مقالات

12.1: الدالات ذات القيم المتجهة ومنحنيات الفضاء - الرياضيات


تجمع دراستنا للوظائف ذات القيمة المتجهية أفكارًا من فحصنا السابق لحساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير ووصفنا للمتجهات في ثلاثة أبعاد من الفصل السابق. في هذا القسم ، نوسع المفاهيم من الفصول السابقة ونفحص أيضًا الأفكار الجديدة المتعلقة بالمنحنيات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تدعم هذه التعريفات والنظريات عرض المواد في بقية هذا الفصل وأيضًا في الفصول المتبقية من النص.

تعريف دالة ذات قيمة متجهة

تتمثل خطوتنا الأولى في دراسة حساب الدوال ذات القيمة المتجهية في تحديد ماهية الدالة ذات القيمة المتجهية بالضبط. يمكننا بعد ذلك إلقاء نظرة على الرسوم البيانية للوظائف ذات القيمة المتجهية ومعرفة كيفية تعريفها للمنحنيات في البعدين وثلاثة أبعاد.

التعريف: دالات ذات قيمة متجهة

الدالة ذات القيمة المتجهة هي دالة في النموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} quad text {or} quad vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf { ك}}،]

حيث وظائف المكون (f ) ، (g ) ، و (h ) ، هي وظائف ذات قيمة حقيقية للمعامل (t ).

يمكن أيضًا كتابة الدوال ذات القيمة المتجهية في النموذج

[ vecs r (t) = ⟨f (t) ، ، g (t)⟩ ؛ ؛ text {or} ؛ ؛ vecs r (t) = ⟨f (t) ، ، g (t) ، ، h (t)⟩. ]

في كلتا الحالتين ، يحدد الشكل الأول للدالة دالة ثنائية الأبعاد ذات قيمة متجهة في المستوى ؛ يصف النموذج الثاني دالة ثلاثية الأبعاد ذات قيمة متجهة في الفضاء.

غالبًا ما نستخدم (t ) كمعامل لأن (t ) يمكن أن يمثل الوقت.

قد تقع المعلمة (t ) بين رقمين حقيقيين: (a≤t≤b ) ، أو قد تتراوح قيمتها على مجموعة الأرقام الحقيقية بأكملها.

قد يكون لكل وظيفة من وظائف المكون التي تشكل دالة ذات قيمة متجهية قيود مجال تفرض قيودًا على قيمة (t ).

مجال الدالة ذات القيمة المتجهية ( vecs r ) هو تقاطع مجالات وظائف مكوناتها ، أي أنها مجموعة من جميع قيم (t ) التي تم تعريف الدالة ذات القيمة المتجهية من أجلها .

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد مجال دالة ذات قيمة متجهة

حدد مجال الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = sqrt {2-t} ، hat { mathbf {i}} + ln (t + 3) ، hat { mathbf {j}} + e ^ t ، hat { mathbf {k}} ).

المحلول

نعتبر أولاً المجال الطبيعي لكل دالة مكونة. لاحظ أننا ندرج المجالات في كليهما تعيين تدوين منشئ و تدوين الفاصل.

وظيفة: اختصاص:
( start {array} {ll} sqrt {2-t} & & big {، t ، | ، t le 2 big } quad text {or} quad (- infty ، 2 كبير]
ln (t + 3) & & big {، t ، | ، t gt -3 big } quad text {or} quad (-3، infty)
e ^ t & & (- infty، infty) end {array} )

مجال ( vecs r ) هو تقاطع هذه المجالات ، لذلك يجب أن يحتوي على جميع قيم (t ) التي تعمل في الثلاثة ، ولكن لا توجد قيمة (t ) لا تعمل في أي منها إحدى هذه الوظائف.

ومن ثم ، فإن مجال ( vecs r ) هو: ( text {D} _ { vecs r}: big {، t ، | ، -3 lt t le 2 big } ) أو ((-3 ، 2 كبير] ).

لاحظ أنه يجب تقديم نموذج واحد فقط من مجال ( vecs r ). الأول ، ( كبير { ، t ، | ، -3 lt t le 2 big } ) ، في تعيين تدوين منشئ، بينما الثانية ، ((-3 ، 2 كبير] ) ، في تدوين الفاصل.

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم الدالات ذات القيمة المتجهية وتحديد المجالات

لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهة التالية ، قم بتقييم ( vecs r (0) ) ، ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) ، و ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). هل أي من هذه الوظائف لها قيود المجال؟

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t ، hat { mathbf {i}} + 4 sec t ، hat { mathbf {j}} + 5t ، hat { mathbf { ك}})

المحلول

  1. لحساب كل من قيم الدالة ، استبدل القيمة المناسبة لـ (t ) في الدالة:

    ابدأ {محاذاة *} vecs r (0) ؛ & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 قبعة { mathbf {j}} = 4 قبعة { mathbf {i}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ؛ & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ؛ & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 left (- tfrac {1} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 left ( tfrac { sqrt {3} } {2} right) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + tfrac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j} } end {محاذاة *}

    لتحديد ما إذا كانت هذه الوظيفة لها أي قيود على المجال ، ضع في الاعتبار وظائف المكون بشكل منفصل. دالة المكون الأول هي (f (t) = 4 cos t ) ووظيفة المكون الثاني هي (g (t) = 3 sin t ). لا توجد قيود على أي من هاتين الوظيفتين ، لذا فإن مجال ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf { j}} ) هي جميع الأعداد الحقيقية.
  2. لحساب كل من قيم الدالة ، استبدل القيمة المناسبة لـ ر في الوظيفة: [ start {align *} vecs r (0) ؛ & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ؛ & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}، ، text {الذي غير موجود} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ؛ & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [4pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [4pt] & = (- 3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end {align *} ] لتحديد ما إذا كانت هذه الوظيفة لها أي قيود على المجال ، ضع في الاعتبار وظائف المكون بشكل منفصل. دالة المكون الأول هي (f (t) = 3 tan t ) ، وظيفة المكون الثاني هي (g (t) = 4 sec t ) ، ووظيفة المكون الثالث هي (h (t) = 5 طن). لم يتم تحديد الدالتين الأوليين للمضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ) ، لذلك لم يتم تعريف الوظيفة للمضاعفات الفردية لـ ( frac { pi} {2} ). لذلك ، [ text {D} _ { vecs r} = Big {t ، | ، t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} Big } ، nonumber ] حيث (n ) هو أي عدد صحيح.

تمرين ( PageIndex {1} )

للدالة المتجهية ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) ، hat { mathbf {i}} + (4t + 1) ، hat { mathbf {j}} ) ، قم بتقييم ( vecs r (0) ، ، vecs r (1) ) ، و ( vecs r (−4) ). هل هذه الوظيفة لها أي قيود المجال؟

تلميح

استبدل القيم المناسبة لـ (t ) في الوظيفة.

إجابه:

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}، ، vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} ، ، vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

نطاق ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) هو جميع الأرقام الحقيقية.

يوضح المثال ( PageIndex {1} ) مفهومًا مهمًا. يتكون مجال الدالة ذات القيمة المتجهة من أرقام حقيقية. يمكن أن يكون المجال جميع الأرقام الحقيقية أو مجموعة فرعية من الأرقام الحقيقية. يتكون نطاق الدالة ذات القيمة المتجهة من متجهات. يتم تعيين كل رقم حقيقي في مجال دالة ذات قيمة متجه إلى متجه ثنائي أو ثلاثي الأبعاد.

الرسوم البيانية الدالات ذات القيم المتجهة

تذكر أن متجه المستوى يتكون من كميتين: الاتجاه والحجم. بالنظر إلى أي نقطة في الطائرة ( نقطة أولية) ، إذا تحركنا في اتجاه محدد لمسافة محددة ، فإننا نصل إلى نقطة ثانية. هذا يمثل النقطه المقصوده من المتجه. نحسب مكونات المتجه بطرح إحداثيات النقطة الأولية من إحداثيات النقطة النهائية.

يعتبر المتجه في الموقف القياسي إذا كانت النقطة الأولية تقع في الأصل. عند رسم دالة ذات قيمة متجهية ، فإننا عادةً ما نرسم المتجهات في مجال الوظيفة في الموضع القياسي ، لأن القيام بذلك يضمن تفرد الرسم البياني. ينطبق هذا الاصطلاح أيضًا على الرسوم البيانية للوظائف ثلاثية الأبعاد ذات القيمة المتجهية. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة للنموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} nonumber ]

يتكون من مجموعة من جميع النقاط ((f (t) ، ، g (t)) ) ، ويسمى المسار الذي تتبعه منحنى مستوي. الرسم البياني لدالة ذات قيمة متجهة للنموذج

[ vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} + h (t) ، hat { mathbf {k}} nonumber ]

يتكون من مجموعة من جميع النقاط ((f (t) ، ، g (t) ، ، h (t)) ) ، والمسار الذي تتبعه يسمى منحنى الفضاء. يُطلق على أي تمثيل لمنحنى مستو أو منحنى فضاء باستخدام دالة ذات قيمة متجهية a ناقل المعلمات من المنحنى.

كل منحنى مستوي ومنحنى فضاء له امتداد اتجاه، يشار إليها بأسهم مرسومة على المنحنى ، والتي توضح اتجاه الحركة على طول المنحنى مع زيادة قيمة المعلمة (t ).

مثال ( PageIndex {3} ): رسم دالة ذات قيمة متجه

قم بإنشاء رسم بياني لكل من الوظائف ذات القيمة الاتجاهية التالية:

  1. منحنى المستوى الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، ( 0≤t≤2 pi )
  2. منحنى المستوى الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf { j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. منحنى الفضاء الذي يمثله ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 4 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، قبعة { mathbf {k}} ) ، (0≤t≤4 pi )

المحلول

1. كما هو الحال مع أي رسم بياني ، نبدأ بجدول قيم. نقوم بعد ذلك برسم كل من المتجهات في العمود الثاني من الجدول في الوضع القياسي وربط النقاط الطرفية لكل متجه لتشكيل منحنى (الشكل ( PageIndex {1} )). تبين أن هذا المنحنى عبارة عن قطع ناقص متمركز في الأصل.

الجدول ( PageIndex {1} ): جدول القيم لـ ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤2 بي )
(ر ) ( vecs r (t) ) (ر ) ( vecs r (t) )
(0) (4 قبعة { mathbf {i}} ) ( بي ) (- 4 قبعة { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 بي ) (4 قبعة { mathbf {i}} )

2. جدول قيم ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) كما يلي:

جدول القيم لـ ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) ، hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) ، hat { mathbf {j}} ) ، (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(ر ) ( vecs r (t) ) (ر ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

الرسم البياني لهذا المنحنى عبارة عن قطع ناقص يتمركز عند نقطة الأصل.

3. نمر بنفس الإجراء لوظيفة متجه ثلاثية الأبعاد.

جدول قيم ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ) ، ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(ر ) ( vecs r (t) ) (ر ) ( vecs r (t) )
( ماذرم {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

ثم تكرر القيم نفسها ، باستثناء حقيقة أن معامل ( hat { mathbf {k}} ) يتزايد دائمًا ( ( PageIndex {3} )). هذا المنحنى يسمى الحلزون. لاحظ أنه إذا تم حذف المكون ( hat { mathbf {k}} ) ، فإن الوظيفة تصبح ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ) ، وهي دائرة نصف قطرها 4 تتمركز في الأصل.

قد تلاحظ أن الرسوم البيانية في الأجزاء أ. وب. متطابقة. يحدث هذا لأن الوظيفة التي تصف المنحنى b هي ما يسمى بإعادة معاملات الدالة التي تصف المنحنى a. في الواقع ، يحتوي أي منحنى على عدد لا حصر له من عمليات الإصلاح ؛ على سبيل المثال ، يمكننا استبدال (t ) بـ (2t ) في أي من المنحنيات الثلاثة السابقة دون تغيير شكل المنحنى. قد يتغير الفاصل الزمني الذي يتم تعريف (t ) خلاله ، ولكن هذا كل شيء. نعود إلى هذه الفكرة لاحقًا في هذا الفصل عندما ندرس معلمات طول القوس. كما ذكرنا ، اسم شكل منحنى الرسم البياني في ( PageIndex {3} ) هو حلزون. المنحنى يشبه الزنبرك ، بمقطع عرضي دائري ينظر لأسفل على طول المحور (ض ). من الممكن أن يكون اللولب بيضاوي الشكل في المقطع العرضي أيضًا. على سبيل المثال ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} + t ، hat { mathbf {k}} ) يصف الحلزون البيضاوي. إسقاط هذا اللولب في المستوى (س ص ) هو قطع ناقص. أخيرًا ، تشير الأسهم الموجودة في الرسم البياني لهذا اللولب إلى اتجاه المنحنى حيث (t ) يتقدم من (0 ) إلى (4) ).

تمرين ( PageIndex {2} )

قم بإنشاء رسم بياني للدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 3 ، hat { mathbf {j}} ).

تلميح

ابدأ بعمل جدول للقيم ، ثم قم برسم النقاط التي تشير إليها المتجهات لكل قيمة (t ).

إجابه

في هذه المرحلة ، قد تلاحظ وجود تشابه بين الدوال ذات القيمة المتجهية والمنحنيات ذات المعلمات. في الواقع ، بالنظر إلى دالة ذات قيمة متجهة ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + g (t) ، hat { mathbf {j}} ) يمكننا تحديد (x = f (t) ) و (y = g (t) ). سيتفق الرسم البياني للوظيفة ذات المعلمات بعد ذلك مع الرسم البياني للدالة ذات القيمة المتجهية ، باستثناء أن الرسم البياني للدالة ذات القيمة المتجهية سيتم تتبعه بواسطة المتجهات بدلاً من كونه مجرد مجموعة من النقاط. نظرًا لأنه يمكننا تحديد معلمات لمنحنى محدد بواسطة دالة (y = f (x) ) ، فمن الممكن أيضًا تمثيل منحنى مستوى تعسفي بواسطة دالة ذات قيمة متجهة.

البحث عن دالة ذات قيمة متجهة لتتبع الرسم البياني للدالة (y = f (x) )

كما ترى في الأمثلة أعلاه ، تتتبع الدالة ذات القيمة المتجهية منحنى في المستوى أو في الفضاء. ماذا لو كنا نرغب في كتابة دالة ذات قيمة متجهة تتعقب الرسم البياني لمنحنى معين في المستوى (xy )؟

ما هو الرسم البياني للوظيفة الذي يتم تتبعه من خلال الدالة ذات القيمة المتجهة في التمرين ( PageIndex {2} ) أعلاه: ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ^ 3 ، hat { mathbf {j}} )؟ يبدو مثل الرسم البياني لـ (y = x ^ 3 ) ، أليس كذلك؟

تذكر ما قيل للتو عن مكونات الدالة ذات القيمة المتجهية المقابلة للمعادلات البارامترية لمنحنى معلمات ، نرى أن لدينا هنا:

[ begin {align *} x & = t y & = t ^ 3 end {align *} nonumber ]

منذ (x = t ) ، يمكننا استبدال (t ) في المعادلة (y = t ^ 3 ) بـ (x ) ، مما يعطينا الوظيفة: (y = x ^ 3 ) .

لذلك كنا على صواب في تخميننا.

كيف يمكننا كتابة دالة ذات قيمة متجهة لتتبع الرسم البياني للدالة ، (y = f (x) )؟

حسنًا ، هناك اتجاهان يجب مراعاتهما: من اليسار إلى اليمين و من اليمين الى اليسار.

تتبع دالة من اليسار إلى اليمين:

لتتبع الرسم البياني لـ (y = f (x) ) من اليسار إلى اليمين ، استخدم: ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + f (t ) ، قبعة { mathbf {j}} )

لاحظ أن المهم هنا هو أن يكون المكون (x ) دالة متزايدة. أي وظيفة متزايدة ستعمل. يمكننا استخدام (x = t ^ 3 ) ، على سبيل المثال. ولكن بعد ذلك علينا أن نتذكر استبدال (x ) في الوظيفة (f (x) ) بهذا التعبير (t ^ 3 ) ، مما يعطينا (y = f (t ^ 3) ) . هذا يعني أن الوظيفة (y = f (x) ) يمكن أيضًا تحديد معلماتها من اليسار إلى اليمين من خلال الدالة ذات القيمة المتجهة: ( vecs r (t) = t ^ 3 ، hat { mathbf {i}} + f (t ^ 3) ، hat { mathbf {j}} )

تتبع دالة من اليمين إلى اليسار:

لتتبع الرسم البياني لـ (y = f (x) ) من اليمين إلى اليسار ، استخدم: ( vecs r (t) = -t ، hat { mathbf {i}} + f ( -t) ، hat { mathbf {j}} )

لاحظ مرة أخرى أنه يمكننا استخدام أي دالة متناقصة لـ (t ) للمكون (x ) والحصول على دالة ذات قيمة متجهة تتعقب الرسم البياني لـ (y = f (x) ) من اليمين إلى -متبقى. يعد استخدام (x = -t ) أبسط دالة تناقص يمكننا اختيارها.

مثال ( PageIndex {4} ): البحث عن دالة ذات قيمة متجهة لتتبع الرسم البياني (y = f (x) )

حدد دالة ذات قيمة متجهة ستتبع الرسم البياني لـ (y = cos x ) من اليسار إلى اليمين ، وواحدة أخرى لتتبعها من اليمين إلى اليسار.

المحلول

من اليسار إلى اليمين: ( vecs r (t) = t ، hat { mathbf {i}} + cos t ، hat { mathbf {j}} )

من اليمين إلى اليسار: ( vecs r (t) = -t ، hat { mathbf {i}} + cos (-t) ، hat { mathbf {j}} )

البحث عن دالة ذات قيمة متجهة لتتبع الرسم البياني للمعادلة في (x ) و (y ) والعكس بالعكس

ماذا لو أردنا إيجاد دالة ذات قيمة متجهة لتتبع الرسم البياني لدائرة ، أو قطع ناقص ، أو قطع زائد ، بالنظر إلى معادلتها الضمنية؟

حسنًا ، لاحظ أنه في المثال ( PageIndex {3} ) ، الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} ) تتبع الرسم البياني للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ).

في هذه الدالة ذات القيمة المتجهة ، نرى ما يلي: [x = 4 cos t quad text {and} quad y = 3 sin t ]

ما نحتاجه الآن هو طريقة لتحويل هذا إلى معادلة ضمنية تتضمن (x ) و (y ). لإنجاز هذا ، تذكر هوية فيثاغورس ، [ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ].

الآن كل ما نحتاج إلى فعله هو حل المعادلات أعلاه لـ ( cos t ) و ( sin t ) ويمكننا استبدال هذه الهوية للحصول على معادلة في (x ) و (y ) .

لذلك: [ cos t = frac {x} {4} quad text {and} quad sin t = frac {y} {3} ]

يعطينا الاستبدال في الهوية: [ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 ]

يمنحنا تبسيط هذه المعادلة الضمنية المعادلة الضمنية للقطع الناقص في المثال ( PageIndex {3} ) الذي كتبناه أعلاه:

[ frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ]

للذهاب في الاتجاه الآخر والعثور على دالة ذات قيمة متجهة تتعقب القطع الناقص يتطلب منا ببساطة اتخاذ هذه الخطوات في الاتجاه المعاكس!

مثال ( PageIndex {5} ): كتابة دالة ذات قيمة متجهة لدائرة أو قطع ناقص أو قطع زائد

اكتب دالة ذات قيمة متجهة تتعقب كل من المنحنيات الضمنية التالية:

أ. القطع الناقص: ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 )

ب. الدائرة: (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )

ج. القطع الزائد: ( frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 )

المحلول

أ. دعنا فقط نستخدم العملية الموضحة أعلاه في الاتجاه المعاكس. أولًا ، دعنا نعيد كتابة المعادلة الضمنية بحيث تظهر أن مجموع تربيع الكميات يساوي واحدًا.

[ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

الآن نحتاج إلى الهوية التي استخدمناها أعلاه ، ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ).

معادلة الأجزاء التي يتم تربيعها (لاحظ أن لدينا بالفعل خيارًا هنا حول أيهما نصنع ( cos t ) وأيهما نصنع ( sin t )) ، نحصل على:

[ frac {x} {4} = cos t quad text {and} quad frac {y} {3} = sin t nonumber ]

الآن نحتاج فقط إلى إيجاد قيمة (س ) و (ص ).

[x = 4 cos t quad text {and} quad y = 3 sin t nonumber ]

يمكننا الآن كتابة دالة ذات قيمة متجهة تتعقب هذا القطع الناقص: ( vecs r (t) = 4 cos t ، hat { mathbf {i}} + 3 sin t ، hat { mathbf {j}} )

لاحظ أنه يمكننا أيضًا كتابة ( vecs r (t) = 4 sin t ، hat { mathbf {i}} + 3 cos t ، hat { mathbf {j}} ) ، نظرًا لأنه كان بإمكاننا اختيار تبديل ( sin t ) و ( cos t ) أعلاه. سوف يتتبع نفس القطع الناقص ، ولكن بالاتجاه المعاكس.

ب. يعد تتبع دائرة أمرًا بسيطًا إلى حد ما ، ولا يحتاج حقًا إلى العملية التي أظهرناها أعلاه ، على الرغم من أنها قد تكون مفيدة في البداية. تذكر أنه يمكن تمثيل جميع المتجهات في دائرة الوحدة بالشكل: ( vecs v = cos theta ، hat { mathbf {i}} + sin theta ، hat { mathbf { j}} ).

لذا فإن الدالة ذات القيمة المتجهة ، ( vecs r (t) = cos t ، hat { mathbf {i}} + sin t ، hat { mathbf {j}} ) ، سيتم تتبعها خارج دائرة الوحدة بالمعادلة ، (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

للحصول على دائرة نصف قطرها (2 ) متمركزة في الأصل (وهو الرسم البياني (س ^ 2 + ص ^ 2 = 4 )) ، نحتاج فقط إلى الضرب من خلال هذه الدالة ذات القيمة المتجهية بواسطة عدد قياسي عامل (2 ).

وبالتالي ، فإن الدالة ذات القيمة المتجهة التي ستتبع هذه الدائرة هي: ( vecs r (t) = 2 cos t ، hat { mathbf {i}} + 2 sin t ، hat { mathbf {j}} ).

لاحظ مرة أخرى أن الاحتمال الآخر هو: ( vecs r (t) = 2 sin t ، hat { mathbf {i}} + 2 cos t ، hat { mathbf {j}} ). سوف تتبع نفس الدائرة ، ولكن بالاتجاه المعاكس.

لاستخدام الأسلوب أعلاه ، تبدأ بقسمة كل حد في المعادلة على مربع نصف القطر ، هنا 4 ، وبالتالي وضع معادلة الدائرة في "شكل القطع الناقص". تتبع بقية الخطوات النمط الموضح في الجزء أ.

ج. لتتبع القطع الزائد بالشكل ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} - frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) أو ( frac {y ^ 2} { a ^ 2} - frac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، نحتاج إلى تحديد هوية مثلثية توضح الفرق بين مربعين يساوي 1. إذا لم يكن لديك مثل هذه الهوية محفوظة بالفعل ، يمكننا الحصول على واحد من هوية فيثاغورس المستخدمة أعلاه. هذا هو،

[ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 non number ]

قسمة كل مصطلح على ( cos ^ 2 t )

[ frac { cos ^ 2 t} { cos ^ 2 t} + frac { sin ^ 2 t} { cos ^ 2 t} = frac {1} { cos ^ 2 t} nonumber ]

عائدات،

[1+ tan ^ 2 t = sec ^ 2 t non Number ]

تعطينا إعادة كتابة هذه المعادلة الهوية التي نحتاجها:

[ sec ^ 2 t - tan ^ 2 t = 1 non number ]

الآن ، معادلة هذا القطع الزائد هي:

[ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 nonumber ]

إعادة كتابة الجانب الأيسر لإظهار تربيع الكميات:

[ left ( frac {x} {5} right) ^ 2 - left ( frac {y} {4} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

يمكننا بعد ذلك مساواة المقادير التربيعية بالمصطلحات المقابلة:

[ frac {x} {5} = sec t quad text {and} quad frac {y} {4} = tan t nonumber ]

لحل (x ) و (y ) ، لدينا:

[x = 5 sec t quad text {and} quad y = 4 tan t nonumber ]

لذا فإن الدالة ذات القيمة المتجهة التي ستتبع القطع الزائد [ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 ] هي [ vecs r (t) = 5 sec t ، hat { mathbf {i}} + 4 tan t ، hat { mathbf {j}}. لا يوجد رقم]

معلمة مسار متقطع

هناك أوقات يكون فيها من الضروري تحديد معلمات مسار مكون من أجزاء من منحنيات مختلفة. قد يكون هذا المسار متعدد التعريف مفتوحًا أو يشكل حدود منطقة مغلقة كما هو الحال في المثال الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ). بالإضافة إلى تحديد دالة ذات قيمة متجهة لتتبع كل قطعة على حدة ، مع الاتجاه المشار إليه ، نحتاج أيضًا إلى تحديد نطاق مناسب من القيم للمعامل (t ).

لاحظ أن هناك العديد من الطرق لتحديد معلمات أي قطعة واحدة ، لذلك هناك العديد من الطرق الصحيحة لتحديد معلمات المسار بهذه الطريقة.

مثال ( PageIndex {6} ): معلمة مسار متعدد التعريف

حدد معلمات متعددة الطبقات للمسار الموضح في الشكل ( PageIndex {4} ) ، بدءًا من (t = 0 ) واستمر في كل قطعة.

المحلول

مهمتنا الأولى هي تحديد القطع الثلاث في هذا المسار متعدد التعريف.

لاحظ كيف قمنا بتسمية هذه العناصر بالتسلسل كـ ( vecs r_1 ) و ( vecs r_2 ) و ( vecs r_3 ). نحتاج الآن إلى تحديد وظيفة كل منها وكتابة الدالة ذات القيمة المتجهة المقابلة بالاتجاه الصحيح (من اليسار إلى اليمين أو من اليمين إلى اليسار).

تحديد ( vecs r_1 ): معادلة الدالة الخطية في هذه القطعة هي (y = x ).

نظرًا لأنه موجه من اليسار إلى اليمين بين (t = 1 ) و (t = 4 ) ، يمكننا كتابة:

[ vecs r_ {1a} (t) = t ، hat { mathbf {i}} + t ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad 1 le t le 4 عدد ]

إذا كنا نرغب في بدء هذه القطعة عند (t = 0 ) ، فنحن نحتاج فقط إلى تحويل قيمة (t ) وحدة واحدة إلى اليسار. تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في كتابة ( vecs r_ {1a} ) بلغة (t_1 ) بدلاً من (t ) لتسهيل رؤية الترجمة.

وبالتالي ، لدينا ( vecs r_ {1a} (t_1) = t_1 ، hat { mathbf {i}} + t_1 ، hat { mathbf {j}} ) لـ (1 le t_1 لو 4 ).

الشكل ( PageIndex {4} ): مسار متعدد التعريف مغلق

بطرح (1 ) من كل جزء من هذا النطاق من قيم المعلمات ، لدينا: (0 le t_1 - 1 le 3 ).

الآن دعونا (t = t_1 - 1 ). بالحل من أجل (t_1 ) ، نحصل على: (t_1 = t + 1 ).

سيؤدي استبدال (t_1 ) بالتعبير (t + 1 ) إلى تحويل نطاق قيم المعلمات وحدة واحدة إلى اليسار بشكل فعال.

إذن ، بدءًا من (t = 0 ) ، لدينا: [ vecs r_1 (t) = (t + 1) ، hat { mathbf {i}} + (t + 1) ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad 0 le t le 3 nonumber ]

تحقق جيدًا من أن هذه الوظيفة ذات القيمة المتجهية ستتبع هذا المقطع في الاتجاه الصحيح قبل الانتقال إلى (r_2 ).

تحديد ( vecs r_2 ): تحتوي هذه القطعة على ملصق يوضح الوظيفة التي تتبعها على طول الرسم البياني. إذا كانت موجهة من اليسار إلى اليمين ، فسنحصل على:

[ text {Left-to-right:} quad vecs r_ {2a} (t) = t ، hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4-t } {3}} + 4 right) ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad 1 le t le 4 nonumber ]

ولكن نظرًا لأننا نحتاج إلى توجيهها من اليمين إلى اليسار ، فنحن بحاجة إلى استبدال (t ) بـ (- t ) في الدالة ونحتاج إلى القسمة على مدى عدم المساواة على -1 للحصول على المقابل نطاق. وهكذا نحصل على:

[ vecs r_ {2b} (t) = -t ، hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t)} {3}} + 4 right) ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad -4 le t le -1 nonumber ]

تأكد من أنها تعمل!

نرغب الآن في أن تبدأ هذه القطعة عند (t = 3 ) بعد انتهاء القطعة الأولى مباشرة. مرة أخرى ، دعنا نجعل هذا الأمر أسهل لكتابة (r_ {2b} ) بعبارات على (t_2 ).

[ vecs r_ {2b} (t_2) = -t_2 ، hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t_2)} {3}} + 4 right) ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad -4 le t_2 le -1 nonumber ]

لفرض (r_2 ) البدء بـ (t = 3 ) بدلاً من (t = -4 ) ، نحتاج إلى إضافة (7 ) إلى كل جزء من المتباينة. ينتج عن هذا: (3 le t_2 + 7 le 6 ).

دعونا (t = t_2 + 7 ). ثم حل من أجل (- t_2 ) (بما أن هذا هو ما نحتاج إلى استبداله في (r_ {2b} )) ، لدينا: (t_2 = 7-t ).

استبدال (- t_2 ) بـ ( left (7-t right) ) في ( vecs r_ {2b} ) ، نحصل على:

[ vecs r_ {2} (t) = (7-t) ، hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4- (7-t)} {3} } +4 right) ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad 3 le t le 6 nonumber ]

يمكن دمج هذا مع نتيجتنا السابقة لـ (r_1 ) لكتابة دالة ذات قيمة متجهية معرّفة متعددة التعريف تتعقب أول قطعتين ، بدءًا من (t = 0 ):

[ vecs r (t) = البدء {الحالات}
(t + 1) ، hat { mathbf {i}} + (t + 1) ، hat { mathbf {j}}، & 0 le t le 3
(7-t) ، hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) ، hat { mathbf {j} } ، & 3 lt t le 6
إنهاء {حالات} عدد ]

لاحظ أنه تم إجراء تعديل صغير واحد على النطاق الثاني بحيث عندما (t = 3 ) ، لا يوجد التباس حول القطعة التي يجب تقييمها.

تحديد ( vecs r_3 ): لتحديد هذه القطعة الأخيرة ، نحتاج إلى التفكير بشكل مختلف قليلاً. هذا لأنه مقطع رأسي ، لا يمكن تمثيله بوظيفة في النموذج ، (y = f (x) ). لاحظ أنه يمكن تمثيلها بدالة من الشكل (x = f (y) ). السماح (y = t ) ، يمكننا كتابة (x = f (t) ) وكتابة معلمة في زيادة قيم (y ) (من أسفل إلى أعلى) ، سنحصل على: ( vecs r (t) = f (t) ، hat { mathbf {i}} + t ، hat { mathbf {j}} ).

معادلة هذا الخط هي (س = 1 ). وبالتالي ، إذا أردنا تحديد معلمات هذا الجزء مع اتجاه تصاعدي (زيادة قيم (y )) ، فلدينا:

[ vecs r_ {3a} (t) = 1 ، hat { mathbf {i}} + t ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad 1 le t le 6 عدد ]

ولكن نظرًا لأننا نرغب في استخدام اتجاه هبوطي (تقليل قيم (y )) ، فنحن بحاجة إلى استخدام دالة تناقص (t ) لـ (y ). كما في السابق ، فإن أبسط حالة هي استخدام (y = -t ). بعد ذلك ، في الحالة العامة ، نتتبع دالة (x = f (y) ) في اتجاه هبوطي مع ( vecs r (t) = f (-t) ، hat { mathbf { i}} - t ، hat { mathbf {j}} ).

في حالة (r_3 ) ، هذا يعطينا:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 ، hat { mathbf {i}} - t ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad -6 le t le -1 عدد ]

لاحظ أنه منذ (x = 1، ، f (-t) = 1 ) ، أي أنه لم يغير المكون الأول لأنه كان ثابتًا وليس دالة متغيرة للمعامل (t ).

لاحظ أيضًا أنه نظرًا لأننا رفضنا (t ) ، فقد اضطررنا أيضًا إلى إبطال النطاق ، وتقسيمه على (- 1 ).

على النحو الوارد أعلاه ، لتسهيل الترجمة ، سنستبدل (t ) بـ (t_3 ) ، مما يعطينا:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 ، hat { mathbf {i}} - t_3 ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad -6 le t_3 le -1 nonumber ]

الآن ، نتمنى أن تبدأ هذه القطعة الأخيرة من (t = 6 ) حيث تترك القطعة الثانية التي شكلناها أعلاه. نرى أننا بحاجة إلى إضافة (12 ) إلى نطاق البارامتر (t ) لإنجاز ذلك ، مما يمنحنا نطاقًا جديدًا من (6 le t_3 + 12 le 11 ).

دعنا (t = t_3 + 12 ). ثم نحل من أجل (- t_3 ) (بما أن هذا هو ما نحتاج إلى استبداله في (r_ {3b} )) ، لدينا: (t_3 = 12-t ).

استبدال (- t_3 ) بـ ( left (12-t right) ) في ( vecs r_ {3b} ) ، نحصل على:

[ vecs r_ {3} (t) = 1 ، hat { mathbf {i}} + (12 - t) ، hat { mathbf {j}} quad text {for} quad 6 le t_3 le 11 nonumber ]

تأكد من أن هذا لا يزال يتتبع هذا الجزء الرأسي من أعلى إلى أسفل.

يمكننا الآن تحديد الإجابة النهائية كدالة مفردة ذات قيمة متجهية ومعرّفة متعددة التعريف تتعقب هذا المسار بالكامل ، بدءًا من (t = 0 ).

[ vecs r (t) = البدء {الحالات}
(t + 1) ، hat { mathbf {i}} + (t + 1) ، hat { mathbf {j}}، & 0 le t le 3
(7-t) ، hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) ، hat { mathbf {j} } ، & 3 lt le 6
1 ، hat { mathbf {i}} + (12 - t) ، hat { mathbf {j}} & 6 lt t_3 le 11
إنهاء {حالات} عدد ]

تأكد من التحقق من أن هذه الدالة الفردية ذات القيمة المتجهية تتعقب بالفعل المسار بأكمله!

حدود واستمرارية دالة ذات قيمة متجهية

نلقي الآن نظرة على نهاية دالة ذات قيمة متجهة. هذا مهم لفهم دراسة التفاضل والتكامل للوظائف ذات القيمة المتجهية.

التعريف: حد دالة ذات قيمة متجهة

تقترب الدالة ذات القيمة المتجهة ( vecs r ) من الحد ( vecs L ) حيث تقترب (t ) من (a ), مكتوبة

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs L، ]

متاح

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

في المثال التالي ، نوضح كيفية حساب حد دالة ذات قيمة متجهة.

مثال ( PageIndex {7} ): تقييم حد دالة Vector-Valued

لكل من الوظائف ذات القيمة المتجهة التالية ، احسب ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) من أجل

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

المحلول

  1. استخدم المعادلة ref {Th1} واستبدل القيمة (t = 3 ) في التعبيرين المكونين:

[ start {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ؛ & = lim limits_ {t to 3} left [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} right ] [5pt] & = left [ lim limits_ {t to 3} (t ^ 2−3t + 4) right] hat { mathbf {i}} + left [ lim limits_ {t to 3} (4t + 3) right] hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} + 15 hat { mathbf {j} } نهاية {محاذاة *} ]

  1. استخدم المعادلة ref {Th2} واستبدل القيمة (t = 3 ) في التعبيرات المكونة الثلاثة:

[ start {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ؛ & = lim limits_{t o 3}left(dfrac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+dfrac{t}{t^2+1}hat{mathbf{j}}+(4t−3) hat{mathbf{k}} ight) [5pt] & = left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{2t−4}{t+1} ight) ight]hat{mathbf{i}}+left[lim limits_{t o 3} left(dfrac{t}{t^2+1} ight) ight] hat{mathbf{j}} +left[lim limits_{t o 3} (4t−3) ight] hat{mathbf{k}} [5pt] & = frac{1}{2} hat{mathbf{i}}+ frac{3}{10}hat{mathbf{j}}+9 hat{mathbf{k}} end{align*}]

تمرين ( PageIndex {3} )

Calculate (lim limits_{t o 2} vecs r(t)) for the function (vecs r(t) = sqrt{t^2 + 3t - 1},hat{mathbf{i}}−(4t-3),hat{mathbf{j}}− sin frac{(t+1)pi}{2},hat{mathbf{k}})

تلميح

Use Equation ef{Th2} from the preceding theorem.

إجابه

[lim limits_{t o 2} vecs r(t) = 3hat{mathbf{i}}−5hat{mathbf{j}}+hat{mathbf{k}}]

Now that we know how to calculate the limit of a vector-valued function, we can define continuity at a point for such a function.

تعريفات

Let (f), (g), and (h) be functions of (t). Then, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

Similarly, the vector-valued function (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) is continuous at point (t=a) if the following three conditions hold:

  1. (vecs r(a)) exists
  2. (lim limits_{t o a} vecs r(t)) exists
  3. (lim limits_{t o a} vecs r(t) = vecs r(a))

ملخص

  • A vector-valued function is a function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+ g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}), where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).
  • The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) is called a plane curve. The graph of a vector-valued function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}) is called a space curve.
  • It is possible to represent an arbitrary plane curve by a vector-valued function.
  • To calculate the limit of a vector-valued function, calculate the limits of the component functions separately.

المعادلات الرئيسية

  • Vector-valued function
    (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t) hat{mathbf{k}}),or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t)⟩) or (vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩)

  • Limit of a vector-valued function
    (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}}) or (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [lim limits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} + [lim limits_{t o a} h(t)] hat{mathbf{k}})

قائمة المصطلحات

component functions
the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) are (f(t)) and (g(t)), and the component functions of the vector-valued function (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) are (f(t)), (g(t)) and (h(t))
helix
a three-dimensional curve in the shape of a spiral
limit of a vector-valued function
a vector-valued function (vecs r(t)) has a limit (vecs L) as (t) approaches (a) if (lim limits{t o a} left| vecs r(t) - vecs L ight| = 0)
plane curve
the set of ordered pairs ((f(t),g(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)) and (y=g(t))
reparameterization
an alternative parameterization of a given vector-valued function
space curve
the set of ordered triples ((f(t),g(t),h(t))) together with their defining parametric equations (x=f(t)), (y=g(t)) and (z=h(t))
vector parameterization
any representation of a plane or space curve using a vector-valued function
vector-valued function
a function of the form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) or (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}),where the component functions (f), (g), and (h) are real-valued functions of the parameter (t).

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.

  • Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Paul Seeburger created Example (PageIndex{1}), Exercise (PageIndex{1}), and the subsections titled: Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of a Function (y = f(x)), Finding a Vector-Valued Function to Trace out the Graph of an Equation in (x) and (y) and Vice Versa, and Parameterizing a Piecewise Path.

12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

Math 211 Calculus IIIA
معلم:
S. Levkov
نص: Thomas and Finney, Calculus, 9th edition, Addison Wesley
وقت:
Monday, Wednesday 6:00 9:00 PM.
Office Hours:
Monday, Wednesday 5:00 6:00 PM. مكتب: 303 ECE.
هاتف:
973 596 5621. E-mail: [email protected]

Week 1
Sec 9.4 Parametrization of Plane Curves - HW p741 #1,7-10,12-15,20,23,26-28
Sec 9.5 Calculus with Parametrized Curves - HW p749 #1-3,5,13,15,17,23,33,38

Sec 10.1 Vectors in the Plane - HW p 794 #1-4,7,9,11,13,15,17-19,21,24,26,30,40,41
Sec 10.2 Vectors in Space - HW p 804 #1,5,7,9,12, 15,19,20,27,33,49

Week 2
Sec 10.3 Dot Products - HW p8l2 #1,3,5,13,16,20,22,35,39,41,49,51,53,59
Sec 10.4 Cross Products - HW p820 #1,3,9,10,17,29,35,39,42

Sec 10.5 Lines and Planes in Space - HW p827

Week 3
Sec 11.1 Vector-Valued Functions and Space Curves - HW p865

#1,7,10,13,16,21,22,27,32,35,39,43,45, and read 57

Sec 11.3 Arc Length and the Unit Tangent Vector - HW p880 #1,6,8,15

Sec 12.1 Functions of Several Variables - HW p9l4 #3,6,11,25,31,32,41,45
Sec 12.2 Limits and Continuity - HW p921 #1-4,9,11,15,22,28,35

Week 4
Sec 12.3 Partial Derivatives - HW p931

#2,4,8,14,16,23,26,30,37,43,45,49,50,53,57,59,65,69
Sec 12.5 The Chain Rule - HW p950 #3,7,15,19,27,32,35,43,47

Sec 12.6 Partial Derivatives with Constrained Variables- HW p956 #3,7,11 and then 9
MIDTERM

Week 5
Sec 12.7 Directional Derivatives, Gradient Vectors and Tangent Planes - HW p967

#3,7,15,19,25,27,34,39,45,49,51,55,58 AND p942 #1,5,25,27

(Note that HW includes Linearization of Sec 12.4)

Sec 12.8 Extreme Values and Saddle Points - HW p975 #3,15,20,33,37,41,43,50,52

Sec 12.9 Lagrange Multipliers - HW p987 #3,7,10,15,17,25,32,35,37,42

Week 6
Sec 13.1 Double Integrals - HW p1010 #1,2,6,13,18,22,27,31,36,43,47,51

Sec 14.1 Line Integrals - HW p1065 #5,11,12,18,20,25,26
Sec 14.2 Vector Fields, Work, Circulation and Flux - HW p1074

Week 7
Sec 14.3 Path Independence, Potential Functions and Conservative Fields

- HW p1O83 #2,4,10,14,16,19,23,27,29,31
Sec 14.4 Green's Theorem in the Plane - HW p1093 #1,6,9,13,16,19,21,31,34
Sec 14.8 The Divergence Theorem and a Unified Theory - HW p1132 #3,5,6,8,13,15,26


2 إجابات 2

The difference is that a parametrization has some extra properties. A vector valued function is a map $f:Usubsetmathbb R^m o Vsubsetmathbb R^n$

And parametric equations for a [portion of a] submanifold $M$ in Euclidean space (it's rare to parametrize things other than manifolds) is a map $varphi:Usubsetmathbb R^m o Msubsetmathbb R^n$ Where:

  • $U$ is open
  • $varphi$ is a homeomorphism onto its image
  • $operatornameDvarphi = m$ everywhere

What we could say then, is that a parametrization is always in the form of a vector valued function, but conversely, we use vector valued functions with nice properties to parametrize varieties.


Evaluating and Graphing Vector-Valued Functions

y (b) Figure 12.1.1: Sketching the graph of a vector-valued function.

Evaluating a vector-valued function at a specific value of t is straightforward simply evaluate each component function at that value of t . For instance, if r → ⁢ ( t ) = ⟨ t 2 , t 2 + t - 1 ⟩ , then r → ⁢ ( - 2 ) = ⟨ 4 , 1 ⟩ . We can sketch this vector, as is done in Figure 12.1.1 (a). Plotting lots of vectors is cumbersome, though, so generally we do not sketch the whole vector but just the terminal point. The graph of a vector-valued function is the set of all terminal points of r → ⁢ ( t ) , where the initial point of each vector is always the origin. In Figure 12.1.1 (b) we sketch the graph of r → we can indicate individual points on the graph with their respective vector, as shown.

Vector-valued functions are closely related to parametric equations of graphs. While in both methods we plot points ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) ) or ( x ⁢ ( t ) , y ⁢ ( t ) , z ⁢ ( t ) ) to produce a graph, in the context of vector-valued functions each such point represents a vector. The implications of this will be more fully realized in the next section as we apply calculus ideas to these functions.

Watch the video:
Domain of a Vector-Valued Function from https://youtu.be/Djtttm0C7zA


12.1: Vector-Valued Functions and Space Curves - Mathematics

The topics on this page are vector functions and space curves.

A function whose domain is a set of real numbers and whose range is a subset of 2-space (or called plane), or 3-space is called a vector-valued function of a real variable. For example, the line through a point P parallel to a nonzero vector U is the range of the vector-valued function r given by

Each t corresponds to a point, which can be thinked as a vector initiating from the origin and tip pointing at the point, in the straight line. See the graph below. Usually a vector-valued function in 2-space (resp. 3-space) has two component functions (resp. three component functions). Such as the staight line vector function in 2-space and 3-space can be written as

where point (a, b) (or (a, b, c)) is a point that the line passes through and (u1, u2) (or (u1, u2, u3)) is a vector parallel to the line. The graph above is of the vector function of the straight line r (t) = t i + (-0.6t + 2) j = 2 j + t( i - 0.6 j ). Second expression shows that r passes through point (0, 2) and is parallel to vector (1,-0.6).

If the point (x, y, z) revolves around z-axis at a distance a from it and simultaneously moves parallel to z-axis in such a way that its z-component is proportional to the angle of revolution, the resulting path is called circular helix . If t denotes the angle of revolution, we have

The uaual operations of vectors can be applied to combined two vector functions or to combine a vector function with a real-valued function. If U and V are vector-valued functions, and if f is a real-valued function, all having a common domain, we define new functions U + V, fU, and U dot V by the equations


Math 215 Examples

أ vector-valued function is a function that outputs a vector rather than a single number. Often we will be working with functions whose outputs are vectors in three-dimensional space. Such a function can be written as [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle ] where (f(t)), (g(t)), and (h(t)) are usual functions whose outputs are single numbers (sometimes called scalar functions in contrast with vector-valued functions).

Space Curves

A vector-valued function (vec r(t)) whose values are three-dimensional functions traces out a space curve, a curve in three-dimensional space.

For example, [ vec r(t) = leftlangle t, frac<18>,frac <3> ight angle ] traces out a space curve called a twisted cubic:

Vector-valued functions don't always trace out smooth curves. For example, [ vec r(t) = leftlangle frac<30>, frac<10>, frac <5> ight angle ] has a sharp corner at the point (vec r(0) = langle 0, 0, 0 angle):

Different Parameterizations

Note that two different vector-valued functions may trace out the same curve. We say that two such vector-valued functions corresponding to the same curves are different parameterizations of the same curve.

Given any vector-valued function (vec r(t)), it is easy to construct different parameterizations of the same curve: just use (vec s(t) = vec r(at)) for any non-zero constant (a).

For example, suppose we have [egin vec r(t) &= langle (2+sin<3t>)cos, (2+sin<3t>)sin, cos <3t> angle vec s(t) &= langle (2+sin<6t>)cos<2t>,(2+sin<6t>)sin<2t>, cos <6t> angle. نهاية] Notice that (vec s(t) = vec r(2t)), so as observed above, both these vector-valued functions will trace out the same space curve (a curve called a toroidal spiral):

Illustrated Example

Find a vector-valued function that traces out the curve defined as the intersection of the paraboloid (z=x^2+y^2) with the plane (y=x).

Worked Solution

Since every equation in this problem is a function of (x), we can use (x) itself as our parameter. In other words, in our eventual parameterization [ vec r(t) = langle x(t), y(t), z(t) angle, ] we can set (x(t) = t).

Since our curve lies entirely in the plane (y=x), it follows that (y(t) = x(t)) in our parameterization, or (y(t) = t). Since the curve lies on the paraboloid (z = x^2 + y^2), we similarly have [ z(t) = x(t)^2 + y(t)^2 = 2t^2. ]

Thus our final parameterization of this curve is [ vec r(t) = langle t, t, 2t^2 angle. ]

Visualizing the Example

The animation below shows the paraboloid (z=x^2+y^2) with (vec r(t) = langle t, t, 2t^2) tracing out its intersection with the plane (y=x):

Further Questions

  1. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve half as fast.
  2. Find a parameterization of the curve in the example that traces out the curve backwards.
  3. What curve does (vec r(t) = langle t, -t, 2t^2 angle) trace out?
  4. In the animation in Key Concepts with two different parameterizations, which of (vec r(t)) and (vec s(t)) is represented by the blue arrows? Which is represented by the red arrows?

Using the Mathematica Demo

All graphics on this page were generated by the Mathematica notebook 13_1SpaceCurves.nb.

This notebook generates images and animations like those on this page for any curve.

As an exercise, use the notebook to provide a visual demonstration illustrating your answers to Questions 1-3.

Investigate other vector-valued funtions (vec r(t)). Can you find one that traces out a circle? A helix? Can you find one with a sharp corner somewhere other than the origin? Experiment with functions that yield sharp corners can you figure out what causes them?


CalcPlot3D¶

A useful tool for graphing vector functions and other kinds of 3D objects. Although this applet was created for use in calculus classes, it is useful to us as well. Use the following procedure to graph a vector function in CalcPlot3D.

  1. Erase the default shape that appears, by unchecking the box next to Function 1 and clicking the Graph button immediately above it.
  2. Add a parametric curve by clicking the Graph menu and choosing Add a Space Curve.
  3. In the three blanks provided, enter the x , y , and z components of the vector function, using t as the parameter. The default bounds for t (from -10 to 10 ) may be sensible for your function, but you can change them.
  4. Click Graph (on the popup window into which you typed the parametric equations).
  5. Click and drag to view from different angles.

A powerful mathematics tool that you can use on your own computer or on the web. Here is a link to a webpage that evaluates Sage code and shows you the result immediately. Type in code like the following to graph a vector function. (Replace the three components of the vector function with any three vector function components.) The 0 and 2pi are the bounds on t .

To see that example plotted, click here.


محتويات

Vector fields on subsets of Euclidean space Edit

Given a subset س in ص ن ، أ vector field is represented by a vector-valued function الخامس: سص ن in standard Cartesian coordinates (x1, …, xن). If each component of الخامس is continuous, then الخامس is a continuous vector field, and more generally الخامس هو C k vector field if each component of الخامس is k times continuously differentiable.

A vector field can be visualized as assigning a vector to individual points within an ن-dimensional space. [1]

Given two C k -vector fields الخامس , دبليو defined on س and a real-valued C k -function f defined on س , the two operations scalar multiplication and vector addition

define the module of C k -vector fields over the ring of C ك -functions where the multiplication of the functions is defined pointwise (therefore, it is commutative with the multiplicative identity being Fid(ص) := 1 ).

Coordinate transformation law Edit

In physics, a vector is additionally distinguished by how its coordinates change when one measures the same vector with respect to a different background coordinate system. The transformation properties of vectors distinguish a vector as a geometrically distinct entity from a simple list of scalars, or from a covector.

Thus, suppose that (x1. xن) is a choice of Cartesian coordinates, in terms of which the components of the vector الخامس نكون

and suppose that (ذ1. ذن) are ن functions of the xأنا defining a different coordinate system. Then the components of the vector الخامس in the new coordinates are required to satisfy the transformation law

Such a transformation law is called contravariant. A similar transformation law characterizes vector fields in physics: specifically, a vector field is a specification of ن functions in each coordinate system subject to the transformation law (1) relating the different coordinate systems.

Vector fields are thus contrasted with scalar fields, which associate a number or العددية to every point in space, and are also contrasted with simple lists of scalar fields, which do not transform under coordinate changes.

Vector fields on manifolds Edit

If the manifold M is smooth or analytic—that is, the change of coordinates is smooth (analytic)—then one can make sense of the notion of smooth (analytic) vector fields. The collection of all smooth vector fields on a smooth manifold M is often denoted by Γ ( T M ) or C ∞ ( M , T M ) (M,TM)> (especially when thinking of vector fields as sections) the collection of all smooth vector fields is also denoted by X ( M ) >(M)> (a fraktur "X").

  • A vector field for the movement of air on Earth will associate for every point on the surface of the Earth a vector with the wind speed and direction for that point. This can be drawn using arrows to represent the wind the length (magnitude) of the arrow will be an indication of the wind speed. A "high" on the usual barometric pressure map would then act as a source (arrows pointing away), and a "low" would be a sink (arrows pointing towards), since air tends to move from high pressure areas to low pressure areas. field of a moving fluid. In this case, a velocity vector is associated to each point in the fluid. are 3 types of lines that can be made from (time-dependent) vector fields. They are:
    . The fieldlines can be revealed using small iron filings. allow us to use a given set of initial and boundary conditions to deduce, for every point in Euclidean space, a magnitude and direction for the force experienced by a charged test particle at that point the resulting vector field is the electromagnetic field.
  • A gravitational field generated by any massive object is also a vector field. For example, the gravitational field vectors for a spherically symmetric body would all point towards the sphere's center with the magnitude of the vectors reducing as radial distance from the body increases.

Gradient field in euclidean spaces Edit

Vector fields can be constructed out of scalar fields using the gradient operator (denoted by the del: ∇). [4]

A vector field الخامس defined on an open set س is called a مجال التدرج or a مجال محافظ if there exists a real-valued function (a scalar field) F على س مثل ذلك

The associated flow is called the gradient flow , and is used in the method of gradient descent.

The path integral along any closed curve γ (γ(0) = γ(1)) in a conservative field is zero:

Central field in euclidean spaces Edit

أ ج ∞ -vector field over ص ن <0>is called a central field لو

where O(ن, ص) is the orthogonal group. We say central fields are invariant under orthogonal transformations around 0.

The point 0 is called the المركز of the field.

Since orthogonal transformations are actually rotations and reflections, the invariance conditions mean that vectors of a central field are always directed towards, or away from, 0 this is an alternate (and simpler) definition. A central field is always a gradient field, since defining it on one semiaxis and integrating gives an antigradient.

Line integral Edit

A common technique in physics is to integrate a vector field along a curve, also called determining its line integral. Intuitively this is summing up all vector components in line with the tangents to the curve, expressed as their scalar products. For example, given a particle in a force field (e.g. gravitation), where each vector at some point in space represents the force acting there on the particle, the line integral along a certain path is the work done on the particle, when it travels along this path. Intuitively, it is the sum of the scalar products of the force vector and the small tangent vector in each point along the curve.

The line integral is constructed analogously to the Riemann integral and it exists if the curve is rectifiable (has finite length) and the vector field is continuous.

Given a vector field V and a curve γ , parametrized by t in [أ, ب] (where a and b are real numbers), the line integral is defined as

Divergence Edit

The divergence of a vector field on Euclidean space is a function (or scalar field). In three-dimensions, the divergence is defined by

with the obvious generalization to arbitrary dimensions. The divergence at a point represents the degree to which a small volume around the point is a source or a sink for the vector flow, a result which is made precise by the divergence theorem.

The divergence can also be defined on a Riemannian manifold, that is, a manifold with a Riemannian metric that measures the length of vectors.

Curl in three dimensions Edit

The curl is an operation which takes a vector field and produces another vector field. The curl is defined only in three dimensions, but some properties of the curl can be captured in higher dimensions with the exterior derivative. In three dimensions, it is defined by

The curl measures the density of the angular momentum of the vector flow at a point, that is, the amount to which the flow circulates around a fixed axis. This intuitive description is made precise by Stokes' theorem.

Index of a vector field Edit

The index of a vector field is an integer that helps to describe the behaviour of a vector field around an isolated zero (i.e., an isolated singularity of the field). In the plane, the index takes the value -1 at a saddle singularity but +1 at a source or sink singularity.

Let the dimension of the manifold on which the vector field is defined be ن. Take a small sphere S around the zero so that no other zeros lie in the interior of S. A map from this sphere to a unit sphere of dimensions ن − 1 can be constructed by dividing each vector on this sphere by its length to form a unit length vector, which is a point on the unit sphere S n-1 . This defines a continuous map from S to S n-1 . The index of the vector field at the point is the degree of this map. It can be shown that this integer does not depend on the choice of S, and therefore depends only on the vector field itself.

The index of the vector field as a whole is defined when it has just a finite number of zeroes. In this case, all zeroes are isolated, and the index of the vector field is defined to be the sum of the indices at all zeroes.

The index is not defined at any non-singular point (i.e., a point where the vector is non-zero). it is equal to +1 around a source, and more generally equal to (−1) k around a saddle that has k contracting dimensions and n-k expanding dimensions. For an ordinary (2-dimensional) sphere in three-dimensional space, it can be shown that the index of any vector field on the sphere must be 2. This shows that every such vector field must have a zero. This implies the hairy ball theorem, which states that if a vector in R 3 is assigned to each point of the unit sphere S 2 in a continuous manner, then it is impossible to "comb the hairs flat", i.e., to choose the vectors in a continuous way such that they are all non-zero and tangent to S 2 .

For a vector field on a compact manifold with a finite number of zeroes, the Poincaré-Hopf theorem states that the index of the vector field is equal to the Euler characteristic of the manifold.

Michael Faraday, in his concept of lines of force, emphasized that the field itself should be an object of study, which it has become throughout physics in the form of field theory.

In addition to the magnetic field, other phenomena that were modeled by Faraday include the electrical field and light field.

Consider the flow of a fluid through a region of space. At any given time, any point of the fluid has a particular velocity associated with it thus there is a vector field associated to any flow. The converse is also true: it is possible to associate a flow to a vector field having that vector field as its velocity.

Given a vector field الخامس defined on س, one defines curves γ(ر) on س such that for each ر in an interval أنا

By the Picard–Lindelöf theorem, if الخامس is Lipschitz continuous there is a unique ج 1 -curve γx for each point x in س so that, for some ε > 0,

The curves γx are called integral curves أو trajectories (or less commonly, flow lines) of the vector field الخامس and partition س into equivalence classes. It is not always possible to extend the interval (−ε, +ε) to the whole real number line. The flow may for example reach the edge of س in a finite time. In two or three dimensions one can visualize the vector field as giving rise to a flow on س. If we drop a particle into this flow at a point ص it will move along the curve γص in the flow depending on the initial point ص. لو ص is a stationary point of الخامس (i.e., the vector field is equal to the zero vector at the point ص), then the particle will remain at ص.

Given a smooth function between manifolds, F : من, the derivative is an induced map on tangent bundles, F* : TMTN. Given vector fields الخامس : مTM و دبليو : نTN, we say that دبليو يكون F-related to الخامس if the equation دبليوF = Fالخامس holds.

لو الخامسأنا يكون F-related to دبليوأنا, أنا = 1, 2, then the Lie bracket [الخامس1, الخامس2] is F-related to [دبليو1, دبليو2].

Replacing vectors by ص-vectors (صth exterior power of vectors) yields ص-vector fields taking the dual space and exterior powers yields differential ك-forms, and combining these yields general tensor fields.

Algebraically, vector fields can be characterized as derivations of the algebra of smooth functions on the manifold, which leads to defining a vector field on a commutative algebra as a derivation on the algebra, which is developed in the theory of differential calculus over commutative algebras.


المنهج

If at any time during this semester you feel ill, in the interest of your own health and safety as well as the health and safety of your instructors and classmates, you are encouraged not to attend face-to-face class meetings or events. Please review the steps outlined below that you should follow to ensure your absence for illness will be excused. These steps also apply to not participating in synchronous online class meetings if you feel too ill to do so and missing specified assignment due dates in asynchronous online classes because of illness.

1. If you are ill and think the symptoms might be COVID-19-related:
a) Call Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider.
b) Self-report as soon as possible using the Dean of Students COVID-19 webpage. This website has specific directions about how to upload documentation from a medical provider and what will happen if your illness renders you unable to participate in classes for more than one week.
c) If your illness is determined to be COVID-19-related, all remaining documentation and communication will be handled through the Office of the Dean of Students, including notification of your instructors of the period of time you may be absent from and may return to classes.
d) If your illness is determined not to be COVID-19-related, please follow steps 2.a-d below.

2. If you are ill and can attribute your symptoms to something other than COVID-19:
a) If your illness renders you unable to attend face-to-face classes, participate in synchronous online classes, or miss specified assignment due dates in asynchronous online classes, you are encouraged to visit with either Student Health Services at 806.743.2848 or your health care provider. Note that Student Health Services and your own and other health care providers may arrange virtual visits.
b) During the health provider visit, request a "return to school" note.
c) E-mail the instructor a picture of that note.
d) Return to class by the next class period after the date indicated on your note.

Following the steps outlined above helps to keep your instructors informed about your absences and ensures your absence or missing an assignment due date because of illness will be marked excused. You will still be responsible to complete within a week of returning to class any assignments, quizzes, or exams you miss because of illness.

This is a distance class, all the students enrolled in this class should be highly responsible in managing their schedule. This course moves very fast. If you fall behind, even by one section, you may not be able to catch up, since each section generally depends very heavily on the ones before. A student enrolled in this class has to be capable to read and understand the textbook. If in the past you struggled in self-lecturing mathematics, then this is not the class for you and it is highly recommended you switch to a face-to-face class. The instructor expects for the student to read each section of the textbook, watch the videos and read the class-notes before attempting to solve the homework problems. When asking for help you need to show all your work, by typing it on the email (better) or by attaching a scanned copy of your work. When asking for help for a WebWork problem it is recommended you use the button email to the instructor at the bottom of the screen, otherwise you may not get any answer.


3 إجابات 3

As you seem to have worked out for yourself, you can just write the Taylor series for each component of $f$ separately so I guess the remaining issue is how to write this down neatly.

Your "something" here is the second derivative of $f$, which is the third-order tensor comprised of the Hessian matrices $H_1,ldots,H_n$ so you need to use a notation that can deal with this kind of object. If you're comfortable with the Einstein summation convention, then you can write $f_i( heta) = f_i( heta_0) + A_ ( theta_0) ( ثيتا - theta_0) _j + فارك 1 2 H_( theta ') ( theta - theta_0) _j ( theta- theta_0) _k، $ حيث $ H_ = frac < جزئي ^ 2 f_i> < جزئي x_k جزئي x_j>. $

بدلاً من ذلك ، يمكنك استخدام شيء مثل $ f ( theta) = f ( theta_0) + A ( theta_0) ( theta - theta_0) + frac 1 2 H ( theta ') ( theta- theta_0 ، theta- theta_0) $ حيث يتم تفسير $ H $ على أنه نموذج ثنائي الخطوط على $ mathbb R ^ m $ مع أخذ القيم $ mathbb R ^ n. $ يمكنك كتابة هذا باستخدام ضرب المصفوفة كما في إجابة مصطفى ، ولكن هذا غير قياسي إلى حد ما ويجب أن تكون واضحًا أن "المتجه" $ A $ و "المصفوفة" $ H $ هما في الواقع $ mathbb R ^ n $ -valued.


شاهد الفيديو: كتاب الروح للامام ابن القيم فيه أشياء محل نظر. الشيخ عبد العزيز بن باز (شهر اكتوبر 2021).