مقالات

4.2: الرسوم البيانية للوظائف الأسية


مهارات التطوير

  • الرسم البياني للوظائف الأسية.
  • ارسم الدوال الأسية باستخدام التحولات.

كما ناقشنا في القسم السابق ، تُستخدم الوظائف الأسية في العديد من تطبيقات العالم الحقيقي مثل التمويل والطب الشرعي وعلوم الكمبيوتر ومعظم علوم الحياة. العمل مع المعادلة التي تصف موقفًا في العالم الحقيقي يعطينا طريقة لعمل التنبؤات. ومع ذلك ، فإن المعادلة نفسها لا تكفي في معظم الأحيان. نتعلم الكثير عن الأشياء من خلال رؤية تمثيلاتها التصويرية ، وهذا هو بالضبط السبب في أن رسم المعادلات الأسية يعد أداة قوية. إنه يعطينا طبقة أخرى من البصيرة للتنبؤ بالأحداث المستقبلية.

وظائف الرسوم البيانية الأسية

قبل أن نبدأ الرسم البياني ، من المفيد مراجعة سلوك النمو الأسي. تذكر جدول القيم لدالة على شكل (f (x) = b ^ x ) قاعدتها أكبر من واحد. سنستخدم الوظيفة (f (x) = 2 ^ x ). لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في Table ( PageIndex {1} ) مع زيادة الإدخال بمقدار (1 ).

جدول ( PageIndex {1} )
(س )(−3)(−2)(−1)(0)(1)(2)(3)
(و (س) = 2 ^ س ) ( dfrac {1} {8} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {2} )(1)(2)(4)(8)

كل قيمة إخراج هي نتاج المخرجات السابقة والقاعدة ، (2 ). نسمي القاعدة (2 ) ال نسبة ثابتة. في الواقع ، لأي دالة أسية بالصيغة (f (x) = ab ^ x ) ، (b ) هي النسبة الثابتة للدالة. هذا يعني أنه كلما زاد الإدخال بمقدار (1 ) ، ستكون قيمة المخرجات هي منتج القاعدة والمخرجات السابقة ، بغض النظر عن قيمة (أ ).

لاحظ من الجدول أن

  • قيم الإخراج موجبة لجميع قيم (س ) ؛
  • مع زيادة (س ) ، تزداد قيم المخرجات دون قيود ؛ و
  • مع انخفاض (س ) ، تقل قيم المخرجات ، وتقترب من الصفر.

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) دالة النمو الأسي (f (x) = 2 ^ x ).

الشكل ( PageIndex {1} ): لاحظ أن الرسم البياني يقترب من المحور (س ) ، لكنه لا يلمسه أبدًا.

مجال (f (x) = 2 ^ x ) هو جميع الأرقام الحقيقية ، والنطاق هو ((0 ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي (y = 0 ). لاحظ أنه على عكس الخط المقارب الأفقي لوظيفة عقلانية (انظر القسم 3.7) ، يقترب الرسم البياني (y = 0 ) فقط من نهاية واحدة.

للتعرف على سلوك الانحطاط الأسي ، يمكننا إنشاء جدول قيم لدالة من النموذج (f (x) = b ^ x ) التي تقع قاعدتها بين صفر وواحد. سنستخدم الدالة (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ). لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في Table ( PageIndex {2} ) مع زيادة الإدخال بمقدار (1 ).

جدول ( PageIndex {2} )
(س )(-3)(-2)(-1)(0)(1)(2)(3)
(g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x )(8)(4)(2)(1) ( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {1} {4} ) ( dfrac {1} {8} )

مرة أخرى ، نظرًا لأن الإدخال يتزايد بمقدار (1 ) ، فإن كل قيمة ناتجة هي ناتج الناتج السابق والقاعدة ، أو النسبة الثابتة ( dfrac {1} {2} ).

لاحظ من الجدول أن

  • قيم الإخراج موجبة لجميع قيم (س ) ؛
  • مع زيادة (س ) ، تصبح قيم المخرجات أصغر ، وتقترب من الصفر ؛ و
  • مع انخفاض (س ) ، تنمو قيم الإخراج دون قيود.

يوضح الشكل ( PageIndex {2} ) دالة الانحلال الأسي ، (g (x) = { left ( dfrac {1} {2} right)} ^ x ).

الشكل ( PageIndex {2} )

مجال (g (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ x ) هو جميع الأرقام الحقيقية ، والنطاق هو ((0 ، infty) ) ، والأفقي الخط المقارب هو (ص = 0 ).

خصائص الرسم البياني لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x )

دالة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ x ) ، (b> 0 ) ، (b ≠ 1 ) ، لها هذه الخصائص:

  • وظيفة واحد لواحد
  • خط مقارب أفقي: (ص = 0 )
  • المجال: ((- infty، infty) )
  • النطاق: ((0، infty) )
  • (س )-اعتراض: لا شيء
  • (ص )-التقاطع: ((0،1) )
  • زيادة إذا (ب> 1 )
  • تناقص إذا (ب <1 )

يقارن الشكل ( PageIndex {3} ) الرسوم البيانية لوظائف النمو الأسي والتضاؤل.

الشكل ( PageIndex {3} )

بالنظر إلى دالة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ x ) ، ارسم الدالة بيانيًا

  1. ارسم على الأقل (3 ) نقاط من الرسم البياني عن طريق إيجاد 3 أزواج من المدخلات والمخرجات ، بما في ذلك (ذ )-تقاطع ((0،1) ).
  2. ارسم منحنى سلس عبر النقاط.
  3. اذكر المجال ، ((- infty ، infty) ) ، النطاق ، ((0 ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي ، (y = 0 ).

مثال ( PageIndex {1} ): رسم رسم بياني للدالة الأسية للنموذج (f (x) = b ^ x )

ارسم رسمًا بيانيًا لـ (f (x) = 0.25 ^ x ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

المحلول

نظرًا لأن (ب = 0.25 ) يقع بين صفر وواحد ، فإننا نعلم أن الدالة تتناقص. السلوك النهائي للرسم البياني هو كما يلي: (x rightarrow - infty ) ، (y rightarrow infty ) ، و as (x rightarrow infty ) ، (y rightarrow 0 ) ، وبالتالي فإن الرسم البياني له خط مقارب (ص = 0 ).

  • ابحث عن نقطتين أخريين.
  • ارسم (y ) - التقاطع ، ((0،1) ) ، جنبًا إلى جنب مع النقطتين الأخريين. سوف نستخدم ((- 1،4) ) و ((1،0.25) ).

ارسم منحنىًا سلسًا يربط بين النقاط كما في الشكل ( PageIndex {4} ).

الشكل ( PageIndex {4} )

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

( PageIndex {1} ) ارسم الرسم البياني لـ (f (x) = 4 ^ x ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

إجابه

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((0، infty) )؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 0 ).

تحويلات الرسوم البيانية للدوال الأسية

تتصرف تحولات الرسوم البيانية الأسية بشكل مشابه لتلك الخاصة بالوظائف الأخرى. تمامًا كما هو الحال مع وظائف مجموعة الأدوات الأخرى ، يمكننا تطبيق الأنواع الأربعة من التحويلات - التحولات والانعكاسات والتمدد والضغط - على وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ) دون فقدان الشكل. على سبيل المثال ، تمامًا كما تحافظ الوظيفة التربيعية على شكلها المكافئ عند التبديل أو الانعكاس أو التمدد أو الضغط ، تحافظ الوظيفة الأسية أيضًا على شكلها العام بغض النظر عن التحولات المطبقة.

رسم التحول العمودي

يحدث التحول الأول عندما نضيف ثابتًا (d ) إلى وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ) ، مما يمنحنا إزاحة رأسية (d ) وحدات في نفس اتجاه العلامة. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم دالة مجموعة أدوات ، (f (x) = 2 ^ x ) ، فيمكننا بعد ذلك رسم بياني انزياحتين عموديتين بجانبها ، باستخدام (d = 3 ): التحول التصاعدي ، ( ز (س) = 2 ^ س + 3 ) والتحول للأسفل ، (ح (س) = 2 ^ س − 3 ). يتم عرض كلا التحولات الرأسية في الشكل ( PageIndex {5} ).

الشكل ( PageIndex {5} )

لاحظ نتائج التحول (f (x) = 2 ^ x ) عموديًا:

  • المجال ، ((- infty ، infty) ) ، لم يتغير.
  • عندما تنتقل الوظيفة لأعلى (3 ) وحدات إلى (ز (س) = 2 ^ س + 3 ):
    • ال ص-يتحول التقاطع لأعلى (3 ) وحدات إلى ((0،4) ).
    • ينتقل الخط المقارب لأعلى (3 ) وحدات إلى (ص = 3 ).
    • يصبح النطاق ((3، infty) ).
  • عندما يتم إزاحة الوظيفة لأسفل (3 ) وحدات إلى (ح (س) = 2 ^ س − 3 ):
    • ال ص-يتحول التقاطع لأسفل (3 ) وحدات إلى ((0 ، −2) ).
    • يتحول الخط المقارب أيضًا لأسفل (3 ) وحدات إلى (ص = −3 ).
    • يصبح النطاق ((- 3، infty) ).

رسم التحول الأفقي

يحدث التحول التالي عندما نضيف ثابت (c ) إلى مدخلات وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ) ، مما يمنحنا إزاحة أفقية (c ) وحدات في ضد اتجاه العلامة. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم دالة مجموعة الأدوات (f (x) = 2 ^ x ) ، يمكننا بعد ذلك رسم بياني انزياحيين أفقيين بجانبها ، باستخدام (c = 3 ): التحول إلى اليسار ، (g (x) = 2 ^ {x + 3} ) ، والتحول إلى اليمين ، (h (x) = 2 ^ {x − 3} ). (ح (س) = 2 ^ {س − 3} ). يظهر كل من التحولات الأفقية في الشكل ( PageIndex {6} ).

الشكل ( PageIndex {6} )

لاحظ نتائج التحول (f (x) = 2 ^ x ) أفقيًا:

  • المجال ، ((- infty ، infty) ) ، لم يتغير.
  • يظل الخط المقارب (y = 0 ) دون تغيير.
  • ال ص-اعتراض التحولات مثل:
    • عندما يتم إزاحة الوظيفة لليسار (3 ) وحدات إلى (g (x) = 2 ^ {x + 3} ) ، فإن ذ-المقطع يصبح ((0،8) ). هذا لأن (2 ^ {x + 3} = 2 ^ 32 ^ x = (8) 2 ^ x ) ، لذا فإن القيمة الأولية للدالة هي (8 ).
    • عندما تنتقل الوظيفة إلى اليمين (3 ) الوحدات إلى (h (x) = 2 ^ {x − 3} ) ، فإن ذ-التقاطع يصبح ( left (0، dfrac {1} {8} right) ). مرة أخرى ، لاحظ أن (2 ^ {x − 3} = left ( dfrac {1} {8} right) 2 ^ x ) ، لذا فإن القيمة الأولية للدالة هي ( dfrac {1} { 8} ).

إعطاء دالة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) ، ارسم الترجمة بيانيًا

  1. ارسم الخط المقارب الأفقي (y = d ).
  2. قم بتحويل الرسم البياني لوحدات (f (x) = b ^ x ) يسار (c ) إذا كانت (c ) موجبة ، ويمين (c ) الوحدات إذا كانت (c ) سلبية.
  3. قم بتحويل الرسم البياني لـ (f (x) = b ^ x ) لأعلى (d ) وحدة إذا كان (d ) موجبًا ، ولأسفل (d ) وحدة إذا كان (d ) سالبًا.
  4. اذكر المجال ، ((- infty ، infty) ) ، النطاق ، ((d ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي (y = d ).

مثال ( PageIndex {2} ): رسم بياني لتحول دالة أسية

رسم بياني (f (x) = 2 ^ {x + 1} −3 ). اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

المحلول

لدينا معادلة أسية بالصيغة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) ، مع (b = 2 ) ، (c = 1 ) ، و (d = - 3 ).

ارسم الخط المقارب الأفقي (y = d ) ، لذا ارسم (y = −3 ).

انقل الرسم البياني لوحدة (f (x) = b ^ x ) يسار (1 ) وحدة وأسفل (3 ) وحدات.

الشكل ( PageIndex {7} )

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((- 3 ، infty) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (y = −3 ).

( PageIndex {2} ) رسم بياني (f (x) = 2 ^ {x − 1} +3 ). مجال الدولة والمدى والخط المقارب.

إجابه

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((3، infty) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 3 ).

بالنظر إلى معادلة بالصيغة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) ، استخدم حاسبة بيانية لتقريب حل (x )

  • صحافة [ص =]. أدخل المعادلة الأسية المقدمة في السطر المعنون "ص1=”.
  • أدخل القيمة المعطاة لـ (f (x) ) في السطر المعنون "ص2=”.
  • صحافة [نافذة او شباك]. اضبط محور (ص ) - بحيث يتضمن القيمة التي تم إدخالها لـ "ص2=”.
  • صحافة [رسم بياني] لمراقبة الرسم البياني للدالة الأسية مع خط القيمة المحددة لـ (f (x) ).
  • لإيجاد قيمة (س ) نحسب نقطة التقاطع. صحافة [الثاني] ومن بعد [CALC]. حدد "تقاطع" واضغط [أدخل] ثلاث مرات. تعطي نقطة التقاطع قيمة (س ) للقيمة المشار إليها للدالة.

مثال ( PageIndex {3} ): تقريب حل المعادلة الأسية

حل (42 = 1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) بيانياً. قرب لاقرب جزء من الف.

المحلول

صحافة [ص =] وأدخل (1.2 {(5)} ^ x + 2.8 ) بجوار ص1=. ثم أدخل (42 ) بجوار Y2 =. للنافذة ، استخدم القيم (- 3 ) إلى (3 ) من أجل (س ) و (- 5 ) إلى (55 ) من أجل (ص ). صحافة [رسم بياني]. يجب أن تتقاطع الرسوم البيانية في مكان ما بالقرب من (س = 2 ).

لتقريب أفضل ، اضغط على [الثاني] ومن بعد [CALC]. يختار [5: تقاطع] و اضغط [أدخل] ثلاث مرات. ال x- يتم عرض تنسيق نقطة التقاطع كـ (2.1661943 ). (قد تختلف إجابتك إذا كنت تستخدم نافذة مختلفة أو تستخدم قيمة مختلفة لـ يخمن؟) لأقرب جزء من الألف ، (x≈2.166 ).

( PageIndex {3} ) حل (4 = 7.85 {(1.15)} ^ x − 2.27 ) بيانياً. قرب لاقرب جزء من الف.

إجابه

(س≈ − 1.608 )

رسم بياني للتمدد أو الضغط

بينما تتضمن التحولات الأفقية والعمودية إضافة ثوابت إلى الإدخال أو إلى الوظيفة نفسها ، أ تمتد أو ضغط يحدث عندما نضرب دالة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ) في ثابت (| a |> 0 ). على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم دالة مجموعة الأدوات (f (x) = 2 ^ x ) ، يمكننا بعد ذلك رسم بياني للتمدد ، باستخدام (a = 3 ) ، للحصول على (g (x) = 3 (2) ^ x ) كما هو موضح على اليسار في الشكل ( PageIndex {8} ) ، والضغط باستخدام (a = frac {1} {3} ) للحصول على (h ( x) = frac {1} {3} {(2)} ^ x ) كما هو موضح على اليمين في الشكل ( PageIndex {8} ).

الشكل ( PageIndex {8} ): (أ) (g (x) = 3 {(2)} ^ x ) يمد الرسم البياني (f (x) = 2 ^ x ) عموديًا بمعامل (3 ). (ب) (h (x) = frac {1} {3} {(2)} ^ x ) يضغط الرسم البياني (f (x) = 2 ^ x ) عموديًا بمعامل ( frac {1} {3} ).

تأملات الرسوم البيانية

بالإضافة إلى إزاحة الرسم البياني وضغطه وتمديده ، يمكننا أيضًا عكسه عبر x-المحور أو ذ-محور. عندما نضرب وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ) في (- 1 ) ، نحصل على انعكاس عبر x-محور. عندما نضرب الإدخال في (- 1 ) ، نحصل على انعكاس عبر ذ-محور. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم دالة مجموعة الأدوات (f (x) = 2 ^ x ) ، فيمكننا بعد ذلك رسم الانعكاسين بجانبها. يظهر الانعكاس عبر المحور (x ) - (g (x) = - 2 ^ x ) على الجانب الأيسر من الشكل ( PageIndex {10} ) والانعكاس عبر (y ) - المحور (h (x) = 2 ^ {- x} ) ، يظهر على الجانب الأيمن من الشكل ( PageIndex {10} ).

الشكل ( PageIndex {10} ): (أ) (g (x) = - 2 ^ x ) يعكس الرسم البياني لـ (f (x) = 2 ^ x ) عبر المحور x. (ب) (g (x) = 2 ^ {- x} ) يعكس الرسم البياني لـ (f (x) = 2 ^ x ) عبر )-محور.

تلخيص ترجمات الدالة الأسية

الآن وقد عملنا مع كل نوع من أنواع الترجمة للوظيفة الأسية ، يمكننا تلخيصها في جدول ( PageIndex {3} ) للوصول إلى المعادلة العامة لترجمة الدوال الأسية.

الجدول ( PageIndex {3} ): ترجمات الدالة الأصل (f (x) = b ^ x )
ترجمةاستمارة
تحول
  • أفقيًا (ج ) وحدات إلى اليسار
  • عموديا (د ) وحدات لأعلى

(و (س) = ب ^ {س + ج} + د )

تمدد وضغط
  • تمدد إذا (| a |> 1 )
  • الضغط إذا (0 <| a | <1 )

(و (س) = أب ^ س )

تعكس عبر المحور السيني

(و (س) = - ب ^ س )

انعكس عبر المحور الصادي

(f (x) = ب ^ {- x} = left ( frac {1} {b} right) ^ x )

معادلة عامة لجميع الترجمات

(و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

ترجمة الوظائف الإضافية

ترجمة دالة أسية لها الشكل

(و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

حيث تكون وظيفة مجموعة الأدوات ، (y = b ^ x ) ، (b> 1 ) ، هي

  • تحول أفقيا (ج ) وحدات إلى اليسار.
  • متمدد عموديًا بمعامل (| a | ) إذا (| a |> 0 ).
  • مضغوط عموديًا بمعامل (| a | ) إذا (0 <| a | <1 ).
  • تحول رأسيًا (د ) وحدة.
  • تنعكس عبر س-المحور عندما (<0 ).

لاحظ أن ترتيب التحولات والتحولات والانعكاسات يتبع ترتيب العمليات.

مثال ( PageIndex {6} ): كتابة دالة من وصف

اكتب معادلة الدالة الموصوفة أدناه. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

(f (x) = e ^ x ) يتمدد عموديًا بواسطة عامل (2 ) ، ينعكس عبر ذ-المحور ، ثم تحول لأعلى (4 ) وحدات.

المحلول

نريد إيجاد معادلة بالصيغة العامة (f (x) = ab ^ {x + c} + d ). نستخدم الوصف المقدم للعثور على (أ ، ب ، ج ، ) و (د ).

  • لدينا وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = e ^ x ) ، لذلك (b = e ). ملاحظة: (e ) هو رقم وليس متغيرًا. تم تعريفه في القسم 4.1. اكتب تعريفه ، وسلمه إلى أستاذك ، واجعلها تمنحك رصيدًا إضافيًا!
  • يتم تمديد الوظيفة بمعامل (2 ) ، لذلك (أ = 2 ).
  • تنعكس الوظيفة حول ذ-محور. نستبدل (x ) بـ (- x ) لنحصل على: (e ^ {- x} ).
  • لا يوجد انزياح أفقي ، لذلك (ج = 0 ).
  • يتم إزاحة الرسم البياني عموديًا 4 وحدات ، لذلك (د = 4 ).

الاستبدال في الشكل العام الذي نحصل عليه ،

(و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

(= 2e ^ {- x + 0} +4 )

(= 2e ^ {- x} +4 )

المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق هو ((4، infty) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = 4 ).

( PageIndex {6} ) اكتب معادلة الدالة الموضحة أدناه. اكتب الخط المقارب الأفقي والمجال والنطاق.

(f (x) = e ^ x ) يتم ضغطه عموديًا بواسطة عامل ( dfrac {1} {3} ) ، ينعكس عبر x-المحور ثم نقله لأسفل (2 ) وحدة.

إجابه

(f (x) = - frac {1} {3} e ^ {x} −2 ) ؛ المجال هو ((- infty، infty) ) ؛ النطاق ((- infty، 2) ) ؛ الخط المقارب الأفقي هو (ص = -2 ).

وسائل الإعلام

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على تعليمات وممارسات إضافية مع وظائف الرسوم البيانية الأسية.

  • وظائف الرسم البياني الأسية

المعادلات الرئيسية

نموذج عام لترجمة وظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ): (و (س) = أب ^ {س + ج} + د )

المفاهيم الرئيسية

  • الرسم البياني للوظيفة (f (x) = b ^ x ) له أ ص-التقاطع عند ((0 ، 1) ) ، المجال ((- infty ، infty) ) ، النطاق ((0 ، infty) ) ، والخط المقارب الأفقي (y = 0 ).
  • إذا (b> 1 ) ، فإن الوظيفة تزداد. سلوك نهاية الرسم البياني إلى اليسار: (y ) سيقترب من الخط المقارب (y = 0 ) ، وإلى اليمين: (y ) سيزداد بلا حدود.
  • إذا (0 <ب <1 ) ، فإن الوظيفة تتناقص. سلوك نهاية الرسم البياني إلى اليسار: (y ) سيزداد بلا حدود ، وإلى اليمين: (y ) سيقترب من الخط المقارب (y = 0 ).
  • تمثل المعادلة (f (x) = b ^ x + d ) تحولًا رأسيًا لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ).
  • تمثل المعادلة (f (x) = b ^ {x + c} ) تحولًا أفقيًا لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ).
  • يمكن إيجاد الحلول التقريبية للمعادلة (f (x) = b ^ {x + c} + d ) باستخدام حاسبة الرسوم البيانية.
  • المعادلة (f (x) = ab ^ x ) ، حيث (a> 0 ) ، تمثل امتدادًا رأسيًا إذا (| a |> 1 ) أو ضغط إذا (0 <| a | <1 ) لوظيفة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ).
  • عندما يتم ضرب دالة مجموعة الأدوات (f (x) = b ^ x ) في (- 1 ) ، تكون النتيجة ، (f (x) = - b ^ x ) ، انعكاسًا عبر x-محور. عندما يتم ضرب المدخلات في (- 1 ) ، تكون النتيجة ، (f (x) = b ^ {- x} ) ، انعكاسًا عبر ذ-محور.
  • يمكن تلخيص جميع ترجمات الدالة الأسية بالمعادلة العامة (f (x) = ab ^ {x + c} + d ).
  • باستخدام المعادلة العامة (f (x) = ab ^ {x + c} + d ) ، يمكننا كتابة معادلة دالة وفقًا لوصفها.

المساهمون

  • لين ماريسك (كلية سانتا آنا) وماري آن أنتوني سميث (كلية سانتا آنا سابقًا). هذا المحتوى من إنتاج OpenStax ومرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0.

دالة أسية

الوظيفة الأسية هي دالة تنمو أو تتحلل بمعدل يتناسب مع قيمتها الحالية. يأخذ الشكل:

حيث a ثابت ، و b هو رقم حقيقي موجب لا يساوي 1 ، و x هو وسيطة الدالة. السمة المميزة للدالة الأسية هي أن الوسيطة (المتغير) ، x ، في أس الدالة 2 x و x 2 مختلفة تمامًا. 2 x دالة أسية ، بينما x 2 ليست:

يوضح الشكل أعلاه الرسوم البيانية 2 x (أحمر) و x 2 (أزرق). يمثل الرسم البياني باللون الأحمر الدوال الأسية التي لا تحتوي على قيم y أقل من 0. في قيم x السالبة الكبيرة ، تقترب الدوال الأسية من الصفر وتبقى صغيرة جدًا حتى تبدأ في الزيادة. بمجرد أن تبدأ الدالة الأسية في الزيادة ، ينمو معدل زيادتها بسرعة ، ويقترب الرسم البياني بسرعة من اللانهاية الموجبة.

لتوضيح مدى سرعة زيادة دالة أسية حقًا ، ارسم بعض القيم للدالة f (x) = x 2 و f (x) = 2 x:

إذا تم تحجيم الوسيطة من خلال رقم موجب أكبر من 1 (على سبيل المثال. 2 5x) ، فإن الدالة الأسية ستزيد بسرعة أكبر.

تؤدي الحجة السلبية إلى تسوس أسي ، بدلاً من النمو الأسي. هذا يعني أن الرسم البياني يتناقص بسرعة باتجاه الصفر مع زيادة x. يوجد أدناه رسم بياني لـ f (x) = 2 -x.

بالنسبة لقيم القاعدة بين 0 و 1 ، مثل f (x) = 0.3 x ، فإن الرسم البياني للدالة الأسية يقترب أيضًا من الصفر عندما يقترب x من اللانهاية.


الرسوم البيانية للدوال الأسية



أمثلة وحلول ومقاطع فيديو وأوراق عمل وأنشطة لمساعدة طلاب Algebra 1 على تعلم كيفية رسم الدوال الأسية باستخدام جدول قيم.

الجبر 1: الرسوم البيانية للدوال الأسية مقدمة
كيف ترسم الدوال الأسية بيانيًا باستخدام جدول القيم؟
مثال:
الرسم البياني y = 3 x

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


صيغ الفائدة المركبة

تظهر الدالات الأسية في الصيغ المستخدمة لحساب الفائدة المكتسبة في معظم حسابات التوفير العادية. تحدث الفائدة المركبة عندما تضاف الفائدة المتراكمة لفترة واحدة إلى الاستثمار الرئيسي قبل احتساب الفائدة للفترة التالية. يتم نمذجة المبلغ المستحق بهذه الطريقة بمرور الوقت بواسطة معادلة الفائدة المركبة وهي الصيغة التي تعطي المبلغ المتراكم عن طريق كسب الفائدة على رأس المال والفائدة بمرور الوقت: A (t) = P (1 + r n) n t. :

هنا المبلغ أ يعتمد على الوقت ر في سنوات المدير ص تتراكم الفائدة المركبة بمعدل فائدة سنوي ص. القيمة ن يمثل عدد المرات التي تتضاعف فيها الفائدة في السنة.

مثال 5

يتم استثمار 500 دولار في قرص مضغوط مدته 6 سنوات يكسب 4 1 2 ٪ فائدة سنوية تتضاعف شهريًا. ما هي قيمة مؤتمر نزع السلاح في نهاية مدة 6 سنوات؟

هنا الأساسي P = $ 500 ، وسعر الفائدة r = 4 1 2٪ = 0.045 ، ولأن الفائدة تتراكم شهريًا ، n = 12. الاستثمار على غرار ما يلي ،

أ (ر) = 500 (1 + 0.045 12) 12 طن

لتحديد المبلغ في الحساب بعد 6 سنوات ، قم بتقييم أ (6) وتقريبه إلى أقرب سنت.

أ (6) = 500 (1 + 0.045 12) 12 (6) = 500 (1.00375) 72 = 654.65

الإجابة: سيبلغ سعر القرص المضغوط 654.65 دولارًا في نهاية مدة 6 سنوات.

بعد ذلك نستكشف آثار الزيادة ن في الصيغة. من أجل الوضوح نسمح ص و ص يساوي 1 واحسب وفقًا لذلك.


4.2: الرسوم البيانية للوظائف الأسية

وظائف الرسوم البيانية الأسية:
تعليمات خطوه بخطوه
(صفحة 2 من 4)

الأقسام: مفاهيم تمهيدية ، تعليمات بيانية خطوة بخطوة ، أمثلة عملية

لرسم بياني أسي ، تحتاج إلى رسم بضع نقاط ، ثم توصيل النقاط ورسم الرسم البياني ، باستخدام ما تعرفه عن السلوك الأسي:

    رسم بياني ذ = 3 x

منذ 3 x ينمو بسرعة كبيرة ، فلن أتمكن من العثور على العديد من النقاط المعقولة على الجانب الأيمن من الرسم البياني. و 3 x بسرعة كبيرة جدًا على الجانب الأيسر من الرسم البياني ، لذلك ربما لن أجد العديد من نقاط الرسم المفيدة هناك أيضًا. سأجد بعض نقاط الرسم في المنتصف ، بالقرب من الأصل ، ثم أرسم الرسم البياني من هناك.

& lt = طريقة صغيرة جدا للتخطيط
& lt = ربما صغيرة جدا
& lt = مسؤول
& lt = بخير
& lt = بخير
& lt = يكبر نوعًا ما
& lt = ضخم

بينما لدي سبع نقاط مؤامرة في مخطط T الخاص بي ، إلا أنه من المعقول رسم ما يصل إلى خمس نقاط فقط. لذلك أرسمهم:

من الأفضل ألا أحاول الاستمرار في السطر باعتباره تربيعيًا:

حقوق النشر © Elizabeth Stapel 2002-2011 جميع الحقوق محفوظة

. أو كخط مستقيم أو خط منحني بشكل غامض فقط:

تذكر أن الأسي سيقترب (ويبقى) قريبًا جدًا من الصفر على الجانب الأيسر ، لذلك سأرسم الرسم البياني وأقتبس الجزء العلوي من x - المحور الأيسر:

وعلى الجانب الأيمن ، سيصبح الأسي كبيرًا حقًا ، لذلك سأرسمه من خلال الجزء العلوي من الرسم البياني الخاص بي:


4.2: الرسوم البيانية للوظائف الأسية

قبل أن نبدأ الرسم البياني ، من المفيد مراجعة سلوك النمو الأسي. تذكر جدول القيم لدالة من الشكل [اللاتكس] f left (x right) =^[/ لاتكس] قاعدته أكبر من واحد. سنستخدم الدالة [اللاتكس] f left (x right) = <2> ^[/ لاتكس]. لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في الجدول أدناه مع زيادة المدخلات بمقدار 1.

x –3 –2 –1 0 1 2 3
[اللاتكس] f left (x right) = <2> ^[/ اللاتكس] [لاتكس] فارك <1> <8> [/ لاتكس] [لاتكس] فارك <1> <4> [/ لاتكس] [لاتكس] فارك <1> <2> [/ لاتكس] 1 2 4 8

كل قيمة ناتجة هي ناتج الناتج السابق والقاعدة ، 2. نسمي القاعدة 2 نسبة ثابتة. في الواقع ، لأي دالة أسية بالشكل [اللاتكس] f left (x right) = a^[/ لاتكس] ، ب هي النسبة الثابتة للدالة. هذا يعني أنه مع زيادة المدخلات بمقدار 1 ، ستكون قيمة المخرجات هي منتج القاعدة والمخرجات السابقة ، بغض النظر عن قيمة أ.

لاحظ من الجدول أن

  • قيم الإخراج موجبة لجميع قيم x
  • كما x يزيد ، تزيد قيم المخرجات بدون قيود و
  • كما x ينخفض ​​، وتصغر قيم المخرجات ، وتقترب من الصفر.

يوضح الشكل 1 دالة النمو الأسي [اللاتكس] f left (x right) = <2> ^[/ لاتكس].

شكل 1. لاحظ أن الرسم البياني يقترب من المحور السيني ، لكنه لا يلمسه أبدًا.

مجال [اللاتكس] f left (x right) = <2> ^[/ latex] هي جميع الأرقام الحقيقية ، والنطاق هو [اللاتكس] يسار (0 ، infty right) [/ اللاتكس] ، والخط المقارب الأفقي هو [اللاتكس] y = 0 [/ اللاتكس].

للتعرف على سلوك تسوس الأسي، يمكننا إنشاء جدول قيم لوظيفة من الشكل [اللاتكس] f left (x right) =^[/ لاتكس] قاعدتها بين صفر وواحد. سنستخدم الدالة [اللاتكس] g left (x right) = < left ( frac <1> <2> right)> ^[/ لاتكس]. لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في الجدول أدناه مع زيادة المدخلات بمقدار 1.

x –3 –2 –1 0 1 2 3
[اللاتكس] g left (x right) = left ( frac <1> <2> right) ^[/ اللاتكس] 8 4 2 1 [لاتكس] فارك <1> <2> [/ لاتكس] [لاتكس] فارك <1> <4> [/ لاتكس] [لاتكس] فارك <1> <8> [/ لاتكس]

مرة أخرى ، نظرًا لأن الإدخال يزداد بمقدار 1 ، فإن كل قيمة إخراج هي نتاج المخرجات السابقة والقاعدة ، أو النسبة الثابتة [اللاتكس] frac <1> <2> [/ اللاتكس].

لاحظ من الجدول أن

  • قيم الإخراج موجبة لجميع قيم x
  • كما x تزداد قيم الإنتاج أصغر ، وتقترب من الصفر و
  • كما x ينخفض ​​، تنمو قيم المخرجات بلا حدود.

يوضح الرسم البياني وظيفة الانحلال الأسي ، [اللاتكس] g left (x right) = < left ( frac <1> <2> right)> ^[/ لاتكس].

الشكل 2. مجال [اللاتكس] g left (x right) = < left ( frac <1> <2> right)> ^[/ لاتكس] هي جميع الأرقام الحقيقية ، النطاق هو [اللاتكس] يسار (0 ، infty يمين) [/ لاتكس] ، والخط المقارب الأفقي هو [اللاتكس] y = 0 [/ اللاتكس].

ملاحظة عامة: خصائص الرسم البياني لوظيفة الأصل F(x) = ب x

دالة أسية بالصيغة [اللاتكس] f left (x right) =^[/ اللاتكس] ، [اللاتكس] b & gt0 [/ اللاتكس] ، [اللاتكس] b ne 1 [/ اللاتكس] ، له هذه الخصائص:

  • واحد لواحد وظيفة
  • خط مقارب أفقي: [لاتكس] y = 0 [/ لاتكس]
  • المجال: [لاتكس] يسار (- infty، infty right) [/ latex]
  • النطاق: [لاتكس] يسار (0، infty يمين) [/ لاتكس]
  • س-اعتراض: لا شيء
  • ص-التقاطع: [لاتكس] يسار (0،1 يمين) [/ لاتكس]
  • يتزايد في حالة [اللاتكس] b & gt1 [/ اللاتكس]
  • تناقص إذا [لاتكس] ب & lt1 [/ لاتكس]

قارن الرسوم البيانية لـ النمو الأسي وظائف الاضمحلال.

الكيفية: إعطاء دالة أسية للنموذج [اللاتكس] f left (x right) =^[/ لاتكس] ، رسم الدالة.

  1. قم بإنشاء جدول للنقاط.
  2. ارسم 3 نقاط على الأقل من الجدول ، بما في ذلك ذ-تقاطع [لاتكس] يسار (0،1 يمين) [/ لاتكس].
  3. ارسم منحنى سلس عبر النقاط.
  4. اذكر المجال ، [اللاتكس] left (- infty ، infty right) [/ latex] ، النطاق ، [latex] left (0 ، infty right) [/ latex] ، والخط المقارب الأفقي ، [اللاتكس] y = 0 [/ اللاتكس].

مثال 1: رسم رسم بياني للدالة الأسية للنموذج F(x) = ب x

ارسم رسمًا بيانيًا لـ [اللاتكس] f left (x right) = <0.25> ^[/ لاتكس]. اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

المحلول

قبل الرسم البياني ، حدد السلوك وأنشئ جدول نقاط للرسم البياني.

  • منذ ب = 0.25 بين صفر وواحد ، نعلم أن الدالة تتناقص. سيزداد الذيل الأيسر للرسم البياني بدون حدود ، وسيقترب الذيل الأيمن من الخط المقارب ذ = 0.
  • قم بإنشاء جدول للنقاط.
    x–3–2–10123
    [لاتكس] و يسار (س يمين) = <0.25> ^[/ اللاتكس]6416410.250.06250.015625
  • ارسم ملف ذ-تقاطع ، [لاتكس] يسار (0،1 يمين) [/ لاتكس] ، مع نقطتين أخريين. يمكننا استخدام [لاتكس] يسار (-1،4 يمين) [/ لاتكس] و [لاتكس] يسار (1،0.25 يمين) [/ لاتكس].

ارسم منحنى سلس يربط بين النقاط.

الشكل 4. المجال هو [latex] left (- infty، infty right) [/ latex] النطاق هو [latex] left (0، infty right) [/ latex] الخط المقارب الأفقي هو [latex] y = 0 [/ لاتكس].

جربه 1

ارسم الرسم البياني لـ [اللاتكس] f left (x right) = <4> ^[/ لاتكس]. اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.


الرسوم البيانية للدوال الأسية

كما ناقشنا في القسم السابق ، تُستخدم الوظائف الأسية في العديد من تطبيقات العالم الحقيقي مثل التمويل والطب الشرعي وعلوم الكمبيوتر ومعظم علوم الحياة. العمل مع المعادلة التي تصف موقفًا في العالم الحقيقي يعطينا طريقة لعمل التنبؤات. ومع ذلك ، فإن المعادلة نفسها لا تكفي في معظم الأحيان. نتعلم الكثير عن الأشياء من خلال رؤية تمثيلاتها التصويرية ، وهذا هو بالضبط السبب في أن رسم المعادلات الأسية يعد أداة قوية. إنه يعطينا طبقة أخرى من البصيرة للتنبؤ بالأحداث المستقبلية.

وظائف الرسوم البيانية الأسية

قبل أن نبدأ الرسم البياني ، من المفيد مراجعة سلوك النمو الأسي. تذكر جدول القيم لوظيفة على شكل f (x) = b x

قاعدته أكبر من واحد. سنستخدم الدالة f (x) = 2 x.

لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في [link] مع زيادة المدخلات بمقدار 1.

x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3
و (س) = 2 س 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8

كل قيمة إخراج هي نتاج الناتج السابق والقاعدة ، 2.

ال نسبة ثابتة. في الواقع ، لأي دالة أسية بالصيغة f (x) = a b x ،

هي النسبة الثابتة للدالة. هذا يعني أنه مع زيادة المدخلات بمقدار 1 ، ستكون قيمة المخرجات هي منتج القاعدة والمخرجات السابقة ، بغض النظر عن قيمة a.

لاحظ من الجدول أن

  • قيم المخرجات موجبة لجميع قيم x
  • مثل x

يزيد ، تزيد قيم المخرجات بدون قيود و

ينخفض ​​، وتصغر قيم المخرجات ، وتقترب من الصفر.

يُظهر [رابط] دالة النمو الأسي f (x) = 2 x.

هي جميع الأعداد الحقيقية ، النطاق هو (0 ، ∞) ،

والخط المقارب الأفقي هو y = 0.

للتعرف على سلوك تسوس الأسي، يمكننا إنشاء جدول قيم لوظيفة على شكل f (x) = b x

قاعدتها بين صفر وواحد. سنستخدم الدالة g (x) = (1 2) x.

لاحظ كيف تتغير قيم المخرجات في [link] مع زيادة المدخلات بمقدار 1.

-2
-1
0
1
2
3
ز (س) = (1 2) س
8
4
2
1
1 2
1 4
1 8

مرة أخرى ، نظرًا لأن المدخلات تزداد بمقدار 1 ، فإن كل قيمة مخرجات هي ناتج الناتج السابق والقاعدة ، أو نسبة ثابتة 1 2.

لاحظ من الجدول أن

  • قيم المخرجات موجبة لجميع قيم x
  • مثل x

تزداد قيم الإنتاج أصغر ، وتقترب من الصفر و

ينخفض ​​، تنمو قيم المخرجات بلا حدود.

يوضح [الرابط] دالة الانحلال الأسي ، g (x) = (1 2) x.

مجال g (x) = (1 2) x

هي جميع الأعداد الحقيقية ، النطاق هو (0 ، ∞) ،

والخط المقارب الأفقي هو y = 0.

دالة أسية بالصيغة f (x) = b x ،

له هذه الخصائص:

  • واحد لواحد وظيفة
  • خط مقارب أفقي: y = 0
  • المجال: (- ∞، ∞)
  • النطاق: (0، ∞)
  • س-اعتراض: لا شيء
  • ص-اعتراض: (0 ، 1)
  • زيادة إذا b & gt 1
  • تناقص إذا b & lt 1

يقارن [رابط] الرسوم البيانية لـ النمو الأسي و وظائف الاضمحلال.

** بالنظر إلى دالة أسية بالصيغة f (x) = b x ،

  1. قم بإنشاء جدول بالنقاط.
  2. ارسم على الأقل 3

نقطة من الجدول ، بما في ذلك ذ-تقاطع

والخط المقارب الأفقي ،

ارسم رسمًا بيانيًا لـ f (x) = 0.25 x.

اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

قبل الرسم البياني ، حدد السلوك وأنشئ جدول نقاط للرسم البياني.

بين صفر وواحد ، نعلم أن الدالة تتناقص. سيزداد الذيل الأيسر للرسم البياني بدون حدود ، وسيقترب الذيل الأيمن من الخط المقارب

− 2
− 1
0
1
2
3

مع نقطتين أخريين. يمكننا ان نستخدم

ارسم منحنى سلس يربط بين النقاط كما في [link].

الخط المقارب الأفقي هو y = 0.

ارسم الرسم البياني لـ f (x) = 4 x.

اذكر المجال والنطاق والخط المقارب.

الخط المقارب الأفقي هو y = 0.

تحويلات الرسوم البيانية للدوال الأسية

تتصرف تحولات الرسوم البيانية الأسية بشكل مشابه لتلك الخاصة بالوظائف الأخرى. كما هو الحال مع الوظائف الرئيسية الأخرى ، يمكننا تطبيق الأنواع الأربعة من التحويلات - التحولات ، والانعكاسات ، والتمددات ، والضغط - على الوظيفة الأصلية f (x) = b x

دون فقدان الشكل. على سبيل المثال ، تمامًا كما تحافظ الوظيفة التربيعية على شكلها المكافئ عند التبديل أو الانعكاس أو التمدد أو الضغط ، تحافظ الوظيفة الأسية أيضًا على شكلها العام بغض النظر عن التحولات المطبقة.

رسم التحول العمودي

يحدث التحول الأول عندما نضيف ثابت d

إلى الوظيفة الأب و (س) = ب س ،

يعطينا التحول العمودي د

وحدات في نفس اتجاه العلامة. على سبيل المثال ، إذا بدأنا برسم دالة أصلية ، f (x) = 2 x ،


4.2: الرسوم البيانية للوظائف الأسية

وظائف الرسوم البيانية الأسية: أمثلة (صفحة 4 من 4)

قد يبدو هذا أكثر صعوبة في الرسم البياني ، لأن كل ما لدي ذ - القيم التقريبية العشرية. ولكن إذا قمت بالتقريب إلى عدد معقول من المنازل العشرية (واحد أو اثنان جيد بشكل عام لأغراض الرسم البياني) ، فسيكون هذا الرسم البياني سهلًا إلى حد ما. أريد فقط التأكد من أنني رسمت رسمًا بيانيًا أنيقًا لطيفًا بمقياس ثابت على محاور.

إذا لم تكن القوة في الأسي خطية (مثل & quot x & quot) ، ولكنها بدلاً من ذلك تربيعية (مثل & quot 2x 2 & quot) أو أي شيء آخر ، فقد يبدو الرسم البياني مختلفًا. أيضًا ، إذا كان هناك أكثر من مصطلح أسي في الدالة ، فقد يبدو الرسم البياني مختلفًا ، وفيما يلي بعض الأمثلة ، فقط لتوضيح كيفية عملها.

نظرًا لأن القوة تربيعية سالبة ، فإن الأس دائمًا ما يكون سالبًا (أو صفرًا). ثم يجب أن يكون هذا الرسم البياني عمومًا قريبًا جدًا من x -محور.

حقوق النشر © Elizabeth Stapel 2002-2011 جميع الحقوق محفوظة

هناك عدد قليل جدًا من النقاط هنا التي يمكن تمثيلها بالرسم البياني. سأضم النقاط التي لدي ، وأتأكد من أنني أتذكر رسم الرسم البياني كخط متعرج:

  • ارسم ما يلي:

هذه في الواقع وظيفة مفيدة (تسمى & quothyperbolic sine function & quot) ، لكنك ربما لن تراها مرة أخرى حتى حساب التفاضل والتكامل. على أي حال ، أحسب النقاط والمؤامرة ، كالعادة:

Sometimes you will see the more-complicated exponential functions like these. At this stage in your mathematical career, though, you will probably mostly be dealing with the standard exponential form. So make sure that you're comfortable with its general shape and behavior.

To review: below are some different variations on the same basic exponential function, with the associated graph below each equation. Note that, even if the graph is moved left or right, or up or down, or is flipped upside-down, it still displays the same curve. Make sure you are familiar with this shape!


Intermediate Examples

Which of the following is the graph of y = ( 1 5 ) x ? displaystyle y=left(frac<1><5> ight)^x? y = ( 5 1 ​ ) x ?

exponential

An exponential function f ( x ) = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x)=a^x

  • Its domain is all real numbers and its codomain is all positive real numbers.
  • The graph of y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) passes through the points ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) and ( 1 , a ) . (1, a). ( 1 , a ) .
  • The asymptote of y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) is the x x x -axis.
  • f ( x ) f(x) f ( x ) is an increasing function for a > 1 a>1 a > 1 and a decreasing function for 0 < a < 1. 0<a<1. 0 < a < 1 .

Which of the five graphs in the above problem represents y = − a x ( a > 1 ) ? displaystyle y=-a^x

(a>1)? y = − a x ( a > 1 ) ?

By applying the information given in the problem above, we have the following properties of the function f ( x ) = − a x ( a > 1 ) : f(x)=-a^x

  • Its domain is all real numbers and its codomain is all negative real numbers.
  • The graph of y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) passes through the points ( 0 , − 1 ) (0, -1) ( 0 , − 1 ) and ( 1 , − a ) . (1, -a). ( 1 , − a ) .
  • The asymptote of y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) is the x x x -axis.
  • f ( x ) f(x) f ( x ) is a decreasing function.

If the graph below represents y = 3 x , y=3^x, y = 3 x , what is b − a ? b-a? b − a ?

y3x

The graph shows y = 7 y=7 y = 7 for x = a , x=a, x = a , which implies 3 a = 7. ( 1 ) 3^a=7. qquad (1) 3 a = 7 . ( 1 )
It also shows y = 63 y=63 y = 6 3 for x = b , x=b, x = b , which implies 3 b = 63. ( 2 ) 3^b=63. qquad (2) 3 b = 6 3 . ( 2 )
Taking ( 2 ) ÷ ( 1 ) (2)div (1) ( 2 ) ÷ ( 1 ) gives

3 b 3 a = 3 b − a = 63 7 = 9 = 3 2 ⇒ b − a = 2. □ egin frac<3^b> <3^a>&=3^ &=frac<63><7> &=9 &=3^2 Rightarrow b-a&=2. _square end 3 a 3 b ​ ⇒ b − a ​ = 3 b − a = 7 6 3 ​ = 9 = 3 2 = 2 . □ ​ ​

If the graph below represents y = 1 0 x , y=10^x, y = 1 0 x , what is a + b 2 + 2 c ? displaystyle a+frac<2>+2c? a + 2 b ​ + 2 c ?

ylog10

The graph shows y = 2 y=2 y = 2 for x = a , x=a, x = a , which implies 1 0 a = 2. ( 1 ) 10^a=2. qquad (1) 1 0 a = 2 . ( 1 )
Similarly, y = 4 y=4 y = 4 for x = b , x=b, x = b , implying 1 0 b = 4 ⇒ 1 0 b 2 = ( 1 0 b ) 1 2 = 4 1 2 = 2. ( 2 ) 10^b=4 Rightarrow 10^<2>>=left(10^b ight)^<2>>=4^<2>>=2. qquad (2) 1 0 b = 4 ⇒ 1 0 2 b ​ = ( 1 0 b ) 2 1 ​ = 4 2 1 ​ = 2 . ( 2 )
Finally, y = 5 y=5 y = 5 for x = c , x=c, x = c , implying 1 0 c = 5 ⇒ 1 0 2 c = ( 1 0 c ) 2 = 5 2 = 25. ( 3 ) 10^c=5 Rightarrow 10^<2c>=left(10^c ight)^2=5^2=25. qquad (3) 1 0 c = 5 ⇒ 1 0 2 c = ( 1 0 c ) 2 = 5 2 = 2 5 . ( 3 )

Taking ( 1 ) × ( 2 ) × ( 3 ) (1) imes (2) imes (3) ( 1 ) × ( 2 ) × ( 3 ) gives

1 0 a × 1 0 b 2 × 1 0 2 c = 1 0 a + b 2 + 2 c = 2 × 2 × 25 = 100 = 1 0 2 , egin 10^a imes 10^<2>> imes 10^ <2c>&=10^<><2>+2c> &= 2 imes 2 imes 25 &=100 &=10^2, end 1 0 a × 1 0 2 b ​ × 1 0 2 c ​ = 1 0 a + 2 b ​ + 2 c = 2 × 2 × 2 5 = 1 0 0 = 1 0 2 , ​

which implies

a + b 2 + 2 c = 2. □ a+frac<2>+2c=2. _square a + 2 b ​ + 2 c = 2 . □


We first start with the properties of the graph of the basic exponential function of base a,

f (x) = أ x , أ > 0 and a not equal to 1. The domain of function f is the set of all real numbers. The range of f is the interval (0 , +∞).
The graph of f has a horizontal asymptote given by y = 0. Function f has a y intercept at (0 , 1). f is an increasing function if أ is greater than 1 and a decreasing function if أ is smaller than 1 .

مثال 1

  1. Find the domain and range of f.
  2. Find the horizontal asymptote of the graph.
  3. Find the x and y intercepts of the graph. of f if there are any.
  4. Sketch the graph of f.

    The domain of f is the set of all real numbers. To find the range of f,we start with
    2 x > 0
    Multiply both sides by 2 -2 (a positive number).
    2 x 2 -2 > 0

Matched Problem to Example1: f is a function given by

  1. Find the domain and range of f.
  2. Find the horizontal asymptote of the graph of f.
  3. Find the x and y intercepts of the graph of f if there are any.
  4. Sketch the graph of f.

Example 2

  1. Find the domain and range of f.
  2. Find the horizontal asymptote of the graph of f.
  3. Find the x and y intercepts of the graph of f if there are any.
  4. Sketch the graph of f.

Matched Problem to Example2: f is a function given by

  1. Find the domain and range of f.
  2. Find the horizontal asymptote of the graph of f.
  3. Find the x and y intercepts of the graph of f if there are any.
  4. Sketch the graph of f.


شاهد الفيديو: طريقــة رسـم مقيــاس الدالــة الأسيــــة Exponential Function - إعدادي هندسة Prep Engineering (شهر اكتوبر 2021).