مقالات

15.5E: Divergence و Curl (تمارين)


بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان البيان صحيحًا أم لا حقيقي أو خاطئة.

1. إذا كانت وظائف إحداثيات ( vecs F: mathbb {R} ^ 3 rightarrow mathbb {R} ^ 3 ) لها مشتقات جزئية متواصلة من الثانية ، إذن ( text {curl} ، ( text {div } ، vecs F) ) يساوي صفرًا.

2. ( vecs nabla cdot (x ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k}) = 1 ).

إجابه:
خاطئة

3. جميع الحقول المتجهة بالنموذج ( vecs F (x، y، z) = f (x) ، mathbf { hat i} + g (y) ، mathbf { hat j} + h (z ) ، mathbf { hat k} ) محافظة.

4. إذا كان ( text {curl} ، vecs F = vecs 0 ) ، إذن ( vecs F ) محافظًا.

إجابه:
حقيقي

5. إذا كان ( vecs F ) عبارة عن حقل متجه ثابت ثم ( text {div} ، vecs F = 0 ).

6. إذا كان ( vecs F ) عبارة عن حقل متجه ثابت ثم ( text {curl} ، vecs F = vecs 0 ).

إجابه:
حقيقي

للتمارين التالية ، ابحث عن تجعيد ( vecs F ).

7. ( vecs F (x، y، z) = xy ^ 2z ^ 4 ، mathbf { hat i} + (2x ^ 2y + z) ، mathbf { hat j} + y ^ 3 z ^ 2 ، mathbf { قبعة k} )

8. ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 z ، mathbf { hat i} + y ^ 2 x ، mathbf { hat j} + (y + 2z) ، mathbf { قبعة ك} )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = ، mathbf { hat i} + x ^ 2 ، mathbf { hat j} + y ^ 2 ، mathbf { hat k} )

9. ( vecs F (x، y، z) = 3xyz ^ 2 ، mathbf { hat i} + y ^ 2 sin z ، mathbf { hat j} + xe ^ {2z} ، mathbf { hat k} )

10. ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 yz ، mathbf { hat i} + xy ^ 2 z ، mathbf { hat j} + xyz ^ 2 ، mathbf { قبعة ك} )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = (xz ^ 2 - xy ^ 2) ، mathbf { hat i} + (x ^ 2 y - yz ^ 2) ، mathbf { hat j } + (y ^ 2z - x ^ 2z) ، mathbf { hat k} )

11. ( vecs F (x، y، z) = (x ، cos y) ، mathbf { hat i} + xy ^ 2 ، mathbf { hat j} )

12. ( vecs F (x، y، z) = (x - y) ، mathbf { hat i} + (y - z) ، mathbf { hat j} + (z - x) ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = ، mathbf { hat i} + ، mathbf { hat j} + ، mathbf { hat k} )

13. ( vecs F (x، y، z) = xyz ، mathbf { hat i} + x ^ 2y ^ 2z ^ 2 ، mathbf { hat j} + y ^ 2z ^ 3 ، mathbf { قبعة ك} )

14. ( vecs F (x، y، z) = xy ، mathbf { hat i} + yz ، mathbf { hat j} + xz ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = - y ، mathbf { hat i} - z ، mathbf { hat j} - x ، mathbf { hat k} )

15. ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 ، mathbf { hat i} + y ^ 2 ، mathbf { hat j} + z ^ 2 ، mathbf { hat k } )

16. ( vecs F (x، y، z) = ax ، mathbf { hat i} + by ، mathbf { hat j} + c ، mathbf { hat k} ) للثوابت (أ ، ، ب ، ، ج ).

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = vecs 0 )

للتمارين التالية ، أوجد اختلاف ( vecs F ).

17. ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 z ، mathbf { hat i} + y ^ 2 x ، mathbf { hat j} + (y + 2z) ، mathbf { قبعة ك} )

18. ( vecs F (x، y، z) = 3xyz ^ 2 ، mathbf { hat i} + y ^ 2 sin z ، mathbf { hat j} + xe ^ 2 ، mathbf { قبعة ك} )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = 3yz ^ 2 + 2y ، sin z + 2xe ^ {2z} )

19. ( vecs {F} (x، y) = ( sin x) ، mathbf { hat i} + ( cos y) ، mathbf { hat j} )

20. ( vecs F (x، y، z) = x ^ 2 ، mathbf { hat i} + y ^ 2 ، mathbf { hat j} + z ^ 2 ، mathbf { hat k } )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = 2 (x + y + z) )

21. ( vecs F (x، y، z) = (x - y) ، mathbf { hat i} + (y - z) ، mathbf { hat j} + (z - x) ، mathbf { hat k} )

22. ( vecs {F} (x، y) = dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، mathbf { hat i} + dfrac {y} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} ، mathbf { hat j} )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = dfrac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} )

23. ( vecs {F} (x، y) = x ، mathbf { hat i} - y ، mathbf { hat j} )

24. ( vecs F (x، y، z) = ax ، mathbf { hat i} + by ، mathbf { hat j} + c ، mathbf { hat k} ) للثوابت (أ ، ، ب ، ، ج ).

إجابه:
( text {div} ، vecs F = a + b )

25. ( vecs F (x، y، z) = xyz ، mathbf { hat i} + x ^ 2y ^ 2z ^ 2 ، mathbf { hat j} + y ^ 2z ^ 3 ، mathbf { قبعة ك} )

26. ( vecs F (x، y، z) = xy ، mathbf { hat i} + yz ، mathbf { hat j} + xz ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = x + y + z )

بالنسبة للتمرينين 27 و 28 ، حدد ما إذا كانت كل دالة عددية معينة متناسقة.

27. (u (x، y، z) = e ^ {- x} ( cos y - sin y) )

28. (w (x، y، z) = (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {- 1/2} )

إجابه:
متناسق

29. إذا ( vecs F (x، y، z) = 2 ، mathbf { hat i} + 2x j + 3y k ) و ( vecs G (x، y، z) = x ، mathbf { hat i} - y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k} ) ، ابحث عن ( text {curl} ، ( vecs F times vecs G ) ).

30. إذا ( vecs F (x، y، z) = 2 ، mathbf { hat i} + 2x j + 3y k ) و ( vecs G (x، y، z) = x ، mathbf { hat i} - y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k} ) ، ابحث عن ( text {div} ، ( vecs F times vecs G ) ).

إجابه:
( text {div} ، ( vecs F times vecs G) = 2z + 3x )

31. ابحث عن ( text {div} ، vecs F ) ، بالنظر إلى أن ( vecs F = vecs nabla f ) ، حيث (f (x، y، z) = xy ^ 3z ^ 2 ).

32. أوجد تباعد ( vecs F ) للحقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = (y ^ 2 + z ^ 2) (x + y) ، mathbf { hat i} + (z ^ 2 + x ^ 2) (y + z) ، mathbf { hat j} + (x ^ 2 + y ^ 2) (z + x) ، mathbf { hat k} ) .

إجابه:
( text {div} ، vecs F = 2r ^ 2 )

33. ابحث عن اختلاف ( vecs F ) للحقل المتجه ( vecs F (x، y، z) = f_1 (y، z) ، mathbf { hat i} + f_2 (x، z) ، mathbf { hat j} + f_3 (x، y) ، mathbf { hat k} ).

للتمارين 34-36 ، استخدم (r = | vecs r | ) و ( vecs r (x ، y ، z) = langle x ، y ، z rangle ).

34. ابحث عن ( text {curl} ، vecs r )

إجابه:
( text {curl} ، vecs r = vecs 0 )

35. ابحث عن ( text {curl} ، dfrac { vecs r} {r} ).

36. ابحث عن ( text {curl} ، dfrac { vecs r} {r ^ 3} ).

إجابه:
( text {curl} ، dfrac { vecs r} {r ^ 3} = vecs 0 )

37. دعونا ( vecs {F} (x، y) = dfrac {-y ، mathbf { hat i} + x ، mathbf { hat j}} {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، حيث يتم تعريف ( vecs F ) في ( big {(x، y) in mathbb {R} | (x، y) neq (0،0) big } ) . ابحث عن ( text {curl} ، vecs F ).

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم نظام الجبر الحاسوبي للعثور على تجعيد الحقول المتجهة المحددة.

38. [T] ( vecs F (x، y، z) = arctan left ( dfrac {x} {y} right) ، mathbf { hat i} + ln sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ، mathbf { hat j} + ، mathbf { hat k} )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} ، mathbf { hat k} )

39. [T] ( vecs F (x، y، z) = sin (x - y) ، mathbf { hat i} + sin (y - z) ، mathbf { hat j} + sin (z - x) ، mathbf { hat k} )

بالنسبة للتمارين التالية ، أوجد اختلاف ( vecs F ) عند النقطة المحددة.

40. ( vecs F (x، y، z) = ، mathbf { hat i} + ، mathbf { hat j} + ، mathbf { hat k} ) في ((2، -1 ، 3) )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = 0 )

41. ( vecs F (x، y، z) = xyz ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k} ) في ( (1 ، 2 ، 3) )

42. ( vecs F (x، y، z) = e ^ {- xy} ، mathbf { hat i} + e ^ {xz} ، mathbf { hat j} + e ^ {yz} ، mathbf { hat k} ) في ((3، 2، 0) )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = 2 - 2e ^ {- 6} )

43. ( vecs F (x، y، z) = xyz ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k} ) في ( (1 ، 2 ، 1) )

44. ( vecs F (x، y، z) = e ^ x sin y ، mathbf { hat i} - e ^ x cos y ، mathbf { hat j} ) في (( 0 ، 0 ، 3) )

إجابه:
( text {div} ، vecs F = 0 )

للتدريبات 45-49 ، أوجد التفاف ( vecs F ) عند النقطة المحددة.

45. ( vecs F (x، y، z) = ، mathbf { hat i} + ، mathbf { hat j} + ، mathbf { hat k} ) في ((2، -1 ، 3) )

46. ( vecs F (x، y، z) = xyz ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k} ) في ( (1 ، 2 ، 3) )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = mathbf { hat j} - 3 ، mathbf { hat k} )

47. ( vecs F (x، y، z) = e ^ {- xy} ، mathbf { hat i} + e ^ {xz} ، mathbf { hat j} + e ^ {yz} ، mathbf { hat k} ) في ((3، 2، 0) )

48. ( vecs F (x، y، z) = xyz ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat k} ) في ( (1 ، 2 ، 1) )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = 2 ، mathbf { hat j} - ، mathbf { hat k} )

49. ( vecs F (x، y، z) = e ^ x sin y ، mathbf { hat i} - e ^ x cos y ، mathbf { hat j} ) في (( 0 ، 0 ، 3) )

50. دعونا ( vecs F (x، y، z) = (3x ^ 2 y + az) ، mathbf { hat i} + x ^ 3 ، mathbf { hat j} + (3x + 3z ^ 2) ، mathbf { قبعة ك} ). ما قيمة (a ) ( vecs F ) المحافظة؟

إجابه:
(أ = 3 )

51. إعطاء حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} langle -y، x rangle ) في المجال (D = dfrac { mathbb {R} ^ 2} { {(0،0) }} = big {(x، y) in mathbb {R} ^ 2 | (x، y) neq (0،0) كبير } ) هل ( vecs F ) محافظ؟

52. إعطاء حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = dfrac {1} {x ^ 2 + y ^ 2} langle x، y rangle ) في المجال (D = dfrac { mathbb {R} ^ 2} { {(0،0) }} ) ، هل ( vecs F ) متحفظ؟

إجابه:
( vecs F ) محافظ.

53. ابحث عن العمل الذي تم إنجازه بواسطة حقل القوة ( vecs {F} (x، y) = e ^ {- y} ، mathbf { hat i} - xe ^ {- y} ، mathbf { hat j } ) في نقل كائن من (P (0 ، 1) ) إلى (Q (2 ، 0) ). هل مجال القوة محافظ؟

54. حساب الاختلاف ( vecs F (x، y، z) = ( sinh x) ، mathbf { hat i} + ( cosh y) ، mathbf { hat j} - xyz ، mathbf { قبعة ك} ).

إجابه:
( text {div} ، vecs F = cosh x + sinh y - xy )

55. احسب ( text {curl} ، vecs F = ( sinh x) ، mathbf { hat i} + ( cosh y) ، mathbf { hat j} - xyz ، mathbf { قبعة ك} ).

للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك جسمًا صلبًا يدور حول (x ) - محور عكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة زاوية ثابتة ( vecs omega = langle a ، b ، c rangle ). إذا كانت (P ) نقطة في الجسم تقع في ( vecs r = x ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} + z ، mathbf { hat ك} ) ، يتم إعطاء السرعة عند (P ) بواسطة حقل المتجه ( vecs F = vecs omega times vecs r ).

56. التعبير عن ( vecs F ) بدلالة ( ، mathbf { hat i} ، ؛ ، mathbf { hat j} ، ) و ( ، mathbf { hat k} ) ثلاثة أبعاد.

إجابه:
( vecs F = (bz - cy) ، mathbf { hat i} + (cx - az) ، mathbf { hat j} + (ay - bx) ، mathbf { hat k} )

57. ابحث عن ( text {div} ، F ).

58. ابحث عن ( text {curl} ، F )

إجابه:
( text {curl} ، vecs F = 2 vecs omega )

في التدريبات التالية ، افترض أن ( vecs nabla cdot vecs F = 0 ) و ( vecs nabla cdot vecs G = 0 ).

59. هل ( vecs F + vecs G ) ليس لها بالضرورة أي اختلاف؟

60. هل ( vecs F times vecs G ) ليس لها بالضرورة أي اختلاف؟

إجابه:
( vecs F times vecs G ) لا يحتوي على أي اختلاف.

في التدريبات التالية ، افترض أن جسمًا صلبًا في ( mathbb {R} ^ 3 ) له توزيع درجة حرارة مُعطى بواسطة (T (x، y، z) ). حقل متجه تدفق الحرارة في الكائن ( vecs F = - k vecs nabla T ) ، حيث (k> 0 ) هي خاصية للمادة. يشير متجه تدفق الحرارة في الاتجاه المعاكس لاتجاه التدرج ، وهو اتجاه أكبر انخفاض في درجة الحرارة. الاختلاف في متجه تدفق الحرارة هو ( vecs nabla cdot vecs F = -k vecs nabla cdot vecs nabla T = - k vecs nabla ^ 2 T ).

61. احسب مجال متجه تدفق الحرارة.

62. احسب الاختلاف.

إجابه:
( vecs nabla cdot vecs F = -200 ك [1 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)] e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} )

63. [T] ضع في اعتبارك حقل السرعة الدورانية ( vecs v = langle 0،10z، -10y rangle ). إذا تم وضع عجلة مجداف في المستوى (x + y + z = 1 ) مع محورها الطبيعي على هذا المستوى ، باستخدام نظام الجبر الحاسوبي ، احسب مدى سرعة دوران عجلة التجديف في دورات لكل وحدة زمنية.

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


1. مقدمة (غراد)

يتم تعريف عامل التفاضل المتجه & nabla ، المسمى "del" أو "nabla" ، في ثلاثة أبعاد على النحو التالي:

- حيث توجد المشتقات جزئي، أي فيما يتعلق بمحاور x و y و z ، و i و j و k هي متجهات الوحدة في اتجاهات x و y و z على التوالي.

إذا كانت دالة عددية ، & fnof (x, ذ, ض) ، معرّف وقابل للتفاضل في جميع النقاط في بعض المناطق ، إذن & fnof هو أ مجال عددي قابل للتفاضل. يمكن تطبيق عامل المتجه del ، & nabla ، على الحقول العددية والنتيجة ، & nabla & fnof ، هو حقل متجه. يطلق عليه الانحدار of & fnof (راجع وحدة التدرجات والمشتقات الاتجاهية).

الاختبار 1: كتمرين مراجعة ، ما هو التدرج الصحيح للحقل القياسي & fnof (x, ذ, ض) = س ص 2 & ناقص yz ?

المحلول: إذا كان الحقل القياسي هو & fnof (x, ذ, ض) = س ص 2 & ناقص yz ، إنه الانحدار يكون:

& نبلة & fnof = &جزء / & partx (س ص 2 & ناقص yz) + &جزء / &حفل (س ص 2 & ناقص yz) ي + &جزء / & partz (س ص 2 & ناقص yz) ك
= ذ 2 مرات &جزء / & partx (x) أنا + [ x & مرات &جزء / &حفل (ذ 2) وناقص ض & مرات &جزء / &حفل (ذ ] j + (& ناقصذ) مرات &جزء / & partz (ض) ك
= ذ 2 ط + (2س ص &ناقص ض) ي & ناقص ذ ك

عامل المتجه & نبلة قد يُسمح أيضًا بالعمل على حقول المتجهات. طريقتان مختلفتان يمكن أن يتصرف بهما ، موضوع هذه الوحدة ، مهمان للغاية في الرياضيات والعلوم والهندسة. أولاً ، سنراجع بإيجاز بعض الخصائص المفيدة للمتجهات.

ضع في اعتبارك المتجه (ثلاثي الأبعاد) ، أ = أ1 أنا + أ2 ي + أ2 k ، والتي قد نكتبها أيضًا كـ a = (أ1, أ2, أ3). إذا ضربناها في ثابت c ، فسيتم ضرب كل مكون من المتجه في c:

إذا قدمنا ​​متجهًا ثانيًا ، ب = (ب1, ب2, ب3) ، ثم نتذكر أن هناك طريقتين مختلفتين لضرب المتجهات معًا ، وهما العددية و المتجه منتجات.

ال منتج عددي (وتسمى أيضا المنتج نقطة) من خلال:

إنها العددية (كما يوحي اسم "المنتج القياسي").

الاختبار الثاني: ما هو حاصل الضرب القياسي لـ a = (1 ، 2 ، 3) و b = (3 ، & ناقص 2 ، 1)؟

المحلول: الناتج القياسي للمتجهين أ = (1 ، 2 ، 3) وب = (3 ، ناقص 2 ، 1) هو:

أ & sdot ب = أ1ب1 + أ2ب2
= مرات 1 & ​​3 + 2 & مرات (& ناقص 2) + 3 & مرات 1
= 3 & ناقص 4 + 3
= 2

ال ناقلات المنتج (أو عبر المنتج) يتم تعريفه من خلال:

إنها المتجه (كما يوحي اسم "المنتج المتجه"). لاحظ أن السطر الثاني (تمثيل المحدد) هو اختصار مفيد للأول.

الاختبار 3: ما هو حاصل الضرب المتجه لـ a = (1 ، 2 ، 3) و b = (3 ، & ناقص 2 ، 1)؟

المحلول: منتج المتجه للمتجهين a = (1 ، 2 ، 3) و b = (3 ، & ناقص 2 ، 1) هو:


6.5 التباعد والضفيرة

في هذا القسم ، ندرس عمليتين مهمتين في مجال متجه: التباعد والتفاف. إنها مهمة في مجال حساب التفاضل والتكامل لعدة أسباب ، بما في ذلك استخدام الضفيرة والتباعد لتطوير بعض الإصدارات عالية الأبعاد من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. بالإضافة إلى ذلك ، يظهر الانحناء والتباعد في الأوصاف الرياضية لميكانيكا الموائع ، والكهرومغناطيسية ، ونظرية المرونة ، وهي مفاهيم مهمة في الفيزياء والهندسة. يمكننا أيضًا تطبيق الضفيرة والتباعد على مفاهيم أخرى اكتشفناها بالفعل. على سبيل المثال ، في ظل ظروف معينة ، يكون حقل المتجه متحفظًا إذا وفقط إذا كان تجعيده صفرًا.

بالإضافة إلى تعريف الضفيرة والتباعد ، فإننا ننظر إلى بعض التفسيرات المادية لهما ، ونبين علاقتهما بمجالات ناقل محافظة وخالية من المصدر.

تشعب

تعريف

لاحظ أن تباعد حقل متجه ليس حقل متجه ، ولكنه دالة قياسية. من حيث عامل التدرج ∇ = 〈∂ ∂ x ، ∂ ∂ y ، ∂ ∂ z〉 ، ∇ = 〈∂ ∂ x ، ∂ ∂ y ، ∂ ∂ z〉 ، يمكن كتابة الاختلاف بشكل رمزي باعتباره حاصل الضرب النقطي

لاحظ أن هذا مجرد تدوين مفيد ، لأن المنتج النقطي لمتجه المشغلين ومتجه الوظائف لم يتم تعريفه بشكل هادف نظرًا لتعريفنا الحالي للمنتج النقطي.

لتوضيح هذه النقطة ، ضع في اعتبارك حقلي المتجه في الشكل 6.50. في أي نقطة معينة ، تكون الكمية المتدفقة هي نفسها الكمية المتدفقة للخارج ، لذلك في كل نقطة تكون "التدفق الخارج" للحقل صفرًا. لذلك ، نتوقع أن يكون الاختلاف في كلا الحقلين صفرًا ، وهذا هو الحال بالفعل

على النقيض من ذلك ، ضع في اعتبارك حقل المتجه الشعاعي R (x، y) = 〈- x، - y〉 R (x، y) = 〈- x، - y〉 في الشكل 6.51. في أي نقطة معينة ، يتدفق المزيد من السوائل إلى الداخل أكثر مما يتدفق إلى الخارج ، وبالتالي فإن "خروج" الحقل يكون سالبًا. نتوقع أن يكون الاختلاف في هذا المجال سالبًا ، وهذا هو الحال بالفعل ، مثل div (R) = ∂ ∂ x (- x) + ∂ ∂ y (- y) = −2. div (R) = ∂ ∂ x (- x) + ∂ ∂ y (- y) = −2.

للحصول على إحساس عالمي بما يخبرنا به الاختلاف ، افترض أن الحقل المتجه في ℝ 2 2 يمثل سرعة مائع. تخيل أنك تأخذ دائرة مرنة (دائرة ذات شكل يمكن تغييرها بواسطة الحقل المتجه) وإسقاطها في سائل. إذا حافظت الدائرة على مساحتها الدقيقة أثناء تدفقها عبر السائل ، فسيكون الاختلاف صفرًا. قد يحدث هذا لكلا الحقلين المتجهين في الشكل 6.50. من ناحية أخرى ، إذا كان شكل الدائرة مشوهًا بحيث تتقلص مساحتها أو تتسع ، فإن الاختلاف ليس صفرًا. تخيل إسقاط دائرة مرنة كهذه في حقل المتجه الشعاعي في الشكل 6.51 بحيث يهبط مركز الدائرة عند النقطة (3 ، 3). سوف تتدفق الدائرة باتجاه الأصل ، وكما فعلت ، فإن الجزء الأمامي من الدائرة سوف يتحرك ببطء أكثر من الخلف ، مما يتسبب في "انحشار" الدائرة وفقدان المنطقة. هذه هي الطريقة التي يمكنك من خلالها رؤية الاختلاف السلبي.

مثال 6.48

حساب التباعد عند نقطة

المحلول

تباعد F يكون

يحدث تطبيق واحد للتباعد في الفيزياء ، عند العمل بالمجالات المغناطيسية. المجال المغنطيسي هو حقل متجه يصمم تأثير التيارات الكهربائية والمواد المغناطيسية. يستخدم الفيزيائيون الاختلاف في قانون جاوس للمغناطيسية ، والتي تنص على أنه إذا ب هو مجال مغناطيسي ، ثم ∇ · B = 0 ∇ · B = 0 بمعنى آخر ، يكون تباعد المجال المغناطيسي صفرًا.

مثال 6.49

تحديد ما إذا كان المجال مغناطيسيًا

هل من الممكن أن تكون F (x، y) = 〈x 2 y، y - x y 2〉 F (x، y) = 〈x 2 y، y - x y 2〉 مجالًا مغناطيسيًا؟

المحلول

لو F كانت مغناطيسية ، فإن تباعدها سيكون صفراً. تباعد F يكون

وبالتالي F لا يمكن نمذجة مجال مغناطيسي (الشكل 6.52).

تطبيق آخر للاختلاف هو اكتشاف ما إذا كان الحقل خالٍ من المصدر. تذكر أن الحقل الخالي من المصدر هو حقل متجه له دالة دفق مكافئة ، والحقل الخالي من المصدر هو حقل به تدفق يساوي صفرًا على طول أي منحنى مغلق. تقول النظريتان التاليتان أنه في ظل ظروف معينة ، فإن حقول المتجه الخالية من المصدر هي على وجه التحديد حقول المتجهات مع عدم وجود اختلاف في التباعد.

تباعد حقل ناقل خالٍ من المصدر

دليل - إثبات

إن عكس تباعد حقل ناقل خالٍ من المصدر صحيح في المناطق المتصلة ببساطة ، ولكن الدليل تقني للغاية بحيث لا يمكن تضمينه هنا. وبالتالي ، لدينا النظرية التالية ، والتي يمكنها اختبار ما إذا كان حقل المتجه في ℝ 2 ℝ 2 مجاني المصدر.

نظرية 6.15.1

اختبار الاختلاف لحقول المتجهات الخالية من المصدر

مثال 6.50

تحديد ما إذا كان الحقل خالٍ من المصدر

هل المجال F (x، y) = 〈x 2 y، 5 - x y 2〉 F (x، y) = 〈x 2 y، 5 - x y 2〉 مصدر مجاني؟

المحلول

وبالتالي، F هو مصدر مجاني من خلال اختبار الاختلاف لحقول المتجهات الخالية من المصدر.

نقطة تفتيش 6.41

تذكر أن صيغة التدفق في نظرية جرين تقول ذلك

أين ج هو منحنى بسيط مغلق و د هي المنطقة المحاطة بـ ج. بما أن P x + Q y = div F، P x + Q y = div F ، فإن نظرية جرين تكتب أحيانًا على هيئة

لذلك ، يمكن كتابة نظرية جرين من حيث الاختلاف. إذا فكرنا في الاختلاف باعتباره مشتقًا من نوع ما ، فإن نظرية جرين تقول "مشتق" من F على منطقة يمكن ترجمتها إلى سطر لا يتجزأ من F على طول حدود المنطقة. هذا مشابه للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ، حيث يمكن ترجمة مشتقة الدالة f f على مقطع خطي [أ ، ب] [أ ، ب] إلى بيان حول f f على حدود [أ ، ب]. [أ ، ب]. باستخدام الاختلاف ، يمكننا أن نرى أن نظرية جرين هي تناظرية ذات أبعاد أعلى للنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

يمكننا استخدام كل ما تعلمناه في تطبيق الاختلاف. يترك الخامس يكون مجالًا متجهًا نمذجة سرعة مائع. منذ الاختلاف الخامس عند نقطة ص يقيس "التدفق الخارج" للسائل عند ص، div v (P) & gt 0 div v (P) & gt 0 تشير إلى تدفق المزيد من السوائل من ص من التدفق إلى الداخل. وبالمثل ، تشير div v (P) & lt 0 div v (P) & lt 0 إلى زيادة تدفق السوائل إلى ص مما يتدفق للخارج ، و div v (P) = 0 div v (P) = 0 يعني أن نفس كمية السائل تتدفق إلى الداخل كما تتدفق للخارج.

مثال 6.51

تحديد تدفق السائل

المحلول

نقطة تفتيش 6.42

العملية الثانية على حقل متجه التي نفحصها هي الضفيرة ، والتي تقيس مدى دوران الحقل حول نقطة. لنفترض أن F يمثل مجال سرعة السائل. ثم تجعيد F عند نقطة ص هو ناقل يقيس ميل الجسيمات القريبة ص للدوران حول المحور الذي يشير في اتجاه هذا المتجه. حجم متجه الضفيرة عند ص يقيس مدى سرعة دوران الجسيمات حول هذا المحور. بمعنى آخر ، الالتفاف عند نقطة ما هو مقياس "دوران" حقل المتجه عند تلك النقطة. بصريًا ، تخيل وضع عجلة مجداف في سائل عند ص، مع محاذاة محور عجلة التجديف مع متجه الضفيرة (الشكل 6.54). يقيس الانحناء ميل عجلة المجداف للدوران.

ضع في اعتبارك الحقول المتجهة في الشكل 6.50. في الجزء (أ) ، يكون مجال المتجه ثابتًا ولا يوجد دوران في أي نقطة. لذلك ، نتوقع أن يكون تجعيد المجال صفراً ، وهذا هو الحال بالفعل. يُظهر الجزء (ب) مجالًا دورانيًا ، وبالتالي فإن الحقل يحتوي على دوران. على وجه الخصوص ، إذا وضعت عجلة مجداف في حقل عند أي نقطة بحيث يكون محور العجلة متعامدًا على المستوى ، فإن العجلة تدور في عكس اتجاه عقارب الساعة. لذلك ، نتوقع أن يكون تجعيد الحقل غير صفري ، وهذا هو الحال بالفعل (التجعيد هو 2 ك). 2 ك).

لمعرفة ما يتم قياسه على مستوى العالم ، تخيل إسقاط ورقة في السائل. عندما تتحرك الورقة جنبًا إلى جنب مع تدفق السائل ، يقيس التجعيد ميل الورقة للدوران. إذا كان التجعد صفرًا ، فإن الورقة لا تدور أثناء تحركها خلال السائل.

تعريف

لاحظ أن تجعيد حقل متجه هو حقل متجه ، على عكس الاختلاف.

قد يكون من الصعب تذكر تعريف الضفيرة. للمساعدة في التذكر ، نستخدم الترميز ∇ × F ∇ × F للدلالة على "المحدد" الذي يعطي صيغة الضفيرة:

محدد هذه المصفوفة هو

وبالتالي ، فإن هذه المصفوفة هي وسيلة للمساعدة في تذكر صيغة الضفيرة. ضع في اعتبارك ، مع ذلك ، أن الكلمة محدد يستخدم بشكل فضفاض للغاية. لا يتم تعريف المحدد بالفعل في مصفوفة ذات مدخلات تتكون من ثلاثة نواقل ، وثلاثة عوامل تشغيل ، وثلاث وظائف.

مثال 6.52

إيجاد التفاف حقل متجه ثلاثي الأبعاد

أوجد تجعيد F (P، Q، R) = 〈x 2 z، e y + x z، x y z〉. F (P، Q، R) = 〈x 2 z، e y + x z، x y z〉.


انسايت الرياضيات

بالنسبة إلى $ dlvf: R ^ 3 to R ^ 3 $ (مرتبك؟) ، تكون الصيغ الخاصة بالتباعد والالتفاف لحقل المتجه هي start div dlvf & amp = pdiff < dlvfc_1> + pdiff < dlvfc_2> + pdiff < dlvfc_3> curl dlvf & amp = يسار ( pdiff < dlvfc_3>- pdiff < dlvfc_2>، pdiff < dlvfc_1> - pdiff < dlvfc_3>، pdiff < dlvfc_2> - pdiff < dlvfc_1> حق). نهاية (تم تحفيز صيغة curl إلى حد ما في صفحة أخرى.) قد يكون من الأسهل حفظ تدوين بديل للتباعد والتجعيد أكثر من هذه الصيغ من تلقاء نفسها.

بالنظر إلى هذه الصيغ ، لا يوجد الكثير لحساب الاختلاف والتجعيد. فقط & ldquoplug و chug ، & rdquo كما يقولون.

مثال

احسب الانحراف والتجعيد لـ $ dlvf = (-y، xy، z) $.

المحلول: منذ البداية pdiff < dlvfc_1> = 0 ، qquad pdiff < dlvfc_2>= x، qquad pdiff < dlvfc_3>= 1 نهاية نحسب ذلك نبدأ div vc = 0 + س + 1 = س + 1. نهاية منذ البداية pdiff < dlvfc_1> = -1 ، pdiff < dlvfc_2>= y، pdiff < dlvfc_1> = pdiff < dlvfc_2> = pdiff < dlvfc_3>= pdiff < dlvfc_3>= 0 ، نهاية نحسب ذلك نبدأ curl dlvf = (0-0، 0-0، y + 1) = (0،0، y + 1). نهاية

أشياء جيدة يمكننا فعلها بالرياضيات. إذا تمكنت من معرفة الاختلاف أو الالتفاف من صورة حقل المتجه (أدناه) ، فأنت تقوم بعمل أفضل مما أستطيع.

الصغير تحميل

مثال مجال متجه ثلاثي الأبعاد. يصعب تصور بنية حقل المتجه ، لكن تدوير الرسم البياني بالماوس يساعد قليلاً.


الملفات التكميلية

الاختلاف الميكانيكي بين (4س,7ص) -جيرماكرا- (1 (10)ه,5ه) -dien-11-ol synthases من بوربوريوم ديكتيوستيليوم و Streptomyces coelicolor

H. Xu، J.Rinkel، X. Chen، T.GK & # 246llner، F. Chen and J. S. Dickschat، منظمة. بيومول. تشيم., 2021, 19, 370 DOI: 10.1039 / D0OB02361B

لطلب الإذن بنسخ مادة من هذه المقالة ، يرجى الانتقال إلى صفحة طلب "مركز تخليص حقوق الطبع والنشر".

إذا كنت كذلك كمؤلف يساهم في منشور RSC ، لا تحتاج إلى طلب إذن شريطة تقديم الإقرار الصحيح.

إذا كنت كذلك مؤلف هذا المقال ، لا تحتاج إلى طلب إذن لإعادة إنتاج الأشكال والرسوم البيانية شريطة تقديم الإقرار الصحيح. إذا كنت ترغب في إعادة إنتاج المقالة بأكملها في منشور تابع لجهة خارجية (باستثناء أطروحتك / أطروحتك التي لا يلزم الحصول على إذن بشأنها) ، فيرجى الانتقال إلى صفحة طلب "مركز تخليص حقوق الطبع والنشر".


D & # 038D: آثار الاختلاف & # 8211 Wildemount & # 8217s عناصر جديدة ترفع مستوى معك

إحدى الميزات الجديدة الجريئة في Explorer & # 8217s Guide to Wildemount هي عناصر سحرية تسمى آثار الاختلاف. إنهم يرتقون مع نمو القصة.

تم إصدار Explorer & # 8217s Guide to Wildemount الآن ومعه العديد من الميزات الجديدة المصممة للمساعدة في تقديم شخصيتك إلى عالم الدور الحرج & # 8217s Exandria. جزء كبير من سحر Mercer & # 8217s هو الطريقة التي يتوسع بها العالم في ظل لعبته. & # 8217s مثل مشاهدة لعبة فيديو تصبح أعمق & # 8211 والآليات المقدمة في Wildemount تعكس حساسية لعبة الفيديو / الرسوم المتحركة هذه. ربما هذا & # 8217s لأن Mercer عبرت عن الشخصيات في الألعاب الشعبية والأنيمي ، وربما هذا & # 8217s لأن Mercer شاهدها ولعبها ، مهما كان المصدر ، أحب الطريقة التي يشعر بها هؤلاء الميكانيكيون.

اليوم نلقي نظرة على كيفية تعامل Wildemount مع الأسلحة المميزة. هذا ليس مفهومًا جديدًا لـ D & ampD ، بالعودة إلى الإصدار الثالث ، كان هناك عدد لا يحصى من القواعد للأسلحة القديمة أو الأسلحة المميزة أو أي شيء آخر ، ولكن في كثير من الأحيان شعرت هذه الميكانيكا بالضيق قليلاً ، حيث حاولت حشر الميكانيكا في نظام لم يكن & # 8217t بالضرورة في حاجة إليها. Wildemount & # 8217s آثار الاختلاف & # 8230 تباعد & # 8230 عن تلك السابقة ، لإيجاد حل أكثر أناقة. إنهم لا يحاولون محاكاة تقدم الشخصيات في المستوى ، ولكن بدلاً من ذلك لديهم نظامهم الخاص الذي ينزلق فوق اللعبة. كل واحد منهم لديه ثلاث حالات مختلفة ، في سبات عميق, استيقظ، و تعالى، مما يعكس مقدار القوة المتوفرة من السلاح & # 8217s.

في عالم Wildemount ، توجد هذه الدول لأنها كانت عناصر سحرية قوية من عصر مضى والتي تتطلب التناغم مع الأفراد الجديرين. تحتوي كل طبقة على مجموعة مختلفة من القوى ، مما يسمح لـ DM بتحديد السرعة لمدى قوة السلاح & # 8211 ولكن أيضًا إعطاء شيء للاعبين يتطلعون إلى فتحه.

نظام التقدم رائع.

عادةً ما يعكس تقدم أثر الاختلاف صدى رحلتها الخاصة باكتشاف الذات ، سواء كان ذلك يتضمن انتصارًا أو فشلًا. ومع ذلك ، فإن أثر الاختلاف قد يتطور من تلقاء نفسه خلال لحظات الإكراه أو اليأس لمستخدمه ، مما يمنح مساعدة إضافية في أوقات الحاجة.

يتيح لك هذا بشكل أساسي الاستمتاع بلحظة تعزيز الرسوم المتحركة في منتصف القتال في منتصف مواجهات D & ampD ، مما يجعلك تحصل على لحظات رائعة من الدراما. إذا كنت & # 8217 على حظك ضد رئيس قوي ، فقد يفتح سلاحك فجأة ، و عرض & # 8217s عنوان الموضوع يبدأ اللعب بمزيد من الأوتار والأبواق أو ما شابه ، وأنت & # 8217re في طريقك للفوز في المعركة التي كنت تسعى جاهدًا لتحقيقها.

كل لعبة تحتاج إلى نظام مثل هذا. ونظرًا لأن الآثار واضحة جدًا ، فمن السهل أن تقول & # 8220 الآن سيفك يفعل X & # 8221 بدلاً من الاضطرار إلى إيقاف القتال مؤقتًا لمدة أربع ساعات أثناء رفع مستواك. يقدم الكتاب بعض الإرشادات للطريقة التي يمكن أن يتقدم بها أحد هذه الإرشادات:

  • تتغلب شخصية على واحدة من أعظم مخاوفها ، وتواجه بشجاعة رهابًا يشل الحركة لإنقاذ أحد زملائها في الحزب
  • تتعرض شخصية للضرب في شبر واحد من حياتها من قبل عدو مكروه منذ فترة طويلة. في مواجهة الهزيمة ، يشعرون بقوة كامنة عميقة تنمو من الداخل
  • تفقد شخصية حليفًا وثيقًا في المعركة ، ويثير غضبهم وغضبهم القوة داخل أثر الاختلاف
  • تكتشف الشخصية جانبًا من مصيرها يوجهها نحو قضية خطيرة. يضعون مخاوفهم جانبًا ويتقبلون مصيرهم ومسؤوليتهم
  • شخصية ما تنتقم بنجاح من منافس لطالما عذبها
  • شخصية معروفة بضبط النفس تستسلم للحوافز العنيفة اللاأخلاقية التي تم تزوير أثر الاختلاف لشحذها

كل لحظة من تلك اللحظات هي لحظة قوية. أنا أحب هذا النظام كثيرًا & # 8211it يمنحك طريقة للإقرار بنمو الشخصية الذي ليس مجرد زيادة في الأرقام. إنه يضفي الكثير من الوزن على فعل الشيء الأكثر أهمية للقصة ، وهو يجسد الشعور المنتصر باليأس الذي ينمو عندما تكون الرقائق معطلة لفترة طويلة.

الإصدار الخامس يحتاج إلى المزيد من الأشياء من هذا القبيل. إنه & # 8217s بسهولة إضافتي المفضلة التي تركز على اللاعب منذ فترة. & # 8217s نلقي نظرة على واحدة من هؤلاء. نحن & # 8217re بصدد إلقاء نظرة على واحدة من الآثار. تأتي هذه العناصر في نكهتين ، آثار ، وهي ليست شريرة بشكل عام & # 8211 وأذرع الخونة ، أسلحة مزورة بروح شرير لأبطال الآلهة الشريرة. هنا & # 8217s نظرة على السلاح المعروف باسم Ruin & # 8217s Wake.

استيقظ الخراب # 8217s

يتكون هذا الرمح من العظم العاجي لتنين ذهبي قديم ومنحوت بترنيمة الأورك إلى Gruumsh.

استيقظ الخراب # 8217s هو سلاح شرير فوضوي واعي بذكاء يبلغ 20 حكمة من 16 ، وكاريزما من 22. له سمع ورؤية مظلمة يصل مداها إلى 120 قدمًا.

يعيش بالور المحب للذبح المسمى Yarrow-ish داخل Ruin & # 8217s Wake. السلاح لا يريد سوى سحب الدم ويدفع من يستخدمه لحل المشاكل بالعنف.

بينما الرمح في سبات عميق، هو & # 8217s رمح +1 الذي يسبب ضررًا خارقًا إضافيًا 1d8 لأي هدف يصيبه ، بالإضافة إلى إعطائك هجومًا مضادًا كرد فعل كلما تعرضت لهجوم.

عندما يكون الرمح استيقظ، يصبح سلاحًا +2 يسبب ضررًا إضافيًا بمقدار 2d8 ، ويمكن أن يتحول إلى صاعقة من البرق مرة واحدة يوميًا ، مما يتيح لك إلحاق ضرر 8d6 بأي شخص يقع في وسطه.

إذا أصبح الرمح تعالى، يصبح سلاح +3 ، يمنحك حركة إضافية تمنحك ميزة في لفات الهجوم حتى بداية دورك التالي لكل من تختاره في نطاق 30 قدمًا ، ويتيح لك استعادة نقاط الضرب عندما تقلل عدوًا إلى 0 نقطة إصابة.

هناك الكثير من الأسلحة الأخرى ، من الأسلحة إلى أشياء مثل النظارات الواقية السحرية أو المفتاح السحري. هناك الكثير من الإبداع هنا.

على أي حال ، هذه هي آثار الاختلاف ، وهي واحدة فقط من العديد من الميزات الجديدة المضافة في Wildemount. تحقق مرة أخرى هذا الأسبوع ونحن نغطي التعاويذ الجديدة والفئات الفرعية في الكتاب.


15.5E: Divergence و Curl (تمارين)

يحتوي رأس LaTeX for Physicists على الميزات التالية:

  • يضبط حجم الخط على 11 نقطة
  • يشمل الحزم المطلوبة بشكل شائع
  • يقلل هوامش الصفحة إلى 0.75 بوصة لمزيد من المساحة
  • إعادة تعريف maketitle لتوفير مساحة
  • يزيل أرقام الصفحات
  • يغير التعداد إلى الحروف كما في تمارين الفيزياء
  • v <> يجعل المتجهات الغامقة ( v يتم إعادة تعريفه إلى فارغ)
  • uv <> يصنع متجهات وحدة جريئة بقبعات
  • gv <> يجعل متجهات جريئة للأحرف اليونانية
  • abs <> يجعل رمز القيمة المطلقة
  • avg <> يجعل رمز متوسط ​​الزاوية
  • d <> <> يصنع مشتقات (تم إعادة تعريف d إلى underdot)
  • dd <> <> يصنع مشتقات مزدوجة
  • pd <> <> يصنع مشتقات جزئية
  • pdd <> <> يصنع مشتقات جزئية مزدوجة
  • pdc <> <> <> يصنع مشتقات جزئية للديناميكا الحرارية
  • ket <> يصنع مجموعات ديراك
  • حمالة صدر <> تصنع حمالات الصدر ديراك
  • braket <> <> يقوم بعمل أقواس ديراك
  • matrixel <> <> <> يصنع عناصر مصفوفة ديراك
  • grad <> يجعل عامل التدرج
  • يقوم div <> بإنشاء عامل تباعد (تم إعادة تعريف div إلى divsymb)
  • curl <> يجعل عامل تشغيل curl
  • = <> يجعل الأرقام تظهر فوق علامات التساوي ( = أعيد تعريفها إلى baraccent)
  • استخدم "$. $" للمعادلات المضمنة
  • استخدم " [. ]" للمعادلات على السطر الخاص بهم
  • استخدم " start
    . نهاية
    "لتوسيط شيء ما
  • استخدم " includeegraphics [width =؟ cm]"للصور - يجب التحويل البرمجي إلى dvi ثم استخدام dvipdfm من ملف دفعي
  • استخدم " start<2>. نهاية"لعمودين
  • استخدم " start العنصر . نهاية"لأجزاء من تمارين الفيزياء
  • استخدم " section * <>" للأقسام بدون ترقيم
  • استخدم " start . نهاية"للوظائف المتعددة التعريف
  • استخدم " mathcal <>" لخط كاليغرافي
  • استخدم " mathbb <>" لخط أسود عريض للسبورة

فيما يلي قائمة بالرموز المضمنة شائعة الاستخدام
البحث عن رمز LaTeX - ابحث عن كود LaTeX من خلال اسمه الرياضي
قائمة شاملة للرموز


الملفات التكميلية

الاختلاف الميكانيكي بين (4س,7ص) -جيرماكرا- (1 (10)ه,5ه) -dien-11-ol synthases من بوربوريوم ديكتيوستيليوم و Streptomyces coelicolor

H. Xu ، J.Rinkel ، X. Chen ، T.GK & # 246llner ، F. Chen and J. S. Dickschat ، منظمة. بيومول. تشيم., 2021, 19, 370 DOI: 10.1039 / D0OB02361B

لطلب الإذن بنسخ مادة من هذه المقالة ، يرجى الانتقال إلى صفحة طلب مركز تخليص حقوق الطبع والنشر.

إذا كنت كذلك كمؤلف يساهم في منشور RSC ، لا تحتاج إلى طلب إذن شريطة تقديم الإقرار الصحيح.

إذا كنت كذلك مؤلف هذا المقال ، لا تحتاج إلى طلب إذن لإعادة إنتاج الأشكال والرسوم البيانية شريطة تقديم الإقرار الصحيح. إذا كنت ترغب في إعادة إنتاج المقالة بأكملها في منشور تابع لجهة خارجية (باستثناء أطروحتك / أطروحتك التي لا يلزم الحصول على إذن بشأنها) ، فيرجى الانتقال إلى صفحة طلب مركز تخليص حقوق الطبع والنشر.


أمثلة

نظرية الاختلاف لها تطبيقات عديدة. أهمها عدم تبسيط العمليات الحسابية ولكن التطبيقات النظرية ، مثل إثبات النظريات حول خصائص حلول المعادلات التفاضلية الجزئية. تمت مناقشة بعض الأمثلة في المحاضرات ولن نقول عنها أي شيء في هذه الملاحظات. بعض التطبيقات لإثبات النظريات في مجالات أخرى من الرياضيات البحتة. هذه الاستخدامات لنظرية الاختلاف ممتعة للغاية ، لكنها أيضًا صعبة وتستغرق وقتًا طويلاً في كثير من الأحيان.

لهذا السبب ، من المعتاد في دورات حساب التفاضل والتكامل المتجه استخدام نظرية الاختلاف لتحويل التكاملات المعقدة إلى تكاملات أبسط. سوف نتبع هذا التقليد ، لأن الطلاب يحتاجون إلى ممارسة ، والاستخدامات المهمة حقًا للنظرية من الصعب جدًا التقاطها بسرعة. ولكن لا يجب أن تستنتج أن النقطة الأساسية هي إخفاء التكاملات السهلة على أنها تكاملات صلبة، ولتمكينك من التراجع عن التنكر. هذه تطبيقات غير عملية تعمل على توضيح كيفية عمل النظرية.

يوضح المثال 2 استخدامًا أكثر نظرية لنظرية الاختلاف ، كما تفعل التمارين التي تتضمن حقل متجه الجاذبية ( mathbf F ( mathbf x) = frac < mathbf x> <| mathbf x | ^ 3> ) ، والتي لها خصائص مثيرة للاهتمام للغاية.

مثال 1

مثال 2 (حجم المخروط ، تمت إعادة النظر فيه).

العديد من الأمثلة على استخدامات نظرية الاختلاف مصطنعة بعض الشيء - مشاكل معقدة المظهر مصممة للتبسيط بمجرد استخدام النظرية بطريقة مناسبة. فيما يلي مثال أقل وضوحًا:

لنفترض أن (A ) هي مجموعة فرعية قابلة للقياس من (xy ) -الطائرة ذات الحدود المتجانسة ، ول (h & gt0 ) [R = left <(sx ، sy ، sh) in R ^ 3: 0 le s le 1، (x، y) in A right >. ] وهكذا (R ) هو مخروط مقلوب من الارتفاع (ح ) ، رأسه في الأصل ، وقاعدته نسخة من (أ ) جالسًا في نسخة من (س ص) ) - مستوى ارتفاع (ح ) فوق الأصل. استخدم نظرية الاختلاف لحساب حجم (R ) من حيث مساحة (A ).

في القسم 4.4 ، المثال 5 ، قمنا بحساب حجم المخروط باستخدام تقنية مختلفة. كان ذلك أسهل ، لكن هذا النهج مثير للاهتمام.

الحل دع ( mathbf F ) يكون الحقل المتجه ( mathbf F = (x ، y ، z) ). بما أن ( nabla cdot mathbf F = 3 ) ، فإن نظرية الاختلاف تعني أن [ نص(R) = frac 13 iiint_R nabla cdot mathbf F ، dV = frac 13 iint_ < جزئي R> mathbf F cdot mathbf n ، dA. ] دعونا نكتب ( جزئي R = S_كؤوس_) ، مع [ start س_ & amp = left <(x، y، h) in R ^ 3: (x، y) in A right >، S_ & amp = left <(sx، sy، sh) in R ^ 3: 0 le s le 1، (x، y) in part A right >. نهاية ] ندعي أن [ تبدأضع الكلمة المناسبة iint_<>> mathbf F cdot mathbf n ، dA = 0. end] بشكل تقريبي ، هذا صحيح لأن ( mathbf F cdot mathbf n = 0 ) في (S_) قد تتمكن من ذلك يرى هذا في عين عقلك - جربه. إذا كنت لا تزال تريد إثباتًا بعد ذلك:

مثال 3: "تحريك السطح".

دع (S = left <(x، y، z): x ^ 2 + y ^ 2 le 1، z = 1- x ^ 2-y ^ 2 right > ) ، مع الوحدة العادية موجهة نحو الأعلى.

إليك ما يبدو عليه (S ):

احسب [ iint_S mathbf F cdot mathbf n ، dA quad text mathbf F = left (e ^، فارك <1 + z ^ 2>، 2z right). ] الحل اسمح (R = left <(x، y، z) in R ^ 3: x ^ 2 + y ^ 2 le 1، 0 le z le 1 - x ^ 2-y ^ 2 right > ) ، مع الوحدة العادية الموجهة للخارج. وبالتالي (R ) هي المنطقة الواقعة بين (S ) والطائرة (س ص ) ، و ( جزئي R = S كوب S & # 39 ) ، حيث (S & # 39 = يسار <(x، y، z): x ^ 2 + y ^ 2 le 1، z = 0 right > ) (مع الوحدة العادية الموجهة لأسفل على (S & # 39 )). لذا [ iiint_ nabla cdot mathbf F ، dV = iint_ < جزئي R> mathbf F cdot mathbf n ، dA = iint_ mathbf F cdot mathbf n ، dA + iint_ mathbf F cdot mathbf n ، dA. ] لذا [ iint_ mathbf F cdot mathbf n ، dA = iiint_ nabla cdot mathbf F ، dV - iint_ mathbf F cdot mathbf n ، dA ، ] وكلاهما سهل التقييم. في الواقع ، [ iiint_ nabla cdot mathbf F ، dV = iiint_2 ، dV = 2 نص(R) = int_0 ^ 1 int_0 ^ <2 pi> int_0 ^ <1-r ^ 2> 2 ، r ، dz ، d theta ، dr = pi. ] Also, we can see that (mathbf n = (0,0,-1)) on (S') and hence that (mathbf Fcdot mathbf n = -2z) on (S') . Since (z=0) on (S') , it follows that $ _ Fn , dA = 0. $ We conclude that [iint_S mathbf Fcdot mathbf n , dA = pi. ]

Example 4.

Suppose that (R) is a regular region in (R^3) with a piecewise smooth boundary, and let (mathbf F) be a vector field that is (C^2) on an open set containing (R) . Compute [ iint_ ( abla imes mathbf F)cdot mathbf n , dA. ]

Note that when we integrate over the boundary of a regular region, the default assumption is that (mathbf n) is oriented outward. Since there is a clear default, we do not always bother to specify the direction of (mathbf n) .

المحلول. By the Divergence Theorem, [ iint_ ( abla imes mathbf F)cdot mathbf n, dA = iiint_R ablacdot( abla imes mathbf F) , dV = 0 ] since the divergence of a curl always equals zero.

Example 5.

Here is a method to make a question involving the Divergence Theorem:

  1. Start with a moderately complicated vector field, say (mathbf F = (e^, xyz, cos(xz))) .
  2. Compute its curl and call it (mathbf G) . [ mathbf G= abla imes mathbf F = ( -xy , ye^ + zsin(xz), yz-ze^) ]
  3. Make up a complicated region satisfying the hypotheses in the Divergence Theorem, say [ R = left< (x,y,z)in R^3 : 0 le zle 5- x^4- y^6 , x+y+zge 0 ight>. ]
  4. Ask someone to compute [ iint_ mathbf Gcdot mathbf n , dA, ] for (mathbf G) and (R) as above, without mentioning that (mathbf G) is the curl of some other vector field.

Example 6.

Here is a method to make another question involving the Divergence Theorem:

Follow steps 1-2 as above to come up with a complicated-looking vector field that is the curl of some other vector field (mathbf F) , and hence that is guaranteeed to have divergence equal to (0) , say (( -xy , ye^ + zsin(xz), yz-ze^)) as above.

Add a simple vector field whose divergence is simple, such as ((x,0,0)) and call the result (mathbf G:) [ mathbf G = (x -xy , ye^ + zsin(xz), yz-ze^). ] Then for this example, we can see that (div mathbf G = div (x,0,0) + div(curl mathbf F) = 1) .

Make up a region whose volume is easy to compute, for example let (R) be the cone in (R^3) whose base is the rectangle (2le x le 3, 4 le y le 9) and whose vertex is the point ((0,0,2)) .

Ask someone to compute [ iint_ mathbf Gcdot mathbf n , dA. ]

The Divergence Theorem and the choice of (mathbf G) guarantees that this integral equals the volume of (R) , which we know is (frac 13( ext) imes ext = frac<10>3) . The person evaluating the integral will see this quickly by applying Divergence Theorem, or will slog through some difficult computations otherwise.


15.5E: Divergence and Curl (Exercises)

where is symmetric (i.e., ) and traceless (i.e., ), is isotropic, and only has three independent components.

Show that the coefficients in the previous expression transform under rotation of the coordinate axes like the components of a symmetric second-order tensor. Hence, demonstrate that the equation for the surface can be written in the form

where the are the components of the aforementioned tensor.

then and are said to be eigenvalues and eigenvectors of the second-order tensor , respectively. The eigenvalues of are calculated by solving the related homogeneous matrix equation

Now, it is a standard result in linear algebra that an equation of the previous form only has a non-trivial solution when (Riley 1974)

Demonstrate that the eigenvalues of satisfy the cubic polynomial

where and . Hence, deduce that possesses three eigenvalues-- , , and (say). Moreover, show that

  1. Demonstrate that the eigenvalues of are all real, and that the eigenvectors can be chosen to be real.
  2. Show that eigenvectors of corresponding to different eigenvalues are orthogonal to one another. Hence, deduce that the three eigenvectors of are, or can be chosen to be, mutually orthogonal.
  3. Demonstrate that takes the diagonal form (no sum) in a Cartesian coordinate system in which the coordinate axes are each parallel to one of the eigenvectors.

where is the stress tensor (note that ), the mass density (which is a uniform constant), and