مقالات

4.1: حل أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام المعادلات
  • حل نظام المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني
  • حل جملة معادلات بالتعويض
  • حل جملة معادلات بالحذف
  • اختر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل نظام المعادلات الخطية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. للمعادلة (y = frac {2} {3} x − 4 ) ،
    ⓐ هل ((6،0) ) حل؟ ⓑ هل ((- 3 ، −2) ) حل؟
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. أوجد المنحدر و ذ-مقطع السطر (3x − y = 12 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. أعثر على س- و ذ- تقاطع السطر (2x − 3y = 12 ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

حدد ما إذا كان الزوج المطلوب هو حل لنظام المعادلات

في حل المعادلات الخطية، تعلمنا كيفية حل المعادلات الخطية بمتغير واحد. سنعمل الآن مع معادلتين خطيتين أو أكثر مجمعتين معًا ، والتي تُعرف باسم a نظام المعادلات الخطية.

نظام المعادلات الخطية

عندما يتم تجميع معادلتين خطيتين أو أكثر معًا ، فإنها تشكل a نظام المعادلات الخطية.

في هذا القسم ، سنركز عملنا على أنظمة من معادلتين خطيتين في مجهولين. سنحل أنظمة المعادلات الأكبر لاحقًا في هذا الفصل.

فيما يلي مثال لنظام من معادلتين خطيتين. نستخدم قوسًا لإظهار أن المعادلتين مجمعتان معًا لتكوين نظام معادلات.

[ left { begin {align} 2x + y & = 7 x − 2y & = 6 end {align} right. لا يوجد رقم ]

المعادلة الخطية في متغيرين ، مثل (2x + y = 7 ) ، لها عدد لا نهائي من الحلول. رسمها البياني عبارة عن خط. تذكر أن كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة وكل حل للمعادلة هو نقطة على الخط.

لحل نظام من معادلتين خطيتين ، نريد إيجاد قيم المتغيرات التي تمثل حلولًا لها على حد سواء المعادلات. بمعنى آخر ، نحن نبحث عن الأزواج المرتبة ((x، y) ) التي تجعل المعادلتين صحيحين. هذه تسمى حلول نظام المعادلات.

حلول نظام المعادلات

ال حلول نظام المعادلات هي قيم المتغيرات التي تصنع الكل المعادلات صحيحة. يتم تمثيل حل نظام من معادلتين خطيتين من خلال زوج مرتب ((x، y) ).

لتحديد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام من معادلتين ، فإننا نستبدل قيم المتغيرات في كل معادلة. إذا كان الزوج المرتب يجعل كلا المعادلتين صحيحًا ، فهذا حل للنظام.

مثال ( PageIndex {1} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام ( left { begin {array} {l} x − y = −1 2x − y = −5 end {array} right. ).

ⓐ ((−2,−1)) ⓑ ((−4,−3))

إجابه

مثال ( PageIndex {2} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام ( left { begin {array} 3x + y = 0 x + 2y = −5 end {array} right. ).

ⓐ ((1,−3)) ⓑ ((0,0))

إجابه

ⓐ نعم ⓑ لا

مثال ( PageIndex {3} )

حدد ما إذا كان الزوج المرتب حلاً للنظام ( left { begin {array} x − 3y = −8 −3x − y = 4 end {array} right. ).

ⓐ ((2,−2)) ⓑ ((−2,2))

إجابه

ⓐ لا ⓑ نعم

حل نظام المعادلات الخطية بالرسوم البيانية

في هذا القسم ، سنستخدم ثلاث طرق لحل نظام المعادلات الخطية. الطريقة الأولى التي سنستخدمها هي الرسم البياني.

الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط. كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة. لنظام من معادلتين ، سنرسم خطين بيانيًا. ثم يمكننا رؤية جميع النقاط التي تمثل حلولًا لكل معادلة. ومن خلال إيجاد القاسم المشترك بين السطور ، سنجد الحل للنظام.

تحتوي معظم المعادلات الخطية في متغير واحد على حل واحد ، لكننا رأينا أن بعض المعادلات ، التي تسمى التناقضات ، ليس لها حلول ، وبالنسبة للمعادلات الأخرى ، التي تسمى المتطابقات ، فإن جميع الأرقام هي حلول.

وبالمثل ، عندما نحل نظامًا من معادلتين خطيتين ممثلتين برسم بياني لخطين في نفس المستوى ، فهناك ثلاث حالات محتملة ، كما هو موضح.

في كل مرة نعرض طريقة جديدة ، سنستخدمها في نفس نظام المعادلات الخطية. في نهاية القسم ، ستقرر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل هذا النظام.

مثال ( PageIndex {4} ): كيفية حل نظام المعادلات بالرسوم البيانية

حل النظام عن طريق رسم بياني ( left { start {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} right. ).

إجابه

مثال ( PageIndex {5} )

حل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { start {array} {l} x − 3y = −3 x + y = 5 end {array} right. ).

إجابه

((3,2))

مثال ( PageIndex {6} )

حل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { start {array} {l} −x + y = 1 3x + 2y = 12 end {array} right. )

إجابه

((2,3))

تظهر هنا الخطوات التي يجب استخدامها لحل نظام المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني.

حل نظام المعادلات الخطية عن طريق الرسم.

  1. ارسم المعادلة الأولى.
  2. ارسم المعادلة الثانية على نفس نظام إحداثيات المستطيل.
  3. حدد ما إذا كانت المستقيمات متقاطعة أم متوازية أم متطابقة.
  4. تحديد الحل للنظام.
    • إذا تقاطعت الخطوط ، حدد نقطة التقاطع. هذا هو الحل للنظام.
    • إذا كانت الخطوط متوازية ، فلا يوجد حل للنظام.
    • إذا كانت السطور هي نفسها ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.
  5. افحص الحل في كلا المعادلتين.

في المثال التالي ، سنقوم أولاً بإعادة كتابة المعادلات في صيغة الميل - التقاطع حيث سيسهل ذلك علينا رسم الخطوط بسرعة.

مثال ( PageIndex {7} )

حل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { begin {array} {l} 3x + y = −1 2x + y = 0 end {array} right. )

إجابه

سنحل كلا المعادلتين من أجل (ص ) حتى نتمكن من رسم بياني بسهولة باستخدام المنحدرات و (ص ) - التقاطع.

حل المعادلة الأولى من أجل ذ.
أوجد المنحدر و ذ-تقاطع.
حل المعادلة الثانية من أجل ذ.
أوجد المنحدر و ذ-تقاطع.
ارسم الخطوط.
حدد نقطة التقاطع.تتقاطع الخطوط عند ((- 1،2) ).
افحص الحل في كلا المعادلتين.

الحل هو ((- 1،2) ).

مثال ( PageIndex {8} )

حل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { begin {array} {l} −x + y = 1 2x + y = 10 end {array} right. ).

إجابه

((3,4))

مثال ( PageIndex {9} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { begin {array} {l} 2x + y = 6 x + y = 1 end {array} right. ).

إجابه

((5,−4))

في جميع أنظمة المعادلات الخطية حتى الآن ، تقاطعت الخطوط وكان الحل نقطة واحدة. في المثالين التاليين ، سنلقي نظرة على نظام المعادلات الذي ليس له حل ونظام المعادلات الذي يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.

مثال ( PageIndex {11} )

حل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { begin {array} {l} y = - tfrac {1} {4} x + 2 x + 4y = 4 end {array} right. ).

إجابه

لا حل

مثال ( PageIndex {12} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { start {array} {l} y = 3x-1 6x-2y = 6 end {array} right. ).

إجابه

لا حل

في بعض الأحيان ، تمثل المعادلات في النظام نفس الخط. نظرًا لأن كل نقطة على الخط تجعل المعادلتين صحيحين ، فهناك عدد لا نهائي من الأزواج المرتبة التي تجعل المعادلتين صحيحين. هناك عدد لا نهائي من الحلول للنظام.

مثال ( PageIndex {13} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { start {array} {l} y = 2x-3 -6x + 3y = 9 end {array} right. ).

إجابه
أوجد المنحدر و ذ- معادلة المعادلة الأولى.
أوجد تقاطعات المعادلة الثانية.
ارسم الخطوط.
الخطوط هي نفسها!
لأن كل نقطة على الخط تجعل كلاهما
المعادلات صحيحة ، هناك عدد لا نهائي من المعادلات
الأزواج المرتبة التي تجعل المعادلتين صحيحين.
هناك عدد لا حصر له من الحلول لهذا النظام.

إذا كتبت المعادلة الثانية بصيغة الميل والمقطع ، فقد تدرك أن المعادلات لها نفس الميل ونفس الشيء ذ-تقاطع.

مثال ( PageIndex {14} )

حل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { begin {array} {l} y = -3x-6 6x + 2y = -12 end {array} right. ).

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول

مثال ( PageIndex {15} )

قم بحل النظام عن طريق رسم بياني: ( left { start {array} {l} y = tfrac {1} {2} x-4 2x-4y = 16 end {array} right. ) .

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول

عندما رسمنا السطر الثاني في المثال الأخير ، رسمناه مباشرة فوق السطر الأول. نقول أن السطرين هما صدفة. الخطوط المتزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ص-تقاطع.

الخطوط المتوافقة

خطوط متزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ص-تقاطع.

نظم المعادلات في مثال و مثال كل خطين متقاطعين. كل نظام لديه حل واحد.

في مثالأعطت المعادلات خطوطًا متطابقة ، وبالتالي كان لدى النظام عدد لا نهائي من الحلول

كان للأنظمة في هذه الأمثلة الثلاثة حل واحد على الأقل. يسمى نظام المعادلات الذي يحتوي على حل واحد على الأقل أ ثابتة النظام.

نظام ذو خطوط متوازية ، مثل مثال، ليس له حل. نسمي نظام معادلات مثل هذا تتعارض. ليس لها حل.

أنظمة متسقة وغير متسقة

أ نظام متسق من المعادلات هو نظام معادلات به حل واحد على الأقل.

ان نظام معادلات غير متناسق هو نظام معادلات بلا حل.

نقوم أيضًا بتصنيف المعادلات في نظام معادلات عن طريق استدعاء المعادلات مستقل أو يعتمد. إذا كانت معادلتان مستقلتان ، فلكل منهما مجموعة الحلول الخاصة بهما. الخطوط المتقاطعة والخطوط المتوازية مستقلة.

إذا كانت معادلتان تابعتان ، فإن جميع حلول إحدى المعادلات هي أيضًا حلول للمعادلة الأخرى. عندما نرسم معادلتين تابعتين ، نحصل على خطوط متطابقة.

دعونا نلخص ذلك من خلال النظر في الرسوم البيانية لأنواع الأنظمة الثلاثة. انظر أدناه و الطاولة.

خطوطمتقاطعةموازيصدفة
عدد الحلول1 نقطةلا حلالكثير بلا حدود
متسقة / غير متسقةثابتةتتعارضثابتة
تعتمد مستقلةمستقلمستقلمتكل

مثال ( PageIndex {16} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

ⓐ ( left { start {array} {l} y = 3x − 1 6x − 2y = 12 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array} { l} 2x + y = −3 x − 5y = 5 end {array} right. )

إجابه

ⓐ سنقارن بين ميل الخطين ونقاط تقاطعهما.

( start {array} {lll} {} & {} & { left { begin {array} {l} {y = 3x-1} {6x − 2y = 12} end {array} right.} {} & {} & {y = 3x-1} { text {المعادلة الأولى موجودة بالفعل في شكل تقاطع منحدر.}} & {} & {} { text { اكتب المعادلة الثانية بصيغة تقاطع الميل.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {6x-2y = 12} {} & {} & {- 2y = -6x + 12} {} & {} & { frac {-2y} {- 2} = frac {-6x + 12} {- 2}} {} & {} & {y = 3x-6} {} & {y = 3x-1} & {y = 3x-6} {} & {m = 3} & {m = 3} {} & {b = -1} & {b = -6} { text {ابحث عن ميل وتقاطع كل سطر.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & { text {بما أن المنحدرات هي نفس تقاطعات andy}} & {} {} & { text {مختلفة ، فإن الخطوط متوازية.}} & {} end {array} )

ⓑ سنقارن بين ميل المستقيمين ونقاط تقاطعهما.

( start {array} {lll} {} & {} & {} {} & { left { begin {array} {l} 2x + y = -3 x-5y = 5 end {array} right.} & {} { text {اكتب كلتا المعادلتين في صيغة الميل - التقاطع.}} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {2x + y = -3} & {x-5y = 5} {} & {y = -2x-3} & {- 5y = -x + 5} {} & {} & { frac {-5y} {- 5} = frac {-x + 5} {- 5}} {} & {} & {y = frac {1} {5} -1} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} {} & {} & {} { text {ابحث عن ميل وتقاطع كل سطر.}} & {} & {} {} & {} & {} {} & {y = -2x-3 } & {y = frac {1} {5} -1} {} & {m = -2} & {m = frac {1} {5}} {} & {b = -3 } & {b = -1} {} & {} & {} {} & { text {نظرًا لاختلاف المنحدرات ، تتقاطع الخطوط.}} & {} end {array} )

يحتوي نظام المعادلات الذي تتقاطع رسومه البيانية على حل واحد وهو متسق ومستقل.

مثال ( PageIndex {17} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

ⓐ ( left { start {array} {l} y = −2x − 4 4x + 2y = 9 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array} {l} 3x + 2y = 2 2x + y = 1 end {array} right. )

إجابه

ⓐ لا يوجد حل غير متسق مستقل ⓑ حل واحد متسق ومستقل

مثال ( PageIndex {18} )

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

ⓐ ( left { start {array} {l} y = frac {1} {3} x − 5 x − 3y = 6 end {array} right. ) ⓑ ( left { start {array} {l} x + 4y = 12 −x + y = 3 end {array} right. )

إجابه

ⓐ لا يوجد حل غير متسق مستقل ⓑ حل واحد متسق ومستقل

يعد حل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق الرسوم البيانية طريقة جيدة لتصور أنواع الحلول التي قد تنتج. ومع ذلك ، هناك العديد من الحالات التي يكون فيها حل النظام عن طريق الرسوم البيانية غير مريح أو غير دقيق. إذا امتدت الرسوم البيانية إلى ما وراء الشبكة الصغيرة بـ x و ذ بين (- 10 ) و 10 ، قد يكون رسم الخطوط مرهقًا. وإذا لم تكن حلول النظام أعدادًا صحيحة ، فقد يكون من الصعب قراءة قيمها بدقة من الرسم البياني.

حل نظام المعادلات بالتعويض

سنحل الآن أنظمة المعادلات الخطية بطريقة التعويض.

سنستخدم نفس النظام الذي استخدمناه أولاً للرسم البياني.

[ left { start {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} right. لا يوجد رقم ]

سنحل أولاً إحدى المعادلتين لأي منهما x أو ذ. يمكننا اختيار أي من المعادلتين وحل أي متغير — لكننا سنحاول اتخاذ خيار يجعل العمل سهلاً.

ثم نعوض بهذا التعبير في المعادلة الأخرى. والنتيجة هي معادلة ذات متغير واحد فقط - ونعرف كيف نحلها!

بعد إيجاد قيمة أحد المتغيرات ، سنعوض بهذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية ونحل المتغير الآخر. أخيرًا ، نتحقق من الحل ونتأكد من أنه يجعل كلا المعادلتين صحيحًا.

مثال ( PageIndex {19} ): كيفية حل نظام المعادلات بالتعويض

حل النظام بالتعويض: ( left { begin {array} {l} 2x + y = 7 x − 2y = 6 end {array} right. )

إجابه

مثال ( PageIndex {20} )

حل النظام بالتعويض: ( left { start {array} {l} −2x + y = −11 x + 3y = 9 end {array} right. )

إجابه

((6,1))

مثال ( PageIndex {21} )

حل النظام بالتعويض: ( left { begin {array} {l} 2x + y = −1 4x + 3y = 3 end {array} right. )

إجابه

((−3,5))

حل نظام المعادلات عن طريق الاستبدال.

  1. حل إحدى المعادلات لأي متغير.
  2. عوّض بالتعبير من الخطوة 1 في المعادلة الأخرى.
  3. حل المعادلة الناتجة.
  4. عوض بالحل الوارد في الخطوة 3 في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد المتغير الآخر.
  5. اكتب الحل كزوج مرتب.
  6. تحقق من أن الزوج المرتب هو حل لـ على حد سواء المعادلات الأصلية.

كن حذرًا جدًا مع العلامات الموجودة في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {22} )

حل النظام بالتعويض: ( left { begin {array} {l} 4x + 2y = 4 6x − y = 8 end {array} right. )

إجابه

علينا حل معادلة واحدة لمتغير واحد. سنحل المعادلة الأولى لـ ذ.

حل المعادلة الأولى من أجل ذ.
استبدل (- 2x + 2 ) من أجل ذ في المعادلة الثانية.
استبدل ملف ذ مع (- 2x + 2 ).
حل المعادلة من أجل x.
عوّض (x = 54 ) في (4x + 2y = 4 ) لإيجاد ذ.
الزوج المرتب هو ((54، −12) ).
افحص الزوج المرتب في كلا المعادلتين.

الحل هو ((54، −12) ).

مثال ( PageIndex {23} )

حل النظام عن طريق الاستبدال: ( left { start {array} {l} x − 4y = −4 −3x + 4y = 0 end {array} right. )

إجابه

((2,32))

مثال ( PageIndex {24} )

حل النظام بالتعويض: ( left { start {array} {l} 4x − y = 0 2x − 3y = 5 end {array} right. )

إجابه

((−12,−2))

حل نظام المعادلات بالحذف

لقد حللنا أنظمة المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني والتعويض. تعمل الرسوم البيانية بشكل جيد عندما تكون المعاملات المتغيرة صغيرة ويكون الحل يحتوي على قيم عدد صحيح. يعمل التعويض بشكل جيد عندما يمكننا بسهولة حل معادلة واحدة لأحد المتغيرات وعدم وجود عدد كبير جدًا من الكسور في التعبير الناتج.

الطريقة الثالثة لحل أنظمة المعادلات الخطية تسمى طريقة الحذف. عندما حللنا نظامًا بالتعويض ، بدأنا بمعادلتين ومتغيرين واختزلناه إلى معادلة واحدة بمتغير واحد. هذا ما سنفعله بطريقة الاستبعاد أيضًا ، ولكن سيكون لدينا طريقة مختلفة للوصول إلى هناك.

تعتمد طريقة الحذف على خاصية الإضافة للمساواة. تنص خاصية إضافة المساواة على أنه عندما تضيف نفس الكمية إلى جانبي المعادلة ، فلا يزال لديك مساواة. سنقوم بتوسيع خاصية إضافة المساواة لنقول أنه عندما تضيف كميات متساوية إلى جانبي المعادلة ، فإن النتائج متساوية.

لأية تعبيرات أ ، ب ، ج ، و د.

[ start {array} {ll} { text {if}} & {a = b} { text {and}} & {c = d} { text {then}} & {a + c = b + d.} عدد غير رقم نهاية {مجموعة} ]

لحل نظام المعادلات بالحذف ، نبدأ بكلتا المعادلتين في الصورة القياسية. ثم نقرر أي متغير سيكون من الأسهل حذفه. كيف نقرر؟ نريد أن تكون معاملات أحد المتغيرات متناقضة ، حتى نتمكن من جمع المعادلات معًا وحذف هذا المتغير.

لاحظ كيف يعمل ذلك عندما نجمع هاتين المعادلتين معًا:

[ left { begin {array} {l} 3x + y = 5 underline {2x − y = 0} end {array} right. لا يوجد رقم]

[5x = 5 بلا رقم ]

ال ذنضيف إلى الصفر ولدينا معادلة واحدة بمتغير واحد.

دعونا نجرب واحدة أخرى:

[ left { begin {array} x + 4y = 2 2x + 5y = −2 end {array} right. لا يوجد رقم]

هذه المرة لا نرى متغيرًا يمكن حذفه فورًا إذا أضفنا المعادلات.

لكن إذا ضربنا المعادلة الأولى في (- 2 ) ، فسنصنع معاملات x المعاكسات. يجب أن نضرب كل حد من طرفي المعادلة في (- 2 ).

ثم أعد كتابة نظام المعادلات.

الآن نرى أن معاملات x الشروط متناقضة ، لذلك x سيتم حذفه عندما نضيف هاتين المعادلتين.

بمجرد أن نحصل على معادلة ذات متغير واحد فقط ، نحلها. ثم نعوض بهذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية لحل المتغير المتبقي. وكالعادة ، نتحقق من إجابتنا للتأكد من أنها حل لكلتا المعادلتين الأصليتين.

سنرى الآن كيفية استخدام الحذف لحل نفس نظام المعادلات الذي قمنا بحله عن طريق الرسم البياني والتعويض.

تمرين ( PageIndex {26} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 3x + y = 5 2x − 3y = 7 end {array} right. )

إجابه

((2,−1))

تمرين ( PageIndex {27} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 4x + y = −5 ​​−2x − 2y = −2 end {array} right. )

إجابه

((−2,3))

يتم سرد الخطوات هنا للرجوع إليها بسهولة.

حل نظام المعادلات عن طريق القضاء.

  1. اكتب كلا المعادلتين في الصورة القياسية. إذا كانت أي معاملات عبارة عن كسور ، فقم بمسحها.
  2. اصنع معاملات أضداد متغيرة واحدة.
    • حدد المتغير الذي ستحذفه.
    • اضرب إحدى المعادلتين أو كليهما بحيث تكون معاملات هذا المتغير متناقضة.
  3. أضف المعادلات الناتجة من الخطوة 2 للتخلص من متغير واحد.
  4. حل المتغير المتبقي.
  5. استبدل الحل من الخطوة 4 بأحد المعادلات الأصلية. ثم قم بحل المتغير الآخر.
  6. اكتب الحل كزوج مرتب.
  7. تحقق من أن الزوج المرتب هو حل لـ على حد سواء المعادلات الأصلية.

سنقوم الآن بعمل مثال حيث نحتاج إلى ضرب كلتا المعادلتين في الثوابت من أجل تكوين معاملات أحد المتغيرات الأضداد.

تمرين ( PageIndex {28} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 4x − 3y = 9 7x + 2y = −6 end {array} right. )

إجابه

في هذا المثال ، لا يمكننا ضرب معادلة واحدة في أي ثابت للحصول على معاملات معاكسة. لذلك سنضرب كلتا المعادلتين استراتيجيًا في ثوابت مختلفة للحصول على الأضداد.

كلا المعادلتين في شكل قياسي.
للحصول على معاملات معاكسة لـ ذ، سنقوم
اضرب المعادلة الأولى في 2 و
المعادلة الثانية بمقدار 3.
تبسيط.
أضف المعادلتين للحذف ذ.
حل من أجل x.
عوّض x = 0 x = 0 في إحدى المعادلات الأصلية.
حل من أجل ذ.
اكتب الحل كزوج مرتب.

الزوج المرتب هو ((0، −3) ).

تحقق من أن الزوج المرتب هو حل لـ
على حد سواء المعادلات الأصلية.

الحل هو ((0، −3) ).

تمرين ( PageIndex {29} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 3x − 4y = −9 5x + 3y = 14 end {array} right. )

إجابه

((1,3))

تمرين ( PageIndex {30} )

حل كل نظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 7x + 8y = 4 3x − 5y = 27 end {array} right. )

إجابه

((4,−3))

عندما يحتوي نظام المعادلات على كسور ، سنقوم أولاً بمسح الكسور بضرب كل معادلة في شاشة LCD لجميع الكسور في المعادلة.

تمرين ( PageIndex {31} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { begin {array} {l} x + tfrac {1} {2} y = 6 tfrac {3} {2} x + tfrac {2} {3 } y = tfrac {17} {2} end {array} right. )

إجابه

في هذا المثال ، تحتوي كلتا المعادلتين على كسور. ستكون خطوتنا الأولى هي ضرب كل معادلة في شاشة LCD لجميع الكسور في المعادلة لمسح الكسور.

لمسح الكسور ، اضرب كل منهما
المعادلة من خلال شاشة LCD الخاصة به.
تبسيط.
الآن نحن جاهزون للقضاء على واحد
من المتغيرات. لاحظ أن كلا المعادلتين موجودتان
النموذج القياسي.
يمكننا حذف y بضرب المعادلة العليا في (- 4 ).
بسّط وأضف.

عوّض (x = 3 ) في إحدى المعادلات الأصلية.

حل من أجل y.

اكتب الحل كزوج مرتب.الزوج المرتب هو ((3،6) ).
تحقق من أن الزوج المرتب هو حل لـ
كلا المعادلتين الأصليتين.

الحل هو ((3،6) ).

تمرين ( PageIndex {32} )

حل كل نظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} tfrac {1} {3} x− tfrac {1} {2} y = 1 tfrac {3} {4 } x − y = tfrac {5} {2} end {array} right. )

إجابه

((6,2))

تمرين ( PageIndex {33} )

حل كل نظام عن طريق الحذف: ( left { begin {array} {l} x + tfrac {3} {5} y = - tfrac {1} {5} - tfrac {1} {2 } x− tfrac {2} {3} y = tfrac {5} {6} end {array} right. )

إجابه

((1,−2))

عندما حللنا النظام بالرسم البياني ، رأينا أنه ليست كل أنظمة المعادلات الخطية لها زوج واحد مرتب كحل. عندما كانت المعادلتان متطابقتين حقًا ، كان هناك عدد لا نهائي من الحلول. أطلقنا على ذلك نظامًا ثابتًا. عندما وصفت المعادلتان خطوط متوازية ، لم يكن هناك حل. أطلقنا على ذلك نظامًا غير متناسق.

نفس الشيء صحيح باستخدام الاستبدال أو الحذف. إذا كانت المعادلة في نهاية الاستبدال أو الحذف عبارة صحيحة ، فلدينا نظام ثابت ولكنه تابع ونظام المعادلات يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول. إذا كانت المعادلة في نهاية الاستبدال أو الحذف عبارة خاطئة ، فلدينا نظام غير متناسق ونظام المعادلات ليس له حل.

تمرين ( PageIndex {34} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 3x + 4y = 12 y = 3− tfrac {3} {4} x end {array} right. )

إجابه

( start {array} {ll} {} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 y = 3− frac {3} {4} x end {array } right.} {} & {} { text {اكتب المعادلة الثانية بالصيغة القياسية.}} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 frac {3} {4} x + y = 3 end {array} right.} {} & {} { text {امسح الكسور بضرب} text {المعادلة الثانية في 4 .}} & { left { start {array} {l} 3x + 4y = 12 4 ( frac {3} {4} x + y) = 4 (3) end {array} right .} {} & {} { text {Simplify.}} & { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 3x + 4y = 12 end {array} right.} {} & {} { text {لإزالة متغير ، نضرب} text {المعادلة الثانية في − 1. بسّط وأضف.}} & { start {array} {l} { left { begin {array} {l} 3x + 4y = 12 underline {-3x-4y = -12} end {array} right.} { hspace {16mm } 0 = 0} end {array}} end {array} )

هذا بيان صحيح. المعادلات متسقة ولكنها تابعة. ستكون الرسوم البيانية الخاصة بهم على نفس الخط. يحتوي النظام على عدد لا نهائي من الحلول.

بعد مسح الكسور في المعادلة الثانية ، هل لاحظت أن المعادلتين متماثلتان؟ هذا يعني أن لدينا خطوط متطابقة.

تمرين ( PageIndex {35} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { start {array} {l} 5x − 3y = 15 5y = −5 + tfrac {5} {3} x end {array} right. )

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول

تمرين ( PageIndex {36} )

حل النظام عن طريق الحذف: ( left { begin {array} {l} x + 2y = 6 y = - tfrac {1} {2} x + 3 end {array} right. )

إجابه

عدد لا نهائي من الحلول

اختر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل نظام المعادلات الخطية

عندما تحل نظامًا من المعادلات الخطية في تطبيق ما ، لن يتم إخبارك بالطريقة التي يجب استخدامها. سوف تحتاج إلى اتخاذ هذا القرار بنفسك. لذلك سترغب في اختيار الطريقة الأسهل في القيام بها وتقليل فرصتك في ارتكاب الأخطاء.

[ textbf {اختر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل نظام المعادلات الخطية} begin {array} {lll} { underline { textbf {Graphing}}} & { underline { textbf {Substitution}} } & { underline { textbf {Elimination}}} { text {Use when you need a}} & { text {Use when one equation is}} & { text {Use when the equations a}} { text {picture of the status.}} & { text {تم حلها بالفعل أو يمكن أن تكون}} & { text {rein standard form.}} { text {}} & { text {بسهولة تم حلها لـ one}} & { text {}} { text {}} & { text {variable.}} & { text {}} end {array} nonumber ]

مثال ( PageIndex {37} )

لكل نظام من المعادلات الخطية ، قرر ما إذا كان حلها أكثر ملاءمة عن طريق الاستبدال أو الحذف. اشرح اجابتك.

ⓐ ( left { start {array} {l} 3x + 8y = 40 7x − 4y = −32 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array} {l} 5x + 6y = 12 y = tfrac {2} {3} x − 1 end {array} right. )

إجابه

[ left { start {array} {l} 3x + 8y = 40 7x − 4y = −32 end {array} right. nonumber ]

نظرًا لأن كلا المعادلتين في شكل قياسي ، سيكون استخدام الحذف أكثر ملاءمة.

[ left { begin {array} {l} 5x + 6y = 12 y = tfrac {2} {3} x − 1 end {array} right. nonumber ]

نظرًا لأن معادلة واحدة تم حلها بالفعل من أجل ذ، سيكون استخدام الاستبدال أكثر ملاءمة.

مثال ( PageIndex {38} )

حدد لكل نظام من المعادلات الخطية ما إذا كان حلها أكثر ملاءمة عن طريق الاستبدال أو الحذف. اشرح اجابتك.

ⓐ ( left { begin {array} {l} 4x − 5y = −32 3x + 2y = −1 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array) } {l} x = 2y − 1 3x − 5y = −7 end {array} right. )

إجابه

ⓐ نظرًا لأن كلا المعادلتين في الشكل القياسي ، سيكون استخدام الحذف أكثر ملاءمة. ⓑ حيث تم حل معادلة واحدة بالفعل من أجل x، سيكون استخدام الاستبدال أكثر ملاءمة.

مثال ( PageIndex {39} )

حدد لكل نظام من المعادلات الخطية ما إذا كان حلها أكثر ملاءمة عن طريق الاستبدال أو الحذف. اشرح اجابتك.

ⓐ ( left { start {array} {l} y = 2x − 1 3x − 4y = −6 end {array} right. ) ⓑ ( left { begin {array} {l} 6x − 2y = 12 3x + 7y = −13 end {array} right. )

إجابه

ⓐ حيث تم حل معادلة واحدة بالفعل من أجل ذ، سيكون استخدام الاستبدال أكثر ملاءمة. ⓑ نظرًا لأن كلا المعادلتين في الشكل القياسي ، سيكون استخدام الحذف أكثر ملاءمة.

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية حل نظام المعادلات الخطية بالرسوم البيانية.
    1. ارسم المعادلة الأولى.
    2. ارسم المعادلة الثانية على نفس نظام إحداثيات المستطيل.
    3. حدد ما إذا كانت المستقيمات متقاطعة أم متوازية أم متطابقة.
    4. تحديد الحل للنظام.
      إذا تقاطعت الخطوط ، حدد نقطة التقاطع. هذا هو الحل للنظام.
      إذا كانت الخطوط متوازية ، فلا يوجد حل للنظام.
      إذا كانت السطور هي نفسها ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.
    5. افحص الحل في كلا المعادلتين.
  • كيفية حل نظام المعادلات بالتعويض.
    1. حل إحدى المعادلات لأي متغير.
    2. عوّض بالتعبير من الخطوة 1 في المعادلة الأخرى.
    3. حل المعادلة الناتجة.
    4. عوّض بالحل الوارد في الخطوة 3 في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد المتغير الآخر.
    5. اكتب الحل كزوج مرتب.
    6. تحقق من أن الزوج المرتب هو حل لـ على حد سواء المعادلات الأصلية.
  • كيفية حل نظام المعادلات بالحذف.
    1. اكتب كلا المعادلتين في الصورة القياسية. إذا كانت أي معاملات عبارة عن كسور ، فقم بمسحها.
    2. اصنع معاملات أضداد متغيرة واحدة.
      حدد المتغير الذي ستحذفه.
      اضرب إحدى المعادلتين أو كليهما بحيث تكون معاملات هذا المتغير متناقضة.
    3. أضف المعادلات الناتجة من الخطوة 2 للتخلص من متغير واحد.
    4. حل المتغير المتبقي.
    5. استبدل الحل من الخطوة 4 بأحد المعادلات الأصلية. ثم قم بحل المتغير الآخر.
    6. اكتب الحل كزوج مرتب.
    7. تحقق من أن الزوج المرتب هو حل لـ على حد سواء المعادلات الأصلية. [ textbf {اختر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل نظام المعادلات الخطية} begin {array} {lll} { underline { textbf {Graphing}}} & { underline { textbf {Substitution}} } & { underline { textbf {Elimination}}} { text {}} & { text {Use when one equation is}} & { text {}} { text {Use when you need a}} & { text {تم حله بالفعل أو يمكن أن يكون}} & { text {Use when the equations a}} { text {picture of the status.}} & { text {سهل الحل لواحد} } & { text {rein standard form.}} { text {}} & { text {variable.}} & { text {}} end {array} nonumber ]

قائمة المصطلحات

خطوط متزامنة
الخطوط المتزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ذ-تقاطع.
أنظمة متسقة وغير متسقة
نظام المعادلات المتسق هو نظام معادلات به حل واحد على الأقل ؛ نظام المعادلات غير المتسق هو نظام معادلات بدون حل.
حلول نظام المعادلات
حلول نظام المعادلات هي قيم المتغيرات التي تصنع الكل المعادلات صحيحة يتم تمثيل الحل بزوج مرتب (س ، ص). (س ، ص).
نظام المعادلات الخطية
عندما يتم تجميع معادلتين خطيتين أو أكثر معًا ، فإنها تشكل نظامًا من المعادلات الخطية.

حل أنظمة كبيرة من المعادلات

لحل أي نظام من المعادلات الخطية ، ستحتاج على الأقل إلى نفس عدد المعادلات المستقلة مثل عدد المتغيرات. يمكن بعد ذلك حل ذلك بالطريقة الجبرية أو طريقة الحذف الجبرية. يمكنك تطبيق أي من الطريقتين مرات كافية لتقليل كل علاقة من نظام مكون من ثلاث معادلات أو أكثر مع 3 متغيرات أو أكثر إلى نظام من معادلتين ومتغيرين.

مثال

$ 2x - y + 6z = 1 text <(المعادلة 1)> $ $ x - y + z = 2 text <(المعادلة 2)> $ $ x + y + z = 1 text <(المعادلة 3)> $

خطوات الحل:

1) حل المعادلة 1 من أجل y. بعد تطبيق مهارات الجبر الأساسية ، تصبح المعادلة 1 (y = 2x + 6z - 1 ).

2) عوض بقيمة y ، وهي ((2x + 6z -1) ) ، في المعادلتين 2 و 3. تصبح المعادلة 2:

$ x - y + z = 2 $ x - (2x + 6z -1) + z = 2 $ x -2x - 6z + 1 = 2 $ -x - 6z = 2-1 $ -x -6z = 1 دولار

$ x + y + z = 1 $ x + 2x + 6z -1 + z = 1 $ 3x + 7z -1 = 1 $ 3x + 7z = -1 + 1 $ 3x + 7z = 0 $

لقد وصلنا الآن إلى نظام من معادلتين ومتغيرين. فيما يلي المعادلتين والمتغيرين:

$ -x - 6z = 1 $ -x = 6z + 1 $ x = -6z - 1 $

4) عوض بقيمة x في المعادلة B لحلها من أجل z:

3 س + 7 ز = 0 دولار 3 دولارات (-6 ز - 1) + 7 ز = 0 دولارات -18 ز - 3 + 7 ز = 0 دولار -11 ز - 3 = 0 دولار -11 ز = 3 دولارات ز = فارك < -11> <3> دولار

5) الآن عوض بقيمة z في المعادلة A لإيجاد x:

$ -x - 6z = 1 $ -x -6 frac <-11> <3> = 1 $ -x + 22 = 1 $ -x = -22 + 1 $ -x = -21 $ $ س = 21 دولار

6) أخيرًا ، ارجع إلى أي من المعادلات الثلاث الأصلية لإيجاد قيمة y بالتعويض عما وجدته لـ x و z. سأختار المعادلة 3.

$ x + y + z = 1 $ $ 21 + y - frac <11> <3> = 1 $ $ frac <52> <3> + y = 1 $ $ y = frac <-52> <3 > + 1 $ y = frac <-49> <3> $

الجواب النهائي:

هناك حالات لا يكون فيها حل النظام ممكنًا. يتم حل النظام حيث تتقاطع أو تلتقي الرسوم البيانية للمعادلات. لهذا السبب ، يمكننا القول أن الخطوط المتوازية (التي لها منحدرات متساوية) ليس لها حل لأن الخطوط المتوازية لا تتقاطع أو تتلامس أو تلتقي.

هذان الخطان لا يلتقيان أبدًا ، وبالتالي ليس لهما تقاطع:

من الممكن أيضًا مواجهة سؤال حيث تشترك كلتا المعادلتين في نفس الخط على المستوى xy. على سبيل المثال ، يمكن اختزال (2r -s = 5 ) و (4r - 2s = 10 ) إلى (s = 2r - 5 ). تشترك هاتان المعادلتان في نفس الخط على المستوى xy. فهي ليست مستقلة ولا يوجد حل فريد للنظام.


تتضمن حلول Balbharati للرياضيات 1 Algebra 10th Standard SSC ولاية ماهاراشترا الفصل 1 (المعادلات الخطية في متغيرين) جميع الأسئلة مع حل وشرح تفصيلي.سيؤدي ذلك إلى إزالة شكوك الطلاب حول أي سؤال وتحسين مهارات التطبيق أثناء التحضير لامتحانات المجلس. ستساعدك الحلول التفصيلية خطوة بخطوة على فهم المفاهيم بشكل أفضل وتوضيح ارتباكاتك ، إن وجدت. موقع Shaalaa.com لديه حلول مجلس ولاية ماهاراشترا للرياضيات 1 Algebra 10th Standard SSC ولاية ماهاراشترا بطريقة تساعد الطلاب على فهم المفاهيم الأساسية بشكل أفضل وأسرع.

علاوة على ذلك ، نحن في موقع Shaalaa.com نقدم مثل هذه الحلول حتى يتمكن الطلاب من الاستعداد للامتحانات الكتابية. يمكن أن تكون حلول الكتب المدرسية من Balbharati مساعدة أساسية للدراسة الذاتية وتعمل كدليل مثالي للمساعدة الذاتية للطلاب.

المفاهيم المغطاة في الرياضيات 1 معيار الجبر العاشر SSC مجلس ولاية ماهاراشترا الفصل 1 المعادلات الخطية في متغيرين هي معادلات خطية في تطبيقين متغيرين ، قاعدة كرامر ، طريقة الضرب المتقاطع ، طريقة الاستبدال ، طريقة الحذف ، المعادلات القابلة للاختزال إلى زوج من المعادلات الخطية في متغيرين ، مشاكل ظرفية بسيطة ، عدم تناسق زوج من المعادلات الخطية ، تناسق زوج من المعادلات الخطية ، طريقة رسومية لحل زوج من المعادلات الخطية ، محدد الترتيب الثاني ، زوج من المعادلات الخطية في متغيرين ، معادلات خطية في متغيرين .

استخدام حلول معيار بلبراتي العاشر [इयत्ता १० वी] تعتبر المعادلات الخطية في متغيرين من قبل الطلاب طريقة سهلة للتحضير للامتحانات ، لأنها تتضمن حلولًا مرتبة حسب الفصل أيضًا. الأسئلة التي يتضمنها Balbharati Solutions هي أسئلة مهمة يمكن طرحها في الاختبار النهائي. يفضل طلاب الحد الأقصى من المعيار العاشر لمجلس ولاية ماهاراشترا [इयत्ता १० Bal] حلول Balbharati Textbook للحصول على درجات أعلى في الامتحان.


الأنظمة التابعة وغير المتسقة

تسمى الأنظمة التي تحتوي على حل واحد على الأقل أنظمة متسقة نظام به حل واحد على الأقل. . حتى هذه النقطة ، كانت جميع الأمثلة لأنظمة متسقة مع حل زوج واحد مرتب. اتضح أن هذا ليس هو الحال دائمًا. تتكون الأنظمة أحيانًا من معادلتين خطيتين متكافئتين. إذا كانت هذه هي الحالة ، فإن الخطين متماثلان وعندما يتم رسمهما سوف يتطابقان. ومن ثم تتكون مجموعة الحلول من جميع النقاط الموجودة على الخط. هذا نظام تابع نظام يتكون من معادلات مكافئة مع عدد لا نهائي من حلول الأزواج المرتبة ، يُشار إليها بـ (x, مكس + ب). . بالنظر إلى نظام خطي متسق بمتغيرين ، هناك نتيجتان محتملتان:

حلول الأنظمة المستقلة نظام معادلات بحل زوج واحد مرتب (x, ذ). هي أزواج مرتبة (x, ذ). نحتاج إلى طريقة ما للتعبير عن مجموعات الحلول للأنظمة التابعة ، نظرًا لأن هذه الأنظمة لها عدد لا نهائي من الحلول أو نقاط التقاطع. تذكر أن أي خط يمكن كتابته بصيغة الميل والمقطع ، y = m x + b. هنا، ذ يعتمد على x. لذلك يمكننا التعبير عن جميع حلول الأزواج المرتبة (س ، ص) بالصيغة (س ، م س + ب) ، حيث x هو أي رقم حقيقي.

المثال 5: حل بطريقة الرسم البياني: <- 2 x + 3 y = - 9 4 x - 6 y = 18.

المحلول: حدد صيغة الميل والمقطع لكل معادلة خطية في النظام.

في صيغة الميل والمقطع ، يمكننا أن نرى بسهولة أن النظام يتكون من خطين لهما نفس الميل ونفس الشيء ذ-تقاطع. هم ، في الواقع ، نفس الخط. والنظام يعتمد.

في هذا المثال ، من المهم ملاحظة أن الخطين لهما نفس الميل ونفس الشيء ذ-تقاطع. يخبرنا هذا أن المعادلتين متساويتان وأن الحلول الآنية هي جميع النقاط على الخط y = 2 3 x - 3. هذا نظام تابع ، ويتم التعبير عن الحلول العديدة اللانهائية باستخدام الصيغة (x، m x + b). قد تعبر الموارد الأخرى عن هذه المجموعة باستخدام تدوين المجموعة ، <(x, ذ) | y = 2 3 x - 3> ، والذي يقرأ "مجموعة كل الأزواج المرتبة (x, ذ) مثل ذلك ذ يساوي ثلثي x ناقص 3. "

في بعض الأحيان لا تتقاطع الخطوط ولا توجد نقطة تقاطع. هذه الأنظمة ليس لها حل ، Ø ، وتسمى أنظمة غير متناسقة نظام بدون حل متزامن. .

المثال 6: حل بطريقة التمثيل البياني: <- 2 x + 5 y = - 15-4 x + 10 y = 10.

المحلول: حدد صيغة الميل والمقطع لكل معادلة خطية.

في صيغة الميل والمقطع ، يمكننا أن نرى بسهولة أن النظام يتكون من خطين لهما نفس الميل ومختلفان ذ- اعتراضات. لذلك ، فهي متوازية ولن تتقاطع أبدًا.

الجواب: لا يوجد حل متزامن Ø.

جرب هذا! حل الرسم البياني:

حل الفيديو

الماخذ الرئيسية

  • في هذا القسم ، نقصر دراستنا على أنظمة من معادلتين خطيتين بمتغيرين. تتكون حلول مثل هذه الأنظمة ، إن وجدت ، من أزواج مرتبة تفي بكلتا المعادلتين. هندسيًا ، الحلول هي النقاط التي تتقاطع فيها الرسوم البيانية.
  • تتطلب طريقة الرسوم البيانية لحل الأنظمة الخطية أن نرسم كلا الخطين على نفس مجموعة المحاور كوسيلة لتحديد مكان تقاطعهما.
  • طريقة الرسوم البيانية ليست الطريقة الأكثر دقة لتحديد الحلول ، خاصةً عندما تحتوي الحلول على إحداثيات ليست أعدادًا صحيحة. من الممارسات الجيدة أن تتحقق دائمًا من حلولك.
  • بعض الأنظمة الخطية ليس لها حل متزامن. تتكون هذه الأنظمة من معادلات تمثل خطوطًا متوازية ذات خطوط مختلفة ذ- تتقاطع ولا تتقاطع في المستوي. يطلق عليها أنظمة غير متناسقة ومجموعة الحلول هي المجموعة الفارغة ، Ø.
  • تحتوي بعض الأنظمة الخطية على عدد لا نهائي من الحلول المتزامنة. تتكون هذه الأنظمة من معادلات متكافئة وتمثل نفس الخط. يطلق عليها أنظمة تابعة ويتم التعبير عن حلولها باستخدام الترميز (x ، m x + b) ، حيث x هو أي رقم حقيقي.

تمارين الموضوع

الجزء أ: حلول الأنظمة الخطية

حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل للنظام المحدد.


حل نظام المعادلات - الطرق وأمثلة أمبير

الآن ، لديك فكرة عن كيفية حل المعادلات الخطية التي تحتوي على متغير واحد. ماذا لو كنت عندما قدمت مع معادلات خطية متعددة تحتوي على أكثر من متغير واحد؟ تُعرف مجموعة المعادلات الخطية التي تحتوي على متغيرين أو أكثر باسم a نظام المعادلات.

هناك عدة طرق لحل أنظمة المعادلات الخطية.

سوف تتعلم هذه المقالة كيفية حل المعادلات الخطية بالطرق الشائعة الاستخدام، وهي الاستبدال والقضاء.

طريقة الاستبدال

التعويض هو طريقة لحل المعادلات الخطية التي يتم فيها عزل متغير في إحدى المعادلات ثم يتم استخدامه في معادلة أخرى لحل المتغير المتبقي.

الخطوات العامة للاستبدال هي:

  • اجعل موضوع الصيغة لمتغير في إحدى المعادلات المعطاة.
  • عوّض بقيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية.
  • حل المعادلة للحصول على قيمة أحد المتغيرات.
  • استبدل القيمة التي تم الحصول عليها في أي من المعادلات للحصول أيضًا على قيمة المتغير الآخر.

دعنا نحل بعض الأمثلة باستخدام طريقة الاستبدال.

حل أنظمة المعادلات أدناه.

عوّض بقيمة b في المعادلة الثانية.

استبدل القيمة التي تم الحصول عليها من a في المعادلة الأولى.

ومن ثم ، فإن حل المعادلتين هو: أ = 1 و ب = 3.

حل المعادلات التالية باستخدام التعويض.
7x - 3y = 31 & # 8212 & # 8212 & # 8212 (ط)

اجعل y موضوع الصيغة في المعادلة:

اطرح 7x من طرفي المعادلة 7x - 3y = 31 لتحصل على

الآن استبدل المعادلة y = (7x - 31) / 3 في المعادلة الثانية: 9x - 5y = 41

يعطي حل المعادلة

بالتعويض بقيمة x في المعادلة y = (7x - 31) / 3 ، نحصل على

لذلك ، فإن حل أنظمة المعادلة هذه هو x = 4 و y = –1

حل مجموعات المعادلات التالية:

اجعل x موضوع الصيغة في المعادلة الثانية.

الآن ، عوض بقيمة x هذه في المعادلة الأولى: 2x + 3y = 9.

عوّض بقيمة y التي تم الحصول عليها في المعادلة الثانية - y = 3.

إذن ، الحل هو x = 3.6 و y = 0.6

طريقة الاستبعاد

يتم اتباع الخطوات التالية عند حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة الحذف:

  • قم بمساواة معاملات المعادلات المعطاة بضربها في ثابت.
  • اطرح المعادلات الجديدة للمعاملات الشائعة لها نفس العلامات وأضف إذا كانت المعاملات المشتركة لها علامات معاكسة ،
  • حل المعادلة الناتجة عن الجمع أو الطرح
  • استبدل القيمة التي تم الحصول عليها في أي من المعادلات للحصول على قيمة المتغير الآخر.

بما أن المعاملين b متماثلان في المعادلتين ، فإننا نجمع الحدود رأسياً.


نظم المعادلات الخطية في متغيرين

لحلها عن طريق الرسم ، يجب أن نستخدم ورقة الرسم البياني ، أو أن نكون حذرين للغاية مع المقياس كما نرسم باليد. كلما كان
أنت تقرأ حلًا بعيدًا عن رسم بياني ، يجب أن تكون دقيقًا للغاية! هذا & # 8217s سبب تفضيلنا للجبر لحل أنظمة
المعادلات.

1. يمكنك رسم هذا باستخدام تقنيات من الأقسام السابقة (الميل وتقاطع y ، أو الحصول على نقطتين).
رسم تخطيطي 3x + ص = 2:

عندما x = 0 - & gt 3 (0) + y = 2 - & gt y = 2 ، يكون الزوج المرتب (0 ، 2).
عندما y = 0 - & gt 3x + (0) = 2 - & gt x = 2/3 ، يكون الزوج المرتب (2/3، 0).

رسم 2x & # 8722 y = 3:
عندما x = 0 - & gt 2 (0) & # 8722 y = 3 - & gt y = & # 87223 ، يكون الزوج المرتب (0، & # 87223).
عندما y = 0 - & gt 2x & # 8722 (0) = 3 - & gt x = 3/2 ، يكون الزوج المرتب (3/2، 0).

يبدو أن حل النظام هو (1، & # 87221). تحقق بالتعويض في المعادلات الأصلية:
3 (1) + (& # 87221) = 2 صحيح
2 (1) & # 8722 (& # 87221) = 3 صحيح

2. يمكنك رسم هذا باستخدام تقنيات من الأقسام السابقة (الميل وتقاطع y ، أو الحصول على نقطتين).
رسم y = 1/3x & # 8722 2:

عندما x = 0 - & gt y = 1/3 (0) & # 8722 2 - & gt y = & # 87222 ، يكون الزوج المرتب (0 ، & # 87222).
عندما y = 0 - & gt 0 = 1/3x & # 8722 2 - & gt x = 6 ، يكون الزوج المرتب (6، 0).

رسم & # 8722x + 3y = 9:
عندما x = 0 - & gt & # 8722 (0) + 3y = 9 - & gt y = 3 ، يكون الزوج المرتب (0 ، 3).
عندما y = 0 - & gt & # 8722x + 3 (0) = 9 - & gt x = & # 87229 ، يكون الزوج المرتب (& # 87229، 0).

النظام ليس له حل ، لأن الخطوط متوازية. تحقق من خلال حساب ميل كل خط (الخطوط المتوازية لها نفس الميل).

3. يمكنك رسم هذا باستخدام تقنيات من الأقسام السابقة (الميل وتقاطع y ، أو الحصول على نقطتين).
رسم y = & # 87222x + 5:

عندما x = 0 - & gt y = & # 87222 (0) + 5 - & gt y = 5 ، يكون الزوج المرتب (0 ، 5).
عندما y = 0 - & gt 0 = & # 87222x + 5 - & gt x = 5/2 ، يكون الزوج المرتب (5/2، 0).

رسم 3y + 6x = 15:
عندما x = 0 - & gt 3y + 6 (0) = 15 - & gt y = 5 ، يكون الزوج المرتب (0 ، 5).
عندما y = 0 - & gt 3 (0) + 6x = 15 - & gt x = 5/2 ، يكون الزوج المرتب (5/2، 0).

يحتوي النظام على عدد لا حصر له من الحلول ، لأن الخطوط متطابقة. تحقق من خلال إظهار الخطوط لها نفس الشيء
معادلة. يمكننا أن نرى أن المعادلة الثانية هي فقط المعادلة الأولى مضروبة في 3.
ص = & # 87222x + 5
3 س + 6 س = 15

4. دع & # 8217s تستخدم طريقة الاستبدال.
من المعادلة الثانية ، يمكننا إيجاد x = 3y + 6. عوض بذلك في المعادلة الأولى:

4 س + 3 ص = 9
4 (3y + 6) + 3y = 9 الآن ، حل من أجل y
12 س + 24 + 3 ص = 9
15 ص = 9 & # 872224
15 ص = & # 872215
ص = & # 87221

الآن ، استخدم قيمة y في x = 3y + 6 لتحديد x:
س = 3 ص + 6
س = 3 (& # 87221) + 6
س = 3

حل النظام هو الزوج المرتب (3 & # 87221). يمكنك التحقق من ذلك عن طريق استبدال هذا في المعادلتين الأصليتين.
يجب أن يكون كلاهما صحيحًا عندما x = 3 و y = & # 87221.

5. دع & # 8217s تستخدم طريقة الاستبدال.
من المعادلة الثانية ، يمكننا إيجاد y = 4 & # 8722 3x. استبدل هذا في المعادلة الأولى:

5 س + 2 ص = 5
5x + 2 (4 & # 8722 3x) = 5 الآن ، حل من أجل x
5 س + 8 & # 8722 6 س = 5
& # 8722x = 5 & # 8722 8
& # 8722x = & # 87223
س = 3

الآن ، استخدم قيمة x هذه في y = 4 & # 8722 3x لتحديد y:
ص = 4 & # 8722 3 س
ص = 4 & # 8722 3 (3)
ص = & # 87225

حل النظام هو الزوج المرتب (3 & # 87225).

6. دع & # 8217s تستخدم طريقة الاستبدال.
من المعادلة الثانية ، يمكننا إيجاد y = 4 & # 8722 3x. استبدل هذا في المعادلة الأولى:

4 س + 2 ص = 4
4x + 2 (4 & # 8722 3x) = 4 الآن ، حل من أجل x
4x + 8 & # 8722 6x = 4
& # 87222x = 4 & # 8722 8
& # 87222x = & # 87224
س = 2

الآن ، استخدم قيمة x هذه في y = 4 & # 8722 3x لتحديد y:
ص = 4 & # 8722 3 س
ص = 4 & # 8722 3 (2)
ص = & # 87222

حل النظام هو الزوج المرتب (2 ، & # 87222).

7. لنستخدم & # 8217s طريقة الحذف.
اضرب المعادلة الثانية في & # 87223 لتجعل معامل x هو نفسه في كلتا المعادلتين ، ولكن بإشارة معاكسة.

أضف الآن المعادلتين للتخلص من x (منذ 9x & # 8722 9x = 0):
9 س + 2 ص = 2
& # 87229x & # 8722 15y = & # 872215

مضيفا:
2y & # 8722 15y = 2 & # 8722 15 حل الآن من أجل y
& # 872213y = & # 872213
ص = 1

الآن ، استخدم قيمة y هذه في أي من المعادلات السابقة لتحديد x:
9 س + 2 ص = 2
9 س + 2 (1) = 2
9 س + 2 = 2
9 س = 0
س = 0

حل النظام هو الزوج المرتب (0 ، 1).

8. لنستخدم & # 8217s طريقة الحذف.
اضرب المعادلة الأولى في 2 لتجعل معامل t هو نفسه في كلتا المعادلتين ، لكن بإشارة معاكسة.
12 ثانية & # 8722 6 طن = 2
5 ث + 6 طن = 15

أضف الآن المعادلتين للتخلص من t (منذ & # 87226t + 6t = 0):
12 ثانية & # 8722 6 طن = 2
5 ث + 6 طن = 15

مضيفا:
17s = 17 حل الآن من أجل s
ق = 1

الآن ، استخدم قيمة s هذه في أي من المعادلات السابقة لتحديد t:

حل النظام هو الزوج المرتب

8. لنستخدم & # 8217s طريقة الحذف.
اضرب المعادلة الأولى في & # 872210 لتجعل معامل x هو نفسه في كلتا المعادلتين ، ولكن بإشارة معاكسة.
& # 87222x = & # 8722y + 12
2 س & # 8722 ص = 6

أضف الآن المعادلتين للتخلص من x (منذ & # 87222x + 2x = 0):
& # 8722y = & # 8722y + 12 + 6
0 = 18

قد تعتقد أنك & # 8217 قد ارتكبت خطأ ، لكنك تحتاج فقط إلى تفسير ما وجدته & # 8217.
بما أن 0 لا يمكن أن يساوي 18 ، فلا يوجد حل لجملة المعادلات. بيانيا ، المعادلتان تمثل اثنين
خطوط متوازية.


(5.1.3) & # 8211 حل نظام المعادلات الخطية بالتعويض

يعمل حل نظام خطي في متغيرين عن طريق الرسم البياني بشكل جيد عندما يتكون الحل من قيم صحيحة ، ولكن إذا كان الحل يحتوي على كسور عشرية أو كسور ، فهذه ليست الطريقة الأكثر دقة. سننظر في طريقتين أخريين لحل أ نظام المعادلات الخطية التي هي أكثر دقة من الرسوم البيانية. إحدى هذه الطرق هي حل نظام المعادلات بواسطة طريقة الاستبدال، حيث نحل إحدى المعادلات لمتغير واحد ثم نعوض بالنتيجة في المعادلة الثانية لحل المتغير الثاني. تذكر أنه يمكننا حل متغير واحد فقط في كل مرة ، وهذا هو السبب في أن طريقة الاستبدال قيمة وعملية.

الكيفية: بالنظر إلى نظام من معادلتين في متغيرين ، حل باستخدام طريقة التعويض.

  1. حل إحدى المعادلتين لأحد المتغيرات بدلالة الأخرى.
  2. عوّض بتعبير هذا المتغير في المعادلة الثانية ، ثم حل المتغير المتبقي.
  3. عوّض بهذا الحل في أي من المعادلتين الأصليتين لإيجاد قيمة المتغير الأول. إذا أمكن ، اكتب الحل كزوج مرتب.
  4. افحص الحل في كلا المعادلتين.

مثال

حل جملة المعادلات التالية بالتعويض.

أولاً ، سنحل المعادلة الأولى لـ [اللاتكس] y [/ اللاتكس].

الآن يمكننا استبدال التعبير [اللاتكس] x - 5 [/ اللاتكس] عن [اللاتكس] y [/ اللاتكس] في المعادلة الثانية.

الآن ، نحن نستبدل [latex] x = 8 [/ latex] في المعادلة الأولى ونحل مشكلة [latex] y [/ latex].

حلنا هو [اللاتكس] يسار (8،3 يمين) [/ لاتكس].

افحص الحل باستبدال [اللاتكس] left (8،3 right) [/ latex] في كلا المعادلتين.

[اللاتكس] ابدأ-x + y = -5 hfill & hfill & hfill & hfill - left (8 right) + left (3 right) = - 5 hfill & hfill & hfill & text hfill 2x - 5y = 1 hfill & hfill & hfill & hfill 2 left (8 right) -5 left (3 right) = 1 hfill & hfill & hfill & نص hfill النهاية[/ اللاتكس]

يمكن استخدام طريقة الاستبدال لحل أي نظام خطي في متغيرين ، ولكن الطريقة تعمل بشكل أفضل إذا احتوت إحدى المعادلات على معامل 1 أو [لاتكس] –1 [/ لاتكس] حتى لا نضطر للتعامل مع الكسور .

في الفيديو التالي ، سوف تحصل على مثال لحل نظام من معادلتين باستخدام طريقة التعويض.

إذا اخترت المعادلة الأخرى لتبدأ بها في المثال السابق ، فستظل قادرًا على إيجاد نفس الحل. إنها حقًا مسألة تفضيل لأن حل متغير في بعض الأحيان سيؤدي إلى الاضطرار إلى التعامل مع الكسور. عندما تصبح أكثر خبرة في الجبر ، ستتمكن من توقع الخيارات التي ستؤدي إلى المزيد من النتائج المرغوبة.

أذكر أن نظام غير متسق يتكون من خطوط متوازية لها نفس الميل ولكنها مختلفة ذ- اعتراضات. لن يتقاطعوا أبدا. عند البحث عن حل لنظام غير متسق ، سنخرج ببيان خاطئ ، مثل [اللاتكس] 12 = 0 [/ اللاتكس].

مثال

حل نظام المعادلات التالي.

[اللاتكس] ابدأ text <> x = 9 - 2y hfill x + 2y = 13 hfill end[/ اللاتكس]

يمكننا التعامل مع هذه المشكلة بطريقتين. لأن معادلة واحدة تم حلها بالفعل من أجل x، الخطوة الأكثر وضوحًا هي استخدام الاستبدال.

[اللاتكس] ابدأx + 2y = 13 hfill left (9-2y right) + 2y = 13 hfill 9 + 0y = 13 hfill 9 = 13 hfill end[/ اللاتكس]

من الواضح أن هذا البيان هو تناقض لأن [اللاتكس] 9 ne 13 [/ اللاتكس]. لذلك ، النظام ليس لديه حل.

تتمثل الطريقة الثانية في معالجة المعادلات أولاً بحيث تكون كلتاهما في صيغة تقاطع ميل. نتعامل مع المعادلة الأولى على النحو التالي.

[اللاتكس] ابدأ text <> x = 9 - 2y hfill 2y = -x + 9 hfill text <> y = - frac <1> <2> x + frac <9> <2> hfill نهاية[/ اللاتكس]

ثم نحول المعادلة الثانية إلى صيغة الميل والمقطع.

[اللاتكس] ابدأx + 2y = 13 hfill text <> 2y = -x + 13 hfill text <> y = - frac <1> <2> x + frac <13> <2> hfill نهاية[/ اللاتكس]

بمقارنة المعادلات ، نرى أن لها نفس الميل ولكن مختلفة ذ- اعتراضات. لذلك ، فإن الخطوط متوازية ولا تتقاطع.

تؤكد كتابة المعادلات في صيغة الميل والمقطع أن النظام غير متسق لأن جميع الخطوط ستتقاطع في النهاية ما لم تكن متوازية. لن تتقاطع الخطوط المتوازية أبدًا ، وبالتالي لا يوجد أي نقاط مشتركة بين الخطين. الرسوم البيانية للمعادلات في هذا المثال موضحة أدناه.

إجابه

لا يوجد حل لهذا النظام من المعادلات الخطية.

في الفيديو التالي ، نعرض مثالًا آخر لاستخدام الاستبدال لحل نظام ليس له حل.

نوضح في الفيديو التالي أن النظام يمكن أن يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.


مثال 4.1 الصف 9 رياضيات السؤال 1.
تكلفة الكمبيوتر الدفتري هي ضعف تكلفة القلم. اكتب معادلة خطية في متغيرين لتمثيل هذه العبارة.
(خذ تكلفة دفتر الملاحظات ليكون Rs. x وتكلفة القلم ليكون Rs.y).
المحلول:
دع تكلفة الكمبيوتر المحمول = روبية. x
وتكلفة القلم = روبية. ذ
حسب الحالة ، لدينا
[تكلفة جهاز كمبيوتر محمول] = 2 x [تكلفة القلم]
أنا. e „(x) = 2 x (y) أو x = 2y
أو x & # 8211 2y = 0
وبالتالي ، فإن المعادلة الخطية المطلوبة هي x & # 8211 2y = 0.

مثال 4.1 الصف 9 رياضيات سؤال 2
عبر عن المعادلات الخطية التالية بالصيغة ax + by + c = 0 وقم بالإشارة إلى قيم a و b و c في كل حالة:
(ط) 2x + 3y = (9.3 overline <5> )
(ii) (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
(iii) & # 8211 2x + 3y = 6
(رابعا) س = 3 ص
(ت) 2 س = -5 ص
(السادس) 3 س + 2 = 0
(السابع) y & # 8211 2 = 0
(ثامنا) 5 = 2x
المحلول:
(ط) لدينا 2x + 3y = (9.3 overline <5> )
أو (2) x + (3) y + ( (- 9.3 overline <5> )) = 0
بمقارنتها بـ ax + by + c = 0 ، نحصل على = 2 ،
b = 3 و c = & # 8211 (9.3 overline <5> ).

(2) لدينا (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
أو x + (- ( frac <1> <5> )) y + (10) = 0
بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على
أ = 1 ، ب = - ( فارك <1> <5> ) و ج = -10

(iii) لدينا -2x + 3y = 6 أو (-2) x + (3) y + (-6) = 0
بمقارنتها بالفأس & # 8211 4 & # 8211 بواسطة + c = 0 ، نحصل على أ = -2 ، ب = 3 ، ج = -6.

(4) لدينا x = 3y أو (1) x + (-3) y + (0) = 0 بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 1 و b = -3 و c = 0 .
(v) لدينا 2x = -5y أو (2) x + (5) y + (0) = 0 بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 2 و b = 5 و c = 0.
(vi) لدينا 3x + 2 = 0 أو (3) x + (0) y + (2) = 0 مقارنة مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 3 و b = 0 و c = 2 .
(vii) لدينا y & # 8211 2 = 0 أو (0) x + (1) y + (-2) = 0 مقارنتها بـ ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 0 ، b = 1 و ج = -2.
(8) لدينا 5 = 2x x 5 & # 8211 2x = 0
أو -2x + 0y + 5 = 0
أو (-2) س + (0) ص + (5) = 0
بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = -2 و b = 0 و c = 5.

حلول NCERT للفصل 9 الرياضيات الفصل 4 المعادلات الخطية في متغيرين (दो चरों में रैखिक समीकरण) (الوسيط الهندي) المثال 4.1



حلول NCERT للرياضيات للفصل 9 الفصل 4 المعادلات الخطية في متغيرين مثال 4.2

السؤال رقم 1
أي من الخيارات التالية صحيح ، ولماذا؟
ص = 3 س + 5 لديها
(ط) حل فريد ،
(2) حلين فقط ،
(3) عدد لا نهائي من الحلول
المحلول:
الخيار (iii) صحيح لأن لكل قيمة x ، نحصل على القيمة المقابلة لـ y والعكس صحيح في المعادلة المحددة.
ومن ثم ، فإن المعادلة الخطية لها عدد لا نهائي من الحلول.

السؤال 2
اكتب أربعة حلول لكل من المعادلات التالية:
(ط) 2 س + ص = 7
(2) πx + y = 9
(ثالثا) س = 4 ص
المحلول:
(ط) 2 س + ص = 7
عندما س = 0 ، 2 (0) + ص = 7 ص ص = 7
∴ الحل هو (0، 7)
عندما x = 1 ، 2 (1) + y = 7 y = 7 & # 8211 2 ⇒ y = 5
∴ الحل هو (1، 5)
عندما x = 2 ، 2 (2) + y = 7y = 7 & # 8211 4 ⇒ y = 3
∴ الحل هو (2، 3)
عندما x = 3 ، 2 (3) + y = 7y = 7 & # 8211 6 ⇒ y = 1
∴ الحل هو (3، 1).

(2) πx + y = 9
عندما x = 0 ، π (0) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 0 ⇒ y = 9
∴ الحل هو (0 ، 9)
عندما x = 1 ، π (1) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 π
∴ الحل هو (1 ، (9 & # 8211 π))
عندما x = 2 ، π (2) + y = 9 y = 9 & # 8211 2π
∴ الحل هو (2 ، (9 & # 8211 2π))
عندما س = -1 ، π (-1) + ص = 9 ص = 9 +
∴ الحل هو (-1 ، (9 + π))

(ثالثا) س = 4 ص
عندما x = 0 ، 4y = 1 y = 0
∴ الحل هو (0، 0)
عندما x = 1 ، 4y = 1 ⇒ y = ( frac <1> <4> )
∴ الحل هو (1، ( frac <1> <4> ))
عندما x = 4 ، 4y = 4 ⇒ y = 1
∴ الحل هو (4 ، 1)
عندما س = 4 ، 4 ص = 4 ص = -1
∴ الحل هو (-4، -1)

السؤال 3
تحقق من الحلول التالية للمعادلة x & # 8211 2y = 4 وأيها ليست كذلك:
(ط) (0،2)
(2) (2)
(3) (4 ، 0)
(رابعا) (2 ، 4√2)
(ت) (1 ، 1)
المحلول:
(i) (0،2) تعني x = 0 و y = 2
النفخ x = 0 و y = 2 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل عليها
ل. = 0 & # 8211 2 (2) = -4.
لكن ر. = 4
∴ إل. ≠ ر.
∴ x = 0 ، y = 2 ليس حلاً.

(2) (2 ، 0) تعني x = 2 و y = 0
بوضع x = 2 و y = 0 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
LH: S. 2 & # 8211 2 (0) = 2 & # 8211 0 = 2.
لكن ر. = 4
∴ إل. ≠ ر.
∴ (2،0) ليس حلاً.

(iii) (4 ، 0) تعني x = 4 و y = 0
بوضع x = 4 و y = o في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
ل. = 4 & # 8211 2 (0) = 4 & # 8211 0 = 4 = R.H.S.
∴ إل. = ر.
∴ (4 ، 0) حل.

(4) (√2 ، 4√2) تعني x = 2 و y = 4√2
بوضع x = √2 و y = 4√2 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
ل. = √2 & # 8211 2 (4√2) = 2 & # 8211 8√2 = -7√2
لكن ر. = 4
∴ إل. ≠ ر.
∴ (√2، 4√2) ليس حلاً.

(v) (1، 1) تعني x = 1 و y = 1
بوضع x = 1 و y = 1 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
LH.S. = 1 & # 8211 2 (1) = 1 & # 8211 2 = -1. لكن RHS = 4
∴ LH.S. ≠ ر.
∴ (1، 1) ليس حلاً.

السؤال 4
أوجد قيمة k ، إذا كانت x = 2 ، y = 1 ¡s حل المعادلة 2x + 3y = k.
المحلول:
لدينا 2x + 3y = k
بوضع x = 2 و y = 1 في 2x + 3y = k ، نحصل على
2 (2) + 3 (1) ⇒ ل = 4 + 3 & # 8211 ك ⇒ 7 = ك
وبالتالي ، فإن القيمة المطلوبة لـ k هي 7.

حلول NCERT للفصل 9 الرياضيات الفصل 4 المعادلات الخطية في متغيرين مثال 4.3

السؤال رقم 1
ارسم الرسم البياني لكل من المعادلات الخطية التالية في متغيرين:
(ط) س + ص = 4
(2) x & # 8211 y = 2
(ثالثا) ص = 3 س
(رابعا) 3 = 2 س + ص
المحلول:
(ط) س + ص = 4 ⇒ ص = 4 & # 8211 س
إذا كان لدينا x = 0 ، فإن y = 4 & # 8211 0 = 4
س = 1 ، ثم ص = 4 & # 8211 1 = 3
س = 2 ، ثم ص = 4 & # 8211 2 = 2
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، 4) ، (1،3) و (2،2) على ورقة الرسم البياني. من خلال ربط هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم AB كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط AB هو الرسم البياني المطلوب لـ x + y = 4

(2) x & # 8211 y = 2 ⇒ y = x & # 8211 2
إذا كان لدينا x = 0 ، فإن y = 0 & # 8211 2 = -2
س = 1 ، ثم ص = 1 & # 8211 2 = -1
س = 2 ، ثم ص = 2 & # 8211 2 = 0
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، -2) ، (1 ، -1) و (2 ، 0) على ورقة الرسم البياني. عند ضم هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم PQ كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن ime هو الرسم البياني المطلوب لـ x & # 8211 y = 2

(ثالثا) ص = 3 س
إذا كان لدينا x = 0 ،
ثم ص = 3 (0) ⇒ ص = 0
س = 1 ، ثم ص = 3 (1) = 3
س = -1 ، ثم ص = 3 (-1) = -3
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، 0) ، (1 ، 3) و (-1 ، -3) على ورقة الرسم البياني. من خلال الانضمام إلى هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم LM كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط LM هو الرسم البياني المطلوب لـ y = 3x.

(4) 3 = 2 س + ص ⇒ ص = 3 & # 8211 2 س
إذا كان لدينا x = 0 ، فإن y = 3 & # 8211 2 (0) = 3
x = 1 ، ثم y = 3 & # 8211 2 (1) = 3 & # 8211 2 = 1
س = 2 ، ثم ص = 3 & # 8211 2 (2) = 3 & # 8211 4 = -1
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، 3) ، (1 ، 1) و (2 ، & # 8211 1) على ورقة الرسم البياني. ضم هذه النقاط ، نحصل على قرص مضغوط بخط مستقيم كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط CD هو الرسم البياني المطلوب لـ 3 = 2x + y.

السؤال 2
اكتب معادلات خطين يمران (2 ، 14). كم عدد هذه الخطوط ، ولماذا؟
المحلول:
(2 ، 14) تعني x = 2 و y = 14
المعادلات التي تحتوي على (2،14) كحل هي (1) س + ص = 16 ، (ب) 7 س & # 8211 ص = 0
هناك عدد لا حصر له من الخطوط التي تمر عبر النقطة (2 ، 14) ، لأنه يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط من خلال نقطة.

السؤال 3
إذا كانت النقطة (3 ، 4) تقع على الرسم البياني للمعادلة 3y = ax + 7 ، فأوجد قيمة a.
المحلول:
معادلة الخط المعطى هي 3y = ax + 7
∵ (3 ، 4) تقع على الخط المعطى.
يجب أن تحقق المعادلة 3 ص = فأس + 7
لدينا (3 ، 4) ⇒ س = 3 وص = 4.
بوضع هذه القيم في معادلة معينة ، نحصل عليها
3 × 4 = أ × 3 + 7
⇒ 12 = 3 أ + 7
⇒ 3 أ = 12 & # 8211 7 = 5 ⇒ أ = ( فارك <5> <3> )
وبالتالي ، فإن القيمة المطلوبة لـ a هي ( frac <5> <3> )

السؤال 4
أجرة التاكسي في المدينة هي كما يلي: الكيلومتر الأول الأجرة روبية. 8 وبالنسبة للمسافة اللاحقة فهي روبية. 5 لكل كيلومتر. بأخذ المسافة المقطوعة x km وإجمالي الأجرة كـ Rs.y ، اكتب معادلة خطية لهذه المعلومات ، وارسم الرسم البياني الخاص بها.
المحلول:
هنا ، إجمالي المسافة المقطوعة = x km وإجمالي أجرة التاكسي = Rs. ذ
أجرة 1 كم = روبية. 8
المسافة المتبقية = (x & # 8211 1) كم
∴ أجرة (x & # 8211 1) كم = 5 روبية x (x & # 8211 1)
إجمالي أجرة التاكسي = روبية. 8 + روبية. 5 (x & # 8211 1)
حسب السؤال ،
ص = 8 + 5 (س & # 8211 1) = ص = 8 + 5 س & # 8211 5
⇒ ص = 5 س + 3 ،
وهي المعادلة الخطية المطلوبة التي تمثل المعلومات المعطاة.
الرسم البياني: لدينا y = 5x + 3
Wben x = 0 ، ثم y = 5 (0) + 3 ⇒ y = 3
س = -1 ، ثم ص = 5 (-1) + 3 ص = -2
س = -2 ، ثم ص = 5 (-2) + 3 ص = -7
∴ نحصل على الجدول التالي:

الآن ، برسم الأزواج المرتبة (0 ، 3) ، (-1 ، -2) و (-2 ، -7) على ورقة رسم بياني وربطها ، نحصل على خط مستقيم PQ كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط PQ هو الرسم البياني المطلوب للمعادلة الخطية y = 5x + 3.

السؤال 5
من الخيارات الواردة أدناه ، اختر المعادلة التي ترد الرسوم البيانية الخاصة بها ¡n الشكل (1) والشكل (2).
لشكل رقم (1)
(ط) ص = س
(2) س + ص = 0
(ج) ص = 2 س
(4) 2 + 3y = 7x

لشكل رقم (2)
(ط) ص = س + 2
(2) y = x & # 8211 2
(iii) y = -x + 2
(4) س + 2 ص = 6

المحلول:
بالنسبة للشكل (1) ، المعادلة الخطية الصحيحة هي x + y = 0
[على شكل (-1 ، 1) = -1 + 1 = 0 و (1 ، -1) = 1 + (-1) = 0]
بالنسبة للشكل (2) ، المعادلة الخطية الصحيحة هي y = -x + 2
[كـ (-1،3) 3 = -1 (-1) + 2 = 3 = 3 و (0،2)
⇒ 2 = -(0) + 2 ⇒ 2 = 2]

السؤال 6
إذا كان الشغل الذي يقوم به جسم عند تطبيق قوة ثابتة يتناسب طرديًا مع المسافة التي يقطعها الجسم ، فعبِّر عن ذلك في صورة معادلة في متغيرين وارسم الرسم البياني لهما من خلال أخذ القوة الثابتة في صورة 5 وحدات . اقرأ أيضًا من الرسم البياني العمل المنجز عندما تكون المسافة التي يقطعها الجسم
(ط) وحدتان
(2) 0 وحدة
المحلول:
القوة الثابتة 5 وحدات.
دع المسافة المقطوعة = x وحدة والعمل المنجز = y وحدة.
العمل المنجز = القوة × المسافة
⇒ ص = 5 س س ⇒ ص = 5 س
لرسم الرسم البياني لدينا y = 5x
عندما تكون x = 0 ، فإن y = 5 (0) = 0
س = 1 ، ثم ص = 5 (1) = 5
س = -1 ، ثم ص = 5 (-1) = -5
∴ نحصل على الجدول التالي:

بإسقاط الأزواج المرتبة (0 ، 0) ، (1 ، 5) و (-1 ، -5) على ورقة الرسم البياني وربط النقاط ، نحصل على خط مستقيم AB كما هو موضح.

من الرسم البياني ، نحصل على
(ط) المسافة المقطوعة = 2 وحدة ، أي x = 2
∴ إذا كانت x = 2 ، فإن y = 5 (2) = 10
⇒ العمل المنجز = 10 وحدات.

(2) المسافة المقطوعة = 0 وحدة أي x = 0
∴ إذا كانت x = 0 ⇒ y = 5 (0) & # 8211 0
⇒ العمل المنجز = 0 وحدة.

السؤال 7
ساهم كل من ياميني وفاطمة ، وهما طالبان في الفصل التاسع من إحدى المدارس ، معًا بالروبية. 100 نحو صندوق إغاثة رئيس الوزراء لمساعدة ضحايا الزلزال. اكتب معادلة خطية تحقق هذه البيانات. (يمكنك أن تأخذ مساهماتهم كـ Rs.x و Rs.y.) ارسم الرسم البياني لنفسه.
المحلول:
دع مساهمة Yamini = Rs. x
ومساهمة فاطمة روبية. ذ
∴ لدينا x + y = 100 ⇒ y = 100 & # 8211 x
الآن ، عندما x = 0 ، y = 100 & # 8211 0 = 100
س = 50 ، ص = 100 & # 8211 50 = 50
س = 100 ، ص = 100 & # 8211 100 = 0
∴ نحصل على الجدول التالي:

برسم الأزواج المرتبة (0،100) و (50،50) و (100، 0) على ورقة رسم بياني باستخدام المقياس المناسب وربط هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم PQ كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط PQ هو الرسم البياني المطلوب للمعادلة الخطية x + y = 100.

السؤال 8
في بلدان مثل الولايات المتحدة الأمريكية وكندا ، تُقاس درجة الحرارة بالفهرنهايت ، بينما في دول مثل الهند ، تُقاس بالدرجة المئوية. هنا هو
المعادلة الخطية التي تحول الفهرنهايت إلى درجة مئوية:
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
(ط) ارسم الرسم البياني للمعادلة الخطية أعلاه باستخدام الدرجة المئوية للمحور x والفهرنهايت للمحور y.
(2) إذا كانت درجة الحرارة 30 درجة مئوية ، فما درجة الحرارة بالفهرنهايت؟
(iii) إذا كانت درجة الحرارة 95 درجة فهرنهايت ، فما درجة الحرارة بالدرجة المئوية؟
(4) إذا كانت درجة الحرارة 0 درجة مئوية ، فما درجة الحرارة بالفهرنهايت ، وإذا كانت درجة الحرارة 0 درجة فهرنهايت ، فما درجة الحرارة بالدرجة المئوية؟
(v) هل هناك درجة حرارة متماثلة عدديًا في كل من فهرنهايت ودرجة مئوية؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فابحث عنها.
المحلول:
(ط) لدينا
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
عندما C = 0 ، F = ( ( frac <9> <5> )) × 0 + 32 = 32
عندما C = 15 ، F = ( ( frac <9> <5> )) (- 15) + 32 = -27 + 32 = 5
عندما C = -10 ، F = ( frac <9> <5> ) (-10) +32 = -18 + 32 = 14
لدينا الجدول التالي:

رسم الأزواج المرتبة (0 ، 32) ، (-15 ، 5) و (-10 ، 14) على ورقة رسم بياني. عند ضم هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم AB.

(2) من الرسم البياني ، لدينا 86 درجة فهرنهايت تقابل 30 درجة مئوية.
(3) من الرسم البياني ، لدينا 95 درجة فهرنهايت تقابل 35 درجة مئوية.
(4) لدينا C = 0
من (1) نحصل
F = ( ( frac <9> <5> )) 0 + 32 = 32
أيضا ، F = 0
من (1) نحصل
0 = ( ( frac <9> <5> )) C + 32 ⇒ ( frac <-32 times 5> <9> ) = C ⇒ C = -17.8
(V) عندما F = C (عدديًا)
من (1) نحصل
F = ( frac <9> <5> ) F + 32 ⇒ F & # 8211 ( frac <9> <5> ) F = 32
⇒ ( frac <-4> <5> ) F = 32 ⇒ F = -40
∴ درجة الحرارة هي & # 8211 40 درجة في كل من F و C.

حلول NCERT للفصل 9 رياضيات الفصل 4 معادلات خطية في متغيرين مثال 4.4

السؤال رقم 1
اكتب التمثيلات الهندسية لـ y = 3 في صورة معادلة
(ط) في متغير واحد
(2) في متغيرين
المحلول:
(ط) ص = 3
∵ y = 3 معادلة في متغير واحد ، أي y فقط.
∴ y = 3 حل فريد على خط الأعداد كما هو موضح أدناه:

(2) ص = 3
يمكننا كتابة y = 3 في متغيرين على النحو 0.x + y = 3
الآن ، عندما س = 1 ، ص = 3
س = 2 ، ص = 3
س = -1 ، ص = 3
∴ نحصل على الجدول التالي:

برسم الأزواج المرتبة (1 ، 3) ، (2 ، 3) و (-1 ، 3) على ورقة رسم بياني وربطها ، نحصل على ألين أب كحل 0. س + ص = 3 ،
أي ص = 3.

السؤال 2
اكتب التمثيلات الهندسية 2x + 9 = 0 كمعادلة
(ط) في متغير واحد
(2) في متغيرين
المحلول:
(ط) 2 س + 9 = 0
لدينا ، 2x + 9 = 0 2x = & # 8211 9 ⇒ x = ( frac <-9> <2> )
وهي معادلة خطية في متغير واحد أي x فقط.
خام هناك ، x = (- frac <9> <2> ) هو حل فريد على خط الأعداد كما هو موضح أدناه:

(2) 2x + 9 = 0
يمكننا كتابة 2x + 9 = 0 في متغيرين مثل 2x + 0 ، y + 9 = 0
أو (x = frac <-9-0.y> <2> )
∴ عندما y = 1 ، x = (x = frac <-9-0 (1)> <2> ) = (- frac <9> <2> )

وهكذا نحصل على الجدول التالي:

الآن ، رسم الأزواج المرتبة (( frac <-9> <2>، 3) ) ، (( frac <-9> <2> ، 3) ) و (( frac <-9 > <2>، 3) ) على ورقة الرسم البياني والانضمام إليهم ، نحصل على خط PQ كحل 2x + 9 = 0.


حل أنظمة المعادلات في متغيرين

يتكون نظام المعادلة الخطية من معادلتين أو أكثر ويبحث أحدهما عن حل مشترك للمعادلات. في نظام المعادلات الخطية ، تتوافق كل معادلة مع خط مستقيم ويبحث المرء عن النقطة التي يتقاطع فيها الخطان.

حل نظام المعادلات الخطية التالية:

نظرًا لأننا نبحث عن نقطة التقاطع ، يمكننا رسم المعادلات بالرسم البياني:

نرى هنا أن المستقيمين يتقاطعان عند النقطة x = 2 ، y = 8. هذا هو الحل الذي نقدمه وقد نشير إليه على أنه حل رسومي للمهمة.

ولكن كيف يمكن الوصول إلى حل إذا لم تتقاطع الخطوط أبدًا؟ لا يمكن للمرء أن نظام المعادلات ليس له حل.

قد يصل المرء أيضًا إلى الإجابة الصحيحة بمساعدة طريقة الحذف (وتسمى أيضًا طريقة الإضافة أو طريقة الجمع الخطي) أو طريقة الاستبدال.

عند استخدام طريقة الاستبدال ، نستخدم حقيقة أنه إذا كان تعبيرا y و x متساويان في القيمة x = y ، فإن x قد تحل محل y أو العكس بالعكس في تعبير آخر دون تغيير قيمة التعبير.

حل أنظمة المعادلات باستخدام طريقة التعويض

نستبدل y في المعادلة العليا بتعبير المعادلة الثانية:

لتحديد ال ذ-value ، يمكننا المضي قدمًا عن طريق إدخال x- القيمة في أي من المعادلات. نختار المعادلة الأولى:

وهكذا توصلنا إلى نفس الإجابة بالضبط كما في الحل البياني.

تتطلب طريقة الحذف جمع أو طرح المعادلات من أجل حذف أي منهما x أو ذ، غالبًا لا يجوز للمرء المضي قدمًا في الإضافة مباشرةً دون ضرب المعادلة الأولى أو الثانية ببعض القيمة أولاً.

نرغب الآن في إضافة المعادلتين ولكنها لن تؤدي إلى أي منهما x أو ذ يجري القضاء عليها. لذلك يجب أن نضرب المعادلة الثانية في 2 على كلا الجانبين ونحصل على:

الآن نحاول إضافة نظام المعادلات الخاص بنا. نبدأ مع x-الشروط على اليسار ، و ذ- المصطلحات بعد ذلك وأخيراً بالأرقام على الجانب الأيمن:

ال ذ- تم حذف المصطلحات الآن ولدينا الآن معادلة بمتغير واحد فقط:

بعد ذلك ، من أجل تحديد ذ-قيمة نقوم بإدخالها x= 2.5 في إحدى المعادلات. نختار الأول:


رسم نظام من المعادلات الخطية

يمكن تحديد حل نظام المعادلات الخطية بيانياً. الشيء الوحيد الذي عليك القيام به هو رسم الخطوط بناءً على المعادلات المحددة ثم تحديد النقطة التي تتقاطع فيها الخطوط بشكل مرئي. يمكنك تعلم القيام بذلك من خلال النقر على رابط لمقالنا حول رسم المعادلات الخطية.


إذا كنت ترغب في التدرب على حل أنظمة المعادلات الخطية والرسوم البيانية ، فلا تتردد في استخدام أوراق عمل الرياضيات أدناه.


شاهد الفيديو: الدرس الخامس: حل انظمة المعادلات الخطية باستخدام المصفوفات الوحده3. الصف الثاني عشر علمي. توجيهي (شهر اكتوبر 2021).