مقالات

14.E: التكامل المتعدد (تمارين) - الرياضيات


13.1: التكاملات المتكررة والمساحة

الشروط والمفاهيم

1. عند تكامل (f_x (x، y) ) بالنسبة إلى x، ثابت التكامل ج هو حقًا: (C (x) text {أو} C (y) )؟ ماذا يعني هذا؟

2. يسمى تكامل التكامل _________ __________.

3. عند تقييم تكامل متكرر ، ندمج من _______ إلى ________ ، ثم من _________ إلى __________.

4. أحد فهم التكامل المتكرر هو أن ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} ، dy ، dx ) يعطي _______ منطقة مستوية.

مشاكل

في التدريبات 5-10 ، قم بتقييم التكامل المتكامل والمتكرر اللاحق.

5.
(أ) ( displaystyle int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy )
(ب) ( displaystyle int _ {- 3} ^ 2 int_2 ^ 5 (6x ^ 2 + 4xy-3y ^ 2) ، dy ، dx )

6.
(أ) (displaystyle int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) ، dx)
(ب) ( displaystyle int_ {0} ^ { pi / 2} int_0 ^ pi (2x cos y + sin x) ، dx ، dy )

7.
(أ) ( displaystyle int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy )
(ب) (displaystyle int_0 ^ 2 int_1 ^ x (x ^ 2y-y + 2) ، dy ، dx)

8.
(أ) (displaystyle int_y ^ {y ^ 2} (x-y) ، dx)
(ب) ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int_y ^ {y ^ 2} (x-y) ، dx ، dy )

9.
(أ) ( displaystyle int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx )
(ب) ( displaystyle int_0 ^ pi int_0 ^ {y} ( cos x sin y) ، dx ، dy )

10.
(أ) ( displaystyle int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) ، dy )
(ب) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ {x} left ( frac {1} {1 + x ^ 2} right) ، dy ، dx )

في التدريبات 11-16 ، يتم إعطاء رسم بياني لمنطقة مستوية (R ). أعط التكاملات المتكررة ، مع كلا أوامر التكامل (dy ، dx ) و (dx ، dy ) ، التي تعطي مساحة (R ). احسب أحد التكاملات المتكررة لإيجاد المساحة.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

في التدريبات 17-22 ، يتم إعطاء التكاملات المتكررة التي تحسب مساحة المنطقة ص في الطائرة (س ص ). ارسم المنطقة ص، وإعطاء التكامل (التكامل) المتكرر الذي يعطي مساحة ص بترتيب التكامل المعاكس.

17. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {4-x ^ 2} ، dy ، dx )

18. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int_ {5-5x} ^ {5-5x ^ 2} ، dy ، dx )

19. ( displaystyle int _ {- 2} ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {4-y ^ 2}} ، dx ، dy )

20. ( displaystyle int _ {- 3} ^ 3 int _ {- sqrt {9-x ^ 2}} ^ { sqrt {9-x ^ 2}} ، dy ، dx )

21. ( displaystyle int_ {0} ^ 1 int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy + int_1 ^ 4 int_ {y-2} ^ { sqrt {y}} ، dx ، dy )

22. ( displaystyle int _ {- 1} ^ 1 int _ {(x-1) / 2} ^ {(1-x) / 2} ، dy ، dx )

13.2: التكامل المزدوج والحجم

الشروط والمفاهيم

1. يمكن تفسير التكامل على أنه يعطي المنطقة الموقعة خلال فترة زمنية ؛ يمكن تفسير التكامل المزدوج على أنه يعطي علامة ________ الموقعة على المنطقة.

2. اشرح سبب خطأ العبارة التالية: "تنص نظرية Fubini على أن ( int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x، y) ، dy ، dx = int_a ^ b int_ {g_1 (y)} ^ {g_2 (y)} f (x، y) ، dx ، dy ). "

3. اشرح لماذا إذا (f (x، y)> 0 ) فوق منطقة ص، ثم ( int int_R f (x، y) ، dA> 0 ).

4. إذا كان ( int int_R f (x، y) dA = int int_R g (x، y) ، dA ) ، فهل هذا يعني (f (x، y) = g (x، y) ) )؟

مشاكل

في التدريبات 5-10 ،
(أ) قم بتقييم التكامل المتكرر المحدد
(ب) أعد كتابة التكامل باستخدام ترتيب التكامل الآخر.

5. ( int_1 ^ 2 int _ {- 1} ^ 1 left ( frac {x} {y} +3 right) ، dx ، dy )

6. ( int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_ {0} ^ pi ( sin x cos y ) ، dy ، dx )

7. ( int_0 ^ 4 int_ {0} ^ {- x / 2 + 2} left (3x ^ 2-y + 2 right) ، dy ، dx )

8. ( int_1 ^ 3 int_ {y} ^ 3 left (x ^ 2y-xy ^ 2 right) ، dx ، dy )

9. ( int_0 ^ 21 int _ {- sqrt {1-y}} ^ { sqrt {1-y}} (x + y + 2) ، dx ، dy )

10. ( int_0 ^ 9 int_ {y / 3} ^ { sqrt {3}} left (xy ^ 2 right) ، dx ، dy )

في تمارين 11-18:
(أ) رسم المنطقة ص التي قدمتها المشكلة.
(ب) قم بإعداد التكاملات المتكررة ، في كلا الأمرين ، التي تقيم التكامل المزدوج المحدد للمنطقة الموصوفة ص.
(ج) أوجد قيمة أحد التكاملات المتكررة لإيجاد الحجم الموقّع تحت السطح
(ض = و (س ، ص) ) فوق المنطقة تم العثور على R.

11. ( int int_R x ^ 2y ، dA ) ، أين ص يحدها (y = sqrt {x} text {and} y = x ^ 2 ).

12. ( int int_R x ^ 2y ، dA ) ، أين ص يحدها (y = sqrt [3] {x} text {and} y = x ^ 3 ).

13. ( int int_R x ^ 2-y ^ 2 ، dA ) ، أين ص هو المستطيل ذو الزوايا ((- 1 ، -1) ، (1 ، -1) ، (1،1) النص {and} (- 1،1) ).

14. ( int int_R ye ^ x ، dA ) ، أين ص يحدها (x = 0، ، x = y ^ 2 text {and} y = 1 ).

15. ( int int_R (6-3x-2y) ، dA ) ، أين ص يحدها (س = 0 ، ص = 0 نص {و} 3 س + 2 ص = 6 ).

16. ( int int_R e ^ y ، dA ) ، أين ص يحدها (y = ln x text {and} y = frac {1} {e-1} (x-1) ).

17. ( int int_R (x ^ 3y-x) ، dA ) ، أين ص نصف الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) في الربعين الأول والثاني.

18. ( int int_R (4-sy) ، dA ) ، أين ص يحدها (y = 0، y = x / e text {and} y = ln x ).

في التدريبات 19-22 ، اذكر سبب صعوبة / استحالة تكامل التكامل المتكرر في ترتيب التكامل المحدد. قم بتغيير ترتيب التكامل وتقييم التكامل المتكرر الجديد.

19. ( int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ 2 e ^ {x ^ 2} ، dx ، dy )

20. ( int_0 ^ { sqrt { pi / 2}} int_ {x} ^ { sqrt { pi / 2}} cos (y ^ 2) ، dy ، dx )

21. ( int_0 ^ 1 int_ {y} ^ 1 frac {2y} {x ^ 2 + y ^ 2} ، dx ، dy )

22. ( int _ {- 1} ^ 1 int_ {1} ^ 2 frac {x tan ^ 2 y} {1+ ln y} ، dy ، dx )

في التدريبات 23-26 ، أوجد متوسط ​​قيمة F فوق المنطقة ص. لاحظ كيف ترتبط هذه الوظائف والمناطق بالتكاملات المتكررة الواردة في التدريبات 5-8.

23. (f (x، y) = frac {x} {y} +3 ) ؛ ص هو المستطيل ذو الزوايا المتقابلة ((- 1،1) text {and} (1،2) ).

24. (f (x، y) = sin x cos y ) ؛ ص يحدها (x = 0، x = pi، y = - pi / 2 text {and} y = pi / 2 ).

25. (و (س ، ص) = 3 س ^ 2-ص + 2 ) ؛ ص يحدها الخطوط (y = 0 ، y = 2-x / 2 text {and} x = 0 ).

26. (و (س ، ص) = س ^ 2 ص-س ص ^ 2 ) ؛ ص يحدها (y = x، y = 1 text {and} x = 3 ).

13.3: تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية

الشروط والمفاهيم

1. عند تقييم ( int int_R f (x، y) ، dA ) باستخدام الإحداثيات القطبية ، يتم استبدال (f (x، y) ) بـ _______ ويتم استبدال (dA ) بـ _______.

2. لماذا قد يهتم المرء بتقييم تكامل مزدوج مع الإحداثيات القطبية؟

مشاكل

في التدريبات 3-10 ، دالة (و (س ، ص) ) معطى ومنطقة ص التابع س ص تم وصف الطائرة. قم بإعداد وتقييم ( int int_R f (x، y) ، dA ).

3. (و (س ، ص) = 3 س-ص + 4 ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بالدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

4. (و (س ، ص) = 4x + 4 ص ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بالدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ).

5. (و (س ، ص) = 8-ص ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بالدوائر مع المعادلات القطبية (r = cos theta text {and} r = 3 cos theta ).

6. (و (س ، ص) = 4 ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بتلة منحنى الوردة (r = sin (2 theta) ) في الربع الأول.

7. (f (x، y) = ln (x ^ 2 + y ^ 2) ) ؛ ص هي الحلقة المحاطة بالدوائر (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 text {and} x ^ 2 + y ^ 2 = 4.

8. (f (x، y) = 1-x ^ 2-y ^ 2 ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بالدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

9. (f (x، y) = x ^ 2-y ^ 2 ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بالدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 36 ) في الربعين الأول والرابع.

10. (و (س ، ص) = (س ص) / (س + ص) ) ؛ ص هي المنطقة المحاطة بالخطوط (y = x، y = 0 ) والدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) في الربع الأول.

في التدريبات 11-14 ، تم إعطاء تكامل متكرر في إحداثيات مستطيلة. أعد كتابة التكامل باستخدام الإحداثيات القطبية واحسب التكامل المزدوج الجديد.

11. ( int_0 ^ 5 int _ {- sqrt {25-x ^ 2}} ^ { sqrt {25-x ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} dy ، dx )

12. ( int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ {0} (2y-x) dx ، dy )

13. ( int_0 ^ 2 int_ {y} ^ { sqrt {8-y ^ 2}} (x + y) ، dx ، dy )

14. ( int _ {- 2} ^ {- 1} int_ {0} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) dy ، dx + int _ {- 1} ^ 1 int _ { sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) ، dy ، dx + int_1 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) ، dy ، dx )

في التدريبات 15-16 ، يتم تقديم تكاملات مزدوجة خاصة مناسبة تمامًا للتقييم في الإحداثيات القطبية.

15. ضع في اعتبارك ( int int_R e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} dA. )
(أ) لماذا يصعب تقييم هذا التكامل في إحداثيات مستطيلة ، بغض النظر عن المنطقة ص?
(ب) اسمحوا ص تكون المنطقة التي تحدها دائرة نصف القطر أ تتمحور في الأصل. احسب التكامل المزدوج باستخدام الإحداثيات القطبية.
(ج) خذ حد إجابتك من (ب) ، مثل (a to infty ). ماذا يعني هذا بشأن الحجم الموجود تحت سطح (e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ) على الكل س ص طائرة؟

16. سطح مخروط دائري قائم بارتفاع ح ونصف قطر القاعدة أ يمكن وصفها بالمعادلة (f (x، y) = hh sqrt { frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2}} ) ، حيث يقع طرف المخروط عند ((0،0، h) ) وتكمن القاعدة الدائرية في س ص الطائرة ، متمركزة في الأصل.
تأكد من أن حجم مخروط دائري قائم مع الارتفاع ح ونصف قطر القاعدة أ هو (V = frac {1} {3} pi a ^ 2h ) من خلال تقييم ( int int_R f (x، y) ، dA ) في الإحداثيات القطبية.

13.4: مركز الكتلة

الشروط والمفاهيم

1. لماذا من السهل استخدام "الكتلة" و "الوزن" بالتبادل ، على الرغم من اختلافهما؟

2. عند إعطاء نقطة ((x، y) ) ، فإن قيمة x هو قياس المسافة من المحور _________-.

3. يمكننا التفكير في ( int int_R dm ) على أنها تعني "لخص الكثير من ________."

4. ما هو "نظام مستو منفصل"؟

5. لماذا يستخدم (M_x ) ( int int_R y delta (x، y) ، dA ) بدلاً من ( int int_R x delta (x، y) ، dA ) ؛ أي لماذا نستخدم "y" وليس "x"؟

6. صف الحالة التي لا يقع فيها مركز كتلة الصفيحة داخل منطقة الصفيحة نفسها.

مشاكل

في التدريبات من 7 إلى 10 ، يتم إعطاء كتل النقاط على طول خط أو في المستوى. أوجد مركز الكتلة ( overline {x} ) أو (( overline {x}، overline {y}) )، حسب الاقتضاء. (جميع الكتل بالجرام والمسافات بالسنتيمتر).

7. (m_1 = 4 text {at} x = 1 ؛ quad m_2 = 3 text {at} x = 3 ؛ quad m_3 = 5 text {at} x = 10 )

8. (m_1 = 2 text {at} x = -3؛ quad m_2 = 2 text {at} x = -1؛ quad m_3 = 3 text {at} x = 0؛ quad m_4 = 3 نص {at} س = 7 )

9. (m_1 = 2 text {at} (- 2،2)؛ quad m_2 = 2 text {at} (2، -2)؛ quad m_3 = 20 text {at} (0،4 ) )

10. (m_1 = 1 text {at} (- 1،1)؛ quad m_2 = 2 text {at} (- 1،1)؛ quad m_3 = 2 text {at} (1،1 ) ؛ quad m_4 = 1 text {at} (1، -1) )

في التدريبات 11-18 ، ابحث عن كتلة / وزن الصفيحة الموصوفة بالمنطقة ص في الطائرة ودالة كثافتها ( دلتا (س ، ص) ).

11. ص هو المستطيل ذو الزوايا ((1 ، -3) ، (1،2) ، (7،2) نص {and} (7 ، -3) ؛ دلتا (س ، ص) = 5 ) جم / سم (^ 2 )

12. ص هو المستطيل ذو الزوايا ((1 ، -3) ، (1،2) ، (7،2) نص {و} (7 ، -3) ؛ دلتا (س ، ص) = (س + ص ^ 2) ) جم / سم (^ 2 )

13. ص هو المثلث ذو الزوايا ((- 1،0)، (1،0)، text {and} (0،1)؛ delta (x، y) = 2 ) lb / in (^ 2 )

14. ص هو المثلث ذو الزوايا ((0،0)، (1،0)، text {and} (0،1)؛ delta (x، y) = (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ) رطل / في (^ 2 )

15. ص هي الدائرة المتمركزة في الأصل مع نصف قطرها 2 ؛ ( دلتا (س ، ص) = (س + ص + 4) ) كجم / م (^ 2 )

16. ص هل قطاع الدائرة يحده (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) في الربع الأول ؛ ( دلتا (س، ص) = ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1) ) كجم / م (^ 2 )

17. ص هي الحلقة في الربعين الأول والثاني يحدها (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {and} x ^ 2 + y ^ 2 = 36؛ delta (x، y) = 4 ) lb / قدم (^ 2 )

18. ص هي الحلقة في الربعين الأول والثاني يحدها (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {and} x ^ + y ^ 2 = 36؛ delta (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) lb / ft (^ 2 )

في التدريبات 19-26 ، ابحث عن مركز كتلة الصفيحة الموصوفة بالمنطقة ص في الطائرة ودالة كثافتها ( دلتا (س ، ص) ).

ملحوظة: هذه هي نفس الصفيحة كما في التدريبات 11-18.

19. ص هو المستطيل ذو الزوايا ((1 ، -3) ، (1،2) ، (7،2) نص {and} (7 ، -3) ؛ دلتا (س ، ص) = 5 ) جم / سم (^ 2 )

20. ص هو المستطيل ذو الزوايا ((1 ، -3) ، (1،2) ، (7،2) نص {و} (7 ، -3) ؛ دلتا (س ، ص) = (س + ص ^ 2) ) جم / سم (^ 2 )

21. ص هو المثلث ذو الزوايا ((- 1،0)، (1،0)، text {and} (0،1)؛ delta (x، y) = 2 ) lb / in (^ 2 )

22. ص هو المثلث ذو الزوايا ((0،0)، (1،0)، text {and} (0،1)؛ delta (x، y) = (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ) رطل / في (^ 2 )

23. ص هي الدائرة المتمركزة في الأصل مع نصف القطر 2 ؛ ( دلتا (س ، ص) = (س + ص + 4) ) كجم / م (^ 2 )

24. ص هل قطاع الدائرة يحده (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ) في الربع الأول ؛ ( دلتا (س، ص) = ( sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} +1) ) كجم / م (^ 2 )

25. ص هي الحلقة في الربعين الأول والثاني يحدها (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {and} x ^ 2 + y ^ 2 = 36؛ delta (x، y) = 4 ) lb / قدم (^ 2 )

26. ص هي الحلقة في الربعين الأول والثاني يحدها (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text {and} x ^ + y ^ 2 = 36؛ delta (x، y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) lb / ft (^ 2 )

لحظة الجمود (أنا) هو مقياس لميل الصفيحة لمقاومة الدوران حول محور أو الاستمرار في الدوران حول محور. (i_x ) هي لحظة القصور الذاتي حول المحور السيني ، (i_x ) هي لحظة القصور الذاتي حول المحور السيني ، و (i_o ) هي لحظة القصور الذاتي حول الأصل ، وتحسب على النحو التالي:

  • (i_x = int int_R y ^ 2 ، dm )
  • (i_y = int int_R x ^ 2 ، dm )
  • (i_o = int int_R (x ^ 2 + y ^ 2) ، dm )

في تمارين 27-30 ، صفيحة مقابلة لمنطقة مستوية ص تُعطى بكتلة 16 وحدة. لكل حساب (i_x ) ، (i_y ) و (i_o ).

27. ص هو مربع 4 × 4 بزوايا ((- 2 ، -2) نص {and} (2،2) ) بكثافة ( دلتا (س ، ص) = 1 ).

28. ص هو مستطيل 8 × 2 بأركان ((- 4 ، -1) نص {and} (4،1) ) بكثافة ( دلتا (س ، ص) = 1 ).

29. ص هو مستطيل 4 × 2 بزوايا ((- 2 ، -1) نص {and} (2،1) ) بكثافة ( دلتا (س ، ص) = 2 ).

30. ص هي الدائرة ذات نصف القطر 2 المتمركزة في الأصل مع الكثافة ( دلتا (س ، ص) = 4 / بي ).

13.5: مساحة السطح

الشروط والمفاهيم

1. "مساحة السطح" مماثلة لما سبق دراسته من مفهوم؟

2. لتقريب مساحة جزء صغير من السطح ، قمنا بحساب مساحة مستواه ______.

3. نفسر ( int int_R ، dS ) على أنه "لخص الكثير من _______ ________ القليل".

4. لماذا من المهم معرفة كيفية إعداد تكامل مزدوج لحساب مساحة السطح ، حتى لو كان من الصعب تقييم التكامل الناتج؟

5. لماذا (z = f (x، y) ) و (z = g (x، y) = f (x، y) + h ) لبعض الأرقام الحقيقية ح، لها نفس المساحة على المنطقة ص?

6. لنفترض (z = f (x، y) ) و (z = g (x، y) = 2f (x، y) ). لماذا مساحة سطح ز على المنطقة ص ليس ضعف مساحة سطح (و ) فوق (ص )؟

مشاكل

في التدريبات من 7 إلى 10 ، قم بإعداد التكامل المتكرر الذي يحسب مساحة الأسطح للسطح المحدد فوق المنطقة ص.

7. (f (x، y) = sin x cos y؛ quad R ) هو المستطيل ذو الحدود (0 le x le 2 pi )، (0 le y le 2 بي ).

8. (f (x، y) = frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + 1}؛ quad R ) هي الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ).

9. (f (x، y) = x ^ 2-y ^ 2؛ quad R ) هو المستطيل ذو الزوايا المتقابلة ((- 1، -1) ) و (1،1) ) .

10. (f (x، y) = frac {1} {e ^ {x ^ 2} +1}؛ quad R ) هو المستطيل الذي يحده (- 5 le x le 5 ) و (0 le y le 1 ).

في التدريبات 11-19 ، أوجد مساحة السطح المحدد فوق المنطقة ص.

11. (f (x، y) = 3x-7y + 2؛ quad R ) هو المستطيل ذو الزوايا المقابلة ((- 1،0) text {and} (1،3) ).

12. (f (x، y) = 2x + 2y + 2؛ quad R ) هو المثلث ذي الزوايا ((0،0)، (1،0) text {and} (0،1) ).

13. (f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2 + 10؛ quad R ) هي الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ).

14. (f (x، y) = - 2x + 4y ^ 2 + 7 text {over} R ) ، المثلث يحده (y = -x، y = x، 0 le y le 1 ).

15. (f (x، y) = x ^ 2 + y ) أكثر ص، المثلث يحده (y = 2x، y = 0 text {and} x = 2 ).

16. (f (x، y) = frac {2} {3} x ^ {3/2} ) أكثر ص، المستطيل ذو الزوايا المتقابلة ((0،0) text {and} (1،1) ).

17. (f (x، y) = 10-2 sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) أكثر ص، الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ). (هذا هو المخروط بارتفاع 10 ونصف قطر القاعدة 5 ؛ تأكد من مقارنة النتيجة بالصيغة المعروفة.)

18. أوجد مساحة سطح الكرة التي يبلغ نصف قطرها 5 بمضاعفة مساحة سطح (f (x، y) = sqrt {25-x ^ 2-y ^ 2} ) على ص، الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ). (تأكد من مقارنة النتيجة مع الصيغة المعروفة.)

19. أوجد مساحة سطح القطع الناقص المتكون عن طريق تقييد المستوى (f (x، y) = cx + dy + h ) بالمنطقة ص، الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، حيث ج ، د و ح هي بعض الثوابت. يجب أن تعطى إجابتك من حيث ج و د؛ لماذا قيمة ح لا يهم؟

13.6: الحجم بين الأسطح والتكامل الثلاثي

الشروط والمفاهيم

1.استراتيجية إنشاء حدود للتكاملات الثلاثية هي "________ إلى ________ و _________ و __________ إلى _______."

2. أعط تفسيراً غير رسمي لما تعنيه (" int int int_D ، dV )".

3. أعطِ استخدامين للتكامل الثلاثي.

4. إذا كان الكائن له كثافة ثابتة ( دلتا ) وحجم الخامسما هي كتلته؟

مشاكل

في تمارين 5-8 ، سطحان (f_1 (س ، ص) ) و (f_2 (س ، ص) ) ومنطقة ص في ال س ، ص أعطيت الطائرة. قم بإعداد وتقييم التكامل المزدوج الذي يعثر على الحجم بين هذه الأسطح ص.

5. (f_x (x، y) = 8-x ^ 2-y ^ 2، ، f_2 (x، y) = 2x + y؛ )
ص هو المربع الذي يحتوي على زوايا ((- 1 ، -1) نص {and} (1،1) ).

6. (f_x (x، y) = x ^ 2 + y ^ 2، ، f_2 (x، y) = -x ^ 2-y ^ 2؛ )
ص هو المربع الذي يحتوي على زوايا ((0،0) text {and} (2،3) ).

7. (f_x (x، y) = sin x cos y، ، f_2 (x، y) = cos x sin y +2؛ )
ص هو المثلث ذو الزوايا ((0،0) ، ( pi ، 0) text {and} ( pi، pi) ).

8. (f_x (x، y) = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3، ، f_2 (x، y) = 6-x ^ 2-y ^ 2؛ )
ص هي الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

في التدريبات 9-16 ، المجال د يتم وصفه من خلال الأسطح المحيطة به ، جنبًا إلى جنب مع الرسم البياني. ضع التكاملات الثلاثية التي تعطي حجم د في جميع أوامر التكامل الستة ، وأوجد حجم د من خلال تقييم التكامل الثلاثي المشار إليه.

9. د يحدها مستويات الإحداثيات و (z = 2-2x / 3-2y ).
احسب التكامل الثلاثي مع الترتيب dz dy dz.

10. د يحدها المستويات (y = 0 ، y = 2 ، x = 1 ، z = 0 text {and} z = (2-x) / 2 ).
احسب التكامل الثلاثي مع الترتيب dx dy dz​​​​​​​.

11. د يحدها المستويات (x = 0 ، x = 2 ، z = -y text {وبواسطة} z = y ^ 2/2 ).
احسب التكامل الثلاثي مع الترتيب dy dz dx​​​​​​​.

12. د يحدها المستويات (z = 0 ، y = 9 ، x = 0 text {و ) z = sqrt {y ^ 2-9x ^ 2} ).
لا تقيم أي تكامل ثلاثي.

13. د يحدها المستويات (س = 2 ، ص = 1 ، ض = 0 نص {و} ض = 2 س + 4 ص -4 ).
احسب التكامل الثلاثي مع الترتيب dx dy dz​​​​​​​.

14. د يحدها المستوى (z = 2y text {و} y = 4-x ^ 2 ).
احسب التكامل الثلاثي مع الترتيب dz dy dz​​​​​​​.

15. د يحدها مستويات الإحداثيات و (y = 1-x ^ 2 text {and} y = 1-z ^ 2 ).
لا تقيم أي تكامل ثلاثي. أي ترتيب أسهل في التقييم: dz dy dx أو dy dz dx؟ اشرح السبب.

16. د يحدها مستويات الإحداثيات و (z = 1-y / 3 text {and} z = 1-x ).
احسب التكامل الثلاثي مع الترتيب dx dy dz​​​​​​​.

في التدريبات 17-20 ، قم بتقييم التكامل الثلاثي.

17. ( int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ { pi} ( cos x sin y sin z ) دز ، دى ، دكس )

18. ( int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {x} int_ {0} ^ {x + y} (x + y + z) dz ، dy ، dx )

19. ( int_ {0} ^ { pi} int_ {0} ^ {1} int_ {0} ^ {z} ( sin (yz)) dx ، dy ، dz )

20. ( int _ { pi} ^ { pi ^ 2} int_ {x} ^ {x ^ 3} int _ {- y ^ 2} ^ {y ^ 2} ( cos x sin y الخطيئة ض) دز ، دى ، دكس )

في التدريبات 21-24 ، أوجد مركز كتلة المادة الصلبة ممثلة بمنطقة الفضاء المشار إليها د مع وظيفة الكثافة ( دلتا (س ، ص ، ض) ).

21. د يحدها مستويات الإحداثيات و (z = 2-2x / 3-2y ) ؛ ( دلتا (س ، ص ، ض) = 10 ) جم / سم (^ 3 ).
(ملاحظة: هذه هي نفس المنطقة المستخدمة في التمرين 9.)

22. د يحدها المستويات (y = 0 ، y = 2 ، x = 1 ، z = 0 text {and} z = (3-x) / 2 ) ؛ ( دلتا (س ، ص ، ض) = 2 ) ز / سم (^ 3 ).
(ملاحظة: هذه هي نفس المنطقة المستخدمة في التمرين 10.)

23. د يحدها المستويات (x = 2 ، y = 1 ، z = 0 text {and} z = 2x + 4y-4 ) ؛ ( دلتا (س ، ص ، ض) = س ^ 2 ) رطل / في (^ 3 ).
(ملاحظة: هذه هي نفس المنطقة المستخدمة في التمرين 13.)

24. د يحدها المستويات (z = 2y text {وبواسطة} y = 4-x ^ 2 ). ( دلتا (س ، ص ، ض) = ص ^ 2 ) رطل / في (^ 3 ).
(ملاحظة: هذه هي نفس المنطقة المستخدمة في التمرين 14.)


12- التكاملات المتعددة - الرياضيات الهندسية ، المجلد الأول ، الطبعة الثانية

الهدف من هذا الفصل هو دراسة التكاملات المزدوجة والثلاثية جنبًا إلى جنب مع تطبيقاتها. وبالتالي ، سننظر هنا في تكاملات دوال متغيرين وثلاثة متغيرات.

12.1 تكاملات مزدوجة

مفهوم التكامل المزدوج هو امتداد لمفهوم التكامل المحدد على الخط الحقيقي لحالة الفضاء ثنائي الأبعاد. يترك F (س ، ص) تكون دالة مستمرة لمتغيرين مستقلين x و ذ داخل المنطقة وعلى حدودها R. قسّم المنطقة R إلى نطاقات فرعية ص1, ص2,…, صن المناطق δص1، δص2،… δصن، على التوالى. يترك (xأنا, ذأنا) تكون نقطة اعتباطية داخل أناالمنطقة الابتدائية △صأنا. ضع في اعتبارك المبلغ

متي ن → ∞ ، يزداد عدد المناطق الفرعية إلى أجل غير مسمى بحيث تكون أكبر المناطقصأنا النهج صفر: ليم سن، إن وجد ، يسمى تكامل مزدوج من الوظيفة F(س ، ص) فوق المنطقة (المجال) R ويشار إليها بواسطة

إذا تم تقسيم المنطقة R إلى شبكات مستطيلة بواسطة شبكة من الخطوط الموازية لمحاور الإحداثيات وإذا كان dx و دى يكون طول وعرض فوضى مستطيلة ، إذن dxdy هو عنصر مساحة في الإحداثيات الديكارتية. في مثل هذه الحالة ، لدينا

نذكر الآن ، بدون دليل ، نظريتين توفران شروطًا كافية لوجود تكامل مزدوج على منطقة مغلقة R.

نظرية 12.1. يترك ɸ و ψ وظيفتان متصلتان محددتان في فترة مغلقة [أ ، ب] مثل ذلك ɸ (x) ≤ ψ (x) للجميع x ∊ [أ ، ب]. يترك F تكون دالة مستمرة معرَّفة ص = <(س ، ص): أثم و موجودة ومتساوية.

نظرية 12.2. يترك ɸ و ψ وظيفتان متصلتان محددتان في فترة مغلقة [ج ، د] مثل ذلك ɸ (ذ) ≤ ψ لـ ذ ∊ [ج ، د]. يترك F تكون دالة مستمرة معرَّفة ص = <(س ، ص) : جذد ɸ (ذ) ≤ x ≤ ψ (ذ)>. ثم، و موجودة ومتساوية.


سمات

إضفاء الطابع الشخصي على التعلم باستخدام MyLab Math.

MyLab ™ Math هو عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتبعون خطة دراسة شخصية تساعدهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة. مجموعة كاملة من شخصيات تفاعلية تمت إضافته إلى دورة MyLab Math المصاحبة لزيادة دعم التدريس والتعلم. تعيينات العينات المحسنة تتضمن مراجعة المتطلبات المسبقة في الوقت المناسب ، وتساعد في الحفاظ على المهارات جديدة من خلال الممارسة الموزعة للمفاهيم الأساسية ، وتوفر فرصًا لتمارين العمل بدون وسائل تعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل.

ملاحظة: يتطلب هذا النص مجموعة وصول MyLab Math خاصة بالعنوان. توفر مجموعة الوصول الخاصة بالعنوان الوصول إلى Hass / Heil / Weir, توماس حساب التفاضل والتكامل 14 / eالمصاحبة لدورة MyLab فقط.

إشراك الطلاب بقوة حساب التفاضل والتكامل من خلال مجموعة متنوعة من موارد الوسائط المتعددة

  • الجديد! مجموعة كاملة من الأشكال التفاعلية تمت إضافته لدعم التدريس والتعلم. توضح الأرقام المفاهيم الأساسية وتسمح بالتلاعب. لقد تم تصميمها لاستخدامها في المحاضرة وكذلك من قبل الطلاب بشكل مستقل. يتم تضمين مقاطع الفيديو التي تستخدم الأشكال التفاعلية لشرح المفاهيم الأساسية. الأرقام قابلة للتحرير باستخدام برنامج GeoGebra المتاح مجانًا. تم إنشاء الأرقام بواسطة مارك رينو (جامعة شيبنسبيرغ) ، وستيف فيلبس (جامعة سينسيناتي) ، وكيفن هوبكنز (جامعة ساوث ويست المعمدانية) ، وتيم بريجنسكي (مدرسة برلين الثانوية ، كونكتيكتوس).
  • محدث! مقاطع فيديو تعليمية: تتوفر المئات من مقاطع الفيديو كأدوات مساعدة للتعلم داخل التمارين وللدراسة الذاتية. يسهّل دليل المهام المستندة إلى الفيديو تعيين مقاطع فيديو للواجب المنزلي من خلال إظهار تمارين MyLab Math التي تتوافق مع كل مقطع فيديو.
  • النص الإلكتروني الكامل متاح للطلاب من خلال دورات MyLab Math الخاصة بهم طوال عمر الإصدار ، مما يمنح الطلاب وصولاً غير محدود إلى النص الإلكتروني في أي دورة تدريبية باستخدام هذا الإصدار من الكتاب المدرسي.

قم بتقييم فهم الطالب للمفاهيم والمهارات من خلال مجموعة واسعة من التمارين

  • تمارين مع ردود الفعل الفورية- يتم تجديد أكثر من 8080 تمرينًا مخصصًا لهذا النص بطريقة حسابية لمنح الطلاب فرصة غير محدودة للممارسة والإتقان. يوفر MyLab Math ملاحظات مفيدة عندما يقوم الطلاب بإدخال إجابات غير صحيحة ويتضمن أدوات تعليمية اختيارية بما في ذلك Help Me Solve This ، وعرض مثال ، ومقاطع الفيديو ، والنص الإلكتروني.
  • الجديد! تمارين الإعداد وحلها تطلب من الطلاب أن يصفوا أولاً كيفية إعدادهم للمشكلة والتعامل معها. يعزز هذا الفهم المفاهيمي للعملية المطبقة في التعامل مع المشكلة ، ويعزز الاحتفاظ بالمهارة على المدى الطويل ويعكس ما يتوقع من الطلاب القيام به في الاختبار.
  • الجديد!أسئلة مفاهيمية إضافية زيادة تمارين النص للتركيز على الفهم النظري الأعمق للمفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. تمت كتابة هذه الأسئلة من قبل أعضاء هيئة التدريس في جامعة كورنيل بموجب منحة NSF وهي أيضًا قابلة للتخصيص من خلال Learning Catalytics.
  • الجديد!تعيينات العينات المحسنة صُممت لتعظيم أداء الطلاب في الدورة. تتضمن هذه المهام على مستوى القسم ما يلي: (أ) تمارين مراجعة المتطلبات المسبقة الشخصية في الوقت المناسب (ب) الممارسة المنتظمة الموزعة للمفاهيم الأساسية (مثل قاعدة السلسلة) من أجل المساعدة في الحفاظ على المهارات جديدة ، و (ج) الإزالة الدورية من الوسائل التعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل.
  • الجديد!مراجعة متكاملة لدورات MyLab الرياضيات توفير مجموعة كاملة من الموارد الداعمة لمحتوى الدورة التدريبية الرئيسية بالإضافة إلى الواجبات الإضافية والمساعدات الدراسية للطلاب الذين سيستفيدون من العلاج. تم تخصيص واجبات محتوى المراجعة المتكاملة مسبقًا في MyLab Math مما يجعل إنشاء الدورة التدريبية الخاصة بك أسهل من أي وقت مضى.
  • محفزات التعلمتساعد ™ المدرسين في إنشاء نقاش في الفصل وتخصيص المحاضرات وتعزيز التعلم من نظير إلى نظير باستخدام تحليلات في الوقت الفعلي. كأداة لاستجابة الطلاب ، تستخدم Learning Catalytics الهواتف الذكية أو الأجهزة اللوحية أو أجهزة الكمبيوتر المحمولة للطلاب لإشراكهم في مهام وتفكير أكثر تفاعلية. محفزات التعلم تسمح لك
    • ساعد طلابك على تطوير مهارات التفكير النقدي.
    • راقب الردود لمعرفة أين يعاني طلابك.
    • اعتمد على بيانات الوقت الفعلي لتعديل استراتيجية التدريس الخاصة بك.
    • قم بتجميع الطلاب تلقائيًا للمناقشة والعمل الجماعي والتعلم من نظير إلى نظير.

    قم بتدريس حساب التفاضل والتكامل بالطريقة التي تريد تدريسها ، وعلى مستوى يُعد الطلاب لتخصصاتهم في العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات

    • يواصل المؤلف المشارك الجديد كريس هيل (معهد جورجيا للتكنولوجيا) والمؤلف المشارك جويل هاس تقليد توماس تطوير النضج الرياضي والكفاءة للطلاب، وتجاوز حفظ الصيغ والإجراءات الروتينية ، وشرح للطلاب كيفية تعميم المفاهيم الأساسية بمجرد تقديمها.
    • يحرص المؤلفون على تقديم الموضوعات الرئيسية ، مثل تعريف المشتق ، بشكل رسمي وغير رسمي. يتم تحديد التمييز بين الاثنين بوضوح مع تطوير كل منهما ، بما في ذلك شرح سبب الحاجة إلى تعريف رسمي. يتم تقديم الأفكار بأمثلة وتفسيرات بديهية يتم تعميمها بعد ذلك حتى لا يغمر الطلاب بالتجريد.
    • النتائج موضحة بعناية ومثبتة في جميع أنحاء الكتاب ، ويتم شرح البراهين ودوافعها بوضوح. سيجد الطلاب والمعلمون الذين يتابعون المواد الرسمية أنها معروضة بعناية ومفسرة على أنها التطوير غير الرسمي. إذا قرر المدرب التقليل من أهمية الإجراءات الشكلية في أي مرحلة ، فلن يتسبب ذلك في حدوث مشكلات في التطورات اللاحقة في النص.
    • جدول محتويات مرن يقسم الموضوعات إلى أقسام يمكن إدارتها ، مما يسمح للمعلمين بتصميم مقررهم الدراسي لتلبية الاحتياجات المحددة لطلابهم.
    • تغطية كاملة ودقيقة متعددة المتغيرات يعزز روابط الأفكار متعددة المتغيرات مع نظائرها ذات المتغير الفردي التي تمت دراستها مسبقًا في الكتاب.

    قم بتقييم فهم الطلاب للمفاهيم والمهارات الأساسية من خلال مجموعة واسعة من التمارين التي تم اختبارها عبر الزمن

    • مجموعات تمارين قوية تتميز بمجموعة كبيرة من المشكلات - بدءًا من مشكلات المهارات إلى المشكلات التطبيقية والنظرية - لتشجيع الطلاب على التفكير في المفاهيم وممارستها حتى يتمكنوا من إتقانها. في الإصدار الرابع عشر ، أضاف المؤلفون تمارين جديدة في جميع الأنحاء ، والعديد من التدريبات ذات الطبيعة الهندسية.
    • تمارين الكتابة وضعت في جميع أنحاء النص اطلب من الطلاب استكشاف وشرح مجموعة متنوعة من مفاهيم وتطبيقات حساب التفاضل والتكامل. بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي نهاية كل فصل على قائمة من الأسئلة للطلاب لمراجعة وتلخيص ما تعلموه. العديد من هذه التمارين تجعل مهام الكتابة جيدة.
    • تمارين التكنولوجيا (تم تمييزها بحرف T) مدرجة في كل قسم ، وتطلب من الطلاب استخدام الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر عند حل المشكلات. بالإضافة الى، استكشافات الكمبيوتر إعطاء خيار تخصيص التمارين التي تتطلب نظام الجبر الحاسوبي (CAS ، مثل Maple أو Mathematica).

    دعم الفهم الكامل لحساب التفاضل والتكامل للطلاب على مستويات مختلفة

    • تم تطوير كل موضوع رئيسي مع أمثلة بسيطة وأكثر تقدمًا لإعطاء الأفكار الأساسية وتوضيح المفاهيم الأعمق.
    • محدث! الأرقام يتم تصميمها وتقديمها لتوفير نظرة ثاقبة للطلاب ودعم التفكير المفاهيمي. في الإصدار الرابع عشر ، تمت إضافة أرقام جديدة لتعزيز الفهم وتتم مراجعة الرسومات طوال الوقت للتأكيد على التصور الواضح.
    •  المحسن! التعليقات التوضيحية ضمن الأمثلة (يظهر باللون الأزرق) يوجه الطلاب خلال حل المشكلة ويؤكد أن كل خطوة في الحجة الرياضية لها ما يبررها بشكل صارم. بالنسبة للإصدار الرابع عشر ، تمت إضافة العديد من التعليقات التوضيحية.
    • مواد نهاية الفصل تشمل أسئلة المراجعة وتمارين الممارسة التي تغطي الفصل بأكمله وسلسلة من التمارين الإضافية والمتقدمة مع مشاكل أكثر صعوبة أو تجميعية.

    جديد في هذا الإصدار

    إضفاء الطابع الشخصي على التعلم باستخدام MyLab Math.

    MyLab ™ Math هو عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتبعون خطة دراسة شخصية تساعدهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة. مجموعة كاملة من شخصيات تفاعلية تمت إضافته إلى دورة MyLab Math المصاحبة لزيادة دعم التدريس والتعلم. تعيينات العينات المحسنة تتضمن مراجعة المتطلبات المسبقة في الوقت المناسب ، وتساعد في الحفاظ على المهارات جديدة من خلال الممارسة الموزعة للمفاهيم الأساسية ، وتوفر فرصًا لتمارين العمل بدون وسائل تعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل.

    ملاحظة: يتطلب هذا النص مجموعة وصول MyLab Math خاصة بالعنوان. توفر مجموعة الوصول الخاصة بالعنوان الوصول إلى Hass / Heil / Weir, توماس حساب التفاضل والتكامل 14 / eالمصاحبة لدورة MyLab فقط.

    • يستمر الإصدار الجديد في توسيع خيارات التمرين الشاملة المصنفة تلقائيًا. تمت مراجعة التدريبات الموجودة مسبقًا وفحصها وتحسينها بعناية باستخدام بيانات مجمعة عن استخدام الطلاب وأدائهم بمرور الوقت.
    • مجموعة كاملة من الأشكال التفاعلية تمت إضافته لدعم التدريس والتعلم. توضح الأرقام المفاهيم الأساسية وتسمح بالتلاعب. لقد تم تصميمها لاستخدامها في المحاضرة وكذلك من قبل الطلاب بشكل مستقل. يتم تضمين مقاطع الفيديو التي تستخدم الأشكال التفاعلية لشرح المفاهيم الأساسية. الأرقام قابلة للتحرير باستخدام برنامج GeoGebra المتاح مجانًا. تم إنشاء الأرقام بواسطة مارك رينو (جامعة شيبنسبيرغ) ، وستيف فيلبس (جامعة سينسيناتي) ، وكيفن هوبكنز (جامعة ساوث ويست المعمدانية) ، وتيم بريجنسكي (مدرسة برلين الثانوية ، كونكتيكتوس).
    • تمارين الإعداد وحلها مطالبة الطلاب بإعداد المشكلة أولاً ثم حلها. يتطابق هذا بشكل أفضل مع ما يُطلب منهم القيام به في الاختبارات ويعزز الاحتفاظ بالمهارة على المدى الطويل.
    • أسئلة مفاهيمية إضافية زيادة تمارين النص للتركيز على الفهم النظري الأعمق للمفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. تمت كتابة هذه الأسئلة من قبل أعضاء هيئة التدريس في جامعة كورنيل بموجب منحة NSF وهي أيضًا قابلة للتخصيص من خلال Learning Catalytics.
    • تعيينات العينات المحسنة صُممت لتعظيم أداء الطلاب في الدورة. تتضمن هذه المهام على مستوى القسم ما يلي: (أ) تمارين مراجعة المتطلبات المسبقة الشخصية في الوقت المناسب (ب) الممارسة المنتظمة الموزعة للمفاهيم الأساسية (مثل قاعدة السلسلة) من أجل المساعدة في الحفاظ على المهارات جديدة ، و (ج) الإزالة الدورية من الوسائل التعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل. توفير مجموعة كاملة من الموارد الداعمة لمحتوى الدورة التدريبية الرئيسية بالإضافة إلى الواجبات الإضافية والمساعدات الدراسية للطلاب الذين سيستفيدون من العلاج. تم تخصيص واجبات محتوى المراجعة المتكاملة مسبقًا في MyLab Math مما يجعل إنشاء الدورة التدريبية الخاصة بك أسهل من أي وقت مضى.
    • المزيد من التدريبات القابلة للتخصيص - يتوفر للمدرسين الآن تمارين أكثر من أي وقت مضى للاختيار من بينها في تعيين الواجبات المنزلية. يوجد ما يقرب من 8080 تمرينًا قابلاً للتخصيص في MyLab Math.
    • المزيد من مقاطع الفيديو التعليمية - أكثر من 200 مقطع فيديو تعليمي جديد ، يضم جريج ويسلوسكي ودان راديليت (كلاهما من جامعة إنديانا في بنسلفانيا) ، يزيد من المجموعة القوية بالفعل داخل الدورة. تدعم مقاطع الفيديو هذه النهج العام للنص - على وجه التحديد ، تتجاوز الإجراءات الروتينية لتوضح للطلاب كيفية تعميم المفاهيم الأساسية وربطها.

    أعاد المؤلفان المشاركان جويل هاس وكريس هيل النظر في كل كلمة ورمز وقطعة فنية ، مما حفز الطلاب على النظر في المحتوى من وجهات نظر مختلفة وإجبارهم على فهم هندسي أعمق.

    • رسومات محدثة التأكيد على التصور الواضح والصحة الرياضية.
    • أمثلة وأرقام جديدة تمت إضافتها في جميع الفصول ، والعديد منها بناءً على تعليقات المستخدمين. انظر ، على سبيل المثال ، المثال 3 في القسم 9.1 ، والذي يساعد الطلاب على التغلب على عقبة مفاهيمية.
    • أنواع جديدة من تمارين الواجبات المنزلية، بما في ذلك العديد من الطبيعة الهندسية. توفر التدريبات الجديدة وجهات نظر ومناهج مختلفة لكل موضوع.
    • عناوين المواقع القصيرة تمت إضافتها إلى ملاحظات الهامش التاريخية ، مما يسمح للطلاب بالانتقال مباشرة إلى المعلومات عبر الإنترنت.
    • شروح جديدة ضمن الأمثلة (باللون الأزرق) يوجه الطالب خلال حل المشكلة ويؤكد أن كل خطوة في الحجة الرياضية لها ما يبررها بدقة.
    • تم تنقيح جميع الفصول من أجل الوضوح والاتساق والإيجاز والفهم.

    مشاكل في التحليل الرياضي

    نأتي الآن إلى مشاكل في التحليل الرياضي محرر بواسطة ب. ديميدوفيتش. قائمة المؤلفين هي بارانينكوف ، ب. ديميدوفيتش, في إفيمنكو ، س. كوغان, جي لونتس ، إي بورشنيفا ، E. Sychera ، S. Frolov ، R. Shostak و A. Yanpolsky.

    تغطي هذه المجموعة من المشكلات والتمارين في التحليل الرياضي المتطلبات القصوى للدورات العامة في الرياضيات العليا للمدارس الفنية العليا. يحتوي على أكثر من 3000 مشكلة مرتبة بالتسلسل في الفصول من الأول إلى العاشر تغطي فروع الرياضيات العليا (باستثناء الهندسة التحليلية) الواردة في الدورات الجامعية. يتم إيلاء اهتمام خاص لأهم أقسام الدورة التي تتطلب مهارات ثابتة
    (إيجاد الحدود ، تقنيات التفاضل ، رسم الوظائف ، تقنيات التكامل ، تطبيقات كل التكاملات المحددة ، السلاسل ، حل المعادلات التفاضلية).

    نظرًا لأن بعض المعاهد قد وسعت دورات الرياضيات ، فقد أدرج المؤلفون مشاكل في نظرية المجال ، والطريقة ، وحسابات فورييه التقريبية. تُظهر التجربة أن المشكلات الواردة في هذا الكتاب لا تلبي تمامًا عدد متطلبات الطالب تمامًا ، فيما يتعلق بالإتقان العملي لأقسام الدورة المختلفة ، ولكنها تتيح أيضًا للمدرس توفير مجموعة متنوعة من المشكلات في كل قسم. لتحديد
    مشاكل الاختبارات والامتحانات.

    يبدأ كل فصل بمقدمة نظرية موجزة
    يغطي التعريفات والصيغ الأساسية لهذا القسم من الدورة. هنا يتم حل أهم المشكلات النموذجية بالكامل. نعتقد أن هذا سيبسط عمل الطالب بشكل كبير. يتم إعطاء الإجابات لجميع المشكلات الحسابية ، تشير علامة النجمة الواحدة إلى أن هناك تلميحات للحل في الإجابات ، وهما علامتان نجميتان ، على أن الحل معطى. كثيرا ما يتم توضيحها بالرسومات.

    هذه المجموعة من المشاكل هي نتيجة سنوات عديدة من تدريس الرياضيات العليا في المدارس الفنية في الاتحاد السوفيتي. يتضمن ، بالإضافة إلى المشكلات الأصلية والأمثلة ، عددًا كبيرًا من المشكلات الشائعة الاستخدام.

    تمت ترجمة هذا الكتاب من الروسية بواسطة جورج يانكوفسكي. تم نشر الكتاب من قبل شركة Mir Publishers الأولى في عام 1970.

    جميع الاعتمادات ل رافع أصلي.

    شكرا Siddharth لتوفير الارتباط.

    PDF | التعرف الضوئي على الحروف | 15.2 ميجابايت | الصفحات: 497 |

    الفصل الأول
    مقدمة للتحليل

    ثانية. 1. الوظائف 11
    ثانية. 2. الرسوم البيانية للوظائف الابتدائية 16
    ثانية. 3 حدود 22
    ثانية. 4 الكميات الصغيرة والكبيرة بلا حدود 33
    ثانية. 5. استمرارية الوظائف 36

    الباب الثاني
    تمايز الوظائف

    ثانية. 1. احتساب المشتقات مباشرة 42
    ثانية. 2. التمايز الجدولي 46
    ثانية. 3 مشتقات الوظائف غير الموضحة صراحة 56
    ثانية. 4. التطبيقات الهندسية والميكانيكية للمشتق 60
    ثانية. 5. مشتقات الطلبات العليا 66
    ثانية. 6. تفاضلات الرتبتين الأولى والعليا 71
    ثانية. 7. نظريات القيمة المتوسطة 75
    ثانية. 8. صيغة تايلور 77
    ثانية. 9. قاعدة L'Hospital-Bernoulli لتقييم غير محدد
    النماذج 78

    الفصل الثالث
    إكستريما وظيفة والهندسي
    تطبيقات المشتقات

    ثانية. 1. مغالطة عمل حجة واحدة 83
    ثانية. 2. اتجاه التقعر. نقاط الانعطاف 91
    ثانية. 3. الخطوط المقاربة 93
    ثانية. 4. وظائف الرسوم البيانية حسب النقاط المميزة 96
    ثانية. 5. التفاضل في انحناء القوس 101

    الفصل الرابع
    تكاملات غير محددة
    ثانية. 1. التكامل المباشر 107
    ثانية. 2. التكامل بالتعويض 113
    ثانية. 3. التكامل بالأجزاء 116
    ثانية. 4. التكاملات القياسية التي تحتوي على ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية 118
    ثانية. 5. تكامل الوظائف العقلانية 121
    ثانية. 6. تكامل بعض الوظائف اللاعقلانية 125
    ثانية. 7. تكامل الوظائف الثلاثية الخواص 128
    ثانية. 8. تكامل الوظائف القطعية 133
    ثانية. 9. استخدام بدائل إنجونومترية وزائدية لـ
    إيجاد تكاملات الصيغة $ int R (x، sqrt) dx $ R حيث R
    هي وظيفة عقلانية
    ثانية. 10. تكامل الوظائف المتعالية المختلفة 135
    ثانية. 11. استخدام صيغ التخفيض 135
    ثانية. 12. أمثلة متنوعة على التكامل 136

    الفصل الخامس
    حدد التكامل

    ثانية. 1. التكامل المحدد باعتباره حد المجموع 138
    ثانية. 2. إيجاد قيمة التكاملات المحددة عن طريق التكاملات غير المحددة 140
    ثانية. 3 التكاملات غير الصحيحة 143
    ثانية. 4. تغيير المتغير في تكامل محدد 146
    ثانية. 5. التكامل بالأجزاء 149
    ثانية. 6. نظرية القيمة المتوسطة 150
    ثانية. 7. مجالات الأشكال المستوية 153
    ثانية 8. طول قوس منحنى 158
    المقطع 9 مجلدات المواد الصلبة 161
    الجزء 10 مساحة سطح الثورة 166
    ثانية. 11. لحظات. مراكز الجاذبية. نظريات ولدن 168
    ثانية. 12. تطبيق التكاملات المحددة على حل المادية
    مشاكل 173

    الفصل السادس.
    وظائف المتغيرات المتعددة
    ثانية. 1. المفاهيم الأساسية 180
    ثانية. 2. الاستمرارية 184
    ثانية. 3. المشتقات الجزئية 185
    ثانية. 4. التفاضل الكلي لوظيفة 187
    ثانية. 5. تمايز الدوال المركبة 190
    ثانية. 6. مشتق في اتجاه معطى وميل للدالة 193
    ثانية. 7. المشتقات والتفاضلات ذات الترتيب الأعلى 197
    ثانية. 8. تكامل مجموع التفاضلات 202
    ثانية. 9. تمييز الوظائف الضمنية 205
    ثانية. 10. تغيير المتغيرات 211
    ثانية. 11. المستوى المماس والعادي على السطح 217
    ثانية. 12. صيغة تايلور لوظيفة متعددة المتغيرات 220
    ثانية. 13. نهاية دالة من عدة متغيرات 222
    ثانية. 14. إيجاد أكبر وأصغر قيم للدوال 227
    ثانية. 15. النقاط الفردية لمنحنيات المستوى 230
    ثانية. 16. المغلف 232
    ثانية. 17. طول قوس منحنى الفضاء 234
    ثانية. 18. وظيفة المتجه للحجة العددية 235
    ثانية. 19. ثلاثي السطوح الطبيعي لمنحنى الفضاء 238
    ثانية. 20. انحناء والتواء منحنى الفضاء 242

    الفصل السابع.
    التكاملات المتعددة والخطية

    ثانية. 1. التكامل المزدوج في الإحداثيات المستطيلة 246
    ثانية. 2. تغيير المتغيرات في تكامل مزدوج 252
    ثانية. 3. المجالات الحاسوبية 256
    ثانية. 4. الحجوم الحاسوبية 258
    ثانية. 5. حساب مساحات الأسطح 259
    ثانية. 6 تطبيقات التكامل المزدوج في الميكانيكا 260
    ثانية. 7. تريبل تكاملز 262
    ثانية. 8. التكاملات غير الصحيحة تعتمد على المعامل. 269ـ طهارة
    ثانية. 9. تكاملات الخط 273
    ثانية. 10. التكاملات السطحية 284
    ثانية. 11. صيغة Ostrogradsky-Gauss 286
    ثانية. 12. أساسيات نظرية المجال 288

    الفصل الثامن.
    سلسلة
    ثانية. 1. سلسلة الأرقام 293
    ثانية. 2. سلسلة وظيفية 304
    ثانية. 3. سلسلة تايلور 318
    ثانية. 4. سلسلة فورييه 311

    الفصل التاسع
    المعادلات التفاضلية

    ثانية. 1. التحقق من الحلول. تكوين معادلات تفاضلية لعائلات
    منحنيات. 322ـ مصلح
    ثانية. 2. معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى 324
    ثانية. 3. معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى مع متغيرات
    قابل للانفصال. 327 مشروع زراعة الاسنان
    ثانية. 4. المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى 330
    ثانية. 5. معادلات تفاضلية خطية من الدرجة الأولى. برنولي
    المعادلة 332
    ثانية. 6 معادلات تفاضلية دقيقة. عامل التكامل 335
    قسم 7 معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى لم يتم حلها للمشتق 337
    ثانية. 8. معادلات لاغرانج وكليروت 339
    ثانية. 9. تمارين متنوعة على المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى 340
    ثانية. 10. المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى 345
    ثانية. 11. المعادلات التفاضلية الخطية 349
    ثانية. 12. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية مع الثابت
    المعاملات 351
    ثانية. 13. المعادلات التفاضلية الخطية من رتبة أعلى من اثنين مع
    المعاملات الثابتة 356
    ثانية. 14. معادلات أويلر 357
    ثانية. 15. نظم المعادلات التفاضلية 359
    ثانية. 16. تكامل المعادلات التفاضلية بواسطة سلسلة القوة 361
    ثانية. 17. مشاكل في طريقة فورييه 363

    الفصل العاشر.
    الحسابات التقريبية

    ثانية. 1. العمليات على الأعداد التقريبية 367
    ثانية. 2. إقحام الوظائف 372
    ثانية. 3. حساب الجذور الحقيقية للمعادلات 376
    ثانية. 4. التكامل العددي للوظائف 382
    ثانية. 5. التكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية 384
    ثانية. 6. تقريب معاملات فورييه 393

    الإجابات 396
    الملحق 475
    أولا الأبجدية اليونانية 475
    II. بعض الثوابت 475
    ثالثا. الكميات المعكوسة ، القوى ، الجذور ، اللوغاريتمات 476
    رابعا. الدوال المثلثية 478
    V. الدوال الأسية والقطعية والمثلثية 479
    السادس. بعض المنحنيات 480


    تمارين

    ادمج كل من الوظائف المعينة:

    هذا السؤال في شكل اقتراح الاستبدال الأول في هذا القسم ، أي ،

    إذن لدينا "أ = 4" و "س = 4 خطيئة وثيتا" و "دكس = 4 كوس وثيتا د وثيتا".

    استبدال وتبسيط جزء الجذر التربيعي أولاً:

    `الجذر التربيعي (16-x ^ 2) = الجذر التربيعي (16-16 sin ^ 2 ثيتا) '

    الاستعاضة عن التكامل يعطي:

    `intsqrt (16-x ^ 2) dx = int4 cos theta (4 cos theta d theta) '

    `= 16int1 / 2 (cos 2 ثيتا + 1) د ثيتا`

    `= 8 (sin theta cos theta + theta) + K`

    تأتي الخطوة الثانية والأخيرة من رسم مثلث ، باستخدام `sin theta = x / 4` في هذه الحالة ، على النحو التالي:

    مثلث لإيجاد "ثيتا" و "sin theta" و "cos theta" بدلالة "x".

    في كثير من الأحيان يمكننا الحصول على أشكال مختلفة من نفس الإجابة النهائية! وهذا يعني أن برامج الرياضيات (أو أي إنسان آخر) يمكن أن تنتج إجابة صحيحة بالفعل ، ولكن في شكل مختلف عن تلك الواردة هنا منذ ذلك الحين. إذا حدث هذا ، فلا داعي للذعر! ما عليك سوى التحقق من الحل الخاص بك ربما عن طريق استبدال القيم المختلفة لـ `x` ، أو (أفضل) ، رسم الرسم البياني باستخدام البرنامج.

    يحتوي هذا على مصطلح `sqrt (a ^ 2-x ^ 2)` ، لذلك سنستخدم استبدال `x = a sin theta`.

    إذن ، "a = 2" ، وتركنا `x = 2 sin & theta` ، لذا` dx = 2 cos & theta d & theta`.

    ينتج عن تعويض الجذر التربيعي وتبسيطه:

    هذه المرة سيستخدم المثلث `sin theta = x / 2` على النحو التالي:

    مثلث لإيجاد `csc theta` و` cot theta` بدلالة `x`.

    استبدال كل شيء في التكامل يعطي:

    `int (3 dx) / (xsqrt (4-x ^ 2)) = int (3 (2 cos theta d theta)) / ((2 sin theta) (2 cos theta))"

    "= 3/2int (د ثيتا) / (سين ثيتا)`

    `= 3 / 2intcsc ثيتا د ثيتا`

    `= 3 / 2ln | csc theta-cot theta | + K`

    `= 3 / 2ln | 2 / x- (sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

    `= 3 / 2ln | (2-sqrt (4-x ^ 2)) / x | + K`

    إذا وضعنا `u = x + 1` ، فإن` du = dx` وسيصبح التكامل:

    الآن ، نستخدم `u = sec & theta` وهكذا` du = sec & theta tan & theta d & theta`

    يبدأ المثلث في هذه الحالة بـ `x + 1 = sec theta` (بمعنى ،` cos theta = 1 / (x + 1) `) ، ويكون كالتالي:

    مثلث لإيجاد `sec theta` و` tan theta` بدلالة `x`.

    بالعودة إلى التكامل لدينا:

    `int (dx) / (sqrt (x ^ 2 + 2x)) = int (du) / (sqrt (u ^ 2-1))`

    "= int (sec ثيتا تان ثيتا د ثيتا) / (تان ثيتا)`

    `= int sec theta d theta`

    `= ln | sec ثيتا + تان ثيتا | + K`

    `= ln | x + 1 + sqrt (x ^ 2 + 2x) | + K`


    تمارين

    ادمج كل من الوظائف المعطاة.

    التمرين 1

    تمرين 2

    نظرًا لأن `1 / (sec x) = cos x` ، يمكننا إعادة كتابة السؤال على النحو التالي:

    ضع `u = sin x` ثم` du = cos x dx`

    التمرين 3

    نظرًا لأن `& ناقص (2 & ناقص 3 س) = 3 س & ناقص 2` ، يمكننا إحضار المقام إلى الأعلى وكتابة السؤال على النحو التالي:

    ضع `u = 3x & minus 2` ثم` du = 3 dx`.

    تمثل المنطقة المظللة التكامل الذي أوجدناه للتو.

    التمرين 4

    أوجد معادلة المنحنى الذي يكون `` (dy) / (dx) = sqrt (e ^ (x + 3)) 'إذا كان المنحنى يمر عبر `(1، 0)`.

    وقم بتعويض الشروط المعطاة لدينا لإيجاد معادلة المنحنى.

    ضع `u = x + 3` ثم` du = dx`. نفذ التكامل.

    الآن ، يمر المنحنى عبر `(1 ، 0)`.

    هذا يعني أنه عندما `x = 1` ،` y = 0`.

    إذن ، معادلة المنحنى المطلوبة هي:

    الرسم البياني لمنحنى الحل الذي توصلنا إليه للتو ، يوضح أنه يمر عبر (1 ، 0).

    التطبيق - حجم صلب الثورة

    المنطقة التي يحدها المنحنى `y = e ^ x` ، ومحور` x` وحدود `x = 0` و` x = 3` تدور حول المحور` x`. أوجد حجم المادة الصلبة المتكونة. (قد ترغب في تذكير نفسك بحجم الصيغة الصلبة لصيغة الثورة.)

    الرسم البياني لـ `y = e ^ x` ، مع المنطقة الواقعة أسفل المنحنى بين` x = 0` و` x = 3` مظللة.

    عندما يتم تدوير المنطقة المظللة 360 درجة حول x-المحور لدينا:

    المنطقة الواقعة أسفل المنحنى `y = e ^ x` من` x = 0` إلى `x = 3` تم تدويرها حول المحور` x`.


    مقدمة في التكامل العشوائي

    تحتوي نظرية التكامل العشوائي ، والتي تسمى أيضًا حساب إيتو ، على مجموعة كبيرة من التطبيقات في كل مجال علمي تقريبًا يتضمن وظائف عشوائية ، ولكن يمكن أن يكون موضوعًا صعبًا للغاية بالنسبة للأشخاص الذين ليس لديهم الكثير من الخلفية الرياضية. كان حساب إيتو مدفوعًا في الأصل ببناء عمليات انتشار ماركوف من المولدات متناهية الصغر. في السابق ، كان بناء مثل هذه العمليات يتطلب عدة خطوات ، في حين أن إيتو أنشأ عمليات الانتشار هذه مباشرة في خطوة واحدة كحلول للمعادلات العشوائية التكاملية المرتبطة بالمولدات متناهية الصغر. علاوة على ذلك ، يمكن اشتقاق خصائص عمليات الانتشار هذه من المعادلات العشوائية التكاملية وصيغة إيتو. يقدم هذا الكتاب التمهيدي حول التكامل العشوائي مقدمة موجزة لحساب التفاضل والتكامل Ito ، ويغطي الموضوعات التالية:

    * تركيبات الحركة البراونية

    * التكاملات العشوائية للحركة البراونية و martingales

    * تكاملات Wiener-Ito المتعددة

    * المعادلات التفاضلية العشوائية

    * تطبيقات في التمويل ونظرية التصفية والدوائر الكهربائية.

    يجب أن يكون للقارئ خلفية في حساب التفاضل والتكامل المتقدم ونظرية الاحتمالات الأولية ، بالإضافة إلى معرفة أساسية بنظرية القياس ومساحات هلبرت. ينتهي كل فصل بمجموعة متنوعة من التمارين المصممة لمساعدة القارئ على فهم المادة بشكل أكبر.

    Hui-Hsiung Kuo هي أستاذة الرياضيات في نيكولسون بجامعة ولاية لويزيانا. وقد ألقى محاضرات حول التكامل العشوائي في جامعة ولاية لويزيانا ، وجامعة تشينغ كونغ ، وجامعة ميجو ، وجامعة روما "تور فيرغاتا" ، من بين آخرين. وهو أيضًا مؤلف كتاب "المقاييس الغوسية في فضاءات باناخ" (سبرينغر 1975) ، ونظرية توزيع الضوضاء البيضاء (مطبعة CRC 1996) ، ومذكرات عن طفولته التي نشأ في تايوان ، طلقة سهم في الشمس (Abridge Books 2004).

    "هذا الكتاب المدرسي هو مقدمة قائمة بذاتها ومنهجية لتكامل Itô العشوائي فيما يتعلق بالمارتينجاليس. يعطي المؤلف تركيزًا خاصًا على حالة الحركة البراونية. ... يتم تقديم التمارين في كل فصل." (Jorge A. León، Mathematical Reviews، Issue 2006 e)

    "مقدمة إلى التكامل العشوائي هو بالضبط ما يقوله العنوان. ربما سأضيف فقط مقدمة" ودية "بسبب العرض التقديمي الواضح وتدفق المحتويات. ... بالنظر إلى هيكله وتكوينه الواضح ، يمكن أن يكون الكتاب مفيدًا لدورة تدريبية قصيرة على التكامل العشوائي. المفاهيم سهلة الفهم…. المشاكل معطاة في كل فصل وهي بطبيعة الحال مبنية على الإثبات. " (إيتا سيروفيتش دونيف ، المكتبة الرقمية للعلوم الرياضية ، يونيو 2006)

    "هذا كتاب جيد جدًا عن التكامل العشوائي الذي يغطي موضوعات من بناء الحركة البراونية إلى المعادلات التفاضلية العشوائية. نشأ من ملاحظات المحاضرة التي وضعها المؤلف خلال عدة سنوات ، ويمكن استخدامه بشكل جيد في التدريس والتعليم الذاتي. النص واضح للغاية ومختصر من حيث اللغة والتدوين الرياضي. كل موضوع موضّح بأمثلة بسيطة ومحفزة. ... كتاب حسن التصميم ومكتوب بشكل جيد في الوقت المناسب. سيكون مفيدًا للقراء غير المستعدين والمتقدمين. " (إيليا بافليوكيفيتش ، Zentralblatt MATH ، المجلد. 1101 (3) ، 2007)

    "يغطي هذا الكتاب التكامل العشوائي فيما يتعلق بالمارتنجات المربعة القابلة للتكامل. ... أنا متأكد من أن هذا الكتاب سيحظى بترحيب كبير من قبل الطلاب والمحاضرات حول هذا الموضوع ... الذين سيجدون العديد من التمارين التوضيحية المقدمة. كما يجب ألا يفوت القارئ المقدمة ، والتي تتضمن بعض الحكايات عن ك. إيتو ". (Thorsten Rheinländer ، مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية ، المجلد .103 (483) ، سبتمبر 2008)


    نظرية التكاملات

    التكاملات هي مجموع عمليات الجمع اللانهائية ، وهي صغيرة بشكل لا نهائي.

    بإعطاء دالة f لمتغير حقيقي x وفترة [a، b] من الخط الحقيقي ، التكامل المحدد

    Bioprofe | لحل متكامل | 01

    يتم تعريفها بشكل غير رسمي على أنها مساحة المنطقة في المستوى xy يحدها الرسم البياني لـ f ، والمحور x ، والخطوط الرأسية x = a و x = b ، بحيث تضيف المناطق الموجودة فوق المحور إلى الإجمالي ، والمساحة أسفل المحور x تطرح من الإجمالي.

    Bioprofe | لحل متكامل | 02

    قد يشير مصطلح التكامل أيضًا إلى مفهوم المشتق العكسي ، وهو دالة F مشتقها هو الوظيفة المعينة f. في هذه الحالة ، يطلق عليه تكامل غير محدد ويتم كتابته:

    Bioprofe | لحل متكامل | 03

    التكاملات المعروفة

    Bioprofe | لحل متكامل | 04

    Bioprofe | لحل متكامل | 05

    Bioprofe | لحل متكامل | 06

    Bioprofe | لحل متكامل | 07

    Bioprofe | لحل متكامل | 08

    Bioprofe | لحل متكامل | 09

    Bioprofe | لحل متكامل | 10

    Bioprofe | لحل متكامل | 11

    Bioprofe | لحل متكامل | 12

    Bioprofe | لحل متكامل | 13

    Bioprofe | لحل متكامل | 14

    Bioprofe | لحل متكامل | 15

    Bioprofe | لحل متكامل | 16

    Bioprofe | لحل متكامل | 17

    Bioprofe | لحل متكامل | 18

    Bioprofe | لحل متكامل | 19

    Bioprofe | لحل متكامل | 20

    التكامل عن طريق الاستبدال

    متى يمكن كتابة جزء لا يتجزأ على النحو التالي:

    Bioprofe | لحل متكامل | 21

    إذا غيرنا t = u (x) ، يتحول التكامل إلى:

    Bioprofe | لحل متكامل | 22

    تكامل اجزاء

    هذه الطريقة مفيدة في الحالات التي يمكن فيها وضع التكامل كمنتج لدالة لتفاضل واحد آخر

    Bioprofe | لحل متكامل | 23

    تكامل الوظائف المنطقية

    الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن كتابتها كنسبة بين دالتين كثيرتي الحدود.

    Bioprofe | لحل متكامل | 24

    صحيح: إذا كانت درجة المقسوم عليه أكبر من المقسوم.

    غير مناسب: إذا كانت درجة كثيرة الحدود الموزعة أكبر من أو تساوي المقسوم عليه.

    يمكن أن تتحلل أي دالة كسرية غير مناسبة إلى مجموع كثير الحدود زائد دالة كسرية مناسبة.

    Bioprofe | لحل متكامل | 25

    لذلك ، يمكن كتابة تكامل الدالة المنطقية غير الصحيحة:

    Bioprofe | لحل متكامل | 26

    لحل تكامل دالة كسرية ، يتم تحللها إلى مجموع كسور بسيطة:

    1) يتحلل المقام إلى منتج من العوامل على النحو التالي:

    Bioprofe | لحل متكامل | 27

    Bioprofe | لحل متكامل | 28

    ثم احصل على التعبير التالي:

    Bioprofe | لحل متكامل | 29

    3) يتم تحديد المعاملات A ، B ، & # 8230 ، N ، على التوالي من خلال x = a ، x = b ، إلخ.

    Bioprofe | لحل متكامل | 30

    4) تم الحصول على المعاملات ، نقوم بدمج التعبير.

    الحالة التي يكون فيها كثير الحدود للمقام جذور متعددة

    Bioprofe | لحل متكامل | 31

    Bioprofe | لحل متكامل | 32

    التكامل عن طريق الاستبدال الثلاثي

    إنه استبدال الدوال المثلثية بتعبيرات أخرى. يمكن للمرء استخدام المتطابقات المثلثية لتبسيط تكاملات معينة تحتوي على تعبيرات جذرية.

    Bioprofe | لحل متكامل | 33

    Bioprofe | لحل متكامل | 34

    Bioprofe | لحل متكامل | 35

    Bioprofe | لحل متكامل | 36

    Bioprofe | لحل متكامل | 37

    Bioprofe | لحل متكامل | 38


    سمات

    إضفاء الطابع الشخصي على التعلم باستخدام MyLab Math.

    MyLab ™ Math هو عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتبعون خطة دراسة شخصية تساعدهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة. مجموعة كاملة من شخصيات تفاعلية تمت إضافته إلى دورة MyLab Math المصاحبة لزيادة دعم التدريس والتعلم. تعيينات العينات المحسنة تتضمن مراجعة المتطلبات المسبقة في الوقت المناسب ، وتساعد في الحفاظ على المهارات جديدة من خلال الممارسة الموزعة للمفاهيم الأساسية ، وتوفر فرصًا لتمارين العمل بدون وسائل تعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل.

    ملاحظة: يتطلب هذا النص مجموعة وصول MyLab Math خاصة بالعنوان. توفر مجموعة الوصول الخاصة بالعنوان الوصول إلى Hass / Heil / Weir, توماس حساب التفاضل والتكامل ، متعدد المتغيرات 14 / هـالمصاحبة لدورة MyLab فقط.

    إشراك الطلاب بقوة حساب التفاضل والتكامل من خلال مجموعة متنوعة من موارد الوسائط المتعددة

    • الجديد! مجموعة كاملة من الأشكال التفاعلية تمت إضافته لدعم التدريس والتعلم. توضح الأرقام المفاهيم الأساسية وتسمح بالتلاعب. لقد تم تصميمها لاستخدامها في المحاضرة وكذلك من قبل الطلاب بشكل مستقل. يتم تضمين مقاطع الفيديو التي تستخدم الأشكال التفاعلية لشرح المفاهيم الأساسية. الأرقام قابلة للتحرير باستخدام برنامج GeoGebra المتاح مجانًا. تم إنشاء الأرقام بواسطة مارك رينو (جامعة شيبنسبيرغ) ، وستيف فيلبس (جامعة سينسيناتي) ، وكيفن هوبكنز (جامعة ساوث ويست المعمدانية) ، وتيم بريجنسكي (مدرسة برلين الثانوية ، كونكتيكتوس).
    • محدث! مقاطع فيديو تعليمية: تتوفر المئات من مقاطع الفيديو كأدوات مساعدة للتعلم داخل التمارين وللدراسة الذاتية. يسهّل دليل المهام المستندة إلى الفيديو تعيين مقاطع فيديو للواجب المنزلي من خلال إظهار تمارين MyLab Math التي تتوافق مع كل مقطع فيديو.
    • النص الإلكتروني الكامل متاح للطلاب من خلال دورات MyLab Math الخاصة بهم طوال عمر الإصدار ، مما يمنح الطلاب وصولاً غير محدود إلى النص الإلكتروني في أي دورة تدريبية باستخدام هذا الإصدار من الكتاب المدرسي.

    قم بتقييم فهم الطالب للمفاهيم والمهارات من خلال مجموعة واسعة من التمارين

    • تمارين مع ردود الفعل الفورية- يتم تجديد أكثر من 8080 تمرينًا مخصصًا لهذا النص بطريقة حسابية لمنح الطلاب فرصة غير محدودة للممارسة والإتقان. يوفر MyLab Math ملاحظات مفيدة عندما يقوم الطلاب بإدخال إجابات غير صحيحة ويتضمن أدوات تعليمية اختيارية بما في ذلك Help Me Solve This ، وعرض مثال ، ومقاطع الفيديو ، والنص الإلكتروني.
    • الجديد! تمارين الإعداد وحلها تطلب من الطلاب أن يصفوا أولاً كيفية إعدادهم للمشكلة والتعامل معها. يعزز هذا الفهم المفاهيمي للعملية المطبقة في التعامل مع المشكلة ، ويعزز الاحتفاظ بالمهارة على المدى الطويل ويعكس ما يتوقع من الطلاب القيام به في الاختبار.
    • الجديد!أسئلة مفاهيمية إضافية زيادة تمارين النص للتركيز على الفهم النظري الأعمق للمفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. تمت كتابة هذه الأسئلة من قبل أعضاء هيئة التدريس في جامعة كورنيل بموجب منحة NSF وهي أيضًا قابلة للتخصيص من خلال Learning Catalytics.
    • الجديد! تعيينات العينات المحسنة جعل إعداد الدورة التدريبية أسهل من خلال منح المعلمين نقطة انطلاق لكل فصل. وتشمل هذه: (أ) تمارين مراجعة المتطلبات المسبقة المخصصة في الوقت المناسب فقط (ب) الممارسة الموزعة المنتظمة للمفاهيم الأساسية (مثل قاعدة السلسلة) من أجل المساعدة في الحفاظ على المهارات جديدة ، و (ج) الإزالة الدورية لوسائل التعلم من أجل مساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل.
    • الجديد!مراجعة متكاملة لدورات MyLab الرياضيات توفير مجموعة كاملة من الموارد الداعمة لمحتوى الدورة التدريبية الرئيسية بالإضافة إلى الواجبات الإضافية والمساعدات الدراسية للطلاب الذين سيستفيدون من العلاج. تم تخصيص مهام محتوى المراجعة المتكاملة مسبقًا في MyLab Math ، مما يجعل إنشاء الدورة التدريبية الخاصة بك أسهل من أي وقت مضى.
    • محفزات التعلمتساعد ™ المدرسين في إنشاء نقاش في الفصل وتخصيص المحاضرات وتعزيز التعلم من نظير إلى نظير باستخدام تحليلات في الوقت الفعلي. كأداة لاستجابة الطلاب ، تستخدم Learning Catalytics الهواتف الذكية أو الأجهزة اللوحية أو أجهزة الكمبيوتر المحمولة للطلاب لإشراكهم في مهام وتفكير أكثر تفاعلية. محفزات التعلم تسمح لك
      • ساعد طلابك على تطوير مهارات التفكير النقدي.
      • راقب الردود لمعرفة أين يعاني طلابك.
      • اعتمد على بيانات الوقت الفعلي لتعديل استراتيجية التدريس الخاصة بك.
      • قم بتجميع الطلاب تلقائيًا للمناقشة والعمل الجماعي والتعلم من نظير إلى نظير.

      قم بتدريس حساب التفاضل والتكامل بالطريقة التي تريد تدريسها ، وعلى مستوى يُعد الطلاب لتخصصاتهم في العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات

      • يواصل المؤلف المشارك الجديد كريس هيل (معهد جورجيا للتكنولوجيا) والمؤلف المشارك جويل هاس تقليد توماس تطوير النضج الرياضي والكفاءة للطلاب، وتجاوز حفظ الصيغ والإجراءات الروتينية ، وشرح للطلاب كيفية تعميم المفاهيم الأساسية بمجرد تقديمها.
      • يحرص المؤلفون على تقديم الموضوعات الرئيسية ، مثل تعريف المشتق ، بشكل رسمي وغير رسمي. يتم تحديد التمييز بين الاثنين بوضوح مع تطوير كل منهما ، بما في ذلك شرح سبب الحاجة إلى تعريف رسمي. يتم تقديم الأفكار بأمثلة وتفسيرات بديهية يتم تعميمها بعد ذلك حتى لا يغمر الطلاب بالتجريد.
      • النتائج موضحة بعناية ومثبتة في جميع أنحاء الكتاب ، ويتم شرح البراهين ودوافعها بوضوح. سيجد الطلاب والمعلمون الذين يتابعون المواد الرسمية أنها معروضة بعناية ومفسرة على أنها التطوير غير الرسمي. إذا قرر المدرب التقليل من أهمية الإجراءات الشكلية في أي مرحلة ، فلن يتسبب ذلك في حدوث مشكلات في التطورات اللاحقة في النص.
      • جدول محتويات مرن يقسم الموضوعات إلى أقسام يمكن إدارتها ، مما يسمح للمعلمين بتصميم مقررهم الدراسي لتلبية الاحتياجات المحددة لطلابهم.
      • تغطية كاملة ودقيقة متعددة المتغيرات يعزز روابط الأفكار متعددة المتغيرات مع نظائرها ذات المتغير الفردي التي تمت دراستها مسبقًا في الكتاب.

      قم بتقييم فهم الطلاب للمفاهيم والمهارات الأساسية من خلال مجموعة واسعة من التمارين التي تم اختبارها عبر الزمن

      • مجموعات تمارين قوية تتميز بمجموعة كبيرة من المشكلات - بدءًا من مشكلات المهارات إلى المشكلات التطبيقية والنظرية - لتشجيع الطلاب على التفكير في المفاهيم وممارستها حتى يتمكنوا من إتقانها. في الإصدار الرابع عشر ، أضاف المؤلفون تمارين جديدة في جميع الأنحاء ، والعديد من التدريبات ذات الطبيعة الهندسية.
      • تمارين الكتابة وضعت في جميع أنحاء النص اطلب من الطلاب استكشاف وشرح مجموعة متنوعة من مفاهيم وتطبيقات حساب التفاضل والتكامل. بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي نهاية كل فصل على قائمة من الأسئلة للطلاب لمراجعة وتلخيص ما تعلموه. العديد من هذه التمارين تجعل مهام الكتابة جيدة.
      • تمارين التكنولوجيا (تم تمييزها بحرف T) مدرجة في كل قسم ، وتطلب من الطلاب استخدام الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر عند حل المشكلات. بالإضافة الى، استكشافات الكمبيوتر إعطاء خيار تخصيص التمارين التي تتطلب نظام الجبر الحاسوبي (CAS ، مثل Maple أو Mathematica).

      دعم الفهم الكامل لحساب التفاضل والتكامل للطلاب على مستويات مختلفة

      • تم تطوير كل موضوع رئيسي مع أمثلة بسيطة وأكثر تقدمًا لإعطاء الأفكار الأساسية وتوضيح المفاهيم الأعمق.
      • محدث! الأرقام يتم تصميمها وتقديمها لتوفير نظرة ثاقبة للطلاب ودعم التفكير المفاهيمي. في الإصدار الرابع عشر ، تمت إضافة أرقام جديدة لتعزيز الفهم وتتم مراجعة الرسومات طوال الوقت للتأكيد على التصور الواضح.
      •  المحسن! شروح ضمن الأمثلة (يظهر باللون الأزرق) يوجه الطلاب خلال حل المشكلة ويؤكد أن كل خطوة في الحجة الرياضية لها ما يبررها بشكل صارم. بالنسبة للإصدار الرابع عشر ، تمت إضافة العديد من التعليقات التوضيحية.
      • مواد نهاية الفصل تشمل أسئلة المراجعة وتمارين الممارسة التي تغطي الفصل بأكمله وسلسلة من التمارين الإضافية والمتقدمة مع مشاكل أكثر صعوبة أو تجميعية.
      • مجموعة كاملة من المكملات للمدرسين والطلاب يوفر وقت التحضير للصف للمدرسين ويحسن تعلم الطلاب.

      جديد في هذا الإصدار

      إضفاء الطابع الشخصي على التعلم باستخدام MyLab Math.

      MyLab ™ Math هو عبارة عن واجب منزلي وبرنامج تعليمي وبرنامج تقييم مصمم للعمل مع هذا النص لإشراك الطلاب وتحسين النتائج. ضمن بيئتها المنظمة ، يمارس الطلاب ما يتعلمونه ، ويختبرون فهمهم ، ويتبعون خطة دراسة شخصية تساعدهم على استيعاب مواد الدورة التدريبية وفهم المفاهيم الصعبة. مجموعة كاملة من شخصيات تفاعلية تمت إضافته إلى دورة MyLab Math المصاحبة لزيادة دعم التدريس والتعلم. تعيينات العينات المحسنة تتضمن مراجعة المتطلبات المسبقة في الوقت المناسب ، وتساعد في الحفاظ على المهارات جديدة من خلال الممارسة الموزعة للمفاهيم الأساسية ، وتوفر فرصًا لتمارين العمل بدون وسائل تعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل.

      ملاحظة: يتطلب هذا النص مجموعة وصول MyLab Math خاصة بالعنوان. توفر مجموعة الوصول الخاصة بالعنوان الوصول إلى Hass / Heil / Weir, توماس حساب التفاضل والتكامل ، متعدد المتغيرات 14 / هـالمصاحبة لدورة MyLab فقط.

      • يستمر الإصدار الجديد في توسيع خيارات التمرين الشاملة المصنفة تلقائيًا. تمت مراجعة التدريبات الموجودة مسبقًا وفحصها وتحسينها بعناية باستخدام بيانات مجمعة عن استخدام الطلاب وأدائهم بمرور الوقت.
      • مجموعة كاملة من الأشكال التفاعلية تمت إضافته لدعم التدريس والتعلم. توضح الأرقام المفاهيم الأساسية وتسمح بالتلاعب. لقد تم تصميمها لاستخدامها في المحاضرة وكذلك من قبل الطلاب بشكل مستقل. يتم تضمين مقاطع الفيديو التي تستخدم الأشكال التفاعلية لشرح المفاهيم الأساسية. الأرقام قابلة للتحرير باستخدام برنامج GeoGebra المتاح مجانًا. تم إنشاء الأرقام بواسطة مارك رينو (جامعة شيبنسبيرغ) ، وستيف فيلبس (جامعة سينسيناتي) ، وكيفن هوبكنز (جامعة ساوث ويست المعمدانية) ، وتيم بريجنسكي (مدرسة برلين الثانوية ، كونكتيكتوس).
      • تمارين الإعداد وحلها مطالبة الطلاب بإعداد المشكلة أولاً ثم حلها. يتطابق هذا بشكل أفضل مع ما يُطلب منهم القيام به في الاختبارات ويعزز الاحتفاظ بالمهارة على المدى الطويل.
      • أسئلة مفاهيمية إضافية زيادة تمارين النص للتركيز على الفهم النظري الأعمق للمفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل. تمت كتابة هذه الأسئلة من قبل أعضاء هيئة التدريس في جامعة كورنيل بموجب منحة NSF وهي أيضًا قابلة للتخصيص من خلال Learning Catalytics.
      • تعيينات العينات المحسنة صُممت لتعظيم أداء الطلاب في الدورة. تتضمن هذه المهام على مستوى القسم ما يلي: (أ) تمارين مراجعة المتطلبات المسبقة الشخصية في الوقت المناسب (ب) الممارسة المنتظمة الموزعة للمفاهيم الأساسية (مثل قاعدة السلسلة) من أجل المساعدة في الحفاظ على المهارات جديدة ، و (ج) الإزالة الدورية من الوسائل التعليمية لمساعدة الطلاب على تنمية الثقة في قدرتهم على حل المشكلات بشكل مستقل. توفير مجموعة كاملة من الموارد الداعمة لمحتوى الدورة التدريبية الرئيسية بالإضافة إلى الواجبات الإضافية والمساعدات الدراسية للطلاب الذين سيستفيدون من العلاج. تم تخصيص مهام محتوى المراجعة المتكاملة مسبقًا في MyLab Math ، مما يجعل إنشاء الدورة التدريبية الخاصة بك أسهل من أي وقت مضى.
      • المزيد من التدريبات القابلة للتخصيص - يتوفر للمدرسين الآن تمارين أكثر من أي وقت مضى للاختيار من بينها في تعيين الواجبات المنزلية. يوجد ما يقرب من 8080 تمرينًا قابلاً للتخصيص في MyLab Math.
      • المزيد من مقاطع الفيديو التعليمية - أكثر من 200 مقطع فيديو تعليمي جديد ، يضم جريج ويسلوسكي ودان راديليت (كلاهما من جامعة إنديانا في بنسلفانيا) ، يزيد من المجموعة القوية بالفعل داخل الدورة. تدعم مقاطع الفيديو هذه النهج العام للنص - على وجه التحديد ، تتجاوز الإجراءات الروتينية لتوضح للطلاب كيفية تعميم المفاهيم الأساسية وربطها.

      أعاد المؤلفان المشاركان جويل هاس وكريس هيل النظر في كل كلمة ورمز وقطعة فنية ، مما حفز الطلاب على النظر في المحتوى من وجهات نظر مختلفة وإجبارهم على فهم هندسي أعمق.


      حساب الأعمال مع Excel

      لقد نظرنا إلى التكامل المحدد باعتباره المنطقة الموقعة أسفل المنحنى. يتيح لنا ذلك حساب إجمالي الربح ، أو الإيرادات ، أو التكلفة ، من الوظائف الهامشية ذات الصلة. لقد نظرنا في عدد من التطبيقات حيث تم تفسير ذلك على أنه تراكم بمرور الوقت ، بما في ذلك إجمالي إنتاج بئر نفط والقيمة الحالية لتدفق الإيرادات. بالنسبة لبعض التطبيقات ، نريد أن ننظر إلى المنطقة الواقعة بين منحنيين. على سبيل المثال ، اعتبار الربح هو المنطقة الواقعة بين منحنيات التكلفة والإيرادات.

      في هذا القسم سنلقي نظرة على المزيد من التطبيقات من المالية والاقتصاد حيث يمكن بسهولة وصف المفاهيم من حيث المنطقة بين المنحنيات.

      عندما نظرنا إلى منحنيات العرض والطلب وجدنا نقطة توازن حيث كان المبلغ المعروض للبيع مساوياً للمبلغ الذي يريد الناس شرائه.

      ومع ذلك ، في هذا النموذج ، كان هناك أشخاص على استعداد للبيع بسعر أقل من سعر التوازن وأشخاص كانوا على استعداد للشراء بأكثر من سعر التوازن. هؤلاء الأشخاص حصلوا على صفقة جيدة بشكل استثنائي في الصفقة. نود قياس هذه الفائدة ، حيث يمكننا اعتبارها ربحًا إضافيًا يحققه الموردون والمشترين في المعاملة. نلاحظ أن كل جانب سيكون لديه حافز لتعظيم هذه الفائدة.

      ركز أولاً على جانب المستهلك. تقيس المنطقة تحت دالة الطلب ، من 0 إلى الكمية المباعة ، رغبة المستهلكين في الإنفاق. المساحة الموجودة في المستطيل والتي لها نفس القاعدة والارتفاع المساوي لسعر البيع تقيس الإنفاق الاستهلاكي الفعلي. الفرق بين الاثنين هو كمية نسميها.

      وطالما ظل السعر على منحنى دالة الطلب ، فإن السعر المنخفض يعني زيادة الكمية المباعة وزيادة فائض المستهلك.

      بطريقة مماثلة ، يمكننا التركيز على جانب المنتج. المنطقة تحت دالة العرض ، من 0 إلى الكمية المباعة ، تقيس حاجة المنتجين للإيرادات. المساحة الموجودة في المستطيل والتي لها نفس القاعدة والارتفاع المساوي لسعر البيع تقيس إيرادات المنتج الفعلية. الفرق بين الاثنين هو كمية نسميها.

      طالما ظل السعر على منحنى دالة العرض ، فإن السعر الأعلى يعني بيع كمية أكبر وفائض منتج أكبر. ضع في اعتبارك أولاً مثالاً تكون فيه وظائف العرض والطلب بسيطة بدرجة كافية بحيث يمكن إجراء جميع الحسابات يدويًا.

      مثال 7.8.1. فائض المنتج مع الوظائف الخطية.

      أحاول بيع الأدوات وحددت وظائف العرض والطلب على النحو التالي:

      أوجد سعر وكمية التوازن. ابحث عن فوائض المنتج والمستهلك عند بيع القمصان بسعر التوازن. إذا كان المنتجون يشكلون كارتلًا ، فابحث عن السعر الذي يزيد من فائض المنتج.

      : من خلال تحديد سعر العرض وسعر الطلب مع بعضهما البعض ، نجد كمية توازن تبلغ 34 وسعر توازن 38. تصبح الصيغ الخاصة بفائض المستهلك والمنتج:

      لتقييم التكاملات ، يمكننا أن نلاحظ أن كلًا منها عبارة عن مثلث للقاعدة 34. أحدهما يبلغ ارتفاعه 34 والآخر يبلغ ارتفاعه 68. وباستخدام الهندسة ، يكون فائض المستهلك هو 1،156 دولارًا وفائض المنتج 578 دولارًا.

      لإيجاد فائض المنتج الأقصى ، نحتاج إلى تحويل نقطة النهاية إلى متغير. إذا كان المنتجون بمثابة كارتل

      يمكننا إيجاد الحد الأقصى من هذا بأخذ مشتقه وضبطه على 0. الحد الأقصى يحدث عندما (x = frac <102> <5> = 20.4 text <.> ) عند هذه النقطة يكون فائض المنتج 1040.40 دولارًا أمريكيًا

      نجرب الآن مثالاً نحتاج فيه إلى تقنيات أخرى لتقييم التكاملات.

      مثال 7.8.2. فائض المنتج مع التكامل الرقمي.

      قام متجر يحاول بيع القمصان في الحرم الجامعي بتحديد وظائف العرض والطلب على النحو التالي:

      أوجد سعر وكمية التوازن. ابحث عن فوائض المنتج والمستهلك عند بيع القمصان بسعر التوازن.

      : نقوم بتحميل وظائف سعر العرض والطلب في برنامج Excel ونستخدم Goal Seek لإيجاد سعر التوازن. بالتقريب إلى أقرب وحدة للكمية والسنت للسعر ، لدينا سعر توازن قدره 10.45 دولارًا أمريكيًا لكمية 222 قميصًا.

      ثم نستبدل هذه القيم في معادلات فائض المستهلك والمنتج.

      لتقييم هذه التكاملات ، نستخدم إما تقريب مجموع Riemann ، مثل الموجود في نموذج ورقة العمل ، أو نستخدم Wolfram Alpha. في كلتا الحالتين ، بالتقريب إلى أقرب دولار ، لدينا فائض للمستهلك قدره 372 دولارًا وفائض منتج قدره 191 دولارًا.

      يشار إلى مجموع فائض المستهلك وفائض المنتج باسم. عندما نظرنا إلى فائض المستهلكين ، افترضنا أن المبيعات قد تم تحديدها حسب العرض وأن نقطة السعر والكمية كانت على منحنى العرض. وبالمثل ، عند النظر إلى فائض المنتجين ، نفترض أن السعر قد تم تحديده حسب الطلب وأن نقطة السعر والكمية كانت على منحنى الطلب. إذا كان كلا الجانبين مكونًا من العديد من الأفراد الذين يتصرفون بشكل مستقل ، فإن نقطة كمية السعر هي نقطة التوازن ، والتي تقع على كلا المنحنيين. البيع في تلك المرحلة يزيد أيضًا من إجمالي المكاسب الاجتماعية.

      ومع ذلك ، إذا كان بإمكان المنتجين أو المستهلكين التنظيم والعمل كوحدة واحدة ، فيمكنهم تكوين كارتل والحد من الكمية المباعة. إذا شكل المنتجون كارتلًا ، فيمكنهم خفض الإنتاج ورفع السعر.

      كما نرى من الصورة ، فإن هذا يقلل دائمًا من إجمالي المكاسب الاجتماعية. ومع ذلك ، بالنسبة لبعض التخفيضات في الكمية ، يتم زيادة فائض المنتجين. في معادلة فائض المنتج ، يكون السعر (p_s ) هو (الطلب الوظيفة (q_s) ) بدلاً من (العرض الوظيفة (q_s) text <.> ) إذا انخفضت الكمية كثيرًا ، المنتج سوف ينخفض ​​الفائض أيضًا.

      مثال 7.8.3. حساب خسارة المكاسب الاجتماعية.

      قام متجر يحاول بيع القمصان في الحرم الجامعي بتحديد وظائف العرض والطلب على النحو التالي:

      يحتكر صاحب المتجر الحرم الجامعي ويقرر قصر الكمية المباعة على 200 قميص وشحن ما سيتحمله السوق. ابحث عن السعر وفائض المنتج وفائض المستهلك. ابحث عن هذه الأرقام إذا قرر المالك قصر المبيعات على 50. كم عدد القمصان التي يجب على المالك بيعها وبأي سعر لزيادة فائض المنتج إلى الحد الأقصى؟ إذا تم تعظيم فائض المنتج ، فكم يتم تقليل إجمالي المكاسب الاجتماعية؟

      : الصيغ المتضمنة للعرض والطلب هي نفسها التي استخدمناها في المثال 2. مع تعديل طفيف إذا كانت ورقة العمل من هذا المثال يمكننا تعيينها لحساب مجاميع ريمان التي تقارب الفوائض. على وجه الخصوص ، نستخدم دالة الطلب لإيجاد ارتفاع فائض المنتج. (انظر الخلية D7.)

      إذا أردنا بيع 200 قميص فقط ، فيمكننا رفع السعر من 10.45 دولارًا إلى 10.50 دولارات. ارتفع فائض المنتج من 191 دولارًا إلى 199 دولارًا. ومع ذلك ، انخفض فائض المستهلك من 372 دولارًا أمريكيًا إلى 362 دولارًا أمريكيًا.

      إذا أردنا بيع 50 قميصًا فقط ، فيمكننا رفع السعر من 10.45 دولارًا أمريكيًا إلى 11.92 دولارًا أمريكيًا. انخفض فائض المنتج من 191 دولارًا إلى 174 دولارًا. انخفض فائض المستهلك من 372 دولارًا إلى 230 دولارًا.

      يمكننا استخدام حلال لتعظيم فائض المنتج عن طريق تغيير الكمية. تزيد الكمية 140 من فائض المنتج إلى الحد الأقصى عند 210 دولارات ، ولكن هذا يؤدي إلى انخفاض إجمالي المكاسب الاجتماعية إلى 537 دولارًا من 563 دولارًا.

      وبالمثل ، إذا كان المستهلكون يشكلون كارتلًا ، فيمكنهم تقليل الطلب بشكل مصطنع. نظرًا لأنهم سيدفعون سعر العرض بعد ذلك ، فسوف ينخفض ​​إجمالي المكاسب الاجتماعية ، ولكن قد يزداد فائض المستهلكين. في هذه الحالة يكون فائض المستهلك جزءًا لا يتجزأ من الفرق بين دالة الطلب وسعر العرض للكمية التي سيتم بيعها.

      في المثال الذي نظرنا إليه للتو ، كل من منحني العرض والطلب لهما منحدر صغير ، وبالتالي فإن السوق مرن للغاية من وجهة نظر المنتجين والمستهلكين. في مثل هذه الحالة ، يكون هناك حافز أقل لتشكيل كارتل. في الأسواق الأخرى ، مثل الغاز والنفط ، حيث السوق أكثر مرونة ، هناك حافز أكبر للانخراط في الممارسات الاحتكارية.

      السؤال الذي يطرح نفسه في علم الاقتصاد ينظر في المساواة في الدخل أو توزيع الثروة في بلد ما. في النظريات الاقتصادية القياسية ، يشير إما الكثير جدًا أو القليل جدًا من الأسهم إلى الافتقار إلى الفرص وهو عائق أمام النمو. ومع ذلك ، قبل التمكن من معالجة مزايا أو عيوب مستوى من عدم المساواة ، نحتاج إلى أن نكون قادرين على تحديد مستوى الإنصاف أو عدم المساواة. الطريقة القياسية هي استخدام و.

      يتم تعريف منحنى لورنز من خلال دالة (L (x) text <،> ) مع (0 le x le 1 text <،> ) التي تقيس نسبة الشيء الذي يحتفظ به الجزء السفلي (x ) نسبة السكان. وبالتالي ، إذا كان (L (0.2) =. 1 text <،> ) لدالة لورنز للدخل في بلد ما ، فإن أدنى 20٪ من السكان يكسبون 10٪ من الدخل في البلد. نظرًا لأنه ، وفقًا للتعريفات المعتادة ، لا يمكن أن يحصل الشخص على دخل سلبي ، فإن وظائف لورنز غير سلبية وتتزايد. نظرًا لأنه يتم قياس وظائف Lorenz من الأسفل ، فلدينا أيضًا (L (x) le x ) لجميع (x text <.> )

      يمكننا تقديم المزيد من الملاحظات. السكان ككل لديهم الدخل الكامل للسكان. مجموعة فارغة من السكان ليس لديها أي دخل للسكان. أي شريحة سفلية سيكون لها دخل غير سلبي. في الصيغ ، تصبح هذه الملاحظات (L (1) = 1 text <،> ) (L (0) = 0 text <،> ) و (L (x) ge 0 text <،> ) لجميع (س نص <،> ) على التوالي.

      إذا كان لدينا إنصاف كامل ، فستكون دالة Lorenz الخاصة بنا (L (x) = x text <.> ) أي منحنى لورنز نجده لسكان حقيقيين سيكون أسفل هذا المنحنى. يقيس مؤشر جيني (أو معامل جيني) النسبة المئوية التي يكون فيها منحنى لورنز الحقيقي أقل من المنحنى المثالي.

      من الناحية العملية ، غالبًا ما يتم ضرب هذا الرقم في 100 ، والإبلاغ عن النسبة المئوية (0 إلى 100) بدلاً من النسبة (0 إلى 1) للمنطقة تحت الوظيفة المثالية وفوق الوظيفة المقاسة.

      مثال 7.8.4. مؤشر جيني مع صيغة لتوزيع الدخل.

      يُعطى منحنى لورنز للدخل في بلد معين بواسطة (L (x) =. 8x ^ 3 + .2x text <.> ) ما هي نسبة الدخل التي يحصل عليها النصف السفلي من السكان؟ ابحث عن فهرس جيني.

      : لإيجاد النسبة التي حصل عليها النصف السفلي من السكان ، نستبدل 0.5 في المعادلة.

      وبالتالي فإن الـ 50٪ الأدنى من السكان يكسبون 20٪ من إجمالي الدخل. لحساب فهرس جيني ، نحسب:

      لذا فإن مؤشر جيني في هذا البلد الافتراضي هو 40. لوضع هذا الرقم في السياق ، كان مؤشر جيني المبلغ عنه للولايات المتحدة في عام 2009 هو 46.8.

      من الناحية العملية ، يعد مؤشر جيني تطبيقًا حيث يكون التقريب العددي للتكامل هو الطريقة التي يُرجح استخدامها على الأرجح. من غير المحتمل أن نحصل على صيغة لتوزيع الدخل. بدلاً من ذلك ، من المحتمل أن نجد نقاط البيانات. نظرًا لعدم وجود نموذج جيد لكيفية توزيع الدخل ، يمكننا ببساطة ربط النقاط بأجزاء مستقيمة وإيجاد المنطقة باستخدام صيغة المنطقة لشبه المنحرف.

      مثال 7.8.5. مؤشر جيني مع رسم بياني لتوزيع الدخل.

      لدينا البيانات التالية من مكتب الإحصاء حول توزيع الدخل في الولايات المتحدة في عام 2008. احسب مؤشر جيني.

      : نذكر أن مساحة شبه المنحرف هي (العرض) (متوسط ​​الارتفاع). نضع البيانات في جدول بيانات.

      ثم نقوم بتقييم الصيغ.

      بالنسبة المئوية ، يُقارب مؤشر جيني عند 45.

      تمارين تمارين: تطبيقات الأعمال للمشاكل المتكاملة

      للتمارين من 1 إلى 6 ، افترض أن لدينا سوقًا حرًا وأن البضائع تُباع عند توازن السوق. ابحث عن فائض المستهلك وفائض المنتج والمكاسب الاجتماعية الإجمالية.

      (SupplyPrice (q) = 50 + q / 2 ) و (سعر الطلب (q) = 150-q / 5 text <.> )

      يتقاطع المنحنىان عند نقطة توازن السوق ، ( left (< frac <1000> <7> ، frac <850> <7>> right) text <.> )

      (SupplyPrice (q) = ln (q + 10) ) و (سعر الطلب (q) = 100-q text <.> )

      (SupplyPrice (q) = 50 (1- (0.99) ^ q) ) و (سعر الطلب (q) = 100 (0.99) ^ q text <.> )

      يتقاطع المنحنىان عند نقطة توازن السوق ((109.31، 33.33) text <.> )

      (سعر التوريد (ف) = 50 (1- (0.95) ^) و (سعر الطلب (q) = 150 (0.95) ^ نص <.> )

      يتقاطع المنحنىان عند نقطة توازن السوق ((37.958، 72.042) text <.> )

      يجب أن يتم التكامل في جزأين مع وجود فاصل عند 10.

      افترض سعر التوريد (q) = 30 + q وسعر الطلب (q) = 170-q.

      أوجد فائض المستهلك وفائض المنتج والمكاسب الاجتماعية الكلية عند توازن السوق.

      إذا استطاع المنتجون تكوين كارتل وقصر الكمية المتاحة على 50 ، وبيعها بسعر العرض مقابل 50 ، فما هو فائض المستهلك ، وفائض المنتج ، والمكاسب الاجتماعية الإجمالية؟

      ابحث عن السعر الذي سيزيد فيه كارتل المنتج من فائض المنتج. ابحث عن فائض المنتج عند هذا السعر.

      يتقاطع المنحنىان عند نقطة توازن السوق ، ((70، 100) text <.> )

      صيغة فائض المنتج عند x هي

      نلاحظ أن x ثابت للتكامل. وهكذا نحصل عليه

      يبلغ الحد الأقصى لفائض المنتج 3266.67 ، ويتحقق عندما يكون q 46.67

      افترض سعر التوريد (q) = 10 + q / 2 وسعر الطلب (q) = 110-q / 3.

      أوجد فائض المستهلك وفائض المنتج والمكاسب الاجتماعية الكلية عند توازن السوق.

      إذا استطاع المنتجون تكوين كارتل وقصر الكمية المتاحة على 400 ، وبيع بسعر العرض مقابل 400 ، فما هو فائض المستهلك ، وفائض المنتج ، والمكاسب الاجتماعية الإجمالية؟

      ابحث عن السعر الذي سيزيد فيه كارتل المنتج من فائض المنتج. ابحث عن فائض المنتج عند هذا السعر.

      افترض (سعر التوريد (q) = 10 + q ^ 2 ) و (سعر الطلب (q) = 210-q ^ 2 text <.> )

      أوجد فائض المستهلك وفائض المنتج والمكاسب الاجتماعية الكلية عند توازن السوق.

      إذا كان بإمكان المنتجين تكوين كارتل وقصر الكمية المتاحة على 5 ، بيع بسعر الطلب مقابل 5 (بسعر 185) ، فما هو فائض المستهلك ، وفائض المنتج ، والمكاسب الاجتماعية الإجمالية؟

      ابحث عن السعر الذي سيزيد فيه كارتل المنتج من فائض المنتج. ابحث عن فائض المنتج عند هذا السعر.

      يتقاطع المنحنىان عند نقطة توازن السوق ((10، 110) text <.> )

      صيغة فائض المنتج في (س ) هـ هي

      لسنا أن x ثابت للتكامل. وهكذا نحصل عليه

      للعثور على فائض المنتج الأقصى ، نأخذ مشتق الوظيفة أعلاه ونرى أنه صفر عند ( sqrt <50> text <.> ) الحد الأقصى لفائض المنتج هو 942.81 ، يتحقق عندما يكون q هو ( sqrt <50> )

      ضع في اعتبارك منحنى لورنز (L (x) = 0.2x + 0.8x ^ 2 text <.> ) ابحث عن فهرس جيني.

      ضع في اعتبارك منحنى لورنز (L (x) =. 03x + 0.7x ^ 4 text <.> ) ابحث عن فهرس جيني.

      تقوم بالبحث عن بلد ما وتجد المعلومات التالية حول حصة الدخل:

      حساب تقريب لمؤشر جيني.

      تقوم بالبحث عن بلد ما وتجد المعلومات التالية حول حصة الدخل:

      حساب تقريب لمؤشر جيني.

      نحن نقرب المنطقة باستخدام خطوط مستقيمة بين النقطة المحددة واستخدام شبه المنحرف لمنطقة المقطع. نحتاج بعد ذلك إلى الضرب في 2 ، لأننا نريد النسبة المئوية تحت خط القطر ، وضربها في 100 لتنتقل من النسبة المئوية إلى النسب المئوية.


      شاهد الفيديو: integratie door splitsing en substitutie (شهر اكتوبر 2021).