مقالات

2.2: معادلات قابلة للفصل


المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي قابل للفصل إذا كان يمكن كتابته كـ

[ label {eq: 2.2.1} h (y) y '= g (x)، ]

حيث يكون الجانب الأيسر ناتجًا عن (y ') ووظيفة (y ) والجانب الأيمن هو دالة (x ). تسمى إعادة كتابة المعادلة التفاضلية القابلة للفصل بهذا الشكل فصل المتغيرات. في القسم 2.1 ، استخدمنا فصل المتغيرات لحل المعادلات الخطية المتجانسة. في هذا القسم سنطبق هذه الطريقة على المعادلات غير الخطية.

لمعرفة كيفية حل المعادلة ref {eq: 2.2.1} ، دعنا نفترض أولاً أن (y ) هو حل. لنفترض أن (G (x) ) و (H (y) ) هما مشتقات عكسية لـ (g (x) ) و (h (y) ) ؛ هذا هو،

[ label {eq: 2.2.2} H '(y) = h (y) quad text {and} quad G' (x) = g (x). ]

ثم ، من قاعدة السلسلة ،

[{d over dx} H (y (x)) = H '(y (x)) y' (x) = h (y) y '(x). nonumber ]

لذلك فإن المعادلة المرجع {eq: 2.2.1} تعادل

[{d over dx} H (y (x)) = {d over dx} G (x). nonumber ]

ينتج عن تكامل طرفي هذه المعادلة والجمع بين ثوابت التكامل

[ label {eq: 2.2.3} H (y (x)) = G (x) + c. ]

على الرغم من أننا اشتقنا هذه المعادلة على افتراض أن (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.1} ، يمكننا الآن عرضها بشكل مختلف: أي دالة قابلة للتفاضل (y ) تفي بالمعادلة المرجع { مكافئ: 2.2.3} لبعض الثوابت (c ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.1}. لمعرفة ذلك ، نفرق بين طرفي المعادلة المرجع {eq: 2.2.3} ، باستخدام قاعدة السلسلة على اليسار ، للحصول على

[H '(y (x)) y' (x) = G '(x)، nonumber ]

وهو ما يعادل

[h (y (x)) y '(x) = g (x) nonumber ]

بسبب المعادلة المرجع {eq: 2.2.2}.

في الختام ، لحل المعادلة المرجع {eq: 2.2.1} يكفي العثور على الدالات (G = G (x) ) و (H = H (y) ) التي تفي بالمعادلة المرجع {eq: 2.2 .2}. إذن ، أي دالة قابلة للتفاضل (y = y (x) ) تتوافق مع المعادلة المرجع {eq: 2.2.3} هي حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.1}.

مثال ( PageIndex {1} )

حل المعادلة

[y '= x (1 + y ^ 2). لا يوجد رقم ]

المحلول

ينتج عن فصل المتغيرات

[{y ' أكثر من 1 + y ^ 2} = س. لا يوجد رقم ]

دمج الغلة

[ tan ^ {- 1} y = {x ^ 2 over2} + c nonumber ]

وبالتالي

[y = tan left ({x ^ 2 over2} + c right). لا يوجد رقم ]

مثال ( PageIndex {2} )

  1. حل المعادلة [ label {eq: 2.2.4} y '= - {x over y}. ]
  2. حل مشكلة القيمة الأولية [ label {eq: 2.2.5} y '= - {x over y}، quad y (1) = 1. ]
  3. حل مشكلة القيمة الأولية [ label {eq: 2.2.6} y '= - {x over y}، quad y (1) = - 2. ]

الحل أ

ينتج عن فصل المتغيرات في المعادلة المرجع {eq: 2.2.4}

[yy '= - x. لا يوجد رقم ]

دمج الغلة

[{y ^ 2 over2} = - {x ^ 2 over2} + c، quad text {أو ما يعادله} quad x ^ 2 + y ^ 2 = 2c. لا يوجد رقم ]

توضح المعادلة الأخيرة أن (c ) يجب أن يكون موجبًا إذا كان (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.4} في فترة مفتوحة. لذلك ندع (2c = a ^ 2 ) (with (a> 0 )) وأعد كتابة المعادلة الأخيرة كـ

[ label {eq: 2.2.7} x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2. ]

هذه المعادلة لها حلين قابلين للتفاضل لـ (ص ) بدلالة (س ):

[ label {eq: 2.2.8} y = phantom {-} sqrt {a ^ 2-x ^ 2}، quad -a

و

[ label {eq: 2.2.9} y = - sqrt {a ^ 2-x ^ 2}، quad -a

منحنيات الحل المحددة بواسطة المعادلة المرجع {eq: 2.2.8} عبارة عن أنصاف دائرة فوق محور (x ) - وتلك التي تم تحديدها بواسطة المعادلة ref {eq: 2.2.9} هي نصف دائرة أسفل (x ) - المحور (الشكل ( PageIndex {1} )).

الحل ب

يكون حل المعادلة ref {eq: 2.2.5} موجبًا عندما (x = 1 )؛ ومن ثم ، فهي من صيغة المعادلة المرجع {eq: 2.2.8}. استبدال (x = 1 ) و (y = 1 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.2.7} للوفاء بالعائد الأولي للشرط (a ^ 2 = 2 ) ؛ ومن ثم ، فإن حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.5} هو

[y = sqrt {2-x ^ 2}، quad - sqrt {2}

الحل ج

يكون حل المعادلة ref {eq: 2.2.6} سالبًا عندما يكون (x = 1 ) وبالتالي يكون من صيغة المعادلة ref {eq: 2.2.9}. استبدال (x = 1 ) و (y = -2 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.2.7} للوفاء بالشرط الأولي ينتج (a ^ 2 = 5 ). ومن ثم ، فإن حل المعادلة ref {eq: 2.2.6} هو

[y = - sqrt {5-x ^ 2}، quad - sqrt {5}

الحلول الضمنية للمعادلات المنفصلة

في الأمثلة ( PageIndex {1} ) و ( PageIndex {2} ) تمكنا من حل المعادلة (H (y) = G (x) + c ) للحصول على صيغ صريحة لحلول المعادلات التفاضلية القابلة للفصل. كما سنرى في المثال التالي ، هذا ليس ممكنًا دائمًا. في هذه الحالة ، يجب أن نوسع تعريفنا لحل المعادلة القابلة للفصل. توفر النظرية التالية الأساس لهذا التعديل. نحذف البرهان ، الذي يتطلب نتيجة من حساب التفاضل والتكامل المتقدم يسمى نظرية الوظيفة الضمنية.

Theorem ( PageIndex {1} ): نظرية دالة ضمنية

لنفترض أن (g = g (x) ) مستمر في ((a، b) ) و (h = h (y) ) مستمر على ((c، d). ) دعنا ( G ) يكون مشتقًا عكسيًا لـ (g ) في ((أ ، ب) ) واجعل (ح ) مشتقًا عكسيًا لـ (ح ) في ((ج ، د). ) دعنا (x_0 ) تكون نقطة عشوائية في ((a، b)، ) دع (y_0 ) تكون نقطة في ((c، d) ) بحيث (h (y_0) ne0، ) وتعريف

[ label {eq: 2.2.10} c = H (y_0) -G (x_0). ]

ثم هناك دالة (y = y (x) ) محددة في فاصل زمني مفتوح ((a_1، b_1)، ) حيث (a le a_1

[ label {eq: 2.2.11} H (y) = G (x) + c ]

لـ (a_1

[ label {eq: 2.2.12} h (y) y '= g (x)، quad y (x_0) = x_0. ]

من المناسب أن نقول أن المعادلة المرجع {eq: 2.2.11} مع (c ) تعسفي هي حل ضمني من (ح (ص) ص '= ز (س) ). المنحنيات المحددة بواسطة المعادلة المرجع {eq: 2.2.11} هي منحنيات متكاملة لـ (h (y) y '= g (x) ). إذا كان (c ) يفي بالمعادلة المرجع {eq: 2.2.10} ، فسنقول أن المعادلة المرجع {eq: 2.2.11} هي الحل الضمني لمشكلة القيمة الأولية المعادلة المرجع {eq: 2.2.12}. ومع ذلك ، ضع هذه النقاط في الاعتبار:

  • بالنسبة لبعض خيارات (c ) ، قد لا تكون هناك أي دالات قابلة للتفاضل (y ) تتوافق مع المعادلة المرجع {eq: 2.2.11}.
  • الدالة (y ) في المعادلة المرجع {eq: 2.2.11} (ليست المعادلة المرجع {eq: 2.2.11} نفسها) هي حل (h (y) y '= g (x) ).

مثال ( PageIndex {3} )

  1. ابحث عن حلول ضمنية لـ [ label {eq: 2.2.13} y '= {2x + 1 over5y ^ 4 + 1}. ]
  2. ابحث عن حل ضمني لـ [ label {eq: 2.2.14} y '= {2x + 1 over5y ^ 4 + 1}، quad y (2) = 1. ]

الحل أ

ينتج عن فصل المتغيرات

[(5y ^ 4 + 1) y '= 2x + 1. لا يوجد رقم ]

ينتج عن التكامل الحل الضمني

[ label {eq: 2.2.15} y ^ 5 + y = x ^ 2 + x + c. ]

من المعادلة المرجع {eq: 2.2.13}.

الحل ب

يؤدي فرض الشرط الأولي (y (2) = 1 ) في المعادلة المرجع {eq: 2.2.15} إلى إنتاج (1 + 1 = 4 + 2 + c ) ، لذلك (c = -4 ). وبالتالي

[y ^ 5 + y = x ^ 2 + x-4 nonumber ]

هو حل ضمني لمشكلة القيمة الأولية المعادلة المرجع {eq: 2.2.14}. على الرغم من أن أكثر من دالة واحدة قابلة للتفاضل (y = y (x) ) تفي بالمعادلة المرجع {eq: 2.2.13} بالقرب من (x = 1 ) ، إلا أنه يمكن إثبات أن هناك وظيفة واحدة فقط ترضي الشرط الأولي (ص (1) = 2 ). يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 2.2.13}.

الحلول الثابتة للمعادلات المنفصلة

معادلة الشكل

[y '= g (x) p (y) nonumber ]

يمكن فصله ، حيث يمكن إعادة كتابته كـ

[{1 over p (y)} y '= g (x). لا يوجد رقم ]

ومع ذلك ، فإن القسمة على (p (y) ) غير شرعية إذا (p (y) = 0 ) لبعض قيم (y ). يوضح المثالان التاليان كيفية التعامل مع هذه المشكلة.

مثال ( PageIndex {4} )

ابحث عن كل حلول

[ label {eq: 2.2.16} y '= 2xy ^ 2. ]

المحلول

هنا يجب أن نقسم على (p (y) = y ^ 2 ) لفصل المتغيرات. هذا ليس شرعيًا إذا كان (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.16} الذي يساوي صفرًا لبعض قيم (x ). يمكن إيجاد أحد هذه الحلول عن طريق الفحص: (y equiv 0 ). افترض الآن أن (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.16} الذي لا يساوي صفرًا. نظرًا لأن (y ) مستمر ، يجب أن يكون هناك فاصل لا يكون فيه (y ) صفرًا. نظرًا لأن القسمة على (y ^ 2 ) شرعية لـ (x ) في هذه الفترة ، يمكننا فصل المتغيرات في المعادلة المرجع {eq: 2.2.16} للحصول على

[{y ' أكثر من y ^ 2} = 2x. لا يوجد رقم ]

دمج هذا ينتج

[- {1 أكثر من y} = x ^ 2 + c، non number ]

وهو ما يعادل

[ label {eq: 2.2.17} y = - {1 over x ^ 2 + c}. ]

لقد أوضحنا الآن أنه إذا كان (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.16} الذي لا يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون (y ) بصيغة المعادلة المرجع {eq: 2.2 .17}. باستبدال المعادلة المرجع {eq: 2.2.17} في المعادلة المرجع {eq: 2.2.16} ، يمكنك التحقق من أن المعادلة ref {eq: 2.2.17} هي حل المعادلة المرجع {eq: 2.2. 16}. وبالتالي ، فإن حلول المعادلة المرجع {eq: 2.2.16} هي (y equiv0 ) ووظائف معادلة النموذج المرجع {eq: 2.2.17}. لاحظ أن الحل (y equiv0 ) ليس بالصيغة المعادلة ref {eq: 2.2.17} لأي قيمة (c ).

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة المرجع {eq: 2.2.16}

مثال ( PageIndex {5} )

ابحث عن كل حلول

[ label {eq: 2.2.18} y '= {1 over2} x (1-y ^ 2). ]

هنا يجب أن نقسم على (p (y) = 1-y ^ 2 ) لفصل المتغيرات. هذا ليس شرعيًا إذا كان (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.18} الذي يساوي ( pm1 ) لبعض قيم (x ). يمكن إيجاد حلين من هذا القبيل عن طريق الفحص: (y equiv 1 ) و (y equiv-1 ). افترض الآن أن (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.18} بحيث لا يكون (1-y ^ 2 ) صفرًا تمامًا. نظرًا لأن (1-y ^ 2 ) مستمر ، يجب أن يكون هناك فاصل زمني لا يكون فيه (1-y ^ 2 ) صفرًا مطلقًا. نظرًا لأن القسمة على (1-y ^ 2 ) شرعية لـ (x ) في هذه الفترة ، يمكننا فصل المتغيرات في المعادلة المرجع {eq: 2.2.18} للحصول على

[{2y ' أكثر من y ^ 2-1} = - x. لا يوجد رقم ]

ينتج عن التوسع الجزئي لكسر على اليسار

[ left [{1 over y-1} - {1 over y + 1} right] y '= - x، nonumber ]

ودمج الغلة

[ ln left | {y-1 over y + 1} right | = - {x ^ 2 over2} + k ؛ لا يوجد رقم ]

بالتالي،

[ left | {y-1 over y + 1} right | = e ^ ke ^ {- x ^ 2/2}. لا يوجد رقم ]

نظرًا لأن (y (x) ne pm1 ) لـ (x ) في الفاصل الزمني قيد المناقشة ، لا يمكن تغيير تسجيل الكمية ((y-1) / (y + 1) ) في هذا الفاصل الزمني. لذلك يمكننا إعادة كتابة المعادلة الأخيرة بالصيغة

[{y-1 over y + 1} = ce ^ {- x ^ 2/2}، nonumber ]

حيث (c = pm e ^ k ) ، اعتمادًا على علامة ((y-1) / (y + 1) ) على الفاصل الزمني. حل لعوائد (ص )

[ label {eq: 2.2.19} y = {1 + ce ^ {- x ^ 2/2} over 1-ce ^ {- x ^ 2/2}}. ]

لقد أوضحنا الآن أنه إذا كان (y ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.18} الذي لا يساوي ( pm1 ) ، فيجب أن يكون (y ) كما في المعادلة المرجع {eq: 2.2.19}. باستبدال المعادلة المرجع {eq: 2.2.19} في المعادلة المرجع {eq: 2.2.18} ، يمكنك التحقق من أن المعادلة ref {eq: 2.2.19} هي حل المعادلة المرجع {eq: 2.2.18 }. وبالتالي ، فإن حلول المعادلة ref {eq: 2.2.18} هي (y equiv1 ) ، (y equiv-1 ) ووظائف النموذج المعادلة المرجع {eq: 2.2.19}. لاحظ أنه يمكن الحصول على الحل الثابت (y equiv 1 ) من هذه الصيغة بأخذ (c = 0 ) ؛ ومع ذلك ، لا يمكن الحصول على الحل الثابت الآخر ، (y equiv -1 ) بهذه الطريقة.

يوضح الشكل ( PageIndex {4} ) حقل اتجاه وبعض التكاملات للمعادلة المرجع {eq: 2.2.18}.

الفروق بين المعادلات الخطية وغير الخطية

تنص النظرية 2.1.2 على أنه إذا كان (p ) و (f ) متواصلين على ((أ ، ب) ) فإن كل حل من

[y '+ p (x) y = f (x) nonumber ]

يمكن الحصول على ((a، b) ) باختيار قيمة للثابت (c ) في الحل العام ، وإذا كان (x_0 ) أي نقطة في ((a، b) ) و (y_0 ) تعسفي ، ثم مشكلة القيمة الأولية

[y '+ p (x) y = f (x)، quad y (x_0) = y_0 nonumber ]

له حل في ((أ ، ب) ).

ليس صحيحًا بالنسبة للمعادلات غير الخطية. أولاً ، رأينا في الأمثلة ( PageIndex {4} ) و ( PageIndex {5} ) أن المعادلة غير الخطية قد يكون لها حلول لا يمكن الحصول عليها باختيار قيمة محددة لثابت تظهر في معلمة واحدة عائلة الحلول. ثانيًا ، من المستحيل بشكل عام تحديد فترة صلاحية حل لمشكلة القيمة الأولية لمعادلة غير خطية بمجرد فحص المعادلة ، نظرًا لأن فترة الصلاحية قد تعتمد على الشرط الأولي. على سبيل المثال ، في مثال ( PageIndex {2} ) رأينا أن الحل

[{dy over dx} = - {x over y}، quad y (x_0) = y_0 nonumber ]

صالح في ((- a، a) ) ، حيث (a = sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2} ).

مثال ( PageIndex {6} )

حل مشكلة القيمة الأولية

[y '= 2xy ^ 2، quad y (0) = y_0 nonumber ]

وتحديد الفترة الزمنية لصلاحية الحل.

المحلول

افترض أولاً (y_0 ne0 ). من المثال ( PageIndex {4} ) ، نعلم أن (y ) يجب أن يكون بالشكل

[ label {eq: 2.2.20} y = - {1 over x ^ 2 + c}. ]

يُظهر فرض الشرط الأولي أن (c = -1 / y_0 ). يؤدي استبدال هذا في المعادلة ref {eq: 2.2.20} وإعادة ترتيب المصطلحات إلى الحل

[y = {y_0 أكثر من 1-y_0x ^ 2}. لا يوجد رقم ]

هذا أيضًا هو الحل إذا (y_0 = 0 ). إذا كان (y_0 <0 ) ، فإن المقام ليس صفراً لأي قيمة لـ (x ) ، لذا فإن الحل صالح على ((- infty، infty) ). إذا (y_0> 0 ) ، يكون الحل صالحًا فقط على ((- 1 / sqrt {y_0}، 1 / ​​ sqrt {y_0}) ).


حساب التفاضل والتكامل APEX

هناك تقنيات محددة يمكن استخدامها لحل أنواع معينة من المعادلات التفاضلية. هذا مشابه لحل المعادلات الجبرية. في الجبر ، يمكننا استخدام الصيغة التربيعية لحل المعادلة التربيعية ، لكن ليس المعادلة الخطية أو التكعيبية. بالطريقة نفسها ، غالبًا ما تكون التقنيات التي يمكن استخدامها لنوع معين من المعادلات التفاضلية غير فعالة لمعادلة تفاضلية من نوع مختلف. في هذا القسم ، نصف وممارسة تقنية لحل فئة من المعادلات التفاضلية تسمى معادلات قابلة للفصل.

التعريف 8.2.2. معادلة تفاضلية قابلة للفصل.

A هو الذي يمكن كتابته في النموذج

حيث (n ) هي دالة تعتمد فقط على المتغير التابع (y text <،> ) و (m ) هي وظيفة تعتمد فقط على المتغير المستقل (x text <.> )

أدناه ، نعرض بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية القابلة للفصل ، جنبًا إلى جنب مع المعادلات المتشابهة غير القابلة للفصل.

  1. ( displaystyle displaystyle frac= x ^ 2y )
  2. ( displaystyle displaystyle y sqrt فارك- sin (x) cos (x) = 0 )
  3. ( displaystyle displaystyle frac= فارك <(س ^ 2 + 1) ه ^>)
  1. ( displaystyle displaystyle frac= س ^ 2 + ص )
  2. ( displaystyle displaystyle y sqrt فارك- sin (x) cos y = 0 )
  3. ( displaystyle displaystyle frac= فارك <(س ص + 1) ه ^>)

لاحظ أن المعادلة القابلة للفصل تتطلب مضاعفة وظائف المتغيرات التابعة والمستقلة ، وليس إضافتها (مثل البند 8.2.4: 1 في القائمة 8.2.4). ينص تعريف بديل لمعادلة تفاضلية قابلة للفصل على أن المعادلة قابلة للفصل إذا كان من الممكن كتابتها بالشكل

لبعض الوظائف (f ) و (g text <.> )

القسم الفرعي 8.2.1 فصل المتغيرات

لنجد حلًا رسميًا للمعادلة القابلة للفصل

نظرًا لأن الدوال الموجودة على الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة متساوية ، يجب أن تكون المشتقات العكسية مساوية لثابت تكامل عشوائي. هذا هو

على الرغم من أن التكامل الموجود على اليسار قد يبدو غريبًا بعض الشيء ، تذكر أن (y ) نفسها هي دالة لـ (x text <.> ) ضع في اعتبارك الاستبدال (u = y (x) text <.> ) التفاضل هو (du = displaystyle frac، dx text <.> ) باستخدام هذا الاستبدال ، تصبح المعادلة أعلاه

لنفترض أن (N (u) ) و (M (x) ) من المشتقات العكسية لـ (n (u) ) و (m (x) text <،> ) على التوالي. ثم

هذه العلاقة بين (y ) و (x ) هي شكل ضمني لحل المعادلة التفاضلية. في بعض الأحيان (ولكن ليس دائمًا) من الممكن حل (y ) للعثور على نسخة واضحة من الحل.

على الرغم من أن التقنية الموضحة أعلاه صحيحة رسميًا ، إلا أن ما فعلناه يرقى أساسًا إلى تكامل الوظيفة (n ) فيما يتعلق بمتغيرها ودمج الوظيفة (م ) فيما يتعلق بمتغيرها. الطريقة غير الرسمية لحل المعادلة القابلة للفصل هي التعامل مع المشتق ( displaystyle frac) كما لو كان كسرًا. الصيغة المنفصلة للمعادلة هي

لحل هذه المشكلة ، ندمج الطرف الأيسر بالنسبة إلى (y ) والجانب الأيمن بالنسبة إلى (x ) ونضيف ثابت التكامل. طالما أننا قادرون على إيجاد المشتقات العكسية ، فيمكننا إيجاد صيغة ضمنية للحل. أحيانًا نكون قادرين على حل المعادلة التفاضلية من أجل (y ) في الحل الضمني لإيجاد صيغة واضحة لحل المعادلة التفاضلية. نحن نمارس هذه التقنية من خلال حل المعادلات التفاضلية الثلاث المدرجة في العمود القابل للفصل أعلاه ، ونختتم بإعادة النظر وإيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية اللوجستية من القسم 8.1.

مثال 8.2.5. حل معادلة تفاضلية قابلة للفصل.

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية ( yp = x ^ 2y text <.> )

باستخدام طريقة الحل غير الرسمية الموضحة أعلاه ، نتعامل مع ( displaystyle frac) على شكل كسر ، واكتب الصيغة المنفصلة للمعادلة التفاضلية كـ

التكاملات غير المحددة ( int frac) و ( int x ^ 2 ، dx ) كلاهما ينتج ثوابت عشوائية. نظرًا لأن كلا الثوابتين تعسفيان ، فإننا نجمعهما في ثابت تكامل واحد.

دمج الجانب الأيسر من المعادلة بالنسبة إلى (y ) والجانب الأيمن من المعادلة بالنسبة إلى (x ) ينتج عنه

هذا شكل ضمني لحل المعادلة التفاضلية. ينتج عن حل (y ) شكل واضح للحل. نحن نؤس كلا الجانبين

هذا الحل هو مشكلة بعض الشيء. أولاً ، القيمة المطلقة تجعل الحل صعب الفهم. المسألة الثانية تأتي من رغبتنا في العثور على حل عام. تذكر أن الحل العام يتضمن جميع الحلول الممكنة للمعادلة التفاضلية. بعبارة أخرى ، لأي حالة أولية معينة ، يجب أن يتضمن الحل العام الحل لمشكلة القيمة الأولية المحددة. يمكننا في كثير من الأحيان تلبية أي شرط أولي معين عن طريق اختيار قيمة (C ) مناسبة. عند حل المعادلات القابلة للفصل ، من الممكن أن تفقد الحلول التي لها الشكل (y = text <ثابت> نص <.> ) لاحظ أن (y = 0 ) يحل المعادلة التفاضلية ، لكنه كذلك لا يمكن اختيار منتهي (C ) لجعل الحل يبدو مثل (y = 0 text <.>> ) لا يمكن لحلنا حل مشكلة القيمة الأولية ( displaystyle frac = x ^ 2y text <،> ) مع (y (a) = 0 ) (حيث (a ) هو أي قيمة). وبالتالي ، لم نجد حلاً عامًا للمشكلة. يمكننا تنظيف الحل واستعادة الحل المفقود بقليل من التفكير الذكي.

لا يمكن دائمًا استعادة الحلول الثابتة المفقودة عن طريق إعادة تعريف الثابت التعسفي بذكاء. المعادلة التفاضلية ( yp = y ^ 2 - 1 ) هي مثال على هذه الحقيقة. كلاهما (y = 1 ) و (y = -1 ) حلان ثابتان لهذه المعادلة التفاضلية. ينتج عن فصل المتغيرات حلاً حيث يمكن تحقيق (y = 1 ) باختيار قيمة (C ) مناسبة ، لكن (y = -1 ) لا يمكن تحقيقه. الحل العام هو المجموعة التي تحتوي على الحل الناتج عن فصل المتغيرات و الحل المفقود (y = -1 text <.> ) يجب أن نكون حريصين دائمًا للبحث عن الحلول الثابتة المفقودة عند البحث عن الحل العام لمعادلة تفاضلية قابلة للفصل.

أذكر التعريف الرسمي للقيمة المطلقة: ( abs = y ) إذا (y geq 0 ) و ( القيمة المطلقة = -y ) إذا (y lt 0 text <.> ) حلنا إما (y = e ^ C e ^ < frac<3>> ) أو (y = - e ^ C e ^ << frac<3> >> text <.> ) علاوة على ذلك ، لاحظ أن (C ) ثابت ، لذلك (e ^ C ) ثابت أيضًا. إذا كتبنا الحل على النحو التالي (y = Ae ^ < frac<3>> text <،> ) والسماح للثابت (A ) بأخذ قيم موجبة أو سالبة ، نقوم بدمج كلتا الحالتين للقيمة المطلقة. أخيرًا ، إذا سمحنا أن يكون (A ) صفرًا ، فإننا نستعيد الحل المفقود الذي نوقش أعلاه. أفضل طريقة للتعبير عن الحل العام لمعادلتنا التفاضلية هي

مثال 8.2.6. حل مشكلة القيمة الأولية القابلة للفصل.

حل مشكلة القيمة الأولية ( displaystyle (y sqrt) yp - sin (x) cos (x) = 0 text <،> ) مع (y (0) = -3 text <.> )

نضع المعادلة التفاضلية أولاً في صورة منفصلة

التكامل غير المحدود ( displaystyle int y sqrtيتطلب ، dy ) الاستبدال (u = y ^ 2-5 text <.> ) استخدام هذا البديل ينتج عنه المعادلة العكسية ( displaystyle frac <1> <3> (y ^ 2-5) ^ <3/2> text <.> ) يتطلب التكامل غير المحدد ( displaystyle int sin (x) cos (x) ، dx ) الاستبدال (u = sin (x) text <.> ) باستخدام هذا الاستبدال ينتج عنه المشتق العكسي ( displaystyle frac <1> <2> sin ^ 2 x text <.> ) وهكذا ، لدينا شكل ضمني لحل المعادلة التفاضلية المعطاة بواسطة

ينص الشرط الأولي على أن (y ) يجب أن يكون (- 3 ) عندما يكون (x ) هو (0 text <،> ) أو

عند تقييم السطر أعلاه ، نجد (C = 8/3 text <،> ) ينتج عنه حل معين لمشكلة القيمة الأولية

مثال 8.2.7. حل معادلة تفاضلية قابلة للفصل.

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية ( displaystyle frac = فارك <(س ^ 2 + 1) ه ^> نص <.> )

نبدأ بملاحظة أنه لا توجد حلول ثابتة لهذه المعادلة التفاضلية لأنه لا توجد قيم (y ) ثابتة تجعل الجانب الأيمن من المعادلة صفرًا بشكل مماثل. وبالتالي ، لا داعي للقلق بشأن فقدان الحلول أثناء عملية فصل المتغيرات. يتم إعطاء الصيغة المنفصلة للمعادلة بواسطة

تتطلب المشتقة العكسية للجانب الأيسر التكامل بالأجزاء. ينتج عن حساب كل من التكاملات غير المحددة الحل الضمني

نظرًا لأننا لا نستطيع إيجاد حل لـ (y text <،> ) ، لا يمكننا إيجاد شكل واضح للحل.

مثال 8.2.8. حل المعادلة التفاضلية اللوجيستية.

حل المعادلة التفاضلية اللوجستية ( displaystyle frac

= ky left (1 - fracحق))

نظرنا إلى حقل المنحدر لهذه المعادلة في القسم 8.1 في الحالة المحددة لـ (k = M = 1 text <.> ) هنا ، نستخدم فصل المتغيرات لإيجاد حل تحليلي للمعادلة الأكثر عمومية. لاحظ أن المتغير المستقل (t ) لا يظهر صراحة في المعادلة التفاضلية. ذكرنا أن معادلة من هذا النوع تسمى واثق من نفسه. جميع المعادلات التفاضلية المستقلة من الدرجة الأولى قابلة للفصل.

نبدأ بملاحظة أن كلا من (y = 0 ) و (y = M ) حلان ثابتان للمعادلة التفاضلية. يجب أن نتحقق من أن هذه الحلول لا تضيع أثناء عملية فصل المتغيرات. الصيغة المنفصلة للمعادلة هي

يمكن إيجاد المشتق العكسي للطرف الأيسر من المعادلة باستخدام الكسور الجزئية. نكتب باستخدام الأساليب التي تمت مناقشتها في القسم 6.5

ثم يتم إعطاء شكل ضمني للحل بواسطة

على غرار المثال 8.2.5 ، يمكننا الكتابة

إن السماح (A ) بأخذ قيم موجبة أو قيم سلبية يدمج كلتا الحالتين للقيمة المطلقة. هذا شكل ضمني آخر للحل. يعطي حل (y ) الشكل الصريح

حيث (ب ) ثابت اعتباطي. لاحظ أن (b = 0 ) يستعيد الحل الثابت (y = M text <.> ) لا يمكن إنتاج الحل الثابت (y = 0 ) بقيمة محدودة (b ) ، ولديه ضاعت. الحل العام المعادلة التفاضلية اللوجستية هو المجموعة التي تحتوي على ( displaystyle y = frac<1 + be ^ <-kt>> ) و (y = 0 text <.> )

ينتج عن حل (y ) في البداية الحل الصريح ( displaystyle y = frac<>> <1 + Ae ^> text <.> ) قسمة البسط والمقام على (Ae ^) وتعريف (ب = 1 / أ ) ينتج عنه الشكل الشائع للحل الوارد في المثال 8.2.8.

تمارين 8.2.2 تمارين

مشاكل

في التدريبات التالية ، حدد ما إذا كانت المعادلة التفاضلية قابلة للفصل أم لا. إذا كانت المعادلة قابلة للفصل. اكتبها في شكل منفصل.

(displaystyle x yp + x ^ 2y = frac )

(displaystyle (y + 3) yp + (ln (x)) yp - x sin y = (y + 3) ln (x))

( displaystyle yp -x ^ 2 cos y + y = cos y - x ^ 2 y )

في التمارين التالية ، أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية القابلة للفصل. تأكد من التحقق من عدم وجود حلول ثابتة مفقودة.

(displaystyle e ^ xy yp = e ^ <-y> + e ^ <- 2x - y>)

( displaystyle (x ^ 2 + 1) yp = frac)

في التدريبات التالية ، أوجد الحل الخاص لمشكلة القيمة الأولية القابلة للفصل.

(displaystyle yp = frac text <،>) with (y (0) = displaystyle frac <2>)


2.2: معادلات قابلة للفصل

لقد رأينا كيف يمكن للمرء أن يبدأ بمعادلة تتعلق بمتغيرين ، ويفرق ضمنيًا فيما يتعلق بأحدهما للكشف عن معادلة تتعلق بالمشتقات المقابلة.

الآن ، ضع في اعتبارك هذه العملية بالعكس!

افترض أن لدينا معادلة تتضمن اشتقاق متغير ما. هل يمكننا العودة إلى معادلة تحدد ضمنيًا المتغير الذي نرى مشتقه؟

مثال سيجعل هذا السؤال أكثر واقعية. لنفترض أننا نعرف ما يلي:

نسأل هل من الممكن العثور على بعض $ y $ كدالة (ربما تكون محددة ضمنيًا) لـ $ x $ ، مما يجعل ما ورد أعلاه صحيحًا؟

بالنظر إلى وجود المشتق ، فإننا نسمي المعادلات مثل المعادلة أعلاه أ المعادلة التفاضلية، وإيجاد الوظيفة $ y $ (أي المتغير / الوظيفة التي تظهر مشتقها) - حتى لو قمنا بتعريفها ضمنيًا فقط - يشار إليها باسم حل المعادلة التفاضلية المعنية.

تكثر التطبيقات العملية للمعادلات التفاضلية ، لذلك نحن مهتمون كثيرًا بإيجاد حلول لها. يتم حل بعض أنواع المعادلات التفاضلية بطرق مباشرة جدًا يتطلب البعض الآخر تقنيات أكثر تعقيدًا. في هذا التعرض الأول للمعادلات التفاضلية ، نركز على الأولى.

في معادلة تفاضلية قابلة للفصل يمكن إعادة كتابة المعادلة بدلالة الفروق حيث يتم فصل التعبيرات التي تتضمن $ x $ و $ y $ على طرفي نقيض من المعادلة ، على التوالي.

على وجه التحديد ، نطلب منتجًا بقيمة $ dx $ ودالة $ x $ على أحد الجانبين ومنتج $ dy $ ودالة $ y $ على الجانب الآخر. من هناك ، يجد المرء ببساطة المشتقات العكسية لكلا الجانبين لاستعادة المعادلة التي تحدد المتغير المطلوب ضمنيًا.

فيما يلي مثالين محددين لحل المعادلات التفاضلية القابلة للفصل. لنبدأ بمثال المعادلات التفاضلية التي رأيناها أعلاه:

مثال

المحلول:

أولاً ، نضرب كل شيء في التفاضل $ dx $ ثم نطرح $ cos x ، dx $ من كلا الجانبين للحصول على $ 3y ^ 2 ، dy = - cos x ، dx $. من هناك ، نقوم ببساطة بدمج كلا الجانبين

$ int 3y ^ 2 ، dy = - int cos x ، dx $

للحصول على المعادلة التالية (حيث يكون $ C $ ثابتًا عشوائيًا) والتي تعرف ضمنيًا $ y $ بدلالة $ x $.

هل تتساءل عن سبب وجود ثابت تعسفي واحد فقط $ C $ مكتوب على اليمين ، عند دمج كل جانب يخبرنا مباشرة $ y ^ 3 + C_1 = - sin x + C_2 $ لأي ثوابت $ C_1 $ و $ C_2 $؟

لاحظ أنه من أجل التبسيط وبعد دمج طرفي المعادلة ، يمكننا دائمًا نقل كلا الثوابت إلى جانب واحد - لنقل الجانب الأيمن. هنا ، هذا يعطينا $ y ^ 3 = - sin x + (C_2 - C_1) $. بعد ذلك ، لاحظ أنه إذا تم السماح بدولار C_2 $ و $ C_1 $ ليكونا أي ثوابت ، فإن $ C_2 - C_1 $ هو فعليًا مجرد ثابت تعسفي أيضًا. مع وضع هذا في الاعتبار ، نكتب الثابت التعسفي الذي يمثله هذا الاختلاف على أنه $ C $.

الآن في هذه الحالة بالذات ، لاحظ أنه يمكننا بسهولة إيجاد قيمة $ y $ للحصول على صريح تعريف $ y $ كدالة $ x $ ، كما هو موضح أدناه. $ y = sqrt [3] <- sin x + C> $

ومع ذلك ، غالبًا ما يكون حل $ y $ صريحًا صعبًا عند التعامل مع المعادلات التفاضلية ، وكثيرًا ما نكتفي بوصف المتغير المعني ($ y $ هنا) ضمنيًا. ممنوح ، كما هو موضح أدناه ، قد نقوم بتنظيف الأشياء قليلاً عن طريق عزل الثابت على جانب واحد - على الرغم من أن هذا ليس ضروريًا.

مثال

المحلول:

هنا ، يتطلب فصل المتغيرات $ x $ و $ y $ تحليل الأشياء أولاً.

الآن ، يمكننا كتابة الأشياء بدلالة الفروق حيث يظهر $ x $ و $ dx $ على أحد جانبي المعادلة و $ y $ و $ dy $ على الجانب الآخر ، حتى نتمكن من دمج كلا الجانبين ، كما هو موضح أقل.

يجب أن ندرك أن تقسيم كل جزء يسمح لنا بالاندماج بسهولة عبر قاعدة القوة.

$ int (3y ^ <-2> + 1) ، dy = int (x ^ <-4> + x ^ <-2>) ، dx $

بعد ذلك ، عند التكامل ، نصل إلى تعريف ضمني لـ $ y $.

تنظيف هذه المعادلة بكتابة أشياء بأسس موجبة وعزل $ C $ على جانب واحد ، نصل إلى الحل.

يوضح المثالان أعلاه كيفية العثور على ملف جنرال لواء حل معادلة تفاضلية قابلة للفصل. ومع ذلك ، بمعلومات إضافية ، يمكننا أيضًا العثور على ملف معين حل هذا النوع من المعادلات التفاضلية.

بمعنى أنه يمكننا إيجاد الحل بقيمة معينة $ C $ تجعل المعلومات الإضافية صحيحة أيضًا.

تأمل المثال التالي.

مثال

أوجد الحل المحدد لـ $ displaystyle = ( sin ^ 2 y) (x ^ 4 + 1)> $ مرضية $ displaystyle<4>>$.

المحلول:

أولاً ، نفصل بين العوامل المتعلقة بـ $ x $ و $ y $ على طرفي نقيض ،

ثم ندمج كلا الجانبين.

لاحظ أن الاستبدال $ u $ مطلوب على اليسار. الاختيار الجيد لهذا الاستبدال هو $ u = sin y $ ، اسمح لنا بالكتابة

بالنسبة إلى التكامل الصحيح ، لاحظ أن تقسيم الكسر يتيح لنا التكامل بسهولة مع قاعدة الأس.

$ int frac dx = int (x ^ 2 + x ^ <-2>) ، dx = frac <1> <3> x ^ 3 - frac <1> + C_2 quad textrm <لبعض الثابت> C_2 $

يخبرنا وضع هاتين العمليتين الحسابيتين الأخيرين معًا عن الحل العام لهذه المعادلة التفاضلية - أن $ y $ يتم تعريفه ضمنيًا بواسطة معادلة تأخذ الشكل التالي لبعض الثابت $ C $.

أخيرًا ، نستخدم المعلومات الإضافية المعطاة $ displaystyle<4>> $ للعثور على الثابت $ C $.

استبدال هذا في حلنا العام أعلاه يعطي الحل المعين الذي كنا نأمل في العثور عليه:


انسخ وألصق رمز التضمين هذا في HTML لموقعك على الويب

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الإثنين أبريل 4، 2016 11:44 ص

منشور بواسطة Shih-Kuan Chen في 31 مارس 2016

في المثال 4 ، لماذا لا يساوي & # 039t y + أو - هذا العمل بأكمله؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الإثنين 4 يناير 2016 ، 12:29 مساءً

نشر بواسطة جوناثان سنو في 22 ديسمبر 2015

لدي سؤال سريع حول زائد أو ناقص K في المثال 1 ، لماذا زائد أو ناقص؟ إذا كان k = e ^ c ، فهل يمكن لـ k & # 039t أن يكون رقمًا سالبًا ، أليس كذلك؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الجمعة 30 أكتوبر 2015 4:14 م

بقلم عائشة الكاف في 29 أكتوبر 2015

مرحبا دكتور موراي ،
شكرا لك على شرحك الواضح. حقا ساعدتني كثيرا.

لكن لدي سؤال في المثال 2:
لماذا لا & # 039t نبسط y ^ 2 بايت بأخذ الجذر التربيعي؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الأحد 3 مايو 2015 7:38 م

منشور بواسطة Tsz Hong Chow في 29 أبريل 2015

مرحباً ، هل قمت بتدريس معادلات برنولي؟ أنا في حاجة ماسة إلى هذه المحاضرة

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الإثنين 25 آب (أغسطس) 2014 6:42 مساءً

نشر بواسطة جوزيف جرين في 24 أغسطس 2014

هل ستتم إضافة أي مشاكل تدريبية لهذه المحاضرة؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
السبت 5 يوليو 2014 6:07 مساءً

نشر بواسطة جوش وينفيلد في 30 يونيو 2014

لماذا لا تكتب y & # 039 و y كوظائف x ، ولكن من الواضح أنك تكتب "المعاملين" P (x) و Q (x) ، فهذا يزعجني قليلاً. هل هذا لأنك تريد إبراز أن y و y & # 039 هما المتغيرات التي تحلها ، أو لمجرد جعل المعادلة أكثر وضوحًا. لا يمكنني المساعدة & # 039t ولكن أترك y و y & # 039 كوظائف لـ x عندما أقوم بجميع المشكلات ، فهل هذا غير صحيح؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الثلاثاء 25 فبراير 2014 4:49 مساءً

بقلم أحمد عباد في 24 فبراير 2014

مرحباً يا أستاذ ، هل يمكنك من فضلك أن تشرح لي لماذا لا يفي الثابت الجمعي بالمعادلة التفاضلية بينما يعمل ثابت الضرب؟ ماذا لو احتفظنا بها على أنها Y = e ^ (x / 2 + c) فهل هذا خطأ؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الثلاثاء 14 يناير 2014 11:47 ص

بقلم سيجديم درمان أوزكان في 8 يناير 2014

مرحباً يا أستاذ ، هل يمكنك أن تشرح لي في المثال الثاني ، لماذا نتجاهل 2C؟ وكتب ك جديد ثابت ك؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الجمعة 5 يوليو 2013 10:19 صباحًا

نشر بواسطة xueping liu في 2 يوليو 2013

مرحبا دكتور موراي
مقاطع الفيديو الخاصة بك رائعة ، لقد ساعدت كثيرًا. لكني أريد أيضًا أن أجد بعض التمارين للموضوع ذي الصلة دون شراء تلك الكتب. هل لديك اي اقتراحات؟

الرد الأخير من قبل: د. وليم موراي
الثلاثاء 16 أبريل 2013 8:32 مساءً

بقلم محمد الحميدي في 6 أبريل 2013

هذه تجربة ممتعة ، على الأقل أفهم شيئًا الآن بدلاً من إلقاء المحاضرات في الفصل ، لماذا هذا هو الحال على الرغم من الأستاذ ، موراي


مثال 3

حل مشكلة القيمة الأولية $ frac = (1 - 2x) y ^ 2 $ حيث $ y (0) = - frac <1> <6> $. حدد الفترة الزمنية لصلاحية هذا الحل.

This differential equation can be rewritten and solved for as follows:

Now since $y(0) = -frac<1><6>$ we have that $C = 6$ and so:

To prevent the denominator from equalling zero in our solution, we have that $x eq -2$ and $x eq 3$ . Note that $x = 0$ provides out initial value $y(0) = -frac<1><6>$ and so our interval of validity must contain $x = 0$ so $(-2, 3)$ is our interval of validity.


A Vibrating Spring Held Fixed Between Two Points

As discussed in Section 2.1, the solutions to the string example (u(x,t)) for all (x) and (t) would be assumed to be a product of two functions: (X(x)) and (T(t)), where (X(x)) is a function of only (x), not (t) and (T(t)) is a function of (t), but not (x).

Substitute Equation ( ef<2.2.1>) into the one-dimensional wave equation (Equation ( ef<2.1.1>)) gives

Since ( X ) is not a function of (t) and (T) is not a function of (x), Equation ( ef<2.2.2>) can be simplified

Collecting the expressions that depend on (x) on the left side of Equation ( ef<2.2.3>) and of (t) on the right side results in

Equation ( ef<2.2.3a>) is an interesting equation since each side can be set to a fixed constant (K) as that is the only solution that works for all values of (t) and (x). Therefore, the equation can be separated into two ordinary differential equations:

Hence, by substituting the new product solution form (Equation ef<2.2.1>) into the original wave equation (Equation ( ef<2.1.1>)), we converted a partial differential equation of two variables ((x) and (t)) into two ordinary differential equations (differential equation containing a function or functions of one independent variable and its derivatives). Each differential equation involves only one of the independent variables ((x) or (t)).

  • If (K=0), then the solution is the trivial (u(x,y,)=0) solution (i.e., no wave exists).
  • If (K > 0), then the general solution of Equation ( ef<2.2.4b>) is [ X(x) = A e^x> + B e^<-sqrtx> label<2.2.5>]

At this stage, Equation ( ef<2.2.5>) implies that the solution to the two ordinary differential wave equations will be an infinite number of waves with no quantization to limit those that are allowed (i.e., any values of (A) and (B) are possible). Narrowing down the general solution to a specific solution occurs when taking the boundary conditions into account.

The boundary conditions for this problem is that the wave amplitude equal to zero at the ends of the string

Applying the two boundary conditions in Equations ( ef<2.2.6a>) and ( ef<2.2.6b>) into the general solution in Equation ( ef<2.2.5>) results into relationships between (A) and (B):

Ignore the trivial Solution

One solution to this is that (A = B = 0), but this is the trivial solution from (K=0) and one we ignore since it provides no physical solution to the problem other than the knowledge that (0=0), which is not that inspiring of a result.

Both Equations ( ef<2.2.4a>) and ( ef<2.2.4b>) can be generalized into the following equations

where (k) is a real constant (i.e., not complex). Equation ( ef<2.2.8>) is a متجانس second order linear differential equation. The general solution to these types of differential equations has the form

where (alpha) is a constant to be determined by the constraints of system. Substituting Equation ( ef<2.2.9>) into Equation ( ef<2.2.8>) results in

[ left( alpha^2 - k^2 ight)y(x)=0 label<2.2.10>]

For this equation to be satisfied, either

The later is the trivial solution and is ignored and therefore

Hence, there are two solutions to the general Equation ( ef<2.2.8>), as expected for a second order differential equation (first order differential equations have one solution), which are a result from substituting the (alpha) values from Equation ( ef<2.2.12>) into Equation ( ef<2.2.9>)

The general solution can then be any linear combination of these two equations

Example (PageIndex<1>): General Solution

The strategy is to search for a solution of the form

The reason for this is that long ago some geniuses figured this stuff out and it works. Now calculate derivatives

Substituting into the differential equation gives

[ egin alpha ^2 + 3alpha - 4 &= 0 [4pt] (alpha - 1)(alpha + 4) &= 0 [4pt] alpha &= 1 end]

We can conclude that two solutions are

It is easy to verify that if ( y_1) and (y_2) are solutions to

[ y= c_1y_1 + c_2y_2 onumber]

is also a solution. More specifically we can conclude that

Represents a two dimensional family (vector space) of solutions. Later we will prove that this is the most general description of the solution space.

Example (PageIndex<2>): Boundary Conditions

As before we seek solutions of the form

Now calculate derivatives

Substituting into the differential equation gives

We can conclude that two solutions are

Represents a two dimensional family (a "vector space") of solutions. Now use the initial conditions to find that

Plugging in the initial condition with (y'), gives

This is a system of two equations and two unknowns. We can use linear algebra to arrive at

When (K > 0), the general solutions of Equations ( ef<2.2.4a>) and ( ef<2.2.4b>) are oscillatory in time and space, respectively, as discussed in the following section.


Separable Equations

A first order differential equation (y’ = fleft( ight)) is called a separable equation if the function (fleft( ight)) can be factored into the product of two functions of (x) and (y:)

[fleft( ight) = pleft( x ight)hleft( y ight),]

where (pleft( x ight)) and (hleft( y ight)) are continuous functions.

Considering the derivative () as the ratio of two differentials (><> ormalsize>,) we move (dx) to the right side and divide the equation by (hleft( y ight):)

Of course, we need to make sure that (hleft( y ight) e 0.) If there’s a number () such that (hleft( <> ight) = 0,) then this number will also be a solution of the differential equation. Division by (hleft( y ight)) causes loss of this solution.

By denoting (qleft( y ight) = <> ormalsize>,) we write the equation in the form

[qleft( y ight)dy = pleft( x ight)dx.]

We have separated the variables so now we can integrate this equation:

where (C) is an integration constant.

Calculating the integrals, we get the expression

[Qleft( y ight) = Pleft( x ight) + C,]

representing the general solution of the separable differential equation.


First-order differential equations

ملخص

An easy type of first-order ODE to solve is a separable equation , one that can be written in the form d y d x = f ( x ) g ( y ) , where F denotes a function of x alone and g denotes a function of ذ alone. “Separating the variables” leads to the equation ∫ d y g ( y ) = ∫ f ( x ) d x . It is possible that you cannot carry out one of the integrations in terms of elementary functions or you may wind up with an implicit solution. Furthermore, the process of separation of variables may introduce singular solutions.

Another important type of first-order ODE is a معادلة خط مستقيم, one that can be written in the form a 1 ( x ) y ′ + a 0 ( x ) y = f ( x ) , where a 1 ( x ) , a 0 ( x ) , and f ( x ) are functions of the independent variable x alone. The standard form of such an equation is d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) . The equation is called متجانس if Q ( x ) ≡ 0 and nonhomogeneous غير ذلك. Any homogeneous linear equation is separable.

After writing a first-order linear equation in the standard form d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) , we can solve it by the method of variation of parameters or by introducing an integrating factor, μ ( x ) = e ∫ P ( x ) d x .

A typical first-order differential equation can be written in the form d y d x = f ( x , y ) . Graphically, this tells us that at any point ( x , y ) on a solution curve of the equation, the slope of the tangent line is given by the value of the function F at that point. We can outline the solution curves by using possible tangent line segments. Such a collection of tangent line segments is called a direction field أو slope field of the equation. The set of points ( x , y ) such that f ( x , y ) = C , a constant, defines an isocline, a curve along which the slopes of the tangent lines are all the same (namely, ج). على وجه الخصوص ، فإن nullcline (or zero isocline) is a curve consisting of points at which the slopes of solution curves are zero. A differential equation in which the independent variable does not appear explicitly is called an autonomous معادلة. If the independent variable does appear, the equation is called nonautonomous. For an autonomous equation the slopes of the tangent line segments that make up the slope field depend only on the values of the dependent variable. Graphically, if we fix the value of the dependent variable, say x, by drawing a horizontal line x = C for any constant ج, we see that all the tangent line segments along this line have the same slope, no matter what the value of the independent variable, say ر. Another way to look at this is to realize that we can generate infinitely many solutions by taking any one solution and translating (shifting) its graph left or right. Even when we can't solve an equation, an analysis of its slope field can be very instructive. However, such a graphical analysis may miss certain important features of the integral curves, such as vertical asymptotes.

ان autonomous first-order equation can be analyzed qualitatively by using a phase line أو phase portrait. For an autonomous equation the points x such that d y d x = f ( x ) = 0 are called نقاط حرجة. We also use the terms equilibrium points, equilibrium solutions، و stationary points to describe these key values. There are three kinds of equilibrium points for an autonomous first-order equation: sinks, مصادر، و العقد. An equilibrium solution ذ هو sink (or asymptotically stable solution) if solutions with initial conditions “sufficiently close” to ذ approach ذ as the independent variable tends to infinity. On the other hand, if solutions “sufficiently close” to an equilibrium solution ذ are asymptotic to ذ as the independent variable tends to negative infinity, then we call ذ أ source (or unstable equilibrium solution). An equilibrium solution that shows any other kind of behavior is called a العقدة (or semistable equilibrium solution). ال First Derivative Test is a simple (but not always conclusive) test to determine the nature of equilibrium points.

Suppose that we have an autonomous differential equation with a parameter α. أ bifurcation point α 0 is a value of the parameter that causes a change in the nature of the equation's equilibrium solutions as α passes through the value α 0 . There are three main types of bifurcation for a first-order equation: (1) pitchfork bifurcation (2) saddle-node bifurcation and (3) transcritical bifurcation.

When we are trying to solve a differential equation, especially an IVP, it is important to understand whether the problem has a solution and whether any solution is unique. ال Existence and Uniqueness Theorem provides simple sufficient conditions that guarantee that there is one and only one solution of an IVP. A standard proof of this result involves successive approximations, or Picard iterations.


APEX Calculus

There are specific techniques that can be used to solve specific types of differential equations. This is similar to solving algebraic equations. In algebra, we can use the quadratic formula to solve a quadratic equation, but not a linear or cubic equation. In the same way, techniques that can be used for a specific type of differential equation are often ineffective for a differential equation of a different type. In this section, we describe and practice a technique to solve a class of differential equations called separable equations.

Figure 8.2.1 . Video introduction to Section 8.2

Definition 8.2.2 . Separable Differential Equation.

A is one that can be written in the form

where (n) is a function that depends only on the dependent variable (y ext<,>) and (m) is a function that depends only on the independent variable (x ext<.>)

Below, we show a few examples of separable differential equations, along with similar looking equations that are not separable.

  1. (displaystyle displaystyle frac= x^2y)
  2. (displaystyle displaystyle ysqrt frac- sin(x) cos(x) = 0)
  3. (displaystyle displaystyle frac= frac<(x^2 + 1)e^>)
  1. (displaystyle displaystyle frac= x^2 + y)
  2. (displaystyle displaystyle ysqrt frac- sin(x) cos y = 0)
  3. (displaystyle displaystyle frac= frac<(xy + 1)e^>)

Notice that a separable equation requires that the functions of the dependent and independent variables be multiplied, not added (like item 8.2.4:1 in List 8.2.4). An alternate definition of a separable differential equation states that an equation is separable if it can be written in the form

for some functions (f) and (g ext<.>)

Subsection 8.2.1 Separation of Variables

Let's find a formal solution to the separable equation

Since the functions on the left and right hand sides of the equation are equal, their antiderivatives should be equal up to an arbitrary constant of integration. That is

Though the integral on the left may look a bit strange, recall that (y) itself is a function of (x ext<.>) Consider the substitution (u = y(x) ext<.>) The differential is (du = displaystyle frac,dx ext<.>) Using this substitution, the above equation becomes

Let (N(u)) and (M(x)) be antiderivatives of (n(u)) and (m(x) ext<,>) respectively. Then

This relationship between (y) and (x) is an implicit form of the solution to the differential equation. Sometimes (but not always) it is possible to solve for (y) to find an explicit version of the solution.

Though the technique outlined above is formally correct, what we did essentially amounts to integrating the function (n) with respect to its variable and integrating the function (m) with respect to its variable. The informal way to solve a separable equation is to treat the derivative (displaystyle frac) as if it were a fraction. The separated form of the equation is

To solve, we integrate the left hand side with respect to (y) and the right hand side with respect to (x) and add a constant of integration. As long as we are able to find the antiderivatives, we can find an implicit form for the solution. Sometimes we are able to solve for (y) in the implicit solution to find an explicit form of the solution to the differential equation. We practice the technique by solving the three differential equations listed in the separable column above, and conclude by revisiting and finding the general solution to the logistic differential equation from Section 8.1.

Example 8.2.5 . Solving a Separable Differential Equation.

Find the general solution to the differential equation (yp = x^2y ext<.>)

Using the informal solution method outlined above, we treat (displaystyle frac) as a fraction, and write the separated form of the differential equation as

The indefinite integrals (int frac) and (int x^2, dx) both produce arbitrary constants. Since both constants are arbitrary, we combine them into a single constant of integration.

Integrating the left hand side of the equation with respect to (y) and the right hand side of the equation with respect to (x) yields

This is an implicit form of the solution to the differential equation. Solving for (y) yields an explicit form for the solution. Exponentiating both sides, we have

This solution is a bit problematic. First, the absolute value makes the solution difficult to understand. The second issue comes from our desire to find the general solution. Recall that a general solution includes all possible solutions to the differential equation. In other words, for any given initial condition, the general solution must include the solution to that specific initial value problem. We can often satisfy any given initial condition by choosing an appropriate (C) value. When solving separable equations, though, it is possible to lose solutions that have the form (y = ext< constant> ext<.>) Notice that (y=0) solves the differential equation, but it is not possible to choose a finite (C) to make our solution look like (y=0 ext<.>) Our solution cannot solve the initial value problem (displaystyle frac = x^2y ext<,>) with (y(a) = 0) (where (a) is any value). Thus, we haven't actually found a general solution to the problem. We can clean up the solution and recover the missing solution with a bit of clever thought.

Missing constant solutions can't always be recovered by cleverly redefining the arbitrary constant. The differential equation (yp = y^2 - 1) is an example of this fact. Both (y=1) and (y=-1) are constant solutions to this differential equation. Separation of variables yields a solution where (y=1) can be attained by choosing an appropriate (C) value, but (y=-1) can't. The general solution is the set containing the solution produced by separation of variables و the missing solution (y=-1 ext<.>) We should always be careful to look for missing constant solutions when seeking the general solution to a separable differential equation.

Recall the formal definition of the absolute value: (abs = y) if (y geq 0) and (abs = -y) if (y lt 0 ext<.>) Our solution is either (y = e^C e^<3>>) or (y = - e^C e^<<3>>> ext<.>) Further, note that (C) is constant, so (e^C) is also constant. If we write our solution as (y = Ae^<3>> ext<,>) and allow the constant (A) to take on either positive or negative values, we incorporate both cases of the absolute value. Finally, if we allow (A) to be zero, we recover the missing solution discussed above. The best way to express the general solution to our differential equation is

Example 8.2.6 . Solving a Separable Initial Value Problem.

Solve the initial value problem (displaystyle (ysqrt) yp - sin(x) cos(x) = 0 ext<,>) with (y(0) = -3 ext<.>)

We first put the differential equation in separated form

The indefinite integral (displaystyle int ysqrt,dy) requires the substitution (u = y^2-5 ext<.>) Using this substitute yields the antiderivative (displaystyle frac<1> <3>(y^2-5)^<3/2> ext<.>) The indefinite integral (displaystyle int sin(x) cos(x),dx) requires the substitution (u = sin(x) ext<.>) Using this substitution yields the antiderivative (displaystyle frac<1> <2>sin^2 x ext<.>) Thus, we have an implicit form of the solution to the differential equation given by

The initial condition says that (y) should be (-3) when (x) is (0 ext<,>) or

Evaluating the line above, we find (C = 8/3 ext<,>) yielding the particular solution to the initial value problem

Example 8.2.7 . Solving a Separable Differential Equation.

Find the general solution to the differential equation (displaystyle frac = frac<(x^2 + 1)e^> ext<.>)

We start by observing that there are no constant solutions to this differential equation because there are no constant (y) values that make the right hand side of the equation identically zero. Thus, we need not worry about losing solutions during the separation of variables process. The separated form of the equation is given by

The antiderivative of the left hand side requires Integration by Parts. Evaluating both indefinite integrals yields the implicit solution

Since we cannot solve for (y ext<,>) we cannot find an explicit form of the solution.

Example 8.2.8 . Solving the Logistic Differential Equation.

Solve the logistic differential equation (displaystyle frac

= kyleft( 1 - frac ight))

We looked at a slope field for this equation in Section 8.1 in the specific case of (k = M = 1 ext<.>) Here, we use separation of variables to find an analytic solution to the more general equation. Notice that the independent variable (t) does not explicitly appear in the differential equation. We mentioned that an equation of this type is called autonomous. All autonomous first order differential equations are separable.

We start by making the observation that both (y=0) and (y = M) are constant solutions to the differential equation. We must check that these solutions are not lost during the separation of variables process. The separated form of the equation is

The antiderivative of the left hand side of the equation can be found by making use of partial fractions. Using the techniques discussed in Section 6.5, we write

Then an implicit form of the solution is given by

Similarly to Example 8.2.5, we can write

Letting (A) take on positive values or negative values incorporates both cases of the absolute value. This is another implicit form of the solution. Solving for (y) gives the explicit form

where (b) is an arbitrary constant. Notice that (b=0) recovers the constant solution (y = M ext<.>) The constant solution (y=0) cannot be produced with a finite (b) value, and has been lost. The general solution the logistic differential equation is the set containing (displaystyle y = frac<1 + be^<-kt>>) and (y=0 ext<.>)

Solving for (y) initially yields the explicit solution (displaystyle y = frac<>><1+Ae^> ext<.>) Dividing numerator and denominator by (Ae^) and defining (b = 1/A) yields the commonly presented form of the solution given in Example 8.2.8.

Exercises 8.2.2 Exercises

In the following exercises, decide whether the differential equation is separable or not separable. If the equation is separable. write it in separated form.


Want to learn more about Differential Equations? I have a step-by-step course for that. :)

Solve the differential equation.

First, we’ll write the equation in Leibniz notation. This makes it easier for us to separate the variables.

Next, we’ll separate the variables, collecting . ذ. ’s on the left and . x. ’s on the right.

Sometimes in our final answer, we’ll be able to express y explicitly as a function of x, but not always.

With variables separated, and integrating both sides, we get

Note: You can leave out the constant of integration on the left side, because in future steps it would be absorbed into the constant on the right side.

Note: We just multiplied through both sides by . -1. but we didn’t change the sign on . C. because the negative can always be absorbed into the constant.

Sometimes we’ll encounter separable differential equations with initial conditions provided. Using the same method we used in the last example, we can find the general solution, and then plug in the initial condition(s) to find a particular solution to the differential equation.


شاهد الفيديو: تمرين على المعادلات التفاضلية القابلة للفصل. الرياضيات. المعادلات التفاضلية (شهر اكتوبر 2021).