مقالات

كتاب: كتاب تمهيدي للتحليل الحقيقي (Sloughter) - الرياضيات


هذه مقدمة قصيرة لأساسيات التحليل الحقيقي. على الرغم من قلة المتطلبات الأساسية ، فقد كتبت النص بافتراض أن القارئ لديه مستوى النضج الرياضي لمن أكمل التسلسل القياسي لدورات التفاضل والتكامل ، وتعرض لبعض أفكار البرهان الرياضي (بما في ذلك الاستقراء) ، ولديه التعرف على أفكار أساسية مثل علاقات التكافؤ والخصائص الجبرية الأولية للأعداد الصحيحة.

الصورة المصغرة: اللولب اللوغاريتمي لقشرة نوتيلوس هو صورة كلاسيكية تستخدم لتصوير النمو والتغيير المرتبطين بحساب التفاضل والتكامل. (CC BY-SA 3.0 ؛ عبر ويكيبيديا).


كتاب تمهيدي للتحليل الحقيقي بقلم دان سلوغتر

وصف:
هذه مقدمة قصيرة لأساسيات التحليل الحقيقي. على الرغم من قلة المتطلبات الأساسية ، فقد كتبت النص بافتراض أن القارئ لديه مستوى النضج الرياضي لمن أكمل التسلسل القياسي لدورات التفاضل والتكامل وكان لديه بعض التعرض لأفكار البرهان الرياضي.

قم بتنزيله أو قراءته عبر الإنترنت مجانًا هنا:
رابط التحميل
(2.5 ميجا بايت ، PDF)


تنشيط الرياضيات

يواجه الطلاب العائدون تحديًا إضافيًا يتمثل في محاولة تذكر المواد التي ربما لم يروها منذ سنوات. في العام & # 8217s الماضية ، أدى ذلك عادةً إلى الحاجة إلى إعادة الدورة التدريبية أو الدفع مقابل الدروس الخصوصية. الآن ، يمكن للطالب العائد أو أي شخص يحتاج إلى القليل من الممارسة الإضافية العثور على العديد من المواد للتعلم من الإنترنت. يمكنهم الدراسة بالسرعة التي تناسبهم أو اختيار الموضوعات التي يحتاجون لمراجعتها واختيارها.

قمت & # 8217 بتضمين جدول المحتويات لكل من كتب الرياضيات المدرسية المجانية الموجودة في قائمة الكتب المدرسية المجانية. نأمل أن يسهل ذلك التركيز على مواضيع محددة قد تحتاج إلى مراجعتها.


كتب مماثلة

التحليل الأولي الحقيقي
بواسطة B. S. Thomson ، J.B Bruckner ، A.M Bruckner - برنتيس هول
تمت كتابة الكتاب بأسلوب صارم ، لكنه ودود للقارئ مع مواد تحفيزية وتاريخية تؤكد على الصورة الكبيرة وتجعل البراهين تبدو طبيعية وليست غامضة. يقدم مفاهيم أساسية مثل نظرية مجموعة النقاط وغيرها.
(16559 الآراء) تحليل حقيقي لطلاب الدراسات العليا: قياس ونظرية التكامل
بواسطة ريتشارد ف. باس - CreateSpace
تقريبا كل دكتوراه. يحتاج الطالب في الرياضيات إلى إجراء اختبار تمهيدي أو مؤهل في تحليل حقيقي. يوفر هذا الكتاب الأدوات اللازمة لاجتياز هذا الاختبار. يقدم المؤلف المادة بطريقة واضحة قدر الإمكان.
(10686 الآراء) أدوات التحليل للطلاب الجامعيين
بواسطة بروس ك. درايفر - جامعة كاليفورنيا ، سان دييغو
المحتويات: الطبيعية ، والأعداد الصحيحة ، والعقلانية ، الحقول ، الأعداد الحقيقية ، مجموعة الأعداد المركبة ، العمليات ، والوظائف ، وحساب متسلسلات المسافات المترية والمجموع في فضاءات باناخ ، اعتبارات طوبولوجية ، حساب التفاضل في متغير حقيقي واحد.
(5162 الآراء) حساب التفاضل
بواسطة بيير شابيرا - جامعة باريس السادسة
تقدم الملاحظات عرضًا موجزًا ​​للمفاهيم الأساسية لحساب التفاضل. وجهة نظرنا هي الإعداد المجرد لفضاء معياري حقيقي ، وعند الضرورة للتخصص في حالة الفضاء ذي الأبعاد المحدودة الذي يتمتع بأساس.
(6634 الآراء)

كتاب تمهيدي للوظائف الحقيقية

هذه نسخة منقحة ومحدثة ومُعزَّزة بشكل كبير من كتاب Carus Monograph الكلاسيكي (أكثر الكتب مبيعًا لأكثر من 25 عامًا) حول نظرية وظائف المتغير الحقيقي. غطت الإصدارات السابقة من هذا Carus Monograph الكلاسيكي المجموعات والمساحات المترية والوظائف المستمرة والوظائف القابلة للتفاضل. تضيف الطبعة الرابعة أقسامًا حول المجموعات والوظائف القابلة للقياس ، وتكاملات Lebesgue و Stieltjes ، والتطبيقات. يحتفظ الكتاب بأسلوب الثرثرة غير الرسمي للإصدارات السابقة ، ويبقى في متناول القراء مع بعض التطور الرياضي وخلفية في حساب التفاضل والتكامل. وبالتالي فإن الكتاب مناسب إما للدراسة الذاتية أو للقراءة التكميلية في مقرر دراسي حول التفاضل والتكامل المتقدم أو التحليل الحقيقي. ليس المقصود منه أن يكون أطروحة منهجية ، فهذا الكتاب له طابع سلسلة من المحاضرات حول مجموعة متنوعة من الموضوعات المثيرة للاهتمام المرتبطة بوظائف حقيقية. العديد من هذه الموضوعات لا يتم مواجهتها بشكل شائع في الكتب المدرسية الجامعية: على سبيل المثال ، وجود وظائف متذبذبة مستمرة في كل مكان (عبر نظرية فئة Baire) ، نظرية الوتر العام ، وظيفتان لهما مشتقات متساوية ، ولكن لا يختلفان عن طريق ثابت وتطبيق Stieltjes التكامل مع سرعة تقارب السلاسل اللانهائية.

المراجعات

إنه لمن دواعي سروري أن أرى الإصدار الرابع من هذه الأحجار الكريمة المشهورة في جميع أنحاء العالم. هذا عمل مهم ، خاصة للمعلمين وحتى للطلاب (المدربين).

المصدر: Acta Sci. الرياضيات (سزجد)

أوصي بشدة بهذه الدراسة لتخصصات الرياضيات الذين يرغبون في مراجعة أو توسيع معرفتهم بالتحليل الحقيقي ، وللعاملين في المجالات الأخرى الذين يرغبون في معرفة النتائج الرئيسية للتحليل.


كتب المشكلات الموصى بها للتحليل الحقيقي للطلاب الجامعيين

لذلك أنا أحضر فصلًا تحليليًا في جامعتي وأريد كتابًا للمشاكل له.

الموضوعات المدرجة في خطة التدريس هي

الأعداد الحقيقية: مقدمة في حقل العدد الحقيقي ، التفوق ، الحد الأدنى ، بديهية الاكتمال ، الخصائص الأساسية للأرقام الحقيقية ، التوسع العشري ، بناء الأعداد الحقيقية.

المتتاليات والمتسلسلات: تقارب التسلسل ، متواليات كوشي وما يتبعها ، التقارب المطلق والمشروط لسلسلة لانهائية ، نظرية ريمان ، اختبارات مختلفة للتقارب.

طوبولوجيا مجموعة النقاط لـ: المجموعات المفتوحة والمغلقة الداخلية والحدود والإغلاق لمجموعة نظرية Bolzano-Weierstrass ، التعريف المتسلسل للضغط ونظرية Heine-Borel.

حد دالة: حد دالة ، خصائص أولية للحدود.

الاستمرارية: الدوال المستمرة ، الخصائص الأولية للوظائف المستمرة ، نظرية القيمة المتوسطة ، الاستمرارية المنتظمة ، خصائص الوظائف المستمرة المحددة في المجموعات المدمجة ، مجموعة من الانقطاعات.

أنا بالفعل أتابع مايكل ج. شرامز مقدمة في التحليل الحقيقي لنظريتي

لكن كتاب المشكلات الذي يحتوي على أسئلة متنوعة حول المفاهيم سيساعدني كثيرًا.

يرجى التوصية ببعض الكتب المشكلة.

ملاحظة: لقد طلبت بالفعل من أستاذي أن يوصي ببعض الكتب لكنه دائمًا ما يوصي بالطفل Rudin ولا يوفر أيضًا الكثير من المهام. أنا لا أتوافق مع كتاب رودين. كما أن اختباراته صعبة للغاية لأنه يريد منا إعداد أمثلة مضادة وأنا فقير جدًا في ذلك. لذلك أنا بحاجة إلى كتاب مشاكل جيد لإتقان التحليل الحقيقي.


الأساسيات

المجموعات والعلاقات

الأعداد الصحيحة

قال كرونيكر ذات مرة ، "لقد جعل الله الأعداد الصحيحة ، أما الباقي فهو عمل الإنسان." إذا أخذنا هذا كنقطة انطلاق ، فإننا نفترض وجود المجموعة

مجموعة الأعداد الصحيحة. علاوة على ذلك ، نفترض خصائص عمليات الجمع والإضافة المتعددة للأعداد الصحيحة ، جنبًا إلى جنب مع الخصائص الأولية الأخرى مثل النظرية الأساسية للحساب ، أي القول بأن كل عدد صحيح يمكن اعتباره عاملًا في حاصل ضرب الأعداد الأولية وهذا التحليل هو أساسًا فريدًا.

سنأخذ نظرة ساذجة للمجموعات: بالنظر إلى أي خاصية p ، قد نحدد مجموعة من خلال جمع كل الكائنات التي لها خاصية الخاصية. يمكن القيام بذلك إما عن طريق التعداد الصريح ، مثل ، p هي خاصية لكونها واحدة من a أو b أو c ، مما يؤدي إلى إنشاء المجموعة، أو عن طريق ذكر الخاصية المرغوبة ، مثل ، pis خاصية كونها عددًا صحيحًا موجبًا ، مما يؤدي إلى إنشاء المجموعة

يشير الترميز x∈A إلى أن هذا هو عنصر من عناصر المجموعة أ. بالنظر إلى مجموعات AandB ، نقول إن A هو مجموعة فرعية من B ، والمشار إليها A⊂B ، إذا كان من حقيقة أن x∈A فإنه يتبع بالضرورة x∈B. نقول إن المجموعات و B متساوية إذا كان كلاهما A andB و B A.

بالنظر إلى مجموعتين A و B ، نسمي المجموعة

اتحاد الأندب والمجموعة

تقاطع اندب. نسمي المجموعة

بشكل عام ، إذا كنت مجموعة و هي عبارة عن مجموعة من المجموعات ، واحدة من أجل

كل عنصر من عناصر أنا ، ثم لدينا الاتحاد

مثال 1.1.1. على سبيل المثال ، ifI = <2،3،4،. . .> ودعنا

i∈IAi هي مجموعة الأعداد الأولية.

إذا كان A و B كلا المجموعتين ، فإننا نسمي المجموعة

المنتج الجارتيزي من AandB. إذا أ = ب ، نكتب

Z ، n∈Z> هي مجموعة كل أزواج الأعداد الصحيحة المرتبة.

علاقات

بالنظر إلى المجموعتين A و B ، نسمي المجموعة الفرعية R لـ A × B علاقة. بالنظر إلى علاقة R ، سنكتب a∼Rb ، أو ببساطة a∼b ifR واضحًا من السياق ،

مثال 1.1.3. نقول أن عددًا صحيحًا يقسم و إنجيجرنيفن = ميفور بعض صحيح. إذا سمحنا

ضع في اعتبارك المجموعة أ والعلاقة R ⊂A2. لأغراض الإيجاز ، نحن

قل ببساطة أن R هي علاقة مع A. IfRis مثل "Rafor everya" ،

نقول أن R انعكاسية إذا كانت R هكذا ب ∼R a كلما أ ∼R ب ، نقول أن R

متماثل ifa∼Rb andb∼Rct معًا تدل على a∼Rc ، نقول إعادة متعدية.

نسمي العلاقة الانعكاسية والمتناظرة والمتعدية علاقة التكافؤ.

تمرين 1.1.1. تبين أن العلاقة رونضالتي حددتها ∼Rnifm تقسم

نيس انعكاسي ومتعدد ، لكن ليس متماثلًا.

تمرين 1.1.2. بيّن أن العلاقة R onZ المعرفة بواسطة m∼Rnifm − nis

حتى هي علاقة تكافؤ.

بالنظر إلى علاقة التكافؤ R على مجموعة A وعنصر x∈A ، فإننا نسميها

تمرين 1.1.3. بالنظر إلى علاقة التكافؤ على المجموعة أ ، أظهر ذلك

كنتيجة للتمرين السابق ، فإن فئات التكافؤ لعلاقة التكافؤ في مجموعة أ تشكل فصلًا عن أ (أي ، يمكن كتابتها على أنها اتحاد منفصل لفئات التكافؤ).

تمرين 1.1.4. أوجد فئات التكافؤ لعلاقة التكافؤ في التمرين 1.1.2.

المهام

إذا تم تعيين A و B ، فإننا نسمي العلاقة R⊂A × B دالة مع المجال A إذا كان لكل a∈A واحدة ، وواحدة فقط ، b ∈B مثل (أ ، ب) ∈R. نشير عادةً إلى مثل هذه العلاقة بالتدوين f: A → B ، واكتب f (a) = b للإشارة إلى أن (أ ، ب) ∈ R. نسمي مجموعة كل b ∈ B بحيث أن f (a) = ب لشيء ما مدى f. باستخدام هذا الترميز ، غالبًا ما نشير إلى R باسم thegraph off.

نقول: A → Bisone-to-oneif لكل واحد في النطاق الموجود خارج النطاق يوجد فريد من نوعه - مثل هذا (أ) = ب. نحن نقول أن كل شيء موجود على الأقل مرة واحدة مثل هذا (أ) = ب. على سبيل المثال ، الوظيفة f:ض+

المعرفة بواسطة f (z) = z2هو واحد لواحد ، ولكن ليس على ، في حين أن الوظيفةF :

Z → Z محدد بواسطة f (z) = z + 1 هو واحد لواحد وعلى حد سواء.

بالنظر إلى وظيفتين ، g: A → B andf: B → C ، نحدد التركيبة ، والمشار إليها f g: A → C ، لتكون الوظيفة المحددة بواسطة f◦g (a) = f (g (a)).

إذا كان f: A → B هو واحد لواحد وعلى حد سواء ، فيمكننا تحديد وظيفة f − 1 : ب أعن طريق الطلب F−1(ب) = أإذا وفقط إذا F(أ) =ب. لاحظ أن هذا

بالنظر إلى أي مجموعة من المجموعات غير الفارغة ،، α∈I ، نفترض وجود

α∈IAα ، مع الخاصية التي (α) ∈Aα. نحن

استدعاء مثل هذه الوظيفة وظيفة الاختيار. يُعرف الافتراض بأن وظائف الاختيار موجودة دائمًا باسم محور الاختيار.

أرقام نسبية

دع P = <(p، q): p، q ∈ض، ف 6 = 0>. نحدد علاقة التكافؤ onP بالقول (p ، q) ∼ (s ، t) ifpt = qs.

تمرين 1.3.1. أظهر أن العلاقة كما تم تعريفها للتو هي في الواقع علاقة تكافؤ.

سنشير إلى فئة التكافؤ (p ، q) P byp / q ، أو pف. نسمي مجموعة جميع فئات التكافؤ للأرقام العلاجية ، والتي نشير إليهاس. Ifp∈Z ، سوف نشير إلى فئة التكافؤ (p ، 1) byp ، أي أننا نسمح بذلك

بهذه الطريقة ، قد نفكر فيضكمجموعة فرعية منس.

خصائص الحقل

نرغب في تحديد عمليات الجمع والضرب على عناصر س. نبدأ بتحديد العمليات على عناصر P. على وجه التحديد ، معطى (p ، q) P و (s ، t) ∈P ، حدد

افترض الآن (p، q) ∼ (a، b) and (s، t) ∼ (c، d). ويترتب على ذلك (p ، q) ⊕ (s ، t) ∼ (a ، b) ⊕ (c ، d) ، أي (pt + sq ، qt) ∼ (ad + cb ، bd) ، منذ ذلك الحين

(pt + sq) bd = pbtd + sdqb = qatd + tcqb = (ad + cb) qt. (1.3.4)

علاوة على ذلك ، (p ، q) ⊗ (s ، t) ∼ (a ، b) ⊗ (c ، d) ، أي (ps ، qt) ∼ (ac ، bd) ، منذ ذلك الحين

يوضح هذا أن فئة التكافؤ لمجموع أو منتج ما تعتمد فقط على فئات التكافؤ للعناصر التي يتم إضافتها أو مضاعفتها. وهكذا يمكننا تحديد عمليات الجمع والضربسبواسطة

ولن تعتمد النتائج على الممثلين الذين نختارهم لكل فئة معادلة. بالطبع ، غالبًا ما يتم الإشارة إلى الضرب باستخدام التجاور ، أي

ويمكن الإشارة إلى الضرب المتكرر من خلال الأس ، أي أن ، a∈Qandn∈Z + ، يمثل حاصل ضرب في حد ذاتهأوقات.

لاحظ أنه إذا (p ، q) ∈P ، ثم (−p ، q) ∼ (p ، q). ومن ثم ، إذا كانت a = pف ∈Q ، ثم نسمح

لأنيا ، بوس، سنكتب − bto للدلالة على + (−b). Ifa = صف ∈Qwithp6 = 0 ، ثم نترك

من السهل الآن إظهار ذلك

مجتمعة ، هذه البيانات تعني ذلكسهو مجال.

خصائص النظام والقياس

نقول عددًا منطقيًا إيجابيًا إذا كان موجودًا ، q∈Z + مثل ذلك أ = pq.

نشير إلى مجموعة جميع العناصر الإيجابية لـسبواسطةس+.

بالنظر إلى أ ، بس، نقول إنها أقل من b ، أو على نحو مكافئ ، bis أكبر من a ، يُشار إليها إما بـ & lt bor b & gt a ، إذا كانت b − a موجبة. على وجه الخصوص ، a & gt 0 إذا وفقط إذا كانت a موجبة. إذا & lt 0 ، نقول إن a سلبي. نكتب a ≤b ، أو على نحو مكافئ ، b≥a ، إذا eithera & lt b ora = b.

تمرين 1.3.2. أظهر أنه بالنسبة لأي a Q ، يجب أن يحمل واحد فقط مما يلي: (أ) a & lt0 ، (ب) أ = 0 ، (ج) أ & gt0.

تمرين 1.3.3. أظهر أن ifa ، b∈Q + ، thena + b∈Q +.

تمرين 1.3.4. من المفترض ، ب ، c∈Q. اعرض كلًا مما يلي: أ. واحد ، وواحد فقط ، مما يلي يجب أن يحمل:

تمرين 1.3.5. أظهر أن ifa و b∈Qwitha & gt0 andb & lt0، thenab & lt0.

تمرين 1.3.6. أظهر أن ifa و b و c∈Qwitha & lt b ثم ac & lt bcifc & gt0 و ac & gt bcifc & lt0.

تمرين 1.3.7. أظهر أن ifa ، b∈Qwitha & lt b ، ثم

نتيجة للتمرين 1.3.4 نقولسهو حقل مرتب. من أجل anya∈س، نحن نتصل

تمرين 1.3.8. أظهر ذلك لـ anya∈Q ، - | a | ≤a≤ | أ |.

الاقتراح 1.3.1. لأنيا ، بوس، | a + b | ≤ | أ | + | ب |.

كلا المصطلحين على اليمين غير سلبيين من خلال التمرين 1.3.8. ومن ثم فإن المجموع غير سلبي ويتبع الاقتراح. Ifa + b & lt0 ، إذن

مرة أخرى ، كلا المصطلحين على اليمين غير سلبيين من خلال التمرين 1.3.8. ومن ثم فإن المجموع غير سلبي وتتبع النظرية. Q.E.D.

من السهل الآن إظهار أن القيمة المطلقة مرضية

1. | أ − ب | ≥0 لـ alla ، b∈Q ، مع | a − b | = 0 فقط ifa = b ،

لاحظ أن العبارة الأخيرة ، والمعروفة باسم متباينة المثلث ، تأتي من الكتابة

وتطبيق الاقتراح السابق. تظهر هذه الخصائص أن الوظيفة

متري ، وسوف نطلق على | a − b | المسافة من atob. من المفترض ، ب ∈س+ مع أ & lt ب واسمحواص ، ف ، ص ، ق

إذا اخترنا n كبير بما يكفي بحيث nps − rq & gt 0 ، فسيتبع ذلك na − b & gt 0 ، أي na & gt b. نقول أن المجال المرتب سisarchimedean. لاحظ أنه يترتب على ذلك أيضًا أننا قد نختار تكبيرًا كافيًا لضمان أن ب

الحدود العليا والسفلى

التعريف 1.3.1. LetA⊂Q. إذا كان هذا هو الحال بالنسبة للجميع ، فإننا نسميها واحدة ملزمة. إذا كان الحد الأعلى لـ: مع الخاصية التي تكون عندما يكون الرجوع هو الحد الأعلى لـ A ، فإننا نسمي sthe supremum ، أو الحد الأعلى الأدنى لـ A ، يُشار إليه = supA. وبالمثل ، إذا كان r∈Q مثل هذا r≤afor everya∈A ، فإننا نسميها منضم forA. Ifris هو الحد الأدنى لـ A مع الخاصية التي تكون عندما يكون المنعكس حدًا أدنى لـ A ، فإننا نسمي r الحد الأدنى ، أو الحد الأدنى الأدنى لـ A ، يشير إلى = infA.

تمرين 1.3.9. بيِّن أن السمة العليا للمجموعة A⊂Q ، إن وجدت ، فريدة من نوعها ، وبالتالي تبرر استخدام مقالة التعريف في التعريف السابق.

المجموعة التي لا تحتوي على حد أعلى لن يكون لها ، بالأحرى ، أم فائقة. علاوة على ذلك ، حتى المجموعات التي لها حدود عليا لا تحتاج إلى أم فائقة.

مثال 1.3.1. Qdoes ليس له حد أعلى.

مثال 1.3.2. ضع في اعتبارك المجموعة

Q + witha2 & gt2 ، ثم يمثل حدًا أعلى لـ A. على سبيل المثال ، 4 هو الحد الأعلى لـأ.

افترض 2 & lt2 ودع = 2 − s2. من خلال خاصية أرخميدس من Q ، قد نختار Z + هكذا

2s + 1 n & lt ، ومنه يتبع ذلك

ن ، هذا يتعارض مع الافتراض

إذا سمحنا بـ = s2−2 ، فقد نختار +Z + لذلك

Thussن1 هو الحد الأعلى لـ A و 1ن & lt s ، يتناقض مع الافتراض بأن s = supA.

وبالتالي يجب أن نمتلك 2= 2. ومع ذلك ، هذا مستحيل في ضوء

اقتراح المتابعة. ومن هنا يجب أن نستنتج أن الآدوس ليس له سمو.

الاقتراح 1.3.2. لا توجد أرقام منطقية مع الخاصية التي s2= 2.

دليل - إثبات. لنفترض وجود∈سمثل هذا 2= 2. اخترأ ، ب

Z + بحيث تكون أولية نسبيًا (أي ليس لها عامل مشترك سوى 1) و s = a

لذا a2 = 2b2. وبالتالي ، a2 ، و hencea ، هو عدد صحيح زوجي. لذلك يوجد c∈Z + مثل أن أ = 2 ج. بالتالي

والتي يتبعها أن b2 = 2c ، وبالتالي فإن b هي أيضًا عدد صحيح زوجي. لكن هذا يتناقض مع الافتراض القائل بأن aandb أساسيان نسبيًا. Q.E.D.

تمرين 1.3.10. بيّن أنه لا توجد أرقام منطقية مع الخاصية التي s2 = 3.

تمرين 1.3.11. أظهر عدم وجود أرقام منطقية مع الخاصية التي s2= 6.

1. أظهر أن ifa∈Aandb & lt a ، thenb∈A.

المتتاليات

التعريف 1.3.2. افترض Z ، أنا =، و Ais مجموعة. نسمي الدالة: I → Aasequence مع القيم inA.

في كثير من الأحيان ، سوف نحدد التسلسل عن طريق تحديد قيمه مع تدوين مثل ، على سبيل المثال ، <ϕ(i)>أنا أو <ϕ(i)>∞i = ن. وهكذا ، على سبيل المثال ، ∞i = 1

معرف Z بواسطة (i) = i2. علاوة على ذلك ، من المعتاد الإشارة إلى قيم تسلسل باستخدام تدوين منخفض. وبالتالي ifai = ϕ (i) ،

أنا ∈ أنا إذنأنا أشير إلى التسلسل ϕ. على سبيل المثال ، قد نحدد الامتداد

تسلسل المثال السابق بالكتابة ai = i2، i = 1،2،3. . ..

التعريف 1.3.3. يفترضأنا هو تسلسل مع القيم في Q. نقول ذلك أنا أتقارب ، ولدي حد L ، L ∈ Q ، إذا كان هناك N for لكل ∈ Q +ضمثل ذلك

إذا كان التسلسلأنا أتقارب إلى ل ، نكتب

1 i = 0 ، منذ ذلك الحين ، لأي رقم منطقي & gt0 ،

بالنسبة إلى anyi & gt N ، حيث N هي أي عدد صحيح أكبر من 1.

التعريف 1.3.4. يفترض أنا هو تسلسل بقيم في Q. نحن نسميها أنا aCauchy تسلسل إذا كان لكل +Q + ، هناك N ∈ Z مثل هذا

| ai − ak | & lt كلما كان على حد سواء & gt N andk & gt N. (1.3.22)

الاقتراح 1.3.3. لوأنا أتقارب إذن أنا تسلسل كوشي.

بالنسبة لـ alli & gt N. ثم بالنسبة إلى anyi ، k & gt N ، لدينا

2 =. (1.3.24) ومن ثمأنا تسلسل كوشي. Q.E.D.

ضع في اعتبارك التسلسل الذي تم إنشاؤه على النحو التالي: ابدأ بتحديد a1 = 1 ،

b1 = 2 ، و x1 = 32. Iff (a1) f (x1) & lt0 ، مجموعة

2 ، a2 = a1 ، و b2 = x1 وإلا فقم بتعيين

a2 = x1 ، و b2 = b1. بشكل عام ، معطى a ، xn ، و bn ، iff (an) f (xn) & lt0 ، مجموعة

2 ، an + 1 = an ، و bn + 1 = xn خلاف ذلك ، ضعها

an + 1 = xn ، و bn + 1 = bn. لاحظ أنه لأي عدد صحيح موجب N و f (aN) & lt0 ،

لجميع i، k & gt N. ومن ثم إعطاء أي ∈س+، إذا اخترنا عددًا صحيحًان مثل ذلك

لجميع i ، k & gt N ، مما يدل على ذلك ∞i = 1 هو تسلسل كوشي. افترض الآن

∞i = 1 تتقارب إلى Q. لاحظ أنه يجب أن يكون لدينا

ومن ثم فإن bN & lt t ، مما يعني أن f (bN) & lt 0 ، يتعارض مع البناء

من ∞i = 1. ومن ثم يجب أن يكون لدينا f (s) و gt0. ولكن إذا كانت f (s) و gt0 ، فهذا يعني وجودها

مما يعني ضمنا أن thatf (aN) و gt0 يتعارض مع بناء∞i = 1. ومن ثم نحن

must havef (s) = 0 ، وهو أمر غير ممكن منذ s∈س. وبالتالي يجب أن نستنتج ذلك∞i = 1 لا تتقارب.

أرقام حقيقية

لنفترض أن C هي مجموعة كل متواليات كوشي للأرقام المنطقية. نحدد العلاقة على C على النحو التالي: إذا أنا و j∈J هي متواليات كوشي في Q ، إذنأنا ∼ j∈J ، والتي سنكتبها بشكل أكثر بساطة asai ifbi ، إذا كانت لكل منها

رقم منطقي & gt0 ، يوجد عدد صحيح N مثل ذلك

في أي وقت ، من الواضح أن هذه العلاقة انعكاسية ومتناظرة. لتوضيح أنها متعدية أيضًا ، وبالتالي علاقة تكافؤ ، من المفترض أن

ثنائية ∼ci. معطى Q + ، اختر N بحيث يكون ذلك

بالنسبة لـ alli & gt M. يكون LetL هو الأكبر من N و M. ثم بالنسبة لـ alli & gt L ،

التعريف 1.4.1. باستخدام علاقة التكافؤ التي تم تعريفها للتو ، نسمي مجموعة فئات التكافؤ لأرقام C الحقيقية ، المشار إليها R.

لاحظ أنه إذا كانت a ∈ Q ، فقد نحدد a مع فئة التكافؤ في التسلسل ∞i = 1 حيث bi = a ، i = 1،2،3 ،. . . ، وبالتالي اعتبر Q مجموعة فرعية منر.

تمرين 1.4.1. يفترضأنا وi∈J هي متواليات في Q مع ليم

خصائص الحقل

يفترض أنا و j∈J كلاهما متواليات كوشي من الأرقام المنطقية.

دع K = I∩J وحدد تسلسلًا جديدًا k∈K بإعداد sk = ak + bk.

بالنظر إلى أي قيمة منطقية & gt0 ، اختر الأعداد الصحيحة N و M مثل | ai − aj | & lt

بالنسبة لـ alli ، j & gt M. IfL هو أكبر من N و M ، إذن ، لـ alli ، j & gt L ، | si − sj | = | (ai − aj) + (bi − bj) | ≤ | ai − aj | + | ثنائي − bj | & lt

2 =، (1.4.7) تبين ذلك k∈K هو أيضًا تسلسل كوشي. علاوة على ذلك ، افترض أن ai ∼ci

andbi∼di. معطى Q + ، اختر N بحيث يكون | ai − ci | & lt

لـ alli & gt N واختر M بحيث

بالنسبة لـ alli & gt M. IfL هو أكبر من N و M ، إذن ، لـ alli & gt L ، | (ai + bi) - (ci + di) | ≤ | ai − ci | + | ثنائي di | & lt

2 =. (1.4.10) ومن ثم ai + bi∼ci + di. وهكذا ifu ، v∈R ، مع ubeing فئة التكافؤ أنا و v كونهما فئة التكافؤj∈J ، ثم يمكننا ذلك

حدد بشكل لا لبس فيه u + v ليكون فئة التكافؤi∈K ، حيث K = I∩J.

يفترضأنا وj∈Jare كلا متواليات كوشي من الأرقام المنطقية.

دع K = I∩J وحدد تسلسلًا جديدًا k∈K عن طريق ضبط pk = akbk. يترك

يكون B & gt0 حدًا أعلى للمجموعة <| ai |: i∈I> ∪ <| bj |: j∈J>. معطى & gt0 ،

اختر الأعداد الصحيحة N و M بحيث يكون | ai − aj | & lt

بالنسبة لـ alli ، j & gt M. IfL هو أكبر من N و M ، إذن ، لـ alli ، j & gt L ، | pi − pj | = | aibi − ajbj |

بالتاليk∈K هو تسلسل كوشي.

افترض الآن أنا و i∈G هي متواليات كوشي مع ∼ci و

ثنائي ∼di. يكون LetB & gt0 حدًا أعلى للمجموعة <| bj |: j ∈J> ∪ <| ci |: i∈H>.

معطى & gt0 ، اختر الأعداد الصحيحة N و M مثل ذلك

بالنسبة لـ alli & gt M. IfL هو أكبر من N و M ، إذن ، بالنسبة لـ alli & gt L ،

Henceaibi∼cidi. وبالتالي ifu ، v ∈R ، مع استبعاد فئة التكافؤأنا

و vbeing فئة التكافؤj∈J ، إذن قد نحدد بشكل لا لبس فيه

uv لتكون فئة التكافؤ i∈K ، حيث K = I∩J.

إذا شر، نحدد − ش = (−1) ش. لاحظ أنه إذا كانأنا تسلسل كوشي

من الأعداد المنطقية في فئة التكافؤ لـ u ، ثم i∈I هو Cauchy

التسلسل في فئة التكافؤ لـ − ش.

سوف نقول أن تسلسل أنا مقيد بعيدًا عن الصفر إذا كان موجودًا

رقم منطقي δ & gt0 وعدد صحيح N مثل ذلك | ai | & gt δ لجميع i & gt N.

يجب أن يكون واضحًا أن أي تسلسل يتقارب إلى 0 لا يتم تقييده بعيدًا عن 0. علاوة على ذلك ، وكنتيجة للتمرين التالي ، يجب تقييد أي تسلسل Cauchy الذي لا يتقارب إلى 0 بعيدًا عن 0.

تمرين 1.4.2. يفترضأنا تسلسل كوشي غير محدود

بعيدًا عن 0. أظهر أن التسلسل يتقارب ويحد

تمرين 1.4.3. يفترضأنا عبارة عن تسلسل كوشي محدد بعيدًا

من 0 andai∼bi. اظهر ذلكj∈J يحد أيضًا من 0.

افترض الآن أنا عبارة عن تسلسل كوشي محدد بعيدًا عن الصفر

واختر & gt0 andN بحيث | ai | & gt δ للجميع i & gt N. تحديد تسلسل جديد

للجميع i، j & gt M. لنكن L أكبر من N و M. ثم ، بالنسبة للجميع i، j & gt L ، لدينا

بالتالي ∞i = N + 1 هو تسلسل كوشي.

افترض الآنj∈J هو تسلسل كوشي مع bi. عن طريق التمرين 1.4.3

نحن نعرف ذلكj∈ يحد أيضًا من الصفر ، لذا اختر & gt0 و K.

أن | bj | & gt γ for allj & gt K. Given & gt0 ، اختر P بحيث

لجميع i & gt P. لنكن S أكبر من N و K و P. ثم ، بالنسبة لجميع i و j & gt S ، لدينا 1 ai -

ثنائية. وبالتالي فإن ifu6 = 0 هو رقم حقيقي وهو فئة التكافؤ

أنا (محدد بالضرورة بعيدًا عن الصفر) ، ثم يمكننا تحديده

لتكون فئة التكافؤ

حيث تم اختيار N بحيث | ai | & gt δ لـ alli & gt N و someδ & gt0.

خصائص النظام والقياس

التعريف 1.4.2. نظرا شر، نقول أن هذا هو موجب ، مكتوب و GT 0 ، ifu هو فئة التكافؤ لتسلسل كوشي أنا الذي يوجد من أجله

عدد منطقي & gt 0 وعدد صحيح N مثل thatai & gt لكل i & gt N. A

رقم حقيقي u∈ر يُقال إنها مفيدة إذا كانت −u & gt0. نحن نسمحر+ تدل على المجموعة

لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة.

تمرين 1.4.4. أظهر أن ifu∈ر، إذن واحد فقط مما يلي صحيح: (أ) u & gt0 ، (ب) u & lt0 ، أو (ج) u = 0.

تمرين 1.4.5. أظهر أن ifa ، b∈R + ، thena + b∈R +.

التعريف 1.4.3. بالنظر إلى الأعداد الحقيقية u و v ، نقول إن u أكبر من v ، أو الكتابة u و gt v ، أو ، على نحو مكافئ ، vislessthanu ، المكتوبة ، v & lt u ، ifu − v & gt0. نكتب u≥v ، أو على نحو مكافئ ، v ≤u ، للإشارة إلى أن هذا الرمز إما أكبر من أو يساوي v. نقول هذاأسلوب غير سلبي ifu≥0.

تمرين 1.4.6. أظهر أن هذا هو حقل مرتب ، أي تحقق مما يلي:

أ. بالنسبة إلى anya ، b∈R ، يجب أن يحمل واحد فقط مما يلي: (1) a & lt b ، (ii) a = b ، (iii) a & gt b.

ب. Ifa، b، c∈رمع & lt bandb & lt c، thena & lt c.

ج. Ifa، b، c∈Rwitha & lt b، thena + c & lt b + c.

د. إيفا ، برwitha & gt0 andb & gt0، thenab & gt0.

تمرين 1.4.8. أظهر أنه إذا كان a ، b ، c∈رمع & lt ب ، ثم ac & lt bcifc & gt0 و ac & gt bcifc & lt0.

تمرين 1.4.9. أظهر أنه إذا كان a ، b∈Rwitha & lt b ، ثم لأي رقم حقيقيλ مع 0 & lt λ & lt1 ، a & lt λa + (1 − λ) b & lt b.

التعريف 1.4.4. من أجل anya∈ر، نحن نتصل

تمرين 1.4.10. أظهر ذلك لـ anya∈R ، - | a | ≤a≤ | أ |.

الاقتراح 1.4.1. من أجل anya، b aR، | a + b | ≤ | أ | + | ب |.

كلا المصطلحين على اليمين غير سلبيين من خلال التمرين 1.4.10. ومن ثم فإن المجموع غير سلبي ويتبع الاقتراح. Ifa + b & lt0 ، إذن

مرة أخرى ، كلا المصطلحين على اليمين غير سلبيين من خلال التمرين 1.4.10. ومن ثم فإن المجموع غير سلبي ويتبع الاقتراح. Q.E.D.

أصبح من السهل الآن إظهار أن دالة القيمة المطلقة ترضي

1. | أ − ب | ≥0 لـ alla ، b∈R ، مع | a − b | = 0 إذا وفقط إذا كانت a = b ،

تظهر هذه الخصائص أن الوظيفة

متري ، وسوف نطلق على | a − b | المسافة من ato b.

دليل - إثبات. يترك أكون تسلسل كوشي في فئة التكافؤ أ. منذ

a & gt0 ، يوجد رقم منطقي & gt 0 وعدد صحيح N مثل thatui & gt للجميع

i & gt N. دع r = 2. ثم ui − r & gt 2 لكل i & gt N ، soa − r & gt0 ، أي

اختر الآن عددًا صحيحًا M بحيث يكون | ui −uj | & lt 1 للجميع i، j & gt M. Let

لـ alli & gt M. Hences & gt a. Q.E.D.

الاقتراح 1.4.3. إنه حقل مرتب أرخميدس.

دليل - إثبات. بالنظر إلى الأعداد الحقيقية a و b مع 0 & lt a & lt b ، فلنفترض أن r و s أرقام منطقية بحيث يكون 0 & lt r & lt a & lt b & lt s. نظرًا لأن Qis حقل أرخميدس ، يوجد عدد صحيح مثل thatnr & gt s. بالتالي

الاقتراح 1.4.4. بالنظر إلى أ ، ب ∈ر مع a & lt b ، يوجد r ∈س مثل هذا & lt r & lt ب.

دليل - إثبات. يتركأكون متوالية كوشي في فئة التكافؤ ودعناها

j∈J تكون في فئة التكافؤ ب. منذ B − a & gt0 ، يوجد سبب منطقي

& gt 0 وعدد صحيح N مثل vi − ui & gt for all i & gt N. اختر الآن

عدد صحيح بحيث | ui − uj | & lt 4 لـ alli، j & gt M. Letr = uM + 1 + 2. ثم

الحدود العليا والسفلى

التعريف 1.4.5. LetA⊂R. إذا كان هذا هو الحال بالنسبة للجميع ، فإننا نسميها أكثر من اللازم. إذا كان الحد الأعلى لـ A مع الخاصية التي تكون عندما يكون الرجوع هو الحد الأعلى لـ A ، فإننا نطلق على هذا الحد الأعلى ، أو الحد الأعلى الأدنى لـ A ، والذي يُشار إليه بـ s = supA. وبالمثل ، ifr∈Ris مثل هذا rafor everya∈A ، ثم نسمي الحد الأدنى لـ A. Ifris هو الحد الأدنى لـ A مع الخاصية التي لا تكون عندما يكون العكس هو الحد الأدنى لـ A ، فإننا نسمي rtheinfimum ، أو الحد الأدنى الأكبر ، ofA ، يشير إلى infA.

نظرية 1.4.5. افترض أ ⊂ر، أ 6 = ∅ ، لها حد أعلى. ثم يوجد supA.

دليل - إثبات. Leta∈A و letbbe الحد الأعلى لأ. تحديد التسلسلات∞i = 1

و∞i = 1 كما يلي: Leta1 = aandb1 = b. Fori & gt1، let

ifc هو الحد الأعلى لـ A ، letai = ai − 1 و letbi = c بخلاف ذلك ، letai = c

fori = 1،2،3 ،. . .. الآن ، fori = 1،2،3 ،. . . ، letri يكون عددًا منطقيًا مثل ذلك

ai & lt ri & lt bi. بالنظر إلى أي & gt0 ، قد نختار N لذلك

ثم ، كلما & gt N andj & gt N ،

بالتالي ∞i = 1 هو تسلسل كوشي. لنفترض أن s ∈ R هي فئة التكافؤ

∞i = 1. لاحظ أن fori = 1،2،3 ،. . .، ai≤s≤bi.

الآن ifs ليس حدًا أعلى لـ A ، ثم هناك a∈A مع & gt s. Letδ = a − sand اختر عددًا صحيحًا N مثل ذلك

ولكن ، من خلال البناء ، فإن bN + 1 هي الحد الأعلى لـ A. يجب أن يكون Thussmm العلوي

الآن ، يعتبر الافتراض حدًا أعلى آخر لـ A andt & lt s. Let = s − t واختر عددًا صحيحًا N على هذا النحو

مما يعني أن n + 1 هو الحد الأعلى لـ A. ولكن ، من خلال البناء ، aN + 1

ليس حدًا أعلى لـ A. ومن ثم يجب أن تكون s أقل حد أعلى لـ A ،

الفصل 2


29 إجابات 29

عندما كنت أتعلم تحليلًا تمهيديًا حقيقيًا ، كان النص الذي وجدته أكثر فائدة هو تحليل فهم ستيفن أبوت. لقد تمت كتابته بشكل واضح ودقيق للغاية ، مما يمنحه ميزة سهولة القراءة للغاية ، كل ذلك دون إغفال الإجراءات الشكلية للتحليل التي هي محور التركيز في هذا المستوى. في حين أنه ليس شاملاً مثل مبادئ Rudin للتحليل أو Bartle's Elements of Real Analysis ، إلا أنه نص رائع للتمرير الأول أو الثاني لفهم تحليل متغير حقيقي واحد.

إذا كنت تبحث عن كتاب للدراسة الذاتية ، فمن المحتمل أن تطير عبر هذا الكتاب. في هذه المرحلة ، ستكون محاولة معالجة أكثر اكتمالًا في كتاب Rudin أمرًا ودودًا بالتأكيد (وعلى أي حال ، يعد Rudin's مرجعًا رائعًا يمكن الحصول عليه).

أحب المجلد الأول والثاني لتحليل تيرينس تاو. من خلال طريقته البسيطة في شرح الأشياء ، يجب أن يكون هذا الكتاب قابلاً للقراءة بنفسك.

يمكنك أن ترى هنا http://terrytao.wordpress.com/books/ جميع كتبه جنبًا إلى جنب مع الاثنين ، التي ذكرتها أعلاه.

للدراسة الذاتية ، أنا من أشد المعجبين بكتاب Strichartz "طريقة التحليل". إنها أقل صرامة بكثير من معظم الكتب ، على الرغم من أن بعض الناس يعتقدون أنها استطرادية بعض الشيء. أميل إلى أن أوصي به للشباب في جامعتنا الذين يجدون أن "مبدأ التحليل الرياضي" لرودين (المعيار الذهبي لدورات التحليل الجامعية) موجز للغاية ، ويبدو أنهم جميعًا يحبونه كثيرًا.

تحرير: بالنظر إلى سؤالك مرة أخرى ، قد تحتاج إلى شيء أساسي أكثر. قد يكون الخيار الجيد هو كتاب سبيفاك "حساب التفاضل والتكامل" ، والذي على الرغم من عنوانه يقع في الحقيقة على الحدود بين التفاضل والتكامل والتحليل.

التحليل الرياضي الأول والثاني بواسطة فلاديمير أ زوريش ، يونيفيرسيتيكست - سبرينغر. يحتوي على عدد كبير من الأمثلة والتفسيرات واضحة.

سيكون براينت [1] توصيتي إذا كنت حديثًا خارج سلسلة حساب التفاضل والتكامل / ODE وتدرس بمفردك. إذا كانت خلفيتك أقوى قليلاً ، فقد يكون بريسود [2] أفضل. أخيرًا ، يجب أن تلقي نظرة على Abbott [3] بغض النظر ، حيث أعتقد أنه أفضل كتاب تمهيدي تمهيدي للتحليل الحقيقي ظهر في العقدين الماضيين على الأقل.

[1] فيكتور براينت ، "بعد مقدمة أخرى للتحليل" ، مطبعة جامعة كامبريدج ، 1990.

[2] David M. Bressoud، "A Radical Approach to Real Analysis"، 2nd edition، Mathematical Association of America، 2006.

[3] ستيفن أبوت ، "فهم التحليل" ، Springer-Verlag ، 2001.

قد ترغب في إلقاء نظرة على نص مشكلة في حساب التفاضل والتكامل المتقدم بقلم جون إردمان. إنه مجاني ومكتوب جيدًا ويحتوي على حلول للعديد من التمارين. هذه السمات ، في رأيي ، تجعلها مناسبة بشكل خاص للدراسة الذاتية. أحد الأشياء التي أحبها بشكل خاص في النص هو استخدام المؤلف لمفاهيم o-O لتحديد التفاضل. يبسط بعض البراهين بشكل كبير (على سبيل المثال ، قاعدة السلسلة) ومتسقة عبر المساحات أحادية البعد و n الأبعاد.

غالبًا ما يكون "مبادئ التحليل الرياضي" الإصدار الثالث (1974) بواسطة والتر رودين هو الخيار الأول. هذا الكتاب جميل وأنيق ، ولكن إذا لم يكن لديك دورتان منظمتان من قبل Def-Thm-Proof ، فقد تكون قراءة كتاب Rudin صعبة.

يبدو أيضًا أن حساب توماس مناسب تمامًا لاحتياجاتك ، حيث أنني استخدمت هذا الكتاب ووجدته أكثر جاذبية من Rudin

أوصي بالتحليل الرياضي بواسطة S.C Malik و Savita Arora لدراسة التحليل الحقيقي. كتاب مفصل للغاية وسهل للطلاب!

كتاب بارتل هو حجج أكثر منهجية وأكثر وضوحًا في جميع النظريات أمثلة لطيفة - دائمًا يجب الاستمرار في دراسة التحليل.

لقد اكتشفت مؤخرًا كتاب لارا ألكوك "كيف تفكر في التحليل". إنه ليس كتابًا مدرسيًا حقًا ، إنه دليل دراسة حول كيفية القيام بتحليل التعلم ، لكنني أعتقد أنه يغطي أيضًا الأفكار الرئيسية.

أنا حقًا أحب الأفكار الأساسية للتحليل بواسطة ريد. إنها مقدمة ودية وواضحة للتحليل.

إذا كان لديك دورة تدريبية قوية في حساب التفاضل والتكامل ، فإنني أوصي بشدة بحساب التفاضل والتكامل المتقدم من قبل جي. فولاند. It is well known that Folland's an amazing expositor this book serves well to introduce you to the crucial transition from Calculus to Real analysis. This book should also prepare you sufficiently in terms of maturity for you to then be able to appreciate Baby Rudin.

1) Introduction to Real Analysis by mapa-

The contents are systematically structured with enough attention given to each topic. Some of the topics included in the book are Set Theory, Real numbers, Sets in R, Real Functions, Sequence, Series, Limits, Continuity and Differentiation. The book also contains solved exercises to help the readers understand the basic elements of the topics discussed in the contents

2) Elements of Real Analysis by denlinger

Two best books for self-study. Rudin and bartle are good if you have an instructor or in college but for self understanding these are best.

I read this question a month ago and I decided to go for three of the most suggested books: Abbott "Understanding Analysis", Rudin "Principles of Mathematical Analysis", and Kolmogorov and Fomin "Introductory Real Analysis".

The one I liked most, and I ended up reading entirely, is Rudin's one: I am a PhD student in engineering and I think the level of the book was perfect to me. Two critiques I have are: there is a general lack of comments (a bit too much "Theorem, Proof") and there are no images. However, I found the book very clear and rigorous, especially the first 7 chapters. I definitely suggest it.

I really liked Abbott's approach: he really makes you understand the logic of things, and you never get lost in the proofs. On the other hand the one thing I didn't quite like was the excessive use of exercises: every two pages some kind of proof is "left to the reader." Sometimes also people that are not undergrads are going to read the book! Moreover this book treats only real numbers, and sometimes you lose the "big picture."

I stopped Kolmogorov and Fomin's book almost immediately. It was too much of an encyclopedia for me. But from the look I had, I bet it would be a great read if one has the time!

I was recommended Introduction to Analysis by Mattuck. It was a bit difficult to use as it does not follow the progression other books (like Rudin or Apostol) follow. Maybe others can share more about their experience with this book, if they have used it.

Might not be a textbook but a very good supplement to a textbook would be the following book Yet Another Introduction to Analysis بواسطة Victor Bryant.

As a prerequisite the book assumes knowledge of basic calculus and no more.

This book may be a better starting point for some people.

For ones who read German, I strongly recommend Harro Heuser's 'Lehrbuch der Analysis Teil I'. There is also 'Teil II'. I tried couple of other German text books, but gave up continuing due to many errors or lack of completeness, etc. Then a person recommended me this book.

This book is self-contained and proofs are quite error-free as well as well-written for novices, though personally there were couple of proofs which were difficult to grasp, e.g. Cantor's Uncountability Proof and something else. The author tried to give proofs without the need of studying other subjects of mathematics, e.g. explaining compactness without referring to topology, which sometimes is a hard job. The author revised this book many times (lastest version is 17th edition). I feel sorry that the book has not been updated since the author has passed away in 2011. I recommend reading this book from the top to the bottom, even you have studied with another book before because the author builds up earlier proofs for later ones. I once tried to read from the middle, but gave up and re-started from the top.

The book also has good number of excercises and hints/solutions to selected problems at the end of the book, which I found good for self-learning.

This book assumes no prerequisites, but learnig other subjects parallely is always a good thing with math because it is hard to completely isolate a math subject from others.

There are horde of good books in all fields of mathematic. What you need is something you can learn from, not only the best and most glorious of this books. Books with so much problems and exercises with their hints and solutions are very appetizing. But what you really need is a mature and deep grasping of basics and concepts. After all thats all what you need to tackle this exercises with even a surprising ease and fun.

Analysis is among the most reachable field in math after high school, and a fare knowledge is required in most of the other fields for beginners.

I do understand the emphasize on solutions. I do because we all deal with self study, at least sometimes, and solutions and hints are crucial to make an evaluation of your own work. If you are really serious you will soon find out that what you really need are hints not solutions. Needless to say hints or solutions are supposed to be a last resort , when there seems to be no way out. Even then a hint is better taken only partially. And by the way : when tackling problems,It is when there seems be NO WAY OUT that the actual LEARNING process takes place.

I encourage you to take a deep look into The Trillia Groupe funded,and fee, Zakon's books: Mathematical Analysis I which followed by another volume, but to get some basics ,Basic Concepts of Mathematics might be a good place to start. In the third mentioned book , this was mentioned:

Several years’ class testing led the author to these conclusions:

1- The earlier such a course is given, the more time is gained in the
follow- up courses, be it algebra, analysis or geometry. The longer students are taught “vague analysis”, the harder it becomes to get
them used to rigorous proofs and formulations and the harder it is
for them to get rid of the misconception that mathematics is just
memorizing and manipulating some formulas.

2- When teaching the course to freshmen, it is advisable to start with Sec- tions 1–7 of Chapter 2, then pass to Chapter 3, leaving Chapter 1 and Sections 8–10 of Chapter 2 for the end. The students should be urged to preread the material to be taught next. (Freshmen must learn to read mathematics by rereading what initially seems “foggy” to them.) The teacher then may confine himself to a brief summary, and devote most of his time to solving as many problems (similar to those assigned ) as possible. This is absolutely necessary.

3-An early and constant use of logical quantifiers (even in the text) is ex- tremely useful. Quantifiers are there to stay in mathematics.

4- Motivations are necessary and good, provided they are brief and do not use terms that are not yet clear to students.

In the second book , This was mentioned :

Several years’ class testing led us to the following conclusions:

1- Volume I can be (and was) taught even to sophomores, though they only gradually learn to read and state rigorous arguments. A sophomore often does not even know how to start a proof. The main stumbling block remains the ε, δ-procedure. As a remedy, we provide most exercises with explicit hints, sometimes with almost complete solutions, leaving only tiny “whys” to be answered. 2- Motivations are good if they are brief and avoid terms not yet known. Diagrams are good if they are simple and appeal to intuition.

3- Flexibility is a must. One must adapt the course to the level of the class. “Starred” sections are best deferred. (Continuity is not affected.) 4-“Colloquial” language fails here. We try to keep the exposition rigorous and increasingly concise, but readable. 5- It is advisable to make the students preread each topic and prepare ques- tions in advance, to be answered in the context of the next lecture. 6- Some topological ideas (such as compactness in terms of open coverings) are hard on the students. Trial and error led us to emphasize the se- quential approach instead (Chapter 4, §6). “Coverings” are treated in Chapter 4, §7 (“starred”). 7- To students unfamiliar with elements of set theory we recommend our Basic Concepts of Mathematics for supplementary reading. (At Windsor, this text was used for a preparatory first-year one-semester course.) The first two chapters and the first ten sections of Chapter 3 of the present text are actually summaries of the corresponding topics of the author’s Basic Concepts of Mathematics, to which we also relegate such topics as the construction of the real number system, etc.

I did not take this points very seriously, until i started reading and working on it. It is hard to find yourself completely stuck somewhere: It seams that all have been packed for a person who is learning on his own. Hints are provided anywhere whenever needed. In many occasions there are questions like ". Why?" which helps in following the text rigorously.

I think Ross' Elementary Analysis: The Theory of Calculus is a good introductory text. It's very simple and well explained, but not quite at the level of Rudin's Principles of Mathematical Analysis (for example, everything is done using sequences in Ross, versus a general topological setting for open and closed sets in Rudin). But, if you master it, you can pick up the necessary ancillaries from Rudin or similar pretty quickly. FWIW, Rudin is the standard text for undergrad real analysis.

Another good option is Hoffman's Analysis in Euclidean Space. This was the book MIT used before Rudin arrived, and is a Dover book (so very cheap). I found its exposition to be comparable in level to Rudin, but easier to understand.

Finally, another book I can recommend is Hoffman's Elementary Classical Analysis. This is similar in level to Rudin, but has a lot more material worked out for you. Theres also a tiny bit on applications, so if you're an engineering/science student whose taking real analysis, it can be a bit helpful.

I think a good first book is 'A First Course in Mathematical Analysis' by David Alexandar Brannan and can suggest it as well as several that have already been mentioned on this page, but this one has the advantage that it was a byproduct of the Open University and is thus totally designed for self-study. Lots of problems placed near the relevant discussion, good margin notes for a beginner in analysis, and solutions to check your work.

If you still don't feel ready for Rudin after that, then I can recommend Alan Sultan's 'A Primer on Real Analysis' (which I'd recommend anyways because it should be better known) which is very nice and has lots of pictures to help development of intuition and lots of problems too with most solutions in the back of the book.

I'd also strongly recommend 'How to Prove It' by Daniel Velleman. You'll be writing proofs in Analysis and this is my favorite book in the proofs writing category. Very suitable to a beginner.

I found Real analysis by Frank Morgan published by AMS a very nice introduction and Methods of Real analysis by Richard Goldberg a next one.

I recommend Courant and John's 'An introduction to Calculus and Analysis', volumes I and II. The authors give a rigorous treatment of their subject while still telling what motivates the ideas. Unlike many modern textbooks, they are not an sequence of definition-lemmas-theorems. These books emphasize ideas over structure. The authors' distinguished careers in applied mathematics ensures that there are plenty of examples and diagrams to illustrate their point.

Volume I focuses on calculus on the real line while volume II teaches functions of several variables. On their way, they teach exterior differential forms, ODE, PDE and elementary complex analysis.

Those with an 'applied' bent of mind, who want to trace the origin of ideas, not lose touch with the sciences that motivated development of mathematics may find these venerable volumes more rewarding than the modern treatments.

I would recommend "Guide to Analysis" by Hart & Towers which is aimed at those making the transition from high school mathematics to university mathematics and university analysis in particular. This seems like the most sensible choice.

However, the classic text to study real analysis would be "Principles of Mathematical Analysis" by Rudin. If you have not studied much mathematics before it may be tough going.

How "dumb" do you want it? I would say, at a university level at least, Steven R. Lay's book "Analysis - With an Introduction to Proof" is dumb vis-a-vis, say, a B student in an undergraduate honors analysis class:

Check the Amazon "first pages" preview to see the level it's at. Even if you don't get some of the stuff in the video I'm about to recommend I'd pair it with Harvey Mudd's YouTube series here, which you may already know about.

"Calculus" by David Patrick from "The Art of Problem Solving" book series is pretty good, and if your last exposure to the topic was in high school this book is actually much better than what's given in public high school and it comes from a problem solving standpoint, which I like because that is what math is used for, i.e., solving problems:

6 years prior to my submission, so I guess when I say "you(r)" I mean the hypothetical to-be undergraduate mathematics student. $endgroup$ &ndash user435237 Aug 1 '17 at 1:47

I enjoyed Introduction to Analysis by Maxwell Rosenlicht. I consider it a beautiful and elegant work. Some of the problems are rather difficult but analysis is a difficult subject.

I had the pleasure of taking Differential Topology with him as an undergraduate at Berkeley. I thought he was pretty impressive. Also entertaining, with his "I'm getting all 'balled up'" comment from time to time.

It's sad to see that nobody recommends the one I think is the best book ever written on introductory analysis: An Introduction to Classical Real Analysis by Karl Stromberg. I know. It's subjective.

I would recommend "Understanding Analysis" by Stephen Abbott as well. I shall quote one paragraph that I like most.

In the first chapter, we established the Axiom of Completeness (AoC) to be the assertion that nonempty sets bounded above have least upper bounds. We then used this axiom as the crucial step in the proof of the Nested Interval Property (NIP). In this chapter, AoC was the central step in the Monotone Convergence Theorem (MCT), and NIP was the key to proving the Bolzano–Weierstrass Theorem (BW). Finally, we needed BW in our proof of the Cauchy Criterion (CC) for convergent sequences. The list of implications then looks like
AoC ⇒ NIP (&MCT)⇒ BW ⇒ CC.
But this one-directional list is not the whole story. Recall that in our original discussions about completeness, the fundamental problem was that the rational numbers contained “gaps.” The reason for moving from the rational numbers to the real numbers to do analysis is so that when we encounter a sequence that looks as if it is converging to some number—say √ 2—then we can be assured that there is indeed a number there that we can call the limit. The assertion that “nonempty sets bounded above have least upper bounds” is simply one way to mathematically articulate our insistence that there be no “holes” in our ordered field, but it is not the only way. Instead, we could have taken MCT to be our defining axiom and used it to prove NIP and the existence of least upper bounds. This is the content of Exercise 2.4.4. How about NIP? Could this property serve as a starting point for a proper axiomatic treatment of the real numbers? تقريبيا. In Exercise 2.5.4 we showed that NIP implies AoC, but to prevent the argument from making implicit use of AoC we needed an extra assumption that is equivalent to the Archimedean Property (Theorem 1.4.2). This extra hypothesis is unavoidable. Whereas AoC andMCT canbothbeusedtoprove that N is not a bounded subset of R,there is no way to prove this same fact starting from NIP. The upshot is that NIP is a perfectly reasonable candidate to use as the fundamental axiom of the real numbers provided that we also include the Archimedean Property as a second unproven assumption. In fact, if we assume the Archimedean Property holds, then AoC, NIP, MCT, BW, and CC are equivalent in the sense that once we take any one of them to be true, it is possible to derive the other four. However, because we have an example of an ordered field that is not complete—namely, the set of rational numbers—we know it is impossible to prove any of them using only the field and order properties. Just how we decide which should be the axiom and which then become theorems depends largely on preference and context, and in the end is not especially significant. What is important is that we understand all of these results as belonging to the same family, each asserting the completeness of R in its own particular language. One loose end in this conversation is the curious and somewhat unpredictable relationship of the Archimedean Property to these other results. As we have mentioned, the Archimedean Property follows as a consequence of AoC as well as MCT, but not from NIP. Starting from BW, it is possible to prove MCT and thus also the Archimedean Property. On the other hand, the Cauchy Criterion is like NIP in that it cannot be used on its own to prove the Archimedean Property.1

I haven't started my first term yet, while I decide to self-study analysis. Initially I read Dexter Chua's lecture notes in "Numbers and Sets", then I read Terence Tao's analysis, but I am quite confused that they start from different initial definitions and starting points. "Understanding Analysis" perfectly solved my confusion and it illustrates concepts clearly.


A Primer of Real Functions: Fourth Edition

This is a revised, updated, and significantly augmented edition of a classic Carus Monograph (a bestseller for over 25 years) on the theory of functions of a real variable. Earlier editions of this classic Carus Monograph covered sets, metric spaces, continuous functions, and differentiable functions.

The fourth edition adds sections on measurable sets and functions, the Lebesgue and Stieltjes integrals, and applications. The book retains the informal chatty style of the previous editions, remaining accessible to readers with some mathematical sophistication and a background in calculus. The book is, thus, suitable either for self-study or for supplemental reading in a course on advanced calculus or real analysis. Not intended as a systematic treatise, this book has more the character of a sequence of lectures on a variety of interesting topics connected with real functions. Many of these topics are not commonly encountered in undergraduate textbooks: e.g., the existence of continuous everywhere-oscillating functions (via the Baire category theorem) the universal chord theorem two functions having equal derivatives, yet not differing by a constant and application of Stieltjes integration to the speed of convergence of infinite series.

This book recaptures the sense of wonder that was associated with the subject in its early days. It is a must for mathematics libraries.

Reviews & Endorsements

The fourth edition of this classic introduction to analysis retains the freshness of the first edition as well as its charming conversational style &hellip This is not in any way a traditional textbook. It is more like a series of informal lectures, wordy, chatty, and not the least bit concise. The author's aim, and the book's great strength, is to bring back a sense of wonder to a subject that, in his opinion, had been lost.


A Primer of Real Analytic Functions

It is a pleasure and a privilege to write this new edition of A Primer 0/ Real Ana­ lytic Functions. The theory of real analytic functions is the wellspring of mathe­ matical analysis. It is remarkable that this is the first book on the subject, and we want to keep it up to date and as correct as possible. With these thoughts in mind, we have utilized helpful remarks and criticisms from many readers and have thereby made numerous emendations. We have also added material. There is a now a treatment of the Weierstrass preparation theorem, a new argument to establish Hensel's lemma and Puiseux's theorem, a new treat­ ment of Faa di Bruno's forrnula, a thorough discussion of topologies on spaces of real analytic functions, and a second independent argument for the implicit func­ tion theorem. We trust that these new topics will make the book more complete, and hence a more useful reference. It is a pleasure to thank our editor, Ann Kostant of Birkhäuser Boston, for mak­ ing the publishing process as smooth and trouble-free as possible. We are grateful for useful communications from the readers of our first edition, and we look for­ ward to further constructive feedback.

"This is the second, improved edition of the only existing monograph devoted to real-analytic functions, whose theory is rightly considered in the preface 'the wellspring of mathematical analysis.' Organized in six parts, [with] a very rich bibliography and an index, this book is both a map of the subject and its history. Proceeding from the most elementary to the most advanced aspects, it is useful for both beginners and advanced researchers. Names such as Cauchy-Kowalewsky (Kovalevskaya), Weierstrass, Borel, Hadamard, Puiseux, Pringsheim, Besicovitch, Bernstein, Denjoy-Carleman, Paley-Wiener, Whitney, Gevrey, Lojasiewicz, Grauert and many others are involved either by their results or by their concepts."

"Bringing together results scattered in various journals or books and presenting them in a clear and systematic manner, the book is of interest first of all for analysts, but also for applied mathematicians and researchers in real algebraic geometry."


I am taking Real Analysis with out background in proofs.

Do any of you recommend a small crash course? My courses start September 13th, and they are not letting me take the pre-requisite for Real analysis.

So any free (or cheap) textbooks? online courses? khanacademy?

You might like Rosenlicht's book, Introduction to Analysis. Google Books will show you the first 2 chapters for free. It's a Dover book, so it's good and also cheap. I believe that it is often used as the text for the first "serious" real analysis course.

Thank you for that link. I'm in the exact same boat as the OP and will be reading those first two chapters for sure

I took a course a few semesters ago that used a book called "An Introduction to Abstract Math" that provides an introduction to the very basics of proof writing. Depending on the level that your analysis book is written at it might not be a bad idea to peruse something like "Understanding Analysis."

Can you audit the prereq course? And by "audit" I mean just show up, if there's no formal way of auditing it.

Try A Primer of Real Analysis by Dan Sloughter? It is a free book, available online. A short description from his page:

This is a short introduction to the fundamentals of real analysis. Although the prerequisites are few, I have written the text assuming the reader has the level of mathematical maturity of one who has completed the standard sequence of calculus courses, has had some exposure to the ideas of mathematical proof (including induction), and has an acquaintance with such basic ideas as equivalence relations and the elementary algebraic properties of the integers.

Edit: yes, I realize this text suggests familiarity with proofs, but it really is very basic. Also, if you learn the ideas first, you can spend more time working out the proofs once you take the class.

Do you know what textbook you'll be using?

ال best prerequisite for first course in analysis is good calculus background I think, despite what courses your school might offer. It will help to have familiarity with basic techniques of proof: induction, contrapostive, argument by contradiction, etc and the language of sets. For this, you could look at many books the Primer of real analysis that dpm1661 suggest looks good, also Nuts and bolts of proofs is very cool.

Try to abandon the online course/khan academy mentality preparing for real analysis. What I mean is this: video lectures and online explanations are pleasing and make you feel like you are learning a lot, but you are not developing problem solving /proof writing skills. You really need to spend most of your time solving problems/writing proofs yourself to develop these skills.


شاهد الفيديو: التحليل الحقيقي 1. المحاضره الاولي (شهر اكتوبر 2021).