مقالات

18.3: التزامن - الرياضيات


أحد التطبيقات المثيرة للاهتمام للفجوة الطيفية / التوصيل الجبري هو تحديد قابلية تزامن العقد الديناميكية المقترنة خطيًا ، والتي يمكن صياغتها على النحو التالي:

[ frac {dx_ {i}} {dt} = R (x_ {i}) + alpha { sum_ {j epsilon {N_ {i}}} (H (x_j) -H (x_i)}) التسمية {(18.6)} ]

هنا (x_i ) هي حالة العقدة (i ) ، (R ) هو مصطلح رد الفعل المحلي الذي ينتج السلوك الديناميكي المتأصل للعقد الفردية ، و (N_i ) هو جوار العقدة ( أنا). نفترض أن (R ) متطابق لجميع العقد ، وينتج مسارًا معينًا (x_s (t) ) إذا لم يكن هناك تفاعل مع العقد الأخرى. أي ، (x_s (t) ) يُعطى كحل للمعادلة التفاضلية (dx / dt = R (x) ). (H ) تسمى وظيفة الإخراج التي تنطبق بشكل متجانس على جميع العقد. تُستخدم وظيفة الإخراج لتعميم التفاعل والانتشار بين العقد ؛ بدلاً من افتراض أن حالات العقدة نفسها مرئية للآخرين مباشرةً ، نفترض أن جانبًا معينًا من حالات العقد (يمثله (H (x) )) مرئي وينتشر في العقد الأخرى.

مكافئ. يمكن تبسيط ref {(18.6)} باستخدام مصفوفة Laplacian ، على النحو التالي:

[ frac {dx_i} {dt} = R (x_i) - alpha {L} begin {pmatrix} H (x_1) H (x_2) vdots H (x_n) end {pmatrix } التسمية {(18.7)} ]

نريد الآن دراسة ما إذا كانت هذه الشبكة من العقد الديناميكية المقترنة يمكن أن تتزامن أم لا. المزامنة ممكنة فقط إذا كان المسار (x_i (t) = x_s (t) ) للجميع (i ) مستقرًا. هذا مفهوم جديد ، أي دراسة استقرار مسار ديناميكي ، وليس حالة توازن ثابتة. ولكن لا يزال بإمكاننا اعتماد نفس الإجراء الأساسي لتحليل الاستقرار الخطي: تمثيل حالة النظام كمجموع الحالة المستهدفة واضطراب صغير ، ثم التحقق مما إذا كان الاضطراب ينمو أو يتقلص بمرور الوقت. هنا نمثل حالة كل عقدة على النحو التالي:

[x_i (t) = x_s (t) + Delta {x_i (t)} label {(18.8)} ]

عن طريق توصيل هذا التعبير الجديد في المعادلة. المرجع {(18.7)} ، نحصل عليه

[ frac {d (x_s + Delta {x_i})} {dt} = R (x_s + Delta {x_i}) - alpha {L} begin {pmatrix} H (x_s + Delta {x_1}) H (x_s + Delta {x_2}) vdots H (x_s + Delta {x_n}) end {pmatrix} label {(18.9)} ]

نظرًا لأن (∆x_i ) صغير جدًا ، يمكننا تقريبًا خطيًا (R ) و (H ) على النحو التالي:

[ frac {dx_s} {dt} + frac {d Delta {x_i}} {dt} = R (x_s) + R '(x_s) Delta {x_i} - alpha {L} begin {pmatrix } H (x_s) + H '(x_s) Delta {x_1} H (x_s) + H' (x_s) Delta {x_2} vdots H (x_s) + H '(x_s) دلتا {x_n} end {pmatrix} label {(18.10)} ]

تلغي الحدود on الأولى على كلا الجانبين بعضها البعض لأن xs هو حل (dx / dt = R (x) ) بالتعريف. ولكن ماذا عن تلك المزعجة (H (x_s) ) المضمنة في المتجه في المصطلح الأخير؟ هل هناك طريقة للقضاء عليهم؟ حسنًا ، الجواب هو أنه لا يتعين علينا فعل أي شيء ، لأن مصفوفة لابلاسيان ستأكلهم جميعًا. تذكر أن مصفوفة Laplacian دائما ساتيس فاي وفاق (LH = 0 ). في هذه الحالة ، يشكل هؤلاء (H (x_s) ) متجهًا متجانسًا (H (x_s) h ) تمامًا. لذلك ، يختفي (L (H (x_s) h) = H (x_s) Lh ) فورًا ، ونحصل على

[ frac {d Delta {x}} {dt} = R '(x_s) Delta {x_i} - alpha {H'} (x_s) L begin {pmatrix} Delta {x_1} دلتا {x_2} vdots Delta {x_ {n}} end {pmatrix} ، label {(18.11)} ]

أو عن طريق جمع كل (∆x_i ) في ناقل اضطراب جديد (∆x ) ،

[ frac {d Delta {x}} {dt} = (R '(x_s) I - alpha {H'} (x_s) L) Delta {x}، label {(18.12)} ]

كنتيجة نهائية للخطية. لاحظ أن (x_s ) لا يزال يتغير بمرور الوقت ، لذلك من أجل أن يكون هذا المسار مستقرًا ، كل القيم الذاتية لهذه المصفوفة المعقدة إلى حد ما co cient المصفوفة ((R '(x_s) I −αH' (x_s) L) ) يجب أن يشير دائمًا إلى الاستقرار في أي وقت.

يمكننا أن نذهب أبعد من ذلك. من المعروف أن القيم الذاتية للمصفوفة (aX + bI ) هي (aλ_i + b ) ، حيث (λ_i ) هي القيم الذاتية لـ (X ). لذا ، فإن القيم الذاتية لـ ((R '(x_s) I −αH' (x_s) L ) هي

[- alpha { lambda_ {i}} H '(x_s) + R' (x_s)، label {(18.13)} ]

حيث (λ_i ) هي قيم (L ) 'sneigenvalues. قيمة eigenvalue التي تتوافق مع أصغر قيمة ذاتية لـ (L ) ، 0 ، هي فقط (R '(x_s) ) ، والتي يتم تحديدها فقط من خلال الديناميات المتأصلة في (R (x) ) (وبالتالي طبيعة (x_s (t)) ) ، لذلك لا يمكننا فعل أي شيء حيال ذلك. لكن جميع (n - 1 ) قيم eigenvalues ​​الأخرى يجب أن تكون سالبة طوال الوقت ، حتى يكون مسار الهدف (x_s (t) ) مستقرًا. لذلك ، إذا كنا نمثل ثاني أصغر قيمة ذاتية (الفجوة الطيفية للشبكات المتصلة) وأكبر قيمة ذاتية لـ (L ) بواسطة (λ_ {2} ) و (λ_n ) ، على التوالي ، فيمكن لمعايير الاستقرار أن تكتب كـ

[ alpha { lambda_ {i}} H '(x_ {s} (t))> R' (x_ {s} (t)) qquad { text {for all t، and}} label { (18.14)} ]

[ alpha { lambda_n} H '(x_s (t))> R' (x_s (t)) qquad { text {for all t،}} label {(18.15)} ]

لأن جميع القيم الذاتية الوسيطة الأخرى "محصورة" بواسطة (λ_2 ) و (λ_n ). توفر لنا هذه التفاوتات تفسيرًا بديهيًا لطيفًا لحالة الاستقرار: يجب أن يكون تأثير انتشار مخرجات العقدة (الجانب الأيسر) أقوى من محرك الأقراص الديناميكي الداخلي (الجانب الأيمن) طوال الوقت.

لاحظ أنه على الرغم من أن (α ) و (λ_i ) كلاهما غير سالب ، فإن (H '(xs (t)) ) يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا ، لذا فإن تحديد عدم المساواة الأكثر أهمية يعتمد على الطبيعة من دالة الإخراج (H ) والمسار (x_s (t) ) (والذي يتم تحديده بواسطة مصطلح التفاعل (R )). إذا ظل (H '(x_s (t)) ) دائمًا غير سالب ، فإن المتباينة الأولى تكون كافية (نظرًا لأن المتباينة الثانية تتبع بشكل طبيعي كـ (λ_2 ≤ λ_n )) ، وبالتالي فإن الفجوة الطيفية هي الوحيدة المعلومات ذات الصلة لتحديد مزامنة الشبكة. ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك ، فنحن بحاجة إلى النظر في كل من الفجوة الطيفية وأكبر قيمة ذاتية لمصفوفة لابلاسيان.

اليك مثال بسيط. افترض أن مجموعة من العقد تتأرجح بوتيرة متسارعة أضعافًا مضاعفة:
[ frac {d theta_i} {dt} = beta { theta_i} + alpha sum_ {j epsilon {N_i} ( theta_ {j} - theta_ {i})} label {(18.16 )} ]

هنا ، (θ_i ) هي مرحلة العقدة (i ) ، و (β ) هو معدل التسارع الأسي الذي ينطبق بشكل متجانس على جميع العقد. نفترض أيضًا أن القيم الفعلية لـ θi تنتشر من وإلى العقد المجاورة عبر الحواف. لذلك ، (R (θ) = βθ ) و (H (θ) = θ ) في هذا النموذج.

يمكننا تحليل تزامن هذا النموذج على النحو التالي. بما أن (H '(θ) = 1> 0 ) ، نعلم فورًا أن المتباينة ref {(18.14)} هي المطلب الوحيد في هذه الحالة. أيضًا ، (R '(θ) = β ) ، لذلك يتم إعطاء شرط المزامنة بواسطة

[ alpha { lambda_2}> beta، text {or} lambda_2> frac { beta} { alpha}. التسمية {(18.17)} ]

سهل جدا. دعونا نتحقق من هذه النتيجة التحليلية بمحاكاة رقمية على الرسم البياني لنادي الكاراتيه. نحن نعلم أن فجوة الطيف تساوي 0.4685 ، لذلك إذا كانت (β / α ) أقل (أو أعلى) من هذه القيمة ، فيجب (أو لا ينبغي) حدوث المزامنة. هذا هو رمز مثل هذه المحاكاة:

أضفت هنا مخططًا ثانيًا يوضح توزيع الطور في مساحة ((x، y) = (cos {θ}، sin {θ}) ) ، فقط للمساعدة في الفهم البصري.

في الكود أعلاه ، تم تعيين قيم المعلمات علىألفا =2 وبيتا =1 ، لذلك (λ_2 0.4685 بيتاتم تخفيضه قليلاً إلى 0.9 بحيث (λ_2 = 0.4685> β / α = 0.45 ) ، تصبح الحالة المتزامنة مستقرة ، والتي يتم ضبطها مرة أخرى في المحاكاة العددية (الشكل 18.3.1 (ب)). من المثير للاهتمام أن مثل هذا التغيير الطفيف في قيمة المعلمة يمكن أن يتسبب في اختلاف كبير في الديناميات العالمية للشبكة. أيضًا ، من المدهش إلى حد ما أن تحليل الاستقرار الخطي يمكن أن يتنبأ بهذا التحول بدقة. صخور التحليل الرياضي!

تمرين ( PageIndex {1} )

قم بعشوائية طوبولوجيا الرسم البياني لنادي الكاراتيه وقياس الفجوة الطيفية. حدد بشكل تحليلي قابلية التزامن لنموذج المذبذبات المتسارع الذي تمت مناقشته أعلاه مع (α = 2 ) ، (β = 1 ) على الشبكة العشوائية. ثم أكّد تنبؤاتك عن طريق المحاكاة العددية. يمكنك أيضًا تجربة العديد من بنى الشبكات الأخرى.

تمرين ( PageIndex {2} )

فيما يلي نموذج للمذبذبات التوافقية المقترنة حيث تُستخدم حالات العقدة المعقدة لتمثيل التذبذب التوافقي في معادلة تفاضلية أحادية المتغير:

[ frac {dx_i} {dt} = i omega {x_i} + alpha sum {j epsilon {N_i} (x ^ { gamma} _ {j} -x ^ {y} _ {i} )} label {(18.18)} ]

يتم استخدام i هنا للإشارة إلى الوحدة التخيلية لتجنب الالتباس مع مؤشر العقدة i. نظرًا لأن الحالات معقدة ، ستحتاج إلى استخدام (Re (·) ) على جانبي المتباينات المرجع {(18.14)} و المرجع {(18.15)} لتحديد الاستقرار.

قم بتحليل قابلية التزامن لهذا النموذج على الرسم البياني لنادي الكاراتيه ، واحصل على شرط التزامن فيما يتعلق بأس الإخراج (γ ). ثم أكّد تنبؤاتك عن طريق المحاكاة العددية.

ربما لاحظت أن تحليل التزامن الذي نوقش أعلاه يشبه إلى حد ما تحليل الاستقرار لنماذج الميدان المستمر التي تمت مناقشتها في الفصل 14. في الواقع ، فهي في الأساس نفس التقنية التحليلية (على الرغم من أننا لم نغطي تحليل الاستقرار للمسارات الديناميكية في ذلك الوقت) . الاختلاف الوحيد هو ما إذا كان يتم تمثيل الفضاء كحقل مستمر أو كشبكة منفصلة. بالنسبة للسابق ، الانتشار

يمثله عامل لابلاسيان (∇ ^ 2 ) ، بينما بالنسبة للأخير ، يتم تمثيله بمصفوفة لابلاسيان (L ) (لاحظ مرة أخرى أن علاماتهم معاكسة لسوء الحظ التاريخي!). تسمح لنا نماذج الشبكة بدراسة هياكل مكانية أكثر تعقيدًا وغير بديهية ، ولكن لا توجد أي جوانب مختلفة جوهريًا بين هذين الإطارين للنمذجة. هذا هو السبب في أن نفس النهج التحليلي يعمل لكليهما.

لاحظ أن تحليل المزامنة الذي قمنا بتغطيته في هذا القسم لا يزال محدودًا تمامًا من حيث قابليته للتطبيق على نماذج الشبكات الديناميكية الأكثر تعقيدًا. يعتمد على افتراض أن العقد الديناميكية متجانسة وأنها مرتبطة خطيًا ، لذلك لا يمكن للتحليل التعميم على سلوكيات الشبكات الديناميكية غير المتجانسة مع أدوات التوصيل غير الخطية ، مثل نموذج كوراموتو الذي تمت مناقشته في القسم 16.2 حيث تتأرجح العقد بشكل مختلف. الترددات ومقارناتها غير خطية. سيحتاج تحليل مثل هذه الشبكات إلى تقنيات تحليلية غير خطية أكثر تقدمًا ، وهو ما يتجاوز نطاق هذا الكتاب المدرسي.


تعزيز متانة وقابلية مزامنة الشبكات التي تعمل على تجانس توزيع درجاتها

عائلة جديدة من الشبكات تسمى متشابكا، تم اقتراحه مؤخرًا في الأدبيات. تتمتع هذه الشبكات بخصائص مثالية من حيث المزامنة والمتانة ضد الأخطاء والهجمات والتواصل الفعال. لقد تم بناؤها باستخدام خوارزمية تستخدم التلدين المحاكي المعدل لتعزيز مقياس معروف جيدًا لقدرة الشبكات على الوصول إلى التزامن بين العقد. في هذا العمل ، نقترح أنه يمكن إنتاج فئة من الشبكات المشابهة للشبكات المتشابكة عن طريق تغيير بعض الاتصالات في شبكة معينة ، أو عن طريق إضافة بعض الاتصالات فقط. نسمي هذه الفئة من الشبكات ضعيف التشابك. على الرغم من أنه يمكن اعتبار الشبكات المتشابكة مجموعة فرعية من الشبكات الضعيفة المتشابكة ، فإننا نظهر أن كلا الفئتين تشتركان في خصائص متشابهة ، خاصة فيما يتعلق بالمزامنة والمتانة ، وأن لهما خصائص هيكلية متشابهة.

يسلط الضوء

► نقدم إجراء إعادة توصيل ينتج شبكات ذات بنية ضعيفة التشابك. ► نقوم بفحص الخصائص الهيكلية ومزامنة ومتانة الشبكات. ► نظهر أنهما يشتركان في خصائص مشابهة للشبكات المتشابكة. ► تعمل إجراءاتنا على تحسين التزامن والمتانة لشبكة معينة. الإجراء يستغل فقط تجانس درجة العقد.


18.3.2. قواعد حساب التفاضل والتكامل

ننتقل الآن إلى مهمة فهم كيفية حساب مشتق دالة صريحة. المعالجة الرسمية الكاملة لحساب التفاضل والتكامل ستشتق كل شيء من المبادئ الأولى. لن ننغمس في هذا الإغراء هنا ، بل نقدم فهمًا للقواعد المشتركة التي نواجهها.

18.3.2.1. المشتقات الشائعة¶

كما رأينا في القسم 2.4 ، عند حساب المشتقات ، يمكن للمرء في كثير من الأحيان استخدام سلسلة من القواعد لتقليل الحساب إلى عدد قليل من الوظائف الأساسية. نكررها هنا لسهولة الرجوع إليها.

مشتق الثوابت. ( فاركج = 0 ).

مشتق من التوابع الخطية. ( فارك(الفأس) = أ ).

حكم القوة. ( فاركx ^ n = nx ^) .

مشتق من الأس. ( فاركه ^ س = ه ^ س ).

مشتق من اللوغاريتم. ( فارك log (x) = frac <1>) .

18.3.2.2. قواعد مشتقة¶

إذا احتاج كل مشتق إلى أن يتم حسابه بشكل منفصل وتخزينه في جدول ، فسيكون حساب التفاضل شبه مستحيل. إنها هدية الرياضيات التي يمكننا تعميم المشتقات المذكورة أعلاه وحساب مشتقات أكثر تعقيدًا مثل إيجاد مشتق (f (x) = log left (1+ (x-1) ^ <10> right) ). كما ورد في القسم 2.4 ، فإن مفتاح القيام بذلك هو تدوين ما يحدث عندما نأخذ وظائف ودمجها بطرق مختلفة ، أهمها: المبالغ والمنتجات والتركيبات.

حكم المجموع. ( فارك يسار (g (x) + h (x) right) = frac(x) + frac(خ) ).

سيادة المنتج. ( فارك يسار (g (x) cdot h (x) right) = g (x) frac(x) + frac(خ) ح (خ) ).

حكم السلسلة. ( فاركز (ح (س)) = فارك(ح (س)) cdot فارك(خ) ).

دعونا نرى كيف يمكننا استخدام (18.3.6) لفهم هذه القواعد. بالنسبة لقاعدة المجموع ، ضع في اعتبارك سلسلة التفكير التالية:

بمقارنة هذه النتيجة بحقيقة أن (f (x + epsilon) almost f (x) + epsilon frac(x) ) ، نرى أن ( frac(س) = فارك(x) + frac(خ) ) حسب الرغبة. الحدس هنا هو: عندما نغير المدخلات (x ) ، (g ) و (h ) تساهم معًا في تغيير الإخراج بواسطة ( frac(x) ) و ( frac(خ) ).

المنتج أكثر دقة وسيتطلب ملاحظة جديدة حول كيفية التعامل مع هذه التعبيرات. سنبدأ كما كان من قبل باستخدام (18.3.6):

هذا يشبه الحساب الذي تم إجراؤه أعلاه ، وبالفعل نرى إجابتنا ( ( frac(س) = ز (س) فارك(x) + frac(x) h (x) )) جالسًا بجوار ( epsilon ) ، ولكن هناك مشكلة تتعلق بمصطلح الحجم ( epsilon ^ <2> ). سوف نشير إلى هذا على أنه أ مصطلح عالي المستوى، لأن قوة ( epsilon ^ 2 ) أعلى من قوة ( epsilon ^ 1 ). سنرى في قسم لاحق أننا سنرغب في بعض الأحيان في تتبع هذه الأشياء ، ولكن في الوقت الحالي نلاحظ أنه إذا ( epsilon = 0.0000001 ) ، إذن ( epsilon ^ <2> = 0.0000000000001 ) ، وهو إلى حد كبير الأصغر. نظرًا لأننا نرسل ( epsilon rightarrow 0 ) ، فقد نتجاهل بأمان شروط الترتيب الأعلى. كمصطلح عام في هذا الملحق ، سنستخدم " ( تقريبًا )" للإشارة إلى أن المصطلحين متساويين مع شروط الترتيب الأعلى. ومع ذلك ، إذا أردنا أن نكون أكثر رسمية ، فقد نفحص حاصل الفرق

ونرى أنه بينما نرسل ( epsilon rightarrow 0 ) ، فإن مصطلح اليد اليمنى يذهب إلى الصفر أيضًا.

أخيرًا ، مع قاعدة السلسلة ، يمكننا التقدم مرة أخرى كما كان من قبل باستخدام (18.3.6) ونرى ذلك

حيث في السطر الثاني نعرض الوظيفة (g ) على أنها تحويل مدخلاتها ( (ح (س) )) بالكمية الصغيرة ( إبسيلون فارك(خ) ).

توفر لنا هذه القاعدة مجموعة مرنة من الأدوات لحساب أي تعبير مرغوب فيه بشكل أساسي. على سبيل المثال،

حيث استخدم كل سطر القواعد التالية:

قاعدة السلسلة ومشتق اللوغاريتم.

مشتق الثوابت ، وقاعدة السلسلة ، وقاعدة القوة.

قاعدة المجموع ، مشتق الدوال الخطية ، مشتق الثوابت.

يجب أن يكون هناك شيئان واضحان بعد القيام بهذا المثال:

أي دالة يمكننا كتابتها باستخدام المجاميع ، والمنتجات ، والثوابت ، والقوى ، والأسي ، واللوغاريتمات يمكن أن يتم حساب اشتقاقها ميكانيكيًا باتباع هذه القواعد.

قد يكون اتباع الإنسان لهذه القواعد أمرًا مملًا وعرضة للخطأ!

لحسن الحظ ، تشير هاتان الحقيقتان معًا إلى طريق إلى الأمام: هذا مرشح مثالي للميكنة! في الواقع ، backpropagation ، الذي سنعيد النظر فيه لاحقًا في هذا القسم ، هو بالضبط ذلك.

18.3.2.3. تقريب خطي¶

عند العمل بالمشتقات ، غالبًا ما يكون من المفيد تفسير التقريب المستخدم أعلاه هندسيًا. على وجه الخصوص ، لاحظ أن المعادلة

تقارب قيمة (f ) بخط يمر عبر النقطة ((x، f (x)) ) وله ميل ( frac(خ) ). بهذه الطريقة نقول أن المشتق يعطي تقريبًا خطيًا للدالة (f ) ، كما هو موضح أدناه:


الدرس 1

دعونا نرى كيف يمكن للمخططات والمعادلات الشريطية إظهار العلاقات بين المبالغ.

1.1: ما هو الرسم التخطيطي أيهما؟

هنا مخططان. واحد يمثل (2 + 5 = 7 ). الآخر يمثل (5 boldcdot 2 = 10 ). أيهما؟ قم بتسمية طول كل رسم بياني.

قم بتوسيع الصورة

ارسم مخططًا يمثل كل معادلة.

1.2: مطابقة المعادلات ومخططات الشريط

هنا نوعان من المخططات الشريطية. طابق كل معادلة بأحد المخططات الشريطية.

قم بتوسيع الصورة

1.3: رسم مخططات المعادلات

ارسم مخططًا لكل معادلة وابحث عن قيمة المجهول الذي يجعل المعادلة صحيحة.

أنت تمشي في طريق تبحث عن الكنز. يتفرع الطريق إلى ثلاثة مسارات. يقف حارس في كل طريق. أنت تعلم أن واحدًا فقط من الحراس يقول الحقيقة ، والآخران يكذبان. إليكم ما يقولون:

  • حارس 1: الكنز يقع أسفل هذا الطريق.
  • الحارس 2: لا يوجد كنز يقع أسفل هذا الطريق يبحث عنه في مكان آخر.
  • الحارس 3: الحارس الأول يكذب.

أي طريق يؤدي إلى الكنز؟

ملخص

يمكن أن تساعدنا المخططات الشريطية في فهم العلاقات بين الكميات وكيف تصف العمليات تلك العلاقات.

قم بتوسيع الصورة

يحتوي الشكل A على 3 أجزاء تضاف إلى 21. كل جزء مكتوب عليه نفس الحرف ، لذلك نعلم أن الأجزاء الثلاثة متساوية. فيما يلي بعض المعادلات التي تمثل جميعها الرسم التخطيطي أ:

( displaystyle 3 boldcdot =21)

لاحظ أن الرقم 3 لا يظهر في الرسم التخطيطي ، 3 يأتي من عد 3 مربعات تمثل 3 أجزاء متساوية في 21.

يمكننا استخدام الرسم التخطيطي أو أي من المعادلات لتبرير أن قيمة (x ) هي 7.

يتكون الرسم البياني B من جزأين يضافان إلى 21. فيما يلي بعض المعادلات التي تمثل جميعها الرسم التخطيطي B:

يمكننا استخدام الرسم التخطيطي أو أي من المعادلات لتبرير أن قيمة (y ) هي 18.

تم تطوير IM 6-8 Math في الأصل من قبل Open Up Resources وتأليف Illustrative Mathematics® ، وهي محمية بحقوق الطبع والنشر لعام 2017-2019 بواسطة Open Up Resources. تم ترخيصه بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف 4.0 (CC BY 4.0). منهج الرياضيات 6-8 متاح على https://openupresources.org/math-curriculum/.

تعد التعديلات والتحديثات الخاصة بـ IM 6-8 Math حقوق الطبع والنشر لعام 2019 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

التعديلات لإضافة دعم إضافي لمتعلم اللغة الإنجليزية هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 من Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

المجموعة الثانية من تقييمات اللغة الإنجليزية (تم وضع علامة عليها على أنها مجموعة "B") هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 بواسطة Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

الترجمة الإسبانية للتقييمات "B" هي حقوق طبع ونشر لعام 2020 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب الترخيص الدولي Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

لا يخضع اسم وشعار الرياضيات التوضيحية لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز استخدامهما بدون موافقة كتابية مسبقة وصريحة من الرياضيات التوضيحية.

يتضمن هذا الموقع صورًا ذات ملكية عامة أو صورًا مرخصة بشكل علني محمية بحقوق الطبع والنشر لأصحابها. تظل الصور المرخصة بشكل علني خاضعة لشروط التراخيص الخاصة بكل منها. راجع قسم إحالة الصورة لمزيد من المعلومات.


مدونة Savvy PM

نعم فعلا. الرياضيات بسيطة عندما يتعلق الأمر بـ Agile و Scrum و XP و Lean و Kanban وامتحان الشهادة كممارس معتمد من PMI-ACP و PMI & # 8217s Agile Certified.

على سبيل المثال ، ما هو & # 8217s الحجم الأمثل لفريق سكرم؟ جيف ساذرلاند وولاية كين شوابر ، في دليل سكروم (يوليو 2011) ، أن الفريق يجب ألا يقل عن 5 (بما في ذلك مالك المنتج و ScrumMaster) ، ولا يزيد عن 9 (بما في ذلك مالك المنتج و ScrumMaster إذا كانوا أيضًا ينفذون العمل في Product Backlog). لذلك ، يُشار إلى الحجم الأمثل للفريق عادةً على أنه 7 ± 2. عملية حسابية بسيطة!

حساب عدد نقاط القصة التي يمكن تحقيقها في التكرار بناءً على سرعة الفريق؟ مرة أخرى ، الرياضيات البسيطة. لا يوجد حساب! ولا حتى نظرية القيمة المتوسطة!

فيما يلي مثال آخر للرياضيات البسيطة: يتطلب تطبيق PMI-ACP من المرشح تقديم 21 ساعة اتصال على الأقل في تدريب Agile للتأهل للحصول على الشهادة. جرب أو حاول هذه رياضيات بسيطة: 18 + 3 = 21!

Velociteach & # 8217s اجتياز 2-Day Pass the PMI-ACP فئة تقدم 18 ساعة اتصال للمشارك. بالإضافة إلى ذلك المطلوب 3 ساعات اتصال يتم توفيرها بواسطة اختبار الممارسة أ ، PMI-ACP متاح عبر منشأة InSite و Velociteach & # 8217s للتعليم الإلكتروني. يمكن لمقدم الطلب الحصول على جميع ساعات الاتصال الـ 21 المطلوبة عبر هذين المصدرين!

18 + 3 = 21 ! رياضيات بسيطة! تعرف على كيفية اجتياز اختبار PMI-ACP في محاولتك الأولى من خلال الجمع بين المعرفة من كتاب Andy Crowe & # 8217s الجديد ، اختبار PMI-ACP: كيفية اجتياز المحاولة الأولى ، جنبًا إلى جنب مع المدرب وإرشادات التعليم الإلكتروني & # 8211 كلها جلبت لك بواسطة Velociteach ، العلامة التجارية التي يثق بها الآلاف الذين اجتازوا اختبارات PMP في المحاولة الأولى باستخدام طريقة Velociteach.


تمارين 18.3

مثال 18.3.1 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle 2x + y ^ 2،2y + x ^ 2 rangle $ ، أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.2 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle x ^ 3، -y ^ 4 rangle $ ، أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.3 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle xe ^ y، ye ^ x rangle $ ، أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.4 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle y cos x، y sin x rangle $ ، أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.5 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle y cos x ، sin x rangle $ ، أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.6 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle x ^ 2y ^ 3، xy ^ 4 rangle $ ، أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.7 ابحث عن $ f $ بحيث يكون $ nabla f = langle yz، xz، xy rangle $ أو اشرح سبب عدم وجود هذا $ f $. (إجابه)

مثال 18.3.8 قم بتقييم $ ds int_C (10x ^ 4 - 2xy ^ 3) ، dx - 3x ^ 2y ^ 2 ، dy $ حيث $ C $ هو جزء من المنحنى $ x ^ 5-5x ^ 2y ^ 2-7x ^ 2 = 0 $ من $ (3، -2) $ إلى $ (3،2) $. (إجابه)

مثال 18.3.9 دع $ < bf F> = langle yz، xz، xy rangle $. أوجد الشغل الذي أنجزه حقل القوة هذا على جسم يتحرك من $ (1،0،2) $ إلى $ (1،2،3) $. (إجابه)

مثال 18.3.10 دع $ < bf F> = langle e ^ y، xe ^ y + sin z، y cos z rangle $. أوجد الشغل الذي أنجزه حقل القوة هذا على جسم يتحرك من $ (0،0،0) $ إلى $ (1، -1،3) $. (إجابه)

مثال 18.3.11 دع $ < bf F> = left langle <-x over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >>، <- y over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >>، <- z over (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ <3/2 >> right rangle. $ ابحث عن الشغل المنجز بواسطة حقل القوة هذا على كائن يتحرك من $ (1،1،1) $ إلى $ (4،5،6) $. (إجابه)


18.3: التزامن - الرياضيات

لا تدخلوا ملكوت السموات. - لا يمكن المبالغة في قوة الكلمات التي تُنطق بها الاثني عشر. كانوا يتجادلون حول الأسبقية في المملكة ، وفي هذا النزاع بالذات كانوا يظهرون أنهم لم يكونوا حقاً فيها. كانت روحانية في الأساس ، وكان شرطها الأول زهد الذات. حتى رئيس الرسل كان مستبعدًا عندما تمجد بأولويته. تساعدنا الكلمات على الأقل في فهم اللغة الأكثر غموضًا في يوحنا 3: 3 يوحنا 3: 5 ، فيما يتعلق بـ "الولادة الجديدة" للماء والروح ، والتي يجب على أي شخص من المتنازعين ، على الأقل ، أن يقولها ، سمعت.

ماثيو 18: 3-4. وقال: الحق أقول لك - إن ما أقوله حقيقة لا شك فيها وأهمها ، حقيقة لا يجب أن تؤمن بها بقوة فحسب ، بل يجب أن تضعها في قلبك: ما عدا أن تتحول - تحولت عن هذه الآراء الدنيوية والجسدية الرغبات وأن يصبحوا مثل الأطفال الصغار - "تحرروا من الكبرياء والطمع والطموح ، وشبههم في التواضع ، والصدق ، والطاعة ، وانفصال العاطفة عن الأشياء الموجودة في الحياة الحاضرة ، والتي تثير طموح الرجال الكبار ،" كن بعيدًا عن أن تصير أعظم مملكتي حتى لا تدخلوا فيها. لاحظ جيدًا ، أيها القارئ ، أن الخطوة الأولى نحو الدخول إلى ملكوت النعمة هي أن نصبح أطفالًا صغارًا: متواضعين في القلب ، ونعرف أنفسنا جاهلين تمامًا وعاجزين ، ومعلقين تمامًا على أبينا الذي في السماء ، من أجل إمداد كل منا. يريد. قد نؤكد كذلك ، (على الرغم من أنه من المشكوك فيه ما إذا كان هذا النص يتضمن الكثير ،) إلا أننا نتحول من الظلام إلى النور ، ومن قوة الشيطان إلى الله: إلا أننا نتغير تمامًا ، داخليًا ، ونتجدد على صورة يا الله ، لا نستطيع أن ندخل ملكوت المجد. لذلك يجب على كل إنسان أن يتحول في هذه الحياة ، وإلا فلن يتمكن أبدًا من الدخول في الحياة الأبدية. من يتواضع نفسه - من لديه قدر كبير من التواضع ، ينضم إلى الأخت نعمة الاستسلام والصبر والوداعة والوداعة وطول الأناة ، سيكون أعظم في ملكوت المسيح: كل من يرضى بالمكانة ، مركز ، والمنصب الذي يعينه له الله ، مهما كان ، ويتلقى بخنوع كل التعليمات الإلهية ، ويلتزم بها ، على الرغم من أنها تتعارض مع ميوله الخاصة ، ويفضل الآخرين تكريمًا لنفسه ، - مثل هذا الشخص رائع حقًا في ملكوت السماوات او الله.

الفعل يعني التغيير أو التحول من عادة حياة أو مجموعة آراء إلى أخرى ، يعقوب 5:19 لوقا 22:32. راجع أيضًا متى 7: 6 متى 16:23 لوقا 7: 9 ، إلخ ، حيث تم استخدام نفس الكلمة في الأصل. يشير أحيانًا إلى ذلك التغيير العظيم المسمى بالولادة الجديدة أو الولادة الجديدة مزمور 51:13 إشعياء 60: 5 أعمال 3:19 ، لكن ليس دائمًا. إنها كلمة عامة تعني أي تغيير. تشير كلمة "تجديد" إلى تغيير معين بداية لعيش حياة روحية. إن عبارة "ما لم تتغير" لا تعني بالضرورة أنهم لم يكونوا مسيحيين من قبل أو لم يولدوا ثانية. هذا يعني أن آراءهم ومشاعرهم حول ملكوت المسيح يجب أن تتغير. لقد افترضوا أنه سيكون أميرًا مؤقتًا. كانوا يتوقعون أن يحكم كما فعل الملوك الآخرون. لقد افترضوا أنه سيكون لديه ضباط دولته العظماء ، كما فعل الملوك الآخرون ، وكانوا يتساءلون بطموح عن من يجب أن يتولى أعلى المناصب. قال لهم يسوع أنهم مخطئون في آرائهم وتوقعاتهم. لن تحدث مثل هذه الأشياء. من هذه المفاهيم يجب أن يتم تحويلهم أو تغييرهم أو تحويلهم ، أو لا يمكن أن يكون لهم دور في مملكته. لم تتناسب هذه الأفكار على الإطلاق مع طبيعة مملكته.

ويصبحون أطفالًا صغارًا - الأطفال ، إلى حد كبير ، يفتقرون إلى الطموح والفخر والغطرسة. إنهم متواضعون بشكل مميز وقابلون للتعلم. من خلال مطالبة تلاميذه بأن يكونوا مثلهم ، لم يكن ينوي التعبير عن أي رأي حول الشخصية الأخلاقية الأصلية للأطفال ، ولكن ببساطة في هذه النواحي يجب أن يصبحوا مثلهم. يجب أن يتخلوا عن آرائهم الطموحة وكبريائهم ، وأن يكونوا مستعدين لشغل موقعهم المناسب - مكان متواضع للغاية. يقول مرقس 9:35 أن يسوع ، قبل أن يضع الطفل الصغير في وسطهم ، أخبرهم أنه "إذا رغب أي شخص في أن يكون الأول ، فسيكون هذا هو الأخير وخادمًا للجميع". أي أنه سيكون المسيحي الأكثر تميزًا والأكثر تواضعًا والذي يرغب في أن يحظى بالتقدير الأقل والأخير على الإطلاق. إن تقدير أنفسنا كما يقدرنا الله هو تواضع ، ولا يمكن أن يكون من المهين أن نفكر في أنفسنا كما نحن إلا كبرياء ، أو محاولة أن نفكر في أنفسنا أكثر مما نحن عليه ، هو أمر أحمق وشرير ومهين.

متى 18 ، 1 - 9. الجهاد بين الاثني عشر الذين يجب أن يكونوا أعظم في ملكوت السموات ، بالتعليم النسبي. (= السيد 9: 33-50 لو 9: 46-50).

للمعرض ، انظر على [1323] السيد 9: 33-50.

ما لم تتغير أو تتحول عن هذا المفهوم الجسيم للمملكة الزمنية ، والتمتع بعظمة عظيمة ، وسعادة خارجية في هذا العالم ومن كل وجهات نظرك الباطلة في الشرف والثروة والثروات ،

ويصبحون أطفالًا صغارًا: تجعلها العربية ، "مثل هذا الطفل" ، أي ما لم تتعلموا أن تستمتعوا برأي متواضع ومتواضع عن أنفسكم ، ولا تحسدوا على بعضكم البعض ، وتتخلصون من كل الخلافات حول الأسبقية والسمو. ، وكل آرائك الطموحة عن كون المرء أعظم من الآخر ، في مملكة زمنية متوقعة عبثًا أشياء لا توجد في الأطفال الصغار ، وإن لم تكن خالية من الخطيئة في جوانب أخرى ،

لا تدخلوا إلى ملكوت السماوات: يجب أن تكونوا بعيدين عن أن تكونوا شخصًا أعظم من الآخر فيه ، حتى لا تدخلوا فيه على الإطلاق بمعنى مملكته الروحية المرئية ، التي يجب أن تحدث ، وتظهر بعد قيامته. عند صعوده إلى السماء ، وسكب الروح: ويلاحظ أن الرسل حملوا هذه الآراء والمشاعر والمشاعر الجسدية ، حتى ذلك الوقت ، ثم ارتدوا عنها ، وأنزلوها من أجل ، عند الانصباب غير العادي للروح القدس ، تم تطهيرهم من هذه المبادئ الدنيوية ، وفهموا الطبيعة الروحية لملكوت المسيح الذي دخلوا فيه بعد ذلك ، وأخذوا مكانهم فيه ، وملأوه بنجاح كبير ، دون أن يحسد أحدهم الآخر. حصلوا على نفس التكليف من ربهم ومعلمهم: حتى تكون هذه الكلمات نوعًا من نبوءة ما يجب أن يكون ، كما أنها مصممة لتوبيخهم على طموحهم ومزاعمهم الحالية.

(ب) اصطلاح مأخوذ من العبرانيين يعادل التوبة.

متى 18: 3. Εἴ τις ἀπέχεται τῶν προαιρετικῶν παθῶν ، γίνεται ὡς π αιδία ، κτώμενος διʼ ἀσκήσεως ، ἅπερ ἔχουσι τὰ παιδία ἐξ ἀφελείας ، Euthymius Zigabenus.

للالتفاف (στραφῆτε ، تمثل μετάνοια تحت فكرة الالتفاف على الطريق) ، واكتساب تصرف أخلاقي مشابه لطبيعة الأطفال الصغار - هذه هي الحالة التي لن تلتزم بها بالتأكيد (οὐ μή ) الدخول ، ناهيك عن أن تكون قادرًا على الحصول على منصب رفيع في ، المملكة المسيانية على وشك أن تتأسس. يتم تقديم نفس الحقيقة تحت شخصية عشيرة وبمعنى أوسع في يوحنا 3: 3 يوحنا 3: 5 وما يليها. العامل الإلهي في هذا التغيير الأخلاقي ، حيث تتخذ الصفات الشبيهة بالطفل طابع الفضائل البشرية ، هو شركات الروح القدس. لوقا 11:13 لوقا 9:55.

متى 18: 3. ὴ μὴ στραφῆτε: ما لم تستدير لتذهب في الاتجاه المعاكس. "الاهتداء" مطلوب ومطلوب ، حتى في حالة هؤلاء الرجال الذين تركوا كل شيء ليتبعوا يسوع! كم عدد الأشخاص الذين يتحولون إلى أشخاص متجددون ومتحولين يحتاجون إلى التغيير مرة أخرى ، بشكل أكثر جذرية! كريس. ملاحظات: "نحن لا نستطيع الوصول حتى إلى أخطاء الاثني عشر ، لا نسأل من هو الأعظم في مملكة الجنة ، ولكن من هو الأعظم في مملكة الأرض: الأكثر ثراءً والأقوى" (Hom. lviii. ). الملاحظة ليست صحيحة لروح المسيح. في نظره ، كان الغرور والطموح في مجال الدين أخطر من خطايا الدنيا. نبرته في هذا الوقت قاسية بشكل ملحوظ ، بقدر ما شجب رذائل الفريسيين. It was indeed Pharisaism in the bud He had to deal with. Resch suggests that στραφῆτε here simply represents the idea of becoming again children, corresponding to the Hebrew idiom which uses שׁוּב = πάλιν ( Aussercanonische Paralleltexte zu Mt. and Mk. , p. 213).— ὡς τὰ παιδία , like the children, in unpretentiousness. A king’s child has no more thought of greatness than a beggar’s.— οὐ μὴ εἰσέλθητε , ye shall not enter the kingdom, not to speak of being great there. Just what He said to the Pharisees ( vide on chap. Matthew 5:17-20).

3. be converted ] Literally, be turned . The Greek word is used in a literal sense, except here and Acts 7:39 Acts 7:42.

shall not enter ] much less be great therein.

Matthew 18:3. Καὶ εἶπεν , and said ) By asking who is the greatest? each of the disciples might offend himself, his fellow-disciples, and the child in question. The Saviour’s words (Matthew 18:3-20) meet all these offences, and declare His own and His Father’s anxiety for the salvation of souls. We perceive hence the connection between the different portions of His speech.— ὡς τὰ παιδία , as little children ) They must possess a wonderful degree of humility, simplicity, and faith to be proposed as an example to adults. Scripture exhibits everywhere favour towards little children.— οὐ μὴ εἰσέλθητε , ye shall not enter ) So far from being the greatest, ye shall not even enter therein. He does not say, “ye shall not remain,” but, “ye shall not enter,” so as to repress their arrogance the more.

The word converted has acquired a conventional religious sense which is fundamentally truthful, but the essential quality of which will be more apparent if we render literally, as Rev., except ye turn. The picture is that of turning round in a road and facing the other way.

But the double negative is very forcible, and is given in Rev. in nowise. So far from being greatest in the kingdom of heaven, ye shall not so much as enter.


Tree-Seed Algorithm (TSA) has good performance in solving various optimization problems. However, it is inevitable to suffer from slow exploitation when solving complex problems. This paper makes an intensive analysis of TSA. In order to keep the balance between exploration and exploitation, we propose an adaptive automatic adjustment mechanism. The number of seeds can be defined in the initialization process of the optimization algorithm. In order to further improve the convergence rate of TSA, we also modify the change model of seed numbers in the initialization process with randomly changing from more to less. With the improvement of two mechanisms, the main weakness of TSA has been overcome effectively. Based on the above two improvements, we propose a new algorithm-Sine Tree-Seed Algorithm (STSA). STSA achieves good results in solving high-dimensional complex optimization problems. The results obtained from 24 benchmark functions confirm the excellent performance of the proposed method.

The authors are grateful to the financial support by the National Natural Science Foundation of China (no. 61572225), Natural Science Foundation of the Science and Technology Department of Jilin Province, China (no. 20180101044JC), the Social Science Foundation of Jilin Province, China (nos. 2019B68, 2017BS28), the Foundation of the Education Department of Jilin Province, China (nos. JJKH20180465 kJ) and the Foundation of Jilin University of Finance and Economics (no. 2018Z05).


Etomidate: A Complementary Diagnostic Tool for Pre-Surgical Evaluation in Temporal Lobe Epilepsy

How to Cite: Vega-Zelaya L, Sanz-Garcia A, Ortega G J, de Sola R G, Pastor J. Etomidate: A Complementary Diagnostic Tool for Pre-Surgical Evaluation in Temporal Lobe Epilepsy, Arch Neurosci. 2016 3(4):e34915. doi: 10.5812/archneurosci.34915.

نبذة مختصرة

Context: Temporal lobe epilepsy is the most frequent drug-resistant epilepsy. It has a high success rate in surgical treatment, provided that the epileptic zone (EZ) was accurately localized through a pre-surgical evaluation and removed. Pharmacological activation inducing interictal activity is tested as a complementary method in the pre-surgical diagnosis, although with nonspecific results and limited safety, due to poorly tolerated side effects.

Evidence Acquisition: Etomidate is a well-tolerated, fast onset and rapid decline drug with a few side effects. Studies conducted to evaluate the safety and usefulness of etomidate to identify the EZ showed that etomidate activates irritative zone only in the areas where spikes previously appeared in basal conditions, besides having a high coefficient of lateralization for ictal onset zone (IOZ). Regarding the analysis of the topography of the voltage sources, it is shown that interictal, ictal and etomidate-induced activities greatly overlap, indicating that the biophysical mechanisms are similar, and the cortical areas where all types of activities appear are likely the same or closely related. In addition, from the point of view of complex networks, etomidate produces very similar changes in the limbic network to those occurring during temporal seizures i.e. an impaired connectivity in the ipsilateral side to the IOZ.

Results: All findings suggest that etomidate, in a specific manner, activates the neural and biophysical mechanisms of spontaneous epilepsy.

Conclusions: This technique can be used as a diagnostic tool during the pre-surgical evaluation of patients with TLE to define the region resected during epilepsy surgery with confidence.

1. Context

Temporal lobe epilepsy (TLE) is the most frequent drug-resistant epilepsy. It represents approximately two thirds of the intractable seizure population requiring surgical management (1). Surgical treatment for these patients is typically a safe, effective and well-established option, with a success rate of 70% to 90% (2).

The best surgical outcomes are obtained when the epileptic zone (EZ) (3) is accurately localized during the pre-surgical evaluation. The EZ usually includes the ictal-onset zone (IOZ), the cortical region where seizures start and, in a variable and not well-defined degree, the interictal or irritative zone (IZ), the area showing interictal epileptiform discharges (IEDs). The ancillary tests used during the pre-surgical evaluation include (2, 4) video-electroencephalography (v-EEG), magnetic resonance imaging (MRI), single photon emission-computed tomography (SPECT) and positron emission tomography (PET). When results of the tests are not functionally and anatomically consistent, invasive recordings, such as foramen ovale (FO), subdural or depth electrodes are required (5). Pharmacological activation inducing or increasing interictal activity is also used as a complementary method, together with v-EEG to improve accuracy in the pre-surgical diagnosis. The tested drugs include: methohexital (6), clonidine (7), pentylenetetrazol (8), thiopental (9) and opiates (10). Nevertheless, the results were not specific and adverse effects were poorly tolerated, decreased safety and precluded the use of many drugs. Etomidate is a non-barbiturate imidazole derivative hypnotic agent with a rapid onset, a short duration of action, and minor side effects associated with intravenous perfusion. It acts as a selective modulator of the gaminobutyric acid receptor A (GABAأ). It is shown that etomidate can be safely used to activate epileptogenic activity (11-16)

In fact, Pastor et al. (2010) showed that etomidate induced interictal spiking activity ipsilateral to the ictal onset zone (IOZ) and can correctly lateralize 95% of the patients with TLE. Furthermore, as this drug facilitates the reliable identification of the IOZ, it could be used to diagnose patients who do not experience seizures during v-EEG recordings or influence decisions regarding the placement of intracranial electrodes. In a recent work, authors showed that etomidate perfusion induce changes in the underlying epileptic network related to the ones found during spontaneous seizures (17).

The current paper reviewed the evidence found to date, about the effects of etomidate in the interictal and ictal activities and epileptic network in patients with temporal lobe epilepsy, in an effort to support its potential value as an additional diagnostic tool for the preoperative assessment in patients with drug-resistant epilepsy.

2. Evidence Acquisition

2.1. Bioelectrical Activity Induced by Etomidate

The changes induced after etomidate administration onto scalp EEG was described in an accurate way (14, 18, 19). In stage 1, small increases in amplitude and frequency were observed in the scalp EEG, followed by a generalized and high-amplitude delta activity (stage 2). Besides, studies using scalp EEG and foramen ovale (FO) electrode recordings described the high-voltage spikes and sharp-waves superimposed on this pattern (14). This interictal activity never appeared in different areas from the ones included in the IZ, i.e. they appeared only in the areas where interictal epileptiform discharges appeared in basal conditions. In the study, they compared the lateralization induced by etomidate with the IOZ identified spontaneous seizures recorded by VEEG + FO. Lateralization induced by etomidate perfusion was assessed through lateralization coefficient (LC), comparing the frequency of IED (spikes/min) in the left and right areas, considering the mesial and lateral areas.

Etomidate correctly identified the temporal lobe in 21 of 22 patients (Figure 1A). In addition, there was a strong correlation between the lateral and mesial values of the LC.

A, scalp and EFO record (left, top and right, bottom) during a spontaneous crisis originated in right mesial temporal region B, record in the same patient during etomidate administration (arrow). In the right mesial temporal region a marked increase in irritative activity is observed C, box detail records in scalp. Note the increase in scalp generalized delta activity in response to etomidate (right).

Likewise, the activity was grouped from the temporal areas where seizures occurred, and, the activity from areas where seizures did not occur. In order to access the kinetics of activity after etomidate infusion they used the equivalent to the first derivative for the discrete time-series of the frequency of spikes.

It was found that activity increased in both the mesial and lateral epileptic areas, although the increase was higher in the mesial region. Conversely, practically no increase was observed in the non-epileptic areas following etomidate administration (Figure 1B and 1C). Furthermore, the epileptic region displayed a higher frequency and also faster kinetics.

There are different theories about why etomidate activates the irritative area one could be explained by the fact that etomidate almost exclusively acts on the β2 and β3 subunits of the GABAأ receptor at clinical concentrations (20). Studies on rats show that β2 subunits seem to be preferentially located on GABAergic interneurons and excessive activation of these receptors could cause disinhibition of cortical activity and seizures. Studies on cultured astrocytes show that etomidate inhibits glutamate uptake, increasing the extracellular glutamate concentration to a level that can escape the synaptic cleft and activate extra-synaptic receptors. As a consequence, irritative activity increases (21). Besides, examination of slices obtained from patients with epilepsy revealed a decrease in the reversal potential of Cl - anions (22). This change could induce a depolarization instead of hyperpolarization after GABA release, driving the irritative activity.

2.2. Voltage Sources in Mesial Temporal Lobe

An early study aimed to examine different electrophysiological properties of voltage sources in the records obtained through FO electrodes (23) in mesial TLE. The primary purpose of the study was to ensure that pharmacologically induced irritative activity was generated by the same cortical regions observed under basal conditions. It was found that etomidate could induce irritative activity in the mesial temporal region in an extremely specific manner, i.e. triggering the same cortical structures responsible for spontaneous IED.

A more recent study by the authors also proposed to analyze the electrophysiological properties of interictal activity induced by etomidate (24), and consider whether it matches or not with interictal activity at baseline conditions, it also considered its relationship with ictal activity. A classical electrostatic theory was applied to derive mathematical expressions of IED (i.e. spikes and sharp waves) recorded using FO (25, 26). An infinite and homogenous volume conductor and an isotropic medium were assumed.

It was found that the scattering and iequiv were similar for interictal and pharmacologically induced activities (Figure 2A), suggesting that the single source model could reliably explain interictal and recorded etomidate-induced spiking using FO electrodes in TLE.

Furthermore, the spatial distribution of the voltage sources responsible for interictal baseline activity was similar to the ones obtained for etomidate-induced activity. In addition, there was a close correlation between areas where irritative activity occurred under basal conditions and the ones induced through etomidate. The analysis of normalized sources showed that 76.9% of the patients show localised distribution of voltage sources at either the interictal baseline or in the presence of etomidate. A more scattered distribution along the axis z, with IP20 - 75 > 20 mm (Rank: 21, 5 - 28,3 mm), was observed in 22.1% of the patients. A linear relationship was also found among the three functional states (Figure 2B).

In order to analyze the topographical relationship between pharmacologically induced activity and that of the IOZ, the degree of superposition was established among sources obtained from interictal, ictal and pharmacologically induced activities (24). Thus, the zr-plane or configuration space, was divided into small non-overlapping patches of Δx × Δy, where Δx = 1 mm, Δy = 1 mm and area = 1 mm 2 . This tessellation covers the entire theoretical surface. The active area was defined (where current-source appears, irrespective of the functional state) in two steps: (i) patches where spiking activity 1 spike/mm 2 and (ii) spikes less than a minimum distance (dmin) from other spikes. The dmin = 1.44 mm was selected (Equation 1). In this way, spurious spikes were excluded from the active area and the total area where the current sources appear for each type of activity and the superposition between them was obtained.

There was a great degree of superposition of the current-source topography for interictal, ictal and pharmacologically induced activities. For each pair of activities, the area and the spikes of superposition were interictal-ictal: 10.0 ± 1.5 mm 2 (31%) and 74.7 ± 12.6 spikes/ mm 2 (12%) interictal-etomidate induced: 7.3 ± 1.4 mm 2 (24%) and 74.7 spikes/ mm 2 (12%) and ictal-etomidate induced: 4.7 ± 1.0 mm 2 (24%) and 30.0 spikes/mm 2 (45%), respectively.

2.3. Seizure Networks Dynamics and Etomidate

A recently published work addressed the very relevant issue whether temporal lobe seizures produce network changes comparable to the ones elicited by etomidate administration (17). Scalp and FOE recordings of nine patients with temporal lobe epilepsy were analyzed employing analysis of complex networks. To evaluate the global aspects of the cortical dynamics, several variables in network theory were calculated (see Vega-Zelaya et al., 2015b for more details): the average path length (APL), density of links (DOL), average clustering coefficient (ACC), modularity (Mod) and spectral entropy (SE).

The APL is calculated as the average of all the shortest paths in terms of the number of steps along the network nodes between every pair of vertices in the network. In this sense, low values for the APL imply efficient and fast communication across the network functional topology. The DoL is the ratio of the actual number of edges in the network to the number of all possible edges between the network nodes. A network with many links or a high density of links implies highly synchronous behavior at both short and long distances. A high DoL decreases the APL in the network because a greater number of edges allows for a greater number of alternative paths between the two nodes. The ACC characterizes local connectedness in a network by measuring how well neighbours are connected in a given node. Modularity (Mod) measures how well a given partition or division in a community in a complex network corresponds to a natural or expected sub-division. The averages for each community were calculated, and the overall spectral entropy was defined as the average over all communities.

Two different groups were evaluated. The first group corresponded to the whole network (scalp + FOE), and the second one corresponded to the mesial sub-networks (FOE).

Based on the previous published results regarding ictal network dynamics (27, 28), it was expected to find that the ACC and DoL would increase with respect to the pre-ictal values both during the seizure and etomidate administration. Since the increase in the DoL would increase the available paths, it was assume that they lower the APL. Also it was expected that the increase in DoL would make intra-regional links more available and lower the modularity. Likewise, since anesthetics are known to lower SE (29), it was proposed that SE would decrease in both cases.

Considering the whole network, it was observed that etomidate fits better to the previous statement, except for modularity (Figure 3A). In four of nine patients, the APL did not decrease during etomidate administration. As expected, SE decreased after etomidate administration in all patients and also decreased during the seizure (Figure 3B), implying that the frequency content during the seizure reduced to a few relevant ones. During the seizures, the network measures demonstrated disparate results. DoL and Mod best followed the previous statement (in seven out of nine seizures) and the worst measures were APL and ACC.

A, scattering along the antero-posterior theoretical axis B, linear regression of the location of current sources for pairs of functional states, shown in the same colors. The linear regression of interictal/ictal is y = 1.09x - 0.50, r = 0.930, for interictal/etomidate y = 1.01x + 0.01, r = 0.922 and for ictal/interictal y = 0.856x + 0.952, r = 0.867.

Therefore, it was found that the changes showed similar behavior in both situations: an increase in the density of links (DoL) and a decrease in the spectral entropy (SE). The other measures did not show higher coincidences.

Regarding the mesial sub-networks, etomidate and seizures produce similar changes (Figure 6). Specifically, during etomidate, APL increases and DoL decreases on the ipsilateral side of the seizures than on the contralateral side, mimicking the effect of seizures on these network measures. Previous findings already showed impaired connectivity in the ipsilateral side in patients with TLE (30-32). Thus, decreased connectivity was shown in the mesial structures, ipsilateral to the SOZ, compared with the contralateral side during resting-state fMRI studies (30, 31) and during the inter-ictal stage through electrophysiological methods (32). All these results were consistent with recent reports suggesting that a loss of connectivity within specific network structures are involved in seizure generation (33, 34).

A, Inter-ictal epileptiform discharge B, ictal onset C, pharmacologically induced activity.

A, ictal stage, the x-axis marks the time related to seizure onset (thick, vertical, solid line) B, etomidate, the x-axis marks the time related to the end of etomidate perfusion end (thick, vertical, solid line).

A, ictal stage, The x-axis marks the time related to seizure onset (thick, vertical, solid line). B, etomidate, the x-axis marks the time related to the end of etomidate perfusion (thick, vertical, solid line). The patient outcome was Engel I.

3. Results

Etomidate might be considered as a useful tool to identify the EZ and IOZ in patients with TLE. It is a safe, efficient and well tolerated drug. The described side-effects are not severe and can be monitored adequately by scalp EEG. The most frequent ones include, myoclonus affected small distal muscles, pain, paradoxical and euphoric reactions (14). Hemodynamic effects are observed (35) with higher doses and include tachycardia and increases in mean arterial pressure (19).

This method can activate the EZ, inducing irritative activity only in the areas where spontaneous activity was recorded (14). Additional evidence shows that interictal, ictal and etomidate-induced activities greatly overlap indicating that the physiophatological mechanisms are similar, and that presumably the cortical areas corresponding to each of the activities are likely the same or closely related (24). These findings are of great significance, since etomidate might facilitate the identification of different patients regarding the activity topography, and it can be used for new surgical approaches, e.g., high-definition radiosurgery in patients with well-localized sources. An important issue to emphasize is that etomidate induced changes are produced with a low probability to eliciting seizures (14). This is an important advantage because it was observed that etomidate reproduce the same biophysical characteristics at the same location as the seizures do, without triggering an ictal episode.

Moreover, it is proved that etomidate uses the same neural network that the seizures do. Therefore, the findings show that the changes etomidate produces in the limbic network are very similar to the ones occurring during temporal seizures. The most remarkable finding in relation to the epileptogenic network is that mesial synchronization ipsilateral to the IOZ is reduced compared with those of the contralateral side under basal conditions in both situations implying that etomidate and seizures produce similar changes in the mesial sub-networks. From the viewpoint of a functional brain network in epilepsy, etomidate could be used in research to increase knowledge about network dynamics during seizure activity.

4. Conclusions

This method offers several benefits as a diagnostic tool during the pre-surgical evaluation of patients with TLE. It may help to confirm results derived from other methods. It can facilitate diagnosis in patients without seizures during v-EEG recording. Besides, it has the potential to influence decisions regarding the need to use intracranial electrodes, and also the best placement of those electrodes. Considering all the mentioned points this technique can be used to better define the region resected during epilepsy surgery.

Acknowledgements

The current work was financed by the Ministerio de Sanidad FIS PI12/02839 and was partially supported by FEDER (Fonds Européen de Developpement Economique et Regional) and PIP 11420100100261 CONICET (Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnicas).

الحواشي

  • Authors’ Contribution: Study concept and design, Lorena Vega-Zelaya and Jesus Pastor analysis and interpretation of data, Lorena Vega-Zelaya, Ancor Sanz-Garcia, Guillermo J Ortega and Jesus Pastor drafting of the manuscript, Lorena Vega-Zelaya and Jesus Pastor critical revision of the manuscript for important intellectual content, Jesus Pastor Statistical analysis, Lorena Vega-Zelaya, Guillermo J Ortega and Jesus Pastor administrative, technical, and material support, Ancor Sanz-Garcia, Guillermo J Ortega and Rafael G de Sola.
  • Funding/Support: This work was financed by the Ministerio de Sanidad FIS PI12/02839 and was partially supported by FEDER (Fonds Europeen de Developpement Economique et Regional) and PIP 11420100100261 CONICET (Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnicas).

مراجع

Blair RD. Temporal lobe epilepsy semiology. Epilepsy Res Treat. 2012 2012 : 1 -10 [DOI][PubMed]

Sola RG, Hernando-Requejo V, Pastor J, Garcia-Navarrete E, DeFelipe J, Alijarde MT, et al. Pharmacoresistant temporal-lobe epilepsy. Exploration with foramen ovale electrodes and surgical outcomes. Rev Neurol. 2005 41(1) : 4 -16

Luders HO, Awad I. Epilepsy surgery. 1991 : 51 -6

Pastor J, Hernando-Requejo V, Dominguez-Gadea L, de Llano I, Meilan-Paz ML, Martinez-Chacon JL, et al. Impact of experience on improving the surgical outcome in temporal lobe epilepsy. Rev Neurol. 2005 41(12) : 709 -16 [PubMed]

Diehl B, Luders HO. Temporal lobe epilepsy: when are invasive recordings needed? Epilepsia. 2000 41 Suppl 3 : S61 -74 [PubMed]

Brockhaus A, Lehnertz K, Wienbruch C, Kowalik A, Burr W, Elbert T, et al. Possibilities and limitations of magnetic source imaging of methohexital-induced epileptiform patterns in temporal lobe epilepsy patients. Electroencephalogr Clin Neurophysiol. 1997 102(5) : 423 -36 [PubMed]

Schmitt H, Druschky K, Hummel C, Stefan H. Detection of an epileptic mirror focus after oral application of clonidine. Br J Anaesth. 1999 83(2) : 349 -51 [PubMed]

Barba C, Di Giuda D, Policicchio D, Bruno I, Papacci F, Colicchio G. Correlation between provoked ictal SPECT and depth recordings in adult drug-resistant epilepsy patients. Epilepsia. 2007 48(2) : 278 -85 [DOI][PubMed]

Kofke WA, Dasheiff RM, Dong ML, Whitehurst S, Caldwell M. Anesthetic care during thiopental tests to evaluate epileptic patients for surgical therapy. J Neurosurg Anesthesiol. 1993 5(3) : 164 -70 [PubMed]

Manninen PH, Burke SJ, Wennberg R, Lozano AM, El Beheiry H. Intraoperative localization of an epileptogenic focus with alfentanil and fentanyl. Anesth Analg. 1999 88(5) : 1101 -6 [PubMed]

Krieger W, Copperman J, Laxer KD. Seizures with etomidate anesthesia. Anesth Analg. 1985 64(12) : 1226 -7 [PubMed]

Ebrahim ZY, DeBoer GE, Luders H, Hahn JF, Lesser RP. Effect of etomidate on the electroencephalogram of patients with epilepsy. Anesth Analg. 1986 65(10) : 1004 -6 [PubMed]

Gancher S, Laxer KD, Krieger W. Activation of epileptogenic activity by etomidate. Anesthesiology. 1984 61(5) : 616 -8 [PubMed]

Pastor J, Wix R, Meilan ML, Martinez-Chacon JL, de Dios E, Dominguez-Gadea L, et al. Etomidate accurately localizes the epileptic area in patients with temporal lobe epilepsy. Epilepsia. 2010 51(4) : 602 -9 [DOI][PubMed]

Stefan H, Heers M, Schmitt HJ, Rauch C, Kaltenhauser M, Rampp S. Increased spike frequency during general anesthesia with etomidate for magnetoencephalography in patients with focal epilepsies. Clin Neurophysiol. 2010 121(8) : 1220 -6 [DOI][PubMed]

Rampp S, Schmitt HJ, Heers M, Schonherr M, Schmitt FC, Hopfengartner R, et al. Etomidate activates epileptic high frequency oscillations. Clin Neurophysiol. 2014 125(2) : 223 -30 [DOI][PubMed]

Vega-Zelaya L, Pastor J, Tormo I, de Sola RG, Ortega GJ. Assessing the equivalence between etomidate and seizure network dynamics in temporal lobe epilepsy. Clin Neurophysiol. 2016 127(1) : 169 -78 [DOI][PubMed]

Doenicke A, Loffler B, Kugler J, Suttmann H, Grote B. Plasma concentration and E.E.G. after various regimens of etomidate. Br J Anaesth. 1982 54(4) : 393 -400 [PubMed]

Arden JR, Holley FO, Stanski DR. Increased sensitivity to etomidate in the elderly: initial distribution versus altered brain response. Anesthesiology. 1986 65(1) : 19 -27 [PubMed]

Voss LJ, Sleigh JW, Barnard JP, Kirsch HE. The howling cortex: seizures and general anesthetic drugs. Anesth Analg. 2008 107(5) : 1689 -703 [DOI][PubMed]

Rath M, Fohr KJ, Weigt HU, Gauss A, Engele J, Georgieff M, et al. Etomidate reduces glutamate uptake in rat cultured glial cells: involvement of PKA. Br J Pharmacol. 2008 155(6) : 925 -33 [DOI][PubMed]

Cohen I, Navarro V, Clemenceau S, Baulac M, Miles R. On the origin of interictal activity in human temporal lobe epilepsy in vitro. Science. 2002 298(5597) : 1418 -21 [DOI][PubMed]

Herrera-Peco I, Ortega GJ, Hernando-Requejo V, Sola RG, Pastor J. Voltage sources in mesial temporal area induced by etomidate. Rev Neurol. 2010 51(5) : 263 -70 [PubMed]

Vega-Zelaya L, Garnés-Camarena O, Ortega GJ, de Sola RG, Pastor J. New Advances in the Understanding of the Current Sources of Epileptic Activity in Mesial Areas.

Pastor J, de la Prida LM, Hernando V, Sola RG. Voltage sources in mesial temporal lobe epilepsy recorded with foramen ovale electrodes. Clin Neurophysiol. 2006 117(12) : 2604 -14 [DOI][PubMed]

Malmivuo J, Plonsey R. Bioelectromagnetism: principles and applications of bioelectric and biomagnetic fields. 1995

Ponten SC, Bartolomei F, Stam CJ. Small-world networks and epilepsy: graph theoretical analysis of intracerebrally recorded mesial temporal lobe seizures. Clin Neurophysiol. 2007 118(4) : 918 -27 [DOI][PubMed]

Schindler KA, Bialonski S, Horstmann MT, Elger CE, Lehnertz K. Evolving functional network properties and synchronizability during human epileptic seizures. Chaos. 2008 18(3) : 33119 [DOI][PubMed]

Rezek IA, Roberts SJ. Stochastic complexity measures for physiological signal analysis. IEEE Trans Biomed Eng. 1998 45(9) : 1186 -91 [DOI][PubMed]

Bettus G, Guedj E, Joyeux F, Confort-Gouny S, Soulier E, Laguitton V, et al. Decreased basal fMRI functional connectivity in epileptogenic networks and contralateral compensatory mechanisms. Hum Brain Mapp. 2009 30(5) : 1580 -91 [DOI][PubMed]

Pereira FR, Alessio A, Sercheli MS, Pedro T, Bilevicius E, Rondina JM, et al. Asymmetrical hippocampal connectivity in mesial temporal lobe epilepsy: evidence from resting state fMRI. BMC Neurosci. 2010 11 : 66 [DOI][PubMed]

Ortega GJ, Peco IH, Sola RG, Pastor J. Impaired mesial synchronization in temporal lobe epilepsy. Clin Neurophysiol. 2011 122(6) : 1106 -16 [DOI][PubMed]

Berg AT, Berkovic SF, Brodie MJ, Buchhalter J, Cross JH, van Emde Boas W, et al. Revised terminology and concepts for organization of seizures and epilepsies: report of the ILAE Commission on Classification and Terminology, 2005-2009. Epilepsia. 2010 51(4) : 676 -85 [DOI][PubMed]

Terry JR, Benjamin O, Richardson MP. Seizure generation: the role of nodes and networks. Epilepsia. 2012 53(9) : 166 -9 [DOI][PubMed]

Gooding JM, Weng JT, Smith RA, Berninger GT, Kirby RR. Cardiovascular and pulmonary responses following etomidate induction of anesthesia in patients with demonstrated cardiac disease. Anesth Analg. 1979 58(1) : 40 -1 [PubMed]


Early use of thrust manipulation versus non-thrust manipulation: a randomized clinical trial

The purpose of this study was to investigate the comparative effectiveness of early use of thrust (TM) and non-thrust manipulation (NTM) in sample of patients with mechanical low back pain (LBP). The randomized controlled trial included patients with mechanically reproducible LBP, ≥ age 18-years who were randomized into two treatment groups. The main outcome measures were the Oswestry Disability Index (ODI) and a Numeric Pain Rating Scale (NPRS), with secondary measures of Rate of Recovery, total visits and days in care, and the work subscale of the Fears Avoidance Beliefs Questionnaire work subscale (FABQ-w). A two-way mixed model MANCOVA was used to compare ODI and pain, at baseline, after visit 2, and at discharge and total visits, days in care, and rate of recovery (while controlling for patient expectations and clinical equipoise). A total of 149 subjects completed the trial and received care over an average of 35 days. There were no significant differences between TM and NTM at the second visit follow-up or at discharge with any of the outcomes categories. Personal equipoise was significantly associated with ODI and pain. The findings suggest that there is no difference between early use of TM or NTM, and secondarily, that personal equipoise affects study outcome. Within-groups changes were significant for both groups.