مقالات

8.1.4: تقدير الاحتمالات من خلال التجارب المتكررة


درس

لنقم ببعض التجارب.

التمرين ( PageIndex {1} ): الكسور العشرية على خط الأعداد

  1. حدد موقع هذه الأرقام وقم بتسميتها على خط الأعداد.
    1. (0.5)
    2. (0.75)
    3. (0.33)
    4. (0.67)
    5. (0.25)
  2. اختر أحد الأرقام من السؤال السابق. صِف لعبة يمثل فيها هذا الرقم احتمالية الفوز.

التمرين ( PageIndex {2} ): في المدى الطويل

تلعب ماي لعبة تربح فيها فقط إذا رميت 1 أو 2 بمكعب أرقام قياسي.

  1. ضع قائمة بالنتائج في مساحة العينة لدحرجة مكعب الأرقام.
  2. ما هو احتمال فوز ماي باللعبة؟ اشرح أسبابك.
  3. إذا تم منح ماي خيار قلب عملة والفوز إذا ظهرت على الوجه ، فهل هذا خيار أفضل لها للفوز؟
  4. ابدأ بسحب الشريط الرمادي أسفل شريط الأدوات لأسفل الشاشة حتى ترى الجدول في النافذة العلوية والرسم البياني في النافذة السفلية. يعرض هذا التطبيق الصغير رقمًا عشوائيًا من 1 إلى 6 ، مثل مكعب الأرقام. فازت مي بالأرقام 1 و 2 ، لكن يمكنك اختيار أي رقمين من 1 إلى 6. سجلهما في المربعات الموجودة في وسط التطبيق الصغير.
    انقر فوق الزر Roll لـ 10 لفات وأجب عن الأسئلة.
  5. ما الذي يبدو أنه يحدث للنقاط على الرسم البياني؟
    1. بعد 10 لفات ، ما هو الكسر من إجمالي اللفات الذي تم الفوز به؟
    2. ما مدى قرب هذا الكسر من احتمال فوز ماي؟
  6. قم بتدوير مكعب الأرقام 10 مرات أخرى. سجل نتائجك في الجدول وعلى الرسم البياني من وقت سابق.
    1. بعد 20 لفة ، ما هو الكسر من إجمالي اللفات الذي تم الفوز به؟
    2. ما مدى قرب هذا الكسر من احتمال فوز ماي؟

التمرين ( PageIndex {3} ): استحقاق الفوز

  1. لكل موقف هل تعتقد أن النتيجة مفاجئة أم لا؟ هل هو ممكن؟ كن مستعدًا لشرح أسبابك.
    1. تقلب العملة مرة واحدة ، وتهبط برؤوسك.
    2. تقلب العملة مرتين ، وتهبط برأسها في المرتين.
    3. تقلب العملة 100 مرة ، وتهبط في كل 100 مرة.
  2. إذا قمت بقلب العملة 100 مرة ، فكم عدد المرات التي تتوقع أن تهبط فيها العملة المعدنية؟ اشرح أسبابك.
  3. إذا قمت بقلب العملة 100 مرة ، فما هي بعض النتائج الأخرى التي لن تكون مفاجئة؟
  4. لقد قلبت العملة المعدنية 3 مرات ، وظهرت وجهًا لوجه مرة واحدة. الكسر التراكمي للرؤوس حاليًا هو ( frac {1} {3} ). إذا قمت بقلب العملة مرة أخرى ، فهل ستهبط رأسًا على عقب لتكوين الكسر التراكمي ( frac {2} {4} )؟

ملخص

يمثل احتمال حدث ما نسبة الوقت الذي نتوقع حدوثه على المدى الطويل. على سبيل المثال ، احتمالية هبوط العملة لأعلى بعد قلبها هو ( frac {1} {2} ) ، مما يعني أنه إذا قمنا بقلب عملة معدنية عدة مرات ، فإننا نتوقع أنها ستهبط على الوجه نحو نصف الوقت.

على الرغم من أن الاحتمال يخبرنا بما يجب أن نتوقعه إذا قمنا بقلب عملة معدنية عدة مرات ، فإن هذا لا يعني أنه من المرجح أن نحصل على الوجه إذا حصلنا على ثلاثة ذيول على التوالي. فرص الحصول على الوجه هي نفسها في كل مرة نقلب فيها العملة ، بغض النظر عن نتيجة التقلبات الماضية.

إدخالات المسرد

التعريف: فرصة التجربة

تجربة الصدفة هي شيء يمكنك القيام به مرارًا وتكرارًا ، ولا تعرف ما الذي سيحدث في كل مرة.

على سبيل المثال ، في كل مرة تقوم فيها بتدوير الدوار ، يمكن أن يهبط على الأحمر أو الأصفر أو الأزرق أو الأخضر.

التعريف: حدث

الحدث عبارة عن مجموعة من نتيجة أو أكثر في تجربة فرصة. على سبيل المثال ، إذا دحرجنا مكعبًا رقميًا ، فهناك ست نتائج محتملة.

أمثلة على الأحداث هي "تدوير رقم أقل من 3" ، أو "تدوير رقم زوجي" ، أو "تدوير رقم 5."

التعريف: النتيجة

نتيجة تجربة الصدفة هي أحد الأشياء التي يمكن أن تحدث عند إجراء التجربة. على سبيل المثال ، النتائج المحتملة لرمي عملة معدنية هي الرؤوس وذيول.

التعريف: الاحتمالية

احتمال وقوع حدث ما هو الرقم الذي يخبرنا بمدى احتمالية حدوثه. يعني احتمال 1 أن الحدث سيحدث دائمًا. يعني احتمال 0 أن الحدث لن يحدث أبدًا.

على سبيل المثال ، احتمال اختيار كتلة قمرية عشوائيًا من هذه الحقيبة هو ( frac {4} {5} ).

التعريف: عشوائي

تكون نتائج تجربة الصدفة عشوائية إذا كان من المحتمل حدوثها جميعًا بشكل متساوٍ.

التعريف: مساحة العينة

مساحة العينة هي قائمة بكل نتيجة محتملة لتجربة فرصة.

على سبيل المثال ، مساحة العينة لرمي عملتين هي:

الرؤوسذيول الرؤوس
رؤساء ذيولذيول ذيول
جدول ( PageIndex {2} )

ممارسة

تمرين ( PageIndex {4} )

لعبة الكرنفال بها 160 بطة مطاطية تطفو في بركة. يأخذ الشخص الذي يلعب اللعبة بطة واحدة وينظر إليها.

  • إذا كانت هناك علامة حمراء أسفل البطة ، فإن الشخص يفوز بجائزة صغيرة.
  • إذا كانت هناك علامة زرقاء أسفل البطة ، فإن الشخص يفوز بجائزة كبيرة.
  • العديد من البط ليس لها علامة.

بعد أن لعب 50 شخصًا اللعبة ، فاز 3 منهم فقط بجائزة صغيرة ، ولم يفز أي منهم بجائزة كبيرة.

قدّر عدد 160 بطة التي تعتقد أنها تحتوي على علامات حمراء في الأسفل. ثم قم بتقدير عدد البط الذي تعتقد أنه يحتوي على علامات زرقاء. اشرح أسبابك.

تمرين ( PageIndex {5} )

تريد لين معرفة ما إذا كان التقليب بمقدار ربع له حقًا احتمال ( frac {1} {2} ) لرؤوس الهبوط لأعلى ، لذلك تقلب الربع 10 مرات. تهبط رؤوسها 3 مرات وذيولها لأعلى 7 مرات. هل أثبتت أن الاحتمال ليس ( frac {1} {2} )؟ اشرح أسبابك.

تمرين ( PageIndex {6} )

يحتوي القرص الدوار على أربعة أقسام متساوية ، مع وجود حرف واحد من كلمة "MATH" في كل قسم.

  1. تقوم بتدوير القرص 20 مرة. كم مرة تتوقع أن تهبط على A؟
  2. تقوم بتدوير القرص 80 مرة. كم مرة تتوقع أنه سيهبط على شيء آخر غير "أ"؟ اشرح أسبابك.

تمرين ( PageIndex {7} )

يتم تدوير العجلة 40 مرة في كل لعبة. فيما يلي رسم بياني يوضح جزء الألعاب التي تم الفوز بها في ظل بعض الظروف.

تقدير احتمالية الفوز بالدوران في هذه اللعبة بناءً على الرسم البياني.

تمرين ( PageIndex {8} )

ما هو الحدث الأكثر احتمالًا: دحرجة مكعب أرقام قياسي والحصول على رقم زوجي ، أم قلب عملة معدنية وجعلها تهبط بشكل مباشر؟

(من الوحدة 8.1.2)

تمرين ( PageIndex {9} )

سيختار نوح حرفًا عشوائيًا من كلمة "الفلوت". سيختار لين حرفًا عشوائيًا من كلمة "CLARINET".

أي شخص من المرجح أن يختار الحرف "E"؟ اشرح أسبابك.

(من الوحدة 8.1.3)


8.1.4: تقدير الاحتمالات من خلال التجارب المتكررة

يمثل الاحتمال الاحتمال المتوقع لحدوث حدث لتجربة واحدة في تجربة ما.

  • بغض النظر عن المحاولات السابقة ، يجب أن تظل احتمالية كل قلب للعملة المعدنية أن يهبط بشكل متساوٍ مع ارتفاع ذيول.
  • من المحتمل أن يقوم لاعب كرة السلة الذي يميل إلى تنفيذ 75٪ من تسديداته الحرة برمييات حرة يحاولها ، ولكن هناك لا ضمان أنه سينفذ أي لقطة فردية ، حتى لو فاته عدد قليل منها على التوالي.

تقوم بإجراء تجربة فرصة عدة مرات وتسجل النتائج. كيف ترتبط هذه النتائج باحتمال وقوع حدث معين؟

  • يجب أن يكون جزء المرات الذي يقع فيه الحدث بعد العديد من التكرارات قريبًا إلى حد ما من الاحتمال المتوقع للحدث.

ما هو احتمال دحرجة 2 أو 3 أو 4 على مكعب رقم قياسي؟

تريد لف 2 أو 3 أو 4 على مكعب أرقام قياسي. إذا قمت بالتدحرج 3 مرات ولم ينتج عن أي منها 2 أو 3 أو 4 ، فهل يتغير احتمال الحصول على أحد هذه الأرقام مع اللفة التالية؟

احتمال الإصابة بالأنفلونزا خلال موسم الأنفلونزا هو ⅛. إذا كان لدى الأسرة 8 أفراد يعيشون في نفس المنزل ، فهل يضمن إصابة أحدهم بالأنفلونزا؟

  • لا ، من المحتمل جدًا ألا يصاب أي شخص بالأنفلونزا ، ومن المحتمل أيضًا أن يصاب أكثر من شخص بالأنفلونزا.

احتمال الإصابة بالأنفلونزا خلال موسم الأنفلونزا هو ⅛. إذا كان في بلد ما 8 ملايين شخص ، فما هو عدد الأشخاص الذين تتوقع إصابتهم بالإنفلونزا؟ هل يجب أن يكون هذا الرقم دقيقًا؟


  • أستطيع أن أشرح لماذا قد يكون من المفيد جمع البيانات على عينة من السكان.
  • عندما أقرأ أو أسمع سؤالًا إحصائيًا ، يمكنني تسمية السكان محل الاهتمام وإعطاء مثال لعينة لتلك المجموعة السكانية.
  • أتذكر أنه عندما يكون التوزيع غير متماثل ، فإن الوسيط هو تقدير أفضل للقيمة النموذجية من المتوسط.
  • يمكنني تحديد ما إذا كانت العينة تمثل مجموعة سكانية من خلال النظر في شكل ومركز وانتشار كل منها.
  • أعلم أن بعض العينات قد تمثل السكان بشكل أفضل من غيرها.

توزيع بيرت

توزيع PERT هو توزيع احتمالي مستمر يتم تحديده بواسطة الحد الأدنى (أ) ، والأرجح (ب) والقيم القصوى (ج) ، بمتوسط ​​(أو القيمة المتوقعة) لـ:

توزيع PERT هو في الواقع توزيع بيتا بأربعة معلمات محولة. توزيع بيتا له معلمتان α و β محددة في الفترة [0،1] ، مما يجعلها مفيدة لنمذجة الاحتمالات والمتغيرات العشوائية. إصدار المعلمات الأربعة لتوزيع بيتا يجعل الفاصل الزمني [أ ، ج] بدلاً من ذلك حيث يكون a هو الحد الأدنى و c هو القيمة القصوى.

تستطيع أن ترى أين يحدث هذا. باستخدام توزيع PERT لتعيين التقديرات ، يمكننا تقريب احتمالات التقديرات نفسها!

هذا يعني أنه بينما نطلب من المقدر تقديم القيم المتفائلة والمتشائمة والأكثر ترجيحًا للتقديرات ، يمكن أن تختلف القيمة الفعلية المتوقعة عن القيمة الأكثر احتمالًا ، ويمكننا معرفة مدى احتمالية أن تكون المهام أنجزت في غضون مدة أو ميزانية.

لكن هذا في الحقيقة لمهمة واحدة فقط. في المشروع ، بالطبع ، لدينا العديد والعديد من المهام وقد يكون لكل منها معلمات توزيع مختلفة لكل من a و b و c. إذا كنت مدير المشروع ، كيف يمكنك معرفة التقديرات والاحتمالات الإجمالية؟

حسنًا ، يمكننا أيضًا محاولة إجراء العمليات الحسابية ولكننا مبرمجون ، ولسنا علماء رياضيات (أقول هذا بطريقة جيدة) لذلك نتطلع إلى صديقنا القديم ، مونت كارلو.


أخذ العينات مع أو بدون استبدال

في بعض الأحيان قد نرغب في تكرار نفس التجربة عدة مرات ، مثل قلب عملة معدنية. متي تكرار التجارب، الافتراض الشائع هو أن نتيجة تجربة واحدة ليس لها أي تأثير على نتيجة التجارب الأخرى. بترتيب الكلمات ، التجارب مستقلة.

في مواقف الحياة الواقعية ، غالبًا ما نختار أشياء من مجموعة أكبر من السكان ونحللها. هناك طريقتان للقيام بذلك: أخذ العينات مع الاستبدال ، وأخذ العينات بدون استبدال.

عندما نتعاقب اختر مع الاستبدال، يمكن تكرار النتائج والتجارب مستقلة.

في المثال أدناه ، قمنا بتجربة كرتين من جرة بها كرتان ، واحدة صفراء والثانية زرقاء.

اذا نحن حدد بدون استبدال من الجرة ، لا يمكن تكرار النتائج والتجارب تعتمد.

في جميع الأمثلة حتى الآن ، كان الترتيب مهمًا. في بعض الأحيان الترتيب لا يهم، ونحن نهتم فقط بالمجموعة. بدلاً من العمل مع مجموعات النتائج المحتملة ، نتعامل مع مجموعة النتائج المحتملة.

على سبيل المثال ، إذا قمنا بقلب عملة معدنية مرتين ، فيمكننا الحصول على النتائج (الرأس ، الذيل) أو (الذيل ، الرأس). عندما لا يهم الترتيب ، فإن كلا النتيجتين يبنيان الحدث <(الرأس ، الذيل) ، (الذيل ، الرأس)>.

دعونا الآن نلقي نظرة على موقف آخر ، حيث نختار بطاقتين من مجموعة مع 6 بطاقات مع الاستبدال. عندما يكون الترتيب مهمًا ، يكون لدينا توزيع موحد ، مما يعني أن كل المجموعات الممكنة (1،1) ، (1،2) ، ... ، (6،6 ،) لها نفس احتمال حدوث 1/36.

ومع ذلك ، عندما لا يكون الترتيب مهمًا ، لم يعد التوزيع موحدًا بعد الآن ، كما هو موضح أدناه

دعونا نكرر نفس التجربة هذه المرة بدون استبدال. الآن ، التوزيع موحد ، كما هو موضح أدناه. يمكن أن يكون لطرق الترتيب وأخذ العينات تأثير كبير على الاحتمالات.


8.1.4: تقدير الاحتمالات من خلال التجارب المتكررة

الاحتمال / الإحصاء في الميراث

نحن نعلم أنه عندما يكون هناك شخصان متغاير الزيجوت من أجل جين ميندلي الصبغي الجسدي البسيط ألفا إنجاب طفل ، فإن احتمال أن يظهر الطفل النمط الظاهري السائد هو 3/4. دعنا نطرح سؤالا أكثر تعقيدا إلى حد ما. إذا كان لدى الزوجين أربعة أطفال ، فما هو احتمال أن 3 من الأربعة سيظهرون النمط الظاهري السائد؟ للإجابة على هذا ، سنشتق أولاً الصيغة المناسبة ثم نستخدمها لحساب الإجابة العددية. تسمح لنا الصيغة نفسها بفهم التوزيع الإحصائي المتوقع لأنماط النمط الظاهري المختلفة المحتملة في عائلات مكونة من أربعة أطفال (أو أي حجم آخر) في عدد كبير من السكان.


1. مراجعة: كيف يمكن حساب بعض الاحتمالات الإجمالية البسيطة من خلال الجمع بين "قواعد" الضرب والجمع التي تناولناها سابقًا؟

لنبدأ بحالة بسيطة للغاية: السؤال عن الاحتمالات بين الجنسين في العائلات المكونة من ثلاثة أطفال.

ما هو احتمال أن يكون جميع الأطفال الثلاثة في الأسرة من نفس الجنس؟
P (جميع الإناث) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
P (كل ذكور) = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
P (كل جنس واحد) = P (كل إناث) + P (كل ذكور) = 1/8 + 1/8 = 1/4

ما هو احتمال أن تكون الأسرة المكونة من ثلاثة أطفال فتاتان وصبي واحد؟
كل ترتيب ولادة محتمل له P = 1/8. أي ، P (G ، G ، B) = P (G ، B ، G) = P (B ، G ، G) = 1/8.
إذن ، P (2G، 1B) = 3/8 و P (1G، 2B) = 3/8.

هذا يسمح لنا بكتابة التوزيع العام لاحتمالية الجنس للعائلات المكونة من ثلاثة أطفال على النحو التالي:
1/8 سيكون ثلاث فتيات
3/8 سيكون فتاتان وصبي واحد
3/8 ستكون فتاة وصبيان
1/8 سيكون ثلاثة أولاد
بجمعها كلها ، لدينا 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1 (100٪)


2. كيف يمكننا فهم واستخدام & quot؛ مثلث باسكال & quot و "القاعدة العامة للمحاكمات المتكررة للأحداث ذات الاحتمالات الثابتة" ، الصيغة 1 (الصفحة 161 في الكتاب المدرسي)؟

ضع في اعتبارك البسط في الكسور في معادلة جنس الأسرة المكونة من ثلاثة أطفال أعلاه:
1 ، 3 ، 3 ، 1. هذه الأرقام هي معاملات توسيع المصطلح (p + q) تكعيب. بشكل عام ، تعطي معاملات أي توسع ذي حدين <المصطلح (p + q) المرفوع إلى أي قوة> & quotnumber ofways & quot أن شيئًا ما يمكن أن يحدث.

يوضح الشكل 4.21 ، "مثلث باسكال" ، هذه المعاملات لتمدد (p + q) مرفوعة إلى أي قوة تصل إلى 10. يمكن استخدام الأرقام الموجودة في أي صف كما هو موضح أعلاه. على سبيل المثال ، افترض أنه خلال العقدين المقبلين لديك 6 أطفال. هناك 64 أمرًا محتملاً للولادة بين الجنسين ، 20 منها ينتج عنها ثلاث فتيات وثلاثة أولاد.

المصطلحان p و q هما الاحتمالات الفردية لنتيجة محددة من & quot؛ حدث & quot. بالنسبة لحسابات "الجنس" ، فإن الاحتمالين p و q متساويان ، وكلاهما = 1/2 (الاحتمالات المتساوية للمواليد الذكور والإناث).

بالنسبة لنوع الحسابات "السائد: النمط الظاهري المتنحي" ، فإن p و q لن تكونا متساويتين في العادة. للحصول على ميراث مندلي بسيط من والدين متغاير الزيجوت ، فإن p سوف = 3/4 (إذا AA و أأ تعطي صفة سائدة) و q سوف = 1/4 (أأ يعطي النمط الظاهري المتنحية).

بتعميم هذا ، نصل إلى الصيغة الموجودة في الصفحة 161 في نصك والتي هي "القاعدة العامة للمحاكمات المتكررة للأحداث ذات الاحتمالات الثابتة". المصطلح (n! / s! t!) هو عدد الطرق (الطلبات) الممكنة للحصول على نتيجة صافية معينة (وإجمالي الحصة النسبية ن مع س من واحد و ر من الآخر & quot). يمكن حساب هذا الرقم أو أخذه مباشرة من مثلث باسكال.


3. مشكلة العينة: أنت ورفيقك كلاهما متغاير الزيجوت لبعض الجينات المندلية البسيطة ألفا (أي أن كل واحد منكم لديه نمط وراثي أأ، ويظهر كلاكما النمط الظاهري السائد) على الكروموسوم رقم 1. على مدار العقد التالي ، ستنجب أربعة أطفال. ما هو احتمال أن يظهر 3 من أطفالك النمط الظاهري السائد وأن يظهر أحدهم النمط الظاهري المتنحي؟ ما هي احتمالات النتائج الأخرى المحتملة؟

إذا كنا ننظر إلى الآلاف من هذه العائلات ، فإننا نعلم أن النسبة الإجمالية للأنماط السائدة إلى الأنماط الظاهرية المتنحية في الأطفال سوف تصل في المتوسط ​​إلى 3: 1 ، كما هو موضح في مربع Punnett البسيط. لكن بالنسبة للزوجين اللذين لديهما أربعة أطفال ، ما هو الاحتمال ، P (3D ، 1r)؟

لحساب P (3D ، 1r) ، نستخدم الصيغة 1 للحالة n = 4 ، s = 3 ، t = 1 ، p = 3/4 ، q = 1/4.
ف (ثلاثي الأبعاد ، 1 ص) = 4! / 3! × (3/4) تكعيب × (1/4) = 4 × (27/64) × 1/4 = .42 (42٪)

من خلال حساب الاحتمالات الأربعة الأخرى أيضًا ، يمكننا إنشاء رسم بياني يوضح التوزيع الإحصائي الذي تتوقع رؤيته في عدد كبير من السكان.

المشكلة S-4: & quot الوالدين غير المتجانسين لديهما ثلاثة أطفال & quot.

قم بتعديل نموذج المشكلة أعلاه لإجراء الحسابات لك ولرفيقك (كلاهما أأ) إنجاب ثلاثة أطفال. قم بحسابات الاحتمالات بأن جميع الأطفال الثلاثة ، أو اثنين ، أو واحد ، أو لا يظهر أي من الأطفال الثلاثة النمط الظاهري السائد من الجين ألفا. أنشئ الرسم البياني وقارن النتيجة بالرسم البياني & quotfour & quot المنجز في الفصل.


نبذة مختصرة

يعد التقدير الدقيق لأساليب القيادة أمرًا بالغ الأهمية لتصميم أنظمة مساعدة مفيدة للسائق وأنظمة التحكم في السيارة للقيادة الذاتية التي تتناسب مع طريقة قيادة الأشخاص. تقدم هذه الورقة طريقة جديدة لتحديد أسلوب القيادة ليس من حيث فترات أو ترددات حالات المناورة الفردية ، بل من حيث أنماط الانتقال بينها لمعرفة كيفية ارتباطها ببعضها البعض. تم تصنيف سلوك القيادة في حركة المرور على الطرق السريعة إلى 12 حالة مناورة ، بناءً على 144 (12 × 12) من احتمالية انتقال المناورة. تم استخدام طريقة تعظيم الاحتمال الشرطي لاستخراج أنماط انتقال مناورة نموذجية يمكن أن تمثل استراتيجيات أسلوب القيادة ، من الاحتمالات 144. تم اعتماد خوارزمية Random Forest لتصنيف أنماط القيادة باستخدام الميزات المختارة. أظهرت النتائج أنه يمكن استخدام التحولات المتعلقة بحالات المناورة الخمس - القيادة الحرة ، والاقتراب ، والاقتراب من المتابعة ، وتغيير الحارة اليسرى واليمنى المقيدة - لتصنيف أسلوب القيادة بشكل موثوق. تم تقديم مقارنات مع الطرق التقليدية ومناقشتها بالتفصيل لإظهار أن احتمالات الانتقال بين المناورات كانت أفضل في التنبؤ بأسلوب القيادة من ترددات المناورة التقليدية في التحليل السلوكي.


8.1.4: تقدير الاحتمالات من خلال التجارب المتكررة

      1. من بين $ A $ و $ B $ و $ C $ ، يحدث $ A $ فقط: $ A-B-C = A- (B cup C) $.
      2. يقع حدث واحد على الأقل من الأحداث $ A $ أو $ B $ أو $ C $: $ A cup B cup C $.
      3. يحدث $ A $ أو $ C $ ، لكن ليس $ B $: $ (A cup C) -B $.
      4. يحدث حدثان على الأكثر $ A $ أو $ B $ أو $ C $: $ (A cap B cap C) ^ c = A ^ c cup B ^ c cup C ^ c $.

      تظهر مخططات Venn في الشكل 1.19. الشكل 1.19 - مخططات فين لحل المشكلة 1.
    1. نرمى عملة حتى نرى ذيلتين متتاليتين. نسجل العدد الإجمالي لقذف العملات المعدنية.
    2. تحتوي الحقيبة على كرات 4 دولارات: واحدة حمراء ، وواحدة زرقاء ، وأخرى بيضاء ، وواحدة خضراء. نختار كرتين مميزتين ونسجل لونهما بالترتيب.
    3. يصل العميل إلى أحد البنوك وينتظر في الطابور. نلاحظ $ T $ ، وهو إجمالي الوقت (بالساعات) الذي ينتظره العميل في الطابور. يتبع البنك سياسة صارمة تقضي بعدم انتظار أي عميل أكثر من 20 دولارًا دقيقة تحت أي ظرف من الظروف.

    تذكر أن مساحة العينة هي مجموعة كل النتائج الممكنة. عادة ، عندما يكون لديك تجربة عشوائية ، هناك طرق مختلفة لتحديد مساحة العينة $ S $ اعتمادًا على ما تلاحظه كنتيجة. في هذه المشكلة ، يتم ذكر النتائج التي نلاحظها في كل تجربة لمساعدتك في تدوين مساحة العينة $ S $.

    1. نرمى عملة حتى نرى ذيلتين متتاليتين. نسجل العدد الإجمالي لإلقاءات العملة: هنا ، العدد الإجمالي لعمليات رميات العملة هو رقم طبيعي أكبر من 2 دولار أو يساوي 2 دولار. مساحة العينة هي $ S = <2،3،4، cdots >. $
    2. تحتوي الحقيبة على كرات 4 دولارات: واحدة حمراء ، وواحدة زرقاء ، وأخرى بيضاء ، وواحدة خضراء. نختار كرتين مميزتين ونسجل لونهما بالترتيب: يمكن كتابة مساحة العينة كـ $ S = <(R ، B) ، (B ، R) ، (R ، W) ، (W ، R) ، (R ، G) ، (G ، R) ، $ (B ، W) ، (W ، B) ، (B ، G) ، (G ، B) ، (W ، G) ، (G ، W) >. $
    3. يصل العميل إلى أحد البنوك وينتظر في الطابور. نلاحظ $ T $. من الناحية النظرية ، يمكن أن يكون $ T $ أي رقم حقيقي بين $ و $ frac <1> <3> = 20 $ دقيقة. وبالتالي ، $ S = big [0، frac <1> <3> big] = big | 0 leq x leq frac <1> <3> big >. $
    • دولار أ كوب ب كوب ج = س دولار ،
    • $ P (A) = frac <1> <2> $ ،
    • $ P (B) = frac <2> <3> $ ،
    • $ P (A cup B) = frac <5> <6> $.
    1. أوجد $ P (A cap B) $.
    2. هل تشكل $ A $ و $ B $ و $ C $ قسمًا من $ S $؟
    3. ابحث عن $ P big (C- (A cup B) big) $.
    4. إذا كان $ P (C cap (A cup B)) = frac <5> <12> $ ، فأوجد $ P (C) $.

    كما في السابق ، من المفيد دائمًا رسم مخطط Venn ، ومع ذلك ، نقدم هنا الحل دون استخدام مخطط Venn.

      باستخدام مبدأ استبعاد التضمين ، لدينا $ P (A cup B) = P (A) + P (B) -P (A cap B).

    ج- (أ كوب ب) $ $ = bigg (C cup (A cup B) bigg) - (A cup B) hspace <30pt> $
    $ = S- (A cup B) $ $ textrm <(منذ $ A cup B cup C = S $)> $
    $ = (A cup B) ^ c $.

    هكذا

    كما رأينا من قبل ، فإن مساحة العينة $ S $ بها عناصر 36 $.

    1. هذا مثال على نموذج احتمالية مستمرة. اكتب مساحة العينة $ S $.
    2. تأكد من أن العبارة الموجودة في الدليل منطقية من خلال إيجاد $ P (T geq 0) $ و $ lim_ الفوسفور (T geq t) $.
    3. تحقق أيضًا من ذلك إذا كان $ t_1 e ^ <- frac<5>> $ = P (T geq t_2) $ (بما أن $ f (x) = e ^ <(x)> $ دالة متزايدة). لدينا هنا حدثان ، $ A $ هو حدث $ T geq t_1 $ و $ B $ هو الحدث $ T geq t_2 $. أي ، $ A = [t_1، infty)، B = [t_2، infty). $ بما أن $ B $ مجموعة فرعية من $ A $ ، $ B مجموعة فرعية A $ ، يجب أن يكون لدينا $ P (B) leq P (A) $ ، وبالتالي $ P (A) = P (T geq t_1) geq P (T geq t_2) = P (B). $
    4. احتمال تعطل المنتج خلال ثلاث سنوات من وقت الشراء هو $ P (T
      مشكلة

    لقد رأيت هذا السؤال لأول مرة في مسابقة الرياضيات منذ عدة سنوات: تحصل على عصا وتقسمها بشكل عشوائي إلى ثلاث قطع. ما هو احتمال تكوين مثلث باستخدام القطع الثلاث؟ يمكنك افتراض أن نقاط الكسر قد تم اختيارها عشوائيًا ، أي إذا كان طول العصا الأصلية هو $ 1 وحدة ، و $ x ، y ، z $ هي أطوال القطع الثلاث ، ثم $ (x ، y ، z) يتم اختيار $ بشكل موحد من المجموعة $ <(x، y، z) in mathbb^ 3 | x + y + z = 1، x، y، z geq 0 >. $

    هذه مرة أخرى مشكلة في مساحة احتمالية مستمرة. الفكرة الأساسية بسيطة جدًا. أولاً ، نحتاج إلى تحديد مساحة العينة $ S $. في هذه الحالة ، ستكون مساحة العينة عبارة عن مجموعة ثنائية الأبعاد. ثانيًا ، نحتاج إلى تحديد المجموعة $ A $ التي تحتوي على النتائج المفضلة (مجموعة $ (x ، y ، z) $ في $ S $ التي تشكل مثلثًا). وأخيرًا ، نظرًا لأن المساحة موحدة ، فسنقسم مساحة المجموعة $ A $ على مساحة $ S $ للحصول على $ P (A) $.

    أولاً ، علينا إيجاد المجموعتين $ S $ و $ A $. هذه في الأساس مشكلة هندسية. المجموعتان ، $ S $ و $ A $ ، موضحة في الشكل 1.20.

    شكل 1.20 - مساحة العينة وتعيين $ A $ للمشكلة 6.

    لاحظ أنه في $ mathbbيمثل ^ 3 $، $ x + y + z = 1 $ طائرة تمر بالنقاط $ (1،0،0)، (0،1،0)، (0،0،1) $. للعثور على مساحة العينة $ S $ ، لاحظ أن $ S = <(x، y، z) in mathbb^ 3 | x + y + z = 1 ، x ، y ، z geq 0 > $ ، وبالتالي فإن $ S $ هو جزء المستوى الموضح في الشكل 1.20.

    للعثور على المجموعة $ A $ ، لاحظ أننا بحاجة إلى $ (x، y، z) $ لتلبية متباينة المثلث $ x + y & gt z، $ y + z & gt x، $ x + z & gt y. $ لاحظ أنه منذ $ x + y + z = 1 $ ، يمكننا كتابة المعادلات الثلاث بشكل مكافئ مثل $ x & lt frac <1> <2>، $ y & lt frac <1> <2>، $ z & lt frac <1> <2>. وبالتالي ، نستنتج أن المجموعة $ A $ هي المنطقة الموضحة في الشكل 20. وعلى وجه الخصوص ، نلاحظ أن المجموعة $ S $ تتكون من أربعة مثلثات بمساحات متساوية. لذلك ، مساحتها أربعة أضعاف مساحة $ A $ ، ولدينا $ P (A) = frac < textrmأ> < textrmS> = فارك <1> <4>. $


    الفرق بين الاحتمال التجريبي والاحتمال النظري

    يمكنك أن تجادل في نفس الشيء باستخدام النرد. على الرغم من أننا سنستخدم عملة معدنية لمساعدتك على رؤية الفرق.

    في الاحتمال النظري ، نقول إن "كل نتيجة متساوية في الاحتمال" بدون التجربة الفعلية. & # xa0 على سبيل المثال ، بدون & # xa0 تقليب عملة ، فأنت تعلم أن النتيجة يمكن أن تكون وجهًا أو طرفًا. & # xa0 إذا لم يتم تغيير العملة المعدنية ، فإننا نجادل بأن كل نتيجة (صورة أو ذيل) متساوية في الاحتمال. بعبارة أخرى ، نقول إنه من الناحية النظرية أو (الافتراض ، التخمين ، التكهنات ، الافتراض ، التخمين المتعلم) ، فإن احتمال الحصول على صورة شخصية هو 50٪ أو احتمال الحصول على ذيول بنسبة 50٪. نظرًا لأنك لم تقلب العملة فعليًا ، فأنت تقوم بافتراض قائم على المنطق.

    المنطق هو أن هناك نتيجتين محتملتين وبما أنك تختار واحدة من النتيجتين ، فإن الاحتمال هو 1/2 أو 50٪. هذا هو الاحتمال النظري أو التخمين الاحتمالية أو الاحتمال على أساس الافتراض.

    في الاحتمال التجريبي ، & # xa0 نريد إخراج عمل التخمين من الصورة ، من خلال إجراء التجربة لمعرفة عدد المرات التي ستظهر فيها الصورة أو البط البري. إذا قمت بقلب عملة معدنية 1000 مرة ، فقد تدرك أنها سقطت على الوجه 400 مرة فقط. في هذه الحالة ، فإن احتمال الحصول على رؤوس هو 40٪ فقط. & # xa0

    قد لا تُظهر تجربتك حتى ذيولًا إلا بعد الانقلاب الرابع ، ومع ذلك انتهى بك الأمر في النهاية بأكثر من ذيول من الرؤوس. & # xa0

    إذا كررت التجربة في يوم آخر ، فقد تجد نتيجة مختلفة تمامًا. قد تكون هذه المرة هبطت العملة على ذيول 400 مرة أو 300 مرة.

    كما ترى ، يعتمد الاحتمال التجريبي بشكل أكبر على الحقائق أو البيانات التي تم جمعها أو التجربة أو البحث!


    أمثلة محلولة على الاحتمالية التجريبية

    مثال 1: يوضح الجدول التالي تسجيل نتائج رمي نرد سداسي الجوانب 100 مرة.

    حصيلة تكرار
    1 14
    2 18
    3 24
    4 17
    5 13
    6 14

    أوجد الاحتمال التجريبي لـ: أ) دحرجة رقم أربعة ب) دحرجة رقم أقل من أربعة ج) دحرجة 2 أو 5

    المحلول:
    يتم حساب الاحتمال التجريبي بواسطة الصيغة: عدد مرات وقوع الحدث / إجمالي عدد المحاولات
    أ) دحرجة 4: 17/100 = 0.17


    شاهد الفيديو: الأحتمال والتوزيعات الأحتمالية الجزء الثاني للصف الثالث ثانوي الفصل الدراسي الثاني (شهر اكتوبر 2021).