مقالات

3.6: الرسوم البيانية للوظائف


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • استخدم اختبار الخط العمودي
  • التعرف على الرسوم البيانية للوظائف الأساسية
  • قراءة المعلومات من الرسم البياني للدالة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. التقييم: ⓐ (2 ^ 3 ) ⓑ (3 ^ 2 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. التقييم: ⓐ (| 7 | ) ⓑ (| −3 | ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. التقييم: ⓐ ( sqrt {4} ) ⓑ ( sqrt {16} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

استخدم اختبار الخط العمودي

في القسم الأخير تعلمنا كيفية تحديد ما إذا كانت العلاقة دالة. تم التعبير عن العلاقات التي نظرنا إليها كمجموعة من الأزواج المرتبة ، أو تعيين أو معادلة. سننظر الآن في كيفية معرفة ما إذا كان الرسم البياني لدالة.

الزوج المرتب ((س ، ص) ) هو حل لمعادلة خطية ، إذا كانت المعادلة عبارة صحيحة عندما x- و ذ- يتم استبدال قيم الزوج المرتب في المعادلة.

الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط مستقيم حيث كل نقطة على الخط هي حل المعادلة وكل حل لهذه المعادلة هو نقطة على هذا الخط.

في شكليمكننا أن نرى ذلك ، في الرسم البياني للمعادلة (ص = 2 س − 3 ) ، لكل منها x-القيمة هناك واحد فقط ذ- القيمة كما هو موضح في الجدول المصاحب.

العلاقة هي دالة إذا كان لكل عنصر في المجال قيمة واحدة بالضبط في النطاق. لذا فإن العلاقة التي تحددها المعادلة (y = 2x − 3 ) هي دالة.

إذا نظرنا إلى الرسم البياني ، فإن كل خط رأسي متقطع يتقاطع مع الخط عند نقطة واحدة فقط. هذا منطقي كما في وظيفة ، لكل x-القيمة هناك واحد فقط ذ-القيمة.

إذا وصل الخط العمودي إلى الرسم البياني مرتين ، فإن ملف x- سيتم تعيين القيمة إلى اثنين ذ-values ​​، وبالتالي فإن الرسم البياني لن يمثل دالة.

هذا يقودنا إلى اختبار الخط العمودي. مجموعة النقاط في نظام الإحداثيات المستطيلة هي الرسم البياني لوظيفة إذا تقاطع كل خط رأسي مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر. إذا تقاطع أي خط رأسي مع الرسم البياني في أكثر من نقطة واحدة ، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة.

اختبار الخط العمودي

مجموعة النقاط في نظام الإحداثيات المستطيلة هي الرسم البياني لوظيفة إذا تقاطع كل خط رأسي مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر.

إذا تقاطع أي خط رأسي مع الرسم البياني في أكثر من نقطة واحدة ، فإن الرسم البياني لا يمثل دالة.

مثال ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل منحنى دالة.

إجابه

ⓐ نظرًا لأن أي خط رأسي يتقاطع مع الرسم البياني في نقطة واحدة على الأكثر ، فإن الرسم البياني هو الرسم البياني للدالة.

يتقاطع أحد الخطوط الرأسية الموضحة في الرسم البياني بنقطتين. هذا الرسم البياني لا يمثل وظيفة.

مثال ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل منحنى دالة.

إجابه

ⓐ نعم ⓑ لا

مثال ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان كل رسم بياني يمثل منحنى دالة.

إجابه

ⓐ لا ⓑ نعم

تحديد الرسوم البيانية للوظائف الأساسية

استخدمنا المعادلة (y = 2x − 3 ) والرسم البياني الخاص بها أثناء تطوير اختبار الخط العمودي. قلنا أن العلاقة التي تحددها المعادلة (y = 2x − 3 ) هي دالة.

يمكننا كتابة هذا في تدوين الوظيفة كـ (f (x) = 2x − 3 ). لا يزال يعني نفس الشيء. الرسم البياني للوظيفة هو الرسم البياني لجميع الأزواج المرتبة ((x، y) ) حيث (y = f (x) ). لذا يمكننا كتابة الأزواج المرتبة كـ ((x، f (x)) ). يبدو مختلفًا ولكن الرسم البياني سيكون هو نفسه.

قارن الرسم البياني لـ (y = 2x − 3 ) الموضح سابقًا في شكل مع الرسم البياني (f (x) = 2x − 3 ) الموضح في شكل. لم يتغير شيء سوى التدوين.

رسم بياني للوظيفة

الرسم البياني للدالة هو الرسم البياني لجميع أزواجها المرتبة ، (x ، y) (x ، y) أو باستخدام تدوين الوظيفة ، (x ، f (x)) (x ، f (x)) حيث y = f ( x) .y = f (x).

[ start {array} {ll} {f} & { text {name of function}} {x} & { text {x-إحداثي للزوج المرتب}} {f (x)} & { نص {ص-إحداثي للزوج المرتب}} nonumber end {array} ]

بينما نمضي قدمًا في دراستنا ، من المفيد أن تكون على دراية بالرسوم البيانية للعديد من الوظائف الأساسية وأن تكون قادرًا على تحديدها.

من خلال عملنا السابق ، نحن على دراية بالرسوم البيانية للمعادلات الخطية. العملية التي استخدمناها لتحديد ما إذا كانت (y = 2x − 3 ) دالة ستنطبق على جميع المعادلات الخطية. جميع المعادلات الخطية غير العمودية هي دوال. الخطوط العمودية لا تعمل مثل x-القيمة لا نهائية كثيرة ذ-القيم.

لقد كتبنا معادلات خطية بعدة أشكال ، ولكن سيكون من المفيد جدًا لنا هنا استخدام صيغة الميل والمقطع للمعادلة الخطية. صيغة الميل والمقطع للمعادلة الخطية هي (y = mx + b ). في تدوين الدالة ، تصبح هذه الدالة الخطية (f (x) = mx + b ) حيث م هو منحدر الخط و ب هل ذ-تقاطع.

المجال هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، والمدى هو أيضًا مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

دالة خطية

سنستخدم تقنيات الرسوم البيانية التي استخدمناها سابقًا لرسم الوظائف الأساسية.

مثال ( PageIndex {4} )

الرسم البياني: (f (x) = - 2x − 4 ).

إجابه
(و (س) = - 2 س − 4 )
نحن ندرك هذا كدالة خطية.
أوجد المنحدر و ذ-تقاطع. (م = -2 )
(ب = -4 )
رسم بياني باستخدام تقاطع المنحدر.

مثال ( PageIndex {5} )

الرسم البياني: (f (x) = - 3x − 1 )

إجابه

مثال ( PageIndex {6} )

الرسم البياني: (f (x) = - 4x − 5 )

إجابه

الوظيفة التالية التي سننظر في رسمها البياني تسمى الوظيفة الثابتة ومعادلتها على الشكل (f (x) = b ) ، حيث ب هو أي رقم حقيقي. إذا استبدلنا (f (x) ) بـ y ، فسنحصل على (y = b ). نتعرف على هذا على أنه الخط الأفقي الذي ذ- التقاطع هو ب. الرسم البياني للدالة (f (x) = b ) هو أيضًا الخط الأفقي الذي ذ- التقاطع هو ب.

لاحظ أنه لأي رقم حقيقي نضعه في الوظيفة ، ستكون قيمة الوظيفة ب. هذا يخبرنا أن النطاق له قيمة واحدة فقط ، ب.

وظيفة ثابتة

مثال ( PageIndex {7} )

الرسم البياني: (f (x) = 4 ).

إجابه
(و (س) = 4 )
نتعرف على هذا كدالة ثابتة.
سيكون الرسم خطًا أفقيًا يمر عبر ((0،4) ).

مثال ( PageIndex {8} )

الرسم البياني: (f (x) = - 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {9} )

الرسم البياني: (f (x) = 3 ).

إجابه

دالة الهوية ، (f (x) = x ) هي حالة خاصة للدالة الخطية. إذا كتبناها في شكل دالة خطية ، (f (x) = 1x + 0 ) ، نرى الميل هو 1 و ذ- التقاطع هو 0.

تطابق وظيفي

الوظيفة التالية التي سننظر إليها ليست دالة خطية. لذا فإن الرسم البياني لن يكون خطًا. الطريقة الوحيدة التي يجب أن نرسم بها هذه الوظيفة هي رسم النقاط. نظرًا لأن هذه دالة غير مألوفة ، فإننا نتأكد من اختيار عدة قيم موجبة وسالبة بالإضافة إلى 0 لقيم x الخاصة بنا.

الرسم البياني: (f (x) = x ^ 2 ).

إجابه

نحن نختار x-القيم. نقوم باستبدالها ثم نقوم بإنشاء مخطط كما هو موضح.

مثال ( PageIndex {11} )

الرسم البياني: (f (x) = x ^ 2 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {12} )

(و (س) = - س ^ 2 )

إجابه

النظر في النتيجة في مثال، يمكننا تلخيص ميزات دالة التربيع. نسمي هذا الرسم البياني القطع المكافئ. عندما ننظر إلى المجال ، لاحظ أنه يمكن استخدام أي رقم حقيقي كملف x-القيمة. المجال هو كل الأرقام الحقيقية.

النطاق ليس كل الأرقام الحقيقية. لاحظ أن الرسم البياني يتكون من قيم ذ لا تذهب إلى ما دون الصفر. هذا منطقي لأن مربع أي رقم لا يمكن أن يكون سالبًا. إذن ، نطاق الدالة التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة.

وظيفة مربعة

الوظيفة التالية التي سننظر إليها ليست أيضًا دالة خطية ، لذا فإن الرسم البياني لن يكون خطًا. مرة أخرى ، سنستخدم التخطيط النقطي ، ونتأكد من اختيار عدة قيم موجبة وسالبة بالإضافة إلى القيمة 0 x-القيم.

الرسم البياني: (f (x) = x ^ 3 ).

إجابه

نحن نختار x-القيم. نقوم باستبدالها ثم نقوم بإنشاء مخطط.

مثال ( PageIndex {14} )

الرسم البياني: (f (x) = x ^ 3 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {15} )

الرسم البياني: (f (x) = - x ^ 3 ).

إجابه

النظر في النتيجة في مثال، يمكننا تلخيص ميزات دالة المكعب. المجال هو كل الأرقام الحقيقية.

النطاق هو كل الأرقام الحقيقية. هذا منطقي لأن مكعب أي رقم غير صفري يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا. إذن ، نطاق دالة المكعب هو جميع الأعداد الحقيقية.

وظيفة المكعب

الوظيفة التالية التي سننظر إليها لا تربيع أو تكعيب قيم الإدخال ، بل تأخذ الجذر التربيعي لتلك القيم.

لنرسم الدالة (f (x) = sqrt {x} ) ثم نلخص ميزات الوظيفة. تذكر أنه يمكننا فقط أخذ الجذر التربيعي للأعداد الحقيقية غير السالبة ، لذا سيكون مجالنا هو الأعداد الحقيقية غير السالبة.

مثال ( PageIndex {16} )

(f (x) = sqrt {x} )

إجابه

نحن نختار x-القيم. نظرًا لأننا سنأخذ الجذر التربيعي ، فإننا نختار الأعداد التي تكون مربعات كاملة ، لتسهيل عملنا. نقوم باستبدالها ثم نقوم بإنشاء مخطط.

مثال ( PageIndex {17} )

الرسم البياني: (f (x) = x ).

إجابه

مثال ( PageIndex {18} )

الرسم البياني: (f (x) = - sqrt {x} ).

إجابه

وظيفة الجذر المربعة

آخر وظيفة أساسية لدينا هي دالة القيمة المطلقة ، (f (x) = | x | ). ضع في اعتبارك أن القيمة المطلقة للرقم هي بعده عن الصفر. نظرًا لأننا لا نقيس المسافة أبدًا كرقم سالب ، فلن نحصل أبدًا على رقم سالب في النطاق.

الرسم البياني: (f (x) = | x | ).

إجابه

نحن نختار x-القيم. نقوم باستبدالها ثم نقوم بإنشاء مخطط.

مثال ( PageIndex {20} )

الرسم البياني: (f (x) = | x | ).

إجابه

مثال ( PageIndex {21} )

الرسم البياني: (f (x) = - | x | ).

إجابه

وظيفة القيمة المطلقة

اقرأ المعلومات من رسم بياني لوظيفة

في العلوم والأعمال ، غالبًا ما يتم جمع البيانات ثم رسمها بيانيًا. يتم تحليل الرسم البياني ، ويتم الحصول على المعلومات من الرسم البياني ثم يتم إجراء التنبؤات غالبًا من البيانات.

سنبدأ بقراءة مجال ومدى دالة من الرسم البياني الخاص بها.

تذكر أن المجال هو مجموعة كل x- القيم في الأزواج المرتبة في الوظيفة. للعثور على المجال ، ننظر إلى الرسم البياني ونجد جميع قيم x التي لها قيمة مقابلة على الرسم البياني. اتبع القيمة x لأعلى أو لأسفل عموديًا. إذا قمت بالضغط على الرسم البياني للوظيفة بعد ذلك x في المجال.

تذكر أن النطاق هو مجموعة كل ذ- القيم في الأزواج المرتبة في الوظيفة. لإيجاد المدى ننظر إلى الرسم البياني ونوجد جميع قيم ذ التي لها قيمة مقابلة على الرسم البياني. اتبع القيمة ذ اليسار أو اليمين أفقيا. إذا قمت بالضغط على الرسم البياني للوظيفة بعد ذلك ذ في النطاق.

مثال ( PageIndex {22} )

استخدم الرسم البياني للدالة لإيجاد مجالها ومداها. اكتب المجال والمدى في تدوين الفترة.

إجابه

للعثور على المجال ، ننظر إلى الرسم البياني ونجد جميع قيم x التي تتوافق مع نقطة على الرسم البياني. تم تمييز المجال باللون الأحمر على الرسم البياني. المجال هو ([- 3،3] ).

لإيجاد المدى ننظر إلى الرسم البياني ونوجد جميع قيم ذ التي تتوافق مع نقطة على الرسم البياني. النطاق مظلل باللون الأزرق على الرسم البياني. النطاق هو ([- 1،3] ).

مثال ( PageIndex {23} )

استخدم الرسم البياني للدالة لإيجاد مجالها ومداها. اكتب المجال والمدى في تدوين الفترة.

إجابه

المجال هو ([- 5،1] ). النطاق هو ([- 4،2] ).

مثال ( PageIndex {24} )

استخدم الرسم البياني للدالة لإيجاد مجالها ومداها. اكتب المجال والمدى في تدوين الفترة.

إجابه

المجال هو ([- 2،4] ). النطاق هو ([- 5،3] ).

سنقوم الآن بقراءة المعلومات من الرسم البياني التي قد تراها في فصول الرياضيات المستقبلية.

مثال ( PageIndex {25} )

استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على القيم المشار إليها.

ⓐ ابحث عن: (f (0) ).
ⓑ ابحث عن: (f (32 pi) ).
ⓒ ابحث عن: (f (−12 pi) ).
ⓓ أوجد قيم x عندما (f (x) = 0 ).
ⓔ ابحث عن ملف x- اعتراضات.
ⓕ ابحث عن ملف ذ- اعتراضات.
ⓖ أوجد المجال. اكتبها في تدوين الفترة.
ⓗ ابحث عن النطاق. اكتبها في تدوين الفترة.

إجابه

ⓐ عندما (س = 0 ) ، تتجاوز الوظيفة ذ-المحور عند 0. لذا ، (f (0) = 0 ).
ⓑ عندما (x = 32 pi ) ، فإن ملف ذ- قيمة الوظيفة (- 1 ). إذن (f (32 pi) = - 1 ).
ⓒ عندما (x = −12 pi ) ، فإن ملف ذ- قيمة الوظيفة (- 1 ). إذًا ، (f (−12 pi) = - 1 ).
ⓓ الوظيفة هي 0 عند النقاط ، ((- 2 pi ، 0) ، (- pi ، 0) ، (0،0) ، ( pi ، 0) ، (2 pi ، 0) ) . ال x- القيم عندما تكون (f (x) = 0 ) (- 2 pi، - pi، 0، pi، 2 pi ).
ⓔ ال x- تحدث التداخلات عندما (ص = 0 ). لذلك x- تحدث التداخلات عندما (f (x) = 0 ). ال x- التداخلات هي ((- 2 pi، 0)، (- pi، 0)، (0،0)، ( pi، 0)، (2 pi، 0) ).
ⓕ ال ذ- تحدث التداخلات عندما تكون x = 0.x = 0. لذلك ذ- تحدث التداخلات عند (f (0) ). ال ذ- التقاطع هو ((0،0) ).
هذه الوظيفة لها قيمة عندما x من (- 2 pi ) إلى (2 pi ). لذلك ، فإن المجال في تدوين الفاصل الزمني هو ([- 2 pi، 2 pi] ).
ⓗ هذه الدالة القيم ، أو ذ-تنتقل القيم من (- 1 ) إلى 1. وبالتالي ، فإن النطاق ، في تدوين الفاصل الزمني ، هو ([- 1،1] ).

مثال ( PageIndex {26} )

استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على القيم المشار إليها.

ⓐ أوجد: f (0) .f (0).
ⓑ أوجد: f (12 pi) .f (12 pi).
ⓒ أوجد: f (−32 pi) .f (−32 pi).
ⓓ أوجد قيم x عندما f (x) = 0.f (x) = 0.
ⓔ ابحث عن ملف x- اعتراضات.
ⓕ ابحث عن ملف ذ- اعتراضات.
ⓖ أوجد المجال. اكتبها في تدوين الفترة.

إجابه

ⓐ (f (0) = 0 ) ⓑ (f = ( pi2) = 2 ) ⓒ (f = (- 3 pi2) = 2 ) ⓓ (f (x) = 0 ) لـ (س = −2 بي ، - بي ، 0 ، بي ، 2 بي ) ⓔ ((- 2 بي ، 0) ، (- بي ، 0) ، (0،0) ، ( pi، 0)، (2 pi، 0) ) ⓕ (0،0) (0،0) ⓖ ([- 2 pi، 2 pi] ) ⓗ ([- 2،2 ] )

مثال ( PageIndex {27} )

استخدم الرسم البياني للدالة للعثور على القيم المشار إليها.

ⓐ ابحث عن: (f (0) ).
ⓑ ابحث عن: (f ( pi) ).
ⓒ ابحث عن: (f (- pi) ).
ⓓ أوجد قيم x عندما (f (x) = 0 ).
ⓔ ابحث عن ملف x- اعتراضات.
ⓕ ابحث عن ملف ذ- اعتراضات.
ⓖ أوجد المجال. اكتبها في تدوين الفترة.

إجابه

ⓐ (f (0) = 1 ) ⓑ (f ( pi) = - 1 ) ⓒ (f (- pi) = - 1 ) ⓓ (f (x) = 0 ) من أجل (س = −3 pi2 ، - pi2 ، pi2،3 pi2 ) ⓔ ((- 2 نقطة في البوصة ، 0) ، (- بي ، 0) ، (0،0) ، (باي ، 0) ، (2 نقطة في البوصة ، 0) ) ⓕ ((0،1) ) ⓖ ([- 2 نقطة في البوصة ، 2 نقطة في البوصة] ) ⓗ ([- 1،1] )

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع الرسوم البيانية للوظائف.

  • البحث عن المجال والمدى


شاهد الفيديو: اساسيات الرسم البياني - احترف الرسم البياني بسهولة!! - جزء 1 (شهر اكتوبر 2021).