مقالات

10.7: تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة - الرياضيات


حيث (A ) هي (n times n ) دالة مصفوفة و ({ bf f} ) هي (n ) - دالة فرض متجه. يرتبط بهذا النظام النظام التكميلي ({ bf y} '= A (t) { bf y} ).

النظرية التالية مماثلة للنظريات 5.3.2 و 9.1.5. يوضح كيفية العثور على الحل العام لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) إذا كنا نعرف حلًا معينًا لـ ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) ومجموعة أساسية من حلول النظام التكميلي. نترك الدليل كتمرين (تمرين 10.7.21).

إيجاد حل خاص لنظام غير متجانس

نناقش الآن امتدادًا لطريقة تغيير المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة. ستنتج هذه الطريقة حلاً معينًا لنظام غير متجانس ({ bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ) بشرط أن نعرف مصفوفة أساسية للمصفوفة التكميلية النظام. لاشتقاق الطريقة ، افترض أن (Y ) مصفوفة أساسية للنظام التكميلي ؛ هذا هو،

[Y = left [ begin {array} {cccc} y_ {11} & y_ {12} & cdots & y_ {1n} y_ {21} & y_ {22} & cdots & y_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots y_ {n1} & y_ {n2} & cdots & y_ {nn} end {array} right]، nonumber ]

أين

[{ bf y} _1 = left [ start {array} {c} y_ {11} y_ {21} vdots y_ {n1} end {array} right]، رباعي { bf y} _2 = يسار [ تبدأ {مجموعة} {c} y_ {12} y_ {22} vdots y_ {n2} end {array} right] ، quad cdots ، رباعي { bf y} _n = left [ start {array} {c} y_ {1n} y_ {2n} vdots y_ {nn} end {array} right ]لا يوجد رقم ]

هي مجموعة أساسية من حلول النظام التكميلي. في القسم 10.3 رأينا ذلك (Y '= A (t) Y ). نحن نسعى لحل خاص ل

[ label {eq: 10.7.1} { bf y} '= A (t) { bf y} + { bf f} (t) ]

النموذج

[ label {eq: 10.7.2} { bf y} _p = Y { bf u}، ]

حيث سيتم تحديد ({ bf u} ). تفريق المعادلة المرجع {eq: 10.7.2} ينتج

[ start {align} { bf y} _p '& = Y' { bf u} + Y { bf u} ' & = AY { bf u} + Y { bf u}' mbox {(منذ $ Y '= AY $)} & = A { bf y} _p + Y { bf u}' mbox {(منذ $ Y { bf u} = { bf y} _p $)}. end {align} nonumber ]

توضح مقارنة هذا مع المعادلة المرجع {eq: 10.7.1} أن ({ bf y} _p = Y { bf u} ) هو حل المعادلة المرجع {eq: 10.7.1} إذا وفقط إذا

[Y { bf u} '= { bf f}. non number ]

وبالتالي ، يمكننا إيجاد حل معين ({ bf y} _p ) من خلال حل هذه المعادلة لـ ({ bf u} ') ، والتكامل للحصول على ({ bf u} ) ، والحساب (نعم { bf u} ). يمكننا اعتبار جميع ثوابت التكامل صفرًا ، حيث يكفي أي حل معين.

تمرين 10.7.22 يرسم دليلًا على أن هذه الطريقة مماثلة لطريقة تغيير المعلمات التي تمت مناقشتها في القسمين 5.7 و 9.4 للمعادلات الخطية العددية.

مثال ( PageIndex {1} ):

  1. ابحث عن حل معين للنظام [ label {eq: 10.7.3} { bf y} '= left [ begin {array} {cc} {1} & {2} {2} & { 1} end {array} right] { bf y} + left [ begin {array} {c} 2e ^ {4t} e ^ {4t} end {array} right]، ] التي أخذناها في الاعتبار في المثال 10.2.1.
  2. أوجد الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 10.7.3}.

الحل أ

النظام التكميلي

[ label {eq: 10.7.4} { bf y} '= left [ begin {array} {cc} {1} & {2} {2} & {1} end {array} حق] { bf y}. ]

كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل هو

[ left | start {array} {cc} 1- lambda & 2 2 & 1- lambda end {array} right | = ( lambda + 1) ( lambda-3). nonumber ]

باستخدام طريقة القسم 10.4 ، نجد ذلك

[{ bf y} _1 = left [ start {array} {r} e ^ {3t} e ^ {3t} end {array} right] quad text {and} quad { bf y} _2 = left [ start {array} {r} e ^ {- t} - e ^ {- t} end {array} right] nonumber ]

هي حلول مستقلة خطيًا للمعادلة المرجع {eq: 10.7.4}. وبالتالي

[Y = left [ begin {array} {rr} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & - e ^ {- t} end {array} right] لا يوجد رقم ]

هي مصفوفة أساسية للمعادلة المرجع {eq: 10.7.4}. نسعى إلى حل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من المعادلة المرجع {eq: 10.7.3} ، حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

[ left [ begin {array} {rr} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & - e ^ {- t} end {array} right] twocol { u_1 '} {u_2'} = left [ start {array} {c} 2e ^ {4t} e ^ {4t} end {array} right]. nonumber ]

محدد (Y ) هو Wronskian

[ left | start {array} {rr} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & - e ^ {- t} end {array} right | = -2e ^ {2t}. nonumber ]

بحكم كريمر ،

[ start {array} {cccccccc} {u_ {1} '} & {=} & {- frac {1} {2e ^ {2t}}} & { left | begin {array} {cc} {2e ^ {4}} & {e ^ {- t}} {e ^ {4t}} & {- e ^ {- t}} end {array} right | } & {=} & { frac {3e ^ {3t}} {2e ^ {2t}}} & {=} & { frac {3} {2} e ^ {t}،} {u_ { 2} '} & {=} & {- frac {1} {2e ^ {2t}}} & { left | begin {array} {cc} {e ^ {3t}} & {2e ^ {4t }} {e ^ {3t}} & {e ^ {4t}} end {array} right |} & {=} & { frac {e ^ {7t}} {2e ^ {2t}} } & {=} & { frac {1} {2} e ^ {5t}.} end {array} nonumber ]

وبالتالي

[{ bf u} '= {1 over2} left [ start {array} {c} 3e ^ t e ^ {5t} end {array} right]. nonumber ]

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

[{ bf u} = {1 over10} left [ start {array} {c} 15e ^ t e ^ {5t} end {array} right]، nonumber ]

وبالتالي

[{ bf y} _ {p} = Y { bf u} = frac {1} {10} left [ begin {array} {cc} {e ^ {3t}} & {e ^ { -t}} {e ^ {3t}} & {- e ^ {- t}} end {array} right] left [ begin {array} {c} {15e ^ {t}} {e ^ {5t}} end {array} right] = frac {1} {5} left [ begin {array} {c} {8e ^ {4t}} {7e ^ {4t }} end {array} right] nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 10.7.3}.

الحل ب

من النظرية ( PageIndex {1} ) ، الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 10.7.3} هو

[ label {eq: 10.7.5} { bf y} = { bf y} _p + c_1 { bf y} _1 + c_2 { bf y} _2 = {1 over5} left [ begin {array} {c} 8e ^ {4t} 7e ^ {4t} end {array} right] + c_1 left [ begin {array} {r} e ^ {3t} e ^ {3t } end {array} right] + c_2 left [ start {array} {r} e ^ {- t} - e ^ {- t} end {array} right]، ]

والتي يمكن كتابتها أيضًا باسم

[{ bf y} = {1 over5} left [ start {array} {c} 8e ^ {4t} 7e ^ {4t} end {array} right] + left [ begin {array} {rr} e ^ {3t} & e ^ {- t} e ^ {3t} & - e ^ {- t} end {array} right] { bf c}، nonumber ]

حيث ({ bf c} ) متجه ثابت تعسفي.

كتابة المعادلة المرجع {eq: 10.7.5} من حيث عوائد الإحداثيات

[ begin {align} y_1 & = {8 over5} e ^ {4t} + c_1e ^ {3t} + c_2e ^ {- t} y_2 & = {7 over5} e ^ {4t} + c_1e ^ { 3t} -c_2e ^ {- t}، end {align} nonumber ]

لذا فإن نتيجتنا تتوافق مع المثال 10.2.1.

إذا لم يكن (A ) مصفوفة ثابتة ، فمن الصعب عادةً العثور على مجموعة أساسية من الحلول للنظام ({ bf y} '= A (t) { bf y} ). إنه خارج نطاق هذا النص لمناقشة طرق القيام بذلك. لذلك ، في الأمثلة التالية وفي التمارين التي تتضمن أنظمة ذات مصفوفات معامل متغيرة ، سنوفر مصفوفات أساسية للأنظمة التكميلية دون شرح كيفية الحصول عليها.

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 10.7.6} { bf y} '= left [ begin {array} {cc} 2 & 2e ^ {- 2t} 2e ^ {2t} & 4 end {array} right ] { bf y} + twocol11، ]

بشرط

[Y = left [ begin {array} {cc} e ^ {4t} & - 1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right] nonumber ]

هي مصفوفة أساسية للنظام التكميلي.

المحلول

نسعى إلى حل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من المعادلة المرجع {eq: 10.7.6} حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

[ left [ begin {array} {cc} e ^ {4t} & - 1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right] twocol {u_1 '} {u_2' } = twocol11. nonumber ]

محدد (Y ) هو Wronskian

[ left | begin {array} {cc} e ^ {4t} & - 1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right | = 2e ^ {6t}. nonumber ]

بحكم كريمر ،

[ start {array} {cccccccc} {u_ {1} '} & {=} & { frac {1} {2e ^ {6t}}} & { left | begin {array} {cc} { 1} & {- 1} {1} & {e ^ {2t}} end {array} right |} & {=} & { frac {e ^ {2t} +1} {2e ^ { 6t}}} & {=} & { frac {e ^ {- 4t} + e ^ {- 6t}} {2}} {u_ {2} '} & {=} & { frac {1 } {2e ^ {6t}}} & { left | begin {array} {cc} {e ^ {4t}} & {1} {e ^ {6t}} & {1} end {array } right |} & {=} & { frac {e ^ {4t} -e ^ {6t}} {2e ^ {6t}}} & {=} & { frac {e ^ {- 2t} - 1} {2}} end {array} nonumber ]

وبالتالي

[{ bf u} '= {1 over2} left [ start {array} {c} e ^ {- 4t} + e ^ {- 6t} e ^ {- 2t} -1 end {مجموعة} يمين]. غير رقم ]

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

[{ bf u} = - {1 over24} left [ start {array} {c} 3e ^ {- 4t} + 2e ^ {- 6t} 6e ^ {- 2t} + 12t end {مجموعة} يمين] ، غير رقم ]

وبالتالي

[{ bf y} _p = Y { bf u} = - displaystyle {1 over24} left [ begin {array} {cc} e ^ {4t} & - 1 e ^ {6t} & e ^ {2t} end {array} right] left [ begin {array} {c} 3e ^ {- 4t} + 2e ^ {- 6t} 6e ^ {- 2t} + 12t end { صفيف} right] = displaystyle {1 over24} left [ begin {array} {c} 4e ^ {- 2t} + 12t-3 - 3e ^ {2t} (4t + 1) -8 نهاية {مجموعة} يمين] غير رقم ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 10.7.6}.

مثال ( PageIndex {3} )

ابحث عن حل خاص لـ

[ label {eq: 10.7.7} { bf y} '= - {2 over t ^ 2} left [ begin {array} {cc} t & -3t ^ 2 1 & -2t end {مجموعة} يمين] { bf y} + t ^ 2 twocol11، ]

بشرط

[Y = left [ start {array} {cc} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right] nonumber ]

هي مصفوفة أساسية للنظام التكميلي على ((- infty ، 0) ) و ((0 ، infty) ).

المحلول

نسعى إلى حل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من المعادلة المرجع {eq: 10.7.7} حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

[ left [ start {array} {cc} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right] twocol {u_1 '} {u_2'} = twocol {t ^ 2} {t ^ 2} .لا يوجد رقم ]

محدد (Y ) هو Wronskian

[ left | start {array} {cc} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right | = t ^ 2. nonumber ]

بحكم كريمر ،

[ start {array} {cccccccc} {u_ {1} '} & {=} & { frac {1} {t ^ {2}}} & { left | begin {array} {cc} { t ^ {2}} & {3t ^ {2}} {t ^ {2}} & {2t} end {array} right |} & {=} & { frac {2t ^ {3} -3t ^ {4}} {t ^ {2}}} & {=} & {2t-3t ^ {2}،} {u_ {2} '} & {=} & { frac {1} {t ^ {2}}} & { left | start {array} {cc} {2t} & {t ^ {2}} {1} & {t ^ {2}} end {array} right |} & {=} & { frac {2t ^ {3} -t ^ {2}} {t ^ {2}}} & {=} & {2t-1.} end {array} لا يوجد رقم ]

وبالتالي

[{ bf u} '= left [ start {array} {c} 2t-3t ^ 2 2t-1 end {array} right]. nonumber ]

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

[{ bf u} = left [ start {array} {c} t ^ 2-t ^ 3 t ^ 2-t end {array} right]، nonumber ]

وبالتالي

[{ bf y} _p = Y { bf u} = left [ start {array} {cc} 2t & 3t ^ 2 1 & 2t end {array} right] left [ begin {array} { c} t ^ 2-t ^ 3 t ^ 2-t end {array} right] = left [ begin {array} {c} t ^ 3 (t-1) t ^ 2 ( t-1) end {array} right] nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 10.7.7}.

مثال ( PageIndex {4} )

  1. اعثر على حل معين لـ [ label {eq: 10.7.8} { bf y} '= left [ begin {array} {ccc} {2} & {- 1} & {- 1} { 1} & {0} & {- 1} {1} & {- 1} & {0} end {array} right] { bf y} + left [ start {array} {c} e ^ {t} 0 e ^ {- t} end {array} right]. ]
  2. أوجد الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 10.7.8}.

الحل أ

النظام التكميلي للمعادلة المرجع {eq: 10.7.8} هو

[ label {eq: 10.7.9} { bf y} '= left [ begin {array} {ccc} {2} & {- 1} & {- 1} {1} & {0 } & {- 1} {1} & {- 1} & {0} end {array} right] { bf y}. ]

كثير الحدود المميز لمصفوفة المعامل هو

[ left | start {array} {ccc} 2- lambda & -1 & -1 1 & - lambda & -1 1 & -1 & - lambda end {array} right | = - lambda ( lambda-1) ^ 2. nonumber ]

باستخدام طريقة القسم 10.4 ، نجد ذلك

[{ bf y} _1 = left [ start {array} {c} 1 1 1 end {array} right]، quad { bf y} _2 = left [ begin {مجموعة} {c} e ^ t e ^ t 0 end {array} right] ، quad text {and} quad { bf y} _3 = left [ begin {array} {c} e ^ t 0 e ^ t end {array} right] nonumber ]

هي حلول مستقلة خطيًا للمعادلة المرجع {eq: 10.7.9}. وبالتالي

[Y = left [ begin {array} {ccc} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right] nonumber ]

هي مصفوفة أساسية للمعادلة المرجع {eq: 10.7.9}. نسعى إلى حل معين ({ bf y} _p = Y { bf u} ) من المعادلة المرجع {eq: 10.7.8} ، حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

[ left [ begin {array} {ccc} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right] threecol {u_1 '} {u_2'} {u_3 '} = left [ start {array} {c} e ^ t 0 e ^ {- t} end {array} right]. nonumber ]

محدد (Y ) هو Wronskian

[ left | start {array} {ccc} 1 & e ^ t & e ^ t 1 & e ^ t & 0 1 & 0 & e ^ t end {array} right | = -e ^ {2t}. nonumber ]

وهكذا ، بحكم كريمر ،

[ start {array} {cccccccc} {u_ {1} '} & {=} & {- frac {1} {e ^ {2t}}} & { left | begin {array} {ccc} {e ^ {t}} & {e ^ {t}} & {e ^ {t}} {0} & {e ^ {t}} & {0} {e ^ {- t}} & {0} & {e ^ {t}} end {array} right |} & {=} & {- frac {e ^ {3t} -e ^ {t}} {e ^ {2t}} } & {=} & {e ^ {- t} -e ^ {t}} {u_ {2} '} & {=} & {- frac {1} {e ^ {2t}}} & { left | start {array} {ccc} {1} & {e ^ {t}} & {e ^ {t}} {1} & {0} & {0} {1} & {e ^ {- t}} & {e ^ {t}} end {array} right |} & {=} & {- frac {1-e ^ {2t}} {e ^ {2t}} } & {=} & {1-e ^ {- 2t}} {u_ {3} '} & {=} & {- frac {1} {e ^ {2t}}} & { left | start {array} {ccc} {1} & {e ^ {t}} & {e ^ {t}} {1} & {e ^ {t}} & {0} {1} & {0} & {e ^ {- t}} end {array} right |} & {=} & { frac {e ^ {2t}} {e ^ {2t}}} & {=} & { 1} نهاية {مجموعة} غير رقم ]

وبالتالي

[{ bf u} '= left [ start {array} {c} e ^ {- t} -e ^ t 1-e ^ {- 2t} 1 end {array} right ].لا يوجد رقم ]

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

[{ bf u} = left [ start {array} {c} {- e ^ {t} -e ^ {- t}} { frac {e ^ {- 2t}} {2} + t} {t} end {array} right] nonumber ]

وبالتالي

[{ bf y} _ {p} = Y { bf u} = left [ begin {array} {ccc} {1} & {e ^ {t}} & {e ^ {t}} {1} & {e ^ {t}} & {0} {1} & {0} & {e ^ {t}} end {array} right] : left [ begin {array } {c} {- e ^ {t} -e ^ {- t}} { frac {e ^ {- 2t}} {2} + t} {t} end {array} right ] = left [ start {array} {c} {e ^ {t} (2t-1) - frac {e ^ {- t}} {2}} {e ^ {t} (t- 1) - frac {e ^ {- t}} {2}} {e ^ {t} (t-1) -e ^ {- t}} end {array} right] nonumber ]

هو حل خاص للمعادلة المرجع {eq: 10.7.8}.

الحل ب

من النظرية ( PageIndex {1} ) الحل العام للمعادلة المرجع {eq: 10.7.8} هو

[{ bf y} = { bf y} _ {p} + c_ {1} { bf y} _ {1} + c_ {2} { bf y} _ {2} + c_ {3} { bf y} _ {3} = left [ start {array} {c} {e ^ {t} (2t-1) - frac {e ^ {- t}} {2}} { e ^ {t} (t-1) - frac {e ^ {- t}} {2}} {e ^ {t} (t-1) -e ^ {- t}} end {array } right] + c_ {1} left [ start {array} {c} {1} {1} {1} end {array} right] + c_ {2} left [ ابدأ {مجموعة} {c} {e ^ {t}} {e ^ {t}} {0} end {array} right] + c_ {3} left [ begin {array} { ج} {e ^ {t}} {0} {e ^ {t}} end {array} right] nonumber ]

والتي يمكن كتابتها كـ

[{ bf y} = { bf y} _ {p} + Y { bf c} = left [ begin {array} {c} {e ^ {t} (2t-1) - frac {e ^ {- t}} {2}} {e ^ {t} (t-1) - frac {e ^ {- t}} {2}} {e ^ {t} (t -1) -e ^ {- t}} end {array} right] + left [ begin {array} {ccc} {1} & {e ^ {t}} & {e ^ {t}} {1} & {e ^ {t}} & {0} {1} & {0} & {e ^ {t}} end {array} right] { bf y} nonumber ]

حيث ({ bf c} ) متجه ثابت تعسفي.

مثال ( PageIndex {5} )

اعثر على حل معين لـ [ label {eq: 10.7.10} { bf y} '= {1 over2} left [ begin {array} {ccc} 3 & e ^ {- t} & - e ^ { 2t} 0 & 6 & 0 - e ^ {- 2t} & e ^ {- 3t} & - 1 end {array} right] { bf y} + left [ begin {array} {c} 1 e ^ t e ^ {- t} end {array} right]، ]

بشرط

[Y = left [ begin {array} {ccc} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} right ]لا يوجد رقم ]

هي مصفوفة أساسية للنظام التكميلي.

نسعى لإيجاد حل معين للمعادلة المرجع {eq: 10.7.10} بالصيغة ({ bf y} _p = Y { bf u} ) ، حيث (Y { bf u} '= { bf f} ) ؛ هذا هو،

[ left [ begin {array} {ccc} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} right] threecol {u_1 '} {u_2'} {u_3 '} = left [ start {array} {c} 1 e ^ t e ^ {- t} end {array} right]. non number ]

محدد (Y ) هو Wronskian

[ left | begin {array} {ccc} e ^ t & 0 & e ^ {2t} 0 & e ^ {3t} & e ^ {3t} e ^ {- t} & 1 & 0 end {array} right | = -2e ^ {4t}. nonumber ]

بحكم كريمر ،

[ start {array} {cccccccc} {u_ {1} '} & {=} & {- frac {1} {2e ^ {4t}}} & { left | begin {array} {ccc} {1} & {0} & {e ^ {2t}} {e ^ {t}} & {e ^ {3t}} & {e ^ {3t}} {e ^ {- t}} & {1} & {0} end {array} right |} & {=} & { frac {e ^ {4t}} {2e ^ {4t}}} & {=} & { frac {1 } {2}} {u_ {2} '} & {=} & {- frac {1} {2e ^ {4t}}} & { left | start {array} {ccc} {e ^ {t}} & {1} & {e ^ {2t}} {0} & {e ^ {t}} & {e ^ {3t}} {e ^ {- t}} & {e ^ {- t}} & {0} end {array} right |} & {=} & { frac {e ^ {3t}} {2e ^ {4t}}} & {=} & { frac {1} {2} e ^ {- t}} {u_ {3} '} & {=} & {- frac {1} {2e ^ {4t}}} & { left | begin { مصفوفة} {ccc} {e ^ {t}} & {0} & {1} {0} & {e ^ {3t}} & {e ^ {t}} {e ^ {- t} } & {1} & {e ^ {- t}} end {array} right |} & {=} & {- frac {e ^ {3t} -2e ^ {2t}} {2e ^ {4t }}} & {=} & { frac {2e ^ {- 2t} -e ^ {- t}} {2}} end {array} nonumber ]

وبالتالي

[{ bf u} '= {1 over2} left [ start {array} {c} 1 e ^ {- t} 2e ^ {- 2t} -e ^ {- t} نهاية {مجموعة} يمين]. غير رقم ]

تكامل وأخذ ثوابت التكامل على أنها صفر غلة

[{ bf u} = {1 over2} left [ start {array} {c} t - e ^ {- t} e ^ {- t} -e ^ {- 2t} نهاية {مجموعة} يمين] ، غير رقم ]

وبالتالي

[{ bf y} _ {p} = Y { bf u} = frac {1} {2} left [ begin {array} {ccc} {e ^ {t}} & {0} & {e ^ {2t}} {0} & {e ^ {3t}} & {e ^ {3t}} {e ^ {- t}} & {1} & {0} end {array } right] left [ begin {array} {c} {t} {- e ^ {- t}} {e ^ {- t} -e ^ {- 2t}} end {array } right] = frac {1} {2} left [ start {array} {c} {e ^ {t} (t + 1) -1} {- e ^ {t}} {e ^ {- t} (t-1)} end {array} right] nonumber ]

هو حل معين للمعادلة المرجع {eq: 10.7.10}.


المعلومات المنشورة على هذا الموقع تتناول فقط المعلومات المطلوبة من قبل Texas House Bill 2504 ، فهي ليست المنهج الدراسي الكامل. ستكون المعلومات الكاملة حول الفصل متاحة على موقع الويب الخاص بي للدورة. يتضمن ذلك سياسة الدرجات وسياسة الانسحاب من الفصل ومتطلبات المشاركة في الفصل وعدم الأمانة المدرسية وغيرها من المعلومات المهمة. سيتم تسليم منهج الدورة التدريبية الكامل في اليوم الأول من الفصل الدراسي لدورات الفصل الدراسي حيث سيتم نشر المعلومات على موقع الويب الخاص بي لجميع الدورات - http://www.austincc.edu/mmcguff

الاختبارات: سيكون هناك 3 امتحانات بالإضافة إلى اختبار نهائي (جزء منه شامل) مطلوب في هذه الدورة. فيما يلي قائمة أولية بالمواد التي تم تناولها في كل اختبار ، من المحتمل أن يتغير هذا قليلاً مع تقدم الفصل الدراسي ، لذا استخدم هذا كدليل فقط. (سيتم الإعلان عن الأقسام التي يتم تناولها في كل اختبار بوضوح قبل كل اختبار. سيؤكد كل اختبار على المادة الأحدث ، ولكن يمكن أن يغطي أي مادة سابقة أيضًا. بالنسبة لبعض الأقسام التي تمت تغطيتها ، لن نغطي كل شيء في هذا القسم ، فإن الاختبارات سوف تغطي فقط الموضوعات التي يتم تناولها في الفصل والواجب المنزلي ، ما لم أُعلن خلاف ذلك.)

& middot الاختبار 1: الفصل. 1 و 2 وجزء من 8

& middot الاختبار 2: الفصل. 3 و 6 وجزء من 7

& الامتحان النهائي: قسم شامل يشمل كل شيء (بما في ذلك أجزاء من الفصول 9 و 10 و 11)

معامل الكمبيوتر: سيكون هناك أيضًا واحد أو أكثر الرياضيات- معامل الكمبيوتر المطلوبة لهذه الدورة (ربما مختبرين أو مختبر واحد بالإضافة إلى عدة مجموعات أصغر من التمارين) هذه هي ليس اختياري وسيحتسب بشكل كبير في درجتك. هذه سوف تستخدم الرياضيات البرنامج ، المتاح لاستخدام الطلاب في ACC Learning Labs ، لا يلزمك شراء هذا البرنامج ، على الرغم من أن بعض الطلاب يختارون شراء إصدار الطالب للراحة.

الواجب المنزلي: سيتم جمع الواجبات الكتابية بانتظام للحصول على درجة متواضعة.


10.7: تباين المعلمات للأنظمة الخطية غير المتجانسة - الرياضيات

نحتاج الآن إلى إلقاء نظرة على الطريقة الثانية لتحديد حل معين لمعادلة تفاضلية. كما فعلنا عندما رأينا لأول مرة تباين المعلمات ، سنمر بالعملية بأكملها ونشتق مجموعة من الصيغ التي يمكن استخدامها لإنشاء حل معين.

ومع ذلك ، كما رأينا سابقًا عند النظر إلى المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية ، يمكن أن تؤدي هذه الطريقة إلى تكاملات ليس من السهل تقييمها. لذلك ، بينما يمكن دائمًا استخدام هذه الطريقة ، على عكس المعاملات غير المحددة ، على الأقل لكتابة معادلة لحل معين ، لن يكون من الممكن دائمًا الحصول على حل فعليًا.

فلنبدأ هذه العملية. سنبدأ بالمعادلة التفاضلية ،

ونفترض أننا وجدنا مجموعة أساسية من الحلول ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) ، للمعادلة التفاضلية المتجانسة المصاحبة.

نظرًا لأن لدينا مجموعة أساسية من الحلول للمعادلة التفاضلية المتجانسة ، فإننا نعلم الآن أن الحل التكميلي هو ،

[ص يسار (t يمين) = يسار (t يمين) + يسار (t يمين) + cdots + يسار (t يمين) ]

تتضمن طريقة تغيير المعلمات محاولة العثور على مجموعة من الوظائف الجديدة ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ) بحيث ،

[يبدأص يسار (t يمين) = يسار (t يمين) يسار (t يمين) + يسار (t يمين) يسار (t يمين) + cdots + يسار (t يمين) يسار (t يمين) التسميةنهاية]

سيكون حلاً للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة. من أجل تحديد ما إذا كان ذلك ممكنًا ، والعثور على ( left (t right) ) إذا كان ذلك ممكنًا ، فسنحتاج إلى إجمالي (n ) المعادلات التي تتضمن وظائف غير معروفة يمكننا (نأمل) حلها.

إحدى المعادلات سهلة. التخمين ، ( eqref) ، يجب أن تفي بالمعادلة التفاضلية الأصلية ، ( eqref). لذلك ، دعونا نبدأ في أخذ بعض المشتقات وكما فعلنا عندما نظرنا لأول مرة في تنوع المعلمات ، سنضع بعض الافتراضات على طول الطريق التي ستبسط عملنا وفي العملية تولد المعادلات المتبقية التي سنحتاجها.

المشتق الأول لـ ( eqref) يكون،

لاحظ أننا أعدنا ترتيب نتائج عملية التمايز قليلاً هنا وأسقطنا الجزء ( left (t right) ) على (u ) و (y ) لجعل هذا أسهل قليلاً في القراءة . الآن ، إذا واصلنا التمييز بين هذا الأمر ، فسوف يصبح سريعًا غير عملي ، لذا دعونا نفترض أنه نبسط الأمور هنا. لأننا بعد ( left (t right) ) ربما يجب أن نحاول تجنب ترك المشتقات في هذه تصبح كبيرة جدًا. لذا ، دعونا نفترض أن ،

السؤال الطبيعي في هذه المرحلة هو هل هذا منطقي؟ الإجابة هي ، إذا انتهى بنا المطاف بنظام (n ) المعادلات التي يمكننا حلها من أجل ( left (t right) ) ثم نعم ، من المنطقي القيام بذلك. بالطبع ، الإجابة الأخرى هي أننا لن نفترض هذا الافتراض إذا لم نكن نعرف أنه سينجح. ومع ذلك ، لقبول هذه الإجابة يتطلب أن تثق بنا في وضع الافتراضات الصحيحة ، لذلك ربما تكون الإجابة الأولى هي الأفضل في هذه المرحلة.

عند هذه النقطة ، يكون المشتق الأول لـ ( eqref) يكون،

ويمكننا الآن أخذ المشتق الثاني للحصول على ،

هذا يشبه إلى حد كبير المشتق الأول الأصلي قبل أن نبسطه ، لذا دعونا نجعل التبسيط مرة أخرى. سنرغب مرة أخرى في الاحتفاظ بالمشتقات على ( left (t right) ) إلى الحد الأدنى ، لذا لنفترض هذه المرة ،

وبهذا الافتراض يصبح المشتق الثاني ،

نأمل أن تكون قد بدأت في رؤية نمط يتطور هنا. إذا واصلنا هذه العملية للمشتقات (n - 1 ) الأولى ، فسنصل إلى الصيغة التالية لهذه المشتقات.

للوصول إلى كل من هذه الصيغ ، كان علينا أيضًا افتراض ذلك ،

وتذكر أن المشتق 0 للدالة ما هو إلا الوظيفة نفسها. لذلك ، على سبيل المثال ، (y_2 ^ < left (0 right)> left (t right) = يسار (t يمين) ).

لاحظ كذلك أن مجموعة الفروض في ( eqref) أعطنا في الواقع (n - 1 ) المعادلات من حيث مشتقات الدوال المجهولة: ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ).

كل ما علينا فعله بعد ذلك هو الانتهاء من إنشاء المعادلة الأولى التي بدأنا هذه العملية للعثور عليها (بمعنى آخر. يسد ( eqref) إلى ( eqref)). للقيام بذلك ، سنحتاج إلى مشتق آخر للتخمين. التفريق بين (< left ( right) ^ << mbox>>> ) ، والتي يمكننا الحصول عليها من ( eqref) ، للحصول على المشتق (n ) الذي يعطي ،

هذه المرة أيضًا لن نفترض أي افتراضات لتبسيط هذا ولكن بدلاً من ذلك فقط عوض عن ذلك جنبًا إلى جنب مع المشتقات الواردة في ( eqref) في المعادلة التفاضلية ، ( eqref)

بعد ذلك ، أعد ترتيب هذا قليلاً للحصول عليه ،

أذكر ذلك ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) كلها حلول للمعادلة التفاضلية المتجانسة ، وبالتالي فإن جميع الكميات في ( left [< ، ،> right] ) هي صفر وهذا يقلل إلى ،

إذن ، هذه المعادلة ، جنبًا إلى جنب مع المعطيات الواردة في ( eqref) ، أعطنا (n ) المعادلات التي نحتاجها. دعنا نعرضها جميعًا هنا من أجل الاكتمال.

إذن ، لدينا معادلات (n ) ، لكن لاحظ أنه مثلما حصلنا عليه عندما فعلنا ذلك في المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الثاني ، فإن المجهولات في النظام ليست كذلك ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ) لكنهم بدلاً من ذلك هم المشتقات ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط يسار (t يمين) ). هذه ليست مشكلة كبيرة مع ذلك. شريطة أن نتمكن من حل هذا النظام ، يمكننا حينئذٍ دمج الحلول للحصول على الوظائف التي نسعى وراءها.

أيضًا ، تذكر أن ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) يُفترض أنها دوال معروفة ولذا فهي مع مشتقاتها (التي تظهر في النظام) كلها كميات معروفة في النظام.

الآن ، نحن بحاجة إلى التفكير في كيفية حل هذا النظام. إذا لم يكن هناك الكثير من المعادلات ، فيمكننا حلها مباشرة إذا أردنا ذلك. ومع ذلك ، بالنسبة إلى الحجم الكبير (n ) (ولن يستغرق الأمر الكثير حتى يصبح كبيرًا هنا) ، فقد يكون ذلك مملاً للغاية وعرضة للخطأ ولن يعمل على الإطلاق بشكل عام (n ) كما فعلنا هنا .

أفضل طريقة حل لاستخدامها في هذه المرحلة هي قاعدة كريمر. لقد استخدمنا قاعدة Cramer عدة مرات في هذه الدورة التدريبية ، ولكن أفضل مرجع لأغراضنا هنا هو عندما استخدمناها عندما حددنا لأول مرة مجموعات أساسية من الحلول مرة أخرى في مادة الترتيب الثاني.

عند استخدام قاعدة كريمر لحل النظام ، فإن الحل الناتج لكل () سيكون حاصل قسمة اثنين من محددات (n ) x (n ) المصفوفات. سيكون مقام كل حل هو المحدد لمصفوفة المعاملات المعروفة ،

ومع ذلك ، هذا هو مجرد Wronskian لـ ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) كما هو مذكور أعلاه ولأننا افترضنا أن هذه تشكل مجموعة أساسية من الحلول ، نعلم أيضًا أن Wronskian لن يكون صفرًا. يخبرنا هذا بدوره أن النظام أعلاه قابل للحل في الواقع وأن جميع الافتراضات التي قدمناها على ما يبدو من اللون الأزرق أعلاه قد نجحت بالفعل.

بسط حل () سيكون محددًا لمصفوفة المعاملات مع استبدال العمود (i ) بالعمود ( left (<0،0،0 ، ldots ، 0 ، g left (t right)> حق)). على سبيل المثال ، البسط الأول ، () يكون،

الآن ، من خلال خاصية جيدة للمحددات إذا أخذنا شيئًا ما من أحد أعمدة المصفوفة ، فإن محدد المصفوفة الناتجة سيكون العامل مضروبًا في محدد المصفوفة الجديدة. بمعنى آخر ، إذا أخرجنا (ز يسار (t يمين) ) من هذه المصفوفة نصل إلى ،

لقد فعلنا هذا لأول واحد فقط ، ولكن كان بإمكاننا القيام بذلك بنفس السهولة باستخدام أي من الحلول ​​(n ). لذا دع () يمثل المحدد الذي نحصل عليه عن طريق استبدال العمود (i ) من العمود Wronskian بالعمود ( left (<0،0،0 ، ldots ، 0،1> right) ) والحل إلى النظام يمكن كتابتها بعد ذلك ،

رائع! كان هذا مجهودًا كبيرًا لإنشاء النظام وحلّه ولكننا على وشك الانتهاء. مع حل النظام في متناول اليد ، يمكننا الآن دمج كل من هذه المصطلحات لتحديد الوظائف غير المعروفة فقط ، ( يسار (t يمين) ، يسار (t يمين) نقاط left (t right) ) نحن بعد كل شيء.

أخيرًا ، حل خاص لـ ( eqref) من قبل ،

يجب أن نلاحظ أيضًا أنه في عملية الاشتقاق هنا افترضنا أن معامل (> ) كان المصطلح واحدًا وقد تم تضمينه في الصيغة أعلاه. إذا لم يكن معامل هذا المصطلح واحدًا ، فسنحتاج إلى التأكد منه وقسمته قبل محاولة استخدام هذه الصيغة.

قبل أن نعمل على مثال هنا ، يجب أن نلاحظ حقًا أنه بينما يمكننا كتابة هذه الصيغة ، فإن حساب هذه التكاملات قد يكون مستحيلًا.

حسنًا ، دعنا نلقي نظرة على مثال سريع.

المعادلة المميزة هي

إذن ، لدينا ثلاثة جذور مميزة حقيقية هنا ، وبالتالي فإن الحل التكميلي هو ،

حسنًا ، لدينا الآن العديد من المحددات لحسابها. سنترك الأمر لك للتحقق من الحسابات المحددة التالية.

الآن ، بالنظر إلى أن (g left (t right) = 3 + 4 << bf> ^ <- t >> ) يمكننا حساب كل من (). ها هي تلك التكاملات.

لاحظ أننا لم نقم بتضمين ثوابت التكامل في كل من هذه لأن تضمينها كان سيقدم للتو مصطلحًا يمكن استيعابه في الحل التكميلي تمامًا كما رأينا عندما كنا نتعامل مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية.

أخيرًا ، الحل المعين لهذه المعادلة التفاضلية هو ،

الحل العام إذن ،

سنقوم بعمل مثال واحد فقط في هذا القسم لتوضيح العملية أكثر من أي شيء آخر لذلك سنغلق هذا القسم.


منهج الرياضيات 286

النص: المعادلات التفاضلية الأولية ومشكلات القيمة الحدية. الطبعة العاشرة ، بويس وأمبير ديبريما ، وايلي

الفصل الأول: مقدمة (3 محاضرات)
1.1: بعض مجالات توجيه النماذج الرياضية الأساسية
1.2: حلول بعض المعادلات التفاضلية
1.3: تصنيف المعادلات التفاضلية
1.4: ملاحظات تاريخية (قراءة فقط)

الفصل الثاني: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى (7 محاضرات)
2.1: طريقة المعادلات الخطية لدمج العوامل
2.2: معادلات قابلة للفصل
2.3: النمذجة باستخدام معادلات الدرجة الأولى (للقراءة فقط)
2.4: الاختلافات بين المعادلات الخطية وغير الخطية
2.5: المعادلات المستقلة وديناميكيات السكان
2.7: التقديرات العددية: طريقة أويلر (إذا سمح الوقت)
2.8: نظرية الوجود والتفرد (إذا سمح الوقت) مشاكل متنوعة

الفصل 3: المعادلات الخطية من الدرجة الثانية (10 محاضرات)
3.1: معادلات متجانسة ذات معاملات ثابتة
3.2: حلول المعادلات الخطية المتجانسة في Wronskian
3.3: الجذور المعقدة للمعادلات المميزة
3.4: تخفيض الجذور المتكرر للنظام
3.5: طريقة المعادلات غير المتجانسة للمعاملات غير المحددة
3.6: تباين المعلمات
3.7: الاهتزازات الميكانيكية والكهربائية
3.8: الاهتزازات القسرية

الفصل 4: المعادلات الخطية ذات الترتيب الأعلى (3 محاضرات)
4.1: النظرية العامة للمعادلات الخطية ذات الترتيب التاسع
4.2: المعادلات المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
4.3: طريقة المعاملات غير المحددة
4.4: طريقة تغيير المعلمات (إذا سمح الوقت)

الفصل السابع: أنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى (12 محاضرة)
7.1: مقدمة
7.2: مراجعة المصفوفات
7.3: أنظمة المعادلات الجبرية الخطية Lin. الهند ، القيم الذاتية ، المتجهات الذاتية
7.4: النظرية الأساسية لأنظمة المعادلات الخطية من الدرجة الأولى
7.5: أنظمة خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة
7.6: القيم الذاتية المعقدة
7.7: المصفوفات الأساسية
7.8: القيم الذاتية المتكررة
7.9: أنظمة خطية غير متجانسة

الفصل العاشر: المعادلات التفاضلية الجزئية وسلسلة فورييه (13 محاضرة)
10.1: مسائل القيمة ذات النقطتين
10.2: سلسلة فورييه
10.3: نظرية تقارب فورييه
10.4: الوظائف الفردية والزوجية
10.5: فصل متغيرات التوصيل الحراري في قضيب
10.6: مشاكل التوصيل الحراري الأخرى
10.7: معادلة الموجة: اهتزازات سلسلة مرنة
10.8: معادلة لابلاس

الفصل 11: مشاكل القيمة الحدودية ونظرية شتورم ليوفيل (محاضرتان)
11.1: حدوث مشاكل القيمة ذات النقطتين
11.2: مشاكل قيمة حدود شتورم وليوفيل


الرياضيات 251 هـ - ربيع 2011

جدول الحصص :
MTW F 04: 40P - 05:30P في 115 OSMOND (الجدول رقم 559501)

ساعات العمل (قابلة للتغيير): الثلاثاء 5:45 - 6:45 مساءً ، الخميس 5 - 6 مساءً ، الجمعة 1:15 - 2:15 مساءً.
نهائيات الأسبوع: الأثنين مايو 2 و الثلاثاء 3 مايو ، 11 صباحًا - 12 ظهرًا

سيغطي MIDTERM 2 الأقسام 3.3 - 7.5 المدرجة (قائمة الموضوعات) ، ولكن ليس 7.4.
مراجعة المشاكل
نموذج امتحان منتصف الفصل الثاني (من مقرر الأستاذ Xianto Li) ، مع حلول.

سيغطي MIDTERM 1 الأقسام 1.1 - 3.2 المدرجة (قائمة الموضوعات).
نموذج امتحان منتصف الفصل الأول (من مقرر الأستاذ Xianto Li). تخطي المشاكل 5 ، 6.


مراجعة الامتحان النهائي: الجمعة 29 أبريل في الفصل.
اختبار 9: الثلاثاء 26 أبريل (الأقسام 9.2 و 9.3 و 10.1).
اختبار 8: يوم الاثنين 18 أبريل (الأقسام 7.6 و 7.8 و 9.1).
استعراض منتصف الفصل الثاني: الثلاثاء 5 أبريل في الفصل.
اختبار 7: الجمعة 1 أبريل (الأقسام 7.1 ، 7.2 ، 7.3 ، 7.5).
اختبار 6: الجمعة 25 مارس (الأقسام 6.3-6.6).
اختبار 5: الأربعاء 16 مارس (الأقسام 3.7-3.8-6.1-6.2).
اختبار 4: الجمعة 25 فبراير (الأقسام 3.3-3.6 مضمنة).
اختبار 3: الثلاثاء 15 فبراير (الأقسام 2.6 ، 2.8 ، 3.1 ، 3.2).
اختبار 2: الجمعة 4 فبراير (الأقسام 2.2-2.5 متضمنة).
اختبار 1: الجمعة 21 كانون الثاني (يناير) (تشمل الأقسام 1.1-2.1).

  1. مقدمة: النماذج الرياضية وحقول الاتجاه (القسم 1.1) ، بعض نماذج ODE البسيطة وحلولها (القسم 1.2) ، تصنيف ODE (القسم 1.3).
  2. معادلات ODE من الدرجة الأولى: تكامل العوامل (القسم 2.1) ، المعادلات القابلة للفصل (2.2) ، الأمثلة (2.3) ، المعادلات الخطية وغير الخطية (2.4) ، المعادلات الذاتية وديناميكيات السكان (2.5) ، المعادلات الدقيقة وعوامل التكامل (2.6) ، الوجود ونظرية التفرد (2.8). في الوقت الحالي ، تخطي طريقة أويلر (2.7) ومكافئ الفرق (2.9). أيضًا ، تخطي النمو اللوجستي بحد أدنى (في 2.5.).
  3. Second-order ODEs: Constant-coefficient, homogeneous equations (3.1), linear homogeneous equations, the Wronskian (3.2), Complex roots (3.3), repeated roots and reduction of order (3.4), Non-homogeneous equations and the method of undetermined coefficients (3.5), Variation of Parameters (3.6). Cover some parts of Section 3.7 (mechanical and elettrical oscillations) and 3.8 (forced vibrations).
  4. Laplace Transform: Definition (Section 6.1), Solution of the Initial Value Problem for ODEs (6.2), Step functions (6.3), ODEs with discontinuous forcing (6.4), Impulse functions (6.5), convolution integrals (6.6). We will skip Chapters 4 and 5.
  5. Systems of first-order, linear equations: Introduction and examples (7.1), Review of Matrices (7.2), Linear systems of algebraic equations: eigenvalues and eigenvectors (7.3), Systems of linear, first-order ODEs (7.4), Homogeneous, constant-coefficient systems (7.5--7.8), Classification of critical points and the phase plane (9.1), Non-homogeneous systems (7.9). Non-homogeneous systems (7.9). Section 7.9 is a reading assignment, you will not be tested on it. We will skip multiple spring-mass systems in Section 7.6.
  6. Nonlinear ODEs and Stability: Summary of phase plane analysis for linear systems (9.1), Non-autonomous systems and stability (9.2), Locally linear systems (9.3), Lorenz attractor and chaos (9.8). We will cover 9.8 *at the end* if there is time.
  7. Partial differential equations: boundary-value problems (10.1), Fourier Series (10.2), Heat conduction (10.5), Wave equation and vibrating string (10.6). We will cover only the major concepts in each section.
  1. Section 1.2: 1, 3, 6, 8, 12, 13, 17. Section 1.3: 3, 5, 13, 30.
  2. Section 2.1: 4, 10, 14, 19, 24, 27, 31, 40. Section 2.2: 2, 5, 11, 14, 21, 24, 36.
  3. Section 2.3: 7, 12, 17, 27. Section 2.4: 3, 5, 10, 12, 15, 22, 26, 31, 33. Section 2.5: 2, 5, 12, 15, 27.
  4. Section 2.6: 1, 4, 8, 13, 16, 18, 20, 24, 28. Section 2.8: 2, 9, 15. Section 3.1: 4, 6, 13, 18, 22, 27.
  5. Section 3.2: 4, 6, 9, 15, 32, 38, 44, 49, 51. Section 3.3: 6, 12, 19, 25, 28, 34.
  6. Section 3.4: 7, 12, 18, 19, 29, 32, 38, 40. Section 3.5 : 13, 15, 16, 17.
  7. Section 3.6: 4, 7, 17, 20, 21. Section 3.7: 3, 5, 10, 14, 15, 18, 32 a) and b) only. Section 3.8: 2, 6, 13, 16.
  8. Section 6.1: 4, 10, 14, 18, 22, 26. Section 6.2: 5, 12, 20, 25. Section 6.3: 11, 15, 23, 25, 37.
  9. Section 6.4: 4, 15, 17, 18. Section 6.5: 2, 10, 16, 18, 25. Section 6.6: 2, 6, 11, 17, 22, 28, 29.
  10. Section 7,1: 3, 5, 15, 19. Section 7.2: 2, 9, 11, 17, 20, 23. Section 7.3: 4, 5, 13, 19, 24, 30--34.
  11. Section 7.4: 3, 4, 7, 9. Section 7.5: 2, 3, 8, 12, 17, 22, 24, 29, 31.
  12. Section 7.6: 2, 4, 8, 10, 12 14, 22, 28. Section 7.7: 5, 8, 12, 15, 16, 17.
  13. Section 7.8: 4, 6, 8, 18 (a, b, c, d only), 19. Section 9.1: 5, 8, 15, 19, 20. Section 9.2: 4, 6, 11, 19, 24.
  14. Section 9.3: 2, 7, 12, 21, 22, 27, 28. Section 10.1: 5, 11, 15, 19, 23.
  15. Section 10.2: 3, 4, 8, 16, 18, 27, 28. Section 10.5: 6, 7, 11. Section 10.7: 2, 5, 9, 23.

Practice Exam 2, Fall 2004. Skip power series (series of functions).
Solutions.


List of topics for Math 2090: "Elementary Differential Equations and Linear Algebra"

Text: Differential Equations and Linear Algebra, by Stephen W. Goode and Scott A. Annin, Fourth Edition, 2017.

Chapter 1: First-Order Differential Equations
1.2 Basic Ideas and terminology
1.4 Separable Differential Equations
1.6 First Order Linear Differential Equations
1.9 Exact Differential Equations

Chapter 2: Matrices and Systems of Linear Equations
2.1 Matrices: Definitions and Notations
2.2 Matrix Algebra
2.4 Elementary Row Operations and Row-Echelon Matrices
2.5 Gaussian Elimination
2.6 Inverse of a Square Matrix

Chapter 3: Determinants
3.1 The definition of the Determinant
3.2 Properties of the Determinant
3.3 Cofactor Expansions

Chapter 4: Vector Spaces
4.2 Definition of a Vector Space
4.3 Subspaces
4.4 Spanning Sets
4.5 Linear Dependence and Linear Independence
4.6 Bases and Dimension

Chapter 6: Linear Transformations
6.1 Definition of a Linear Transformation
6.3 The Kernel and Range of a Linear Transformation

Chapter 7: Eigenvalues and Eigenvectors
7.1 The Eigenvalue/Eigenvector Problem
7.2 General Results for Eigenvalues and Eigenvectors

Chapter 8: Linear Differential Equations of Order n
8.1 General Theory for Linear Differential Equations
8.2 Constant-Coefficient Homogeneous Linear Differential Equations
8.3 The Method of Undetermined Coefficients. Annihilators
8.7 The Variation of Parameters

Chapter 9: Systems of Differential Equations
9.1 First-Order Linear Systems
9.2 Vector Formulation
9.3 General Results for First-Order Linear Differential Systems
9.4 Vector Differential Equations: Non-defective Coefficient Matrix
9.6 Variation of Parameters for Linear Systems

Chapter 10: The Laplace Transform and Some Elementary Applications
10.1 Definition of Laplace Transform
10.2 Existence of the Laplace Transform and Inverse Transform
10.4 The Transform of Derivatives and Solution of Initial-Value Problems
10.5 The First Shifting Theorem
10.6 The Unit Step Function
10.7 The Second Shifting Theorem

Optional topics that could be taught at the discretion of the instructor include:
1.8 Change of Variables, Homogeneous Equations, Bernoulli's Equation
1.11 Some Higher-Order Differential Equations
7.3 Diagonalization
7.4 An introduction to the Matrix Exponential Function.
8.9 Reduction of Order

Determined by the 2011 Math 2090 Committee: Michael M. Tom, Pat Gilmer, Paul Britt, Charles Egedy,
Boris Rubin updated by Moscatello on November 2017 for fourth edition.


Solving of homogeneous equation:

Eigenvalues and corresponding eigenvectors of $egin 6&-1 4&6 end$ are $lambda_1=6+2i,v_1=egin i 2 end$ and $lambda_2=6-2i,v_2=egin i -2 end.$ $ herefore egin x_1 x_2 end =C_1e^<(6+2i)t>egin i 2 end+C_2e^<(6-2i)t>egin i -2 end $

$ Longrightarrowegin x_1 x_2 end =e^<6t>eginileft[C_1left(cos<2t>+isin<2t> ight)+C_2left(cos<2t>-isin<2t> ight) ight]2left[C_1left(cos<2t>+isin<2t> ight)-C_2left(cos<2t>-isin<2t> ight) ight]end $

$ Longrightarrowegin x_1 x_2 end =e^<6t>eginileft[left(C_1+C_2 ight)cos<2t>+ileft(C_1-C_2 ight)sin<2t> ight]2left[left(C_1-C_2 ight)cos<2t>+ileft(C_1+C_2 ight)sin<2t> ight]end $


Free vibration of nonhomogeneous Timoshenko nanobeams

Free vibration of nonhomogeneous nanobeams based on nonlocal Timoshenko beam theory has been studied using boundary characteristic orthogonal polynomial functions in the Rayleigh–Ritz method. Orthogonal polynomial functions satisfying essential boundary conditions have been generated with the help of Gram–Schmidt Process. Nonhomogeneity of nanobeams is assumed to arise due to linear and quadratic variations in Young’s modulus and density of the nanobeams with space coordinate. The lowest three frequency parameters of nanobeams subjected to different boundary conditions have been computed for various values of nonhomogeneous parameters to demonstrate the effect of each parameters on the frequency parameters. A detailed investigation has been reported for all the possible cases of variations in Young’s modulus and density to analyze the numerical results for different scaling effect parameters and four types of boundary conditions. Present results are compared with the results in special cases and are found to be in good agreement.


Nonhomogeneous Equations Method of Undetermined Coefficients - PowerPoint PPT Presentation

If Y1, Y2 are solutions of nonhomogeneous equation . Consider the nonhomogeneous equation. We seek . Thus a particular solution to the nonhomogeneous ODE is . &ndash PowerPoint PPT presentation

PowerShow.com is a leading presentation/slideshow sharing website. Whether your application is business, how-to, education, medicine, school, church, sales, marketing, online training or just for fun, PowerShow.com is a great resource. And, best of all, most of its cool features are free and easy to use.

You can use PowerShow.com to find and download example online PowerPoint ppt presentations on just about any topic you can imagine so you can learn how to improve your own slides and presentations for free. Or use it to find and download high-quality how-to PowerPoint ppt presentations with illustrated or animated slides that will teach you how to do something new, also for free. Or use it to upload your own PowerPoint slides so you can share them with your teachers, class, students, bosses, employees, customers, potential investors or the world. Or use it to create really cool photo slideshows - with 2D and 3D transitions, animation, and your choice of music - that you can share with your Facebook friends or Google+ circles. That's all free as well!

For a small fee you can get the industry's best online privacy or publicly promote your presentations and slide shows with top rankings. But aside from that it's free. We'll even convert your presentations and slide shows into the universal Flash format with all their original multimedia glory, including animation, 2D and 3D transition effects, embedded music or other audio, or even video embedded in slides. All for free. Most of the presentations and slideshows on PowerShow.com are free to view, many are even free to download. (You can choose whether to allow people to download your original PowerPoint presentations and photo slideshows for a fee or free or not at all.) Check out PowerShow.com today - for FREE. There is truly something for everyone!

presentations for free. Or use it to find and download high-quality how-to PowerPoint ppt presentations with illustrated or animated slides that will teach you how to do something new, also for free. Or use it to upload your own PowerPoint slides so you can share them with your teachers, class, students, bosses, employees, customers, potential investors or the world. Or use it to create really cool photo slideshows - with 2D and 3D transitions, animation, and your choice of music - that you can share with your Facebook friends or Google+ circles. That's all free as well!


Check Solution: $x^2y''+xy'-y=x^2e^x$ via Variation of Parameters

I was revisiting differential equations and I came across the following question:

By method of variation of parameters, the particular solution of the equation $x^2y''+xy'-y=x^2e^x$is:

$(a) e^x+frac1x$

$(b) e^x- fracx$

$(c) e^x+fracx$

$(d) e^x-frac1x$

Let $x=e^z$. Then the differential equation becomes: $frac-y=e^<2z>e^$ Solution of the homogenous equation is :$y_c=c_1 e^z + c_2 e^<-z>$ where $c_1$ and $c_2$ are arbitrary constants. Thus, solution of original homogenous equation is $y_c=c_1x+c_2frac1x$.

I calculated the Wronskian which came out to be $frac<-2>$. Therefore, particular solution is $y_p=-xint frac<-2>+frac1x int frac<-2>=frac x2 int x^2e^x-frac<1> <2x>int x^4 e^x $

On simplifying :

$-frac32 x^2 e^x-frac<11>2 xe^x +12e^xleft(1-frac1x ight)$

Where have I gone wrong? I realized that even if I made mistake right in the end while simplifying there will be a term involving $x^2$ and none of the four options have any such term.


شاهد الفيديو: المعادلات الفاضلية الخطية غير المتجانسة: الجزء الأول (شهر اكتوبر 2021).