مقالات

3.8E: تمارين - رياضيات


لا توجد تمارين يمكن العثور عليها هنا!

ابحث في Blackboard ، في مواد الدورة التدريبية.


أسئلة الجبر مع الإجابات والحلول - الصف 12

يتم عرض أسئلة الجبر للصف 12 مع الإجابات والحلول. قد تكون بعض هذه الأسئلة صعبة عليك أن تقضي وقتًا فيها لأن هذه هي الأسئلة التي تجعلك تفكر وتتعلم كيفية حل المشكلات. كما يعد العمل الجماعي على الأسئلة الصعبة فرصة ممتازة للتفاعل مع الآخرين والتعلم منهم. اسمحوا لي أن أعرف أي حلول أخرى ممكنة لأي من الأسئلة أدناه.

حلول للمشاكل المذكورة أعلاه


  1. 25 100
    2 300 = (2 3 ) 100 = 8 100
    3 400 = (3 4 ) 100 = 81 100
    4 200 = (4 2 ) 100 = 16 100
    2600 = (2 6) 100 = 64100 من الأكبر إلى الأقل: 3400 ، 2600 ، 25100 ، 4200 ، 2300

  2. P (x) = x 3 - 7x + 6: معطى
    المعامل الرئيسي 1 وعوامله هي: + 1، -1
    الحد الثابت هو 6 وعوامله هي: + 1 ، -1 ، + 2 ، -2 ، + 3 ، -3 ، + 6 ، -6
    الأصفار المنطقية المحتملة: + 1 ، -1 ، + 2 ، -2 ، + 3 ، -3 ، + 6 ، -6
    الاختبار: P (1) = 0 ، P (2) = 0 و P (-3) = 0
    x = 1 و x = 2 و x = -3 هي أصفار P (x).

  3. من الرسم البياني ، x = -3 هو صفر من تعدد 2 ، x = 0 هو صفر من التعدد 1 و x = 2 هو صفر من التعدد 2.
    P (x) = -x (x + 3) 2 (x - 2) 2: متعدد الحدود بأصفار حقيقية ومن ثم مع أدنى درجة.
  4. )
    إذا كانت 2 - i صفرًا وكانت معاملات كثير الحدود حقيقية ، فإن 2 + i (المرافق) هو أيضًا حل.
    الفوسفور (x) = (x - (2 - i)) (x - (2 + i)) * q (x) = ((x - 2) 2 + 1) * q (x)
    ف (س) = الفوسفور (س) / ((س - 2) 2 + 1) = (س 2-2)
    x = 2 - i ، x = 2 + i ، x = & # 87302 و x = - & # 87302 هي 4 أصفار P (x).

  5. و (س) = أ (س + 2) 2 + 1: معادلة القطع المكافئ في شكل رأس
    و (0) = -3 = 4 أ + 1
    أ = -1: حل ل
    و (س) = - (س + 2) 2 + 1 = -س 2 - 4x - 3
    أ = -1 ، ب = -4 ، ج = -3: تحديد المعاملات

  6. و (س) = فأس 2 + ب س + ج
    f (1) = 3 والتي تعطي 3 = a + b + c
    f (5) = 3 ما يعطي 3 = 25a + 5b + c
    24 أ + 4 ب = 0: اطرح المعادلة ب من المعادلة ج
    x إحداثي قمة الرأس = -b / 2a = 3: من أعلى المعادلة

  7. الخط المقارب المائل هو حاصل القسمة المطولة للفأس 4 + bx 3 + 3 على x 3-2
    الحاصل الذي تم الحصول عليه هو ax + b
    الفأس + ب = 2 س - 3
    أ = 2 و ب = -3: لكي تتساوى كثيرات الحدود ، يجب أن تكون المعاملات المقابلة متساوية.

  8. سجل9(× 3) = سجل2(8): معطى
    سجل2(2 3) = 3: بسّط الجانب الأيمن من المعادلة المعطاة.
    سجل9(× 3) = 3: أعد كتابة المعادلة أعلاه
    سجل9(× 3) = سجل9(9 3): أعد كتابة 3 كأساس لوغاريتمي 9.
    x 3 = 9 3: احصل على معادلة جبرية من eqaution D.
    x = 9: حل المشكلة أعلاه من أجل x.

  9. سجلx(ص 3) = 2: معطى
    x 2 = y 3: أعد الكتابة بالصيغة الأسية
    × 4 = ص 6: تربيع كلا الجانبين
    x 4 = y 6: أعد كتابة ما سبق باستخدام لوغاريتم الأساس y
    سجلذ(× 4) = سجلذ(ص 6) = 6

  10. سجلx(8e 3) = 3: معطى
    س 3 = 8 هـ 3 = (2 هـ) 3
    س = 2 هـ

  11. 16 × + 16 × - 1 = 10: معطى
    4 2 س + 4 2 س / 16 = 10
    ٤ ٢ س = ١٦٠/١٧: حل ل ٤ ٢ س
    4 x = 4 & # 8730 (10) / & # 8730 (17): استخرج الجذر التربيعي
    2 2x = 4 x = 4 & # 8730 (10) / & # 8730 (17)

  12. أ 2 - ب 2 = 8: معطى
    أ 4 + ب 4 - 2 أ 2 ب 2 = 8 2: قم بتربيع كلا الجانبين وقم بالتوسيع.
    أ * ب = 2: معطى
    أ 2 ب 2 = 2 2: تربيع كلا الجانبين.
    أ 4 + ب 4 - 2 (4) = 8 2: بديل
    أ 4 + ب 4 = 72

  13. -1 & # 8804 sin (2x - & # 960/3) & # 8804 1: نطاق دالة الجيب
    -2 & # 8804 2sin (2x - & # 960/3) & # 8804 2: اضرب كل حدود عدم المساواة المزدوجة في 2
    -2 - 5 & # 8804 2sin (2x - & # 960/3) - 5 & # 8804 2 - 5: أضف -5 لجميع حدود المتباينة.
    -7 & # 8804 2sin (2x - & # 960/3) - 5 & # 8804 -3
    3 & # 8804 | 2sin (2x - & # 960/3) - 5 | & # 8804 7: قم بتغيير ما سبق باستخدام القيمة المطلقة.
    3 + 3 & # 8804 | 2sin (2x - & # 960/3) - 5 | + 3 & # 8804 7 + 3: أضف 3 لكل حدود المتباينة المزدوجة.
    الحد الأقصى لقيمة f (x) يساوي 10 والحد الأدنى لقيمة f (x) يساوي 6.

  14. إذا كانت x & lt -7 ثم x & lt - 3 و x + 3 & lt 0 و | 3 + x | = - (3 + س)
    | 4 - | 3 + س || = | 4 + 3 + س | = | س + 7 | = - (x + 7) = - x - 7: منذ x + 7 & lt 0

  15. لنفترض أن d هي المسافة بين A و B
    T1 = d / 50: وقت السفر من A إلى B
    لنفترض أن S هي السرعة من B إلى A.
    T2 = d / S: وقت السفر من B إلى A.
    60 = 2d / (T1 + T2): متوسط ​​السرعة لكامل الرحلة
    60 = 2d / (d / 50 + d / S): استبدل T1 و T2
    S = 75 كم / ساعة: حل المعادلة أعلاه لـ S.

  16. س 2 - ص 2 = (س - ص) (س + ص) = -12: معطى
    6 (x - y) = -12: عوض بـ x + y بـ 6
    (x - y) = -2: حل من أجل x - y
    (س - ص) = -2 و س + ص = 6: 2 × 2 نظام.
    س = 2 ، ص = 4: حل النظام أعلاه.

  17. و (س) + 3 و (8 - س) = س: معطى
    و (2) + 3 و (6) = 2: س = 2 أعلاه
    و (6) + 3f (2) = 6: س = 6 أعلاه
    و (6) = 6 - 3f (2): حل المعادلة C من أجل f (6)
    f (2) + 3 (6 - 3f (2)) = 2: بديل
    f (2) = 2: حل المعادلة أعلاه.

  18. f (2x + 1) = 2f (x) + 1: معطى
    و (3) = 2f (1) + 1: س = 1 في أ
    و (1) = 2f (0) + 1: س = 0 في أ
    و (3) = 11: بديل

  19. س 2 + ص 2 = 4: معطى
    x 2 + (2x + b) 2 = 4: عوض عن y ب 2x + b
    5 س 2 + 4 ب س + ب 2 - 4 = 0
    يتم تحديد عدد نقاط التقاطع بعدد حلول المعادلة أعلاه. يكون الخط والدائرة مماسًا إذا كان للمعادلة التربيعية أعلاه حل واحد فقط مما يعني أن المميز يساوي صفرًا. أوجد المميز كدالة في b وحل.
    ب = & # 87302 و ب = - & # 87302: 2 حلين.

  20. (x 100 - x 99 - x + 1) / (x 2-3x + 2)
    دع P (x) = x 100 - x 99 - x + 1، D (x) = x 2-3x + 2
    يمكن كتابة قسمة كثيرات الحدود على شكل
    P (x) = D (x) Q (x) + r (x) ، حيث Q (x) هو حاصل القسمة و r (x) هو الباقي الذي سيكون له درجة تساوي واحدًا أو أقل. ص (س) = أ س + ب
    نحتاج الآن إلى إيجاد a و b اللذين يحددان الباقي.
    لاحظ أنه يمكن تحليل D (x) على النحو التالي: D (x) = x 2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2)
    ومن ثم: P (x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b
    باستخدام أصفار D (x) لكتابة:
    P (1) = (1 - 1) (1 - 2) Q (1) + a (1) + b تعطي a + b = P (1)
    P (2) = (2-1) (2-2) Q (2) + a (2) + b تعطي 2 a + b = P (2)
    نحتاج الآن إلى إيجاد قيمة P (1) و P (2)
    الفوسفور (1) = 1100-1 99 - (1) + 1 = 0
    أعد كتابة أولاً P (x) = x 99 (x - 1) - x + 1 ومن ثم P (2) = 2 99 (2-1) - 2 + 1 = 2 99-1
    لدينا الآن نظام معادلات لحلها وإيجادها.
    أ + ب = 0 و 2 أ + ب = 99 2-1
    أ = 99-2 ، ب = 1 - 2 99
    الباقي: r (x) = (2 99-1) x + 1 - 2 99

  21. دع y = & # 8730 (1/3 + & # 8730 (1/3 + & # 8730 (1/3 +.))).
    قم بتربيع كلا الجانبين للحصول على: y 2 = 1/3 + & # 8730 (1/3 + & # 8730 (1/3 + & # 8730 (1/3 +.)))
    يمكننا كتابة: ص 2 = 1/3 + ص
    حل المعادلة التربيعية أعلاه للحصول على: y = (3 + & # 8730 (21)) / 6 and y = (3 - & # 873021) / 6
    y موجبة ومن ثم الحل: & # 8730 (1/3 + & # 8730 (1/3 + & # 8730 (1/3 +.))) = y = (3 + & # 8730 (21)) / 6

سمات

  • اقرأها الروابط الموجودة أسفل كل سؤال تنتقل بسرعة إلى القسم المقابل من ملف كامل الكتاب الاليكتروني.
  • أ حزمة الدورة مع مهام جاهزة للاستخدام أنشأها خبراء في الموضوع خصيصًا لهذا الكتاب المدرسي ، تم تصميمه لتوفير الوقت ، ويمكن تخصيصه بسهولة لتلبية أهدافك التعليمية.
  • محاضرة فيديو متوفرة كمورد كتاب مدرسي جنبًا إلى جنب مع بنك اختبار كامل للأسئلة.

التحايل على مشكلة سوء التكييف مع وظائف الأساس الشعاعي متعدد المقاييس: تطبيقات على المعادلات التفاضلية الجزئية الناقص

أثبت ماديتش ونيلسون [1] أن وظائف الأساس الشعاعي المستقل عن الشبكة المتعددة (MQ) تتمتع بتقارب أسي. العيب الأساسي لنظام MQ هو أنه عالمي ، وبالتالي ، فإن مصفوفات المعامل التي تم الحصول عليها من مخطط التقدير هذا ممتلئة. تميل المصفوفات الكاملة إلى أن تصبح تدريجيًا أكثر سوءًا مع زيادة الرتبة.

في هذه الورقة ، نستكشف عدة تقنيات ، كل منها يحسن تكييف مصفوفة المعامل ودقة الحل. الطرق التي تم التحقيق فيها هي 1.

(1) استبدال المذيبات العالمية بتقسيم الكتل ، وخطط تحلل LU ،

(3) معلمات شكل MQ المتغيرة بناءً على نصف القطر المحلي لانحناء الوظيفة التي يتم حلها ،

(4) دالة أساس MQ مقطوعة ذات عرض نطاق محدود بدلاً من عرض نطاق كامل ،

(5) طرق متعددة المناطق لمشاكل المحاكاة الكبيرة ، و

(6) عقدة التكيف التي تقلل العدد الإجمالي للعقد المطلوبة في مشكلة المحاكاة.

تساهم التركيبة الهجينة لهذه الطرق في إيجاد حلول دقيقة للغاية.

على الرغم من أن FEM تؤدي إلى ظهور مصفوفات معاملات متفرقة ، إلا أن هذه المصفوفات في الممارسة يمكن أن تصبح سيئة للغاية. نوصي باستخدام ما تم تعلمه من ممارسي FEM والجمع بين أساليبهم مع ما تم تعلمه في محاكاة RBF لتشكيل نهج هجين مرن لحل المشكلات المعقدة متعددة الأبعاد.


قواعد إيجاد المشتقات


بعبارة ملطفة ، سيكون هذا الحساب غير سار. نود أن نجد طرقًا لحساب المشتقات دون استخدام تعريف المشتق بشكل صريح باعتباره نهاية حاصل قسمة الفرق. النتيجة الأولية المفيدة هي ما يلي:

مشتق من ثابت
lf c هو أي رقم حقيقي وإذا كانت f (x) = c لكل x ، فإن f '(x) = 0 لكل x. أي أن مشتق دالة ثابتة هو دالة الصفر.

من السهل رؤية هذا هندسيًا. بالإشارة إلى الشكل 1 ، نرى أن الرسم البياني للدالة الثابتة f (x) = c هو خط أفقي. بما أن ميل الخط الأفقي يساوي 0 ، والخط هو مماس خاص به ، فإن ذلك يعني أن ميل خط المماس يساوي صفرًا في كل مكان.
نعطي بعد ذلك قاعدة للاشتقاق f (x) = x n حيث n هو أي عدد حقيقي. تم بالفعل التحقق من بعض النتائج التالية في القسم السابق ، و
يمكن التحقق من الآخرين باستخدام تعريف المشتق.


يقترح هذا النمط الصيغة العامة التالية لقوى n حيث n عدد صحيح موجب.

في الواقع ، قاعدة القوة صالحة لأي عدد حقيقي n وبالتالي يمكن استخدامها للتمييز بين مجموعة متنوعة من الوظائف غير متعددة الحدود. يوضح المثال التالي بعض تطبيقات قاعدة القوة.

مثال 1

قم بتمييز كل من الوظائف التالية:


(أ) بما أن f (x) = 5 ، فإن f دالة ثابتة ومن ثم فإن f '(x) = 0.

(ب) مع n = 15 في قاعدة الأس ، f '(x) = 15x 14

(ج) لاحظ أن f (x) = x 1/2. ومن ثم ، مع n = 1/2 في قاعدة الأس ،


(د) بما أن f (x) = x -1 ، فإنه يتبع من قاعدة القوة أن f '(x) = -x -2 = -1 / x 2

قاعدة التفريق بين الوظائف الثابتة وقاعدة القوة هي قواعد تفاضل صريحة. تخبرنا القواعد التالية عن كيفية إيجاد مشتقات مجموعات من الوظائف من حيث مشتقات الأجزاء المكونة لها. في كل حالة ، نفترض أن f '(x) و g' (x) موجودان وأن A و B هما ثوابت.

توفر لنا القواعد الأربعة المذكورة أعلاه ، جنبًا إلى جنب مع قاعدة التفريق بين الدوال الثابتة وقاعدة القوة ، تقنيات لتمييز أي دالة يمكن التعبير عنها كقوة أو جذر لحاصل قسمة الدوال متعددة الحدود. السلسلة التالية من الأمثلة توضح ذلك. سيتم تبرير قاعدة الخطية وقاعدة المنتج في نهاية القسم ، يظهر دليل على قاعدة القوة الممتدة في القسم الموجود في قاعدة السلسلة.

الحل باستخدام قاعدة الخطية ، نرى ذلك


f '(x) = a (x3)' + b (x2) '+ c (x)' + (d) '= 3ax ^ 2 + 2bx + c

يمكن تعميم المثال 3 على النحو التالي:

كثير حدود من الدرجة n لها مشتق في كل مكان ، والمشتق هو كثير حدود من الدرجة (n - 1).

نستخدم أولاً قاعدة حاصل الضرب ، حيث أن f (x) معطاة على أنها حاصل ضرب x 2 و x 2 - x + 1:


تم حل الجبر الخطي الإصدار الثالث الصحيح

أدناه ، يمكنك العثور على روابط إلى حلول الجبر الخطي التي تم إجراؤها بالطبعة الثالثة الصحيحة بواسطة Axler.

يرجى قراءة هذه الحلول فقط بعد التفكير في المشاكل بعناية. لا تقم فقط بنسخ هذه الحلول.

كتب الجبر الخطي المفضلة لدي

كتب الجبر الخطي الجيدة (غير كاملة)

الجبر الخطي للتعلم الآلي (العميق)

قائمة المحتويات

تحتوي هذه المشاركة على 34 تعليقًا

فيسنتي خيمينيز

أردت فقط أن أقول هذا رائع. باعتباري شخصًا يدرس كتاب أكسلر بنفسه ، فأنا أقدر عملك حقًا.

Lttytrty

جوباسو

هل من الممكن المساهمة بالحلول؟ أنا أعمل من خلال القياس والتكامل والتحليل الحقيقي لـ Axler. لقد كان هذا الموقع مفيدًا وأتمنى المساهمة بشيء ما.

الكمية

يرجى إكمال جميع حلول الجبر الخطي لـ Hoffman Kunze وخاصة الفصل 7 8 9 10.

الخطية

كان هذا الموقع لا يقدر بثمن بالنسبة لي للتعلم (من خلال الدراسة الذاتية) الجبر الخطي لـ Axler. هل هناك احتمال أن تفعل الشيء نفسه مع كتاب Axler's Measure، Integration، Real Analysis؟

مجهول

أردت فقط أن أخبرك أن هذه المدونة تعني الكثير بالنسبة لي فقد ساعدتني في تصفح كتاب هوفمان كونزي (وهو كتاب رائع ، أوصي به بالتأكيد.) شكرًا جزيلاً لك!

أين يمكنني التبرع لك؟
بدونك لم أكن لأفعل ذلك أبدًا

الخطية

شكرا جزيلا. إذا كنت ترغب حقًا في التبرع ، فيرجى التبرع لصندوق الإغاثة الأمريكي PayPal COVID-19

تشينيانغ تان

في الصفحة 156 من LADR ، يحتوي دليل 5.38 على خطأ إملائي صغير:
حيث يكون كل $ u_j $ في $ E ( lambda_j، T) $.
لقد أسقطت الثانية ي.
اتمنى لك يوم جيد.

تشينيانغ تان

أوه ، اعتقدت أنك مؤلف LADR. لا تهتم. لول

الخطية

هنا الموقع الرسمي لهذا الكتاب. http://linear.axler.net

سيتشنغ

في انتظار المساعدة: لا يمكنني العثور على قائمة الأخطاء في الجبر الخطي الذي تم بشكل صحيح (3E).

KK ميسرا

يا لها من منصة رائعة لتعلم الجبر الخطي والتحليل الحقيقي. أحسنت. واصل التقدم!

رائع! يا لها من مدونة رائعة لأولئك الذين يريدون استكشاف الجبر الخطي!

جو سميث

لابد أن أكون متعبًا جدًا ، لكن كيف يعمل 1.A: 2؟ ولا يوافق ولفرام ألفا حتى على ذلك. ولا لحساب المربع أو المكعب = 1.

بدأت بداية مروعة في محاولة التخلص من مهاراتي في الجبر الخطي ، هاها!

انتظر دقيقة. أني لست تحت علامة الراديكالية! وجه ضاحك

روبرت براوننج

أولا وقبل كل شيء، شكرا لك. يا له من مورد رائع.
ثانيًا ، أنا أدرس للامتحان التأهيلي وأستخدم كتاب أكسلر. هل لديك ملف TeX أو pdf لجميع الحلول المجمعة؟
شكرا لك مرة أخرى.

وو جينيانغ

إثبات 7.36 مروع. استغرق مني وقتا طويلا لفهم هذه النقطة.
في الواقع ، يمكن أن يكون الأمر أسهل بمجرد إظهار أن المتجهات الذاتية لـ R (الجذر التربيعي) هي أيضًا المتجهات الذاتية لـ T (القيمة الذاتية لـ T هي مربع القيمة الذاتية لـ R فيما يتعلق بنفس المتجه الذاتي) ، وهو أمر صحيح تمامًا بديهي.

محمد الرشيدي

آسف ، أنا لا أفهم منطقك تمامًا. تتطلب المشكلة إظهار أن الجذر التربيعي فريد من نوعه. وبالتالي قد يكون هناك العديد من الخيارات المختلفة للجذور التربيعية. بالنسبة للجذور التربيعية المختلفة ، قد تكون المتجهات الذاتية مختلفة أيضًا.

منطق الإثبات من الكتاب واضح تمامًا بالنسبة لي.

وو جينيانغ

لنفترض أن R هو الجذر التربيعي الموجب لـ T.
ثم من تعريف العوامل الإيجابية ، R هي ذاتية المعايرة. لذلك ، يمكن أن يكون لـ V أساس متعامد يتكون من المتجهات الذاتية لـ R. فليكن e1 ،. en. دع a1. أن تكون وفقا لقيم eigenvalues.
وهكذا Rei = aiei للجميع أنا = 1. ن
ثم RRei = ai ^ 2 * ei. بما أن R هو الجذر التربيعي لـ T.
T ei = ai ^ 2 * ei. مما يدل على أن e1. en هي أيضًا نواقل ذاتية لـ T.
ثم T لديك e1. ar كمتجهات ذاتية (متعامدة وتعمل كأساس في نفس الوقت) ، مع a1 ^ 2. و ^ 2 كقيم ذاتية.

افترض أن هناك جذرًا تربيعيًا موجبًا آخر ، دعنا نسميه R1. دع v1. vn يكون أساسًا متعامدًا يتكون من متجهات ذاتية. و ب 1. bn تكون وفقا للقيم الذاتية. بنفس المنطق b1 ^ n. bn ^ 2 هي قيم ذاتية لـ T.

وبالتالي فإن مسافات eigenspace لـ R و R1 فيما يتعلق بنفس القيمة الذاتية متطابقة. (تذكر أن العوامل الموجبة لها قيم ذاتية غير سالبة ، إذا كان b1 ^ 2 = a1 ^ 2 ، فنحن نعلم بالتأكيد أن b1 = a1). و eigenspace متعامد مع بعضها البعض (حيث تمتد من خلال ناقلات متعامدة مميزة). نظرًا لأن المجموع المباشر لـ eigenspace يساوي V. يمكننا تطبيق هذه الخدعة مثل "الإسقاط المتعامد" لإظهار أن Rv = R1v لكل v لـ V.

وهكذا نعلم أن R و R1 متطابقتان ، إلا أن عرضهما في شكل المصفوفة قد يكون مختلفًا قليلاً.

محمد الرشيدي

انت على حق. أعتقد أنك تفعل نفس الشيء (تقريبًا) مثل الكتاب المدرسي في شكل مختلف.

من الجيد أن يكون لديك نهج آخر. قد يكون فهم الجميع لمشكلة معينة مختلفًا. من الصعب تحديد أيهما جيد أم سيئ. خذ الشخص الذي يناسبك.


3.8E: تمارين - رياضيات

ك. لابيل ، أ.موران ، د. هوكينز ، أ. ساندرز
ناسا / مركز جودارد لرحلات الفضاء ، كود 735.1
جرينبيلت ، ماريلاند 20771

C. Seidleck
هيوز / شركة أنظمة ST
جرينبيلت ، ماريلاند 20771

إتش كيم ، جي فورني
جاكسون وتول
جرينبيلت ، ماريلاند 20771

على سبيل المثال ستاسينوبولوس
ناسا / مركز جودارد لرحلات الفضاء ، كود 900
جرينبيلت ، ماريلاند 20771

ر.باري
ناسا / مركز جودارد لرحلات الفضاء ، كود 734
جرينبيلت ، ماريلاند 20771

نقدم نتائج الاختبار الأرضي لتأثير حدث واحد للأيونات الثقيلة والبروتونات (SEE) لإلكترونيات المركبات الفضائية المرشحة. تشمل مجموعة متنوعة من الأجهزة التناظرية والرقمية التي تم اختبارها ADCs ومحولات DC-DC و DRAM والأجهزة الخطية والمعالجات الدقيقة.

I. مقدمة

نظرًا لأن مصممي المركبات الفضائية والمركبات الفضائية يستخدمون بشكل متزايد عددًا متزايدًا من الأجهزة التكنولوجية التجارية مقابل المكونات الأكثر تقليدية للإشعاع (RH) من أجل تلبية متطلبات المركبات الفضائية الصارمة في مجالات مثل الحجم والوزن والطاقة والتكلفة والجدول الزمني ، أصبح اختبار SEE الأرضي مفتاح في العديد من برامج رحلات الفضاء.

كان الهدف من هذه الدراسة هو تحديد عتبة النقل الخطي للطاقة (LET) (الحد الأدنى لقيمة LET لإحداث تأثير عند تدفق جسيمات 1E7 / سم 2) ومقطع تشبع للإلكترونيات المركبة الفضائية المرشحة للاضطراب الفردي (SEU) و مزلاج (SEL) بسبب البروتونات والأيونات الثقيلة.

II. تقنيات الاختبار والإعداد

أ. منشأة اختبار الأيونات الثقيلة

كانت منشأة الاختبار المستخدمة لتجارب الأيونات الثقيلة هي منشأة اختبار اضطراب الأحداث الفردية (SEUTF) في Brookhaven National Laboratories (BNL). يستخدم SEUTF معجل Van De Graaf ترادفيًا مناسبًا لتوفير أيونات وطاقات مختلفة. يتم تثبيت لوحات الاختبار التي تحتوي على الجهاز قيد الاختبار (DUT) داخل غرفة التفريغ.

يتم سرد الأيونات المستخدمة في الجدول 1. تم الحصول على LETs الوسيطة عن طريق تغيير زاوية حدوث DUT إلى الحزمة الأيونية ، وبالتالي تغيير طول مسار الأيون عبر DUT.

تعتبر الطاقات و LETs اسمية بسبب الاختلافات الطفيفة في الحزمة في تواريخ اختبار متعددة خلال السنة التقويمية. كانت تدفقات الجسيمات للأيونات الثقيلة نموذجياً 1E3 - 1E5 جسيمات / سم 2.

مرفق اختبار البروتون

كانت منشأة الاختبار المستخدمة لاختبار البروتون SEE هي منشأة سايكلوترون بجامعة كاليفورنيا في ديفيس (UCD). تم قياس طاقات وتدفقات البروتون على أنها تلك الواقعة على حزمة DUT. تراوحت طاقات الاختبار من 22 إلى 63 MeV حادث على جهاز الاختبار.

طريقة الاختبار

تم استخدام ثلاثة أوضاع للاختبار ، اعتمادًا على DUT:
تم إجراء جميع الاختبارات في درجة حرارة الغرفة.

ثالثا. نتائج الإختبار

يظهر ملخص للأجهزة ونتائج الاختبار في الجدول 3 ، بعد الورقة.

نتائج ومناقشة

خضعت الأجهزة لتوصيف SEU / SEL كامل للأيونات الثقيلة فقط ، ما لم يُنص على خلاف ذلك.

أ. FPGAs (صفائف البوابة القابلة للبرمجة الميدانية)

1. A1280A FPGA
كانت الأهداف الأصلية المحددة لهذا الاختبار على النحو التالي
الوضع 0: يفحص المخزن المؤقت للإدخال وسجل الإزاحة التسلسلي
الوضع 1: يفحص المخزن المؤقت للإخراج وخط الساعة

كان من المقرر اختبار كل وضع بثلاثة أنماط (كل 1 ، وكل 0 ، ونمط محدد). أثناء الاختبار السابق ، لم يعرض هذا الجهاز أي اعتماد على الساعة. ومع ذلك ، فقد تبين أن الوضع 0 يكون أكثر حساسية لكفاءة استخدام الطاقة عند استخدام النمط المحدد. كان فحص هذا الاتجاه هو أن يكون الهدف الرئيسي في هذا الاختبار. عند 1 ميجاهرتز ، في الوضع 0 ، بنمط محدد ، رسم هذا الجهاز تيارًا قدره & gt40mA (على عكس & lt5mA بنفس السرعة والوضع بنمط ثابت). تمت زيادة التيار بسبب تبديل الإدخال والإخراج من سجل التحول التسلسلي ، مما قد يتسبب في أن يكون الجهاز أكثر حساسية لوحدات تحسين محركات البحث.

في ظل هذه الحالة الحساسة ، تعرض الجهاز لأول مرة لـ LET 26.4 ، وكان لا يزال يعمل بعد التعرض للشعاع. بعد ذلك ، تم استخدام LET من 59.6. على الفور تقريبًا ارتفع التيار إلى 80 مللي أمبير (ضعف تيار التشغيل الأصلي) وحدثت حالة مدمرة ، مما جعل الجهاز غير صالح للعمل. يتوفر المزيد من الاختبارات والمعلومات المتعلقة باختبار A1280 من R. Katz وآخرون. [1]

ب. EEPROMs (ذاكرة للقراءة فقط قابلة للمسح وقابلة للبرمجة كهربائيًا)

1. HN58C1001 Hitachi 1 Mbit (128Kx8) EEPROM
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. Vcc ، في وضع الاستعداد ، هو 5V / 4mA. تم ضبط SEL الحالي على 50 مللي أمبير. لم يلاحظ أي علامة على مزلاج حتى الحد الأقصى لقيمة LET المختبرة البالغة 90.

2. 28C256 SEEQ 256 kbit (32Kx8) EEPROM
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. الاسمي Vcc (في وضع الاستعداد) هو 5V / 7mA. تم ضبط SEL الحالي على 70mA. لم يلاحظ أي علامة على مزلاج حتى الحد الأقصى للاختبار LET البالغ 90.

1. AD524 الدقة أجهزة مكبر للصوت
تم تشغيل DUT خطوة بخطوة باستخدام جهاز مرجعي ، بإدخال ذروة + 5 فولت إلى ذروة موجة جيبية وتيار تشغيل يبلغ 3.6 مللي أمبير. تمت مقارنة الخرج عند 10 كيلو هرتز مع -1V المسموح به لضوضاء الدائرة. تمت مراقبة الأجهزة بحثًا عن مزلاج (5 مللي أمبير). تم العثور على SEU LETth ليكون

11.5 مع أقصى مقطع عرضي 1E-3 سم 2 / الجهاز. لم يلاحظ أي SEL لـ LETs حتى 80.

2. AD565A عالي السرعة 12 بت DAC (محول رقمي إلى تناظري)
كان Vcc الاسمي هو 12 فولت عند + 4 / -17 مللي أمبير. تم ضبط SEL الحالي على + 5mA / -20mA. تم تشغيل الجهاز بمدخل يصل إلى أعلى لإخراج سن المنشار التناظري. تم تعريف SEU على أنها اختلاف 0.5 فولت أو أكبر بين DUT والجهاز المرجعي. في ظل ظروف الاختبار هذه ، لم تتم ملاحظة أي من SEUs أو SEL حتى 80 LET كحد أقصى تم اختباره. ومن المتوقع حدوث أخطاء عابرة أقل من 0.5 فولت من الأيونات الثقيلة.

3. HS5212 12 بت ADC (محول تناظري إلى رقمي)
في هذا الاختبار ، تمت مقارنة الإخراج الرقمي للجهاز بالقيمة المتوقعة. تم احتساب أي اختلاف في 7 بتات الإخراج الأكثر أهمية ، أي ما يعادل 160 مللي فولت عند إدخال الجهاز ، على أنه SEU. الضوضاء في إعداد الاختبار حالت دون دقة أعلى. LETth لصفر الاضطرابات هو

1.44. الحد الأقصى للمقطع العرضي للجهاز هو

1.0E - 3 سم 2. SEL LETth هو & gt 80 عند مقطع عرضي & lt 1E-7 cm2.

4. 7820RP / 372 8 بت ADC
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد هذا الجهاز بـ + 5 فولت و Icc الاسمي 6 مللي أمبير ، مع ضبط تيار المزلاج عند 20 مللي أمبير. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 80 ، مع المقطع العرضي & lt1E-7 cm2 / الجهاز.

5. DAC08AQ 8 بت DAC
هذا الجهاز عبارة عن محول رقمي إلى تناظري 8 بت حيث يتم إخراج التيار الحقيقي ، وليس الجهد ، من خلال مخرجات تكميلية مزدوجة. أثناء التشعيع ، تم تشغيل DUT بالتزامن مع جهاز مرجعي. تم تحويل الإخراج من DUT إلى جهد بنطاق خرج 10 فولت. ثم تمت مقارنة مخرجات DUT والمرجع عبر مقارنين تناظريين حيث تم حساب أي تباين & gt50mA على أنه SEU. كانت Icc عبارة عن 6mA اسمية مع ضبط تيار مزلاج عند 8mA. تم العثور على SEU LETth ليكون

3.5 مع مقطع عرضي بحد أقصى 1.9E-2 سم 2 / جهاز. لم يتم قفل الجهاز لقيم LET حتى 80.

يوضح الشكل 1 المقطع العرضي لـ SEU للجهاز للعديد من الأجهزة التناظرية التي تم اختبارها.

1. SSP-21110-025 وحدة التحكم في طاقة الحالة الصلبة (SSPC)
يمكن تقسيم SSPC إلى قسمين قسم تحكم وقسم طاقة. يتكون قسم التحكم من ASICs ذات الملكية المكتظة بالسكان والمكونات السلبية المثبتة على السطح. يتم تصنيع ASICs باستخدام تقنية القطبين. تمت مراقبة عملية قسم التحكم عن طريق مسجل المخطط الشريطي ، وراسم الذبذبات عالي السرعة ، وفحص الحد الحالي ، مع عدم وجود أعطال لـ LETs حتى 80. واعتبر قسم الطاقة في SSPC ، الذي يتألف بشكل أساسي من عدد من وحدات MOSFET ذات الطاقة NMOS ، أكثر حساسية إلى snapback حدث واحد (SES) ، نضوب حدث واحد (SEB) ، وتمزق بوابة حدث واحد (SEGR). تضمن اختبار SEB تشغيل الأجهزة بمصدر عالي السعة بأقصى جهد ناقل عادي (35 فولت) ، وأقصى تيار مشتق من PPL (19 أمبير) ، وزوايا الحزمة الأيونية تتراوح من العادي إلى 22 درجة ، مع التحقق من تغييرات الوضع غير المطلوبة مواطن الخلل في كلا الوضعين الثابت. لم يتم اكتشاف SEE أو القوة أو التحكم للأجهزة لـ LETs حتى 80 في طلاقة 1E7.

2. محولات الطاقة DC-DC
تم اختبار جميع محولات الطاقة الستة التالية باستخدام نفس إعداد الاختبار. بسبب قيود قطر الحزمة ، تم تشعيع الأجزاء العلوية والسفلية من هذه الأجهزة بشكل منفصل.

أثناء التشعيع ، تم تشغيل DUT بخطوة مع جهاز مرجعي أثناء مراقبة أربعة أنواع من SEU. كانت أخطاء الحالة المستقرة أو المستوى عبارة عن تناقضات بين مخرجات المرجع و DUT تدوم لفترة أطول من 1 ميكروثانية. كانت أخطاء الخلل أو الأخطاء العابرة عبارة عن اختلافات بين مخرجات المرجع و DUT تدوم أقل من 1 ميكروثانية. تمت الإشارة إلى الأخطاء المدمرة بواسطة الظروف الحالية المرتفعة (SEL) وتمزق بوابة الحدث الفردي (SEGR). كانت الأخطاء الوظيفية خاصة بالجهاز.

أ. AHE2815 DC-DC محول الطاقة

تم اختبار محول الطاقة DC-DC مع كل من المدخلات العادية: 28V ، 350mA (المخرجات 15V ، 375mA) ، وكذلك مع المدخلات 34V ، 272mA. حدثت كل من أخطاء الحالة الثابتة والخلل ، مع وجود SEU LETth بين 20 و 26. وأرسلت أخطاء quotSwitchoff & quot الجهاز إلى وضع غير وظيفي ، وتطلبت إعادة تعيين الطاقة للجهاز ليعمل بشكل طبيعي مرة أخرى. كان هذا الشرط LETth بين 20 و 26. كان SEU LETth لأخطاء PM بين 20 و 26.6. شوهد SEGR عند LET 59.6 على عينة DUT واحدة مع إدخال 28V ، وفي جهاز آخر عند LET من 26.6 مع إدخال 34V ، ولكن لم يتم رؤيته في DUTs الأخرى.

يقارن الشكل 2 المقاطع العرضية لكبار المسئولين الاقتصاديين للجهاز للأنواع المختلفة من SEU التي تمت ملاحظتها.

ب. 2690R-D15F DC-DC محول الطاقة

تم اختبار محول الطاقة DC-DC مع المدخلات الاسمية 28V ، 175mA (المخرجات 15V ، 300mA) ، وكذلك مع المدخلات 34V ، 149mA. لم يتم رصد أخطاء الخلل وأخطاء الحالة المستقرة. حدث خطأ تلقائي في إعادة تعيين الطاقة مع LETth بين 4 و 8. سينخفض ​​خرج DUT من 15V الاسمي إلى 0V والعودة إلى 15V ، مع منحنى تباطؤ إعادة التعيين النموذجي وعرض نبضة يبلغ حوالي 10 مللي ثانية. لم تُشاهد أي ظروف مدمرة في أي عينة لـ LETs حتى حد أقصى تم اختباره يبلغ 72 ، حتى مع إدخال 34V.

ج. محول الطاقة MFL2805S DC-DC

هذا الجهاز عبارة عن محول طاقة DC-DC بمدخلات اسمية تبلغ 28 فولت عند 125 مللي أمبير ، مع مخرج واحد يبلغ 5 فولت. لم يتم مشاهدة أي أخطاء عابرة في الإخراج أو ظروف مدمرة على هذا النوع من الأجهزة ، في LETs حتى حد أقصى تم اختباره يبلغ 72.

د. محول الطاقة MFL2812S DC-DC

هذا الجهاز عبارة عن محول طاقة DC-DC بمدخلات اسمية تبلغ 28 فولت عند 180 مللي أمبير ، وإخراج 12 فولت. حدثت أخطاء ثابتة في الحالة ، مع LETth

50 ، ولكن لم يتم رؤية أخطاء خلل. كان المقطع العرضي للجهاز لخطأ الحالة المستقرة 5E-6 cm2 / الجهاز. لم تشاهد أي ظروف مدمرة في أي عينة في LETs بحد أقصى 72.

ه. محول الطاقة MFL2815D DC-DC

تم اختبار محول الطاقة DC-DC مع المدخلات العادية 28V ، 410mA (المخرجات المزدوجة 15V) ، وكذلك مع المدخلات 34V ، 360mA. حدثت حالة خاصة لخطأ في الحالة المستقرة تطلب إعادة تعيين الطاقة. كانت الحالة LETth بين 45 و 59.7. لم تُشاهد أي ظروف مدمرة في أي عينة في LETs حتى حد أقصى تم اختباره يبلغ 72.

F. محول الطاقة MFL2815S DC-DC

تم اختبار محول الطاقة DC-DC مع المدخلات العادية 28 فولت ، 240 مللي أمبير (خرج 15 فولت واحد) ، وأيضًا مع إدخال 34 فولت ، 230 مللي أمبير. لم تتم ملاحظة أي أخطاء عابرة أو ظروف مدمرة على هذا النوع من الأجهزة ، حتى حد أقصى LET تم اختباره لـ 72.

يعرض الشكل 3 المقاطع العرضية للجهاز SEU و SEL للعديد من محولات DC-DC. يتوفر مزيد من المعلومات حول اختبار SEE لهذه الأجهزة من LaBel وآخرون. [2]

1. جهاز المقارنة الخطي LM119
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc + 5V ، 4mA ، مع ضبط تيار مزلاج عند 10mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 110 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

2. جهاز المقارنة LM139
تم اختبار هذا الجهاز من أجل المزلاج فقط. عند + 8 فولت بتيار تشغيل يبلغ 0.6 مللي أمبير ، تم إدخال DUT بموجة مربعة + 5 فولت. كان Latchup الحالي 2mA. تم العثور على الجهاز ليكون SEL المناعي لـ LETs حتى 80.

3. جهاز المقارنة LM193H
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc من 5V ، 0.4mA مع تيار مزلاج مضبوط على 1.5mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 100 ، مع المقطع العرضي & lt 1E-6 cm2 / الجهاز.

4. LM108 المرجع أمبير
أثناء الاختبار ، تم تشغيل هذا الجهاز بالتزامن مع جهاز مرجعي. تم تزويد الجهاز بجهد 8 فولت ، مع تيار تشغيل يبلغ 0.3 مللي أمبير. تم ضبط تيار المزلاج عند 0.6 مللي أمبير. كان SEU LETth

24 ، بحد أقصى للمقطع العرضي 5E-4 سم 2 / الجهاز. كان SEL LETth

60. لاحظ أن عينة واحدة فقط من هذا الجهاز شهدت مزلاجًا ، بينما توقفت الأخرى ببساطة عن العمل أثناء الاختبار عند 60 LET.

5. LM124 Op amp
تم اختبار هذا الجهاز من أجل المزلاج فقط. تم تزويد DUT بـ + 5 فولت ، وكان تيار التشغيل 0.7 مللي أمبير. تم ضبط تيار المزلاج على 1.2 مللي أمبير. تم العثور على هذا الجهاز ليكون محصنًا من LETs حتى 90. أثناء التشعيع ، لوحظ انخفاض طفيف في التيار.

6. LM158 Op amp
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc من 12V ، 10mA ، مع ضبط تيار مزلاج عند 25mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 100 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

7. OP07AJ Op amp
تعمل في خطوة مع جهاز مرجعي ، كان الإدخال عبارة عن موجة جيبية + 5 فولت من الذروة إلى الذروة مع تيار تشغيل يبلغ 1 مللي أمبير. تمت مقارنة الخرج عند 10 كيلو هرتز مع 1 فولت مسموح به لضوضاء الدائرة. تمت مراقبة الأجهزة بحثًا عن مزلاج (3 مللي أمبير). كان SEU LETth بين 11.5 - 13. على الرغم من عدم رؤية مزلاج ، لم تعد كلتا عينتي الجهاز تعملان بعد الاختبار عند 50 LET. أثناء التشعيع ، لوحظ انخفاض في التيار والذي يمكن أن يكون نتيجة إجمالي الجرعة المؤينة (TID) .

8. OP97 Op أمبير
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc + 5V ، 0.3mA ، مع ضبط تيار مزلاج عند 10mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 110 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

9. PA10 Power Op amp
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc من 40V ، 10mA ، مع ضبط تيار مزلاج عند 45mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 100 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز. شوهدت تقلبات في Icc ، ربما بسبب الجرعة الإجمالية الموضوعة على الجهاز. لم يتم مشاهدة أي أعطال في الجهاز.

10. SMP11 Op amp
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc من 12 فولت ، 10 مللي أمبير ، مع تيار مزلاج مضبوط على 20 مللي أمبير. لم يُشاهد أي SEL في أي تشغيل يصل إلى 80 LET. شوهد SEL مع SEL LETth 81.9 ، والمقطع العرضي & gt1E-4 cm2 / الجهاز. لم تكن أي من عينات الجهاز الثلاثة وظيفية بعد التشعيع.

11. SE5521F مكيف الإشارة الخطية
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc 10V ، 12.9mA ، مع تيار مزلاج مضبوط على 18.0mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 100 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

12. LM117H منظم الجهد الخطي
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc + 5V ، 3mA ، مع ضبط تيار مزلاج عند 25mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 110 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

13. LM120H-12 / 883C منظم الجهد الخطي
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc + 5V ، 1.5mA ، مع ضبط تيار مزلاج عند 18mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 110 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

14. LM136AH منظم الجهد الخطي
تم اختبار هذا الجهاز لـ SEL فقط. أثناء التشعيع ، تم تزويد DUT بـ Vcc + 5V ، 1mA ، مع تيار مزلاج مضبوط على 15mA. لم يتم رؤية SEL في أعلى اختبار LET. لذلك ، فإن SEL LETth هو & gt 110 ، مع المقطع العرضي & lt1E-6 cm2 / الجهاز.

15. LP2951 منظم جهد
This device was tested for SEL only. a Vcc for this device was 7V, 50mA with SEL current set for 70 mA. Output for testing was set to 5.0V. No SEL was seen on this device up to the maximum tested LET of 90.

16. REF-02-373J Linear Voltage Reference
This device was tested for SEL only. During irradiation, the DUT was supplied with a Vcc of 15V, 1.0mA, with latchup current set at 2.0mA. No SEL was seen at the highest tested LET. Therefore, the SEL LETth is > 100, with cross section <1E-6 cm2/device.

F. DRAM (Dynamic Random Access Memory), Dual-Port RAM

1. KM44C4000AJ-7 16 Mbit Samsung DRAM
During irradiation, the DUT was supplied with 5V and an Icc of 14mA, with a latchup current of 100mA. It was operated in dynamic mode (read/write during irradiation) with a 4K refresh cycle. Most test runs used a checkerboard pattern input, but several used an all 0s and/or all 1s pattern. Test objectives were device characterization, gathering an angular data set, and identifying stuck bits and their addresses. Errors were seen at the initial LET of 1.46. The SEU LETth was < 1.46, with a cross section of 1.7E-7 cm2/bit. No pattern sensitivity or multiple upsets in a single word were seen. No latchup was seen at any time during testing.

Stuck bits, as well as single event functionality interrupt (SEFI - device goes into a test or standby mode and requires a reset or power reset to clear condition) were seen starting at normal incidence with an LET of 59.6. Devices along with stuck bit information and their addresses were given to Gary Swift of Jet Propulsion Laboratory, who is performing analysis on this phenomena.

2. TC5117400J-6 16 Mbit Toshiba DRAM
During irradiation, this device was supplied with a Vcc of 5V, 18mA, with a latchup current of 100mA. It was operated with a checkerboard pattern input, in dynamic mode (read/write during irradiation) with a 2K refresh cycle. Test objectives were device characterization, gathering an angular data set, and identifying stuck bits and their addresses. Errors were seen at the initial LET of 1.46. The SEU LETth was < 1.46, with a cross section of 1.8E-7 cm2/bit. No latchup, stuck bits or multiple upsets in a single word were seen at any time during testing.

3. 16 Mbit (4Mbitx4) DRAMs
The following six DRAMs were tested using the same setup. Tests used a checkerboard data pattern in Read/Modified Write mode refresh cycle duration was device-dependent. Devices were run at a speed of 900 nsec. An SEU was defined as a noncompare in the data during the Read from one of the four data lines being monitored (one line for each 4MBit).

أ. 8116400-60PJ 16 Mbit Fujitsu DRAM

This device was tested for both heavy ion and proton effects. Tests used a 4K refresh cycle (65.6 msec). Devices operated with a Vcc of 5V, 17mA. Latchup current was set at 100mA. During heavy-ion testing, the SEU LETth was found to be <1.41 with a cross section of

3.5 cm2/device. It should be noted that SEFI, characterized by an anomalous increase in the SEUs counted/displayed in real-time during the test run, was seen at LET 50, after which the device was fully operable. The SEL LETth was > 80 with a cross section < 1E-7 cm2/device. Total dose failure was seen at > 30 kRad(Si).

During proton testing, both lidded and delidded samples were tested. The two types of samples show little difference with the maximum cross section > 1E-7 cm2/device. Cross section showed a slight linear increase with energy, but no significant angular dependency. During total dose testing, significant permanent increases in device Icc were seen (from an original 17mA to 25mA at 38.4 kRad), while the device remained fully functional. Total dose failure was observed at

42 kRad(Si), rendering the device inoperable, with device current of 50mA.

ب. HM5117400RR7 16 Mbit Hitachi DRAM

This device was tested for proton effects only. Tests used a 2K refresh cycle (32 msec). Devices operated with a Vcc of 5V, 17mA. Only lidded samples were tested. The cross section shows a slight linear increase with energy to a maximum cross section of

3.8E-7 cm2/device. The device was total dose tested to

50 kRad(Si), during which time permanent increases in device current were observed (from an original 17mA to 24mA at 50 kRad), while the device remained fully functional.

ج. MCM516400J60 16 Mbit Motorola DRAM

This device was tested for proton effects only. Tests used a 4 K refresh cycle (65.6 msec). Devices operated with a Vcc of 5V, 17mA. Only lidded samples were tested. The cross section increases slightly with energy to a maximum cross section of

1.5E-6 cm2/device. This device has the same die as the Toshiba TC5117400FT-70, and the results are very similar.

د. MCM517400J60 16 Mbit Motorola DRAM

This device was tested for proton effects only. Tests used a 2K refresh cycle (32 msec). Devices operated with a Vcc of 5V, 17mA. Only lidded samples were tested. The test results were very similar to the Motorola MCM516400J60.

ه. MT4CM4B1DW 16 Mbit Micron DRAM

Tests used a 2K refresh cycle (32 msec). Devices operated with a Vcc of 5V, 7mA. Latchup current was set at 80mA. The SEU LETth for this device is < 1.41. The SEL LETth lies between 12 - 26.6 with a maximum cross section > 2E-4 cm2/device.

F. TC5117400FT-70 16 Mbit Toshiba DRAM

This device was tested for both heavy ion and proton effects. Devices used a Vcc of 5V, 17mA. Latchup current was set at 90mA. Cross section showed a slight linear increase with energy and a maximum cross section

1.8E-6 cm2/device. The device was total dose tested to

100 kRad(Si) and although permanent increases in device current were observed (from an original 18mA to 19mA at 100 kRad), the device remained fully functional.

Figure 4 displays device SEU and SEL cross sections for several DRAMs tested.

4. 70324L Dual Port RAM
A single sample of this device was tested by NRL using a custom PC-based test setup. No SEL was seen at the highest tested LET (90), with a fluence of 5E7 particles/cm2. The device, however, appears fairly sensitive to SEUs.

5. 70V25 16 bit Dual Port SRAM
This device was tested in two modes:

static - device was written to prior to irradiation and read after irradiation

dynamic - device was written to/read from simultaneously during irradiation

The device was tested with four patterns: all 1s, all 0s, checkerboard, and toggle (dynamic mode only). For the toggle pattern, the input was AC (as opposed to the other patterns in steady state), changing with the clock cycle.

Though the static mode shows a slightly higher cross section, both modes displayed a similar SEU LETth of <3.46 with a maximum cross section of 5E-7 cm2/bit. The variance between static mode results and dynamic mode is partially due to multiple bit upsets per word in static mode, caused by the longer dwell time. No pattern dependency exists for static mode. No latchup was seen for LETs up to 80. An equilibrium test was performed on the device in support of work by NRL. More information concerning this theory is available from article by Weatherford, et al.[3]

1. 7201T 512x9 Split Epi FIFOs
These devices were tested using an all 1s pattern in Read/Write mode at a 50% duty cycle, at a frequency of 1 MHz. An SEU was defined as a noncompare in the data read. Normal operating current was 13mA, with monitoring for latchup conditions (maximum current 28mA). The vendor provided special samples with varying epi thickness, each of which showed distinct SEE characteristics:

12m This device experienced SEL at initial LET of 26.6
10m This device experienced SEL at initial LET of 26.6
8m This device had an SEL LETth between 50 - 60
6m Device SEU LETth was < 3.36 with ssat

5E-3
cm2/device. SEL LETth was > 80 with ssat < 1E-6 cm2/device.

The 6m device was also tested for proton effects, and were not easily upset by protons. During total dose testing, permanent significant increases in device current occurred (from an original 12mA to 27mA at 108 kRad), while the devices remained fully functional to > 100 kRad(Si).

Device SEU and SEL cross sections are displayed in Figure 5. Further information concerning testing is available from LaBel, et.al. [4]

2. 7203ERP 9x2048 FIFO
The devices were tested in dynamic mode (DUT being Write/Read continuously) at a 1 MHz frequency. Device Vcc was 5V, 13mA, with a latchup current of 30mA. Testing was performed using an all 1s or an all 0s pattern. No statistical difference was seen between the two test patterns. An error was defined as a non-compare between output data values and expected data values on a bit basis. The SEU LETth is between 8 and 11.6. Due to the onset of SEL, no ssat was determined. The SEL LETth is 35. An additional error condition was also observed: large bursts of output errors were observed, most likely due to SEU hits to control areas of the DUT. This condition has an LETth of 20.

3. 7203L40DB 9x2048k FIFO
SEUs were defined as noncompares between DUT output and an expected pattern. Test circuitry ran at 20 MHz, using a 5V supply with an operating current of 13mA. Latchup current was set at 120mA. The SEU LETth was

3.4 with a maximum ssat of 5.5E-3 cm2/device. The SEL LETth was between 15 - 22. During irradiation, regular current fluctuations ( 1mA) were observed.

4. 7204 9x4096 FIFO
The devices were tested in dynamic mode (DUT being Write/Read continuously), at a 1 MHz frequency. Vcc was 5V, 13mA with latchup current set at 30mA. Testing was performed using an all 1s or an all 0s pattern. No statistical difference was seen between the two test patterns. An error was defined as a non-compare between output data values and expected data values on a bit basis. The SEU LETth is between 8 and 11.6. Due to the onset of SEL, no cross section was determined. The SEL LETth is 16.

H. Microprocessors & Peripherals [5]

1. 80386 Microprocessor
The 80386, 80387, and 82380 were all tested using a single-board computer. Device was exercised using a software routine which performs addressing, memory reads and writes, and other operations. External clock speed was 16 MHZ. Failure of the device to write to a test address, incorrect data, or device lock-up was counted as an SEU. If lockup occurred, the test run was halted, and a reset was issued to the device. Figure 6 displays SEU and SEL device cross sections for 80386 tests.

3.38. Traditional SEL (Icc > maximum for the device) was not seen on any test run. However, microlatch, a self-limiting latchup localized to an area of the device, was observed. With microlatch, Icc < the maximum for the device, but the device requires a power reset to reboot. The LETth for microlatch was between 37.1 and 59.9.

This device was tested for SEL only. Microlatch threshold was between LET 29 and 37.8. Devices were tested at both 5V and 5.25V.

2. MG80387-20/B Math Coprocessor
The 80387 test software was continually performing mathematical operations and checking for incorrect calculations. Incorrect data or device lock-up was counted as an SEU. If lockup occurred, the test run was halted, and a reset was issued to the device. SEU LETth for the 80387 was 3.38. A stuck bit was seen twice during the test, but was cleared both times by a soft reset. Lockup was first observed at an LET of 26.2. LETth for traditional SEL was between 37.1 and 59.9. Microlatch was not observed.

3. 82380 Integrated Peripheral
The 82380 test software was continually performing memory accesses and transfers. Incorrect or incomplete accesses or data, unexpected interrupts, and device lockup were all counted as SEUs. If lockup occurred, the test run was halted, and a reset was issued to the device.

Device SEUs were seen at the lowest LET tested of 3.38.Traditional SEL threshold was between 12.2 and 26.2. The 82380 also experienced possible microlatch conditions as well.

This device was tested for SEL only. Traditional latchup was observed at the lowest LET tested of 12. A dwell test was performed, allowing the device to operate for two minutes at a higher SEL current (2850 mA). The 82380 recovered fully, following a power reset.

The 82380 experienced several unusual effects. In several tests, the operating current jumped above device rated limits, but the condition was cleared completely by a soft reset power reset was not required, so the event was not SEL. In another test, following SEL, the operating current decreased (by

20 mA in 2 minutes) of its own accord.

4. 80486 Microprocessor
During irradiation, the 80486 was exercised using one of several software routines (System test, paging, coprocessor, external memory access, interrupts, or software performance). Tests were run both with and without cache. Clock speed was 25 MHz (50 MHz internal to the DX2 device). A failure of the device to write to a test address, or lockup, was defined as an SEU. A watchdog timer allowed the device 425 msec to complete the write before issuing a reset. Figure 7 displays 80486 SEU and SEL device cross sections.

With cache enabled, SEUs were seen at the lowest tested LET of 3.53 the LETth appears to be

3. With cache disabled, SEUs were not seen at the lowest LET tested of 3.53 the LETth is between 3.83 and 8.27, and appears to be around 5-6. In general, the more "cache-intensive" programs showed a higher SEU sensitivity. This device saw traditional destructive single events (Icc > than maximum specified for the device) starting at an LET of 20. Two (of two) samples of this device failed after occurrence of SEL.

SEUs were not seen at the lowest LET tested of 3.53, either with or without cache enabled. The SEU LETth is between 3.83 and 8.27 and appears to be

5-6 in either case. This device saw a mix of microlatch and traditional SEL conditions, starting at an LET of 59.6. It should be noted that only one sample saw SEL at an LET of 59.6, and not all runs with LET > 59.6 saw SEL the other two samples did not see SEL until an LET >80. No device failures were seen post any SEL event. Total dose exposure was near 20 kRad(Si) for these samples.

More information concerning the testing of the 80486 and the 80386 set is available from Moran,et. al. [5].

1. 49C460 EDAC controller
Vcc for this device was 5V, 4mA with latchup current set at 10mA. The device was tested in normal operational mode (memory scrub) at a frequency of 1 MHz. The test pattern used was a checkerboard with one bit error (either 1-to-0 or 0-to-1) inserted. The operation flowed as follows:

- data always has a single bit error
- DUT corrects error
- single bit error line is active, multiple bit error line is inactive
- syndrome is formed

Four typical error conditions were monitored during testing, plus a "special condition" and SEL. The standard error conditions were: data errors, syndrome errors, single bit error detection fail, and multiple bit errors in a word. The special condition was discovered during testing: Icc dropped to 1mA with continuous errors on all standard error lines. These errors continued even after the beam was stopped until a power reset was issued to the device. An SEU to the control region of the DUT is suspected, causing it to switch modes (possibly to a diagnostic mode).

The LETth for the device is between 20-25, based on curve fitting. Control errors were seen sporadically starting with an LET of 26.6, but occurred infrequently enough to hinder statistical data collection for control error cross section. No sign of SEL was seen up to the highest LET tested (80).

2. 74FCT163374 Dual 8 bit Register
This device was tested by loading and verifying a checkerboard pattern at a speed of 1 MHz. An SEU was defined as a noncompare during pattern verification. The device was operated at a Vcc of 5V, 1mA.

The SEU LETth was found to be

20. However, the SEL LETth was

25, with a maximum ssat > 5E-4 cm2/device.

3. 74FCT163245 16 bit Bidirectional Transceiver
This device was tested by loading a checkerboard pattern to the transmitter (side A) and verifying the output at the receiver (side B) at a speed of 1 MHz. An SEU was defined as a noncompare during pattern verification. The device was operated at 5V with a 1mA operating current.

No SEUs were seen for LETs < 25.2. The SEL LETth was

25.2 with a maximum cross section > 5.0E-4 cm2/device.

4. HR2340 Test Metal Chip
The HR2340 is a sea of transistors gate array, based on the RICMOS IV process. This device was tested in support of the MONGOOSE III program, a commercially-compatible R3000-based processor. There are many functions in this test chip of which, for SEE purposes, we tested the following:

A custom test board used an 8051 microcontroller along with the DUTs and support logic on a PCB. This allowed a low-noise test setup, providing reliable results. Test results for soft latch areas (Xsections are per flip-flop):

The soft latch areas are approximately 10-25% more sensitive using a mixed test pattern than an all 1s or 0s pattern.

Figure 8 displays HR2340 SEU cross sections per flip-flop.

We typically divide SEE test results into the following four categories:

Category 1 Recommended for usage in all spaceflight applications
Category 2 Recommended for usage in spaceflight applications, but may require some SEE mitigation techniques
Category 3 Recommended for usage in some spaceflight applications, but requires extensive SEE mitigation techniques or SEL recovery mode.
Category 4 Not recommended for use in any spaceflight applications.

Table 2 summarizes device recommendations.

V. Acknowledgements

The authors would like to acknowledge the participating Goddard programs, namely the Far Ultraviolet Spectroscopic Explorer (FUSE), Tropical Rainfall Measuring Mission (TRMM), Hubble Space Telescope (HST), Landsat-7, NASA Headquarters/Code Q and CIRS. Special thanks to Naval Research Laboratory, and to the staff at Brookhaven National Laboratory SEUTF and University of California-Davis Cyclotron.

[1] R. Katz, R. Barto, P. McKerracher, B. Carkhuff, and R. Koga, "SEU Hardening of Field Programmable Gate Arrays (FPGAs) for Space Applications and Device characterization," IEEE Trans. Nuclear Science, vol. 41, page 2179, Dec. 1994.

[2] K. LaBel, R. Barry, K. Castell, H. Kim, and C. Seidleck, "Implications of Single Event Effect Characterization of Hybrid DC-DC Converters and a Solid State Power Converter," submitted for publication in IEEE Transactions on Nuclear Science, Dec., 1995.

[3] J. Cutchin, P. Marshall, T. Weatherford, J. Langworthy, E. Petersen, A. Campbell, S. Hanka, and A. Peczalski, "Heavy Ion and Proton Analysis of a GaAs C-HIGFET SRAM," IEEE Trans. Nuclear Science, vol. 40, page 1660, Dec. 1993.

[4] K. LaBel, P. Marshall, J. Kinnison, W. Stapor, "Single Event Effect Characteristics of CMOS Devices Employing Various Epi-layer Thicknesses," to be presented at RADECS'95, Arcachon, France, 1995.

[5] A. Moran, K. LaBel, C. Seidleck, R. McGraw, M. Broida, J. Firer, and S. Sprehn, "Single Event Effect Testing of the Intel 80386 Family and the 80486 Microprocessor," to be presented at RADECS 95, Arcachon, France, 1995.


Discrete Mathematics 8e

For one- or two-term introductory courses in discrete mathematics.

An accessible introduction to the topics of discrete math, this best-selling text also works to expand students’ mathematical maturity.

With nearly 4,500 exercises, Discrete Mathematics provides ample opportunities for students to practice, apply, and demonstrate conceptual understanding. Exercise sets features a large number of applications, especially applications to computer science. The almost 650 worked examples provide ready reference for students as they work. A strong emphasis on the interplay among the various topics serves to reinforce understanding. The text models various problem-solving techniques in detail, then provides opportunity to practice these techniques. The text also builds mathematical maturity by emphasizing how to read and write proofs. Many proofs are illustrated with annotated figures and/or motivated by special Discussion sections. The side margins of the text now include “tiny URLs” that direct students to relevant applications, extensions, and computer programs on the textbook website.


الإجابات

توجد إجابات على هذا التمرين ولكنها متوفرة في هذه المساحة للمعلمين والمعلمين وأولياء الأمور الذين قاموا بتسجيل الدخول إلى اشتراك Transum الخاص بهم على هذا الكمبيوتر.

يفتح اشتراك Transum الإجابات عن التدريبات والاختبارات والألغاز عبر الإنترنت. كما يوفر للمعلم إمكانية الوصول إلى روابط خارجية عالية الجودة في كل صفحة من صفحات موضوع Transum وإمكانية الإضافة إلى المجموعة بأنفسهم.

يمكن للمشتركين إدارة قوائم الفصل وخطط الدروس وبيانات التقييم في تطبيق Class Admin والوصول إلى تقارير جوائز Transum التي حصل عليها أعضاء الفصل.

إذا كنت ترغب في الاستمتاع بوصول خالٍ من الإعلانات إلى الآلاف من موارد Transum ، واستلم رسالتنا الإخبارية الشهرية ، وافتح أوراق العمل القابلة للطباعة واطلع على برنامج Maths Lesson Finishers ، ثم اشترك للحصول على اشتراك الآن:


Calculus of M-estimation Examples

The three examples of M-estimation from SB are presented here for demonstration. For these examples, the data are (O_i = , Y_<2i>>) where (Y_1 sim N(5, 16)) and (Y_2 sim N(2, 1)) for (m = 100) and are included in the geexex dataset.

Example 1: Sample moments

The first example estimates the population mean ( ( heta_1) ) and variance ( ( heta_2) ) of (Y_1) . The solution to the estimating equations below are the sample mean (hat< heta>_1 = m^ <-1>sum_^m Y_<1i>) and sample variance (hat< heta>_2 = m^ <-1>sum_^m (Y_ <1i>- hat< heta>_1)^2) .

[ psi(Y_<1i>, heta) = egin Y_ <1i>- heta_1 (Y_ <1i>- heta_1)^2 - heta_2 end ]

The primary geex function is m_estimate , which requires two inputs: estFUN (the (psi) function), data (the data frame containing (O_i) for (i = 1, dots, m) ). The package defaults to rootSolve::multiroot or estimating roots of , though the solver algorithm can be specified in the root_control argument. Starting values for rootSolve::multiroot are passed via the root_control argument e.g.,

The m_estimate function returns an object of the S4 class geex , which contains an estimates slot and vcov slot for (hat< heta>) and (hat) , respectively. These slots can be accessed by the functions coef (or roots ) and vcov . The point estimates obtained for ( heta_1) and ( heta_2) are analogous to the base R functions mean and var (after multiplying by (m-1/m) for the latter). SB gave a closed form for (A( heta_0)) (an identity matrix) and (B( heta_0)) (not shown here) and suggest plugging in sample moments to compute (B(hat< heta>)) . The point and variance estimates using both geex and the analytic solutions are shown below>. The maximum absolute difference between either the point or variance estimates is 4e-11, thus demonstrating excellent agreement between the numerical results obtained from geex and the closed form solutions for this set of estimating equations and data.

Example 2: Ratio estimator

This example calculates a ratio estimator and illustrates the delta method via M-estimation. The estimating equations target the means of (Y_1) and (Y_2) , labelled ( heta_1) and ( heta_2) , as well as the estimand ( heta_3 = heta_1/ heta_2) .

[ psi(Y_<1i>, Y_<2i>, heta) = egin Y_ <1i>- heta_1 Y_ <2i>- heta_2 heta_1 - heta_3 heta_2 end ]

The solution to for this (psi) function yields (hat< heta>_3 = ar_1 / ar_2) , where (ar_j) denotes the sample mean of (Y_, ldots,Y_) for (j=1,2) .

SB gave closed form expressions for (A( heta_0)) and (B( heta_0)) , into which we plug in appropriate estimates for the matrix components and compare to the results from geex . The point estimates again show excellent agreement (maximum absolute difference 4.4e-16), while the covariance estimates differ by the third decimal (maximum absolute difference 1e-03).

Example 3: Delta method continued

This example extends Example 1 to again illustrate the delta method. The estimating equations target not only the mean ( ( heta_1) ) and variance ( ( heta_2) ) of (Y_1) , but also the standard deviation ( ( heta_3) ) and the log of the variance ( ( heta_4) ) of (Y_1) .

[ psi(Y_<1i>, mathbf< heta>) = egin Y_ <1i>- heta_1 (Y_ <1i>- heta_1)^2 - heta_2 sqrt < heta_2>- heta_3 log( heta_2) - heta_4 end ]

SB again provided a closed form for (A( heta_0)) and (B( heta_0)) , which we compare to the geex results. The maximum absolute difference between geex and the closed form estimates for both the parameters and the covariance is 3.8e-11.