مقالات

15.2: تكاملات الخط


أهداف التعلم

  • احسب خطًا عدديًا متكاملًا على طول منحنى.
  • احسب خط متجه متكامل على طول منحنى موجه في الفراغ.
  • استخدم خطًا متكاملًا لحساب العمل المنجز في تحريك كائن على طول منحنى في حقل متجه.
  • وصف تدفق ودوران مجال متجه.

نحن على دراية بتكاملات المتغير الفردي للنموذج ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f (x) ، dx ) ، حيث يكون مجال التكامل عبارة عن فاصل ([a، b] ). يمكن اعتبار مثل هذا الفاصل الزمني على أنه منحنى في (xy ) - المستوى ، لأن الفاصل الزمني يحدد قطعة خط بنقاط نهاية ((أ ، 0) ) و ((ب ، 0) ) - في بعبارة أخرى ، قطعة مستقيمة تقع على المحور (س ). افترض أننا نريد التكامل أي منحنى في المستوى ، وليس فقط فوق مقطع خط على المحور (س ). تتطلب مثل هذه المهمة نوعًا جديدًا من التكامل ، يسمى أ خط متكامل.

تكاملات الخط لها العديد من التطبيقات في الهندسة والفيزياء. وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بخصائص الحقول المتجهة ، كما سنرى.

تكاملات الخط العددي

يمنحنا تكامل الخط القدرة على دمج وظائف متعددة المتغيرات وحقول متجه على منحنيات عشوائية في مستوى أو في الفضاء. هناك نوعان من تكاملات الخط: تكاملات الخط القياسي وتكاملات الخط المتجه. تكاملات الخط العددي هي تكاملات دالة عددية على منحنى في مستوى أو في الفضاء. تكاملات خط المتجه هي تكاملات حقل متجه على منحنى في مستوى أو في فراغ. دعونا نلقي نظرة على تكاملات الخط القياسي أولاً.

يتم تعريف التكامل الخطي القياسي تمامًا كما يتم تعريف التكامل أحادي المتغير ، باستثناء أنه بالنسبة إلى التكامل الخطي القياسي ، فإن التكامل هو دالة لأكثر من متغير واحد ومجال التكامل هو منحنى في مستوى أو في الفضاء ، مثل على عكس منحنى على المحور (س ).

بالنسبة إلى تكامل الخط القياسي ، ندع (C ) منحنى سلس في مستوى أو في الفضاء ونجعل ff دالة ذات مجال يتضمن (C ). نقطع المنحنى إلى قطع صغيرة. لكل قطعة ، نختار النقطة (ف ) في تلك القطعة ونقيم (و ) في (ف ). (يمكننا القيام بذلك لأن جميع النقاط في المنحنى تقع في مجال (f ).) نضرب (f (P) ) بطول قوس القطعة ( Delta s ) ، نضيف المنتج (f (P) Delta s ) على كل القطع ، ثم اترك طول قوس القطع يتقلص إلى الصفر بأخذ حد. والنتيجة هي خط عددي لا يتجزأ من الدالة فوق المنحنى.

للحصول على وصف رسمي لتكامل الخط القياسي ، دع (C ) يكون منحنىًا سلسًا في الفضاء المعطى بواسطة المعلمة ( vecs r (t) = ⟨x (t) ، y (t) ، z (t) ⟩ ) ، (a≤t≤b ). لنفترض أن (f (x، y، z) ) دالة ذات مجال يتضمن منحنى (C ). لتحديد خط تكامل الوظيفة (f ) على (C ) ، نبدأ مع بدء معظم تعريفات التكامل: نقوم بتقطيع المنحنى إلى قطع صغيرة. قسّم فاصل المعلمة ([a، b] ) إلى (n ) فترات فرعية ([t_ {i − l}، t_i] ) بعرض متساوٍ لـ (1≤i≤n ) ، حيث (t_0 = a ) و (t_n = b ) (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )). لنفترض أن (t_ {i} ^ * ) قيمة في الفاصل (i ^ {th} ) ([t_ {i − l}، t_i] ). تشير إلى نقاط نهاية ( vecs r (t_0) ) ، ( vecs r (t_1) ) ، ... ، ( vecs r (t_n) ) بواسطة (P_0 ) ، ... ، (P_n ). نقاط صأنا قسّم منحنى (C ) إلى (n ) قطع (C_1 ) ، (C_2 ) ، ... ، (C_n ) ، بأطوال ( Delta s_1 ) ، ( Delta s_2 ) ، ... ، ( Delta s_n ) ، على التوالي. دع (P_ {i} ^ * ) يشير إلى نقطة نهاية ( vecs r (t_ {i} ^ *) ) لـ (1≤i≤n ). الآن ، نقوم بتقييم الدالة (f ) عند النقطة (P_ {i} ^ * ) لـ (1≤i≤n ). لاحظ أن (P_ {i} ^ * ) في القطعة (C_1 ) ، وبالتالي فإن (P_ {i} ^ * ) يقع في مجال (f ). اضرب (f (P_ {i} ^ *) ) في الطول ( Delta s_1 ) (C_1 ) ، مما يعطي مساحة "الورقة" بالقاعدة (C_1 ) ، والارتفاع (f (P_ {i} ^ {*}) ). هذا يماثل استخدام المستطيلات لتقريب المساحة في تكامل متغير واحد. الآن ، نشكل المجموع ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) ، Delta s_i ).

لاحظ تشابه هذا المبلغ مقابل مجموع ريمان ؛ في الواقع ، هذا التعريف هو تعميم لمجموع ريمان لمنحنيات عشوائية في الفضاء. تمامًا كما هو الحال مع مجموع Riemann وتكاملاته في النموذج ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) ، dx ) ، نحدد التكامل عن طريق ترك عرض قطع المنحنى يتقلص إلى الصفر بمقدار أخذ حد. والنتيجة هي خط عددي لا يتجزأ من (f ) على طول (C ).

ربما لاحظت اختلافًا بين هذا التعريف للتكامل الخطي القياسي والتكامل أحادي المتغير. في هذا التعريف ، أطوال القوس ( Delta s_1 ) ، ( Delta s_2 ) ، ... ، ( Delta s_n ) ليست بالضرورة هي نفسها ؛ في تعريف التكامل أحادي المتغير ، يتم تقسيم المنحنى في المحور (س ) إلى أجزاء متساوية الطول. هذا الاختلاف ليس له أي تأثير في الحد. نظرًا لتقليص أطوال القوس إلى الصفر ، تصبح قيمها قريبة بدرجة كافية بحيث يصبح أي اختلاف بسيط غير ذي صلة.

التعريف: خط عددي متكامل

لنفترض أن (f ) دالة ذات مجال يتضمن المنحنى السلس (C ) المحدد بواسطة ( vecs r (t) = ⟨x (t) ، y (t) ، z (t) ⟩ ) ، (a≤t≤b ). ال خط عددي متكامل من (و ) على طول (ج ) هو

[ int_C f (x، y، z) ، ds = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) ، دلتا s_i label {eq12a} ]

إذا كان هذا الحد موجودًا ، يتم تعريف (t_ {i} ^ {*} ) و ( Delta s_i ) كما في الفقرات السابقة). إذا كان (C ) منحنى مستوٍ ، فيمكن تمثيل (C ) بالمعادلات البارامترية (x = x (t) ) ، (y = y (t) ) ، و (a ≤t≤b ). إذا كان (C ) سلسًا و (f (x ، y) ) دالة من متغيرين ، فسيتم تعريف الخط القياسي (f ) على طول (C ) بالمثل

[ int_C f (x، y) ، ds = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (P_ {i} ^ {*}) ، Delta s_i ، التسمية {eq13} ]

إذا كان هذا الحد موجودًا.

إذا كانت (f ) دالة مستمرة على منحنى ناعم (C ) ، إذن ( displaystyle int_C f ، ds ) موجود دائمًا. بما أن ( displaystyle int_C f ، ds ) يتم تعريفه على أنه حد لمجموع Riemann ، فإن استمرارية (f ) كافية لضمان وجود الحد ، تمامًا مثل التكامل ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) ، dx ) موجود إذا كان (g ) مستمرًا على ([a، b] ).

قبل النظر في كيفية حساب تكامل خط ، نحتاج إلى فحص الهندسة التي تلتقطها هذه التكاملات. افترض أن (f (x، y) ≥0 ) لجميع النقاط ((x، y) ) على منحنى مستو سلس (C ). تخيل أخذ المنحنى (C ) وإسقاطه "لأعلى" على السطح المحدد بواسطة (f (x ، y) ) ، وبالتالي إنشاء منحنى جديد (C ) يقع في الرسم البياني (f (س ، ص) ) (الشكل ( PageIndex {2} )). الآن نسقط "ورقة" من (C ′ ) إلى المستوى (xy ) -. مساحة هذه الورقة هي ( displaystyle int_C f (x، y) ds ). إذا كانت (f (x، y) ≤0 ) لبعض النقاط في (C ) ، فإن قيمة ( displaystyle int_C f (x، y) ، ds ) هي المساحة فوق (xy ) - الطائرة أقل المساحة الموجودة أسفل الطائرة (xy ). (لاحظ التشابه مع تكاملات النموذج ( displaystyle int_ {a} ^ {b} g (x) ، dx ).)

من هذه الهندسة ، يمكننا أن نرى أن تكامل السطر ( displaystyle int_C f (x، y) ، ds ) لا يعتمد على المعلمات ( vecs r (t) ) من (C ). طالما تم اجتياز المنحنى مرة واحدة بالضبط بواسطة المعلمات ، فإن مساحة الورقة التي تشكلها الوظيفة والمنحنى هي نفسها. يمكن تمديد هذا النوع من الحجة الهندسية لإظهار أن تكامل الخط لوظيفة ثلاثية المتغيرات فوق منحنى في الفضاء لا يعتمد على تحديد معاملات المنحنى.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد قيمة خط متكامل

أوجد قيمة ( displaystyle int_C 2 ، ds ) حيث (C ) هو النصف العلوي من دائرة الوحدة.

المحلول

المُدمج هو (f (x، y) = 2 ). يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) الرسم البياني للمنحنى (f (x، y) = 2 ) ج، والورقة التي شكلوها. لاحظ أن هذه الورقة لها نفس مساحة المستطيل بالعرض ( pi ) والطول (2 ). لذلك ، ( displaystyle int_C 2 ، ds = 2 pi ، text {Units} ^ 2 ).

لنرى أن ( displaystyle int_C 2 ، ds = 2 pi ) باستخدام تعريف تكامل الخط ، نسمح لـ ( vecs r (t) ) أن يكون معلمة لـ (C ). ثم ، (f ( vecs r (t_i)) = 2 ) لأي رقم (t_i ) في مجال ( vecs r ). وبالتالي،

[ start {align *} int_C f ، ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ {i} ^ {*} )) ، Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} 2 ، Delta s_i [4pt] & = 2 lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} ، Delta s_i [4pt] & = 2 ( text {length} space text {of} space C) [4pt] & = 2 pi ، text {Units} ^ 2. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد قيمة ( displaystyle int_C (x + y) ، ds ) ، حيث (C ) هو المنحنى المحدد بواسطة (x = t ) ، (y = t) ، ( 0≤t≤1 ).

تلميح

ابحث عن الشكل المكون من (C ) والرسم البياني للوظيفة (f (x، y) = x + y ).

إجابه

( sqrt {2} )

لاحظ أنه في تكامل الخط القياسي ، يتم التكامل فيما يتعلق بطول القوس (s ) ، مما يجعل حساب الخط القياسي صعبًا. لتسهيل العمليات الحسابية ، يمكننا ترجمة ( displaystyle int_C f ، ds ) إلى تكامل مع متغير تكامل يكون (t ).

دع ( vecs r (t) = ⟨x (t) ، y (t) ، z (t)⟩ ) من أجل (a≤t≤b ) تكون معلمة لـ (C ). نظرًا لأننا نفترض أن (C ) سلس ، ( vecs r ′ (t) = ⟨x ′ (t) ، y ′ (t) ، z ′ (t)⟩ ) مستمر للجميع ( t ) في ([أ ، ب] ). على وجه الخصوص ، (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) و (z ′ (t) ) موجودة للجميع (t ) في ([a، b] ). وفقًا لصيغة طول القوس ، لدينا

[ text {length} (C_i) = Delta s_i = int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt. ]

إذا كان العرض ( Delta t_i = t_i − t_ {i − 1} ) صغيرًا ، فإن الوظيفة ( displaystyle int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt ، ≈ ، ‖ vecs r ′ (t_i ^ *) ‖ ، Delta t_i ) ، (‖ vecs r ′ (t) ‖ ) ثابت تقريبًا خلال الفاصل الزمني ([t_ {i − 1}، t_i] ). لذلك ،

[ int_ {t_ {i − 1}} ^ {t_i} ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt ، ≈ ، ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ ، Delta t_i، label {almostLineIntEq1} ]

ونحن لدينا

[ sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) ، Delta s_i almost sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_ { i} ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ ، Delta t_i. ]

راجع الشكل ( PageIndex {4} ).

لاحظ أن

[ lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r (t_i ^ *)) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ ، Delta t_i = int_a ^ bf ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt. ]

بمعنى آخر ، نظرًا لأن عرض الفواصل ([t_ {i − 1}، t_i] ) يتقلص إلى الصفر ، فإن المجموع ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ {n} f ( vecs r ( t_i ^ {*})) ‖ vecs r ′ (t_ {i} ^ {*}) ‖ ، Delta t_i ) يتقارب مع التكامل ( displaystyle int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt ). لذا، لدينا النظرية التالية.

نظرية: تقييم تكامل خط عددي

لنفترض أن (f ) دالة متصلة بمجال يتضمن المنحنى السلس (C ) مع تحديد المعلمات ( vecs r (t) ) ، (a≤t≤b ). ثم

[ int_C f ، ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt. label {scalerLineInt1} ]

على الرغم من أننا قمنا بتسمية المعادلة ref {almostLineIntEq1} كمعادلة ، إلا أنه تم اعتبارها بشكل أكثر دقة تقريبًا لأننا نستطيع إظهار أن الجانب الأيسر من المعادلة المرجع {almostLineIntEq1} يقترب من الجانب الأيمن مثل (n to إنفتي). بمعنى آخر ، ترك عرض القطع يتقلص إلى الصفر يجعل مجموع اليد اليمنى قريبًا بشكل تعسفي من مجموع اليد اليسرى. منذ

[‖ vecs r ′ (t) ‖ = sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2 } ، ]

نحصل على النظرية التالية ، التي نستخدمها لحساب تكاملات الخط القياسي.

نظرية: حساب متكامل للخط العددي

لنفترض أن (f ) وظيفة مستمرة مع مجال يتضمن المنحنى السلس (C ) مع تحديد المعلمات ( vecs r (t) = ⟨x (t) ، y (t) ، z (t)⟩ ) ، (a≤t≤b ). ثم

[ int_C f (x، y، z) ، ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) sqrt {({x ′ (t))} ^ 2+ { (y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} ، dt. ]

بصورة مماثلة،

[ int_C f (x، y) ، ds = int_ {a} ^ {b} f ( vecs r (t)) sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (ر))} ^ 2} ، دت ]

إذا كان (C ) منحنى مستوي و (f ) دالة من متغيرين.

لاحظ أن نتيجة هذه النظرية هي المعادلة (ds = ‖ vecs r ′ (t) ‖ ، dt ). بمعنى آخر ، يمكن النظر إلى التغيير في طول القوس على أنه تغيير في (t ) - المجال ، مقاسة بحجم المتجه ( vecs r ′ (t) ).

مثال ( PageIndex {2} ): تقييم تكامل سطر

أوجد قيمة التكامل ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ، ds ) حيث (C ) هو جزء من معلمة الحلزون بواسطة ( vecs r (t) = ⟨ cos t، sin t، t⟩ )، (0≤t≤2 pi ).

المحلول

لحساب لا يتجزأ من الخط القياسي ، نبدأ بتحويل متغير التكامل من طول القوس (ق ) إلى (تي ). بعد ذلك ، يمكننا استخدام المعادلة ref {eq12a} لحساب التكامل فيما يتعلق بـ (t ). لاحظ أن

[f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 t + { sin} ^ 2 t + t = 1 + t nonumber ]

و

[ sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} = sqrt {{(- sin (t))} ^ 2 + { cos} ^ 2 (t) +1} = sqrt {2}. nonumber ]

وبالتالي،

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ، ds = int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} ، dt. لا يوجد رقم]

لاحظ أن المعادلة ref {eq12a} ترجمت تكامل السطر الصعب الأصلي إلى تكامل متغير واحد يمكن التحكم فيه. منذ

[ begin {align *} int_ {0} ^ {2 pi} (1 + t) sqrt {2} ، dt & = { left [ sqrt {2} t + dfrac { sqrt { 2} t ^ 2} {2} right]} _ {0} ^ {2 pi} [4pt]
& = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2، end {align *} ]

لدينا

[ int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ، ds = 2 sqrt {2} pi + 2 sqrt {2} { pi} ^ 2. لا يوجد رقم]

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد قيمة ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds ) حيث ج هو المنحنى ذو المعلمات ( vecs r (t) = ⟨ sin (3t) ، cos (3t)⟩ ) ، (0≤t≤ dfrac { pi} {4} ).

تلميح

استخدم الإصدار ذو المتغيرين من تعريف تكامل الخط القياسي (المعادلة المرجع {eq13}).

إجابه

[ dfrac {1} {3} + dfrac { sqrt {2}} {6} + dfrac {3 pi} {4} ]

مثال ( PageIndex {3} ): استقلالية المعامل

أوجد قيمة التكامل ( displaystyle int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ، ds ) حيث (C ) هو جزء من معلمة الحلزون بواسطة ( vecs r (t) = ⟨ cos (2t) ، sin (2t) ، 2t⟩ ) ، (0≤t≤π ). لاحظ أن هذه الوظيفة والمنحنى هي نفسها كما في المثال السابق ؛ والفرق الوحيد هو أن المنحنى قد تمت إعادة معاملته بحيث يعمل الوقت أسرع مرتين.

المحلول

كما في المثال السابق ، نستخدم المعادلة ref {eq12a} لحساب التكامل فيما يتعلق بـ (t ). لاحظ أن (f ( vecs r (t)) = { cos} ^ 2 (2t) + { sin} ^ 2 (2t) + 2t = 2t + 1 ) و

[ start {align *} sqrt {{(x ′ (t))} ^ 2 + {(y ′ (t))} ^ 2 + {(z ′ (t))} ^ 2} & = الجذر التربيعي {(- sin t + cos t + 4)} [4pt] & = 22
النهاية {محاذاة *} ]

اذا لدينا

[ begin {align *} int_C (x ^ 2 + y ^ 2 + z) ds & = 2 sqrt {2} int_ {0} ^ { pi} (1 + 2t) dt [4pt ] & = 2 sqrt {2} Big [t + t ^ 2 Big] _0 ^ { pi} [4pt] & = 2 sqrt {2} ( pi + { pi} ^ 2). النهاية {محاذاة *} ]

لاحظ أن هذا يتفق مع الإجابة في المثال السابق. تغيير المعلمات لم يغير قيمة خط التكامل. تكاملات الخط القياسي مستقلة عن تحديد المعاملات ، طالما أن المنحنى يتم اجتيازه مرة واحدة بالضبط بواسطة المعلمات.

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) ، ds ) حيث (C ) هو السطر الذي يحتوي على معاملات ( vecs r (t) = ⟨2t، 5t، −t⟩ ) ، (0≤t≤10 ). أعد معاملات ج باستخدام المعلمات (s (t) = ⟨4t، 10t، −2t⟩ )، (0≤t≤5 )، إعادة حساب سطر متكامل ( displaystyle int_C (x ^ 2 + yz) ، ds ) ، ولاحظ أن تغيير المعلمات لم يكن له أي تأثير على قيمة التكامل.

تلميح

استخدم المعادلة المرجع {eq12a}.

إجابه

كلا الخطين متساويين (- dfrac {1000 sqrt {30}} {3} ).

الآن بعد أن أصبح بإمكاننا إيجاد تكاملات الخط ، يمكننا استخدامها لحساب طول القوس. إذا كان (f (x ، y ، z) = 1 ) ، إذن

[ start {align *} int_C f (x، y، z) ، ds & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i} ^ {*}) ، Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} sum_ {i = 1} ^ {n} ، Delta s_i [4pt] & = lim_ {n to infty} text {length} (C) [4pt] & = text {length} (C). النهاية {محاذاة *} ]

لذلك ، ( displaystyle int_C 1 ، ds ) هو طول قوس (C ).

مثال ( PageIndex {4} ): حساب طول القوس

السلك له شكل يمكن نمذجته باستخدام المعلمات ( vecs r (t) = ⟨ cos t، sin t، t⟩ )، (0≤t≤4 pi ). أوجد طول السلك.

المحلول

يُعطى طول السلك بواسطة ( displaystyle int_C 1 ، ds ) حيث (C ) هو المنحنى ذو المعلمات ( vecs r ). وبالتالي،

[ start {align *} text {طول السلك} & = int_C 1 ، ds [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} || vecs r ′ ( t) || ، dt [4pt] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {(- sin t) ^ 2 + cos ^ 2 t + t} dt [4pt ] & = int_ {0} ^ {4 pi} sqrt {1 + t} dt [4pt] & = left. dfrac {2 {(1 + t)} ^ { frac {3} {2}}} {3} right | _ {0} ^ {4 pi} [4pt] & = frac {2} {3} left ((1 + 4 pi) ^ {3 / 2} −1 يمين). النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد طول السلك ذي المعلمات ( vecs r (t) = ⟨3t + 1،4−2t، 5 + 2t⟩ )، (0≤t≤4 ).

تلميح

أوجد تكامل خط واحد على المنحنى المقابل.

إجابه

(4 sqrt {17} )


حساب التفاضل والتكامل

المدربون: اختر كتابًا إلكترونيًا للوصول السريع أو احصل على نسخة مطبوعة.

باستخدام كتاب McGraw Hill الإلكتروني ، يمكن للطلاب الوصول إلى الكتب المدرسية الرقمية الخاصة بهم على الويب أو الانتقال إلى وضع عدم الاتصال عبر تطبيق ReadAnywhere للهواتف أو الأجهزة اللوحية.

تشمل دورات McGraw Hill eBook:

  • القراءة دون اتصال بالإنترنت - الدراسة في أي وقت وفي أي مكان
  • واجهة واحدة لجميع كتب McGraw Hill الإلكترونية
  • تسليط الضوء وتدوين الملاحظات
  • المزامنة عبر الأنظمة الأساسية ، محدثة دائمًا
  • متاح لنظامي Android و iOS

الإيجار الشهري


رياضيات 215 مظاهرات

ملاحظة: لكل عرض توضيحي توضيح يوفر صفحة تشرح العرض التوضيحي. صالة عرض هي صفحة بها صور يمكن الوصول إليها عبر الويب (فقط) من الشرح والتي قد تكون مفيدة حتى إذا لم تستخدم الرياضيات دفتر. أخيرا، دفتر ملاحظات هو ارتباط إلى ملف الرياضيات دفتر للمظاهرة.

ملاحظة حول الاستخدام: حساب أن بعض الرياضيات دفاتر الملاحظات مهمة جدا. لاستخدام دفاتر الملاحظات ، ستحتاج إلى تقييمها مسبقًا (من القائمة العلوية ، التقييم- & gtEvaluate Notebook) وحفظ دفتر الملاحظات بالرسومات التي تم إنشاؤها. في بعض الحالات ، سيستغرق التقييم بعض الوقت.

هناك أيضا عدد من الرياضيات دفاتر الملاحظات من مواد الفصل 12 (أي ، المتجهات ، إلخ) لم يتم توثيقها ولكنها قد توفر رسومات مفيدة: صيغة المسافة الديكارتية تنسق خطوط المنتجات المتقاطعة والمستويات والأسطح التربيعية.


حاسبة متكاملة

تحقق أيضًا من ملف حاسبة مشتقة!
حساب التكامل باللغة الاسبانية
Integralrechner عوف دويتش
Калькулятор Интегралов на Русском

تتيح لك الحاسبة المتكاملة حساب التكاملات والمشتقات العكسية للوظائف عبر الإنترنت و [مدش] مجانًا!

تتيح لك الآلة الحاسبة الخاصة بنا التحقق من حلولك لتمارين التفاضل والتكامل. يساعدك على التدرب من خلال إظهار العمل الكامل لك (التكامل خطوة بخطوة). يتم دعم جميع تقنيات التكامل الشائعة وحتى الوظائف الخاصة.

تدعم الحاسبة المتكاملة التكاملات المحددة وغير المحددة (المشتقات العكسية) بالإضافة إلى تكامل الوظائف مع العديد من المتغيرات. يمكنك أيضا التحقق من إجاباتك! تساعد الرسوم البيانية / المؤامرات التفاعلية على تصور الوظائف وفهمها بشكل أفضل.

لمعرفة المزيد حول كيفية استخدام الآلة الحاسبة المتكاملة ، انتقل إلى "يساعد"أو إلقاء نظرة على الأمثلة.

والآن: دمج سعيد!

أدخل الوظيفة التي تريد دمجها في الحاسبة المتكاملة. تخطي "و (س) ="الجزء والتفاضل"dxستعرض لك "الحاسبة المتكاملة" نسخة رسومية من إدخالك أثناء الكتابة. تأكد من ظهورها بالضبط ما تريد. استخدم الأقواس ، إذا لزم الأمر ، هـ. ز. "أ / (ب + ج)".

في "أمثلة"، يمكنك معرفة الوظائف التي تدعمها الحاسبة المتكاملة وكيفية استخدامها.

عندما تنتهي من إدخال وظيفتك ، انقر فوق "اذهب!"، وستظهر الحاسبة المتكاملة النتيجة أدناه.

في "خيارات"، يمكنك ضبط ملف متغير التكامل و ال حدود التكامل. إذا لم تحدد الحدود ، فسيتم حساب المشتق العكسي فقط.

يؤدي النقر فوق أحد الأمثلة إلى إدخاله في الآلة الحاسبة المتكاملة. يؤدي تحريك الماوس فوقه إلى إظهار النص.

تكوين الآلة الحاسبة المتكاملة:

متغير التكامل:
الحد الأعلى (إلى): +∞
الحد الأدنى (من): & ndash∞
تكامل عدديا فقط؟
تبسيط التعبيرات؟
تبسيط كل الجذور؟
(√ x² يصبح x، لا |x|)
استخدام المجال المعقد (ℂ)؟
هل تريد الاحتفاظ بالأرقام العشرية؟

يتيح لك منشئ مشكلات التدريب إمكانية إنشاء أكبر عدد تريده من التمارين العشوائية.

تجد بعض خيارات التكوين ومشكلة مقترحة أدناه. يمكنك قبولها (ثم إدخالها في الآلة الحاسبة) أو إنشاء واحدة جديدة.

تكاملات محددة تكامل اجزاء
الاستبدال استكمال المربع
كثيرات الحدود والقوى الدوال الأسية
Trigon./hyperb. المهام وظائف عقلانية
Inv. تريغون. المهام اللوغاريتمات
وظائف خاصة تكاملات صعبة
قبول المشكلة المشكلة التالية

احسب تكامل ... أدخل إجابتك الخاصة:

جاري التحميل انتظر من فضلك!
سيستغرق هذا بضع ثوان.

ليس ما تقصده؟ استخدم الأقواس! تعيين متغير التكامل والحدود في "خيارات".

أوصي بهذا الموقع

إذا أعجبك هذا الموقع ، فالرجاء دعمه من خلال إعطائه مثل. شكرا لك!

توصية كتاب

حساب التفاضل والتكامل للدمى (الإصدار الثاني)

كتاب مكتوب بشكل جيد للغاية للطلاب الذين يدرسون التفاضل والتكامل لأول مرة بالإضافة إلى أولئك الذين يحتاجون إلى تجديد المعلومات. يجعلك هذا الكتاب تدرك أن حساب التفاضل والتكامل ليس بهذه الصعوبة بعد كل شيء. → إلى الكتاب

رابط مدفوع. بصفتي أحد شركاء Amazon ، أكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

نتيجة

كيف تعمل الحاسبة المتكاملة

بالنسبة لأولئك الذين لديهم خلفية تقنية ، يشرح القسم التالي كيفية عمل الحاسبة المتكاملة.

أولاً ، يقوم المحلل اللغوي بتحليل الوظيفة الرياضية. إنه يحولها إلى شكل يمكن فهمه بشكل أفضل بواسطة الكمبيوتر ، أي شجرة (انظر الشكل أدناه). عند القيام بذلك ، يجب أن تحترم الحاسبة المتكاملة ترتيب العمليات. من خصائص التعبيرات الرياضية أنه يمكن ترك علامة الضرب في بعض الأحيان ، على سبيل المثال نكتب "5x" بدلاً من "5 * x". يجب على الآلة الحاسبة المتكاملة اكتشاف هذه الحالات وإدخال علامة الضرب.

يتم تنفيذ المحلل اللغوي في JavaScript ، بناءً على خوارزمية Shunting-yard ، ويمكن تشغيله مباشرةً في المستعرض. يتيح ذلك الحصول على ملاحظات سريعة أثناء الكتابة عن طريق تحويل الشجرة إلى كود LaTeX. يعتني MathJax بعرضه في المستعرض.

عندما يكون "Go!" عند النقر على الزر ، ترسل الحاسبة المتكاملة الوظيفة الرياضية والإعدادات (متغير حدود التكامل والتكامل) إلى الخادم ، حيث يتم تحليلها مرة أخرى. هذه المرة ، يتم تحويل الوظيفة إلى شكل يمكن فهمه بواسطة نظام الجبر الحاسوبي Maxima.

تهتم Maxima بالحساب الفعلي لتكامل الوظيفة الرياضية. يتم تحويل مخرجات Maxima إلى LaTeX مرة أخرى ثم يتم عرضها على المستخدم. يتم حساب المشتق العكسي باستخدام خوارزمية Risch ، والتي يصعب فهمها على البشر. هذا هو السبب في أن إظهار خطوات الحساب يمثل تحديًا كبيرًا للتكاملات.

لإظهار الخطوات ، تطبق الآلة الحاسبة نفس تقنيات التكامل التي يمكن أن يطبقها الإنسان. تم تطوير البرنامج الذي يقوم بذلك على مدار عدة سنوات وهو مكتوب بلغة البرمجة الخاصة بـ Maxima. يتكون من أكثر من 17000 سطر من التعليمات البرمجية. عندما يطابق التكاملاند شكلًا معروفًا ، فإنه يطبق قواعد ثابتة لحل التكامل (مثل التحلل الجزئي للكسر للوظائف المنطقية ، أو الاستبدال المثلثي للتكامل الذي يتضمن الجذور التربيعية لكثير الحدود من الدرجة الثانية أو التكامل بالأجزاء لمنتجات ذات وظائف معينة). وإلا فإنه يحاول إجراء عمليات استبدال وتحويلات مختلفة حتى يتم حل التكامل أو نفاد الوقت أو لم يتبق شيء لتجربته. تفتقر الآلة الحاسبة إلى الحدس الرياضي المفيد جدًا لإيجاد المشتق العكسي ، ولكن من ناحية أخرى يمكنها تجربة عدد كبير من الاحتمالات خلال فترة زمنية قصيرة. غالبًا ما تكون المشتقات العكسية خطوة بخطوة أقصر بكثير وأكثر أناقة من تلك التي عثر عليها ماكسيما.

يجب أن تحل ميزة "التحقق من الإجابة" المهمة الصعبة المتمثلة في تحديد ما إذا كان تعابير رياضية متكافئة. يتم حساب الاختلاف بينهما وتبسيطه قدر الإمكان باستخدام Maxima. على سبيل المثال ، يتضمن ذلك كتابة الدوال المثلثية / الزائدية في أشكالها الأسية. إذا أمكن إثبات أن الاختلاف يتم تبسيطه إلى الصفر ، يتم حل المهمة. خلاف ذلك ، يتم تطبيق خوارزمية احتمالية تقيم وتقارن كلتا الوظيفتين في الأماكن المختارة عشوائيًا. في حالة المشتقات العكسية ، يتم تكرار الإجراء بأكمله مع مشتق كل وظيفة ، حيث يُسمح للمشتقات العكسية بالاختلاف بواسطة ثابت.

يتم حساب الرسوم البيانية للوظائف التفاعلية في المتصفح ويتم عرضها ضمن عنصر لوحة الرسم (HTML5). لكل وظيفة يتم رسمها بيانيًا ، تنشئ الآلة الحاسبة وظيفة JavaScript ، والتي يتم تقييمها بعد ذلك في خطوات صغيرة من أجل رسم الرسم البياني. أثناء الرسم البياني ، يتم الكشف عن التفردات (مثل الأعمدة) ومعالجتها بشكل خاص. يتم تنفيذ التحكم بالإيماءات باستخدام Hammer.js.

إذا كان لديك أي أسئلة أو أفكار لتحسين الحاسبة المتكاملة ، فلا تتردد في مراسلتي عبر البريد الإلكتروني.


محتويات

من الناحية النوعية ، يمكن اعتبار الخط المتكامل في حساب التفاضل والتكامل كمقياس للتأثير الكلي لحقل موتر معين على طول منحنى معين. على سبيل المثال ، يمكن تفسير الخط المتكامل على حقل قياسي (موتر الرتبة 0) على أنه المنطقة الواقعة تحت الحقل المنحوتة بواسطة منحنى معين. يمكن تصور هذا على أنه السطح الذي تم إنشاؤه بواسطة ض = F(x,ذ) ومنحنى ج في ال س ص طائرة. خط تكامل F ستكون مساحة "الستارة" التي تم إنشاؤها - عندما تكون نقاط السطح فوقها مباشرة ج منحوتة.

تكامل خط في حقل رقمي تحرير

تحرير التعريف

هندسيًا ، عندما يتم تعريف المجال القياسي f على مستوى (ن = 2) رسمها البياني عبارة عن سطح ض = F(x, ذ) في الفضاء ، ويعطي الخط المتكامل منطقة المقطع العرضي (الموقعة) التي يحدها المنحنى C >> والرسم البياني لـ f. انظر الرسوم المتحركة على اليمين.

تحرير الاشتقاق

بالنسبة لخط متكامل فوق حقل قياسي ، يمكن إنشاء التكامل من مجموع Riemann باستخدام التعريفات أعلاه لـ f و C ومعلمات ص من C. يمكن القيام بذلك عن طريق تقسيم الفاصل الزمني [أ, ب] في n فترات فرعية [رأنا−1, رأنا] بطول Δر = (بأ)/ن ، من ثم ص(رأنا) يشير إلى نقطة ما ، نسميها نقطة عينة ، على المنحنى C. يمكننا استخدام مجموعة نقاط العينة <ص(رأنا): 1 ≤ أنان> لتقريب المنحنى C بمسار متعدد الأضلاع بإدخال قطعة خط مستقيم بين كل نقطة من نقاط العينة ص(رأنا−1) و ص(رأنا). ثم نسمي المسافة بين كل نقطة من نقاط العينة على المنحنى بـ Δسأنا . نتاج F(ص(رأنا)) و Δسأنا يمكن أن يقترن بالمنطقة الموقعة من المستطيل بارتفاع وعرض F(ص(رأنا)) و Δسأنا ، على التوالى. نحصل على حد مجموع المصطلحات عندما يقترب طول الأقسام من الصفر

من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، تكون المسافة بين النقاط اللاحقة على المنحنى

استبدال هذا في عوائد مجموع ريمان أعلاه

وهو مجموع ريمان للتكامل

تكامل خطي لحقل متجه تحرير

تحرير التعريف

لحقل متجه F: يوص نص ن ، الخط لا يتجزأ على طول منحنى سلس متعدد التعريف جيو، في اتجاه ص، يُعرَّف بأنه [2]

أين · هو حاصل الضرب النقطي و ص: [أ, ب] → ج هي معلمات حيوية للمنحنى ج مثل ذلك ص(أ) و ص(ب) تعطي نقاط النهاية لـ ج.

وبالتالي ، فإن الخط المتكامل للحقل القياسي هو خط لا يتجزأ من حقل متجه ، حيث تكون المتجهات دائمًا مماسية للخط.

تكاملات الخط لحقول المتجه مستقلة عن البارامتر ص في القيمة المطلقة ، لكنها تعتمد على توجهها. على وجه التحديد ، فإن الانعكاس في اتجاه المعلمات يغير علامة خط التكامل. [3]

من وجهة نظر الهندسة التفاضلية ، فإن الخط المتكامل لحقل متجه على طول منحنى هو جزء لا يتجزأ من الشكل 1 المقابل تحت التماثل الموسيقي (الذي يأخذ مجال المتجه إلى مجال covector المقابل) ، فوق المنحنى الذي يعتبر مغمورًا 1-متشعب.

تحرير الاشتقاق

يمكن اشتقاق تكامل الخط لحقل متجه بطريقة مشابهة جدًا لحالة الحقل القياسي ، ولكن هذه المرة بإدراج منتج نقطي. مرة أخرى باستخدام التعريفات أعلاه F ، C و معالمها ص(ر) ، نحن نبني التكامل من مجموع ريمان. نقوم بتقسيم الفاصل [أ, ب] (وهو نطاق قيم المعلمة t) في n فترات من الطول Δر = (بأ)/ن . السماح رأنا كن النقطة الأولى في [أ, ب] ، من ثم ص(رأنا) يعطينا موضع النقطة i على المنحنى. ومع ذلك ، بدلاً من حساب المسافات بين النقاط اللاحقة ، نحتاج إلى حساب متجهات الإزاحة ، Δصأنا . كما كان من قبل ، التقييم F في جميع النقاط على المنحنى وأخذ حاصل الضرب النقطي مع كل متجه إزاحة يعطينا المساهمة اللامتناهية لكل قسم من F على ج. إن ترك حجم الأقسام يذهب إلى الصفر يعطينا مجموعًا

من خلال نظرية القيمة المتوسطة ، نرى أن متجه الإزاحة بين النقاط المتجاورة على المنحنى هو

استبدال هذا في عوائد مجموع ريمان أعلاه

وهو مجموع ريمان للتكامل المحدد أعلاه.

تحرير مسار الاستقلال

إذا كان حقل متجه F هو التدرج اللوني لحقل عددي جي (أي إذا F محافظ) ، وهذا هو ،

ثم من خلال السلسلة متعددة المتغيرات تحكم مشتق تكوين جي و ص(ر) يكون

والتي تصادف أنها تكامل خط تكامل F على ص(ر). يتبع ، بالنظر إلى المسار ج ، الذي - التي

بمعنى آخر ، تكامل F خلال ج يعتمد فقط على قيم جي في النقاط ص(ب) و ص(أ) ، وبالتالي فهي مستقلة عن المسار بينهما. لهذا السبب ، يسمى خط لا يتجزأ من حقل متجه محافظ مسار مستقل.

تحرير التطبيقات

تكامل الخط له استخدامات عديدة في الفيزياء. على سبيل المثال ، الشغل المبذول على جسيم يسير في منحنى ج داخل مجال قوة ممثلة كحقل متجه F هو خط لا يتجزأ من F على ج. [4]

يتم حساب التدفق بمعنى موجه: للمنحنى C اتجاه أمامي محدد من ص(أ) ل ص(ب) ، ويتم حساب التدفق على أنه موجب عندما F(ص(ر)) على جانب اتجاه عقارب الساعة من متجه السرعة الأمامية ص(ر) .

يمكن تعريفها بتقسيم الفاصل الزمني [أ, ب] إلى أ = ر0 & lt ر1 & lt. & lt رن = ب والنظر في التعبير

ثم يكون التكامل هو حد مجموع ريمان هذا حيث تقترب أطوال فترات التقسيم الفرعي من الصفر.

إذا كانت المعلمات γ قابلة للتفاضل بشكل مستمر ، فيمكن تقييم تكامل الخط باعتباره جزءًا لا يتجزأ من دالة لمتغير حقيقي: [2]

عندما يكون L منحنى مغلق (تتطابق النقاط الأولية والنهائية) ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى تكامل الخط ∮ L f (z) d z ، f (z) ، dz ،> يشار إليها أحيانًا في الهندسة باسم أ تكامل دوري.

الخط لا يتجزأ فيما يتعلق بالتفاضل المركب المرافق d z ¯ تم تعريف >> [5] ليكون

يمكن تقييم تكاملات الخط للوظائف المعقدة باستخدام عدد من الأساليب. الأكثر مباشرة هو التقسيم إلى أجزاء حقيقية وخيالية ، مما يقلل من المشكلة إلى تقييم اثنين من تكاملات الخط ذات القيمة الحقيقية. يمكن استخدام نظرية كوشي المتكاملة لموازنة خط تكامل دالة تحليلية مع نفس التكامل على منحنى أكثر ملاءمة. كما يشير أيضًا إلى أنه على منحنى مغلق يحيط بالمنطقة حيث F(ض) تحليلي بدون تفرد ، قيمة التكامل هي ببساطة صفر ، أو في حالة احتواء المنطقة على فرادات ، تحسب نظرية البقايا التكامل من حيث التفردات.

مثال تحرير

ضع في اعتبارك الوظيفة F(ض) = 1/ض، ودع الكفاف إل تكون دائرة الوحدة في عكس اتجاه عقارب الساعة حوالي 0 ، محددة بواسطة z (ر) = ه هو - هي مع ر في [0، 2π] باستخدام الأسي المركب. عند الاستبدال ، نجد:

العلاقة بين تكامل الخط المعقد والتكامل الخطي لحقل المتجه

لا تشير صياغة المسار المتكاملة لميكانيكا الكم في الواقع إلى تكاملات المسار بهذا المعنى ولكن إلى التكاملات الوظيفية ، أي التكاملات على مساحة من المسارات ، لوظيفة ما من طريق ممكن. ومع ذلك ، فإن تكاملات المسار بالمعنى المقصود في هذه المقالة مهمة في ميكانيكا الكم على سبيل المثال ، غالبًا ما يتم استخدام تكامل الكنتور المعقد في تقييم السعات الاحتمالية في نظرية التشتت الكمي.


6.2 تكاملات الخط

تكاملات الخط لها العديد من التطبيقات في الهندسة والفيزياء. كما أنها تسمح لنا بعمل عدة تعميمات مفيدة للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بخصائص الحقول المتجهة ، كما سنرى.

تكاملات الخط العددي

يمنحنا تكامل الخط القدرة على دمج وظائف متعددة المتغيرات وحقول متجه على منحنيات عشوائية في مستوى أو في الفضاء. هناك نوعان من تكاملات الخط: تكاملات الخط القياسي وتكاملات الخط المتجه. تكاملات الخط العددي هي تكاملات دالة عددية على منحنى في مستوى أو في الفضاء. تكاملات خط المتجه هي تكاملات حقل متجه على منحنى في مستوى أو في فراغ. Let’s look at scalar line integrals first.

A scalar line integral is defined just as a single-variable integral is defined, except that for a scalar line integral, the integrand is a function of more than one variable and the domain of integration is a curve in a plane or in space, as opposed to a curve on the x-محور.

تعريف

Example 6.14

Finding the Value of a Line Integral

المحلول

Note that in a scalar line integral, the integration is done with respect to arc length س, which can make a scalar line integral difficult to calculate. To make the calculations easier, we can translate ∫ C f d s ∫ C f d s to an integral with a variable of integration that is ر.

Evaluating a Scalar Line Integral

Although we have labeled Equation 6.6 as an equation, it is more accurately considered an approximation because we can show that the left-hand side of Equation 6.6 approaches the right-hand side as n → ∞ . n → ∞ . In other words, letting the widths of the pieces shrink to zero makes the right-hand sum arbitrarily close to the left-hand sum. منذ

we obtain the following theorem, which we use to compute scalar line integrals.

Scalar Line Integral Calculation

Example 6.15

Evaluating a Line Integral

المحلول

To compute a scalar line integral, we start by converting the variable of integration from arc length س ل ر. Then, we can use Equation 6.8 to compute the integral with respect to ر. Note that f ( r ( t ) ) = cos 2 t + sin 2 t + t = 1 + t f ( r ( t ) ) = cos 2 t + sin 2 t + t = 1 + t and

Notice that Equation 6.8 translated the original difficult line integral into a manageable single-variable integral. منذ

Example 6.16

Independence of Parameterization

المحلول

As with the previous example, we use Equation 6.8 to compute the integral with respect to ر. Note that f ( r ( t ) ) = cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) + 2 t = 2 t + 1 f ( r ( t ) ) = cos 2 ( 2 t ) + sin 2 ( 2 t ) + 2 t = 2 t + 1 and

Notice that this agrees with the answer in the previous example. Changing the parameterization did not change the value of the line integral. Scalar line integrals are independent of parameterization, as long as the curve is traversed exactly once by the parameterization.

Now that we can evaluate line integrals, we can use them to calculate arc length. If f ( x , y , z ) = 1 , f ( x , y , z ) = 1 , then

Example 6.17

Calculating Arc Length

A wire has a shape that can be modeled with the parameterization r ( t ) = ⟨ cos t , sin t , t 2 2 ⟩ , 0 ≤ t ≤ 4 π . r ( t ) = ⟨ cos t , sin t , t 2 2 ⟩ , 0 ≤ t ≤ 4 π . Find the length of the wire.

المحلول

Find the length of a wire with parameterization r ( t ) = 〈 3 t + 1 , 4 − 2 t , 5 + 2 t 〉 , 0 ≤ t ≤ 4 . r ( t ) = 〈 3 t + 1 , 4 − 2 t , 5 + 2 t 〉 , 0 ≤ t ≤ 4 .

تكاملات خط المتجه

النوع الثاني من تكاملات الخط هو تكاملات خط متجه ، حيث نتكامل على طول منحنى عبر حقل متجه. على سبيل المثال ، دعونا

للإجابة على هذا السؤال ، لاحظ أولاً أن الجسيم يمكن أن يتحرك في اتجاهين على طول منحنى: اتجاه أمامي واتجاه خلفي. يعتمد الشغل الذي يقوم به مجال المتجه على الاتجاه الذي يتحرك فيه الجسيم. Therefore, we must specify a direction along curve ج such a specified direction is called an orientation of a curve . The specified direction is the إيجابي direction along ج the opposite direction is the نفي direction along ج. متي ج has been given an orientation, ج is called an oriented curve (Figure 6.16). يعتمد العمل المنجز على الجسيم على الاتجاه على طول المنحنى الذي يتحرك فيه الجسيم.

الذي يعطينا مفهوم خط متجه متكامل.

تعريف

The vector line integral of vector field F along oriented smooth curve ج يكون

مع تكاملات الخط القياسي ، لا يهم الاتجاه ولا تحديد معاملات المنحنى. طالما تم اجتياز المنحنى مرة واحدة بالضبط بواسطة المعلمات ، فإن قيمة خط التكامل لا تتغير. مع تكاملات الخط المتجه ، يكون اتجاه المنحنى مهمًا. إذا فكرنا في الخط المتكامل باعتباره عملًا حسابيًا ، فهذا منطقي: إذا صعدت جبلًا ، فإن قوة الجاذبية الأرضية ستؤثر سلبًا عليك. إذا كنت تمشي على الجبل بنفس المسار بالضبط ، فإن قوة الجاذبية الأرضية ستعمل عليك بشكل إيجابي. بمعنى آخر ، يؤدي عكس المسار إلى تغيير قيمة العمل من السلبية إلى الإيجابية في هذه الحالة. Note that if ج is an oriented curve, then we let −ج represent the same curve but with opposite orientation.

وبالتالي ، لدينا الصيغة التالية لحساب تكاملات خط المتجه:

Example 6.18

Evaluating a Vector Line Integral

المحلول

We can use Equation 6.9 to convert the variable of integration from س ل ر. ثم لدينا

Example 6.19

Reversing Orientation

المحلول

Notice that this is the same problem as Example 6.18, except the orientation of the curve has been traversed. In this example, the parameterization starts at r ( 0 ) = 〈 –1 , 0 〉 r ( 0 ) = 〈 –1 , 0 〉 and ends at r ( π ) = 〈 1 , 0 〉 . r ( π ) = 〈 1 , 0 〉 . By Equation 6.9,

Notice that this is the negative of the answer in Example 6.18. من المنطقي أن تكون هذه الإجابة سلبية لأن اتجاه المنحنى يتعارض مع "تدفق" مجال المتجه.

يترك ج be an oriented curve and let −ج denote the same curve but with the orientation reversed. ثم يوضح المثالان السابقان الحقيقة التالية:

أي أن عكس اتجاه المنحنى يغير إشارة خط متكامل.

Example 6.20

Finding the Value of an Integral of the Form ∫ C P d x + Q d y + R d z ∫ C P d x + Q d y + R d z

المحلول

As with our previous examples, to compute this line integral we should perform a change of variables to write everything in terms of ر. In this case, Equation 6.10 allows us to make this change:

لقد تعلمنا كيفية دمج المنحنيات السلسة المنحى. Now, suppose that ج is an oriented curve that is not smooth, but can be written as the union of finitely many smooth curves. In this case, we say that ج is a piecewise smooth curve . To be precise, curve ج is piecewise smooth if ج can be written as a union of ن smooth curves C 1 , C 2 ,… , C n C 1 , C 2 ,… , C n such that the endpoint of C i C i is the starting point of C i + 1 C i + 1 (Figure 6.19). When curves C i C i satisfy the condition that the endpoint of C i C i is the starting point of C i + 1 , C i + 1 , we write their union as C 1 + C 2 + ⋯ + C n . C 1 + C 2 + ⋯ + C n .

تلخص النظرية التالية العديد من الخصائص الأساسية لتكاملات خط المتجه.

Properties of Vector Line Integrals

يترك F و G be continuous vector fields with domains that include the oriented smooth curve ج. ثم

لاحظ أوجه التشابه بين هذه العناصر وخصائص التكاملات ذات المتغير الفردي. خصائص i. والثاني. لنفترض أن تكاملات الخط خطية ، وهذا ينطبق أيضًا على التكاملات ذات المتغير الفردي. الملكية ثالثا. يقول أن عكس اتجاه المنحنى يغير علامة التكامل. If we think of the integral as computing the work done on a particle traveling along ج, then this makes sense. إذا تحرك الجسيم للخلف بدلاً من الأمام ، فإن قيمة العمل المنجز لها علامة معاكسة. This is analogous to the equation ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x . Finally, if [ a 1 , a 2 ] , [ a 2 , a 3 ] ,… , [ a n − 1 , a n ] [ a 1 , a 2 ] , [ a 2 , a 3 ] ,… , [ a n − 1 , a n ] are intervals, then

وهو مشابه للملكية الرابع.

Example 6.21

Using Properties to Compute a Vector Line Integral

المحلول

We want to compute each of the four integrals on the right-hand side using Equation 6.8. قبل القيام بذلك ، نحتاج إلى تحديد معلمات لكل جانب من جوانب المستطيل. Here are four parameterizations (note that they traverse ج counterclockwise):

لاحظ أن قيمة هذا التكامل موجبة ، وهذا لا ينبغي أن يكون مفاجئًا. As we move along curve ج1 from left to right, our movement flows in the general direction of the vector field itself. At any point along ج1, the tangent vector to the curve and the corresponding vector in the field form an angle that is less than 90°. Therefore, the tangent vector and the force vector have a positive dot product all along ج1, and the line integral will have positive value.

يتم إجراء العمليات الحسابية للتكاملات الخطية الثلاثة الأخرى بالمثل:

Thus, we have ∫ C F · d r = 2 . ∫ C F · d r = 2 .

تطبيقات تكاملات الخط

تكاملات الخط العددي لها العديد من التطبيقات. يمكن استخدامها لحساب طول أو كتلة السلك ، أو مساحة سطح ورقة بارتفاع معين ، أو الجهد الكهربي لسلك مشحون في ظل كثافة شحنة خطية. تكاملات خط المتجه مفيدة للغاية في الفيزياء. يمكن استخدامها لحساب الشغل المبذول على جسيم أثناء تحركه خلال مجال القوة ، أو معدل تدفق مائع عبر منحنى. هنا ، نحسب كتلة السلك باستخدام خط عددي متكامل والشغل المبذول بواسطة قوة باستخدام خط متجه متكامل.

Example 6.22

Calculating the Mass of a Wire

Calculate the mass of a spring in the shape of a curve parameterized by 〈 t , 2 cos t , 2 sin t 〉 , 〈 t , 2 cos t , 2 sin t 〉 , 0 ≤ t ≤ π 2 , 0 ≤ t ≤ π 2 , with a density function given by ρ ( x , y , z ) = e x + y z ρ ( x , y , z ) = e x + y z kg/m (Figure 6.21).

المحلول

To calculate the mass of the spring, we must find the value of the scalar line integral ∫ C ( e x + y z ) d s , ∫ C ( e x + y z ) d s , where ج is the given helix. To calculate this integral, we write it in terms of ر using Equation 6.8:

Therefore, the mass is 5 ( e π / 2 + 1 ) 5 ( e π / 2 + 1 ) kg.

Calculate the mass of a spring in the shape of a helix parameterized by r ( t ) = 〈 cos t , sin t , t 〉 , 0 ≤ t ≤ 6 π , r ( t ) = 〈 cos t , sin t , t 〉 , 0 ≤ t ≤ 6 π , with a density function given by ρ ( x , y , z ) = x + y + z ρ ( x , y , z ) = x + y + z kg/m.

عندما حددنا تكاملات الخط المتجه لأول مرة ، استخدمنا مفهوم العمل لتحفيز التعريف. Therefore, it is not surprising that calculating the work done by a vector field representing a force is a standard use of vector line integrals. Recall that if an object moves along curve ج in force field F, then the work required to move the object is given by ∫ C F · d r . ∫ C F · d r .

Example 6.23

Calculating Work

How much work is required to move an object in vector force field F = 〈 y z , x y , x z 〉 F = 〈 y z , x y , x z 〉 along path r ( t ) = 〈 t 2 , t , t 4 〉 , r ( t ) = 〈 t 2 , t , t 4 〉 , 0 ≤ t ≤ 1 ? 0 ≤ t ≤ 1 ? See Figure 6.22.

المحلول

يترك ج denote the given path. We need to find the value of ∫ C F · d r . ∫ C F · d r . To do this, we use Equation 6.9:

Flux and Circulation

We close this section by discussing two key concepts related to line integrals: flux across a plane curve and circulation along a plane curve. Flux is used in applications to calculate fluid flow across a curve, and the concept of circulation is important for characterizing conservative gradient fields in terms of line integrals. Both these concepts are used heavily throughout the rest of this chapter. The idea of flux is especially important for Green’s theorem, and in higher dimensions for Stokes’ theorem and the divergence theorem.

يترك ج be a plane curve and let F be a vector field in the plane. Imagine ج is a membrane across which fluid flows, but ج does not impede the flow of the fluid. In other words, ج is an idealized membrane invisible to the fluid. يفترض F represents the velocity field of the fluid. How could we quantify the rate at which the fluid is crossing ج?

لو F is a velocity field of a fluid and ج is a curve that represents a membrane, then the flux of F across ج is the quantity of fluid flowing across ج per unit time, or the rate of flow.

تعريف

The flux of F across ج is line integral ∫ C F · n ( t ) ‖ n ( t ) ‖ d s . ∫ C F · n ( t ) ‖ n ( t ) ‖ d s .

We now give a formula for calculating the flux across a curve. This formula is analogous to the formula used to calculate a vector line integral (see Equation 6.9).

Calculating Flux across a Curve

يترك F be a vector field and let ج be a smooth curve with parameterization r ( t ) = 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 , a ≤ t ≤ b . r ( t ) = 〈 x ( t ) , y ( t ) 〉 , a ≤ t ≤ b . Let n ( t ) = 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 . n ( t ) = 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 . The flux of F across ج يكون

دليل - إثبات

The proof of Equation 6.11 is similar to the proof of Equation 6.8. Before deriving the formula, note that ‖ n ( t ) ‖ = ‖ 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 ‖ = ( y ′ ( t ) ) 2 + ( x ′ ( t ) ) 2 = ‖ r ′ ( t ) ‖ . ‖ n ( t ) ‖ = ‖ 〈 y ′ ( t ) , − x ′ ( t ) 〉 ‖ = ( y ′ ( t ) ) 2 + ( x ′ ( t ) ) 2 = ‖ r ′ ( t ) ‖ . Therefore,


Use a Double Integral to find the area between two circles

I am having a difficult time solving this problem. I have tried this several different ways, and I get a different result, none of which is correct, every time. I've derived an answer geometrically and cannot replicate it with a double integral.

Here's the problem: Use a double integral to find the area between two circles $x^2+y^2=4$ and $(x−1)^2+y^2=4.$

Here is how I have tried to go about this problem:

First, I graphed it to get a good idea visually of what I was doing. Here's the graph I scribbled on. The region I'm interested is where these two circles overlap. This region can easily be divided into two separate areas. There are clearly a number of ways to go about solving this. but the one I opted for is to find the shaded region. The bounds for $x$ in this case are between $D$ and $C$. D can be found by setting $C_1=C_2$, and $x$ turns out to be $frac<1><2>$. On the right, $x$ is where $C_1(y)=0$, $x=pm2$, so $x=2$ at point $C$. $y$ is greater than $B_y$ and less than $A_y$, which are also found where $C_1=C_2$, and $y$ turns out to be $pmsqrt<4>>$. So far so good. Now I know my limits of integration. But here's what I don't understand. What am I actually integrating? $x$ has constant bounds, and $y$ does not, and looking at other double integral problems, that would lead me to believe that I should integrate $y$ first as a function of $x$, evaluate it at its bounds, and then integrate $x$ and evaluate it at its bounds giving me half the area I am looking for. However, when I try to do this, I get utter nonsense for an answer, or I get lost trying to set up the problem.

I could really use the help, I've spent entirely too much time trying to puzzle through this. Thank you in advance!


محتويات

In complex analysis a contour is a type of curve in the complex plane. In contour integration, contours provide a precise definition of the curves on which an integral may be suitably defined. أ curve in the complex plane is defined as a continuous function from a closed interval of the real line to the complex plane: ض : [أ, ب] → ج .

This definition of a curve coincides with the intuitive notion of a curve, but includes a parametrization by a continuous function from a closed interval. This more precise definition allows us to consider what properties a curve must have for it to be useful for integration. In the following subsections we narrow down the set of curves that we can integrate to include only those that can be built up out of a finite number of continuous curves that can be given a direction. Moreover, we will restrict the "pieces" from crossing over themselves, and we require that each piece have a finite (non-vanishing) continuous derivative. These requirements correspond to requiring that we consider only curves that can be traced, such as by a pen, in a sequence of even, steady strokes, which stop only to start a new piece of the curve, all without picking up the pen. [6]

Directed smooth curves Edit

Contours are often defined in terms of directed smooth curves. [6] These provide a precise definition of a "piece" of a smooth curve, of which a contour is made.

أ smooth curve is a curve ض : [أ, ب] → ج with a non-vanishing, continuous derivative such that each point is traversed only once ( z is one-to-one), with the possible exception of a curve such that the endpoints match ( ض(أ) = ض(ب) ). In the case where the endpoints match the curve is called closed, and the function is required to be one-to-one everywhere else and the derivative must be continuous at the identified point ( ض′(أ) = ض′(ب) ). A smooth curve that is not closed is often referred to as a smooth arc. [6]

The parametrization of a curve provides a natural ordering of points on the curve: ض(x) comes before ض(ذ) if x & lt ذ . This leads to the notion of a directed smooth curve. It is most useful to consider curves independent of the specific parametrization. This can be done by considering equivalence classes of smooth curves with the same direction. أ directed smooth curve can then be defined as an ordered set of points in the complex plane that is the image of some smooth curve in their natural order (according to the parametrization). Note that not all orderings of the points are the natural ordering of a smooth curve. In fact, a given smooth curve has only two such orderings. Also, a single closed curve can have any point as its endpoint, while a smooth arc has only two choices for its endpoints.

Contours Edit

Contours are the class of curves on which we define contour integration. أ contour is a directed curve which is made up of a finite sequence of directed smooth curves whose endpoints are matched to give a single direction. This requires that the sequence of curves γ1, …, γن be such that the terminal point of γأنا coincides with the initial point of γأنا+1 , ∀ أنا, 1 ≤ أنا & lt ن . This includes all directed smooth curves. Also, a single point in the complex plane is considered a contour. The symbol + is often used to denote the piecing of curves together to form a new curve. Thus we could write a contour Γ that is made up of n curves as

ال contour integral of a complex function F : جج is a generalization of the integral for real-valued functions. For continuous functions in the complex plane, the contour integral can be defined in analogy to the line integral by first defining the integral along a directed smooth curve in terms of an integral over a real valued parameter. A more general definition can be given in terms of partitions of the contour in analogy with the partition of an interval and the Riemann integral. In both cases the integral over a contour is defined as the sum of the integrals over the directed smooth curves that make up the contour.

For continuous functions Edit

To define the contour integral in this way one must first consider the integral, over a real variable, of a complex-valued function. يترك F : صج be a complex-valued function of a real variable, t . The real and imaginary parts of f are often denoted as ش(ر) و الخامس(ر) , respectively, so that

يترك F : جج be a continuous function on the directed smooth curve γ . يترك ض : صج be any parametrization of γ that is consistent with its order (direction). Then the integral along γ is denoted

This definition is well defined. That is, the result is independent of the parametrization chosen. [6] In the case where the real integral on the right side does not exist the integral along γ is said not to exist.

As a generalization of the Riemann integral Edit

The generalization of the Riemann integral to functions of a complex variable is done in complete analogy to its definition for functions from the real numbers. The partition of a directed smooth curve γ is defined as a finite, ordered set of points on γ . The integral over the curve is the limit of finite sums of function values, taken at the points on the partition, in the limit that the maximum distance between any two successive points on the partition (in the two-dimensional complex plane), also known as the mesh, goes to zero.

Direct methods involve the calculation of the integral by means of methods similar to those in calculating line integrals in multivariate calculus. This means that we use the following method:

  • parametrizing the contour The contour is parametrized by a differentiable complex-valued function of real variables, or the contour is broken up into pieces and parametrized separately.
  • substitution of the parametrization into the integrand Substituting the parametrization into the integrand transforms the integral into an integral of one real variable.
  • direct evaluation The integral is evaluated in a method akin to a real-variable integral.

مثال تحرير

A fundamental result in complex analysis is that the contour integral of 1 / ض is 2πأنا , where the path of the contour is taken to be the unit circle traversed counterclockwise (or any positively oriented Jordan curve about 0). In the case of the unit circle there is a direct method to evaluate the integral

which is the value of the integral.

Applications of integral theorems are also often used to evaluate the contour integral along a contour, which means that the real-valued integral is calculated simultaneously along with calculating the contour integral.

Integral theorems such as the Cauchy integral formula or residue theorem are generally used in the following method:

  • a specific contour is chosen: The contour is chosen so that the contour follows the part of the complex plane that describes the real-valued integral, and also encloses singularities of the integrand so application of the Cauchy integral formula or residue theorem is possible
  • application of Cauchy's integral theorem The integral is reduced to only an integration around a small circle about each pole.
  • application of the Cauchy integral formula or residue theorem Application of these integral formulae gives us a value for the integral around the whole of the contour.
  • division of the contour into a contour along the real part and imaginary part The whole of the contour can be divided into the contour that follows the part of the complex plane that describes the real-valued integral as chosen before (call it R ), and the integral that crosses the complex plane (call it I ). The integral over the whole of the contour is the sum of the integral over each of these contours.
  • demonstration that the integral that crosses the complex plane plays no part in the sum If the integral I can be shown to be zero, or if the real-valued integral that is sought is improper, then if we demonstrate that the integral I as described above tends to 0, the integral along R will tend to the integral around the contour ص + أنا .
  • conclusion If we can show the above step, then we can directly calculate R , the real-valued integral.

مثال 1 تحرير

To evaluate this integral, we look at the complex-valued function

which has singularities at i and −أنا . We choose a contour that will enclose the real-valued integral, here a semicircle with boundary diameter on the real line (going from, say, −أ to a ) will be convenient. Call this contour C .

There are two ways of proceeding, using the Cauchy integral formula or by the method of residues:


محتويات

على المدى عاقل in reference to the set س refers to the fact that a rational number represents a نسبة of two integers. In mathematics, "rational" is often used as a noun abbreviating "rational number". The adjective عاقل sometimes means that the coefficients are rational numbers. For example, a rational point is a point with rational coordinates (i.e., a point whose coordinates are rational numbers) a rational matrix is a matrix of rational numbers a rational polynomial may be a polynomial with rational coefficients, although the term "polynomial over the rationals" is generally preferred, to avoid confusion between "rational expression" and "rational function" (a polynomial is a rational expression and defines a rational function, even if its coefficients are not rational numbers). However, a rational curve is not a curve defined over the rationals, but a curve which can be parameterized by rational functions.

Etymology Edit

Although nowadays rational numbers are defined in terms of النسب, the term عاقل is not a derivation of نسبة. On the opposite, it is نسبة that is derived from عاقل: the first use of نسبة with its modern meaning was attested in English about 1660, [9] while the use of عاقل for qualifying numbers appeared almost a century earlier, in 1570. [10] This meaning of عاقل came from the mathematical meaning of غير منطقي, which was first used in 1551, and it was used in "translations of Euclid (following his peculiar use of ἄλογος )". [11] [12]

This unusual history originated in the fact that ancient Greeks "avoided heresy by forbidding themselves from thinking of those [irrational] lengths as numbers". [13] So such lengths were غير منطقي, in the sense of illogical, that is "not to be spoken about" ( ἄλογος in Greek). [14]

This etymology is similar to that of imaginary numbers and حقيقة أعداد.


Concession -Gestion et exploitation du Bassin de Radoub.

I.1) NOM ET ADRESSES
GRAND PORT MARITIME DE LA MARTINIQUE, FORT-DE-FRANCE, F, Courriel : [email protected] , Code NUTS : FRY20
Adresse(s) internet :
Adresse principale : https://www.martinique.port.fr
Adresse du profil acheteur : https://www.martinique.port.fr

II.1) ÉTENDUE DU MARCHÉ
II.1.1) Intitulé : Concession - Gestion et exploitation du Bassin de Radoub
Numéro de référence : 2021GPMLM004
II.1.2) Code CPV principal :
Descripteur principal : 63721200
Descripteur supplémentaire :
II.1.3) Type de marché
Services
II.1.4) Description succincte : Confier à un opérateur la gestion et l'exploitation du Bassin de Radoub, des bâtiments, terrains et terre-pleins attenants au bassin desservis par des quais et accessibles aux navires pour des opérations de carénage et d'aménagement.


Section VI : Renseignements complémentaires

VI.5) DATE D'ENVOI DU PRÉSENT AVIS
22 juin 2021
VI.6) RÉFÉRENCE DE L'AVIS ORIGINAL
Numéro de l'avis au JO série S : 2021/S 119-316530 du 22/06/2021

Section VII : Modifications

VII.1) Informations à rectifier ou à

Vous n’avez pas encore de compte ?
Identifiez-vous pour bénéficier de l’ensemble des services suivants :


شاهد الفيديو: Volumes of double integrals. Anas Abu Zahra (شهر اكتوبر 2021).