مقالات

15.5: حل المعادلات المنطقية


بعد تحديد المصطلحين "تعبير" و "معادلة" في وقت سابق ، استخدمناهما خلال هذا الكتاب. الآن سوف نحل أ معادلة عقلانية.

يجب أن تتأكد من معرفة الفرق بين التعبيرات المنطقية والمعادلات المنطقية. تحتوي المعادلة على علامة يساوي.

[ dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {2} quad quad dfrac {1} {8} x + dfrac {1} {2} = dfrac {1} {4} لا يوجد رقم ]

[ dfrac {1} {n-3} + dfrac {1} {n + 4} quad quad quad quad dfrac {1} {n-3} + dfrac {1} {n + 4} = dfrac {15} {n ^ {2} + n-12} non Number ]

حل المعادلات المنطقية

لقد حللنا بالفعل المعادلات الخطية التي تحتوي على كسور. لقد وجدنا LCD لجميع الكسور في المعادلة ثم ضربنا طرفي المعادلة في شاشة LCD "لمسح" الكسور.

سنستخدم نفس الاستراتيجية لحل المعادلات المنطقية. سنضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD. بعد ذلك ، سيكون لدينا معادلة لا تحتوي على تعبيرات منطقية ، وبالتالي يكون حلها أسهل بكثير بالنسبة لنا. ولكن نظرًا لأن المعادلة الأصلية قد تحتوي على متغير في المقام ، يجب أن نتوخى الحذر حتى لا ينتهي بنا المطاف بحل يجعل المقام يساوي صفرًا.

لذا قبل أن نبدأ في حل معادلة كسرية ، نختبرها أولاً لإيجاد القيم التي تجعل أي مقامات صفراً. بهذه الطريقة ، عندما نحل معادلة عقلانية ، سنعرف ما إذا كان هناك أي حلول جبرية يجب أن نتجاهلها.

يسمى الحل الجبري لمعادلة عقلانية من شأنها أن تسبب أي من التعبيرات المنطقية غير معرفة حل غريب لمعادلة منطقية.

حل غريب لمعادلة منطقية

ان حل غريب لمعادلة منطقية هو حل جبري من شأنه أن يتسبب في عدم تعريف أي من التعبيرات في المعادلة الأصلية.

نلاحظ أي حلول غريبة محتملة ، (c ) ، عن طريق كتابة (x neq c ) بجوار المعادلة.

مثال ( PageIndex {1} ): كيفية حل معادلة منطقية

حل: [ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6} nonumber ]

المحلول

الخطوة 1. لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

إذا كان (x = 0 ) ، فإن ( dfrac {1} {x} ) غير محدد. لذلك سنكتب (x neq 0 ) بجوار المعادلة.

[ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6}، x neq 0 nonumber ]

الخطوة 2. أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة.

ابحث عن شاشة LCD الخاصة بـ ( dfrac {1} {x} ) و ( dfrac {1} {3} ) و ( dfrac {5} {6} )

شاشة LCD هي (6x ).

الخطوه 3. امسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

اضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD (6x ).

[{ color {red} 6 x} cdot left ( dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} right) = { color {red} 6 x} cdot left ( dfrac {5} {6} right) nonumber ]

استخدم خاصية التوزيع.

[{ color {red} 6 x} cdot dfrac {1} {x} + { color {red} 6 x} cdot dfrac {1} {3} = { color {red} 6 x } cdot left ( dfrac {5} {6} right) nonumber ]

تبسيط - ولاحظ ، لا مزيد من الكسور!

[6 + 2 x = 5 x بلا رقم ]

الخطوة 4. حل المعادلة الناتجة.

تبسيط.

[ start {align} & 6 = 3 x & 2 = x end {align} nonumber ]

الخطوة الخامسة. التحقق من.

إذا كانت أي قيم موجودة في الخطوة 1 عبارة عن حلول جبرية ، فتجاهلها. افحص أي حلول متبقية في المعادلة الأصلية.

لم نحصل على 0 كحل جبري.

[ dfrac {1} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {5} {6} nonumber ]

نعوض (x = 2 ) في المعادلة الأصلية.

[ begin {align} frac {1} {2} + frac {1} {3} & overset {؟} {=} frac {5} {6} frac {3} {6 } + frac {2} {6} & overset {؟} {=} frac {5} {6} frac {5} {6} & = frac {5} {6} surd نهاية {محاذاة} غير رقم ]

الحل هو (x = 2 )

تمرين ( PageIndex {1} )

حل: [ dfrac {1} {y} + dfrac {2} {3} = dfrac {1} {5} nonumber ]

إجابه

(y = - dfrac {7} {15} )

تمرين ( PageIndex {2} )

حل: [ dfrac {2} {3} + dfrac {1} {5} = dfrac {1} {x} nonumber ]

إجابه

(س = dfrac {13} {15} )

يتم عرض خطوات هذه الطريقة.

كيفية حل المعادلات ذات التعبيرات المنطقية.

  • الخطوة 1. لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.
  • الخطوة الثانية: أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع القواسم في المعادلة.
  • الخطوة 3. امسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.
  • الخطوة 4. حل المعادلة الناتجة.
  • الخطوة 5. تحقق:
    • إذا كانت أي قيم موجودة في الخطوة 1 عبارة عن حلول جبرية ، فتجاهلها.
    • افحص أي حلول متبقية في المعادلة الأصلية.

نبدأ دائمًا بملاحظة القيم التي تجعل أي مقامات تساوي صفرًا.

مثال ( PageIndex {2} ): كيفية حل معادلة منطقية باستخدام خاصية المنتج الصفري

حل: [1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} {y ^ {2}} nonumber ]

المحلول

لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} {y ^ {2}}، y neq 0 nonumber ]

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة. شاشة LCD هي (y ^ 2 ).

امسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

[y ^ {2} left (1- dfrac {5} {y} right) = y ^ {2} left (- dfrac {6} {y ^ {2}} right) nonumber ]

نشر.

[y ^ {2} cdot 1-y ^ {2} left ( dfrac {5} {y} right) = y ^ {2} left (- dfrac {6} {y ^ {2 }} right) nonumber ]

تتضاعف.

[y ^ {2} -5 y = -6 nonumber ]

حل المعادلة الناتجة. اكتب أولاً المعادلة التربيعية في الصورة القياسية.

[y ^ {2} -5 y + 6 = 0 nonumber ]

عامل.

[(y-2) (y-3) = 0 nonumber ]

استخدم خاصية المنتج الصفري.

[y-2 = 0 text {or} y-3 = 0 nonumber ]

يحل.

[y = 2 text {or} y = 3 nonumber ]

التحقق من. لم نحصل على (0 ) كحل جبري.

تحقق من (y = 2 ) و (y = 3 ) في المعادلة الأصلية.

[1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} {y ^ {2}} quad quad quad 1- dfrac {5} {y} = - dfrac {6} { س ^ {2}} غير رقم ]

[1- dfrac {5} {2} overset {؟} {=} - dfrac {6} {2 ^ {2}} quad quad quad 1- dfrac {5} {3} غير ظاهر {؟} {=} - dfrac {6} {3 ^ {2}} nonumber ]

[1- dfrac {5} {2} overset {؟} {=} - dfrac {6} {4} quad quad quad 1- dfrac {5} {3} overset {؟} {=} - dfrac {6} {9} nonumber ]

[ dfrac {2} {2} - dfrac {5} {2} overset {؟} {=} - dfrac {6} {4} quad quad quad dfrac {3} {3} - dfrac {5} {3} overset {؟} {=} - dfrac {6} {9} nonumber ]

[- dfrac {3} {2} overset {؟} {=} - dfrac {6} {4} quad quad quad - dfrac {2} {3} overset {؟} {= } - dfrac {6} {9} nonumber ]

[- dfrac {3} {2} = - dfrac {3} {2} surd quad quad quad - dfrac {2} {3} = - dfrac {2} {3} جذر لا يوجد رقم ]

الحل هو (y = 2، y = 3 )

تمرين ( PageIndex {3} )

حل: [1- dfrac {2} {x} = dfrac {15} {x ^ {2}} nonumber ]

إجابه

(س = -3 ، س = 5 )

تمرين ( PageIndex {4} )

حل: [1- dfrac {4} {y} = dfrac {12} {y ^ {2}} nonumber ]

إجابه

(ص = -2 ، ص = 6 )

في المثال التالي ، القواسم الأخيرة هي فرق المربعات. تذكر أن تحللها أولاً للعثور على شاشة LCD.

مثال ( PageIndex {3} )

حل: [ dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} = dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} nonumber ]

المحلول

لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[ dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} = dfrac {x-1} {(x + 2) (x-2)} ، x neq-2 ، x neq 2 nonumber ]

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة. شاشة LCD هي ((x + 2) (x-2) ).

امسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

[(x + 2) (x-2) left ( dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} right) = (x + 2) (x-2) left ( dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} right) nonumber ]

نشر.

[(x + 2) (x-2) dfrac {2} {x + 2} + (x + 2) (x-2) dfrac {4} {x-2} = (x + 2) ( x-2) left ( dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} right) nonumber ]

تخلص من العوامل المشتركة.

[ إلغاء {(x + 2)} (x-2) dfrac {2} { إلغاء {x + 2}} + (x + 2) { إلغاء {(x-2)}} dfrac { 4} { إلغاء {x-2}} = إلغاء {(x + 2) (x-2)} left ( dfrac {x-1} { إلغاء {x ^ {2} -4}} يمين) غير رقم ]

تبسيط.

[2 (x-2) +4 (x + 2) = x-1 nonumber ]

نشر.

[2 x-4 + 4 x + 8 = x-1 nonumber ]

يحل.

[ start {align} 6 x + 4 & = x-1 5 x & = - 5 x & = - 1 end {align} ]

تحقق: لم نحصل على 2 أو 2 كحلين جبريين.

افحص (x = -1 ) في المعادلة الأصلية.

[ start {align} dfrac {2} {x + 2} + dfrac {4} {x-2} & = dfrac {x-1} {x ^ {2} -4} dfrac {2} {(- 1) +2} + dfrac {4} {(- 1) -2} & overet {؟} {=} dfrac {(- 1) -1} {(- 1) ^ {2} -4} dfrac {2} {1} + dfrac {4} {- 3} & overset {؟} {=} dfrac {-2} {- 3} dfrac { 6} {3} - dfrac {4} {3} & overet {؟} {=} dfrac {2} {3} dfrac {2} {3} & = dfrac {2} {3 } جذر نهاية {محاذاة} عدد ]

الحل هو (x = -1 ).

تمرين ( PageIndex {5} )

حل: [ dfrac {2} {x + 1} + dfrac {1} {x-1} = dfrac {1} {x ^ {2} -1} nonumber ]

إجابه

(س = dfrac {2} {3} )

تمرين ( PageIndex {6} )

حل: [ dfrac {5} {y + 3} + dfrac {2} {y-3} = dfrac {5} {y ^ {2} -9} nonumber ]

إجابه

(ص = 2 )

في المثال التالي ، المقام الأول هو ثلاثي الحدود. تذكر أن تحللها أولاً للعثور على شاشة LCD.

مثال ( PageIndex {4} )

حل: [ dfrac {m + 11} {m ^ {2} -5 m + 4} = dfrac {5} {m-4} - dfrac {3} {m-1} nonumber ]

المحلول

لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً. استخدم الصيغة المحللة إلى عوامل للمقام التربيعي.

[ dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} = dfrac {5} {m-4} - dfrac {3} {m-1}، m neq 4، m neq 1 nonumber ]

أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع المقامات في المعادلة. شاشة LCD هي ((م -4) (م -1) )

امسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD.

[(m-4) (m-1) left ( dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} right) = (m-4) (m-1) left ( dfrac {5} {m-4} - dfrac {3} {m-1} right) nonumber ]

نشر.

[(m-4) (m-1) left ( dfrac {m + 11} {(m-4) (m-1)} right) = (m-4) (m-1) dfrac {5} {m-4} - (m-4) (m-1) dfrac {3} {m-1} nonumber ]

تخلص من العوامل المشتركة.

[ إلغاء {(m-4) (m-1)} يسار ( dfrac {m + 11} { إلغاء {(m-4) (m-1)}} right) = إلغاء {( m-4)} (m-1) dfrac {5} { إلغاء {m-4}} - (m-4) إلغاء {(m-1)} dfrac {3} { إلغاء {m- 1}} nonumber ]

تبسيط.

[م + 11 = 5 (م -1) -3 (م -4) غير رقم ]

حل المعادلة الناتجة.

[ start {align} m + 11 & = 5 m-5-3 m + 12 4 & = m end {align} nonumber ]

التحقق من. كان الحل الجبري الوحيد هو 4 ، لكننا قلنا إن 4 سيجعل المقام يساوي صفرًا. الحل الجبري هو حل دخيل.

لا يوجد حل لهذه المعادلة.

تمرين ( PageIndex {7} )

حل: [ dfrac {x + 13} {x ^ {2} -7 x + 10} = dfrac {6} {x-5} - dfrac {4} {x-2} nonumber ]

إجابه

لا يوجد حل.

تمرين ( PageIndex {8} )

حل: [ dfrac {y-6} {y ^ {2} +3 y-4} = dfrac {2} {y + 4} + dfrac {7} {y-1} nonumber ]

إجابه

لا يوجد حل.

كانت المعادلة التي قمنا بحلها في المثال السابق تحتوي على محلول جبري واحد فقط ، لكنها كانت حلًا غريبًا. لم يترك لنا ذلك أي حل للمعادلة. في المثال التالي نحصل على حلين جبريين. هنا يمكن أن يكون أحدهما أو كلاهما حلولًا غريبة.

مثال ( PageIndex {5} )

حل: [ dfrac {y} {y + 6} = dfrac {72} {y ^ {2} -36} +4 nonumber ]

المحلول

حلل جميع المقامات إلى عوامل ، حتى نلاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[ dfrac {y} {y + 6} = dfrac {72} {(y-6) (y + 6)} + 4، y neq 6، y neq-6 nonumber ]

أوجد المقام المشترك الأصغر. شاشة LCD هي ((ص -6) (ص + 6) )

امسح الكسور.

[(y-6) (y + 6) left ( dfrac {y} {y + 6} right) = (y-6) (y + 6) left ( dfrac {72} {(y -6) (y + 6)} + 4 right) nonumber ]

تبسيط.

[(y-6) cdot y = 72 + (y-6) (y + 6) cdot 4 nonumber ]

تبسيط.

[y (y-6) = 72 + 4 يسار (y ^ {2} -36 right) nonumber ]

حل المعادلة الناتجة.

[ begin {align} y ^ {2} -6 y & = 72 + 4 y ^ {2} -144 0 & = 3 y ^ {2} +6 y-72 0 & = 3 left (y ^ {2} +2 y-24 right) 0 & = 3 (y + 6) (y-4) y & = - 6، y = 4 end {align} nonumber ]

التحقق من.

(y = -6 ) حل غريب. تحقق من (y = 4 ) في المعادلة الأصلية.

[ start {align} dfrac {y} {y + 6} & = dfrac {72} {y ^ {2} -36} +4 dfrac {4} {4 + 6} & overset {؟} {=} dfrac {72} {4 ^ {2} -36} +4 dfrac {4} {10} & overset {؟} {=} dfrac {72} {- 20} +4 dfrac {4} {10} & overset {؟} {=} - dfrac {36} {10} + dfrac {40} {10} dfrac {4} {10} & = dfrac {4} {10} surd end {align} nonumber ]

الحل هو (y = 4 ).

تمرين ( PageIndex {9} )

حل: [ dfrac {x} {x + 4} = dfrac {32} {x ^ {2} -16} +5 nonumber ]

إجابه

(س = 3 )

تمرين ( PageIndex {10} )

حل: [ dfrac {y} {y + 8} = dfrac {128} {y ^ {2} -64} +9 nonumber ]

إجابه

(ص = 7 )

في بعض الحالات ، تكون جميع الحلول الجبرية دخيلة.

مثال ( PageIndex {6} )

حل: [ dfrac {x} {2 x-2} - dfrac {2} {3 x + 3} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 x ^ {2} -12} غير رقم ]

المحلول

سنبدأ بتحليل جميع القواسم ، لتسهيل التعرف على الحلول الخارجية وشاشات الكريستال السائل.

[ dfrac {x} {2 (x-1)} - dfrac {2} {3 (x + 1)} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x- 1) (x + 1)} nonumber ]

لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[ dfrac {x} {2 (x-1)} - dfrac {2} {3 (x + 1)} = dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x- 1) (x + 1)} ، x neq 1 ، x neq-1 nonumber ]

أوجد المقام المشترك الأصغر. شاشة LCD هي (12 (x-1) (x + 1) ).

امسح الكسور.

[12 (x-1) (x + 1) left ( dfrac {x} {2 (x-1)} - dfrac {2} {3 (x + 1)} right) = 12 (x -1) (x + 1) left ( dfrac {5 x ^ {2} -2 x + 9} {12 (x-1) (x + 1)} right) nonumber ]

تبسيط.

[6 (x + 1) cdot x-4 (x-1) cdot 2 = 5 x ^ {2} -2 x + 9 nonumber ]

تبسيط.

[6 x (x + 1) -4 cdot 2 (x-1) = 5 x ^ {2} -2 x + 9 nonumber ]

حل المعادلة الناتجة.

[ start {align} 6 x ^ {2} +6 x-8 x + 8 & = 5 x ^ {2} -2 x + 9 x ^ {2} -1 & = 0 (x-1 ) (x + 1) & = 0 x & = 1 text {or} x = -1 end {align} nonumber ]

التحقق من.

(س = 1 ) و (س = -1 ) حلول غريبة.

المعادلة ليس لها حل.

تمرين ( PageIndex {11} )

حل: [ dfrac {y} {5 y-10} - dfrac {5} {3 y + 6} = dfrac {2 y ^ {2} -19 y + 54} {15 y ^ {2} -60} غير رقم ]

إجابه

لا يوجد حل.

تمرين ( PageIndex {12} )

حل: [ dfrac {z} {2 z + 8} - dfrac {3} {4 z-8} = dfrac {3 z ^ {2} -16 z-16} {8 z ^ {2} +2 z-64} nonumber ]

إجابه

لا يوجد حل.

مثال ( PageIndex {7} )

حل: [ dfrac {4} {3 x ^ {2} -10 x + 3} + dfrac {3} {3 x ^ {2} +2 x-1} = dfrac {2} {x ^ {2} -2 x-3} nonumber ]

المحلول

حلل جميع المقامات إلى عوامل ، حتى نلاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[ dfrac {4} {(3 x-1) (x-3)} + dfrac {3} {(3 x-1) (x + 1)} = dfrac {2} {(x-3 ) (x + 1)} ، x neq-1 ، x neq dfrac {1} {3} ، x neq 3 nonumber ]

أوجد المقام المشترك الأصغر. شاشة LCD هي ((3 x-1) (x + 1) (x-3) ).

امسح الكسور.

[(3 x-1) (x + 1) (x-3) left ( dfrac {4} {(3 x-1) (x-3)} + dfrac {3} {(3 x- 1) (x + 1)} right) = (3 x-1) (x + 1) (x-3) left ( dfrac {2} {(x-3) (x + 1)} right ) لا يوجد رقم ]

تبسيط.

[4 (x + 1) +3 (x-3) = 2 (3 x-1) بدون رقم ]

نشر.

[4 x + 4 + 3 x-9 = 6 x-2 nonumber ]

تبسيط.

[7 × -5 = 6 × -2 عدد غير رقم ]

[س = 3 بلا رقم ]

الحل الجبري الوحيد هو (س = 3 ), لكننا قلنا أن (x = 3 ) سيجعل المقام يساوي صفرًا. الحل الجبري هو حل دخيل.

لا يوجد حل لهذه المعادلة.

تمرين ( PageIndex {13} )

حل: [ dfrac {15} {x ^ {2} + x-6} - dfrac {3} {x-2} = dfrac {2} {x + 3} nonumber ]

إجابه

لا يوجد حل.

تمرين ( PageIndex {14} )

حل: [ dfrac {5} {x ^ {2} +2 x-3} - dfrac {3} {x ^ {2} + x-2} = dfrac {1} {x ^ {2} +5 x + 6} غير رقم ]

إجابه

لا يوجد حل.

استخدم وظائف عقلانية

غالبًا ما يؤدي العمل مع الدوال المحددة بواسطة التعبيرات المنطقية إلى معادلات منطقية. مرة أخرى ، نستخدم نفس الأساليب لحلها.

مثال ( PageIndex {8} )

للدالة المنطقية (f (x) = dfrac {2 x-6} {x ^ {2} -8 x + 15} ):

  1. أوجد مجال الوظيفة
  2. حل (f (x) = 1 )
  3. أوجد النقاط على الرسم البياني عند قيمة هذه الدالة.

المحلول

  1. مجال الدالة الكسرية هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء تلك التي تجعل التعبير المنطقي غير معرّف. إذن لإيجادهما ، نساوي المقام بصفر ونحل.

[ begin {align} x ^ {2} -8 x + 15 & = 0 (x-3) (x-5) & = 0 quad text {حلل ثلاثي الحدود.} x-3 & = 0 quad text {Use the Zero Product Property.} x-5 & = 0 quad text {Use the Zero Product Property.} x = 3 & ؛ س = 5 نص {حل.} نهاية {محاذاة} غير رقم ]

المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء (x neq 3، x neq 5 )

  1. [f (x) = 1 بلا رقم ]

عوّض في التعبير المنطقي.

[ dfrac {2 x-6} {x ^ {2} -8 x + 15} = 1 nonumber ]

حلل المقام إلى عوامل.

[ dfrac {2 x-6} {(x-3) (x-5)} = 1 nonumber ]

اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD ، ((x-3) (x-5) )

[(x-3) (x-5) left ( dfrac {2 x-6} {(x-3) (x-5)} right) = (x-3) (x-5) ( 1) عدد ]

تبسيط.

[2 x-6 = x ^ {2} -8 x + 15 nonumber ]

يحل.

[0 = x ^ {2} -10 x + 21 nonumber ]

عامل.

[0 = (x-7) (x-3) nonumber ]

استخدم خاصية المنتج الصفري.

[x-7 = 0 quad x-3 = 0 nonumber ]

يحل.

[س = 7 كواد س = 3 بلا رقم ]

  1. قيمة الوظيفة هي 1 عندما (س = 7 ، س = 3 ). إذن ، النقاط الموجودة على الرسم البياني لهذه الوظيفة عند (f (x) = 1 ), سيكون ((7،1) ، (3،1) ).

تمرين ( PageIndex {15} )

للدالة المنطقية (f (x) = dfrac {8-x} {x ^ {2} -7 x + 12} )

  1. أوجد مجال الوظيفة.
  2. حل (f (x) = 3 ).
  3. أوجد النقاط على الرسم البياني عند قيمة هذه الدالة.
إجابه
  1. المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء (x neq 3 ) و (x neq 4 )
  2. (س = 2 ، س = dfrac {14} {3} )
  3. ((2،3)، left ( dfrac {14} {3}، 3 right) )

تمرين ( PageIndex {16} )

للدالة المنطقية (f (x) = dfrac {x-1} {x ^ {2} -6 x + 5} )

  1. حل (f (x) = 4 ).
  2. أوجد النقاط على الرسم البياني عند قيمة هذه الدالة.
إجابه
  1. المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء (x neq 1 ) و (x neq 5 )
  2. (س = dfrac {21} {4} )
  3. ( left ( dfrac {21} {4}، 4 right) )

حل معادلة منطقية لمتغير معين

عندما حللنا معادلات خطية ، تعلمنا كيفية حل معادلة لمتغير معين. تستخدم العديد من الصيغ المستخدمة في الأعمال والعلوم والاقتصاد والمجالات الأخرى معادلات منطقية لنمذجة العلاقة بين متغيرين أو أكثر. سنرى الآن كيفية حل معادلة كسرية لمتغير معين.

عندما طورنا صيغة الميل والنقطة من صيغة الميل ، قمنا بمسح الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD.

[ start {align} m & = frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} m left (x-x_ {1} right) & = left ( frac {y-y_ {1}} {x-x_ {1}} right) left (x-x_ {1} right) quad text {اضرب طرفي المعادلة ب} x-x_1. م يسار (x-x_ {1} right) & = y-y_ {1} quad text {تبسيط.} y-y_ {1} & = m left (x-x_ {1} right) quad text {أعد كتابة المعادلة بالحدود y على اليسار.} end {align} nonumber ]

في المثال التالي ، سنستخدم نفس الأسلوب مع صيغة الميل التي استخدمناها للحصول على صيغة نقطة وميل لمعادلة خط يمر بالنقطة ((2،3) ). سنضيف خطوة أخرى لحل مشكلة (ص ).

مثال ( PageIndex {9} )

حل: (m = dfrac {y-2} {x-3} ) من أجل (y ).

المحلول

[m = dfrac {y-2} {x-3} nonumber ]

لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[m = dfrac {y-2} {x-3} ، x neq 3 nonumber ]

امسح الكسور بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD (x-3 ).

[(x-3) m = (x-3) left ( dfrac {y-2} {x-3} right) nonumber ]

تبسيط.

[x m-3 m = y-2 nonumber ]

افصل المصطلح بـ (y ).

[س م -3 م + 2 = ص بلا رقم ]

تمرين ( PageIndex {17} )

حل: (m = dfrac {y-5} {x-4} ) من أجل (y ).

إجابه

(ص = م × -4 م + 5 )

تمرين ( PageIndex {18} )

حل: (m = dfrac {y-1} {x + 5} ) من أجل (y ).

إجابه

(ص = م س + 5 م + 1 )

تذكر أن تضرب كلا الجانبين في شاشة LCD في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {10} )

حل: ( dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1 ) من أجل (c )

المحلول

[ dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1 text {for} c nonumber ]

لاحظ أي قيمة للمتغير تجعل أي مقام صفراً.

[ dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} = 1، c neq 0، m neq 0 nonumber ]

امسح الكسور بضرب طرفي المعادلات في شاشة LCD ، (سم ).

[سم يسار ( dfrac {1} {c} + dfrac {1} {m} right) = cm (1) nonumber ]

نشر.

[cm left ( frac {1} {c} right) + cm frac {1} {m} = cm (1) nonumber ]

تبسيط.

[م + ج = سم غير رقم ]

اجمع الشروط مع (c ) إلى اليمين.

[م = سم- ج نونبر ]

حلل التعبير الموجود على اليمين إلى عوامل.

[م = ج (م -1) غير رقم ]

لعزل (ج ) ، قسّم كلا الجانبين على (م -1 ).

[ dfrac {m} {m-1} = dfrac {c (m-1)} {m-1} nonumber ]

بسّط بإزالة العوامل المشتركة.

[ dfrac {m} {m-1} = c nonumber ]

لاحظ أنه على الرغم من أننا استبعدنا (c = 0 ) و (m = 0 ) من المعادلة الأصلية ، يجب علينا الآن أن نذكر ذلك (m neq 1 ).

تمرين ( PageIndex {19} )

حل: ( dfrac {1} {a} + dfrac {1} {b} = c ) من أجل (a ).

إجابه

(a = dfrac {b} {c b-1} )

تمرين ( PageIndex {20} )

حل: ( dfrac {2} {x} + dfrac {1} {3} = dfrac {1} {y} ) من أجل (y )

إجابه

(y = dfrac {3 x} {x + 6} )


ملخص

نحل المعادلات الكسرية بإيجاد مقام مشترك. يمكننا بعد ذلك اتباع أي من الطريقتين. يمكننا إعادة كتابة المعادلة بحيث يكون لكل الحدود المقام المشترك ويمكننا إيجاد المتغير بالبسطين فقط. أو يمكننا ضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك بحيث تصبح كل الحدود متعددة الحدود بدلاً من التعبيرات المنطقية.

خطوة مهمة في حل المعادلات المنطقية هي رفض أي حلول خارجية من الإجابة النهائية. الحلول الخارجية هي الحلول التي لا تفي بالصيغة الأصلية للمعادلة لأنها تنتج عبارات غير صحيحة أو قيم مستبعدة تجعل مقامًا يساوي `0`.


كيف تحل المعادلات المنطقية؟ 15 أمثلة رائعة!

معادلة بها متغير في المقام ، أو ببساطة أكثر ، معادلة بها كسور.

ويمكن حل المعادلات ذات المقادير الكسرية باستخدام طريقتين مختلفتين.

بسّط طرفي المعادلة بإنشاء قواسم مشتركة ثم استخدام الضرب المتقاطع لحل المتغير المجهول.

أجد أن هذه الطريقة تستغرق وقتًا أطول ويمكن أن تكون مملة إلى حد ما ، لذلك أفضل طريقة أخرى & # 8230

اضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر ، ثم قم بحل المتغير المجهول.

لماذا هذه الطريقة أسهل؟

لأننا نحذف كل الكسور على الفور!

ننتقل فورًا من معادلة بها كسور إلى معادلة لا & # 8217t!

مثال على كيفية حل المعادلات المنطقية

علاوة على ذلك ، ستجد أن القدرة على حذف الكسور من المعادلة هي مهارة ستكون مهمة للغاية في موضوعات مستقبلية مثل أنظمة المعادلات والكسور الجزئية.

لذا فإننا نستفيد من حقيقة أن هناك معادلة ، بمعنى أن كل ما نفعله على جانب واحد يجب أن نفعله في الجانب الآخر ، ونضربه في القاسم المشترك الأصغر (LCD) كما تنص عليه Purple Math بشكل جيد.

سوف نتعلم معًا كيفية حل المعادلات المنطقية خطوة بخطوة باستخدام جميع مهاراتنا ومعرفتنا بكثيرات الحدود والعوملة لتحقيق هدفنا.


15.5: حل المعادلات المنطقية

حل المعادلات والتطبيقات العقلانية

· التحقق من وجود حلول دخيلة.

· حل مسائل تطبيقية تتضمن معادلات منطقية.

تسمى المعادلات التي تحتوي على تعبيرات منطقية المعادلات المنطقية. على سبيل المثال ، هي معادلة عقلانية.

يمكنك حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات إجراء العمليات ذات التعبيرات المنطقية وإجراءات حل المعادلات الجبرية. يمكن أن تكون المعادلات العقلانية مفيدة لتمثيل مواقف من الحياة الواقعية ولإيجاد إجابات لمشاكل حقيقية. على وجه الخصوص ، فهي جيدة جدًا لوصف علاقات المسافة بين السرعة والوقت ونمذجة مشاكل العمل التي تشمل أكثر من شخص واحد.

حل المعادلات المنطقية

تتمثل إحدى طرق حل المعادلات المنطقية في إعادة كتابة التعبيرات المنطقية بدلالة قاسم مشترك. بعد ذلك ، بما أنك تعلم أن البسطين متساويين ، يمكنك إيجاد المتغير. لتوضيح ذلك ، دعونا نلقي نظرة على معادلة بسيطة للغاية.

نظرًا لأن مقام كل تعبير هو نفسه ، يجب أن يكون البسط متساويًا. هذا يعني ذاك x = 2.

هذا صحيح أيضًا بالنسبة للمعادلات المنطقية ذات كثير الحدود.

بما أن مقامات كل تعبير منطقي هي نفسها ، x + 4 ، يجب أن يكون البسط مكافئًا حتى تكون المعادلة صحيحة. وبالتالي، x - 5 = 11 و x = 16.

كما هو الحال مع المعادلات الجبرية الأخرى ، يمكنك التحقق من الحل في المعادلة المنطقية الأصلية عن طريق التعويض بقيمة المتغير مرة أخرى في المعادلة والتبسيط.

عندما تكون المصطلحات في المعادلة المنطقية على عكس المقامات ، فإن حل المعادلة سيتضمن بعض الخطوات الإضافية. تتمثل إحدى طرق حل المعادلات المنطقية ذات المقامات المختلفة في ضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر لجميع الكسور الموجودة في المعادلة. هذا يزيل القواسم ويحول المعادلة المنطقية إلى معادلة كثيرة الحدود. هذا مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر) لـ 4 و 8. تذكر ، لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، حدد أكبر عدد من المرات التي يظهر فيها كل عامل في كل عامل. هنا ، 2 تظهر 3 مرات ، لذا 2 • 2 • 2 ، أو 8 ، ستكون المضاعف المشترك الأصغر.

المضاعف المشترك الأصغر ل 4 و 8 هو أيضًا القاسم المشترك الأصغر للكسرين.

اضرب طرفي المعادلة بالمقام المشترك 8 لتحافظ على توازن المعادلة ولحذف المقامات.

بسّط وحل من أجل x.

افحص المحلول باستبدال 9 بـ x في المعادلة الأصلية.

هناك طريقة أخرى لحل معادلة كسرية ذات مقامات مختلفة وهي إعادة كتابة كل حد بمقام مشترك ثم إنشاء معادلة من البسط. ينجح هذا لأنه إذا كانت المقامات متساوية ، يجب أن يكون البسط متساويًا. يوضح المثال التالي هذا النهج بنفس المعادلة التي قمت بحلها للتو:

اضرب الجانب الأيمن من المعادلة في لتحصل على مقام مشترك للرقم 8. (الضرب في هو نفسه الضرب في 1 ، لذلك تبقى المعادلة متوازنة.)

بما أن المقامات متماثلة ، يجب أن يكون البسط متساويًا حتى تكون المعادلة صحيحة. حل من أجل x.

في بعض الحالات ، ستحتاج إلى اتخاذ بعض الخطوات الإضافية للعثور على قاسم مشترك. ضع في اعتبارك المثال أدناه ، والذي يوضح استخدام ما تعرفه عن المقامات لإعادة كتابة أحد التعبيرات في المعادلة.

أعد كتابة التعبير باستخدام مقام موحد.

بما أن مقام كل تعبير هو 3 ، فلا بد أن البسطين متساويين.

افحص الحل في المعادلة الأصلية.

يمكنك أيضًا حل هذه المسألة بضرب كل حد في المعادلة في 3 لحذف الكسور تمامًا. هنا كيف سيبدو.

كلا الكسرين في المعادلة لهما مقام 3. اضرب كلا الكسرين الجوانب من المعادلة (ليس فقط الكسور!) بمقدار 3 لإزالة القواسم.

طبق خاصية التوزيع واضرب 3 في كل حد داخل الأقواس. ثم بسّط وحل من أجل x.

القيم المستبعدة والحلول الخارجية

بعض التعبيرات المنطقية لها متغير في المقام. عندما يكون هذا هو الحال ، هناك خطوة إضافية في حلها. نظرًا لأن القسمة على 0 غير معرَّفة ، يجب استبعاد قيم المتغير الذي سينتج عنه المقام 0. تسمى هذه القيم القيم المستبعدة. لنلقي نظرة على مثال.

حل المعادلة .

5 هي قيمة مستبعدة لأنها تشكل المقام x - 5 يساوي 0.

حدد أية قيم لـ x من شأنه أن يجعل المقام 0.

نظرًا لأن مقام كل تعبير في المعادلة هو نفسه ، يجب أن يكون البسط متساويًا. ساوي البسطين مع بعضهما البعض وحل من أجل x.

افحص الحل في المعادلة الأصلية.

أعط القيم المستبعدة لـ. لا تحل.

غير صحيح. القيم المستبعدة هي قيم المتغير التي ينتج عنها صفر في المقام ، وليس في البسط. الإجابة الصحيحة هي −2، 2.

غير صحيح. 2 هي قيمة مستبعدة ، لكن −2 ينتج عنها 0 في المقام. الإجابة الصحيحة هي −2، 2.

صيح. uted2 و 2 ، عند استبدالهما في المعادلة ، ينتج عن ذلك 0 في المقام. نظرًا لأن القسمة على 0 غير معرَّفة ، فقد تم استبعاد هاتين القيمتين من الحل.

غير صحيح. بينما يتم استبعاد 2 و 2 ، لا يتم استبعاد 4 لأنه لا يتسبب في أن يكون المقام 0. الإجابة الصحيحة هي 2 ، 2.

لنلق نظرة على مثال ذي قاسم أكثر تعقيدًا.

حل المعادلة .

3 هي قيمة مستبعدة لأنها تصل إلى أقصى حد

−3 هي قيمة مستبعدة لأنها تجعلها

حدد أية قيم لـ x من شأنه أن يجعل المقام 0.

(x ‒ 3)(x + 3) هو مضاعف مشترك لـ x - 3 و x + 3 ، يمكنك ضرب طرفي المعادلة في

(x ‒ 3)(x + 3) لمسح المقام من المعادلة.

افحص الحل في المعادلة الأصلية.

حل المعادلة ، م 0 أو 2

غير صحيح. ربما وجدت المقام المشترك صحيحًا ، لكن نسيت التوزيع عندما كنت تبسط. لقد نسيت أيضًا التحقق من الحل أو ملاحظة القيم المستبعدة م ≠ 2 لأنها تجعل التعبير في الجانب الأيمن غير معرف. ينتج عن ضرب كلا الطرفين في المقام المشترك ، هكذا. والجواب الصحيح هو م = 8.

غير صحيح. ، وبالتالي . الحل ، 8 ، ليس قيمة مستبعدة. والجواب الصحيح هو م = 8.

صيح. يؤدي ضرب طرفي المعادلة في المقام المشترك إلى الحصول على ذلك. والجواب الصحيح هو م = 8.

لقد رأيت أن هناك أكثر من طريقة لحل المعادلات المنطقية. نظرًا لأن كلتا الطريقتين تعالجان المصطلحات وتعيد كتابتها ، فيمكنهما أحيانًا إنتاج حلول لا تعمل بالصيغة الأصلية للمعادلة. تسمى هذه الأنواع من الإجابات حلول دخيلة. لهذا السبب من المهم دائمًا التحقق من جميع الحلول في المعادلات الأصلية - قد تجد أنها تنتج عبارات غير صحيحة أو تنتج تعبيرات غير محددة.

−4 قيمة مستبعدة لأنها تصنع م + 4 يساوي 0.

حدد أية قيم لـ م من شأنه أن يجعل المقام 0.

نظرًا لأن مقام كل تعبير في المعادلة هو نفسه ، يجب أن يكون البسط متساويًا. ساوي البسطين مع بعضهما البعض وحل من أجل م.

يؤدي إلى القسمة على 0.

افحص الحلول في المعادلة الأصلية.

منذ م = −4 يؤدي إلى القسمة على 0 ، إنه حل غريب.

حل مشاكل التطبيق

"مشكلة العمل" هي مثال لحالة الحياة الواقعية التي يمكن نمذجتها وحلها باستخدام معادلة منطقية. غالبًا ما تطلب منك مشكلات العمل حساب المدة التي سيستغرقها الأشخاص المختلفون الذين يعملون بسرعات مختلفة لإنهاء مهمة ما. غالبًا ما تتضمن النماذج الجبرية لمثل هذه المواقف معادلات منطقية مشتقة من صيغة العمل ، W = RT. (لاحظ أن صيغة العمل مشابهة جدًا للعلاقة بين المسافة والمعدل والوقت ، أو د = RT.) مقدار العمل المنجز (دبليو) هو نتاج معدل العمل (ص) والوقت الذي يقضيه العمل (ر). صيغة العمل لها 3 إصدارات.

تتضمن بعض مشكلات العمل آلات متعددة أو أشخاص يعملون في مشروع معًا لنفس الفترة الزمنية ولكن بمعدلات مختلفة. في هذه الحالة ، يمكنك جمع معدلات العمل الفردية معًا للحصول على إجمالي معدل العمل.لنلقي نظرة على مثال.

تستغرق ميرا ساعتين لزراعة 50 بصيلة زهرة. يستغرق فرانسيس 3 ساعات لزراعة 45 بصلة زهور. بالعمل معًا ، ما المدة التي يستغرقها زرع 150 بصيلة؟

فكر في عدد المصابيح التي يمكن لكل شخص زراعتها في ساعة واحدة. هذا هو معدل غرسهم.

ميرا وفرانسيس معًا:

اجمع بين أسعارهم بالساعة لتحديد المعدل الذي يعملون فيه معًا.

استخدم إحدى صيغ العمل لكتابة معادلة منطقية ، على سبيل المثال. أنت تعرف ص، معدل العمل المشترك ، وأنت تعلم دبليو، مقدار العمل الذي يجب القيام به. ما لا تعرفه هو مقدار الوقت الذي ستستغرقه للقيام بالعمل المطلوب بالسعر المحدد.

حل المعادلة بضرب كلا الطرفين في المقام المشترك ثم العزل ر.

من المفترض أن تستغرق ميرا وفرانسيس 3 ساعات و 45 دقيقة لزرع 150 بصيلة معًا.

تذهب مشاكل العمل الأخرى في الاتجاه الآخر. يمكنك حساب المدة التي سيستغرقها شخص واحد للقيام بعمل بمفرده عندما تعرف المدة التي يستغرقها الأشخاص الذين يعملون معًا لإكمال الوظيفة.

يخطط جو وجون لرسم منزل معًا. يعتقد جون أنه إذا عمل بمفرده ، فسيستغرقه 3 أضعاف المدة التي سيستغرقها جو لطلاء المنزل بأكمله. بالعمل معًا ، يمكنهم إكمال المهمة في 24 ساعة. كم من الوقت سيستغرق كل منهم ، في العمل بمفرده ، لإكمال المهمة؟

يترك x = الوقت الذي يستغرقه جو

3x = الوقت الذي يستغرقه جون

اختر المتغيرات لتمثيل المجهول. نظرًا لأن الأمر يستغرق من جون 3 أضعاف ما يستغرقه جو في طلاء المنزل ، فإن وقته يمثل 3x.

يرسم العمل منزلًا واحدًا أو 1. اكتب تعبيرًا لتمثيل معدل كل شخص باستخدام الصيغة

معدلهم المشترك هو مجموع معدلاتهم الفردية. استخدم هذا المعدل لكتابة معادلة جديدة باستخدام الصيغة W = RT.

تشير المشكلة إلى أن طلاء المنزل يستغرق 24 ساعة معًا ، لذا إذا ضاعفت سعر الساعة المجمع في 24 ، فستحصل على 1 ، وهو عدد المنازل التي يمكنهم رسمها في 24 ساعة.

الآن حل المعادلة ل x. (تذكر ذلك x يمثل عدد الساعات التي سيستغرقها Joe لإنهاء المهمة.)

افحص الحلول في المعادلة الأصلية.

يتحقق الحل. منذ x = 32 ، يستغرق جو 32 ساعة لطلاء المنزل بنفسه. وقت جون هو 3x، لذلك سوف يستغرق 96 ساعة للقيام بنفس القدر من العمل.

يستغرق جو 32 ساعة لطلاء المنزل بنفسه و 96 ساعة لطلاء جون المنزل بنفسه.

كما هو موضح أعلاه ، يمكن تمثيل العديد من مشاكل العمل بالمعادلة ، أين ر هو الوقت المناسب للقيام بالعمل معًا ، أ هو الوقت الذي يستغرقه الشخص "أ" لأداء المهمة ، و ب هو الوقت الذي يستغرقه الشخص "ب" لأداء المهمة. يشير الرقم 1 إلى إجمالي العمل المنجز - في هذه الحالة ، كان العمل لطلاء منزل واحد.

الفكرة الأساسية هنا هي معرفة معدل العمل الفردي لكل عامل. بعد ذلك ، بمجرد تحديد هذه المعدلات ، اجمعها معًا واضربها في الوقت ر، اجعلها مساوية لمقدار العمل المنجز ، وحل المعادلة المنطقية.

يمكن لكل من ماري وليام غسل السيارة وتنظيفها من الداخل في غضون ساعتين. يحتاج زاك إلى 3 ساعات للقيام بنفس العمل بمفرده. إذا عمل زاك وليام وماري معًا ، فكم من الوقت سيستغرقهم تنظيف السيارة؟

غير صحيح. يبدو أنك قسمت ساعة واحدة على 3 لتصل إلى 20 دقيقة. تذكر أن زاك يعمل بمعدل مختلف عن ماري وليام ، لذا لا يمكنك القسمة المستقيمة. الإجابة الصحيحة هي 45 دقيقة.

صيح. حسب الصيغة ، . لدى كل من ماري وليام سعر السيارة في ساعة واحدة ، وسعر زاك هو السيارة في ساعة واحدة. بالعمل معًا ، يكون لديهم معدل أو. دبليو هي سيارة واحدة ، لذا تصبح الصيغة =. هذا يعني ، و ، و ر =. يستغرق تنظيف سيارة واحدة ثلاثة أرباع الساعة أو 45 دقيقة.

غير صحيح. تقوم ماري وليام بتنظيف السيارة في غضون ساعتين ، وليس كفريق. كل منهم لديه معدل السيارة في ساعة واحدة ، وسعر زاك هو السيارة في ساعة واحدة. بالعمل معًا ، لديهم معدل. الإجابة الصحيحة هي 45 دقيقة.

غير صحيح. هذا هو الوقت الذي تستغرقه ماري وليام لتنظيف سيارة واحدة معًا. نظرًا لأن زاك يساعد ، فسوف يستغرق الأمر وقتًا أقل من ذلك. الإجابة الصحيحة هي 45 دقيقة.

يمكنك حل المعادلات الكسرية بإيجاد مقام مشترك. بإعادة كتابة المعادلة بحيث يكون لكل الحدود المقام المشترك ، يمكنك حل المتغير باستخدام البسطين فقط. أو يمكنك ضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر للمقام بحيث تصبح كل الحدود متعددة الحدود بدلاً من التعبيرات المنطقية. يمكن استخدام المعادلات المنطقية لحل مجموعة متنوعة من المسائل التي تتضمن المعدلات والأوقات والعمل. يمكن أن يساعدك استخدام التعبيرات والمعادلات المنطقية في الإجابة عن أسئلة حول كيفية الجمع بين العمال أو الآلات لإكمال المهمة في الموعد المحدد.

خطوة مهمة في حل المعادلات المنطقية هي رفض أي حلول خارجية من الإجابة النهائية. الحلول الخارجية هي الحلول التي لا تفي بالصيغة الأصلية للمعادلة لأنها تنتج عبارات غير صحيحة أو قيم مستبعدة تجعل مقامًا يساوي 0.


المعادلات المنطقية (الوصف وأمثلة # 038)

يجب التأكيد على الخطوة 4 حيث لا يمكن أن يكون لديك المقام صفر في الكسر ، وعليك التأكد من عدم جعل المقام صفرًا. أي حل لا يمكن تضمينه في مجموعة الحلول تسمى "الحلول الخارجية". إذا كانت جميع حلول المعادلة المنطقية دخيلة ، فلن يكون للمعادلة أي حل مما يعني أنه لا توجد قيمة للمتغير الذي يجعل المعادلة عبارة عن بيان صحيح.

ترد أدناه أمثلة قليلة من المعادلات المنطقية: & # 8211

مثال رقم 1:

لحل هذه المعادلة ، يجب أن نتبع الخطوات المذكورة أعلاه مما يعني أننا اكتشفنا شاشة LCD. هنا ، LCD هي 12 ، لذلك ، نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. نحن نحصل،

الآن نحل المعادلة

مثال رقم 2:

لحل هذه المعادلة ، يجب أن نتبع الخطوات المذكورة أعلاه مما يعني أننا اكتشفنا شاشة LCD. هنا ، LCD تساوي 6 ، لذلك ، نضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. نحن نحصل،

الآن نحل المعادلة

مثال رقم 3:

لحل هذه المعادلة ، يجب أن نتبع الخطوات المذكورة أعلاه مما يعني أننا اكتشفنا شاشة LCD. هنا ، LCD هي 4x 2 ، لذلك ، نقوم بضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. نحن نحصل،


حل المعادلات الحرفية والتطبيقات التي تنطوي على المعاملة بالمثل

المعادلات الحرفية ، أو الصيغ ، غالبًا ما تكون معادلات منطقية. ومن ثم يمكن استخدام التقنيات الموضحة في هذا القسم لحل متغيرات معينة. افترض أن جميع التعبيرات المتغيرة في المقام ليست صفرية.

المثال 9

يتم إعطاء مقلوب المقاومة المجمعة R لمقاومين R 1 و R 2 على التوازي بواسطة الصيغة 1 R = 1 R 1 + 1 R 2. حل من أجل R بدلالة R 1 و R 2.

الهدف هو عزل R على جانب واحد من المعادلة. ابدأ بضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD ، R R 1 R 2.

RR 1 R 2 ⋅ 1 R = RR 1 R 2 ⋅ 1 R 1 + RR 1 R 2 ⋅ 1 R 2 R 1 R 2 = RR 2 + RR 1 R 1 R 2 = R (R 2 + R 1) R 1 ص 2 ص 2 + ص 1 = ص

الجواب: R = R 1 R 2 R 1 + R 2

جرب هذا! حل من أجل ذ: س = 2 ص + 5 ص - 3.

تذكر أن مقلوب عدد غير صفري ن هو 1 ن. على سبيل المثال ، مقلوب 5 هو 1 5 و 5 1 5 = 1. في هذا القسم ، غالبًا ما تتضمن التطبيقات الكلمة الرئيسية "متبادلة". عندما يكون هذا هو الحال ، سنرى أن الإعداد الجبري ينتج عنه معادلة منطقية.

المثال 10

العدد الصحيح الموجب أقل من الآخر بمقدار 3. إذا تم طرح مقلوب العدد الصحيح الأصغر من ضعف مقلوب الأكبر ، تكون النتيجة 1 20. أوجد العددين الصحيحين.

يترك ن تمثل أكبر عدد صحيح موجب.

يترك ن - 3 يمثل العدد الصحيح الموجب الأصغر.

ضع معادلة جبرية.

حل هذا التعبير المنطقي بضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. شاشة LCD هي 20 ن (ن - 3).

2 ن - 1 ن - 3 = 1 20 20 ن (ن - 3) ⋅ (2 ن - 1 ن - 3) = 20 ن (ن - 3) ⋅ (1 20) 20 ن (ن - 3) ⋅ 2 ن - 20 ن (ن - 3) ⋅ 1 ن - 3 = 20 ن (ن - 3) ⋅ (1 20)

40 (ن - 3) - 20 ن = ن (ن - 3) 40 ن - 120 - 20 ن = ن 2 - 3 ن 20 ن - 120 = ن 2 - 3 ن 0 = ن 2 - 23 ن + 120 0 = (ن - 8) (ن - 15) ن - 8 = 0 أو ن - 15 = 0 ن = 8 ن = 15

هنا لدينا احتمالان قابلين للتطبيق لعدد صحيح أكبر ن. لهذا السبب ، سيكون لدينا حلان لهذه المشكلة.

إذا كان n = 8 ، فإن n - 3 = 8 - 3 = 5.

إذا كان n = 15 ، فإن n - 3 = 15-3 = 12.

كتحقق ، قم بإجراء العمليات المشار إليها في المشكلة.

2 ( 1 8 ) − 1 5 = 1 4 − 1 5 = 5 20 − 4 20 = 1 20 ✓

2 ( 1 15 ) − 1 12 = 2 15 − 1 12 = 8 60 − 5 60 = 3 60 = 1 20 ✓

الإجابة: مجموعتان من الأعداد الصحيحة الموجبة تحل هذه المشكلة: <5 ، 8> و <12 ، 15>.

جرب هذا! عندما يتم طرح مقلوب أكبر عددين صحيحين متتاليين من 4 أضعاف مقلوب الأصغر ، تكون النتيجة 5 6. أوجد الأعداد الصحيحة.


حل المعادلات المنطقية

قم بتقييم وتبسيط التعبيرات الجبرية ، على سبيل المثال: منتجات / حاصل معاملات كثيرات الحدود والتعبيرات اللوغاريتمية والكسور المعقدة وحل المعادلات والتباينات الخطية والتربيعية والأسية واللوغاريتمية ورسمها البياني وحل نظم المعادلات والمتباينات ورسمها البياني.

المعادلات غير الخطية

حل المعادلات التي تتضمن تعبيرات عقلانية و / أو جذرية (على سبيل المثال ، 10 / (x + 3) + 12 / (x & ndash 2) = 1 أو & Radic (x 2 + 21x) = 14).

  • تعرض عائلات الوظائف خصائص وسلوكيات يمكن التعرف عليها عبر التمثيلات. يمكن تحويل الوظائف ودمجها وتكوينها لإنشاء وظائف جديدة في مواقف رياضية وحقيقية.
  • الدوال الرياضية هي العلاقات التي تعين كل عضو في مجموعة واحدة (مجال) لعضو فريد من مجموعة أخرى (نطاق) ، والعلاقة يمكن التعرف عليها عبر التمثيلات.
  • يمكن أن تمثل الأرقام والقياسات والتعبيرات والمعادلات وعدم المساواة مواقف وهياكل رياضية في العديد من الأشكال المكافئة.
  • تعرض الأنماط علاقات يمكن تمديدها ووصفها وتعميمها.
  • العلاقات والوظائف هي علاقات رياضية يمكن تمثيلها وتحليلها باستخدام الكلمات والجداول والرسوم البيانية والمعادلات.
  • هناك بعض العلاقات الرياضية التي تكون صحيحة دائمًا وتستخدم هذه العلاقات كقواعد حسابية وجبر ومفيدة لكتابة أشكال معادلة من التعبيرات وحل المعادلات والمتباينات.
  • الخصائص والعمليات والتمثيلات الجبرية
  • الدوال والمعادلات الأسية
  • دوال ومعادلات كثيرة الحدود
  • الدوال والمعادلات التربيعية
  • توسيع الخصائص والعمليات الجبرية إلى التعبيرات والمعادلات التربيعية والأسية ومتعددة الحدود والمصفوفات ، وتطبيقها لحل مشاكل العالم الحقيقي.
  • تمثيل دالة متعددة الحدود بطرق متعددة ، بما في ذلك علامات الجدولة والرسوم البيانية والمعادلات والمواقف السياقية ، وإنشاء روابط بين التمثيلات التي تربط حل المعادلة متعددة الحدود المرتبطة بكل تمثيل.
  • تمثيل دالة تربيعية بطرق متعددة ، بما في ذلك علامات الجدولة والرسوم البيانية والمعادلات والمواقف السياقية ، وقم بإجراء اتصالات بين التمثيلات التي تربط حل المعادلة التربيعية المرتبطة بكل تمثيل.

أهداف

في هذا الدرس ، يقوم الطلاب بحل المعادلات المنطقية. الطلاب سوف:

· تطبيق الأساليب المناسبة لحل المشكلات.

& middot تطبيق الأساليب الجبرية أثناء حل المشكلات.

& middot تحديد ما إذا كانت الحلول التي تم العثور عليها مقبولة للمشكلة التي يتم حلها.

أسئلة أساسية

& middot كيف يمكننا توسيع الخصائص والعمليات الحسابية لتشمل التعبيرات والعمليات الجبرية وكيف يمكننا استخدام هذه الخصائص والعمليات لحل المشكلات؟

كلمات

و middot معادلة: بيان أن تعبيرين رياضيين متساويين.

و middot محلول غريب: جذر تم الحصول عليه في عملية حل معادلة ، وهو ليس جذرًا للمعادلة التي يجب حلها.

و middot معادلة عقلانية: بيان المساواة بين تعبيرين يحتويان على متغير واحد أو أكثر كنسبة.

و middot تعبير عقلاني: تعبير يمثل نسبة أو حاصل قسمة اثنين من كثيرات الحدود. [ب إ -1 - التحضير]

مدة

135 دقيقة [IS.2 - جميع الطلاب]

المهارات المطلوبة

المواد

& middot اللوحات البيضاء ، وأقلام التخطيط ، والمحايات [IS.3 - المتعلمون المكافحون]

& نسخ middot من PowerPoint Solving Rationals Partner Activity (M-A2-5-2_Solving Rationals Partner Activity.ppt)

الوحدات ذات الصلة وخطط الدروس

المواد والموارد ذات الصلة

لا يعد التضمين المحتمل لمواقع الويب التجارية أدناه إقرارًا ضمنيًا لمنتجاتها ، وهي ليست مجانية وليست مطلوبة لخطة الدرس هذه.

& middot اللوحات البيضاء ، وأقلام التخطيط ، والمحايات [IS.3 - المتعلمون المكافحون]

& نسخ middot من PowerPoint Solving Rationals Partner Activity (M-A2-5-2_Solving Rationals Partner Activity.ppt)

التقييم التكويني

& middot استجابات الطلاب أثناء النمذجة هي مؤشرات مفيدة على المهارة في معالجة المصطلحات ، لكن أنواعًا معينة من الأخطاء يمكن أن تكشف عن المزيد من سوء الفهم الأساسي. على سبيل المثال ، لاحظ الحالات التي يشير فيها الطلاب إلى القسمة ولكنهم يفشلون في استخدام الضرب المتبادل. [IS.10 - جميع الطلاب]

& middot سيكون الأداء أثناء نشاط الشريك مثمرًا لدرجة أن الشركاء يستمعون لبعضهم البعض ويصححون أنفسهم ويشرحون أسبابهم. [IS.11 - جميع الطلاب]

& middot الإجابات على ورقة عمل الممارسة المستقلة مفيدة عندما تكشف تحليلات الأخطاء عن أنواع معينة من سوء الفهم التي يشاركها العديد من الطلاب.

الدعامات التعليمية المقترحة

في هذه المرحلة ، حل الطلاب مجموعة متنوعة من المعادلات ، بما في ذلك المعادلات الخطية والتربيعية. تتبع المعادلات العقلانية التسلسل من خلال الجمع بين المفاهيم المستخدمة في حل كل من المعادلات الخطية والتربيعية. سيتم تقييم الطلاب باستخدام التقييمات التكوينية والختامية على طول الطريق لتقييم تقدمهم على أفضل وجه.

عند بدء الدرس في حل المعادلات المنطقية ، من المهم التأكيد على ما يعرفه الطلاب بالفعل فيما يتعلق بهذا الموضوع. يعتمد المثال الأول على العمليات الحسابية المألوفة: مجموع عدد كسري وعدد صحيح يتم التعبير عنه في صورة بسط ومقام. يتيح ذلك للطلاب الشعور براحة أكبر أثناء عملية الحل الطويلة. اعتمد على الطلاب والمعرفة السابقة بشكل مستمر طوال الدرس حتى يتمكن الطلاب من الاستمرار في المشاركة طوال الدرس بأكمله. في ختام الدرس ، تضيف مهمة الممارسة المستقلة لمسة ممتعة لإبقاء الطلاب أكثر تحفيزًا لإكمال الممارسة.

خلال هذا الدرس ، سيتم إعطاء الطلاب مجموعة متنوعة من الأمثلة النموذجية لاستخدامها كمرجع على طول الطريق. تم تصميم الأمثلة النموذجية للبناء من أسلوب المعادلة البسيط إلى الأكثر تعقيدًا ، مما يترك للطلاب الخبرات اللازمة لحل مجموعة متنوعة من المشكلات. يتم تقديم مجموعة مختارة من الإضافات والتعديلات في الدرس للوصول إلى مجموعة متنوعة من أنماط التعلم وإعطاء الطلاب فرصة للعمل معًا ، وكذلك بشكل فردي.

تم تصميم هيكل هذا الدرس لتيسير عادات العمل المستقلة للطلاب. مع تقدم الدرس ، يتم تحويل الطلاب ببطء إلى تفكير أكثر استقلالية مما يسمح لهم بالتأمل وإعادة النظر وإعادة التفكير في المفاهيم المقدمة. أثناء مناقشة المشكلات كصف دراسي ، سيتمكن الطلاب من إعادة النظر في أخطائهم لبناء المهارات ببطء لحل التعبيرات المنطقية.

ستتاح للطلاب الفرصة للتعبير عن فهمهم للمفاهيم من خلال مجموعة متنوعة من الأنشطة الجماعية والمستقلة. تم تصميم نشاط الشريك للسماح للطلاب بفرصة مناقشة عملية الحل مع الزملاء لمساعدتهم على الوصول إلى فهم أفضل للمفاهيم ، وكذلك إصلاح أي مفاهيم خاطئة لديهم حول العملية. سيتيح الانتقال إلى ورقة عمل مستقلة للطلاب فرصة لنمذجة فهمهم للمفاهيم.

تم تصميم هذا الدرس لتقديم المواد بطريقة تلبي مجموعة متنوعة من أساليب التعلم. تتيح أمثلة النمذجة للطلاب تلقي المعلومات بشكل مرئي ومسموع. يحصل الطلاب على فرصة للعمل مع أقرانهم ، وكذلك بشكل مستقل للتمييز بين أساليب التعلم المختلفة. يوفر جزء الامتداد من هذا الدرس أيضًا مجموعة متنوعة من وسائل الراحة لتلبية احتياجات إعداد الفصل الدراسي الخاص بك بشكل أكبر.

تم تصميم تنظيم هذا الدرس لنقل الطلاب من مرحلة الأداء عالي التوجيه إلى الاستقلالية الصارمة. أثناء عمل الطلاب ، ينتقلون تدريجياً من مستوى إلى آخر لتسهيلهم على التفكير المستقل. يبدأ الدرس بنمذجة ومناقشة مجموعة متنوعة من المشكلات التي تتراوح من البسيطة إلى الأكثر تعقيدًا ، جنبًا إلى جنب مع العديد من المناقشات حول الخطوات التي يتم تضمينها أثناء كل مشكلة. سيوفر هذا للطلاب مجموعة متنوعة من المراجع عندما ينتقلون إلى عمل أكثر استقلالية. ستسمح المرحلة التالية من الدرس للطلاب بمحاولة حل المشكلات بأنفسهم ، في الغالب ، ولكن بمساعدة زميل في الفصل. يتيح ذلك للطلاب مناقشة أي مفاهيم خاطئة واكتساب المزيد من الفهم والثقة حول هذه المفاهيم. أخيرًا ، سينتقل الطلاب إلى المستوى المستقل للدرس حيث يمكنهم تطبيق ما تعلموه خلال المراحل السابقة من الدرس.

IS.1 - تحضير
ضع في اعتبارك استخدام المخططات الرسومية (على سبيل المثال ، نموذج Frayer ، رابطة الكلمات المرئية اللفظية ، دوائر المفاهيم) لمراجعة المفردات الرئيسية قبل الدرس. قد تتضمن بعض المفردات الإضافية التي يجب مراجعتها في هذا الدرس: النسبة ، والحاصل ، والمتغيرات ، والبسط ، والمقام ، والعامل / التحليل.
IS.2 - كل الطلاب
ضع في اعتبارك التفكير في المفاهيم الحاسمة لهذا الدرس ، بما في ذلك استخدام المواد العملية. خلال الدرس (بناءً على نتائج التقييم التكويني) ، ضع في اعتبارك أن السرعة تكون مرنة لاحتياجات الطلاب. ضع في اعتبارك أيضًا الحاجة إلى إعادة التدريس و / أو المراجعة أثناء الدرس وبعده حسب الضرورة.
IS.3 - المتعلمين المكافحين
ضع في اعتبارك تزويد الطلاب المتعثرين بالوقت لمعاينة / مراجعة المعلومات حول حل المعادلات المنطقية على www.khanacademy.org.
IS.4 - كل الطلاب
ضع في اعتبارك جعل الطلاب يعملون في مجموعات صغيرة (4-5) واستخدام برنامج Think-Pair-Share والمراسل العشوائي. سيسمح هذا للطلاب بالمناقشة مع بعضهم البعض قبل الإجابة على الأسئلة التي طرحها المعلم. يتيح ذلك للطلاب التعلم من زملائهم في الفصل ومناقشة المحتوى الذي يتم تعلمه. يمكن العثور على معلومات حول Think-Pair-Share والمراسل العشوائي على www.pdesas.org/Main/Instruction
IS.5 - المتعلمين المناضلين
ضع في اعتبارك تزويد الطلاب المتعثرين بورقة تحتوي على هذه المعلومات بالفعل.قد تقرر الحصول على ملصق يحتوي على المعلومات (أو مشروع عبر كاميرا مستندات أو جهاز عرض علوي) من أجل التوضيح والتوضيح كما يتابع الطلاب معك.
IS.6 - كل الطلاب
ضع في اعتبارك استخدام الوسائل اليدوية للتغلب على هذه المشكلة النموذجية. يشرح المعلم استدلاله بصوت عالٍ أثناء إظهار الخطوات باستخدام الوسائل المتلاعبة. بعد القيام بمثال باستخدام الوسائل المتلاعبة ، اطلب من الطلاب (في مجموعات صغيرة) حل مشكلة مماثلة باستخدام الوسائل المتلاعبة معك (انتقل إلى الخطوات مع الفصل). أخيرًا ، اطلب من الطلاب حل مشكلة ثالثة إما في مجموعاتهم الصغيرة أو بشكل فردي بينما يراقب المعلم تقدمهم.
IS.7 - كل الطلاب
ضع في اعتبارك فصل خطوات المشكلات التي تشاركها حتى لا يختلط الأمر على الطلاب الذين يعانون من مشاكل في الإدراك البصري.
IS.8 - المتعلمين المناضلين
قد ترغب في التفكير ليس فقط في تزويد الطلاب المتعثرين بالخطوات على ورقة ، ولكن أيضًا تزويدهم بمجموعة من المشكلات التي تم حلها والتي تتضمن الخطوات / الاستدلال بجانب كل خطوة حتى يتمكنوا من الرجوع إلى المشكلات الإضافية حسب الحاجة.
IS.9 - كل الطلاب
ضع في اعتبارك التوسع في هذا الأمر للتأكد من أن الطلاب يفهمون المقصود بالمقام الصفري ولماذا يعني & ldquoa = 5 & rdquo عدم وجود حل قابل للتطبيق.
IS.10 - كل الطلاب
للحصول على معلومات إضافية حول التقييم التكويني ، بما في ذلك تقنيات طرح الأسئلة ، انظر المعلمين والمراجع المكتبية: الممارسات الأساسية لتعليم الرياضيات الفعال على http://www.pattan.net/category/Resources/PaTTAN٪20Publications/
IS.11 - كل الطلاب
ضع في اعتبارك وضع القواعد الأساسية قبل نشاط الشريك حتى يفهم جميع الطلاب ما هو متوقع منهم. طوال العام الدراسي ، تريد التأكد من وجود بيئة تعليمية آمنة حيث يشعر جميع الطلاب بالراحة لطرح الأسئلة ومناقشة المحتوى مع المعلم والطلاب الآخرين.

إجراءات التدريس

& ldquo لدينا خبرة كبيرة في حل المعادلات بالصيغة 2z + 12 = & ndash5x & ndash 9 andx & sup2 + 5x + 6 = 0 ، لكننا اليوم سننظر في المعادلات التي تتضمن كسورًا ذات متغيرات في المقام. سيركز هذا الدرس على العملية المتضمنة أثناء حل المعادلات التي تتضمن تعبيرات عقلانية. مفتاح هذا الدرس هو أخذ نوع أكثر تعقيدًا من المعادلات وتحويلها إلى معادلة نعرف بالفعل كيفية حلها ، مثل 2x + 12 = & ndash5x & ndash 9 و x & sup2 + 5x + 6 = 0. & rdquo [IS.4- جميع الطلاب]

& ldquo على سبيل المثال ، ما يلي معادلة منطقية: لأنه لديه x في المقام. لحل هذه المشكلة ، بالإضافة إلى المعادلات المنطقية الأخرى ، اتبع هذه الخطوات المفيدة. & rdquo

اعرض كل خطوة للطلاب لتسجيلها في ملاحظاتهم والرجوع إلى هذه الخطوات أثناء استعراض كل مثال أدناه. [IS.5 - المتعلمون المكافحون]

الخطوة 1: تأكد من أن جميع القواسم في شكل محلل: [IS.6 - جميع الطلاب]

& ldquo ما هو مقام الكسر الأول؟ (x)

& ldquo هل يمكن تحليل ذلك أكثر من ذلك؟ & rdquo (رقم)

& ldquo ما مقام الكسر الثاني؟ يجب على الطلاب ملاحظة أن 5 هي نفسها 5 مقسومة على 1.

& ldquo هل يمكن تحليل ذلك أكثر من ذلك؟ & rdquo (رقم)

& ldquo ما مقام الكسر الثالث؟ (x)

الخطوة 2: اضرب المعادلة بأكملها بعوامل القواسم (القاسم المشترك الأصغر):

الخطوة 3: قسّم على عامل مشترك داخل كل مصطلح عند الضرورة وسجل ما تبقى:

الخطوة 4: استخدم تقنيات الجبر الأساسية لحل المشكلة المتبقية. (لاحظ للطلاب أن ما سيتبقى لهم هو نوع من المعادلة التي تمكنوا من حلها لبعض الوقت الآن).

الخطوة 5: البحث عن حلول دخيلة. بالتعويض عن حل المتغير ، تأكد من تحديد الحل (الحلول) للمشكلة الأصلية. اشرح للطلاب إمكانية إنشاء حلول غير مسموح بها في المشكلة الأصلية لأنها تخلق قيمة غير محددة. هذه القيم ليست جزءًا من المجال ولا يجب تضمينها في إجابتها النهائية. نريد تجنب الحصول على 0 في المقام ، لذلك يجب علينا التحقق للتأكد من عدم حدوث ذلك مع القيم المحسوبة لدينا.

(& ndash 9/5) لن يخلق صفر المقام وبالتالي (& ndash 9/5) هو الحل لهذه المشكلة.

أرشد الطلاب من خلال الأمثلة المتبقية. تأكد من التأكيد على كل خطوة من الخطوات الخمس أثناء تقدمك. تزداد المشاكل صعوبة كلما تقدمت.

[IS.7 - جميع الطلاب]

[IS.8 - المتعلمون المكافحون]

(س + 1) (س + 2) + س (س + 3) = 7 - س
توزيع FOIL & amp: x & sup2 & ndash x & ndash 2 + x & sup2 + 3x = 7 & ndash x
اجمع المصطلحات المتشابهة: 2x & sup2 + 2x & ndash 2 = 7 & ndash x
نظرًا لوجود متغير تربيعي ، فمن المرجح أن العوملة ستكون ضرورية لحل المشكلة. تأكد من مناقشة الطلاب أنه عندما يرون متغيرًا مربعًا يجب أن يدركوا أن التخصيم سيكون على الأرجح الطريقة المطلوبة لحل المشكلة.

عند التحقق من الحلول نجد أن & سالب 3 يكون مقامًا صفريًا ، لكن (3/2) لا يفعل ذلك. وبالتالي ، الحل: x = (3/2)

أ = 5 ستنشئ مقامًا صفريًا ، وبالتالي لا يمكن أن تكون حلاً للمشكلة ، ولا تترك لنا حلولًا قابلة للتطبيق. وهكذا ، الحل: لا يوجد حل ولاسلاش

[IS.9 - جميع الطلاب]

& middot Interpersonal Partner Activity: بعد نمذجة الأمثلة والإجراءات للطلاب ، اسمح لهم بالحصول على بعض التدريبات باستخدام النشاط التالي. أثناء النشاط ، يجب أن يعمل الطلاب مع شريك حتى يتمكنوا من المساعدة في توجيه بعضهم البعض ومناقشة طريقهم في كل خطوة.

& middot اعرض M-A2-5-2_Solving Rationals Partner Activity.ppt للطلاب ، واحدة تلو الأخرى. بمجرد العرض ، يجب على الطلاب العمل مع شركائهم لحل المشكلة كما هو موضح في الفصل. يمكن أن تعمل الألواح البيضاء المحمولة بشكل جيد هنا. امنح الطلاب قدرًا مناسبًا من الوقت ، وتجول لمساعدة الطلاب ، ومعالجة المشكلات عند الضرورة. قد ترغب في عرض الإجابات أو إيجاد الحلول على السبورة لمساعدة الطلاب على إدراك أي أخطاء. كرر نفس العملية مع كل مشكلة في PowerPoint.

& middot Independent Practice (Jokes Worksheet): تم تصميم ورقة العمل هذه للطلاب للحصول على بعض الممارسة المستقلة مع المشكلات التي كانوا يعملون معها في الفصل ، مع إضافة نكتة صغيرة ممتعة إلى المزيج. سيواجه الطلاب سبع مشكلات لحلها يتطابق كل حل فيها مع حرف. سيؤدي حل كل مشكلة بشكل صحيح إلى توضيح الإجابة على لغز ممتع. (M-A2-5-2_IP Jokes WKS.doc) الحل: NICE BELT.

& middot استخدم ورقة الملاحظات الإرشادية المتوفرة في مجلد الموارد للطلاب الذين يحتاجون إلى فرصة لتعلم إضافي (M-A2-5-2_Solving Rationals Guided Notes.doc).

& middot التطبيقية المشكلة: السيارة A تسافر 180 ميلاً في نفس الوقت الذي تستغرقه السيارة B للسفر 120 ميلاً. إذا كانت إحدى السيارات تسير بسرعة 20 ميلاً في الساعة أسرع من السيارة الأخرى ، فأوجد سرعة كلتا السيارتين.

الحل: سيارة واحدة 40 ميلا في الساعة ، السيارة الأخرى 60 ميلا في الساعة.

و middot التعديل 1: الطلاب ذوي الاحتياجات الخاصة. إذا أمكن ، اطبع المشكلات مسبقًا واطلب من الطلاب العمل عليها وفقًا لاحتياجاتهم المناسبة.

& middot التعديل 2: من المحتمل أن يعمل هؤلاء الطلاب الذين يصلون إلى المعايير أو يتجاوزونها مع طلاب آخرين يحتاجون إلى فرصة لتعلم إضافي حتى يتمكن المعلم من الوصول إلى المزيد من الطلاب.

& middot Modification 3: في حالة عدم توفر وقت كافٍ للفصل الدراسي ، اطبع المشكلات وامنحها للطلاب كواجب منزلي مستقل.


53 حل التطبيقات مع المعادلات المنطقية

    يحل:

حل النسب

عندما يتساوى تعبيران عقلانيان ، فإن المعادلة المتعلقة بهما تسمى نسبة.

أ نسبة هي معادلة النموذج أين

يتم قراءة النسبة "أ هو ب كما ج هو د.

المعادلة /> هي نسبة لأن كسرين متساويين. تُقرأ النسبة /> "1 إلى 2 كما 4 إلى 8."

نظرًا لأن النسبة هي معادلة ذات تعبيرات عقلانية ، فسنحل النسب بنفس الطريقة التي حلنا بها المعادلات المنطقية. سنضرب طرفي المعادلة في شاشة LCD لمسح الكسور ثم حل المعادلة الناتجة.

يحل:

اضرب كلا الجانبين بواسطة LCD.
إزالة العوامل المشتركة من كل جانب.
تبسيط.
حل من أجل ن.
التحقق من.
تبسيط.
اعرض العوامل المشتركة.
تبسيط.

حل النسبة:

حل النسبة:

لاحظ في المثال الأخير أنه عندما قمنا بمسح الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD ، فإن النتيجة هي نفسها كما لو كنا قد قمنا بالضرب التبادلي.

لأي نسبة ، نحصل على نفس النتيجة عندما نقوم بمسح الكسور عن طريق الضرب في شاشة LCD كما هو الحال عند الضرب التبادلي.

لحل التطبيقات ذات النسب ، سوف نتبع استراتيجيتنا المعتادة لحل التطبيقات ولكن عندما نقوم بإعداد النسبة ، يجب أن نتأكد من صحة الوحدات - يجب أن تتطابق الوحدات الموجودة في البسط مع بعضها البعض ويجب أيضًا أن تتطابق الوحدات الموجودة في المقامات تطابق بعضها البعض.

عندما يصف أطباء الأطفال عقار الاسيتامينوفين للأطفال ، فإنهم يصفون 5 مليلتر (مل) من الأسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. إذا كانت زوي تزن 80 رطلاً ، فكم مليلترًا من عقار الاسيتامينوفين سيصفها طبيبها؟

25 جنيها كم سيكون

يصف أطباء الأطفال 5 مليلتر (مل) من عقار الاسيتامينوفين لكل 25 رطلاً من وزن الطفل. كم مليلتر من عقار الاسيتامينوفين سيصفه الطبيب لإميليا التي تزن 60 رطلاً؟

سيصف طبيب الأطفال 12 مل من عقار الاسيتامينوفين لإميليا.

لكل 1 كيلوغرام من وزن الطفل ، يصف أطباء الأطفال 15 ملليجرام (مجم) من خافض للحرارة. إذا كان وزن إيزابيلا 12 كجم ، فكم ملليغرام من خافض الحمى سيصفه طبيب الأطفال؟

سيصف طبيب الأطفال إيزابيلا 180 ملغ من خافض الحرارة.

حل تطبيقات الشكل المتشابهة

عندما تقوم بتقليص أو تكبير صورة على هاتف أو جهاز لوحي ، أو تحديد مسافة على خريطة ، أو استخدام نمط لبناء خزانة كتب أو خياطة فستان ، فأنت تعمل بأشكال متشابهة. إذا كان شكلان لهما نفس الشكل تمامًا ، لكنهما يختلفان في الحجم ، فيقال إنهما متشابهان. واحد هو نموذج مصغر للآخر. جميع الزوايا المتناظرة لها نفس المقاييس وأضلاعها المقابلة لها نفس النسبة.

يتشابه شكلان إذا كانت قياسات زواياهما المتناظرة متساوية وكانت الأضلاع المتناظرة لها نفس النسبة.

على سبيل المثال ، المثلثان في (الشكل) متشابهان. كل جانب من هو أربعة أضعاف طول الضلع المقابل من

يتلخص هذا في خاصية المثلثات المتشابهة.

لو مشابه ل ثم يكون قياس زاويتهم المقابلة متساويًا ولهم نفس النسبة.

لحل التطبيقات ذات الأرقام المتشابهة ، سوف نتبع إستراتيجية حل المشكلات للتطبيقات الهندسية التي استخدمناها سابقًا.

على الخريطة ، تشكل سان فرانسيسكو ولاس فيغاس ولوس أنجلوس مثلثًا. المسافة بين المدن تقاس بالبوصة. يمثل الشكل الموجود على اليسار أدناه المثلث الذي شكلته المدن على الخريطة. إذا كانت المسافة الفعلية من لوس أنجلوس إلى لاس فيغاس هي 270 ميلاً ، فأوجد المسافة من لوس أنجلوس إلى سان فرانسيسكو.

نظرًا لأن المثلثات متشابهة ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة.

نظرًا لأن المثلثات متشابهة ، فإن

الجوانب المقابلة متناسبة. نحن سوف

اجعل البسط "ميلاً" و

على الخريطة المسافة من لوس أنجلوس

إلى سان فرانسيسكو أكثر من

المسافة من لوس أنجلوس إلى

لاس فيجاس. منذ 351 أكثر من 270

على الخريطة ، تشكل سياتل وبورتلاند وبويز مثلثًا. المسافة بين المدن تقاس بالبوصة. يمثل الشكل الموجود على اليسار أدناه المثلث الذي شكلته المدن على الخريطة. المسافة الفعلية من سياتل إلى بويسي 400 ميل.

أوجد المسافة الفعلية من سياتل إلى بورتلاند.

المسافة 150 ميلا.

أوجد المسافة الفعلية من بورتلاند إلى بويز.

المسافة 350 ميلا.

يمكننا استخدام أرقام متشابهة لإيجاد ارتفاعات لا يمكننا قياسها بشكل مباشر.

يبلغ طول تايلر 6 أقدام. في وقت متأخر من بعد ظهر أحد الأيام ، كان طول ظله 8 أقدام. في الوقت نفسه ، كان طول ظل الشجرة 24 قدمًا. أوجد ارتفاع الشجرة.

اقرأ المشكلة وارسم شكلاً.
نحن نبحث عن ح، ارتفاع الشجرة.
سنستخدم مثلثات متشابهة لكتابة معادلة.
المثلث الصغير يشبه المثلث الكبير.
حل النسبة.
تبسيط.
التحقق من.

عمود الهاتف يلقي بظلاله بطول 50 قدمًا. في الجوار ، هناك لافتة مرور يبلغ ارتفاعها 8 أقدام تلقي بظلالها التي يبلغ طولها 10 أقدام. كم يبلغ ارتفاع عمود الهاتف؟

يبلغ ارتفاع عمود الهاتف 40 قدمًا.

تلقي شجرة الصنوبر بظلالها على ارتفاع 80 قدمًا بجوار مبنى يبلغ ارتفاعه 30 قدمًا يلقي بظلاله 40 قدمًا. كم يبلغ ارتفاع شجرة الصنوبر؟

يبلغ طول شجرة الصنوبر 60 قدمًا.

حل تطبيقات الحركة الموحدة

لقد حللنا مشاكل الحركة المنتظمة باستخدام الصيغة في الفصول السابقة. استخدمنا جدولًا مثل الجدول أدناه لتنظيم المعلومات وقيادتنا إلى المعادلة.

الصيغة يفترض أننا نعلم ص و ر واستخدامها للعثور عليها د. إذا علمنا د و ص وتحتاج إلى البحث ر، سنحل معادلة ر واحصل على الصيغة

لقد أوضحنا أيضًا كيف يؤثر الطيران مع الريح أو عكسها على سرعة الطائرة. سنعيد النظر في هذه الفكرة في المثال التالي.

يمكن للطائرة أن تطير 200 ميل في سرعة 30 ميل في الساعة في نفس الوقت الذي تستغرقه للطيران 300 ميل مع رياح خلفية 30 ميل في الساعة. ما هي سرعة الطائرة؟

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

منذ نحلها واحصل على

150 ميلا في الساعة سرعة معقولة للطائرة؟ نعم فعلا.

إذا كانت الطائرة تسير بسرعة 150 ميلاً في الساعة والرياح 30 ميلاً في الساعة ،

يمكن لـ Link ركوب دراجته 20 ميلاً في رياح معاكسة تبلغ 3 أميال في الساعة في نفس الوقت الذي يمكنه فيه ركوب 30 ميلاً مع رياح خلفية تبلغ 3 أميال في الساعة. ما هي سرعة ركوب الدراجات في Link؟

سرعة ركوب الدراجات في Link هي 15 ميلاً في الساعة.

يمكن لدانيكا أن تبحر بقاربها لمسافة 5 أميال في سرعة 7 أميال في الساعة في نفس الوقت الذي تستطيع فيه الإبحار 12 ميلاً مع رياح خلفية تبلغ 7 أميال في الساعة. ما هي سرعة قارب دانيكا بدون ريح؟

سرعة قارب دانيكا 17 ميلاً في الساعة.

في المثال التالي ، سنعرف الوقت الإجمالي الناتج عن السفر مسافات مختلفة بسرعات مختلفة.

تدربت جزمين لمدة 3 ساعات يوم السبت. ركضت 8 أميال ثم قطعت الدراجة لمسافة 24 ميلاً. سرعة ركوب دراجتها أسرع بـ 4 أميال في الساعة من سرعة ركضها. ما هي سرعتها في الجري؟

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

منذ نحلها واحصل على

السرعة السلبية لا معنى لها في هذه المشكلة ،

وبالتالي هو الحل.

8 ميلا في الساعة هي سرعة تشغيل معقولة؟ نعم فعلا.

إذا كان معدل تشغيل Jazmine هو 4 ، فإن معدل ركوبها للدراجة ،

الذي

ذهب دينيس للتزلج الريفي على الثلج لمدة 6 ساعات يوم السبت. تزلج 20 ميلا صعودا ثم 20 ميلا إلى أسفل المنحدر ، والعودة إلى نقطة البداية. كانت سرعته الشاقة 5 ميل في الساعة أبطأ من سرعة الانحدار. ماذا كانت سرعة دينيس صعودًا وسرعته تنخفض؟

كانت سرعة صعود دينيس 10 ميل في الساعة وسرعة انحدارها كانت 5 ميل في الساعة.

قاد جون السيارة لمدة 4 ساعات إلى منزله ، حيث قطع 208 أميال على الطريق السريع و 40 ميلًا على الطرق الريفية. إذا كان يقود سيارته بسرعة 15 ميلاً في الساعة على الطريق السريع مقارنةً بالطرق الريفية ، فما هو معدله على الطرق الريفية؟

معدل جون على الطرق الريفية هو 50 ميلاً في الساعة.

مرة أخرى ، سنستخدم صيغة الحركة الموحدة التي تم حلها للمتغير

ركب هاميلتون دراجته على المنحدر لمسافة 12 ميلًا على درب النهر من منزله إلى المحيط ثم ركب صعودًا للعودة إلى المنزل. كانت سرعته الشاقة 8 أميال في الساعة أبطأ من سرعة الانحدار. استغرق وصوله إلى المنزل ساعتين أكثر مما استغرقه للوصول إلى المحيط. اكتشف سرعة انحدار هاملتون.

هذه حالة حركة موحدة. سيساعدنا الرسم التخطيطي على تصور الموقف.

منذ نحلها واحصل على

هل 12 ميلا في الساعة سرعة معقولة لركوب الدراجات في المنحدرات؟ نعم فعلا.

ركبت كايلا دراجتها على بعد 75 ميلاً من الكلية إلى المنزل في عطلة نهاية أسبوع واحدة ثم استقلت الحافلة عائدة إلى الكلية. استغرقت عودتها إلى الكلية في الحافلة ساعتين أقل مما استغرقته للوصول إلى المنزل على دراجتها ، وكان متوسط ​​سرعة الحافلة 10 أميال في الساعة أسرع من سرعة ركوب كايلا للدراجات. اكتشف سرعة ركوب الدراجات في كايلا.

كانت سرعة ركوب الدراجات في كايلا 15 ميلاً في الساعة.

تهرول فيكتوريا مسافة 12 ميلاً إلى المنتزه على طول ممر مسطح ثم تعود بالركض على درب منحدر يبلغ طوله 20 ميلاً. ركضت مسافة ميل واحد في الساعة على درب التلال أبطأ مما كانت عليه في المسار المسطح ، وتستغرق رحلة عودتها ساعتين أطول. ابحث عن معدل ركضها على الطريق المسطح.

ركضت فيكتوريا 6 ميل في الساعة على الطريق المسطح.

حل تطبيقات العمل

تحتوي مجلة الشائعات الأسبوعية على قصة كبيرة عن طفل الأميرة ويريد المحرر طباعة المجلة في أسرع وقت ممكن. لقد طلبت من الطابعة تشغيل مطبعة إضافية لإنجاز الطباعة بسرعة أكبر. اضغط على # 1 يستغرق 6 ساعات للقيام بالمهمة ، ثم اضغط على # 2 يستغرق 12 ساعة للقيام بالمهمة. كم من الوقت ستستغرق الطابعة لطباعة المجلة مع تشغيل كلتا المطابع معًا؟

هذا هو تطبيق "عمل" نموذجي. هناك ثلاث كميات متضمنة هنا - الوقت الذي سيستغرقه كل من المطابعين للقيام بالمهمة بمفردهما والوقت الذي سيستغرقهما لأداء المهمة معًا.

إذا كان بإمكان الضغط على # 1 إكمال المهمة في 6 ساعات ، فستكتمل في ساعة واحدة من الوظيفة.

إذا كان بإمكان الضغط على # 2 إكمال المهمة في 12 ساعة ، فسيتم إكمالها في ساعة واحدة من الوظيفة.

سوف ندع ر هو عدد الساعات التي ستستغرقها المطابع لطباعة المجلات مع تشغيل كلتا المطابع معًا. لذلك في ساعة واحدة من العمل معًا قد أكملوا من الوظيفة.

يمكننا نمذجة هذا باستخدام معادلة الكلمة ثم ترجمتها إلى معادلة منطقية. للعثور على الوقت الذي ستستغرقه المطابع لإكمال المهمة إذا عملوا معًا ، قمنا بالحل

سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات. نحن نبحث عن عدد الساعات التي سيستغرقها إكمال المهمة مع تشغيل كلتا المطابع معًا.

اضغط على # 2 ، وعندما يعملان معًا.

إذا كانت الوظيفة في Press # 1 تستغرق 6 ساعات ، ففي غضون ساعة واحدة من العمل.

وبالمثل ، ابحث عن جزء من المهمة مكتمل / ساعات لـ Press # 2 وعندما يكون كلاهما معًا.

ضع في اعتبارك أنه يجب أن يستغرق الأمر وقتًا أقل لضغطتين لإكمال مهمة تعمل معًا مقارنة بالضغط على أي من الضغطتين للقيام بذلك بمفردهما.

افترض أن بيت يمكنه رسم غرفة في 10 ساعات. إذا كان يعمل بوتيرة ثابتة ، فسوف يرسم في غضون ساعة واحدة من الغرفة. إذا استغرقت أليسيا 8 ساعات لطلاء نفس الغرفة ، فسوف ترسم في غضون ساعة واحدة من الغرفة. كم من الوقت سيستغرق بيت وأليسيا لطلاء الغرفة إذا عملوا معًا (ولم يتدخل كل منهما في تقدم الآخر)؟

هذا تطبيق "عمل". سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات. نحن نبحث عن عدد الساعات التي سيستغرقها طلاء الغرفة معًا.

في ساعة واحدة فعل بيت من الوظيفة. فعلت أليسيا من الوظيفة. وفعلوا معًا من الوظيفة.

في ساعة واحدة من العمل معًا ، أكملوا من الوظيفة.

وبالمثل ، ابحث عن جزء الوظيفة

التي أكملتها أليسيا يساوي الإجمالي

اكتمل العمل بواسطة:

حتى نتمكن من تحويلها إلى ساعات

يمكن لبستاني واحد جز ملعب الجولف في 4 ساعات ، بينما يمكن لبستاني آخر جز ملعب الجولف نفسه في 6 ساعات. كم من الوقت سيستغرق إذا عمل البستانيان معًا لقص ملعب الجولف؟

عندما يعمل البستانيان معًا ، يستغرق الأمر ساعتين و 24 دقيقة.

تستطيع داريا إزالة الأعشاب الضارة من الحديقة في 7 ساعات ، بينما يمكن لأمها أن تفعل ذلك في 3. كم من الوقت سيستغرق عملهما معًا؟

عندما تعمل داريا ووالدتها معًا ، يستغرق الأمر ساعتين و 6 دقائق.

يمكن لرشون تنظيف المنزل في 7 ساعات. عندما تساعده أخته ، يستغرق الأمر 3 ساعات. كم تستغرق أخته من الوقت عندما تقوم بتنظيف المنزل بمفردها؟

هذه مشكلة عمل. سيساعدنا الرسم البياني في تنظيم المعلومات.

نحن نبحث عن عدد الساعات التي ستستغرقها أخت روشون لإكمال الوظيفة بنفسها.

الأخت وعندما يعملان معًا.

إذا كانت رحشون تستغرق 7 ساعات ، ففي غضون ساعة واحدة


حل المعادلات المنطقية

المعادلات العقلانية هي ببساطة معادلات ذات تعبيرات منطقية فيها. يمكننا استخدام التقنية الموضحة سابقًا لمسح كسور المعادلة المنطقية. بعد تصفية الكسور ، سنترك إما معادلة خطية أو تربيعية يمكن حلها كالمعتاد.

الخطوة 1: حلل القواسم إلى عوامل. الخطوة 2: تحديد القيود.
الخطوة 3: اضرب كلا الجانبين بواسطة شاشة LCD.
الخطوة 4: حل كالمعتاد. في هذه الحالة حل المعادلة التربيعية الناتجة.
الخطوة 5: تحقق من الإجابات مقابل القيود.

تنتج هذه العملية أحيانًا إجابات لا تحل المعادلة الأصلية ، لذلك من المهم للغاية التحقق منها. نصيحة: يكفي التحقق من أن الإجابات ليست قيودًا على مجال المعادلة الأصلية.

أ. حل

يعد تحديد شاشة LCD هو الخطوة التي يواجهها معظم الطلاب صعوبة. عند تحديد ماهية شاشة LCD ، استخدم واحدًا من كل عامل ، وتأكد من أنه عند ضربها يتم إلغاء كل المقامات ومسح الكسور. إذا لم يحدث ذلك ، فإن شاشة LCD غير صحيحة.

ب. حل

إذا ضربنا كلا الجانبين في شاشة LCD ، فسنوزعها بعد ذلك من خلال التعبير. يمكننا حفظ هذه الخطوة وضرب كل حد من التعبير المنطقي في شاشة LCD كما هو موضح أدناه.

من المغري ببساطة ضرب جميع عوامل المقام معًا للحصول على مضاعف مشترك. ستنجح هذه الطريقة ، لكنها عادةً ما تترك لنا معادلة مرهقة جدًا للعمل معها. إذا استخدمنا المضاعف المشترك الأصغر لجميع العوامل في المقامات ، فسنحصل على عوامل أقل في النهاية. خلاصة القول ، من الجدير قضاء الوقت الإضافي للعثور على شاشة LCD.

بعض المعادلات الحرفية غالبًا ما يشار إليها باسم الصيغ ، وهي أيضًا معادلات منطقية. استخدم تقنيات هذا القسم وامسح الكسور قبل حل المتغير المحدد.

ج. أوجد قيمة المتغير المحدد

مقلوب الرقم هو الرقم الذي نحصل عليه بقسمة 1 على هذا الرقم. غالبًا ما نفكر في المقلوب على أنه تبادل للبسط والمقام ، لكن هذا التعريف يخفق فينا عندما يكون الرقم المراد تبادله متغيرًا.


شاهد الفيديو: Solving Rational Equations (شهر اكتوبر 2021).