مقالات

6.3: عامل المنتجات الخاصة


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • حلل العوامل الثلاثية للمربع الكامل إلى عوامل
  • عامل الفروق بين المربعات
  • عوامل المجاميع والاختلافات بين المكعبات

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. بسّط: ((3x ^ 2) ^ 3 ).
  2. اضرب: ((م + 4) ^ 2 ).
  3. اضرب: ((x − 3) (x + 3) ).

لقد رأينا أن بعض القيم ذات الحدين وثلاثية الحدود تنتج من منتجات خاصة - تربيع القيم ذات الحدين وضرب الاتحادات. إذا تعلمت التعرف على هذه الأنواع من كثيرات الحدود ، يمكنك استخدام أنماط المنتجات الخاصة لتحليلها إلى عوامل بسرعة أكبر.

عامل Perfect Square Trinomials

بعض القيم الثلاثية هي مربعات كاملة. إنها ناتجة عن ضرب مرات ذات الحدين نفسها. قمنا بتربيع قيمة ذات الحدين باستخدام نمط المربعات ذات الحدين في فصل سابق.

يسمى ثلاثي الحدود (9x ^ 2 + 24x + 16 ) أ ثلاثي الحدود المربع الكامل. إنه مربع ذات الحدين (3x + 4 ).

في هذا الفصل ، ستبدأ بثلاثية حدود مربعة كاملة وتحللها في حسابها رئيس عوامل. يمكنك عامل هذا ثلاثي الحدود باستخدام الطرق الموضحة في القسم الأخير ، حيث إنها من الشكل (ax ^ 2 + bx + c ). ولكن إذا أدركت أن الحدين الأول والأخير عبارة عن مربعات وأن ثلاثي الحدود يتناسب مع نموذج ثلاثي الحدود المربع المثالي ، فستوفر على نفسك الكثير من العمل. هذا هو النمط - عكس نمط المربعات ذات الحدين.

نمط ثلاثي مربعات مثالي

إذا كان (أ ) و (ب ) أرقامًا حقيقية

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 nonumber ]

[a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 nonumber ]

للاستفادة من هذا النمط ، عليك أن تدرك أن ثلاثيًا معينًا يناسبه. تحقق أولاً لمعرفة ما إذا كان المعامل الأول هو مربع كامل ، (a ^ 2 ). تحقق بعد ذلك من أن الحد الأخير عبارة عن مربع كامل ، (b ^ 2 ). ثم تحقق من الحد الأوسط - هل هو المنتج ، (2ab )؟ إذا تم التحقق من كل شيء ، يمكنك بسهولة كتابة العوامل.

مثال ( PageIndex {1} ): كيفية تحليل العوامل الثلاثية التربيعية المثالية

العامل: (9x ^ 2 + 12x + 4 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {2} )

العامل: (4x ^ 2 + 12x + 9 ).

إجابه

((2x + 3) ^ 2 )

مثال ( PageIndex {3} )

العامل: (9y ^ 2 + 24y + 16 ).

إجابه

((3y + 4) ^ 2 )

تحدد علامة الحد الأوسط النمط الذي سنستخدمه. عندما يكون الحد الأوسط سالبًا ، نستخدم النمط (a ^ 2−2ab + b ^ 2 ) ، والذي يحول إلى ((a − b) ^ 2 ).

يتم تلخيص الخطوات هنا.

عامل المثلثات المربعة المثالية

( start {array} {lllll} textbf {الخطوة 1.} & text {هل تتناسب الثلاثية مع النمط؟} & quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 & text {هل العبارات الأولى والأخيرة هي المربعات الكاملة؟} & quad & & & text {اكتبها كمربعات.} & quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & text {تحقق من الحد الأوسط . هل هي} 2ab؟ & quad & hspace {12mm} {،} ^ { searrow} {،} _ {2 · a · b} {،} ^ { swarrow} & hspace {12mm } {،} ^ { searrow} {،} _ {2 · a · b} {،} ^ { swarrow} textbf {الخطوة 2.} & text {اكتب مربع ذات الحدين .} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 textbf {الخطوة 3.} & text {تحقق بالضرب.} & & & end {array} )

سنعمل الآن حيث يكون الحد الأوسط سالبًا.

مثال ( PageIndex {4} )

العامل: (81y ^ 2−72y + 16 ).

إجابه

الحد الأول والأخير عبارة عن مربعات. معرفة ما إذا كان الحد الأوسط يناسب نمط مربع ممتاز ثلاثي الحدود. الحد الأوسط سالب ، لذا فإن المربع ذي الحدين سيكون ((أ − ب) ^ 2 ).

هل الحد الأول والأخير مربعان كاملان؟
تحقق من المدى المتوسط.
هل تتطابق مع ((أ − ب) ^ 2 )؟ نعم فعلا.
اكتب كمربع ذات الحدين. ((9 ص -4) ^ {2} )
تحقق بضرب:

[(9y − 4) ^ 2 nonumber ] [(9y) ^ 2−2 · 9y · 4 + 4 ^ 2 nonumber ] [81y ^ 2−72y + 16 checkmark nonumber ]

مثال ( PageIndex {5} )

العامل: (64y ^ 2−80y + 25 ).

إجابه

((8y − 5) ^ 2 )

مثال ( PageIndex {6} )

العامل: (16z ^ 2−72z + 81 ).

إجابه

((4z − 9) ^ 2 )

المثال التالي سيكون مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود بمتغيرين.

مثال ( PageIndex {7} )

العامل: (36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 ).

إجابه
(36 × ^ {2} +84 × ص + 49 ص ^ {2} )
اختبر كل مصطلح للتحقق من النمط.
عامل. ((6 × + 7 ص) ^ {2} )
تحقق من خلال الضرب.

[(6x + 7y) ^ 2 nonumber ] [(6x) ^ 2 + 2 · 6x · 7y + (7y) ^ 2 nonumber ] [36x ^ 2 + 84xy + 49y ^ 2 checkmark nonumber ]

مثال ( PageIndex {8} )

العامل: (49x ^ 2 + 84xy + 36y ^ 2 ).

إجابه

((7 س + 6 ص) ^ 2 )

مثال ( PageIndex {9} )

العامل: (64m ^ 2 + 112mn + 49n ^ 2 ).

إجابه

((8 م + 7 ن) ^ 2 )

تذكر أن الخطوة الأولى في التحليل هي البحث عن أكبر عامل مشترك. قد تحتوي القيم الثلاثية المربعة الكاملة على ملف GCF في جميع المصطلحات الثلاثة ويجب أخذها في الاعتبار أولاً. وفي بعض الأحيان ، بمجرد تحليل العامل المشترك ، سوف تتعرف على ثلاثي الحدود المربع الكامل.

مثال ( PageIndex {10} )

العامل: (100x ^ 2y − 80xy + 16y ).

إجابه
هل يوجد GCF؟ نعم ، (4y ) ، لذا عاملها.
هل هذا ثلاثي الحدود مربع كامل؟
تحقق من النمط.
عامل. (4 ص (5 × 2) ^ {2} )
تذكر: احتفظ بالعامل 4ذ في المنتج النهائي.

التحقق من:

[4y (5x − 2) ^ 2 nonumber ] [4y [(5x) 2−2 · 5x · 2 + 22] nonumber ]

[4y (25x2−20x + 4) nonumber ] 100x2y − 80xy + 16y checkmark ]

مثال ( PageIndex {11} )

العامل: (8x ^ 2y − 24xy + 18y ).

إجابه

(2y (2x − 3) ^ 2 )

مثال ( PageIndex {12} )

العامل: (27p ^ 2q + 90pq + 75q ).

إجابه

(3q (3p + 5) ^ 2 )

عامل الاختلافات في المربعات

المنتج الخاص الآخر الذي رأيته في الفصل السابق كان نمط منتج المتقارن. لقد استخدمت هذا لمضاعفة ذات الحدين اللذين كانا مترافقين. هذا مثال:

فرق عوامل المربعات لمنتج الاتحادات.

اختلاف نمط المربعات

إذا كان (أ ) و (ب ) أرقامًا حقيقية ،

تذكر أن "الاختلاف" يشير إلى الطرح. لذا ، لاستخدام هذا النمط ، يجب أن تتأكد من أن لديك ذات الحدين حيث يتم طرح مربعين.

مثال ( PageIndex {13} ): كيفية تحليل ثلاثي الحدود باستخدام اختلاف المربعات

العامل: (64y ^ 2−1 ).

إجابه




مثال ( PageIndex {14} )

العامل: (121 م ^ 2−1 ).

إجابه

((11 م − 1) (11 م + 1) )

مثال ( PageIndex {15} )

العامل: (81y ^ 2−1 ).

إجابه

((9y − 1) (9y + 1) )

فروق عامل المربعات.

( start {array} {llll} textbf {الخطوة 1.} & text {هل تتناسب ذات الحدين مع النمط؟} & qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 & text {هل هذا فرق؟} & qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} & text {هل العبارات الأولى والأخيرة مربعتان مثاليتان؟} & & textbf {الخطوة 2.} & text {اكتبهم كمربعات.} & qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 textbf {الخطوة 3.} & text {اكتب حاصل ضرب الاتحادات.} & qquad & (a − b) (a + b) textbf {الخطوة 4.} & text {تحقق بالضرب.} & & end {array} )

من المهم أن تتذكر ذلك مجاميع المربعات لا تدخل في حاصل ضرب ذات الحدين. لا توجد عوامل ذات حدين تتضاعف معًا للحصول على مجموع المربعات. بعد إزالة أي GCF ، يكون التعبير (a ^ 2 + b ^ 2 ) أوليًا!

المثال التالي يوضح المتغيرات في كلا المصطلحين.

مثال ( PageIndex {16} )

العامل: (144x ^ 2−49y ^ 2 ).

إجابه

( start {array} {lll} & quad & 144x ^ 2−49y ^ 2 text {هل هذا اختلاف في المربعات؟ نعم.} & quad & (12x) ^ 2− (7y) ^ 2 text {العامل باعتباره حاصل ضرب الاتحادات.} & رباعي & (12x − 7y) (12x + 7y) text {تحقق بالضرب} & quad & (12x − 7y) (12x + 7y) ) text {تحقق بالضرب.} & quad & & quad & & quad & hspace {14mm} (12x − 7y) (12x + 7y) & quad & hspace {21mm} 144x ^ 2−49y ^ 2 checkmark & ​​ quad & end {array} )

مثال ( PageIndex {17} )

العامل: (196m ^ 2−25n ^ 2 ).

إجابه

((16 م − 5 ن) (16 م + 5 ن) )

مثال ( PageIndex {18} )

العامل: (121p ^ 2−9q ^ 2 ).

إجابه

((11p − 3q) (11p + 3q) )

كما هو الحال دائمًا ، يجب أن تبحث عن العامل المشترك أولاً عندما يكون لديك تعبير لتحليله. في بعض الأحيان ، قد "يخفي" عامل مشترك اختلاف المربعات ولن تتعرف على المربعات المثالية حتى تحلل عامل المناخ الأخضر.

أيضًا ، لتحليل الحدين بالكامل في المثال التالي ، سنعمل على تحليل فرق المربعات مرتين!

مثال ( PageIndex {19} )

العامل: (48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 ).

إجابه

( begin {array} {ll} & 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 text {هل هناك GCF؟ نعم ،} 3y ^ 2 text {—factor it out!} & 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) text {هل الحدين فرق في المربعات؟ نعم.} & 3y ^ 2 left ((4x ^ 2) ^ 2− (9) ^ 2 right) text {Factor as a حاصل ضرب الاتحادات.} & 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) text {لاحظ أن الحدين الأول هو أيضًا اختلاف في المربعات!} & 3y ^ 2 ((2x) ^ 2− ( 3) ^ 2) (4x ^ 2 + 9) text {حللها كمنتج من المترافقين.} & 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) end {array } )

لا يمكن تحليل العامل الأخير ، وهو مجموع المربعات.

( start {array} {l} text {تحقق بالضرب:} hspace {10mm} 3y ^ 2 (2x − 3) (2x + 3) (4x ^ 2 + 9) hspace {15mm} 3y ^ 2 (4x ^ 2−9) (4x ^ 2 + 9) hspace {20mm} 3y ^ 2 (16x ^ 4−81) hspace {19mm} 48x ^ 4y ^ 2−243y ^ 2 checkmark end {array} )

مثال ( PageIndex {20} )

العامل: (2x ^ 4y ^ 2−32y ^ 2 ).

إجابه

(2y ^ 2 (x − 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4) )

مثال ( PageIndex {21} )

العامل: (7a ^ 4c ^ 2−7b ^ 4c ^ 2 ).

إجابه

(7 ج ^ 2 (أ − ب) (أ + ب) (أ ^ 2 + ب ^ 2) )

المثال التالي له كثير حدود بأربعة حدود. حتى الآن ، عندما حدث هذا ، قمنا بتجميع المصطلحات في اثنتين وتم تحليلها من هناك. هنا نلاحظ أن الحدود الثلاثة الأولى تشكل مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود.

مثال ( PageIndex {22} )

العامل: (x ^ 2−6x + 9 − y ^ 2 ).

إجابه

لاحظ أن أول ثلاثة حدود تشكل مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود.

حلل من خلال تجميع الحدود الثلاثة الأولى.
استخدم النمط ثلاثي الحدود المربع المثالي. ((x-3) ^ {2} -y ^ {2} )
هل هذا اختلاف في المربعات؟ نعم فعلا.
نعم - اكتبهم في شكل مربعات.
عامل باعتباره حاصل ضرب الاتحادات.
((س -3 ص) (س -3 + ص) )

قد ترغب في إعادة كتابة الحل بالشكل ((x − y − 3) (x + y − 3) ).

مثال ( PageIndex {23} )

العامل: (x ^ 2−10x + 25 y ^ 2 ).

إجابه

((س − 5 − ص) (س − 5 + ص) )

مثال ( PageIndex {24} )

العامل: (x ^ 2 + 6x + 9−4y ^ 2 ).

إجابه

((س + 3−2 ص) (س + 3 + 2 ص) )

عوامل المجاميع والاختلافات بين المكعبات

هناك نمط خاص آخر للتحليل ، وهو نمط لم نستخدمه عند ضرب كثيرات الحدود. هذا هو نمط مجموع المكعبات وفرقها. سنكتب هذه الصيغ أولاً ثم نتحقق منها بالضرب.

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 nonumber ]

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) nonumber ]

سنتحقق من النمط الأول ونترك الثاني لك.

( color {red} (a + b) color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
نشر. ( color {red} a color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) + color {red} b color {black} left (a ^ {2} -a b + b ^ {2} right) )
تتضاعف. (a ^ {3} -a ^ {2} b + a b ^ {2} + a ^ {2} b-a b ^ {2} + b ^ {3} )
اجمع بين الشروط المتشابهة. (أ ^ {3} + ب ^ {3} )

مجموع نمط المكعبات واختلافها

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2 nonumber ] [a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + ب ^ 2) غير رقم ]

النموذجان متشابهان للغاية ، أليس كذلك؟ لكن لاحظ العلامات في العوامل. تتطابق علامة العامل ذي الحدين مع الإشارة الموجودة في القيمة الأصلية ذات الحدين. وعلامة الحد الأوسط للعامل ثلاثي الحدود هي عكس العلامة في الأصل ذي الحدين. إذا تعرفت على نمط العلامات ، فقد يساعدك ذلك في حفظ الأنماط.

لا يمكن تحليل العامل ثلاثي الحدود في مجموع نمط المكعبات واختلافه.

سيكون مفيدًا جدًا إذا تعلمت التعرف على مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 ، تمامًا كما تعلمت التعرف على المربعات. لقد قمنا بإدراج مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 بوصة الطاولة.

ن12345678910
(n ^ 3 )1827641252163435127291000

مثال ( PageIndex {25} ): كيفية تحليل مجموع أو فرق المكعبات

العامل: (x ^ 3 + 64 ).

إجابه

مثال ( PageIndex {26} )

العامل: (x ^ 3 + 27 ).

إجابه

((س + 3) (س ^ 2−3 س + 9) )

مثال ( PageIndex {27} )

العامل: (y ^ 3 + 8 ).

إجابه

((ص + 2) (ص ^ 2−2 ص + 4) )

عامل مجموع أو اختلاف المكعبات.

  1. هل تتناسب ذات الحدين مع مجموع أو اختلاف نمط المكعبات؟
    هل هو مجموع أم فرق؟
    هل الحد الأول والأخير مكعبان كاملان؟
  2. اكتبها على شكل مكعبات.
  3. استخدم إما مجموع أو فرق نمط المكعبات.
  4. بسّط داخل الأقواس.
  5. تحقق بضرب العوامل.

مثال ( PageIndex {28} )

العامل: (27u ^ 3−125v ^ 3 ).

إجابه
هذا ذو الحدين فرق. الأول والأخير
الشروط هي مكعبات كاملة.
اكتب الحدود في صورة مكعبات.
استخدم نمط اختلاف المكعبات.
تبسيط.
تحقق من خلال الضرب.سنترك لك الشيك.

مثال ( PageIndex {29} )

العامل: (8x ^ 3−27y ^ 3 ).

إجابه

((2x − 3y) (4x ^ 2−6xy + 9y ^ 2) )

مثال ( PageIndex {30} )

العامل: (1000m ^ 3−125n ^ 3 ).

إجابه

((10 م − 5 ن) (100 م ^ 2−50 مليون + 25 ن ^ 2) )

في المثال التالي ، نحلل العامل المشترك الأول في العامل المشترك. ثم يمكننا التعرف على مجموع المكعبات.

مثال ( PageIndex {31} )

العامل: (6x ^ 3y + 48y ^ 4 ).

إجابه
(6 × ^ {3} ص + 48 ص ^ {4} )
حلل العامل المشترك. (6 ص يسار (س ^ {3} +8 ص ^ {3} يمين) )
هذه ذات الحدين مجموع الأول والأخير
الشروط هي مكعبات كاملة.
اكتب الحدود في صورة مكعبات.
استخدم مجموع نمط المكعبات.
تبسيط.

التحقق من:

للتحقق من ذلك ، قد تجد أنه من الأسهل ضرب مجموع عوامل المكعبات أولاً ، ثم ضرب الناتج في 6y.6y. سنترك لك الضرب.

مثال ( PageIndex {32} )

العامل: (500p ^ 3 + 4q ^ 3 ).

إجابه

(4 (5p + q) (25p ^ 2−5pq + q ^ 2) )

مثال ( PageIndex {33} )

العامل: (432c ^ 3 + 686d ^ 3 ).

إجابه

(2 (6c + 7d) (36c ^ 2−42cd + 49d ^ 2) )

المصطلح الأول في المثال التالي هو مكعب ذو الحدين.

مثال ( PageIndex {34} )

العامل: ((x + 5) ^ 3−64x ^ 3 ).

إجابه
هذا ذو الحدين فرق. أول و
الحدود الأخيرة هي مكعبات كاملة.
اكتب الحدود في صورة مكعبات.
استخدم نمط اختلاف المكعبات.
تبسيط.
تحقق من خلال الضرب.سنترك لك الشيك.

مثال ( PageIndex {35} )

العامل: ((y + 1) ^ 3−27y ^ 3 ).

إجابه

((- 2y + 1) (13y ^ 2 + 5y + 1) )

مثال ( PageIndex {36} )

العامل: ((n + 3) ^ 3−125n ^ 3 ).

إجابه

((- 4 ن + 3) (31 ن ^ 2 + 21 ن + 9) )

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع العوملة للمنتجات الخاصة.

  • العوملة ذات الحدين- مكعبات # 2

المفاهيم الرئيسية

  • نمط ثلاثي الحدود المربع المثالي: لو أ و ب هي أرقام حقيقية ،

    [ start {array} {l} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 a ^ 2−2ab + b ^ 2 = (a − b) ^ 2 end {array } لا يوجد رقم]

  • كيفية تحليل القيم الثلاثية للمربع الكامل.
    ( start {array} {lllll} textbf {الخطوة 1.} & text {هل تتناسب الثلاثية مع النمط؟} & quad & hspace {7mm} a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 & hspace {7mm} a ^ 2−2ab + b ^ 2 & text {هل العبارات الأولى والأخيرة هي المربعات الكاملة؟} & quad & & & text {اكتبها كمربعات.} & quad & hspace {5mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & hspace {6mm} (a) ^ 2 hspace {16mm} (b) ^ 2 & text {تحقق من الحد الأوسط . هل هي} 2ab؟ & quad & hspace {12mm} {،} ^ { searrow} {،} _ {2 · a · b} {،} ^ { swarrow} & hspace {12mm } {،} ^ { searrow} {،} _ {2 · a · b} {،} ^ { swarrow} textbf {الخطوة 2.} & text {اكتب مربع ذات الحدين .} & quad & hspace {13mm} (a + b) ^ 2 & hspace {13mm} (a − b) ^ 2 textbf {الخطوة 3.} & text {تحقق بالضرب.} & & & end {array} )
  • اختلاف نمط المربعات: إذا كانت a ، ba ، b أرقامًا حقيقية ،
  • كيفية تحليل الفروق بين المربعات.
    ( start {array} {llll} textbf {الخطوة 1.} & text {هل تتناسب ذات الحدين مع النمط؟} & qquad & hspace {5mm} a ^ 2 − b ^ 2 & text {هل هذا فرق؟} & qquad & hspace {2mm} text {____ − ____} & text {هل العبارات الأولى والأخيرة مربعتان مثاليتان؟} & & textbf {الخطوة 2.} & text {اكتبهم كمربعات.} & qquad & hspace {3mm} (a) ^ 2− (b) ^ 2 textbf {الخطوة 3.} & text {اكتب حاصل ضرب الاتحادات.} & qquad & (a − b) (a + b) textbf {الخطوة 4.} & text {تحقق بالضرب.} & & end {array} )
  • مجموع نمط المكعبات وفرقه
    ( start {array} {l} a ^ 3 + b3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + أب + ب ^ 2) نهاية {مجموعة} )
  • كيفية تحليل مجموع أو فرق المكعبات.
    1. هل تتناسب ذات الحدين مع مجموع أو اختلاف نمط المكعبات؟
      هل هو مجموع أم فرق؟
      هل الحد الأول والأخير مكعبان كاملان؟
    2. اكتبها على شكل مكعبات.
    3. استخدم إما مجموع أو فرق نمط المكعبات.
    4. بسّط داخل الأقواس
    5. تحقق بضرب العوامل.

6.3: عامل المنتجات الخاصة

ثلاثي الحدود المربع الكامل هو ثلاثي الحدود يمكن كتابته كمربع ذي الحدين. تذكر أنه عند تربيع ذات الحدين ، تكون النتيجة هي مربع الحد الأول مضافًا إلى ضعف حاصل ضرب الحدين ومربع الحد الأخير.

يمكننا استخدام هذه المعادلة لتحليل أي مربع كامل ثلاثي الحدود.

ملاحظة عامة: المثلثات الثلاثية المربعة المثالية

يمكن كتابة ثلاثي الحدود المربع الكامل كمربع ذي الحدين:

الكيفية: بإعطاء مربع كامل ثلاثي الحدود ، قم بتحويله إلى مربع ذي الحدين.

  1. تأكد من أن الحد الأول والأخير مربعان كاملان.
  2. تأكد من أن المصطلح الأوسط هو ضعف منتج [اللاتكس] ab [/ اللاتكس].
  3. اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل مثل [لاتكس] < يسار (أ + ب يمين)> ^ <2> [/ لاتكس].

مثال 4: تحليل ثلاثي الحدود المربع الكامل

المحلول

لاحظ أن [اللاتكس] 25^ <2> [/ لاتكس] و [لاتكس] 4 [/ لاتكس] هي مربعات مثالية لأن [لاتكس] 25^ <2> = < left (5x right)> ^ <2> [/ latex] و [latex] 4 = <2> ^ <2> [/ latex]. ثم تحقق لمعرفة ما إذا كان المصطلح الأوسط هو ضعف منتج [اللاتكس] 5x [/ اللاتكس] و [اللاتكس] 2 [/ اللاتكس]. الحد الأوسط هو في الواقع ضعف المنتج: [لاتكس] 2 يسار (5x يمين) يسار (2 يمين) = 20x [/ لاتكس]. لذلك ، فإن ثلاثي الحدود هو ثلاثي حدود مربع كامل ويمكن كتابته كـ [لاتكس] < يسار (5x + 2 يمين)> ^ <2> [/ لاتكس].

جربه 4


عامل المنتجات الخاصة

لقد رأينا أن بعض القيم ذات الحدين وثلاثية الحدود تنتج من منتجات خاصة - تربيع القيم ذات الحدين وضرب الاتحادات. إذا تعلمت التعرف على هذه الأنواع من كثيرات الحدود ، يمكنك استخدام أنماط المنتجات الخاصة لتحليلها إلى عوامل بسرعة أكبر.

عامل Perfect Square Trinomials

بعض القيم الثلاثية هي مربعات كاملة. إنها ناتجة عن ضرب مرات ذات الحدين نفسها. قمنا بتربيع قيمة ذات الحدين باستخدام نمط المربعات ذات الحدين في فصل سابق.

ثلاثي الحدود 9 × 2 + 24 × + 16

يسمى أ ثلاثي الحدود المربع الكامل. إنه مربع ذات الحدين 3 × + 4.

في هذا الفصل ، ستبدأ بثلاثية حدود مربعة كاملة وتحللها في حسابها رئيس عوامل.

يمكنك عامل هذا ثلاثي الحدود باستخدام الطرق الموضحة في القسم الأخير ، حيث إنها من الشكل أ س 2 + ب س + ج.

ولكن إذا أدركت أن الحدين الأول والأخير عبارة عن مربعات وأن ثلاثي الحدود يتناسب مع نموذج ثلاثي الحدود المربع المثالي ، فستوفر على نفسك الكثير من العمل.

هذا هو النمط - عكس نمط المربعات ذات الحدين.

لو أ و ب هي أرقام حقيقية

للاستفادة من هذا النمط ، عليك أن تدرك أن ثلاثيًا معينًا يناسبه. تحقق أولاً لمعرفة ما إذا كان المعامل الأول هو a 2.

تحقق بعد ذلك من أن الحد الأخير هو مربع كامل ، ب 2.

ثم تحقق من الحد الأوسط - هل هو المنتج ، 2 أ ب؟

إذا تم التحقق من كل شيء ، يمكنك بسهولة كتابة العوامل.

تحدد علامة الحد الأوسط النمط الذي سنستخدمه. عندما يكون الحد الأوسط سالبًا ، نستخدم النمط أ 2 - 2 أ ب + ب 2 ،

أي عوامل (أ - ب) 2.

يتم تلخيص الخطوات هنا.

سنعمل الآن حيث يكون الحد الأوسط سالبًا.

الحد الأول والأخير عبارة عن مربعات. معرفة ما إذا كان الحد الأوسط يناسب نمط مربع ممتاز ثلاثي الحدود. الحد الأوسط سالب ، لذا فإن مربع ذات الحدين سيكون (أ - ب) 2.

هل الحد الأول والأخير مربعان كاملان؟
تحقق من المدى المتوسط.
هل تطابق (أ - ب) 2؟ نعم فعلا.
اكتب كمربع ذات الحدين.
تحقق بضرب: (9 ص - 4) 2 (9 س) 2 - 2 9 س 4 + 4 2 81 ص 2 - 72 ص + 16 ✓

المثال التالي سيكون مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود بمتغيرين.

العامل: 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2.

اختبر كل مصطلح للتحقق من النمط.
عامل.
تحقق من خلال الضرب. (6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 · 6 x · 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2 ✓

العامل: 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2.

العامل: 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2.

تذكر أن الخطوة الأولى في التحليل هي البحث عن أكبر عامل مشترك. قد تحتوي القيم الثلاثية المربعة الكاملة على ملف GCF في جميع المصطلحات الثلاثة ويجب أخذها في الاعتبار أولاً. وفي بعض الأحيان ، بمجرد تحليل العامل المشترك ، سوف تتعرف على ثلاثي الحدود المربع الكامل.

العامل: 100 x 2 y - 80 x y + 16 y.

هل يوجد GCF؟ نعم ، 4 سنوات ،

لذا عاملها. | | <: valign = ”top”> | هل هذا ثلاثي الحدود مربع كامل؟ | | <: valign = ”top”> | تحقق من النمط. | | <: valign = ”top”> | عامل. | | <: valign = ”top”>

تذكر: احتفظ بالعامل 4ذ في المنتج النهائي.

4 y (5 x - 2) 2 4 y [(5 x) 2 - 2 · 5 x · 2 + 2 2] 4 y (25 x 2-20 x + 4) 100 x 2 y - 80 xy + 16 y ✓

العامل: 8 x 2 y - 24 x y + 18 y.

العامل: 27 p 2 q + 90 p q + 75 q.

عامل الاختلافات في المربعات

المنتج الخاص الآخر الذي رأيته في الفصل السابق كان نمط منتج المتقارن. لقد استخدمت هذا لمضاعفة ذات الحدين اللذين كانا مترافقين. هذا مثال:

فرق عوامل المربعات لمنتج الاتحادات.

لو أ و ب هي أرقام حقيقية ،

تذكر أن "الاختلاف" يشير إلى الطرح. لذا ، لاستخدام هذا النمط ، يجب أن تتأكد من أن لديك ذات الحدين حيث يتم طرح مربعين.

من المهم أن تتذكر ذلك مجاميع المربعات لا تدخل في حاصل ضرب ذات الحدين. لا توجد عوامل ذات حدين تتضاعف معًا للحصول على مجموع المربعات. بعد إزالة أي GCF ، التعبير a 2 + b 2

المثال التالي يوضح المتغيرات في كلا المصطلحين.

كما هو الحال دائمًا ، يجب أن تبحث عن العامل المشترك أولاً عندما يكون لديك تعبير لتحليله. في بعض الأحيان ، قد "يخفي" عامل مشترك اختلاف المربعات ولن تتعرف على المربعات المثالية حتى تحلل عامل المناخ الأخضر.

أيضًا ، لتحليل الحدين بالكامل في المثال التالي ، سنعمل على تحليل فرق المربعات مرتين!

العامل: 48 x 4 y 2-243 y 2.

لا يمكن تحليل العامل الأخير ، وهو مجموع المربعات.

تحقق بضرب: 3 y 2 (2 x - 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (4 x 2-9) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (16 x 4 - 81) 48 × 4 ص 2 - 243 ص 2

العامل: 7 a 4 c 2-7 b 4 c 2.

المثال التالي له كثير حدود بأربعة حدود. حتى الآن ، عندما حدث هذا ، قمنا بتجميع المصطلحات في اثنتين وتم تحليلها من هناك. هنا نلاحظ أن الحدود الثلاثة الأولى تشكل مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود.

لاحظ أن أول ثلاثة حدود تشكل مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود.

| | | <: valign = ”top”> | حلل من خلال تجميع الحدود الثلاثة الأولى. | | <: valign = ”top”> | استخدم النمط ثلاثي الحدود المربع المثالي. | | <: valign = ”top”> | هل هذا اختلاف في المربعات؟ نعم فعلا. | | <: valign = ”top”> | نعم - اكتبهم في شكل مربعات. | | <: valign = ”top”> | عامل باعتباره حاصل ضرب الاتحادات. | | <: valign = ”top”> | | | <: valign = ”top”>

قد ترغب في إعادة كتابة الحل بالشكل (س - ص - 3) (س + ص - 3).

العامل: x 2-10 x + 25 - y 2.

العامل: x 2 + 6 x + 9-4 y 2.

عوامل المجاميع والاختلافات بين المكعبات

هناك نمط خاص آخر للتحليل ، وهو نمط لم نستخدمه عند ضرب كثيرات الحدود. هذا هو نمط مجموع المكعبات وفرقها. سنكتب هذه الصيغ أولاً ثم نتحقق منها بالضرب.

سنتحقق من النمط الأول ونترك الثاني لك.

| | | <: valign = ”top”> | نشر. | | <: valign = ”top”> | تتضاعف. | | <: valign = ”top”> | اجمع بين الشروط المتشابهة. | | <: valign = ”top”>

النموذجان متشابهان للغاية ، أليس كذلك؟ لكن لاحظ العلامات في العوامل. تتطابق علامة العامل ذي الحدين مع الإشارة الموجودة في القيمة الأصلية ذات الحدين. وعلامة الحد الأوسط للعامل ثلاثي الحدود هي عكس العلامة في الأصل ذي الحدين. إذا تعرفت على نمط العلامات ، فقد يساعدك ذلك في حفظ الأنماط.

لا يمكن تحليل العامل ثلاثي الحدود في مجموع نمط المكعبات واختلافه.

سيكون مفيدًا جدًا إذا تعلمت التعرف على مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 ، تمامًا كما تعلمت التعرف على المربعات. لقد قمنا بإدراج مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 في [رابط].

ن 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
———-
ن 3

| 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 | <: valign = ”top”>


حلل كثيرات الحدود باستخدام المنتجات الخاصة

يمكنك تحديد المنتجات الخاصة بقيمها إذا كانت مربعة أو مكعبات كاملة ..

توضيح:

الفرق بين مربعين هو: # x ^ 2 - y ^ 2 = (x + y) (x - y) #

هناك صيغة واحدة تشير إلى "اختلاف المربعات":

إذا استخدمنا FOIL يمكننا إثبات ذلك. تشير طريقة اختلاف المربعات إلى القيام بشيء مثل ما يلي:

# س ^ 2 -1 = (س - 1) (س + 1) #
# س ^ 2-4 = (س -2) (س + 2) #

أو حتى التطبيق المزدوج هنا
# x ^ 4 - 16 = (x ^ 2) ^ 2-4 ^ 2 = (x ^ 2-4) (x ^ 2 + 4) = (x-2) (x + 2) (x ^ 2 + 4 ) #

ابحث عن الأرقام التي تكون مربعات كاملة أو مكعبات كاملة.
هناك العديد من المنتجات الخاصة في التخصيم. ثلاثة من أشهرهم هم
# (س + ص) ^ 2 = س ^ 2 + 2 س ص + ص ^ 2 #
و
# (x − y) ^ 2 = x-2xy + y ^ 2 #
و
# (س + ص) (س − ص) = س ^ 2 − ص ^ 2 #

اثنان أقل شهرة هما
# س ^ 3 + ص ^ 3 = (س + ص) (س ^ 2 − س ص + ص ^ 2) #
و
# س ^ 3 − ص ^ 3 = (س − ص) (س ^ 2 + س ص − ص ^ 2) #
لاحظ أنه في المسألة الفعلية ، يمكن أن يكون x و y أي عدد أو متغير. أتمنى أن يكون هذا قد ساعد!


العوامل الأحادية الشائعة ، تحليل المنتجات الخاصة والعوملة كثيرات الحدود

& emsp & emsp 9 ^ 5/9 ^ 2 == 9 ^ 3 & emsp & emsp x ^ 7 / x ^ 2 == x ^ 5 & emsp & emsp y ^ 3 / y ^ 3 == 1/1=1

& emsp & emspIf إذا كان a عددًا صحيحًا غير صفري وكان m و n أعدادًا صحيحة مع n & gt = m ، إذن

& emsp & emsp سنناقش هذه الصيغة بمزيد من التفصيل في الفصل 6.

& emsp & emsp أوجد قواسم القسمة التالية.

& emsp & emsp من خلال التفكير في ab + ac كمنتج ، يمكننا العثور على عوامل ab + ac باستخدام خاصية التوزيع بالمعنى العكسي مثل

& emsp & emsp أحد العوامل هو a والعامل الآخر هو b + c.
& emsp & emsp تطبيق نفس المنطق على 2x ^ 2 + 6x يعطي

& emsp & emsp لاحظ أن 2x ستقسم إلى كل حد من كثير الحدود 2x ^ 2 + 6x أي ،

& emsp & emsp البحث عن العامل الأحادي المشترك في كثير الحدود يعني اختيار المونومال ذي أعلى درجة وأكبر معامل عدد صحيح ينقسم إلى كل حد من كثير الحدود. سيكون هذا المونومالي عاملاً واحدًا وسيكون مجموع حاصل القسمة المختلفة هو العامل الآخر. على سبيل المثال ، عامل

& emsp & emspOn عند الفحص ، سيتم تقسيم 6x ^ 3 إلى كل مصطلح و

& emsp & emsp مع الممارسة ، يمكن القيام بكل هذا العمل عقليًا.

& emsp & emsp: العامل الأحادي الأكبر المشترك في كل كثير الحدود.

& emsp & emsp إذا كانت جميع المصطلحات سالبة أو إذا كان المصطلح الرئيسي (المصطلح من الدرجة الأعلى) سالبًا ، فسنقوم بشكل عام بعوامل أحادية سالبة مشتركة ، كما في المثال 3. هذا سيترك معاملًا موجبًا للمصطلح الأول بين قوسين.

& emsp & emsp يمكن التحقق من جميع عوامل التحليل عن طريق الضرب حيث أن حاصل ضرب العوامل يجب أن يكون كثير الحدود الأصلي.

& emsp & emspA قد تكون كثيرة الحدود في أكثر من متغير واحد. على سبيل المثال ، يوجد 5x ^ 2y + 10xy ^ 2 في المتغيرين x و y. وبالتالي ، قد يكون للعامل الأحادي المشترك أكثر من متغير واحد.

دع & rsquos نرى كيف يبسط حلال الرياضيات هذا والمشكلات المشابهة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.

5.2 & emsp & emspFactoring المنتجات الخاصة

& emsp & emspناقشنا في القسم 4.4 المنتجات الخاصة التالية ذات الحدين

& emsp & emspII. (x + a) (x-a) = x ^ 2-a ^ 2 & emsp & emspdifference بين مربعين
& emsp & emspIII. (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 & emsp & emspperfect مربع ثلاثي الحدود

& emsp & emspIV. (x-a) ^ 2 = x ^ 2-2ax + a ^ 2 & emsp & emspperfect مربع ثلاثي الحدود

& emsp & emsp إذا كنا نعرف كثير الحدود للمنتج ، على سبيل المثال x ^ 2 + 9x + 20 ، فيمكننا إيجاد العوامل من خلال عكس الإجراء. من خلال حفظ جميع الأشكال الأربعة ، نتعرف على x ^ 2 + 9x + 20 كما في الصورة الأولى. نحتاج إلى معرفة عوامل العدد 20 التي تضيف 9. إنهما 5 و 4 لأن 5 * 4 = 20 و 5 + 4 = 9. لذلك ، باستخدام النموذج الأول ،

& emsp & emsp إذا كانت كثيرة الحدود هي الفرق بين مربعين ، فإننا نعلم من النموذج II أن العوامل هي مجموع وفرق الحدود التي تم تربيعها.

& emsp & emsp إذا كانت كثيرة الحدود عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود ، فيجب أن يكون الحد الأخير مربعًا كاملًا ويجب أن يكون المعامل الأوسط ضعف الحد الذي تم تربيعه. (ملاحظة: نفترض هنا أن معامل x ^ 2 هو 1. الحالة التي لا يكون فيها المعامل 1 سيتم تناولها في القسم 5.3.) باستخدام النموذج III والصيغة IV ،

& emsp & emsp يعتبر التعرف على شكل كثير الحدود هو مفتاح التحليل. في بعض الأحيان قد يتم إخفاء النموذج بعامل أحادي مشترك أو عن طريق إعادة ترتيب المصطلحات. ابحث دائمًا عن عامل وحيد مشترك أولاً. فمثلا،

& emsp & emsp 5x ^ 2y-20y = 5y (x ^ 2-4) & emsp & emspfactoring الأحادي المشترك 5y

& emsp & emspحلل كل من كثيرات الحدود التالية إلى عوامل تمامًا.

& emsp & emsp يرتبط إجراء إكمال المربع ارتباطًا وثيقًا بتخصيب المنتجات الخاصة. يتضمن هذا الإجراء إضافة حد مربع إلى ذات الحدين بحيث تكون ثلاثية الحدود الناتجة عبارة عن ثلاثي حدود مربع كامل ، وبالتالي & ldquocomplete المربع. & rdquo على سبيل المثال ،

& emsp & emsp المعامل الأوسط ، 10 ، هو ضعف العدد المراد تربيعه. إذن ، بأخذ نصف هذا المعامل وتربيع النتيجة ، سيكون لدينا الثابت المفقود.

5.3 & emsp & emsp المزيد عن العوامل متعددة الحدود

& emsp & emsp باستخدام طريقة FOIL في الضرب التي تمت مناقشتها في القسم 4.4 ، يمكننا العثور على المنتج

& emsp & emsp

& emsp & emspF: حاصل ضرب المصطلحين الأول هو 6x ^ 2.

& emsp & emsp مجموع حاصل الضرب الداخلي والخارجي هو 17x.

& emsp & emspL: حاصل ضرب المصطلحين الأخيرين هو 5.

& emsp & emsp لتحليل ثلاثي الحدود 6x ^ 2 + 31x + 5 كمنتج من حدين ، نعلم أن حاصل ضرب أول حدين يجب أن يكون 6x ^ 2. عن طريق التجربة والخطأ ، نحاول جميع مجموعات العوامل 6x ^ 2 ، أي 6x و x أو 3x و 2x ، جنبًا إلى جنب مع عوامل 5. سيضمن ذلك صحة المنتج الأول F والمنتج الأخير L.

& emsp & emsp الآن ، لهذه الاحتمالات ، نحتاج إلى التحقق من مجموع المنتجات الداخلية والخارجية حتى نصل إلى 31 ضعفًا.

& emsp & emspa. & emsp & emsp 15 + 2x = 17x

& emsp & emspb. & emsp & emsp 3x + 10x = 13x

& emsp & emspc. & emsp & emsp 30x + x = 31x

& emsp & emsp لقد وجدنا المجموعة الصحيحة من العوامل ، لذلك لا نحتاج إلى تجربة (6x + 5) (x + 1). وبالتالي،

& emsp & emsp مع الممارسة ، يمكن العثور على المبالغ الداخلية والخارجية عقليًا ويمكن توفير الكثير من الوقت ولكن الطريقة لا تزال في الأساس عبارة عن تجربة وخطأ.

& emsp & emsp & emspنظرًا لأن الحد الأوسط هو -31x والثابت هو +5 ، فإننا نعلم أن عاملي الرقم 5 يجب أن يكونا -5 و -1.

& emsp & emsp 6x ^ 2-31x + 5 =& emsp & emsp -30x-x = -31x

& emsp & emsp2. حلل 2x ^ 2 + 12x + 10 إلى عوامل تمامًا.

وEMSP وEMSP وEMSP 2X ^ 3 + 12X + 10 = 2 (س ^ 2 + 6X + 5) وEMSP وemspFirst فاي الثانية أي عامل أحادية حدود مشتركة.

& emsp & emsp & emsp =& emsp & emsp x + 5x = 6x

& emsp & emsp ملاحظة خاصة: أن التحليل يعني تمامًا العثور على عوامل كثيرة الحدود التي لا يعتبر أي منها في حد ذاته قابلاً للتحليل. وبالتالي ، فإن 2x ^ 2 + 12x + 10 = (2x + 10) (x + 1) لا يتم تحليلها بالكامل منذ 2x + 10 = 2 (x + 5). يمكننا الكتابة

& emsp & emsp إن العثور على أكبر عامل موحد مشترك - أولاً يجعل المشكلة أسهل بشكل عام. قد تبدو طريقة التجربة والخطأ صعبة في البداية ، ولكن مع الممارسة ستتعلم & ldquoguess & rdquo بشكل أفضل والتخلص من مجموعات معينة بسرعة. على سبيل المثال ، لتحليل 10x ^ 2 + x-2 ، هل نستخدم 10x و x أو 5x و 2 x ولعدد -2 ، هل نستخدم -2 و +1 أو +2 و -1؟ المصطلحان 5x و 2x مرشحان على الأرجح لأنهما أقرب معًا من 10x و x والمصطلح الأوسط صغير ، 1x. وبالتالي،

& emsp & emsp (5x-1) (2x + 2) & emsp & emsp + 10x-2x = 8x & emsp & emspرفض

& emsp & emsp ليست كل كثيرات الحدود قابلة للتحليل. على سبيل المثال ، بغض النظر عن التركيبات التي نجربها ، لن يكون لـ 3x ^ 2 - 3x + 4 عاملين ذي حدين مع معاملات عدد صحيح. كثير الحدود هذا غير قابل للاختزال ولا يمكن تحليله إلى عوامل كمنتج متعدد الحدود مع معاملات عدد صحيح.
كثير حدود مهم غير قابل للاختزال هو مجموع مربعين ، أ ^ 2 + ب ^ 2. على سبيل المثال ، x ^ 2 + 4 غير قابل للاختزال. لا توجد عوامل ذات معاملات عدد صحيح حاصل ضربها x ^ 2 + 4.

& emsp & emspعامل تماما. ابحث أولاً عن العامل الأحادي الأكبر المشترك.

& emsp & emsp يمكن أحيانًا إنجاز معاملات متعددة الحدود بأربعة مصطلحات باستخدام قانون التوزيع ، كما في الأمثلة التالية.

& emsp & emsp جرب التحليل إلى عوامل -5 بدلاً من +5 من المصطلحين الأخيرين.

دع & rsquos نرى كيف يحل محلل الرياضيات لدينا هذه المشكلة والمشكلات المماثلة. انقر فوق الزر "حل مشابه" لمشاهدة المزيد من الأمثلة.


تحليل ثلاثي الحدود المربع الكامل

ثلاثي الحدود المربع الكامل هو ثلاثي الحدود يمكن كتابته كمربع ذي الحدين.تذكر أنه عند تربيع ذات الحدين ، تكون النتيجة هي مربع الحد الأول مضافًا إلى ضعف حاصل ضرب الحدين ومربع الحد الأخير.

ملاحظة عامة: المثلثات الثلاثية المربعة المثالية

يمكن كتابة ثلاثي الحدود المربع الكامل كمربع ذي الحدين:

في المثال التالي ، سنوضح لك كيفية تحديد a و b حتى تتمكن من استخدام الاختصار.

مثال

أولا ، لاحظ أن [اللاتكس] 25^ <2> [/ لاتكس] و [لاتكس] 4 [/ لاتكس] هي مربعات مثالية لأن [لاتكس] 25^ <2> = < left (5x right)> ^ <2> [/ latex] و [latex] 4 = <2> ^ <2> [/ latex].

هذا يعني أن [اللاتكس] a = 5x text b = 2 [/ latex]

بعد ذلك ، تحقق لمعرفة ما إذا كان المصطلح الأوسط يساوي [اللاتكس] 2ab [/ اللاتكس] ، وهو:

لذلك ، فإن ثلاثي الحدود هو ثلاثي حدود مربع كامل ويمكن كتابته كـ [لاتكس] < left (a + b right)> ^ <2> = < left (5x + 2 right)> ^ <2> [/ اللاتكس].

في المثال التالي ، سنوضح أنه يمكننا استخدام [لاتكس] 1 = 1 ^ 2 [/ لاتكس] لتحليل كثير الحدود بمصطلح يساوي [لاتكس] 1 [/ لاتكس].

مثال

أولا ، لاحظ أن [اللاتكس] 49^ <2> [/ لاتكس] و [لاتكس] 1 [/ لاتكس] هي مربعات مثالية لأن [لاتكس] 49^ <2> = < left (7x right)> ^ <2> [/ latex] و [latex] 1 = <1> ^ <2> [/ latex].

هذا يعني أن [لاتكس] أ = 7 س [/ لاتكس] و [لاتكس] ب = 1 [/ لاتكس].

بعد ذلك ، تحقق لمعرفة ما إذا كان المصطلح الأوسط يساوي [اللاتكس] 2ab [/ اللاتكس] ، وهو:

لذلك ، فإن ثلاثي الحدود هو ثلاثي حدود مربع كامل ويمكن كتابته كـ [لاتكس] < left (ab right)> ^ <2> = < left (7x-1 right)> ^ <2> [/ latex] .

في الفيديو التالي ، نقدم وصفًا قصيرًا آخر لما هو ثلاثي الحدود المربع الكامل ونوضح كيفية تحليلها باستخدام صيغة.

يمكننا تلخيص عمليتنا بالطريقة التالية:

الكيفية: بإعطاء مربع كامل ثلاثي الحدود ، قم بتحويله إلى مربع ذي الحدين

  1. تأكد من أن الحد الأول والأخير مربعان كاملان.
  2. تأكد من أن المصطلح الأوسط هو ضعف منتج [اللاتكس] ab [/ اللاتكس].
  3. اكتب الصيغة المحللة إلى عوامل مثل [latex] < left (a + b right)> ^ <2> [/ latex] أو [latex] < left (a-b right)> ^ <2> [/ latex].

جدول العوامل والمضاعفات

فيما يلي العوامل (لا تشمل السلبيات) وبعض المضاعفات من 1 إلى 100:

عوامل المضاعفات
11 2345678910
1, 22 468101214161820
1, 33 6912151821242730
1, 2, 44 81216202428323640
1, 55 101520253035404550
1, 2, 3, 66 121824303642485460
1, 77 142128354249566370
1, 2, 4, 88 162432404856647280
1, 3, 99 182736455463728190
1, 2, 5, 1010 2030405060708090100
1, 1111 2233445566778899110
1, 2, 3, 4, 6, 1212 24364860728496108120
1, 1313 263952657891104117130
1, 2, 7, 1414 284256708498112126140
1, 3, 5, 1515 3045607590105120135150
1, 2, 4, 8, 1616 3248648096112128144160
1, 1717 34516885102119136153170
1, 2, 3, 6, 9, 1818 36547290108126144162180
1, 1919 38577695114133152171190
1, 2, 4, 5, 10, 2020 406080100120140160180200
1, 3, 7, 2121 426384105126147168189210
1, 2, 11, 2222 446688110132154176198220
1, 2323 466992115138161184207230
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 2424 487296120144168192216240
1, 5, 2525 5075100125150175200225250
1, 2, 13, 2626 5278104130156182208234260
1, 3, 9, 2727 5481108135162189216243270
1, 2, 4, 7, 14, 2828 5684112140168196224252280
1, 2929 5887116145174203232261290
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 3030 6090120150180210240270300
1, 3131 6293124155186217248279310
1, 2, 4, 8, 16, 3232 6496128160192224256288320
1, 3, 11, 3333 6699132165198231264297330
1, 2, 17, 3434 68102136170204238272306340
1, 5, 7, 3535 70105140175210245280315350
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 3636 72108144180216252288324360
1, 3737 74111148185222259296333370
1, 2, 19, 3838 76114152190228266304342380
1, 3, 13, 3939 78117156195234273312351390
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 4040 80120160200240280320360400
1, 4141 82123164205246287328369410
1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 4242 84126168210252294336378420
1, 4343 86129172215258301344387430
1, 2, 4, 11, 22, 4444 88132176220264308352396440
1, 3, 5, 9, 15, 4545 90135180225270315360405450
1, 2, 23, 4646 92138184230276322368414460
1, 4747 94141188235282329376423470
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 4848 96144192240288336384432480
1, 7, 4949 98147196245294343392441490
1, 2, 5, 10, 25, 5050 100150200250300350400450500
1, 3, 17, 5151 102153204255306357408459510
1, 2, 4, 13, 26, 5252 104156208260312364416468520
1, 5353 106159212265318371424477530
1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 5454 108162216270324378432486540
1, 5, 11, 5555 110165220275330385440495550
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 5656 112168224280336392448504560
1, 3, 19, 5757 114171228285342399456513570
1, 2, 29, 5858 116174232290348406464522580
1, 5959 118177236295354413472531590
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 6060 120180240300360420480540600
1, 6161 122183244305366427488549610
1, 2, 31, 6262 124186248310372434496558620
1, 3, 7, 9, 21, 6363 126189252315378441504567630
1, 2, 4, 8, 16, 32, 6464 128192256320384448512576640
1, 5, 13, 6565 130195260325390455520585650
1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 6666 132198264330396462528594660
1, 6767 134201268335402469536603670
1, 2, 4, 17, 34, 6868 136204272340408476544612680
1, 3, 23, 6969 138207276345414483552621690
1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 7070 140210280350420490560630700
1, 7171 142213284355426497568639710
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 7272 144216288360432504576648720
1, 7373 146219292365438511584657730
1, 2, 37, 7474 148222296370444518592666740
1, 3, 5, 15, 25, 7575 150225300375450525600675750
1, 2, 4, 19, 38, 7676 152228304380456532608684760
1, 7, 11, 7777 154231308385462539616693770
1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 7878 156234312390468546624702780
1, 7979 158237316395474553632711790
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 8080 160240320400480560640720800
1, 3, 9, 27, 8181 162243324405486567648729810
1, 2, 41, 8282 164246328410492574656738820
1, 8383 166249332415498581664747830
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 8484 168252336420504588672756840
1, 5, 17, 8585 170255340425510595680765850
1, 2, 43, 8686 172258344430516602688774860
1, 3, 29, 8787 174261348435522609696783870
1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 8888 176264352440528616704792880
1, 8989 178267356445534623712801890
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 9090 180270360450540630720810900
1, 7, 13, 9191 182273364455546637728819910
1, 2, 4, 23, 46, 9292 184276368460552644736828920
1, 3, 31, 9393 186279372465558651744837930
1, 2, 47, 9494 188282376470564658752846940
1, 5, 19, 9595 190285380475570665760855950
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 9696 192288384480576672768864960
1, 9797 194291388485582679776873970
1, 2, 7, 14, 49, 9898 196294392490588686784882980
1, 3, 9, 11, 33, 9999 198297396495594693792891990
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100100 2003004005006007008009001000

رؤية الأرقام مع عاملين فقط ، مثل 97؟ هم الأعداد الأولية.


6.3: عامل المنتجات الخاصة

حالات خاصة

عند تحليل التعبيرات ، هناك بعض الحالات الخاصة أو الاختصارات التي يمكن أن تكون مفيدة جدًا. الحيلة هي أن تكون قادرًا على التعرف عند ظهور هذه الحالات!

الفرق بين المربعات الكاملة

ليس من الصعب التعرف على هذه الحالة الخاصة الأولى.

الفرق يعني الطرح والمربع الكامل هو رقم يمكنك أخذ جذر تربيعي له دون الحصول على إجابة عشرية. فمثلا:

25 هو مربع كامل لأن ( sqrt <25> = 5 ).
144 مربع كامل لأن ( sqrt <144> = 12 ).
حتى في () هو مربع كامل لأن ( sqrt <> = x ).

لذا ، إذا كان لدينا (64) ، سيُحسب هذا أيضًا كمربع كامل لأن ( sqrt <64> = 8x ).

لفهم هذه الحالة الخاصة تمامًا ، نحتاج إلى فهم حقيقة أنه إذا كان لدينا ( = 49 ) ، x ستساوي 7 ، لكنها أيضًا تساوي -7 لأن (<(- 7) ^ 2> = 49 ).
دعونا نرى كيف يمكننا وضع كل هذه المفاهيم معًا للوصول إلى الاختصار.

الشكل العام لاختلاف المربعات الكاملة هو:

الجذر التربيعي لـ () يكون x والجذر التربيعي لـ 9 هو 3. ينقسم هذا إلى عوامل:

عامل ما يلي. (25 - 4)

الجذر التربيعي لـ (25) يكون 5x والجذر التربيعي للعدد 4 هو 2. ينقسم هذا إلى عوامل:

عامل ما يلي. ( + 16)

لا تنخدع! هذه ليست حالتنا الخاصة لأنها ليست عملية طرح. هذا هو رئيس مما يعني أنه لا يمكن تحليلها إلى عوامل.

المربعات الثلاثية

يمكن أن يكون اختصار الحالة الخاص هذا مفيدًا ولكنه أصعب قليلاً في التعرف عليه. لا يزال الأمر يتعلق بالمربعات الكاملة. سيكون المعامل الأول والمعامل الأخير مربعين كاملين. الحد الأوسط سيكون ضعف حاصل ضرب الجذور التربيعية لتلك المعاملات. سيكون أكثر منطقية مع مثال.

الشكل العام لمربع ثلاثي الحدود هو:

عامل ما يلي. ( - 6x + 9 )

الجذر التربيعي لـ () يكون x والجذر التربيعي لـ 9 هو 3. يطابق الحد الأوسط حالتنا الخاصة لأن (2 (x bullet 3) = 6x ). هذه العوامل في:

عامل ما يلي. (4 + 36x + 81 )

الجذر التربيعي لـ (4) يكون 2x والجذر التربيعي لـ 18 هو 9. يطابق الحد الأوسط حالتنا الخاصة لأن (2 (2x bullet 9) = 36x ). هذه العوامل في:

عامل ما يلي. (486 + 864x + 384 )

هذا مختلف. العبارتان الأولى والأخيرة ليستا مربعتين كاملتين! فلنبحث عن عامل ينقسم بالتساوي في كل مصطلح. يمكننا تحليل 6 إلى عوامل.

حسنًا ، هذا أفضل. الجذر التربيعي لـ (81) يكون 9x والجذر التربيعي لـ 64 هو 8. يطابق الحد الأوسط حالتنا الخاصة لأن (2 (9x bullet 8) = 144x ). هذه العوامل في:

يمكنك أدناه تحميل بعض مجانا أوراق عمل وممارسة الرياضيات.


6.3: عامل المنتجات الخاصة

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

لقد رأينا أن بعض القيم ذات الحدين وثلاثية الحدود ناتجة عن منتجات خاصة & # 8212 تربيع ذات الحدين ومضاعفة الاتحادات. إذا تعلمت التعرف على هذه الأنواع من كثيرات الحدود ، يمكنك استخدام أنماط المنتجات الخاصة لتحليلها إلى عوامل بسرعة أكبر.

عامل Perfect Square Trinomials

بعض القيم الثلاثية هي مربعات كاملة. إنها ناتجة عن ضرب مرات ذات الحدين نفسها. قمنا بتربيع قيمة ذات الحدين باستخدام نمط المربعات ذات الحدين في فصل سابق.

في هذا الفصل ، ستبدأ بثلاثية حدود مربعة كاملة وتحللها في عواملها الأولية.

هذا هو النمط & # 8212 عكس نمط المربعات ذات الحدين.

لو أ و ب هي أرقام حقيقية

للاستفادة من هذا النمط ، عليك أن تدرك أن ثالوثًا معينًا يناسبه. تحقق أولاً لمعرفة ما إذا كان المعامل الأول هو مربع كامل ، a 2. أ 2. تحقق بعد ذلك من أن الحد الأخير هو مربع كامل ، ب 2. ب 2. ثم تحقق من الحد الأوسط & # 8212 هل هو المنتج ، 2 أ ب؟ 2 أ ب؟ إذا تم التحقق من كل شيء ، يمكنك بسهولة كتابة العوامل.

تحدد علامة الحد الأوسط النمط الذي سنستخدمه. عندما يكون الحد الأوسط سالبًا ، نستخدم النمط أ 2 & # 8722 2 أ ب + ب 2 ، أ 2 & # 8722 2 أ ب + ب 2 ، والذي يحلل إلى (أ & # 8722 ب) 2. (أ & # 8722 ب) 2.

يتم تلخيص الخطوات هنا.

الخطوة 1. هل تتناسب الثلاثية مع النمط؟ أ 2 + 2 أ ب + ب 2 أ 2 & # 8722 2 أ ب + ب 2 هل الحد الأول مربع كامل؟ (أ) 2 (أ) 2 اكتبه على شكل مربع. هل الحد الأخير مربع كامل؟ (أ) 2 (ب) 2 (أ) 2 (ب) 2 اكتبها على شكل مربع. تحقق من المدى المتوسط. هل هو 2 أ ب؟ (أ) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 (a) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 الخطوة 2. اكتب مربع ذات الحدين. (a + b) 2 (a & # 8722 b) 2 الخطوة 3. تحقق من خلال الضرب. الخطوة 1. هل تتناسب الثلاثية مع النمط؟ أ 2 + 2 أ ب + ب 2 أ 2 & # 8722 2 أ ب + ب 2 هل الحد الأول مربع كامل؟ (أ) 2 (أ) 2 اكتبه على شكل مربع. هل الحد الأخير مربع كامل؟ (أ) 2 (ب) 2 (أ) 2 (ب) 2 اكتبها على شكل مربع. تحقق من المدى المتوسط. هل هو 2 أ ب؟ (أ) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 (a) 2 & # 8600 2 & # 183 a & # 183 b & # 8601 (b) 2 الخطوة 2. اكتب مربع ذات الحدين. (a + b) 2 (a & # 8722 b) 2 الخطوة 3. تحقق من خلال الضرب.

& # 8217 سنعمل الآن حيث يكون الحد الأوسط سالبًا.

الحد الأول والأخير عبارة عن مربعات. لاحظ ما إذا كان الحد الأوسط يتناسب مع نموذج ثلاثي الحدود المربع الكامل. الحد الأوسط سالب ، لذا فإن مربع ذات الحدين سيكون (a & # 8722 b) 2. (أ & # 8722 ب) 2.

هل المصطلح الأول والأخير مربعان مثاليان؟ & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195
تحقق من المدى المتوسط.
هل تطابق (أ & # 8722 ب) 2؟ (أ & # 8722 ب) 2؟ نعم فعلا.
اكتب كمربع ذات الحدين.
تحقق بضرب:

(9 y & # 8722 4) 2 (9 y) 2 & # 8722 2 & # 183 9 y & # 183 4 + 4 2 81 y 2 & # 8722 72 y + 16 & # 10003 (9 y & # 8722 4 ) 2 (9 س) 2 & # 8722 2 & # 183 9 س & # 183 4 + 4 2 81 س 2 & # 8722 72 ص + 16 & # 10003

المثال التالي سيكون مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود بمتغيرين.

العامل: 36 x 2 + 84 x y + 49 y 2. 36 × 2 + 84 × ص + 49 ص 2.

اختبر كل مصطلح للتحقق من النمط & # 8195 & # 8195 & # 8195
عامل.
تحقق من خلال الضرب.

(6 x + 7 y) 2 (6 x) 2 + 2 & # 183 6 x & # 183 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 & # 10003 (6 x + 7 y ) 2 (6 x) 2 + 2 & # 183 6 x & # 183 7 y + (7 y) 2 36 x 2 + 84 xy + 49 y 2 & # 10003

العامل: 49 x 2 + 84 x y + 36 y 2. 49 × 2 + 84 × ص + 36 ص 2.

العامل: 64 m 2 + 112 m n + 49 n 2. 64 م 2 + 112 م ن + 49 ن 2.

تذكر أن الخطوة الأولى في التحليل هي البحث عن أكبر عامل مشترك. قد تحتوي ثلاثية الحدود المربعة الكاملة على العامل المشترك الأكبر في جميع المصطلحات الثلاثة ويجب أخذه في الاعتبار أولاً. وفي بعض الأحيان ، بمجرد تحليل العامل المشترك ، سوف تتعرف على ثلاثي الحدود المربع الكامل.

العامل: 100 x 2 y & # 8722 80 x y + 16 y. 100 × 2 ص & # 8722 80 × ص + 16 ص.

هل يوجد GCF؟ نعم ، 4 سنوات ، 4 سنوات ، لذا عاملها. & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195
هل هذا ثلاثي الحدود مربع كامل؟
تحقق من النمط.
عامل.

تذكر: احتفظ بالعامل 4ذ في المنتج النهائي.

العامل: 8 x 2 y & # 8722 24 x y + 18 y. 8 × 2 ص & # 8722 24 × ص + 18 ص.

العامل: 27 p 2 q + 90 p q + 75 q. 27 ص 2 س + 90 ف ف + 75 س.

عامل الاختلافات في المربعات

المنتج الخاص الآخر الذي رأيته في الفصل السابق كان نمط منتج المتقارن. لقد استخدمت هذا لمضاعفة ذات الحدين اللذين كانا مترافقين. هنا & # 8217s مثال:

فرق عوامل المربعات لمنتج الاتحادات.

لو أ و ب هي أرقام حقيقية ،

تذكر أن & # 8220difference & # 8221 يشير إلى الطرح. لذا ، لاستخدام هذا النمط ، يجب أن تتأكد من أن لديك ذات الحدين حيث يتم طرح مربعين.

الخطوة 1. هل تتلاءم ذات الحدين مع النمط؟ أ 2 & # 8722 ب 2 هل هذا فرق؟ ____ & # 8722 ____ هل المصطلح الأول والأخير مربعان كاملان؟ الخطوة 2. اكتبهم في شكل مربعات. (أ) 2 & # 8722 (ب) 2 الخطوة 3. اكتب حاصل ضرب الاتحادات. (a & # 8722 b) (a + b) الخطوة 4. تحقق من خلال الضرب. الخطوة 1. هل تتلاءم ذات الحدين مع النمط؟ أ 2 & # 8722 ب 2 هل هذا فرق؟ ____ & # 8722 ____ هل المصطلح الأول والأخير مربعان كاملان؟ الخطوة 2. اكتبهم في شكل مربعات. (أ) 2 & # 8722 (ب) 2 الخطوة 3. اكتب حاصل ضرب الاتحادات. (a & # 8722 b) (a + b) الخطوة 4. تحقق من خلال الضرب.

من المهم أن تتذكر ذلك مجاميع المربعات لا تدخل في حاصل ضرب ذات الحدين. لا توجد عوامل ذات حدين تتضاعف معًا للحصول على مجموع المربعات. بعد إزالة أي عامل مشترك إجمالي ، يكون التعبير أ 2 + ب 2 أ 2 + ب 2 عددًا أوليًا!

المثال التالي يوضح المتغيرات في كلا المصطلحين.

144 x 2 & # 8722 49 y 2 هل هذا فرق في المربعات؟ نعم فعلا. (12 x) 2 & # 8722 (7 y) 2 عامل كعامل حاصل ضرب الاتحادات. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) تحقق من خلال الضرب. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) 144 x 2 & # 8722 49 y 2 & # 10003 144 x 2 & # 8722 49 y 2 هل هذا فرق في المربعات؟ نعم فعلا. (12 x) 2 & # 8722 (7 y) 2 عامل كعامل حاصل ضرب الاتحادات. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) تحقق من خلال الضرب. (12 x & # 8722 7 y) (12 x + 7 y) 144 x 2 & # 8722 49 y 2 & # 10003

كما هو الحال دائمًا ، يجب أن تبحث عن العامل المشترك أولاً عندما يكون لديك تعبير لتحليله. في بعض الأحيان ، قد يؤدي العامل المشترك & # 8220disguise & # 8221 إلى اختلاف المربعات وربحت & # 8217t تتعرف على المربعات المثالية حتى تقوم بتحليل العامل المشترك الأكبر.

أيضًا ، لتحليل ذات الحدين بالكامل في المثال التالي ، فإننا نحلل فرقًا في المربعات مرتين!

العامل: 48 x 4 y 2 & # 8722243 y 2. 48 × 4 ص 2 & # 8722243 ص 2.

48 x 4 y 2 & # 8722243 y 2 هل يوجد GCF؟ نعم ، 3 سنوات 2 & # 8212 عامل بها! 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) هل ذات الحدين فرق في المربعات؟ نعم فعلا. 3 y 2 ((4 x 2) 2 & # 8722 (9) 2) العامل كمنتج من الاتحادات. 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) لاحظ أن الحدين الأول هو أيضًا اختلاف في المربعات! 3 y 2 ((2 x) 2 & # 8722 (3) 2) (4 x 2 + 9) عامله على أنه حاصل ضرب الاتحادات. 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9) 48 x 4 y 2 & # 8722243 y 2 هل يوجد إطار عمل عالمي؟ نعم ، 3 سنوات 2 & # 8212 عامل بها! 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) هل ذات الحدين فرق في المربعات؟ نعم فعلا. 3 y 2 ((4 x 2) 2 & # 8722 (9) 2) العامل كمنتج من الاتحادات. 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) لاحظ أن الحدين الأول هو أيضًا اختلاف في المربعات! 3 y 2 ((2 x) 2 & # 8722 (3) 2) (4 x 2 + 9) عامله على أنه حاصل ضرب الاتحادات. 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9)

لا يمكن تحليل العامل الأخير ، وهو مجموع المربعات.

تحقق بضرب: 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) 48 x 4 y 2 & # 8722243 y 2 & # 10003 تحقق بضرب: 3 y 2 (2 x & # 8722 3) (2 x + 3) (4 x 2 + 9 ) 3 y 2 (4 x 2 & # 8722 9) (4 x 2 + 9) 3 y 2 (16 x 4 & # 8722 81) 48 x 4 y 2 & # 8722243 y 2 & # 10003

العامل: 7 a 4 c 2 & # 8722 7 b 4 c 2. 7 أ 4 ج 2 & # 8722 7 ب 4 ج 2.

المثال التالي له كثير حدود بأربعة حدود. حتى الآن ، عندما حدث هذا ، قمنا بتجميع المصطلحات في اثنتين وتم تحليلها من هناك. هنا نلاحظ أن الحدود الثلاثة الأولى تشكل مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود.

لاحظ أن أول ثلاثة حدود تشكل مربعًا كاملًا ثلاثي الحدود.

حلل من خلال تجميع الحدود الثلاثة الأولى.
استخدم النمط ثلاثي الحدود المربع المثالي. & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195 & # 8195
هل هذا اختلاف في المربعات؟ نعم فعلا.
نعم & # 8212 اكتبهم في شكل مربعات.
عامل باعتباره حاصل ضرب الاتحادات.

قد ترغب في إعادة كتابة الحل كـ (x & # 8722 y & # 8722 3) (x + y & # 8722 3). (x & # 8722 y & # 8722 3) (x + y & # 8722 3).

العامل: x 2 + 6 x + 9 & # 8722 4 y 2. س 2 + 6 س + 9 & # 8722 4 ص 2.

عوامل المجاميع والاختلافات بين المكعبات

هناك نمط خاص آخر للتحليل ، وهو نمط لم نستخدمه عند ضرب كثيرات الحدود. هذا هو نمط مجموع المكعبات وفرقها. سنكتب هذه الصيغ أولاً ثم نتحقق منها بالضرب.

سوف نتحقق من النمط الأول ونترك الثاني لك.

نشر.
تتضاعف.
اجمع بين الشروط المتشابهة.

يبدو النموذجان متشابهين جدًا ، أليس كذلك؟ لكن لاحظ العلامات في العوامل. تتطابق علامة العامل ذي الحدين مع الإشارة الموجودة في القيمة الأصلية ذات الحدين. وعلامة الحد الأوسط للعامل ثلاثي الحدود هي عكس العلامة في الأصل ذي الحدين. إذا تعرفت على نمط العلامات ، فقد يساعدك ذلك في حفظ الأنماط.

لا يمكن تحليل العامل ثلاثي الحدود في مجموع نمط المكعبات واختلافه.

سيكون مفيدًا جدًا إذا تعلمت التعرف على مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 ، تمامًا كما تعلمت التعرف على المربعات. لقد قمنا بإدراج مكعبات الأعداد الصحيحة من 1 إلى 10 في [رابط].