مقالات

8.1: مقدمة في تحويل لابلاس


تعريف تحويل لابلاس

لتعريف تحويل لابلاس ، نتذكر أولاً تعريف التكامل غير الصحيح. إذا كان (g ) قابلاً للتكامل عبر الفاصل ([a، T] ) لكل (T> a ) ، فإن تكامل غير لائق لـ (ز ) خلال يتم تعريف ([، infty) ) على أنه

[ label {eq: 8.1.1} int ^ infty_a g (t) ، dt = lim_ {T to infty} int ^ T_a g (t) ، dt. ]

نقول أن التكامل غير الصحيح يتقارب إذا كان الحد في المعادلة المرجع {eq: 8.1.1} موجودًا ؛ وإلا فإننا نقول أن التكامل غير الصحيح يتباعد أو غير موجود. إليك تعريف تحويل لابلاس للدالة (f ).

التعريف ( PageIndex {1} ): تحويل لابلاس

دع (f ) يتم تعريفه لـ (t ge0 ) وليكن (s ) رقمًا حقيقيًا. ثم تحويل لابلاس من (f ) هي الوظيفة (F ) المعرفة بواسطة

[ label {eq: 8.1.2} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) ، dt، ]

لقيم (s ) التي يتقارب فيها التكامل غير الصحيح.

من المهم أن تضع في اعتبارك أن متغير التكامل في المعادلة المرجع {eq: 8.1.2} هو (t ) ، بينما (s ) هو معلمة مستقلة عن (t ). نستخدم (t ) كمتغير مستقل لـ (f ) لأنه في التطبيقات يتم تطبيق تحويل لابلاس عادة على وظائف الوقت.

يمكن النظر إلى تحويل لابلاس كعامل ({ cal L} ) يحول الوظيفة (f = f (t) ) إلى الوظيفة (F = F (s) ). وبالتالي ، يمكن التعبير عن المعادلة المرجع {eq: 8.1.2} كـ

[F = { cal L} (f). nonumber ]

تشكل الدالتان (f ) و (F ) ملف تحويل الزوج، والتي سنشير إليها أحيانًا بواسطة

[f (t) leftrightarrow F (s). nonumber ]

يمكن إظهار أنه إذا تم تعريف (F (s) ) من أجل (s = s_0 ) فإنه يتم تعريفه لجميع (s> s_0 ) (تمرين 8.1.14 ب).

حساب بعض تحويلات لابلاس البسيطة

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد تحويل لابلاس لـ (f (t) = 1 ).

المحلول

من المعادلة المرجع {eq: 8.1.2} مع (f (t) = 1 ) ،

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} ، dt = lim_ {T to infty} int_0 ^ T e ^ {- st} ، dt. nonumber ]

إذا (s ne 0 ) ثم

[ label {eq: 8.1.3} int_0 ^ T e ^ {- st} dt = - {1 over s} e ^ {- st} Big | _0 ^ T = {1-e ^ {- sT} أكثر من s}. ]

وبالتالي

[ label {eq: 8.1.4} lim_ {T to infty} int_0 ^ T e ^ {- st} dt = left { begin {array} {rr} {1 over s} ، & s> 0 ، infty ، & s <0. نهاية {مجموعة} يمين. ]

إذا (s = 0 ) يتم تقليل التكامل إلى الثابت (1 ) ، و

[ lim_ {T to infty} int_0 ^ T 1 ، dt = lim_ {T to infty} int_0 ^ T 1 ، dt = lim_ {T to infty} T = infty. nonumber ]

لذلك (F (0) ) غير معرف ، و

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} dt = {1 over s}، quad s> 0. nonumber ]

يمكن كتابة هذه النتيجة في تدوين عامل التشغيل كـ

[{ cal L} (1) = {1 over s}، quad s> 0، nonumber ]

أو كزوج تحويل

[1 leftrightarrow {1 over s}، quad s> 0. nonumber ]

ملحوظة

من الملائم الجمع بين خطوات الدمج من (0 ) إلى (T ) والسماح (T → ∞ ). لذلك ، بدلاً من كتابة المعادلة ref {eq: 8.1.3} و ref {eq: 8.1.4} كخطوتين منفصلتين نكتب

[ int_ {0} ^ { infty} e ^ {- st} dt = - left. frac {1} {s} e ^ {- st} right | _ {0} ^ { infty} = left { begin {array} {cl} { frac {1} {s}،} & {s> 0} { infty،} & {s <0} end {array} right . لا يوجد رقم]

سوف نتبع هذه الممارسة طوال هذا الفصل.

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن تحويل لابلاس لـ (f (t) = t ).

من المعادلة المرجع {eq: 8.1.2} مع (f (t) = t ) ،

[ label {eq: 8.1.5} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} t ، dt. ]

إذا (s ne0 ) ، ينتج عن التكامل حسب الأجزاء

[ begin {align *} int_0 ^ infty e ^ {- st} t ، dt & = - {te ^ {- st} over s} bigg | _0 ^ infty + {1 over s} int_0 ^ infty e ^ {- st} ، dt = - left [{t over s} + {1 over s ^ 2} right] e ^ {- st} bigg | _0 ^ infty & = left { start {array} {rr} {1 over s ^ 2}، quad s> 0، infty، ، s <0. end {array} right. نهاية {محاذاة *} غير رقم ]

إذا (s = 0 ) ، يصبح التكامل في المعادلة المرجع {eq: 8.1.5}

[ int_0 ^ infty t ، dt = {t ^ 2 over2} bigg | _0 ^ infty = infty. nonumber ]

لذلك (F (0) ) غير معرف و

[F (s) = {1 over s ^ 2}، quad s> 0. nonumber ]

يمكن أيضًا كتابة هذه النتيجة كـ

[{ cal L} (t) = {1 over s ^ 2}، quad s> 0، nonumber ]

أو كزوج تحويل

[t leftrightarrow {1 over s ^ 2}، quad s> 0. nonumber ]

مثال ( PageIndex {3} ):

أوجد تحويل لابلاس لـ (f (t) = e ^ {at} ) ، حيث (a ) ثابت.

من المعادلة المرجع {eq: 8.1.2} مع (f (t) = e ^ {at} ) ،

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} e ^ {at} ، dt. nonumber ]

الجمع بين العوائد الأسية

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- (s-a) t} ، dt. nonumber ]

ومع ذلك ، فإننا نعلم من مثال ( PageIndex {1} ) أن

[ int_0 ^ infty e ^ {- st} ، dt = {1 over s}، quad s> 0. nonumber ]

يُظهر استبدال (s ) بـ (s-a ) هنا ذلك

[F (s) = {1 over s-a}، quad s> a. nonumber ]

يمكن أيضًا كتابة هذا كـ

[{ cal L} (e ^ {at}) = {1 over sa}، quad s> a، text {or} e ^ {at} leftrightarrow {1 over sa}، quad s > أ. غير رقم ]

مثال ( PageIndex {4} )

[ابحث عن تحويلات لابلاس لـ (f (t) = sin omega t ) و (g (t) = cos omega t ) ، حيث ( omega ) ثابت.

حدد

[ label {eq: 8.1.6} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} sin omega t ، dt ]

و

[ label {eq: 8.1.7} G (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} cos omega t ، dt. ]

إذا كان (s> 0 ) ، فإن دمج المعادلة المرجع {eq: 8.1.6} حسب الأجزاء ينتج عنه

[F (s) = - {e ^ {- st} over s} sin omega t Big | _0 ^ infty + { omega over s} int_0 ^ infty e ^ {- st} cos omega t ، dt، nonumber ]

وبالتالي

[ label {eq: 8.1.8} F (s) = { omega over s} G (s). ]

إذا (s> 0 ) ، فإن تكامل المعادلة المرجع {eq: 8.1.7} حسب الأجزاء ينتج عنه

[G (s) = - {e ^ {- st} cos omega t over s} Big | _0 ^ infty - { omega over s} int_0 ^ infty e ^ {- st} sin omega t ، dt، nonumber ]

وبالتالي

[G (s) = {1 over s} - { omega over s} F (s). nonumber ]

الآن استبدل من المعادلة المرجع {eq: 8.1.8} في هذا للحصول على

[G (s) = {1 over s} - { omega ^ 2 over s ^ 2} G (s). nonumber ]

حل هذا من أجل عوائد (G (s) )

[G (s) = {s over s ^ 2 + omega ^ 2}، quad s> 0. nonumber ]

تشير هذه والمعادلة المرجع {eq: 8.1.8} إلى ذلك

[F (s) = { omega over s ^ 2 + omega ^ 2}، quad s> 0. nonumber ]

جداول تحويلات لابلاس

تم تجميع جداول ممتدة من تحويلات لابلاس وهي شائعة الاستخدام في التطبيقات. سيكون الجدول المختصر لتحولات لابلاس في الملحق مناسبًا لأغراضنا.

مثال ( PageIndex {5} )

استخدم جدول تحويلات لابلاس للعثور على ({ cal L} (t ^ 3e ^ {4t}) ).

يتضمن الجدول زوج التحويل

[t ^ ne ^ {at} leftrightarrow {n! over (s-a) ^ {n + 1}}. nonumber ]

إعداد (n = 3 ) و (a = 4 ) هنا ينتج

[ cal L (t ^ 3e ^ {4t}) = {3! over (s-4) ^ 4} = {6 over (s-4) ^ 4}. nonumber ]

سنقوم أحيانًا بكتابة تحويلات لابلاس لوظائف محددة دون توضيح كيفية الحصول عليها. في مثل هذه الحالات ، يجب عليك الرجوع إلى جدول تحويلات لابلاس.

خطية تحويل لابلاس

تقدم النظرية التالية خاصية مهمة لتحويل لابلاس.

Theorem ( PageIndex {2} ) خاصية الخطية

لنفترض أن ({ cal L} (f_i) ) معرف لـ (s> s_i ، ) (1 le i le n). ) لنفترض أن (s_0 ) يكون أكبر الأرقام (s_1 ) ، (s_ {2} ، ) ... ، (s_n ، ) وليكن (c_1 ) ، (c_2 ) ، ... ، (c_n ) ثوابت. ثم

[{ cal L} (c_1f_1 + c_2f_2 + cdots + c_nf_n) = c_1 { cal L} (f_1) + c_2 { cal L} (f_2) + cdots + c_n { cal L} (f_n) mbox {for} s> s_0. nonumber ]

دليل - إثبات

نعطي الدليل على الحالة حيث (n = 2 ). إذا (s> s_0 ) ثم

[ start {align} { cal L} (c_1f_1 + c_2f_2) & = int_0 ^ infty e ^ {- st} left (c_1f_1 (t) + c_2f_2 (t)) right) ، dt & = c_1 int_0 ^ infty e ^ {- st} f_1 (t) ، dt + c_2 int_0 ^ infty e ^ {- st} f_2 (t) ، dt & = c_1 { cal L} (f_1) + c_2 { cal L} (f_2). end {align} nonumber ]

مثال ( PageIndex {6} )

استخدم Theorem ( PageIndex {2} ) وتحويل لابلاس المعروف

[{ cal L} (e ^ {at}) = {1 over s-a} nonumber ]

للعثور على ({ cal L} ( cosh bt) ، (b ne0) ).

المحلول

حسب التعريف،

[ cosh bt = {e ^ {bt} + e ^ {- bt} over 2}. لا يوجد رقم]

وبالتالي

[ label {eq: 8.1.9} start {array} {ccl} { cal L} ( cosh bt) & = & { cal L} left ({1 over 2} e ^ {bt } + {1 أكثر من 2} e ^ {- bt} right) [4pt] & = & {1 over 2} { cal L} (e ^ {bt}) + {1 over 2} { cal L} (e ^ {- bt}) qquad hbox {(خاصية خطية)} [4pt] & = & {1 over 2} ، {1 over sb} + {1 over 2} ، {1 over s + b}، end {array} ]

حيث يتم تعريف التحويل الأول على اليمين من أجل (s> b ) والثاني لـ (s> -b ) ؛ ومن ثم ، تم تعريف كلاهما لـ (s> | b | ). تبسيط التعبير الأخير في المعادلة ref {eq: 8.1.9} ينتج عنه

[{ cal L} ( cosh bt) = {s over s ^ 2-b ^ 2} ، quad s> | b |. nonumber ]

تمكننا النظرية التالية من البدء بأزواج تحويل معروفة واشتقاق أخرى. (للحصول على نتائج أخرى من هذا النوع ، انظر تمارين 8.1.6 و 8.1.13.)

Theorem ( PageIndex {3} ) نظرية التحول الأول

لو

[ label {eq: 8.1.10} F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) ، dt ]

هل تحويل لابلاس لـ (f (t) ) لـ (s> s_0 ) ، ثم (F (sa) ) هو تحويل لابلاس لـ (e ^ {at} f (t) ) لـ (s> s_0 + a ).

دليل - إثبات

استبدال (s ) بـ (s-a ) في المعادلة المرجع {eq: 8.1.10} ينتج

[ label {eq: 8.1.11} F (s-a) = int_0 ^ infty e ^ {- (s-a) t} f (t) ، dt ]

إذا (s-a> s_0 ) ؛ هذا هو ، إذا (s> s_0 + a ). ومع ذلك ، يمكن إعادة كتابة المعادلة المرجع {eq: 8.1.11} كـ

[F (s-a) = int_0 ^ infty e ^ {- st} left (e ^ {at} f (t) right) ، dt، nonumber ]

مما يعني الاستنتاج.

مثال ( PageIndex {7} )

استخدم النظرية ( PageIndex {3} ) وتحويلات لابلاس المعروفة لـ (1 ) و (t ) و ( cos omega t ) و ( sin omega t ) يجد

[{ cal L} (e ^ {at})، quad { cal L} (te ^ {at})، quad { cal L} (e ^ { lambda t} sin omega t ) ، mbox {and} { cal L} (e ^ { lambda t} cos omega t). nonumber ]

المحلول

في الجدول التالي ، يتم سرد أزواج التحويل المعروفة على اليسار ويتم الحصول على أزواج التحويل المطلوبة المدرجة على اليمين من خلال تطبيق Theorem ( PageIndex {3} ).

جدول ( PageIndex {1} )
(f (t) left rightarrow F (s) ) (e ^ {at} f (t) leftrightarrow F (s-a) )
(1 leftrightarrow {1 over s}، quad s> 0 ) (e ^ {at} leftrightarrow {1 over (s-a)} ، quad s> a )
(t leftrightarrow frac {1} {s ^ {2}} ، quad s> 0 ) (te ^ {at} leftrightarrow frac {1} {(s-a) ^ {2}}، quad s> a )
( sin omega t leftrightarrow frac { omega} {s ^ {2} + omega ^ {2}}، quad s> 0 ) (e ^ { lambda t} sin omega t leftrightarrow frac { omega} {(s- lambda) ^ {2} + omega ^ {2}}، quad s> lambda )
( cos omega t leftrightarrow frac {s} {s ^ {2} + omega ^ {2}}، quad s> 0 ) (e ^ { lambda t} sin omega t leftrightarrow frac {s- lambda} {(s- lambda) ^ {2} + omega ^ {2}}، quad s> lambda )

وجود تحولات لابلاس

لا تحتوي كل وظيفة على تحويل لابلاس. على سبيل المثال ، يمكن إظهاره (تمرين 8.1.3) الذي - التي

[ int_0 ^ infty e ^ {- st} e ^ {t ^ 2} dt = infty nonumber ]

لكل رقم حقيقي. وبالتالي ، لا تحتوي الوظيفة (f (t) = e ^ {t ^ 2} ) على تحويل لابلاس.

هدفنا التالي هو تهيئة الظروف التي تضمن وجود تحويل لابلاس للدالة. نراجع أولاً بعض التعريفات ذات الصلة من التفاضل والتكامل.

أذكر أن حد

[ lim_ {t to t_0} f (t) nonumber ]

موجود فقط إذا وفقط إذا كانت الحدود من جانب واحد

[ lim_ {t to t_0-} f (t) quad text {and} quad lim_ {t to t_0 +} f (t) nonumber ]

كلاهما موجود ومتساو ؛ في هذه الحالة،

[ lim_ {t to t_0} f (t) = lim_ {t to t_0-} f (t) = lim_ {t to t_0 +} f (t). nonumber ]

تذكر أيضًا أن (f ) مستمر عند نقطة (t_0 ) في فاصل مفتوح ((أ ، ب) ) إذا وفقط إذا

[ lim_ {t to t_0} f (t) = f (t_0) ، nonumber ]

وهو ما يعادل

[ label {eq: 8.1.12} lim_ {t to t_0 +} f (t) = lim_ {t to t_0-} f (t) = f (t_0). ]

من أجل البساطة ، نحدد

[f (t_0 +) = lim_ {t to t_0 +} f (t) quad hbox {and} quad f (t_0 -) = lim_ {t to t_0-} f (t)، nonumber ]

لذلك يمكن التعبير عن المعادلة المرجع {eq: 8.1.12} كـ

[f (t_0 +) = f (t_0 -) = f (t_0). nonumber ]

إذا كان (f (t_0 +) ) و (f (t_0 -) ) لهما قيم محدودة ولكنها مميزة ، فإننا نقول أن (f ) لديه قفز الانقطاع في (t_0 ) و

[f (t_0 +) - f (t_0 -) غير رقم ]

يسمى قفزة في (f ) في (t_0 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )).

إذا كانت (f (t_0 +) ) و (f (t_0 -) ) محدودة ومتساوية ، ولكن إما لم يتم تعريف (f ) عند (t_0 ) أو تم تعريفها ولكن

[f (t_0) ne f (t_0 +) = f (t_0 -) ، nonumber ]

نقول أن (f ) لديه انقطاع قابل للإزالة في (t_0 ) (الشكل ( PageIndex {2} )). هذا المصطلح مناسب لأن الوظيفة (f ) ذات الانقطاع القابل للإزالة عند (t_0 ) يمكن جعلها مستمرة عند (t_0 ) عن طريق تعريف (أو إعادة تعريف)

[f (t_0) = f (t_0 +) = f (t_0 -). nonumber ]

ملحوظة

نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن التكامل المحدد لا يتأثر بتغيير قيم تكامله عند نقاط منفصلة. لذلك ، فإن إعادة تعريف الدالة f لجعلها مستمرة عند فترات التوقف القابلة للإزالة لا يغير ( cal {L} (f) ).

نظرية ( PageIndex {4} ) حل متواصل

  • يقال أن الوظيفة (f ) هي متعدد التعريف مستمر في فترة زمنية محدودة مغلقة ([0 ، T] ) إذا كان (f (0 +) ) و (f (T -) ) منتهيان و (f ) مستمر في الفترة المفتوحة ( (0 ، T) ) ربما باستثناء نقاط كثيرة بشكل محدود ، حيث قد يكون (f ) به انقطاعات قفز أو انقطاعات قابلة للإزالة.
  • يقال أن الوظيفة (f ) هي متعدد التعريف مستمر على الفاصل اللانهائي ([0، infty) ) إذا كان متواصلاً على ([0، T] ) لكل (T> 0 ).

يوضح الشكل ( PageIndex {3} ) الرسم البياني لدالة متواصلة متعددة التعريفات نموذجية.

يتضح في حساب التفاضل والتكامل أنه إذا كانت الدالة متصلة على شكل متعدد على فاصل مغلق محدد ، فإنها قابلة للتكامل في تلك الفترة. ولكن إذا كان (f ) متواصلاً متعدد التعريف في ([0، infty) ) ، فسيكون كذلك (e ^ {- st} f (t) ) ، وبالتالي

[ int_0 ^ T e ^ {- st} f (t) ، dt nonumber ]

موجود لكل (T> 0 ). ومع ذلك ، فإن الاستمرارية متعددة التعريف وحدها لا تضمن أن التكامل غير الصحيح

[ label {eq: 8.1.13} int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) ، dt = lim_ {T to infty} int_0 ^ T e ^ {- st} f (ر) ، دت ]

يتقارب من أجل (s ) في بعض الفواصل ((s_0 ، infty) ). على سبيل المثال ، لاحظنا سابقًا أن المعادلة ref {eq: 8.1.13} تتباعد لكل (s ) إذا (f (t) = e ^ {t ^ 2} ). بشكل غير رسمي ، يحدث هذا لأن (e ^ {t ^ 2} ) يزيد بسرعة كبيرة مثل (t to infty ). يوفر التعريف التالي قيدًا على نمو دالة تضمن تقارب تحويل لابلاس الخاص بها من أجل (ق ) في بعض الفترات ((s_0 ، infty) ).

النظرية ( PageIndex {5} ): من أجل الأسي

يقال أن الوظيفة (f ) هي من أجل الأسي (s_0 ) إذا كان هناك ثوابت (M ) و (t_0 ) مثل ذلك

[ label {eq: 8.1.14} | f (t) | le Me ^ {s_0t}، quad t ge t_0. ]

في الحالات التي تكون فيها القيمة المحددة لـ (s_0 ) غير ذات صلة ، نقول ببساطة أن (f ) هو من أجل الأسي.

تعطي النظرية التالية شروطًا كافية مفيدة للدالة (f ) للحصول على تحويل لابلاس. الدليل مرسوم فيه تمرين 8.1.10.

نظرية ( PageIndex {6} )

إذا كان (f ) متواصلاً متعدد العناصر في ([0، infty) ) وبترتيب أسي (s_0، ) ، فسيتم تعريف ({ cal L} (f) ) لـ (s> s_0 ).

ملحوظة

نؤكد أن شروط النظرية ( PageIndex {6} ) كافية ، لكن ليس من الضروري، من أجل (f ) للحصول على تحويل لابلاس. فمثلا، التمرين 8.1.14 (c) يوضح أن (f ) قد يكون له تحويل لابلاس على الرغم من أن (f ) ليس بترتيب أسي

مثال ( PageIndex {8} )

إذا كان (f ) مقيدًا بفاصل زمني ([t_0، infty) ) ، قل

[| f (t) | le M، quad t ge t_0، nonumber ]

ثم يتم تعليق المعادلة المرجع {eq: 8.1.14} مع (s_0 = 0 ) ، لذلك (f ) ذات الترتيب الأسي صفر. وبالتالي ، على سبيل المثال ، ( sin omega t ) و ( cos omega t ) من الدرجة الأسية صفر ، والنظرية ( PageIndex {6} ) تعني أن ({ cal L} ( sin omega t) ) و ({ cal L} ( cos omega t) ) موجودان لـ (s> 0 ). يتوافق هذا مع استنتاج المثال ( PageIndex {4} ).

مثال ( PageIndex {9} )

يمكن إظهار أنه إذا كان ( lim_ {t to infty} e ^ {- s_0t} f (t) ) موجودًا ومحدودًا ، فإن (f ) يكون بترتيب أسي (s_0 ) (تمرين 8.1.9). إذا كان ( alpha ) أي رقم حقيقي و (s_0> 0 ) فإن (f (t) = t ^ alpha ) هو ترتيب أسي (s_0 ) ، منذ ذلك الحين

[ lim_ {t to infty} e ^ {- s_0t} t ^ alpha = 0، nonumber ]

بواسطة قاعدة L’Hôpital. إذا كان ( alpha ge 0 ) ، (f ) مستمرًا أيضًا في ([0، infty) ). وبالتالي تمرين 8.1.9 والنظرية ( PageIndex {6} ) تشير إلى أن ({ cal L} (t ^ alpha) ) موجود لـ (s ge s_0 ). ومع ذلك ، نظرًا لأن (s_0 ) هو رقم موجب عشوائي ، فهذا يعني حقًا أن ({ cal L} (t ^ alpha) ) موجود للجميع (s> 0 ). يتوافق هذا مع نتائج المثال ( PageIndex {2} ) و تمارين 8.1.6 و 8.1.8.

مثال ( PageIndex {10} )

أوجد تحويل لابلاس للدالة متعددة التعريف المستمرة

[f (t) = left { begin {array} {cl} 1، & 0 le t <1، -3e ^ {- t}، & t ge 1. end {array} right .لا يوجد رقم]

المحلول

نظرًا لأنه يتم تعريف (f ) بواسطة صيغ مختلفة في ([0،1) ) و ([1، infty) ) ، نكتب

[F (s) = int_0 ^ infty e ^ {- st} f (t) ، dt = int_0 ^ 1e ^ {- st} (1) ، dt + int_1 ^ infty e ^ {- st} (- 3e ^ {- t}) ، dt. nonumber ]

منذ

[ int_ {0} ^ {1} e ^ {- st} dt = left { begin {array} {cl} { frac {1-e ^ {- s}} {s}} & { s neq 0} {1} & {s = 0} end {array} right. لا يوجد رقم ]

و

[ int_1 ^ infty e ^ {- st} (- 3e ^ {- t}) ، dt = -3 int_1 ^ infty e ^ {- (s + 1) t} ، dt = - { 3e ^ {- (s + 1)} over s + 1}، quad s> -1، nonumber ]

إنه يتبع هذا

[F (s) = left { start {array} {rl} { frac {1-e ^ {- s}} {s} -3 frac {e ^ {- (s + 1)} } {s + 1}} & {s> -1، s neq 0} {1- frac {3} {e}} & {s = 0} end {array} right. لا يوجد رقم ]

هذا يتفق مع Theorem ( PageIndex {6} ) منذ ذلك الحين

[| f (t) | le 3e ^ {- t}، quad t ge 1، nonumber ]

وبالتالي فإن (f ) ذو ترتيب أسي (s_0 = -1 ).

ملحوظة

في القسم 8.4 ، سنطور طريقة أكثر فاعلية للعثور على تحويلات لابلاس للوظائف المستمرة متعددة التعريف.

مثال ( PageIndex {11} )

ذكرنا ذلك في وقت سابق

[ int_0 ^ infty e ^ {- st} e ^ {t ^ 2} dt = infty nonumber ]

لكل (s ) ، لذا فإن النظرية ( PageIndex {6} ) تشير إلى أن (f (t) = e ^ {t ^ 2} ) ليس بترتيب أسي ، حيث

[ lim_ {t to infty} {e ^ {t ^ 2} over Me ^ {s_0t}} = lim_ {t to infty} {1 over M} e ^ {t ^ 2- s_0t} = infty، nonumber ]

وبالتالي

[e ^ {t ^ 2}> أنا ^ {s_0t} nonumber ]

لقيم كبيرة بما فيه الكفاية لـ (t ) ، لأي اختيار من (M ) و (s_ {0} ) (تمرين 8.1.3).


مقدمة في تحويلات لابلاس

يعد تحويل لابلاس واحدًا من العديد من التحويلات المتكاملة & # 8220 & # 8221 ، والتي تحتوي على الميزات التالية:
1. يحول التفاضل والتكامل إلى الجبر.
2. يعطي معلومات حول نظام مادي أو كهربائي & # 8220 في لمحة & # 8221 و
3. هذا غريب بعض الشيء ، ولكن يمكن اعتباره أخذ أنواع معينة من الوظائف وتحويلها إلى مجموعة غريبة & # 8220 مجموع متواصل & # 8221 من الدوال الأسية ، بالطريقة نفسها التي تأخذ بها سلسلة الطاقة الوظائف وتحولها إلى نوع من كثيرات الحدود اللانهائية.

التعريف: تحويل لابلاس للدالة المشار إليها هو. لاحظ أن المتغير هو متغير تكامل وهو & # 8220 متكاملة خارج & # 8221 ويبقى فقط.

لقد تعلمت الآن في حساب التفاضل والتكامل أن هذا التكامل غير صحيح ولا يوجد دائمًا & # 8217t. لذا ، فإن تحويل لابلاس للدالة موجود إذا وفقط إذا كان يتقارب كتكامل غير صحيح.

نظرًا لأن هذه مجرد مقدمة ، فسوف نجعل حياتنا أسهل قليلاً ونقتصر على وظائف الترتيب الأسي أي وظائف مثل الاختيار المناسب لـ ،. نحن & # 8217ll أيضًا نطلب هذا من جميع مشتقات.

بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا القيد غير ضروري ولكننا & # 8217 سنحفظ هذه المناقشة لدورة أكثر تقدمًا.

سنصر أيضًا على أن تكون وظائفنا & # 8220 قطعة متواصلة & # 8221 حيث يمكن أن تكون الوظيفة غير متصلة في مجموعة منفصلة من النقاط (أي نقاط معزولة) ولا توجد & # 8220 خطوط مقاربة رأسية & # 8221 في الأماكن التي تفشل فيها الوظيفة في كن مستمرا.

وهذا يعني أن تحويل لابلاس هو ملف التحول الخطي.

ملاحظة حول الحساب المتكامل: طُلب منك دائمًا الكتابة بدلاً من. هذه معادلات تفاضلية ولذا سنستخدم الاصطلاح الأخير.

دعونا & # 8217s لحساب عدد قليل من هذه:

. ملاحظة: إذا كان الأمر كذلك ، فإن وظيفة Laplace trasformed الخاصة بنا قد قيدت المجال.

. الآن هذا تكامل بسيط بالأجزاء ()

الآن بواسطة L & # 8217Hopital & # 8217s Rule .. في الحقيقة ، لكل حقيقي و حينئذ

على الرغم من أن هذه النتيجة مهمة في حد ذاتها ، إلا أن النمط أكثر أهمية.

لنفعل هذا الأمر & # 8217s مرة أخرى ، ولكن هذه المرة لـ ، عدد صحيح أكبر من أو يساوي 2.

. الآن هذا تكامل بسيط على أجزاء: وهكذا نحصل على:

جزء التقييم لا يزال صفراً ، فما لدينا هو:

هذا يسمح للحساب العودي: وبشكل عام

الآن إذا لم يكن عددًا صحيحًا ، فإن تحويل لابلاس يصبح مثيرًا للاهتمام. سوف نناقش هذا في وقت لاحق ، ولكن إذا كنت تريد إلقاء نظرة خاطفة ، فستحتاج & # 8217 إلى تعلم وظيفة جاما أولاً.

الآن لمزيد من الأشياء العادية ، دع & # 8217s تفعل حيث يوجد عدد ما ، ربما يكون معقدًا.

ليس إذا كان حقيقيا ، نحن نصر على

الآن ماذا عن الحالة التي يكون فيها الحقيقي؟ بالطبع ، تحويل لابلاس هو لكن دعونا نفكر قليلاً. يمكننا استغلال هذا للحصول على تحويل لابلاس للجيب وجيب التمام بسهولة بالغة.

وهكذا والآن نأخذ تحويل لابلاس من كلا الجانبين:

لذا احصل على قاسم مشترك وحصلنا على:.

تمرين: أنت تدرك ذلك

الدرس التالي: & # 8217 سنقوم & # 8220e-shift & # 8221 بعمل المشتقات.


8.1: مقدمة في تحويل لابلاس

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

نوضح كيف يمكن استخدام تحويلات لابلاس لحل مشاكل القيمة الأولية للمعامل الثابت من الدرجة الثانية.

حل مشاكل القيمة الأولية

تحويلات لابلاس للمشتقات

في الجزء المتبقي من هذا الفصل ، سنستخدم تحويل لابلاس لحل مشاكل القيمة الأولية لمعادلات الدرجة الثانية ذات المعامل الثابت. للقيام بذلك ، يجب أن نعرف كيف يرتبط تحويل لابلاس بتحويل لابلاس لـ. النظرية التالية تجيب على هذا السؤال.

نعلم من نظرية 8.1.6 التي تم تعريفها من أجل. نعتبر أولاً الحالة التي يكون فيها مستمرًا. التكامل بالأجزاء ينتج

لأي . بما أن الترتيب الأسي ، والتكامل الأخير في (eq: 8.3.2) يتقارب كما لو. وبالتالي

في هذه المرحلة ، من السهل علينا التحقق (القيام بذلك!) من حل مشكلة القيمة الأولية

يكون . سنحصل الآن على هذه النتيجة باستخدام تحويل لابلاس.

اسمح أن يكون تحويل لابلاس للحل المجهول (مكافئ: 8.3.3). أخذ تحويلات لابلاس لكلا جانبي (مكافئ: 8.3.3) ينتج عنها ، من خلال نظرية thmtype: 8.3.1 ، يمكن إعادة كتابتها أو حلها بحيث تتفق مع النتيجة المعروفة.

نحتاج إلى النظرية التالية لحل المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية باستخدام تحويل لابلاس.

نظرية الإثبات من النوع: 8.3.1 تدل على وجود ومرضية (مكافئ: 8.3.4) من أجل. لإثبات أن هذا موجود ومرضٍ (مكافئ: 8.3.5) ، نقوم أولاً بتطبيق Theorem thmtype: 8.3.1 to. نظرًا لأن يفي بفرضيات Theorem thmtype: 8.3.1 ، فإننا نستنتج أن هذا محدد ومرضٍ. ومع ذلك ، منذ ذلك الحين ، يمكن إعادة كتابة هذا على أنه استبدال (مكافئ: 8.3.4) في هذا العائد (مكافئ: 8.3.5).

حل المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام تحويل لابلاس

سنستخدم الآن تحويل لابلاس لحل مشاكل القيمة الأولية لمعادلات الدرجة الثانية.

ليس من الضروري كتابة جميع الخطوات التي استخدمناها للحصول على (مكافئ: 8.3.8). لمعرفة كيفية تجنب ذلك ، دعنا نطبق طريقة مثال المثال: 8.3.2 على مشكلة القيمة الأولية العامة

أخذ تحويلات لابلاس لكلا طرفي المعادلة التفاضلية في عوائد (مكافئ: 8.3.9)

الآن دع . نظرية thmtype: 8.3.2 والشروط الأولية في (eq: 8.3.9) تعني أن استبدال هذه في (eq: 8.3.10) ينتج معامل على اليسار هو خاصية كثيرة الحدود المميزة للمعادلة التكميلية لـ (eq: 8.3 .9). يؤدي استخدام هذا ونقل المصطلحات التي تتضمن وإلى الجانب الأيمن من (eq: 8.3.11) إلى إنتاج هذه المعادلة (eq: 8.3.8) من مثال مثال: 8.3.2. بعد تحديد شكل هذه المعادلة في الحالة العامة ، يفضل الانتقال مباشرة من مشكلة القيمة الأولية إلى هذه المعادلة. قد تجد أنه من الأسهل تذكر إعادة كتابتها (مكافئ: 8.3.12) كـ

مصدر النص

ترينش ، ويليام ف. ، "المعادلات التفاضلية الأولية" (2013). مؤلف ومحرّر من كتب وأقراص مدمجة. 8. (CC-BY-NC-SA)


الفصل 8: مقدمة في لابلاس الفضاء وتحويل لابلاس

كل من تحويل لابلاس و ض- يرتبط التحويل ارتباطًا وثيقًا ، على التوالي ، بتحويل فورييه المستمر وتحويل فورييه الزمني المنفصل. ومع ذلك ، لأنها تستخدم متغير تردد معقد ( س أو ض) بدلاً من كونها خيالية بحتة (j ? ) ، فهي أكثر عمومية في نطاقها. على سبيل المثال ، يتم استخدام تحويل لابلاس في كل مكان لتحليل وتصميم الدوائر الكهربائية مثل المرشحات والشبكات ، وهو مناسب بشكل مثالي لتحليل ظواهر الاستجابة العابرة (هيكمان ، 1999). وبالمثل ض-transform هي أداة لا غنى عنها لتصميم وتحليل المرشحات الرقمية ، وخاصة مرشحات الاستجابة النبضية اللانهائية (IIR) ، والتي سيكون لدينا الكثير لنقوله في هذا والفصول اللاحقة.

سنبدأ معالجتنا لهذا الموضوع بإجراء تحقيق في التعاريف والخصائص واستخدامات تحويل لابلاس. ومع ذلك ، فإن كلمة تحذير بشأن هذه المسألة مناسبة قبل أن نمضي قدماً. تتضمن بعض النصوص على DSP أوصافًا مفصلة للغاية لتحويل لابلاس ، ربما لأنه يعتبر أن معالجة المجال المنفصلة لا يمكن فهمها بشكل كافٍ دون أساس شامل في طرق تحليلية مستمرة. في المقابل ، تتجاهل الكتب الأخرى حول DSP كل ذلك معًا ، ربما لأنه يعتقد أن الأدوات المنفصلة وحدها تحتاج إلى أن يتم تطبيقها في تصميم خوارزميات المعالجة المنفصلة. في هذا الفصل ، سنوجه مسارًا متوسطًا. سيتم توفير معلومات كافية عن خلفية واستخدامات لابلاس لتمكينك أنت ، القارئ ، من الفهم.


تحويل لابلاس لوظيفة متعددة التعريف:

تذكر أن دالة متعددة التعريف تشير إلى دالة مقسمة إلى أجزاء أو وظائف فرعية. لكي نأخذ تحويل لابلاس لوظيفة متعددة التعريف ، يجب أن يكون هذا مستمراً في كل وظيفة فرعية (أو فترة زمنية) نطبق التحويل عليها. سيكون لكل فترة من الدالة قيمة مختلفة ، لذلك يتعين علينا تقسيم تكامل لابلاس إلى أكبر عدد ممكن من التكاملات مثل أجزاء الدالة التي لدينا. قد يؤدي هذا في الواقع إلى تبسيط تكامل لابلاس في أقسام معينة من الدالة متعددة التعريف ، حيث يمكن حل أي قسم ليس غير محدود (أي يقع في فترة لا يكون فيها أي من الطرفين المتطرفين غير محدود) بخطوات تكامل منتظمة.

العامل الأكثر أهمية الذي يجب أخذه في الاعتبار أثناء العمل مع الدوال متعددة التعريف هو أنك تحتاج إلى تذكر جميع الأجزاء التي تقوم بدمجها ، وتأكد من أنه في كل خطوة من العملية يكون لديك تكامل (أو نتيجة تكامل) لكل من القطع المستمرة للوظيفة.

تحويل لابلاس للدالة متعددة التعريف pt.1

تتكون الدالة المتعددة التعريف من جزأين ، وبالتالي ، سيتألف تحويل لابلاس من تكاملين:

تحويل لابلاس للدالة متعددة التعريفات pt.2

محتويات

تم تسمية تحويل لابلاس على اسم عالم الرياضيات والفلك بيير سيمون لابلاس ، الذي استخدم تحولًا مشابهًا في عمله حول نظرية الاحتمالات. [4] كتب لابلاس بإسهاب عن استخدام وظائف التوليد في Essai Philosophique sur les probabilités (1814) ، وتطور الشكل المتكامل لتحويل لابلاس بشكل طبيعي نتيجة لذلك. [5]

كان استخدام لابلاس لوظائف التوليد مشابهًا لما يُعرف الآن باسم تحويل z ، ولم يولِ اهتمامًا كبيرًا للحالة المتغيرة المستمرة التي ناقشها نيلز هنريك أبيل. [6] تم تطوير النظرية في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين بواسطة ماتياس ليرش ، [7] أوليفر هيفيسايد ، [8] وتوماس برومويتش. [9]

جاء الاستخدام الواسع النطاق الحالي للتحويل (بشكل رئيسي في الهندسة) خلال الحرب العالمية الثانية وبعدها بفترة وجيزة ، [10] ليحل محل حساب Heaviside التشغيلي السابق. تم التأكيد على مزايا تحويل لابلاس بواسطة جوستاف دويتش ، [11] الذي يبدو أن اسم لابلاس ترانسفورم يرجع إليه.

من عام 1744 ، حقق ليونارد أويلر في تكاملات النموذج

كحلول للمعادلات التفاضلية ، لكنها لم تتابع الأمر بعيدًا. [12] كان جوزيف لويس لاغرانج معجبًا بأويلر ، وفي عمله على دمج دوال كثافة الاحتمال ، قام بالتحقيق في تعبيرات النموذج

التي فسرها بعض المؤرخين المعاصرين ضمن نظرية تحويل لابلاس الحديثة. [13] [14] [ التوضيح المطلوب ]

يبدو أن هذه الأنواع من التكاملات قد جذبت انتباه لابلاس أولاً في عام 1782 ، حيث كان يتبع بروح أويلر في استخدام التكاملات نفسها كحلول للمعادلات. [15] ومع ذلك ، في عام 1785 ، اتخذ لابلاس الخطوة الحاسمة إلى الأمام عندما ، بدلاً من مجرد البحث عن حل في شكل متكامل ، بدأ في تطبيق التحولات بالمعنى الذي أصبح شائعًا فيما بعد. استخدم جزءًا لا يتجزأ من النموذج

أقرب إلى تحويل ميلين ، لتحويل معادلة الفرق بأكملها ، من أجل البحث عن حلول للمعادلة المحولة. ثم تابع تطبيق تحويل لابلاس بنفس الطريقة وبدأ في اشتقاق بعض خصائصه ، وبدأ في تقدير قوته الكامنة. [16]

أدرك لابلاس أيضًا أن طريقة جوزيف فورييه في سلسلة فورييه لحل معادلة الانتشار يمكن أن تنطبق فقط على منطقة محدودة من الفضاء ، لأن هذه الحلول كانت دورية. في عام 1809 ، طبق لابلاس تحويله لإيجاد حلول تنتشر إلى أجل غير مسمى في الفضاء. [17]

تحويل لابلاس للدالة F(ر) ، معرّف لجميع الأعداد الحقيقية ر ≥ 0 ، هي الوظيفة F(س) ، وهو تحول أحادي يحدده

أين س هي معلمة تردد رقم معقد

يعتمد معنى التكامل على أنواع الوظائف ذات الأهمية. الشرط الضروري لوجود التكامل هو أن F يجب أن يكون متكاملاً محليًا في [0 ، ∞). بالنسبة للوظائف القابلة للتكامل محليًا والتي تتحلل عند اللانهاية أو من النوع الأسي ، يمكن فهم التكامل على أنه تكامل Lebesgue (مناسب). ومع ذلك ، بالنسبة للعديد من التطبيقات ، من الضروري اعتبارها جزءًا لا يتجزأ من التقارب المشروط غير الصحيح في ∞. بشكل عام ، يمكن فهم التكامل بمعنى ضعيف ، وسيتم التعامل مع هذا أدناه.

يمكن للمرء تحديد تحويل لابلاس لمقياس بوريل المحدود ميكرومتر من قبل Lebesgue لا يتجزأ [18]

هناك حالة خاصة مهمة حيث ميكرومتر هو مقياس احتمالي ، على سبيل المثال ، دالة ديراك دلتا. في حساب التفاضل والتكامل ، غالبًا ما يتم التعامل مع تحويل لابلاس لمقياس ما كما لو أن المقياس جاء من دالة كثافة الاحتمال F . في هذه الحالة ، غالبًا ما يكتب المرء لتجنب الالتباس المحتمل

حيث يكون الحد الأدنى من 0 - هو تدوين اختصار لـ

يؤكد هذا الحد على أن أي كتلة نقطية تقع عند 0 يتم التقاطها بالكامل بواسطة تحويل لابلاس. على الرغم من أنه مع تكامل Lebesgue ، ليس من الضروري اتخاذ مثل هذا الحد ، إلا أنه يظهر بشكل طبيعي أكثر فيما يتعلق بتحويل Laplace-Stieltjes.

تحرير لابلاس ثنائي الجانب

عندما يقول المرء "تحويل لابلاس" بدون قيد ، فإن التحويل أحادي الجانب أو من جانب واحد يكون مقصودًا في العادة. يمكن تعريف تحويل لابلاس بدلاً من ذلك على أنه تحويل لابلاس الثنائي، أو تحويل لابلاس على الوجهين ، من خلال توسيع حدود التكامل لتكون المحور الحقيقي بأكمله. إذا تم ذلك ، فإن التحويل الأحادي المشترك يصبح ببساطة حالة خاصة للتحول الثنائي ، حيث يتم ضرب تعريف الوظيفة التي يتم تحويلها بوظيفة خطوة Heaviside.

تحويل لابلاس الثنائي F(س) على النحو التالي:

الترميز البديل لتحويل لابلاس الثنائي هو B >> ، بدلاً من F < displaystyle F>.

عكس تحويل لابلاس تحرير

دالتان قابلتان للتكامل لهما نفس تحويل لابلاس فقط إذا كانتا تختلفان في مجموعة من مقياس ليبيسغ صفر. هذا يعني أنه في نطاق التحويل ، يوجد تحويل عكسي. في الواقع ، بالإضافة إلى الوظائف القابلة للتكامل ، فإن تحويل لابلاس عبارة عن تعيين واحد لواحد من مساحة وظيفة إلى أخرى في العديد من مساحات الوظائف الأخرى أيضًا ، على الرغم من عدم وجود توصيف سهل للنطاق.

تشمل مساحات الوظائف النموذجية التي يكون فيها هذا صحيحًا مساحات الوظائف المستمرة المحدودة ، المساحة إل ∞ (0 ، ∞) ، أو توزيعات أكثر عمومية على (0 ، ∞). يتم تعريف تحويل لابلاس أيضًا وحقنه للمساحات المناسبة للتوزيعات المخففة.

في هذه الحالات ، تعيش صورة تحويل لابلاس في فضاء من الوظائف التحليلية في منطقة التقارب. يتم إعطاء تحويل لابلاس المعكوس من خلال التكامل المعقد التالي ، المعروف بأسماء مختلفة ( تكامل برومويتش، ال تكامل فورييه ميلين، و صيغة ميلين العكسية):

أين γ هو رقم حقيقي بحيث يكون مسار التكامل الكنتوري في منطقة التقارب F(س). في معظم التطبيقات ، يمكن إغلاق الكفاف ، مما يسمح باستخدام نظرية البقايا. يتم إعطاء صيغة بديلة لتحويل لابلاس المعكوس من خلال صيغة انعكاس Post. يتم تفسير الحد هنا في طوبولوجيا * الضعيفة.

In practice, it is typically more convenient to decompose a Laplace transform into known transforms of functions obtained from a table, and construct the inverse by inspection.

Probability theory Edit

In pure and applied probability, the Laplace transform is defined as an expected value. لو X is a random variable with probability density function F , then the Laplace transform of F is given by the expectation

By convention, this is referred to as the Laplace transform of the random variable X بحد ذاتها. Here, replacing س by −ر gives the moment generating function of X . The Laplace transform has applications throughout probability theory, including first passage times of stochastic processes such as Markov chains, and renewal theory.

Of particular use is the ability to recover the cumulative distribution function of a continuous random variable X , by means of the Laplace transform as follows: [19]

لو F is a locally integrable function (or more generally a Borel measure locally of bounded variation), then the Laplace transform F(س) من F converges provided that the limit

The Laplace transform converges absolutely if the integral

exists as a proper Lebesgue integral. The Laplace transform is usually understood as conditionally convergent, meaning that it converges in the former but not in the latter sense.

The set of values for which F(س) converges absolutely is either of the form Re(س) > أ or Re(س) ≥ أ ، أين أ is an extended real constant with −∞ ≤ أ ≤ ∞ (a consequence of the dominated convergence theorem). ثابت أ is known as the abscissa of absolute convergence, and depends on the growth behavior of F(ر). [20] Analogously, the two-sided transform converges absolutely in a strip of the form أ < Re(س) < ب , and possibly including the lines Re(س) = أ or Re(س) = ب . [21] The subset of values of س for which the Laplace transform converges absolutely is called the region of absolute convergence, or the domain of absolute convergence. In the two-sided case, it is sometimes called the strip of absolute convergence. The Laplace transform is analytic in the region of absolute convergence: this is a consequence of Fubini's theorem and Morera's theorem.

Similarly, the set of values for which F(س) converges (conditionally or absolutely) is known as the region of conditional convergence, or simply the region of convergence (ROC). If the Laplace transform converges (conditionally) at س = س0 , then it automatically converges for all س with Re(س) > Re(س0). Therefore, the region of convergence is a half-plane of the form Re(س) > أ , possibly including some points of the boundary line Re(س) = أ .

In the region of convergence Re(س) > Re(س0) , the Laplace transform of F can be expressed by integrating by parts as the integral

هذا هو، F(س) can effectively be expressed, in the region of convergence, as the absolutely convergent Laplace transform of some other function. In particular, it is analytic.

There are several Paley–Wiener theorems concerning the relationship between the decay properties of F , and the properties of the Laplace transform within the region of convergence.

In engineering applications, a function corresponding to a linear time-invariant (LTI) system is مستقر if every bounded input produces a bounded output. This is equivalent to the absolute convergence of the Laplace transform of the impulse response function in the region Re(س) ≥ 0 . As a result, LTI systems are stable, provided that the poles of the Laplace transform of the impulse response function have negative real part.

This ROC is used in knowing about the causality and stability of a system.

The Laplace transform has a number of properties that make it useful for analyzing linear dynamical systems. The most significant advantage is that differentiation becomes multiplication, and integration becomes division, by س (reminiscent of the way logarithms change multiplication to addition of logarithms).

Because of this property, the Laplace variable س يُعرف أيضًا باسم operator variable في ال إل domain: either derivative operator or (for س −1 ) integration operator. The transform turns integral equations and differential equations to polynomial equations, which are much easier to solve. Once solved, use of the inverse Laplace transform reverts to the original domain.

Given the functions F(ر) و ز(ر) , and their respective Laplace transforms F(س) و جي(س) ,

the following table is a list of properties of unilateral Laplace transform: [22]

Relation to power series Edit

The Laplace transform can be viewed as a continuous analogue of a power series. [24] If أ(ن) is a discrete function of a positive integer ن , then the power series associated to أ(ن) is the series

أين x is a real variable (see Z transform). Replacing summation over ن with integration over ر , a continuous version of the power series becomes

where the discrete function أ(ن) is replaced by the continuous one F(ر) .

Changing the base of the power from x ل ه يعطي

For this to converge for, say, all bounded functions F , it is necessary to require that ln x < 0 . Making the substitution −س = ln x gives just the Laplace transform:

In other words, the Laplace transform is a continuous analog of a power series, in which the discrete parameter ن is replaced by the continuous parameter ر ، و x is replaced by هس .

Relation to moments Edit

هي لحظات من الوظيفة F . If the first ن moments of F converge absolutely, then by repeated differentiation under the integral,

This is of special significance in probability theory, where the moments of a random variable X are given by the expectation values μ n = E ⁡ [ X n ] =operatorname [X^]> . Then, the relation holds

Computation of the Laplace transform of a function's derivative Edit

It is often convenient to use the differentiation property of the Laplace transform to find the transform of a function's derivative. This can be derived from the basic expression for a Laplace transform as follows:

and in the bilateral case,

Evaluating integrals over the positive real axis Edit

A useful property of the Laplace transform is the following:

but assuming Fubini's theorem holds, by reversing the order of integration we get the wanted right-hand side.

This method can be used to compute integrals that would otherwise be difficult to compute using elementary methods of real calculus. فمثلا،

Relationship to other transforms Edit

Laplace–Stieltjes transform Edit

The (unilateral) Laplace–Stieltjes transform of a function ز : صص is defined by the Lebesgue–Stieltjes integral

The function ز is assumed to be of bounded variation. لو ز is the antiderivative of F :

then the Laplace–Stieltjes transform of ز and the Laplace transform of F تزامن. In general, the Laplace–Stieltjes transform is the Laplace transform of the Stieltjes measure associated to ز . So in practice, the only distinction between the two transforms is that the Laplace transform is thought of as operating on the density function of the measure, whereas the Laplace–Stieltjes transform is thought of as operating on its cumulative distribution function. [25]

Fourier transform Edit

The Laplace transform is similar to the Fourier transform. While the Fourier transform of a function is a complex function of a حقيقة variable (frequency), the Laplace transform of a function is a complex function of a مركب عامل. The Laplace transform is usually restricted to transformation of functions of ر مع ر ≥ 0 . A consequence of this restriction is that the Laplace transform of a function is a holomorphic function of the variable س . Unlike the Fourier transform, the Laplace transform of a distribution is generally a well-behaved function. Techniques of complex variables can also be used to directly study Laplace transforms. As a holomorphic function, the Laplace transform has a power series representation. This power series expresses a function as a linear superposition of moments of the function. This perspective has applications in probability theory. The continuous Fourier transform is equivalent to evaluating the bilateral Laplace transform with imaginary argument س = أو س = 2πfi [26] when the condition explained below is fulfilled,

This definition of the Fourier transform requires a prefactor of 1/(2π) on the reverse Fourier transform. This relationship between the Laplace and Fourier transforms is often used to determine the frequency spectrum of a signal or dynamical system.

The above relation is valid as stated if and only if the region of convergence (ROC) of F(س) contains the imaginary axis, σ = 0 .

For example, the function F(ر) = cos(ω0ر) has a Laplace transform F(س) = س/(س 2 + ω0 2 ) whose ROC is Re(س) > 0 . كما س = is a pole of F(س) , substituting س = في F(س) does not yield the Fourier transform of F(ر)ش(ر) , which is proportional to the Dirac delta-function δ(ωω0) .

However, a relation of the form

holds under much weaker conditions. For instance, this holds for the above example provided that the limit is understood as a weak limit of measures (see vague topology). General conditions relating the limit of the Laplace transform of a function on the boundary to the Fourier transform take the form of Paley–Wiener theorems.

Mellin transform Edit

The Mellin transform and its inverse are related to the two-sided Laplace transform by a simple change of variables.

If in the Mellin transform

we set θ = هر we get a two-sided Laplace transform.

Z-transform Edit

The unilateral or one-sided Z-transform is simply the Laplace transform of an ideally sampled signal with the substitution of

أين تي = 1/Fس is the sampling period (in units of time e.g., seconds) and Fس is the sampling rate (in samples per second or hertz).

be a sampling impulse train (also called a Dirac comb) and

be the sampled representation of the continuous-time x(ر)

The Laplace transform of the sampled signal xف(ر) يكون

This is the precise definition of the unilateral Z-transform of the discrete function x[ن]

with the substitution of ضه sT .

Comparing the last two equations, we find the relationship between the unilateral Z-transform and the Laplace transform of the sampled signal,

The similarity between the ض and Laplace transforms is expanded upon in the theory of time scale calculus.

Borel transform Edit

is a special case of the Laplace transform for F an entire function of exponential type, meaning that

for some constants أ و ب . The generalized Borel transform allows a different weighting function to be used, rather than the exponential function, to transform functions not of exponential type. Nachbin's theorem gives necessary and sufficient conditions for the Borel transform to be well defined.

Fundamental relationships Edit

Since an ordinary Laplace transform can be written as a special case of a two-sided transform, and since the two-sided transform can be written as the sum of two one-sided transforms, the theory of the Laplace-, Fourier-, Mellin-, and Z-transforms are at bottom the same subject. However, a different point of view and different characteristic problems are associated with each of these four major integral transforms.

The following table provides Laplace transforms for many common functions of a single variable. [27] [28] For definitions and explanations, see the Explanatory Notes at the end of the table.

Because the Laplace transform is a linear operator,

  • The Laplace transform of a sum is the sum of Laplace transforms of each term.
  • The Laplace transform of a multiple of a function is that multiple times the Laplace transformation of that function.

Using this linearity, and various trigonometric, hyperbolic, and complex number (etc.) properties and/or identities, some Laplace transforms can be obtained from others more quickly than by using the definition directly.

The unilateral Laplace transform takes as input a function whose time domain is the non-negative reals, which is why all of the time domain functions in the table below are multiples of the Heaviside step function, ش(ر) .

The entries of the table that involve a time delay τ are required to be causal (meaning that τ > 0 ). A causal system is a system where the impulse response ح(ر) is zero for all time t prior to ر = 0 . In general, the region of convergence for causal systems is not the same as that of anticausal systems.

  • ش(ر) represents the Heaviside step function.
  • δ represents the Dirac delta function.
  • Γ(ض) represents the gamma function.
  • γ is the Euler–Mascheroni constant.
  • ر , a real number, typically represents الوقت,
    although it can represent أي independent dimension.
  • س is the complex frequency domain parameter, and Re(س) is its real part.
  • α, β, τ, و ω هي أرقام حقيقية.
  • ن هو عدد صحيح.

The Laplace transform is often used in circuit analysis, and simple conversions to the س -domain of circuit elements can be made. Circuit elements can be transformed into impedances, very similar to phasor impedances.

Here is a summary of equivalents:

Note that the resistor is exactly the same in the time domain and the س -domain. The sources are put in if there are initial conditions on the circuit elements. For example, if a capacitor has an initial voltage across it, or if the inductor has an initial current through it, the sources inserted in the س -domain account for that.

The equivalents for current and voltage sources are simply derived from the transformations in the table above.

The Laplace transform is used frequently in engineering and physics the output of a linear time-invariant system can be calculated by convolving its unit impulse response with the input signal. Performing this calculation in Laplace space turns the convolution into a multiplication the latter being easier to solve because of its algebraic form. For more information, see control theory. The Laplace transform is invertible on a large class of functions. Given a simple mathematical or functional description of an input or output to a system, the Laplace transform provides an alternative functional description that often simplifies the process of analyzing the behavior of the system, or in synthesizing a new system based on a set of specifications. [31]

The Laplace transform can also be used to solve differential equations and is used extensively in mechanical engineering and electrical engineering. The Laplace transform reduces a linear differential equation to an algebraic equation, which can then be solved by the formal rules of algebra. The original differential equation can then be solved by applying the inverse Laplace transform. English electrical engineer Oliver Heaviside first proposed a similar scheme, although without using the Laplace transform and the resulting operational calculus is credited as the Heaviside calculus.

Evaluating improper integrals Edit

provided that the interchange of limits can be justified. This is often possible as a consequence of the final value theorem. Even when the interchange cannot be justified the calculation can be suggestive. على سبيل المثال ، مع أ ≠ 0 ≠ ب , proceeding formally one has

The validity of this identity can be proved by other means. It is an example of a Frullani integral.

Complex impedance of a capacitor Edit

In the theory of electrical circuits, the current flow in a capacitor is proportional to the capacitance and rate of change in the electrical potential (in SI units). Symbolically, this is expressed by the differential equation

أين ج is the capacitance (in farads) of the capacitor, أنا = أنا(ر) is the electric current (in amperes) through the capacitor as a function of time, and الخامس = الخامس(ر) is the voltage (in volts) across the terminals of the capacitor, also as a function of time.

Taking the Laplace transform of this equation, we obtain

Solving for الخامس(س) we have

The definition of the complex impedance ض (in ohms) is the ratio of the complex voltage الخامس divided by the complex current أنا while holding the initial state الخامس0 at zero:

Using this definition and the previous equation, we find:

which is the correct expression for the complex impedance of a capacitor. In addition, the Laplace transform has large applications in control theory.

Partial fraction expansion Edit

Consider a linear time-invariant system with transfer function

The impulse response is simply the inverse Laplace transform of this transfer function:

To evaluate this inverse transform, we begin by expanding ح(س) using the method of partial fraction expansion,

The unknown constants ص و ص are the residues located at the corresponding poles of the transfer function. Each residue represents the relative contribution of that singularity to the transfer function's overall shape.

By the residue theorem, the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues. To find the residue ص , we multiply both sides of the equation by س + α تحصل

Then by letting س = −α , the contribution from ص vanishes and all that is left is

Similarly, the residue ص اعطي من قبل

and so the substitution of ص و ص into the expanded expression for ح(س) يعطي

Finally, using the linearity property and the known transform for exponential decay (see العنصر #3 في ال Table of Laplace Transforms, above), we can take the inverse Laplace transform of ح(س) to obtain

which is the impulse response of the system.

The same result can be achieved using the convolution property as if the system is a series of filters with transfer functions of 1/(س + أ) and 1/(س + ب). That is, the inverse of

Phase delay Edit

Starting with the Laplace transform,

we find the inverse by first rearranging terms in the fraction:

We are now able to take the inverse Laplace transform of our terms:

This is just the sine of the sum of the arguments, yielding:

We can apply similar logic to find that

Statistical mechanics Edit

In statistical mechanics, the Laplace transform of the density of states g ( E ) d E defines the partition function. [32] That is, the canonical partition function Z ( β ) is given by

and the inverse is given by

An example curve of ه ر cos(10ر) that is added together with similar curves to form a Laplace Transform.


14.1: Introduction to Laplace Transforms

  • Contributed by Jeremy Tatum
  • Emeritus Professor (Physics & Astronomy) at University of Victoria

If (y(x)) is a function of (x), where (x) lie s in the range (0) to (infty) , then the function (ar(p)) defined by

يسمى لابلاس transform of (y(x)). However, in this chapter, where we shall be applying Laplace transforms to electrical circui ts, (y) wi ll most often be a voltage or current that is varying with الوقت rather than with "x". Thus I sh all use (t) as our variable rather than (x), and I shall use (s) rather than (p) (alth ough it will be noted that, as yet, I have given no particular physical meaning to ei ther (p) or to (s).) Th us I shall define the Laplace transform with the notation

it being understood that ر lies in the range (0) to (infty) .

For short, I could write this as

When we first learned differential calculus, we soon learned that there were just a few functions whose derivatives it was worth committing to memory. Thus we learned the derivatives of (x^n, sin x, e^x) and a very few more. We found that we could readily find the derivatives of more complicated functions by means of a few simple rules, such as how to differentiate a product of two functions, or a function of a function, and so on. Likewise, we have to know only a very few basic Laplace transforms there are a few simple rules that will enable us to calculate more complicated ones.

After we had learned differential calculus, we came across integral calculus. This was the inverse process from differentiation. We had to ask: What function would we have had to differentiate in order to arrive at this function? It was as though we were given the answer to a problem, and had to deduce what the question was. It will be a similar situation with Laplace transforms. We shall often be given a function (ar(s)) and we shall want to know: what fun ction (y(t)) is t his the Laplace transform of? In other words, we shall need to know the inverse Laplace transform:

We shall find that facility in calculating Laplace transforms and their inverses leads to very quick ways of solving some types of differential equations &ndash in particular the types of differential equations that arise in electrical theory. We can use Laplace transforms to see the relations between varying current and voltages in circuits containing resistance, capacitance and inductance. However, these methods are quick and convenient only if we are in constant daily practice in dealing with Laplace transforms with easy familiarity. Few of us, unfortunately, have the luxury of calculating Laplace transforms and their inverses on a daily basis, and they lose many of their advantages if we have to refresh our memories and regain our skills every time we may want to use them. It may therefore be asked: Since we already know perfectly well how to do AC calculations using complex numbers, is there any point in learning what just amounts to another way of doing the same thing? There is an answer to that. The theory of AC circuits that we developed in Chapter 13 using complex numbers to find the relations between current and voltages dealt primarily with steady state conditions, in which voltages and current were varying sinusoidally. It did not deal with the عابر effects that might happen in the first few moments after we switch on an electrical circuit, or situations where the time variations are not sinusoidal. The Laplace transform approach will deal equally well with steady state, sinusoidal, non-sinusoidal and transient situations.


8.1: Introduction to the Laplace Transform

The Laplace Transform of a function y(t) is defined by

if the integral exists. The notation L[y(t)](s) means take the Laplace transform
of y(t). The functions y(t) and Y(s) are partner functions. Note that Y(s) is indeed only a function of s since the definite integral is with respect to t.

The integral converges if s>1. The functions exp(t) and 1/(s-1) are partner
المهام.

The integral converges for s>0. The integral can be computed by doing
integration by parts twice or by looking in an integration table.

Existence of the Laplace Transform

If y(t) is piecewise continuous for t>=0 and of exponential order, then
the Laplace Transform exists for some values of s. A function y(t) is of
exponential order c if there is exist constants M and T such that

All polynomials, simple exponentials (exp(at), where a is a constant), sine
and cosine functions, and products of these functions are of exponential order.
An example of a function not of exponential order is exp(t^2). هذه الوظيفة
grows too rapidly. The integral

does not converge for any value of s.

Table of Laplace Transforms

The following table lists the Laplace Transforms for a selection of functions

Rules for Computing Laplace Transforms of Functions

There are several formulas and properties of the Laplace transform which can
greatly simplify calculation of the Laplace transform of functions. نحن
summarize them below. The properties can verified using the integral
formula for the Laplace Transform and can be found in any textbook.

Like differentiation and integration the Laplace transformation is a linear
عملية. ماذا يعني هذا؟ In words, it means that the Laplace
transform of a constant times a function is the constant times the
Laplace transform of the function. In addition the Laplace transform
of a sum of functions is the sum of the Laplace transforms.

Let us restate the above in mathspeak. Let Y_1(s) and Y_2(s) denote
the Laplace transforms of y_1(t) and y_2(t), respectively, and let c_1
be a constant. Recall that L[f(t)](s) denotes the Laplace transform of
f(t). We have

As a corollary, we have the third formula:

Here are several examples:

Here we have used the results in the table for the Laplace transform
of the exponential. Here are a couple of more examples:

The translation formula states that Y(s) is the Laplace transform of y(t), then

where a is a constant. هنا مثال. The Laplace transform of the
y(t)=t is Y(s)=1/s^2. بالتالي

Laplace Transform of the Derivative

Suppose that the Laplace transform of y(t) is Y(s). Then the Laplace
Transform of y'(t) is

For the second derivative we have

For the n'th derivative we have

Derivatives of the Laplace Transform

Let Y(s) be the Laplace Transform of y(t). ثم

هنا مثال. Suppose we wish to compute the Laplace
transform of tsin(t). The Laplace transform of sin(t) is 1/(s^2+1).
Hence, we have


8.1: Introduction to the Laplace Transform

Количество зарегистрированных учащихся: 38 тыс.

The purpose of this course is to equip students with theoretical knowledge and practical skills, which are necessary for the analysis of stochastic dynamical systems in economics, engineering and other fields. More precisely, the objectives are 1. study of the basic concepts of the theory of stochastic processes 2. introduction of the most important types of stochastic processes 3. study of various properties and characteristics of processes 4. study of the methods for describing and analyzing complex stochastic models. Practical skills, acquired during the study process: 1. understanding the most important types of stochastic processes (Poisson, Markov, Gaussian, Wiener processes and others) and ability of finding the most appropriate process for modelling in particular situations arising in economics, engineering and other fields 2. understanding the notions of ergodicity, stationarity, stochastic integration application of these terms in context of financial mathematics It is assumed that the students are familiar with the basics of probability theory. Knowledge of the basics of mathematical statistics is not required, but it simplifies the understanding of this course. The course provides a necessary theoretical basis for studying other courses in stochastics, such as financial mathematics, quantitative finance, stochastic modeling and the theory of jump - type processes. هل لديك مشاكل فنية؟ اكتب إلينا: [email protected]

Рецензии

This was helpful but I still feel I don't understand stochastic processes. Folks taking this course should know that it's pretty tough, compared to most Coursera courses.

Great course! The subject material was well covered and it gave me the tools to tackle more advanced stochastic, like population dynamics or quantitative finance.

Week 1: Introduction & Renewal processes

Upon completing this week, the learner will be able to understand the basic notions of probability theory, give a definition of a stochastic process plot a trajectory and find finite-dimensional distributions for simple stochastic processes. Moreover, the learner will be able to apply Renewal Theory to marketing, both calculate the mathematical expectation of a countable process for any renewal process

Реподаватели

Vladimir Panov

Екст видео

Before I will present an approach for calculating the mathematical expectation of accounting process, I would like a shorter recall the definition and main properties of the Laplace transform. This transform can be defined for any function F from R plus to R. And the definition is very simple, Laplace transform of F is equal to the integral, from zero to plus infinity exponent in the power minus SX, F of x, dx. Main properties of this object has a following. First of all, if F is a density function of some random [inaudible] xai. Then, Laplace transform of F is actually equal to the mathematical expectation of exponent in the power minus xai. Secondly, if you have two functions F1 and F2, then the Laplace transform of the convolution is equal to the product of Laplace transform of F1 and Laplace transform of F2. And here, it's very important that the convolution is understood in the sense of densities. If F1 and F2 are identities are then this, fact basically follows from the first property. But if they are not densities this fact is still true, and actually, for any two F functions, F1 to F2, this property holds. The third property of which will be needed in this sequel is the following. That capital F be a distribution function of some positive, on a surely positive random variable, that is F0 is equal to zero, and let P, B's a derivative of F, that is a density function of the corresponding distribution. Then, the following statement is true, Laplace transform of the function capital F at point S is equal to the Laplace transform of the density function P divided by S. To prove it, let us apply the integration by parts formula to the left hand side of this equality. Actually, this Laplace transform of a function F is nothing more than the integral of R plus. And here, I can write F of x, D exponent minus S of x divided by S was a minus. Then, let me integrate it by parts. So, what we have here is one part F of x and the second part exponent minus S of x divided by S. And we will get the full length expression. It's basically, minus F of x exponent in the power minus S of x divided by S from zero to infinity plus integral of R plus, P of x exponent in the power minus S of x, tx. And here, I should also divide the second integral by S. As for the first [inaudible] this expression, it is equal to zero because when I substitute here, infinity exponent gives me zero. And when, I put here zero, I should use the properties of F and zero is equal to zero. So basically, this is equal to zero. And what we have here is exactly as the expression in right hand side. So, we conclude that this property is fulfilled and it will play some role in our method for estimations and mathematical expectation of NT. Now, let me provide just a short example, how one can calculate the Laplace transform. The first example, let me calculate Laplace transform of the function X in the power n, where n is some natural number. This is a very simple exercise for the application integration by parts formula. So, what we have here is the integral of R plus, X in the power n, d exponent to power minus sx divided by s. Integration by parts yields that this integral is equal to n divided by s, integral over R plus, x in the power n minus 1, exponent in the power minus sx dx. So, we have the same integral here as the original but with power n minus 1 instead of F. If now continue in the same manner, we get finally n divided by s multiplied by n minus 1 divided by s and so on, multiplied by 2 divided by s. And here, we have the integral over R plus exponent in the power minus S of x dx. And this integral is equal to 1 divided by s. So what we get finally, is n factorial divided by S with the power n. تمام. So, we conclude the Laplace transform of the [inaudible] function XN is equal to the N factorial divided by S divided by N. Just remember, this result, we will use it many times and what follows. And second example, which is also important for further study is the Laplace transform of the exponential function, that our calculation shows that this is now seen more than one divided by S minus a. If a is a number smaller than S. I advise you to remember also this result. It will be also very useful in what follows. And now, let me show how we can apply all of this stuff to the renewal theory and how we can get the direct approach for calculating with mathematical expectation of NT.


شاهد الفيديو: Laplace Transform Practice (شهر اكتوبر 2021).