مقالات

6.4: الإستراتيجية العامة لعوملة كثيرات الحدود - الرياضيات


أهداف التعلم

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • تعرف على الطريقة المناسبة واستخدمها لتحليل كثير الحدود بشكل كامل

التعرف على واستخدام الطريقة المناسبة لعامل كثير الحدود بالكامل

لقد أصبحت الآن على دراية بجميع طرق العوملة التي ستحتاجها في هذه الدورة. يلخص الرسم البياني التالي جميع طرق العوملة التي غطيناها ، ويحدد استراتيجية يجب عليك استخدامها عند تحليل كثير الحدود إلى عوامل.

الإستراتيجية العامة لعامل العوامل المتعددة

استخدم إستراتيجية عامة لتكوين العوامل المتعددة الأبعاد.

  1. هل هناك أكبر عامل مشترك؟
    حللها.
  2. هل كثير الحدود ذو الحدين أم ثلاثي الحدود أم أن هناك أكثر من ثلاثة حدود؟
    إذا كانت ذات حدين:
    • هل هو مبلغ؟
      من الساحات؟ مجاميع المربعات لا تحسب.
      من المكعبات؟ استخدم مجموع نمط المكعبات.
    • هل هو اختلاف؟
      من الساحات؟ عامل باعتباره حاصل ضرب الاتحادات.
      من المكعبات؟ استخدم نمط اختلاف المكعبات.
    إذا كانت ثلاثية:
    • هل هي من الشكل (x ^ 2 + bx + c )؟ تراجع عن احباط.
    • هل هي من الشكل (ax ^ 2 + bx + c )؟
      لو أ و ج مربعات ، تحقق مما إذا كانت تناسب نمط المربع ثلاثي الحدود.
      استخدم طريقة التجربة والخطأ أو طريقة " (ac )".
    إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة فصول:
    • استخدم طريقة التجميع.
  3. التحقق من.
    هل تم تحليلها بشكل كامل؟
    هل تتضاعف العوامل مرة أخرى إلى كثير الحدود الأصلي؟

تذكر أنه يتم تحليل كثير الحدود تمامًا إذا كانت عواملها ، بخلاف أحادية الحدود رئيس!

مثال ( PageIndex {1} )

حلل العوامل تمامًا: (7x ^ 3−21x ^ 2−70x ).

المحلول

( begin {array} {ll} {7x ^ 3−21x ^ 2−70x} & text {هل هناك GCF؟ نعم ،} 7x. & text {Factor out the GCF.} & 7x (x ^ 2−3x − 10) text {بين الأقواس ، هل هو ذو الحدين ، ثلاثي الحدود ،} & text {أم أن هناك المزيد من المصطلحات؟} & text {ثلاثي الحدود مع معامل بادئة 1 .} & text {"تراجع" FOIL.} & 7x (x hspace {8mm}) (x hspace {8mm}) & 7x (x + 2) (x − 5) text {Is تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم.} & text {لا يمكن تحليل أي من الحدين.} & text {تحقق من إجابتك.} & text {Multiply.} & & & hspace {15mm} 7x (x + 2) (x − 5) & hspace {10mm} 7x (x ^ 2−5x + 2x − 10) & hspace {15mm} 7x (x ^ 2− 3x − 10) & hspace {13mm} 7x ^ 3−21x ^ 2−70x checkmark & ​​ end {array} )

جربه ( PageIndex {1} )

حلل العوامل تمامًا: (8y ^ 3 + 16y ^ 2−24y ).

إجابه

(8 سنوات (ص − 1) (ص + 3) )

جربه ( PageIndex {2} )

حلل العوامل تمامًا: (5y ^ 3−15y ^ 2−270y ).

إجابه

(5 س (ص − 9) (ص + 6) )

كن حذرًا عندما يُطلب منك تحليل ذات الحدين نظرًا لوجود العديد من الخيارات!

مثال ( PageIndex {2} )

حلل إلى عوامل تمامًا: (24y ^ 2−150 )

المحلول

( start {array} {ll} & 24y ^ 2−150 text {Is there a GCF؟ Yes،} 6. & text {Factor out the GCF.} & 6 (4y ^ 2−25) text {بين الأقواس ، هل هو ذو الحدين ، ثلاثي الحدين} & text {أم أن هناك أكثر من ثلاثة مصطلحات؟ ذات الحدين.} & text {Is it a sum؟ No.} & text {هل هو فرق؟ عن مربعات أم مكعبات؟ نعم ، مربعات.} & 6 ((2y) ^ 2− (5) ^ 2) text {اكتب كمنتج من الاتحادات.} & 6 (2y − 5 ) (2y + 5) & & hspace {5mm} text {هل تم تحليل التعبير بالكامل؟} & hspace {5mm} text {لا يمكن تحليل أي من الحدين إلى عوامل.} & text {Check:} & & & hspace {5mm} text {Multiply.} & & hspace {15mm} 6 (2y − 5) (2y + 5) & & hspace {18mm} 6 (4y ^ 2−25) & hspace {18mm} 24y ^ 2−150 checkmark end {array} )

جربه ( PageIndex {3} )

حلل العوامل تمامًا: (16x ^ 3−36x ).

إجابه

(4x (2x − 3) (2x + 3) )

جرب ذلك ( PageIndex {4} )

حلل العوامل تمامًا: (27y ^ 2−48 ).

إجابه

(3 (3y − 4) (3y + 4) )

يمكن تحليل المثال التالي باستخدام عدة طرق. التعرف على نمط المربعات ثلاثية الحدود سيجعل عملك أسهل.

مثال ( PageIndex {3} )

حلل العوامل تمامًا: (4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 ).

المحلول

( start {array} {ll} & 4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 text {Is there a GCF؟ No.} & text {هل هو ذو الحدين أم ثلاثي الحدود أم أن هناك المزيد من المصطلحات ؟} & text {ثلاثي الحدود مع} a neq 1. text {لكن المصطلح الأول هو مربع كامل.} text {هل المصطلح الأخير مربع كامل؟ نعم.} & (2a) ^ 2−12ab + (3b) ^ 2 text {هل يناسب النمط ،} a ^ 2−2ab + b ^ 2؟ text {Yes.} & (2a) ^ 2 −12ab + (3b) ^ 2 & hspace {7mm} {،} ^ { searrow} {،} _ {- 2 (2a) (3b)} {،} ^ { swarrow} text {اكتبها كمربع .} & (2a − 3b) ^ 2 & & quad text {هل تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم.} & quad text {لا يمكن تحليل الحدين إلى عوامل.} & text {تحقق من إجابتك.} & & quad text {Multiply.} & hspace {30mm} (2a − 3b) ^ 2 hspace {20mm} (2a) ^ 2−2 · 2a · 3b + (3b) ^ 2 hspace {24mm} 4a ^ 2−12ab + 9b ^ 2 checkmark & ​​ end {array} )

جرب ذلك ( PageIndex {5} )

حلل العوامل تمامًا: (4x ^ 2 + 20xy + 25y ^ 2 ).

إجابه

((2 س + 5 ص) ^ 2 )

جربه ( PageIndex {6} )

عامل بشكل كامل: (9x ^ 2−24xy + 16y ^ 2 ).

إجابه

((3x − 4y) ^ 2 )

تذكر أن مجاميع المربعات لا تحسب ، لكن مجموع المكعبات هو الحل!

مثال ( PageIndex {4} )

حلل إلى عوامل تمامًا (12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 ).

المحلول

( begin {array} {ll} & 12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 text {هل هناك GCF؟ نعم ،} 3xy ^ 2. & text {Factor out the GCF.} & 3xy ^ 2 (4x ^ 2 + 25) text {بين قوسين ، هل هو ذو الحدين أم ثلاثي الحدود أم هل} & text {هناك أكثر من ثلاثة مصطلحات؟ ذات الحدين.} & & text {هل هو مجموع؟ من المربعات؟ نعم.} & نص {مجموع المربعات أولية.} & & quad text {هل تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم.} & text {Check:} & & & quad text {Multiply.} & hspace {15mm} 3xy ^ 2 (4x ^ 2 + 25) & hspace {14mm} 12x ^ 3y ^ 2 + 75xy ^ 2 checkmark end {array} )

جربه ( PageIndex {7} )

عامل بشكل كامل: (50x ^ 3y + 72xy ).

إجابه

(2xy (25x ^ 2 + 36) )

جرب ذلك ( PageIndex {8} )

حلل العوامل تمامًا: (27xy ^ 3 + 48xy ).

إجابه

(3 س (9 س ^ 2 + 16) )

عند استخدام مجموع أو اختلاف نمط المكعبات ، كن حذرًا مع العلامات.

مثال ( PageIndex {5} )

حلل العوامل تمامًا: (24x ^ 3 + 81y ^ 3 ).

المحلول

هل يوجد GCF؟ نعم: 3.
حللها.
بين قوسين ، هل هو ذو الحدين ، ثلاثي الحدود ،
من هل هناك أكثر من ثلاثة فصول؟ ذات الحدين.
هل هو مجموع أم فرق؟ مجموع.
من المربعات أم المكعبات؟ مجموع المكعبات.
اكتبه باستخدام نموذج مجموع المكعبات.
هل تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم فعلا.
تحقق من خلال الضرب.

جربه ( PageIndex {9} )

حلل العوامل تمامًا: (250m ^ 3 + 432n ^ 3 ).

إجابه

(2 (5 م + 6 ن) (25 م ^ 2−30 مليون + 36 ن ^ 2) )

جرب ذلك ( PageIndex {10} )

حلل العوامل تمامًا: (2p ^ 3 + 54q ^ 3 ).

إجابه

(2 (ف + 3 س) (ص ^ 2−3pq + 9q ^ 2) )

مثال ( PageIndex {6} )

حلل العوامل تمامًا: (3x ^ 5y − 48xy ).

المحلول

( start {array} {ll} & 3x ^ 5y − 48xy text {Is there a GCF؟ Factor out} 3xy & 3xy (x ^ 4−16) begin {array} {l} text { هل ذات الحدين مجموع أم فرق؟ من مربعات أم مكعبات؟} text {اكتبها كفرق بين المربعات.} end {array} & 3xy left ((x ^ 2) ^ 2− (4) 2 right) text {عامله كمنتج من الاتحادات} & 3xy (x ^ 2−4) (x ^ 2 + 4) text {أول ذي الحدين هو مرة أخرى اختلاف في المربعات.} & 3xy left ( (x) ^ 2− (2) ^ 2 right) (x ^ 2 + 4) text {عامله كمنتج من الاتحادات.} & 3 xy (x − 2) (x + 2) (x ^ 2 +4) text {هل تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم.} & text {تحقق من إجابتك.} & text {Multiply.} & 3xy (x − 2) (x + 2 ) (x ^ 2 + 4) & 3xy (x ^ 2−4) (x ^ 2 + 4) & 3xy (x ^ 4−16) & 3x ^ 5y − 48xy checkmark & ​​ end {مجموعة مصفوفة})

جرب ذلك ( PageIndex {11} )

حلل العوامل تمامًا: (4a ^ 5b − 64ab ).

إجابه

(4 أب (أ ^ 2 + 4) (أ − 2) (أ + 2) )

جرب ذلك ( PageIndex {12} )

عامل بشكل كامل: (7xy ^ 5−7xy ).

إجابه

(7 س ص (ص ^ 2 + 1) (ص − 1) (ص + 1) )

مثال ( PageIndex {7} )

حلل العوامل تمامًا: (4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab ).

المحلول

( start {array} {ll} & 4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab text {هل هناك GCF؟ حلل العامل GCF،} 4. & 4 (x ^ 2 + 2bx − ax − 2ab) نص {هناك أربعة مصطلحات. استخدم التجميع.} & 4 [x (x + 2b) −a (x + 2b)] 4 (x + 2b) (x − a) text {هل تم تحليل التعبير بالكامل ؟ نعم.} & text {تحقق من إجابتك.} & text {Multiply.} & hspace {25mm} 4 (x + 2b) (x − a) & hspace {20mm } 4 (x ^ 2 − ax + 2bx − 2ab) & hspace {20mm} 4x ^ 2 + 8bx − 4ax − 8ab checkmark end {array} )

جرب ذلك ( PageIndex {13} )

حلل العوامل تمامًا: (6x ^ 2−12xc + 6bx − 12bc ).

إجابه

(6 (س + ب) (س − 2 ج) )

جرب ذلك ( PageIndex {14} )

حلل العوامل تمامًا: (16x ^ 2 + 24xy − 4x − 6y ).

إجابه

(2 (4x − 1) (2x + 3y) )

إن إخراج GCF الكامل في الخطوة الأولى سيجعل عملك أسهل دائمًا.

مثال ( PageIndex {8} )

حلل العوامل تمامًا: (40x ^ 2y + 44xy − 24y ).

المحلول

( start {array} {ll} & 40x ^ 2y + 44xy − 24y text {هل هناك GCF؟ حلل العامل GCF ،} 4y. & 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) text { حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل مع} a neq 1. & 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) & 4y (5x − 2) (2x + 3) text {هل تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم.} & text {تحقق من إجابتك.} & text {Multiply.} & hspace {25mm} 4y (5x − 2) (2x + 3) & hspace {24mm} 4y (10x ^ 2 + 11x − 6) & hspace {22mm} 40x ^ 2y + 44xy − 24y checkmark end {array} )

جرب ذلك ( PageIndex {15} )

عامل بشكل كامل: (4p ^ 2q − 16pq + 12q ).

إجابه

(4 ف (ف − 3) (ص 1) )

جربه ( PageIndex {16} )

حلل العوامل تمامًا: (6pq ^ 2−9pq − 6p ).

إجابه

(3p (2q + 1) (ف 2) )

عندما حللنا كثيرة الحدود إلى عوامل بأربعة حدود ، فغالبًا ما فصلناها إلى مجموعتين من حدين. تذكر أنه يمكننا أيضًا فصلها إلى ثلاثية ثم حد واحد.

مثال ( PageIndex {9} )

حلل العوامل تمامًا: (9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 ).

المحلول

( start {array} {ll} & 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 text {Is there a GCF؟ No.} & begin {array} {l} text {مع المزيد من 3 مصطلحات ، استخدم التجميع. المصطلحان الأخيران} text {ليس لهما GCF. حاول تجميع أول 3 مصطلحات.} end {array} & 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 start {array} {l} text {عامل ثلاثي الحدود مع} a neq 1. text {لكن المصطلح الأول هو a} text {perfect square.} end {array} & text {هل المصطلح الأخير من ثلاثي الحدود مربع كامل؟ نعم.} & (3x) ^ 2−12xy + (2y) ^ 2−49 text {هل تتناسب الثلاثية مع النمط ،} a ^ 2−2ab + b ^ 2؟ text {نعم.} & (3x) ^ 2 −12xy + (2y) ^ 2−49 & hspace {7mm} {،} ^ { searrow} {،} _ {- 2 (3x) (2y) )} {،} ^ { swarrow} text {اكتب ثلاثي الحدود كمربع.} & (3x − 2y) ^ 2−49 begin {array} {ll} text {هل هذه ذات الحدين مبلغ أم فرق؟ من المربعات أم} نص {مكعبات؟ اكتبها على شكل فرق بين المربعات.} end {array} & (3x − 2y) ^ 2−72 text {اكتبها كمنتج من الاتحادات.} & ((3x − 2y) −7) (( 3x − 2y) +7) & (3x − 2y − 7) (3x − 2y + 7) text {هل تم تحليل التعبير بالكامل؟ نعم.} & text {تحقق من إجابتك.} & text {Multiply.} & hspace {23mm} (3x − 2y − 7) (3x − 2y + 7) & hspace {10mm} 9x ^ 2−6xy − 21x − 6xy + 4y ^ 2 + 14y + 21x − 14y − 49 qquad & hspace {25mm} 9x ^ 2−12xy + 4y ^ 2−49 checkmark & ​​ end {مجموعة مصفوفة})

جربه ( PageIndex {17} )

حلل العوامل تمامًا: (4x ^ 2−12xy + 9y ^ 2−25 ).

إجابه

((2x − 3y − 5) (2x − 3y + 5) )

جرب ذلك ( PageIndex {18} )

عامل بشكل كامل: (16x ^ 2−24xy + 9y ^ 2−64 ).

إجابه

((4x − 3y − 8) (4x − 3y + 8) )

المفاهيم الرئيسية

  • كيفية استخدام استراتيجية عامة لتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل.
    1. هل هناك أكبر عامل مشترك؟
      حللها.
    2. هل كثير الحدود ذو الحدين أم ثلاثي الحدود أم أن هناك أكثر من ثلاثة حدود؟
      إذا كانت ذات حدين:
      هل هو مبلغ؟
      من الساحات؟ مجاميع المربعات لا تحسب.
      من المكعبات؟ استخدم مجموع نمط المكعبات.
      هل هو اختلاف؟
      من الساحات؟ عامل باعتباره حاصل ضرب الاتحادات.
      من المكعبات؟ استخدم نمط اختلاف المكعبات.
      إذا كانت ثلاثية:
      هل هي من الشكل (x ^ 2 + bx + c )؟ تراجع عن احباط.
      هل هي من الشكل (ax ^ 2 + bx + c )؟
      لو أ و ج مربعات ، تحقق مما إذا كانت تناسب نمط المربع ثلاثي الحدود.
      استخدم طريقة التجربة والخطأ أو طريقة " (ac )".
      إذا كان يحتوي على أكثر من ثلاثة فصول:
      استخدم طريقة التجميع.
    3. التحقق من.
      هل تم تحليلها بشكل كامل؟
      هل تتضاعف العوامل مرة أخرى إلى كثير الحدود الأصلي؟


شاهد الفيديو: عروس مرتبكة من افعال زوجها المحرجة لها اثناء التصوير (شهر اكتوبر 2021).