مقالات

4.4.1: معادلات الدرجة الثانية المستقلة (تمارين) - الرياضيات


Q4.4.1

في تمارين 4.4.1-4.4.4 أوجد معادلات مسارات المعادلة غير المخمدة المعطاة. حدد حلول التوازن ، وحدد ما إذا كانت مستقرة أو غير مستقرة ، ورسم بعض المسارات.

1. (ص '+ ص ^ 3 = 0 )

2. (ص '+ ص ^ 2 = 0 )

3. (ص '' + ص | ص | = 0 )

4. (y '+ ye ^ {- y} = 0 )

Q4.4.2

في تمارين 4.4.5 - 4.4.8 أوجد معادلات مسارات المعادلة غير المخمدة المعطاة. حدد حلول التوازن ، وحدد ما إذا كانت مستقرة أو غير مستقرة ، وابحث عن معادلات الفواصل (أي المنحنيات من خلال التوازن غير المستقر). ارسم المخططات الفاصلة وبعض المسارات في كل منطقة من مناطق مستوى بوانكاريه التي تحددها.

5. (ص "- ص ^ 3 + 4 ص = 0 )

6. (ص '+ ص ^ 3-4y = 0 )

7. (ص '' + ص (ص ^ 2-1) (ص ^ 2-4) = 0 )

8. (ص '+ ص (ص -2) (ص -1) (ص + 2) = 0 )

Q4.4.3

في تمارين 4.4.9-4.4.12 ارسم بعض مسارات المعادلة المعطاة لقيم مختلفة (موجبة ، سالبة ، صفرية) للمعامل a. أوجد توازنات المعادلة وصنفها على أنها مستقرة أو غير مستقرة. اشرح لماذا يرسم مستوى الطور المقابل للقيم الموجبة والسالبة للاختلاف الملحوظ. هل يمكنك التفكير في سبب استحقاق تسمية الصفر باسم قيمة حرجة من (أ )؟

9. (ص '+ ص ^ 2-أ = 0 )

10. (y '+ y ^ 3-ay = 0 )

11. (ص "- ص ^ 3 + ع = 0 )

12. (y '+ y-ay ^ 3 = 0 )

Q4.4.4

في تمارين 4.4.13-4.4.18 مسارات الرسم للمعادلة المعطاة لـ (c = 0 ) والقيم الصغيرة غير الصفرية (الإيجابية والسلبية) لـ (ج ) لمراقبة تأثيرات التخميد.

13. (y '+ cy' + y ^ 3 = 0 )

14. (y '+ cy'-y = 0 )

15. (y '+ cy' + y ^ 3 = 0 )

16. (y '+ cy' + y ^ 2 = 0 )

17. (y '+ cy' + y | y | = 0 )

18. (y '+ y (y-1) + cy = 0 )

Q4.4.5

19. إن معادلة فان دير بول

[y '' - mu (1-y ^ 2) y '+ y = 0، tag {A} ]

حيث ( mu ) هو ثابت موجب و (y ) هو التيار الكهربائي (القسم 6.3) ، ينشأ في دراسة الدائرة الكهربائية التي تعتمد خصائص مقاومتها على التيار. يعمل مصطلح التخميد (- mu (1-y ^ 2) y ') على تقليل (| y | ) إذا (| y | <1 ) أو لزيادة (| y | ) إذا (| y |> 1 ). يمكن إثبات أن معادلة فان دير بول لها مسار مغلق واحد يسمى a دورة محدودة. المسارات داخل دورة الحد تتدحرج نحو الخارج ، بينما المسارات خارج دورة الحد تدور نحو الداخل (الشكل [الشكل: 4.4.16}). استخدم برنامج المعادلات التفاضلية المفضل لديك للتحقق من ذلك لـ ( mu = .5،1.1.5،2 ). استخدم شبكة بها (- 4

20. معادلة رايلي,

[y '' - mu (1- (y ') ^ 2/3) y' + y = 0 ]

لديها أيضا دورة محدودة. اتبع إرشادات تمرين 4.4.19 لهذه المعادلة.

21. فيما يتعلق بالمعادلة 4.4.16 ، افترض (y (0) = 0 ) و (y '(0) = v_0 ) ، حيث (0

  1. لنفترض أن (T_1 ) هو الوقت اللازم لزيادة (y ) من صفر إلى (y _ { max} = 2 sin ^ {- 1} (v_0 / v_c) ). أظهر أن [{dy over dt} = sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2} ، quad 0 le t
  2. افصل بين المتغيرات في (A) وأظهر أن [T_1 = int_0 ^ {y _ { max}} {du over sqrt {v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2u / 2}} tag {B} ]
  3. استبدل ( sin u / 2 = (v_0 / v_c) sin theta ) في (B) للحصول على [T_1 = 2 int_0 ^ { pi / 2} {d theta over sqrt {v_c ^ 2-v_0 ^ 2 sin ^ 2 theta}}. علامة {C} ]
  4. استنتج من التناظر أن الوقت المطلوب لـ ((y (t)، v (t)) ) لاجتياز المسار [v ^ 2 = v_0 ^ 2-v_c ^ 2 sin ^ 2y / 2 ] هو (T = 4T_1 ) ، وهذا بالتالي (y (t + T) = y (t) ) و (v (t + T) = v (t) ) ؛ أي أن التذبذب دوري بفترة (T ).
  5. أظهر أنه إذا (v_0 = v_c ) ، فإن التكامل في (C) غير مناسب ويتباعد إلى ( infty ). استنتج من هذا أن (y (t) < pi ) للجميع (t ) و ( lim_ {t to infty} y (t) = pi ).

22. أعط تعريفًا مباشرًا للتوازن غير المستقر لـ (y '' + p (y) = 0 ).

23. ليكن (p ) مستمرًا لكل (y ) و (p (0) = 0 ). افترض أن هناك عددًا موجبًا ( rho ) مثل (p (y)> 0 ) إذا (0

[ alpha (r) = min left { int_0 ^ rp (x) ، dx، int _ {- r} ^ 0 | p (x) | ، dx right } mbox { رباعي و رباعي} بيتا (r) = max left { int_0 ^ rp (x) ، dx ، int _ {- r} ^ 0 | p (x) | ، dx right }. ]

لنفترض أن (y ) هو حل مشكلة القيمة الأولية

[y '' + p (y) = 0، quad y (0) = v_0، quad y '(0) = v_0، ]

وحدد (c (y_0، v_0) = v_0 ^ 2 + 2 int_0 ^ {y_0} p (x) ، dx ).

  1. أظهر أن [0
  2. أظهر أن [v ^ 2 + 2 int_0 ^ y p (x) ، dx = c (y_0، v_0)، quad t> 0. ]
  3. استنتج من (ب) أنه إذا (c (y_0، v_0) <2 alpha (r) ) ثم (| y | 0 ).
  4. بالنظر إلى ( epsilon> 0 ) ، دعنا يتم اختيار ( delta> 0 ) بحيث يتم اختيار [ delta ^ 2 + 2 beta ( delta) < max left { epsilon ^ 2/2 ، 2 alpha ( epsilon / sqrt2) right }. ] أظهر ذلك إذا ( sqrt {y_0 ^ 2 + v_0 ^ 2} < delta ) ثم ( sqrt {y ^ 2 + v ^ 2} < epsilon ) لـ (t> 0 ) ، مما يعني أن ( overline y = 0 ) هو توازن مستقر لـ (y '' + p (y) = 0 ).
  5. الآن دع (p ) مستمراً للجميع (y ) و (p ( overline y) = 0 ) ، حيث ( overline y ) ليس بالضرورة صفرًا. افترض أن هناك عددًا موجبًا ( rho ) مثل (p (y)> 0 ) إذا ( overline y

24. ليكن (ع ) متواصلا للجميع (ص ).

  1. افترض (p (0) = 0 ) وهناك رقم موجب ( rho ) مثل (p (y) <0 ) إذا (0 0 ). استنتج أن ( overline y = 0 ) هو توازن غير مستقر لـ (y '' + p (y) = 0 ).
  2. الآن دعونا (p ( overline y) = 0 ) ، حيث ( overline y ) ليس بالضرورة صفرًا. افترض أن هناك عددًا موجبًا ( rho ) مثل (p (y) <0 ) إذا ( overline y
  3. قم بتعديل البراهين (أ) و (ب) لإظهار أنه إذا كان هناك رقم موجب ( rho ) مثل (p (y)> 0 ) إذا ( overline y- rho le y < overline y ) ، ثم ( overline y ) هو توازن غير مستقر لـ (y '' + p (y) = 0 ).

المعادلات التفاضلية المستقلة من الدرجة الثانية

أعرض v = dR / dt. ثم المعادلة التفاضلية
v dv / dR = W ^ 2 R.

التكامل مرة واحدة يعطي
الخامس ^ 2 - الخامس0^ 2 = W ^ 2 R ^ 2 - W ^ 2 R0^2
حيث افترضت v (t = 0) = v0 و R (ر = 0) = ص0.

ترتيب سريع
الخامس = +/- الجذر التربيعي (v0^ 2 - دبليو ^ 2 ر0^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

وبالتالي dR / dt = +/- sqrt (v0^ 2 - دبليو ^ 2 ر0^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

هذا هو ODE من الدرجة الأولى منفصل

حدد مثل هذا W ^ 2 a ^ 2 = v0^ 2 - دبليو ^ 2 ر0^2

ثم
dR / dt = +/- sqrt (W ^ 2 a ^ 2 + W ^ 2 R ^ 2)

الجانب الأيمن هو +/- بالوزن.
لدمج الجانب الأيسر ، ضع R = a * sinh (x) بحيث
dR = a cosh (x) dx ثم
الجذر التربيعي (أ ^ 2 + R ^ 2) = الجذر التربيعي (أ ^ 2 + أ ^ 2 سينه ^ 2 (س)) = الجذر التربيعي (1 + سينه (س) ^ 2)
= a sqrt (cosh ^ 2 (x)) = a * cosh (x).

هذا dR / sqrt (a ^ 2 + R ^ 2) - & gt dx
وبالتالي فإن التكامل

arcsinh (R / a) - arcsinh (R0 / أ) = +/- بالوزن
وبالتالي

R = a sinh (+/- Wt + arcsinh (R0 / أ))
و a = الجذر التربيعي (V0^ 2 / ث ^ 2 - ر0^2).

يوضح لنا توصيل هذا والتحقق أن ملف
- تعطي العلامة v (0) = - v0


رياضيات 2552: المعادلات التفاضلية - خريف 2018 ثانية T

انقر هنا للحصول على المنهج الدراسي ، حيث يمكنك العثور على مخطط الدرجات وسياسة الفصل.

التلاوات وساعات مكتب TA

قسم التلاوة اسم TA والبريد الإلكتروني ساعات مكتب TA
T1 MW 4: 30-5: 20 مساءً 170 الكسندر وينكلز
awinkles3 في gatech.edu
الخميس 11: 15-12: 15
كلوف 280 (MathLab)
T2 MW 4: 30-5: 20 مساءً 255 تاو يو
tyu70 في gatech.edu
الخميس 3-4
كلوف 280 (MathLab)
T3 MW 4: 30-5: 20 مساءً 257 ريني تشن
rchen342 AT gatech.edu
الخميس 1: 45-2: 45 مساءً
كلوف 280 (MathLab)

من أين تحصل على المساعدة

  • ساعات مكتبي وساعات مكتب مساعدتك المكتبية: انظر أعلاه. : خدمة مجانية تقدمها مدرسة الرياضيات: خدمة مجانية من جي تي. قائد PLUS: Samantha Bordy ، sbordy3 على موقع gatech.edu. وقت الجلسة والموقع: الثلاثاء والخميس 6-7 مساءً في كولك 262.
  • ساحة (منتدى المناقشة عبر الإنترنت): لقد قمت بإنشاء صفحة صف على Piazza.com ، والتي توفر منتدى مجاني عبر الإنترنت للمناقشات المتعلقة بالدورة التدريبية. يتم تلبية احتياجات النظام بشكل كبير للحصول على مساعدتك بسرعة وكفاءة من زملائك في الفصل والمدرسين المساعدين وأنا. بدلاً من إرسال الأسئلة إلى أعضاء هيئة التدريس بالبريد الإلكتروني ، أشجعك على نشر أسئلتك على Piazza إذا كانت أسئلتك لا علاقة لها بخصوصيتك. يمكنك النشر على Piazza بشكل مجهول إذا كان ذلك يجعلك أكثر راحة. يجب أن يشعر كل فرد في الفصل بحرية مطلقة في طرح المهام والمناقشة والمساعدة والتعليق والاستكشاف وتبادل الأفكار حول Piazza. يمكنك العثور على صفحة صف بيازا على: http://piazza.com/gatech/fall2018/math2552yaoyao.

الإعلانات

سيكون امتحاننا النهائي قيد التشغيل الثلاثاء (12/11) 2: 40-5: 30 مساءً، في بوغز B9. إنه كتاب مغلق ، ملاحظات مغلقة ، ولا يسمح باستخدام الآلات الحاسبة. يُسمح لك بإحضار ورقة غش واحدة على الوجهين بحجم (8.5 × 11 بوصة) ، والتي يجب أن تكون مكتوبة بخط اليد بنفسك. (غير مسموح بورقة الغش المطبوعة أو المصورة).
ستكون ساعات مكتبي في هذا الأسبوع والأسبوع القادم: الأربعاء (12/5) 3-4 مساءً ، الجمعة (12/7) 2-3 مساءً ، الاثنين (12/10) 11 صباحًا - 12 مساءً.


المعادلات التفاضلية الأولية

المكتب: ACD 114A
الهاتف: (860) 405-9294
ساعات العمل: TTh 9:30 - 10:30 صباحًا. وعن طريق التعيين
سياسة الباب المفتوح: نرحب بك للحضور لمناقشة أي جانب من جوانب الدورة ، في أي وقت ، في الأيام التي أكون فيها في الحرم الجامعي - الثلاثاء والخميس والجمعة.

تغطي الرياضيات 2410 المواد بشكل أساسي من الفصول 1-5 من الكتاب المدرسي.


أوقات / مكان اجتماع الفصل: الثلاثاء ، الخميس 2:00 - 3:15 مساءً الفصل الدراسي ACD 206.

تبدأ جميع الفصول بـ ACD 206.

المعادلات التفاضلية الأولية بقلم ويليام ف. ترينش.

إنه كتاب مدرسي مفتوح المصدر متاح مجانًا على الإنترنت هنا

يتم تعيين الواجب المنزلي في كل فصل ويتم جمعه كل يوم خميس. يتم إعادتهم يوم الثلاثاء التالي مع الملاحظات وتصنيفهم. الوزن الإجمالي لدرجات الواجب المنزلي 50 نقطة من إجمالي 500 نقطة مقرر.

جدول الامتحان: الاختبار 1: الثلاثاء 9 فبراير ، 2:00 - 3:15 مساءً ، القاعة: 206 ACD
الامتحان 2: الخميس 9 مارس ، 2:00 - 3:15 مساءً ، الغرفة: 206 ACD
الامتحان 3: الثلاثاء 11 أبريل ، 2:00 - 3:15 مساءً ، الغرفة: 206 ACD
الاختبار النهائي: الثلاثاء 2 مايو ، 1:30 - 3:30 مساءً ، الغرفة: 206 ACD

سياسة الدرجات: الواجب المنزلي: 50 ، الاختبار 1: 100 ، الاختبار 2: 100 ، الاختبار 3: 100 ، الاختبار النهائي: 150.



تاريخ الفصل عنوان الواجب المنزلي
الأسبوع 1 الثلاثاء. 17/1 1.1 التطبيقات التي تؤدي إلى المعادلات التفاضلية

ثور. 1/19 1.2 مفاهيم أساسية الفصل 1.2: تمارين 1،2،4 (أ-د) ، 5،7،9





الأسبوع 2 الثلاثاء. 1/24 1.3 حقول الاتجاه لـ ODE من الدرجة الأولى الفصل 1.3: تمارين 1،2،3،4،5،12،13،14،15

ثور. 1/26 2.1 المعادلات الخطية من الدرجة الأولى الفصل 2.1 تمارين: 4،5،6،9،16،18،20،21





الأسبوع الثالث الثلاثاء. 1/31 2.2 معادلات منفصلة الفصل 2.2 تمارين: 1،3،4،6،11،12،17،18

ثور. 2/2 2.3 وجود الحلول وتفردها الفصل 2.3 تمارين: 1،2،3،4،14،16،17،20





الأسبوع الرابع الثلاثاء. 2/7
الامتحان التدريبي 1
امتحان الممارسة 1. الحلول


ثور. 2/9
يوم مثلج!





الأسبوع الخامس الثلاثاء. 2/14
الامتحان 1

ثور. 2/16 3.1 طريقة أويلر. الفصل 3.1 تمارين: 1،4،6،14





الأسبوع السادس الثلاثاء. 2/21 4.1 النمو والانحلال الفصل 4.1 تمارين: 2 ، 3 ، 5 ، 11

ثور. 2/23 4.2-4.3 التبريد والخلط والميكانيكا الابتدائية الفصل 4.2 تمارين: 2 ، 3 ، 5 ، 12
الفصل 4.3 تمارين: 4،10





الأسبوع السابع الثلاثاء. 2/28 4.4 معادلات الدرجة الثانية المستقلة الفصل 4.4 تمارين:

ثور. 3/2 4.5 تطبيقات على المنحنيات الفصل 4.5 تمارين:





الأسبوع الثامن الثلاثاء. 3/7
إعادة النظر. الاختبار التدريبي 2
امتحان الممارسة 2. الحلول


ثور. 3/9
الامتحان 2





الأسبوع التاسع الثلاثاء. 3/14
عطلة الربيع

ثور. 3/16
عطلة الربيع





الأسبوع العاشر الثلاثاء. 3/21 5.1 المعادلات الخطية المتجانسة الفصل 5.1 تمارين:

ثور. 3/23 5.2 المعادلات المتجانسة ثابتة الفصل 5.2 تمارين:





الأسبوع 11 الثلاثاء. 3/28 5.3 المعادلات الخطية غير المتجانسة الفصل 5.3 تمارين:

ثور. 3/30 5.4 طريقة تقويض المعاملات 1 الفصل 5.4 تمارين:





الأسبوع الثاني عشر الثلاثاء. 4/4 5.5 طريقة تقويض المعاملات 2 الفصل 5.5 التنازل 4
الأسبوع الثاني عشر ثور. 4/6 6.1-6.2 مشاكل الربيع الفصل 6.1





الأسبوع الثاني عشر الثلاثاء. 4/11
إعادة النظر. الاختبار التدريبي 3
الامتحان التدريبي 3. الحلول


ثور. 4/13
الامتحان 3





الأسبوع الرابع عشر الثلاثاء. 4/18 8.1-8.2 تحويلات لابلاس. التحويلات العكسية الفصل 8.1-8.2 التنازل 5
ثور. 4/20 8.3-8.4 حلول لمشكلة القيمة الأولية الفصل 8.3 تمارين:
الفصل 8.4 تمارين:





الأسبوع الخامس عشر الثلاثاء. 4/25 8.5 معادلات المعامل الثابت مع دوال التأثير المستمر المتعددة التعريف الفصل 8.5 تمارين:
ثور. 4/27
إعادة النظر. تدرب على الامتحان النهائي
تدرب على الامتحان النهائي. حلول






الأسبوع السادس عشر الثلاثاء. 5/2
الامتحان النهائي: 1:30 مساءً - 3:30 مساءً

هذه الصفحة تشرف عليها ديمتري ليكيكهمان
تاريخ آخر تعديل: 2017/4/27


هذا هو خطي من خلال قصيدة التفاضل.

كما رأيت ، فإن تطبيق مثل هذا الاستبدال يزيد فقط من عدد المتغيرات. تحصل على نمط متجانس مشابه لمعادلة أويلر كوشي بضرب المعادلة الأصلية في $ x ^ 2 $ ، begin 0 & amp = 3 (x ^ 2y '') ^ 2-2 (3xy '+ y) (x ^ 2y') + 4 (xy ') ^ 2 end يمكن للمرء الآن جعل هذا مستقلاً عن طريق استعارة الاستبدال $ u (t) = y (e ^ t) $ من معادلة Cauchy-Euler ، $ u '(t) = e ^ ty' (e ^ t) = xy '( x) $، $ u '' (t) = e ^ <2t> y '' (t) + e ^ ty '(e ^ t) = x ^ 2y' '(x) + u' (t) $ يبدأ 0 & amp = 3 (u '(t) -u' (t)) ^ 2-2 (3u '(t) + u (t)) (u' (t) -u '(t)) + 4u' (t) ^ 2 & amp = 3u '' ^ 2-6u''u '+ 3u' ^ 2-6u''u '+ 6u' ^ 2-2u''u + 2u'u + 4u '^ 2 & amp = 3u '' ^ 2-12u''u '+ 13u' ^ 2-2u''u + 2u'u end نظرًا لأن هذا مستقل ، يمكن إدخال $ u '= v (u) $، $ u' '= v' (u) v (u) $. لكن حتى هذا لا يبدو مفيدًا.

يمكن إعادة كتابة التعبير على النحو التالي:

3x ^ 2 $ (y '') ^ 2-6 x y'y '- 2yy' '+ 4 (y') ^ 2 = 0. $

نجري ملاحظة على النحو التالي. افترض أن $ y '' neq 0 $ لكل $ x $ في المجال المناسب. يتم تبسيط المعادلة أعلاه إلى:

هذا يعني أنه يمكننا تخمين حل ممكن يمكن أن يتخذ شكل كثير الحدود البسيط $ y (x) = C_0 + C_1 x + C_2 x ^ 2 + C_3 x ^ 3 ldots $ (هذا يرجع إلى حقيقة أن المشتق من كثير الحدود يكون دائمًا أقل بدرجة واحدة من كثير الحدود الأصلي.)

تذكر أننا توقعنا أن $ y '' neq 0 $ لكل $ x $. هذا يلهمنا تخمين $ y '' = D $ لبعض $ D $ الثابت. سيكون المعادل & quotguess & quot للحل هو

مع ذلك ، استبدل تخميننا في المعادلة الرئيسية للحصول على:

3x ^ 2 (2C) ^ 2-6 x (B + 2Cx) (2C) = 2 (A + Bx + Cx ^ 2) (2C) - 4 (B + 2Cx) ^ 2. $

والمثير للدهشة أننا حصلنا على المعامل $ x ^ 2 $ و $ x $ ليكون $. وهكذا يتم تقليل المعادلة إلى

تذكر أننا أحرار في اختيار قيم $ A و B $ و $ C $ ، طالما أنها تفي بالقيد الذي اشتقناه للتو. على وجه الخصوص ، إذا حاولت حل المعادلة باستخدام WolframAlpha ، فسيتم تقديم الحل المقترح من خلال:

$ y [x] rightarrow x c_1 + x ^ 2 frac + c_2. $

بما أن $ A = c_2 ، B = c_1 ، C = frac$ ، لدينا بالفعل $ B ^ 2 = AC $. معلمات الحل من WolframAlpha هي معلمة واحدة فقط لـ $ B ^ 2 = AC $.


أكمل مجموعات المشاكل:

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)


4.4.1: معادلات الدرجة الثانية المستقلة (تمارين) - الرياضيات

يقدم القسم 2.1 المصطلحات والأفكار من خلال مثال طبيعي مفترس - فريسة. في القسمين 2.2 و 2.3 ، يتم تقديم مفاهيم الأنظمة المستقلة وحقول المتجهات وحقول الاتجاه ومستويات الطور والحلول ونقاط التوازن. ترتبط هذه الأقسام ارتباطًا وثيقًا ويمكن اعتبارها جزءًا طويلًا واحدًا يتطلب تغطيته فصلين. يتم تقديم المعادلات الخطية والمتجانسة والثابتة والمعادلات من الدرجة الثانية (المذبذبات التوافقية) وترتبط بالأنظمة الواردة في القسم 2.4. تمت تغطية طريقة أويلر لأنظمة الدرجة الأولى ومعادلات الدرجة الثانية في القسم 2.5 ، وفي القسم 2.6 نناقش الطرق النوعية لرسم مستويات المرحلة. يبدأ القسم 2.7 المناقشة النوعية لنظام لورنز كمقدمة للأنظمة ثلاثية الأبعاد.

يعد توافر نوع من التكنولوجيا التي يمكن للطلاب استخدامها لرسم الحقول المتجهة وحقول الاتجاه ومستويات الطور أمرًا ضروريًا. من أجل البدء في التعرف على ما يمكن توقعه من الصور ، يجب على الطلاب رؤية العديد من الأمثلة المرسومة بدقة. يتوفر البرنامج من عدة مصادر (راجع صفحة الويب الخاصة بنا للحصول على معلومات أكثر تحديدًا).

2.1 نموذج المفترس والفريسة

باستخدام تحليل نموذج المفترس والفريسة الفردي ، يتم تقديم الأفكار الأساسية لأنظمة الدرجة الأولى في هذا القسم. هدفنا هو تقديم العلاقة بين التمثيلات الرسومية المختلفة للنظام وحلوله وتفسير الحلول من حيث النموذج. تشمل التمثيلات الرسومية مستوى الطور والرسوم البيانية للوظائف المكونة للحلول وحقل المتجه ومجال الاتجاه.

يعد الانتقال إلى الأنظمة أمرًا طبيعيًا للطلاب. يعتبر البعض أن ربط الحل في مستوى الطور بالرسوم البيانية للمكونات أمر صعب من قبل البعض ، ولكن يتم إتقانه عمومًا بعد جهد كافٍ.

يشعر بعض المدرسين أنه يتم تقديم الكثير من المواد الجديدة في هذا القسم. ومع ذلك ، فإننا نكرر الأفكار الأساسية في إطار أكثر عمومية في القسمين 2.2 و 2.3 ، ونغطي القسم 2.1 بسرعة. نود استخدام مادة القسم 2.1 كمثال مستمر للتعريفات الأكثر رسمية في القسمين التاليين.

تعليقات على تمارين مختارة

يتضمن التمرين 1 و 15 تفسير المعلمات في النظام بينما تتضمن التمرينات 9-14 تفسير المعادلات.

تتطلب التدريبات من 2 إلى 6 تحليلًا لنظام المفترس والفريسة مشابهًا لذلك الذي تم إجراؤه في القسم.

توفر التدريبات 7 و 8 و 16 و 17 تدريبًا على الانتقال من مستوى الطور إلى الرسوم البيانية للوظائف المكونة وفي تفسير الحلول. التمرين 17 جيد بشكل خاص لتعيين مقال. (هذه الظاهرة المفترسة والفريسة تحدث بالفعل).

في التدريبات 9-14 و 18 ، يتم إجراء تعديلات على نموذج فريسة مفترس. هذا أسهل من تطوير النماذج من الصفر ، لكنه لا يزال يمثل تحديًا. في التمرين 18 ، يوجد أكثر من إجابة واحدة معقولة.

في التدريبات من 19 إلى 24 ، تم تطوير نماذج لتركيزات المواد المتفاعلة في التفاعلات الكيميائية البسيطة. تظهر هذه النماذج مرة أخرى في الأقسام اللاحقة (القسم 2.3 ، التدريبات 22-26 ، والقسم 2.6 ، التدريبات 14-18).

2.2 أنظمة المعادلات التفاضلية

يحدد هذا القسم الترميز والمصطلحات للأنظمة. يتم تقديم المتجهات جنبًا إلى جنب مع العديد من الصفات لوصف الأنظمة. كما تمت مناقشة حقول المتجهات وحقول الاتجاه ونقاط التوازن.

يتمثل أحد الأهداف الرئيسية للقسم في تطوير فهم الشروط والحلول الأولية وكيفية التحقق (من خلال استبدالها في النظام) من أن وظيفة معينة ذات قيمة متجه هي حل. بمجرد أن يتقن الطلاب القدرة على التحقق من حلول الأنظمة (وأنهم يفكرون في الفكرة على أنها طبيعية) ، فإنهم قد وصلوا إلى نقطة مهمة في فهمهم للأنظمة.

تعليقات على تمارين مختارة

تتعلق التدريبات من 1 إلى 8 بمفردات الأنظمة. في التمرينين 36 و 37 ، تم استكشاف العلاقة بين الأنظمة في التمرينين 5 و 7 والأنظمة في التمرينين 6 و 8 (على التوالي).

تتضمن التدريبات 9-16 و21-27 التحقق من أن الوظائف المعينة هي حلول لنظام معين. هذه المهمة مباشرة ولكنها ضرورية للغاية.

في التدريبات من 17 إلى 20 ، تتوافق حقول الاتجاه مع الأنظمة. هذا النوع من التمرينات أقل إرهاقًا من رسم حقول الاتجاه يدويًا. إذا كانت المقالات مطلوبة لتبرير سبب توافق نظام معين مع مجال اتجاه معين ، يجب على الطلاب فحص الحقول عن كثب.

التمرينات 28-35 تطلب نقاط توازن ورسومات لحقول الاتجاه لأنظمة معينة. تظهر هذه الأنظمة مرة أخرى في القسم 2.3 ، التدريبات من 1 إلى 8 ، حيث يُطلب أيضًا مستوى الطور.

2.3 التمثيل الرسومي لحلول الأنظمة

في هذا القسم نلقي نظرة على الرسوم البيانية المختلفة لحلول الأنظمة وكيف يمكن إنشاء رسومات لهذه الرسوم البيانية من مجال الاتجاه. العلاقة بين منحنى الحل في مستوى المرحلة والرسوم البيانية لوظائف المكون صعبة في البداية ، ولكن في النهاية يتقن معظم الطلاب. من المهم أن يدرك الطلاب أن كلا النوعين من الرسوم البيانية ضروريان لأن أيًا من الرسم البياني لا يحتوي وحده على جميع المعلومات حول الحل. هناك تشبيه جيد هو محاولة فهم الخبث من ظلاله (انظر الشكل 2.26).

يتم إعطاء بعض الأمثلة حول الصيغ الخاصة بالحلول ، ويتم تقديم فكرة الحل العام للنظام باختصار. أيضًا ، تم تحديد نظرية الوجود والتفرد للنظام باختصار. كما هو الحال مع معادلات الدرجة الأولى ، يتم التأكيد على النصف الفريد من النظرية لأنه الأكثر فائدة لرسم مستويات طور للأنظمة المستقلة.

تعليقات على تمارين مختارة

تطلب التمرينات من 1 إلى 8 تحليلًا مفصلاً للأنظمة المعقدة المحددة. يمكن العثور على نقاط التوازن باليد. من الناحية المثالية ، يجب استخدام التكنولوجيا لرسم مجالات الاتجاه ، ثم يجب على الطلاب رسم منحنيات الحل أعلى هذه الحقول.

يمكن حل الأنظمة الموجودة في التدريبات من 9 إلى 12 بشكل صريح لأن الأنظمة تنفصل. هذه التمارين هي مراجعة جيدة للمعادلات الخطية والقابلة للفصل كما تمت مناقشته في الفصل الأول.

يمكن حل الأنظمة في التدريبات من 13 إلى 16 بشكل صريح للحالة الأولية المعينة بسبب بعض الأشكال الهندسية الخاصة للنظام. توفر هذه أيضًا مراجعة جيدة للمعادلات الخطية والقابلة للفصل وهي صعبة للغاية.

تتعلق التدريبات من 17 إلى 21 بنموذج سباق تسلح. يجب تشجيع استخدام التكنولوجيا لرسم مجالات الاتجاه ومستويات الطور ، على سبيل المثال ، لتقريب إحداثيات نقاط التوازن.

تبدأ التدريبات من 22 إلى 26 في تحليل نماذج التفاعل الكيميائي التي تم تقديمها في التمرين المحدد في القسم 2.1. تظهر هذه النماذج مرة أخرى في القسم 2.6 ، التدريبات 14-18.

تتعلق التدريبات 27-31 بنظرية التفرد للأنظمة.

يقدم التمرين 32 مثالاً على حل لم يتم تعريفه لجميع الأعداد الحقيقية.

2.4 معادلات الرتبة الثانية والمذبذب التوافقي

في هذا القسم ، نشتق معادلة الدرجة الثانية لحركة مذبذب توافقي باستخدام قوانين نيوتن و هوك. يتم بعد ذلك تحويل هذه المعادلة من الدرجة الثانية إلى نظام من الدرجة الأولى ، ونقوم بتحليل الأمثلة باستخدام حقل المتجه. نقدم تقنيات الحل بالتفصيل في الفصل 3.

نحن نربط الوصف النوعي للحلول بما هو معقول ماديًا للمذبذب التوافقي الكتلي النابض. هذا النهج مهم وخطير. يعتقد الطلاب أحيانًا أن الحجة المادية textit تحليل النظام بدلاً من مجرد فحص نتائج التحليل الرياضي.

لقد اخترنا عدم تضمين طريقة `` guess-and-test '' المعيارية لحل معادلة المذبذب التوافقي في هذه المرحلة لعدة أسباب. أولاً ، نرغب في الحفاظ على التركيز على التحليل النوعي للحلول. ثانيًا ، نظرًا لأننا لم نناقش أهمية الخطية ، فمن الصعب فعل الكثير مع التخمين والاختبار في هذه المرحلة. نعود إلى هذه المناقشة في القسم 3.1 بعد مناقشة مبدأ الخطية.

من الممكن بالتأكيد التخطي مباشرة إلى الفصل 3 في هذه المرحلة ، لكننا نفضل تغطية المادة (مع استثناء محتمل للقسم 2.7) بالترتيب المعطى من أجل الحفاظ على التوازن بين المناهج التحليلية والرقمية والنوعية.

تعليقات على تمارين مختارة

تتضمن التدريبات من 1 إلى 4 تحويل المعادلات من الرتبة الثانية والثالثة والرابعة إلى أنظمة من الدرجة الأولى.

تمرين 5-7 اشتقاق معادلات الزنبرك المعلق بالجاذبية كقوة إضافية.

التمرينات 8-11 تطلب مجال الاتجاه والسلوك النوعي لحلول المذبذب التوافقي مع معاملات معينة. نحن نشجع على استخدام التكنولوجيا في هذه التمارين.

تمارين 12-14 مشابهة للتدريبات 5-7. يتم النظر في نظام يتضمن نبعين متعارضين.

يطلب التمرين 15 نموذج الينابيع الصلبة والناعمة (انظر أيضًا المعمل 4.1).

تتعلق التدريبات من 16 إلى 20 بنموذج جسر معلق مرن. تم تناول هذا النموذج بالتفصيل في القسم 5.4 ، وهذه المشكلات تمثل تحديًا كبيرًا في هذه المرحلة من الدورة التدريبية.

2.5 طريقة أويلر للأنظمة الذاتية

يظل أسلوب أويلر بسيطًا وهندسيًا قدر الإمكان. مرة أخرى ، النقطة الأكثر صعوبة هي العلاقة بين الرسوم البيانية. على سبيل المثال ، تتحرك الحلول القريبة من نقطة التوازن ببطء (المتجهات في الحقل المتجه صغيرة) ، لذا فإن تقريب أويلر في مستوى الطور يتكون من خطوات صغيرة.

يتم تقديم مثال مبنى متأرجح في هذا القسم لأن المعلومات الكمية تحدد النموذج الأكثر ملاءمة.

تعليقات على تمارين مختارة

تتضمن التدريبات من 1 إلى 6 حساب حلول طريقة أويلر بأحجام خطوات كبيرة إلى حد ما ومقارنة النتائج بمجال الاتجاه و / أو الحلول الفعلية. الحسابات مملة ولكن يمكن التحكم فيها إذا تم إجراؤها يدويًا.

تشير التدريبات من 7 إلى 11 إلى نموذج المبنى المتأرجح. يتم اختيار أحد النموذجين من خلال المقارنة مع بيانات عددية معينة. التمرين 11 يسأل عن التجربة التي يجب إجراؤها للتمييز بين النظامين.

2.6 التحليل النوعي

في هذا القسم ، نستخدم مجال الاتجاه ، جنبًا إلى جنب مع بعض الأرقام عند الضرورة ، لدراسة السلوك طويل المدى لحلول الأنظمة غير الخطية. الأسلوب الجديد الوحيد الذي تم تقديمه هو موقع الخطوط الفارغة في مستوى الطور. لسوء الحظ ، يتم الخلط بين العديد من الطلاب في البداية حول الفرق بين منحنيات الحل و nullclines.

يعد التحليل الهندسي من هذا النوع صعبًا بشكل خاص على الطلاب لأنه يتضمن العديد من الخطوات والعديد من الأفكار والتقنيات المختلفة. (لا يزالون يأملون في أن تمنحهم الرصاصة السحرية لفهم الأنظمة ويشككون عندما تقول أنه لا يوجد نظام واحد.) المشاريع الممتدة مفيدة بشكل خاص في جعل الطلاب يدركون أنه لا يوجد قالب يؤدي إلى إكمال المرحلة طائرة.

تعليقات على تمارين مختارة

في التدريبات 1-6 و10-13 و 14-18 ، يُطلب تحليل نوعي للنظام المحدد. يجب أن يتجاوز هذا التحليل ما يمكن للطالب طباعته من محلل عددي جيد. تتعلق التدريبات 14-18 بأنظمة التفاعل الكيميائي الواردة في القسم 2.1 (تمارين 19-24) والقسم 2.3 (تمارين 22-26).

يعد التمرين 7 مشكلة صعبة إلى حد ما في هندسة الحلول في مستوى الطور.

يتعلق التمرين 8 و 9 بنماذج Volterra-Lotka العامة لزوج من الأنواع.

تمارين 19-21 دراسة سرج غير خطي.

2.7 معادلات لورنز

نقدم نظام لورنز هنا بشكل أساسي لأنه من الممكن القيام بذلك. لم ير أي من طلابنا تقريبًا أي رياضيات حديثة (أي ما بعد 1800). وقد فوجئوا عندما علموا أن هناك أسئلة بلا إجابة وأن هناك بحثًا نشطًا في الرياضيات. في هذه المرحلة ، يمكننا فقط وصف نظام لورنز وعرض بعض الحلول العددية. وبالتالي ، هذا جزء من قسم "golly-gee-whiz". تمت مناقشة الأنظمة الخطية ثلاثية الأبعاد في القسم 3.7 ، وتمت دراسة نظام لورنز بعناية أكبر في القسمين 4.4 و 6.4.

إذا قمت بتغطية هذا القسم ، فإننا نوصي بذكر كتاب جيمس جليك "الفوضى". هناك أيضًا عدد من مقاطع الفيديو الشيقة التي تم إنتاجها. عادةً ما يقومون بعمل أفضل في توضيح منحنيات الحل أكثر مما يمكننا فعله مع أدوات الحل لدينا.

تعليقات على تمارين مختارة

تغطي التدريبات من 1 إلى 5 تفاصيل نظام Lorenz التي يمكن التحقق منها بسهولة يدويًا

يتطلب التمرين 6 بعض الأرقام المعقدة إلى حد ما لمقارنة حلول نظام لورنز.

تتطلب كل هذه المعامل تقنية قادرة على رسم الحلول في مستوى الطور. القدرة على رسم الرسوم البيانية لوظائف الإحداثيات مفيدة جدًا أيضًا.

المعمل 2.1: النماذج السكانية للأنواع التعاونية والتنافسية

يمكن بدء هذا المعمل بمجرد تغطية القسم 2.1. يمكن أن يكون إما استكشافًا للكمبيوتر بحتًا ، أو إذا تمت تغطية القسم 2.6 ، فيمكن أن يتضمن بعض التحليلات النوعية الأكثر دقة. يجب إيلاء اهتمام خاص لتفسير الحلول من الناحية المادية.

مختبر 2.2: المذبذب التوافقي مع التخميد المعدل

يجب تغطية القسم 2.4 قبل أن يتم تعيين هذا المختبر. الجزء الأول يتعلق بالمذبذب التوافقي. ومن ثم ، يجب أن يكون هذا الجزء من المختبر مكتملًا قبل الانتقال بعيدًا إلى الفصل 3.

مختبر 2.3: نماذج المباني المتمايلة

يتطلب هذا المعمل وجود حلال ينتج بيانات رقمية (بدلاً من الرسوم البيانية فقط). يمكن أن يتم ذلك باستخدام آلة حاسبة قابلة للبرمجة.


المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية في الحزم النفاثة والمشكلة العكسية لحساب التباينات

O. Krupková، G.E. برينس ، في كتيب التحليل العالمي ، 2008

6.1 التاريخ وتحديد المشكلة

المشكلة العكسية للمعادلات من الدرجة الثانية في الشكل العادي لها تاريخ وحالة حالية مختلفة إلى حد ما للمشكلة في شكل متغير كما تمت مناقشته في القسم 3.2 وفي أي مكان آخر في القسم 3. هذا في الأساس لأنه في حالة التغاير ، نسأل عما إذا كان النظام كما هو متغيرًا وفي الحالة المتناقضة علينا البحث عن شكل متغير متغاير. لذا فإن المشكلة العكسية لأنصاف الدرجات تتضمن تحديد ما إذا كانت حلول نظام معين من المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية (49) ، أي

هي حلول مجموعة من معادلات أويلر-لاغرانج

لبعض وظائف لاغرانج L (t ، x b ، x ˙ b).

نظرًا لأن معادلات أويلر-لاغرانج ليست بشكل عام في الشكل العادي ، تكمن المشكلة في العثور على ما يسمى مصفوفة مضاعفة (غير متدهورة) g a b (t ، x c ، x ˙ c) مثل ذلك

كما في الأقسام السابقة نستخدم الترميز زأب للتأكيد على أن المضاعفات التي نعتبرها منتظمة (غير متدهورة).

المجموعة الأكثر استخدامًا من الشروط الضرورية والكافية لوجود زأب هي ما يسمى بشروط هيلمهولتز بسبب دوغلاس [30] والتي وضعها سارليت بالشكل التالي [118]:

حيث استبدلنا x بواسطة ش واستخدمت كل ما لدينا من الرموز حتى الآن.

تتطلب هذه الشروط الجبرية التفاضلية في النهاية تطبيق نظرية التكامل من أجل تحديد وجود حلولها وتفردها. حتى الآن ، ترتبط نظريات التكامل التي تم استخدامها بأسماء ريكوير جانيت وكارتان كالر وسبنسر. من بينها سنلخص فقط استخدام نظرية كارتان-كالر في مظاهر الأنظمة التفاضلية الخارجية (في القسم 6.3).

قبل الشروع في الوصف والتحليل الرياضي ، نوفر للقارئ بعض المنظور التاريخي في هذه المشكلة العكسية المحلية للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية.

ناقش هيلمهولتز [47] أولاً ما إذا كانت أنظمة المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية هي أويلر لاغرانج بالنسبة إلى لاغرانج من الدرجة الأولى (أي يعتمد على السرعات وليس التسارع) في النموذج المقدم (المشكلة العكسية المتغيرة) ، ووجدت الشروط اللازمة ليكون هذا صحيحًا. أثبت ماير [99] لاحقًا أن الظروف كافية أيضًا.

ومع ذلك ، في عام 1886 ، أي قبل عام من نشر هيلمهولتز نتائجه الشهيرة ، في ورقة ظلت للأسف غير معروفة لسنوات ، اكتشف سونين [133] ذلك واحد حمرة

يمكن دائمًا وضعها في شكل معادلة أويلر-لاغرانج عن طريق الضرب x - F بواسطة وظيفة مناسبة ز ≠ 0. كما وصف تعدد الحل ، أي قدم وصفًا لجميع لاغرانجيان لـ (63). الآن ، يمكن إثبات نتيجة Sonin & # x27s بسهولة باستخدام شروط Helmholtz ، والتي من أجل معادلة واحدة (63) تختزل إلى معادلة تفاضلية جزئية واحدة للدالة غير المعروفة g (t ، x ، x ˙):

منذ ز ≠ 0 ، تأخذ هذه المعادلة الشكل

that is well-known be solvable its general solution depends upon a single arbitrary function of any two specific solutions of the corresponding homogeneous equation. Consequently, the most general Lagrangian for (63) depends upon one arbitrary function of two parameters.

Later Hirsch [50] formulated independently, and in a more general setting, the multiplier problem, that is, the question of the existence of multiplier functions which convert a system of second order ordinary differential equations in normal form into Euler-Lagrange equations. Surprisingly it turned out that a solution to the multiplier problem need not exist if there is more than one equation. Hirsch gave certain self-adjointness conditions for the problem but they are not effective in classifying second order equations according to the existence and uniqueness of the corresponding multipliers.

This multiplier problem was completely solved by Douglas in 1941 [30] for two degrees of freedom, that is, a pair of second order equations on the plane. He produced an exhaustive classification of all such equations in normal form. In each case Douglas identified all (if any) Lagrangians producing Euler-Lagrange equations whose normal form is that of the equations in that particular case. His method avoided Hirsch's self-adjointness conditions and he produced his own necessary and sufficient algebraic-differential conditions. His approach was to generate a sequence of integrability conditions, solving these using Riquier-Janet theory. While this approach is singularly effective and forms the basis of current efforts, it has been particularly difficult to see how to cast it into a form suitable for higher dimensions.

Interest from the physics community in the non-uniqueness aspects of the inverse problem provided the next contribution to solving the Helmholtz conditions. Henneaux [48] and Henneaux and Shepley [49] developed an algorithm for solving the Helmholtz conditions for any given system of second order equations. In particular, they solved the problem for spherically symmetric problems in dimension 3. In this fundamental case Henneaux and Shepley showed that a two-parameter family of Lagrangians produce the same equations of motion. Startlingly these Lagrangians produced inequivalent quantum mechanical hydrogen atoms. Further mathematical aspects of this case were elaborated by Crampin and Prince [ 17 , 19 ].)

At around the same time Sarlet [118] showed that the part of the Helmholtz conditions which ensures the correct time evolution of the multiplier matrix could be replaced by a possibly infinite sequence of purely algebraic initial conditions. Along with the work of Henneaux this provided a prototype for geometrising Douglas's Helmholtz conditions.

Over the next 10 years or so Cantrijn, CariñTena, Crampin, Ibort, Marmo, Prince, Sarlet, Saunders and Thompson explored the tangent bundle geometry of second order ordinary differential equations in general and the Euler-Lagrange equations in particular. The inverse problem provided central inspiration for their examination of the integrability theorems of classical mechanics, multi-Lagrangian systems, geodesic first integrals and equations with symmetry. Using the geometrical approach to second order equations of Klein and Grifone [ 41 , 42 , 56 , 57 ], the Helmholtz conditions for non-autonomous second order equations on a manifold were reformulated in terms of the corresponding non-linear connection on its tangent bundle (see section 5.1 ). This occurred in 1985 after a sequence of papers [ 15 , 21 , 118 ]. The work of Sarlet [121] , and collectively Martínez, Carinena and Sarlet [95, 96, 97] on derivations along the tangent bundle projection (see section 5.2 ) opened the way to the geometrical reformulation of Douglas's solution of the two-degree of freedom case. This was achieved in 1993 by Crampin, Sarlet, Martínez, Byrnes and Prince and is reported in [23] . A number of dimension ن classes were subsequently solved ([ 124 , 123 , 20 ]). The reader is directed to the review by Prince [110] for more details of this program up to the turn of the current century.

Separately Anderson and Thompson [7] applied exterior differential systems theory to some special cases of the geometrised problem with considerable success. In order to pursue the EDS approach Aldridge [1] used the Massa and Pagani connection of section 5.3 and recovered all the dimension ن results to date along with an overall classification scheme for this general case. It appears that the inverse problem still holds many accessible secrets.


4.4.1: Autonomous Second Order Equations (Exercises) - Mathematics

In the introduction to this section we briefly discussed how a system of differential equations can arise from a population problem in which we keep track of the population of both the prey and the predator. It makes sense that the number of prey present will affect the number of the predator present. Likewise, the number of predator present will affect the number of prey present. Therefore the differential equation that governs the population of either the prey or the predator should in some way depend on the population of the other. This will lead to two differential equations that must be solved simultaneously in order to determine the population of the prey and the predator.

The whole point of this is to notice that systems of differential equations can arise quite easily from naturally occurring situations. Developing an effective predator-prey system of differential equations is not the subject of this chapter. However, systems can arise from (n^< ext>) order linear differential equations as well. Before we get into this however, let’s write down a system and get some terminology out of the way.

We are going to be looking at first order, linear systems of differential equations. These terms mean the same thing that they have meant up to this point. The largest derivative anywhere in the system will be a first derivative and all unknown functions and their derivatives will only occur to the first power and will not be multiplied by other unknown functions. Here is an example of a system of first order, linear differential equations.

We call this kind of system a coupled system since knowledge of (x_<2>) is required in order to find (x_<1>) and likewise knowledge of (x_<1>) is required to find (x_<2>). We will worry about how to go about solving these later. At this point we are only interested in becoming familiar with some of the basics of systems.

Now, as mentioned earlier, we can write an (n^< ext>) order linear differential equation as a system. Let’s see how that can be done.

We can write higher order differential equations as a system with a very simple change of variable. We’ll start by defining the following two new functions.

[يبدأleft( t ight) & = yleft( t ight) left( t ight) & = y'left( t ight)end]

Now notice that if we differentiate both sides of these we get,

Note the use of the differential equation in the second equation. We can also convert the initial conditions over to the new functions.

[يبدأleft( 3 ight) & = yleft( 3 ight) = 6 left( 3 ight) & = y'left( 3 ight) = - 1end]

Putting all of this together gives the following system of differential equations.

We will call the system in the above example an Initial Value Problem just as we did for differential equations with initial conditions.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

Just as we did in the last example we’ll need to define some new functions. This time we’ll need 4 new functions.

[يبدأ & = y & Rightarrow hspace<0.25in><_1> & = y' = \ & = y' & Rightarrow hspace<0.25in><_2> & = y'' = \ & = y'' & Rightarrow hspace<0.25in><_3> & = y''' = \ & = y''' & Rightarrow hspace<0.25in><_4>& = > = - 8y + sin left( t ight)y' - 3y'' + = - 8 + sin left( t ight) - 3 + نهاية]

The system along with the initial conditions is then,

[يبدأ<_1> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 1 <_2> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 2 <_3> & = & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 3 <_4> & = - 8 + sin left( t ight) - 3 + & hspace<0.25in>left( 0 ight) & = 4end]

Now, when we finally get around to solving these we will see that we generally don’t solve systems in the form that we’ve given them in this section. Systems of differential equations can be converted to matrix form and this is the form that we usually use in solving systems.

First write the system so that each side is a vector.

Now the right side can be written as a matrix multiplication,

The system can then be written in the matrix form,

We’ll start with the system from Example 1.

Now, let’s do the system from Example 2.

In this case we need to be careful with the t 2 in the last equation. We’ll start by writing the system as a vector again and then break it up into two vectors, one vector that contains the unknown functions and the other that contains any known functions.

Now, the first vector can now be written as a matrix multiplication and we’ll leave the second vector alone.

Note that occasionally for “large” systems such as this we will go one step farther and write the system as,

[vec x' = Avec x + vec gleft( t ight)]

The last thing that we need to do in this section is get a bit of terminology out of the way. Starting with

[vec x' = Avec x + vec gleft( t ight)]

we say that the system is homogeneous if (vec gleft( t ight) = vec 0) and we say the system is nonhomogeneous if (vec gleft( t ight) e vec 0).


4.4.1: Autonomous Second Order Equations (Exercises) - Mathematics

Recall that we call a differential equation autonomous if it doesn't depend on the independent variable (the $"x"$) except in that the derivatives are taken with respect to $x$. For example, $displaystylefrac+3frac-5y=2$ and $displaystylefrac-2yfrac=0$ are both autonomous equations. There is a special trick that will let us reduce a second-order autonomous equation into a pair of first-order equations. This trick isn't important when we are dealing with linear equations, since a linear autonomous equation must be constant coefficient and can be more easily solved using the techniques of this section. But the trick for autonomous second-order equations also applies to non-linear equations, like the second example above, which can't be solved by the other techniques we've learned.

Consider the autonomous equation $ frac=fleft(y,frac ight). $ We will make the substitution $displaystyle v=frac$, just as in the development of numerical methods for second-order equations. This will give us $ frac=f(y,v). ag <1>$ Now by the chain rule $ frac=frac فارك=fracv. $ Substituting this into equation (1), we now have $ vfrac=f(y,v) $ and we have reduced our problem from a second-order equation in $y$ and $x$ to a first-order equation in $v$ and $y$. We now solve this using our techniques for first order equations to get a solution $v=g(y)$ for some function $g$. But recalling that $v=displaystylefrac$, this solution $v=g(y)$ becomes the first-order equation $ frac=g(y). $ We solve this equation, which is separable, and we have the solution of our original equation with $y$ as a function of $x$.


شاهد الفيديو: حل أسئلة دورات المعادلات من الدرجة الثانية - الجزء 1 (شهر اكتوبر 2021).