مقالات

9.5 هـ: تمارين - رياضيات


مع التدريب يأتي الإتقان

تمرين ( PageIndex {15} ) حل التطبيقات التي تم تشكيلها باستخدام المعادلات التربيعية

في التدريبات التالية ، حل باستخدام أي طريقة.

  1. حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو (255 ). أوجد الأرقام.
  2. حاصل ضرب عددين زوجيين متتاليين هو (360 ). أوجد الأرقام.
  3. حاصل ضرب عددين زوجيين متتاليين هو (624 ). أوجد الأرقام.
  4. حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو (1،023 ). أوجد الأرقام.
  5. حاصل ضرب عددين فرديين متتاليين هو (483 ). أوجد الأرقام.
  6. حاصل ضرب عددين زوجيين متتاليين هو (528 ). أوجد الأرقام.
إجابه

1. رقمان فرديان متتاليان يكون حاصل ضربهما (15 ) و (17 ) و (- 15 ) و (- 17 ).

3. الرقمان الفرديان الأول والثاني على التوالي هما (24 ) و (26 ) و (- 26 ) و (- 24 ).

5. رقمان فرديان متتاليان يكون ناتجهما (483 ) هما (21 ) و (23 ) و (- 21 ) و (- 23 ).

تمرين ( PageIndex {16} ) حل التطبيقات التي تم تشكيلها باستخدام المعادلات التربيعية

في التدريبات التالية ، حل باستخدام أي طريقة. قرب إجابتك لأقرب جزء من عشرة ، إذا لزم الأمر.

  1. المثلث الذي تبلغ مساحته (45 ) بوصة مربعة ارتفاعه أقل من أربعة أضعاف القاعدة أوجد قاعدة المثلث وارتفاعه.
  2. قاعدة المثلث هي ستة أكثر من ضعف الارتفاع. مساحة المثلث (88 ) ياردة مربعة. أوجد قاعدة المثلث وارتفاعه.
  3. تبلغ مساحة فراش الزهرة المثلث بالحديقة مساحة (120 ) قدم مربع. القاعدة (4 ) أقدام أطول من ضعف الارتفاع. ما هي قاعدة المثلث وارتفاعه؟
  4. لافتة مثلثة لبطولة كرة السلة معلقة في صالة الألعاب الرياضية. تبلغ مساحتها (75 ) قدم مربع. ما طول القاعدة والارتفاع إذا كانت القاعدة ثلثي الارتفاع؟
  5. يبلغ طول الممر المستطيل خمسة أقدام أكثر من ثلاثة أضعاف العرض. المساحة (50 ) قدم مربع. أوجد طول وعرض الممر.
  6. عشب مستطيل مساحته (140 ) ياردة مربعة. طوله ستة ياردات أقل من ضعف عرضه. ما هو طول وعرض العشب؟
  7. طاولة غرفة الطعام مستطيلة الشكل وتبلغ مساحة سطحها (24 ) قدم مربع. الطول قدمين أكثر من ضعف عرض الطاولة. أوجد طول وعرض الجدول.
  8. تبلغ مساحة سطح الكمبيوتر الجديد (168 ) بوصة مربعة. إذا كان العرض أقل من الطول بـ (5.5 ) فما هي أبعاد الكمبيوتر؟
  9. وتر المثلث القائم الزاوية يساوي ضعف طول إحدى رجليه. طول الساق الأخرى ثلاثة أقدام. أوجد أطوال أضلاع المثلث الثلاثة.
  10. طول وتر المثلث القائم هو (10 ​​) سم. يبلغ طول أحد أرجل المثلث ثلاثة أضعاف طول الساق الأخرى. جولة إلى أقرب عشر. أوجد أطوال أضلاع المثلث الثلاثة.
  11. سيتم تقسيم الحديقة المستطيلة إلى قطعتين عن طريق تسييجها على شكل قطري. المسافة القطرية من أحد أركان الحديقة إلى الزاوية المقابلة أطول بخمس ياردات من عرض الحديقة. طول الحديقة ثلاثة أضعاف العرض. أوجد طول قطر الحديقة.

12. تستخدم الأعلام البحرية لتمثيل الحروف الأبجدية. يتكون علم الحرف O من مثلث قائم الزاوية أصفر ومثلث قائم الزاوية أحمر مخيطان معًا على طول الوتر لتشكيل مربع. طول وتر المثلثين أطول بثلاث بوصات من جانب العلم. أوجد طول ضلع العلم.

13. جيري يخطط لوضع سلم قدم على جانب منزله لتنظيف المزاريب. سيكون قاع السلم على بعد (5 ) أقدام من المنزل ، فكيف يصل السلم إلى أعلى الجانب؟

14. جون لديه قطعة حبل (10 ​​) - قدم يريد استخدامها لدعم شجرة قدمه (8 ). إلى أي مدى يجب أن يثبت الحبل من قاعدة الشجرة؟

15. يطلق صاروخ الألعاب النارية لأعلى بمعدل (640 ) قدم / ثانية. استخدم صيغة المقذوف (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) لتحديد متى سيكون ارتفاع صاروخ الألعاب النارية (1200 ) قدم.

16. يتم إطلاق سهم رأسيًا لأعلى بمعدل (220 ) قدمًا في الثانية. استخدم صيغة المقذوف (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t ) ، لتحديد متى سيكون ارتفاع السهم (400 ) قدم.

17. يتم إطلاق رصاصة بشكل مستقيم من مسدس BB بسرعة ابتدائية (1120 ) قدم في الثانية على ارتفاع ابتدائي (8 ) أقدام. استخدم الصيغة (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t + 8 ) لتحديد عدد الثواني التي ستستغرقها الرصاصة لتصل إلى الأرض. (أي ، متى (ح = 0 )؟)

18. إسقاط حجر من منصة قدم. استخدم الصيغة (h = -16 t ^ {2} + v_ {0} t + 196 ) لتحديد عدد الثواني التي سيستغرقها الحجر ليصطدم بالأرض. (منذ سقوط الحجر ، (v_ {0} = 0 ).)

19. استقل رجل الأعمال طائرة صغيرة في رحلة سريعة عبر الساحل لحضور اجتماع غداء ثم عاد إلى منزله. طارت الطائرة ما مجموعه (4 ) ساعات وكانت الرحلة في كل اتجاه (200 ) ميل. ما هي سرعة الرياح التي أثرت على الطائرة التي كانت تطير بسرعة (120 ) ميل في الساعة؟

20. استقل الزوجان طائرة صغيرة في رحلة سريعة إلى بلد النبيذ لتناول عشاء رومانسي ثم عادوا إلى المنزل. طارت الطائرة ما مجموعه (5 ) ساعات وكانت الرحلة (300 ) ميل في كل اتجاه. إذا كانت الطائرة تحلق بسرعة (125 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة الرياح التي أثرت على الطائرة؟

21. قام روي بركوب قوارب الكاياك في النهر ثم العودة في وقت إجمالي قدره (6 ) ساعات. كانت الرحلة (4 ) أميال في كل اتجاه وكان التيار صعبًا. إذا كان روي ينطلق بسرعة (5 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة التيار؟

22. تجدف ريك فوق النهر ، وقضى الليل في التخييم ، ثم عاد. أمضى (10 ​​) ساعات في التجديف وكانت المخيم على بعد (24 ) ميلاً. إذا كان ريك ينطلق بسرعة (5 ) ميل في الساعة ، فما هي سرعة التيار؟

23. يمكن لاثنين من الرسامين طلاء غرفة في (2 ) ساعة إذا كانا يعملان معًا. يستغرق الرسام الأقل خبرة (3 ) ساعات أكثر من الرسام الأكثر خبرة لإنهاء المهمة. كم من الوقت يستغرق كل رسام لطلاء الغرفة على حدة؟

24. يمكن لاثنين من البستانيين القيام بأعمال الصيانة الأسبوعية للفناء خلال (8 ) دقائق إذا كانا يعملان معًا. يستغرق البستاني الأكبر سنًا (12 ) دقيقة أكثر من البستاني الأصغر لإنهاء المهمة بنفسه. كم من الوقت يستغرق كل بستاني للقيام بصيانة الساحة الأسبوعية بشكل فردي؟

25. يستغرق تصنيع ماكينتين (10000 ) ساعتين. إذا كان بإمكان الجهاز رقم 1 القيام بالمهمة بمفرده في ساعة واحدة أقل من قيام الجهاز رقم 2 بالمهمة ، فكم من الوقت يستغرق كل جهاز لتصنيع (10000 ) جزء بمفرده؟

26. سولي يقيم حفلة ويريد أن يملأ حمام السباحة الخاص به. إذا كان يستخدم خرطومه فقط ، فسيستغرق الأمر (2 ) ساعة أكثر مما لو استخدم خرطوم جاره فقط. إذا كان يستخدم كلا الخرطومين معًا ، يمتلئ حمام السباحة خلال (4 ) ساعات. كم من الوقت يستغرق كل خرطوم لملء حوض السباحة؟

إجابه

1. عرض المثلث (5 ) بوصة والارتفاع (18 ) بوصة.

3. القاعدة (24 ) قدم وارتفاع المثلث (10 ​​) قدم.

5. طول الممر (15.0 ) قدم والعرض (3.3 ) قدم.

7. طول الجدول (8 ) قدم والعرض (3 ) قدم.

9. طول ساقي المثلث الأيمن (3.2 ) و (9.6 ) سم.

11. طول السياج القطري (7.3 ) ياردة.

13. سيصل السلم إلى (24.5 ) قدمًا على جانب المنزل.

15. سيصل السهم إلى (400 ) قدم في طريقه للأعلى في (2.8 ) ثانية وفي طريقه إلى الأسفل خلال (11 ) ثانية.

17. ستستغرق الرصاصة (70 ) ثانية لتصل إلى الأرض.

19. كانت سرعة الرياح (49 ) ميل في الساعة.

21. كانت سرعة التيار (4.3 ) ميل في الساعة.

23. الرسام الأقل خبرة يستغرق (6 ) ساعات والرسام ذو الخبرة يستغرق (3 ) ساعات للقيام بالمهمة بمفرده.

25. تستغرق الآلة رقم 1 (3.6 ) ساعة والآلة رقم 2 تستغرق (4.6 ) ساعات للقيام بالمهمة بمفردها.

تمرن على ( PageIndex {17} ) تدريبات على الكتابة

  1. كوِّن مشكلة تتضمن حاصل ضرب عددين صحيحين فرديين متتاليين.
    1. ابدأ باختيار رقمين صحيحين فرديين متتاليين. ما هي الأعداد الصحيحة الخاصة بك؟
    2. ما هو ناتج الأعداد الصحيحة الخاصة بك؟
    3. حل المعادلة (n (n + 2) = p ) ، حيث (p ) هو المنتج الذي وجدته في الجزء (ب).
    4. هل حصلت على الأرقام التي بدأت بها؟
  2. اصنع مشكلة تتضمن حاصل ضرب عددين زوجيين متتاليين.
    1. ابدأ باختيار رقمين صحيحين زوجي متتاليين. ما هي الأعداد الصحيحة الخاصة بك؟
    2. ما هو ناتج الأعداد الصحيحة الخاصة بك؟
    3. حل المعادلة (n (n + 2) = p ) ، حيث (p ) هو المنتج الذي وجدته في الجزء (ب).
    4. هل حصلت على الأرقام التي بدأت بها؟
إجابه

1. الإجابات سوف تختلف.

الاختيار الذاتي

أ. بعد الانتهاء من التدريبات ، استخدم قائمة التحقق هذه لتقييم مدى إتقانك لأهداف هذا القسم.

ب. بعد الاطلاع على قائمة المراجعة ، هل تعتقد أنك مستعد جيدًا للقسم التالي؟ لما و لما لا؟


5e [سؤال] ما هو المستوى 9 و 10 و 11 الذي يبني لك & # x27ve أكثر متعة؟

قصة طويلة قصيرة وخالية من المفسد ، أنا & # x27m ألعب Tomb of Anniliation مع مجموعتي.

لقد فقدت & # x27 15 حرفًا في الفصل الأخير من الكتاب و (في الغالب) هراء زملائي من أعضاء الحزب في الجلسات الست الأخيرة. & # x27m لدرجة أنني لا أهتم حتى بالقصص الخلفية لأن شخصياتي لن تعيش طويلا بما فيه الكفاية.

كجزء من هذا ، أبرمني DM الخاص بي صفقة يمكنني من خلالها إعادة شخصيتي الأولى بعد أن انتهينا من الوحدة وانتقلنا إلى حملته المحلية للمستويات 11.5-20.

أنا & # x27m أبحث عن أفكار حول الفصول الممتعة / الفصول المتعددة للعب للمستويات 9 و 10 و 11. أنا & # x27 م على افتراض أنني أفقد المزيد من الشخصيات لأن حزبي مصنوع في الغالب من أشخاص محبوبين يتسببون في قتلي.

أنا & # x27m أستمتع ، كل جلسة رائعة لسبب أو لآخر ، لكنني & # x27m فقط من الأفكار الجديدة التي يجب تجربتها ويبدو كل شيء غير ممتع أو قديم. شخصيتي للجلسة القادمة هي آخر مرة تم إعدادها أنا & # x27ve.

حصل Horizon Walker Ranger أخيرًا على إمكانية الوصول إلى بعض قدرات النقل الآني الأكثر متعة والأدوات السحرية ذات المستوى الأعلى (خاصة تعويذة Haste من الفئة الفرعية نفسها.) يسمح لك الفصل بالبدء في النقل الآني 10 أقدام قبل كل هجوم ويمنحك هجومًا إضافيًا إذا استهدفت شخصيتين بحركتك الهجومية. يبدو أن معظم الناس يعتقدون أن Horizon Walker يعمل بشكل أفضل كشخصية متراصة قائمة على Dex ، لكنني أردت دائمًا أن ألعبها كمحارب dex melee ، يتجول في ساحة المعركة.

بعد المستوى 11 ، لديك معظم الميزات التي قد ترغب في الخروج منها في البداية في المستوى 11 ، فربما ترغب في الوصول إلى 15-17 Ranger في النهاية للتعاويذ والميزة النهائية لـ Horizon Walker (أيضًا لأن المستويات العالية (18 -20) من الحارس غاربو) ، لكنني سأترك ذلك حتى نهاية التسوية. أود أن آخذ 3 مستويات من Swashbuckler Rogue ، للهجوم المتسلل للاشتباك بالإضافة إلى الإنجاز الجزئي للهاتف المحمول (يكون إجراء المكافأة الماكرة أقل فائدة لأنك ستستخدم حركات المكافآت الخاصة بك كثيرًا كحارس للتعاويذ ولميزة Horizon Walker الخاصة بك لمزيد من الضرر) ، 3 من الكشافة إذا كنت تريد نوعًا أكثر متتبعًا من الشخصيات (مع هجوم التسلل) أو 3 مستويات من المقاتل مع اختيارك للفئة الفرعية.

شخصيًا ، أود أن أميل نحو Fighter لهذا النوع من البناء ، فستحصل على مزيد من التنوع في الميزات (للسماح لك بالتناسب مع النطاق و / أو المشاجرة) بالإضافة إلى زيادة الحركة ، والتي تتيح لك استخدام الضربات البعيدة مرة أخرى (إذا كنت اختر المشاجرة ، أعتقد أن العمل الفذ للجوال لـ Ranger / Fighter لا يقدر بثمن لفك الارتباط وكذلك السرعة الزائدة للدخول والخروج). تعتبر لعبة Battlemaster Fighter (مع Martial Adept الفذ) رائعة لكل من Horizon Walkers بعيدة المدى والمشاجرة ، مما يسمح لك بالتصدي / الهجوم الدقيق / الدفع / الرحلة وأكثر من ذلك ، وهي تستخدم DEX الخاص بك باعتباره حفظ DC Arcane Archer رائع ولكنك & # x27ll لديك استخدامات أقل بالإضافة إلى وحدات تحكم المجال التي تم إنشاؤها من INT بدلاً من Dex / Wis ، أو Champion فقط لمزيد من الهجمات على جميع هجمات الأسلحة الخاصة بك.

TLDR: اقتراحي هو 11 Horizon Walker Ranger مع المستويات الثلاثة التالية في Fighter (أو 4 لـ ASI إذا كنت بخير في الخسارة في نوبات المستوى الخامس) متبوعًا بإنهاء Ranger


9.5 هـ: تمارين - رياضيات

تحتوي MathSchoolinternational على 5000+ من كتب PDF المجانية للرياضيات وكتب PDF مجانية للفيزياء. التي تغطي جميع الموضوعات تقريبًا لطلاب الرياضيات والفيزياء والهندسة. فيما يلي قائمة شاملة بالكتب الإلكترونية للرياضيات الهندسية. نأمل من الطلاب والمعلمين الإعجاب بهذه الكتب المدرسية والملاحظات وأدلة الحلول.

نحن بحاجة إلى دعمكم ، يرجى مشاركة صفحة الويب هذه مع الأصدقاء الآخرين

تهانينا ، الرابط متاح للتنزيل المجاني.

كيفية تنزيل كتاب ؟،. تحتاج مساعدة؟

الرياضيات الهندسية العليا (5E) كتب بواسطة جون بيرد ، البكالوريوس (مع مرتبة الشرف) ، CMath ، CEng ، FIMA ، MIEE ، FIIE (الكهرباء) ، FCollP.
يغطي الإصدار الخامس من "الرياضيات الهندسية العليا" المواد الرياضية الأساسية المناسبة للطلاب الذين يدرسون الدرجات العلمية والدرجات التأسيسية والشهادة الوطنية العليا ودورات الدبلوم في تخصصات الهندسة.
في هذا الإصدار ، تمت إعادة ترتيب المواد في الفئات الاثنتي عشرة الملائمة التالية: العدد والجبر ، والهندسة وعلم المثلثات ، والرسوم البيانية ، وهندسة المتجهات ، والأرقام المركبة ، والمصفوفات والمحددات ، وحساب التفاضل ، وحساب التفاضل والتكامل ، والمعادلات التفاضلية ، والإحصاءات والاحتمالات ، تحويلات لابلاس وسلسلة فورييه. تمت إضافة مادة جديدة حول عدم المساواة ، وتفاضل المعادلات البارامترية ، وإحلال t = tan θ / 2 والمعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى. ميزة جديدة أخرى هي أن التنزيل المجاني عبر الإنترنت متاح للمحاضرين لعينة من الحلول (أكثر من 1000) للمشكلات الأخرى الواردة في الكتاب.
الهدف الأساسي من المواد في هذا النص هو توفير المعرفة الأساسية التحليلية والأساسية والتقنيات اللازمة لإكمال وحدات المبادئ العلمية والهندسية بنجاح من الدرجة العلمية ، ودرجة التأسيس وبرامج الهندسة الوطنية العليا. تم تصميم المواد لتمكين الطلاب من استخدام التقنيات المكتسبة لتحليل ونمذجة وحل المشكلات الهندسية الواقعية في الدرجة والمستوى الوطني الأعلى. ويهدف أيضًا إلى توفير بعض المعارف الأكثر تقدمًا المطلوبة للراغبين في متابعة وظائف في الهندسة الميكانيكية وهندسة الطيران والإلكترونيات وهندسة الاتصالات وهندسة الأنظمة وجميع أنواع هندسة التحكم.
في الإصدار الخامس من الرياضيات الهندسية العليا ، يتم تقديم النظرية في كل فصل من خلال مخطط كامل للتعريفات الأساسية والصيغ والقوانين والإجراءات وما إلى ذلك. يتم الاحتفاظ بالنظرية إلى الحد الأدنى ، حيث يتم استخدام حل المشكلات على نطاق واسع لإنشاء النظرية وتمثيلها. من المفترض أن يكتسب القراء فهمًا حقيقيًا من خلال رؤية المشكلات تم حلها ثم من خلال حل المشكلات المماثلة بأنفسهم.
يتم تقديم كل موضوع تم النظر فيه في النص بطريقة تفترض في القارئ فقط المعرفة المكتسبة في شهادة / دبلومة BTEC الوطنية في تخصص هندسي و GNVQ المتقدم في الهندسة / التصنيع.
يحتوي هذا الكتاب المدرسي على حوالي 1000 مشكلة عملية ، تليها أكثر من 1750 مشكلة أخرى (مع الإجابات) ، مرتبة ضمن 250 تمرينًا. هناك حوالي 460 مخططًا خطيًا تعزز الفهم.
(جون بيرد ، جامعة بورتسموث)

تفاصيل الكتاب: -
لقب: الرياضيات الهندسية
الإصدار: الخامس
المؤلفون): جون بيرد
الناشر: نيونس
سلسلة:
عام: 2007
الصفحات: 745
يكتب: بي دي إف
لغة: إنجليزي
رقم ال ISBN: 9780750681520,0750681527
دولة: المملكة المتحدة
احصل على هذه الكتب من أمازون

نبذة عن الكاتب :-
مؤلف جون بيرد هو من كلية الدفاع للتدريب التقني ، إتش إم إس سلطان ، سابقًا في جامعة بورتسموث وكلية هايبري ، بورتسموث.
جون بيرد هو الرئيس السابق للإلكترونيات التطبيقية في كلية التكنولوجيا في كلية هايبري ، بورتسموث ، المملكة المتحدة. في الآونة الأخيرة ، قام بدمج المحاضرات المستقلة في جامعة بورتسموث ، مع مسؤوليات الممتحنين للرياضيات المتقدمة مع City and Guilds ، والامتحان لمنظمة البكالوريا الدولية. وهو مؤلف لما يقرب من 125 كتابًا دراسيًا في موضوعات الهندسة والرياضيات ، وبلغت مبيعاتها مليون نسخة في جميع أنحاء العالم. وهو حاليًا مقدم تدريب أول في كلية الدفاع للهندسة البحرية في كلية الدفاع للتدريب التقني في إتش إم إس سلطان ، جوسبورت ، هامبشاير ، المملكة المتحدة.

انضم إلى تحديثاتنا وتنبيهاتنا الجديدة: -
للحصول على تحديثات وتنبيهات جديدة ، انضم إلى WhatsApp Group و Telegram Group (يمكنك أيضًا أن تطلب أي كتاب / ملاحظات / دليل [pdf]).
انضم إلى مجموعة WhatsApp
انضم إلى مجموعة Telegram

الرياضيات الهندسية العليا (5E) كتب بواسطة جون بيرد تغطية الموضوعات التالية.
القسم أ: العدد والجبر
1. الجبر
2. عدم المساواة
3. الكسور الجزئية
4. اللوغاريتمات والوظائف الأسية
5. الوظائف الزائدية
6. التدرجات الحسابية والهندسية
7. المتسلسلة ذات الحدين
8. سلسلة ماكلورين
9. حل المعادلات بالطرق التكرارية
10. أنظمة الترقيم الحاسوبية
11. الجبر المنطقي ودوائر المنطق
القسم ب: الهندسة وعلم المثلثات
12. مقدمة في علم المثلثات
13. الإحداثيات الديكارتية والقطبية
14. الدائرة وخصائصها
15. أشكال الموجة المثلثية
16. الهويات والمعادلات المثلثية
17. العلاقة بين المثلثية و
18. الزوايا المركبة
القسم ج: الرسوم البيانية
19. الوظائف ومنحنياتها
20. المناطق والأحجام والقيم المتوسطة للأشكال الموجية غير المنتظمة
القسم د: هندسة المتجهات
21. النواقل ، والاجور ومجموعة من الاشكال الموجية
22. النواتج العددية والمتجهة
القسم هـ: الأعداد المركبة
23. الأعداد المركبة
24. نظرية دي Moivre
القسم و: المصفوفات والمحددات
25. نظرية المصفوفات والمحددات
26. حل المعادلات الآنية بالمصفوفات والمحددات
القسم ز: حساب التفاضل
27. طرق التمايز
28. بعض تطبيقات التمايز
29. تمايز المعادلات البارامترية
30. التفريق بين الوظائف الضمنية
31. التمايز اللوغاريتمي
32. التفريق بين الدوال القطعية
33. اشتقاق الدوال المثلثية العكسية والدوال الزائدية
34. التمايز الجزئي
35. مجموع الفروق ، ومعدلات التغيير والتغيرات الطفيفة
36. النقاط القصوى والدنيا والسرج لوظائف متغيرين
القسم ح: حساب التفاضل والتكامل
37- التكامل القياسي
38- بعض تطبيقات التكامل
39. التكامل باستخدام البدائل الجبرية
40. التكامل باستخدام البدائل المثلثية والقطع الزائدية
41. التكامل باستخدام الكسور الجزئية
42. التعويض t = tan؟ 2
43. التكامل حسب الأجزاء
44- صيغ التخفيض
45. التكامل العددي
القسم الأول: المعادلات التفاضلية
46. ​​حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى بفصل المتغيرات
47. المتجانسة من الدرجة الأولى المعادلات التفاضلية
48. المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى
49. الطرق العددية للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى
50. المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية من الشكل a d2y dx2 + b dy dx + cy = 0
51. المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية من الشكل a d2y dx2 + b dy dx + cy = f (x)
52. طرق متسلسلة القدرة لحل المعادلات التفاضلية العادية
53. مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية
القسم ي: الإحصاء والاحتمالات
54- عرض البيانات الإحصائية
55. مقاييس النزعة المركزية والتشتت
56- الاحتمال
57. التوزيعات ذات الحدين وبواسون
58. التوزيع الطبيعي
59- الارتباط الخطي
60. الانحدار الخطي
61. نظريات أخذ العينات والتقدير
62. اختبار الأهمية
63- اختبارات مربعة كاي واختبارات خالية من التوزيع
القسم ك: تحويلات لابلاس
64. مقدمة إلى تحويلات لابلاس
65. خواص تحويلات لابلاس
66. معكوس تحولات لابلاس
67. حل المعادلات التفاضلية باستخدام تحويلات لابلاس
68. حل المعادلات التفاضلية الآنية باستخدام تحويلات لابلاس
القسم L: سلسلة فورييه
69. سلسلة فورييه للوظائف الدورية للفترة 2 ص
70. سلسلة فورييه لدالة غير دورية على مدى 2p
71. التوابع الزوجية والفردية وسلسلة فورييه نصف المدى
72. سلسلة فورييه على أي مدى
73. طريقة رقمية للتحليل التوافقي
74. الشكل المعقد أو الأسي لسلسلة فورييه

نحن لسنا أصحاب هذا الكتاب / الملاحظات. نحن نقدمه وهو متوفر بالفعل على الإنترنت. لأية استفسارات أخرى يرجى الاتصال بنا. نحن لا ندعم القرصنة أبدًا. تم توفير هذه النسخة للطلاب الذين يعانون من مشاكل مالية ولكنهم يريدون الدراسة للتعلم. إذا كنت تعتقد أن هذه المواد مفيدة ، فيرجى الحصول عليها بشكل قانوني من الناشرين. شكرا لك.


9.5 هـ: تمارين - رياضيات

في هذا القسم سوف نلقي نظرة على الطريقة الأولى التي يمكن استخدامها لإيجاد حل معين لمعادلة تفاضلية غير متجانسة.

[y '' + p left (t right) y '+ q left (t right) y = g left (t right) ]

تتمثل إحدى المزايا الرئيسية لهذه الطريقة في أنها تقلل المشكلة إلى مشكلة الجبر. يمكن أن يصبح الجبر فوضويًا في بعض الأحيان ، لكنه لن يكون صعبًا للغاية بالنسبة لمعظم المشاكل. الشيء الجميل الآخر في هذه الطريقة هو أن الحل التكميلي لن يكون مطلوبًا بشكل صريح ، على الرغم من أننا سنرى أن المعرفة بالحل التكميلي ستكون مطلوبة في بعض الحالات ، وبالتالي سنجد ذلك أيضًا بشكل عام.

هناك نوعان من عيوب هذه الطريقة. أولاً ، ستعمل فقط مع فئة صغيرة إلى حد ما من (g (t) ) 's. تتضمن فئة (g (t) ) التي تعمل بها الطريقة بعض الوظائف الأكثر شيوعًا ، ومع ذلك ، هناك العديد من الوظائف التي لن تعمل المعاملات غير المحددة لها ببساطة. ثانيًا ، إنه مفيد بشكل عام فقط في المعادلات التفاضلية ذات المعامل الثابت.

الطريقة بسيطة للغاية. كل ما يتعين علينا القيام به هو إلقاء نظرة على (g (t) ) والتخمين فيما يتعلق بشكل (Y_

(ر) ) ترك المعامل (المعاملات) غير محدد (ومن هنا اسم الطريقة). أدخل التخمين في المعادلة التفاضلية ومعرفة ما إذا كان بإمكاننا تحديد قيم المعاملات. إذا استطعنا تحديد قيم المعاملات ، فعندئذ خمننا بشكل صحيح ، إذا لم نتمكن من العثور على قيم للمعاملات ، فعندئذ خمننا بشكل غير صحيح.

عادةً ما يكون من الأسهل رؤية هذه الطريقة عمليًا بدلاً من محاولة وصفها ، لذا دعنا ننتقل إلى بعض الأمثلة.

النقطة هنا هي إيجاد حل معين ، ولكن أول شيء سنفعله هو إيجاد الحل التكميلي لهذه المعادلة التفاضلية. تذكر أن الحل التكميلي يأتي من الحل ،

المعادلة المميزة لهذه المعادلة التفاضلية وجذورها هي.

إذن الحل التكميلي هو

في هذه المرحلة ، لن يكون سبب القيام بذلك أولاً واضحًا ، ولكننا نريدك أن تكون معتادًا على العثور عليه قبل أن نبدأ العمل لإيجاد حل معين. في النهاية ، كما سنرى ، سيكون وجود الحل التكميلي في متناول اليد مفيدًا ولذلك فمن الأفضل أن تكون معتادًا على العثور عليه أولاً قبل القيام بالعمل من أجل معاملات غير محددة.

الآن ، دعنا ننتقل إلى إيجاد حل معين. كما ذكرنا قبل بداية هذا المثال ، نحتاج إلى تخمين شكل حل معين لهذه المعادلة التفاضلية. نظرًا لأن (g (t) ) أسي ونعلم أن الأسي لا يظهر أو يختفي أبدًا في عملية التمايز ، فيبدو أن الشكل المحتمل للحل المعين سيكون

الآن ، كل ما علينا القيام به هو عمل مشتقتين ، وعوض بهذا في المعادلة التفاضلية ومعرفة ما إذا كان بإمكاننا تحديد ما يجب أن يكون (A ).

بالتعويض في المعادلة التفاضلية يعطي

لذلك ، لكي يكون تخميننا حلاً ، سنحتاج إلى اختيار (A ) بحيث تكون معاملات الأسي على جانبي علامة التساوي هي نفسها. بمعنى آخر ، نحتاج إلى اختيار (أ ) بحيث ،

[- 7A = 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> A = - frac <3> <7> ]

حسنًا ، وجدنا قيمة المعامل. هذا يعني أننا خمّننا بشكل صحيح. إذن حل معين للمعادلة التفاضلية هو ،

قبل المضي قدمًا ، دعنا نلاحظ مرة أخرى أننا بدأنا الحل أعلاه من خلال إيجاد الحل التكميلي. هذا ليس من الناحية الفنية جزءًا من طريقة المعاملات غير المحددة ، ومع ذلك ، كما سنرى في النهاية ، فإن وجود هذا في متناول اليد قبل أن نفكر في حل معين يمكن أن يوفر لنا الكثير من العمل و / أو الصداع. إن العثور على الحل التكميلي أولاً هو ببساطة عادة جيدة يجب أن نمتلكها ، لذا سنحاول تعويدك على هذه العادة على مدار الأمثلة القليلة التالية. في هذه المرحلة ، لا تقلق بشأن سبب كونها عادة جيدة. سنرى في النهاية سبب كونها عادة جيدة.

الآن ، عد إلى العمل الذي نحن بصدده. لاحظ في المثال الأخير أننا ظللنا نقول "حلًا معينًا" ، وليس "الحل" المحدد. هذا بسبب وجود احتمالات أخرى لحل معين تمكنا للتو من إيجاد واحد منهم. سيعمل أي منهم عندما يتعلق الأمر بكتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية.

بالحديث عن ... هذا القسم مخصص لإيجاد حلول معينة ومعظم الأمثلة سوف تجد فقط الحل المعين. ومع ذلك ، يجب أن نقوم بإجراء IVP كامل واحد على الأقل للتأكد من أنه يمكننا القول أننا قمنا بواحد.

نعلم أن الحل العام سيكون بالشكل ،

[ص يسار (t يمين) = يسار (t يمين) + يسار (t يمين) ]

ولدينا بالفعل كلاً من الحل التكميلي والخاص من المثال الأول ، لذلك لا نحتاج حقًا إلى القيام بأي عمل إضافي لحل هذه المشكلة.

أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذه المشكلات هو إيجاد الحل التكميلي وبعد ذلك ، نظرًا لأننا على الأرجح معتادون على القيام بذلك ، نطبق الشروط الأولية على الحل التكميلي لإيجاد الثوابت. ومع ذلك ، هذا غير صحيح. الحل التكميلي هو فقط الحل للمعادلة التفاضلية المتجانسة ونحن بعد حل للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة ويجب أن تفي الشروط الأولية بهذا الحل بدلاً من الحل التكميلي.

لذلك ، نحتاج إلى الحل العام للمعادلة التفاضلية غير المتجانسة. بأخذ الحل التكميلي والحل الخاص الذي وجدناه في المثال السابق ، نحصل على ما يلي لحل عام ومشتقاته.

الآن ، قم بتطبيق الشروط الأولية على هذه.

يعطي حل هذا النظام (c_ <1> = 2 ) و (c_ <2> = 1 ). إذن الحل الفعلي هو.

سيكون هذا هو IVP الوحيد في هذا القسم ، لذا لا تنس كيف يتم إجراؤها للمعادلات التفاضلية غير المتجانسة!

دعنا نلقي نظرة على مثال آخر سيعطي النوع الثاني من (g (t) ) الذي ستعمل فيه المعاملات غير المحددة.

مرة أخرى ، دعنا نلاحظ أنه من المحتمل أن نجد الحل التكميلي قبل أن ننتقل إلى التخمين الخاص بحل معين. ومع ذلك ، نظرًا لأن المعادلة التفاضلية المتجانسة في هذا المثال هي نفسها بالنسبة للمثال الأول ، فلن نهتم بهذا هنا.

الآن ، دعنا نأخذ تجربتنا من المثال الأول ونطبقها هنا. كان للمثال الأول دالة أسية في (g (t) ) وكان تخميننا أسيًا. هذه المعادلة التفاضلية لها شرط ، فلنجرب التخمين التالي لحل معين.

[ يسار (t يمين) = أ خطيئة يسار (<2t> يمين) ]

يعطي التفريق والتعويض في المعادلة التفاضلية ،

[- 4A sin left (<2t> right) - 4 left (<2A cos left (<2t> right)> right) - 12 left ( right)> right) = sin left (<2t> right) ]

جمع غلة شروط مماثلة

[- 16A sin left (<2t> right) - 8A cos left (<2t> right) = sin left (<2t> right) ]

نحتاج إلى اختيار (A ) حتى نحصل على نفس الوظيفة على كلا جانبي علامة التساوي. هذا يعني أن معاملات الجيب وجيب التمام يجب أن تكون متساوية. أو،

لاحظ شيئين. أولًا ، نظرًا لعدم وجود جيب تمام في الجانب الأيمن ، فهذا يعني أن المعامل يجب أن يكون صفرًا في هذا الجانب. والأهم من ذلك ، لدينا مشكلة خطيرة هنا. من أجل استبعاد جيب التمام ، كما يجب أن يفي التخمين بالمعادلة التفاضلية ، نحتاج إلى ضبط (A = 0 ) ، ولكن إذا (A = 0 ) ، سينخفض ​​الجيب أيضًا في الخارج وهذا لا يمكن أن يحدث. وبالمثل ، فإن اختيار (A ) للاحتفاظ بالجيب سيحافظ أيضًا على جيب التمام.

ما يعنيه هذا هو أن تخميننا الأولي كان خاطئًا. إذا حصلنا على قيم متعددة لنفس الثابت أو لم نتمكن من العثور على قيمة ثابت ، فقد خمّننا خطأ.

أحد أفضل جوانب هذه الطريقة هو أنه عندما نخمن خطأ ، فإن عملنا غالبًا ما يقترح إصلاحًا. في هذه الحالة كانت المشكلة هي جيب التمام الذي ظهر. لذا ، لمواجهة هذا ، دعونا نضيف جيب التمام لتخميننا. تخميننا الجديد هو

[ left (t right) = A cos left (<2t> right) + B sin left (<2t> right) ]

إن إدخال هذا في المعادلة التفاضلية وجمع الحدود المتشابهة يعطي ،

[يبدأ - 4A cos left (<2t> right) - 4B sin left (<2t> right) - 4 left (<- 2A sin left (<2t> right) + 2B cos يسار (<2t> يمين)> يمين) - 12 يسار ( right) + B sin left (<2t> right)> right) & = sin left (<2t> right) left (<- 4A - 8B - 12A> right) cos left (<2t> right) + left (<- 4B + 8A - 12B> right) sin left (<2t> right) & = sin left (<2t> right) يسار (<- 16A - 8B> يمين) cos يسار (<2t> يمين) + يسار (<8A - 16B> right) sin left (<2t> right) & = الخطيئة يسار (<2t> يمين) نهاية]

الآن ، ضع المعامِلات متساوية

حل هذا النظام يعطينا

وجدنا الثوابت وهذه المرة خمننا بشكل صحيح. إذن حل معين للمعادلة التفاضلية هو ،

[ left (t right) = frac <1> <<40>> cos left (<2t> right) - frac <1> <<20>> sin left (<2t> right ) ]

لاحظ أنه إذا كان لدينا جيب التمام بدلاً من الجيب في المثال الأخير ، لكان تخميننا هو نفسه. في الواقع ، إذا ظهر كل من الجيب وجيب التمام ، فسنرى أن نفس التخمين سيعمل أيضًا.

دعونا نلقي نظرة على النوع الثالث والأخير من (g (t) ) الأساسي الذي يمكننا الحصول عليه. هناك أنواع أخرى من (g (t) ) يمكننا الحصول عليها ، ولكن كما سنرى سوف يعودون جميعًا إلى نوعين قمنا به بالفعل بالإضافة إلى النوع التالي.

مرة أخرى ، سنرغب عمومًا في الحصول على الحل التكميلي أولاً ، ولكن مرة أخرى نحن نعمل بنفس المعادلة التفاضلية المتجانسة (سترى في النهاية سبب استمرارنا في العمل مع نفس المشكلة المتجانسة) لذا سنشير مرة أخرى إلى المثال الأول.

في هذا المثال ، (g (t) ) هو متعدد الحدود التكعيبي. لهذا سنحتاج إلى التخمين التالي لحل معين.

[ يسار (t يمين) = أ + ب + Ct + D ]

لاحظ أنه على الرغم من أن (g (t) ) لا يحتوي على () في ذلك سيظل تخميننا بحاجة إلى واحد! لذلك ، اشتق وتعويض عن المعادلة التفاضلية.

[يبدأ6At + 2B - 4 يسار (<3A+ 2Bt + C> right) - 12 يسار ( <>+ ب + Ct + D> right) & = 2 - ر + 3 - 12 أ + يسار (<- 12A - 12B> يمين) + يسار (<6A - 8B - 12C> يمين) t + 2B - 4C - 12D & = 2 - t + 3 نهاية]

الآن ، كما فعلنا في الأمثلة السابقة ، سنحتاج إلى أن تكون معاملات الحدود على كلا جانبي علامة التساوي متساوية ، لذا ضع المعاملات متساوية وحلها.

لاحظ أنه في هذه الحالة كان من السهل جدًا حل الثوابت. أعطت المعادلة الأولى (أ ). ثم بمجرد أن عرفنا (أ ) أعطت المعادلة الثانية (ب ) ، إلخ. إذن ، حل معين لهذه المعادلة التفاضلية هو

الآن بعد أن انتهينا من الأنواع الثلاثة الأساسية للوظائف التي يمكننا استخدام معاملات غير محددة في هذا المثال ، دعونا نلخص.

(ز (ر) ) (ص_

(ر) ) تخمين

(أ << bf> ^ < beta t >> ) (أ << bf> ^ < beta t >> )
(a cos left (< beta t> right) ) (A cos left (< beta t> right) + B sin left (< beta t> right) )
(b sin left ( right) ) (A cos left (< beta t> right) + B sin left (< beta t> right) )
(a cos left (< beta t> right) + b sin left (< beta t> right) ) (Acos left( <eta t> ight) + Bsin left( <eta t> ight))
(n^>) degree polynomial ( + <>><>> + cdots t + )

Notice that there are really only three kinds of functions given above. If you think about it the single cosine and single sine functions are really special cases of the case where both the sine and cosine are present. Also, we have not yet justified the guess for the case where both a sine and a cosine show up. We will justify this later.

We now need move on to some more complicated functions. The more complicated functions arise by taking products and sums of the basic kinds of functions. Let’s first look at products.

You’re probably getting tired of the opening comment, but again finding the complementary solution first really a good idea but again we’ve already done the work in the first example so we won’t do it again here. We promise that eventually you’ll see why we keep using the same homogeneous problem and why we say it’s a good idea to have the complementary solution in hand first. At this point all we’re trying to do is reinforce the habit of finding the complementary solution first.

Okay, let’s start off by writing down the guesses for the individual pieces of the function. The guess for the (t) would be

while the guess for the exponential would be

Now, since we’ve got a product of two functions it seems like taking a product of the guesses for the individual pieces might work. Doing this would give

However, we will have problems with this. As we will see, when we plug our guess into the differential equation we will only get two equations out of this. The problem is that with this guess we’ve got three unknown constants. With only two equations we won’t be able to solve for all the constants.

This is easy to fix however. Let’s notice that we could do the following

If we multiply the (C) through, we can see that the guess can be written in such a way that there are really only two constants. So, we will use the following for our guess.

Notice that this is nothing more than the guess for the (t) with an exponential tacked on for good measure.

Now that we’ve got our guess, let’s differentiate, plug into the differential equation and collect like terms.

Note that when we’re collecting like terms we want the coefficient of each term to have only constants in it. Following this rule we will get two terms when we collect like terms. Now, set coefficients equal.

A particular solution for this differential equation is then

This last example illustrated the general rule that we will follow when products involve an exponential. When a product involves an exponential we will first strip out the exponential and write down the guess for the portion of the function without the exponential, then we will go back and tack on the exponential without any leading coefficient.

Let’s take a look at some more products. In the interest of brevity we will just write down the guess for a particular solution and not go through all the details of finding the constants. Also, because we aren’t going to give an actual differential equation we can’t deal with finding the complementary solution first.

  1. (gleft( t ight) = 16<<f>^<7t>>sin left( <10t> ight))
  2. (gleft( t ight) = left( <9- 103t> ight)cos t)
  3. (gleft( t ight) = - <<f>^< - 2t>>left( <3 - 5t> ight)cos left( <9t> ight))

So, we have an exponential in the function. Remember the rule. We will ignore the exponential and write down a guess for (16sin left( <10t> ight)) then put the exponential back in.

The guess for the sine is

[Acos left( <10t> ight) + Bsin left( <10t> ight)]

Now, for the actual guess for the particular solution we’ll take the above guess and tack an exponential onto it. This gives,

One final note before we move onto the next part. The 16 in front of the function has absolutely no bearing on our guess. Any constants multiplying the whole function are ignored.

We will start this one the same way that we initially started the previous example. The guess for the polynomial is

and the guess for the cosine is

If we multiply the two guesses we get.

Let’s simplify things up a little. First multiply the polynomial through as follows.

[يبدأleft( <>+ Bt + C> ight)left( ight) + left( <>+ Bt + C> ight)left( ight) left( <>+ BDt + CD> ight)cos t + left( <>+ BEt + CE> ight)sin tend]

Notice that everywhere one of the unknown constants occurs it is in a product of unknown constants. This means that if we went through and used this as our guess the system of equations that we would need to solve for the unknown constants would have products of the unknowns in them. These types of systems are generally very difficult to solve.

So, to avoid this we will do the same thing that we did in the previous example. Everywhere we see a product of constants we will rename it and call it a single constant. The guess that we’ll use for this function will be.

[left( t ight) = left( <>+ Bt + C> ight)cos t + left( <>+ Et + F> ight)sin t]

This is a general rule that we will use when faced with a product of a polynomial and a trig function. We write down the guess for the polynomial and then multiply that by a cosine. We then write down the guess for the polynomial again, using different coefficients, and multiply this by a sine.

This final part has all three parts to it. First, we will ignore the exponential and write down a guess for.

The minus sign can also be ignored. The guess for this is

[left( ight)cos left( <9t> ight) + left( ight)sin left( <9t> ight)]

Now, tack an exponential back on and we’re done.

Notice that we put the exponential on both terms.

There a couple of general rules that you need to remember for products.

    If (g(t)) contains an exponential, ignore it and write down the guess for the remainder. Then tack the exponential back on without any leading coefficient.

If you can remember these two rules you can’t go wrong with products. Writing down the guesses for products is usually not that difficult. The difficulty arises when you need to actually find the constants.

Now, let’s take a look at sums of the basic components and/or products of the basic components. To do this we’ll need the following fact.

If (Y_(t)) is a particular solution for

[y'' + pleft( t ight)y' + qleft( t ight)y = left( t ight)]

and if (Y_(t)) is a particular solution for

[y'' + pleft( t ight)y' + qleft( t ight)y = left( t ight)]

then (Y_(t)) + (Y_(t)) is a particular solution for

[y'' + pleft( t ight)y' + qleft( t ight)y = left( t ight) + left( t ight)]

This fact can be used to both find particular solutions to differential equations that have sums in them and to write down guess for functions that have sums in them.

This example is the reason that we’ve been using the same homogeneous differential equation for all the previous examples. There is nothing to do with this problem. All that we need to do it go back to the appropriate examples above and get the particular solution from that example and add them all together.

Let’s take a look at a couple of other examples. As with the products we’ll just get guesses here and not worry about actually finding the coefficients.

  1. (gleft( t ight) = 4cos left( <6t> ight) - 9sin left( <6t> ight))
  2. (gleft( t ight) = - 2sin t + sin left( <14t> ight) - 5cos left( <14t> ight))
  3. (gleft( t ight) = <<f>^<7t>> + 6)
  4. (gleft( t ight) = 6 - 7sin left( <3t> ight) + 9)
  5. (gleft( t ight) = 10<<f>^t> - 5t<<f>^< - 8t>> + 2<<f>^< - 8t>>)
  6. (gleft( t ight) = cos t - 5tsin t)
  7. (gleft( t ight) = 5<<f>^< - 3t>> + <<f>^< - 3t>>cos left( <6t> ight) - sin left( <6t> ight))

This first one we’ve actually already told you how to do. This is in the table of the basic functions. However, we wanted to justify the guess that we put down there. Using the fact on sums of function we would be tempted to write down a guess for the cosine and a guess for the sine. This would give.

So, we would get a cosine from each guess and a sine from each guess. The problem with this as a guess is that we are only going to get two equations to solve after plugging into the differential equation and yet we have 4 unknowns. We will never be able to solve for each of the constants.

To fix this notice that we can combine some terms as follows.

[left( ight)cos left( <6t> ight) + left( ight)sin left( <6t> ight)]

Upon doing this we can see that we’ve really got a single cosine with a coefficient and a single sine with a coefficient and so we may as well just use

[left( t ight) = Acos left( <6t> ight) + Bsin left( <6t> ight)]

The general rule of thumb for writing down guesses for functions that involve sums is to always combine like terms into single terms with single coefficients. This will greatly simplify the work required to find the coefficients.

For this one we will get two sets of sines and cosines. This will arise because we have two different arguments in them. We will get one set for the sine with just a (t) as its argument and we’ll get another set for the sine and cosine with the 14(t) as their arguments.

The guess for this function is

[left( t ight) = Acos t + Bsin t + Ccos left( <14t> ight) + Dsin left( <14t> ight)]

The main point of this problem is dealing with the constant. But that isn’t too bad. We just wanted to make sure that an example of that is somewhere in the notes. If you recall that a constant is nothing more than a zeroth degree polynomial the guess becomes clear.

The guess for this function is

This one can be a little tricky if you aren’t paying attention. Let’s first rewrite the function

[يبدأgleft( t ight) & = 6 - 7sin left( <3t> ight) + 9hspace<0.25in>> gleft( t ight) & = 6 + 9 - 7sin left( <3t> ight)end]

All we did was move the 9. However, upon doing that we see that the function is really a sum of a quadratic polynomial and a sine. The guess for this is then

[left( t ight) = A + Bt + C + Dcos left( <3t> ight) + Esin left( <3t> ight)]

If we don’t do this and treat the function as the sum of three terms we would get

[A + Bt + C + Dcos left( <3t> ight) + Esin left( <3t> ight) + G]

and as with the first part in this example we would end up with two terms that are essentially the same (the (C) and the (G)) and so would need to be combined. An added step that isn’t really necessary if we first rewrite the function.

Look for problems where rearranging the function can simplify the initial guess.

So, this look like we’ve got a sum of three terms here. Let’s write down a guess for that.

Notice however that if we were to multiply the exponential in the second term through we would end up with two terms that are essentially the same and would need to be combined. This is a case where the guess for one term is completely contained in the guess for a different term. When this happens we just drop the guess that’s already included in the other term.

So, the guess here is actually.

Notice that this arose because we had two terms in our (g(t)) whose only difference was the polynomial that sat in front of them. When this happens we look at the term that contains the largest degree polynomial, write down the guess for that and don’t bother writing down the guess for the other term as that guess will be completely contained in the first guess.

In this case we’ve got two terms whose guess without the polynomials in front of them would be the same. Therefore, we will take the one with the largest degree polynomial in front of it and write down the guess for that one and ignore the other term. So, the guess for the function is

[left( t ight) = left( <>+ Bt + C> ight)cos t + left( <>+ Et + F> ight)sin t]

This last part is designed to make sure you understand the general rule that we used in the last two parts. This time there really are three terms and we will need a guess for each term. The guess here is

We can only combine guesses if they are identical up to the constant. So, we can’t combine the first exponential with the second because the second is really multiplied by a cosine and a sine and so the two exponentials are in fact different functions. Likewise, the last sine and cosine can’t be combined with those in the middle term because the sine and cosine in the middle term are in fact multiplied by an exponential and so are different.

So, when dealing with sums of functions make sure that you look for identical guesses that may or may not be contained in other guesses and combine them. This will simplify your work later on.

We have one last topic in this section that needs to be dealt with. In the first few examples we were constantly harping on the usefulness of having the complementary solution in hand before making the guess for a particular solution. We never gave any reason for this other that “trust us”. It is now time to see why having the complementary solution in hand first is useful. This is best shown with an example so let’s jump into one.

This problem seems almost too simple to be given this late in the section. This is especially true given the ease of finding a particular solution for (g)((t))’s that are just exponential functions. Also, because the point of this example is to illustrate why it is generally a good idea to have the complementary solution in hand first we’ll let’s go ahead and recall the complementary solution first. Here it is,

Now, without worrying about the complementary solution for a couple more seconds let’s go ahead and get to work on the particular solution. There is not much to the guess here. From our previous work we know that the guess for the particular solution should be,

Plugging this into the differential equation gives,

Hmmmm…. Something seems wrong here. Clearly an exponential can’t be zero. So, what went wrong? We finally need the complementary solution. Notice that the second term in the complementary solution (listed above) is exactly our guess for the form of the particular solution and now recall that both portions of the complementary solution are solutions to the homogeneous differential equation,

In other words, we had better have gotten zero by plugging our guess into the differential equation, it is a solution to the homogeneous differential equation!

So, how do we fix this? The way that we fix this is to add a (t) to our guess as follows.

Plugging this into our differential equation gives,

Now, we can set coefficients equal.

So, the particular solution in this case is,

So, what did we learn from this last example. While technically we don’t need the complementary solution to do undetermined coefficients, you can go through a lot of work only to figure out at the end that you needed to add in a (t) to the guess because it appeared in the complementary solution. This work is avoidable if we first find the complementary solution and comparing our guess to the complementary solution and seeing if any portion of your guess shows up in the complementary solution.

If a portion of your guess does show up in the complementary solution then we’ll need to modify that portion of the guess by adding in a (t) to the portion of the guess that is causing the problems. We do need to be a little careful and make sure that we add the (t) in the correct place however. The following set of examples will show you how to do this.

  1. (y'' + 3y' - 28y = 7t + <<f>^< - 7t>> - 1)
  2. (y'' - 100y = 9<<f>^<10t>> + cos t - tsin t)
  3. (4y'' + y = <<f>^< - 2t>>sin left( <2>> ight) + 6tcos left( <2>> ight))
  4. (4y'' + 16y' + 17y = <<f>^< - 2t>>sin left( <2>> ight) + 6tcos left( <2>> ight))
  5. (y'' + 8y' + 16y = <<f>^< - 4t>> + left( <+ 5> ight)<<f>^< - 4t>>)

In these solutions we’ll leave the details of checking the complementary solution to you.

The complementary solution is

Remembering to put the “-1” with the 7(t) gives a first guess for the particular solution.

Notice that the last term in the guess is the last term in the complementary solution. The first two terms however aren’t a problem and don’t appear in the complementary solution. Therefore, we will only add a (t) onto the last term.

The correct guess for the form of the particular solution is.

The complementary solution is

A first guess for the particular solution is

[left( t ight) = left( <>+ Bt + C> ight)<<f>^<10t>> + left( ight)cos t + left( ight)sin t]

Notice that if we multiplied the exponential term through the parenthesis that we would end up getting part of the complementary solution showing up. Since the problem part arises from the first term the whole first term will get multiplied by (t). The second and third terms are okay as they are.

The correct guess for the form of the particular solution in this case is.

[left( t ight) = tleft( <>+ Bt + C> ight)<<f>^<10t>> + left( ight)cos t + left( ight)sin t]

So, in general, if you were to multiply out a guess and if any term in the result shows up in the complementary solution, then the whole term will get a (t) not just the problem portion of the term.

The complementary solution is

A first guess for the particular solution is

In this case both the second and third terms contain portions of the complementary solution. The first term doesn’t however, since upon multiplying out, both the sine and the cosine would have an exponential with them and that isn’t part of the complementary solution. We only need to worry about terms showing up in the complementary solution if the only difference between the complementary solution term and the particular guess term is the constant in front of them.

So, in this case the second and third terms will get a (t) while the first won’t

The correct guess for the form of the particular solution is.

To get this problem we changed the differential equation from the last example and left the (g(t)) alone. The complementary solution this time is

As with the last part, a first guess for the particular solution is

This time however it is the first term that causes problems and not the second or third. In fact, the first term is exactly the complementary solution and so it will need a (t). Recall that we will only have a problem with a term in our guess if it only differs from the complementary solution by a constant. The second and third terms in our guess don’t have the exponential in them and so they don’t differ from the complementary solution by only a constant.

The correct guess for the form of the particular solution is.

The complementary solution is

The two terms in (g(t)) are identical with the exception of a polynomial in front of them. So this means that we only need to look at the term with the highest degree polynomial in front of it. A first guess for the particular solution is

Notice that if we multiplied the exponential term through the parenthesis the last two terms would be the complementary solution. Therefore, we will need to multiply this whole thing by a (t).

The next guess for the particular solution is then.

This still causes problems however. If we multiplied the (t) and the exponential through, the last term will still be in the complementary solution. In this case, unlike the previous ones, a (t) wasn’t sufficient to fix the problem. So, we will add in another (t) to our guess.

The correct guess for the form of the particular solution is.

Upon multiplying this out none of the terms are in the complementary solution and so it will be okay.

As this last set of examples has shown, we really should have the complementary solution in hand before even writing down the first guess for the particular solution. By doing this we can compare our guess to the complementary solution and if any of the terms from your particular solution show up we will know that we’ll have problems. Once the problem is identified we can add a (t) to the problem term(s) and compare our new guess to the complementary solution. If there are no problems we can proceed with the problem, if there are problems add in another (t) and compare again.

Can you see a general rule as to when a (t) will be needed and when a t 2 will be needed for second order differential equations?


INTEGRATION PRACTICE WORKSHEET

Integrate the following with respect to x

∫ [ (x + 4) 5 + 5/(2 - 5x) 4 - cosec 2 (3x - 1)] dx

∫ [ (x + 4) 5  + 5/(2 - 5x) 4  - cosec 2 (3x - 1)] dx

=   (x + 4) 5 dx +   ∫( 5/(2 - 5x) 4 ) dx -   cosec 2 (3x - 1) dx

=  (x + 4) 6 /6 +  5 ∫( 2 - 5x) -4 ਍x -   cosec 2 (3x - 1) dx

=  (1/6)(x + 4) 6  - (1/3)(1/ ( 2-5x) 3 ) + (1/3) cot(3x-1) + c

Integrate the following with respect to x

∫ [4 cos (5-2x) + 9e 3x-6 + 24/(6-4x)] dx

∫ [4 cos (5-2x) + 9e 3x-6  + 24/(6-4x)] dx

=   ∫ 4 cos (5-2x) dx + 9  ∫  e 3x-6 dx +  24/(6-4x) dx

=  4 sin (5 - 2x)/(-2) + 9  e 3x-6 /3 + 24 log (6 - 4x)(-1/4) + c

=  -2 sin (5 - 2x) + 3  e 3x-6  - 6 log (6 - 4x) + c

Integrate the following with respect to x

∫ [sec 2 (x/5) + 18 cos 2x  + 10 sec (5x + 3) tan (5x + 3)] dx

∫ [sec 2 (x/5) + 18 cos 2x  + 10 sec (5x + 3) tan (5x + 3)] dx

∫sec 2 (x/5)dx+18 cos 2xdx+10 sec(5x+3)tan(5x+3)] dx

=  tan (x/5)/(1/5)+(18/2)sin 2x+(10/5) sec (5x+3) + c

=  5 tan (x/5) + 9 sin 2x + 2 sec (5x+3) + c

Integrate the following with respect to x

∫ [8/ √(1 - (4x) 2 ) + 27/ √(1 - 9x 2 ) - 15/(1+25x 2 )] dx

  =  ∫8/ √(1-(4x) 2 ) dx+ 27/ √(1-9x 2 ) dx- 15/(1+25x 2 ) dx

  =  8∫1/ √(1-(4x) 2 )dx+27 ∫1 / √(1-(3x) 2 )਍x-15 ∫1 /(1+(5x) 2 ) dx

=  (8/4)sin -1 (4x) + (27/3) sin -1 (3x) - (15/5) tan -1 (5x) + c 

=  2 sin -1 (4x) + 9 sin -1 (3x) - 3 tan -1 (5x) + c 

Integrate the following with respect to x

∫ [6/(1 + (3x + 2) 2 )] - [12/ √1 - (3-4x) 2 ] dx

=  ∫ [6/(1 + (3x + 2) 2 )] - [12/ √1 - (3-4x) 2 ] dx

  =  (6/3) tan -1 (3x+2) - (12/(-4)) sin -1 (3-4x) + c

  =  2 tan -1 (3x+2) + 3 sin -1 (3-4x) + c

Integrate the following with respect to x

∫ (1/3) cos ((x/3) - 4)) + 7/(7x+9) + e (x/5) + 3  dx

= (1/3)/(1/3)sin( (x/3)-4))+(7/7)log(7x+9) + (1/5)e (x/5) + 3 +c

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood, " Integration Practice Worksheet"

Apart from the stuff given in " Integration Practice Worksheet" ,   if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

If you have any feedback about our math content, please mail us : 

We always appreciate your feedback. 

You can also visit the following web pages on different stuff in math. 


3rd Grade Math Lesson Plans

Angles in Nature

Students will take a walk outside with their protractor and measure the angles in nature. They will record the angles that they find in branches, trees, bushes, flowers, etc… and then determine the supplementary angle.

Comparing Multiplication Facts (Hey Tocayo!)

Students will be assigned a number that has various factors and they will find partners with different factors that have the same product.

Even or Odd Nature Walk

Students will do a nature walk to find things in nature that are grouped in pairs that are odd or even.

Exchanging Time

The lesson is used for students to practice basic time measurement, and understanding the basic units of time.

Feed the Gator

Students will compare numbers with three or more digits using visual cues.

Fun Fraction Pizza

Students will create a “pizza” from construction paper divided into 8 slices. They will decorate each slice and then exchange slices with classmates and then evaluate the fractions of slices that they have at the end. For example, 1/8 slices of my own pizza, 4/8 or ½ of pizza that was made by a female, 2/8 or ¼ that was made by my buddy. Note: Students should have already had some lessons about simplification of fractions.

Graphing With Insects

This lesson is designed to teach students to draw a picture graph and a bar graph (with single-unit scale) to represent a data set with up to four categories. Plus, solve simple put-together, take-apart, and compare problems.

Odd or Even

This engaging lesson will help students determine whether a group of objects (up to 20) has an odd or even number of members.

Scale It Up

This lesson will allow students to demonstrate knowledge use of scale.

Shape Up

This lesson will allow students to demonstrate knowledge of various grade appropriate shapes.

Symmetry Search

The students will locate manmade objects or things in nature that are symmetrical.

The Value of a Number

The students will work in groups of 4-6 physically learning and reviewing place value.


4 Answers 4

Note that prime counts at this size are quite cheap. About 19 milliseconds on my laptop. That's still over 1000x slower than the most complicated of the approximations below.

Percent difference from exact answer for various methods using this n, given in order of closeness for larger inputs:

$R(n)$ 2.3e-7 very good approximation from Riemann's R function

$< m li>(n)-< m li>(n^<0.5>)/2$ 1.7e-7 also very good from truncated R

$(pi_< m upper>(n)+pi_< m lower>(n))/2$ 9.5e-7 surprisingly good from average bounds, but it is all dependent on using tight bounds, and it doesn't keep up as size increases


Starting Equipment at higher levels

Page 38 of the DMG provides a table for starting wealth and equipment at various levels.

There is a table is on page 38 of the Dungeon Master's Guide. However, the text says:

Starting equipment for characters above 1st level is entirely at your discretion, since you give out treasure at your own pace. That said, you can use the Starting Equipment table as a guide.

The table is divided into four tiers of levels (matching the tiers described earlier in the DMG). Levels 1-4 get normal starting equipment. Higher levels get that plus some gold, with a base amount plus a die-roll for a little bit more. Characters starting at levels 5-10 get 500gp + 1d10×25, 11-16 get 5000gp + 1d10×250, and 17-20 get 20,000gp + 1d10×250.

There are also columns for "Low Magic", "Standard", and "High Magic" campaigns. The table suggests that characters starting at higher tiers start with a number of items accordingly. For a "Standard Campaign", this is two uncommon items at 11th level, plus a rare one at 16th. The difference between "Low Magic" and "High Magic" at high levels is pretty stark, as the former only gets two uncommon items while the latter gets some rare ones as well — this could be as much as 60,000gp! I think it's pretty clear that when starting at high levels, خاصة in a "High Magic" campaign, the selection of these items should be a collaboration between the DM and player.

Also note that this section is in the context of starting a campaign at higher levels:

Experienced players familiar with the capabilities of the character classes and impatient for more significant adventures might welcome the idea of starting a campaign with characters above 1st level.

This is important because I لا تفعل think following this table blindly is the best guidance in other scenarios. For example, in After a TPK, we are re-doing the adventure at 2nd-level. Are there any guidelines for what the items and equipment the PCs should have?, it seems completely reasonable to give the new starting party basically what they had before — unless the group really likes the more hardcore "you die, you build up from scratch" approach. Or, if you have a higher level group and are bringing in a fresh player, I think giving them gear and wealth on par with the existing party makes sense — and is perfectly in line with the quote from the beginning of this answer: give the new player stuff as if they were at the same place you gave it to everyone else.

Additionally, this is not an "expected wealth by level" table as in 3.0/3.5E (and Pathfinder). Those games are explicitly designed with the expectation that this wealth is necessary to match the power curve of the game. 5th Edition takes a very different approach, with "bounded accuracy" as a core design principle. This makes magic items less of a big deal — they don't provide huge bonuses, and for example a +3 weapon is not just rare but very rare. In older editions (and explicitly so in 4E), having a +5 flaming sword is basically keeping up with the Jonses (or perhaps the Dzhoh'n'zes, in a generic fantasy setting). In 5E, these magic item bonuses aren't required by the basic game math.


Speed versus Accuracy: the User’s Choice

At Dyalog we have long striven for both correctness and high performance in our implementation. However, our views on this matter have recently undergone an historic shift in paradigm which we are excited to share with our users. We now intend to provide the best experience to the user of Dyalog APL not by providing correctness و speed, but rather correctness أو speed, with a user-specified tradeoff between the two.

The upcoming release of version 17.1 includes a powerful new feature: the correctness–performance slider. To find this option, select Options>Configure>General in the IDE, or Edit>Preferences>General in RIDE. The slider is labelled “Execution Properties” and may be set at any time, although users should note that the effective correctness may be reduced if this is done while an in-progress function is on the stack.

With the slider at its default position near the middle, Dyalog will make an effort to balance performance and correctness. Computations will proceed at a reasonably brisk pace, and slightly wrong answers will appear occasionally while very wrong ones come up only rarely. As the slider is moved to the left, correctness is increased at the expense of performance. You’ll have to wait for your results but when you get them they’ll be numbers you can trust. Moving the slider to the right will have the opposite effect, increasing speed at the expense of more frequent misparsings and significant floating point error. Perfect for startups!


1: Integers, powers and roots
2: Expressions
3: Shapes and geometric reasoning 1
4: Fractions
5: Decimals
6: Processing, interpreting and discussing data
7: Length, mass and capacity
8: Equations and inequalities
9: Shapes and geometric reasoning 2
10: Presenting, interpreting and discussing data
11: Area, perimeter and volume
12: Formulae

13: Position and movement
14: Sequences
15: Probability
16: Functions and graphs
17: Fractions, decimals and percentages
18: Planning and collecting data
19: Ratio and proportion
20: Time and rates of change
21: Pythagoras' theorem
22: Trigonometry (extension work)
23: Matrices and transformations (extension work)
قائمة المصطلحات


شاهد الفيديو: حل تمارين 1 - 2 صفحة 16 تمارين الاتحاد والتقاطع. رياضيات السادس الابتدائي (شهر اكتوبر 2021).