مقالات

10.3.1: النظرية الأساسية للأنظمة الخطية المتجانسة (تمارين)


Q10.3.1

1. إثبات: إذا كانت ({ bf y} _1 ) ، ({ bf y} _2 ) ، ... ، ({ bf y} _n ) هي حلول ​​({ bf y} ' = A (t) { bf y} ) في ((a، b) ) ، ثم أي تركيبة خطية من ({ bf y} _1 ) ، ({ bf y} _2 ) ، ... ، ({ bf y} _n ) هو أيضًا حل ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) في ((a، b) ).

2. في القسم 5.1 الخطأ الخطأ للحلين (y_1 ) و (y_2 ) من معادلة الدرجة الثانية العددية

[P_0 (x) y '' + P_1 (x) y '+ P_2 (x) y = 0 tag {A} ]

تم تعريفه ليكون

[W = left | start {array} {cc} y_1 & y_2 y'_1 & y'_2 end {array} right |. nonumber ]

  1. أعد كتابة (A) كنظام للمعادلات من الدرجة الأولى ووضح أن (W ) هو Wronskian (كما هو محدد في هذا القسم) من حلين لهذا النظام.
  2. طبق المعادلة 10.3.6 على النظام المشتق في (أ) ، وبيّن أن [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) over P_0 (s)} ، ds right }، nonumber ] وهي صيغة صيغة هابيل الواردة في نظرية 9.1.3.

3. في القسم 9.1 ، الخطأ الخطأ (n ) الحلول ​​(y_1 ) ، (y_2 ) ، ... ، (y_n ) من (n - ) معادلة الترتيب

[P_0 (x) y ^ {(n)} + P_1 (x) y ^ {(n-1)} + cdots + P_n (x) y = 0 tag {A} ]

تم تعريفه ليكون

[W = left | start {array} {cccc} y_1 & y_2 & cdots & y_n y'_1 & y'_2 & cdots & y_n ' vdots & vdots & ddots & vdots y_1 ^ {(n-1)} & y_2 ^ {(n-1)} & cdots & y_n ^ {(n-1)} end {array} right |. nonumber ]

  1. أعد كتابة (A) كنظام للمعادلات من الدرجة الأولى وأظهر أن (W ) هو Wronskian (كما هو محدد في هذا القسم) لحلول ​​(n ) هذا النظام.
  2. طبق المعادلة 10.3.6 على النظام المشتق في (أ) ، وبيّن أن [W (x) = W (x_0) exp left {- int ^ x_ {x_0} {P_1 (s) over P_0 (s)} ، ds right }، nonumber ] وهي صيغة صيغة هابيل الواردة في نظرية 9.1.3.

4. افترض

[{ bf y} _1 = left [ start {array} {c} {y_ {11}} {y_ {21}} end {array} right] quad text {and} رباعي { bf y} _2 = left [ start {array} {c} {y_ {12}} {y_ {22}} end {array} right] nonumber ]

هي حلول ​​(2 مرات 2 ) النظام ({ bf y} '= A { bf y} ) على ((أ ، ب) ) ، واسمحوا

[Y = left [ begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y_ {21}} & {y_ {22}} end {array} right ] quad text {and} quad W = left | begin {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y_ {21}} & {y_ {22} } end {array} right | nonumber ]

وبالتالي ، (W ) هو Wronskian لـ ( {{ bf y} _1 ، { bf y} _2 } ).

  1. استنتج من تعريف المحدد أن [W '= left | begin {array} {cc} {y' _ {11}} & {y '_ {12}} {y_ {21}} & { y_ {22}} end {array} right | + left | start {array} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} صحيح |. nonumber ]
  2. استخدم المعادلة (Y '= A (t) Y ) وتعريف ضرب المصفوفات لتوضيح أن [[y' _ {11} quad y '_ {12}] = a_ {11} [y_ { 11} quad y_ {12}] + a_ {12} [y_ {21} quad y_ {22}] nonumber ] و [[y '_ {21} quad y' _ {22}] = أ_ {21} [y_ {11} quad y_ {12}] + a_ {22} [y_ {21} quad y_ {22}]. nonumber ]
  3. استخدم خصائص المحددات للاستنتاج من (أ) و (أ) أن [ left | start {array} {cc} {y '_ {11}} & {y' _ {12}} {y_ { 21}} & {y_ {22}} end {array} right | = a_ {11} W quad text {and} quad left | start {array} {cc} {y_ {11}} & {y_ {12}} {y '_ {21}} & {y' _ {22}} end {array} right | = a_ {22} W. nonumber ]
  4. استنتج من (ج) أن [W '= (a_ {11} + a_ {22}) W، nonumber ] واستخدم هذا لتوضيح أنه إذا كان (a

5. افترض أن (n times n ) المصفوفة (A = A (t) ) مستمرة في ((a، b) ). يترك

[Y = left [ begin {array} {cccc} y_ {11} & y_ {12} & cdots & y_ {1n} y_ {21} & y_ {22} & cdots & y_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {n1} & y_ {n2} & cdots & y_ {nn} end {array} right]، nonumber ]

حيث أعمدة (Y ) هي حلول ​​({ bf y} '= A (t) { bf y} ). يترك

[r_i = [y_ {i1} ، y_ {i2} ، dots ، y_ {in}] nonumber ]

يكون الصف (i ) من (Y ) ، واجعل (W ) هو المحدد لـ (Y ).

  1. استنتج من تعريف المحدد أن [W '= W_1 + W_2 + cdots + W_n، nonumber ] حيث ، لـ (1 le m le n ) ، الصف (i ) من ( W_m ) هو (r_i ) إذا (i ne m ) ، و (r'_m ) إذا (i = m ).
  2. استخدم المعادلة (Y '= A Y ) وتعريف ضرب المصفوفة لتوضيح أن [r'_m = a_ {m1} r_1 + a_ {m2} r_2 + cdots + a_ {mn} r_n. nonumber ]
  3. استخدم خصائص المحددات للاستنتاج من (ب) أن [ det (W_m) = a_ {mm} W. nonumber ]
  4. استنتج من (أ) و (ج) أن [W '= (a_ {11} + a_ {22} + cdots + a_ {nn}) W ، non Number ] واستخدم هذا لإظهار أنه إذا (a

6. افترض أن (n times n ) المصفوفة (A ) مستمرة على ((a، b) ) و (t_0 ) هي نقطة في ((a، b) ). لنفترض أن (Y ) مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) في ((a، b) ).

  1. أظهر أن (Y (t_0) ) قابل للعكس.
  2. أظهر أنه إذا كان ({ bf k} ) تعسفيًا (n ) - متجه ، فإن حل مشكلة القيمة الأولية [{ bf y} '= A (t) { bf y}، رباعي { bf y} (t_0) = { bf k} nonumber ] هو [{ bf y} = Y (t) Y ^ {- 1} (t_0) { bf k}. nonumber ]

7. اسمحوا

[A = left [ begin {array} {cc} {2} & {4} {4} & {2} end {array} right]، quad { bf y} _1 = يسار [ start {array} {c} e ^ {6t} e ^ {6t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r } e ^ {- 2t} -e ^ {- 2t} end {array} right]، quad { bf k} = left [ start {array} {r} -3 9 نهاية {مجموعة} يمين]. غير رقم ]

  1. تحقق من أن ( {{ bf y} _1، { bf y} _2 } ) هي مجموعة أساسية من الحلول لـ ({ bf y} '= A { bf y} ).
  2. حل مشكلة القيمة الأولية [{ bf y} '= A { bf y}، quad { bf y} (0) = { bf k}. علامة {A} ]
  3. استخدم نتيجة تمرين 10.3.6 (ب) لإيجاد صيغة لحل (أ) لمتجه أولي عشوائي ({ bf k} ).

8. كرر تمرين 10.3.7 مع

[A = left [ begin {array} {cc} {- 2} & {- 2} {- 5} & {1} end {array} right]، quad { bf y} _1 = left [ start {array} {r} e ^ {- 4t} e ^ {- 4t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r} -2e ^ {3t} 5e ^ {3t} end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 10 -4 end {array} right]. nonumber ]

9. كرر تمرين 10.3.7 مع

[A = left [ begin {array} {cc} {- 4} & {- 10} {3} & {7} end {array} right]، quad { bf y} _1 = left [ start {array} {r} -5e ^ {2t} 3e ^ {2t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ start {array } {r} 2e ^ t - e ^ t end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} -19 11 end {array } حق]. غير رقم ]

10. كرر تمرين 10.3.7 مع

[A = left [ begin {array} {cc} {2} & {1} {1} & {2} end {array} right]، quad { bf y} _1 = يسار [ start {array} {r} e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {r } e ^ t -e ^ t end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 2 8 end {array} right] .لا يوجد رقم ]

11. اسمحوا

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {3} & {- 1} & {- 1} {- 2} & {3} & {2} { 4} & {- 1} & {- 2} end {array} right]، { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ {2t} 0 e ^ {2t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} e ^ {3t} - e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right]، quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {- t} - 3e ^ {- t} 7e ^ {- t} end {array} right]، quad { bf k} = left [ begin {array} {r} 2 - 7 20 end {array} right ]. end {align} nonumber ]

  1. تحقق من أن ( {{ bf y} _1، { bf y} _2، { bf y} _3 } ) هي مجموعة أساسية من الحلول لـ ({ bf y} '= A { bf ذ} ).
  2. حل مشكلة القيمة الأولية [{ bf y} '= A { bf y}، quad { bf y} (0) = { bf k}. علامة {A} ]
  3. استخدم نتيجة تمرين 10.3.6 (ب) لإيجاد صيغة لحل (أ) لمتجه أولي عشوائي ({ bf k} ).

12. كرر تمرين 10.3.11 مع

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {0} & {2} & {2} {2} & {0} & {2} {2} & {2} & {0} end {array} right]، { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} 0 e ^ {-2t} end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {array} {c} -e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} 0 end {array} right]، quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ {4t} e ^ {4t} e ^ {4t} نهاية {مجموعة} يمين] ، رباعي { bf k} = يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 0 - 9 12 end {array} right]. end {align} لا يوجد رقم ]

13. كرر تمرين 10.3.11 مع

[ begin {align} A & = left [ begin {array} {ccc} {- 1} & {2} & {3} {0} & {1} & {6} {0} & {0} & {- 2} end {array} right]، { bf y} _1 & = left [ begin {array} {c} e ^ t e ^ t 0 نهاية {مجموعة} يمين] ، رباعي { bf y} _2 = يسار [ تبدأ {مجموعة} {c} e ^ {- t} 0 0 end {array} right] ، رباعي { bf y} _3 = left [ start {array} {c} e ^ {- 2t} - 2e ^ {- 2t} e ^ {- 2t} end {array} right] ، quad { bf k} = left [ start {array} {r} 5 5 - 1 end {array} right]. end {align} nonumber ]

14. افترض أن (Y ) و (Z ) مصفوفات أساسية لـ (n times n ) النظام ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). ثم بعض المصفوفات الأربعة (YZ ^ {- 1} ) ، (Y ^ {- 1} Z ) ، (Z ^ {- 1} Y ) ، (ZY ^ {- 1} ) ثابتة بالضرورة. حددهم وأثبت أنهم ثابتون.

15. افترض أن أعمدة المصفوفة (n times n ) (Y ) هي حلول ​​(n times n ) النظام ({ bf y} '= A { bf y} ) و (C ) عبارة عن (n مرات n ) مصفوفة ثابتة.

  1. أظهر أن المصفوفة (Z = YC ) تحقق المعادلة التفاضلية (Z '= AZ ).
  2. بيّن أن (Z ) مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) فقط إذا كان (C ) قابلاً للانعكاس و (Y ) مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} ).

16. افترض أن (n times n ) المصفوفة (A = A (t) ) متصلة على ((a، b) ) و (t_0 ) في ((a، b) ). بالنسبة إلى (i = 1 ) ، (2 ) ، ... ، (n ) ، دع ({ bf y} _i ) يكون الحل لمشكلة القيمة الأولية ({ bf y} _i '= A (t) { bf y} _i، ؛ { bf y} _i (t_0) = { bf e} _i ) ، أين

[{ bf e} _1 = left [ start {array} {c} 1 0 vdots 0 end {array} right]، quad { bf e} _2 = يسار [ start {array} {c} 0 1 vdots 0 end {array} right] ، quad cdots quad { bf e} _n = left [ start {array } {c} 0 0 vdots 1 end {array} right] ؛ nonumber ]

وهذا يعني أن المكون (j ) من ({ bf e} _i ) هو (1 ) إذا (j = i ) ، أو (0 ) إذا (j ne i ).

  1. أظهر أن ( {{ bf y} _1، { bf y} _2، dots، { bf y} _n } ) هي مجموعة أساسية من حلول ​​({ bf y} '= A (ر) { bf y} ) في ((أ ، ب) ).
  2. استنتج من (أ) و تمرين 10.3.15 أن ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) يحتوي على عدد لا نهائي من مجموعات الحلول الأساسية في ((a، b) ).

17. أظهر أن (Y ) هي مصفوفة أساسية للنظام ({ bf y} '= A (t) { bf y} ) إذا وفقط إذا (Y ^ {- 1} ) هي مصفوفة أساسية لـ ({ bf y} '= - A ^ T (t) { bf y} ) ، حيث يشير (A ^ T ) إلى تبديل (A ). تلميح: انظر التمرين 10.3.11.

18. لنفترض أن (Z ) هي المصفوفة الأساسية لنظام المعامل الثابت ({ bf y} '= A { bf y} ) بحيث (Z (0) = I ).

  1. أظهر أن (Z (t) Z (s) = Z (t + s) ) لجميع (s ) و (t ). تلميح: للثابت (س) يترك ( جاما _ {1} (t) = Z (t) Z (s) ) و ( جاما _ {2} (t) = Z (t + s) ). اظهر ذلك ( جاما _ {1} ) و ( جاما_ {2} ) كلاهما حلين لمشكلة القيمة الأولية للمصفوفة ( Gamma '= A Gamma، : Gamma (0) = Z (s) ). ثم نستنتج من نظرية 10.2.1 أن ( جاما _ {1} = جاما _ {2} ).
  2. أظهر أن ((Z (t)) ^ {- 1} = Z (-t) ).
  3. أحيانًا يتم الإشارة إلى المصفوفة (Z ) المحددة أعلاه بواسطة (e ^ {tA} ). ناقش الدافع وراء هذا الترميز.

نظرية النموذج الخطي

يقدم هذا الكتاب المدرسي نهجًا موحدًا وصارمًا لأفضل تقدير خطي غير متحيز والتنبؤ بالمعلمات والكميات العشوائية في النماذج الخطية ، بالإضافة إلى النظرية الأخرى التي يعتمد عليها الكثير من المنهجية الإحصائية المرتبطة بالنماذج الخطية. الميزة الأكثر تميزًا في الكتاب هي أن كل مفهوم أو نتيجة رئيسية موضحة بواحد أو أكثر من الأمثلة الملموسة أو الحالات الخاصة. يتم تقديم المنهجيات الشائعة الاستخدام القائمة على النظرية في فواصل منهجية منتشرة في جميع أنحاء الكتاب ، إلى جانب مجموعة كبيرة من التمارين التي ستفيد الطلاب والمدرسين على حد سواء. يتم استخدام الانعكاسات المعممة طوال الوقت ، بحيث لا يُطلب من مصفوفة النموذج ومصفوفات أخرى مختلفة الحصول على رتبة كاملة. يتم التركيز بشكل كبير على التقدير ، والتحليلات المقسمة للتباين ، والمربعات الصغرى المقيدة ، وتأثيرات الخطأ في تحديد النموذج ، والتنبؤ بشكل خاص أكثر من العديد من الكتب المدرسية الأخرى على النماذج الخطية. هذا الكتاب مخصص لطلاب الماجستير والدكتوراه الذين لديهم فهم أساسي للنظرية الإحصائية وجبر المصفوفة وتحليل الانحدار التطبيقي ، ولمعلمي دورات النماذج الخطية. تتوفر حلول تمارين الكتاب في المجلد المصاحب نظرية النموذج الخطي - تمارين وحلول من قبل نفس المؤلف.


المصفوفات في MATLAB

لإدخال مصفوفة في MATLAB ، نستخدم الأقواس المربعة لبدء محتويات المصفوفة وإنهائها ، ونستخدم الفواصل المنقوطة لفصل الصفوف. مكونات الصف الواحد مفصولة بفواصل. على سبيل المثال ، الأمر

سينتج عنه تخصيص مصفوفة للمتغير A:

يمكننا إدخال متجه عمود من خلال التفكير فيه على أنه مصفوفة m & times1 ، وبالتالي فإن الأمر

سينتج عن متجه عمود 2 و 1 مرات:

هناك العديد من خصائص المصفوفات التي ستحسبها MATLAB من خلال أوامر بسيطة. تمت تغطية معظم هذه المواد في Math 20F ، لكن بعض الخصائص الأساسية يمكن أن تكون مفيدة لنا في حل أنظمة المعادلات التفاضلية.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

قيمة eigenvalue & لامدا للمصفوفة أ مرتبط بـ eigenvector الخاص به ب بالمعادلة

يمكن استخدام MATLAB للعثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة باستخدام الأمر eig. عند تطبيق الأمر بمفرده ، كما في eig (A) ، ستُرجع MATLAB متجه عمود مع قيم eigenvalues ​​لـ أ كمكوناته. على سبيل المثال ، مع مصفوفة لدينا أ أعلاه ، نحصل على الناتج التالي:

إذا كنا نريد أيضًا MATLAB لحساب المتجهات الذاتية لـ أ ، نحن بحاجة إلى تحديد اثنين من متغيرات الإخراج. الأمر ومخرجاته أدناه:

كما ترى ، باستخدام هذا الأمر ، نحصل على مصفوفتين كإخراج. المصفوفة الأولى ، تسمى eigvec ، لها المتجهات الذاتية لـ أ كأعمدتها. المصفوفة الثانية ، eigval ، لها قيم eigenvalues ​​لـ أ على قطريها الرئيسي وأصفارها في كل مكان آخر. يتوافق ناقل eigenvector في العمود الأول من eigvec مع قيمة eigenvalue في العمود الأول من eigval ، وهكذا.

يترك ب كن المصفوفة.

  1. حدد المصفوفة ب في MATLAB مع القيم أعلاه. انسخ والصق الإدخال والإخراج من الأمر الخاص بك في مستند Word الخاص بك.
  2. استخدم أوامر MATLAB للعثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة ب . انسخ والصق الإدخال والإخراج من الأمر الخاص بك في مستند Word الخاص بك.

الآن بعد أن رأينا كيفية استخدام المصفوفات في MATLAB ، يجب أن نكون مستعدين لحل أنظمة المعادلات مثل (1) أعلاه.


رياضيات 22 ب: المعادلات التفاضلية ربع الربيع 2008 القسم 2

يتم نشر الحلول النهائية أدناه. سيتم نشر درجات الدورة يوم الجمعة المقبل.

معلم

المحاضرات: MWF 2:10 & # 1503: 00 مساءً ، 2205 Haring Hall

  • آخر موعد للإضافة: الثلاثاء 15 أبريل 2008
  • آخر موعد للتوقف: الجمعة 25 أبريل 2008
  • الصف الأخير: الأربعاء 4 يونيو 2008
  • عطلة أكاديمية: الاثنين 26 مايو
  • مارثا شوت (3229 MSB)
    ساعات العمل: W 9: 45 & # 150 11:00 صباحًا
  • جوش أويونج (2232 MSB)
    ساعات العمل: T 2:00 & # 150 3:15 p.m.، Th 3:00 & # 150 4:15 p.m.

الامتحانات

منتصف المدة 1

  • ثانية. 1.1: النماذج الرياضية المؤدية إلى المعادلات الحاسوبية.
  • ثانية. 1.2: بعض نماذج ODE البسيطة.
  • ثانية. 1.3: تصنيف ODEs.
  • ثانية. 2.1: طريقة عامل الدمج بالنسبة لمعدات التدمير الذاتي الخطية.
  • ثانية. 2.2: فصل المتغيرات.
  • ثانية. 2.4: نظريات الوجود / التفرد.مبدأ التراكب لـ ODEs الخطية.
  • ثانية. 2.5: ODEs المستقلة. خطوط الطور والتوازن والاستقرار.

منتصف المدة 2

  • ثانية. 3.1: المعامل الثابت المتجانس معادلات الصرف الإلكترونية
    • الحلول الأسية
    • معادلة مميزة
    • حل المعادلات التوضيحية المتجانسة عندما يكون للمعادلة المميزة جذور حقيقية مميزة
    • مبدأ التراكب للمعادلات المتجانسة
    • مجموعات الحلول الأساسية
    • Wronskians
    • حل مشاكل القيمة الأولية
    • الاعتماد الخطي واستقلال الوظائف
    • العلاقة بين الاستقلال الخطي و Wronskian
    • نظرية هابيل
    • ارقام مركبة
    • صيغة أويلر والأسي المعقدة
    • حل معادلات التفاضل والتكامل المتجانسة عندما يكون للمعادلة المميزة جذور معقدة
    • حل المعادلات التفاضلية الجزئية المتجانسة عندما تكرر المعادلة المميزة الجذر
    • مبدأ التراكب لـ ODEs غير المتجانسة
    • التعبير عن الحل العام لـ ODE غير المتجانس من حيث حل معين وحلول من ODE المتجانس
    • استخدام طريقة المعاملات غير المحددة لإيجاد حلول معينة
    • التردد الطبيعي للاهتزاز غير المخمد
    • تأثيرات التخميد الصغيرة والكبيرة (الاهتزازات المخمدة والمثقلة بشكل مفرط)
    • صدى

    منتصف المدة 2: نماذج الأسئلة 2 (السؤال 5 ليس تمثيليًا)

    أخير

    • ثانية. 7.1: أنظمة خطية من الدرجة الأولى
    • ثانية. 7.2 & # 1507.3: الجبر الخطي
    • ثانية. 7.4: النظرية الأساسية للأنظمة الخطية
    • ثانية. 7.5: أنظمة خطية ذات معامل ثابت متجانسة مع قيم ذاتية حقيقية
      • السرج
      • العقد (مستقرة وغير مستقرة)
      • نقاط لولبية (مستقرة وغير مستقرة)
      • المراكز

      نهائي: نموذج الأسئلة 2 (تجاهل السؤال 10 حول تباين المعلمات ، والذي لم نقم بتغطيته هذا الربع)

      الحلول: نموذج الأسئلة 2 (للأسف ، الحلول التي أمتلكها لا تتطابق تمامًا مع الأسئلة)

      الواجب المنزلي

      درجة الدورة

      نص للرياضيات 22 ب

      • المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى
      • المعادلات الخطية من الدرجة الثانية
      • يتحول لابلاس
      • أنظمة خطية من الدرجة الأولى

      يعطي منهج القسم مخططًا تفصيليًا.

      لدى الناشر موقع ويب مصاحب للنص ، والذي يتضمن ملفات Maple و MATLAB و Mathematica الخاصة بـ ODE ، ومعلومات حول برنامج مهندس ODE المضمّن في النص.

      مصدر إضافي للرياضيات 22 ب هو محاضرات كريج تريسي حول المعادلات التفاضلية العادية.

      حسابات الكمبيوتر

      سوف أنشر بعض ملفات MATLAB البسيطة لـ ODE هنا ، أو يمكنك كتابة ملفاتك الخاصة.


      10.3.1: النظرية الأساسية للأنظمة الخطية المتجانسة (تمارين)

      من أهم المشاكل في الحوسبة التقنية حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة.

      في تدوين المصفوفة ، تأخذ المشكلة العامة الشكل التالي: إعطاء مصفوفتين أ و ب، هل توجد مصفوفة فريدة x، لهذا السبب أx= ب أو xأ= ب?

      من المفيد التفكير في مثال 1 × 1. على سبيل المثال ، هل المعادلة

      الجواب بالطبع نعم. المعادلة لها الحل الفريد x = 3. يمكن الحصول على الحل بسهولة عن طريق القسمة:

      الحل ليس يتم الحصول عليها عادةً عن طريق حساب معكوس 7 ، أي 7 & # 82111 = 0.142857. ثم ضرب 7 & # 82111 في 21. سيكون هذا مزيدًا من العمل ، وإذا تم تمثيل 7 & # 82111 إلى عدد محدود من الأرقام ، فسيكون ذلك أقل دقة. تنطبق اعتبارات مماثلة على مجموعات من المعادلات الخطية مع أكثر من MATLAB & # x00AE غير معروفة تحل هذه المعادلات دون حساب معكوس المصفوفة.

      على الرغم من أنها ليست تدوينًا رياضيًا قياسيًا ، إلا أن MATLAB تستخدم مصطلحات القسمة المألوفة في الحالة العددية لوصف حل نظام عام من المعادلات المتزامنة. رمزا القسمة ، خفض ، /، و شرطة مائلة للخلف ، ، تتوافق مع وظيفتي MATLAB mrdivide و mldivide. يتم استخدام هذه العوامل في الحالتين حيث تظهر المصفوفة غير المعروفة على يسار أو يمين مصفوفة المعامل:

      يشير إلى حل معادلة المصفوفة xA = ب، التي تم الحصول عليها باستخدام mrdivide.

      يشير إلى حل معادلة المصفوفة فأس = ب، التي تم الحصول عليها باستخدام mldivide.

      فكر في "قسمة" طرفي المعادلة فأس = ب أو xA = ب بواسطة أ. تكون مصفوفة المعامل A دائمًا في "المقام".

      تتطلب شروط توافق الأبعاد لـ x = A b المصفوفتين A و b نفس عدد الصفوف. عندئذٍ يكون للحل x نفس عدد الأعمدة مثل b وبُعد صفه يساوي بُعد العمود A. بالنسبة إلى x = b / A ، يتم تبادل أدوار الصفوف والأعمدة.

      في الممارسة العملية ، المعادلات الخطية للصيغة فأس = ب تحدث بشكل متكرر أكثر من تلك الموجودة في النموذج xA = ب. وبالتالي ، يتم استخدام الشرطة المائلة للخلف بشكل متكرر أكثر من الشرطة المائلة. يركز الجزء المتبقي من هذا القسم على مشغل الشرطة المائلة للخلف ، ويمكن استنتاج الخصائص المقابلة لعامل الشرطة المائلة من الهوية:

      لا يلزم أن تكون مصفوفة المعامل أ مربعة. إذا كان حجم A م-بواسطة-نثم هناك ثلاث حالات:

      نظام مربع. ابحث عن حل دقيق.

      نظام مفرط التحديد ، مع معادلات أكثر من المجهول. أوجد حل المربعات الصغرى.

      نظام غير محدد ، مع معادلات أقل من المجهول. ابحث عن حل أساسي باستخدام م مكونات غير صفرية.

      خوارزمية mldivide

      يستخدم مشغل mldivide أدوات حل مختلفة للتعامل مع أنواع مختلفة من مصفوفات المعامل. يتم تشخيص الحالات المختلفة تلقائيًا عن طريق فحص مصفوفة المعامل. لمزيد من المعلومات ، راجع قسم "الخوارزميات" في صفحة مرجعية mldivide.

      الحل العام

      الحل العام لنظام المعادلات الخطية فأس= ب يصف كل الحلول الممكنة. يمكنك إيجاد الحل العام من خلال:

      حل النظام المتجانس المقابل فأس = 0. قم بذلك باستخدام الأمر null ، عن طريق كتابة null (A). هذا يعيد أساس مساحة الحل إلى فأس = 0. أي حل هو مزيج خطي من ناقلات الأساس.

      إيجاد حل خاص للنظام غير المتجانس فأس =ب.

      يمكنك بعد ذلك كتابة أي حل ل فأس= ب كمجموع حل معين ل فأس =ب، من الخطوة 2 ، بالإضافة إلى مجموعة خطية من المتجهات الأساسية من الخطوة 1.

      يصف الجزء المتبقي من هذا القسم كيفية استخدام MATLAB لإيجاد حل معين لـ فأس =ب، كما في الخطوة 2.

      سكوير سيستمز

      تتضمن الحالة الأكثر شيوعًا مصفوفة معامل مربعة A ومتجه عمود واحد على الجانب الأيمن ب.

      مصفوفة المعامل غير النسيجي

      إذا كانت المصفوفة A غير لغوية ، فإن الحل x = A b هو نفس حجم b. فمثلا:

      يمكن التأكيد على أن A * x يساوي u تمامًا.

      إذا كان A و b مربعين ونفس الحجم ، فإن x = A b هي هذا الحجم أيضًا:

      يمكن التأكيد على أن A * x يساوي بالضبط b.

      كلا هذين المثالين لهما حلول صحيحة وأعداد صحيحة. هذا لأنه تم اختيار مصفوفة المعامل لتكون باسكال (3) ، وهي مصفوفة ذات رتبة كاملة (غير أحادية).

      مصفوفة المعامل الفردي

      مصفوفة مربعة أ مفرد إذا لم يكن يحتوي على أعمدة مستقلة خطيًا. لو أ فريد ، الحل فأس = ب إما غير موجود أو ليس فريدًا. يُصدر عامل الشرطة المائلة العكسية ، A b ، تحذيرًا إذا كان A تقريبًا مفردًا أو إذا اكتشف التفرد الدقيق.

      لو أ مفرد و فأس = ب لديه حل ، يمكنك العثور على حل معين ليس فريدًا ، عن طريق الكتابة

      pinv (A) هو عكسي زائف لـ أ. لو فأس = ب لا يحتوي على حل دقيق ، ثم يقوم pinv (A) بإرجاع حل المربعات الصغرى.

      فريد ، حيث يمكنك التحقق من ذلك عن طريق الكتابة

      منذ أ ليست مرتبة كاملة ، فهي تحتوي على بعض القيم الفردية التي تساوي الصفر.

      الحلول الدقيقة. بالنسبة للمعادلة ب = [5212] فأس = ب لديه حل دقيق مقدم من

      تحقق من أن pinv (A) * b هو حل دقيق عن طريق الكتابة

      حلول المربعات الصغرى. ومع ذلك ، إذا كانت ب = [360] ، فأس = ب ليس لديها حل دقيق. في هذه الحالة ، يعرض pinv (A) * b حل المربعات الصغرى. إذا كنت تكتب

      لا تحصل على المتجه الأصلي ب.

      يمكنك تحديد ما إذا كان فأس =ب لديه حل دقيق من خلال إيجاد مستوى الصف المختزل للمصفوفة المعززة [أ ب]. للقيام بذلك في هذا المثال ، أدخل

      نظرًا لأن الصف السفلي يحتوي على جميع الأصفار باستثناء الإدخال الأخير ، فليس للمعادلة حل. في هذه الحالة ، يُرجع pinv (A) حل المربعات الصغرى.

      أنظمة مفرطة التحديد

      يوضح هذا المثال كيف غالبًا ما يتم مواجهة الأنظمة المحددة بشكل مفرط في أنواع مختلفة من المنحنيات الملائمة للبيانات التجريبية.

      يتم قياس الكمية y عند عدة قيم مختلفة للوقت t لإنتاج الملاحظات التالية. يمكنك إدخال البيانات وعرضها في جدول بالبيانات التالية.

      حاول نمذجة البيانات باستخدام دالة أسية متحللة

      تقول المعادلة السابقة أنه يجب تقريب المتجه y بمجموعة خطية من متجهين آخرين. أحدهما متجه ثابت يحتوي على جميع الآحاد والآخر هو المتجه بمكونات exp (-t). يمكن حساب المعاملين المجهولين ، c 1 و c 2 ، عن طريق إجراء ملاءمة المربعات الصغرى ، مما يقلل من مجموع مربعات انحرافات البيانات عن النموذج. هناك ستة معادلات في مجهولين ، ممثلة بمصفوفة 6 في 2.

      استخدم عامل الخط المائل العكسي للحصول على حل المربعات الصغرى.

      بمعنى آخر ، المربعات الصغرى الملائمة للبيانات هي

      ص (ر) = 0. 4 7 6 0 + 0. 3 4 1 3 هـ - ر.

      تقيِّم العبارات التالية النموذج بزيادات متباعدة بانتظام في t ، ثم ترسم النتيجة مع البيانات الأصلية:

      لا تساوي E * c تمامًا y ، ولكن قد يكون الفرق أقل من أخطاء القياس في البيانات الأصلية.

      تكون المصفوفة المستطيلة A ناقصة التصنيف إذا لم يكن لها أعمدة مستقلة خطيًا. إذا كانت A ذات رتبة ناقصة ، فإن حل المربعات الصغرى لـ AX = B ليس فريدًا. يصدر A B تحذيرًا إذا كانت A ذات رتبة ناقصة وينتج حل المربعات الصغرى. يمكنك استخدام lsqminnorm للعثور على الحل X الذي يحتوي على الحد الأدنى من القاعدة بين جميع الحلول.

      أنظمة غير محددة

      يوضح هذا المثال كيف أن حل الأنظمة غير المحددة بشكل كافٍ ليس فريدًا. تشتمل الأنظمة الخطية غير المحددة بشكل كافٍ على مجاهيل أكثر من المعادلات. عملية القسمة اليسرى للمصفوفة في MATLAB تجد حلًا أساسيًا للمربعات الصغرى ، والذي يحتوي على أكثر من m مكونات غير صفرية لمصفوفة معامل m -by.

      هذا مثال صغير عشوائي:

      يتضمن النظام الخطي Rp = b معادلتين في أربعة مجاهيل. نظرًا لأن مصفوفة المعامل تحتوي على أعداد صحيحة صغيرة ، فمن المناسب استخدام الأمر format لعرض الحل بتنسيق منطقي. يتم الحصول على حل خاص مع

      أحد المكونات غير الصفرية هو p (2) لأن R (: ، 2) هو عمود R ذو القاعدة الأكبر. المكون الآخر غير الصفري هو p (4) لأن R (: ، 4) يهيمن بعد استبعاد R (: ، 2).

      يمكن تمييز الحل العام الكامل للنظام غير المحدد عن طريق إضافة p إلى مجموعة خطية تعسفية من متجهات الفراغ الفارغة ، والتي يمكن العثور عليها باستخدام دالة فارغة مع خيار يطلب أساسًا منطقيًا.

      يمكن التأكيد على أن R * Z هي صفر وأن المتبقي R * x - b صغير لأي متجه x ، حيث

      نظرًا لأن أعمدة Z هي متجهات الفراغ الخالية ، فإن المنتج Z * q عبارة عن مجموعة خطية من تلك المتجهات:

      Z q = (x ⇀ 1 x ⇀ 2) (u w) = u x ⇀ 1 + w x ⇀ 2.

      للتوضيح ، اختر q تعسفيًا وقم ببناء x.

      احسب قاعدة المتبقي.

      عندما يتوفر عدد لا نهائي من الحلول ، يكون الحل مع الحد الأدنى من المعايير ذا أهمية خاصة. يمكنك استخدام lsqminnorm لحساب الحد الأدنى من حل المربعات الصغرى. هذا الحل له أصغر قيمة ممكنة للقاعدة (ع).

      حل للعديد من الجوانب اليمنى

      تتعلق بعض المشكلات بحل الأنظمة الخطية التي لها نفس معامل المصفوفة A ، ولكن لها جوانب مختلفة على الجانب الأيمن ب. عندما تتوفر القيم المختلفة لـ b في نفس الوقت ، يمكنك إنشاء b كمصفوفة تحتوي على عدة أعمدة وحل جميع أنظمة المعادلات في نفس الوقت باستخدام أمر شرطة مائلة عكسية واحدة: X = A [b1 b2 b3 ... ].

      ومع ذلك ، في بعض الأحيان لا تتوفر جميع قيم b المختلفة في نفس الوقت ، مما يعني أنك بحاجة إلى حل العديد من أنظمة المعادلات على التوالي. عندما تحل أحد أنظمة المعادلات هذه باستخدام الشرطة المائلة (/) أو الشرطة المائلة العكسية () ، يحلل العامل مصفوفة المعامل A ويستخدم تحليل المصفوفة هذا لحساب الحل. ومع ذلك ، في كل مرة تحل فيها نظامًا مشابهًا من المعادلات باستخدام b مختلف ، يحسب المشغل نفس تحلل A ، وهو حساب مكرر.

      حل هذه المشكلة هو الحساب المسبق لتحلل A ، ثم إعادة استخدام العوامل لحل القيم المختلفة لـ b. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، قد يكون الحساب المسبق للتحلل بهذه الطريقة صعبًا لأنك تحتاج إلى معرفة التحلل المطلوب حسابه (LU و LDL و Cholesky وما إلى ذلك) وكذلك كيفية مضاعفة العوامل لحل المشكلة. على سبيل المثال ، مع تحليل LU تحتاج إلى حل نظامين خطيين لحل النظام الأصلي الفأس = ب:

      بدلاً من ذلك ، فإن الطريقة الموصى بها لحل الأنظمة الخطية ذات الجوانب اليمنى المتعددة المتتالية هي استخدام كائنات التحلل. تمكّنك هذه الكائنات من الاستفادة من مزايا الأداء للحساب المسبق لتحلل المصفوفة ، لكنها لا تتطلب معرفة كيفية استخدام عوامل المصفوفة. يمكنك استبدال تحليل LU السابق بـ:

      إذا لم تكن متأكدًا من نوع التحلل المراد استخدامه ، فإن التحليل (A) يختار النوع الصحيح بناءً على خصائص A ، على غرار ما تفعله الشرطة المائلة العكسية.

      فيما يلي اختبار بسيط لفوائد الأداء المحتملة لهذا الأسلوب. يحل الاختبار نفس النظام الخطي المتفرق 100 مرة باستخدام كل من الخط المائل العكسي () والتحلل.


      تمارين المراجعة

      بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام المعادلات.

      للتمارين التالية ، استخدم التعويض لحل جملة المعادلات.

      10 س + 5 ص = −5 3 س - 2 ص = −12 10 س + 5 ص = −5 3 س - 2 ص = −12

      4 7 س + 1 5 ص = 43 70 5 6 س - 1 3 ص = - 2 3 4 7 س + 1 5 ص = 43 70 5 6 س - 1 3 ص = - 2 3

      للتدريبات التالية ، استخدم الجمع لحل جملة المعادلات.

      للتمارين التالية ، اكتب نظام المعادلات لحل كل مسألة. حل نظام المعادلات.

      أنظمة المعادلات الخطية: ثلاثة متغيرات

      بالنسبة للتمارين التالية ، حل نظام المعادلات الثلاث باستخدام التعويض أو الجمع.

      0.5 x - 0.5 y = 10 - 0.2 y + 0.2 x = 4 0.1 x + 0.1 z = 2 0.5 x - 0.5 y = 10 - 0.2 y + 0.2 x = 4 0.1 x + 0.1 z = 2

      5 س + 3 ص - ع = 5 3 س - 2 ص + 4 ع = 13 4 س + 3 ص + 5 ز = 22 5 س + 3 ص - ع = 5 3 س - 2 ص + 4 ع = 13 4 س + 3 ص + 5 ع = 22

      س + ص + ع = 1 2 س + 2 ص + 2 ع = 1 3 س + 3 ص = 2 س + ص + ع = 1 2 س + 2 ص + 2 ص = 1 3 س + 3 ص = 2

      2 س - 3 ص + ع = −1 س + ص + ع = −4 4 س + 2 ص - 3 ع = 33 2 س - 3 ص + ع = −1 س + ص + ع = −4 4 س + 2 ص - 3 ض = 33

      3 س + 2 ص - ع = −10 س - ص + 2 ع = 7 - س + 3 ص + ع = −2 3 س + 2 ص - ع = −10 س - ص + 2 ع = 7 - س + 3 ص + ض = -2

      3 س + 4 ع = −11 س - 2 ص = 5 4 ص - ع = −10 3 س + 4 ع = 11 س - 2 ص = 5 4 ص - ع = 10

      2 س - 3 ص + ع = 0 2 س + 4 ص - 3 ع = 0 6 س - 2 ص - ع = 0 2 س - 3 ص + ع = 0 2 س + 4 ص - 3 ع = 0 6 س - 2 ص - ض = 0

      6 س - 4 ص - 2 ع = 2 3 س + 2 ص - 5 ع = 4 6 ص - 7 ز = 5 6 س - 4 ص - 2 ز = 2 3 س + 2 ص - 5 ع = 4 6 ص - 7 ض = 5

      للتمارين التالية ، اكتب نظام المعادلات لحل كل مشكلة. حل نظام المعادلات.

      يصل مجموع ثلاثة أعداد فردية إلى 61. الأصغر يساوي ثلث العدد الأكبر والعدد الأوسط أصغر بمقدار 16 من الأكبر. ما هي الأرقام الثلاثة؟

      مسرح محلي ينفد لعرضهم. يبيعون جميع التذاكر الـ 500 بمحفظة إجمالية قدرها 8070.00 دولارًا. تم تسعير التذاكر بـ 15 دولارًا للطلاب و 12 دولارًا للأطفال و 18 دولارًا للكبار. إذا باعت الفرقة ثلاثة أضعاف تذاكر البالغين مثل تذاكر الأطفال ، فكم عدد كل نوع تم بيعه؟

      أنظمة المعادلات غير الخطية والمتباينات: متغيرين

      بالنسبة للتمارين التالية ، حل نظام المعادلات غير الخطية.

      للتمارين التالية ، ارسم المتباينة بيانيًا.

      للتمارين التالية ، ارسم نظام عدم المساواة بيانيًا.

      x 2 + y 2 + 2 x & lt 3 y & gt - x 2 - 3 x 2 + y 2 + 2 x & lt 3 y & gt - x 2-3

      x 2 - 2 x + y 2-4 x & lt 4 y & lt - x + 4 x 2 - 2 x + y 2-4 x & lt 4 y & lt - x + 4

      الكسور الجزئية

      للتمارين التالية ، حلل إلى كسور جزئية.

      × 3 - 4 × 2 + 3 × + 11 (× 2 - 2) 2 × 3 - 4 × 2 + 3 × + 11 (× 2 - 2) 2

      4 × 4 - 2 × 3 + 22 × 2 - 6 × + 48 × (× 2 + 4) 2 4 × 4 - 2 × 3 + 22 × 2 - 6 × + 48 × (× 2 + 4) 2

      المصفوفات وعمليات المصفوفة

      بالنسبة للتمارين التالية ، قم بإجراء العمليات المطلوبة على المصفوفات المحددة.

      حل الأنظمة مع القضاء على Gaussian

      للتمارين التالية ، اكتب نظام المعادلات الخطية من المصفوفة المعززة. وضح ما إذا كان سيكون هناك حل فريد.

      للتمارين التالية ، اكتب المصفوفة المعززة من نظام المعادلات الخطية.

      - 2 س + 2 ص + ع = 7 2 س - 8 ص + 5 ع = 0 19 س - 10 ص + 22 ع = 3 - 2 س + 2 ص + ع = 7 2 س - 8 ص + 5 ع = 0 19 س - 10 ص + 22 ع = 3

      4 x + 2 y - 3 z = 14-12 x + 3 y + z = 100 9 x - 6 y + 2 z = 31 4 x + 2 y - 3 z = 14-12 x + 3 y + z = 100 9 س - 6 ص + 2 ع = 31

      س + 3 ع = 12 - س + 4 ص = 0 ص + 2 ع = - 7 س + 3 ع = 12 - س + 4 ص = 0 ص + 2 ع = - 7

      للتدريبات التالية ، حل نظام المعادلات الخطية باستخدام الحذف الغاوسي.

      3 س - 4 ص = - 7-6 س + 8 ص = 14 3 س - 4 ص = - 7-6 س + 8 ص = 14

      2 س + 3 ص + 2 ع = 1 - 4 س - 6 ص - 4 ع = - 2 10 س + 15 ص + 10 ز = 0 2 س + 3 ص + 2 ز = 1 - 4 س - 6 ص - 4 ض = - ٢ ١٠ س + ١٥ ص + ١٠ ع = ٠

      - س + 2 ص - 4 ع = 8 3 ص + 8 ​​ع = - 4 - 7 س + ص + 2 ز = 1 - س + 2 ص - 4 ع = 8 3 ص + 8 ​​ع = - 4 - 7 س + ص + 2 ع = 1

      حل الأنظمة ذات الانعكاسات

      للتمارين التالية ، أوجد معكوس المصفوفة.

      للتمارين التالية ، أوجد الحلول بحساب معكوس المصفوفة.

      0.3 س - 0.1 ص = - 10 - 0.1 س + 0.3 ص = 14 0.3 س - 0.1 ص = - 10 - 0.1 س + 0.3 ص = 14

      4 س + 3 ص - 3 ع = - 4.3 5 س - 4 ص - ع = - 6.1 س + ع = - 0.7 4 س + 3 ص - 3 ع = - 4.3 5 س - 4 ص - ع = - 6.1 س + ض = - 0.7

      - 2 س - 3 ص + 2 ع = 3 - س + 2 ص + 4 ع = - 5 - 2 ص + 5 ع = - 3 - 2 س - 3 ص + 2 ع = 3 - س + 2 ص + 4 ع = - 5 - 2 ص + 5 ع = - 3

      للتمارين التالية ، اكتب نظام المعادلات لحل كل مشكلة. حل نظام المعادلات.

      طُلب من الطلاب إحضار الفاكهة المفضلة لديهم إلى الفصل. 90٪ من الثمار تتكون من الموز والتفاح والبرتقال. إذا كان البرتقال نصف شعبية مثل الموز وكان التفاح أكثر شعبية بنسبة 5٪ من الموز ، فما هي النسب المئوية لكل فاكهة على حدة؟

      أقامت نادي نسائي بيع مخبوزات لجمع الأموال وبيع كعكات كعك برقائق الشوكولاتة. قاموا بتسعير الكعكات بسعر 2 دولار وبسكويت رقائق الشوكولاتة بسعر 1 دولار. لقد جمعوا 250 دولارًا وباعوا 175 قطعة. كم عدد كعكات البراونيز وكم عدد ملفات تعريف الارتباط التي تم بيعها؟

      حل الأنظمة بقاعدة كرامر

      للتمارين التالية ، أوجد المحدد.

      للتمارين التالية ، استخدم قاعدة كريمر لحل أنظمة المعادلات الخطية.

      4 س - 2 ص = 23-5 س - 10 ص = - 35 4 س - 2 ص = 23-5 س - 10 ص = - 35

      0.2 س - 0.1 ص = 0 - 0.3 س + 0.3 ص = 2.5 0.2 س - 0.1 ص = 0 - 0.3 س + 0.3 ص = 2.5

      x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0 x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + ض = 0

      ٤ س - ٣ ص + ٥ ع = - ٥ ٢ ٧ س - ٩ ص - ٣ ع = ٣ ٢ س - ٥ ص - ٥ ع = ٥ ٢ ٤ س - ٣ ص + ٥ ع = - ٥ ٢ ٧ س - ٩ ص - 3 ع = 3 2 س - 5 ص - 5 ع = 5 2

      3 10 x - 1 5 y - 3 10 z = - 1 50 1 10 x - 1 10 y - 1 2 z = - 9 50 2 5 x - 1 2 y - 3 5 z = - 1 5 3 10 x - 1 5 ص - 3 10 ع = - 1 50 1 10 س - 1 10 ص - 1 2 ع = - 9 50 2 5 س - 1 2 ص - 3 5 ع = - 1 5

      بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

      هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

        إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

      • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
        • المؤلفون: جاي أبرامسون
        • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
        • عنوان الكتاب: Precalculus
        • تاريخ النشر: 23 أكتوبر 2014
        • المكان: هيوستن ، تكساس
        • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
        • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/precalculus/pages/9-review-exercises

        © 21 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


        الأنظمة الخطية المتجانسة للمعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة

        أين ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) هي وظائف غير معروفة للمتغير (t ، ) الذي غالبًا ما يكون له معنى الوقت ، (<>> ) هي معاملات ثابتة معينة يمكن أن تكون حقيقية أو معقدة ، ( left (t right) ) معطاة (بشكل عام ، ذات قيم معقدة) وظائف المتغير (t. )

        نفترض أن كل هذه الوظائف مستمرة على فاصل ( يسار [ right] ) لمحور الرقم الحقيقي (t. )

        يمكن كتابة نظام المعادلات التفاضلية في شكل مصفوفة:

        [X & # 8217 left (t right) = AX left (t right) + f left (t right). ]

        إذا كان المتجه (f left (t right) ) مساويًا تمامًا للصفر: (f left (t right) equiv 0 ، ) فيُقال إن النظام متجانس:

        [X & # 8217 يسار (t يمين) = AX يسار (t يمين). ]

        يمكن حل أنظمة المعادلات المتجانسة ذات المعاملات الثابتة بطرق مختلفة. الطرق التالية هي الأكثر استخدامًا:

        • طريقة الحذف (طريقة اختزال (n ) المعادلات إلى معادلة واحدة من (n ) الترتيب)
        • طريقة التوليفات القابلة للتكامل (بما في ذلك طريقة المعاملات غير المحددة أو استخدام صيغة الأردن في حالة الجذور المتعددة للمعادلة المميزة)
        • طريقة المصفوفة الأسية.

        أدناه في هذه الصفحة سنناقش بالتفصيل طريقة الاستبعاد. يتم النظر في الطرق الأخرى لحل أنظمة المعادلات بشكل منفصل في الصفحات التالية.

        طريقة الاستبعاد

        باستخدام طريقة الحذف ، يمكن اختزال النظام الخطي العادي (n ) المعادلات إلى معادلة خطية واحدة من (n ) الترتيب. هذه الطريقة مفيدة للأنظمة البسيطة ، خاصة لأنظمة الأوامر (2. )

        ضع في اعتبارك نظامًا متجانسًا من معادلتين لهما معاملات ثابتة:

        حيث الوظائف (,) تعتمد على المتغير (t. )

        نفرق المعادلة الأولى ونستبدل المشتق () من المعادلة الثانية:

        الآن نحن نستبدل (>) من المعادلة الأولى. نتيجة لذلك نحصل على معادلة خطية متجانسة من الدرجة الثانية:

        من السهل بناء حلها ، إذا عرفنا جذور المعادلة المميزة:

        في حالة المعاملات الحقيقية (<>> ، ) يمكن أن تكون الجذور حقيقية (مميزة أو متعددة) ومعقدة. على وجه الخصوص ، إذا كانت المعاملات (> ) و (> ) لها نفس العلامة ، فإن مميز المعادلة المميزة سيكون دائمًا موجبًا ، وبالتالي ، ستكون الجذور حقيقية ومميزة.

        بعد الوظيفة ( left (t right) ) محدد ، الوظيفة الأخرى (يمكن إيجاد left (t right) ) من المعادلة الأولى.

        يمكن تطبيق طريقة الحذف ليس فقط على الأنظمة الخطية المتجانسة. يمكن استخدامه أيضًا لحل الأنظمة غير المتجانسة للمعادلات التفاضلية أو أنظمة المعادلات ذات المعاملات المتغيرة.


        مقدمة في المعادلات التفاضلية العادية

        مقدمة عن المعادلات التفاضلية العادية ، الإصدار الثاني يقدم مقدمة عن المعادلات التفاضلية. يقدم هذا الكتاب التطبيق ويتضمن مشاكل في الكيمياء والأحياء والاقتصاد والميكانيكا والدوائر الكهربائية. تم تنظيم هذا الإصدار في 12 فصلاً ، ويبدأ بنظرة عامة على طرق حل المعادلات التفاضلية الفردية. ثم يصف هذا النص الخصائص الأساسية الهامة لحلول المعادلات التفاضلية الخطية ويشرح المعادلات الخطية ذات الترتيب الأعلى. تتناول فصول أخرى إمكانية تمثيل حلول بعض المعادلات التفاضلية الخطية بدلالة متسلسلة القدرة. يناقش هذا الكتاب أيضًا الخصائص المهمة لوظيفة جاما ويشرح استقرار الحلول ووجود الحلول الدورية. يتناول الفصل الأخير طريقة بناء حل للمعادلة المتكاملة ويشرح كيفية إثبات وجود حل لنظام القيمة الأولية. هذا الكتاب هو مصدر قيم لعلماء الرياضيات والطلاب والعاملين في مجال البحث.

        مقدمة عن المعادلات التفاضلية العادية ، الإصدار الثاني يقدم مقدمة عن المعادلات التفاضلية. يقدم هذا الكتاب التطبيق ويتضمن مشاكل في الكيمياء والأحياء والاقتصاد والميكانيكا والدوائر الكهربائية. تم تنظيم هذا الإصدار في 12 فصلاً ، ويبدأ بنظرة عامة على طرق حل المعادلات التفاضلية الفردية. ثم يصف هذا النص الخصائص الأساسية الهامة لحلول المعادلات التفاضلية الخطية ويشرح المعادلات الخطية ذات الترتيب الأعلى. تتناول فصول أخرى إمكانية تمثيل حلول بعض المعادلات التفاضلية الخطية بدلالة متسلسلة القدرة. يناقش هذا الكتاب أيضًا الخصائص المهمة لوظيفة جاما ويشرح استقرار الحلول ووجود الحلول الدورية. يتناول الفصل الأخير طريقة بناء حل للمعادلة المتكاملة ويشرح كيفية إثبات وجود حل لنظام القيمة الأولية. هذا الكتاب هو مصدر قيم لعلماء الرياضيات والطلاب والعاملين في مجال البحث.


        12.3: قوانين الأسعار

        Q12.3.1

        كيف يختلف معدل التفاعل وثابت معدله؟

        S12.3.1

        معدل التفاعل أو معدل التفاعل هو التغير في تركيز المادة المتفاعلة أو المنتج خلال فترة زمنية. إذا تغيرت التركيزات ، يتغير المعدل أيضًا.

        ثابت المعدل (k) هو ثابت التناسب الذي يربط معدلات التفاعل بالمواد المتفاعلة. إذا تغيرت التركيزات ، فإن معدل ثابت لا يتغير.

        للتفاعل مع المعادلة العامة: (aA + bB & rarrcC + dD )

        عادة ما يكون لقانون المعدل المحدد تجريبياً الشكل التالي:

        Q12.3.2

        مضاعفة تركيز المادة المتفاعلة تزيد من معدل التفاعل أربع مرات. بهذه المعرفة أجب عن الأسئلة التالية:

        1. ما هو ترتيب التفاعل بالنسبة لهذا المتفاعل؟
        2. يؤدي مضاعفة تركيز مادة متفاعل مختلفة إلى ثلاثة أضعاف إلى زيادة معدل التفاعل ثلاث مرات. ما هو ترتيب التفاعل بالنسبة لهذا المتفاعل؟

        Q12.3.3

        يؤدي مضاعفة تركيز المادة المتفاعلة إلى ثلاثة أضعاف إلى زيادة معدل التفاعل تسع مرات. بهذه المعرفة أجب عن الأسئلة التالية:

        1. ما هو ترتيب التفاعل بالنسبة لهذا المتفاعل؟
        2. تؤدي زيادة تركيز المادة المتفاعلة إلى أربعة أضعاف إلى زيادة معدل التفاعل أربع مرات. ما هو ترتيب التفاعل بالنسبة لهذا المتفاعل؟

        Q12.3.4

        إلى أي مدى وفي أي اتجاه سيؤثر كل مما يلي على معدل التفاعل: ( م(ز) + م(ز) & # 10230 م(ز) + م(ز) ) إذا كان قانون معدل التفاعل هو ( م= ك [ م]^2)?

        1. تقليل ضغط NO2 من 0.50 صراف آلي إلى 0.250 صراف آلي.
        2. زيادة تركيز ثاني أكسيد الكربون من 0.01 م إلى 0.03 م.

        الحـــــل (أ) تقلل العملية المعدل بمعامل 4 (ب) بما أن أول أكسيد الكربون لا يظهر فى قانون المعدل ، فإن المعدل لا يتأثر.

        Q12.3.5

        كيف سيؤثر كل مما يلي على معدل التفاعل: ( م(ز) + م(ز) & # 10230 م(ز) + م(ز) ) إذا كان قانون معدل التفاعل هو ( م= ك [ م] [ م]) ?

        1. زيادة ضغط NO2 من 0.1 atm إلى 0.3 atm
        2. زيادة تركيز ثاني أكسيد الكربون من 0.02 م إلى 0.06 م.

        Q12.3.6

        الرحلات المنتظمة للطائرات الأسرع من الصوت في الستراتوسفير تثير القلق لأن هذه الطائرات تنتج أكسيد النيتريك ، NO ، كمنتج ثانوي في عادم محركاتها. يتفاعل أكسيد النيتريك مع الأوزون ، وقد اقترح أن هذا يمكن أن يساهم في استنفاد طبقة الأوزون. رد الفعل ( م) هو الترتيب الأول فيما يتعلق بكل من NO و O3 بمعدل ثابت 2.20 × 10 7 لتر / مول / ثانية. ما هو معدل الاختفاء الفوري لـ NO عندما [NO] = 3.3 × 10 & minus6 م و [س3] = 5.9 × 10 & ناقص 7 م?

        Q12.3.7

        يستخدم الفوسفور المشع في دراسة آليات التفاعل الكيميائي الحيوي لأن ذرات الفوسفور هي مكونات للعديد من الجزيئات البيوكيميائية. يمكن اكتشاف موقع الفسفور (وموقع الجزيء المرتبط به) من الإلكترونات (جسيمات بيتا) التي ينتجها:

        ما هو معدل الإنتاج اللحظي للإلكترونات في عينة بتركيز فوسفور 0.0033؟ م?

        Q12.3.8

        ثابت المعدل للانحلال الإشعاعي 14 درجة مئوية هو 1.21 × 10 & ناقص 4 سنوات & ناقص 1. منتجات الاضمحلال هي ذرات النيتروجين والإلكترونات (جسيمات بيتا):

        ما هو المعدل اللحظي لإنتاج ذرات النيتروجين في عينة بها محتوى كربون -14 يبلغ 6.5 × 10 × سالب 9 م?

        Q12.3.9

        ما هو المعدل اللحظي لإنتاج ذرات N Q12.3.8 في عينة ذات محتوى كربون -14 1.5 × 10 & ناقص 9 م?

        Q12.3.10

        تحلل الأسيتالديهيد هو تفاعل من الدرجة الثانية بمعدل ثابت 4.71 × 10 & ناقص 8 لتر / مول / ثانية. ما هو معدل التحلل الفوري للأسيتالديهيد في محلول بتركيز 5.55 × 10 & ناقص 4؟ م?

        Q12.3.11

        تتم إزالة الكحول من مجرى الدم عن طريق سلسلة من التفاعلات الأيضية. ينتج التفاعل الأول أسيتالديهيد ثم يتم تكوين منتجات أخرى. تم تحديد البيانات التالية لمعدل إزالة الكحول من دم الرجل العادي ، على الرغم من أن المعدلات الفردية يمكن أن تختلف بنسبة 25 & ndash30٪. تستقلب النساء الكحول بشكل أبطأ قليلاً من الرجال:

        2ح5أوه] (م) 4.4 × 10 & ناقص 2 3.3 مرات 10 & ناقص 2 2.2 مرات 10 & ناقص 2
        معدل (مول / لتر / ساعة) 2.0 × 10 & ناقص 2 2.0 × 10 & ناقص 2 2.0 × 10 & ناقص 2

        أوجد معادلة المعدل ، وثابت المعدل ، والترتيب العام لهذا التفاعل.

        معدل = ك ك = 2.0 ومرات 10 & ناقص 2 مول / لتر / ساعة (حوالي 0.9 جم / لتر / ساعة للذكور العادي) التفاعل صفري الترتيب.

        Q12.3.12

        في ظل ظروف معينة ، يعطي تحلل الأمونيا على سطح معدني البيانات التالية:

        [نيو هامبشاير3] (م) 1.0 مرات 10 & ناقص 3 2.0 × 10 & ناقص 3 3.0 × 10 & ناقص 3
        المعدل (مول / لتر / ساعة 1) 1.5 × 10 & ناقص 6 1.5 × 10 & ناقص 6 1.5 × 10 & ناقص 6

        أوجد معادلة المعدل ، وثابت المعدل ، والترتيب العام لهذا التفاعل.

        Q12.3.13

        كلوريد النيتروسيل ، NOCl ، يتحلل إلى NO و Cl2.

        حدد معادلة المعدل ، وثابت المعدل ، والترتيب العام لهذا التفاعل من البيانات التالية:

        [NOCl] (م) 0.10 0.20 0.30
        معدل (مول / لتر / ساعة) 8.0 & مرات 10 & ناقص 10 3.2 مرات 10 & ناقص 9 7.2 × 10 & ناقص 9
        المحلول

        قبل أن نتمكن من معرفة ثابت المعدل أولاً ، يجب أولاً تحديد معادلة المعدل الأساسي وترتيب السعر. معادلة المعدل الأساسي لهذا التفاعل ، حيث n هو ترتيب معدل NOCl و k هو معدل ثابت ، هو

        منذ NOCl هو المتفاعل في التفاعل.

        من أجل معرفة ترتيب التفاعل ، يجب أن نجد ترتيب [NOCl] لأنه المادة المتفاعلة الوحيدة في التفاعل. للقيام بذلك ، يجب علينا فحص كيفية تغير معدل التفاعل مع تغير تركيز NOCl.

        نظرًا لأن [NOCl] يتضاعف في التركيز من 0.10 م إلى 0.20 م ، فإن المعدل ينتقل من 8.0 × 10 -10 إلى 3.2 × 10 -9

        (3.2 × 10 -9 (مول / لتر / ساعة)) / (8.0 × 10-10 (مول / لتر / ساعة)) = 4

        لذلك نستنتج أنه مع تضاعف [NOCl] ، يرتفع المعدل بمقدار 4. نظرًا لأن 2 2 = 4 يمكننا القول أن ترتيب [NOCl] هو 2 ، لذا فإن قانون المعدل المحدث لدينا

        الآن وقد حصلنا على الترتيب ، يمكننا التعويض بالقيم التجريبية الأولى من الجدول المعطى لإيجاد ثابت المعدل k

        (8.0 × 10-10 (مول / لتر / ساعة)) = ك (0.10 م) 2 بذلك

        تمكنا من إيجاد وحدات k باستخدام ترتيب السعر ، عندما يكون ترتيب السعر هو وحدتان من k تكون M -1 x sec -1

        إذن ، معادلة المعدل هي: rate = k [NOCl] 2 ، وهي من الرتبة الثانية ، و k = 8 x 10 -8 M -1 x sec -1

        قانون المعدل العام: [rate = underbrace <(8 times 10 ^ <-8>)> _ < text <1 / (M x sec) >> [NOCl] ^ 2 nonumber ]

        معدل = ك[NOCl] 2 ك = 8.0 مرات 10 & ناقص 8 لتر / مول / ثانية من الدرجة الثانية

        Q12.3.14

        من البيانات التالية ، حدد معادلة المعدل ، وثابت المعدل ، والترتيب فيما يتعلق أ للتفاعل (A & # 102302C ).

        [أ] (م) 1.33 × 10 & ناقص 2 2.66 × 10 & ناقص 2 3.99 × 10 & ناقص 2
        معدل (مول / لتر / ساعة) 3.80 × 10 & ناقص 7 1.52 × 10 & ناقص 6 3.42 مرات 10 & ناقص 6
        المحلول

        أ. باستخدام البيانات التجريبية ، يمكننا مقارنة تأثيرات تغيير [أ] على معدل التفاعل عن طريق ربط نسب [أ] بنسب المعدلات

        ب. من هذا نعلم أن مضاعفة تركيز A ستؤدي إلى مضاعفة معدل التفاعل أربع مرات. ترتيب رد الفعل هذا هو 2.

        يمكننا الآن كتابة معادلة السعر لأننا نعرف الترتيب:

        د. بإدخال مجموعة واحدة من البيانات التجريبية في معادلة المعدل ، يمكننا حل ثابت المعدل ، k:

        [3.8 times 10 ^ <-7> = k times (1.33 times 10 ^ <-2>) ^ <2> nonumber ]

        Q12.3.15

        يتفاعل أكسيد النيتروجين الثنائي مع الكلور وفقًا للمعادلة:

        لوحظت معدلات التفاعل الأولية التالية لتركيزات معينة من المتفاعلات:

        [لا] (مول / لتر 1) [Cl2] (مول / لتر) معدل (مول / لتر / ساعة)
        0.50 0.50 1.14
        1.00 0.50 4.56
        1.00 1.00 9.12

        ما هي معادلة المعدل التي تصف معدل اعتماد rsquos على تركيزات NO و Cl2؟ ما هو معدل ثابت؟ ما هي الأوامر فيما يتعلق بكل متفاعل؟

        يمكن كتابة المعدل كـ

        (المعدل = ك [A] ^[ب] ^) حيث k هو ثابت المعدل و m و n أوامر التفاعل.

        (2NO (g) + Cl_ <2> (g) rightarrow 2NOCl (g) )

        الآن ، علينا إيجاد أوامر رد الفعل. لا يمكن العثور على أوامر التفاعل إلا من خلال القيم التجريبية. يمكننا مقارنة تفاعلين حيث يكون لأحد المتفاعلين نفس التركيز لكلتا التجربتين ، وإيجاد ترتيب التفاعل.

        يمكننا استخدام البيانات الواردة في الجدول المقدم. إذا عوضنا بقيم الصفين 1 و 2 ، فإننا نرى أن قيم تركيز Cl ستلغي ، تاركًا معدلات وتركيزات NO فقط.

        يمكننا الآن إيجاد قيمة m وإيجاد m = 2. هذا يعني أن ترتيب رد الفعل لـ [لا] هو 2.

        الآن علينا إيجاد قيمة n. للقيام بذلك ، يمكننا استخدام نفس المعادلة ولكن مع القيم من الصفين 2 و 3. هذه المرة ، سيتم إلغاء تركيز NO.

        عندما نوجد n ، نجد أن n = 1. وهذا يعني أن ترتيب رد الفعل لـ [Cl2] هو 1.

        نحن نقترب خطوة واحدة من الانتهاء من معادلة السعر.

        أخيرًا ، يمكننا إيجاد ثابت المعدل. للقيام بذلك ، يمكننا استخدام إحدى تجارب التجربة ، والتعويض عن قيم المعدل وتركيزات المواد المتفاعلة ، ثم إيجاد قيمة k.

        (1.14 مول / لتر / ساعة = ك [0.5 مول / لتر] ^ <2> [0.5 مول / لتر] )

        إذن ، معادلة المعدل النهائي لدينا هي:

        * من الأخطاء الشائعة نسيان الوحدات. تأكد من تتبع وحداتك طوال عملية تحديد معدل ثابت. كن حذرًا لأن الوحدات ستتغير بالنسبة إلى ترتيب التفاعل.

        معدل = ك[NO] 2 [Cl]2 ك = 9.12 لتر 2 مول & ناقص 2 ساعة & ناقص 1 ثانية من المرتبة الأولى في الكلوريد2

        Q12.3.17

        يتفاعل الهيدروجين مع أول أكسيد النيتروجين لتكوين أول أكسيد ثنائي النيتروجين (غاز الضحك) وفقًا للمعادلة:

        [ م

        (ز) + م (ز) & # 10230 م(ز) + م(ز) غير رقم ] حدد معادلة المعدل ، وثابت المعدل ، والأوامر المتعلقة بكل متفاعل من البيانات التالية: [رقم] (م) 0.30 0.60 0.60 [ح2] (م) 0.35 0.35 0.70 معدل (مول / لتر / ثانية) 2.835 × 10 & ناقص 3 1.134 × 10 & ناقص 2 2.268 × 10 & ناقص 2 المحلول حدد معادلة المعدل ، وثابت المعدل ، والأوامر المتعلقة بكل متفاعل. يمكن تحديد ثابت المعدل والأوامر من خلال قانون المعدل التفاضلي. الشكل العام لقانون المعدل التفاضلي موضح أدناه: حيث A و B و C هي تركيزات المواد المتفاعلة ، k هو معدل ثابت ، و n و m و p تشير إلى ترتيب كل مادة متفاعلة. للعثور على أوامر كل متفاعل ، نرى ذلك عندما يتضاعف [لا] ولكن [H.2] لا يتغير ، المعدل يتضاعف أربع مرات ، مما يعني أن [NO] هو رد فعل من الدرجة الثانية ([NO] 2). عندما [H2] يتضاعف ولكن [لا] لا يتغير ، يتضاعف المعدل ، مما يعني أن [H.2] هو رد فعل من الدرجة الأولى. لذا فإن قانون المعدل سيبدو كالتالي: يمكننا استخدام قانون المعدل هذا لتحديد قيمة ثابت المعدل. قم بتوصيل البيانات الخاصة بتركيز المادة المتفاعلة والمعدل من إحدى التجارب لإيجاد ثابت المعدل لـ k. في هذه الحالة ، اخترنا استخدام البيانات من التجربة 1 من العمود الثاني لجدول البيانات. Q12.3.18 بالنسبة للتفاعل (A & # 10230B + C ) ، تم الحصول على البيانات التالية عند 30 درجة مئوية: ما هو ترتيب رد الفعل فيما يتعلق [أ] ، وما هي معادلة المعدل؟ ما هو معدل ثابت؟ 1. معادلة معدل رد فعل (n ) طلب تعطى كـ ( frac= ). حيث ([A] ) هو التركيز في M و ( frac) هو المعدل في M / s. يمكننا بعد ذلك استخدام كل مجموعة من نقاط البيانات ، وإدخال قيمها في معادلة المعدل وحلها من أجل (n ). لاحظ أنه يمكنك استخدام أي من نقاط البيانات طالما أن التركيز يتوافق مع معدلها. نقسم معادلة المعدل 1 على معادلة المعدل 2 لإلغاء k ، ثابت المعدل. الآن المجهول الوحيد الذي لدينا هو (n ). باستخدام قواعد اللوغاريتم يمكن للمرء حلها. معادلة المعدل هي الدرجة الثانية بالنسبة إلى A وتتم كتابتها كـ ( frac= ). 2. يمكننا حل قيمة (k ) عن طريق إدخال أي نقطة بيانات في معادلة المعدل ( frac= ). استخدام نقاط البيانات الأولى على سبيل المثال ([A] = 0.230 : frac) و ( frac = 4.17 مرات ^ : frac)] نحصل على المعادلة (4.17 times ^ : frac=]^2>) الذي يحل لـ (k = 7.88 times ^ frac) نظرًا لأننا نعلم أن هذا رد فعل من الدرجة الثانية ، يمكن أيضًا كتابة الوحدات المناسبة لـ (k ) كـ ( frac ) (أ) معادلة السعر من الدرجة الثانية في A وتكتب على أنها rate = ك[أ] 2. (ب) ك = 7.88 مرات 10 & ناقص 13 لتر مول & ناقص 1 ثانية & ناقص 1 Q12.3.19 بالنسبة للتفاعل (Q & # 10230W + X ) ، تم الحصول على البيانات التالية عند 30 درجة مئوية: ما هو ترتيب رد الفعل فيما يتعلق [س] ، وما هي معادلة المعدل؟ ما هو معدل ثابت؟ ما هو ترتيب رد الفعل فيما يتعلق [س] ، وما هي معادلة المعدل؟ رد فعل الطلب: 2 لأنك عندما تستخدم تجربة النسبة 3: 2 ، ستبدو كما يلي: ( ( dfrac > > )) = ( ( dfrac >>)) 2.82 = 1.7 س س = 2 لذا فإن ترتيب التفاعل هو 2 معادلة معدل التفاعل: معدل = ك [س] 2 للعثور على ثابت المعدل (k) ، قم ببساطة بتوصيل وحساب إحدى التجارب في معادلة المعدل 1.04 × 10 -2 = ك [0.212] 2 ك = 0.231 (م ^ ث ^ ) Q12.3.20 ثابت معدل التحلل من الدرجة الأولى عند 45 درجة مئوية لخامس أكسيد ثنائي النيتروجين ، N2ا5، مذاب في الكلوروفورم ، CHCl3، هو 6.2 × 10 & ناقص 4 ناقص & 1. ما هو معدل رد الفعل عند [N2ا5] = 0.40 م? الخطوة 1: الخطوة الأولى هي كتابة قانون المعدل. نحن نعرف الصيغة العامة لقانون الدرجة الأولى. وهي كالتالي: Rate = k [A] الخطوة 2: نقوم الآن بالتوصيل [N2ا5] في لـ [A] في قانون المعدل العام لدينا. نعوض أيضًا بثابت المعدل (k) ، الذي حصلنا عليه. تبدو معادلتنا الآن كما يلي: الخطوه 3: نعوض الآن بالمولارية المعطاة. [ن2ا5] = 0.4 م. الآن تبدو المعادلة كما يلي: الخطوة الرابعة: نحل المعادلة الآن. المعدل = (6.2 × 10 -4 دقيقة -1) (0.4 م) = 2.48 × 10 -4 م / دقيقة. الخطوة الخامسة: استخدم الأرقام المهمة وتحويل الوحدة لتقريب 2.48 × 10 -4 م / دقيقة إلى 2.5 ومرات 10 وناقص 4 (مولات) لتر -1 دقيقة -1 Q12.3.21 الإنتاج السنوي من HNO3 في عام 2013 كان 60 مليون طن متري تم تحضير معظمها بالتسلسل التالي من التفاعلات ، كل منها يعمل في وعاء تفاعل منفصل. ( م (ز) + م (ز) & # 10230 م (ز) + م (ز) ) ( م (ز) + م(ز) & # 10230 م (ز) ) ( م (ز) + م(ل) & # 10230 م (عبد القدير) + م(ز) ) يتم إجراء التفاعل الأول عن طريق حرق الأمونيا في الهواء فوق محفز بلاتيني. رد الفعل هذا سريع. التفاعل في المعادلة (ج) سريع أيضًا. يحد التفاعل الثاني المعدل الذي يمكن به تحضير حمض النيتريك من الأمونيا. إذا كانت المعادلة (ب) هي المرتبة الثانية في NO والترتيب الأول في O2، ما هو معدل تكوين NO2 عندما يكون تركيز الأكسجين 0.50 م وتركيز أكسيد النيتريك 0.75 م؟ معدل ثابت للتفاعل هو 5.8 × 10 & ناقص 6 لتر 2 / مول 2 / ثانية. لتحديد قانون معدل المعادلة ، نحتاج إلى النظر إلى خطوتها البطيئة. نظرًا لأن كلا المعادلتين أ وج سريعان ، يمكن اعتبار المعادلة ب الخطوة البطيئة للتفاعل. تعتبر الخطوة البطيئة أيضًا المعدل الذي يحدد خطوة النظام. ومن ثم ، فإن الخطوة التي تحدد المعدل هي الخطوة الثانية لأنها الخطوة البطيئة. معدل إنتاج (NO_2 = k [A] ^ m [B] ^ n ) Q12.3.22 تم تحديد البيانات التالية للتفاعل: 1 2 3 ( mathrm >) (م) 0.10 0.20 0.30 ( mathrm >) (م) 0.050 0.050 0.010 معدل (مول / لتر / ثانية) 3.05 مرات 10 & ناقص 4 6.20 مرات 10 & ناقص 4 1.83 × 10 & ناقص 4 أوجد معادلة المعدل وثابت المعدل لهذا التفاعل. باستخدام المواد المتفاعلة ، يمكننا تشكيل قانون معدل التفاعل: $ r = k [OCl ^ -] ^ n [I ^ -] ^ m ] من هناك ، نحتاج إلى استخدام البيانات لتحديد ترتيب كل من ([OCl ^ -] ) و ([I ^ -] ). للقيام بذلك ، نحتاج إلى مقارنة (r_1 ) بـ (r_2 ) بحيث: يمكننا & اقتباس & اقتباس تركيز ([OCl ^ -] ) لأنه يحتوي على نفس التركيز في كلتا التجربتين المستخدمتين. الآن بعد أن علمنا أن m ( ([I ^ -] )) لديه الترتيب الأول من 1. لا يمكننا & quotcross out & quot ([I ^ -] ) للعثور على ([OCl ^ -] ) لأنه لا توجد تجربتان لهما نفس التركيز. لإيجاد قيمة n ، نعوض بـ 1 عن m. بما أننا نعلم أن رتبتي n و m تساوي واحدًا ، فلا يمكننا استبدالهما في معادلة قانون المعدل جنبًا إلى جنب مع التركيزات ذات الصلة (إما من التفاعل الأول أو الثاني أو الثالث) وإيجاد معدل ثابت ، k . وبالتالي فإن قانون المعدل الإجمالي هو: $ r = (6.1 * 10 ^ frac ) [OCl ^ -] [I ^ -] ] تعتمد وحدات K على الترتيب العام للتفاعل. لإيجاد الترتيب العام ، نجمع m و n معًا. من خلال القيام بذلك ، نجد ترتيبًا إجماليًا قدره 2. وهذا هو السبب في أن وحدات K هي $ frac ] Q12.3.23 المتفاعلات والمنتجات غازات عند درجة حرارة التفاعل. تم قياس بيانات المعدل التالية لثلاث تجارب: من هذه البيانات ، اكتب معادلة المعدل لتفاعل الغاز هذا. ما هو ترتيب رد الفعل في NO ، Cl2و بشكل عام؟ احسب ثابت المعدل المحدد لهذا التفاعل. أ. يمكن تحديد معادلة المعدل من خلال تصميم التجارب التي تقيس تركيز (تركيز) واحد أو أكثر من المواد المتفاعلة أو المنتجات كدالة للوقت. بالنسبة للتفاعل (A + B rightarrow products ) ​​، على سبيل المثال ، نحتاج إلى تحديد ك والأس م و ن في المعادلة التالية: [المعدل = ك [A] ^ م [B] ^ n غير رقم ] للقيام بذلك ، يمكن الحفاظ على التركيز الأولي لـ B ثابتًا مع تغيير التركيز الأولي لـ A وحساب معدل التفاعل الأولي. قد تستنتج هذه المعلومات أمر التفاعل فيما يتعلق بـ A. يمكن إجراء نفس العملية للعثور على أمر التفاعل فيما يتعلق بـ B. في هذا المثال بالذات ، [ فارك= فاركلا يوجد رقم ] إذن أخذ القيم من الجدول ، [ frac > > = fracلا يوجد رقم ] وبإلغاء الشروط المتشابهة ، يتبقى لك [ frac > > = frac nonumber ] الآن ، حل ل m (4 = 2 ^ م Longrightarrow م = 2 ) لأن م = 2 ، رد الفعل بالنسبة لـ (لا ) هو 2. (NO ) من الدرجة الثانية. يمكنك تكرار نفس العملية للعثور على n. الآن هذه المرة ، أوجد قيمة n لأن n = 1 ، يكون رد الفعل بالنسبة لـ (Cl_2 ) هو 1. (Cl_2 ) من الدرجة الأولى. إذن معادلة المعدل هي [rate = k [NO] ^ 2 [Cl_2] ^ 1 nonumber ] للعثور على ترتيب السعر الإجمالي ، ما عليك سوى إضافة الأوامر معًا. الدرجة الثانية + الدرجة الأولى تجعل الترتيب الثالث لرد الفعل العام. ب. يتم حساب ثابت المعدل عن طريق إدخال البيانات من أي صف من الجدول في قانون المعدل المحدد تجريبياً وحل k. لرد فعل من الدرجة الثالثة ، وحدات k هي (frac ). باستخدام التجربة 1 ، [rate = k [NO] ^ 2 [Cl_2] ^ 1 Longrightarrow 5.1 * 10 ^ frac= k [0.5m atm] ^ 2 [0.5 atm] ^ 1 nonumber ] [ك = 0.0408 فارك لا يوجد رقم ] الترتيب العام لرد الفعل هو ثلاثة. 10.3.1: النظرية الأساسية للأنظمة الخطية المتجانسة (تمارين)

        نظرية الانحناء المرن

        الإجهاد ، الإجهاد ، البعد ، الانحناء ، المرونة ، كلها مرتبطة ، في ظل افتراض معين ، بنظرية الانحناء البسيط. تتعلق هذه النظرية بانثناء الحزمة الناتج عن الأزواج المطبقة على الحزمة دون النظر إلى قوى القص.

        مبدأ التراكب

        يعد مبدأ التراكب أحد أهم الأدوات لحل مشاكل تحميل الحزمة مما يسمح بتبسيط مشاكل التصميم المعقدة للغاية ..

        بالنسبة للحزم المعرضة لعدة أحمال من أنواع مختلفة ، يمكن العثور على قوة القص الناتجة ، ولحظة الانحناء ، والانحدار ، والانحراف في أي مكان عن طريق جمع التأثيرات الناتجة عن كل حمل يعمل بشكل منفصل مع الأحمال الأخرى.

        ه = سلالة
        E = معامل Young = & # 963 / e (N / m 2)
        y = مسافة السطح من السطح المحايد (م).
        R = نصف قطر المحور المحايد (م).
        أنا = لحظة القصور الذاتي (م 4 - أكثر عادة سم 4)
        Z = معامل القسم = I / yالأعلى(م 3 - أكثر عادة سم 3)
        F = القوة (N)
        س = المسافة على طول الشعاع
        & # 948 = انحراف (م)
        & # 952 = المنحدر (راديان)
        & # 963 = الإجهاد (N / م 2)

        لا يخضع الشريط المستقيم من مادة متجانسة إلا للحظة في أحد طرفيه ولحظة متساوية ومعاكسة في الطرف الآخر.

        الشعاع متماثل حول YY
        تظل المقاطع المستوية المستوية مستوية وطبيعية للألياف الطولية بعد الانحناء (افتراض بيرولي)
        العلاقة الثابتة بين الإجهاد والانفعال (معامل يونغ) لمادة الحزمة هي نفسها بالنسبة للتوتر والضغط (& # 963 = E.e)

        ضع في اعتبارك قسمين قريبين جدًا من بعضهما (AB و CD).
        بعد ثني المقاطع ستكون عند A'B 'و C'D ولم تعد متوازية. سيتم تمديد التيار المتردد إلى A'C 'وسيتم ضغط BD إلى B'D'
        سيتم تحديد موقع الخط EF بحيث لا يتغير طوله. يسمى هذا السطح بالسطح المحايد ويسمى تقاطعه مع Z_Z المحور المحايد
        تتقاطع خطوط تطوير A'B 'و C'D عند نقطة 0 بزاوية & # 952 راديان ونصف قطر E'F' = R
        لنفترض أن y هي المسافة (E'G ') لأي طبقة H'G' في الأصل موازية لـ EF .. ثم

        والسلالة e عند طبقة H'G '=

        e = (H'G'- HG) / HG = (H'G'- HG) / EF = [(R + y) & # 952 - R & # 952] / R & # 952 = y / R

        العلاقة المقبولة بين الإجهاد والانفعال هي & # 963 = E.e لذلك

        لذلك ، بالنسبة للمثال الموضح ، يرتبط إجهاد الشد ارتباطًا مباشرًا بالمسافة فوق المحور المحايد. يرتبط الضغط الانضغاطي أيضًا ارتباطًا مباشرًا بالمسافة أسفل المحور المحايد. بافتراض أن E هو نفسه للضغط والتوتر ، فإن العلاقة هي نفسها.

        نظرًا لأن الحزمة في حالة توازن ثابت ولا تخضع إلا للحظات (لا توجد قوى قص رأسية) ، فإن القوى عبر القسم (AB) تكون طولية تمامًا ويجب أن توازن قوى الضغط الكلية قوى الشد الكلية. يجب أن يساوي الزوجان الداخليان الناتجان عن مجموع (& # 963 .dA .y) على القسم بأكمله اللحظة المطبقة خارجيًا.

        يمكن أن يكون هذا صحيحًا فقط إذا كانت & # 931 (y & # 948 a) أو & # 931 (y.z. & # 948 y) هي لحظة منطقة المقطع حول المحور المحايد. يمكن أن يكون هذا صفراً فقط إذا كان المحور يمر عبر مركز الثقل (النقطه الوسطى) للقسم.

        يجب أن يساوي الزوجان الداخليان الناتجان عن مجموع (& # 963 .dA .y) على القسم بأكمله اللحظة المطبقة خارجيًا. لذلك فإن زوجي القوة الناتجة عن الضغط على كل منطقة عند تجميعها على المنطقة بأكملها سوف تساوي اللحظة المطبقة

        مما سبق ، نتائج علاقة ثني الحزمة البسيطة التالية

        يتضح من الأعلى أن الحزمة البسيطة المعرضة للانحناء تولد ضغطًا أقصى على السطح الأبعد عن المحور المحايد. بالنسبة للأقسام المتماثلة حول Z-Z ، يكون الحد الأقصى لضغط الشد والضغط متساويًا.

        العامل I / yالأعلى يتم إعطاء اسم قسم المعامل (Z) وبالتالي

        يتم توفير قيم Z في الجداول التي توضح خصائص أقسام الصلب القياسية

        يظهر أدناه قوس المحور المحايد لحزمة قابلة للانحناء.

        للزاوية الصغيرة dy / dx = tan & # 952 = & # 952
        تم تحديد انحناء الحزمة على أنه d & # 952 / ds = 1 / R.
        في الشكل & # 948 & # 952 صغير و # 948 x عمليًا = & # 948 s أي ds / dx = 1

        من هذا التقريب البسيط يتم اشتقاق العلاقات التالية.

        التكامل بين الحدود المختارة.

        يتم الحصول على الانحراف بين الحدود من خلال مزيد من التكامل.

        لقد ثبت المرجع Shear - الانحناء أن dM / dx = S و dS / dx = -w = d 2 M / dx
        حيث S = قوة القص M هي اللحظة و w هي الحمولة الموزعة / طول الوحدة للحزمة. وبالتالي

        إذا كانت w ثابتة أو دالة قابلة للتكامل لـ x ، فيمكن استخدام هذه العلاقة للوصول إلى التعبيرات العامة لـ S أو M أو dy / dx أو y من خلال عمليات تكامل تقدمية مع إضافة ثابت تكامل في كل مرحلة. يمكن استخدام خصائص الدعامات أو المثبتات لتحديد الثوابت. (س = 0 - مدعوم ببساطة ، dx / dy = 0 نهاية ثابتة ، إلخ)

        بطريقة مماثلة ، إذا كان التعبير عن لحظة الانحناء معروفًا ، فيمكن الحصول على الميل والانحراف في أي نقطة x بالتكامل الفردي والمزدوج للعلاقة وتطبيق ثوابت تكامل مناسبة.

        يمكن استخدام وظائف التفرد لتحديد القيم عندما لا يكون التحميل مرجعًا بسيطًا وظائف التفرد


        مثال - شعاع ناتئ

        ضع في اعتبارك شعاع ناتئ (قسم موحد) بحمل واحد مركّز في النهاية. عند النهاية الثابتة x = 0 ، dy = 0 ، dy / dx = 0

        من توازن التوازن .. عند الدعم يوجد عزم مقاومة -FL وقوة رأسية صاعدة F.
        في أي نقطة x على طول الحزمة توجد لحظة F (x - L) = Mx = E I d 2 y / dx 2

        مثال - شعاع مدعوم ببساطة

        ضع في اعتبارك شعاعًا موحدًا مدعومًا ببساطة مع حمل واحد F في المركز. سوف تنحرف الحزمة بشكل متماثل حول خط الوسط مع انحدار 0 (dy / dx) عند خط الوسط. من الملائم تحديد الأصل في خط الوسط.

        هذه طريقة لتحديد التغير في الميل أو الانحراف بين نقطتين على الحزمة. يتم التعبير عنها على شكل نظريتين.

        نظرية 1
        إذا كانت A و B نقطتين على الحزمة ، فإن التغير في الزاوية (راديان) بين الظل عند A والماس عند B يساوي مساحة مخطط لحظة الانحناء بين النقطتين مقسومة على القيمة ذات الصلة من EI (الانحناء ثابت الصلابة).

        نظرية 2
        إذا كانت A و B نقطتين على الحزمة ، فإن إزاحة B بالنسبة إلى ظل الحزمة عند A تساوي لحظة منطقة مخطط لحظة الانحناء بين A و B حول الإحداثي عبر B مقسومًا على القيمة ذات الصلة من EI (ثابت صلابة الانحناء).

        أمثلة .. يتم توفير مثالين بسيطين أدناه لتوضيح هذه النظريات

        مثال 1) تحديد انحراف وانحدار ناتئ كما هو موضح ..

        لحظة الانحناء عند A = M.أ = -FL
        منطقة مخطط لحظة الانحناء أم = -F.L 2/2
        المسافة إلى النقطه الوسطى لمخطط BM من B = xج = 2 لتر / 3
        إنحراف B = y ب = أ م.x ج / E I = -F.L 3 / 3EI
        المنحدر عند B بالنسبة إلى الظل عند A = & # 952 ب = أم / E I = -FL 2 / 2EI

        مثال 2) تحديد الانحراف المركزي والمنحدرات النهائية للحزمة المدعومة ببساطة كما هو موضح ..

        E = 210 جيجا باسكال. أنا = 834 سم 4. EI = 17514. 10 6 نيوتن متر 2

        أ1 = 10. 1،8. 1،8 / 2 = 16،2 كيلو نيوتن متر 2
        أ2 = 10. 1،8. 2 = 36 كيلو نيوتن متر 2
        أ3 = 10. 1،8. 2 = 36 كيلو نيوتن متر 2
        أ4 = 10. 1،8. 1،8 / 2 = 16،2 كيلو نيوتن متر 2
        x1 = سنترويد من أ1 = (2/3). 1،8 = 1،2 م
        x2 = سنترويد من أ2 = 1،8 + 1 = 2،8 م
        x3 = سنترويد من أ3 = 1،8 + 1 = 2،8 م
        x4 = سنترويد من أ4 = (2/3). 1،8 = 1،2 م

        يُعطى المنحدر عند A بمساحة مخطط العزم بين A و C مقسومًا على EI.

        θ أ = (أ1 + أ2) / EI = (16،2 + 36) .10 3 / (1،7514.106)
        = 0،029rads = 1،7 درجة

        الانحراف عند المركز (C) يساوي انحراف النقطة A فوق خط مماس لـ C.
        لذلك يجب أخذ اللحظات حول خط الانحراف عند A.

        يمكن معالجة الحزم المصنوعة من أكثر من مادة واحدة باستخدام تقنية العرض المكافئ إذا كانت الضغوط القصوى في كل مادة ضمن حدود مرونة المواد ذات الصلة. النظر في شعاع مركب كما هو موضح أدناه. يحتوي الفولاذ على معامل مرونة Eس = 210.10 3 نيوتن / مم 2 والألمنيوم له حرف Eأ = 78.10 3 نيوتن / مم 2.

        يتم تحليل الحزمة المركبة على الافتراض الأساسي بأن الأسطح المستوية تظل مستوية أثناء الانحناء داخل الحد المرن ، وبالتالي فإن الإجهاد (الانحراف / الطول الأصلي) ثابتًا أسفل العمق الكامل للحزمة ، أي أن الانحراف يتناسب مع المسافة من المحور المحايد من الشعاع. الإجهاد يساوي (الإجهاد / معامل يونغز (E)) راجع الشكل أدناه

        الآن للحصول على القسم المكافئ وهو الألمنيوم بالكامل ، يجب أن تكون أبعاد الألمنيوم البديل بحيث تكون الخواص الميكانيكية معادلة للمادة الأصلية. العمق الكلي للقسم المحول هو نفس القسم الأصلي. يجب أن يكون الضغط الناتج في أي عنصر dA للقسم المحول ثابتًا.

        المساحة المكافئة للقسم المحول على أساس الألومنيوم تساوي مساحة قسم الصلب الأصلي x nSA. إذا كان عمق المقطع المحول هو نفس القسم الأصلي ، فسيكون عرض قسم الألومنيوم المحول يساوي nSA x عرض قسم الصلب الأصلي.

        يجب أن تخضع المنطقة المكافئة لقسم الألمنيوم لنفس الإجهاد مثل قسم الصلب الأصلي الموضوع على نفس المسافة من المحور المحايد للقسم. يمكن استخدام نظرية الشعاع البسيط لحساب ضغوط الانحناء في المقطع المحول. ستكون الضغوط الفعلية ، بالطبع ، n x الضغوط المحسوبة في القسم المحول.

        مثال على الحزم المركبة

        ضع في اعتبارك شعاعًا مركبًا يتكون من أقسام من الصلب والنحاس والألومنيوم. أنتج قسمًا مكافئًا على أساس الألومنيوم. احسب موضع المحور المحايد ولحظة القصور الذاتي للقسم المكافئ.

          . Mississipi State U. Pure Bending محاضرة ملاحظات .. مفيدة جدًا. مجموعة مفيدة جدا من الملاحظات. بسيطة جدا وسهلة لمتابعة الملاحظات

        تذكر - المعلومات الواردة في هذا الموقع هي لأغراض المعلومات العامة فقط ، وبينما نسعى للحفاظ على المعلومات محدثة وصحيحة ، فإننا لا نقدم أي تعهدات أو ضمانات من أي نوع ، صريحة أو ضمنية ، حول اكتمالها ودقتها وموثوقيتها وملاءمتها أو التوفر. وبالتالي فإن أي اعتماد تضعه على هذه المعلومات يكون على مسؤوليتك الخاصة.

        توفي روي بيردمور في 9 مارس 2013. وهو مفقود للأسف. كان موقع الويب هذا ، Roymech ، مصدرًا لا يقدر بثمن للمهندسين حول العالم ونأمل في الحفاظ على هذا الإرث المذهل في المستقبل.


        شاهد الفيديو: Using Gauss-Jordan to Solve a System of Three Linear Equations - Example 1 (شهر اكتوبر 2021).