مقالات

10: النظم الخطية للمعادلات التفاضلية - الرياضيات


في هذا الفصل ، نأخذ في الاعتبار أنظمة المعادلات التفاضلية التي تتضمن أكثر من دالة واحدة غير معروفة. يقدم القسم 10.7 طريقة تغيير المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة.


أحد الأمثلة هو تطبيق قانون نيوتن للتبريد على جسم مغمور في سائل تبريد أو سائل تسخين ، والذي هو نفسه معرض لبيئة محيطة.

لنفترض أن أبًا شغوفًا يقوم بتسخين زجاجة حليب مبردة لابنه الرضيع عن طريق غمرها في وعاء من الماء الساخن. إذا كانت $ M $ هي درجة حرارة الحليب في الزجاجة و $ W $ هي درجة حرارة الماء في الوعاء ، إذن

حيث المعاملات $ K_، $ K_$ و $ K_يتم منح أو تحديد $ تجريبيا. هذا يجعل من أجل نظام خطي غير متجانس بسيط.

أقوم بمشاكل التدفق / التدفق مع أكثر من خزان واحد. إذا كانت x (t) تمثل كمية الملح في الخزان كدالة للوقت ، وكان لديك محلول ملحي (أو ماء نقي) يدخل ومحلول ملحي مختلط تمامًا ، فإن المعادلة التفاضلية لخزان واحد هي

dx / dt = معدل التدفق - معدل التدفق

إذا كان لديك خزانان ، أحدهما يحتوي على x (t) kg من الملح والآخر يحتوي على y (t) kg من الملح ، وكانا مترابطين ، فستحصل على نظام المعادلات التفاضلية:

dx / dt = معدل التدفق - معدل التدفق dy / dt = معدل التدفق - معدل التدفق

ومع ذلك ، يمكن أن تكون المعدلات مترابطة.

أحد التطبيقات الشائعة هو أنظمة الفرائس المفترسة. إنه أمر واضح إلى حد ما ، لكنه مثير للاهتمام بلا شك.

لديك النظام ابدأ فارك

= x (a-by) النهاية يبدأ فارك
= cy (x-d) end حيث $ x $ هو تعداد الحمر الوحشية ، و $ y $ هو عدد الأسود ، و $ a $ ، $ b $ ، $ c $ ، $ d $ هي فقط ثوابت من اختيارك. (يمكنك فقط جعل $ a = b = c = d = 1 $. ستحتاج إلى MATLAB ، أو MAPLE ، أو أي برنامج يمكنه الرسم منحنيات الحل لنظام ODEs. يمكنك بعد ذلك أن تشرح لطلابك معنى منحنى الحل.

هنالك الكثير تنص على في نظام المفترس هذا.

[A] عدد الأسود والحمير الوحشية صغير نسبيًا.

[B] العدد الصغير من الأسود يسمح بزيادة أعداد الحمار الوحشي.

[C] زيادة عدد الحمير الوحشية يسمح لتعداد الأسود أن يزداد.

[D] تؤدي الزيادة في أعداد الأسود إلى انخفاض أعداد الحمار الوحشي.

[E] يؤدي الانخفاض في أعداد الحمار الوحشي إلى انخفاض أعداد الأسود. ثم ننتهي مرة أخرى في المرحلة أ.

أنا شخصياً أعتقد أن نماذج المفترس والفريسة هي تطبيق رائع لأنظمة ODE. في معظم الأوقات ، يُتوقع من الطلاب حل أنظمة ODE فقط ، ولكن القدرة على النظر إلى مقدار المعلومات التي يمكن أن يخبرك بها منحنى حل لنظام من ODE أمر مذهل.


النظام الخطي للمعادلات التفاضلية - لماذا يمكن أن تكون المعاملات متغيرة؟

ضع في اعتبارك متغيرات $ n $ $ x_1، cdots، x_n $ في نظام خطي من المعادلات التفاضلية.

أنا: x_i '= f_i (t، x_1، cdots، x_n) $

الآن ، إذا كانت جميع قيم $ f_i $ وظائف خطية ، فإننا نقول إن لدينا نظامًا خطيًا من المعادلات التفاضلية.

إذا كان $ f_i $ دالة خطية ، فهذا يعني: $ f_i (t، x_1، cdots، x_n) = lambda_0 t + lambda_1x_1 + cdots + lambda_nx_n cdots cdots (1) $

حيث $ lambda_i $ هي أحجام حقيقية.

لكن كتابي يذكر على وجه التحديد نظامًا خطيًا للمعادلة التفاضلية فيما يتعلق بكل $ x_i $ على أنه يحتوي على الشكل:

$ x_i '= a_(t) x_1 + cdots + a_(t) x_n + b_i (t) $

حيرتي هنا هي كيف يمكن للمعاملات $ a_تكون $ دالة للمتغير المستقل $ t $ هنا وتتعارض مع تعريف الدالة الخطية كما في $ (1) $؟ ألا ينبغي أن تكون ثوابت حقيقية خالصة لتحقيق تعريف الخطية؟

ثانيًا ، لدينا $ b_i (t) $ في كل سطر أيضًا. كيف يساهم ذلك في الخطية؟


10: النظم الخطية للمعادلات التفاضلية - الرياضيات

في مقدمة هذا القسم ، ناقشنا بإيجاز كيف يمكن أن ينشأ نظام المعادلات التفاضلية من مشكلة سكانية نتتبع فيها أعداد كل من الفريسة والمفترس. من المنطقي أن عدد الفريسة الموجودة سيؤثر على عدد المفترس الموجود. وبالمثل ، سيؤثر عدد المفترس الموجود على عدد الفريسة الموجودة. لذلك ، يجب أن تعتمد المعادلة التفاضلية التي تحكم عدد الفريسة أو المفترس بطريقة ما على عدد سكان الآخر. سيؤدي ذلك إلى معادلتين تفاضليتين يجب حلهما في وقت واحد لتحديد عدد سكان الفريسة والمفترس.

بيت القصيد من هذا هو ملاحظة أن أنظمة المعادلات التفاضلية يمكن أن تنشأ بسهولة تامة من المواقف التي تحدث بشكل طبيعي. إن تطوير نظام فعال للمفترس والفريسة من المعادلات التفاضلية ليس موضوع هذا الفصل. ومع ذلك ، يمكن أن تنشأ الأنظمة من (n ^ < text> ) رتب المعادلات التفاضلية الخطية أيضًا. قبل أن ندخل في هذا الأمر ، دعنا نكتب نظامًا ونخرج بعض المصطلحات من الطريق.

سننظر في النظام الخطي للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. هذه المصطلحات تعني نفس الشيء الذي قصدوه حتى هذه النقطة. سيكون أكبر مشتق في أي مكان في النظام هو المشتق الأول وجميع الوظائف غير المعروفة ومشتقاتها ستحدث فقط للقوة الأولى ولن يتم ضربها بوظائف أخرى غير معروفة. فيما يلي مثال لنظام المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى.

نسمي هذا النوع من النظام أ مقرون النظام لأن معرفة (x_ <2> ) مطلوبة من أجل العثور على (x_ <1> ) وبالمثل معرفة (x_ <1> ) مطلوبة للعثور على (x_ <2> ) . سنقلق بشأن كيفية الشروع في حل هذه لاحقًا. في هذه المرحلة ، نحن مهتمون فقط بالتعرف على بعض أساسيات الأنظمة.

الآن ، كما ذكرنا سابقًا ، يمكننا كتابة (n ^ < text> ) طلب المعادلة التفاضلية الخطية كنظام. دعونا نرى كيف يمكن القيام بذلك.

يمكننا كتابة معادلات تفاضلية ذات رتبة أعلى كنظام بتغيير بسيط للغاية في المتغير. سنبدأ بتحديد الوظيفتين الجديدتين التاليتين.

[يبدأ يسار (t يمين) & = ص يسار (t يمين) يسار (t يمين) & = ص ' يسار (t يمين) نهاية]

لاحظ الآن أننا إذا اشتقنا بين طرفي هذين ، فسنحصل على

لاحظ استخدام المعادلة التفاضلية في المعادلة الثانية. يمكننا أيضًا تحويل الشروط الأولية إلى وظائف جديدة.

[يبدأ يسار (3 يمين) & = ص يسار (3 يمين) = 6 يسار (3 يمين) & = ص يسار (3 يمين) = - 1 نهاية]

يؤدي وضع كل هذا معًا إلى الحصول على نظام المعادلات التفاضلية التالي.

سوف نسمي النظام في المثال أعلاه ب مشكلة القيمة الأولية تمامًا كما فعلنا مع المعادلات التفاضلية ذات الشروط الأولية.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

تمامًا كما فعلنا في المثال الأخير ، سنحتاج إلى تحديد بعض الوظائف الجديدة. هذه المرة سنحتاج إلى 4 وظائف جديدة.

[يبدأ & = y & Rightarrow hspace <0.25in> <_1> & = y '= \ & = y '& Rightarrow hspace <0.25in> <_2> & = y '= \ & = y '& Rightarrow hspace <0.25in> <_3> & = ص '' = \ & = y '' & Rightarrow hspace <0.25in> <_4>& = > = - 8y + sin left (t right) y '- 3y' + = - 8 + الخطيئة اليسار (t اليمين) - 3 + نهاية]

النظام مع الشروط الأولية إذن ،

[يبدأ<_1> & = & hspace <0.25in> يسار (0 يمين) & = 1 <_2> & = & hspace <0.25in> يسار (0 يمين) & = 2 <_3> & = & hspace <0.25in> يسار (0 يمين) & = 3 <_4> & = - 8 + الخطيئة اليسار (t اليمين) - 3 + & hspace <0.25in> يسار (0 يمين) & = 4 نهاية]

الآن ، عندما ننتقل أخيرًا لحل هذه المشكلات ، سنرى أننا بشكل عام لا نحل الأنظمة بالشكل الذي قدمناه لهم في هذا القسم. يمكن تحويل أنظمة المعادلات التفاضلية إلى شكل المصفوفة وهذا هو الشكل الذي نستخدمه عادة في حل الأنظمة.

اكتب النظام أولاً بحيث يكون كل جانب متجهًا.

الآن يمكن كتابة الجانب الأيمن في صورة ضرب مصفوفة ،

يمكن بعد ذلك كتابة النظام على شكل مصفوفة ،

سنبدأ بالنظام من المثال 1.

الآن ، لنفعل النظام من المثال 2.

في هذه الحالة ، نحتاج إلى توخي الحذر مع ر 2 في المعادلة الأخيرة. سنبدأ بكتابة النظام كمتجه مرة أخرى ثم نقسمه إلى متجهين ، أحدهما يحتوي على وظائف غير معروفة والآخر يحتوي على أي وظائف معروفة.

الآن ، يمكن كتابة المتجه الأول كضرب مصفوفة وسنترك المتجه الثاني بمفرده.

لاحظ أنه في بعض الأحيان بالنسبة للأنظمة "الكبيرة" مثل هذه ، سنذهب خطوة واحدة إلى الأمام ونكتب النظام على النحو التالي ،

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

آخر شيء يتعين علينا القيام به في هذا القسم هو إزالة بعض المصطلحات من الطريق. بدءا من

[ vec x '= A vec x + vec g left (t right) ]

نقول أن النظام متجانس إذا ( vec g left (t right) = vec 0 ) ونقول النظام هو غير متجانسة إذا ( vec g left (t right) ne vec 0 ).


Biocalculus Calculus لعلوم الحياة

حدد ما إذا كان كل نظام مستقلًا أم غير مستقل ، وما إذا كان خطيًا أم غير خطي. إذا كانت خطية ، فحدد ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.
$ d x / d t = x-y ، quad d y / d t = -3 t y + x $

المشكلة 2

حدد ما إذا كان كل نظام مستقلًا أم غير مستقل ، وما إذا كان خطيًا أم غير خطي. إذا كانت خطية ، فحدد ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.
$ d y / d x = 2 y، quad d z / d x = x-z + 3 $

مشكلة 3

حدد ما إذا كان كل نظام مستقلًا أم غير مستقل ، وما إذا كان خطيًا أم غير خطي. إذا كانت خطية ، فحدد ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.
$ d y / d t = 3 y z-2 z ، quad d z / d t = 2 z + 5 y $

المشكلة 4

حدد ما إذا كان كل نظام مستقلًا أم غير مستقل ، وما إذا كان خطيًا أم غير خطي. إذا كانت خطية ، فحدد ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.
$ d y / d x = 3 y-2 ، quad d z / d x = 7 z + y $

المشكلة 5

حدد ما إذا كان كل نظام مستقلًا أم غير مستقل ، وما إذا كان خطيًا أم غير خطي. إذا كانت خطية ، فحدد ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.
$ d x / d z = 3 x-2 y ، quad d y / d z = 2 z + 3 y $

المشكلة 6

حدد ما إذا كان كل نظام مستقلًا أم غير مستقل ، وما إذا كان خطيًا أم غير خطي. إذا كانت خطية ، فحدد ما إذا كانت متجانسة أو غير متجانسة.
$ d x / d t = x y-y ، quad d y / d t = 4 t x-x y $

المشكلة 7

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = 5 x-3 y ، quad d y / d t = 2 y-x $

المشكلة 8

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = x-2 ، quad d y / d t = 2 y + 3 x-1 $

المشكلة 9

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = 3 t v-7 ، quad d v / d t = 2 x-3 y $

المشكلة 10

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = 5 y ، quad d y / d t = 2 x-y $

المشكلة 11

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = 2 x-5 ، quad d y / d t = 3 x + 7 y $

المشكلة 12

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = 2 x-y sin t، quad d y / d t = y-x $

المشكلة 13

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = x + 4 y-3 t ، quad d y / d t = y-x $

المشكلة 14

اكتب كل نظام من المعادلات التفاضلية الخطية في رمز المصفوفة.
$ d x / d t = y-2 x sqrt+7، ​​ quad d y / d t = 3 x + 2 $

المشكلة 15

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <-3> & amp <1> <2> & amp <-2> end حق] $

المشكلة 16

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <-2> & amp <1> <-1> & amp <-1> end حق] $

المشكلة 17

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <1> & amp <2> <-2> & amp <1> end حق] $

المشكلة 18

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <1> & amp <2> <2> & amp <-1> end حق] $

المشكلة 19

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <-1> & amp <2> <-3> & amp <0> end حق] $

المشكلة 20

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <1> & amp <1> <0> & amp <1> end حق] $

المشكلة 21

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <2> & amp <-1> <-1> & amp <2> end حق] $

المشكلة 22

بالنظر إلى نظام المعادلات التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf$ ، قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة. هل يبدو التوازن كسرج أم عقدة أم لولب؟
$ A = left [ start <0> & amp <1> <1> & amp <0> end حق] $

المشكلة 23

ضع في اعتبارك نظام المعادلات التفاضلية الخطية $ d mathbf / د t = A mathbf+ mathbf، $ حيث $ mathbf$ هو متجه للثوابت. لنفترض أن $ A $ هو لغة غير لغوية.

(أ) ما هو توازن نظام المعادلات هذا؟
(ب) استخدام $ hat < mathbf> $ تشير إلى التوازن الموجود في الجزء $ (a) $ حدد متجهًا جديدًا للمتغيرات $ mathbf= mathbf- قبعة < mathbf>. $ ماذا تمثل مكونات y؟
(ج) أظهر أن $ y $ يحقق المعادلة التفاضلية $ d mathbf / د t = A mathbf يوضح هذا كيف يمكننا اختزال نظام غير متجانس من المعادلات التفاضلية الخطية إلى نظام متجانس باستخدام تغيير المتغيرات.

المشكلة 24

ضع في اعتبارك نظام المعادلات التفاضلية الخطية

النظام غير عام ، أي أن محدد مصفوفة المعاملات هو صفر.
(أ) يوجد عدد لا حصر له من التوازن ، كلها تقع على خط في مستوى الطور. ما هي معادلة هذا الخط؟
(ب) بناء مستوى الطور لهذا النظام.

المشكلة 25

النظر في نظام متجانس مستقل من المعادلات التفاضلية الخطية مع مصفوفة المعامل

افترض أن det $ A = 0. $ أظهر أن هناك عددًا لا نهائيًا من التوازن.

المشكلة 26

ضع في اعتبارك النظام المتجانس التالي المكون من ثلاث معادلات تفاضلية خطية:

$ تبدأ د س / د t & amp = 3 س + 2 ص-ض د ص / د ت & أمبير = س ص-ض د ز / د ت & أمبير = ص + 3 ع نهاية$

افترض أن $ x + y = 5 $ في جميع الأوقات. تبين أن هذا النظام
يمكن اختزالها إلى اثنين من التفاضل الخطي غير المتجانس
المعادلات التي قدمها

$ d x / d t = x-z + 10 $
$ d z / d t = -x + 3 z + 5 $

المشكلة 27

ضع في اعتبارك النظام المتجانس التالي المكون من أربع معادلات تفاضلية خطية:

$ تبدأ d w / d t & amp = 2 x + y-z d x / d t & amp = 3 x + z d y / d t & amp = -y + 2 z d z / d t & amp = 3 x-5 y end$

افترض أن $ x + z = 2 $ و $ y + w = ​​3 $ في جميع الأوقات. تبين
أن هذا النظام يمكن اختزاله إلى نظامين غير متجانسين
المعادلات التفاضلية الخطية التي قدمها

$ d w / d t = 3 x-w + 1 $
$ d x / d t = 2 x + 2 $

المشكلة 28

ضع في اعتبارك أي نظام متجانس مستقل من ثلاث معادلات تفاضلية خطية تحقق المتغيرات من أجلها $ a x_ <1> + b x_ <2> + c x_ <3> = d ، $ حيث $ a ، b ، c ، $ و $ d $ ثوابت ، وليست كلها صفراً. أظهر أنه يمكن اختزال النظام إلى نظام غير متجانس من معادلتين تفاضليتين خطيتين.

المشكلة 29

تأخذ المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية الشكل

حيث $ p و q و $ و $ g $ هي دوال متصلة لـ $ t. $ افترض أن لدينا شروط أولية $ y (0) = a $ و $ y ^ < prime> (0) = b. $ أظهر أن هذا يمكن إعادة كتابة المعادلة كنظام من معادلتين تفاضليتين خطيتين من الدرجة الأولى لهما الشكل

مشكلة 30

ديناميات التمثيل الغذائي يقدم المثال 2 نموذجًا لمجموعة من فئران الغزلان مقسمة إلى بقعتين من خلال تجزئة الموائل. النموذج

(أ) قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الخالية.
(ب) صف ما يحدث للسكان في كل مجموعة على أنها $ t rightarrow infty $ إذا بدأ كلاهما بأحجام غير صفرية.

المشكلة 31

تنتج جينات تنظيم الجينات جزيئات تسمى mRNA التي تنتج البروتينات بعد ذلك. يمكن أن تمنع المستويات العالية من البروتين إنتاج mRNA ، مما يؤدي إلى ردود فعل تنظم التعبير الجيني. استخدام $ m $ و $ p $ للإشارة إلى كميات mRNA والبروتين في الخلية مرات (X 10 ^ <2> نسخ الخلية) ، right. نموذج بسيط لتنظيم الجينات

$ تبدأ d m / d t & amp = 1-p-m d p / d t & amp = m-p end$

قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط الفارغة.
[تلميح: هذا النظام غير متجانس.]

مشكلة 32

سرطان البروستاتا أثناء العلاج ، يمكن أن تصبح خلايا الورم في البروستات مقاومة من خلال مجموعة متنوعة من الآليات البيوكيميائية. بعضها قابل للعكس - تعود الخلايا إلى كونها حساسة بمجرد توقف العلاج - والبعض الآخر ليس كذلك. باستخدام $ x_ <1> و x_ <2> و $ و $ x_ <3> $ للإشارة إلى جزء الخلايا الحساسة والمقاومة مؤقتًا والمقاومة بشكل دائم ، على التوالي ، فإن نموذجًا بسيطًا لدينامياتها أثناء العلاج هو

$ تبدأ d x_ <1> / dt & amp = -a x_ <1> -c x_ <1> + b x_ <2> d x_ <2> / dt & amp = a x_ <1> -b x_ <2> - d x_ <2> d x_ <3> / dt & amp = c x_ <1> + d x_ <2> end$

استخدم حقيقة أن $ x_ <1> + x_ <2> + x_ <3> = 1 $ لتقليل هذا إلى نظام غير متجانس من معادلتين تفاضليتين خطيتين لـ $ x_ <1> $ و $ x_ <3>. $

مشكلة 33

يقدم مثال العلاج المناعي الإشعاعي 1 نموذجًا لـ
العلاج المناعي الإشعاعي. النموذج

حيث يشير $ x_ <1> $ و $ x_ <2> $ إلى مقدار الجسم المضاد $ ($ in $ mu mathrm) $ في مجرى الدم والورم على التوالي ، في الوقت $ t $ (بالدقائق) ، وجميع الثوابت موجبة.

(أ) بناء مستوى الطور ، بما في ذلك الخطوط العقيمة ، لتحديد السلوك النوعي للنظام.
(ب) صف ما يحدث لكمية الجسم المضاد في كل جزء من أجزاء الجسم على أنها $ t rightarrow infty $

مشكلة 34

تحرك قنديل البحر يتحرك قنديل البحر عن طريق التعاقد على جزء مرن من أجسامهم ، يسمى الجرس ، مما يخلق ضغطًا عاليًا من الماء. عندما تتوقف القوة الانكماشية ، يعود الجرس إلى شكله الطبيعي. تم نمذجة حركة قنديل البحر باستخدام معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية لها الشكل

حيث $ x (t) $ هو إزاحة الجرس في الوقت $ t ، m $ كتلة الجرس (بالجرام) ، $ b $ مقياس الاحتكاك بين الجرس والماء (بوحدات من $ N / m cdot s) ، $ و $ k $ مقياس صلابة الجرس (بوحدات $ N / m) $ افترض أن $ m = 100 mathrm، ب = 0.1 ماذرم / mathrm cdot mathrmو $ و $ k = 1 mathrm / mathrm$

(أ) تحديد المتغيرات الجديدة $ z_ <1> (t) = x (t) $ و $ z_ <2> (t) = x ^ < prime> (t)، $ وإظهار أنه يمكن التعبير عن النموذج كنظام من معادلتين تفاضليتين خطيتين من الدرجة الأولى.
(ب) قم ببناء مستوى الطور ، بما في ذلك الأسطر الفارغة ، للمعادلات من الجزء (أ).


المعادلة التفاضلية الخطية العادية

حيث $ x (t) $ دالة غير معروفة و $ a _ (t) $، $ f (t) $ يعطيان دالات يسمى الرقم $ n $ ترتيب المعادلة (1) (أسفل النظرية العامة للمعادلات التفاضلية العادية الخطية معادلات من الدرجة الثانية انظر أيضًا الخطي العادي المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية).

1) إذا كانت الوظائف في (1) $ a _ <1> dots a _ ، f $ متصلة على الفاصل $ (a، b) $ ، ثم لأي أرقام $ x _ <0> ، x _ <0> ^ prime dots x _ <0> ^ <(> n- 1) $ و $ t _ <0> in (a، b) $ يوجد حل فريد $ x (t) $ من (1) مُعرَّف على كامل الفترة $ (a، b) $ ومستوفٍ للشروط الأولية

$ x (t _ <0>) = x _ <0>، x ^ prime (t _ <0>) = x _ <0> ^ prime dots x ^ <(> n- 1) (t _ <0>) = x _ <0> ^ <(> n- 1). $

$ tag <2> x ^ <(> n) + a _ <1> (t) x ^ <(> n- 1) + dots + a _ (ر) س = 0 دولار

تسمى المعادلة المتجانسة المقابلة للمعادلة غير المتجانسة (1). إذا كان $ x (t) $ هو حل من (2) و

$ x (t _ <0>) = x ^ prime (t _ <0>) = dots = x ^ <(> n- 1) (t _ <0>) = 0، $

ثم $ x (t) equiv 0 $. إذا كان $ x _ <1> (t) dots x _ (ر) $ حلول من (2) ، ثم أي مجموعة خطية

$ C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (ر) $

هو حل من (2). إذا كانت الدالة $ n $

هي حلول مستقلة خطيًا لـ (2) ، ثم لكل حل $ x (t) $ من (2) هناك ثوابت $ C _ <1> dots C _ $ مثل هذا

$ tag <4> x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (ر). $

وبالتالي ، إذا كان (3) نظامًا أساسيًا للحلول (2) (أي نظام $ n $ حلول مستقلة خطيًا لـ (2)) ، فإن حلها العام يُعطى بواسطة (4) ، حيث $ C _ <1 > النقاط C _ $ ثوابت اعتباطية. لكل $ n غير مفرد مرات n $ مصفوفة $ B = | ب _ | $ وكل $ t _ <0> in (a، b) $ هناك نظام أساسي من الحلول (3) للمعادلة (2) بحيث

x دولار _ ^ <(> n- j) (t _ <0>) = b _ ، i ، ي = 1 نقطة n. $

للوظائف (3) المحدد

$ W (t) = mathop < rm det> يسار | يبدأ س _ <1> (ر) & النقاط & س _ (t) x _ <1> ^ prime & dots & x _ ^ رئيس (t) النقاط & النقاط & النقاط x _ <1> ^ <(> n- 1) (t) & dots & x _ ^ <(> n- 1) (t) end حق | $

يسمى محدد Wronski أو Wronskian. إذا كان (3) هو نظام أساسي من الحلول (2) ، فإن $ W (t) neq 0 $ لكل $ t in (a، b) $. إذا كان $ W (t _ <0>) = 0 $ لنقطة واحدة على الأقل $ t _ <0> $ ، إذن $ W (t) equiv 0 $ والحلول (3) للمعادلة (2) تعتمد خطيًا في هذه الحالة. بالنسبة إلى Wronskian للحلول (3) للمعادلة (2) ، تحمل صيغة Liouville-Ostrogradski:

$ W (t) = W (t _ <0>) mathop < rm exp> left (- int limits _ > ^ a _ <1> ( tau) d tau right). $

الحل العام لـ (1) هو مجموع الحل العام للمعادلة المتجانسة (2) وحل معين $ x _ <0> (t) $ للمعادلة غير المتجانسة (1) ، وتُعطى بواسطة الصيغة

$ x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (t) + x _ <0> (t)، $

حيث $ x _ <1> (t) dots x _ (ر) $ هو نظام أساسي من الحلول (2) و $ C _ <1> dots C _ $ ثوابت اعتباطية. إذا كان النظام الأساسي للحلول (3) للمعادلة (2) معروفًا ، فيمكن إيجاد حل معين للمعادلة غير المتجانسة (1) بطريقة تغيير الثوابت.

2) نظام المعادلات التفاضلية العادية الخطية للطلب $ n $ هو نظام

دولار نقطة _ = sum _ 1 ^ a _ (ر) × _ + ب _ (t)، i = 1 dots n، $

حيث $ x (t) in mathbf R ^ $ هو متجه عمود غير معروف ، $ A (t) $ مصفوفة مربعة للأمر $ n $ و $ b (t) $ دالة متجهة معينة. افترض أيضًا أن $ A (t) $ و $ b (t) $ متصلان على بعض الفواصل $ (a، b) $. في هذه الحالة ، لأي $ t _ <0> in (a، b) $ و $ x _ <0> in mathbf R ^ $ هناك حل فريد من نوعه $ x (t) $ للنظام (5) مُعرَّف على كامل الفترة $ (a، b) $ ويتوافق مع الشرط الأولي $ x (t _ <0>) = x _ <0> $.

يسمى النظام المتجانس المقابل للنظام غير المتجانس (5). إذا كان $ x (t) $ هو حل (6) و $ x (t _ <0>) = 0 $ ، فإن $ x (t) equiv 0 $ إذا $ x _ <1> (t) dots x _ (ر) $ عبارة عن حلول ، ثم أي تركيبة خطية

$ C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (ر) $

هو حل (6) إذا كان $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ عبارة عن حلول مستقلة خطيًا لـ (6) ، ثم المتجهات $ x _ <1> (t) dots x _ (t) $ مستقل خطيًا عن أي $ t in (a، b) $. إذا كان المتجه $ n $ يعمل

تشكل نظامًا أساسيًا من الحلول (6) ، ثم لكل حل $ x (t) $ من (6) هناك ثوابت $ C _ <1> dots C _ $ مثل هذا

$ tag <8> x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (ر). $

وهكذا ، فإن الصيغة (8) تعطي الحل العام (6). لأي متجهات $ t _ <0> in (a، b) $ وأي متجهات مستقلة خطيًا $ a _ <1> dots a _ in mathbf R ^ $ يوجد نظام أساسي من الحلول (7) للنظام (6) مثل ذلك

$ x _ <1> (t _ <0>) = a _ <1> dots x _ (ر _ <0>) = أ _ . $

لدوال المتجهات (7) التي تمثل حلول (6) ، المحدد $ W (t) $ للمصفوفة

$ علامة <9> X (t) = اليسار | يبدأ س _ <11> (ر) & النقاط & س _ (t) dots & dots & dots x _ <1n> (t) & dots & x _ ( ينزع حق | ، $

حيث $ x _ (t) $ هو المكون $ j $ - th من الحل $ i $ - يسمى محدد Wronski أو Wronskian. إذا كان (7) هو نظام أساسي من الحلول (6) ، فإن $ W (t) neq 0 $ لكل $ t in (a، b) $ و (9) يسمى مصفوفة أساسية. إذا كانت الحلول (7) للنظام (6) تعتمد خطيًا على نقطة واحدة على الأقل $ t _ <0> $ ، فإنها تعتمد خطيًا على أي $ t in (a، b) $ ، وفي هذه الحالة $ W (t) equiv 0 $. بالنسبة لـ Wronskian للحلول (7) للنظام (6) تحمل صيغة Liouville:

$ W = W (t _ <0>) mathop < rm exp> left ( int limits _ ^ mathop < rm Tr> (A ( tau)) د tau right) ، $

حيث $ mathop < rm Tr> (A ( tau)) = a _ <11> ( tau) + dots + a _ ( tau) $ هو تتبع المصفوفة $ A ( tau) $. المصفوفة (9) تحقق معادلة المصفوفة $ dot = A (t) X (t) $. إذا كان $ X (t) $ مصفوفة أساسية للنظام (6) ، فلكل مصفوفة أساسية أخرى $ Y (t) $ لهذا النظام هناك ثابت غير مفرد $ n مرات n $ مصفوفة $ C $ بحيث يكون $ Y (t) = X (t) C $. إذا كان $ X (t _ <0>) = E $ ، حيث $ E $ هو مصفوفة الوحدة ، فإن المصفوفة الأساسية $ X (t) $ يتم تسويتها عند النقطة $ t _ <0> $ و الصيغة $ x (t) = X (t) x _ <0> $ تعطي الحل (6) الذي يفي بالشرط الأولي $ x (t _ <0>) = x _ <0> $.

إذا كانت المصفوفة $ A (t) $ تتنقل مع تكاملها ، فإن المصفوفة الأساسية (6) المقيسة عند النقطة $ t _ <0> in (a، b) $ تُعطى بواسطة الصيغة

$ X (t) = mathop < rm exp> left ( int limits _ > ^ A ( tau) d tau right). $

على وجه الخصوص ، بالنسبة للمصفوفة الثابتة $ A $ المصفوفة الأساسية المقيسة عند النقطة $ t _ <0> $ تُعطى بواسطة الصيغة $ X (t) = mathop < rm exp> A (t - t _ <0 >) $. الحل العام لـ (5) هو مجموع الحل العام للنظام المتجانس (6) وحل معين $ x _ <0> (t) $ من (5) ويتم الحصول عليه بواسطة الصيغة

$ x (t) = C _ <1> x _ <1> (t) + dots + C _ x _ (t) + x _ <0> (t)، $

حيث $ x _ <1> (t) dots x _ (ر) $ هو نظام أساسي من الحلول (6) و $ C _ <1> dots C _ $ ثوابت اعتباطية. إذا كان النظام الأساسي للحلول (7) للنظام (6) معروفًا ، فيمكن إيجاد حل معين للنظام غير المتجانس (5) بطريقة تغيير الثوابت. إذا كانت $ X (t) $ مصفوفة أساسية للنظام (6) ، فإن الصيغة

$ x (t) = X (t) X ^ <-> 1 (t _ <0>) x _ <0> + int limits _ > ^ X (t) X ^ <-> 1 ( tau) b ( tau) d tau $

يعطي الحل (5) الذي يحقق الشرط الأولي $ x (t _ <0>) = x _ <0> $.

3) افترض أنه في النظام (5) و (6) $ A (t) $ و $ b (t) $ متصلان على نصف سطر $ [a، + infty) $. جميع حلول (5) إما مستقرة أو غير مستقرة في نفس الوقت ، لذلك يُقال أن النظام (5) مستقر (مستقر بشكل موحد ، مستقر مقاربًا) إذا كانت جميع حلوله مستقرة (على التوالي ، ثابتة بشكل موحد ، مستقرة بشكل مقارب ، راجع مقارب- حل مستقر استقرار Lyapunov). النظام (5) مستقر (مستقر بشكل موحد ، مستقر مقاربًا) إذا وفقط إذا كان النظام (6) مستقرًا (على التوالي ، مستقر بشكل موحد ، مستقر مقاربًا). لذلك ، عند التحقيق في الأسئلة المتعلقة باستقرار الأنظمة التفاضلية الخطية ، يكفي اعتبار الأنظمة المتجانسة فقط.

يكون النظام (6) مستقرًا إذا وفقط إذا كانت جميع حلوله مقيدة بنصف السطر $ [a، + infty) $. يكون النظام (6) مستقرًا بشكل مقارب إذا وفقط إذا

لجميع حلولها $ x (t) $. الشرط الأخير يعادل (10) يتم استيفائه مقابل $ n $ Solutions $ x _ <1> (t) dots x _ (ر) $ للنظام الذي يشكل نظامًا أساسيًا للحلول. النظام المستقر مقاربًا (6) مستقر بشكل مقارب في الكبير.

نظام خطي ذو معاملات ثابتة

يكون مستقرًا إذا وفقط إذا كانت جميع قيم eigen $ lambda _ <1> dots lambda _ يحتوي $ من $ A $ على أجزاء حقيقية غير موجبة (أي $ mathop < rm Re> lambda _ leq 0 $، $ i = 1 dots n $) ، وقد تحتوي قيم eigen التي لا تحتوي على جزء حقيقي إلا على قواسم أولية بسيطة. يكون النظام (11) مستقرًا بشكل مقارب إذا وفقط إذا كانت جميع قيم eigen لـ $ A $ تحتوي على أجزاء حقيقية سالبة.

حيث $ A ^ (t) $ هي المصفوفة المنقولة من $ A (t) $ ، وتسمى النظام المساعد للنظام (6). إذا كان $ x (t) $ و $ y (t) $ حلين تعسفيين لـ (6) و (12) ، على التوالي ، فإن الناتج القياسي

إذا كان $ X (t) $ و $ Y (t) $ مصفوفات أساسية لحلول (6) و (12) على التوالي ، إذن

حيث $ C $ مصفوفة ثابتة غير مفردة.

5) يرتبط التحقيق في الخصائص الخاصة المختلفة للأنظمة الخطية ، ولا سيما مسألة الاستقرار ، بمفهوم الأس ليابونوف المميز للحل والطريقة الأولى في نظرية الاستقرار التي طورها A.M. Lyapunov (انظر النظام الخطي المنتظم النظام الخطي المختزل استقرار Lyapunov).

6) يقال أن نظامين من النموذج (6) متكافئان بشكل مقارب إذا كان هناك تطابق واحد لواحد بين الحلول $ x _ <1> (t) $ و $ x _ <2> (t) $ مثل ذلك

إذا كان النظام (11) ذو المصفوفة الثابتة $ A $ مستقرًا ، فهو مكافئ بشكل مقارب للنظام $ dot = (A + B (t)) x $ حيث تكون المصفوفة $ B (t) $ متصلة على $ [a، + infty) $ و

$ tag <13> int limits _ <0> ^ infty | ب (ر) | dt & lt infty. $

إذا كان (13) راضيا ، فإن النظام $ dot = B (t) x $ مكافئ بشكل مقارب للنظام $ dot = 0 $.

يقال إن نظامين من النموذج (11) لهما معاملات ثابتة متكافئان طوبولوجيًا إذا كان هناك تماثل الشكل $ h: mathbf R ^ rightarrow mathbf R ^ $ الذي يأخذ المسارات الموجهة لنظام ما إلى مسارات موجهة للآخر. إذا كانت المصفوفتان المربعتان $ A $ و $ B $ للأمر $ n $ لهما نفس عدد قيم eigen مع جزء حقيقي سلبي وليس لهما قيم eigen مع جزء حقيقي صفري ، فإن النظام $ dot = A x $ و $ dot = B x $ مكافئة طوبولوجيًا.

7) افترض أنه في النظام (6) المصفوفة $ A (t) $ متصلة ومحدودة على المحور الحقيقي بأكمله. يقال إن النظام (6) لديه انقسام أسي إذا كان الفراغ $ mathbf R ^ ينقسم $ إلى مبلغ مباشر: $ mathbf R ^ = mathbf R ^ > oplus mathbf R ^ > $، $ n _ <1> + n _ <2> = n $ ، بحيث لكل حل $ x (t) $ مع $ x (0) in mathbf R ^ > $ عدم المساواة

معلق ، ولكل حل $ x (t) $ مع $ x (0) in mathbf R ^ > $ عدم المساواة

الحجوزات لجميع $ t _ <0> in mathbf R $ و $ t geq t _ <0> $ ، حيث $ 0 & lt c leq 1 $ و $ k & gt 0 $ ثوابت. على سبيل المثال ، يوجد الانقسام الأسي في نظام (11) مع مصفوفة ثابتة $ A $ إذا كان $ A $ لا يحتوي على قيم eigen مع جزء حقيقي صفري (يُقال أن مثل هذا النظام هو قطعي). إذا كانت وظيفة المتجه $ b (t) $ مقيدة بالمحور الحقيقي بالكامل ، فإن النظام (5) الذي يحتوي على ثنائية أسية له حل فريد محدد على السطر بالكامل $ mathbf R $.

مراجع

[1] ج. بتروفسكي ، "المعادلات التفاضلية العادية" ، برنتيس هول (1966) (مترجم من الروسية)
[2] إل. Pontryagin ، "المعادلات التفاضلية العادية" ، أديسون ويسلي (1962) (مترجم من الروسية)
[3] السادس. Arnol'd ، "المعادلات التفاضلية العادية" ، M.I.T. (1973) (مترجم من الروسية)
[4] صباحا. [صباحا. Lyapunov] ليابونوف ، "Problème général de la stabilité du Mouvement" ، جامعة برينستون. مطبعة (1947) (مترجم من الروسية) (طبع ، كراوس ، 1950)
[5] ب. ديميدوفيتش ، "محاضرات حول النظرية الرياضية للاستقرار" ، موسكو (1967) (بالروسية)
[6] بي إف بييلوف ، ري. فينوغراد ، د. جروبمان ، في. Nemytskii ، "نظرية دعاة Lyapunov وتطبيقاتها على مشاكل الاستقرار" ، موسكو (1966) (بالروسية)
[7] بي هارتمان ، "المعادلات التفاضلية العادية" ، بيركويزر (1982)

تعليقات

إذا كانت في (6) $ A (t) $ دورية بفترة $ T $ ، فإن المصفوفة الأساسية تكون بالصيغة

مع $ Y (t) $ مصفوفة بها $ T $ - معاملات دورية و $ R $ مصفوفة ثابتة ، راجع نظرية فلوكيت لمزيد من التفاصيل.


أسس الهندسة

بحلول أواخر القرن التاسع عشر ، تم تحدي هيمنة الهندسة الإقليدية من قبل الهندسة غير الإقليدية والهندسة الإسقاطية. أول محاولة ملحوظة لإعادة تنظيم دراسة الهندسة قام بها عالم الرياضيات الألماني فيليكس كلاين ونشرت في إرلانجن في عام 1872. في كتابه برنامج إرلانجر اقترح كلاين اعتبار الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية كحالات خاصة للهندسة الإسقاطية. في كل حالة ، كانت السمات المشتركة التي جعلتها ، في رأي كلاين ، هندسية هي أن هناك مجموعة من النقاط ، تسمى "الفضاء" ، ومجموعة من التحولات التي يمكن بواسطتها تحريك الأشكال في الفضاء دون تغيير الخصائص الأساسية. على سبيل المثال ، في هندسة المستوى الإقليدي ، يكون الفضاء هو المستوى المألوف ، والتحولات عبارة عن دوران وانعكاسات وترجمات ومركباتها ، والتي لا يغير أي منها الطول أو الزاوية ، وهي الخصائص الأساسية للأشكال في الهندسة الإقليدية. سيكون للأشكال الهندسية المختلفة مساحات مختلفة ومجموعات مختلفة ، وسيكون للأشكال خصائص أساسية مختلفة.

أنتج كلاين حسابًا وحد فئة كبيرة من الأشكال الهندسية - تقريبًا ، كل تلك التي كانت متجانسة بمعنى أن كل قطعة من الفضاء تبدو مثل كل قطعة أخرى من الفضاء. استبعد هذا ، على سبيل المثال ، الأشكال الهندسية على الأسطح ذات الانحناء المتغير ، لكنه أنتج حزمة جذابة للباقي وأرضى حدس أولئك الذين شعروا أن الهندسة الإسقاطية بطريقة ما أساسية. استمر في الظهور كأنه النهج الصحيح عندما ظهرت أفكار لي ، وبدا أن هناك علاقة جيدة بين تصنيف لي وأنواع الهندسة التي ينظمها كلاين.

يمكن لعلماء الرياضيات الآن أن يسألوا لماذا كانوا يعتقدون أن الهندسة الإقليدية هي الوحيدة في حين أن هناك في الواقع العديد من الأشكال الهندسية المختلفة. أول من تناول هذا السؤال بنجاح كان عالم الرياضيات الألماني موريتز باش ، الذي جادل في عام 1882 بأن الخطأ كان الاعتماد بشكل كبير على الحدس الجسدي. في رأيه ، يجب أن تعتمد الحجة في الرياضيات على صحتها ليس على التفسير المادي للمصطلحات المعنية ولكن على معايير رسمية بحتة. في الواقع ، فإن مبدأ الازدواجية قد أساء إلى الإحساس الهندسي باعتباره إضفاء الطابع الرسمي على ما يعتقده المرء بشأن النقاط (المادية) والخطوط التي لم يعتقد المرء أن هذه المصطلحات قابلة للتبادل.

لفتت أفكار باش انتباه عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت ، الذي سيطر مع عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه على الرياضيات في بداية القرن العشرين. عندما تساءل عن سبب إنتاج الرياضيات - ولا سيما الهندسة - نتائج صحيحة ، أصبح يشعر بشكل متزايد أنها لم تكن بسبب وضوح تعريفاتها. بدلاً من ذلك ، نجحت الرياضيات لأن مصطلحاتها (الابتدائية) كانت بلا معنى. ما جعله يسير في الاتجاه الصحيح هو قواعده في الاستدلال. كانت الأدلة صالحة لأنها تم إنشاؤها من خلال تطبيق قواعد الاستدلال ، والتي بموجبها يمكن إعلان صحة التأكيدات الجديدة لمجرد أنها يمكن اشتقاقها ، عن طريق هذه القواعد ، من البديهيات أو النظريات التي سبق إثباتها. تم النظر إلى النظريات والبديهيات على أنها بيانات رسمية تعبر عن العلاقات بين هذه المصطلحات.

جادل هيلبرت بأن القواعد التي تحكم استخدام المصطلحات الرياضية كانت تعسفية ، ويمكن لكل عالم رياضيات أن يختارها حسب الرغبة ، بشرط أن تكون الاختيارات التي يتم اتخاذها متسقة مع ذاتها. أنتج عالم رياضيات أنظمة مجردة غير مقيدة باحتياجات العلم ، وإذا وجد العلماء نظامًا مجردًا يناسب أحد اهتماماتهم ، فيمكنهم تطبيق النظام بأمان في معرفة أنه متسق منطقيًا.

أصبح هيلبرت متحمسًا لأول مرة لوجهة النظر هذه (المقدمة في كتابه Grundlagen der Geometrie [1899 "أسس الهندسة") عندما رأى أنها لم تؤد فقط إلى طريقة واضحة لفرز الأشكال الهندسية في التسلسل الهرمي لكلاين وفقًا لأنظمة البديهيات المختلفة التي اتبعوها ولكن أيضًا إلى أشكال هندسية جديدة. لأول مرة كانت هناك طريقة لمناقشة الهندسة تتجاوز حتى المصطلحات العامة جدًا التي اقترحها ريمان. لم تستمر كل هذه الأشكال الهندسية في الاهتمام ، ولكن الأخلاق العامة التي رسمها هيلبرت لأول مرة للهندسة كان سرعان ما يرسمها لكل الرياضيات.


10: الأنظمة الخطية للمعادلات التفاضلية - الرياضيات

نظرًا لأننا سنعمل بشكل حصري تقريبًا مع أنظمة المعادلات التي يساوي فيها عدد المجهول عدد المعادلات ، سنقتصر مراجعتنا على هذه الأنواع من الأنظمة.

كل ما سنفعله هنا يمكن أن يمتد بسهولة إلى الأنظمة ذات المجهول أكثر من المعادلات أو معادلات أكثر من المجهول إذا لزم الأمر.

لنبدأ بالنظام التالي من المعادلات (n ) ذات (n ) المجهول ، (x_ <1> ) ، (x_ <2> ) ، ... ، (x_).

لاحظ أنه في المخطوطات على المعاملات في هذا النظام ، (a_) ، يتوافق (i ) مع المعادلة التي يوجد بها المعامل و (j ) يتوافق مع المجهول الذي يتم ضربه بالمعامل.

لاستخدام الجبر الخطي لحل هذا النظام ، سنكتب أولاً المصفوفة المعززة لهذا النظام. المصفوفة المعززة هي في الحقيقة كل معاملات النظام والأرقام الخاصة بالجانب الأيمن من النظام مكتوبة في شكل مصفوفة. ها هي المصفوفة المعززة لهذا النظام.

لحل هذا النظام ، سنستخدم عمليات الصف الأولية (التي سنعرّفها قليلاً) لإعادة كتابة المصفوفة المعززة في شكل مثلث. ستكون المصفوفة في شكل مثلث إذا كانت جميع الإدخالات الموجودة أسفل القطر الرئيسي (القطر الذي يحتوي على (a_ <11> ) ، (a_ <22> ) ، ... ، (a_)) هي أصفار.

بمجرد القيام بذلك ، يمكننا أن نتذكر أن كل صف في المصفوفة المعززة يتوافق مع معادلة. سنقوم بعد ذلك بتحويل المصفوفة المعززة الجديدة إلى المعادلات وعند هذه النقطة سيصبح حل النظام أمرًا سهلاً للغاية.

قبل عمل مثال ، دعنا أولاً نحدد عمليات الصف الأولي. هناك ثلاثة منهم.

    تبادل صفين. هذا بالضبط ما تقوله. سنقوم بتبادل الصف (i ) مع الصف (ي ). الملاحظة التي سنستخدمها للدلالة على هذه العملية هي: ( يسار السهم )

من الأسهل دائمًا فهم هذه العمليات إذا رأيناها قيد التنفيذ. لذا ، دعونا نحل نظامين.

الخطوة الأولى هي كتابة المصفوفة المعززة لهذا النظام. لا تنس أن معاملات الحدود غير الموجودة هي صفر.

الآن ، نريد أن تكون المدخلات الموجودة أسفل القطر الرئيسي صفرًا. تم تلوين القطر الرئيسي باللون الأحمر حتى نتمكن من تتبعه خلال المثال الأول. لأسباب ستتضح في النهاية ، نفضل الحصول على إدخالات قطرية رئيسية لتكون جميعها كذلك.

يمكننا الحصول على واحد في أعلى نقطة من خلال ملاحظة أنه إذا قمنا بتبديل الصف الأول والثاني ، فسنحصل على واحد في أعلى مكان مجانًا. لذلك دعونا نفعل ذلك.

نحتاج الآن إلى جعل الإدخالين الأخيرين (-2 و 3) في العمود الأول صفرًا. يمكننا القيام بذلك باستخدام عملية الصف الثالث. لاحظ أنه إذا أخذنا 2 في الصف الأول وأضفناه إلى الصف الثاني ، فسنحصل على صفر في الإدخال الثاني في العمود الأول ، وإذا أخذنا -3 مرات الصف الأول إلى الصف الثالث ، فسنحصل على 3 إلى يكون صفرا. يمكننا إجراء هاتين العمليتين في نفس الوقت ، لذلك دعونا نفعل ذلك.

قبل الشروع في الخطوة التالية ، لنتأكد من اتباعك لما فعلناه للتو. دعونا نلقي نظرة على العملية الأولى التي أجريناها. تشير هذه العملية إلى مضاعفة الإدخال في الصف 1 في 2 وإضافة هذا إلى الإدخال المقابل في الصف 2 ثم استبدال الإدخال القديم في الصف 2 بهذا الإدخال الجديد. فيما يلي أربع عمليات فردية قمنا بها للقيام بذلك.

[يبدأ2 يسار (1 يمين) + يسار (<- 2> يمين) & = 0 2 يسار (2 يمين) + 1 & = 5 2 يسار (3 يمين) + يسار (<- 1> right) & = 5 2 left (<13> right) + 4 & = 30 end]

حسنًا ، الخطوة التالية اختيارية ، ولكن من الملائم القيام بها مرة أخرى. من الناحية الفنية ، لا بأس من الرحيل عن الرقم 5 في العمود الثاني. ومع ذلك ، فإنه سيجعل حياتنا أسهل على الطريق إذا كانت 1. يمكننا استخدام عملية الصف الثاني للعناية بهذا الأمر. يمكننا قسمة الصف بأكمله على 5. وبذلك ،

الخطوة التالية هي استخدام عملية الصف الثالث بعد ذلك لتحويل -6 في العمود الثاني إلى صفر.

الآن ، لقد انتهينا رسميًا ، ولكن مرة أخرى ، من الملائم إلى حد ما وضع كل العناصر على القطر الرئيسي ، لذا سنقوم بخطوة أخيرة.

يمكننا الآن العودة إلى المعادلات.

في هذه المرحلة يكون الحل سهلاً للغاية. نحصل على (x_ <3> ) مجانًا وبمجرد أن نحصل على ذلك يمكننا تعويض هذا في المعادلة الثانية والحصول على (x_ <2> ). يمكننا بعد ذلك استخدام المعادلة الأولى للحصول على (x_ <1> ). لاحظ أيضًا أن وجود 1 على طول القطر الرئيسي ساعد إلى حد ما في هذه العملية.

حل نظام المعادلة هذا هو

تسمى العملية المستخدمة في هذا المثال القضاء الغاوسي. دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

اكتب أولاً المصفوفة المعززة.

لن نضع الكثير من الكلمات في العمل في هذا المثال. هذا هو العمل لهذه المصفوفة المعززة.

لن نذهب أبعد من ذلك في هذا المثال. دعنا نعود إلى المعادلات لنرى لماذا.

يجب أن تسبب المعادلة الأخيرة بعض القلق. يوجد أحد الخيارات الثلاثة هنا. أولاً ، تمكنا بطريقة ما من إثبات أن 0 يساوي 8 ونحن نعلم أن هذا غير ممكن. ثانيًا ، لقد ارتكبنا خطأ ، ولكن بعد مراجعة عملنا لا يبدو أننا ارتكبنا خطأ.

هذا يترك الخيار الثالث. عندما نحصل على شيء مثل المعادلة الثالثة التي لا معنى لها ، فإننا نعلم على الفور أنه لا يوجد حل. بمعنى آخر ، لا توجد مجموعة من ثلاثة أرقام تجعل المعادلات الثلاثة صحيحة في نفس الوقت.

دعونا نعمل مثالا آخر. سنحصل على النظام لهذا المثال الجديد من خلال إجراء تغيير بسيط جدًا على النظام من المثال السابق.

لذا ، فإن الاختلاف الوحيد بين هذا النظام والنظام من المثال الثاني هو أننا غيرنا 1 على الجانب الأيمن من علامة المساواة في المعادلة الثالثة إلى a -7.

اكتب الآن المصفوفة المعززة لهذا النظام.

خطوات هذه المشكلة مماثلة لخطوات المشكلة الثانية ، لذا لن نكتبها جميعًا. عند تنفيذ نفس الخطوات نصل إلى المصفوفة التالية.

هذه المرة يتم تقليل المعادلة الأخيرة إلى

وعلى عكس المثال الثاني ، فهذه ليست مشكلة. الصفر يساوي الصفر في الحقيقة!

يمكننا التوقف هنا والعودة إلى المعادلات للحصول على حل وهناك حل في هذه الحالة. ومع ذلك ، إذا ذهبنا خطوة أخرى وحصلنا على صفر فوق الواحد في العمود الثاني وكذلك تحته ، فستكون حياتنا أبسط قليلاً. القيام بهذا يعطي ،

إذا عدنا الآن إلى المعادلة ، فسنحصل على المعادلتين التاليتين.

لدينا معادلتان وثلاثة مجاهيل. هذا يعني أنه يمكننا إيجاد اثنين من المتغيرات بدلالة المتغير المتبقي. نظرًا لأن (x_ <3> ) في كلا المعادلتين سنحلها من حيث ذلك.

ما يعنيه هذا الحل هو أنه يمكننا اختيار قيمة (x_ <3> ) لتكون أي شيء نريده ثم إيجاد قيم (x_ <1> ) و (x_ <2> ) . في هذه الحالات ، نكتب الحل عادةً على النحو التالي ،

بهذه الطريقة نحصل على عدد لا نهائي من الحلول ، واحد لكل قيمة (t ).

هذه الأمثلة الثلاثة تقودنا إلى حقيقة لطيفة حول أنظمة المعادلات.

بالنظر إلى نظام المعادلات ، ( eqref) ، سيكون لدينا أحد الاحتمالات الثلاثة لعدد الحلول.

قبل الانتقال إلى القسم التالي ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على موقف آخر. نظام المعادلات في ( eqref) يسمى نظامًا غير متجانس إذا كان واحدًا على الأقل من بأناs ليس صفرًا. إذا كان كل من (b_) هي صفر ، نسمي النظام متجانسًا وسيكون النظام ،

الآن ، لاحظ أنه في الحالة المتجانسة ، نضمن أن يكون لدينا الحل التالي.

غالبًا ما يُطلق على هذا الحل اسم حل تافه.

بالنسبة للأنظمة المتجانسة ، يمكن تعديل الحقيقة أعلاه إلى ما يلي.

بالنظر إلى نظام متجانس من المعادلات ، ( eqref) ، سيكون لدينا أحد الاحتمالين لعدد الحلول.

    حل واحد بالضبط ، الحل التافه

في الاحتمال الثاني ، يمكننا أن نقول حل غير صفري لأنه إذا كان هناك عدد لا نهائي من الحلول ونعلم أن أحدها هو الحل التافه ، فيجب أن يكون لكل الباقي واحد على الأقل من (x_) ليست صفرية ، وبالتالي نحصل على حل غير صفري.


المحاضرة 24: مقدمة في أنظمة الدرجة الأولى في المعاهد المفتوحة

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

المواضيع التي تمت تغطيتها: مقدمة لأنظمة الدرجة الأولى لحل ODE عن طريق الحذف ، التفسير الهندسي للنظام.

المدرب / المتحدث: البروفيسور آرثر ماتوك

المحاضرة 1: الهندسة.

المحاضرة 2: Euler's Numerica.

المحاضرة 3: حل First-or.

المحاضرة 4: الغواصات من الدرجة الأولى.

المحاضرة 5: First-order Auto.

المحاضرة 6: الأعداد المركبة.

المحاضرة 7: سطر من الدرجة الأولى.

المحاضرة 9: حل Second-o.

المحاضرة 10: متابعة: ج.

المحاضرة 11: Theory of Gener.

المحاضرة 12: المتابعة: ج.

المحاضرة 13: العثور على بارتيكو.

المحاضرة 14: تفسير.

المحاضرة 15: مقدمة عن.

المحاضرة 16: متابعة: م.

المحاضرة 17: العثور على بارتيكو.

المحاضرة 19: مقدمة عن.

المحاضرة 20: الصيغة المشتقة.

المحاضرة 21: Convolution For.

المحاضرة 22: استخدام لابلاس ت.

المحاضرة 23: استخدم مع Impuls.

المحاضرة 24: مقدمة عن.

المحاضرة 25: Linogeneous Lin.

المحاضرة 26: متابعة: ر.

المحاضرة 27: رسم Solut.

المحاضرة 28: طرق المصفوفة.

المحاضرة 29: أس المصفوفة.

المحاضرة 30: فصل الخط.

المحاضرة 31: تلقائي غير خطي.

المحاضرة 33: العلاقة بيننا.

بالنسبة لبقية المصطلح ، سنقوم بدراسة ليس فقط معادلة تفاضلية واحدة في كل مرة ، ولكن بدلاً من ذلك ما يسمى أنظمة المعادلات التفاضلية.

هذه مثل أنظمة المعادلات الخطية.

يجب حلها في وقت واحد ، بمعنى آخر ، ليس فقط واحدًا تلو الآخر.

إذن ، كيف يبدو النظام عند كتابته؟

حسنًا ، نظرًا لأننا سنتحدث عن أنظمة المعادلات التفاضلية العادية ، فسيظل هناك متغير مستقل واحد فقط ، ولكن سيكون هناك العديد من المتغيرات التابعة. سوف أتصل ، دعنا نقول اثنين. ستكون المتغيرات التابعة ، وسأسميها x و y ، ثم نظام الترتيب الأول ، وهو شيء يتضمن المشتقات الأولى فقط ، سيبدو هكذا. في الطرف الأيسر سيكون x شرطة ، أي بعبارة أخرى. على الجانب الأيمن ستكون المتغيرات التابعة ثم المتغيرات المستقلة أيضًا.

سأشير إلى أنني سأفصل كل شيء عن الآخرين بوضع فاصلة منقوطة هناك.

وبنفس الطريقة فإن y شرطة ، مشتقة y بالنسبة إلى t ، ستكون دالة أخرى لـ (x ، y) و t. دعنا نكتب بوضوح أن x و y متغيران تابعان.

وما يعتمدون عليه هو المتغير المستقل t ، الوقت. نظام مثل هذا سوف يطلق عليه من الدرجة الأولى. وسنتفكر بشكل أساسي في أنظمة الدرجة الأولى فقط لسبب سري سأوضحه في نهاية الفترة.

هذا نظام من الدرجة الأولى ، مما يعني أن النوع الوحيد من المشتقات الموجودة هنا هو المشتقات الأولى.

إذن ، x شرطة تساوي dx على dt وهكذا.

الآن ، لا يزال هناك المزيد من المصطلحات.

بالطبع ، جميع المعادلات تقريبًا بعد بدء المصطلح ، تقريبًا جميع المعادلات التي درسناها هي معادلات خطية ، لذلك يجب أن يكون صحيحًا أن الأنظمة الخطية هي الأفضل.

وهم بالتأكيد كذلك يا فتى. متى سنسمي نظامًا خطيًا؟ أعتقد أنه في البداية يجب أن تتعلم القليل من المصطلحات قبل أن نبدأ ونحاول بالفعل البدء في حل هذه الأشياء.

حسنًا ، x و y ، يجب أن تحدث المتغيرات التابعة خطيًا. بعبارة أخرى ، يجب أن تبدو هكذا ، ax plus by.

الآن ، يمكن أن يكون t في حالة من الفوضى. ولذا سأضيف دالة إضافية لـ t هناك. وستكون y شرطة مجموعة خطية أخرى من x و y ، بالإضافة إلى دالة فوضوية أخرى لـ t. ولكن حتى الأحرف a و b و c و d يُسمح لها أن تكون وظائف t.

يمكن أن تكون واحدة على تكعيب أو شرط أو شيء من هذا القبيل. لذلك علي أن أميز تلك الحالات. الحالة التي تكون فيها a و b و c و d ثوابت ، سأسميها - حسنًا ، هناك أشياء مختلفة يمكنك تسميتها.

سوف نسميها ببساطة نظام معامل ثابت.

من المحتمل أن يكون النظام الذي يحتوي على معاملات أفضل للغة الإنجليزية. من ناحية أخرى ، أ ، ب ، ج ، د ، سيظل هذا النظام يسمى خطيًا إذا كانت هذه وظائف لـ t.

يمكن أن تكون أيضًا وظائف t.

لذلك سيكون نظامًا خطيًا جيدًا أن يكون x شرطة يساوي tx زائد جيب t في y زائد e أس ناقص t تربيع.

لن ترى شيئًا كهذا أبدًا ولكن لا بأس.

ماذا تريد ان تعرف ايضا؟ حسنًا ، ماذا سيكون النظام المتجانس؟ النظام المتجانس واحد بدون هؤلاء الرجال الإضافيين. هذا لا يعني عدم وجود ر فيه. يمكن أن يكون هناك t في a و b و c و d ، لكن لا يجب أن تحدث هذه المصطلحات التي لا تحتوي على x و y. لذلك ، خطي متجانس.

وهذا هو النوع الذي سنبدأ دراسته أولاً بنفس الطريقة عندما درسنا معادلات الرتبة الأعلى.

درسنا أول متجانسة. كان عليك أن تعرف كيفية حلها أولاً ، وبعد ذلك يمكنك تعلم كيفية حل النوع الأكثر عمومية. يعني الخطي المتجانس أن r1 يساوي صفرًا و r2 يساوي صفرًا في جميع الأوقات.

هم متطابقة الصفر. هم ليسوا هناك.

أنت لا تراهم. هل تركت أي شيء؟

نعم ، الشروط الأولية. نظرًا لأن هذا عام تمامًا ، فلنتحدث عن الشكل الذي ستبدو عليه الشروط الأولية؟

حسنًا ، بشكل عام ، السبب في أن لديك شروطًا أولية هو الحصول على قيم الثوابت التعسفية التي تظهر في الحل.

السؤال هو كم عدد الثوابت التعسفية التي ستظهر في حلول هذه المعادلات؟

حسنًا ، سأعطيك الجواب فقط.

اثنين. عدد الثوابت التعسفية التي تظهر هو الترتيب الإجمالي للنظام.

على سبيل المثال ، إذا كان هذا مشتقًا ثانيًا وكان هذا مشتقًا أولًا ، أتوقع ثلاثة ثوابت عشوائية في النظام - لأن المجموع ، مجموع اثنين وواحد يساوي ثلاثة. لذلك يجب أن يكون لديك العديد من الشروط الأولية مثل الثوابت العشوائية في الحل. وهذا ، بالطبع ، يفسر عندما درسنا معادلات من الدرجة الثانية ، كان يجب أن يكون لدينا شرطان أوليان.

كان علي تحديد نقطة البداية والسرعة الابتدائية.والسبب في وجود شرطين هو أن الحل العام يحتوي على ثابتين اعتباطيتين. يحدث الشيء نفسه هنا ولكن الإجابة هي أنه طبيعي أكثر ، والظروف هنا طبيعية أكثر. لست مضطرًا لتحديد السرعة. لما لا؟

حسنًا ، لأن الشرط الأولي ، بالطبع ، يريدني أن أقول ما هي القيمة الأولية لـ x ، أي رقم ما ، وسيريد أيضًا معرفة قيمة البداية لـ y عند نفس النقطة.

حسنًا ، هناك شرطان لدي.

وبما أن هذا سيحتوي على ثابتين تعسفيتين ، فإن هذه الشروط الأولية هي التي ستُرضي ، يجب اختيار الثوابت التعسفية لتلبية تلك الشروط الأولية.

بمعنى ما ، فإن إعطاء الشروط الأولية لنظام ما هو نشاط طبيعي أكثر من إعطاء الشروط الأولية لنظام الترتيب الثاني.

ليس عليك أن تكون أقل الساطور حول هذا الموضوع.

يمكن لأي شخص أن يعطي هذين الرقمين.

في حين أن شخصًا ما يواجه نظامًا من الدرجة الثانية قد يخدش رأسه. وفي الواقع ، هناك أنواع أخرى من الشروط.

هناك شروط حدية تعلمتها قليلاً بدلاً من الشروط الأولية لمعادلة من الدرجة الثانية.

لا يمكنني التفكير في أي مصطلحات أكثر عمومية ، لذلك يبدو أننا سنضطر بالفعل إلى العمل.

حسنًا ، لنبدأ العمل. أريد إنشاء نظام وحلها. وبما أنه من المفترض أن يكون أحد الأشياء في هذه الدورة هو النمذجة البسيطة ، فيجب أن يكون نظامًا يصمم شيئًا ما.

بشكل عام ، أنواع النماذج التي سنستخدمها عندما ندرس الأنظمة هي نفسها التي استخدمناها في دراسة المعادلات من الدرجة الأولى فقط. الخلط ، الاضمحلال الإشعاعي ، درجة الحرارة ، حركة درجة الحرارة.

بعبارة أخرى ، الحرارة والتوصيل الحراري.

تعريف. لقد أعطيتك مشكلة نشر لأولى واجبك المنزلي حول هذا الموضوع.

ماذا فعلنا ايضا؟ هذا كل ما يمكنني التفكير فيه في الوقت الحالي ، لكنني متأكد من أنها ستحدث لي.

متى ، من بين تلك الأفكار المادية ، هل سنحصل على نظام؟ الجواب ، كلما كان هناك شيئان لم يكن هناك سوى واحد من قبل. على سبيل المثال ، إذا كنت قد اختلطت مع خزانين حيث يذهب السائل هكذا.

لنفترض أنك تريد أن يكون لديك خزان كبير وخزان صغير هنا وتريد وضع بعض الأشياء في الخزان الصغير حتى تختلط في الخزان الكبير دون الحاجة إلى تسلق سلم كبير والتوقف وإسقاط الأشياء فيه. سيتطلب خزانين ، تركيز المادة في كل خزان ، وبالتالي ، سيتطلب نظام معادلات بدلاً من نظام واحد فقط. أو ، لإعطاء شيء أقرب إلى المنزل ، أقرب إلى هذه اللوحة الخلفية ، على أي حال ، افترض أن لديك داه ، داه ، داه ، لا تأوه ، على الأقل بشكل غير مسموع ، شيء يشبه ذلك. وبجانبه ضع EMF هناك. هذا فقط من الدرجة الأولى.

هذا يؤدي فقط إلى معادلة واحدة من الدرجة الأولى.

لكن افترض أنها دائرة ذات حلقتين.

الآن أنا بحاجة إلى زوج من المعادلات. تعطي كل حلقة من هذه الحلقات معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ، ولكن يجب حلها في وقت واحد للعثور على التيار أو الشحنات على المكثفات. وإذا أردت نظامًا من ثلاث معادلات ، فقم بإدخال حلقة أخرى.

الآن ، لنفترض أنني وضعت ملفًا بدلاً من ذلك.

إلى ماذا سيؤدي هذا؟ سيعطيني هذا نظامًا من ثلاث معادلات سيكون هذا من الدرجة الأولى ، من الدرجة الأولى. وستكون هذه المرتبة الثانية لأنها تحتوي على ملف. أنت على وشك ذلك ، أليس كذلك؟ لديك لفائف ، محاثة؟ جيد.

لذا فإن الأمر برمته سيُعتبر من الدرجة الأولى ، الدرجة الأولى ، المرتبة الثانية.

لمعرفة مدى تعقيد الأمر ، عليك إضافة الطلبات. هذا واحد وواحد واثنان. هذه حقًا أشياء من الدرجة الرابعة نتحدث عنها هنا.

يمكننا أن نتوقع أن تكون معقدة بعض الشيء.

حسنًا ، لنأخذ الآن مشكلة صغيرة متواضعة.

سأعود إلى مشكلة درسناها سابقًا في مشكلة التوصيل الحراري. لقد نسيت ما إذا كان الأمر يتعلق بمجموعة المشكلات أم أنني قمت بذلك في الفصل ، لكنني أختارها لأنها تؤدي إلى شيء يمكننا حله.

ولأنه يوضح كيفية إضافة القليل من التطور إلى شيء لم يكن متطورًا من قبل.

قدر من الماء. درجة الحرارة الخارجية تي.

أنا أتحدث عن درجة حرارة شيء ما. وما أتحدث عنه هو درجة حرارة بيضة تُطهى بالداخل ولكن مع اختلاف. هذه البيضة ليست متجانسة من الداخل. بدلاً من ذلك ، تحتوي على أبيض ولها صفار في المنتصف. بمعنى آخر ، إنها بيضة حقيقية وليست بيضة زائفة.

هذا قدر صغير ، أو بيضة نعام.

[ضحك] هذا هو النير. يتم احتواء الصفار في غشاء صغير بالداخل. وهناك القليل من الأشياء المقززة التي تجعلها في مكانها. وسوف نجعل درجة حرارة الصفار ، إذا كان بإمكانك أن ترى في الجزء الخلفي من الغرفة ، أن تكون T1. هذه هي درجة حرارة الصفار. درجة حرارة اللون الأبيض ، والتي سنفترض أنها موحدة ، ستكون T2.

أوه ، هذا هو الحمام المائي. درجة حرارة اللون الأبيض هي T2 ، ثم درجة حرارة الحمام المائي الخارجي.

بمعنى آخر ، السبب في إدخال متغيرين بدلاً من متغير واحد فقط لدرجة الحرارة الكلية للبيضة التي لدينا هو أن بياض البيض عبارة عن بروتين سائل نقي ، أكثر أو أقل ، و T1 ، يحتوي صفار البيض على الكثير من الدهون و الكوليسترول وأشياء أخرى مثل تلك التي من المفترض أن تكون ضارة بالصحة. من المؤكد أن لديها إجراء مختلف. إنه سائل ، في البداية بأي معدل ، لكنه بالتأكيد له ثوابت توصيل مختلفة عن بياض البيض.

وستكون حالة الحرارة عبر قشرة البيضة مختلفة عن توصيل الحرارة عبر الغشاء الذي يحافظ على تماسك النير.

لذلك فمن المعقول أن نأخذ في الاعتبار أن البياض والصفار سيكونان في درجات حرارة مختلفة وسيكون لهما خصائص توصيل مختلفة.

سأستخدم قوانين نيوتن لكن مع هذا الصقل الإضافي. بمعنى آخر ، إدخال درجتي حرارة. بينما ، قبل ذلك كان لدينا درجة حرارة واحدة فقط. لكن دعونا نستخدم قانون نيوتن.

دعونا نرى. السؤال هو كيف تختلف درجة حرارة الصفار T1 مع مرور الوقت؟

حسنًا ، الصفار يحصل على كل حرارته من البياض.

لذلك ، فإن قانون نيوتن للتوصيل سيكون ثابتًا من الموصلية للأزمنة الصفار T2 ناقص T1.

لا يعرف الصفار شيئًا عن درجة الحرارة الخارجية للحمام المائي. إنه محاط بالكامل ومريح وآمن داخل نفسه. لكن ماذا عن درجة حرارة بياض البيض؟ يحصل هذا على حرارة وتصدر حرارة لمصدرين ، من المياه الخارجية وأيضًا من الداخل من الصفار.

لذلك عليك أن تأخذ كلا الأمرين في الاعتبار.

بتوصيلها للحرارة عبر هذا الغشاء ، سنستخدم نفس a ، والتي ستكون مضروبة في T1 ناقص T2. تذكر أن الترتيب الذي يجب أن تكتب به يخضع للصفار من الخارج إلى الأبيض. لذلك ، يجب أن يأتي ذلك أولاً عندما أكتبه حتى يكون a ثابتًا موجبًا.

لكنها تحصل أيضًا على حرارة من الحمام المائي.

ومن المفترض أن الموصلية عبر الغلاف تختلف عما هي عليه من خلال هذا الغشاء حول الصفار. لذا سأسمي ذلك بثابت مختلف. هذا هو الموصلية من خلال الغلاف إلى الأبيض.

وهذا سيكون T ، درجة الحرارة الخارجية مطروحًا منها درجة حرارة بياض البيض.

لدي هنا نظام معادلات لأنني أريد عمل متغيرين تابعين من خلال تحسين المشكلة الأصلية.

الآن ، عليك دائمًا كتابة نظام في شكل قياسي لحلها. سترى أن الجانب الأيسر سيعطي المتغيرات التابعة بترتيب معين.

في هذه الحالة ، درجة حرارة الصفار ثم درجة حرارة البياض.

القانون هو أنه من أجل عدم ارتكاب الأخطاء - وهو مصدر متكرر جدًا للخطأ ، لذا تعلم من البداية عدم القيام بذلك. يجب أن تكتب المتغيرات على الجانب الأيمن بنفس الترتيب من اليسار إلى اليمين حيث تحدث من أعلى إلى أسفل هنا. بعبارة أخرى ، هذه ليست طريقة جيدة لترك ذلك.

هذه هي المحاولة الأولى لكتابة هذا النظام ، لكن النسخة النهائية يجب أن تكون هكذا.

T1 prime ، لن أزعج كتابة dT / dt ، يساوي - يجب أن يأتي T1 أولاً ، لذا ناقص a في T1 زائد a في T2.

ونفس القانون الثاني.

يجب أن يأتي بنفس الترتيب. الآن ، معامل T1 ، هذا سهل. هذا وقت T1.

معامل T2 هو ناقص a ناقص b ، لذلك ناقص (a زائد b) مضروبًا في T2.

لكني لم أنتهي بعد. لا تزال هناك درجة الحرارة الخارجية التي يجب أن أضعها في المعادلة.

الآن ، هذا ليس متغيرًا. هذه بعض الوظائف المعطاة لـ t. وتعتمد وظيفة t ، بالطبع ، على ماهية المشكلة.

لذلك ، على سبيل المثال ، ما قد يكون بعض الاحتمالات ، حسنًا ، لنفترض أن المشكلة هي أنني أردت تدليل البيضة. أعتقد أن هناك فجوة بين الأجيال هنا. كم منكم يعرف ما هي البيضة المدللة؟ كم منكم لا يعرف؟

حسنًا ، أنا فقط أقول إن ابنتي لم تعرف.

لقد ذكرتها لها. قلت أعتقد أنني سأقوم بعمل بيضة مدللة غدًا في الفصل. فقالت ما هذا؟

وهكذا قلت بيضة محتضنة؟ قالت لماذا يحتضن أحدهم بيضة؟ قلت دلل.

وقالت ، أوه ، أنت تقصد مثل شخص ، مثل ما تفعله لشخص تحبه أو لا تحبه أو لا أعرفه. ما من أي وقت مضى.

فكرت قليلاً وقلت ، نعم ، أكثر من هذا القبيل.

[ضحك] على أي حال ، من أجل إثراء مهاراتك في الطهي ، لتدليل بيضة ، فإنه يعتبر منتجًا أفضل جودة من سلق بيضة. هذا هو سبب قيام الناس بذلك.

تسخن الماء حتى الغليان ، يجب أن تكون البيضة في درجة حرارة الغرفة ، ثم تخفض البيضة في الماء بحذر. وتقوم بإطفاء الحرارة حتى يبرد حمام الماء بشكل كبير بينما ترتفع درجة حرارة البيضة بالداخل. وبعد ذلك تنتظر أربع دقائق أو ست دقائق أو أي شيء وتخرجه.

لديك بيضة مثالية. إذن ، بالنسبة إلى الترميز ، تهجئة ، ماذا ستكون درجة الحرارة الخارجية؟

حسنًا ، يبدأ في الوقت صفر عند 100 درجة مئوية لأنه من المفترض أن الماء يغلي.

سبب غليانه هو المعايرة حتى تتمكن من معرفة درجة الحرارة دون الحاجة إلى استخدام مقياس حرارة ، إلا إذا كنت في قمة بايك أو في مكان ما.

يبدأ عند 100 درجة. وبعد ذلك ، بما أن الضوء مطفأ ، فإنه يبرد بشكل أسي لأن هذا قانون آخر. ما عليك سوى معرفة ما هو K للوعاء الخاص بك وستكون قادرًا على حل مشكلة البيض المدلل. بمعنى آخر ، ستتمكن بعد ذلك من حل هذه المعادلات ومعرفة كيفية ارتفاع درجة الحرارة. سأحل مشكلة مختلفة لأنني لا أريد أن أضطر للتعامل مع هذا المصطلح غير المتجانس. لنستخدم ، كمشكلة مختلفة ، شخصًا يطبخ بيضة. يبرمج البيضة في العملية الأولى ، ويقرر أن البيضة قد نضجت ، دعنا نقول مسلوقة ، ومن ثم من المفترض أن تسقط بيضة مسلوقة في الماء البارد. ليس فقط لتبريده ولكن أيضًا لأنني أعتقد أنه يمنع هذا الشيء المظلم من التكون الذي يبدو غير جذاب نوعًا ما. دعونا الاستحمام بالجليد.

السبب الوحيد لإسقاط البيضة في حمام جليدي هو الحصول على معادلة متجانسة لحلها.

وبما أن هذا هو النظام الأول الذي سنحله ، فلنجعل الحياة سهلة على أنفسنا.

الآن ، كل عملي في إعداد هذا المثال ، والذي استغرق وقتًا أطول بكثير من حل المشكلة فعليًا ، كان في اختيار القيم لـ a و b التي تجعل كل شيء يبدو جيدًا. إنه أصعب مما يبدو.

القيم التي سنستخدمها ، والتي ليس لها معنى مادي على الإطلاق ، لكن أ يساوي 2 و ب يساوي 3. هذه تسمى أرقامًا لطيفة.

ما هي المعادلة؟ ما هو النظام؟

هل يمكن لأحد أن يقرأها لي؟

إنه T1 أولي يساوي ناقص 2T1 زائد 2T2.

أعتقد أن هذا هو 2T1. والآخر ناقص a زائد b ، أي ناقص 5.

هذا نظام. الآن ، سأعلمك يوم الأربعاء طريقة رائعة لحل هذا. ولكن ، لكي أكون صادقًا ، فإن الطريقة الفاخرة ستستغرق تقريبًا المدة التي سأفعلها بها الآن. السبب الرئيسي لفعل ذلك هو أنه يقدم مفردات جديدة يريدها الجميع. وأيضًا ، هناك أسباب أكثر أهمية ، فهي تعطي نظرة ثاقبة للحل أكثر من هذه الطريقة. تنتج هذه الطريقة الإجابة فقط ، لكنك تريد أيضًا الحصول على نظرة ثاقبة.

وهذا بنفس القدر من الأهمية. ولكن في الوقت الحالي ، دعنا نستخدم طريقة تعمل دائمًا والتي ستظل متاحة لك بعد 40 عامًا ، بعد أن نسيت جميع الأساليب الفاخرة الأخرى ، لأنها طريقة يمكنك اكتشافها بنفسك. ليس عليك تذكر أي شيء. الطريقة هي التخلص من أحد المتغيرات التابعة. إنها فقط الطريقة التي تحل بها أنظمة المعادلات الخطية بشكل عام إذا كنت لا تفعل شيئًا رائعًا مع المحددات والمصفوفات.

إذا قمت بحذف المتغيرات فقط.

سنقوم بحذف أحد هذه المتغيرات.

دعونا نتخلص من T2. يمكنك أيضًا التخلص من T1.

الشيء الرئيسي هو القضاء على واحد منهم ، لذلك سيكون لديك واحد فقط للعمل معه. كيف يمكنني التخلص من T2؟

معذرة؟ هل هناك خطأ؟

إذا اعتقد شخص ما أن هناك خطأ ما ، ارفع يده.

لماذا أريد التخلص من T1؟ حسنًا ، يمكنني إضافتهم.

لكن في الطرف الأيسر ، سيكون لدي T1 شرطة زائد T2 شرطة. ما فائدة ذلك؟

[ضحك] أعتقد أنك سترغب في القيام بذلك على طريقي.

[تصفيق] حل ل T2 من حيث T1. هذا سيكون T1 شرطة زائد 2T1 مقسومًا على 2.

الآن ، خذ هذا واستبدله في المعادلة الثانية.

أينما ترى T2 ، ضع ذلك ، وما يتبقى لك هو شيء في T1 فقط.

لأكون صادقًا ، لا أعرف أي طريقة جيدة أخرى للقيام بذلك. هناك طريقة رائعة أعتقد أن الحديث عنها في كتابك ، يؤدي إلى حلول غريبة وما إلى ذلك ، لكنك لا تريد أن تعرف عن ذلك. سينجح هذا دائمًا في معادلة خطية بسيطة ذات معاملات ثابتة. استبدل في.

ماذا أفعل؟ الآن ، هنا لا أنصح بذلك عقليًا. من السهل جدًا ارتكاب الخطأ. هنا ، سأفعل ذلك بعناية ، أكتب كل شيء كما تريد.

T1 رئيس زائد 2T1 على 2 ، شرطة ، يساوي 2T1 ناقص 5 مرات T1 شرطة زائد 2T1 على اثنين.

أخذت ذلك واستبدلت به في هذه المعادلة. الآن ، أنا لا أحب هذين.

دعونا نتخلص منها عن طريق الضرب.

والآن اكتب هذا. ما هذا عندما تنظر إليه؟ هذه معادلة فقط في T1.

لها معاملات ثابتة. وما هو ترتيبها؟

ترتيبها اثنان لأن T1 معدة.

بعبارة أخرى ، يمكنني حذف T2 حسنًا ، لكن المعادلة التي سأحصل عليها لم تعد من الدرجة الأولى.

تصبح معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية.

وهذا قانون أساسي. حتى إذا كان لديك نظام يحتوي على معادلات أكثر ، ثلاثة أو أربعة أو أيًا كان ، فإن القانون هو أنه بعد إجراء الحذف بنجاح وتنتهي بمعادلة واحدة ، عادةً ما يكون ترتيب تلك المعادلة هو مجموع أوامر الأشياء التي بدأت بها. لذلك ستنتج دائمًا معادلتان من الدرجة الأولى معادلة من الدرجة الثانية في متغير تابع واحد فقط ، وستنتج ثلاثة معادلة من الدرجة الثالثة وهكذا. لذا فأنت تستبدل أحد التعقيدات بآخر. أنت تتداول في تعقيد الاضطرار إلى التعامل مع معادلتين في وقت واحد بدلاً من واحدة فقط بسبب تعقيد الاضطرار إلى التعامل مع معادلة واحدة ذات ترتيب أعلى والتي يصعب حلها.

إنها مثل كل المسائل الرياضية.

ما لم تكن محظوظًا جدًا ، إذا قمت بدفعهم لأسفل بطريقة واحدة ، فهم بسيطون حقًا الآن ، يطفو على السطح في مكان آخر. تقول ، أوه ، لم أحفظ أي شيء بعد كل شيء.

هذا هو قانون الحفاظ على الصعوبة الرياضية.

[ضحك] لقد رأيت ذلك حتى مع تحويل لابلاس.

في البداية يبدو الأمر رائعًا ، لقد حصلت على هذه الجداول ، خذ المعادلة ، حلها صعب.

خذ بعض التحويل ، تافهًا لإيجاد رأس المال Y.

الآن يجب أن أجد تحويل لابلاس المعكوس.

وفجأة كل العمل موجود ، كسور جزئية ، صيغ مضحكة وما إلى ذلك. من الصعب جدًا في الرياضيات الإفلات من شيء ما. يحدث ذلك بين الحين والآخر ويهتف الجميع. لنكتب هذا الآن بالصيغة التي تبدو بها معادلة يمكننا حلها بالفعل.

فقط كن حذرا. الآن من الجيد استخدام الطريقة التي تجمع بها المصطلحات.

يوجد حد واحد فقط يتضمن T1 شرطتين.

إنه الذي يأتي من هنا.

ماذا عن الشروط في T1 Prime؟

هناك 2. هنا ، هناك ناقص 5 T1 رئيس الوزراء. إذا وضعته على الجانب الآخر ، سنحصل على زائد 5 T1 شرطة زائد هذين العددين يساوي 7 T1 شرطة.

وكم عدد T1 هناك؟ حسنًا ، لا شيء على الجانب الأيسر. في الطرف الأيمن ، لدينا 4 ناقص 10. 4 ناقص 10 يساوي سالب 6.

نضع سالب 6 T1 على الجانب الأيسر بالطريقة التي نريد أن نحققها هي زائد 6 T1.

لا توجد مصطلحات غير متجانسة ، لذا فإن هذا يساوي صفرًا.

إذا حصلت على رقم سالب لأحد هذه المعاملات ، فسأعرف على الفور ما إذا كنت قد ارتكبت خطأ. لماذا ا؟

لماذا يجب أن تكون هذه الأرقام إيجابية؟

ذلك لأن النظام يجب أن يكون مستقرًا وملئًا بكلمة واحدة.

ولماذا يجب أن يكون هذا النظام مستقرا؟

بعبارة أخرى ، يجب أن تكون الحلول طويلة المدى صفرًا ، ويجب أن تذهب جميعها إلى الصفر ، مهما كانت.

لماذا هذا؟ حسنًا ، لأنك تضع البيضة في حمام جليدي. أو ، لأننا نعلم أنها كانت حية ولكن بعد أن تُسلق ، فإنها ميتة ، وبالتالي فإن الأنظمة الميتة مستقرة.

هذا ليس سببًا جيدًا ولكنه ، إذا جاز التعبير ، السبب الحقيقي. من الواضح على أي حال أن جميع الحلول يجب أن تميل إلى الصفر ماديًا.

هذا واضح. وبالتالي ، يجب أن يكون للمعادلة التفاضلية نفس الخاصية ، وهذا يعني أن معاملاتها يجب أن تكون موجبة.

يجب أن تكون جميع معاملاتها موجبة.

إذا لم يكن هذا موجودًا ، فسوف أحصل على حلول متذبذبة ، والتي لن تذهب إلى الصفر.

هذا أمر مستحيل جسديا لهذه البيضة.

الآن الباقي هو مجرد حل. المعادلة المميزة ، إذا كنت تستطيع تذكر الطريق ، إلى الوراء في عصور ما قبل التاريخ عندما كنا نحل هذه المعادلات ، هي هذه.

وما تريد القيام به هو عامل ذلك.

هذا هو المكان الذي كان فيه كل العمل ، الحصول على هذه الأرقام حتى يؤثر ذلك. إذن ، r زائد 1 في r زائد 6 والحلول هي ، الجذور هي r يساوي سالب 1. أنا فقط أرسم علامات على السبورة ، لكنك فعلت ذلك كثيرًا ، فأنت تعلم ما أتحدث عنه.

إذن ، الجذور المميزة هي هذين الرقمين.

وبالتالي ، الحل هو أنه يمكنني الكتابة فورًا باستخدام ثابتها التعسفي مثل c1 في e أس سالب t زائد c2 في e أس سالب 6t. الآن ، يجب أن أحصل على T2.

القلق الأول هنا هو أن T2 سوف يعطيني ثابتين تعسفيتين إضافيتين. من الأفضل ألا.

لا يُسمح للنظام إلا بوجود ثابتين اعتباطيتين في حله لأن هذه هي الشروط الأولية التي نوفرها له.بالمناسبة ، لقد نسيت أن أعطي الشروط الأولية. دعونا نعطي الشروط الأولية.

لنفترض أن درجة الحرارة الأولية للصفار ، عند وضعها في الحمام الجليدي ، هي 40 درجة مئوية ، سلزيوس. و T2 ، دعنا نقول أن البياض يجب أن يكون أكثر سخونة بقليل من صفار البيض يكون دائمًا أبرد من البياض بالنسبة لبيضة مسلوقة ، لا أعرف ، أو بيضة مسلوقة إذا لم يتم تبريدها لفترة طويلة.

دعونا نجعل هذا 45. أرقام واقعية.

الآن ، الشيء الذي لا يجب فعله هو القول ، مرحبًا ، لقد وجدت T1.

حسنًا ، سأجد T2 بنفس الإجراء.

سوف أتناول كل شيء.

سوف أقضي على T1 بدلاً من ذلك. ثم سأنتهي بمعادلة T2 وسأحلها وأحصل على T2 يساوي بلاه ، بلاه ، بلاه. هذا ليس جيدًا ، أ ، لأنك تعمل بجد و ، ب ، لأنك ستحصل على ثابتين تعسفيتين إضافيتين لا علاقة لهما بهذين الاثنين. وهذا ليس جيدا

لأن الحل الصحيح يحتوي فقط على ثابتين.

ليس أربعة. لذلك هذا الإجراء خاطئ.

يجب أن تحسب T2 من T1 الذي وجدته ، وهذه هي المعادلة التي تقوم بذلك.

هذا هو ما يجب أن يكون لدينا. أين الطباشير؟

نعم فعلا. ربما يمكنني الحصول على شيء صغير حتى أتمكن من حمله معي.

هذه هي العلاقة بين T2 و T1.

أو ، إذا لم تعجبك ، فإن أيًا من هاتين المعادلتين ستعبر عن T2 من حيث T1 نيابة عنك.

لا يهم. أيًا كان ما تستخدمه ، مهما فعلت ، فهذه هي الطريقة التي يجب أن تحسب بها T2. إذا ما هو؟

يتم حساب T2 من هذا المربع الوردي.

إنه نصف T1 Prime زائد T1.

الآن ، إذا أخذت مشتقة هذا ، فسأحصل على سالب c1 مضروبًا في الأسي. المعامل ناقص c1 ، خذ نصف ذلك ، أي ناقص نصف c1 وأضفه إلى T1. ناقص نصف نصف c1 زائد c1 يعطيني نصف c1.

وهنا نأخذ المشتقة ، وهي سالب 6 c2.

خذ نصف ذلك ، ناقص 3 c2 وأضف c2 إليه ، ناقص 3 زائد 1 يساوي سالب 2.

هذا هو T2. ولاحظ أنه يستخدم نفس الثوابت التعسفية التي يستخدمها T1.

لذلك انتهى بنا الأمر إلى اثنين فقط لأننا حسبنا T2 من تلك الصيغة أو من المعادلة التي تكافئها ، وليس من الصفر. لم نضع الشروط الأولية بعد ، لكن من السهل القيام بذلك.

الجميع ، عند العمل مع الأسي ، بالطبع ، تريد دائمًا أن تكون الشروط الأولية عندما تكون T مساوية للصفر لأن هذا يجعل كل الأسي واحدًا ولا داعي للقلق بشأنها.

لكن هذا كما تعلم. إذا وضعت الشروط الأولية ، في الوقت صفر ، فإن T1 لها القيمة 40.

إذن ، 40 يجب أن يساوي c1 + c2.

والمعادلة الأخرى تقول إن 45 يساوي نصف c1 ناقص 2 c2. الآن من المفترض أن نحل هذه. حسنًا ، هذا يسمى حل المعادلات الخطية الآنية. يمكننا استخدام قاعدة كرامر ، المصفوفات المعكوسة ، لكن لماذا لا نحذفها فقط. دعني أرى.

إذا ضربت في 45 ، ثم اضربت في اثنين ، فستحصل على 90 يساوي c1 ناقص 4 c2.

ثم اطرح هذا الرجل من ذلك الرجل.

إذن ، 40 مأخوذ من 90 يساوي 50. و c1 مأخوذة من c1 ، لأنني ضربت في اثنين ، نحصل على صفر.

و c2 مأخوذ من سالب 4 c2 ، وهذا يجعل ناقص 5 c2 ، على ما أعتقد.

يبدو أنني أحصل على c2 يساوي سالب 10.

وإذا كانت c2 تساوي سالب 10 ، فلا بد أن c1 تساوي 50.

هناك طريقتان للتحقق من الإجابة.

الأول هو أن نعوض به في المعادلات ، والآخر هو الوصول إلى الذروة. نعم هذا صحيح.

[ضحك] الإجابة النهائية ، بعبارة أخرى ، تضع 50 هنا ، و 25 هناك ، وسالب 10 هنا ، وموجب 20 هناك. هذا يعطي الجواب على المشكلة. يخبرك ، بمعنى آخر ، كيف تختلف درجة حرارة الصفار مع مرور الوقت وكيف تختلف درجة حرارة اللون الأبيض مع مرور الوقت. كما قلت ، سوف نتعلم طريقة رائعة لحل هذه المشكلة ، أو على الأقل طريقة مختلفة تمامًا لحل نفس المشكلة في المرة القادمة ، لكن دعونا نضع ذلك على الجليد في الوقت الحالي.

وبدلاً من ذلك ، أود قضاء بقية الفترة في القيام بأنظمة الترتيب الأول بنفس الشيء الذي فعلته من أجلك في اليوم الأول من الفصل الدراسي.

تذكر ، لقد سارعت بافتراض أنك تعرف كيفية فصل المتغيرات في اليوم الأول من المصطلح ، ولم أتحدث معك عن كيفية حل المعادلات الأكثر رواجًا بطرق أفضل.

بدلاً من ذلك ، تحدثت إليكم عن الأهمية الهندسية ، وما المعنى الهندسي لمعادلة من الدرجة الأولى ، وكيف أن هذا المعنى الهندسي مكنك من حلها عدديًا. وقد أمضينا بعض الوقت في العمل على حل مثل هذه المشكلات لأنه في الوقت الحاضر مع أجهزة الكمبيوتر من المهم حقًا أن تشعر بما تعنيه هذه الأشياء بدلاً من مجرد خوارزميات لحلها.

كما قلت ، من المرجح أن يتم حل معظم المعادلات التفاضلية ، خاصة الأنظمة ، بواسطة الكمبيوتر على أي حال.

يجب أن تكون العبقري المرشد الذي يفسر الإجابات ويمكن أن ترى متى يتم ارتكاب الأخطاء ، أشياء من هذا القبيل. المشكلة إذن ما معنى هذا النظام؟

حسنًا ، لن تحصل على أي مكان لتفسيره هندسيًا ، إلا إذا تخلصت من حرف t على الجانب الأيمن. والطريقة الوحيدة للتخلص من حرف t هي إعلان عدم وجودها.

لذلك أعلن بموجب هذا أنني سأفكر فقط ، لبقية الفترة ، وهي عشر دقائق فقط ، في الأنظمة التي لا تظهر فيها صراحةً على الجانب الأيمن. لأنني لا أعرف ماذا أفعل إذا حدث ذلك هنا. لدينا كلمة لهذه.

تذكر ما هي الكلمة من الدرجة الأولى؟

معادلة من الدرجة الأولى حيث لا يوجد t صراحة على الجانب الأيمن ، أطلقنا عليها ، هل يتذكر أحد؟ فضولي فقط.

هذا نظام مستقل. إنه ليس نظامًا خطيًا لأن هذه وظائف فوضوية.

يمكن أن يكون هذا x في y أو x تربيع ناقص 3y تربيع مقسومًا على جيب x زائد y.

يمكن أن تكون فوضى. بالتأكيد ليست خطية.

لكن الاستقلالية تعني عدم وجود ر. t تعني ظهور المتغير المستقل على الجانب الأيمن.

بالطبع ، هناك. يتم دفنها في dx / dt و dy / dt. لكنها ليست على الجانب الأيمن. لا يظهر t على الجانب الأيمن.

نظرًا لعدم ظهور حرف t على الجانب الأيمن ، يمكنني الآن رسم صورة لهذا.

لكن ، دعنا نرى كيف يبدو الحل؟

لم أتحدث حتى عن الحل ، أليس كذلك؟ حسنًا ، تظاهر أنه بعد أن تحدثت عن ذلك مباشرة ، تحدثت عن هذا الأمر.

ماهو الحل؟ حسنًا ، الحل ، ربما كنت قد اعتبرته أمرًا مفروغًا منه ، هو زوج من الدالات ، x لـ t ، و y لـ t إذا كان الحل يفي بالمعادلة. وما الجديد أيضًا؟

الحل هو x يساوي x لـ t ، و y يساوي y لـ t.

إذا قمت برسم صورة لذلك كيف ستبدو؟

هذا هو المكان الذي تكون فيه معرفتك السابقة بالفيزياء فوق 18.02 ، ربما 18.01 إذا تعلمت هذا في المدرسة الثانوية ، ما هو x يساوي x لـ t و y يساوي y لـ t؟

كيف ترسم صورة لذلك؟ ما أنه لا يمثل؟

منحنى. وماذا سيكون عنوان فصل كتاب التفاضل والتكامل الذي نوقش فيه ذلك؟

المعادلات البارامترية. هذا منحنى معلمات.

لذلك نحن نعرف كيف يبدو الحل.

حلنا هو منحنى معلمات.

وما هو شكل المنحنى المحدد؟

حسنًا ، إنها تسافر ، وفي اتجاه معين.

لماذا لدي العديد من تلك المنحنيات؟

حسنًا ، لأن لدي العديد من الحلول.

في الواقع ، بالنظر إلى أي نقطة بداية أولية ، هناك حل يمر بها.

سأضع نقاط البداية الممكنة.

ويمكنك القيام بذلك على شاشة الكمبيوتر باستخدام برنامج صغير لديك ، أحد العناصر المرئية التي لديك.

يتم صنعه الآن. أنت تضع نقطة البداية ، وتضع نقرة ، ثم ترسم المنحنى الذي يمر عبر تلك النقطة.

ألم نفعل هذا في وقت مبكر من الفصل الدراسي؟

نعم فعلا. لكن هناك فرق الآن سأوضحه. هناك العديد من نقاط البداية الممكنة في الوقت صفر لهذا الحل ، ثم ترى ما سيحدث لها بعد ذلك.

في الواقع ، من خلال كل نقطة في المستوى سوف تمر منحنى حل ، منحنى معلمات. الآن ، ما هو إذن تمثيل هذا؟ حسنًا ، ما معنى x شرطة لـ t و y شرطة لـ t؟

لا داعي للقلق في الوقت الحالي بشأن الجانب الأيمن. ماذا يعني هذا في حد ذاته؟

إذا كان هذا هو المنحنى ، الحركة ذات المعلمات ، فهذا يمثل متجه السرعة.

إنها سرعة الحل عند الزمن t.

إذا كنت أفكر في الحل على أنه حركة معلمة.

كل ما رسمته هنا هو الأثر ، مسار الحركة.

هذا لم يشر إلى مدى السرعة التي كانت تسير بها.

قد يكون أحد الحلول رائعًا والآخر قد يتلاشى.

هذه سرعة ، وتتغير تلك السرعة من نقطة إلى أخرى. يغير الاتجاه.

حسنًا ، نحن نعرف اتجاهه عند كل نقطة.

هذا ظل. ما لا أستطيع قوله هو السرعة. من هذه الصورة ، لا أستطيع تحديد السرعة.

سيئ جدا. الآن ، ما معنى النظام إذن؟ ما يفعله النظام ، فهو يصف متجه السرعة في كل نقطة.

إذا أخبرتني ما هي النقطة (س ، ص) في المستوى ، فإن هذه المعادلات تعطيك متجه السرعة عند هذه النقطة.

وبالتالي ، ما انتهيت إليه ، النظام هو ما تسميه في الفيزياء وما تسميه في 18.02 مجال السرعة. لذلك في كل نقطة يوجد متجه معين. يكون المتجه دائمًا مماسًا لمنحنى الحل من خلاله ، لكن لا يمكنني التنبؤ من هذه الصورة فقط كم سيكون طوله لأنه في بعض النقاط ، قد يكون بطيئًا. قد يكون الحل بطيئًا. بعبارة أخرى ، تمتلئ الطائرة بهؤلاء الرجال.

هكذا وهلم جرا. يمكننا أن نقول أن نظام المعادلات من الدرجة الأولى ، المعادلات من الدرجة الأولى ، مستقل لأنه لا يجب أن يكون هناك t على الجانب الأيمن ، يساوي حقل سرعة. مجال السرعة.

الطائرة مغطاة بمتجهات السرعة.

والحل عبارة عن منحنى ذي معلمات بالسرعة المناسبة في كل مكان.

الآن ، من الواضح أنه يجب أن يكون هناك ارتباط بين ذلك ومجالات الاتجاه التي درسناها في بداية المصطلح.

وهناك. إنه اتصال مهم للغاية. من المهم جدًا التحدث عنها في أقل من دقيقة واحدة. عندما نحتاج إليها ، سأقضي بعض الوقت في الحديث عنها بعد ذلك.


10: النظم الخطية للمعادلات التفاضلية - الرياضيات

التعريف الأول الذي يجب أن نغطيه يجب أن يكون المعادلة التفاضلية. المعادلة التفاضلية هي أي معادلة تحتوي على مشتقات ، إما مشتقات عادية أو مشتقات جزئية.

هناك معادلة تفاضلية ربما يعرفها الجميع ، وهي قانون نيوتن الثاني للحركة. إذا كان جسم كتلته (م ) يتحرك مع التسارع (أ ) ويتم التعامل معه بالقوة (F ) فإن قانون نيوتن الثاني يخبرنا بذلك.

لنرى أن هذه في الواقع معادلة تفاضلية ، علينا إعادة كتابتها قليلاً. أولًا ، تذكر أنه يمكننا إعادة كتابة العجلة (a ) بإحدى طريقتين.

حيث (v ) هي سرعة الكائن و (u ) هي وظيفة موضع الكائن في أي وقت (t ). يجب أن نتذكر أيضًا في هذه المرحلة أن القوة (F ) قد تكون أيضًا دالة للوقت و / أو السرعة و / أو الموضع.

لذلك ، مع وضع كل هذه الأشياء في الاعتبار ، يمكن الآن كتابة قانون نيوتن الثاني كمعادلة تفاضلية من حيث السرعة ، (v ) ، أو الموضع (u ) ، للكائن على النحو التالي.

إذن ، ها هي أول معادلة تفاضلية. سنرى كلا الشكلين من هذا في فصول لاحقة.

فيما يلي بعض الأمثلة على المعادلات التفاضلية.

طلب

ال طلب المعادلة التفاضلية هي أكبر مشتق موجود في المعادلة التفاضلية. في المعادلات التفاضلية المذكورة أعلاه ( eqref) هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ، ( eqref) ، ( eqref) ، ( eqref) ، ( eqref) و ( eqref) هي معادلات تفاضلية من الدرجة الثانية ، ( eqref) هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثالثة و ( eqref) هي معادلة تفاضلية من الدرجة الرابعة.

لاحظ أن الأمر لا يعتمد على ما إذا كان لديك مشتقات عادية أو جزئية في المعادلة التفاضلية أم لا.

سننظر بشكل حصري تقريبًا في المعادلات التفاضلية من الرتبتين الأولى والثانية في هذه الملاحظات. كما سترى ، يمكن بسهولة (وبشكل طبيعي) توسيع معظم تقنيات الحل للمعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية إلى المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى وسنناقش هذه الفكرة لاحقًا.

المعادلات التفاضلية العادية والجزئية

تسمى المعادلة التفاضلية المعادلة التفاضلية العادية، يختصر بـ قصيدة إذا كانت تحتوي على مشتقات عادية. وبالمثل ، تسمى المعادلة التفاضلية أ المعادلة التفاضلية الجزئية، يختصر بـ pde ، إذا كان به مشتقات جزئية. في المعادلات التفاضلية أعلاه ( eqref) - ( eqref) هي قصيدة و ( eqref) - ( eqref) هي pde's.

الغالبية العظمى من هذه الملاحظات سوف تتعامل مع القصائد. الاستثناء الوحيد لهذا سيكون الفصل الأخير الذي سنلقي فيه نظرة مختصرة على تقنية الحل الأساسية والمشتركة لحل مشكلات pde.

المعادلات التفاضلية الخطية

أ معادلة تفاضلية خطية هي أي معادلة تفاضلية يمكن كتابتها بالشكل التالي.

[يبدأ يسار (t يمين)> يسار (t يمين) + <>> يسار (t يمين) يمين) >> يسار (t يمين) + cdots + يسار (t يمين) ص يسار (t يمين) + يسار (t يمين) ص يسار (t يمين) = ز يسار (t يمين) التسميةنهاية]

الشيء المهم الذي يجب ملاحظته حول المعادلات التفاضلية الخطية هو أنه لا توجد منتجات للدالة ، (y left (t right) ) ، ومشتقاتها ولا تحدث الدالة أو مشتقاتها لأي قوة أخرى غير الأولى قوة. لاحظ أيضًا أنه لا الوظيفة أو مشتقاتها "داخل" دالة أخرى ، على سبيل المثال ، ( sqrt ) أو (<< bf> ^ y> ).

المعاملات ( يسار (t يمين) ، ، ، ldots ، ،، left (t right) ) و (g left (t right) ) يمكن أن تكون صفرية أو غير صفرية ، وظائف ثابتة أو غير ثابتة ، وظائف خطية أو غير خطية. تستخدم فقط الدالة (y left (t right) ) ومشتقاتها في تحديد ما إذا كانت المعادلة التفاضلية خطية.

إذا تعذر كتابة معادلة تفاضلية بالصيغة ، فإن ( eqref) ثم يطلق عليه غير خطي المعادلة التفاضلية.

في ( eqref) - ( eqref) أعلاه فقط ( eqref) غير خطية ، والاثنان الآخران عبارة عن معادلات تفاضلية خطية. لا يمكننا تصنيف ( eqref) و ( eqref) بما أننا لا نعرف شكل الوظيفة (F ). يمكن أن تكون هذه إما خطية أو غير خطية اعتمادًا على (F ).

المحلول

أ المحلول إلى معادلة تفاضلية على فاصل زمني ( alpha & lt t & lt beta ) هي أي دالة (y left (t right) ) التي تحقق المعادلة التفاضلية المعنية في الفترة ( alpha & lt t & lt بيتا ). من المهم ملاحظة أن الحلول غالبًا ما تكون مصحوبة بفواصل زمنية ويمكن لهذه الفواصل الزمنية نقل بعض المعلومات المهمة حول الحل. تأمل المثال التالي.

سنحتاج إلى المشتق الأول والثاني للقيام بذلك.

عوّض عن هذه بالإضافة إلى الدالة في المعادلة التفاضلية.

إذن ، (y left (x right) = <2> >> ) يحقق المعادلة التفاضلية وبالتالي فهو حل. لماذا إذن قمنا بتضمين الشرط الذي (x & gt 0 )؟ لم نستخدم هذا الشرط في أي مكان في العمل يوضح أن الوظيفة ستلبي المعادلة التفاضلية.

في هذا الشكل ، من الواضح أننا سنحتاج إلى تجنب (x = 0 ) على الأقل لأن هذا سيعطي القسمة على صفر.

أيضًا ، هناك قاعدة عامة سنعمل عليها في هذا الفصل. هذه القاعدة الأساسية هي: ابدأ بالأرقام الحقيقية ، وانتهى بالأرقام الحقيقية. بعبارة أخرى ، إذا كانت معادلتنا التفاضلية تحتوي فقط على أرقام حقيقية ، فإننا لا نريد حلولًا تعطي أرقامًا مركبة. لذلك ، من أجل تجنب الأعداد المركبة ، سنحتاج أيضًا إلى تجنب القيم السالبة لـ (x ).

لذلك ، رأينا في المثال الأخير أنه على الرغم من أن الوظيفة قد ترضي رمزياً معادلة تفاضلية ، إلا أنه بسبب بعض القيود التي يفرضها الحل ، لا يمكننا استخدام جميع قيم المتغير المستقل ، وبالتالي ، يجب تقييد المتغير المستقل. سيكون هذا هو الحال مع العديد من الحلول للمعادلات التفاضلية.

في المثال الأخير ، لاحظ أن هناك في الواقع العديد من الحلول الممكنة للمعادلة التفاضلية المقدمة. على سبيل المثال ، كل ما يلي هو أيضًا حلول

سنترك لك التفاصيل للتحقق من أن هذه حلول في الواقع. بالنظر إلى هذه الأمثلة ، هل يمكنك التوصل إلى أي حلول أخرى للمعادلة التفاضلية؟ يوجد في الواقع عدد لا حصر له من الحلول لهذه المعادلة التفاضلية.

لذلك ، نظرًا لوجود عدد لا حصر له من الحلول للمعادلة التفاضلية في المثال الأخير (بشرط أن تصدقنا عندما نقول ذلك على أي حال….) يمكننا طرح سؤال طبيعي. ما هو الحل الذي نريده أم يهم أي حل نستخدمه؟ يقودنا هذا السؤال إلى التعريف التالي في هذا القسم.

الشروط الأولية

الشروط الأولية هي شرط ، أو مجموعة شروط ، على الحل الذي سيتيح لنا تحديد الحل الذي نسعى إليه. الشروط الأولية (غالبًا ما يتم اختصارها عندما نشعر بالكسل ...) هي بالشكل ،

بعبارة أخرى ، الشروط الأولية هي قيم الحل و / أو مشتقاته في نقاط محددة. كما سنرى في النهاية ، حلول المعادلات التفاضلية "لطيفة بما فيه الكفاية" فريدة ، وبالتالي فإن حلًا واحدًا فقط سيلبي الشروط الأولية المحددة.

يعتمد عدد الشروط الأولية المطلوبة لمعادلة تفاضلية معينة على ترتيب المعادلة التفاضلية كما سنرى.

كما رأينا في المثال السابق ، فإن الوظيفة هي حل ويمكننا بعد ذلك ملاحظة ذلك

وبالتالي فإن هذا الحل يفي أيضًا بالشروط الأولية لـ (y left (4 right) = frac <1> <8> ) و (y ' left (4 right) = - frac <3> <<64>> ). في الواقع ، (y left (x right) = <2> >> ) هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التفاضلية التي تفي بهذين الشرطين الأوليين.

مشكلة القيمة الأولية

ان مشكلة القيمة الأولية (أو IVP) هي معادلة تفاضلية مع عدد مناسب من الشروط الأولية.

كما أشرنا سابقًا ، سيعتمد عدد الشروط الأولية المطلوبة على ترتيب المعادلة التفاضلية.

فترة الصلاحية

ال فترة الصلاحية لـ IVP مع الشروط الأولية

هي أكبر فترة زمنية يكون فيها الحل صالحًا ويحتوي على ().من السهل تحديد هذه ، ولكن قد يكون من الصعب العثور عليها ، لذلك سنؤجل قول أي شيء آخر عنها حتى ندخل في حل المعادلات التفاضلية فعليًا ونحتاج إلى فترة الصلاحية.

الحل العام

ال حل عام إلى معادلة تفاضلية هو الشكل الأكثر عمومية الذي يمكن أن يأخذه الحل ولا يأخذ أي شروط أولية في الاعتبار.

سنترك الأمر لك للتحقق من أن هذه الوظيفة هي في الواقع حل لمعادلة تفاضلية معينة. في الواقع ، ستكون جميع حلول هذه المعادلة التفاضلية في هذا الشكل. هذه واحدة من أولى المعادلات التفاضلية التي ستتعلم كيفية حلها وستكون قادرًا على التحقق من ذلك بنفسك قريبًا.

الحل الفعلي

ال الحل الفعلي المعادلة التفاضلية هو الحل المحدد الذي لا يرضي المعادلة التفاضلية فحسب ، بل يفي أيضًا بالشرط (الشروط) الأولية المحددة.

هذا في الواقع أسهل للقيام به مما قد يبدو للوهلة الأولى من المثال السابق ، نعلم بالفعل (حسنًا ، إذا تم توفير حلنا لهذا المثال ...) أن جميع حلول المعادلة التفاضلية هي من الشكل.

كل ما علينا القيام به هو تحديد قيمة (ج ) التي ستمنحنا الحل الذي نسعى إليه. للعثور على هذا ، كل ما نحتاج إليه هو استخدام الشرط الأولي على النحو التالي.

[- 4 = ص يسار (1 يمين) = فارك <3> <4> + فارك<<< 1 ^ 2 >>> hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> c = - 4 - frac <3> <4> = - frac <<19>> <4> ]

لذا ، فإن الحل الفعلي لـ IVP هو.

من هذا المثال الأخير يمكننا أن نرى أنه بمجرد أن يكون لدينا الحل العام لمعادلة تفاضلية ، فإن إيجاد الحل الفعلي ليس أكثر من تطبيق الشرط (الشروط) الأولية وحل الثابت (الثوابت) الموجودة في الحل العام.

حل ضمني / صريح

في هذه الحالة ، يكون من الأسهل تحديد حل صريح ، ثم إخبارك بما لا يعنيه الحل الضمني ، ومن ثم إعطائك مثالاً يوضح لك الفرق. لذلك ، هذا ما سنفعله.

ان حل واضح هو أي حل معطى بالصيغة (y = y left (t right) ). بمعنى آخر ، المكان الوحيد الذي يظهر (y ) في الواقع هو مرة واحدة على الجانب الأيسر ويرفع فقط إلى القوة الأولى. ان حل ضمني هو أي حل ليس بصيغة صريحة. لاحظ أنه من الممكن أن يكون لديك حلول عامة ضمنية / صريحة وحلول فعلية ضمنية / صريحة.

في هذه المرحلة ، سنطلب منك أن تثق بنا أن هذا في الواقع حل للمعادلة التفاضلية. سوف تتعلم كيفية الحصول على هذا الحل في قسم لاحق. الهدف من هذا المثال هو أنه نظرًا لوجود () على الجانب الأيسر بدلاً من (ص يسار (t يمين) ) هذا ليس حلاً صريحًا!

نحن نعلم بالفعل من المثال السابق أن الحل الضمني لهذا IVP هو ( = - 3 ). لإيجاد الحل الصريح ، كل ما علينا فعله هو إيجاد الحل من أجل (y left (t right) ).

[y left (t right) = pm sqrt <- 3> ]

الآن ، لدينا مشكلة هنا. هناك وظيفتان هنا ونريد واحدة فقط وفي الحقيقة واحدة فقط ستكون صحيحة! يمكننا تحديد الوظيفة الصحيحة من خلال إعادة تطبيق الشرط الأولي. واحد منهم فقط سوف يفي بالشرط الأولي.

في هذه الحالة يمكننا أن نرى أن الحل "-" سيكون هو الحل الصحيح. إذن الحل الفعلي الواضح هو

في هذه الحالة تمكنا من إيجاد حل واضح للمعادلة التفاضلية. وتجدر الإشارة مع ذلك إلى أنه لن يكون من الممكن دائمًا إيجاد حل صريح.

لاحظ أيضًا أنه في هذه الحالة تمكنا فقط من الحصول على الحل الفعلي الصريح لأن لدينا الشرط الأولي لمساعدتنا في تحديد أي من الوظيفتين سيكون الحل الصحيح.

لقد حصلنا الآن على معظم التعريفات الأساسية بعيدًا عن الطريق وبالتالي يمكننا الانتقال إلى موضوعات أخرى.


شاهد الفيديو: معادلات تفاضليه المحاضره2 الحل العام والحل الخاص (شهر اكتوبر 2021).