مقالات

5.4.1: طريقة المعاملات غير المحددة 1 (تمارين)


Q5.4.1

في تمارين 5.4.1-5.4.14 إيجاد حل معين.

1. (y '- 3y' + 2y = e ^ {3x} (1 + x) )

2. (y '- 6y' + 5y = e ^ {- 3x} (35-8x) )

3. (y '- 2y'-3y = e ^ x (-8 + 3x) )

4. (y '' + 2y '+ y = e ^ {2x} (- 7-15x + 9x ^ 2) )

5. (y '+ 4y = e ^ {- x} (7-4x + 5x ^ 2) )

6. (y '- y'-2y = e ^ x (9 + 2x-4x ^ 2) )

7. (y '- 4y'-5y = -6xe ^ {- x} )

8. (y '- 3y' + 2y = e ^ x (3-4x) )

9. (y '' + y'-12y = e ^ {3x} (- 6 + 7x) )

10. (2y '' - 3y'-2y = e ^ {2x} (- 6 + 10x) )

11. (y '' + 2y '+ y = e ^ {- x} (2 + 3x) )

12. (ص "- 2 ص '+ ص = ه ^ س (1-6x) )

13. (y '- 4y' + 4y = e ^ {2x} (1-3x + 6x ^ 2) )

14. (9y '' + 6y '+ y = e ^ {- x / 3} (2-4x + 4x ^ 2) )

Q5.4.2

في تمارين 5.4.15-5.4.19 ابحث عن الحل العام.

15. (y '- 3y' + 2y = e ^ {3x} (1 + x) )

16. (y "- 6y '+ 8y = e ^ x (11-6x) )

17. (y '' + 6y '+ 9y = e ^ {2x} (3-5x) )

18. (ص '+ 2y'-3y = -16xe ^ x )

19. (y "- 2y '+ y = e ^ x (2-12x) )

Q5.4.3

في تمارين 5.4.20 - 5.4.23 حل مشكلة القيمة الأولية ورسم الحل.

20. (y '- 4y'-5y = 9e ^ {2x} (1 + x)، quad y (0) = 0، quad y' (0) = - 10 )

21. (y '+ 3y'-4y = e ^ {2x} (7 + 6x)، quad y (0) = 2، quad y' (0) = 8 )

22. (y '' + 4y '+ 3y = -e ^ {- x} (2 + 8x)، quad y (0) = 1، quad y' (0) = 2 )

23. (y '- 3y'-10y = 7e ^ {- 2x}، quad y (0) = 1، quad y' (0) = - 17 )

Q5.4.4

في تمارين 5.4.24-5.4.29 استخدم مبدأ التراكب لإيجاد حل معين.

24. (y '' + y '+ y = xe ^ x + e ^ {- x} (1 + 2x) )

25. (y '- 7y' + 12y = -e ^ x (17-42x) -e ^ {3x} )

26. (y '- 8y' + 16y = 6xe ^ {4x} + 2 + 16x + 16x ^ 2 )

27. (y '- 3y' + 2y = -e ^ {2x} (3 + 4x) -e ^ x )

28. (y '' - 2y '+ 2y = e ^ x (1 + x) + e ^ {- x} (2-8x + 5x ^ 2) )

29. (y '' + y = e ^ {- x} (2-4x + 2x ^ 2) + e ^ {3x} (8-12x-10x ^ 2) )

Q5.4.5

30.

  1. أثبت أن (y ) هو حل لمعادلة المعامل الثابت [ay '' + by '+ cy = e ^ { alpha x} G (x) tag {A} ] إذا وفقط إذا ( y = ue ^ { alpha x} ) ، حيث (u ) يرضي [au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x) tag {B} ] و (p (r) = ar ^ 2 + br + c ) هو كثير الحدود المميز للمعادلة التكميلية [ay '' + بواسطة '+ cy = 0. nonumber ] لبقية هذا التمرين ، دع (G ) يكون متعدد الحدود. قدم الأدلة المطلوبة للحالة حيث [G (x) = g_0 + g_1x + g_2x ^ 2 + g_3x ^ 3. nonumber ]
  2. أثبت أنه إذا لم يكن (e ^ { alpha x} ) حلاً للمعادلة التكميلية ، فإن (B) لديه حل معين من الشكل (u_p = A (x) ) ، حيث (A ) هي كثيرة الحدود من نفس الدرجة مثل (G ) ، كما في المثال 5.4.4. استنتج أن (أ) له حل خاص بالصيغة (y_p = e ^ { alpha x} A (x) ).
  3. وضح أنه إذا كان (e ^ { alpha x} ) حلًا للمعادلة التكميلية و (xe ^ { alpha x} ) ليس كذلك ، إذن (B) لديه حل خاص بالصيغة ( u_p = xA (x) ) ، حيث (A ) هو متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ) ، كما في المثال 5.4.5. استنتج أن (A) له حل خاص بالصيغة (y_p = xe ^ { alpha x} A (x) ).
  4. أظهر أنه إذا كان (e ^ { alpha x} ) و (xe ^ { alpha x} ) كلاهما حلين للمعادلة التكميلية ، فإن (B) له حل خاص بالصيغة (u_p = x ^ 2A (x) ) ، حيث (A ) هو متعدد الحدود من نفس الدرجة مثل (G ) ، ويمكن الحصول على (x ^ 2A (x) ) من خلال تكامل (G / a ) مرتين ، باعتبار ثوابت التكامل صفرًا ، كما في المثال 5.4.6. استنتج أن (A) له حل خاص بالصيغة (y_p = x ^ 2e ^ { alpha x} A (x) ).

Q5.4.6

تمارين 5.4.31-5.4.36 معالجة المعادلات التي تم بحثها في الأمثلة 5.4.1-5.4.6. استبدل الصيغة المقترحة لـ (y_ {p} ) في المعادلة وقم بمساواة المعاملات الناتجة للدوال المتشابهة على جانبي المعادلة الناتجة للحصول على مجموعة من المعادلات المتزامنة للمعاملات في (y_ {p} ). ثم أوجد قيمة المعاملات للحصول على (y_ {p} ). قارن العمل الذي أنجزته مع العمل المطلوب للحصول على نفس النتائج في الأمثلة 5.4.1-5.4.6.

31. قارن مع المثال 5.4.1:

[y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}؛ quad y_p = Ae ^ {2x} nonumber ]

32. قارن مع المثال 5.4.2:

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}؛ quad y_p = Ax ^ {4x} nonumber ]

33. قارن مع المثال 5.4.3:

[y '' - 8y '+ 16y = 2e ^ {4x}؛ quad y_p = Ax ^ 2e ^ {4x} nonumber ]

34. قارن مع المثال 5.4.4:

[y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} (- 1 + 2x + x ^ 2)، quad y_p = e ^ {3x} (A + Bx + Cx ^ 2) nonumber ]

35. قارن مع المثال 5.4.5:

[y '' - 4y '+ 3y = e ^ {3x} (6 + 8x + 12x ^ 2)، quad y_p = e ^ {3x} (Ax + Bx ^ 2 + Cx ^ 3) nonumber ]

36. قارن مع المثال 5.4.6:

[4y '' + 4y '+ y = e ^ {- x / 2} (- 8 + 48x + 144x ^ 2)، quad y_p = e ^ {- x / 2} (Ax ^ 2 + Bx ^ 3 + Cx ^ 4) nonumber ]

Q5.4.7

37. اكتب (y = ue ^ { alpha x} ) لإيجاد الحل العام.

  1. (y '' + 2y '+ y = {e ^ {- x} over sqrt x} )
  2. (y '+ 6y' + 9y = e ^ {- 3x} ln x )
  3. (y '- 4y' + 4y = {e ^ {2x} over1 + x} )
  4. (4y '' + 4y '+ y = {4e ^ {- x / 2} left ({1 over x} + x right)} )

38. افترض أن ( alpha ne0 ) و (k ) عدد صحيح موجب. في معظم كتب التفاضل والتكامل ، يتم تقييم التكاملات مثل ( int x ^ k e ^ { alpha x} ، dx ) عن طريق التكامل بالأجزاء (k ) مرات. يقدم هذا التمرين طريقة أخرى. يترك

[y = int e ^ { alpha x} P (x) ، dx nonumber ]

مع

[P (x) = p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k nonumber ]

(حيث (p_k neq 0 )).

  1. أظهر ذلك (y = e ^ { alpha x} u ) ، حيث [u '+ alpha u = P (x). علامة {A} ]
  2. بيّن أن (A) له حل خاص بالشكل [u_p = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k، nonumber ] حيث (A_k ) ، (A_ {k-1} ) ، ... ، (A_0 ) يمكن حسابه على التوالي من خلال معادلة معاملات (x ^ k، x ^ {k-1}، dots، 1 ) على جانبي المعادلة [u_p '+ alpha u_p = P ( x). nonumber ]
  3. استنتج أن [ int e ^ { alpha x} P (x) ، dx = left (A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k right) e ^ { alpha x} + c، nonumber ] حيث (ج ) ثابت تكامل.

39. استخدم طريقة تمرين 5.4.38 لتقييم التكامل.

  1. ( int e ^ {x} (4 + x) dx )
  2. ( int e ^ {- x} (- 1 + x ^ {2}) dx )
  3. ( int x ^ {3} e ^ {- 2x} dx )
  4. ( int e ^ {x} (1 + x) ^ {2} dx )
  5. ( int e ^ {3x} (- 14 + 30x + 27x ^ {2}) dx )
  6. ( int e ^ {- x} (1 + 6x ^ {2} -14x ^ {3} + 3x ^ {4}) dx )

40. استخدم الطريقة المقترحة في تمرين 5.4.38 لتقييم ( int x ^ ke ^ { alpha x} ، dx ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح موجب عشوائي و ( alpha ne0 ).


طريقة المعاملات غير المحددة

في الرياضيات ، فإن طريقة المعاملات غير المحددة هو نهج لإيجاد حل معين لبعض المعادلات التفاضلية العادية غير المتجانسة وعلاقات التكرار. يرتبط ارتباطًا وثيقًا بطريقة المبيد ، ولكن بدلاً من استخدام نوع معين من العوامل التفاضلية (المبيد) من أجل العثور على أفضل شكل ممكن لحل معين ، يتم إجراء "تخمين" فيما يتعلق بالشكل المناسب ، وهو ثم يتم اختباره عن طريق تمييز المعادلة الناتجة. بالنسبة للمعادلات المعقدة ، فإن طريقة الإبادة أو تغيير المعلمات تستغرق وقتًا أقل في الأداء.

المعاملات غير المحددة ليست طريقة عامة مثل تباين المعلمات ، لأنها تعمل فقط مع المعادلات التفاضلية التي تتبع أشكالًا معينة. [1]


5.1 الحل العام لـ ODE الخطي غير المتجانس

للحصول على الحل العام للخطي غير المتجانس ODE [ mathcal[y] = f (x)، ] نقسم المشكلة إلى خطوتين أبسط:

نحن نعتبر ODE الخطي المقابل المتجانس ( mathcal[ص] = 0 ). نحصل على الحل العام ، والذي يُعرف أيضًا باسم وظيفة تكميلية ( (ص_)): [y_ = ص_^ H (x c_1، cdots، c_k) = sum_^ c_i y_i (x) ، ] أين ، (_^ ك ) هي أساس مساحة متجه الحل (مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا لـ ODE الخطي المتجانس).

نحصل على أي / حل واحد من ODE الكامل غير المتجانس ، والذي يُعرف أيضًا باسم تكامل خاص ( (ص_)): [ mathcal[y_] = f (x). ] ثم لحل المشكلة الكاملة بدمج النتائج أعلاه وبسبب الخطية ، لدينا:

[ رياضيات[y_(x c_1، cdots، c_k)] = mathcal[y_ + y_] = mathcal[y ^ H_] + رياضيات[y_] = f (x). ] إذن الحل العام لـ ODE الخطي غير المتجانس هو مجموع الدالة التكميلية وتكامل معين. كما رأينا في اختبار في المحاضرات ، فإن الخيارات المختلفة لتكاملات معينة تؤدي إلى نفس عائلة الحلول العامة.

إحدى النتائج المفيدة للخطية هي أنه إذا كان RHS لـ ODE عبارة عن مجموع وظيفتين: [ mathcal[y] = f_1 (x) + f_2 (x). ] يمكننا تقسيم الخطوة الثانية لإيجاد تكامل معين إلى خطوات إضافية.

ابحث عن (y_ = ص ^ H_(x c_1، cdots، c_k) ) بحيث يكون ( mathcal[y_] = 0) .

ابحث عن أي حل لـ ( mathcal<>> [y] = f_1 (x) ).

ابحث عن أي حل لـ ( mathcal<>> [y] = f_2 (x) ).

ثم لدينا (y_ = ص_ + ص ^ 1_ + ص ^ 2_) .

معادلات ODE الخطية ذات المعاملات الثابتة

لا يمكن حل ODE الخطي العام دائمًا من الناحية التحليلية. في العام المقبل ، سترى طرقًا تقريبية ورقمية لحل هذا النوع من المعادلات التوضيحية. في بقية هذه الدورة ، سنركز على حالة معادلات ODE الخطية ذات المعاملات الثابتة ( ( alpha_i ) s لا تعتمد على المتغير المستقل (x )): [ mathcal[y] = sum_^ alpha_i mathcal^ i [y] = f (x) ]


8.3.3 تمثيل النظام متعدد الأبعاد

يتم وصف الصور ذات الأهمية من خلال إحداثيات مكانية وإحداثيات طول موجي ، f (x ، y ، λ). سيتم أخذ عينات من هذه الصورة المستمرة في كل بُعد. والنتيجة هي وظيفة محددة في نظام إحداثيات منفصل ، F(م ، ن ، ل). سيتطلب هذا عادةً مصفوفة ثلاثية الأبعاد. ومع ذلك ، للسماح باستخدام جبر المصفوفة القياسي ، فمن الشائع استخدام الترميز المكدس [3]. كل نطاق محدد بطول الموجة λ لتر أو ببساطة ل، الصورة عبارة عن صورة P × P. بدون فقدان التعميم ، سنفترض صورة مربعة للبساطة التوضيحية. يمكن تمثيل هذه الصورة كمتجه P 2 × 1. ال س يمكن تكديس نطاقات الصورة بطريقة مماثلة لتشكيل متجه Q P 2 × 1.

تم تصميم التمويه البصري على أنه التفاف للصورة المكانية. قد يتم تشويش كل طول موجي للصورة من خلال وظيفة انتشار نقطة مختلفة قليلاً (PSF). هذا يمثله

حيث المصفوفة ح لديه شكل كتلة

المصفوفة الفرعية H i، j ذات البعد P 2 × P 2 وتمثل مساهمة يالنطاق ال من الإدخال إلى أناالفرقة ال من الإخراج. نظرًا لأن النظام البصري لا يغير تردد الإشارة الضوئية ، ح سيكون كتلة قطرية. هناك حالات ، على سبيل المثال ، التصوير باستخدام مصفوفات مرشح الألوان ، حيث لا يصح الافتراض القطري.

في كثير من الحالات ، تعد المعالجة متعددة الأبعاد امتدادًا مباشرًا للمعالجة أحادية الأبعاد. يسمح استخدام تدوين المصفوفة باستخدام الجبر الخطي البسيط لاشتقاق العديد من النتائج الصالحة في أي بُعد. تنشأ المشاكل في المقام الأول أثناء تنفيذ الخوارزميات عند تبسيط الافتراضات عادة. بعض أوجه التشابه والاختلاف مذكورة أدناه.

8.3.3.1 أوجه التشابه

المشتقات وتوسعات تايلور هي امتدادات 1D

تحويلات فورييه هي امتداد مباشر لـ 1D

نظرية الأنظمة الخطية هي نفسها

تعتبر نظرية أخذ العينات امتدادًا مباشرًا لـ 1D

يتم التعامل مع الإشارات ثنائية الأبعاد القابلة للفصل على أنها إشارات أحادية الأبعاد

8.3.3.2 الاختلافات

الاستمرارية والمشتقات لها تعريفات اتجاهية

الإشارات ثنائية الأبعاد عادة لا تكون سببية ليست بديهية

لا يمكن دائمًا تحليل كثيرات الحدود ثنائية الأبعاد ، فهذا يحد من استخدام نماذج كثيرة الحدود المنطقية

المزيد من التباين في أخذ العينات ثنائي الأبعاد ، الشبكات السداسية شائعة في الطبيعة ، أخذ العينات العشوائية يجعل الاستيفاء أكثر صعوبة

قد تحتوي الوظائف الدورية على مجموعة متنوعة من الفترات ثنائية الأبعاد

تكون مناطق الدعم ثنائية الأبعاد أكثر تنوعًا ، وغالبًا ما تكون حدود الكائنات غير منتظمة بدلاً من المستطيلة أو الإهليلجية

يمكن أن تكون الأنظمة ثنائية الأبعاد مختلطة بين IIR و FIR ، سببية وغير سببية

يصعب معالجة وفهم التمثيل الجبري باستخدام التدوين المكدس للإشارات ثنائية الأبعاد

يعد التمثيل الجبري باستخدام التدوين المكدس للإشارات ثنائية الأبعاد أكثر صعوبة في التلاعب به والفهم منه في 1D. تم توضيح مثال على ذلك من خلال النظر في الارتباط التلقائي للصور متعددة النطاقات المستخدمة في طرق الاستعادة متعددة الأطياف. تمت كتابة هذا بسهولة من حيث تدوين المصفوفة الذي تمت مراجعته مسبقًا:

أين F هو متجه Q P 2 × 1. من أجل حساب التقديرات ، يجب أن نكون قادرين على معالجة هذه المصفوفة. بينما يمكن معالجة مصفوفة Q P 2 × Q P 2 بسهولة بشكل رمزي ، فإن الحساب المباشر بالمصفوفة ليس عمليًا للقيم الواقعية لـ ص و س، على سبيل المثال ، Q = 3 و P = 256. للحساب العملي ، يتم تبسيط شكل المصفوفة باستخدام افتراضات مختلفة ، مثل قابلية الفصل والدائرية واستقلالية النطاقات. تؤدي هذه الافتراضات إلى خصائص الكتلة للمصفوفة مما يقلل من أبعاد الحساب. يظهر مثال جيد في مشكلة الاستعادة متعددة الأبعاد [4].


الطرق العددية في الحوسبة العلمية

كل الحقوق محفوظة. طُبع في الولايات المتحدة الأمريكية. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذا الكتاب أو تخزينه أو نقله بأي شكل من الأشكال دون إذن كتابي من الناشر. للحصول على معلومات ، اكتب إلى جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية ، 3600 Market Street، 6th Floor، Philadelphia، PA 19104-2688 USA.

يمكن استخدام أسماء العلامات التجارية في هذا الكتاب دون تضمين رمز علامة تجارية. يتم استخدام هذه الأسماء في سياق تحريري فقط وليس المقصود التعدي على العلامة التجارية.

الرياضياتهي علامة تجارية مسجلة لشركة Wolfram Research، Inc.

MATLAB هي علامة تجارية مسجلة لشركة MathWorks، Inc. للحصول على معلومات حول منتج MATLAB ، يرجى الاتصال بـ The MathWorks، Inc.، 3 Apple Hill Drive، Natick، MA 01760-2098 USA، 508-647-7000، فاكس: 508-647-7101 ، [email protected] ، www.mathworks.com.

ظهر الشكل 4.5.2 في الأصل في Germund Dahlquist و Åke Björck. الطرق العددية. برنتيس هول ، 1974. يظهر هنا بإذن من المؤلفين.

مكتبة الكونغرس بيانات الفهرسة في والنشر

الطرق العددية في الحوسبة العلمية / Germund Dahlquist، Åke Björck. ص سم.

تتضمن مراجع ببليوغرافية وفهرس. ISBN 978-0-898716-44-3 (v. 1: alk. paper)

1. التحليل العددي - معالجة البيانات. I. Björck، Åke، 1934- II. لقب.

محتويات

قائمة الأشكال الخامس عشر

قائمة جداول التاسع عشر

قائمة الاتفاقيات الحادي والعشرون

1 مبادئ الحسابات العددية 1

1.1 الأفكار والمفاهيم الشائعة. . . 1

1.1.1 تكرار النقطة الثابتة. . . 2

1.1.3 الخطية والاستقراء. . . 9

1.1.4 تقريب الفروق المحدودة. . . 11

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 15

1.2 بعض الخوارزميات العددية. . . 16

1.2.1 حل معادلة من الدرجة الثانية. . . 16

1.2.2 علاقات التكرار. . . 17

1.2.3 إستراتيجية فرق تسد. . . 20

1.2.4 توسعات سلسلة الطاقة. . . 22

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 23

1.3 حسابات المصفوفة. . . 26

1.3.1 ضرب المصفوفة. . . 26

1.3.2 حل الأنظمة الخطية بعوامل LU. . . 28

1.3.3 المصفوفات المتفرقة والطرق التكرارية. . . 38

1.3.4 برنامج حسابات المصفوفة. . . 41

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 43

1.4 مشكلة المربعات الصغرى الخطية. . . 44

1.4.1 المفاهيم الأساسية في الاحتمالات والإحصاء. . . 45

1.4.2 توصيف حلول المربعات الصغرى. . . 46

1.4.3 تحليل القيمة المفردة. . . 50

1.4.4 الترتيب العددي للمصفوفة. . . 52

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 54

1.5 الحل العددي للمعادلات التفاضلية. . . 55

1.5.2 مثال تمهيدي. . . 56

1.5.3 طرق دقيقة من الدرجة الثانية. . . 59

1.5.4 الاختيار التكيفي لحجم الخطوة. . . 61

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 63

1.6 طرق مونت كارلو. . . 64

1.6.1 أصل طرق مونت كارلو. . . 64

1.6.2 توليد واختبار الأرقام العشوائية الزائفة. . . 66

1.6.3 الانحرافات العشوائية للتوزيعات الأخرى. . . 73

1.6.4 تقليل التباين. . . 77

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 82

ملاحظات ومراجع . . . 83

2 كيفية الحصول على الدقة وتقديرها 87 2.1 المفاهيم الأساسية في تقدير الخطأ. . . 87

2.1.1 مصادر الخطأ. . . 87

2.1.2 الأخطاء المطلقة والنسبية. . . 90

2.1.3 التقريب والتقطيع. . . 91

2.2 أنظمة رقم الكمبيوتر. . . 93

2.2.1 نظام المركز. . . 93

2.2.2 تمثيل النقطة الثابتة والعائمة. . . 95

2.2.3 معيار النقطة العائمة IEEE. . . 99

2.2.4 الوظائف الابتدائية. . . 102

2.2.5 الحساب متعدد الدقة. . . 104

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 105

2.3 أخطاء الدقة والتقريب. . . 107

2.3.1 حساب النقطة العائمة. . . 107

2.3.2 نتائج خطأ التقريب الأساسي. . . 113

2.3.3 النماذج الإحصائية لتقريب الأخطاء. . . 116

2.3.4 تجنب تجاوز وإلغاء. . . 118

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 122

2.4 انتشار الخطأ. . . 126

2.4.1 المشكلات العددية والطرق والخوارزميات. . . 126

2.4.2 انتشار الأخطاء وأرقام الشرط. . . 127

2.4.3 تحليل الاضطراب للأنظمة الخطية. . . 134

2.4.4 تحليل الخطأ واستقرار الخوارزميات. . . 137

2.5 التحكم الآلي في الدقة والحوسبة التي تم التحقق منها. . . 145

2.5.1 تشغيل تحليل الخطأ. . . 145

2.5.2 الاضطرابات التجريبية. . . 146

2.5.3 حساب الفترات. . . 147

2.5.4 نطاق الوظائف. . . 150

2.5.5 حسابات مصفوفة الفاصل. . . 153

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 155

ملاحظات ومراجع . . . 155

3 المتسلسلة والعوامل والكسور المستمرة 157 3.1 بعض الحقائق الأساسية حول السلسلة. . . 157

3.1.2 صيغة تايلور وسلسلة الطاقة. . . 162

3.1.3 الاستمرارية التحليلية. . . 171

3.1.4 معالجة سلسلة الطاقة. . . 173

3.1.5 سلسلة الطاقة الرسمية. . . 181

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 185

3.2 المزيد حول السلسلة. . . 191

3.2.1 سلسلة لوران وفورييه. . . 191

3.2.2 طريقة كوشي- FFT. . . 193

3.2.3 توسعات Chebyshev. . . 198

3.2.4 التوسعات المضطربة. . . 203

3.2.5 سلسلة سيئة الشرط. . . 206

3.2.6 سلسلة متباينة أو شبه متباينة. . . 212

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 215

3.3 معاملات الفروق وتوسعات المشغل. . . 220

3.3.1 خصائص عوامل الفروق. . . 220

3.3.2 حساب العوامل. . . 225

3.3.3 نظرية البيانو. . . 237

3.3.4 معادلات التقريب بواسطة طرق المشغل. . . 242

3.3.5 معادلات الفروق الخطية المفردة. . . 251

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 261

3.4 تسريع التقارب. . . 271

3.4.2 سلسلة المقارنة وتسريع Aitken. . . 272

3.4.3 تحول أويلر. . . 278

3.4.4 الرتابة الكاملة والمفاهيم ذات الصلة. . . 284

3.4.5 صيغة أويلر ماكلورين. . . 292

3.4.6 استقراء ريتشاردسون المتكرر. . . 302

3.5 الكسور المستمرة وتقريب بادي. . . 321

3.5.1 الكسور الجبرية المستمرة. . . 321

3.5.2 الكسور التحليلية المستمرة. . . 326

3.5.3 طاولة Padé. . . 329

3.5.4 خوارزمية إبسيلون. . . 336

3.5.5 خوارزمية qd. . . 339

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 345

ملاحظات ومراجع . . . 348

4 الاستيفاء والتقريب 351 4.1 مشكلة الاستيفاء. . . 351

4.1.2 أسس الاستيفاء متعدد الحدود. . . 352

4.1.3 تكييف الاستيفاء متعدد الحدود. . . 355

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 357

4.2 الصيغ والخوارزميات الاستيفاء. . . 358

4.2.1 صيغة استيفاء نيوتن. . . 358

4.2.2 الاستيفاء المعكوس. . . 366

4.2.3 استيفاء لاغرانج ثنائي المركز. . . 367

4.2.4 الاستيفاء الخطي التكراري. . . 371

4.2.5 خوارزميات سريعة لأنظمة Vandermonde. . . 373

4.2.6 ظاهرة Runge. . . 377

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 380

4.3 التعميمات والتطبيقات. . . 381

4.3.1 الاستيفاء هيرمايت. . . 381

4.3.2 التحليل المركب في كثير الحدود. . . 385

4.3.3 الاستيفاء المنطقي. . . 389

4.3.4 الاستيفاء متعدد الأبعاد. . . 395

4.3.5 تحليل ظاهرة الرونج المعممة. . . 398

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 407

4.4 الاستيفاء متعدد الحدود المتقطع. . . 410

4.4.1 متعدد الحدود برنشتاين ومنحنيات بيزير. . . 411

4.4.2 وظائف المفتاح. . . 417

4.4.3 أساس B-Spline. . . 426

4.4.4 تقريب خطوط المربعات الصغرى. . . 434

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 437

4.5 التقريب والمسافات الوظيفية. . . 439

4.5.1 المسافة والقاعدة. . . 440

4.5.2 قواعد المشغل وصيغة المسافة. . . 444

4.5.4 حل مشكلة التقريب. . . 454

4.5.5 الخصائص الرياضية لمتعدد الحدود المتعامد. . . 457

4.5.6 التوسعات في كثيرات الحدود المتعامدة. . . 466

4.5.7 التقريب في الحد الأقصى المعياري. . . 471

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 479

4.6 طرق فورييه. . . 482

4.6.1 المعادلات والنظريات الأساسية. . . 483

4.6.2 تحليل فورييه المنفصل. . . 487

4.6.3 الاستمرار الدوري للوظيفة. . . 491

4.6.4 تقارب تسريع سلسلة فورييه. . . 492

4.6.5 نظرية فورييه المتكاملة. . . 494

4.6.6 بيانات العينة والاسم المستعار. . . 497

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 500

4.7 تحويل فورييه السريع. . . 503

4.7.1 خوارزمية FFT. . . 503

4.7.2 الالتواء المنفصل بواسطة FFT. . . 509

4.7.3 FFTs من البيانات الحقيقية. . . 510

4.7.4 التحولات المثلثية السريعة. . . 512

4.7.5 الحالة العامة FFT. . . 515

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 517

ملاحظات ومراجع . . . 518

5 تكامل رقمي 521 5.1 قواعد التربيع الاستيفائية. . . 521

5.1.2 معالجة التفردات. . . 525

5.1.3 بعض الصيغ الكلاسيكية. . . 527

5.1.4 التقارب الفائق لقاعدة شبه المنحرف. . . 531

5.1.5 صيغ نيوتن-كوتس ذات الترتيب الأعلى. . . 533

5.1.6 قواعد فيجر وكلينشو كورتيس. . . 538

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 542

5.2 التكامل عن طريق الاستقراء. . . 546

5.2.1 صيغة أويلر ماكلورين. . . 546

5.2.2 طريقة رومبيرج. . . 548

5.2.3 تتأرجح التكامل. . . 554

5.2.4 التربيع التكيفي. . . 560

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 564

5.3 قواعد التربيع مع العقد الحرة. . . 565

5.3.1 طريقة المعاملات غير المحددة. . . 565

5.3.3 تربيع غاوس مع العقد المحددة مسبقًا. . . 573

5.3.4 المصفوفات واللحظات وتربيع جاوس. . . 576

5.3.5 مصفوفات جاكوبي و تربيع غاوس. . . 580

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 585

5.4 التكامل متعدد الأبعاد. . . 587

5.4.1 تقنيات التحليل. . . 588

5.4.2 التكامل أحادي البعد المتكرر. . . 589

5.4.4 شبكات مثلثة غير منتظمة. . . 594

5.4.5 طرق مونت كارلو. . . 599

5.4.6 طرق شبه مونت كارلو والشبكية. . . 601

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 605

ملاحظات ومراجع . . . 606

6 حل المعادلات العددية غير الخطية 609 6.1 بعض المفاهيم والطرق الأساسية. . . 609

6.1.2 طريقة التقسيم. . . 610

6.1.3 معايير الدقة والإنهاء. . . 614

6.1.4 تكرار النقطة الثابتة. . . 618

6.1.5 ترتيب التقارب والكفاءة. . . 621

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 624

6.2 الطرق القائمة على الاستيفاء. . . 626

6.2.1 طريقة الموقف الخاطئ. . . 626

6.2.2 طريقة القاطع. . . 628

6.2.3 طرق الاستيفاء ذات الترتيب الأعلى. . . 631

6.2.4 طريقة هجينة قوية. . . 634

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 636

6.3 طرق استخدام المشتقات. . . 637

6.3.1 طريقة نيوتن. . . 637

6.3.2 طريقة نيوتن للجذور المعقدة. . . 644

6.3.3 طريقة نيوتن الفاصلة. . . 646

6.3.4 طرق الترتيب الأعلى. . . 647

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 653

6.4 إيجاد دالة صغرى. . . 656

6.4.2 وظائف أحادية النسق وبحث القسم الذهبي. . . 657

6.4.3 التقليل عن طريق الاستيفاء. . . 660

6.5 المعادلات الجبرية. . . 662

6.5.1 بعض النتائج الأولية. . . 662

6.5.2 المعادلات الجبرية سيئة الشرط. . . 665

6.5.3 ثلاث طرق كلاسيكية. . . 668

6.5.4 الانكماش والتحديد المتزامن للجذور. . . 671

6.5.5 طريقة نيوتن المعدلة. . . 675

6.5.6 متواليات شتورم. . . 677

6.5.7 إيجاد أكبر قواسم مشتركة. . . 680

مشاكل وتمارين الكمبيوتر. . . 683

ملاحظات ومراجع . . . 685

فهرس 687

أ الملحق عبر الإنترنت: مقدمة في حسابات المصفوفة أ -1

أ / 1 المتجهات والمصفوفات. . . أ -1 أ -1.1 مسافات متجهية خطية. . . A-1 A.1.2 المصفوفة والجبر المتجه. . . أ -3 أ. 1-3 نظم الرتبة والخطية. . . A-5 A.1.4 المصفوفات الخاصة. . . أ -6 أ -2 العروض ومصفوفات القوالب. . . A-8 A.2.1 بلوك القضاء على Gaussian. . . أ -10 أ -3 التباديل والمحددات. . . A-12 A.4 القيم الذاتية ومعايير المصفوفات. . . A-16 A.4.1 المعادلة المميزة. . . A-16 A.4.2 نماذج شور وجوردان العادية. . . أ -17 أ / 4-3 معايير المتجهات والمصفوفات. . . أسئلة مراجعة A-18. . . مشاكل A-21. . . أ -22

ب الملحق على الإنترنت: حزمة MATLAB متعددة الدقة ب -1

ج الملحق على الإنترنت: دليل الأدب سي -1

قائمة الأشكال

1.1.1 التفسير الهندسي للتكرار xn+1 = F (xn). . . 3

1.1.2 تكرار النقطة الثابتة xn+1 = (xn + c / xn) /2،c=2،x0=0.75. . . . 4

1.1.3 التفسير الهندسي لطريقة نيوتن. . . 7

1.1.4 التفسير الهندسي للطريقة القاطعة. . . 8

1.1.5 التكامل العددي بقاعدة شبه منحرف (n=4). . . 10

1.1.6 مركز حاصل الفروق المنتهية. . . 11

1.3.1 نمط غير صفري لمصفوفة متفرقة من عمود تقطير كيميائي ثماني المراحل. . . 39

1.3.2 بنية غير صفرية للمصفوفة A (يسار) و L.+أنت على حق). . . 39

1.3.3 هيكل المصفوفة A (يسار) و L.+U (يمين) لمشكلة بواسون ، إن =20 (الترتيب الصفوف للمجهول). . . 41

1.4.1 التوصيف الهندسي لحل المربعات الصغرى. . . 48

1.4.2 القيم الفردية لمصفوفة مفردة عدديًا. . . 53

1.5.1 الحل التقريبي للمعادلة التفاضلية / dt =y ، y0 = 0.25 ، بطريقة أويلر مع h=0.5. . . 56

1.5.2 المسارات التقريبية المحسوبة بطريقة أويلر=0.01. 58 1.6.1 تشتت النيوترونات. . . 66

1.6.2 قطع أزواج من 106زي عشوائي ينحرف(واجهة المستخدم، واجهة المستخدم +1) مثل هذا Ui & lt 0.0001. يسار: MATLAB 4 يمين: MATLAB 5.. . 71

1.6.3 رقم عشوائي مع التوزيع F (x). . . 74

1.6.4 محاكاة الحركة البراونية ثنائية الأبعاد. تم رسم 32 مسارًا تمت محاكاته مع h=0.1 ، كل منها يتكون من 64 خطوة. . . 76

1.6.5 يُظهر الجزء الأيسر كيف يختلف تقدير مع عدد الرميات. الجزء الصحيح يقارن|م / ن2 / π|مع الانحراف المعياري m / n. . . 78

1.6.6 متوسط ​​أوقات الانتظار للطبيب والمرضى في المستوصف. . . 81

2.2.2 الأرقام الموجبة المقيسة وغير المطابقة عندما=2 ، ر =3 و 1≤e2. . . 99

2.3.2 القيم المحسوبة لكثيرات الحدود بالقرب من جذر متعدد. . . 117

2.3.3 دالة التردد للتوزيع الطبيعي لـσ =1. . . 118

2.4.1 توضيح هندسي لرقم الشرط. . . 134

2.5.1 تأثير الالتفاف في تحليل الفترات. . . 152

3.1.1 مقارنة سلسلة مع تكامل (n=5). . . 160

3.1.2 سلسلة حيث يكون لـ RnandRn + 1 إشارات مختلفة. . . 161

3.1.3 مجاميع متتالية من سلسلة متعاقبة. . . 161

3.1.4 مجاميع جزئية لتوسعات Maclaurin لوظيفتين. المنحنيات العلوية هي ل cosx ، n=0:2:26, 0x 10. المنحنيات السفلية هي لـ 1 / (1+x2) ، ن=0:2:18, 0x 1.5. . . 163

3.1.5 الخطأ النسبي في تقديرات دالة الخطأ بواسطة سلسلة Maclaurin المقتطعة بعد المصطلح الأول الذي يفي بالشرط في (3.1.11). 165 3.2.1 رسم بياني لكثير حدود Chebyshev T20 (x)، x∈ [−1،1]. . . 200

3.2.2 مثال 3.2.7 (أ): شروط (3.2.33) ، cn = (n + 1) −2 ، x = 40 ، لا يوجد شرط مسبق. . . 208

3.2.3 مثال 3.2.7 (ب): cn=+1) −2 ، س=40 ، مع مكيف في (3.2.36). . . 209

3.2.4 تقديرات الخطأ للسلسلة شبه المتقاربة للمثال 3.2.9 forx =10 انظر (3.2.43). . . 213

3.2.5 خطأ التوسيع خارج (x)=1/(1+x2) في مجموع متعددات حدود Chebyshev>،ن12. . . 216

1.3.3 حدود خطأ الاقتطاع RT وخطأ التقريب RXF في التمايز العددي كوظائف لـ h (U =0.5·10−6). . . 248

3.4.1 لوغاريتمات الأخطاء الفعلية وتقديرات الخطأ لـ MN، k في حساب أكثر شمولاً للسلسلة المتناوبة في (3.4.12) بشروط رتيبة تمامًا. يتم تعيين التفاوت هنا فوق المستوى الذي تصبح فيه الأخطاء غير المنتظمة مهمة بالنسبة لأجزاء تحمل أصغر من المنحنيات الأقل قد تصبح أقل سلاسة في بعض الأجزاء. . . 283

3.5.1 أفضل التقديرات المنطقية<(ص ، ف)>إلى "النسبة الذهبية". . . . 325

4.2.1 خطأ في الاستيفاء inPnforf (x) = xn ، باستخدام n = 12: نقاط Chebyshev (خط متصل) ونقاط متساوية البعد (خط متقطع). . . 378

4.2.2 استيفاء متعدد الحدود لـ 1 / (1+25x2) بطريقتين باستخدام 11 نقطة: نقاط متساوية البعد (منحنى متقطع) ، Chebyshev abscissae (منحنى متقطع). . . 378

مع 30عقد متساوية البعد في [−1,1]. المنحنيات المتذبذبة هي

أخطاء الاستيفاء التجريبية (لوحظت عند 300 نقطة متساوية البعد) ، من أجل

ش=xin المنحنى السفلي و foru=x+0.02 في المنحنى العلوي في كليهما

الحالات x∈ [−1,1]. المنحنيات الملساء هي تقديرات هذه الكميات

التي تم الحصول عليها بواسطة نموذج الكمون اللوغاريتمي ، انظر الأمثلة 4.3.10 و

4.3.4 بعض منحنيات المستوى للجهد اللوغاريتمي المرتبط باستيفاء Chebyshev. وهي عبارة عن قطع ناقصة ذات بؤر عند ± 1. بسبب التناظر يظهر ربع كل منحنى فقط. تُرى قيمة (z) للمنحنى إلى اليسار بالقرب من المنحنى. . . 404

4.4.1 متعددات حدود بيرنشتاين الأربعة المكعبة. . . 412

4.4.2 منحنى بيزير التربيعي مع نقاط تحكم. . . 414

4.4.3 منحنى بيزير مكعب بنقطة تحكم sp0،. . . ، ص 3. . . 414

4.4.4 خوارزمية De Casteljau forn=2 ، ر = 12. . . 416

4.4.5 خط الصياغة. . . 417

4.4.6 الخط المكسور والخط المكعب. . . 419

4.4.7 خطأ انحدار الحدود sB ، إذا كان الخط التكعيبي ، e0 = em = −1m = 20. . 426

4.4.8 تشكيل عقدة مزدوجة لشكل خطي. . . 428

4.4.9 B- شرائح من orderk=1,2,3. . . 429

4.4.10 أربعة شرائح B مكعبة غير صفرية0، ر1) مع اندماج العقدة الخارجية3 = t − 2 = t − 1 = t0. . . 430

4.4.11 بنية النطاقات من المصفوفاتأالناشئة في شريحة مكعبة التقريب أب مع شرائح B (تظهر العناصر غير الصفرية). . . 435

4.4.12 المربعات الصغرى لتقريب الشكل المكعب لبيانات التيتانيوم باستخدام 17 عقدة مميزة على المحاور بعلامة "o". . . . 436

4.5.1 متعدد الحدود Legendre . . 463

4.5.2 حجم المعاملات في توسع Chebyshev لوظيفة تحليلية ملوثة بضوضاء التقريب. . . 472

4.5.3 التقريب المنتظم الخطي. . . 475

4.6.1 موجة مستطيلة. . . 486

4.6.2 توضيح لظاهرة جيبس. . . 487

4.6.3 الاستمرار الدوري للدالة بالخارج[0 ، π]كدالة فردية. 491 4.6.4 الأجزاء الحقيقية (العلوية) والتخيلية (السفلية) من تحويل فورييه (الخط الصلب) لـ − x و DFT المقابلة (النقاط) مع N=32 ، ت =8. . . 499

5.1.1 المعاملات|صباحا ، ي|من شكل 2- التوسع=2 :2 :14 ، ي =0 : 20. الدوائر هي معاملات معادلات كوتس المغلقة ، أي ، j =1+م / 2. . . 537

5.2.1 تطبق قاعدة Filon-شبه المنحرفة على تكامل فورييه مع f (x)=السابق, له=1/10 وω=1:1000 خط متصل: خط متقطع متكامل: القيمة المطلقة للخطأ. . . 558

5.2.2 دالة التذبذب x − 1cos (x − 1lnx). . . 559

5.2.3 وظيفة على شكل إبرة. . . 561

5.4.1 تكامل RegionDof. . . 590

5.4.3 صقل شبكة مثلثة. . . 594

5.4.4 إحداثيات مركزية المثلث. . . 595

5.4.5 التصحيح لمقطع الحدود المنحني. . . 598

5.4.6 شبكات لـ I4 وI16. . . 599

5.4.7 نقاط هامرسلي في [0،1]2. . . 603

6.1.1 رسم بياني للمنحنى =(x / 2) 2 و sinx. . . 611

6.1.2 طريقة التقسيم. . . 612

6.1.3 تقريب محدود الدقة لوظيفة مستمرة. . . 615

6.1.4 تكرار النقطة الثابتة xk+1 = ه − xk ،x 0 =0.3. . . 619

6.2.1 طريقة الوضع الخاطئ. . . 627

6.2.2 الطريقة القاطعة. . . 628

6.3.1 الوظيفة x=ulnu. . . 642

6.3.2 حالة تتقارب فيها طريقة نيوتن من anyx0∈ [أ ، ب]. . . 643

1.4.6 خطوة واحدة لتقليل الفاصل الزمني g (ck)ز (دك). . . 658

قائمة جداول

1.6.1 محاكاة أوقات الانتظار للمرضى في العيادة. . . 80

2.2.1 تنسيقات النقطة العائمة IEEE. . . 100

2.2.2 تمثيل IEEE 754. . . 101

2.4.1 أرقام الشرط لمصفوفات نظام هلبرت12. . . 135

3.1.1 توسعات Maclaurin لبعض الوظائف الأولية. . . 167

3.2.2 تقييم بعض وظائف بيسل. . . 211

3.3.1 جدول بيكلي للعلاقات بين عوامل الاختلاف. . . 231

3.3.2 التكامل ′ ′ = −ذ ، ص (0)= 0 ، ص (0) = 1 يشير الحرفان U و S في عناوين العمودين الأخيرين إلى "غير مستقر" و "مستقر". . . . 258

3.4.1 الجمع عن طريق حساب المتوسط ​​المتكرر. . . 278

3.4.2 أرقام برنولي وأويلر B1 = −1/2 ، E1 = 1. . . 294

4.5.1 دوال الوزن ومعاملات التكرار لبعض كثيرات الحدود المتعامدة الأحادية الكلاسيكية. . . 465

4.6.1 خصائص تناظر مفيدة لتحويل فورييه المستمر. . . 495

4.7.1 خصائص تناظر مفيدة لـ DFT. . . 511

5.1.1 المعاملات wi = صيغ نيوتن-كوتس المغلقة بعد ذلك النقطة. 534 5.1.2 المعامل = Aciin ثم نقطة فتح صيغ نيوتن كوتس. 535 5.3.1 Abscissae وعوامل الوزن لبعض تربيع Gauss-Legendre من [1 ، الجدول 25.4]. . . 572

1.5.6 مخطط qd لحساب أصفار Ly (z). . . 674

6.5.2 على اليسار: تسجيل التغييرات في تسلسل شتورم. على اليمين: فترات زمنية [lk، uk] تحتوي على zeroxk. . . 679

قائمة الاتفاقيات

إلى جانب الاختصارات والرموز الرياضية المقبولة عمومًا (انظر ، على سبيل المثال ، جيمس وجيمس ،قاموس الرياضيات[1985 ، ص 467-471]) ، تم استخدام الرموز التالية في الكتاب:

ماتلابتم استخدام هذا الكتاب في اختبار الخوارزميات. نحن أيضا نستخدم الرموز الخاصة به

لعمليات المصفوفة وترميز القولون الملائم.

. أ .منتج كل عنصر على حدة A (i، j) B (i، j) ./ A ./Belement- By- Item Division:ك نفس عاصي ، أنا+1 ،. . . ، كاند فارغ ifi & gt k

أ(:، ك) ، أ (أنا ،:) العمود ith ، الصف ith من A ، على التوالي A (i:ك) مثل A (i) ، A (i+1) ،. . . ، ا (ك)

⌊x الكلمة ، أي أكبر عدد صحيحx

⌈x السقف ، أي أصغر عدد صحيحx exand exp (x) كلاهما يدل على الدالة الأسية

fl (x+ذ) عمليات الفاصلة العائمة ، انظر ثانية. 2.2.3

[أ ، ب] فاصل مغلق (أx ب) (أ ، ب) فاصل مفتوح (أ & لوت س & لوت ب)

int (أ ، ب ، ج ،.. ، ث) أصغر فترة زمنية تحتوي على أ ، ب ، ج ،. . . ، w f (x)=O (g (x)) ، x أ |f (x) / g (x)|يحد asxأ

Pk مجموعة كثيرات الحدود من الدرجةأقل منك (و ، ز) الناتج القياسي للوظائف و و ز

· p p-norm في متجه خطي أو فضاء وظيفي

انظر ثانية. 4.5.1 - 4.5.3 وثاني. A.3.3 في الملحق على الإنترنت أ

En (f) dist (f، Pn)، [أ ، ب] انظر التعريف 4.5.6

الرموز يتم تعريف b و a b و a b في Sec. 2.1.2. المصفوفات و

يتم الإشارة إلى المتجهات عمومًا بأحرف رومانية واندب. في وبتي تدل على تبديل

من المصفوفة والمتجه ب ، على التوالي. (أ ، ب) تعني مصفوفة مقسمة انظر ثانية.

A.2 في الملحق عبر الإنترنت أ. يمكن أيضًا العثور على تدوين لحساب المصفوفة في الملحق عبر الإنترنت أ. ملاحظات للاختلافات وعوامل الفروق ، على سبيل المثال ، 42yn ،[x0 ، x1 ، x2] f ، 2y ، مُعرَّفة في الفصلين 3 و 4.

مقدمة

في عام 1974 كتاب دالكويست وبيورك ، الطرق العددية، تم نشره في سلسلة Prentice – Hall في الحساب التلقائي ، الذي حرره جورج فورسيث. It was an extended and updated English translation of a Swedish undergraduate textbook used at the Royal Institute of Technology (KTH) in Stockholm. This book became one of the most successful titles at Prentice–Hall. It was translated into several other languages and as late as 1990 a Chinese edition appeared. It was reprinted in 2003 by Dover Publications.

In 1984 the authors were invited by Prentice–Hall to prepare a new edition of the book. After some attempts it soon became apparent that, because of the rapid development of the field, one volume would no longer suffice to cover the topics treated in the 1974 book. Thus a large part of the new book would have to be written more or less from scratch. This meant more work than we initially envisaged. Other commitments inevitably interfered, sometimes for years, and the project was delayed. The present volume is the result of several revisions worked out during the past 10 years.

Tragically, my mentor, friend, and coauthor Germund Dahlquist died on February 8, 2005, before this first volume was finished. Fortunately the gaps left in his parts of the manuscript were relatively few. Encouraged by his family, I decided to carry on and I have tried to the best of my ability to fill in the missing parts. I hope that I have managed to convey some of his originality and enthusiasm for his subject. It was a great privilege for me to work with him over many years. It is sad that he could never enjoy the fruits of his labor on this book.

Today mathematics is used in one form or another within most areas of science and industry. Although there has always been a close interaction between mathematics on the one hand and science and technology on the other, there has been a tremendous increase in the use of sophisticated mathematical models in the last decades. Advanced mathematical models and methods are now also used more and more within areas such as medicine, economics, and social sciences. Today, experiment and theory, the two classical elements of the scientific method, are supplemented in many areas by computations that are an equally important component.

The increased use of numerical methods has been caused not only by the continuing advent of faster and larger computers. Gains in problem-solving capabilities through bet-ter mathematical algorithms have played an equally important role. In modern scientific computing one can now treat more complex and less simplified problems through massive amounts of numerical calculations.

This volume is suitable for use in a basic introductory course in a graduate program in numerical analysis. Although short introductions to numerical linear algebra and differential

equations are included, a more substantial treatment is deferred to later volumes. The book can also be used as a reference for researchers in applied sciences working in scientific computing. Much of the material in the book is derived from graduate courses given by the first author at KTH and Stanford University, and by the second author at Linköping University, mainly during the 1980s and 90s.

We have aimed to make the book as self-contained as possible. The level of presenta-tion ranges from elementary in the first and second chapters to fairly sophisticated in some later parts. For most parts the necessary prerequisites are calculus and linear algebra. For some of the more advanced sections some knowledge of complex analysis and functional analysis is helpful, although all concepts used are explained.

The choice of topics inevitably reflects our own interests. We have included many methods that are important in large-scale computing and the design of algorithms. But the emphasis is on traditional and well-developed topics in numerical analysis. Obvious omissions in the book are wavelets and radial basis functions. Our experience from the 1974 book showed us that the most up-to-date topics are the first to become out of date.

Chapter 1 is on a more elementary level than the rest of the book. It is used to introduce a few general and powerful concepts and ideas that will be used repeatedly. An introduction is given to some basic methods in the numerical solution of linear equations and least squares problems, including the important singular value decomposition. Basic techniques for the numerical solution of initial value problems for ordinary differential equations is illustrated. An introduction to Monte Carlo methods, including a survey of pseudorandom number generators and variance reduction techniques, ends this chapter.

Chapter 2 treats floating-point number systems and estimation and control of errors. It is modeled after the same chapter in the 1974 book, but the IEEE floating-point standard has made possible a much more satisfactory treatment. We are aware of the fact that this aspect of computing is considered by many to be boring. But when things go wrong (and they do!), then some understanding of floating-point arithmetic and condition numbers may be essential. A new feature is a section on interval arithmetic, a topic which recently has seen a revival, partly because the directed rounding incorporated in the IEEE standard simplifies the efficient implementation.

In Chapter 3 different uses of infinite power series for numerical computations are studied, including ill-conditioned and semiconvergent series. Various algorithms for com-puting the coefficients of power series are given. Formal power series are introduced and their convenient manipulation using triangular Toeplitz matrices is described.

Difference operators are handy tools for the derivation, analysis, and practical ap-plication of numerical methods for many tasks such as interpolation, differentiation, and quadrature. A more rigorous treatment of operator series expansions and the use of the Cauchy formula and the fast Fourier transform (FFT) to derive the expansions are original features of this part of Chapter 3.

An exposition of continued fractions and Padé approximation, which transform a (formal) power series into a sequence of rational functions, concludes this chapter. This includes theǫ-algorithm, the most important nonlinear convergence acceleration method,

as well as the qd algorithm.

Chapter 4 treats several topics related to interpolation and approximation. Different bases for polynomial interpolation and related interpolation formulas are explained. The advantages of the barycentric form of Lagrange interpolation formula are stressed. Complex analysis is used to derive a general Lagrange–Hermite formula for polynomial interpolation in the complex plane. Algorithms for rational and multidimensional interpolation are briefly surveyed.

Interpolation of an analytic function at an infinite equidistant point set is treated from the point of view of complex analysis. Applications made to the Runge phenomenon and the Shannon sampling theorem. This section is more advanced than the rest of the chapter and can be skipped in a first reading.

Piecewise polynomials have become ubiquitous in computer aided design and com-puter aided manufacturing. We describe how parametric Bézier curves are constructed from piecewise Bernštein polynomials. A comprehensive treatment of splines is given and the famous recurrence relation of de Boor and Cox for B-splines is derived. The use of B-splines for representing curves and surfaces with given differentiability conditions is illustrated.

Function spaces are introduced in Chapter 4 and the concepts of linear operator and operator norm are extended to general infinite-dimensional vector spaces. The norm and distance formula, which gives a convenient error bound for general approximation problems, is presented. Inner product spaces, orthogonal systems, and the least squares approximation problem are treated next. The importance of the three-term recurrence formula and the Stieltjes procedure for numerical calculations is stressed. Chebyshev systems and theory and algorithms for approximation in maximum norm are surveyed.

Basic formulas and theorems for Fourier series and Fourier transforms are discussed next. Periodic continuation, sampled data and aliasing, and the Gibbs phenomenon are treated. In applications such as digital signal and image processing, and time-series analysis, the FFT algorithm (already used in Chapter 3) is an important tool. A separate section is therefore devoted to a matrix-oriented treatment of the FFT, including fast trigonometric transforms.

In Chapter 5 the classical Newton–Cotes rules for equidistant nodes and the Clenshaw– Curtis interpolatory rules for numerical integration are first treated. Next, extrapolation methods such as Romberg’s method and the use of the ǫ-algorithm are described. ال

superconvergence of the trapezoidal rule in special cases and special Filon-type methods for oscillating integrands are discussed. A short section on adaptive quadrature follows.

Quadrature rules with both free and prescribed nodes are important in many contexts. A general technique of deriving formulas using the method of undetermined coefficients is given first. Next, Gauss–Christoffel quadrature rules and their properties are treated, and Gauss–Lobatto, Gauss–Radau, and Gauss–Kronrod rules are introduced. A more advanced exposition of relations between moments, tridiagonal matrices, and Gauss quadrature is included, but this part can be skipped at first reading.

interpolation formulas on such grids are derived. Together with a simple correction for curved boundaries these formulas are also very suitable for use in the finite element method. A discussion of Monte Carlo and quasi–Monte Carlo methods and their advantages for high-dimensional integration ends Chapter 5.

Chapter 6 starts with the bisection method. Next, fixed-point iterations are introduced and the contraction mapping theorem proved. Convergence order and the efficiency index are discussed. Newton’s method is treated also for complex-valued equations and an interval Newton method is described. A discussion of higher-order methods, including the Schröder family of methods, is featured in this chapter.

Because of their importance for the matrix eigenproblem, algebraic equations are treated at length. The frequent ill-conditioning of roots is illustrated. Several classical methods are described, as well as an efficient and robust modified Newton method due to Madsen and Reid. Further, we describe the progressive qd algorithm and Sturm sequence methods, both of which are also of interest for the tridiagonal eigenproblem.

Three Online Appendices are available from the Web page of the book,www.siam. org/books/ot103. Appendix A is a compact survey of notations and some frequently

used results in numerical linear algebra. Volume II will contain a full treatment of these topics. Online Appendix B describes Mulprec, a collection of MATLAB m-files for (almost) unlimited high precision calculation. This package can also be downloaded from the Web page. Online Appendix C is a more complete guide to literature, where advice is given on not only general textbooks in numerical analysis but also handbooks, encyclopedias, tables, software, and journals.

An important feature of the book is the large collection of problems and computer exercises included. This draws from the authors’ 40+ year of experience in teaching courses in numerical analysis. It is highly recommended that a modern interactive system such as MATLAB is available to the reader for working out these assignments. The 1974 book also contained answers and solutions to most problems. It has not been possible to retain this feature because of the much greater number and complexity of the problems in the present book.

We have aimed to make and the bibliography as comprehensive and up-to-date as possible. A Notes and References section containing historical comments and additional references concludes each chapter. To remind the reader of the fact that much of the the-ory and many methods date one or several hundred years back in time, we have included more than 60 short biographical notes on mathematicians who have made significant con-tributions. These notes would not have been possible without the invaluable use of the bi-ographies compiled at the School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (www-history.mcs.st.andrews.ac.uk). Many of these full biographies are fascinating to read.

Per Lötstedt. Thank you all for your interest in the book and for giving so much of your valuable time!

The book was typeset in LATEX the references were prepared in BibTEX, and the index

with MakeIndex. These are all wonderful tools and my thanks goes to Donald Knuth for his gift to mathematics. Thanks also to Cleve Moler for MATLAB, which was used in working out examples and for generating figures.

It is a pleasure to thank Elizabeth Greenspan, Sarah Murphy, and other staff at SIAM for their cheerful and professional support during all phases of the acquisition and production of the book.


PHPSimplex

Solve using the Simplex method the following problem:

Maximize Z = f(x,y) = 3x + 2y
subject to: 2x + y &le 18
2x + 3y &le 42
3x + y &le 24
x &ge 0 , y &ge 0

Consider the following steps:

    Make a change of variables and normalize the sign of the independent terms.

A change is made to the variable naming, establishing the following correspondences:

As the independent terms of all restrictions are positive no further action is required. Otherwise there would be multiplied by "-1" on both sides of the inequality (noting that this operation also affects the type of restriction).

The inequalities become equations by adding slack, surplus و artificial variables as the following table:

Inequality type Variable that appears
&ge - surplus + artificial
= + artificial
&le + slack

In this case, a slack variable (X 3 , X 4 and X 5 ) is introduced in each of the restrictions of &le type, to convert them into equalities, resulting the system of linear equations:

The initial tableau of Simplex method consists of all the coefficients of the decision variables of the original problem and the slack, surplus and artificial variables added in second step (in columns, with P 0 as the constant term and P i as the coefficients of the rest of X i variables), and constraints (in rows). The C b column contains the coefficients of the variables that are in the base.

The first row consists of the objective function coefficients, while the last row contains the objective function value and reduced costs Z j - C j .

The last row is calculated as follows: Z j = &Sigma(C bi ·P j ) for i = 1..m, where if j = 0, P 0 = b i and C 0 = 0, else P j = a ij . Although this is the first tableau of the Simplex method and all C b are null, so the calculation can simplified, and by this time Z j = -C j .

If the objective is to maximize, when in the last row (indicator row) there is no negative value between discounted costs (P 1 columns below) the stop condition is reached.

In that case, the algorithm reaches the end as there is no improvement possibility. The Z value (P 0 column) is the optimal solution of the problem.

Another possible scenario is all values are negative or zero in the input variable column of the base. This indicates that the problem is not limited and the solution will always be improved.

Otherwise, the following steps are executed iteratively.

First, input base variable is determined. For this, column whose value in Z row is the lesser of all the negatives is chosen. In this example it would be the variable X 1 (P 1 ) with -3 as coefficient.

If there are two or more equal coefficients satisfying the above condition (case of tie), then choice the basic variable.

The column of the input base variable is called pivot column (in green color).

Once obtained the input base variable, the output base variable is determined. The decision is based on a simple calculation: divide each independent term (P 0 column) between the corresponding value in the pivot column, if both values are strictly positive (greater than zero). The row whose result is minimum score is chosen.

If there is any value less than or equal to zero, this quotient will not be performed. If all values of the pivot column satisfy this condition, the stop condition will be reached and the problem has an unbounded solution (see Simplex method theory).

In this example: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] and 24/3 [=8]

The term of the pivot column which led to the lesser positive quotient in the previous division indicates the row of the slack variable leaving the base. In this example, it is X 5 (P 5 ), with 3 as coefficient. This row is called pivot row (in green ).

If two or more quotients meet the choosing condition (case of tie), other than that basic variable is chosen (wherever possible).

The intersection of pivot column و pivot row marks the pivot value, in this example, 3.

The new coefficients of the tableau are calculated as follows:

    In the pivot row each new value is calculated as:

So the pivot is normalized (its value becomes 1), while the other values of the pivot column are canceled (analogous to the Gauss-Jordan method).

Calculations for P 4 row are shown below:

Previous P 4 row 42 2 3 0 1 0
- - - - - -
Previous value in pivot column 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
New value in pivot row 8 1 1/3 0 0 1/3
= = = = = =
New P 4 row 26 0 7/3 0 1 -2/3

The tableau corresponding to this second iteration is:

  • 6.1. The input base variable is X 2 (P 2 ), since it is the variable that corresponds to the column where the coefficient is -1.
  • 6.2. To calculate the output base variable, the constant terms P 0 column) are divided by the terms of the new pivot column: 2 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] and 8 / 1/3 [=24]. As the lesser positive quotient is 6, the output base variable is X 3 (P 3 ).
  • 6.3. The new pivot is 1/3.
  • 7. Updating the values of tableau again is obtained:

It is noted that in the last row, all the coefficients are positive, so the stop condition is fulfilled.

The optimal solution is given by the val-ue of Z in the constant terms column (P 0 column), in the example: 33. In the same column, the point where it reaches is shown, watching the corresponding rows of input decision variables: X 1 = 3 and X 2 = 12.

Undoing the name change gives x = 3 and y = 12.

Copyright ©2006-2021. All rights reserved.

Developed by:
Daniel Izquierdo Granja
Juan José Ruiz Ruiz


Start with the General Solution

On Introduction to Second Order Differential Equations we learn how to find the general solution.

Basically we take the equation

d 2 ydx 2 + p دىdx + qy = 0

and reduce it to the "characteristic equation":

Which is a quadratic equation that has three possible solution types depending on the discriminant p 2 − 4q. When p 2 − 4q يكون

إيجابي we get two real roots, and the solution is

zero we get one real root, and the solution is

negative we get two complex roots r1 = v + wi و r2 = v − wi, and the solution is


List of Conventions

Besides the generally accepted mathematical abbreviations and notations (see, e.g., James and James, Mathematics Dictionary [1985, pp. 467–471]), the following notations are used in the book:

MATLAB has been used for this book in testing algorithms. We also use its notations for array operations and the convenient colon notation.

A. ∗ B element-by-element product A(i, j)B(i, j) ./

A ./B element-by-element division A(i, j)/B(i, j)

i :k same as i, i + 1, . . . , k and empty if i > k

i :j:k same as i, i + j, i + 2j, . . . , k A( :, k), A(i, :)

the kth column, ith row of A, respectively A(i : k)

same as A(i), A(i + 1), . . . , A(k) ⌊x⌋

floor, i.e., the largest integer ≤ x ⌈x⌉

roof, i.e., the smallest integer ≥ x

e x and exp(x) both denote the exponential function fl (x + y)

floating-point operations see Sec. 2.2.3

int (a, b, c, . . . , w) the smallest interval which contains a, b, c, . . . , w

f (x) = O(g(x)), x → a |f (x)/g(x)| is bounded as x → a (a can be finite, +∞, or −∞)

k ≤ i, j ≤ n means k ≤ i ≤ n and k ≤ j ≤ n P k

the set of polynomials of degree less than k (f, g)

scalar product of functions f and g

p -norm in a linear vector or function space see Sec. 4.5.1–4.5.3 and Sec. A.3.3 in Online Appendix A

E n (f ) dist(f, P n ) ∞,[a,b] see Definition 4.5.6

vectors are generally denoted by Roman letters A and b. A T and b T denote the transpose of the matrix A and the vector b, respectively. (A, B) means a partitioned matrix see Sec.

A.2 in Online Appendix A. Notation for matrix computation can also be found in Online Appendix A. Notations for differences and difference operators, e.g., 4 2 y n , [x 0 ,x 1 ,x 2 ]f , δ 2 y , are defined in Chapters 3 and 4.


5.4.1: The Method of Undetermined Coefficients I (Exercises)

For problems 1 – 3 do each of the following.

  1. Find (y') by solving the equation for y and differentiating directly.
  2. Find (y') by implicit differentiation.
  3. Check that the derivatives in (a) and (b) are the same.

For problems 4 – 9 find (y') by implicit differentiation.

  1. (2 + 4 - y = ) Solution
  2. (7 + sin left( <3x> ight) = 12 - ) Solution
  3. (<<f>^x> - sin left( y ight) = x) Solution
  4. (4- 2x = + 4) Solution
  5. (cos left( <+ 2y> ight) + x,<<f>^<>>> = 1) Solution
  6. ( an left( <> ight) = 3x + ) Solution

For problems 10 & 11 find the equation of the tangent line at the given point.

For problems 12 & 13 assume that (x = xleft( t ight)), (y = yleft( t ight)) and (z = zleft( t ight)) and differentiate the given equation with respect to t.


1.1 Mathematical Models and Solutions&hellip1

1.2 Qualitative Methods: Phase Lines and Direction Fields&hellip2

1.3 Definitions, Classification, and Terminology&hellip8

2 First Order Differential Equations

2.2 Linear Equations: Method of Integrating Factors&hellip16

2.3 Modeling with First Order Equations&hellip23

2.4 Differences between Linear and Nonlinear Equations&hellip30

2.5 Autonomous Equations and Population Dynamics&hellip33

2.6 Exact Equations and Integrating Factors&hellip36

2.7 Substitution Methods&hellip42

3 Systems of Two First Order Equations

3.1 Systems of Two Linear Algebraic Equations&hellip49

3.2 Systems of Two First Order Linear Differential Equations&hellip56

3.3 Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients&hellip62

3.5 Repeated Eigenvalues&hellip87

3.6 A Brief Introduction to Nonlinear Systems&hellip94

4 Second Order Linear Equations

4.1 Definitions and Examples&hellip103

4.2 Theory of Second Order Linear Homogeneous Equations&hellip106

4.3 Linear Homogeneous Equations with Constant Coefficients&hellip108

4.4 Mechanical and Electrical Vibrations&hellip122

4.5 Nonhomogeneous Equations Method of Undetermined Coefficients&hellip128

4.6 Forced Vibrations, Frequency Response, and Resonance&hellip134

4.7 Variation of Parameters&hellip139

5 The Laplace Transform

5.1 Definition of the Laplace Transform&hellip149

5.2 Properties of the Laplace Transform&hellip154

5.3 The Inverse Laplace Transform&hellip159

5.4 Solving Differential Equations with Laplace Transforms&hellip163

5.5 Discontinuous Functions and Periodic Functions&hellip170

5.6 Differential Equations with Discontinuous Forcing Functions&hellip174

5.8 Convolution Integrals and Their Applications&hellip193

5.9 Linear Systems and Feedback Control&hellip201

6 Systems of First Order Linear Equations

6.1 Definitions and Examples&hellip205

6.2 Basic Theory of First Order Linear Systems&hellip209

6.3 Homogeneous Linear Systems with Constant Coefficients&hellip211

6.4 Nondefective Matrices with Complex Eigenvalues&hellip228

6.5 Fundamental Matrices and the Exponential of a Matrix&hellip240

6.6 Nonhomogeneous Linear Systems&hellip249

7 Nonlinear Differential Equations and Stability

7.1 Autonomous Systems and Stability&hellip263

7.2 Almost Linear Systems&hellip269

7.4 Predator-Prey Equations&hellip293

7.5 Periodic Solutions and Limit Cycles&hellip302

7.6 Chaos and Strange Attractors: The Lorenz Equations&hellip310

8.1 Numerical Approximations: Euler's Method&hellip315

8.2 Accuracy of Numerical Methods&hellip317

8.3 Improved Euler and Runge-Kutta Methods&hellip321

8.4 Numerical Methods for Systems of First Order Equations&hellip326

9 Series Solutions of Second Order Linear Equations

9.1 Review of Power Series&hellip331

9.2 Series Solutions Near an Ordinary Point, Part I&hellip334

9.3 Series Solutions Near an Ordinary Point, Part II&hellip349

9.4 Regular Singular Points&hellip355

9.5 Series Solutions Near a Regular Singular Point, Part I&hellip361

9.6 Series Solutions Near a Regular Singular Point, Part II&hellip368

10 Orthogonal Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems


شاهد الفيديو: طريقة المعاملات الغير محددة (شهر اكتوبر 2021).