مقالات

15.1: الحقول المتجهة - الرياضيات


أهداف التعلم

  • التعرف على مجال متجه في مستوى أو في الفضاء.
  • ارسم حقل متجه من معادلة معينة.
  • حدد المجال المحافظ والوظيفة المحتملة المرتبطة به.

تعد حقول المتجهات أداة مهمة لوصف العديد من المفاهيم الفيزيائية ، مثل الجاذبية والكهرومغناطيسية ، والتي تؤثر على سلوك الكائنات على مساحة كبيرة من المستوى أو الفضاء. كما أنها مفيدة للتعامل مع السلوك واسع النطاق مثل العواصف الجوية أو تيارات المحيطات في أعماق البحار. في هذا القسم ، نفحص التعريفات والرسوم البيانية الأساسية لحقول المتجهات حتى نتمكن من دراستها بمزيد من التفصيل في بقية هذا الفصل.

أمثلة على الحقول المتجهة

كيف يمكننا نمذجة قوة الجاذبية التي تمارسها أجرام فلكية متعددة؟ كيف يمكننا نمذجة سرعة جزيئات الماء على سطح النهر؟ يقدم الشكل ( PageIndex {1} ) تمثيلات مرئية لمثل هذه الظواهر.

يوضح الشكل ( PageIndex {1a} ) مجال الجاذبية الذي يمارسه جسمان فلكيان ، مثل نجم وكوكب أو كوكب وقمر. في أي نقطة في الشكل ، يعطي المتجه المرتبط بنقطة صافي قوة الجاذبية التي يمارسها الجسمان على جسم كتلته. المتجهات ذات الحجم الأكبر في الشكل هي المتجهات الأقرب إلى الكائن الأكبر. الجسم الأكبر له كتلة أكبر ، لذا فهو يبذل قوة جاذبية أكبر من الجسم الأصغر.

يوضح الشكل ( PageIndex {1b} ) سرعة نهر عند نقاط على سطحه. يعطي المتجه المرتبط بنقطة معينة على سطح النهر سرعة الماء في تلك النقطة. نظرًا لأن المتجهات الموجودة على يسار الشكل صغيرة الحجم ، فإن الماء يتدفق ببطء على هذا الجزء من السطح. عندما يتحرك الماء من اليسار إلى اليمين ، فإنه يصطدم ببعض المنحدرات حول صخرة. تزداد سرعة الماء ، وتحدث الدوامة في جزء من منحدرات النهر.

يوضح كل شكل مثالاً لحقل متجه. بشكل حدسي ، حقل المتجه هو خريطة للمتجهات. في هذا القسم ، ندرس الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) و (ℝ ^ 3 ).

التعريف: حقل متجه

  • حقل المتجه ( vecs {F} ) في (ℝ ^ 2 ) هو إسناد لمتجه ثنائي الأبعاد ( vecs {F} (x، y) ) لكل نقطة ((x ، y) ) من مجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 2 ). المجموعة الفرعية (D ) هي مجال حقل المتجه.
  • حقل المتجه ( vecs {F} ) في (ℝ ^ 3 ) هو إسناد لمتجه ثلاثي الأبعاد ( vecs {F} (x ، y ، z) ) لكل نقطة ( (س ، ص ، ض) ) من مجموعة فرعية (د ) من (ℝ ^ 3 ). المجموعة الفرعية (D ) هي مجال حقل المتجه.

الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 )

يمكن تمثيل حقل متجه في (ℝ ^ 2 ) بإحدى الطريقتين المتكافئتين. الطريقة الأولى هي استخدام متجه مع مكونات ذات دالات ذات متغيرين:

[ vecs {F} (x، y) = ⟨P (x، y)، Q (x، y)⟩ ]

الطريقة الثانية هي استخدام متجهات الوحدة القياسية:

[ vecs {F} (x، y) = P (x، y) ، hat { mathbf i} + Q (x، y) ، hat { mathbf j}. ]

يقال إن حقل متجه يكون مستمر إذا كانت وظائف مكوناتها مستمرة.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد متجه مرتبط بنقطة معينة

لنفترض أن ( vecs {F} (x، y) = (2y ^ 2 + x − 4) ، hat { mathbf i} + cos (x) ، hat { mathbf j} ) يكون حقل متجه في (ℝ ^ 2 ). لاحظ أن هذا مثال على حقل متجه مستمر لأن كلتا وظيفتي المكونتين متصلتان. ما المتجه المرتبط بالنقطة ((0 ، −1) )؟

المحلول

استبدل قيم النقاط بـ (x ) و (y ):

[ begin {align *} vecs {F} (0، -1) & = (2 {(- 1)} ^ 2 + 0−4) ، hat { mathbf i} + cos (0 ) ، hat { mathbf j} [4pt] & = - 2 ، hat { mathbf i} + hat { mathbf j}. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( vecs {G} (x، y) = x ^ 2y ، hat { mathbf i} - (x + y) ، hat { mathbf j} ) يكون حقل متجه في ( ℝ ^ 2 ). ما المتجه المرتبط بالنقطة ((- 2،3) )؟

تلميح

عوّض بقيم النقطة في دالة المتجه.

إجابه

( vecs {G} (- 2،3) = 12 hat { mathbf i} - hat { mathbf j} )

رسم حقل متجه

يمكننا الآن تمثيل حقل متجه من حيث مكونات وظائفه أو متجهات الوحدة ، لكن تمثيله بصريًا من خلال رسمه يكون أكثر تعقيدًا لأن مجال حقل متجه يقع في (ℝ ^ 2 ) ، كما هو الحال في النطاق. لذلك فإن "الرسم البياني" لحقل متجه في (ℝ ^ 2 ) يعيش في فضاء رباعي الأبعاد. نظرًا لأننا لا نستطيع تمثيل الفضاء رباعي الأبعاد بصريًا ، فإننا بدلاً من ذلك نرسم الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) في المستوى نفسه. للقيام بذلك ، ارسم المتجه المرتبط بنقطة معينة عند نقطة في المستوى. على سبيل المثال ، افترض أن المتجه المرتبط بالنقطة ((4، −1) ) هو (⟨3،1⟩ ). ثم نرسم المتجه (⟨3،1، ) عند النقطة ((4، ،1) ).

يجب أن نرسم نواقل كافية لرؤية الشكل العام ، لكن ليس كثيرًا لدرجة أن الرسم التخطيطي يصبح فوضى مختلطة. إذا قمنا برسم متجه الصورة في كل نقطة في المنطقة ، فإنه سيملأ المنطقة بالكامل ولا فائدة منه. بدلاً من ذلك ، يمكننا اختيار نقاط عند تقاطعات خطوط الشبكة ورسم عينة من عدة متجهات من كل ربع من نظام إحداثيات مستطيل في (ℝ ^ 2 ).

يوجد نوعان من الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) يركز عليهما هذا الفصل: الحقول الشعاعية والحقول الدورانية. تشكل الحقول الشعاعية نموذجًا لحقول جاذبية معينة وحقول مصدر الطاقة ، وتضع الحقول الدورانية نموذجًا لحركة مائع في دوامة. في مجال شعاعي ، تشير جميع المتجهات إما مباشرة نحو أو بعيدًا عن الأصل. علاوة على ذلك ، فإن حجم أي متجه يعتمد فقط على بعده عن الأصل. في الحقل الشعاعي ، يكون المتجه الموجود عند النقطة ((x ، y) ) عموديًا على الدائرة المتمركزة في الأصل التي تحتوي على النقطة ((x ، y) ) ، وجميع المتجهات الأخرى في هذه الدائرة لها نفس القدر.

مثال ( PageIndex {2} ): رسم حقل متجه شعاعي

رسم حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = dfrac {x} {2} hat { mathbf i} + dfrac {y} {2} hat { mathbf j} ) .

المحلول

لرسم هذا الحقل المتجه ، اختر عينة من النقاط من كل رباعي واحسب المتجه المقابل. يقدم الجدول التالي عينة تمثيلية من النقاط في المستوى والمتجهات المقابلة.

جدول ( PageIndex {1} )
((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) )
((1,0)) (⟨ dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((2,0))(⟨1,0⟩)((1,1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1)) (⟨0، dfrac {1} {2}⟩ )((0,2))(⟨0,1⟩)((−1,1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0)) (⟨− dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((−2,0))(⟨−1,0⟩)((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1)) (⟨0، - dfrac {1} {2}⟩ )((0,−2))(⟨0,−1⟩)((1,−1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )

يوضح الشكل ( PageIndex {2a} ) حقل المتجه. لمعرفة أن كل متجه عمودي على الدائرة المقابلة ، يوضح الشكل ( PageIndex {2b} ) دوائر متراكبة على حقل المتجه.

تمرين ( PageIndex {2} )

ارسم الحقل الشعاعي ( vecs {F} (x، y) = - dfrac {x} {3} hat { mathbf i} - dfrac {y} {3} hat { mathbf j} ).

تلميح

ارسم متجهات كافية للحصول على فكرة عن الشكل.

إجابه

على عكس الحقول الشعاعية ، في أ مجال الدوران، المتجه عند النقطة ((x، y) ) مماس (غير عمودي) لدائرة نصف قطرها (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). في مجال الدوران القياسي ، تشير جميع المتجهات إما في اتجاه عقارب الساعة أو في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة ، ويعتمد حجم المتجه فقط على بعده عن الأصل. كلا المثالين التاليين هما حقلا دوران في اتجاه عقارب الساعة ، ونرى من تمثيلهما المرئي أن المتجهات تبدو وكأنها تدور حول الأصل.

مثال ( PageIndex {3} ): رسم حقل متجه دوراني

ارسم حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨y، ، - x⟩ ).

المحلول

قم بإنشاء جدول (انظر الجدول التالي) باستخدام عينة تمثيلية من النقاط في المستوى والمتجهات المقابلة لها. يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) حقل المتجه الناتج.

جدول ( PageIndex {2} )
((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0))(⟨0,−2⟩)((1,1))(⟨1,−1⟩)
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2))(⟨2,0⟩)((−1,1))(⟨1,1⟩)
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0))(⟨0,2⟩)((−1,−1))(⟨−1,1⟩)
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2))(⟨−2,0⟩)((1,−1))(⟨−1,−1⟩)

التحليلات

لاحظ أن المتجه ( vecs {F} (a، b) = ⟨b، −a⟩ ) يشير في اتجاه عقارب الساعة ويتعامد مع المتجه الشعاعي (⟨a، b⟩ ). (يمكننا التحقق من هذا التأكيد عن طريق حساب حاصل الضرب النقطي للمتجهين: (⟨a ، b⟩ · ⟨− b ، a⟩ = −ab + ab = 0 ).) علاوة على ذلك ، المتجه (⟨b ، - a⟩ ) له طول (r = sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} ). وبالتالي ، لدينا وصف كامل لهذا الحقل المتجه الدوراني: المتجه المرتبط بالنقطة ((أ ، ب) ) هو المتجه مع الطول ص ظل الدائرة بنصف القطر ص، ويشير في اتجاه عقارب الساعة.

غالبًا ما تُستخدم الرسومات التخطيطية مثل تلك الموجودة في الشكل ( PageIndex {3} ) لتحليل أنظمة العواصف الرئيسية ، بما في ذلك الأعاصير والأعاصير. في نصف الكرة الشمالي ، تدور العواصف عكس اتجاه عقارب الساعة ؛ في نصف الكرة الجنوبي ، تدور العواصف في اتجاه عقارب الساعة. (هذا تأثير ناتج عن دوران الأرض حول محورها ويسمى تأثير كوريوليس.)

مثال ( PageIndex {4} ): رسم حقل متجه

حقل متجه للرسم ( vecs {F} (x، y) = dfrac {y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i}، - dfrac {x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ).

المحلول

لتصور حقل المتجه هذا ، لاحظ أولاً أن المنتج النقطي ( vecs {F} (a، b) · (a ، hat { mathbf i} + b ، hat { mathbf j}) ) هي صفر لأي نقطة ((أ ، ب) ). لذلك ، يكون كل متجه مماسًا للدائرة التي يقع عليها. أيضًا ، نظرًا لأن ((a، b) rightarrow (0،0) ) ، فإن حجم ( vecs {F} (a، b) ) يذهب إلى ما لا نهاية. لرؤية هذا ، لاحظ ذلك

(|| vecs {F} (a، b) || = sqrt { dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {{(a ^ 2 + b ^ 2)} ^ 2}} = sqrt { dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2}} ).

بما أن ( dfrac {1} {a ^ 2 + b ^ 2} rightarrow infty ) مثل ((a، b) rightarrow (0،0) ) ، ثم (|| vecs F ( a، b) || rightarrow infty ) كـ ((a، b) rightarrow (0،0) ). يشبه حقل المتجه هذا الحقل المتجه في المثال ( PageIndex {3} ) ، ولكن في هذه الحالة تكون أحجام المتجهات القريبة من الأصل كبيرة. يعرض الجدول ( PageIndex {3} ) عينة من النقاط والمتجهات المقابلة ، ويظهر الشكل ( PageIndex {5} ) حقل المتجه. لاحظ أن حقل المتجه هذا يمثل حركة دوامة النهر في الشكل ( PageIndex {5} ) (ب). مجال هذا الحقل المتجه هو كل (ℝ ^ 2 ) باستثناء النقطة ((0،0) ).

جدول ( PageIndex {3} )
((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) ) ((س ، ص) ) ( vecs {F} (س ، ص) )
((1,0))(⟨0,−1⟩)((2,0)) (⟨0، - dfrac {1} {2}⟩ )((1,1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )
((0,1))(⟨1,0⟩)((0,2)) (⟨ dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((−1,1)) (⟨ dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((−1,0))(⟨0,1⟩)((−2,0)) (⟨0، dfrac {1} {2}⟩ )((−1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، dfrac {1} {2}⟩ )
((0,−1))(⟨−1,0⟩)((0,−2)) (⟨− dfrac {1} {2} ، 0⟩ )((1,−1)) (⟨− dfrac {1} {2} ، - dfrac {1} {2}⟩ )

تمرين ( PageIndex {4} )

رسم حقل متجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨− 2y، ، 2x⟩ ). هل المجال المتجه شعاعي أم دوراني أم لا؟

تلميح

استبدل النقاط الكافية في ( vecs {F} ) للحصول على فكرة عن الشكل.

إجابه

التناوب

مثال ( PageIndex {5} ): حقل السرعة للسائل

افترض أن ( vecs {v} (x، y) = - dfrac {2y} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf i} + dfrac {2x} {x ^ 2 + y ^ 2} hat { mathbf j} ) هو مجال سرعة مائع. ما مدى سرعة تحرك السائل عند النقطة ((1 ، −1) )؟ (افترض أن وحدات السرعة متر في الثانية.)

المحلول

لإيجاد سرعة السائل عند النقطة ((1، −1) ) ، استبدل النقطة في ( vecs {v} ):

( vecs {v} (1، −1) = dfrac {−2 (−1)} {1 + 1} hat { mathbf i} + dfrac {2 (1)} {1 + 1} hat { mathbf j} = hat { mathbf i} + hat { mathbf j} ).

سرعة السائل عند ((1، −1) ) هي مقدار هذا المتجه. لذلك ، السرعة هي (|| hat { mathbf i} + hat { mathbf j} || = sqrt {2} ) متر / ثانية.

تمرين ( PageIndex {5} )

يمثل حقل المتجه ( vecs {v} (x، y) = ⟨4 | x |، ، 1⟩ ) سرعة الماء على سطح النهر. ما سرعة الماء عند النقطة ((2،3) )؟ استخدم متر في الثانية كوحدات.

تلميح

تذكر أن السرعة هي مقدار السرعة.

إجابه

( sqrt {65} ) م / ثانية

لقد قمنا بفحص الحقول المتجهة التي تحتوي على متجهات بأحجام مختلفة ، ولكن كما لدينا متجهات وحدة ، يمكننا أيضًا أن يكون لدينا حقل متجه للوحدة. حقل المتجه ( vecs {F} ) هو ملف مجال ناقلات الوحدة إذا كان حجم كل متجه في الحقل هو 1. في حقل متجه للوحدة ، تكون المعلومات الوحيدة ذات الصلة هي اتجاه كل متجه.

مثال ( PageIndex {6} ): حقل متجه للوحدة

أظهر هذا الحقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = left langle dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} ، - dfrac {x} { sqrt { x ^ 2 + y ^ 2}} right rangle ) هو حقل متجه للوحدة.

المحلول

لتوضيح أن ( vecs {F} ) هو حقل وحدة ، يجب أن نبين أن حجم كل متجه هو (1 ). لاحظ أن

[ begin {align *} sqrt { left ( dfrac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2 + left (- dfrac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} right) ^ 2} & = sqrt { dfrac {y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} + dfrac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = sqrt { dfrac {x ^ 2 + y ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = 1 end {align *} ]

لذلك ، ( vecs {F} ) هو حقل متجه للوحدة.

تمرين ( PageIndex {6} )

هل حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨− y، ، x⟩ ) حقل متجه للوحدة؟

تلميح

احسب مقدار ( vecs {F} ) عند نقطة عشوائية ((x، y) ).

إجابه

رقم.

لماذا تعتبر حقول متجه الوحدة مهمة؟ لنفترض أننا ندرس تدفق السائل ، ولا نهتم إلا بالاتجاه الذي يتدفق فيه السائل عند نقطة معينة. في هذه الحالة ، تكون سرعة المائع (وهي مقدار متجه السرعة المقابل) غير ذات صلة ، لأن كل ما يهمنا هو اتجاه كل متجه. لذلك ، فإن مجال متجه الوحدة المرتبط بالسرعة هو المجال الذي سنقوم بدراسته.

إذا كان ( vecs {F} = ⟨P، Q، R⟩ ) حقل متجه ، فإن حقل متجه الوحدة المقابل هو ( big langle tfrac {P} {|| vecs F ||} ، tfrac {Q} {|| vecs F ||}، tfrac {R} {|| vecs F ||} big rangle ). لاحظ أنه إذا كان ( vecs {F} (x، y) = ⟨y، ، - x⟩ ) هو الحقل المتجه من المثال ( PageIndex {6} ) ، فإن حجم ( vecs {F} ) هو ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، وبالتالي فإن حقل متجه الوحدة المقابل هو الحقل ( vecs {G} ) من المثال السابق.

إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه ، فإن عملية قسمة ( vecs {F} ) على حجمها لتكوين حقل متجه للوحدة ( vecs {F} / || vecs { F} || ) يسمى تطبيع الحقل ( vecs {F} ).

الحقول المتجهة في (ℝ ^ 3 )

لقد رأينا العديد من الأمثلة على الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) ؛ دعنا نوجه انتباهنا الآن إلى الحقول المتجهة في (ℝ ^ 3 ). يمكن استخدام هذه الحقول المتجهية لنمذجة المجالات الجاذبية أو الكهرومغناطيسية ، ويمكن أيضًا استخدامها لنمذجة تدفق السوائل أو تدفق الحرارة في ثلاثة أبعاد. يمكن للحقل المتجه ثنائي الأبعاد أن يمثل نموذجًا لحركة الماء فقط على شريحة ثنائية الأبعاد من النهر (مثل سطح النهر). نظرًا لأن النهر يتدفق عبر ثلاثة أبعاد مكانية ، لنمذجة تدفق عمق النهر بالكامل ، نحتاج إلى حقل متجه بثلاثة أبعاد.

يمكن أن يجعل البعد الإضافي للحقل ثلاثي الأبعاد من الصعب تصور الحقول المتجهة في (^ 3 ) ، لكن الفكرة هي نفسها. لتصور حقل متجه في (ℝ ^ 3 ) ، ارسم متجهات كافية لإظهار الشكل العام. يمكننا استخدام طريقة مماثلة لتصور حقل متجه في (ℝ ^ 2 ) باختيار النقاط في كل ثماني.

تمامًا كما هو الحال مع الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ) ، يمكننا تمثيل الحقول المتجهة في (ℝ ^ 3 ) بوظائف المكون. نحتاج ببساطة إلى وظيفة مكون إضافية للبعد الإضافي. نكتب إما

[ vecs {F} (x، y، z) = ⟨P (x، y، z)، Q (x، y، z)، R (x، y، z)⟩ ]

أو

[ vecs {F} (x، y، z) = P (x، y، z) hat { mathbf i} + Q (x، y، z) hat { mathbf j} + R (x ، y، z) hat { mathbf k}. ]

مثال ( PageIndex {7} ): رسم حقل متجه بثلاثة أبعاد

وصف حقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨1، ، 1، ، z⟩ ).

المحلول

بالنسبة لهذا الحقل المتجه ، فإن المكونات (x ) - و (y ) - ثابتة ، لذا فإن كل نقطة في (ℝ ^ 3 ) لها متجه مرتبط بـ (x ) - و (y ) ) -مكونات تساوي واحد. لتصور ( vecs {F} ) ، علينا أولاً التفكير في الشكل الذي يبدو عليه الحقل في المستوى (xy ) -. في (س ص ) - الطائرة ، (ض = 0 ). ومن ثم ، فإن كل نقطة من النموذج ((أ ، ب ، 0) ) لها متجه (⟨1،1،0⟩ ) مرتبطة بها. بالنسبة للنقاط غير الموجودة في المستوي (xy ) ولكن فوقه قليلاً ، فإن المتجه المرتبط به مكون (z ) - صغير ولكنه إيجابي ، وبالتالي يشير المتجه المرتبط إلى الأعلى قليلاً. بالنسبة للنقاط التي تقع أعلى بكثير من مستوى (س ص ) ، يكون المكون (ض ) - كبيرًا ، وبالتالي يكون المتجه عموديًا تقريبًا. يوضح الشكل ( PageIndex {6} ) حقل المتجه هذا.

الشكل ( PageIndex {6} ): تمثيل مرئي لحقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨1،1، z⟩ ).

تمرين ( PageIndex {7} )

حقل متجه للرسم ( vecs {G} (x، y، z) = ⟨2، ، dfrac {z} {2}، ، 1⟩ ).

تلميح

استبدل نقاطًا كافية في حقل المتجه للحصول على فكرة عن الشكل العام.

إجابه

في المثال التالي ، نستكشف إحدى الحالات الكلاسيكية للحقل المتجه ثلاثي الأبعاد: حقل الجاذبية.

مثال ( PageIndex {8} ): وصف حقل متجه الجاذبية

ينص قانون نيوتن للجاذبية على أن ( vecs {F} = - G dfrac {m_1m_2} {r ^ 2} hat { mathbf r} ) ، حيث جي هو ثابت الجاذبية الكوني. يصف مجال الجاذبية الذي يمارسه كائن (كائن 1) من الكتلة (m_1 ) الموجود في الأصل على كائن آخر (كائن 2) من الكتلة (m_2 ) يقع عند النقطة ((x ، y ، z) ). يشير الحقل ( vecs {F} ) إلى قوة الجاذبية التي يمارسها الكائن 1 على الكائن 2 ، (r ) هي المسافة بين الجسمين ، ويشير ( hat { mathbf r} ) إلى الوحدة متجه من الكائن الأول إلى الثاني. تبين علامة الطرح أن قوة الجاذبية تنجذب نحو الأصل ؛ أي أن قوة الجسم 1 جذابة. ارسم حقل المتجه المرتبط بهذه المعادلة.

المحلول

نظرًا لأن الكائن 1 يقع في الأصل ، يتم تحديد المسافة بين الكائنات بواسطة (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} ). متجه الوحدة من الكائن 1 إلى الكائن 2 هو ( hat { mathbf r} = dfrac {⟨x، y، z⟩} {|| ⟨x، y، z⟩ ||} ) ، وبالتالي ( hat { mathbf r} = big langle dfrac {x} {r} ، dfrac {y} {r} ، dfrac {z} {r} big rangle ). لذلك ، حقل متجه الجاذبية ( vecs {F} ) الذي يمارسه الكائن 1 على الكائن 2 هو

[ vecs {F} = - Gm_1m_2 big langle dfrac {x} {r ^ 3} ، dfrac {y} {r ^ 3} ، dfrac {z} {r ^ 3} big rangle . لا يوجد رقم]

هذا مثال على حقل متجه شعاعي في (ℝ ^ 3 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {7} ) كيف يبدو مجال الجاذبية هذا لكتلة كبيرة في الأصل. لاحظ أن مقادير المتجهات تزداد كلما اقتربت المتجهات من الأصل.

تمرين ( PageIndex {8} )

تبلغ كتلة الكويكب 1 750.000 كجم وكتلة الكويكب 2 130.000 كجم. لنفترض أن الكويكب 1 يقع في نقطة الأصل ، وأن الكويكب 2 يقع عند ((15، ،5،10) ) ، ويقاس بوحدات من 10 إلى ثامن كيلومترات. إذا كان ثابت الجاذبية العام هو (G = 6.67384 × 10 ^ {- 11} m ^ 3 {kg} ^ {- 1} s ^ {- 2} ) ، فأوجد متجه قوة الجاذبية الذي يمارسه الكويكب 1 على كويكب 2.

تلميح

اتبع المثال ( PageIndex {8} ) واحسب أولاً المسافة بين الكويكبات.

إجابه

(1.49063 × {10} ^ {- 18} ) ، (4.96876 × {10} ^ {- 19} ) ، (9.93752 × {10} ^ {- 19} ) N

حقول التدرج (الحقول المحافظة)

في هذا القسم ، ندرس نوعًا خاصًا من مجال ناقل يسمى حقل التدرج أو أ مجال محافظ. هذه الحقول المتجهية مهمة للغاية في الفيزياء لأنه يمكن استخدامها لنمذجة الأنظمة الفيزيائية التي يتم فيها حفظ الطاقة. تعد مجالات الجاذبية والمجالات الكهربائية المرتبطة بالشحنة الساكنة أمثلة على مجالات التدرج.

تذكر أنه إذا كان (f ) دالة (عددية) لـ (x ) و (ص ) ، فإن تدرج (f ) هو

[ text {grad} ، f = vecs nabla f (x، y) = f_x (x، y) hat { mathbf i} + f_y (x، y) hat { mathbf j}. ]

يمكننا أن نرى من الشكل الذي تمت كتابة التدرج فيه أن ( vecs nabla f ) هو حقل متجه في (ℝ ^ 2 ). وبالمثل ، إذا كانت (f ) دالة لـ (x ) و (y ) و (z ) ، فإن تدرج (f ) هو

[ text {grad} ، f = vecs nabla f (x، y، z) = f_x (x، y، z) hat { mathbf i} + f_y (x، y، z) hat { mathbf j} + f_z (x، y، z) hat { mathbf k}. ]

التدرج اللوني لوظيفة ثلاثية المتغيرات هو حقل متجه في (ℝ ^ 3 ). حقل التدرج هو حقل متجه يمكن كتابته كتدرج لوظيفة ، ولدينا التعريف التالي.

التعريف: حقل التدرج

حقل المتجه ( vecs {F} ) في (^ 2 ) أو في (ℝ ^ 3 ) هو حقل التدرج اللوني في حالة وجود دالة عددية (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ).

مثال ( PageIndex {9} ): رسم حقل متجه متدرج

استخدم التكنولوجيا لرسم حقل متجه التدرج (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 ).

المحلول

تدرج (f ) هو ( vecs nabla f (x، y) = ⟨2xy ^ 2، ، 2x ^ 2y⟩ ). لرسم حقل المتجه ، استخدم نظام الجبر الحاسوبي مثل Mathematica. يوضح الشكل ( PageIndex {8} ) ( vecs nabla f ).

تمرين ( PageIndex {9} )

استخدم التكنولوجيا لرسم حقل متجه التدرج لـ (f (x، y) = sin x cos y ).

تلميح

ابحث عن تدرج (f ).

إجابه

ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 ) من مثال ( PageIndex {9} ). يوضح الشكل ( PageIndex {9} ) منحنيات المستوى لهذه الوظيفة المتراكبة في حقل متجه التدرج اللوني للوظيفة. تكون متجهات التدرج متعامدة مع منحنيات المستوى ، وتزداد مقادير المتجهات كلما اقتربت منحنيات المستوى من بعضها البعض ، لأن منحنيات المستوى المجمعة بشكل وثيق تشير إلى أن الرسم البياني شديد الانحدار ، وأن حجم متجه التدرج هو أكبر قيمة لـ مشتق اتجاهي. لذلك ، يمكنك رؤية الانحدار المحلي للرسم البياني عن طريق التحقق من حقل التدرج اللوني للوظيفة المقابلة.

كما تعلمنا سابقًا ، حقل المتجه ( vecs {F} ) هو حقل متجه متحفظ ، أو حقل متدرج إذا كانت هناك دالة عددية (f ) بحيث ( vecs nabla f = vecs {F}). في هذه الحالة ، يُطلق على (f ) اسم ملف الوظيفة المحتملة لـ ( vecs {F} ). تظهر مجالات ناقلات المحافظ في العديد من التطبيقات ، لا سيما في الفيزياء. سبب استدعاء هذه الحقول تحفظا هو أنهم يمثلون قوى الأنظمة الفيزيائية التي يتم فيها حفظ الطاقة. ندرس حقول المتجهات المحافظة بمزيد من التفصيل لاحقًا في هذا الفصل.

قد تلاحظ أنه في بعض التطبيقات ، تم تعريف دالة محتملة (f ) لـ ( vecs {F} ) بدلاً من ذلك كدالة مثل (- vecs nabla f = vecs {F} ). هذا هو الحال بالنسبة لسياقات معينة في الفيزياء ، على سبيل المثال.

مثال ( PageIndex {10} ): التحقق من دالة محتملة

هل (f (x، y، z) = x ^ 2yz− sin (xy) ) دالة محتملة لحقل المتجه

( vecs {F} (x، y، z) = ⟨2xyz − y cos (xy)، x ^ 2z − x cos (xy)، x ^ 2y⟩ )؟

المحلول

نحتاج إلى تأكيد ما إذا كان ( vecs nabla f = vecs {F} ). نحن لدينا

[ start {align *} f_x (x، y) = 2xyz − y cos (xy) [4pt] f_y (x، y) = x ^ 2z − x cos (xy) [4pt] f_z (x، y) = x ^ 2y end {align *}. ]

لذلك ، ( vecs nabla f = vecs {F} ) و (f ) هي وظيفة محتملة لـ ( vecs {F} ).

تمرين ( PageIndex {10} )

هل (f (x، y، z) = x ^ 2 cos (yz) + y ^ 2z ^ 2 ) دالة محتملة لـ ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨2x cos (yz) ، - x ^ 2z sin (yz) + 2yz ^ 2 ، y ^ 2⟩ )؟

تلميح

احسب تدرج (f ).

إجابه

لا

مثال ( PageIndex {11} ): التحقق من دالة محتملة

يتم تمثيل سرعة السائل بالحقل ( vecs v (x، y) = ⟨xy، tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ). تحقق من أن (f (x، y) = dfrac {x ^ 2y} {2} - dfrac {y ^ 2} {2} ) دالة محتملة لـ ( vecs {v} ).

المحلول

لإثبات أن (f ) وظيفة محتملة ، يجب أن نظهر أن ( vecs nabla f = vecs v ). لاحظ أن (f_x (x، y) = xy ) و (f_y (x، y) = dfrac {x ^ 2} {2} −y ). لذلك ، ( vecs nabla f (x، y) = ⟨xy، tfrac {x ^ 2} {2} −y⟩ ) و (f ) هي دالة محتملة لـ ( vecs {v } ) (الشكل ( PageIndex {10} )).

تمرين ( PageIndex {11} )

تحقق من أن (f (x، y) = x ^ 2y ^ 2 + x ) دالة محتملة لحقل السرعة ( vecs {v} (x، y) = ⟨3x ^ 2y ^ 2 + 1،2x ^ 3y⟩ ).

تلميح

احسب التدرج اللوني.

إجابه

( vecs nabla f (x، y) = vecs {v} (x، y) )

إذا كان ( vecs {F} ) حقل متجه متحفظًا ، فهناك على الأقل دالة محتملة واحدة (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ). ولكن ، هل يمكن أن يكون هناك أكثر من وظيفة محتملة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فهل هناك أي علاقة بين وظيفتين محتملتين لنفس حقل المتجه؟ قبل الإجابة على هذه الأسئلة ، دعنا نتذكر بعض الحقائق من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير لتوجيه حدسنا. تذكر أنه إذا كانت (k (x) ) دالة قابلة للتكامل ، فإن (k ) يحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية. علاوة على ذلك ، إذا كانت ( vecs {F} ) و ( vecs {G} ) كلاهما من المشتقات العكسية لـ (k ) ، إذن ( vecs {F} ) و ( vecs {G} ) تختلف فقط من خلال ثابت. أي أن هناك بعض الأرقام (C ) مثل ( vecs {F} (x) = vecs {G} (x) + C ).

لنكن الآن ( vecs {F} ) مجالًا متجهًا محافظًا ودع (f ) و (g ) وظائف محتملة لـ ( vecs {F} ). بما أن التدرج اللوني يشبه المشتق ، فإن كون ( vecs {F} ) محافظًا يعني أن ( vecs {F} ) "قابل للتكامل" مع "المشتقات العكسية" (f ) و (g ). لذلك ، إذا كان التشابه مع حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير صحيحًا ، فإننا نتوقع وجود بعض الثوابت (C ) مثل (f (x) = g (x) + C ). تقول النظرية التالية أن هذا هو الحال بالفعل.

لتوضيح النظرية التالية بدقة ، نحتاج إلى افتراض أن مجال المجال المتجه متصل ومفتوح. يعني أن تكون متصلاً إذا كان (P_1 ) و (P_2 ) أي نقطتين في المجال ، فيمكنك المشي من (P_1 ) إلى (P_2 ) على طول مسار يبقى بالكامل داخل المجال.

تفرد الوظائف المحتملة

لنكن ( vecs {F} ) حقل متجه متحفظًا في مجال مفتوح ومتصل ودع (f ) و (g ) وظائف مثل ( vecs nabla f = vecs {F } ) و ( vecs nabla g = vecs {G} ). ثم هناك ثابت (C ) مثل (f = g + C ).

دليل

بما أن (f ) و (g ) كلاهما وظائف محتملة لـ ( vecs {F} ) ، إذن ( vecs nabla (f − g) = vecs nabla f− vecs nabla g = vecs {F} - vecs {F} = vecs 0 ). دعنا (h = f − g ) ، إذن لدينا ( vecs nabla h = vecs 0 ). نود إظهار أن (h ) دالة ثابتة.

افترض أن (ح ) دالة لـ (س ) و (ص ) (يمتد منطق هذا الإثبات إلى أي عدد من المتغيرات المستقلة). منذ ( vecs nabla h = vecs 0 ) ، لدينا (h_x (x، y) = 0 ) و (h_y (x، y) = 0 ). يشير التعبير (h_x (x، y) = 0 ) إلى أن (h ) دالة ثابتة بالنسبة لـ (x ) - أي (h (x، y) = k_1 (y) ) لبعض الوظائف (k_1 ). وبالمثل ، يشير (h_y (x، y) = 0 ) إلى (h (x، y) = k_2 (x) ) لبعض الوظائف (k_2 ). لذلك ، تعتمد الوظيفة (ح ) فقط على (ص ) وتعتمد أيضًا على (س ) فقط. وبالتالي ، (h (x، y) = C ) لبعض الثوابت (C ) على المجال المتصل ( vecs {F} ). لاحظ أننا نحتاج حقًا إلى الترابط في هذه المرحلة ؛ إذا كان مجال ( vecs {F} ) يأتي في قطعتين منفصلتين ، فيمكن أن يكون (k ) ثابتًا (C_1 ) على قطعة واحدة ولكن يمكن أن يكون ثابتًا مختلفًا (C_2 ) على قطعة أخرى. منذ (f − g = h = C ) ، لدينا ذلك (f = g + C ) ، حسب الرغبة.

(ميدان)

تحتوي حقول المتجه المحافظ أيضًا على خاصية خاصة تسمى الملكية الجزئية. تساعد هذه الخاصية في اختبار ما إذا كان حقل متجه محددًا أم لا.

الملكية المشتركة للحقول المتجهية المحافظة

لنفترض أن ( vecs {F} ) حقل متجه في بعدين أو ثلاثة أبعاد بحيث يكون لوظائف المكون ( vecs {F} ) مشتقات جزئية مختلطة من الدرجة الثانية مستمرة في مجال ( vecs {F} ).

إذا كان ( vecs {F} (x، y) = ⟨P (x، y)، Q (x، y)⟩ ) هو حقل متجه محافظ في (ℝ ^ 2 ) ، إذن

[ dfrac { part P} { جزئي y} = dfrac { جزئي Q} { جزئي x}. ]

إذا كان ( vecs {F} (x ، y ، z) = ⟨P (x ، y ، z) ، Q (x ، y ، z) ، R (x ، y ، z)⟩ ) متجه متحفظ الحقل في ({ mathbb {R}} ^ 3 ) ، إذن

[ تبدأ {محاذاة *} dfrac { part P} { جزئي y} = dfrac { جزئي Q} { جزئي x} [4pt] dfrac { جزئي Q} { جزئي z} = dfrac { جزئي R} { جزئي y} [4pt] dfrac { جزئي R} { جزئي x} = dfrac { جزئي P} { جزئي z}. النهاية {محاذاة *} ]

دليل

نظرًا لأن ( vecs {F} ) محافظة ، فهناك دالة (f (x، y) ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ). لذلك ، من خلال تعريف التدرج ، (f_x = P ) و (f_y = Q ). من خلال نظرية كلايروت ، (f_ {xy} = f_ {yx} ) ، لكن ، (f_ {xy} = P_y ) و (f_ {yx} = Q_ {x} ) ، وبالتالي (P_y = Q_x ).

(ميدان)

تقدم نظرية Clairaut إثباتًا سريعًا للخاصية الجزئية العرضية لحقول المتجه المحافظة في (ℝ ^ 3 ) ، تمامًا كما فعلت مع الحقول المتجهة في (ℝ ^ 2 ).

توضح خاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields أن معظم الحقول المتجهة ليست محافظة. من الصعب إرضاء خاصية الجزئية العرضية بشكل عام ، لذلك لن تحتوي معظم الحقول المتجهة على أجزاء جزئية متساوية.

أظهر أن حقل متجه الدوران ( vecs {F} (x، y) = ⟨y، ، - x⟩ ) ليس متحفظًا.

المحلول

دع (P (x، y) = y ) و (Q (x، y) = - x ). إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فإن الجزئيات التبادلية ستكون متساوية - أي (P_y ) تساوي (Q_x ). لذلك ، لإظهار ذلك ( vecs {F} ) ليس متحفظًا ، تحقق من أن (P_y ≠ Q_x ). نظرًا لأن (P_y = 1 ) و (Q_x = −1 ) ، فإن حقل المتجه ليس متحفظًا.

تمرين ( PageIndex {12} )

أظهر أن الحقل المتجه ( vecs F (x، y) = xy ، hat { mathbf i} −x ^ 2y ، hat { mathbf j} ) ليس محافظًا.

تلميح

تحقق من الجزئيات المتقاطعة.

إجابه

(P_y (x، y) = x ) و (Q_x (x، y) = - 2xy ). بما أن (P_y (x، y) ≠ Q_x (x، y) ) ، ( vecs F ) ليس متحفظًا.

مثال ( PageIndex {13} ): إظهار حقل متجه ليس متحفظًا

هل حقل المتجه ( vecs {F} (x، y، z) = ⟨7، −2، x ^ 3⟩ ) محافظ؟

المحلول

دع (P (x ، y ، z) = 7 ) ، (Q (x ، y ، z) = - 2 ) ، و (R (x ، y ، z) = x ^ 3 ). إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فسيتم استيفاء جميع المعادلات الجزئية العرضية الثلاثة - أي إذا كان ( vecs {F} ) محافظًا ، فإن (P_y ) سيساوي ( Q_x ) ، (Q_z ) سيساوي (R_y ) ، و (R_x ) سيساوي (P_z ). لاحظ أن

[P_y = Q_x = R_y = Q_z = 0 nonumber ]

لذلك فإن أول مساواة ضرورية. ومع ذلك ، (R_x (x، y، z) = x ^ 3 ) و (P_z (x، y، z) = 0 ) لذا (R_x ≠ P_z ). لذلك ، ( vecs {F} ) ليس متحفظًا.

تمرين ( PageIndex {13} )

هل حقل المتجه ( vecs {G} (x، y، z) = ⟨y، ، x، ، xyz⟩ ) محافظ؟

تلميح

تحقق من الجزئيات المتقاطعة.

إجابه

لا

نختتم هذا القسم بكلمة تحذير: تشير الخاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields إلى أنه إذا كان ( vecs {F} ) متحفظًا ، فإن ( vecs {F} ) لديه خاصية الجزئية العرضية . النظرية تفعل ليس لنفترض أنه إذا كان ( vecs {F} ) يحتوي على خاصية الجزئية المتقاطعة ، فإن ( vecs {F} ) يكون متحفظًا (عكس التضمين لا يساوي منطقيًا الضمني الأصلي). بمعنى آخر ، يمكن أن تساعد الخاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields في تحديد أن الحقل ليس محافظًا ؛ لا يسمح لك باستنتاج أن حقل المتجه محافظ.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حقل المتجه ( vecs {F} (x، y) = ⟨x ^ 2y، dfrac {x ^ 3} {3}⟩ ). يحتوي هذا الحقل على خاصية جزئية عرضية ، لذلك من الطبيعي محاولة استخدام الخاصية Cross-Partial of Conservative Vector Fields لاستنتاج أن حقل المتجه هذا متحفظ. ومع ذلك ، هذا هو تطبيق خاطئ للنظرية. نتعلم لاحقًا كيف نستنتج أن ( vecs F ) محافظ.

المفاهيم الرئيسية

  • يعين حقل المتجه متجهًا ( vecs {F} (x، y) ) لكل نقطة ((x، y) ) في مجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 2 ) أو (ℝ ^ 3 ). ( vecs {F} (س ، ص ، ض) ) لكل نقطة ((س ، ص ، ض) ) في مجموعة فرعية (د ) من (ℝ ^ 3 ).
  • يمكن أن تصف حقول المتجهات توزيع كميات المتجهات مثل القوى أو السرعات على منطقة من المستوى أو الفضاء. وهي شائعة الاستخدام في مجالات مثل الفيزياء والهندسة والأرصاد الجوية وعلوم المحيطات.
  • يمكننا رسم حقل متجه من خلال فحص معادلة تعريفه لتحديد المقادير النسبية في مواقع مختلفة ثم رسم متجهات كافية لتحديد نمط.
  • يسمى الحقل المتجه ( vecs {F} ) بالمحافظة إذا كانت هناك دالة عددية (f ) مثل ( vecs nabla f = vecs {F} ).

المعادلات الرئيسية

  • حقل متجه في (ℝ ^ 2 )
    ( vecs {F} (س ، ص) = ⟨P (س ، ص) ، ، س (س ، ص)⟩ )
    أو
    ( vecs {F} (x، y) = P (x، y) ، hat { mathbf i} + Q (x، y) ، hat { mathbf j} )
  • حقل متجه في (ℝ ^ 3 )
    ( vecs {F} (س ، ص ، ض) = ⟨P (س ، ص ، ض) ، ، س (س ، ص ، ض) ، ، ص (س ، ص ، ض)⟩ )
    أو
    ( vecs {F} (x، y، z) = P (x، y، z) ، hat { mathbf i} + Q (x، y، z) ، hat { mathbf j} + R (x، y، z) ، hat { mathbf k} )

قائمة المصطلحات

مجال محافظ
حقل متجه توجد له دالة عددية (f ) مثل ( vecs ∇f = vecs {F} )
مجال التدرج
حقل متجه ( vecs {F} ) يوجد له دالة عددية (f ) مثل ( vecs ∇f = vecs {F} ) ؛ بمعنى آخر ، حقل متجه يمثل تدرج دالة ؛ تسمى هذه الحقول المتجهة أيضًا محافظ
الوظيفة المحتملة
دالة عددية (f ) مثل ( vecs ∇f = vecs {F} )
مجال شعاعي
حقل متجه تشير فيه جميع النواقل مباشرة نحو الأصل أو بعيدًا عنه مباشرة ؛ يعتمد حجم أي متجه فقط على بعده عن الأصل
مجال الدوران
حقل متجه يكون فيه المتجه عند النقطة ((x، y) ) مماسًا لدائرة نصف قطرها (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) ؛ في مجال الدوران ، تتدفق جميع المتجهات إما في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة ، ويعتمد حجم المتجه فقط على بعده عن الأصل
مجال ناقلات الوحدة
حقل متجه يكون فيه حجم كل متجه 1
حقل شعاعي
تقاس بـ (ℝ ^ 2 ) ، إسناد متجه ( vecs {F} (x ، y) ) لكل نقطة ((x ، y) ) من مجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 2 ) ؛ في (ℝ ^ 3 ) ، تعيين متجه ( vecs {F} (x ، y ، z) ) لكل نقطة ((x ، y ، z) ) لمجموعة فرعية (D ) من (ℝ ^ 3 )

15.1: الحقول المتجهة - الرياضيات

لقد رأينا بالفعل أن الطريقة الملائمة لوصف خط في ثلاثة أبعاد هي توفير متجه "يشير إلى" كل نقطة على السطر كمعامل يختلف $ t $ ، مثل $ langle 1،2،3 rangle + t langle 1، -2،2 rangle = langle 1 + t، 2-2t، 3 + 2t rangle. $ باستثناء أن هذا يعطي كائنًا هندسيًا بسيطًا بشكل خاص ، فلا يوجد شيء مميز حول الوظائف الفردية لـ $ t $ التي تشكل إحداثيات هذا المتجه & mdashany المتجه مع معلمة ، مثل $ langle f (t) ، g (t) ، h (t) rangle $ ، سيصف بعض المنحنى في ثلاثة أبعاد حيث يختلف $ t $ من خلاله كل القيم الممكنة.

المثال 15.1.1 وصف المنحنيات $ langle cos t ، sin t ، 0 rangle $ ، $ langle cos t ، sin t ، t rangle $ ، و $ langle cos t ، sin t ، 2t rangle $.

نظرًا لتغير $ t $ ، فإن الإحداثيين الأولين في جميع الوظائف الثلاث يتتبعان النقاط الموجودة على دائرة الوحدة ، بدءًا من $ (1،0) $ عندما يكون $ t = 0 $ والاستمرار في عكس اتجاه عقارب الساعة حول الدائرة كـ $ t $ يزيد. في الحالة الأولى ، يكون إحداثي $ z $ دائمًا 0 ، لذلك يصف هذا بدقة دائرة الوحدة في المستوى $ x $ - $ y $. في الحالة الثانية ، ما زالت إحداثيات $ x $ و $ y $ تصف دائرة ، لكن الإحداثي $ z $ يختلف الآن ، بحيث يتطابق ارتفاع المنحنى مع قيمة $ t $. عندما يكون $ t = pi $ ، على سبيل المثال ، المتجه الناتج هو $ langle -1،0 ، pi rangle $. يجب أن يقنعك القليل من التفكير بأن النتيجة هي الحلزون. في المتجه الثالث ، يختلف إحداثيات $ z $ ضعف سرعة المعامل $ t $ ، لذلك نحصل على حلزون ممتد. كلاهما مبين في الشكل 15.1.1. على اليسار يوجد الحلزون الأول ، ويظهر لـ $ t $ بين 0 و $ 4 pi $ على اليمين هو الحلزون الثاني ، ويظهر لـ $ t $ بين 0 و $ 2 pi $. كلاهما يبدأ وينتهي عند نفس النقطة ، ولكن الحلزون الأول يأخذ "دوران" كامل للوصول إلى هناك ، لأن إحداثيات $ z $ ينمو بشكل أبطأ.

التعبير المتجه للنموذج $ langle f (t)، g (t)، h (t) rangle $ يسمى a وظيفة ناقلات إنها دالة من الأرقام الحقيقية $ R $ إلى مجموعة جميع النواقل ثلاثية الأبعاد. يمكننا أن نفكر في الأمر على أنه ثلاث وظائف منفصلة ، $ x = f (t) $ ، $ y = g (t) $ ، و $ z = h (t) $ ، التي تصف النقاط في الفضاء. في هذه الحالة ، نشير عادةً إلى مجموعة المعادلات على أنها المعادلات البارامترية للمنحنى ، تمامًا مثل الخط. في حين أن المعلمة $ t $ في دالة متجه قد تمثل أيًا من عدد من الكميات المادية ، أو تكون مجرد "رقم خالص" ، فمن الملائم والمفيد غالبًا التفكير في $ t $ على أنه يمثل الوقت. ثم يخبرك أين يوجد كائن معين في الفضاء في أي وقت.

قد يكون من الصعب فهم وظائف المتجهات ، أي يصعب تصورها. عند توفرها ، يمكن أن تكون برامج الكمبيوتر مفيدة للغاية. عند العمل يدويًا ، تتمثل إحدى الطرق المفيدة في النظر في "إسقاطات" المنحنى على مستويات الإحداثيات القياسية الثلاثة. لقد قمنا بالفعل بهذا جزئيًا: في المثال 15.1.1 ، لاحظنا أن جميع المنحنيات الثلاثة تتجه إلى دائرة في المستوى $ x $ - $ y $ ، بما أن $ langle cos t ، sin t rangle $ هو دالة متجه ثنائية الأبعاد لدائرة الوحدة.

مثال 15.1.2 ارسم إسقاطات $ langle cos t ، sin t ، 2t rangle $ على المستوى $ x $ - $ z $ والمستوى $ y $ - $ z $. دالة المتجه ثنائية الأبعاد للإسقاط على المستوى $ x $ - $ z $ هي $ langle cos t ، 2t rangle $ ، أو في شكل حدودي ، $ x = cos t $ ، $ z = 2t $. بحذف $ t $ نحصل على المعادلة $ x = cos (z / 2) $ ، المنحنى المألوف الموضح على اليسار في الشكل 15.1.2. بالنسبة للإسقاط على المستوى $ y $ - $ z $ ، نبدأ بالدالة المتجهة $ langle sin t، 2t rangle $ ، وهو نفس $ y = sin t $ ، $ z = 2t $ . يؤدي حذف $ t $ إلى الحصول على $ y = sin (z / 2) $ ، كما هو موضح على اليمين في الشكل 15.1.2.


الأسبوع الخامس عشر: 11 ديسمبر - 15 ديسمبر

الأسبوع الرابع عشر: 4 ديسمبر - 8 ديسمبر

  • الفصل 18: تطبيقات على النظرية المحتملة: الحقول الكهروستاتيكية.
  • القسم 18.2 استخدام التعيينات المطابقة
  • القسم 18.3 مشاكل الحرارة.
  • القسم 18.4 تدفق السوائل
  • القسم 18.5 صيغة بواسون المتكاملة

الأسبوع 13: 27 نوفمبر - 1 ديسمبر

  • القسم 16.1 سلسلة لوران
  • القسم 16.2 التفردات وأصفار الوظائف
  • القسم 16.3 طريقة تكامل المخلفات
  • القسم 16.4تقييم التكاملات الحقيقية

الأسبوع الثاني عشر: 20 نوفمبر - 24 نوفمبر

مواضيع للقراءة

  • القسم 15.3 الوظائف التي تحددها سلسلة الطاقة
  • القسم 15.4 سلسلة تايلور وماكلورين
  • القسم 16.1 سلسلة لوران
  • القسم 16.2 التفردات وأصفار الوظائف

الأسبوع 11: 13 نوفمبر - 17 نوفمبر

  • القسم 15.2سلسلة الطاقة: نصف قطر اختبارات التقارب ، وخصائص سلسلة الطاقة
  • القسم 15.3 الوظائف التي تحددها سلسلة الطاقة
  • القسم 15.4 سلسلة تايلور وماكلورين

الأسبوع العاشر: 6 نوفمبر - 10 نوفمبر

  • القسم 14.3كوشي لا يتجزأمعادلة.
  • القسم 14.4مشتقات وظائف التحليل.
  • القسم 15.1سلسلة اختبارات التقارب
  • القسم 15.2سلسلة الطاقة ، سلسلة تايلور: المتتاليات ، المتسلسلة ، اختبارات التقارب.

الأسبوع التاسع: 30 أكتوبر - 3 نوفمبر

مواضيع للقراءة

  • القسم 14.1 التكامل المركب: تكامل الخط في المستوى المركب.
  • القسم 14.2 نظرية كوشي المتكاملة
  • القسم 14.3كوشي لا يتجزأمعادلة.

الأسبوع الثامن: 23 أكتوبر - 27 أكتوبر

  • القسم 13.3-13.4المشتق. وظيفة تحليلية. معادلات كوشي ريمان. معادلة لابلاس.
  • القسم 13.5دالة أسية.
  • القسم 13.6الدوال المثلثية ، الدوال الزائدية.
  • القسم 13.7لوغاريتم. القوة العامة.

الأسبوع السابع: 16 أكتوبر - 20 أكتوبر

مواضيع للقراءة

  • القسم 13.1 ارقام مركبة. طائرة معقدة. الشكل القطبي للأعداد المركبة.
  • القسم 13.2القوى والجذور. المشتق.
  • القسم 13.3وظائف تحليلية. معادلات كوشي ريمان.

الأسبوع 6: 9 أكتوبر - 1 أكتوبر 3

  • الأقسام 10.5 - 10.6تكاملات السطح.
  • القسم 10.7ثلاثية التكاملات. نظرية الاختلاف لغاوس.
  • القسم 10.8تطبيقات نظرية الاختلاف.
  • القسم 10.9نظرية ستوكس.

الأسبوع الخامس: 2 أكتوبر - 6 أكتوبر

  • القسم 10.4 نظرية جرين في الطائرة.
  • الأقسام 10.5 - 10.6 أسطح التكاملات السطحية. تكاملات السطح.
  • القسم 10.7 ثلاثية التكاملات. نظرية الاختلاف لغاوس.

الأسبوع الرابع: 25 سبتمبر - 29 سبتمبر

  • الأقسام 10.1 تكاملات السطر.
  • القسم 10.2 تكاملات الخط المستقلة عن المسار.
  • الأقسام 10.3 - 10.4 التكاملات المزدوجة.

الأسبوع الثالث: 18 سبتمبر - 22 سبتمبر

  • الأقسام 9.5 المنحنيات في الميكانيكا. السرعة والتسارع.
  • القسم 9.7 تدرج حقل عددي. مشتق اتجاهي.
  • القسم 9.8 تباعد حقل متجه.
  • القسم 9.9 حليقة مجال المتجهات.
  • الأقسام 10.1 تكاملات السطر.

الأسبوع الثاني: 11 سبتمبر - 15 سبتمبر

  • الأقسام 9. 2 - 9.3 المنتج الداخلي (النقطي) والمنتج المتجه (العرضي).
  • القسم 9. 4 الدالات والحقول المتجهية والعددية. المشتقات. منحنيات. الظلال. طول القوس .
  • الأقسام 9.5 المنحنيات في الميكانيكا. السرعة والتسارع.

الأسبوع الأول: 5 سبتمبر - 8 سبتمبر

مواضيع للدراسة والقراءة:

  • الأقسام 9.1 ناقلات الجبر على متن الطائرة وفي الفضاء.
  • الأقسام 9.2 -93 المنتج الداخلي.المنتج المتجه (تقاطع منتج ). منتج عددي ثلاثي)


إضافة نواقل

  • & لامدا (أ + ب) = & لامداأ + & لامداب (قانون التوزيع للناقلات)
  • (& lambda + & تجريبي)أ = & لامداأ + & بيتاب (قانون التوزيع للكميات)
  • 1 و middotأ = أ
  • (& ناقص 1) & middotأ = & ناقصأ
  • 0 و middotأ = 0.

بتعميم الأمثلة المعروفة للناقلات (السرعة والقوة) في الفيزياء والهندسة ، قدم عالم الرياضيات كائنًا مجردًا يسمى المتجهات. لذا فإن المتجهات هي كائنات يمكن إضافتها / طرحها وضربها في مقاييس. يفترض أن هاتين العمليتين (الإضافة الداخلية والضرب القياسي الخارجي) تفي بالظروف الطبيعية الموضحة أعلاه. يقال أن مجموعة من النواقل تشكل أ ناقلات الفضاء (وتسمى أيضًا الفراغ الخطي) ، إذا كان من الممكن إضافة / طرح أي متجهات منه وضربه في الحجميات ، مع مراعاة الخصائص المنتظمة للجمع والضرب. للرياح ، على سبيل المثال ، سرعة واتجاه ، وبالتالي يتم التعبير عنها بشكل ملائم على أنها ناقل. يمكن قول الشيء نفسه عن الأجسام المتحركة ، والزخم ، والقوى ، والمجالات الكهرومغناطيسية ، والوزن. (الوزن هو القوة الناتجة عن تسارع الجاذبية المؤثرة على كتلة.)

أول شيء نحتاج إلى معرفته هو كيفية تعريف المتجه بحيث يكون واضحًا للجميع. اليوم أكثر من أي وقت مضى ، تعد تقنيات المعلومات جزءًا لا يتجزأ من حياتنا اليومية. هذا هو السبب في أننا نحتاج إلى أداة لنمذجة المتجهات على أجهزة الكمبيوتر. إحدى الطرق الشائعة للقيام بذلك هي تقديم نظام إحداثيات ، إما ديكارتي أو أي نظام آخر. في الهندسة ، نستخدم تقليديًا نظام الإحداثيات الديكارتية الذي يحدد أي نقطة بسلسلة من الأرقام. يقيس كل إحداثي المسافة من نقطة إلى إسقاطاتها العمودية على الطائرات الفائقة المتعامدة بشكل متبادل.

لنبدأ بمساحتنا الثلاثية الأبعاد المألوفة التي يتكون فيها نظام الإحداثيات الديكارتية من ثلاثة خطوط مرتبة (المحاور) تمر عبر نقطة مشتركة (الأصل) ، وهي متعامدة من حيث الزوج ، وتتضمن أيضًا اتجاهًا لكل منها المحور ووحدة طول واحدة لجميع المحاور الثلاثة. يتم تخصيص مسافات لكل نقطة لثلاثة مستويات متعامدة بشكل متبادل ، تسمى مستويات الإحداثيات (مثل الزوج x و ذ تحدد المحاور ض-طائرة، x و ض تحدد المحاور ذالطائرة ، وما إلى ذلك). يحدد البناء العكسي النقطة وفقًا لإحداثياتها الثلاثة. يحدد كل زوج من المحاور مستوى إحداثي. تقسم هذه الطائرات الفضاء إلى ثمانية ثلاثية السطوح ، تسمى الثماني. تتم كتابة الإحداثيات عادةً في شكل ثلاثة أرقام (أو صيغ جبرية) محاطة بأقواس ومفصولة بفواصل ، كما في (-2.1 ، 0.5 ، 7). وبالتالي ، فإن الأصل له إحداثيات (0،0،0) ، ونقاط الوحدة على المحاور الثلاثة هي (1،0،0) و (0،1،0) و (0،0،1).

لا توجد أسماء عالمية للإحداثيات في المحاور الثلاثة. ومع ذلك ، فإن المحور الأفقي يسمى تقليديا الإحداثي السيني مستعار من لاتينية جديدة (اختصار لـ abscissa الخطي ، حرفياً ، "خط القطع") ، وعادة ما يُرمز إليه بـ x. المحور التالي يسمى تنسيق، التي جاءت من لاتينية جديدة (لينيا) ، حرفياً ، سطر مطبق بطريقة منظمة ، عادة ما نسميها ذ. يسمى المحور الأخير تطبيق وعادة ما يشار إليها بواسطة ض. في المقابل ، يتم الإشارة إلى متجهات الوحدة بواسطة أنا (الإحداثي السيني)، ي (إحداثي) و ك (تطبيق) ، يسمى الأساس. بمجرد إعداد الإحداثيات المستطيلة ، يمكن توسيع أي متجه من خلال متجهات الوحدة هذه. في الحالة ثلاثية الأبعاد ، يمكن توسيع كل متجه كـ (< bf v> = v_1 < bf i> + v_2 < bf j> + v_3 < bf k> ، ) حيث (v_1، v_2، v_3 ) تسمى إحداثيات المتجه الخامس. يتم تحديد الإحداثيات دائمًا بالنسبة إلى أساس مرتب. عندما يتم اختيار أساس ، يمكن توسيع المتجه فيما يتعلق بنواقل الأساس ويمكن تحديده بأمر ن- مضاعفة ن أرقام أو إحداثيات حقيقية (أو معقدة). يتم الإشارة إلى مجموعة جميع الأرقام المرتبة الحقيقية (أو المعقدة) بواسطة & reals n (أو & Copf n). بشكل عام ، يتم تحديد المتجه في الفضاء ذي الأبعاد اللانهائية من خلال تسلسل لا نهائي من الأرقام. يمكن تمثيل متجهات إحداثيات الأبعاد المحدودة إما بواسطة متجه عمود (وهو ما يحدث عادة) أو متجه صف. سنشير إلى متجهات الأعمدة بأحرف صغيرة بخط عريض ، ونواقل الصف بأحرف صغيرة مع سهم متراكب. بسبب الطريقة التي تستخدم بها لغة Wolfram القوائم لتمثيل المتجهات ، الرياضيات لا يميز متجهات العمود عن متجهات الصف ، ما لم يحدد المستخدم أيهما تم تعريفه. يمكن للمرء تحديد النواقل باستخدام الرياضيات الأوامر: قائمة, الطاولة, مجموعة مصفوفة، أو الأقواس المتعرجة.

في الرياضيات والتطبيقات ، من المعتاد التمييز بين متجهات العمود

مفهوم ناقلات الفضاء (أبضا الفضاء الخطي) تم تعريفه بشكل تجريدي في الرياضيات. تاريخيًا ، يمكن تتبع الأفكار الأولى التي أدت إلى الفضاءات المتجهة إلى القرن السابع عشر ، إلا أن الفكرة تبلورت مع عمل عالم الرياضيات الألماني هيرمان غونتر غراسمان (1809-1877) ، الذي نشر بحثًا في عام 1862. ناقل. الفضاء عبارة عن مجموعة من الكائنات تسمى المتجهات ، والتي يمكن إضافتها معًا وضربها ("تحجيمها") بأرقام ، تسمى مقاسات ، والنتيجة تنتج المزيد من المتجهات في هذه المجموعة. غالبًا ما يتم أخذ المقاييس على أنها أرقام حقيقية ، ولكن هناك أيضًا مسافات متجهة مع الضرب القياسي بأرقام مركبة أو أعداد منطقية أو بشكل عام في أي حقل. يجب أن تفي عمليات إضافة المتجهات والضرب القياسي بمتطلبات معينة ، تسمى البديهيات (يمكن العثور عليها على صفحة الويب).


نواقل في الرياضيات تم بناؤها ومعالجتها والوصول إليها بشكل مشابه للمصفوفات (انظر القسم التالي). ومع ذلك ، مثل القوائم البسيطة ("أحادية البعد" وليس "ثنائية الأبعاد" مثل المصفوفات التي تبدو أكثر جدولة) ، فمن الأسهل تكوينها ومعالجتها. سيتم وضعها بين قوسين ([،]) مما يسمح لنا بتمييز متجه من مصفوفة بصف واحد فقط ، إذا نظرنا بعناية. لم تتم الإشارة إلى عدد "الفواصل الزمنية" في المتجه الرياضيات كصفوف أو أعمدة ، ولكن حسب "الحجم".

في الرياضيات، يتم تحديد المتجهات والمصفوفات عن طريق كتابة كل صف بين قوسين معقوفين:

يمكن إنشاء متجه العمود من الأقواس المتعرجة الموضحة هنا <>. فاصلة تحدد كل صف. ومع ذلك ، قد لا يبدو الإخراج مثل متجه العمود. لإصلاح هذا يجب عليك استدعاء // MatrixForm على التمثيل المتغير لمتجه الصف.

يشبه إنشاء متجه صف إلى حد كبير إنشاء متجه عمود ، باستثناء مجموعتين من الأقواس المتعرجة. مرة أخرى ، يبدو الإخراج وكأنه متجه صف وبالتالي يجب استدعاء // MatrixForm لوضع متجه الصف بالتنسيق الذي تعرفه أكثر:


15.1: الحقول المتجهة - الرياضيات

في القسم السابق ، رأينا أنه إذا علمنا أن حقل المتجه ( vec F ) كان محافظًا ، فعندئذٍ ( int limits_<< vec F centerdot d ، vec r >> ) كان مستقلاً عن المسار. وهذا بدوره يعني أنه يمكننا بسهولة تقييم هذا الخط المتكامل بشرط أن نتمكن من إيجاد دالة محتملة لـ ( vec F ).

في هذا القسم نريد أن نلقي نظرة على سؤالين. أولاً ، بالنظر إلى حقل متجه ( vec F ) هل هناك أي طريقة لتحديد ما إذا كان حقل متجه محافظ؟ ثانيًا ، إذا علمنا أن ( vec F ) هو حقل متجه متحفظ ، فكيف يمكننا البحث عن وظيفة محتملة لحقل المتجه؟

من السهل الإجابة على السؤال الأول في هذه المرحلة إذا كان لدينا مجال متجه ثنائي الأبعاد. بالنسبة لحقول المتجهات ذات الأبعاد الأعلى ، سنحتاج إلى الانتظار حتى القسم الأخير في هذا الفصل للإجابة على هذا السؤال. مع ما يقال ، دعونا نرى كيف نفعل ذلك لحقول المتجهات ثنائية الأبعاد.

نظرية

لنكن ( vec F = P ، vec i + Q ، vec j ) حقل متجه في منطقة مفتوحة ومتصلة ببساطة (D ). ثم إذا كان (P ) و (Q ) لهما مشتقات جزئية مستمرة من الدرجة الأولى في (D ) و

حقل المتجه ( vec F ) محافظ.

دعونا نلقي نظرة على مثالين.

  1. ( vec F اليسار ( يمين) = يسار (<- yx> right) vec i + left (<- xy> right) vec j )
  2. ( vec F اليسار ( right) = left (<2x << bf>^> + ص << bf>^>> right) vec i + left (<<< فرنك بلجيكي>^> + 2y> right) vec j )

حسنًا ، ليس هناك الكثير من هذه الأشياء. كل ما نقوم به هو تحديد (P ) و (Q ) ثم أخذ اثنين من المشتقات ومقارنة النتائج.

في هذه الحالة هنا (P ) و (Q ) والمشتقات الجزئية المناسبة.

لذلك ، نظرًا لأن المشتقين الجزئيين ليسا متماثلين ، فإن هذا الحقل المتجه ليس متحفظًا.

هنا (P ) و (Q ) بالإضافة إلى المشتقات المناسبة.

المشتقتان الجزئيتان متساويتان ولذا فهذا مجال متجه متحفظ.

الآن بعد أن عرفنا كيفية تحديد ما إذا كان حقل المتجه ثنائي الأبعاد متحفظًا ، نحتاج إلى معالجة كيفية العثور على دالة محتملة لحقل المتجه. هذه في الواقع عملية بسيطة إلى حد ما. أولاً ، لنفترض أن حقل المتجه متحفظ ولذا فنحن نعلم أن دالة محتملة ، (f left ( حق) ) موجود. يمكننا بعد ذلك أن نقول ذلك ،

أو عن طريق جعل المكونات متساوية لدينا ،

من خلال دمج كل من هذه فيما يتعلق بالمتغير المناسب ، يمكننا الوصول إلى المعادلتين التاليتين.

لقد رأينا هذا النوع من التكامل باختصار في نهاية القسم الخاص بالتكاملات المتكررة في الفصل السابق.

من الأفضل عادة أن نرى كيف نستخدم هاتين الحقيقتين لإيجاد وظيفة محتملة في مثال أو اثنين.

  1. ( vec F = يسار (<2+ x> right) vec i + left (<2+ y> right) vec j )
  2. ( vec F اليسار ( right) = left (<2x << bf>^> + ص << bf>^>> right) vec i + left (<<< فرنك بلجيكي>^> + 2y> right) vec j )

لنحدد أولاً (P ) و (س ) ثم نتحقق من أن حقل المتجه محافظ.

لذا ، فإن مجال المتجه متحفظ. الآن دعونا نجد الوظيفة المحتملة. من الحقيقة الأولى أعلاه نعرف ذلك ،

من هؤلاء يمكننا أن نرى ذلك

يمكننا استخدام أي منهما لبدء العملية. تذكر أننا سنضطر إلى توخي الحذر مع "ثابت التكامل" الذي هو جزء لا يتجزأ نختار استخدامه. في هذا المثال ، دعنا نعمل مع التكامل الأول ، وهذا يعني أننا نسأل عن الوظيفة التي نفرقها فيما يتعلق بـ (x ) للحصول على التكامل. هذا يعني أن "ثابت التكامل" يجب أن يكون دالة لـ (y ) لأن أي دالة تتكون فقط من (y ) و / أو الثوابت ستشتق إلى الصفر عند أخذ المشتق الجزئي فيما يتعلق بـ (س ).

هنا هو أول جزء لا يتجزأ.

حيث (h left (y right) ) هو "ثابت التكامل".

نحتاج الآن إلى تحديد (h left (y right) ). هذا أسهل مما قد يبدو للوهلة الأولى. للوصول إلى هذه النقطة ، استخدمنا حقيقة أننا عرفنا (P ) ، لكننا سنحتاج أيضًا إلى استخدام حقيقة أننا نعرف (س ) لإكمال المشكلة. تذكر أن (Q ) هو بالفعل مشتق (f ) فيما يتعلق (y ). لذا ، إذا اشتقنا الدالة فيما يتعلق بـ (y ) فإننا نعرف ما يجب أن تكون.

لذلك ، دعنا نفرق (f ) (بما في ذلك (h left (y right) )) بالنسبة لـ (y ) ونضعها مساوية لـ (Q ) لأن هذا هو المشتق من المفترض أن يكون.

من هذا يمكننا أن نرى ذلك ،

لاحظ أنه بما أن (h ' left (y right) ) هي دالة فقط من (y ) ، لذلك إذا كان هناك أي (x ) في المعادلة في هذه المرحلة ، فسنعرف أننا " لقد ارتكبت خطأ. في هذه المرحلة ، يكون العثور على (ح يسار (ص يمين) ) أمرًا بسيطًا.

لذلك ، بتجميع كل هذا معًا ، يمكننا أن نرى أن دالة محتملة لحقل المتجه هي ،

لاحظ أنه يمكننا دائمًا التحقق من عملنا من خلال التحقق من ذلك ( nabla f = vec F ). لاحظ أيضًا أنه نظرًا لأن (c ) يمكن أن يكون أي شيء ، فهناك عدد لا حصر له من الوظائف المحتملة المحتملة ، على الرغم من أنها لن تختلف إلا حسب الثابت الإضافي.

حسنًا ، هذا سيذهب أسرع كثيرًا لأننا لسنا بحاجة إلى الخوض في الكثير من الشرح. لقد تحققنا بالفعل من أن حقل المتجه هذا متحفظ في المجموعة الأولى من الأمثلة ، لذلك لن نتحمل عناء إعادة ذلك.

لنبدأ بما يلي ،

هذا يعني أنه يمكننا القيام بأي من التكاملات التالية ،

بينما يمكننا القيام بأي من هذين ، فإن التكامل الأول سيكون غير سار إلى حد ما لأننا سنحتاج إلى تكامل أجزاء في كل جزء. من ناحية أخرى ، التكامل الثاني بسيط إلى حد ما لأن المصطلح الثاني يتضمن فقط (y ) 's ويمكن استخدام المصطلح الأول مع الاستبدال (u = xy ). لذلك ، من التكامل الثاني نحصل عليه ،

لاحظ أن "ثابت التكامل" هذه المرة سيكون دالة لـ (x ). إذا اشتقنا هذا فيما يتعلق بـ (x ) وقمنا بتعيين مساو لـ (P ) نحصل على ،

لذلك ، في هذه الحالة يبدو

[h ' left (x right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> h left (x right) = c ]

لذلك ، في هذه الحالة ، كان "ثابت التكامل" ثابتًا حقًا. في بعض الأحيان سيحدث هذا وأحيانًا لن يحدث.

ها هي الوظيفة المحتملة لهذا المجال المتجه.

الآن ، كما هو مذكور أعلاه ، ليس لدينا طريقة (حتى الآن) لتحديد ما إذا كان حقل المتجه ثلاثي الأبعاد متحفظًا أم لا. ومع ذلك ، إذا تم إعطاؤنا أن حقل ناقل ثلاثي الأبعاد متحفظ ، فإن العثور على وظيفة محتملة مشابهة للعملية المذكورة أعلاه ، على الرغم من أن العمل سيكون أكثر تعقيدًا.

في هذه الحالة سوف نستخدم حقيقة أن

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثال.

حسنًا ، سنبدأ بالمساواة التالية.

للبدء ، يمكننا دمج الأول بالنسبة إلى (س ) ، والثاني بالنسبة إلى (ص ) ، أو الثالث بالنسبة إلى (ض ). دعنا ندمج الأول بالنسبة إلى (س ).

لاحظ أن "ثابت التكامل" هذه المرة سيكون دالة لكل من (y ) و (z ) لأن التفريق بين أي شيء من هذا الشكل بالنسبة إلى (x ) سيشتق إلى الصفر.

الآن ، يمكننا اشتقاق هذا بالنسبة إلى (y ) وجعله مساويًا لـ (Q ). القيام بهذا يعطي ،

بالطبع سنحتاج إلى أخذ المشتق الجزئي لثابت التكامل لأنه دالة من متغيرين. يبدو أننا حصلنا الآن على ما يلي ،

[متبقى( right) = 0 hspace <0.5in> rightarrow hspace <0.5in> g left ( يمين) = ح يسار (ض يمين) ]

منذ التفريق (g left ( right) ) بالنسبة إلى (y ) يعطي صفرًا ثم (g left ( right) ) يمكن أن يكون على الأكثر دالة لـ (z ). هذا يعني أننا نعلم الآن أن الوظيفة المحتملة يجب أن تكون بالشكل التالي.

لإنهاء هذا ، كل ما نحتاج إليه هو التفريق فيما يتعلق بـ (z ) وتعيين النتيجة مساوية لـ (R ).

[h ' left (z right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> ، ، ، h left (z right) = c ]

إذن الوظيفة المحتملة لهذا المجال المتجه هي ،

لاحظ أنه للحفاظ على العمل عند الحد الأدنى ، استخدمنا دالة محتملة بسيطة إلى حد ما في هذا المثال. ربما كان من الممكن تخمين ما كانت الوظيفة المحتملة مبنية ببساطة على حقل المتجه. ومع ذلك ، يجب أن نكون حريصين على تذكر أن هذا لن يكون هو الحال عادةً وغالبًا ما تكون هذه العملية مطلوبة.

أيضًا ، كان هناك العديد من المسارات الأخرى التي كان بإمكاننا اتباعها لإيجاد الوظيفة المحتملة. كل واحد سيحصل على نفس النتيجة.

فلنعمل على مثال آخر أكثر تعقيدًا (وفقط قليلًا).

فيما يلي المساواة في هذا المجال المتجه.

في هذا المثال ، دعنا ندمج المثال الثالث بالنسبة إلى (z ).

سيكون "ثابت التكامل" لهذا التكامل دالة لكل من (x ) و (y ).

الآن ، يمكننا اشتقاق هذا بالنسبة إلى (x ) وجعله مساويًا لـ (P ). القيام بهذا يعطي ،

لذلك ، يبدو أننا حصلنا الآن على ما يلي ،

[متبقى( right) = 2x cos left (y right) hspace <0.5in> rightarrow hspace <0.5in> g left ( حق) = cos يسار (y right) + h left (y right) ]

الوظيفة المحتملة لهذه المشكلة إذن ،

لإنهاء هذا ، كل ما نحتاج إليه هو التفريق بالنسبة لـ (y ) وتعيين النتيجة مساوية لـ (Q ).

[h ' left (y right) = 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> ، ، ، h left (y right) = 3y + c ]

إذن الوظيفة المحتملة لهذا المجال المتجه هي ،

لذا ، فهي أكثر تعقيدًا قليلاً من الطرق الأخرى وهناك أيضًا العديد من المسارات المختلفة التي كان من الممكن أن نسلكها للحصول على الإجابة.

نحتاج إلى عمل مثال أخير في هذا القسم.

الآن ، يمكننا استخدام التقنيات التي ناقشناها عندما نظرنا لأول مرة إلى تكاملات الخطوط لحقول المتجهات ، لكن هذا سيكون حلاً غير سار بشكل خاص.

بدلاً من ذلك ، دعنا نستفيد من حقيقة أننا نعلم من المثال 2 أ أعلاه حقل المتجه هذا متحفظ وأن الوظيفة المحتملة لحقل المتجه هي ،

باستخدام هذا نعلم أن التكامل يجب أن يكون مستقلاً عن المسار ولذا كل ما نحتاج إلى فعله هو استخدام النظرية من القسم السابق لإجراء التقييم.

[ vec r left (1 right) = left langle <- 2،1> right rangle hspace <0.5in> vec r left (0 right) = left langle <- 1.0> يمين rangle ]


15.1: الحقول المتجهة - الرياضيات

10. 2 منحنيات مستوية ومعادلات بارامترية

ارسم الرسم البياني لمنحنى معطى بواسطة مجموعة من المعادلات البارامترية ، استبعد البارامترى أوجد مجموعة من المعادلات البارامترية لتمثيل منحنى فهم مشكلتين تقليديتين في التفاضل والتكامل: Tautochrone و Brachistochrone.

10.3 المعادلات البارامترية وحساب التفاضل والتكامل

أوجد ميل خط المماس لمنحنى محدد بواسطة المعادلات البارامترية ، أوجد طول القوس على طول منحنى محدد حدوديًا ، أوجد مساحة سطح الدوران في الصورة البارامترية.

10.4 الإحداثيات القطبية والرسوم البيانية القطبية

فهم نظام الإحداثيات القطبية ، قم بتحويل الإحداثيات والمعادلات من الرسوم البيانية القطبية إلى الديكارتية ومن الديكارتي إلى الرسوم البيانية القطبية في الشكل القطبي ، أوجد ميل الخط المماس للرسم البياني المعطى في الشكل القطبي ، وحدد عدة أنواع من الرسوم البيانية القطبية.

10.5 المساحة وطول القوس في الإحداثيات القطبية

أوجد مساحة المنطقة التي تحدها الرسوم البيانية القطبية ، أوجد طول القوس ومساحة سطح الدوران في الشكل القطبي.

قم بإجراء عمليات المتجهات في شكل مكون وتفسير هندسيًا باستخدام متجهات الوحدة القياسية للتعبير عن المتجهات التي تستخدم المتجهات لحل المشكلات التي تنطوي على القوة أو السرعة.

11.2 إحداثيات ونواقل الفضاء في الفضاء

افهم نظام الإحداثيات ثلاثية الأبعاد واستخدم المتجهات ثلاثية الأبعاد لحل مشاكل الحياة الواقعية.

استخدم خصائص حاصل الضرب النقطي لإيجاد الزاوية بين متجهين ، وجيب التمام للاتجاه ، وإسقاطات المتجهات ، والعمل.

ابحث عن حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين واستخدم حاصل الضرب القياسي الثلاثي.

11.5 الخطوط والطائرات في الفضاء

أوجد معادلات الخطوط والمستويات في الفضاء ، أوجد المسافات بين النقاط والخطوط والمستويات في الفضاء.

يتعرف ويكتب معادلات للأسطح الأسطوانية والرباعية ولأسطح الدوران.

11.7 الإحداثيات الأسطوانية والكروية

استخدم الإحداثيات الأسطوانية والكروية لتمثيل معادلات الأسطح.

12.1 وظائف ذات قيمة متجهية

قم بتحليل ورسم رسم بياني لمنحنى الفضاء المعطى بواسطة دالة ذات قيمة متجهية لتوسيع مفاهيم الحدود والاستمرارية لهذه الوظائف.

12.2 تمايز وتكامل الدوال ذات القيمة المتجهية.

التفريق بين الدوال ذات القيمة المتجهة ودمجها

12.3 السرعة والتسارع

وصف سرعة وتسريع دالة ذات قيمة متجه باستخدام دالة ذات قيمة متجه لتحليل حركة المقذوفات.

12.4 متجهات الظل والمتجهات العادية

أوجد مماسات الوحدة للمنحنيات في الفضاء أوجد المكونات العرضية والعادية للتسارع.

12.5 طول القوس والانحناء

ابحث عن طول القوس وانحناء منحنيات الفضاء ، استخدم s لتحديد معالم المنحنيات.

13.1 وظائف من عدة متغيرات

ارسم منحنيات الرسم البياني والمستوى لدالة متغيرين. ارسم أسطح المستوى لوظيفة من ثلاثة متغيرات.

13.2 الحدود والاستمرارية

فهم كيفية تحديد حدود وظائف متغيرين يوسع مفهوم الاستمرارية إلى دوال ذات متغيرين وثلاثة متغيرين.

أوجد المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى والأعلى لدوال متعددة المتغيرات.

استخدم مفاهيم الزيادات والتفاضلات لتوسيع مفهوم التفاضل ليشمل دوال متغيرين تستخدمان الفروق للتقريب.

13.5 قاعدة السلسلة لوظائف عدة متغيرات

استخدم قواعد السلسلة لوظائف متعددة المتغيرات تجد الجزئيات ضمنيًا.

13.6 المشتقات الاتجاهية والتدرجات

أوجد واستخدم المشتقات الاتجاهية وتدرجات الدوال لمتغيرين وثلاثة متغيرات.

13.7 المستويات المماسية والخطوط العادية

أوجد معادلات مستويات الظل والخطوط العادية في الفضاء أوجد زاوية ميل المستوى في الفضاء بمقارنة التدرجات.

13.8 إكستريما لوظائف متغيرين

ابحث عن القيم القصوى المطلقة والنسبية لوظائف متغيرين باستخدام اختبار الجزئيات الثاني.

13.9 تطبيقات إكستريما

حل مسائل التحسين التي تتضمن عدة متغيرات في المربعات الصغرى.

13.10 مضاعفات لاجرانج

استخدم مضاعفات لاجرانج لحل مشاكل التحسين المقيدة.

14.1 التكاملات المزدوجة ومنطقة المستوى

احسب التكاملات المتكررة واستخدمها لإيجاد مساحة منطقة مستوية.

14.2 التكاملات والأحجام المزدوجة

استخدم التكاملات المزدوجة لتمثيل حجم منطقة صلبة أوجد التكاملات المزدوجة على أنها تكاملات متكررة.

14.3 تغيير المتغيرات: الإحداثيات القطبية

اكتب واحسب التكاملات المزدوجة في الصورة القطبية.

أوجد مركز الكتلة ولحظات القصور الذاتي للصفيحة المستوية باستخدام التكاملات المزدوجة.

استخدم التكاملات المزدوجة لإيجاد مساحة السطح.

14.6 التكاملات الثلاثية والتطبيقات

استخدم التكامل الثلاثي لإيجاد الحجم والكتلة ولحظات القصور الذاتي لمنطقة صلبة.

14.7 التكاملات الثلاثية في الإحداثيات الأسطوانية والكروية

اكتب وتقييم التكاملات الثلاثية باستخدام الإحداثيات الأسطوانية والكروية.

14.8 تغيير المتغيرات واليعاقبة

استخدم Jacobian لتحويل المتغيرات في تكامل مزدوج.

افهم مفهوم حقل المتجه أوجد تباعد وتجعيد المجال لتحديد ما إذا كان الحقل متحفظًا أم لا.

باستخدام منحنيات متجانسة متعددة التعريف ، اكتب وتقييم خط متكامل لحقل متجه ، واكتب قيمًا سطرًا متكاملًا في صورة تفاضلية.

15.3 حقول المتجهات المحافظة واستقلال المسار

استخدم النظرية الأساسية للتكامل الخطي باستخدام مفاهيم استقلالية المسار والحفاظ على الطاقة.

استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط.

أوجد مجموعة من المعادلات البارامترية لتمثيل سطح يجد متجهًا عاديًا ومستوى مماسًا لسطح حدودي أوجد مساحة سطح حدودي.

تقييم تكامل السطح لسطح حدودي تحديد اتجاه السطح باستخدام تكامل التدفق.

افهم واستخدم نظرية الاختلاف لإيجاد التمويه.

فهم واستخدام نظرية Stoke's استخدام curl لتحليل حركة السائل الدوار.


تسلق جبل بوربكي

إنها حقيقة كلاسيكية أن مشعب مضغوط يعترف بمجال متجه يتلاشى في أي مكان يرضي. تتمثل إحدى طرق إثبات ذلك في ملاحظة أن التدفقات المحلية الناتجة عن حقل المتجه متماثلة مع الهوية ، ولكن ليس لها نقاط ثابتة للصغيرة (نظرًا لأن حقل المتجه غير مزين). من خلال نظرية النقطة الثابتة Lefschetz ، نجد أن عدد Lefschetz ، وهو ، يجب أن يتلاشى.

هناك طريقة أخرى لإثبات هذه النظرية ، والتي تستخدم نظرية العوامل الناقصية بدلاً من نظرية النقطة الثابتة Lefschetz. يمكن حساب خاصية أويلر في أي مشعب ريماني ذي أبعاد متعددة ، كمؤشر للعامل الإهليلجي

من الأشكال التفاضلية الزوجية إلى الأشكال الفردية الأبعاد. هذا هو التمايز الخارجي والمساعد الرسمي الذي يأتي من المقياس. إحدى الطرق لمعرفة ذلك هي ملاحظة أن عامل التشغيل الإهليلجي المحدد على هذا النحو هو مجرد نسخة & # 8220rolled up & # 8221 من مجمع de Rham المعتاد

في الواقع ، يمكن تعريفه على كامل المساحة ، وها هو موجود المعاينة الذاتية (وبالتالي بالمؤشر صفر).

العناصر الموجودة في هي بالضبط متناسق التفاضلات (في الواقع ، هي جذر تربيعي لـ Hodge Laplacian) ، ووفقًا لنظرية هودج ، فإنها تمثل فصولًا لعلم المجتمع. ويترتب على ذلك أن

فكرة عطية & # 8217 ، في ورقته & # 8220 الحقول المتجهية على المشعبات ، & # 8221 هي استخدام وجود حقل متجه متلاشي في أي مكان للحصول على تناظر من (أو اضطراب في ذلك) لإظهار أن مؤشرها هو صفر.

نظرية 1 اسمحوا أن يكون حقل متجه مع عدم وجود أصفار. ثم .

2. كليفورد الجبر

لرؤية هذا ، من الأنسب استخدام ضرب كليفورد بدلاً من الضرب الخارجي. ترتبط حزمة جبر كليفورد بحزمة ريمان ، بحيث تكون الألياف في كل منها هي جبر كليفورد. هذه حزمة من مسافات متجهية متدرجة (حتى الجبر) ، وكحزمة من المساحات المتجهية المصنفة ، فهي متشابهة للجبر الخارجي لحزمة ظل التمام.

في الواقع ، بالنسبة لأي مساحة داخلية للمنتج ، هناك إجراء لجبر Clifford على الجبر الخارجي ، والذي يعمل من خلاله المتجه بواسطة المشغل. هنا هو عامل الوتد والانكماش معه. تحدد هذه البنية الخريطة

مما يجعل الجبر الخارجي في وحدة. للتحقق من ذلك ، يتعين على المرء ببساطة التحقق من أن المشغلين يرضون علاقات استبدال كليفورد ، وهو أمر واضح ومباشر.

الاقتراح 2 الجبر الخارجي عبارة عن وحدة نمطية مجانية من الرتبة 1 ، تم إنشاؤها بواسطة عنصر الوحدة في الجبر الخارجي.

بهذه الطريقة ، يمكننا فعلاً تحديد الجبر كليفورد مع الجبر الخارجي. يرتبط التقدير الطبيعي لجبر كليفورد بالتقدير الطبيعي للجبر الخارجي.

ماذا لو فعلنا هذا عالميًا؟ بالنسبة للمشعب ، نجد أن هناك تماثلًا لحزم المتجهات المصنفة

وبالتالي يمكننا التحدث عنه ضرب كليفورد من النماذج ، تمامًا مثل الضرب الخارجي.

3. رمز

رمز مجمع دي رهام للعوامل التفاضلية

من خلال مجمع Koszul. على وجه التحديد ، على متجه ظل التمام ، يحتوي المرء على المركب

حيث كل خريطة هي الضرب الخارجي بها. هذا هو بالضبط رمز مجمع دي رهام ، في متجه ظل التمام. تم الحصول على العامل من خلال & # 8220 التمرير لأعلى & # 8221 مجمع de Rham ، أي عن طريق أخذ التفاضل في مجمع de Rham وإضافته إلى ملحقه. كل هذا يتوافق مع مرور إلى الرموز (باستثناء أن أحدهم يلتقط إشارة من أخذ النقطة المجاورة) ، ونجد أن رمز ، في ناقل ظل التمام ،

لكن الأفعال التي تركها كليفورد بضربها منذ ذلك الحين. ويترتب على ذلك أن رمز ، على ناقل ظل التمام ، يُعطى للتو بضرب كليفورد الأيسر في. هي حالة خاصة (وسهلة نسبيًا) لما يسمى & # 8220Dirac عامل ، & # 8221 وهو أمر منطقي في أي حزمة Clifford.

بطريقة مماثلة ، نجد أن رمز المساعد الرسمي

يُعطى بضرب كليفورد الأيسر في متجه ظل التمام.

4. التماثلات

الآن ، هدفنا هو إظهار أنه إذا لم يكن هناك مجال متجه صفري في أي مكان ، إذن

فكرة عطية & # 8217s هي استخدام حقل المتجه لإنشاء تناظر & # 8212 أو بالأحرى رمزه ، وهو على أي حال الشيء الوحيد الذي يؤثر على الفهرس. وهي ، لدينا مشغل حق ضرب كليفورد ، على حزمة الجبر الخارجية (المحددة بجبر كليفورد). ثم لديه خاصية أنه يتنقل مع ضرب كليفورد الأيسر ، وبالتالي رمز عامل التشغيل الإهليلجي

هو مجرد ترك ضرب كليفورد في متجه ظل التمام.

لقد رأينا ، مع ذلك ، أن ترك الضرب في كليفورد هو بالضبط رمز ، وعلى وجه الخصوص ،

لها نفس الرمز. وبالتالي فإن لديهم نفس المؤشر ، مما يعني

هذا يعني ذاك . هذا يثبت ذلك.

في بقية الورقة ، استخدم عطية نسخًا أكثر تعقيدًا من هذه الفكرة لإثبات عدد من التطابق في توقيع المشعبات التي تسمح بحقول الطائرات المماس.


مركبات المتجه

يتم توجيه المتجهات عمومًا على نظام إحداثيات ، وأكثرها شيوعًا هو المستوى الديكارتي ثنائي الأبعاد. يحتوي المستوى الديكارتي على محور أفقي يسمى x ومحور عمودي يسمى y. تتطلب بعض التطبيقات المتقدمة للناقلات في الفيزياء استخدام فضاء ثلاثي الأبعاد ، تكون فيه المحاور x و y و z. ستتناول هذه المقالة في الغالب النظام ثنائي الأبعاد ، على الرغم من أنه يمكن توسيع المفاهيم ببعض العناية إلى ثلاثة أبعاد دون الكثير من المتاعب.

يمكن تقسيم المتجهات في أنظمة الإحداثيات متعددة الأبعاد إلى نواقل المكون. في الحالة ثنائية الأبعاد ، ينتج عن ذلك أ x مكون و أ مكون ص. عند تقسيم المتجه إلى مكوناته ، يكون المتجه عبارة عن مجموع المكونات:

لاحظ أن الأرقام هنا هي مقادير المتجهات. نحن نعرف اتجاه المكونات ، لكننا نحاول إيجاد مقدارها ، لذلك نزيل معلومات الاتجاه ونجري هذه الحسابات العددية لمعرفة المقدار. يمكن استخدام تطبيقات أخرى لعلم المثلثات لإيجاد علاقات أخرى (مثل الظل) تتعلق ببعض هذه الكميات ، لكنني أعتقد أن هذا كافٍ في الوقت الحالي.

لسنوات عديدة ، الرياضيات الوحيدة التي يتعلمها الطالب هي الرياضيات العددية. إذا سافرت 5 أميال شمالًا و 5 أميال شرقًا ، فقد سافرت 10 أميال. تؤدي إضافة الكميات العددية إلى تجاهل كافة المعلومات المتعلقة بالاتجاهات.

يتم التعامل مع النواقل بشكل مختلف نوعًا ما. يجب دائمًا أخذ الاتجاه في الاعتبار عند التلاعب بهم.


جدول المحتويات

يطور هذا النص الجبر الخطي من منظور أنه بوابة مهمة تربط الرياضيات الابتدائية بمواضيع أكثر تقدمًا ، مثل حساب التفاضل والتكامل المتقدم وأنظمة المعادلات التفاضلية والهندسة التفاضلية وتمثيلات المجموعة. الغرض من هذا الكتاب هو تقديم معالجة لهذا الموضوع بعمق كافٍ لإعداد القارئ للتعامل مع مثل هذه المواد الإضافية.

يبدأ النص بمسافات متجهة ، على مجموعات من الأرقام الحقيقية والمركبة ، والتحويلات الخطية بين مسافات المتجهات هذه. لاحقًا ، يتم توسيع هذا الإعداد ليشمل الحقول العامة. سيكون القارئ في وضع يسمح له بتقدير المواد الأولية على هذا المستوى الأكثر عمومية بأقل جهد.

تشمل السمات البارزة للنص معالجة المحددات ، والتي تكون أنظف مما يراه المرء غالبًا ، ودرجة عالية من الاتصال بالهندسة والتحليل ، لا سيما في الفصل الخاص بالجبر الخطي في مساحات المنتج الداخلية. بالإضافة إلى دراسة الجبر الخطي على الحقول العامة ، يحتوي النص على فصل عن الجبر الخطي فوق الحلقات. يوجد أيضًا فصل عن الهياكل الخاصة ، مثل الكواتيرنيونات ، وجبر كليفورد ، والأوكتونيونات.


لم يكن رسم المخططات الميدانية المتجهية بهذه السهولة من قبل

المخططات الميدانية المتجهة مرتبطة بـ المعادلات التفاضلية. عندما نحل معادلة تفاضلية ، لا نحصل على حل (فريد) معين ، نحصل على حل عام، وهي في الأساس مجموعة من الحلول الخاصة.

لفهم أسهل ، دع & # 8217s نقفز مباشرة إلى أحد الأمثلة. افترض أن لدينا المعادلة التفاضلية:

هذا ال معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى قابلة للفصل، لأنه يمكننا كتابتها مع كل ذ& # 8216s على جانب واحد من علامة التساوي ، وجميع ملفات x& # 8216s على الجانب الآخر ، مثل هذا:

بعبارة أخرى ، قمنا بفصل ذ& # 8216s من x& # 8216 ثانية. نحلها بدمج طرفي المعادلة:

الحل مباشر:

أين ج هو ثابت.

لاحظ أن الحل ليس فريدًا (خاص) ولكن عام ، لأن الثابت ج يمكن أن تأخذ أي قيمة (رقم حقيقي). هذا يعني أن معادلتنا التفاضلية يمكن أن تحتوي على أكبر عدد ممكن من الحلول للقيم الممكنة للثابت ج.

استخدام المؤامرات الميدانية ناقلات يمكننا أن نرى تمثيل جميع حلول المعادلة التفاضلية الخطية بين الحدود الثابتة.

صورة: مخطط الحقل المتجه للمعادلة التفاضلية dy / dx = y + x

في الصورة أعلاه يمكننا أن نرى مخطط المجال المتجه للمعادلة التفاضلية:

تشير الأسهم (المتجهات) الزرقاء الصغيرة إلى اتجاه (شكل) حلول المعادلة التفاضلية بين حدود المؤامرة. يمثل الخط الأحمر حلاً خاصًا للمعادلة التفاضلية.

من خلال رسم مخطط المجال المتجه ، سنعرف ، قبل حل المعادلة التفاضلية ، كيف سيبدو الحل من حيث شكل المنحنى.

السؤال هو: كيف نرسم مخطط المجال المتجه الذي يحتوي فقط على المعادلة التفاضلية؟

سنستخدم نفس المعادلة التفاضلية التي حللناها سابقًا كمثال:

علينا أولًا أن نتذكر أنه يمكننا تحديد معادلة الخط المستقيم ص = و (س) الحصول على نقطة واحدة (x0, ذ0) والمنحدر م:

لقيم صغيرة من x، المنحدر م هو مشتق من الوظيفة:

باستبدال معادلة المنحدر في معادلة الخط ، نحصل على:

جميع المتجهات في مخطط الحقل عبارة عن خطوط صغيرة محددة بالمعادلة أعلاه لقيم مختلفة لنقطة البداية (x0, ذ0) والمنحدر dy / dx.

في الجدول أدناه سنقوم بحساب النقاط التي تحدد المتجهات.

الخطوة 1. اختر قيمة x0.

الخطوة 2. اختر قيمة ذ0.

الخطوه 3. قيمة المنحدر تساوي قيمة المعادلة التفاضلية. في حالتنا ، المعادلة التفاضلية تساوي x، لذا فإن قيمة المنحدر هي نفس قيمة النقطة x0.

الخطوة 4. نختار النقطة x1 يساوي النقطة x0 بالإضافة إلى تعويض (0.3).

الخطوة الخامسة. احسب قيمة النقطة ذ1 باستخدام معادلة الخط:

يتم تلخيص جميع الخطوات المذكورة أعلاه في الجدول أدناه.

خطوة123456
المتجهx0ذ0مx1ذ1ارسم خطا
1-52-5-4.70.6
2-42-4-3.70.8
3-32-3-2.71.1
4-22-2-1.71.4
5-12-1-0.71.7
60200.32
71211.32.3
82222.32.6
93233.32.9
104244.33.2
115255.33.5

بعد أن نحسب جميع نقاط النهاية (x1, ذ1) ، يمكننا رسم كل خط متجه:

صورة: مخطط الحقل المتجه & # 8211 الرسم اليدوي

يمكن تكرار العملية لقيم مختلفة من ذ.

من أجل جعل العمليات الحسابية أسرع ، يمكننا استخدام Scilab النصي أدناه:

يتم تعريف المعادلة التفاضلية على أنها دالة ، باستخدام دالة Scilab المضمنة deff (). بعد تشغيل البرنامج النصي ، نحصل على مخطط حقل المتجه لملف x و ذ حدود.

صورة: مخطط الحقل المتجه للمعادلة التفاضلية dy / dx = x

للتحقق من بياننا ، أن مخطط المجال المتجه المعادلة التفاضلية هي عائلة جميع الحلول المعينة ضمن حدود محددة ، سنقوم برسم الرسم الخطي للحل العام على نفس الشكل ص (س) ل ج = -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2.

صورة: مخطط الحقل المتجه للمعادلة التفاضلية dy / dx = x وحلول معينة (C = -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2)

كما ترى ، فإن كل منحنيات للحلول المعينة تتبع اتجاه مجال المتجه.

من أجل التحقق مما إذا كان برنامج Scilab الخاص بنا يقوم بإنشاء مخطط الحقل المتجه الصحيح ، سنستخدمه لمعادلتين تفاضليتين إضافيتين ، والتي لها مخطط حقل متجه محدد.

يمكن إيجاد مخطط المجال المتجه لهذه المعادلة التفاضلية هنا.

قم بتغيير تعريف الوظيفة في البرنامج النصي Scilab:

في الصورة اليسرى مخطط حقل المتجه المحدد في المصدر أعلاه ، على الجانب الأيمن ، لدينا مخطط حقل المتجه الذي تم إنشاؤه بواسطة البرنامج النصي Scilab.

صورة: مخطط الحقل المتجه للمعادلة التفاضلية dy / dx = y + x

الصورة: مخطط حقل متجه Scilab للمعادلة التفاضلية dy / dx = y + x

كما ترى ، فإن اتجاه حقل المتجه هو نفسه في كلا المخططين.

كرر الخطوات المذكورة أعلاه للوظيفة:

يمكن إيجاد مخطط المجال المتجه لهذه المعادلة التفاضلية هنا.

صورة: مخطط الحقل المتجه للمعادلة التفاضلية dy / dx = y & # 8211 x

الصورة: مخطط حقل Scilab المتجه للمعادلة التفاضلية dy / dx = y & # 8211 x

مرة أخرى ، يقوم البرنامج النصي Scilab بتوليد نفس مخطط حقل المتجه.

استخدم البرنامج النصي لإنشاء مخططات حقل متجه لمعادلات تفاضلية مختلفة. ثم قم بحل المعادلات ومعرفة ما إذا كان مخطط الخط لحل معين يتطابق مع اتجاه حقل المتجه.

لأية أسئلة وملاحظات واستفسارات بشأن متغيرات Scilab ، استخدم نموذج التعليق أدناه.


شاهد الفيديو: : Vector Fields (شهر اكتوبر 2021).