مقالات

8.4.1: دالة خطوة الوحدة (تمارين) - الرياضيات


Q8.4.1

في تمارين 8.4.1-8.4.6 أوجد تحويل لابلاس بطريقة المثال 8.4.1. رسم بياني (و ) لـ تمارين 8.4.3 و 8.4.4.

1. (f (t) = left { begin {array} {cl} {1،} & {0 le t <4،} {t،} & {t ge4.} end {مجموعة} صحيح. )

2. (f (t) = left { start {array} {cl} t، & 0 le t <1، [4pt] 1، & t ge1. end {array} right. )

3. (f (t) = left { start {array} {cl} 2t-1، & 0 le t <2، [4pt] t، & t ge2. end {array} حق.)

4. (f (t) = left { start {array} {cl} 1، & 0 le t <1، [4pt] t + 2، & t ge1. end {array} right . )

5. (f (t) = left { start {array} {cl} t-1، & 0 le t <2، [4pt] 4، & t ge2. end {array} حق.)

6. (f (t) = left { start {array} {cl} t ^ 2، & 0 le t <1، [4pt] 0، & t ge1. end {array} حق.)

Q8.4.2

في تمارين 8.4.7-8.4.18 التعبير عن الوظيفة المحددة (f ) من حيث وظائف خطوة الوحدة واستخدام النظرية 8.4.1 للعثور على ( cal {L} (f) ). رسم بياني (و ) لـ تمارين 8.4.15 - 8.4.18.

7. (f (t) = left { start {array} {cl} 0، & 0 le t <2، [4pt] t ^ 2 + 3t، & t ge2. end {array} حق.)

8. (f (t) = left { start {array} {cl} t ^ 2 + 2، & 0 le t <1، [4pt] t، & t ge1. end {array} حق.)

9. (f (t) = left { start {array} {cl} te ^ t، & 0 le t <1، [4pt] e ^ t، & t ge1. end {array }حق.)

10. (f (t) = left { begin {array} {cl} e ^ { phantom {2} -t}، & 0 le t <1، [4pt] e ^ {- 2t } ، & t ge1. end {array} right. )

11. (f (t) = left { start {array} {cl} -t، & 0 le t <2، [4pt] t-4، & 2 le t <3، [ 4pt] 1، & t ge3. end {array} right. )

12. (f (t) = left { start {array} {cl} 0، & 0 le t <1، [4pt] t، & 1 le t <2، [4pt] 0 ، & t ge2. end {array} right. )

13. (f (t) = left { start {array} {cl} t، & 0 le t <1، [4pt] t ^ 2، & 1 le t <2، [4pt ] 0 ، & t ge2. end {array} right. )

14. (f (t) = left { start {array} {cl} t، & 0 le t <1، [4pt] 2-t، & 1 le t <2، [4pt ] 6، & t> 2. end {array} right. )

15. (f (t) = left { begin {array} {cl} { sin t،} & {0 leq t < frac { pi} {2}} {2 sin t،} & { frac { pi} {2} leq t < pi} { cos t،} & {t geq pi} end {array} right. )

16. (f (t) = left { begin {array} {cl} phantom {-} 2، & 0 le t <1، [4pt] -2t + 2، & 1 le t < 3، [4pt] phantom {-} 3t، & t ge 3. end {array} right. )

17. (f (t) = left { start {array} {cl} 3، & 0 le t <2، [4pt] 3t + 2، & 2 le t <4، [4pt ] 4t، & t ge 4. end {array} right. )

18. (f (t) = left { start {array} {ll} (t + 1) ^ 2، & 0 le t <1، [4pt] (t + 2) ^ 2، & t ge1. end {array} right. )

Q8.4.3

في تمارين 8.4.19 - 8.4.28 استخدم نظرية 8.4.2 للتعبير عن التحويلات العكسية من حيث وظائف الخطوة ، ثم ابحث عن صيغ مميزة للتحويلات العكسية على الفترات المناسبة ، كما في المثال 8.4.7. ارسم التحويل العكسي لـ التدريبات 8.4.21، 8.4.22، و 8.4.25.

19. (H (s) = {e ^ {- 2s} over s-2} )

20. (H (s) = {e ^ {- s} over s (s + 1)} )

21. (H (s) = {e ^ {- s} over s ^ 3} + {e ^ {- 2s} over s ^ 2} )

22. (H (s) = left ({2 over s} + {1 over s ^ 2} right) + e ^ {- s} left ({3 over s} - {1 أكثر من s ^ 2} right) + e ^ {- 3s} left ({1 over s} + {1 over s ^ 2} right) )

23. (H (s) = left ({5 over s} - {1 over s ^ 2} right) + e ^ {- 3s} left ({6 over s} + {7 أكثر من s ^ 2} right) + {3e ^ {- 6s} over s ^ 3} )

24. (H (s) = {e ^ {- pi s} (1-2s) over s ^ 2 + 4s + 5} )

25. (H (s) = left ({1 over s} - {s over s ^ 2 + 1} right) + e ^ {- { pi over 2} s} left ({ 3s-1 over s ^ 2 + 1} right) )

26. (H (s) = e ^ {- 2s} left [{3 (s-3) over (s + 1) (s-2)} - {s + 1 over (s-1) (ق 2)} حق] )

27. (H (s) = {1 over s} + {1 over s ^ 2} + e ^ {- s} left ({3 over s} + {2 over s ^ 2} يمين) + e ^ {- 3s} left ({4 over s} + {3 over s ^ 2} right) )

28. (H (s) = {1 over s} - {2 over s ^ 3} + e ^ {- 2s} left ({3 over s} - {1 over s ^ 3} يمين) + {e ^ {- 4s} أكثر s ^ 2} )

Q8.4.4

29. ابحث عن ({ cal L} left (u (t- tau) right) ).

30. لنفترض أن ( {t_m } _ {m = 0} ^ infty ) سلسلة من النقاط مثل (t_0 = 0 ) ، (t_ {m + 1}> t_m ) ، و ( lim_ {m to infty} t_m = infty ). لكل عدد صحيح غير سالب (م ) ، دع (f_m ) يكون مستمرًا على ([t_m، infty) ) ، ولتحديد (f ) في ([0، infty) ) بواسطة

[f (t) = f_m (t) ، ، t_m le t

أظهر أن (f ) مستمر متعدد التعريف في ([0، infty) ) وأنه يحتوي على تمثيل دالة الخطوة

[f (t) = f_0 (t) + sum_ {m = 1} ^ infty u (t-t_m) left (f_m (t) -f_ {m-1} (t) right) ، ، 0 le t < infty. nonumber ]

كيف نعرف أن السلسلة الموجودة على اليمين تتقارب للجميع (t ) في ([0، infty) )؟

31. بالإضافة إلى الافتراضات تمرين 8.4.30، افترض أن

[| f_m (t) | le Me ^ {s_0t}، ، t ge t_m، ، m = 0،1، dots، tag {A} ]

وأن المسلسل

[ sum_ {m = 0} ^ infty e ^ {- rho t_m} tag {B} ]

يتقارب لبعض ( rho> 0 ). باستخدام الخطوات المذكورة أدناه ، أظهر أن ({ cal L} (f) ) معرّف لـ (s> s_0 ) و

[{ cal L} (f) = { cal L} (f_0) + sum_ {m = 1} ^ infty e ^ {- st_m} { cal L} (g_m) tag {C} ]

لـ (s> s_0 + rho ) ، أين

[g_m (t) = f_m (t + t_m) -f_ {m-1} (t + t_m). nonumber ]

  1. استخدم (A) والنظرية 8.1.6 لتوضيح أن [{ cal L} (f) = sum_ {m = 0} ^ infty int_ {t_m} ^ {t_ {m + 1}} e ^ { -st} f_m (t) ، dt tag {D} ] مُعرَّفة من أجل (s> s_0 ).
  2. أظهر أنه يمكن إعادة كتابة (D) كـ [{ cal L} (f) = sum_ {m = 0} ^ infty left ( int_ {t_m} ^ infty e ^ {- st} f_m (t ) ، dt - int_ {t_ {m + 1}} ^ infty e ^ {- st} f_m (t) ، dt right). علامة {E} ]
  3. استخدم (أ) ، والتقارب المفترض (ب) ، واختبار المقارنة لتوضيح أن السلسلة [ sum_ {m = 0} ^ infty int_ {t_m} ^ infty e ^ {- st} f_m ( t) ، dt quad text {and} quad sum_ {m = 0} ^ infty int_ {t_ {m + 1}} ^ infty e ^ {- st} f_m (t) ، dt nonumber ] كلاهما يتقارب (تمامًا) إذا (s> s_0 + rho ).
  4. أظهر أنه يمكن إعادة كتابة (E) كـ [{ cal L} (f) = { cal L} (f_0) + sum_ {m = 1} ^ infty int_ {t_m} ^ infty e ^ { -st} left (f_m (t) -f_ {m-1} (t) right) ، dt nonumber ] if (s> s_0 + rho ).
  5. أكمل إثبات (ج).

32. افترض أن ( {t_m } _ {m = 0} ^ infty ) و ( {f_m } _ {m = 0} ^ infty ) يفيان بافتراضات تمارين 8.4.30 و 8.4.31، وهناك ثابت موجب (K ) بحيث (t_m ge Km ) لـ (m ) كبير بما يكفي. تبين أن مسلسل (ب) من تمرين 8.4.31 يتقارب لأي ( rho> 0 ) ، واستنتج من هذا أن (C) من تمرين 8.4.31 يحمل لـ (s> s_0 ).

في تمارين 8.4.33 - 8.4.36 ابحث عن تمثيل وظيفة الخطوة لـ (f ) واستخدم النتيجة تمرين 8.4.32 للعثور على ( cal {L} (f) ). تلميح: ستحتاج إلى صيغ متعلقة بصيغة مجموع سلسلة هندسية.

33. (f (t) = m + 1، ، m le t

34. (f (t) = (- 1) ^ m، ، m le t

35. (f (t) = (m + 1) ^ 2، ، m le t

36. (f (t) = (- 1) ^ mm، ، m le t


شاهد الفيديو: دالة الوحدة 1 لابلاس. Unit step functin (شهر اكتوبر 2021).