( _______).
• When graphing inequalities, it is easy to see the overlap of the graphs if different colored
pencils are used to graph each inequality.

2.
أ. Answers will vary
ب. Answers will vary
ج. Answers will vary


شاهد الفيديو: حل معادلة من الدرجة الاولى بمجهول واحد اسهل طريقة (شهر اكتوبر 2021).