مقالات

14.4E: التكاملات الثلاثية (تمارين 2) - الرياضيات


الشروط والمفاهيم

1. استراتيجية إنشاء حدود للتكاملات الثلاثية هي "من ________ إلى ________ ، ثم من ________ إلى ________ ثم من ________ إلى ________."

إجابه:
نتكامل من سطح - المظهر الخارجي ل سطح - المظهر الخارجي، ثم من منحنى ل منحنى ثم من هدف ل هدف.

2. أعط تفسيراً غير رسمي لما تعنيه ( int int int_Q ، dV ).

إجابه:
( int int int_Q ، dV ) = حجم المنطقة الصلبة (Q )

3. أعطِ استخدامين للتكامل الثلاثي.

إجابه:
لحساب الكتلة الكلية أو متوسط ​​الكثافة لجسم صلب ، مع إعطاء دالة كثافة أو لحساب متوسط ​​درجة الحرارة في منطقة أو جسم صلب.

4. إذا كان لجسم ما كثافة ثابتة ( دلتا ) وحجم (V ) ، فما هي كتلته؟

إجابه:
الكتلة هي ( دلتا الخامس ).

حجم المناطق الصلبة

في تمارين 5-8 ، سطحان (f_1 (س ، ص) ) و (f_2 (س ، ص) ) ومنطقة (ص ) في (س ص ) - يتم إعطاء الطائرة. قم بإعداد وتقييم التكامل الثلاثي الذي يمثل الحجم بين هذه الأسطح على (R ).

5. (f_1 (x، y) = 8-x ^ 2-y ^ 2، ، f_2 (x، y) = 2x + y؛ )
(R ) هو المربع الذي به زوايا ((- 1 ، -1) ) و ((1،1) ).

6. (f_1 (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2، ، f_2 (x، y) = -x ^ 2-y ^ 2؛ )
(R ) هو المربع الذي يحتوي على زوايا ((0،0) ) و ((2،3) ).

7. (f_1 (x، y) = sin x cos y، ، f_2 (x، y) = cos x sin y +2؛ )
(R ) هو المثلث ذي الزوايا ((0،0) ، ، ( pi ، 0) ) و (( pi ، pi) ).

8. (f_1 (x، y) = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3، ، f_2 (x، y) = 6-x ^ 2-y ^ 2؛ )
(R ) هي الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

في التدريبات 9-16 ، يتم وصف المجال (D ) من خلال الأسطح المحيطة به ، جنبًا إلى جنب مع الرسم البياني. قم بإعداد التكامل الثلاثي الذي يعطي حجم (D ) بترتيب التكامل المشار إليه ، وقم بتقييم التكامل الثلاثي للعثور على هذا الحجم.

9. (D ) يحدها مستويات الإحداثيات و (z = 2- frac {2} {3} x-2y ).
احسب التكامل الثلاثي بالترتيب (dz ، dy ، dx ).

10. (D ) يحدها المستويات (y = 0 ، y = 2 ، x = 1 ، z = 0 ) و (z = (2-x) / 2 ).
احسب التكامل الثلاثي بالترتيب (dx ، dy ، dz ).

11. (D ) يحدها المستويات (x = 0 ، x = 2 ، z = -y ) و (z = y ^ 2/2 ).
احسب التكامل الثلاثي بالترتيب (dy ، dz ، dx ).

12. (D ) يحده المستويات (z = 0، y = 9، x = 0 ) و (z = sqrt {y ^ 2-9x ^ 2} ).
لا تقيم أي تكامل ثلاثي. فقط قم بإعداد هذا.

13. (D ) يحدها المستويات (x = 2 ، y = 1 ، z = 0 ) و (z = 2x + 4y-4 ).
احسب التكامل الثلاثي بالترتيب (dx ، dy ، dz ).

14. (D ) يحدها المستوى (z = 2y ) و (y = 4-x ^ 2 ).
احسب التكامل الثلاثي بالترتيب (dz ، dy ، dx ).

15. (D ) يحدها مستويات الإحداثيات و (y = 1-x ^ 2 ) و (y = 1-z ^ 2 ).
لا تقيم أي تكامل ثلاثي. أي ترتيب سيكون أسهل في التقييم: (dz ، dy ، dx ) أم (dy ، dz ، dx )؟ اشرح السبب.

16. (D ) يحدها مستويات الإحداثيات و (z = 1-y / 3 ) و (z = 1-x ).
احسب التكامل الثلاثي بالترتيب (dx ، dy ، dz ).

في التدريبات 17-20 ، قم بتقييم التكامل الثلاثي.

17. ( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ { pi} ( cos x sin y الخطيئة ض) ، دز ، دى ، دكس )

18. ( displaystyle int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {x} int_ {0} ^ {x + y} (x + y + z) ، dz ، dy ، dx )

19. ( displaystyle int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {z} ( sin (yz)) ، dx ، dy ، dz )

20. ( displaystyle int _ { pi} ^ { pi ^ 2} int_ {x} ^ {x ^ 3} int _ {- y ^ 2} ^ {y ^ 2} ( cos x sin y sin z) ، dz ، dy ، dx )

في التدريبات التالية ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية فوق المربع الصلب المستطيل (B ).

[ iiint_B (2x + 3y ^ 2 + 4z ^ 3) space dV، ] حيث (B = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq 2 ، space 0 leq z leq 3 } )

[إخفاء الحل]

(192)

[ iiint_B (xy + yz + xz) space dV، ] حيث (B = {(x، y، z) | 1 leq x leq 2، space 0 leq y leq 2، مساحة 1 leq z leq 3 } )

[ iiint_B (x space cos space y + z) space dV، ] حيث (B = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq pi ، space -1 leq z leq 1 } )

[إخفاء الحل]

(0)

[ iiint_B (z space sin space x + y ^ 2) space dV، ] حيث (B = {(x، y، z) | 0 leq x leq pi، space 0 leq y leq 1 ، space -1 leq z leq 2 } )

في التدريبات التالية ، قم بتغيير ترتيب التكامل عن طريق الدمج أولاً بالنسبة إلى (z ) ، ثم (x ) ، ثم (y ).

[ int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 int_2 ^ 3 (x ^ 2 + ln space y + z) space dx space dy space dz ]

[إخفاء الحل]

[ int_0 ^ 1 int_1 ^ 2 int_2 ^ 3 (x ^ 2 + ln space y + z) space dx space dy space dz = frac {35} {6} + 2 space ln 2 ]

[ int_0 ^ 1 int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ 3 (ze ^ x + 2y) space dx space dy space dz ]

[ int _ {- 1} ^ 2 int_1 ^ 3 int_0 ^ 4 left (x ^ 2z + frac {1} {y} right) space dx space dy space dz ]

[إخفاء الحل]

[ int _ {- 1} ^ 2 int_1 ^ 3 int_0 ^ 4 left (x ^ 2z + frac {1} {y} right) space dx space dy space dz = 64 + 12 مسافة ln space 3 ]

[ int_1 ^ 2 int _ {- 2} ^ {- 1} int_0 ^ 1 frac {x + y} {z} space dx space dy space dz ]

لنفترض أن (F ) و (G ) و (H ) تكون وظائف مستمرة على ([a، b] ) و ([c، d] ) و ([e، f ] ) ، على التوالي ، حيث (a ، space b ، space c ، space d ، space e ) ، و (f ) هي أرقام حقيقية مثل (a

[ int_a ^ b int_c ^ d int_e ^ f F (x) space G (y) space H (z) space dz space dy space dx = left ( int_a ^ b F (x ) space dx right) left ( int_c ^ d G (y) space dy right) left ( int_e ^ f H (z) space dz right). ]

لنفترض أن (F ) و (G ) و (H ) تكون وظائف تفاضلية في ([a، b] ) و ([c، d] ) و ([e، f ] ) ، على التوالي ، حيث (a ، space b ، space c ، space d ، space e ) ، و (f ) هي أرقام حقيقية مثل (a

[ int_a ^ b int_c ^ d int_e ^ f F '(x) space G' (y) space H '(z) space dz space dy space dx = [F (b) - F (أ)] space [G (d) - G (c)] space H (f) - H (e)]. ]

في التدريبات التالية ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية على المنطقة المحددة

(E = {(x، y، z) | a leq x leq b، space h_1 (x) leq y leq h_2 (x)، space e leq z leq f }. )

[ iiint_E (2x + 5y + 7z) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq -x + 1، space 1 leq z leq 2 } )

[إخفاء الحل]

( frac {77} {12} )

[ iiint_E (y space ln space x + z) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 1 leq x leq e، space 0 leq y ln space x، space 0 leq z leq 1 } )

[ iiint_E (sin space x + sin space y) dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq frac { pi} {2} ، space -cos space x leq y cos space x، space -1 leq z leq 1 } )

[إخفاء الحل]

(2)

[ iiint_E (xy + yz + xz) dV ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space -x ^ 2 leq y leq x ^ 2 ، مساحة 0 leq z leq 1 } )

في التدريبات التالية ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية على المنطقة المحددة المحددة (E ).

[ iiint_E (x + 2yz) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq x، space 0 leq z leq 5 - x - y } )

[إخفاء الحل]

( فارك {430} {120} )

[ iiint_E (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq 2، space 0 leq y leq 2x ، space 0 leq z leq 4 - x - y } )

[ iiint_E y space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | -1 leq x leq 1، space - sqrt {1 - x ^ 2} leq y leq sqrt {1 - x ^ 2} ، space 0 leq z leq 1 - x ^ 2 - y ^ 2 } )

[إخفاء الحل]

(0)

[ iiint_E x space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | -2 leq x leq 2، space -4 sqrt {1 - x ^ 2} leq y leq sqrt {4 - x ^ 2} ، space 0 leq z leq 4 - x ^ 2 - y ^ 2 } )

في التدريبات التالية ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية على المنطقة المحدودة (E ) من النموذج

(E = {(x، y، z) | g_1 (y) leq x leq g_2 (y)، space c leq y leq d، space e leq z leq f } ).

[ iiint_E x ^ 2 space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 1 - y ^ 2 leq x leq y ^ 2 - 1، space -1 leq y leq 1 ، space 1 leq z leq 2 } )

[إخفاء الحل]

(- frac {64} {105} )

[ iiint_E (sin space x + y) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | -y ^ 4 leq x leq y ^ 4، space 0 leq y leq 2، space 0 leq z leq 4 } )

[ iiint_E (x - yz) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | -y ^ 6 leq x leq sqrt {y}، space 0 leq y leq 1x ، space -1 leq z leq 1 } )

[إخفاء الحل]

( فارك {11} {26} )

[ iiint_E z space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 2 - 2y leq x leq 2 + sqrt {y}، space 0 leq y leq 1x ، space 2 leq z leq 3 } )

في التدريبات التالية ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية على المنطقة المحددة

(E = {(x، y، z) | g_1 (y) leq x leq g_2 (y)، space c leq y leq d، space u_1 (x، y) leq z leq u_2 (س ، ص) } )

[ iiint_E z space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | -y leq x leq y، space 0 leq y leq 1، space 0 leq ض leq 1 - س ^ 4 - ص ^ 4 } )

[إخفاء الحل]

( فارك {113} {450} )

[ iiint_E (xz + 1) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq sqrt {y}، space 0 leq y leq 2، space 0 leq z leq 1 - x ^ 2 - y ^ 2 } )

[ iiint_E (x - z) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | - sqrt {1 - y ^ 2} leq x leq y، space 0 leq y leq frac {1} {2} x، space 0 leq z leq 1 - x ^ 2 - y ^ 2 } )

[إخفاء الحل]

( frac {1} {160} (6 sqrt {3} - 41) )

[ iiint_E (x + y) space dV، ] حيث (E = {(x، y، z) | 0 leq x leq sqrt {1 - y ^ 2}، space 0 leq y leq 1x ، space 0 leq z leq 1 - x } )

في التدريبات التالية ، قم بتقييم التكاملات الثلاثية على المنطقة المحددة

(E = {(x، y، z) | (x، y) في D، space u_1 (x، y) x leq z leq u_2 (x، y) } ) ، حيث (D ) هو إسقاط (E ) على (xy ) - المستوى

[ iint_D left ( int_1 ^ 2 (x + y) space dz right) space dA، ] حيث (D = {(x، y) | x ^ 2 + y ^ 2 leq 1 } )

[إخفاء الحل]

( frac {3 pi} {2} )

[ iint_D left ( int_1 ^ 3 x (z + 1) space dz right) space dA، ] حيث (D = {(x، y) | x ^ 2 -y ^ 2 المساحة الجغرافية 1 ، مساحة x leq sqrt {5} } )

[ iint_D left ( int_0 ^ {10-xy} (x + 2z) space dz right) space dA، ] حيث (D = {(x، y) | y geq 0، مساحة x geq 0 ، space x + y leq 10 } )

[إخفاء الحل]

(1250)

[ iint_D left ( int_0 ^ {4x ^ 2 + 4y ^ 2} y space dz right) space dA، ] حيث (D = {(x، y) | x ^ 2 + y ^ 2 leq 4، space y geq 1، space x geq 0 } )

يظهر الشكل الصلب (E ) الذي يحده (y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ، space z = 0 ) ، و (x = 5 ) في الشكل التالي. قم بتقييم التكامل [ iiint_E z space dV ] بالتكامل أولاً مع (z ) ، ثم (y ) ، ثم (x ).

[إخفاء الحل]

[ int_0 ^ 5 int _ {- 3} ^ 3 int_0 ^ { sqrt {9-y ^ 2}} z space dz space dy space dx = 90 ]

صلب (E ) يحده (y = sqrt {x} ، space x = 4 ، space y = 0 ) ، و (z = 1 ) في الشكل التالي. قم بتقييم التكامل [ iiint_E xyz space dV ] بالتكامل أولاً مع (x ) ، ثم (y ) ، ثم (z ).

[T] حجم صلب (E ) مُعطى بالتكامل [ int _ {- 2} ^ 0 int_x ^ 0 int_0 ^ {x ^ 2 + y ^ 2} dz space dy space dx. ] استخدم نظام الجبر الحاسوبي (CAS) لرسم (E ) والعثور على حجمه. حول إجابتك بفاصلتين.

[إخفاء الحل]

(الخامس = 5.33 )

[T] حجم (E ) صلب من خلال التكامل [ int _ {- 1} ^ 0 int _ {- x ^ 3} ^ 0 int_0 ^ {1+ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} dz space dy space dx. ] استخدم CAS لرسم بياني (E ) والعثور على حجمه (V ). حول إجابتك بفاصلتين.

في التدريبات التالية ، استخدم تبادلين دائريين للمتغيرات (x ، space y ، ) و (z ) لكتابة تكاملات جديدة تساوي قيمها قيمة التكامل الأصلي. التقليب الدائري (x ، space y ) ، و (z ) هو ترتيب الأرقام في أحد الأوامر التالية: (y ، space z ، ) و (x ) أو (ض ، الفضاء س ، ) و (ص ).

[ int_0 ^ 1 int_1 ^ 3 int_2 ^ 4 (x ^ 2z ^ 2 + 1) dx space dy space dz ]

[إخفاء الحل]

[ int_0 ^ 1 int_1 ^ 3 int_2 ^ 4 (y ^ 2z ^ 2 + 1) dz space dx space dy؛ ] [ int_0 ^ 1 int_1 ^ 3 int_2 ^ 4 (x ^ 2z ^ 2 + 1) dx space dy space dz ]

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 1 int_0 ^ {- x + 1} (2x + 5y + 7z) dy space dx space dz ]

[ int_0 ^ 1 int _ {- y} ^ y int_0 ^ {1-x ^ 4-y ^ 4} ln space x dz space dx space dy ]

[ int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ 1 int _ {- y ^ 6} ^ { sqrt {y}} (x + yz) dx space dy space dz ]

قم بإعداد التكامل الذي يعطي حجم الصلب (E ) يحده (y ^ 2 = x ^ 2 + z ^ 2 ) و (y = a ^ 2 ) ، حيث (a> 0 ).

[إخفاء الحل]

[V = int _ {- a} ^ a int _ {- sqrt {a ^ 2-z ^ 2}} ^ { sqrt {a ^ 2-z ^ 2}} int _ { sqrt {x ^ 2 + z ^ 2}} ^ {a ^ 2} dy space dx space dz ]

قم بإعداد التكامل الذي يعطي حجم الصلب (E ) يحده (x = y ^ 2 + z ^ 2 ) و (x = a ^ 2 ) ، حيث (a> 0 ) .

أوجد القيمة المتوسطة للدالة (f (x، y، z) = x + y + z ) على خط الموازي المحدد بواسطة (x + 0، space x = 1، space y = 0، space y = 3 ، space z = 0 ) ، و (z = 5 ).

[إخفاء الحل]

( فارك {9} {2} )

أوجد متوسط ​​قيمة الوظيفة (f (x، y، z) = xyz ) على المادة الصلبة (E = [0،1] times [0،1] times [0،1] ) الموجودة في الأول ثماني.

أوجد حجم المادة الصلبة (E ) التي تقع تحت المستوى (x + y + z = 9 ) والتي يحد إسقاطها على (xy ) - المستوى (x = sin ^ {-) 1} y و space y = 0 ) و (x = frac { pi} {2} ).

ضع في اعتبارك الهرم ذو القاعدة في (xy ) - مستوى ([- 2،2] times [-2،2] ) والرأس عند النقطة ((0،0،8) ).

أ. بيّن أن معادلات مستويات الوجوه الجانبية للهرم هي (4y + z = 8 ، space 4y - z = -8 ، space 4x + z = 8 ) ، و (- 4x + z = 8 ).

ب. أوجد حجم الهرم.

[إخفاء الحل]

أ. قد تتعدد الاجابات؛ ب. ( فارك {128} {3} )

ضع في اعتبارك الهرم ذو القاعدة في (xy ) - مستوى ([- 3،3] times [-3،3] ) والرأس عند النقطة ((0،0،9) ).

أ. بيّن أن معادلات مستويات الوجوه الجانبية للهرم هي (3y + z = 9 ، space 3y + z = 9 ، space y = 0 ) و (x = 0 ).

ب. أوجد حجم الهرم.

الصلبة (E ) التي يحدها مجال المعادلة (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 ) مع (r> 0 ) والموجودة في الثماني الأول ممثلة في الشكل التالي.

أ. اكتب التكامل الثلاثي الذي يعطي حجم (E ) عن طريق التكامل أولاً بالنسبة لـ (z ) ، ثم مع (y ) ، ثم مع (س ).

ب. أعد كتابة التكامل في الجزء أ. كمتكامل مكافئ في خمسة أوامر أخرى.

[إخفاء الحل]

[أ. space int_0 ^ 4 int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2}} dz space dy space dx؛ الفضاء ب. space int_0 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2}} dz space dx space dy ، ]

[ int_0 ^ r int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2}} dy space dx space dz، space int_0 ^ r int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2}} dy space dz space dx، ]

[ int_0 ^ r int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2}} dx space dy space dz، space int_0 ^ r int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} int_0 ^ { sqrt {r ^ 2-x ^ 2-y ^ 2}} dx space dz space dy ، ]

الصلبة (E ) التي يحدها مجال المعادلة (9x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) والموجودة في الثماني الأول ممثلة في الشكل التالي.

أ. اكتب التكامل الثلاثي الذي يعطي حجم (E ) عن طريق التكامل أولاً بالنسبة لـ (z ) ثم مع (y ) ثم مع (س ).

ب. كمتكامل مكافئ في خمسة أوامر أخرى.

أوجد حجم المنشور برؤوسه ((0،0،0)، space (2،0،0)، space (2،3،0)، space (0،3،0)، space (0،0،1) ) و ((2،0،1) ).

[إخفاء الحل]

(3)

أوجد حجم المنشور ذي الرؤوس ((0،0،0)، space (4،0،0)، space (4،6،0)، space (0،6،0) ، space (0،0،1) ) و ((4،0،1) ).

الصلبة (E ) التي يحدها (ض = 10 - 2 س - ص ) والموجودة في الأوكتانت الأول معطاة في الشكل التالي. العثور على حجم الصلبة.

[إخفاء الحل]

( frac {250} {3} )

الصلب (E ) يحده (ض = 1 - س ^ 2 ) والموجود في الأول ثماني ويرد في الشكل التالي. العثور على حجم الصلبة.

قاعدة نقطة الوسط للتكامل الثلاثي [ iiint_B f (x، y، z) dV ] فوق المربع الصلب المستطيل (B ) هي تعميم لقاعدة نقطة الوسط للتكاملات المزدوجة. المنطقة (B ) مقسمة إلى مربعات فرعية ذات أحجام متساوية ويتم تقريب التكامل من خلال مجموع ريمان الثلاثي [ sum_ {i = 1} ^ l sum_ {j = 1} ^ m sum_ {k = 1 } ^ nf ( bar {x_i}، bar {y_j}، bar {z_k}) Delta V، ] حيث (( bar {x_i}، bar {y_j}، bar {z_k}) ) هو مركز المربع (B_ {ijk} ) و ( Delta V ) هو حجم كل صندوق فرعي. تطبيق قاعدة النقطة المتوسطة لتقريب [ iiint_B x ^ 2 dV ] على المادة الصلبة (B = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq 1 ، space 0 leq z leq 1 } ) باستخدام قسم من ثمانية مكعبات متساوية الحجم. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

[إخفاء الحل]

( frac {5} {16} حوالي 0.313 )

[T]

أ. تطبيق قاعدة النقطة المتوسطة لتقريب [ iiint_B e ^ {- x ^ 2} dV ] على المادة الصلبة (B = {(x، y، z) | 0 leq x leq 1، space 0 leq y leq 1، space 0 leq z leq 1 } ) باستخدام قسم من ثمانية مكعبات متساوية الحجم. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

ب. استخدم CAS لتحسين التقريب المتكامل أعلاه في حالة قسم (n ^ 3 ) مكعبات متساوية الحجم ، حيث (n = 3،4 ، ... ، 10 ).

افترض أن درجة الحرارة بالدرجات المئوية عند نقطة ((x، y، z) ) من مادة صلبة (E ) يحدها مستويات الإحداثيات و (x + y + z = 5 ) هي (T (س ، ص ، ض) = س + 5 ع + 10 ). أوجد متوسط ​​درجة الحرارة فوق المادة الصلبة.

[إخفاء الحل]

( فارك {35} {2} )

افترض أن درجة الحرارة بالدرجات فهرنهايت عند نقطة ((x، y، z) ) من مادة صلبة (E ) يحدها مستويات الإحداثيات و (x + y + z = 5 ) هي (T (س ، ص ، ض) = س + ص + س ص ). أوجد متوسط ​​درجة الحرارة فوق المادة الصلبة.

بيّن أن حجم هرم مربع قائم بطول (h ) وطول ضلع (a ) هو (v = frac {ha ^ 2} {3} ) باستخدام التكاملات الثلاثية.

بيّن أن حجم المنشور السداسي الأيمن المنتظم بطول الحافة (a ) هو ( frac {3a ^ 3 sqrt {3}} {2} ) باستخدام التكاملات الثلاثية.

بيّن أن حجم هرم سداسي أيمن منتظم بطول حرفه (a ) هو ( frac {a ^ 3 sqrt {3}} {2} ) باستخدام التكاملات الثلاثية.

إذا كانت كثافة الشحن عند نقطة عشوائية ((x ، y ، z) ) من مادة صلبة (E ) معطاة من خلال الوظيفة ( rho (x ، y ، z) ) ، فإن الشحنة الإجمالية يُعرَّف داخل المادة الصلبة على أنه التكامل الثلاثي [ iiint_E rho (x، y، z) dV. ] افترض أن كثافة شحنة المادة الصلبة (E ) محاطة بمكافئات (x = 5 - y ^ 2 - z ^ 2 ) و (x = y ^ 2 + z ^ 2-5 ) يساوي المسافة من نقطة عشوائية لـ (E ) إلى الأصل. قم بإعداد التكامل الذي يعطي الشحنة الكلية داخل الصلب (E ).