مقالات

7.8.1: طريقة فروبينيوس الثالث (تمارين) - الرياضيات


Q7.7.1

في تمارين 7.7.1-7.7.40 ابحث عن مجموعة أساسية من حلول Frobenius. أعط الصيغ الصريحة للمعاملات.

1. (x ^ 2y '' - 3xy '+ (3 + 4x) y = 0 )

2. (س ص '' + ص = 0 )

3. (4x ^ 2 (1 + x) y '+ 4x (1 + 2x) y' - (1 + 3x) y = 0 )

4. (س ص '+ س ص' + ص = 0 )

5. (2x ^ 2 (2 + 3x) y '+ x (4 + 21x) y' - (1-9x) y = 0 )

6. (x ^ 2y '' + x (2 + x) y '- (2-3x) y = 0 )

7. (4x ^ 2y '' + 4xy '- (9-x) y = 0 )

8. (x ^ 2y '' + 10xy '+ (14 + x) y = 0 )

9. (4x ^ 2 (1 + x) y '+ 4x (3 + 8x) y' - (5-49x) y = 0 )

10. (x ^ 2 (1 + x) y '- x (3 + 10x) y' + 30xy = 0 )

11. (x ^ 2y '' + x (1 + x) y'-3 (3 + x) y = 0 )

12. (x ^ 2y '' + x (1-2x) y '- (4 + x) y = 0 )

13. (x (1 + x) y "- 4y'-2y = 0 )

14. (x ^ 2 (1 + 2x) y '+ x (9 + 13x) y' + (7 + 5x) y = 0 )

15. (4x ^ 2y '' - 2x (4-x) y '- (7 + 5x) y = 0 )

16. (3x ^ 2 (3 + x) y '- x (15 + x) y'-20y = 0 )

17. (x ^ 2 (1 + x) y '+ x (1-10x) y' - (9-10x) y = 0 )

18. (س ^ 2 (1 + س) ص '' + 3 س ^ 2 ص '- (6-س) ص = 0 )

19. (x ^ 2 (1 + 2x) y '- 2x (3 + 14x) y' + (6 + 100x) y = 0 )

20. (x ^ 2 (1 + x) y '- x (6 + 11x) y' + (6 + 32x) y = 0 )

21. (4x ^ 2 (1 + x) y '+ 4x (1 + 4x) y' - (49 + 27x) y = 0 )

22. (x ^ 2 (1 + 2x) y '- x (9 + 8x) y'-12xy = 0 )

23. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '- x (7-2x ^ 2) y' + 12y = 0 )

24. (x ^ 2y '' - x (7-x ^ 2) y '+ 12y = 0 )

25. (س ص "- 5 س + س ص = 0 )

26. (x ^ 2y '' + x (1 + 2x ^ 2) y '- (1-10x ^ 2) y = 0 )

27. (x ^ 2y '' - xy '- (3-x ^ 2) y = 0 )

28. (4x ^ 2y '' + 2x (8 + x ^ 2) y '+ (5 + 3x ^ 2) y = 0 )

29. (x ^ 2y '' + x (1 + x ^ 2) y '- (1-3x ^ 2) y = 0 )

30. (x ^ 2y '' + x (1-2x ^ 2) y'-4 (1 + 2x ^ 2) y = 0 )

31. (4x ^ 2y '' + 8xy '- (35-x ^ 2) y = 0 )

32. (9x ^ 2y '' - 3x (11 + 2x ^ 2) y '+ (13 + 10x ^ 2) y = 0 )

33. (x ^ 2y '' + x (1-2x ^ 2) y'-4 (1-x ^ 2) y = 0 )

34. (x ^ 2y '' + x (1-3x ^ 2) y'-4 (1-3x ^ 2) y = 0 )

35. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '+ x (5 + 11x ^ 2) y' + 24x ^ 2y = 0 )

36. (4x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '+ 8xy' - (35-x ^ 2) y = 0 )

37. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '' - x (5-x ^ 2) y '- (7 + 25x ^ 2) y = 0 )

38. (x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '+ x (5 + 2x ^ 2) y'-21y = 0 )

39. (x ^ 2 (1 + 2x ^ 2) y '- x (3 + x ^ 2) y'-2x ^ 2y = 0 )

40. (4x ^ 2 (1 + x ^ 2) y '+ 4x (2 + x ^ 2) y' - (15 + x ^ 2) y = 0 )

Q7.7.2

41.

  1. في ظل افتراضات النظرية 7.7.1 ، أظهر أن [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n nonumber ] و [y_2 = x ^ {r_2 } sum_ {n = 0} ^ {k-1} a_n (r_2) x ^ n + C left (y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1 ) x ^ n right) nonumber ] مستقلة خطيًا.
  2. استخدم نتيجة (أ) لإكمال إثبات النظرية 7.7.1.

42. ابحث عن مجموعة أساسية من حلول Frobenius لمعادلة Bessel [x ^ 2y '' + xy '+ (x ^ 2- nu ^ 2) y = 0 nonumber ] في الحالة حيث ( nu ) هو عدد صحيح موجب.

43. إثبات نظرية 7.7.2.

44. في ظل افتراضات النظرية 7.7.1 ، أظهر أن (C = 0 ) إذا وفقط إذا (p_1 (r_2 +) = 0 ) لبعض الأعداد الصحيحة ( ell ) في ( {0 ، 1 ، النقاط ، ك -1 } ).

45. في ظل افتراضات النظرية 7.7.2 ، أظهر أن (C = 0 ) إذا وفقط إذا (p_2 (r_2 + 2) = 0 ) لبعض الأعداد الصحيحة ( ell ) في ( { 0،1، dots، k-1 } ).

46. ​​دعونا [Ly = alpha_0x ^ 2y '+ beta_0xy' + ( gamma_0 + gamma_1x) y nonumber ] وحدد [p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0 .لا يوجد رقم]

أظهر أنه إذا [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) nonumber ] حيث (r_1-r_2 = k ) ، عدد صحيح موجب ، إذن (Ly = 0 ) لديه الحلول

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (j + k)} left ( gamma_1 أكثر من alpha_0 right) ^ nx ^ n non number ]

و

[ start {align} y_2 & = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ {k-1} {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (jk) } يسار ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ nx ^ n [10pt] & - {1 over k! (k-1)!} left ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ ك يسار (y_1 ln x- x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty {(-1) ^ n over n! prod_ {j = 1} ^ n (j + k)} يسار ( gamma_1 over alpha_0 right) ^ n left ( sum_ {j = 1} ^ n {2j + k over j (j + k)} right) x ^ n right). نهاية {محاذاة} غير رقم ]

47. دعونا [Ly = alpha_0x ^ 2y '' + beta_0xy '+ ( gamma_0 + gamma_2x ^ 2) y nonumber ] وحدد [p_0 (r) = alpha_0r (r-1) + beta_0r + gamma_0. nonumber ]

أظهر أنه إذا [p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) nonumber ] حيث (r_1-r_2 = 2k ) ، عدد صحيح موجب ، إذن (Ly = 0 ) لديها الحلول

[y_1 = x ^ {r_1} sum_ {m = 0} ^ infty {(-1) ^ m over 4 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (j + k)} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ mx ^ {2m} nonumber ]

و

[ begin {align} y_2 & = x ^ {r_2} sum_ {m = 0} ^ {k-1} {(-1) ^ m over4 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (jk )} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ mx ^ {2m} [10pt] & - {2 over 4 ^ kk! (k-1)!} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ k left (y_1 ln x- {x ^ {r_1} over2} sum_ {m = 1} ^ infty {(-1) ^ m over 4 ^ mm! prod_ {j = 1} ^ m (j + k)} left ( gamma_2 over alpha_0 right) ^ m left ( sum_ {j = 1} ^ m {2j + k over j (j + k)} right) x ^ {2m} right). end {align} nonumber ]

48. دع (L ) يكون كما في تمارين 7.5.57 و 7.5.58، وافترض أن كثير الحدود غير الرسمي لـ (Ly = 0 ) هو

[p_0 (r) = alpha_0 (r-r_1) (r-r_2) ، nonumber ]

مع (k = r_1-r_2 ) ، حيث (k ) هو عدد صحيح موجب. حدد (a_0 (r) = 1 ) للجميع (r ). إذا كان (r ) رقمًا حقيقيًا مثل (p_0 (n + r) ) غير صفري لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة (n ) ، حدد

[a_n (r) = - {1 over p_0 (n + r)} sum_ {j = 1} ^ n p_j (n + rj) a_ {nj} (r)، ، n ge1، non Number ]

واسمحوا [y_1 = x ^ {r_1} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_1) x ^ n. non Number ]

حدد [a_n (r_2) = - {1 over p_0 (n + r_2)} sum_ {j = 1} ^ n p_j (n + r_2-j) a_ {nj} (r_2) ، text {if } n ge1 ، text {and} ، n ne k، nonumber ] واجعل (a_k (r_2) ) عشوائيًا.

  1. استنتج من تمرين 7.6.66 ذلك [L left (y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1) x ^ n right) = k alpha_0x ^ {r_1}. non number ]
  2. استنتج من تمرين 7.5.57 ذلك [L left (x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_2) x ^ n right) = Ax ^ {r_1} ، non Number ] حيث [A = sum_ {j = 1} ^ k p_j (r_1-j) a_ {kj} (r_2). nonumber ]
  3. أظهر أن (y_1 ) و [y_2 = x ^ {r_2} sum_ {n = 0} ^ infty a_n (r_2) x ^ n - {A over k alpha_0} left (y_1 ln x + x ^ {r_1} sum_ {n = 1} ^ infty a_n '(r_1) x ^ n right) nonumber ] تشكل مجموعة أساسية من حلول Frobenius لـ (Ly = 0 ).
  4. أظهر أن اختيار الكمية العشوائية (a_k (r_2) ) لتكون غير صفرية يضيف فقط مضاعفات (y_1 ) إلى (y_2 ). استنتج أننا قد نأخذ أيضًا (a_k (r_2) ~ = ~ 0 ).


شاهد الفيديو: الرياضيات عمليات الطرح المستوى الثالث والرابع إبتدائي (شهر اكتوبر 2021).