مقالات

14.6: حساب مراكز الكتلة ولحظات القصور الذاتي


أهداف التعلم

  • استخدم التكاملات المزدوجة لتحديد مركز كتلة جسم ثنائي الأبعاد.
  • استخدم التكاملات المزدوجة لإيجاد لحظة القصور الذاتي لجسم ثنائي الأبعاد.
  • استخدم التكاملات الثلاثية لتحديد مركز كتلة جسم ثلاثي الأبعاد.

لقد ناقشنا بالفعل بعض التطبيقات للتكاملات المتعددة ، مثل إيجاد المناطق والأحجام ومتوسط ​​قيمة دالة على منطقة محددة. في هذا القسم نطور تقنيات حسابية لإيجاد مركز الكتلة ولحظات القصور الذاتي لعدة أنواع من الأجسام المادية ، باستخدام تكاملات مزدوجة للصفيحة (اللوح المسطح) والتكاملات الثلاثية لجسم ثلاثي الأبعاد بكثافة متغيرة. تعتبر الكثافة عادةً رقمًا ثابتًا عندما تكون الصفيحة أو الجسم متجانسة ؛ وهذا يعني أن الجسم له كثافة موحدة.

مركز الكتلة في بعدين

يُعرف مركز الكتلة أيضًا باسم مركز الجاذبية إذا كان الجسم في مجال جاذبية منتظم. إذا كان للكائن كثافة موحدة ، فإن مركز الكتلة هو المركز الهندسي للكائن ، والذي يسمى النقطه الوسطى. يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) نقطة (P ) كمركز كتلة صفيحة. الصفيحة متوازنة تمامًا حول مركز كتلتها.

لإيجاد إحداثيات مركز الكتلة (P ( bar {x}، bar {y}) ) من الصفيحة ، نحتاج إلى إيجاد لحظة (M_x ) للصفيحة حول (x ) - المحور واللحظة (M_y ) حول (ص ) - المحور. نحتاج أيضًا إلى إيجاد كتلة (م ) الصفيحة. ثم

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} ]

و

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m}. ]

ارجع إلى Moments and Centers of Mass للتعرف على التعريفات وطرق التكامل الفردي للعثور على مركز الكتلة لجسم أحادي البعد (على سبيل المثال ، قضيب رفيع). سنستخدم فكرة مماثلة هنا فيما عدا أن الكائن عبارة عن صفيحة ثنائية الأبعاد ونستخدم تكاملًا مزدوجًا.

إذا سمحنا بدالة كثافة ثابتة ، إذن ( bar {x} = dfrac {M_y} {m} ) و ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} ) النقطه الوسطى من الصفيحة.

لنفترض أن الصفيحة تحتل منطقة (R ) في (xy ) - الطائرة وليكن ( rho (x ، y) ) كثافتها (بوحدات الكتلة لكل وحدة مساحة) في أي نقطة ((س ، ص) ). بالتالي،

[ rho (x، y) = lim _ { Delta A rightarrow 0} dfrac { Delta m} { Delta A} ]

حيث ( Delta m ) و ( Delta A ) هي كتلة ومساحة مستطيل صغير يحتوي على النقطة ((x ، y) ) ويتم أخذ الحد كأبعاد للمستطيل تذهب إلى (0 ) (انظر الشكل التالي).

تمامًا كما في السابق ، نقسم المنطقة (R ) إلى مستطيلات صغيرة (R_ {ij} ) بمساحة ( Delta A ) واخترنا ((x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ) كنقاط عينة. ثم كتلة (m_ {ij} ) لكل (R_ {ij} ) تساوي ( rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) Delta A ) (الشكل ( PageIndex {2} )). دع (k ) و (l ) يكونان عدد الفترات الفرعية في (x ) و (y ) على التوالي. لاحظ أيضًا أن الشكل قد لا يكون دائمًا مستطيلًا ولكن الحد يعمل على أي حال ، كما هو موضح في الأقسام السابقة.

ومن ثم ، فإن كتلة الصفيحة هي

[m = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) Delta A = iint_R rho (x، y) dA. ]

دعونا نرى مثالاً الآن لإيجاد الكتلة الكلية للصفيحة المثلثة.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد الكتلة الكلية لللمينا

ضع في اعتبارك صفيحة مثلثة (R ) برؤوس ((0،0) ، ، (0،3) ، ، (3،0) ) وبكثافة ( rho (x ، y) = xy ، كجم / م ^ 2 ). أوجد الكتلة الكلية.

المحلول

رسم تخطيطي للمنطقة (R ) مفيد دائمًا ، كما هو موضح في الشكل التالي.

باستخدام التعبير المطوَّر للكتلة ، نرى ذلك

[m = iint_R ، dm = iint_R rho (x، y) dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy ، dy ، dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} left [ left. x dfrac {y ^ 2} {2} right | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] ، dx = int_ {x = 0} ^ {x = 3} dfrac {1 } {2} x (3 - x) ^ 2 dx = left. left [ dfrac {9x ^ 2} {4} - x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {8} right] right | _ {x = 0} ^ {x = 3} = dfrac {27} {8}. ]

الحساب واضح ومباشر ، حيث تعطي الإجابة (m = dfrac {27} {8} ، kg ).

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع في اعتبارك نفس المنطقة (R ) كما في المثال السابق ، واستخدم دالة الكثافة ( rho (x، y) = sqrt {xy} ). أوجد الكتلة الكلية.

إجابه

( dfrac {9 pi} {8} ، كجم )

الآن وقد أنشأنا تعبير الكتلة ، لدينا الأدوات التي نحتاجها لحساب اللحظات ومراكز الكتلة. اللحظة (M_z ) حول (x ) - محور (R ) هي حد مجموع لحظات المناطق (R_ {ij} ) حول (x ) - المحور . بالتالي

[M_x = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k ، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A = iint_R y rho (x، y) ، dA ]

وبالمثل ، فإن اللحظة (M_y ) حول (ص ) - محور (ص ) هي حد مجموع لحظات المناطق (R_ {ij} ) حول (ص ) -محور. بالتالي

[M_y = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k ، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A = iint_R x rho (x، y) ، dA ]

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن اللحظات

ضع في اعتبارك نفس الصفيحة المثلثة (R ) ذات الرؤوس ((0،0) ، ، (0،3) ، ، (3،0) ) وبكثافة ( rho (x ، y) = س ص ). ابحث عن اللحظات (M_x ) و (M_y ).

المحلول

استخدم التكاملات المزدوجة لكل لحظة واحسب قيمها:

[M_x = iint_R y rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} xy ^ 2 ، dy ، dx = dfrac {81} {20}، ]

[M_y = iint_R x rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = 3-x} x ^ 2 y ، dy ، dx = dfrac {81} {20}، ]

الحساب واضح تمامًا.

تمرين ( PageIndex {2} )

ضع في اعتبارك نفس الصفيحة (R ) كما هو مذكور أعلاه واستخدم دالة الكثافة ( rho (x، y) = sqrt {xy} ). ابحث عن اللحظات (M_x ) و (M_y ).

إجابه

(M_x = dfrac {81 pi} {64} ) و (M_y = dfrac {81 pi} {64} )

أخيرًا ، نحن جاهزون لإعادة صياغة التعبيرات الخاصة بمركز الكتلة بدلالة التكاملات. نشير إلى x-تنسيق مركز الكتلة بواسطة ( شريط {x} ) و ذ-تنسيق بواسطة ( شريط {y} ). خاصة،

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} ]

و

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} ]

مثال ( PageIndex {3} ): مركز الكتلة

ضع في اعتبارك مرة أخرى نفس المنطقة المثلثية (R ) ذات الرؤوس ((0،0) ، ، (0،3) ، ، (3،0) ) وبوظيفة الكثافة ( rho (x ، y ) = س ص). أوجد مركز الكتلة.

المحلول

باستخدام الصيغ التي قمنا بتطويرها ، لدينا

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} = dfrac {81/20} {27/8} = dfrac {6} {5}، ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} = dfrac {81/20} {27/8} = dfrac {6} {5}. ]

لذلك ، فإن مركز الكتلة هو النقطة ( left ( dfrac {6} {5}، dfrac {6} {5} right). )

التحليلات

إذا اخترنا الكثافة ( rho (x ، y) ) بدلاً من ذلك لتكون موحدة في جميع أنحاء المنطقة (أي ثابت) ، مثل القيمة 1 (أي ثابت سيفعل) ، فيمكننا حساب النقطه الوسطى ،

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x ، dA} { iint_R ، dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1، ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y ، dA} { iint_R ، dA} = dfrac {9/2} {9/2} = 1. ]

لاحظ أن مركز الكتلة ( left ( dfrac {6} {5}، dfrac {6} {5} right) ) ليس مطابقًا للنقطة الوسطى ((1،1) ) من المنطقة المثلثية. هذا بسبب الكثافة المتغيرة (R ) إذا كانت الكثافة ثابتة ، فنحن نستخدم ( rho (x ، y) = c ) (ثابت). تلغي هذه القيمة من الصيغ ، لذلك بالنسبة للكثافة الثابتة ، يتزامن مركز الكتلة مع النقطه الوسطى للصفيحة.

تمرين ( PageIndex {3} )

مرة أخرى ، استخدم نفس المنطقة (R ) على النحو الوارد أعلاه واستخدم دالة الكثافة ( rho (x، y) = sqrt {xy} ). أوجد مركز الكتلة.

إجابه

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {81 pi / 64} {9 pi / 8} = dfrac {9} {8} ) و ( bar { y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {81 pi} {9 pi / 8} = dfrac {0} {8} ).

مرة أخرى ، استنادًا إلى التعليقات الموجودة في نهاية المثال ( PageIndex {3} ) ، لدينا تعبيرات للنقطة الوسطى لمنطقة على المستوى:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x ، dA} { iint_R ، dA} ، text {and} ، y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y ، dA} { iint_R ، dA}. ]

يجب أن نستخدم هذه الصيغ ونتحقق من النقطه الوسطى للمنطقة المثلثية R المشار إليها في الأمثلة الثلاثة الأخيرة.

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد الكتلة واللحظات ومركز الكتلة

أوجد الكتلة واللحظات ومركز كتلة الصفيحة ذات الكثافة ( rho (x، y) = x + y ) التي تحتل المنطقة (R ) أسفل المنحنى (y = x ^ 2 ) ) في الفاصل (0 leq x leq 2 ) (انظر الشكل التالي).

المحلول

أولاً نحسب الكتلة (م ). نحتاج إلى وصف المنطقة الواقعة بين الرسم البياني لـ (y = x ^ 2 ) والخطوط العمودية (x = 0 ) و (x = 2 ):

[m = iint_R ، dm = iint_R rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} (x + y) dy ، dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [ left. xy + dfrac {y ^ 2} {2} right | _ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} right] ، dx ]

[= int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [x ^ 3 + dfrac {x ^ 4} {2} right] dx = left. left [ dfrac {x ^ 4 } {4} + dfrac {x ^ 5} {10} right] right | _ {x = 0} ^ {x = 2} = dfrac {36} {5}. ]

الآن احسب اللحظات (M_x ) و (M_y ):

[M_x = iint_R y rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} y (x + y) ، dy ، dx = dfrac {80} {7}، ]

[M_y = iint_R x rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x ^ 2} x (x + y) ، dy ، dx = dfrac {176} {15}. ]

أخيرًا ، قم بتقييم مركز الكتلة ،

[ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} = dfrac {176/15} {36/5} = dfrac {44} {27} ، ]

[ bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} = dfrac {80/7} {36/5} = dfrac {100} {63}. ]

ومن ثم فإن مركز الكتلة هو (( bar {x}، bar {y}) = left ( dfrac {44} {27}، dfrac {100} {63} right) ).

تمرين ( PageIndex {4} )

احسب الكتلة واللحظات ومركز الكتلة للمنطقة الواقعة بين المنحنيات (y = x ) و (y = x ^ 2 ) باستخدام دالة الكثافة ( rho (x، y) = x ) في الفاصل (0 leq x leq 1 ).

إجابه

( bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac {1/20} {1/12} = dfrac {3} {5} ) و ( bar {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac {1/24} {1/12} = dfrac {1} {2} )

مثال ( PageIndex {5} ): البحث عن Centroid

ابحث عن النقطه الوسطى للمنطقة تحت المنحنى (y = e ^ x ) خلال الفاصل (1 leq x leq 3 ) (الشكل ( PageIndex {6} )).

المحلول

لحساب النقطه الوسطى ، نفترض أن دالة الكثافة ثابتة وبالتالي تلغي:

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x ، dA} { iint_R dA} ، and ، y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y ، dA} { iint_R dA}، ]

[x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x ، dA} { iint_R dA} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} x ، dy ، dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} ، dy ، dx} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} xe ^ x dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} e ^ x dx} = dfrac {2e ^ 3} {e ^ 3 - e} = dfrac {2e ^ 2} {e ^ 2 - 1}، ]

[y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y ، dA} { iint_R dA} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} y ، dy ، dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} int_ {y = 0} ^ {y = e ^ x} ، dy ، dx} = dfrac { int_ {x = 1} ^ {x = 3} dfrac {e ^ {2x}} {2} dx} { int_ {x = 1} ^ {x = 3} هـ ^ x dx} = dfrac { dfrac {1} {4} e ^ 2 (e ^ 4 - 1)} {e (e ^ 2 - 1)} = dfrac {1} {4} e (e ^ 2 + 1). ]

وهكذا النقطه الوسطى للمنطقة

[(x_c، y_c) = left ( dfrac {2e ^ 2} {e ^ 2 - 1}، dfrac {1} {4} e (e ^ 2 + 1) right). ]

تمرين ( PageIndex {5} )

احسب النقطه الوسطى للمنطقة بين المنحنيات (y = x ) و (y = sqrt {x} ) بكثافة منتظمة في الفاصل (0 leq x leq 1 ).

إجابه

(x_c = dfrac {M_y} {m} = dfrac {1/15} {1/6} = dfrac {2} {5} ) و (y_c = dfrac {M_x} {m} = dfrac {1/12} {1/6} = dfrac {1} {2} )

لحظات من الجمود

لفهم كيفية حساب لحظات القصور الذاتي باستخدام التكاملات المزدوجة ، نحتاج إلى العودة إلى التعريف العام في القسم (6.6 ). لحظة القصور الذاتي لجسيم الكتلة (م ) حول محور هي (السيد ^ 2 ) حيث (r ) هي مسافة الجسيم من المحور. يمكننا أن نرى من الشكل (فهرس الصفحة {3} ) أن لحظة القصور الذاتي للمستطيل الفرعي (R_ {ij} ) حول المحور (x ) - هي ((y_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) Delta A ). وبالمثل ، فإن لحظة القصور الذاتي للمستطيل الفرعي (R_ {ij} ) حول المحور (y ) - هي ((x_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ * ، y_ {ij} ^ *) Delta A ). ترتبط لحظة القصور الذاتي بتناوب الكتلة ؛ على وجه التحديد ، يقيس ميل الكتلة لمقاومة التغيير في الحركة الدورانية حول المحور.

لحظة القصور الذاتي (I_x ) حول (x ) - محور المنطقة (R ) هي حد مجموع لحظات القصور الذاتي للمناطق (R_ {ij} ) حول (x ) - المحور. بالتالي

[I_x = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) ^ 2 m_ {ij} = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij } ^ *) ، Delta A = iint_R y ^ 2 rho (x، y) ، dA. ]

وبالمثل ، فإن لحظة القصور الذاتي (I_y ) حول (y ) - محور (R ) هي حد مجموع لحظات القصور الذاتي للمناطق (R_ {ij} ) حول (ص ) - المحور. بالتالي

[I_y = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) ^ 2 m_ {ij} = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) ^ 2 rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij } ^ *) ، Delta A = iint_R x ^ 2 rho (x، y) ، dA. ]

في بعض الأحيان ، نحتاج إلى إيجاد لحظة القصور الذاتي لشيء ما حول الأصل ، والتي تُعرف باسم اللحظة القطبية للقصور الذاتي. نشير إلى هذا من خلال (I_0 ) ونحصل عليها عن طريق إضافة لحظات القصور الذاتي (I_x ) و (I_y ). بالتالي

[I_0 = I_x + I_y = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x، y) ، dA. ]

يمكن كتابة كل هذه التعبيرات في الإحداثيات القطبية عن طريق استبدال (x = r ، cos ، theta، ، y = r ، sin ، theta )، و (dA = r ، dr ، د ثيتا ). على سبيل المثال ، (I_0 = iint_R r ^ 2 rho (r ، cos ، theta، ، r ، sin ، theta) ، dA ).

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن لحظات القصور الذاتي لمينا مثلثة

استخدم المنطقة المثلثية (R ) ذات الرؤوس ((0،0) ، ، (2،2) ) ، و ((2،0) ) وبكثافة ( rho (x ، y ) = xy ) كما في الأمثلة السابقة. ابحث عن لحظات القصور الذاتي.

المحلول

باستخدام التعبيرات المحددة أعلاه لحظات القصور الذاتي ، لدينا

[I_x = iint_R y ^ 2 rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} xy ^ 3 ، dy ، dx = dfrac {8} {3}، ]

[I_y = iint_R x ^ 2 rho (x، y) ، dA = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} x ^ 3y ، dy ، dx = dfrac {16} {3}، ]

[I_0 = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x، y) ، dA = int_0 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) xy ، dy ، dx = I_x + I_y = 8 ]

تمرين ( PageIndex {6} )

مرة أخرى ، استخدم نفس المنطقة (R ) على النحو الوارد أعلاه ودالة الكثافة ( rho (x، y) = sqrt {xy} ). ابحث عن لحظات القصور الذاتي.

إجابه

[I_x = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} y ^ 2 sqrt {xy} ، dy ، dx = dfrac {64} {35} ] و

[I_y = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} x ^ 2 sqrt {xy} ، dy ، dx = dfrac {64} {35}. ] أيضًا ،

[I_0 = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = x} (x ^ 2 + y ^ 2) sqrt {xy} ، dy ، dx = dfrac {128} {21} ]

كما ذكرنا سابقًا ، فإن لحظة القصور الذاتي لجسيم كتلة (م ) حول محور هي (السيد ^ 2 ) حيث (r ) هي مسافة الجسيم من المحور ، والمعروف أيضًا باسم نصف قطر الدوران.

ومن ثم فإن نصف قطر الدوران فيما يتعلق بالمحور (س ) ، والمحور (ص ) والأصل

[R_x = sqrt { dfrac {I_x} {m}} ، ، R_y = sqrt { dfrac {I_y} {m}} ، ، و ، R_0 = sqrt { dfrac {I_0} { م}} ، ]

على التوالى. في كل حالة ، يخبرنا نصف قطر الدوران عن المسافة (المسافة العمودية) من محور الدوران التي يمكن أن تتركز فيها كتلة الجسم بأكملها. تعد لحظات الكائن مفيدة في العثور على معلومات حول توازن وعزم دوران الكائن حول محور ، ولكن يتم استخدام نصف قطر الدوران لوصف توزيع الكتلة حول محوره المركزي. هناك العديد من التطبيقات في الهندسة والفيزياء. في بعض الأحيان يكون من الضروري إيجاد نصف قطر الدوران ، كما في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {7} ): إيجاد نصف قطر الدوران لصفائح مثلثة

ضع في اعتبارك نفس الصفيحة المثلثة (R ) ذات الرؤوس ((0،0) ، ، (2،2) ) ، و ((2،0) ) وبكثافة ( rho (x ، y) = xy ) كما في الأمثلة السابقة. أوجد أنصاف أقطار الدوران بالنسبة إلى (س ) - المحور (ص ) - والأصل.

المحلول

إذا قمنا بحساب كتلة هذه المنطقة فسنجد ذلك (م = 2 ). وجدنا لحظات القصور الذاتي لهذه الصفيحة في مثال ( PageIndex {4} ). من هذه البيانات ، فإن نصف قطر الدوران فيما يتعلق (س ) - المحور ، (ص ) - المحور والأصل ، على التوالي ،

[ begin {align} R_x = sqrt { dfrac {I_x} {m}} = sqrt { dfrac {8/3} {2}} = sqrt { dfrac {8} {6}} = dfrac {2 sqrt {3}} {3}، R_y = sqrt { dfrac {I_y} {m}} = sqrt { dfrac {16/3} {2}} = sqrt { dfrac {8} {3}} = dfrac {2 sqrt {6}} {3}، R_0 = sqrt { dfrac {I_0} {m}} = sqrt { dfrac {8} {2 }} = sqrt {4} = 2. end {align} ]

تمرين ( PageIndex {7} )

استخدم نفس المنطقة (R ) من مثال ( PageIndex {7} ) ودالة الكثافة ( rho (x، y) = sqrt {xy} ). ابحث عن نصف قطر الدوران فيما يتعلق بالمحور (س ) والمحور (ص ) والأصل.

تلميح

اتبع الخطوات الموضحة في المثال السابق.

إجابه

(R_x = dfrac {6 sqrt {35}} {35} ، ، R_y = dfrac {6 sqrt {15}} {15} ، ) و (R_0 = dfrac {4 sqrt { 42}} {7} ).

تمرين ( PageIndex {9} )

ضع في اعتبارك نفس المنطقة (Q ) (الشكل ( PageIndex {7} )) واستخدم دالة الكثافة ( rho (x، y، z) = xy ^ 2z ). أوجد مركز الكتلة.

تلميح

تحقق من أن (M_ {xy} = dfrac {27} {35} ، ، M_ {xz} = dfrac {243} {140} ، ) و (M_ {yz} = dfrac {81} { 35}). ثم استخدم (م ) من سؤال نقطة تفتيش سابق.

إجابه

( left ( dfrac {3} {2} ، dfrac {9} {8} ، dfrac {1} {2} right) )

نختتم هذا القسم بمثال لإيجاد لحظات القصور الذاتي (I_x و و I_y ) و (I_z ).

مثال ( PageIndex {10} ): إيجاد لحظات القصور الذاتي لمادة صلبة

افترض أن (Q ) منطقة صلبة ويحدها (x + 2y + 3z = 6 ) ومستويات الإحداثيات ذات الكثافة ( rho (x ، y ، z) = x ^ 2 yz ) (انظر الشكل ( PageIndex {7} )). ابحث عن لحظات القصور الذاتي للرباعي السطوح (Q ) حول (yz ) - الطائرة ، والمستوى (xz ) ، والمستوى (xy ).

المحلول

مرة أخرى ، يمكننا كتابة حدود التكامل على الفور تقريبًا ، ومن ثم يمكننا المتابعة بسرعة لتقييم لحظات القصور الذاتي. باستخدام الصيغة المذكورة من قبل ، لحظات القصور الذاتي للرباعي السطوح (Q ) حول (yz ) - الطائرة ، (xz ) - الطائرة ، و (xy ) - الطائرة

[I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) rho (x، y، z) ، dV، ]

[I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) rho (x ، y ، z) ، dV ، ] و

[I_z = iiint_Q (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x ، y ، z) ، dV ، مع ، rho (x ، y ، z) = x ^ 2yz. ]

المضي قدما في الحسابات ، لدينا

[ begin {align *} I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 rho (x، y، z) ، dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (y ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 yz ، dz ، dy ، dx = dfrac {117} {35} حوالي 3.343، end {align *} ]

[ begin {align *} I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 rho (x، y، z) ، dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (x ^ 2 + z ^ 2) x ^ 2 yz ، dz ، dy ، dx = dfrac {684} {35} حوالي 19.543، end {align *} ]

[ begin {align *} I_z = iiint_Q (x ^ 2 + y ^ 2) x ^ 2 rho (x، y، z) ، dV [4pt] = int_ {x = 0} ^ {x = 6} int_ {y = 0} ^ {y = frac {1} {2} (6-x)} int_ {z = 0} ^ {z = frac {1} {3} ( 6-x-2y)} (x ^ 2 + y ^ 2) x ^ 2 yz ، dz ، dy ، dx = dfrac {729} {35} حوالي 20.829. النهاية {محاذاة *} ]

وبالتالي ، فإن لحظات القصور الذاتي للرباعي الوجوه (Q ) حول (yz ) - الطائرة ، (xz ) - الطائرة ، والمستوى (xy ) - هي (117/35 ، و 684/35 ) و (729/35 ) على التوالي.

تمرين ( PageIndex {10} )

ضع في اعتبارك نفس المنطقة (Q ) (الشكل ( PageIndex {7} )) ، واستخدم دالة الكثافة ( rho (x، y، z) = xy ^ 2z ). ابحث عن لحظات القصور الذاتي حول مستويات الإحداثيات الثلاثة.

إجابه

لحظات القصور الذاتي للرباعي الوجوه (س ) حول (yz ) - الطائرة ، (xz ) - الطائرة ، (xy ) - الطائرة (99/35 ، ، 36 / 7 ) و (243/35 ) على التوالي.

المفاهيم الرئيسية

إيجاد الكتلة ومركز الكتلة واللحظات ولحظات القصور الذاتي في تكاملات مزدوجة:

  • بالنسبة إلى الصفيحة (R ) ذات دالة الكثافة ( rho (x ، y) ) في أي نقطة ((x ، y) ) في المستوى ، تكون الكتلة [m = iint_R rho (س ، ص) ، دا. ]
  • اللحظات حول (x ) - المحور و (y ) - المحور هي [M_x = iint_R y rho (x، y) ، dA ، و ، M_y = iint_R x rho ( س ، ص) ، د. ]
  • يتم إعطاء مركز الكتلة بواسطة ( bar {x} = dfrac {M_y} {m}، ، bar {y} = dfrac {M_x} {m} ).
  • يصبح مركز الكتلة هو النقطه الوسطى للطائرة عندما تكون الكثافة ثابتة.
  • لحظات القصور الذاتي حول (x ) - المحور (y ) - والأصل هي [I_x = iint_R y ^ 2 rho (x، y) ، dA، ، I_y = iint_R x ^ 2 rho (x، y) ، dA، ، and ، I_0 = I_x + I_y = iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) rho (x، y) ، dA. ]

إيجاد الكتلة ومركز الكتلة واللحظات ولحظات القصور الذاتي في تكاملات ثلاثية:

  • بالنسبة لجسم صلب (Q ) بوظيفة كثافة ( rho (x ، y ، z) ) في أي نقطة ((x ، y ، z) ) في الفضاء ، تكون الكتلة [m = iiint_Q rho (x، y، z) ، dV. ]
  • اللحظات حول (xy ) - الطائرة و (xz ) - الطائرة و (yz ) - هي [M_ {xy} = iiint_Q z rho (x، y، z) ، dV، ، M_ {xz} = iiint_Q y rho (x، y، z) ، dV، ، M_ {yz} = iiint_Q x rho (x، y، z) ، dV ]
  • يتم إعطاء مركز الكتلة بواسطة ( bar {x} = dfrac {M_ {yz}} {m}، ، bar {y} = dfrac {M_ {xz}} {m}، ، شريط {z} = dfrac {M_ {xy}} {m}. )
  • يصبح مركز الكتلة هو النقطه الوسطى من المادة الصلبة عندما تكون الكثافة ثابتة.
  • لحظات القصور الذاتي حول الطائرة (yz ) والطائرة (xz ) والطائرة (xy ) - هي [I_x = iiint_Q (y ^ 2 + z ^ 2) ، rho (x، y، z) ، dV، ، I_y = iiint_Q (x ^ 2 + z ^ 2) ، rho (x، y، z) ، dV، ، I_z = iiint_Q ( x ^ 2 + y ^ 2) ، rho (x، y، z) ، dV. ]

المعادلات الرئيسية

  • كتلة الصفيحة [m = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l m_ {ij} = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A = iint_R rho (x، y) ، dA ]
  • لحظة حول x-محور [M_x = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k ، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (y_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A = iint_R y rho (x، y) ، dA ]
  • لحظة حول ذ-محور [M_y = lim_ {k، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) m_ {ij} = lim_ {k ، l rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ k sum_ {j = 1} ^ l (x_ {ij} ^ *) rho (x_ {ij} ^ *، y_ {ij} ^ *) ، Delta A = iint_R x rho (x، y) ، dA ]
  • مركز كتلة الصفيحة [ bar {x} = dfrac {M_y} {m} = dfrac { iint_R x rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} ، و ، شريط {y} = dfrac {M_x} {m} = dfrac { iint_R y rho (x، y) ، dA} { iint_R rho (x، y) ، dA} ]

قائمة المصطلحات

نصف قطر الدوران
المسافة من مركز كتلة الجسم إلى محور دورانه


شاهد الفيديو: More on moment of inertia. Moments, torque, and angular momentum. Physics. Khan Academy (شهر اكتوبر 2021).