مقالات

1.3: كيف وصلنا إلى هنا؟ - الرياضيات


تاريخ موجز للخلق والحاجة إلى الرياضيات الأساسية المشتركة

في مكان ما بين عامي 2007 و 2008 ، اجتمع عدد قليل من علماء الرياضيات معًا وقرروا أن الطلاب غير مستعدين للقرن الحادي والعشرين. photo math) رسم أي شيء (انظر تطبيقات الرسوم البيانية ، حيث يوجد العديد منها) أو حتى اطلب من Google أن تفعل ذلك له أو لها.

ومع ذلك ، ماذا عن التفكير التحليلي وحل المشكلات؟ كان السبب الأصلي الذي جعل الرياضيات مطلبًا مدرسيًا هو تعليم الطلاب كيفية التفكير. لم تكتشف التكنولوجيا طريقة لحل المشكلة. هذا هو المكان الذي تدخل فيه Common Core. نعم ، ما زلنا ندرس الأساسيات. آسف ، الكسور لا تذهب إلى أي مكان. ومع ذلك ، لا يمكننا استخدام التكنولوجيا لحل المشاكل. لا يزال الكمبيوتر غبيًا. عنجد. إنه يتبع التعليمات التي تأتي من الإنسان. يحتاج الإنسان إلى إعطاء التعليمات للكمبيوتر بشكل صحيح. تتحدى Common Core الطلاب لحل المشكلات من الناحية المفاهيمية واكتشاف المعنى الكامن وراء الآلة الحاسبة. على سبيل المثال ، فكر في قسمة الكسور. الحيلة التي تعلمها الكثير من الناس هي تغيير القسمة إلى الضرب وعكس المصطلح الثاني. ثم اضرب. لكن لماذا يعمل هذا؟ (سوف نستكشف هذا في الفصل 3.) مثال آخر أرادت شركة Common Core التأكيد عليه وهو الرياضيات العقلية. اجعل الناس أكثر ذكاءً من خلال إجبارهم على تعلم حيل الرياضيات الذهنية. فكر في الأمر ، كيف تدرب جسدك على سباق الماراثون؟ أنت تركض قليلاً كل يوم وتحسن المسافة المقطوعة بالأميال تدريجياً ثم تحسن سرعتك تدريجياً. يتحسن جسمك كل يوم تمارسه. الدماغ هو نفسه. اعمل على أنشطة الرياضيات الذهنية قليلًا كل يوم ، وأنت تدرب عقلك ليكون أقوى وأفضل يفكر. تدربك الرياضيات على أن تكون أكثر ذكاءً بشكل عام ، مما يساعدك على إتقان جميع المواد الأخرى.

تأثير النواة المشتركة في رياضيات المدارس الابتدائية

عندما وصل Common Core لأول مرة ، كان الأمر مخيفًا ، من منظور المعلم وأولياء الأمور. كانت الصور تطفو على وسائل التواصل الاجتماعي حول تقنيات الرياضيات السيئة. اختلف أولياء الأمور والطلاب حول كيفية حل مشكلة ما. كان مزاحا عنه في ديزني الخارقون 3، حيث يحاول الأب مساعدة ابنه في أداء واجباته المدرسية ويصاب بالإحباط الشديد لأنهم غيروا الرياضيات. الطريقة التي يتم بها تدريس الطرح قد تغيرت. لقد تغيرت طريقة تعليم الضرب. أراد المؤلفون أن يفهم الطلاب المعنى الكامن وراء الطرح والضرب بدلاً من الحفظ عن ظهر قلب. كان التغيير الأكبر هو الضغط على المناهج الدراسية. ما يتعلمه الطلاب الآن في المرحلة الابتدائية هو قبل حوالي عامين من الطلاب قبل Common Core. روضة الأطفال أكاديمية بالكامل ، ولم تعد تتعلم فقط أن تكون اجتماعية وتتعلم كيف تلعب بشكل لطيف.

كيف غيّرت Common Core التقييمات؟

التغيير الأكبر هو جعل الطلاب يكملون مهام الأداء أثناء الاختبار. يمكن أن يكون الجزء الأول من الاختبار أسئلة أساسية. يمكن أن يحتوي الجزء التالي على تحليل الخطأ (ابحث عن الخطأ). يمكن أن يكون هناك جزء مطابق أيضًا. هناك العديد من الطرق للوصول إلى الطلاب دون الحصول على إجابات متعددة الخيارات أو ببساطة طلب حل مشكلة رياضية دون أي سياق للسبب. ثم هناك مهام الأداء ، والتي تظهر دائمًا في الاختبار الموحد للدولة. تبدأ مهمة الأداء النموذجية بموقف ، مشكلة كلمات أكثر تعقيدًا. يتعين على الطلاب بعد ذلك المرور بعملية من الخطوات ، والإجابة على الأسئلة على طول الطريق للوصول في النهاية إلى السؤال العام. يمكن أن يكون هناك حل ورسم بياني في نفس مهمة الأداء.

كيف غيّرت Common Core التقدير؟

التغيير الكبير الآخر الذي أحدثته Common Core هو كيفية قيام المعلمين بتقدير درجاتهم. من قبل ، كنا نهتم بالإجابة النهائية. صح ام خطأ؟ إذا كان الأمر خاطئًا ، سيبحث المعلم عن طرق لمنح الائتمان الجزئي. الآن ، ننظر إلى كل شيء ونحدد النقاط وفقًا لذلك. على سبيل المثال ، لنفترض أنه طُلب من الطالب أداء مسألة قسمة مطولة تساوي خمس نقاط. الحصول على الإجابة الصحيحة هو نقطة واحدة من أصل خمسة. كيف توصلوا إلى الإجابة تساوي أربع نقاط. هل نقلوا الفاصلة العشرية بشكل صحيح؟ هل طرحوا بشكل صحيح؟ هل أخطأوا مرتين وانتهى بهم الأمر بأنهم محظوظون ووصلوا إلى الإجابة الصحيحة؟ هل تحققوا من عملهم عن طريق الضرب مرة أخرى؟

مقارنة المعايير التقليدية القديمة بالمعايير الأساسية المشتركة الجديدة: روضة الأطفال حتى الصف الثالث

التغيير الرئيسي ل 4ذ عبر 6ذ الصف أكثر معايير ما قبل الجبر.

يتم سحب المعلومات الواردة في الجدول من corestandards.org.

الجدول 1.3.1: روضة الأطفال

جديد: المعايير الأساسية المشتركة

قديم: معايير ولاية كاليفورنيا

عد إلى 100 في الآحاد والعشرات.

عد إلى 30 في الآحاد.

حدد ما إذا كان عدد العناصر في مجموعة واحدة أكبر من أو أقل من أو يساوي عدد العناصر في مجموعة أخرى.

قارن مجموعتين أو أكثر من العناصر وحدد المجموعة التي تساوي أو تزيد أو تقل عن الأخرى.

قم بحل المسائل الكلامية التي تتطلب الجمع والطرح للمشكلات المتعلقة بمجموع يصل إلى 10. استخدم الكائنات أو الرسومات لتمثيل المشكلة.

استخدم الكائنات لتحديد إجابات مسائل الجمع والطرح.

قسّم الأرقام بين 11 و 19 إلى جزأين: 10 آحاد وبعضها الآخر. على سبيل المثال ، يحتوي العدد 17 على 10 آحاد وسبعة آحاد إضافية.

لم يدرس حتى الصف الأول.

ضع شكلين معًا لتشكيل شكل مختلف. على سبيل المثال ، ضع مثلثين معًا لعمل مستطيل.

لا تدرس. معيار جديد.

انتقل إلى الصف الأول.

أخبر الوقت واقرأ أيام الأسبوع.

الجدول 1.3.2: الصف الأول

جديد: المعايير الأساسية المشتركة

قديم: معايير ولاية كاليفورنيا

حل المسائل الكلامية التي تتطلب جمع ثلاثة أرقام مجموعها أقل من أو يساوي 20 باستخدام الكائنات أو الرسومات أو المعادلات.

يستبدل المعيار القديم الذي كان يتطلب من الطلاب "الالتزام بالذاكرة" معادلات الجمع بمجموع 20 أو أقل ومعادلات الطرح بفارق 20 أو أقل. والجدير بالذكر أن المعيار الجديد لا يتطلب الحفظ.

تطبيق خصائص العمليات (التبادلية والرابطية) كاستراتيجيات للجمع والطرح.

جديد إلى الصف الأول. تم تقديم الخاصية الترابطية (أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج) سابقًا في الصف الثاني. لم يتم ذكر الخاصية التبادلية (أ + ب = ب + أ) في معايير الدولة لرياض الأطفال حتى الصف الثالث.

حدد الرقم المجهول في معادلة جمع أو طرح. على سبيل المثال ، 8 + س = 11.

معيار جديد. في السابق ، لم يكن من المتوقع أن يبحث الطلاب عن "x" إلا بعد الصف الثالث.

بالنظر إلى عدد مكون من رقمين ، أوجد عقليًا 10 أكثر أو أقل بمقدار 10 من هذا الرقم ، دون الحاجة إلى العد. اشرح أسبابك.

على غرار المعيار القديم الذي طلب من الطلاب تحديد أكثر من ، واحد أقل من ، 10 أكثر من رقم معين ، و 10 أقل من رقم معين.

أخبر واكتب الوقت بساعات ونصف باستخدام الساعات التناظرية والرقمية.

تم إدخاله سابقًا في رياض الأطفال ، على الرغم من أنه كان يُطلب من طلاب الصف الأول أيضًا تحديد الوقت لأقرب نصف ساعة وفقًا للمعايير القديمة.

يلغي معايير الصف الأول السابقة التي تتطلب من الطلاب فهم الوزن والحجم والقيمة النقدية للعملات المعدنية ، من بين مهارات محددة أخرى موجودة في معايير الصف الأول القديمة. يلغي أيضًا شرط أن يحفظ الطلاب مجموعات من الأرقام.

دعت المعايير القديمة طلاب الصف الأول إلى العمل بالوزن والحجم وتصنيف الأشياء حسب اللون والحجم وتقدير المبالغ وتسجيل الحقائق الرياضية في الذاكرة وكتابة الجمل العددية وفهم قيمة العملات المعدنية.

الجدول 1.3.3: الصف الثاني

جديد: المعايير الأساسية المشتركة

قديم: معايير ولاية كاليفورنيا

استخدم الجمع والطرح لحل المسائل الكلامية المكونة من خطوة واحدة أو خطوتين حيث يكون المجموع أو الفرق أقل من 100.

معيار جديد. لم يتم ذكر مشاكل الكلمات متعددة الخطوات في المعايير القديمة لرياض الأطفال حتى الصف الثالث.

حل مسائل الجمع والطرح بسهولة بمجموع أو فرق أقل من 20 في رأسك (7-4 = 3 ؛ 2 + 9 = 11 ؛ 14 + 3 = 17 ؛ إلخ). بنهاية الصف الثاني ، احفظ جميع طرق جمع رقمين من رقم واحد.

على غرار المعيار القديم الذي كان يتطلب من الطلاب إيجاد مجموع أو فرق بين رقمين من رقمين في رؤوسهم (14 + 16 = 30 ؛ 12 + 5 = 17 ؛ 32-7 = 25). ومع ذلك ، كان المعيار القديم يتطلب من الطلاب جمع وطرح أعداد أكبر.

استخدم الجمع لإيجاد العدد الإجمالي للكائنات المرتبة في صفوف متساوية. على سبيل المثال ، إذا كان هناك ثلاثة صفوف من أربعة ، يجب أن يكون الطلاب قادرين على إضافة 4 + 4 + 4 للعثور على الإجمالي ، بدلاً من حساب كل كائن. يجب على الطلاب أيضًا كتابة معادلة لتمثيل كيفية العثور على العدد الإجمالي للكائنات.

يستبدل المعايير القديمة التي ركزت على الضرب والقسمة ، والتي تطلبت من الطلاب القيام بجمع وطرح "متكرر" (2 + 2 + 2 + 2 = 8) ، وتشكيل مجموعات متساوية من مجموعة من الكائنات (قم بفرز ثماني كتل إلى أربع مجموعات من 2) ومعرفة جداول الضرب للثنائي والخمسة والعشرات.

اشرح الاستراتيجيات التي يمكن استخدامها لتسهيل الجمع والطرح. على سبيل المثال ، بالنسبة للمسألة 14-5 = x ، قد يعرف الطالب أن 15 - 5 = 10. نظرًا لأن 14 هي أقل من 15 ، يمكن للطالب أن يكتشف أن الإجابة على المشكلة المقدمة ستكون أيضًا أقل ، أو 14-5 = 9. يجب أن يكون الطلاب قادرين على استخدام هذه الاستراتيجيات وشرح سبب نجاحها.

معيار جديد. لم تتطلب المعايير القديمة تفسيرات الطلاب لعمليات حسابية محددة ، كما أنها لم تتطلب تعليمات محددة في تطوير استراتيجيات الجمع والطرح بشكل أسرع. بدلاً من ذلك ، دعا معيار في نهاية كل صف إلى الطلاب ليكونوا قادرين على "تبرير تفكيرهم" بشكل عام.

افهم أن كل رقم يقع على مسافة محددة من الصفر على خط الأعداد. استخدم مخططًا لخط الأعداد لإيجاد مجاميع واختلافات أقل من 100. على سبيل المثال ، بالنسبة للمسألة 82 - 17 = x ، ابدأ من 82 على خط الأعداد وعد 17 مسافة تنازليًا لتحديد أن 82-17 = 65.

معيار جديد. يأتي تركيز Common Core على تعليم الأطفال حول خط الأعداد من بحث يظهر أن الإلمام بخطوط الأرقام يحسن الأداء الرياضي لدى الأطفال الصغار.

في المقدمة الأولى لمفهوم المنطقة ، يجب أن يفهم الطلاب أن المستطيل يمكن أن يتكون من شبكة من المربعات الأصغر. عد المربعات التي تناسب مستطيل لإيجاد العدد الإجمالي للمربعات.

معيار جديد. تم إدخال الكسور في الصف الثاني وفقًا للمعايير القديمة ، ولكن ليس بهذه الصيغة. لم يتم تقديم المنطقة.

الجدول 1.3.4: الصف الثالث

جديد: المعايير الأساسية المشتركة

قديم: معايير ولاية كاليفورنيا

يُطلب من الطلاب حل المسائل الكلامية المكونة من خطوتين باستخدام الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة حسب الحاجة.

حل مسائل باستخدام عمليتين أو أكثر (الجمع والطرح والضرب والقسمة) ، ولكن لا يحدد حل المسائل الكلامية.

افهم أن الكسر يمكن تمثيله على خط الأعداد بين صفر و 1.

معيار جديد. في السابق ، كان يُطلب من الطلاب إضافة الكسور وطرحها ، ولكن لم يرد ذكر لفهم أن الكسر أقل من 1.

أخبر واكتب الوقت لأقرب دقيقة.

جديد إلى الصف الثالث. في السابق ، كان هذا معيارًا للصف الثاني.

قياس وتقدير أحجام السوائل وكتل الأشياء.

على غرار المعيار القديم الذي يدعو الطلاب إلى تقدير وقياس الطول وحجم السائل وكتلته.

اعلم أن الأشكال في فئات مختلفة (أي المربعات والمستطيلات) يمكن أن تشترك في السمات (أي أن كلاهما له أربعة جوانب) وأن تلك السمات المشتركة يمكن أن تحدد فئة أكبر (أي رباعي الأضلاع).

على غرار المعيار القديم الذي يدعو الطلاب إلى تحديد سمات الأشكال الرباعية (أي الجوانب المتوازية لمتوازي أضلاع ، أطوال أضلاع متساوية للمربع) ، ولكن مع التركيز على كيفية فرز الأشكال بدلاً من القواعد المحددة حول الأشكال.

لم يتم ذكر جداول الضرب في المعايير الجديدة.

في السابق ، كان يُطلب من الطلاب حفظ جداول الضرب للرقم 1-10.

طرق لمساعدة الطلاب على "إظهار أفكارهم" على الورق

فيما يلي ست طرق يمكن أن تساعد الطلاب على تنظيم أفكارهم. من المستحسن أن يقول المعلم للطلاب: "أظهر أفكارك" بدلاً من "اعرض عملك". يشجع هذا التغيير الطلاب على الكتابة أكثر على الورق.

الطريقة الأولى: الاستفسار

قبل أن تقوم بتدريس مفهوم جديد ، اطلب من الطلاب ملء مربع الاستفسار أدناه. اطلب من الطلاب كتابة أو رسم أي ملاحظات. (أرى ...) ما الاستنتاجات التي لديهم؟ (أعتقد ...) صِف معرفتك السابقة. (أنا أعرف…)

الطريقة 2: مخطط رباعي المربعات

تستخدم لمراجعة المفردات المكتسبة.

الطريقة الثالثة: أخذ الملاحظات

الطريقة الرابعة: مفهوم الويب

استخدم مفهوم الويب لحل أنواع مختلفة من المشكلات التي تشترك جميعها في شيء مشترك. على سبيل المثال ، يمكن أن يؤدي "ملء الفراغ" إلى جعل الطلاب ينظرون إلى أنماط مختلفة وملء الجزء المفقود من النموذج.

الطريقة الخامسة: استراتيجية حل المشكلات

بالنظر إلى مشكلة الكلمات ، يمكن للطلاب ملء هذا الجدول لمساعدتهم على فك شفرة مشكلة الكلمات ومعرفة كيفية إعداد المشكلة وحلها.

الطريقة 6: صيغة من خمس خطوات

استخدم هذه الطريقة لحل مشاكل الكلمات المعقدة.

تعليمات الفصل الدراسي والمناقشات

الطريقة الأولى: رفاقا الكوع

يبتعد الأطفال عن هذه الطريقة. "تحدث الآن مع رفيقك" ، هي إرشادات حيث يمكنهم التحدث فقط مع الشخص الذي يجلس بجانبهم ، ولمس الكوع بمرفقه. يعمل هذا بشكل جيد عندما يجلس الطلاب في أزواج أو مجموعات من أربعة.

الطريقة الثانية: فكر - إقران - شارك

هذه الطريقة شائعة جدًا وسهلة الاستخدام وكانت موجودة منذ فترة طويلة - لأنها تعمل! لبدء مناقشة عميقة مع طلابك ، يجب أن يكونوا مستعدين.

اطرح السؤال على طلابك. اجعلهم يأخذون بعض الوقت المحدد مسبقًا فكر في حول إجابتهم. ممنوع التكلم. لا كتابة. لا بحث. فقط أفكر. اطلب منهم مشاركة أفكارهم مع Elbow Buddy. فقط أ زوج يجب أن يهمس الطلاب بأفكارهم ذهابًا وإيابًا. ثم اطلب من الفصل أن يرفعوا أيديهم إذا رغبوا في ذلك شارك ما فكروا فيه أو ما فكر به رفيقهم في الكوع.

الطريقة الثالثة: التعلم التعاوني

التعلم التعاوني مهم جدا في تعلم الرياضيات الأساسية المشتركة. يحتاج الطلاب إلى مشاركة الأفكار. إن عمل الطلاب على مشاريع جماعية وعروض جماعية سيساعدهم على النجاح في المدرسة الثانوية وما بعدها.

الطريقة الرابعة: التعليمات المباشرة

التوجيه المباشر هو عندما يكون المعلم أمام الفصل والطلاب يدونون الملاحظات بصمت. هناك القليل من التفاعل.

قال أحد مؤسسي / مؤلفي فكرة Common Core الأصلية أن التعليم المباشر يجب أن يكون حوالي 20٪ من إجمالي التعلم. 80٪ من الوقت ، يجب أن يعمل الطلاب بطريقة أخرى. استخدم التعليمات المباشرة عندما يحتاج الطلاب إلى تعلم موضوع صعب.

الطريقة الخامسة: التعليمات الإرشادية

التعليم الموجه أفضل من التوجيه المباشر. من خلال الإرشادات الموجهة ، يتفاعل الطلاب مع المعلم. سيطرح المعلم أسئلة لقيادة التعليمات والتعلم.

الطريقة 6: الاستفسار

مع الاستفسار ، يخرج الطلاب بأسئلتهم الخاصة حول ما يتم تقديمه أمامهم. في معظم الأحيان ، تُستخدم هذه الطريقة في العلوم ، ولكن يمكن استخدامها أيضًا في الرياضيات.

موارد التكنولوجيا لفصلك الدراسي

وكل هذا مجاني !! أو في معظم الأوقات ، يكون للمدرسة اشتراك ، لذا فهي مجانية لك.

أكاديمية خان

أكاديمية خان هي أكثر من مجرد رياضيات. تم العثور على العديد من الموضوعات في هذا الموقع المجاني. لن يقتصر الأمر على مشروع فصل دراسي طويل بالنسبة لك ، ولكن آمل أن تستخدم هذا الموقع في فصلك الدراسي المستقبلي لمساعدة طلابك المستقبليين على مواكبة الرياضيات.

راجع إرشادات Canvas لـ Math 130 لمشروعك الدراسي الطويل

Google Classroom و Google Forms

في مجتمع التكنولوجيا هذا ، من المنطقي للطلاب إجراء الاختبارات عبر الإنترنت. باستخدام Google Classroom و Chromebook و Google Forms ، يمكن للطلاب إجراء اختبار عبر الإنترنت ؛ حيث يقفل Google جهاز Chromebook. لا يستطيع الطلاب زيارة أي مواقع ويب أخرى أثناء إجراء التقييم. إذا حاولوا ، فسيقوم Google بخفض درجة التقييم إلى النصف وإرسال بريد إلكتروني إلى المعلم.

موقع YouTube

لقد قيل أنه يمكن للمرء أن يتعلم أي شيء على موقع يوتيوب. وهذا صحيح. استخدم YouTube في غرفة الصف التابعة لك لعرض مقاطع الفيديو التي قد تساعد الطلاب "من خلال" ما تحاول تعليمهم إياه.

إد

هذا هو مورد رائع. يمكن للمعلمين والطلاب استخدامها لإنشاء مقاطع فيديو.

صندوق الاحلام

هذا موقع إلكتروني مبني على لعبة ممتعة حيث يتعين على الطلاب حل المشكلات الرياضية المناسبة على مستوى الصف الدراسي للتقدم إلى المستوى التالي وكسب العملات الذهبية.

ABCya!

موقع ويب آخر قائم على اللعبة حيث يجب على الطلاب حل مشكلة الرياضيات للمضي قدمًا. هنا يمكن تخصيص ألعاب الطلاب من خلال المعايير الأساسية المشتركة.

Zipgrades

Zipgrades هي الإصدار الجديد من scantrons. يمكنك استخدام أوراقهم (تنزيل مجاني) وهاتفك لتصنيف scantron الخاص بهم. يعمل بشكل رائع معظم الوقت ، لأكون صادقًا. ولكن إذا لم يكن لدى مدرستك آلة scantron ، فقد يكون هذا هو الخيار الأفضل التالي.

ديسموس

Desmos.com هو حلم علماء الرياضيات أصبح حقيقة. يمكنه رسم أي شيء تقريبًا. هذه أداة تعليمية رائعة إذا كان الفصل الدراسي الخاص بك يحتوي على لوحة ذكية وأنت تقوم بتدريس ما قبل الجبر في الصف السادس.

لوحة الرسم الهندسية

أداة رائعة أخرى للمعلمين. بسهولة جعل الأشكال الهندسية. اطلب من مدرستك شراء ترخيص.

برامج كوتا

تقوم كوتا بعمل أوراق عمل "حفر واقتل" للصفين الخامس والسادس (تستخدم في الغالب لمعلمي المدارس الإعدادية والثانوية.) يمكن العثور على أوراق عمل مجانية ، تم إعدادها بالفعل ، على موقع kutasoftware.com. لإنشاء أوراق العمل الخاصة بك ، اطلب من مدرستك شراء الترخيص.


هل الرياضيات مخترعة أم مكتشفة؟

الرياضيات هي لغة العلم وقد مكنت البشرية من تحقيق تقدم تكنولوجي غير عادي. ليس هناك شك في أن المنطق والنظام اللذين تدعمهما الرياضيات قد خدمنا في وصف الأنماط والبنية التي نجدها في الطبيعة.

النجاحات التي تحققت ، من رياضيات الكون إلى الأجهزة الإلكترونية على المستوى المجهري ، كبيرة. لاحظ أينشتاين ، "كيف يمكن أن تكون الرياضيات ، بعد كل شيء نتاج الفكر البشري المستقل عن التجربة ، مناسبة بشكل مثير للإعجاب لموضوعات الواقع؟"

لا يوجد إجماع بين علماء الرياضيات والعلماء على هذا السؤال الرائع. تشمل الأنواع المختلفة من الردود على معضلة أينشتاين ما يلي:

1) الرياضيات فطرية. السبب في أن الرياضيات هي اللغة الطبيعية للعلم ، هو أن الكون مدعوم بنفس الترتيب. تراكيب الرياضيات متأصلة في الطبيعة. علاوة على ذلك ، إذا اختفى الكون غدًا ، فستظل حقائقنا الرياضية الأبدية موجودة. الأمر متروك لنا لاكتشاف الرياضيات وطرق عملها - وهذا سيساعدنا بعد ذلك في بناء النماذج التي ستمنحنا القدرة على التنبؤ وفهم الظواهر الفيزيائية التي نسعى للسيطرة عليها. هذا الموقف الرومانسي هو ما أسميه بشكل فضفاض الأفلاطونية الرياضية.

2) الرياضيات هي بناء بشري. السبب الوحيد الذي يجعل الرياضيات مناسبة بشكل مثير للإعجاب لوصف العالم المادي هو أننا اخترعناها للقيام بذلك. إنه نتاج العقل البشري ونحن نصنع الرياضيات ونحن نمضي قدمًا لتناسب أهدافنا. إذا اختفى الكون ، فلن تكون هناك رياضيات بنفس الطريقة التي لا توجد بها كرة القدم أو التنس أو الشطرنج أو أي مجموعة أخرى من القواعد ذات الهياكل العلائقية التي ابتكرناها. لم يتم اكتشاف الرياضيات ، لقد تم اختراعها. هذا هو الموقف غير الأفلاطوني.

3) الرياضيات ليست ناجحة. أولئك الذين يتعجبون من الانتشار الواسع للتطبيقات الرياضية ربما تم إغرائهم بالمبالغة في نجاحاتهم. المعادلات الرياضية التحليلية تصف فقط العالم الحقيقي تقريبًا ، وحتى في هذه الحالة تصف فقط مجموعة فرعية محدودة من جميع الظواهر من حولنا. نميل إلى التركيز على تلك المشاكل الجسدية التي نجد طريقة لتطبيق الرياضيات لها ، لذا فإن التركيز المفرط على هذه النجاحات هو شكل من أشكال "قطف الكرز". هذا هو الموقف الواقعي.

4) حافظ على هدوئك واستمر. ما يهم هو أن الرياضيات تعطي نتائج. وفر الهواء الساخن للفلاسفة. وهذا ما يسمى موقف "اخرس واحسب".

إن الجدل حول الطبيعة الأساسية للرياضيات ليس جديدًا بأي حال من الأحوال ، وقد احتدم منذ زمن الفيثاغورس. هل يمكننا استخدام الإدراك المتأخر الآن لإلقاء الضوء على المواضع الأربعة المذكورة أعلاه؟

التطور الأخير في القرن الماضي كان اكتشاف الفركتلات. يمكن إنشاء أنماط معقدة جميلة ، مثل مجموعة Mandelbrot ، من معادلات تكرارية بسيطة. يشير الأفلاطونيون الرياضيون بشغف إلى أن الأنماط الكسورية الأنيقة شائعة في الطبيعة ، وأن علماء الرياضيات يكتشفونها بوضوح بدلاً من اختراعها. الحجة المضادة هي أن أي مجموعة من القواعد لها خصائص ناشئة. على سبيل المثال ، من الواضح أن قواعد الشطرنج هي اختراع بشري ، لكنها تؤدي إلى مجموعة من الخصائص الأنيقة والمذهلة في بعض الأحيان. هناك عدد لا حصر له من المعادلات التكرارية المحتملة التي يمكن للمرء أن يبنيها ، وإذا ركزنا على المجموعة الفرعية الصغيرة التي تؤدي إلى أنماط كسورية جميلة ، فإننا ببساطة أغوينا أنفسنا.

خذ على سبيل المثال القرود اللانهائية على لوحات المفاتيح. يبدو معجزة عندما يكتب قرد واحد سونيت شكسبير. لكن عندما نرى السياق بأكمله ، ندرك أن جميع القرود تقوم فقط بكتابة رطانة. بطريقة مماثلة ، من السهل أن يتم إغرائك بالتفكير في أن الرياضيات فطرية معجزة إذا ركزنا بشكل مفرط على نجاحاتها ، دون مشاهدة الصورة الكاملة.

وجهة النظر غير الأفلاطونية هي ، أولاً ، أن جميع النماذج الرياضية تقريبية للواقع. ثانيًا ، تفشل نماذجنا ، فهي تمر بعملية مراجعة ، ونبتكر رياضيات جديدة حسب الحاجة. التعبيرات الرياضية التحليلية هي نتاج العقل البشري ، مصممة للعقل. بسبب قوتنا العقلية المحدودة ، نبحث عن أوصاف رياضية مدمجة وأنيقة لعمل تنبؤات. هذه التوقعات ليست مضمونة لتكون صحيحة ، والتحقق التجريبي مطلوب دائمًا. ما شهدناه خلال العقود القليلة الماضية ، مع تقلص أحجام الترانزستور ، هو أن التعبيرات الرياضية المدمجة الرائعة للترانزستورات فائقة الصغر غير ممكنة. يمكننا استخدام معادلات مرهقة للغاية ، لكن ليس هذا هو الهدف من الرياضيات. لذلك نلجأ إلى محاكاة الكمبيوتر باستخدام النماذج التجريبية. وهذا هو مقدار الهندسة المتطورة التي يتم إجراؤها هذه الأيام.

الصورة الواقعية هي ببساطة امتداد لهذا الموقف غير الأفلاطوني ، مؤكدة أن التعبيرات الرياضية التحليلية المضغوطة للعالم المادي من حولنا ليست ناجحة أو منتشرة في كل مكان كما نود تصديقه. الصورة التي تظهر باستمرار هي أن جميع النماذج الرياضية للعالم المادي تنهار في مرحلة ما. علاوة على ذلك ، فإن أنواع المشكلات التي تعالجها التعبيرات الرياضية الأنيقة هي مجموعة فرعية تتقلص بسرعة من جميع الأسئلة العلمية الناشئة حاليًا.

لكن لماذا كل هذا مهم؟ يخبرنا موقع "اخرس واحسب" أنه لا داعي للقلق بشأن مثل هذه الأسئلة. تظهر حساباتنا كما هي ، بغض النظر عن ما نعتقده شخصيًا ، لذا حافظ على هدوئك واستمر.

أنا شخصياً أعتقد أن السؤال مهم. قصتي الشخصية هي أنني كنت أفلاطونيًا. اعتقدت أن كل الأشكال الرياضية كانت كذلك موهوب وتنتظر من يكتشفها. هذا يعني أنني كافحت فلسفيًا لأخذ حدود إلى اللانهاية ، على سبيل المثال. لقد اعتدت على ذلك فحسب وقبلته تحت وطأة المعاناة. خلال أيام دراستي الجامعية ، مررت بلحظة من التنوير وتحولت إلى اللا أفلاطونية. شعرت بعبء ثقيل يرفعه عن كتفي. في حين أن هذا لم يؤثر أبدًا على حساباتي المحددة ، أعتقد أن الموقف غير الأفلاطوني يمنحنا حرية أكبر في التفكير. إذا قبلنا أن الرياضيات قد تم اختراعها ، بدلاً من اكتشافها ، فيمكننا أن نكون أكثر جرأة ، ونطرح أسئلة أعمق ، ونكون متحمسًا لإحداث المزيد من التغيير.

هل تتذكر كيف أدت الأرقام غير المنطقية إلى تحجيم البيجس من فيثاغورس؟ أو الوقت اللامتناهي الذي استغرقته البشرية لإدخال الصفر في الحساب؟ هل تذكرون قرونًا من الجدل الذي دار حول ما إذا كانت الأرقام السالبة صحيحة أم لا؟ تخيل أين سيكون العلم والهندسة اليوم إذا تم حل هذه الحجة قبل قرون. إن ويلات التفكير الأفلاطوني هي التي أعاقت التقدم. أنا أزعم أن الموقف غير الأفلاطوني يحررنا من القيود الفكرية ويسرع التقدم.

معلومات اكثر: ديريك أبوت ، "عدم الفعالية المعقولة للرياضيات ،" وقائع IEEE ، المجلد. 101 ، العدد 10 ، ص 2147-2153 ، 2013.


كيف & quot إثبات & quot أن 2 = 1

دعونا نبدأ رحلتنا إلى عالم غريب من البراهين الرياضية التي تبدو صحيحة ، ولكن من الواضح أنها سخيفة من خلال إقناع أنفسنا بأن 1 + 1 = 1. وبالتالي فإن 2 = 1. أعلم أن هذا يبدو مجنونًا ، ولكن إذا اتبعت المنطق ولا تعرف الخدعة بالفعل) ، أعتقد أنك & # 39 ستجدين أن & quotproof & quot؛ مقنعة جدًا.

انتظر ماذا؟! كل ما فعلناه هناك بدا معقولا تماما. كيف بحق السماء انتهى بنا المطاف بإثبات أن 2 = 1؟


محتويات

نُشرت المراجع الأولى للثابت في عام 1618 في جدول ملحق لعمل جون نابير على اللوغاريتمات. [9] ومع ذلك ، هذا لا يحتوي على الثابت نفسه ، ولكن ببساطة قائمة اللوغاريتمات المحسوبة من الثابت. من المفترض أن الجدول كتب بواسطة William Oughtred.

يُنسب اكتشاف الثابت نفسه إلى Jacob Bernoulli في عام 1683 ، [13] [14] الذي حاول العثور على قيمة التعبير التالي (الذي يساوي e):

أول استخدام معروف للثابت ممثلة بالحرف ب ، كان في مراسلات من جوتفريد لايبنيز إلى كريستيان هيغنز في 1690 و 1691. [15] قدم ليونارد أويلر الحرف e كأساس للوغاريتمات الطبيعية ، وكتب في رسالة إلى كريستيان جولدباخ في 25 نوفمبر 1731. [16] [17] أويلر بدأ استخدام الحرف e للثابت في عام 1727 أو 1728 ، في ورقة غير منشورة عن القوات المتفجرة في المدافع ، [18] [19] بينما كان أول ظهور لـ e في منشور في أويلر ميكانيكا (1736). [20] على الرغم من أن بعض الباحثين استخدموا الرسالة ج في السنوات اللاحقة ، كان الحرف e أكثر شيوعًا وأصبح في النهاية قياسيًا. [ بحاجة لمصدر ]

في الرياضيات ، المعيار هو كتابة الثابت كـ "e" ، ويوصي معيار ISO 80000-2: 2019 بخط مائل بتنضيد الثوابت بأسلوب قائم ، ولكن لم يتم التحقق من صحة ذلك من قبل المجتمع العلمي. [ بحاجة لمصدر ]

تحرير الفائدة المركبة

اكتشف جاكوب برنولي هذا الثابت في عام 1683 ، أثناء دراسة سؤال حول الفائدة المركبة: [9]

يبدأ الحساب بمبلغ 1.00 دولار ويدفع فائدة بنسبة 100 بالمائة سنويًا. إذا تم قيد الفائدة مرة واحدة ، في نهاية العام ، ستكون قيمة الحساب في نهاية العام 2.00 دولار. ماذا يحدث إذا تم احتساب الفائدة وقيدها بشكل متكرر خلال العام؟

إذا تم إيداع الفائدة مرتين في السنة ، فإن معدل الفائدة لكل 6 أشهر سيكون 50٪ ، لذلك يتم ضرب 1 دولار الأولي في 1.5 مرتين ، مما ينتج عنه 1.00 دولار × 1.5 2 = 2.25 دولار في نهاية العام. عوائد ربع سنوية مركبة $ 1.00 × 1.25 4 = 2.4414 دولار. ، ومضاعفة العوائد الشهرية 1.00 دولار × (1 + 1/12) 12 = 2.613035 دولار ... إذا كان هناك ن فترات مركبة ، الفائدة لكل فترة ستكون 100٪ /ن وستكون القيمة في نهاية العام 1.00 دولار × (1 + 1 /ن) ن .

لاحظ برنولي أن هذا التسلسل يقترب من حد (قوة الاهتمام) أكبر ن وبالتالي ، فترات مركبة أصغر. يتضاعف أسبوعيا ( ن = 52) ينتج عنه 2.692597 دولار. بينما تتضاعف يوميا ( ن = 365) ينتج 2.714567 دولارًا أمريكيًا. (حوالي سنتان أكثر). الحد مثل ن ينمو بشكل كبير هو الرقم الذي أصبح يعرف باسم e. هذا هو ، مع مستمر مضاعفة ، ستصل قيمة الحساب إلى 2.718281828 دولار.

بشكل عام ، حساب يبدأ من 1 دولار ويقدم معدل فائدة سنوي قدره ص سوف بعد ر سنوات ، العائد ه آر تي دولار مع مضاعفة مستمرة.

(لاحظ هنا أن ص هو المعادل العشري لمعدل الفائدة المعبر عنه كـ a النسبة المئوية، لذلك بفائدة 5٪ ، ص = 5/100 = 0.05 .)

تحرير محاكمات برنولي

يحتوي الرقم e نفسه أيضًا على تطبيقات في نظرية الاحتمالات ، بطريقة لا ترتبط بوضوح بالنمو الأسي. لنفترض أن أحد المقامر يلعب ماكينة قمار تُدفع مع احتمال واحد في ن ويلعبها ن مرات. ثم ، على نطاق واسع ن ، فإن احتمال خسارة اللاعب لكل رهان هو تقريبًا 1 /ه . إلى عن على ن = 20 ، هذا بالفعل ما يقرب من 1 / 2.79.

هذا مثال على عملية محاكمة برنولي. في كل مرة يلعب فيها المقامر ماكينات القمار ، يكون هناك واحد في ن فرصة للفوز. تلعب ن يتم نمذجة الأوقات من خلال التوزيع ذي الحدين ، والذي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية ذات الحدين ومثلث باسكال. احتمالية الفوز ك مرات خارج ن المحاكمات هي:

على وجه الخصوص ، احتمال الفوز صفر مرات ( ك = 0) هو

حد التعبير أعلاه ، مثل ن يميل إلى اللانهاية ، هو بالضبط 1 /ه .

تحرير التوزيع الطبيعي القياسي

يُعرف التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​صفر وانحراف معياري للوحدة باسم التوزيع القياسي، من خلال دالة كثافة الاحتمال

ينتج عن قيد تباين الوحدة (وبالتالي أيضًا الانحراف المعياري للوحدة) 1/2 في الأس ، وقيد المساحة الكلية للوحدة تحت المنحنى ϕ (x) < displaystyle phi (x)> ينتج عنه العامل 1/2 π >>. [دليل] هذه الوظيفة متناظرة حولها x = 0 ، حيث تبلغ الحد الأقصى لقيمتها 1/2 π >> ، ولها نقاط انعطاف عند x = ±1 .

تعديل التشوهات

هناك تطبيق آخر لـ e ، اكتشفه جزئيًا Jacob Bernoulli جنبًا إلى جنب مع Pierre Remond de Montmort ، وهو في مشكلة الاختلالات ، والمعروفة أيضًا باسم مشكلة الاختيار قبعة: [21] ن المدعوون مدعوون إلى حفلة ، وعند الباب ، يقوم الضيوف جميعًا بفحص قبعاتهم مع الخادم الشخصي ، الذي بدوره يضع القبعات في ن مربعات ، كل منها يحمل اسم ضيف واحد. لكن الخادم الشخصي لم يسأل عن هويات الضيوف ، ولذلك قام بوضع القبعات في الصناديق المختارة عشوائيًا. مشكلة دي مونتمورت هي إيجاد احتمالية ذلك لا أحد من القبعات في المربع الصحيح. هذا الاحتمال ، يُشار إليه بـ p n < displaystyle p_!> هو:

كرقم ن من الضيوف يميلون إلى اللانهاية ، صن نهج 1 /ه . علاوة على ذلك ، فإن عدد الطرق التي يمكن من خلالها وضع القبعات في الصناديق بحيث لا تكون أي من القبعات في المربع الصحيح هي ن!/ه (مقربًا إلى أقرب عدد صحيح لكل موجب ن ). [22]

مشاكل التخطيط الأمثل

عصا طولها L مقسمة إلى n أجزاء متساوية. عندئذٍ تكون قيمة n التي تزيد من حاصل ضرب الأطوال إما [23]

تحرير المقارب

الرقم e يحدث بشكل طبيعي فيما يتعلق بالعديد من المشاكل التي تنطوي على التقارب. مثال على ذلك هو صيغة ستيرلنغ لتقارب الدالة العاملية ، حيث يظهر كل من الرقمين e و:

الدافع الرئيسي لإدخال الرقم e ، لا سيما في حساب التفاضل والتكامل ، هو إجراء حساب التفاضل والتكامل مع الدوال الأسية واللوغاريتمات. [24] دالة أسية عامة ذ = أ x له مشتق ، معطى بحد:

الحد بين قوسين على اليمين مستقل عن المتغير x . تبين أن قيمتها هي لوغاريتم أ لقاعدة البريد. وهكذا ، عندما تكون قيمة أ تم ضبطه على e ، وهذا الحد يساوي 1 ، ومن ثم يصل المرء إلى الهوية البسيطة التالية:

وبالتالي ، فإن الدالة الأسية بالقاعدة e مناسبة بشكل خاص لحساب التفاضل والتكامل. اختيار e (على عكس بعض الأرقام الأخرى كأساس للدالة الأسية) يجعل العمليات الحسابية التي تتضمن المشتقات أبسط بكثير.

يأتي دافع آخر من النظر في مشتق القاعدة- أ اللوغاريتم (أي سجلأ x ) ، [25] من أجل x & GT 0:

ddx log a ⁡ x = lim h → 0 log a ⁡ (x + h) - log a ⁡ (x) h = lim h → 0 log a ⁡ (1 + h / x) x ⋅ h / x = 1 x log a ⁡ (lim u → 0 (1 + u) 1 u) = 1 x log a ⁡ e، < فارك > log _x & amp = lim _> & amp = lim _> & amp = < frac <1>> سجل _ يسار ( ليم _(1 + u) ^ < frac <1>> right) & amp = < frac <1>> log _e، end>>

حيث الاستبدال ش = ح/x صنع. الأساس- لوغاريتم e هو 1 ، إذا كان a يساوي e. لذلك بشكل رمزي ،

يُطلق على اللوغاريتم الذي يحتوي على هذه القاعدة الخاصة اللوغاريتم الطبيعي ، ويُشار إليه على أنه ln يتصرف جيدًا في ظل التفاضل نظرًا لعدم وجود حد غير محدد لإجراء العمليات الحسابية.

وبالتالي ، هناك طريقتان لاختيار هذه الأرقام الخاصة أ. إحدى الطرق هي تعيين مشتق الدالة الأسية أ x يساوي أ x ، وحل من أجل أ . الطريقة الأخرى هي تعيين مشتق الأساس أ اللوغاريتم ل 1 /x وحلها أ . في كل حالة ، يصل المرء إلى اختيار مناسب للقاعدة للقيام بحساب التفاضل والتكامل. اتضح أن هذين الحلين لـ a هما في الواقع نفس الشيء: الرقم هـ.

تحرير التوصيفات البديلة

التوصيفات الأخرى لـ e ممكنة أيضًا: أحدها يمثل حدًا للتسلسل ، والآخر يمثل مجموع سلسلة لا نهائية ، ولا يزال البعض الآخر يعتمد على حساب التفاضل والتكامل. حتى الآن ، تم تقديم الخاصيتين (المكافئتين) التاليتين:

يمكن إثبات أن الخصائص الأربعة التالية متكافئة:

تحرير حساب التفاضل والتكامل

كما في الدافع ، الوظيفة الأسية ه x مهم جزئيًا لأن الوظيفة الفريدة غير البسيطة هي مشتقها (حتى الضرب في ثابت):

وبالتالي مشتقها العكسي أيضًا:

تحرير عدم المساواة

الرقم ه هو الرقم الحقيقي الفريد من نوعه

أيضا ، لدينا عدم المساواة

لكل حقيقي x ، بالمساواة إذا وفقط إذا x = 0. علاوة على ذلك، ه هو الأساس الفريد للأس الذي من أجله المتباينة أ xx + 1 يحمل للجميع x . [27] هذه حالة مقيدة من عدم مساواة برنولي.

وظائف تشبه الأسي تحرير

تطلب مشكلة شتاينر إيجاد الحد الأقصى العالمي للوظيفة

هذا الحد الأقصى يحدث على وجه التحديد في x = ه .

قيمة هذا الحد الأقصى هي 1.4446 6786 1009 7661 3365. (دقيقة حتى 20 منزلة عشرية).

بصورة مماثلة، x = 1/ه هو المكان الذي يحدث فيه الحد الأدنى العام للدالة

محددة للإيجابية x . بشكل عام ، للوظيفة

الحد الأقصى العالمي للإيجابية x يحدث في x = 1/ه لأي ن & lt 0 والحد الأدنى العالمي يحدث عند x = ه −1/ن لأي ن & GT 0.

يتقارب إذا وفقط إذا ههxه 1/ه (أو ما بين 0.0660 و 1.4447 تقريبًا) ، بسبب نظرية ليونارد أويلر. [29]

تحرير نظرية الأعداد

الرقم الحقيقي e غير منطقي. أثبت أويلر ذلك من خلال إظهار أن توسع الكسر البسيط المستمر لا نهائي. [30] (انظر أيضًا دليل فورييه على ذلك ه غير منطقي.)

علاوة على ذلك ، من خلال نظرية Lindemann-Weierstrass ، فإن e متسامي ، مما يعني أنه ليس حلاً لأي معادلة متعددة الحدود غير ثابتة ذات معاملات عقلانية. كان هذا هو الرقم الأول الذي تم إثبات أنه متسامي دون أن يتم إنشاؤه خصيصًا لهذا الغرض (مقارنة برقم ليوفيل) ، وقد قدم الدليل تشارلز هيرميت في عام 1873.

يُخمن أن البريد أمر طبيعي ، وهذا يعني أنه متى ه يتم التعبير عنها في أي قاعدة يتم توزيع الأرقام المحتملة في تلك القاعدة بشكل موحد (تحدث باحتمالية متساوية في أي تسلسل بطول معين).

تحرير الأعداد المركبة

الوظيفة الأسية ه x يمكن كتابتها كسلسلة تايلور

نظرًا لأن هذه السلسلة متقاربة لكل قيمة معقدة لـ x ، يتم استخدامها بشكل شائع لتوسيع تعريف ه x للأعداد المركبة. هذا ، مع سلسلة تايلور للخطيئة وجيب التمام x ، يسمح للشخص باشتقاق صيغة أويلر:

الذي يحمل كل مجمع x . الحالة الخاصة مع x = π هي هوية أويلر:

الذي يتبع ذلك ، في الفرع الرئيسي للوغاريتم ،

علاوة على ذلك ، باستخدام قوانين الأس ،

يشار إليه أحيانًا باسم رابطة الدول المستقلة (x) .

تعابير الخطيئة x وجيب التمام x من حيث الوظيفة الأسية يمكن استنتاجها:

تحرير المعادلات التفاضلية

حيث C هو أي رقم حقيقي ، هو حل المعادلة التفاضلية

يمكن تمثيل الرقم e بعدة طرق: كسلسلة لا نهائية ، أو منتج لا نهائي ، أو كسر تابع ، أو حد للتسلسل. اثنان من هذه التمثيلات ، غالبًا ما يستخدمان في دورات حساب التفاضل والتكامل التمهيدية ، هما الحد

المذكورة أعلاه ، والمسلسل

تم الحصول عليها بالتقييم في x = 1 تمثيل سلسلة القوة أعلاه ه x .

الذي يبدو وكأنه مكتوب

يتقارب هذا الكسر المستمر لـ e ثلاث مرات بسرعة: [ بحاجة لمصدر ]

تم إثبات العديد من السلاسل والتسلسل والكسر المستمر وتمثيلات المنتج اللانهائية لـ e.

التمثيلات العشوائية تحرير

بالإضافة إلى التعبيرات التحليلية الدقيقة لتمثيل e ، هناك تقنيات عشوائية لتقدير البريد. يبدأ أحد هذه الأساليب بتسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية المستقلة X1 , X2 . مستمدة من التوزيع المنتظم على [0 ، 1].يترك الخامس يكون أقل عدد ن بحيث يكون مجموع الأول ن تتجاوز الملاحظات 1:

ثم القيمة المتوقعة لـ الخامس أرى(الخامس) = ه . [33] [34]

تعديل الأرقام المعروفة

زاد عدد الأرقام المعروفة لـ e بشكل كبير خلال العقود الماضية. هذا يرجع إلى كل من الأداء المتزايد لأجهزة الكمبيوتر والتحسينات الخوارزمية. [35] [36]

عدد الأرقام العشرية المعروفة لـ e
تاريخ أرقام عشرية الحساب المنفذ بواسطة
1690 1 جاكوب برنولي [13]
1714 13 روجر كوتس [37]
1748 23 ليونارد أويلر [38]
1853 137 وليام شانكس [39]
1871 205 وليام شانكس [40]
1884 346 ماركوس بورمان [41]
1949 2,010 جون فون نيومان (على ENIAC)
1961 100,265 دانيال شانكس وجون ورينش [42]
1978 116,000 ستيف وزنياك على التفاح الثاني [43]

منذ حوالي عام 2010 ، أدى انتشار أجهزة الكمبيوتر المكتبية عالية السرعة إلى جعل من الممكن لمعظم الهواة حساب تريليونات أرقام e في غضون فترات زمنية مقبولة. تم حسابه حاليًا حتى 31،415،926،535،897 رقمًا. [44]

أثناء ظهور ثقافة الإنترنت ، قام الأفراد والمنظمات أحيانًا بتكريم الرقم e.

في مثال مبكر ، سمح عالم الكمبيوتر دونالد كنوث لأرقام إصدارات برنامجه Metafont بالاقتراب من e. الإصدارات 2 و 2.7 و 2.71 و 2.718 وما إلى ذلك. [45]

في حالة أخرى ، تقديم الاكتتاب العام لشركة Google في عام 2004 ، بدلاً من مبلغ نقدي نموذجي من المال ، أعلنت الشركة عن نيتها جمع 2،718،281،828 دولارًا أمريكيًا ، وهو ما يعادل e مليار دولار تقريبًا إلى أقرب دولار.

كانت Google مسؤولة أيضًا عن لوحة إعلانات [46] ظهرت في قلب وادي السيليكون ، ولاحقًا في كامبريدج ، وماساتشوستس ، وسياتل ، وواشنطن ، وأوستن ، تكساس. نصها ".com ". أول عدد أولي مكون من 10 أرقام في e هو 7427466391 ، والذي يبدأ بالرقم 99. [47] أدى حل هذه المشكلة وزيارة موقع الويب المعلن عنه (الذي لم يعد موجودًا حاليًا) إلى مشكلة أكثر صعوبة في الحل ، والتي تتكون من إيجاد الحد الخامس في المتسلسلة 7182818284، 8182845904، 8747135266، 7427466391. اتضح أن المتسلسلة تتكون من 10 أرقام موجودة في أرقام متتالية من e والتي تم جمع أرقامها إلى 49. الحد الخامس في المتسلسلة هو 5966290435 ، والذي يبدأ في الرقم 127. [48] أدى حل هذه المشكلة الثانية أخيرًا إلى صفحة ويب Google Labs حيث تمت دعوة الزائر لتقديم سيرته الذاتية. [49]


1.3: كيف وصلنا إلى هنا؟ - الرياضيات

فيثاغورس والفيثاغورس

تاريخيًا ، تعني فيثاغورس أكثر بكثير من النظرية المألوفة حول المثلثات القائمة. أثرت فلسفة فيثاغورس ومدرسته على ألياف الرياضيات والفيزياء ، حتى التقاليد الغربية للتعليم الليبرالي بغض النظر عن النظام.

كانت فلسفة فيثاغورس المصدر الرئيسي لإلهام أفلاطون وأرسطو ، وكان تأثير هؤلاء الفلاسفة بلا شك ولا يقاس.

فيثاغورس والفيثاغورس

لا يُعرف سوى القليل عن حياته. ولد فيثاغورس (fl 580-500 قبل الميلاد) في ساموس على الساحل الغربي لما يعرف الآن بتركيا. وبحسب ما ورد كان ابن مواطن كبير ، مينسارخوس. هناك عاش لسنوات عديدة تحت حكم الطاغية بوليكراتس ، الذي كان يميل إلى تبديل التحالفات في أوقات الصراع - التي كانت متكررة.

التقى تاليس ، على الأرجح عندما كان شابًا ، الذي أوصى بالسفر إلى مصر. يبدو من المؤكد أنه اكتسب الكثير من معرفته من المصريين ، كما فعل طاليس من قبله.

ربما بسبب النزاعات والصراعات المستمرة في ساموس ، استقر فيثاغورس في كروتون ، على الساحل الشرقي لإيطاليا ، مكان يسوده السلام والأمان النسبي.

ومع ذلك ، بمجرد وصوله ، خسر كروتون حربًا ضد مدينة لوكري المجاورة ، ولكن سرعان ما هزم مدينة سيباريس الفاخرة تمامًا.

هذا هو المكان الذي بدأ فيه فيثاغورس مجتمعه.

  • الامتناع عن الفول.
  • لا تلتقط ما سقط.
  • عدم لمس ديك أبيض.
  • عدم إثارة النار بالحديد.
  • لا تنظر في المرآة بجانب الضوء.

ربما كان النباتيون يمارسون بصرامة لأن فيثاغورس بشر بتناسخ الأرواح.

تمثل مدرسة فيثاغورس التقليد الصوفي على عكس التقليد العلمي !!

في الواقع ، اعتبر فيثاغورس نفسه صوفيًا وحتى شبه إلهي. سعيد فيثاغورس

من المحتمل أن يكون فيثاغورس متهورًا.

  • اعتبرت مدرسة فيثاغورس الرجال والنساء على قدم المساواة.
  • لقد استمتعوا بأسلوب حياة مشترك.
  • كانت الملكية مشتركة.
  • حتى الاكتشافات الرياضية كانت جماعية ونسبت إلى فيثاغورس نفسه - حتى من القبر. وبالتالي ، من الصعب التأكد مما اكتشفه فيثاغورس شخصيًا.

فلسفة فيثاغورس

تم ذكر أساس فلسفة فيثاغورس ببساطة:

& quot هناك ثلاثة أنواع من الرجال وثلاثة أنواع من الأشخاص الذين يحضرون الألعاب الأولمبية. الطبقة الدنيا تتكون من أولئك الذين يأتون للشراء والبيع ، يليهم أولئك الذين يتنافسون. ومع ذلك ، فإن أفضل ما في الأمر هو أولئك الذين يأتون لمجرد النظر. وبالتالي ، فإن أعظم تنقية للجميع هو العلم اللامبالي ، والرجل هو الذي يكرس نفسه لذلك ، الفيلسوف الحقيقي ، الذي حرر نفسه بشكل فعال من "عجلة الولادة".

رسالة هذا المقطع تتعارض جذريًا مع القيم الحديثة. نحن بحاجة فقط للنظر في الرياضة والسياسة.

أليس التبجيل في هذه الأيام ينحصر في "النجوم الخارقين"؟

ألا توجد مطالب في كل مكان للمساءلة !!

فلسفة فيثاغورس

الرجل المحترم ، في هذا المقطع ، قد امتد طويلًا مع هذه الفلسفة ، لأنه كان مرتبطًا بالعبقرية اليونانية ، لأن `` فضيلة التأمل والاقتباس اكتسبت التأييد اللاهوتي ، ولأن نموذج الحقيقة النزيهة كرّم الحياة الأكاديمية.

فلسفة فيثاغورس & # 225la برتراند راسل

من برتراند راسل ، لدينا

& quotI لهذا الرجل المحترم نحن مدينون بالرياضيات البحتة. كانت المثالية التأملية - لأنها أدت إلى الرياضيات البحتة - مصدر نشاط مفيد. وهذا زاد من هيبتها ونجحت في اللاهوت والأخلاق والفلسفة

أصبحت الرياضيات ، التي تم تكريمها جدًا ، نموذجًا للعلوم الأخرى. أصبح الفكر متفوقًا على الحواس فصار الحدس متفوقًا على الملاحظة.

بدأ الجمع بين الرياضيات واللاهوت مع فيثاغورس. لقد ميزت الفلسفة الدينية في اليونان ، في العصور الوسطى ، وهبوطا عبر كانط. في أفلاطون وأكويني وديكارت وسبينوزا وكانط ، هناك مزج بين الدين والعقل ، والطموح الأخلاقي مع الإعجاب المنطقي بما هو خالد.

كانت الأفلاطونية أساسًا مذهب فيثاغورس. يمكن أن يُعزى المفهوم الكامل للعالم الأبدي الذي ينكشف للعقل ولكن ليس للحواس من تعاليم فيثاغورس.

اكتسبت مدرسة فيثاغورس تأثيرًا كبيرًا في كروتون وأصبحت نشطة سياسيًا - إلى جانب الطبقة الأرستقراطية. ربما لهذا السبب ، بعد فترة انقلب المواطنون عليه وعلى أتباعه وأحرقوا منزله. بعد إجباره على الخروج ، انتقل إلى Metapontum ، أيضًا في جنوب إيطاليا. هنا مات في سن الثمانين. عاشت مدرسته ، بالتناوب بين الانحدار والعودة للظهور ، لعدة مئات من السنين.

يعتقد التقليد أن فيثاغورس لم يترك أي أعمال مكتوبة ، ولكن أفكاره تم تنفيذها من قبل تلاميذه المتحمسين.

ما هو معروف عن مدرسة فيثاغورس هو من كتاب كتبه فيثاغورس ، فيلولاوس تارانتوم. من هذا الكتاب تعلم أفلاطون فلسفة فيثاغورس.

كان القول المأثور لمدرسة فيثاغورس هو الكل رقم.

  • رقم واحد: رقم السبب.
  • الرقم الثاني: الرقم الأول زوجي أو أنثى ، رقم الرأي.
  • الرقم الثالث: أول رقم حقيقي للذكور ، عدد الانسجام.
  • العدد الرابع: عدد العدل أو القصاص.
  • الرقم خمسة: الزواج.
  • الرقم ستة: الخلق
  • الرقم عشرة: الكواكب ، رقم الكون.

نقطة واحدة: مولد الأبعاد. نقطتان: مولد لخط بعد واحد ثلاث نقاط: مولد لمثلث ذي بعدين أربع نقاط: مولد رباعي السطوح ، من البعد الثالث.

مجموع هؤلاء هو عشرة ويمثل جميع الأبعاد. لاحظ تجريد المفهوم. هذه مسافة من `` أصابع اليدين والقدمين ومثل.

تصنيف الأرقام. بالتأكيد يعود التمييز بين الأعداد الفردية والزوجية إلى فيثاغورس. من فيلولاوس ، نتعلم ذلك

  • الرقم الأولي مستقيم الخط ، مما يعني أنه لا يمكن تحديده إلا في بُعد واحد. لم يتم اعتبار الرقم 2 في الأصل عددًا أوليًا ، أو حتى كرقم على الإطلاق.
  • الرقم المركب هو الذي يقاس بعدد ما. (إقليدس)
  • رقمان أوليان لبعضهما البعض أو مركبان لبعضهما البعض إذا كان القاسم المشترك الأكبر بينهما هو واحد أو أكبر من واحد ، على التوالي.

اقتراح. هناك عدد لا حصر له من الأعداد الأولية.

دليل - إثبات. (إقليدس) افترض أنه لا يوجد سوى عدد محدود من الأعداد الأولية. يترك . العدد الصحيح N -1 ، باعتباره ناتجًا عن الأعداد الأولية ، له قاسم أولي مشترك مع N لذلك ، يقسم N - (N -1) = 1 ، وهو أمر سخيف!

البحث عن الأعداد الأولية مستمر. ابتكر إراتسوثينيس (276 قبل الميلاد - 197 قبل الميلاد) ، الذي عمل في الإسكندرية ، سيفًا لتحديد الأعداد الأولية. يعتمد هذا السيف على مفهوم بسيط:

استبعد كل الأرقام ، ثم حدد جميع مضاعفات 2 ، ثم 3 ، ثم 5 ، وهكذا. يتم تحديد أولي عندما لا يتم تمييز الرقم. لذلك ، يتم الكشف عن 3 بعد وضع علامة على مضاعفات الرقمين ، يتم الكشف عن 5 بعد تمييز مضاعفات الرقمين والثالثة.

يستمر البحث عن الأعداد الأولية الكبيرة: فيما يلي قائمة بأكبر عدد تم العثور عليه حتى الآن. للحصول على قدر كبير من المعلومات حول الأعداد الأولية ، بما في ذلك الأرقام أدناه ، تحقق من طريقة الصفحة الرئيسية للصفحة الرئيسية A الخاصة ، تم اشتقاق اختبار Lucas-Lehmer للتحقق من البدائية.

تم الإبلاغ عن التقسيمات الفرعية للأرقام الزوجية بواسطة Nicomachus (فيثاغورس جديد ،

100 م). زوجي-زوجي - زوجي-فردي - 2 (2 م +1) فردي-زوجي -

التقسيمات الفرعية المتشابهة للأرقام الفردية هي: الأولية وغير المركبة - الأعداد الأولية العادية باستثناء 2 ، والثانوية والمركبة - المركب العادي مع العوامل الأولية فقط ، والأولية نسبيًا - رقمان مركبان ولكنهما أوليان وغير مركبين لرقم آخر ، على سبيل المثال 9 و 25.

في الواقع ، يتم تضمين الفئة الثالثة بالكامل في الفئة الثانية.

تُنسب أيضًا إلى فيثاغورس دراسة الأعداد الكاملة والودية والناقصة.

يعتبر الرقم n مثاليًا إذا كان مجموع المقسوم عليه هو نفسه: أمثلة: (6 ، 28 ، 496 ، 8128 ،). في إقليدس ، نجد الافتراض: إذا كان عددًا أوليًا ، فهو مثالي. (جرب ، p = 2 ، 3 ، 5 ، 7 للحصول على الأرقام أعلاه.)

يُطلق على زوج الرقمين a و b اسم ودي إذا كانت قواسم المجموع على b ومجموع قواسم b إلى a. مثال: 220 و 284.

بالإضافة إلى ذلك ، تم تصنيف الرقم أ على أنه وافر أو ناقص وفقًا لأن قواسمه مجموعها أكبر أو أقل من أ ، على التوالي.

مثال: 12-قواسم هي: 6،4،3،2،1--. لذا ، 12 متوفر بكثرة.

مثال: جميع الأعداد الأولية ناقصة.

إن مجرد حقيقة العثور على الأعداد المثالية باستخدام المقترحات السابقة قد ولّدت صناعة منزلية لتحديد تلك الأرقام p التي تعتبر عددًا أوليًا. تسمى هذه الأعداد الأولية Mersenne (1588-1648) بعد الراهب في القرن السابع عشر حتى الآن تم العثور على 33 ، على الرغم من أنه من غير المعروف ما إذا كان هناك آخر بين 32 و 33. من غير المعروف ما إذا كان هناك ما لا نهاية.

أرقام مجسمة. كان للأرقام التي تم إنشاؤها هندسيًا أهمية خاصة بالنسبة إلى الفيثاغورس.

الأعداد المثلثية. هذه الأرقام هي 1 ، 3 ، 6 ، 10 ،. . الشكل العام هو المألوف

الأعداد المربعة من الواضح أن هذه الأرقام هي مربعات الأعداد الصحيحة 1 و 4 و 9 و 16 وهكذا. ممثلة بمربع من النقاط ، فإنها تثبت (؟) الصيغة المعروفة

إن العقرب هو في الأساس قالب مهندس معماري يميز & quotsimilar & quot الأشكال.

لاحظ أنه تم وضع العقرب بحيث يتم وضع العدد الفردي التالي من النقاط في كل خطوة.

يمكن حساب الأرقام الشكلية من أي نوع.

تظهر الأرقام البنتاغونية والسداسية في الرسوم البيانية أدناه.

لاحظ أن التسلسلات لها مجاميع مقدمة من

وبالمثل ، يتم تحديد الأرقام متعددة الأضلاع لجميع الطلبات ويمكن تمديد هذه العملية إلى مساحة ثلاثية الأبعاد ، حيث ينتج عن الأرقام متعددة السطوح. يقال أن فيلولاوس قال:

سواء علم فيثاغورس عن المثلث الأيمن 3 ، 4 ، 5 أثناء دراسته في مصر أم لا ، كان بالتأكيد على علم به. على الرغم من أن هذه الحقيقة لا يمكن إلا أن تعزز قناعته بأن كل شيء هو رقم. كان سيؤدي أيضًا إلى محاولته العثور على أشكال أخرى. كيف كان سيفعل هذا؟

مكان واحد للبدء هو الأرقام المربعة ، ورتب أن تكون الأرقام الثلاثة المتتالية ثلاثية فيثاغورس! ضع في اعتبارك أي رقم فردي م ،

ضع العقرب حولها. الرقم التالي هو 2 ن +1 ، والذي نفترض أنه مربع.

تطورت هذه الفكرة على مر السنين واتخذت أشكالًا أخرى.

هل أثبت فيثاغورس أو فيثاغورس بالفعل نظرية فيثاغورس؟ على الاغلب لا. على الرغم من سهولة تقديم الدليل ، إلا أن فيثاغورس لم يكن لديهم سوى نظرية تشابه محدودة. وربما كان السبب هو أن الصرامة لم تتقدم بعد إلى هذا المستوى ، على الأقل في الفترة المبكرة والمتوسطة. ومع ذلك ، ربما قدم أواخر فيثاغورس (400 قبل الميلاد) دليلًا على هذه النظريات الأكثر شهرة.

نظرية I-47. في المثلثات القائمة الزاوية ، يكون المربع الموجود على الوتر مساويًا لمجموع المربعات الموجودة على الساقين.

تم تصميم هذا الرقم على غرار الشكل الأصلي الذي استخدمه إقليدس لإثبات النتيجة. ومن المعروف للفرنسيين باسم pon asinorum والعرب باسم العروس.

المزيد من الهندسة فيثاغورس

  • نظريات مختلفة حول المثلثات والخطوط المتوازية والمضلعات والدوائر والأشكال المتعددة السطوح المنتظمة.
  • العمل على فئة من المشاكل في تطبيقات المجالات. (على سبيل المثال ، لإنشاء مضلع لمنطقة معينة ومثل مضلع آخر.)
  • بالنظر إلى قطعة مستقيمة ، قم بالبناء على جزء منه أو على قطعة مستقيمة ممتدة متوازي أضلاع يساوي شكلًا مستقيماً معينًا في المنطقة ويقصر أو يتجاوز متوازي أضلاع مشابه لجزء معين. (في المصطلحات الحديثة ، حل.)

من كبلر لدينا الاقتباس

يتم تعريف الخط AC المقسم إلى النسبة القصوى والمتوسط ​​ليعني أنه مقسم إلى جزأين ، AP و PC بحيث يكون AP: AC = PC: AP ، حيث AP هي الجزء الأطول.

دع AP = x و AC = a. ثم القسم الذهبي

وهذا يعطي المعادلة التربيعية

القسم الذهبي هو الجذر الإيجابي:

وكان هذا كله مرتبطًا ببناء البنتاغون.

الخماسي فيثاغورس

أولا نحن بحاجة لبناء القسم الذهبي. البناء الهندسي ، النوع الوحيد المقبول ، موضح أدناه.

افترض أن المربع ABCE له طول ضلع أ. شطر DC عند E قم ببناء AE القطري ، وقم بتمديد الجزء ED إلى EF ، بحيث تكون EF = AE. بناء مربع DFGH. ينقسم الخط AHD إلى نسبة قصوى ومتوسطة.

مفتاح بناء البوصلة والمسطرة للبنتاغون هو بناء مثلث متساوي الزوايا بزوايا و. نبدأ هذا البناء من الخط AC. لاحظ الشكل

قسّم الخط AC إلى "القسم" بالنسبة إلى نقطتي النهاية. لذلك PC: AC = AP: PC أيضًا AQ: AC = QC: AQ. شطر الخط AC وقم ببناء النقطة B العمودية عند نقطة المنتصف هذه بحيث تكون AP = PB = QB = QC.

تحديد PAB و QPB. ثم . هذا يعني ، وبالتالي. حل من أجلك ، نحصل عليه. نظرًا لأن PBQ هي isoceles ، فإن الزاوية QBP. أكمل الآن السطر BE = AC والخط BD = AC وقم بتوصيل الحواف AE و ED و DC. قم بتطبيق تشابه المثلثات لإظهار أن كل الحواف لها نفس الطول. هذا يكمل البرهان.

المضلعات المنتظمة الوحيدة التي عرفها الإغريق كانت مثلث المواد المتوازنة والبنتاغون. لم يتم إضافة C.F Guass إلى قائمة المضلعات العادية القابلة للبناء حتى عام 1800 تقريبًا من خلال إظهار وجود ثلاثة جوانب أخرى ، من 17 و 257 و 65.537 جانبًا على التوالي. على وجه التحديد ، أظهر أن المضلعات العادية القابلة للإنشاء يجب أن تحتوي على

الجوانب التي تكون فيها أعداد فيرما الأولية مميزة. تذكر ، Fermat Prime هو رئيس له الشكل

حدس فيرمات (1630) أن كل الأعداد من هذا النوع أولية.

كان بيير فيرمات (1601-1665) محامياً في محكمة تولوز (فرنسا). لقد كان عالم رياضيات شغوفًا وشارك أيضًا في الموضة اليوم التي كانت تهدف إلى إعادة بناء روائع الرياضيات اليونانية. رفض عمومًا النشر ، لكنه نقل نتائجه برسالة.

هل هناك أي أعداد أولية أخرى لفيرمات؟ إليك ما هو معروف حتى الآن.

وفقًا لنظرية Gauss ، هناك إنشاءات لمضلعات منتظمة من 3 و 5 و 15 و 257 و 65537 جانبًا ، بالإضافة إلى المضاعفات ،

الجوانب التي تكون فيها أعداد فيرما الأولية مميزة.

نظرية النسبة فيثاغورس

إلى جانب اكتشاف المواد الصلبة الخمسة العادية ، اكتشف فيثاغورس أيضًا نظرية التناسب. ربما تعلم فيثاغورس في بابل الوسائل الأساسية الثلاث ، الحساب ، والهندسة ، والعقارية الفرعية (التي ستُطلق عليها لاحقًا اسم التوافقي).

بدءًا من a & gt b & gt c والدلالة على b كـ - يعني a و c ، فهي:

نظرية النسبة فيثاغورس

في الواقع ، أضاف فيثاغورس أو على الأرجح فيثاغورس سبع نسب أخرى. فيما يلي بعض الأمثلة الواردة في التدوين الحديث:

ملحوظة: يمكن التعبير عن كل منها في تدوين النسبة ، على النحو الوارد أعلاه.

السماح A و G و H يشير إلى الوسائل الحسابية والهندسية والتوافقية ، وتسمى فيثاغورس النسبة

النسبة المثالية. النسبة

كانت تسمى النسبة الموسيقية.

اكتشاف الأشياء غير القابلة للقياس

يُعطى هذا الاكتشاف عادةً لـ Hippasus of Metapontum (سنت قبل الميلاد). تشير إحدى الروايات إلى أن الفيثاغورس كانوا في البحر في ذلك الوقت وعندما أنتج هيباسوس عنصرًا ينكر كل عقيدة فيثاغورس تقريبًا ، تم إلقاؤه في البحر.

نظرية. لا يقارن مع 1.

دليل - إثبات. افترض ذلك ، مع عدم وجود عوامل مشتركة. ثم

وهكذا وبالتالي. إذن ، أ = 2 ج ويتبع ذلك

ومن أين ينتج ذلك بنفس المنطق. هذا تناقض. عرض .1 ارتفاع .1 عمق .0pt

ولكن هل هذا هو الدليل الفعلي المعروف لدى فيثاغورس؟ ملاحظة: على عكس البابليين أو المصريين ، أدرك الفيثاغورس أن هذه الفئة من الأرقام كانت مختلفة تمامًا عن الأسباب المنطقية.

`` بشكل صحيح ، قد نؤرخ بدايات '' النظرية & quot في الرياضيات إلى أول دليل على اللاعقلانية ، لأنه في الرياضيات `` العملية & quot (أو التطبيقية) لا يمكن أن توجد أرقام غير منطقية. & quot ؛ نشأت هنا مشكلة مماثلة لـ أحد الذي بدأ حله العلم الطبيعي النظري: كان من الضروري التأكد من شيء كان من المستحيل تمامًا ملاحظته (في هذه الحالة ، عدم قابلية القياس لقطر المربع مع جانبه).

تم اكتشاف عدم القابلية للقياس من خلال إدخال الدليل غير المباشر ، وعلى ما يبدو في هذا الصدد ، من خلال تطوير نظام تعريف الرياضيات. بشكل عام ، عزز إثبات اللاعقلانية اتباع نهج أكثر صرامة في الهندسة ، لأنه أظهر أن الظاهر والموثوق لا يتطابقان بالضرورة.

هندسة فيثاغورس أخرى

تم تنفيذ تربيع لونات معينة من قبل أبقراط خيوس. يُنسب إليه أيضًا ترتيب النظريات في ترتيب بحيث يمكن إثبات إحداها من نظريات سابقة (كما نرى في إقليدس).

Lune ABD الكبير مشابه للون الأصغر (مع قاعدة على ساق واحدة من المثلث الأيمن متساوي الساقين.


محتويات

الجمع ، والضرب ، والأس ، ثلاث من العمليات الحسابية الأساسية. الجمع ، أبسطها ، يتم التراجع عنه بالطرح: عندما تضيف 5 إلى x لتحصل على x + 5 ، لعكس هذه العملية تحتاج إلى طرح او خصم 5 من x + 5. الضرب ، العملية التالية الأبسط ، يتم التراجع عنه بالقسمة: إذا ضربت x في 5 لتحصل على 5x ، يمكنك بعد ذلك قسمة 5x بمقدار 5 للعودة إلى التعبير الأصلي x. تقوم اللوغاريتمات أيضًا بالتراجع عن عملية حسابية أساسية ، وهي الأس. الأس هو عندما ترفع رقمًا إلى قوة معينة. على سبيل المثال ، رفع 2 إلى أس 3 يساوي 8:

الحالة العامة هي عندما ترفع رقمًا ب لقوة ذ تحصل x :

الرقم ب يشار إليه على أنه أساس هذا التعبير. الأساس هو الرقم الذي يتم رفعه إلى قوة معينة - في المثال أعلاه ، قاعدة التعبير 2 3 = 8 < displaystyle 2 ^ <3> = 8> هي 2. من السهل جعل القاعدة موضوع التعبير: كل ما عليك فعله هو أخذ الجذر y لكلا الجانبين. هذا يعطي:

إنه أقل سهولة في صنعه ذ موضوع التعبير. تتيح لنا اللوغاريتمات القيام بذلك:

يعني هذا المقدار أن y يساوي القوة التي سترفع b إليها لنحصل على x. تبطل هذه العملية الأُس لأن لوغاريتم x يخبرك ال الأس التي تم رفع القاعدة إليها.

تحرير الأُس

يحتوي هذا القسم الفرعي على لمحة موجزة عن عملية الأُس ، والتي تعتبر أساسية لفهم اللوغاريتمات. يتم رفع b للقوة n ، حيث n عدد طبيعي ، عن طريق ضرب عوامل n التي تساوي b. يتم كتابة القوة n -th لـ b ب ن ، لهذا السبب

قد تمتد الأس إلى ب ذ ، حيث ب هو رقم موجب و الأس y هو أي رقم حقيقي. [4] على سبيل المثال ، ب −1 هو مقلوب b ، أي 1 /ب . مقوي ب أس 1/2 هو الجذر التربيعي لـ ب .

بشكل عام ، رفع ب لقوة عقلانية ص/ف ، حيث p و q أعداد صحيحة ، يتم الحصول عليها بواسطة

تحرير التعريف

ال اللوغاريتم من عدد حقيقي موجب x بالنسبة للقاعدة b [nb 1] هو الأس الذي يجب رفع b بواسطته للحصول على x. بعبارة أخرى ، لوغاريتم x للقاعدة b هو الحل y للمعادلة [5]

اللوغاريتم هو "السجلب x "(تُنطق كـ" لوغاريتم x إلى الأساس b "أو" الأساس-ب لوغاريتم x "أو (الأكثر شيوعًا)" السجل ، الأساس ب ، من x ").

في المعادلة ذ = سجلب x ، فإن القيمة y هي إجابة السؤال "إلى أي قوة يجب رفع b ، من أجل الحصول على x؟".

أمثلة تحرير

العديد من الصيغ المهمة ، تسمى أحيانًا الهويات اللوغاريتمية أو القوانين اللوغاريتمية، ربط اللوغاريتمات ببعضها البعض. [6]

تحرير المنتج والحاصل والقوة والجذر

لوغاريتم حاصل الضرب هو مجموع لوغاريتمات الأعداد التي يتم ضربها. اللوغاريتم لنسبة رقمين هو الفرق في اللوغاريتمات. لوغاريتم القوة p -th لرقم هو ص ضرب لوغاريتم الرقم نفسه ، لوغاريتم p -th جذر هو لوغاريتم الرقم مقسومًا على ص. يسرد الجدول التالي هذه الهويات مع أمثلة. يمكن اشتقاق كل من الهويات بعد استبدال تعريفات اللوغاريتم x = ب السجل ب ⁡ x س >> أو ص = ب السجل ب ⁡ y y >> في الجانب الأيسر. [1]

معادلة مثال
منتج السجل ب ⁡ (س y) = السجل ب ⁡ س + السجل ب ⁡ y (س ص) = سجل _س + تسجيل _ذ> السجل 3 ⁡ 243 = السجل 3 ⁡ (9 ⋅ 27) = السجل 3 ⁡ 9 + السجل 3 ⁡ 27 = 2 + 3 = 5 243 = log _ <3> (9 cdot 27) = سجل _ <3> 9+ سجل _ <3> 27 = 2 + 3 = 5>
حاصل القسمة السجل ب س ص = السجل ب ⁡ س - السجل ب ⁡ y ! < فارك > = سجل _س- تسجيل _ذ> السجل 2 ⁡ 16 = السجل 2 64 4 = السجل 2 ⁡ 64 - السجل 2 ⁡ 4 = 6 - 2 = 4 16 = log _ <2>! <4>> = log _ <2> 64- log _ <2> 4 = 6-2 = 4>
قوة السجل ب ⁡ (x p) = p السجل ب ⁡ x يسار (x ^

حق) = p سجل _x>

السجل 2 ⁡ 64 = السجل 2 ⁡ (2 6) = 6 السجل 2 ⁡ 2 = 6 64 = log _ <2> left (2 ^ <6> right) = 6 تسجيل _ <2> 2 = 6>
جذر السجل ب ⁡ x p = السجل ب ⁡ x p < sqrt [

]> = < فارك < سجل _x>

>>

السجل 10 ⁡ 1000 = 1 2 السجل 10 ⁡ 1000 = 3 2 = 1.5 > = <2>> log _ <10> 1000 = < فارك <3> <2>> = 1.5>

تغيير قاعدة التحرير

سجل اللوغاريتمبx يمكن حسابها من لوغاريتمات x و b فيما يتعلق بقاعدة عشوائية ك باستخدام الصيغة التالية:

بدءا من تحديد الهوية

يمكننا تطبيق السجلك على طرفي هذه المعادلة ، للحصول على

تحسب الآلات الحاسبة العلمية النموذجية اللوغاريتمات للقاعدتين 10 و e. [7] يمكن تحديد اللوغاريتمات فيما يتعلق بأي أساس ب باستخدام أي من هذين اللوغاريتمين بالصيغة السابقة:

بالنظر إلى العدد x ولوغاريتمه ذ = سجلب x إلى قاعدة غير معروفة ب ، يتم إعطاء القاعدة بواسطة:

من بين جميع خيارات القاعدة ، هناك ثلاثة خيارات شائعة بشكل خاص. هؤلاء هم ب = 10 , ب = ه (الثابت الرياضي غير المنطقي ≈ 2.71828) ، و ب = 2 (اللوغاريتم الثنائي). في التحليل الرياضي ، القاعدة اللوغاريتمية e منتشرة على نطاق واسع بسبب الخصائص التحليلية الموضحة أدناه. من ناحية أخرى ، فإن اللوغاريتمات ذات الأساس 10 سهلة الاستخدام للحسابات اليدوية في نظام الأرقام العشري: [8]

وهكذا ، سجل10 x يرتبط بعدد الأرقام العشرية لعدد صحيح موجب x: عدد الأرقام هو أصغر عدد صحيح أكبر من السجل بدقة10 x. [9] على سبيل المثال ، سجل101430 حوالي 3.15. العدد الصحيح التالي هو 4 ، وهو عدد الأرقام 1430. يتم استخدام كل من اللوغاريتم الطبيعي واللوغاريتم للقاعدة الثانية في نظرية المعلومات ، المقابلة لاستخدام nats أو وحدات البت كوحدات أساسية للمعلومات ، على التوالي. [10] تُستخدم اللوغاريتمات الثنائية أيضًا في علوم الكمبيوتر ، حيث يكون النظام الثنائي موجودًا في كل مكان في نظرية الموسيقى ، حيث تكون نسبة الصوت من اثنين (الأوكتاف) في كل مكان والسنت هو اللوغاريتم الثنائي (المقياس بمقدار 1200) من النسبة بين نغمتان متجاورتان متساويتان في الموسيقى الكلاسيكية الأوروبية وفي التصوير الفوتوغرافي لقياس قيم التعريض الضوئي. [11]

يسرد الجدول التالي الرموز الشائعة للوغاريتمات لهذه القواعد والحقول حيث يتم استخدامها. العديد من التخصصات كتابة السجل x بدلا من السجلب x ، عندما يمكن تحديد القاعدة المقصودة من السياق. التدوين ب سجل x يحدث أيضا. [12] يسرد عمود "تدوين ISO" التعيينات التي اقترحتها المنظمة الدولية للتوحيد القياسي (ISO 80000-2). [13] نظرًا لاستخدام الترميز log x لجميع القواعد الثلاثة (أو عندما تكون القاعدة غير محددة أو غير مادية) ، يجب غالبًا استنتاج الأساس المقصود بناءً على السياق أو النظام. في سجل علوم الكمبيوتر يشير عادة إلى السجل2 ، وفي الرياضيات عادة ما يشير السجل إلى السجله . [14] [1] في سياقات أخرى ، غالبًا ما يعني السجل السجل10 . [15]

قاعدة ب اسم السجلب x تدوين ISO تدوينات أخرى مستعمل في
2 اللوغاريتم الثنائي رطل x [16] لد x ، سجل x ، إل جي x ، [17] تسجيل2 x علوم الكمبيوتر ، نظرية المعلومات ، المعلوماتية الحيوية ، نظرية الموسيقى ، التصوير الفوتوغرافي
ه اللوغاريتم الطبيعي ln x [ملحوظة 2] سجل x
(في الرياضيات [1] [21] والعديد من لغات البرمجة [ملحوظة 3]) ، سجله x
الرياضيات والفيزياء والكيمياء ،
الإحصاء والاقتصاد ونظرية المعلومات والهندسة
10 اللوغاريتم المشترك إل جي x سجل x ، سجل10 x
(في الهندسة وعلم الأحياء وعلم الفلك)
مختلف المجالات الهندسية (انظر ديسيبل وانظر أدناه) ،
الجداول اللوغاريتمية ، والآلات الحاسبة المحمولة ، والتحليل الطيفي
ب اللوغاريتم للقاعدة ب سجلب x الرياضيات

ال تاريخ اللوغاريتمات في أوروبا القرن السابع عشر هو اكتشاف وظيفة جديدة وسعت مجال التحليل إلى ما وراء نطاق الأساليب الجبرية. تم طرح طريقة اللوغاريتمات علنًا بواسطة جون نابير في عام 1614 ، في كتاب بعنوان Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (وصف القاعدة الرائعة للوغاريتمات). [22] [23] قبل اختراع نابير ، كانت هناك تقنيات أخرى ذات نطاقات مماثلة ، مثل تركيب الأطراف الاصطناعية أو استخدام جداول التعاقب ، التي طورها جوست بورجي على نطاق واسع حوالي عام 1600. [24] [25] صاغ نابير المصطلح للوغاريتم في اللاتينية الوسطى ، "لوغاريتموس" مشتق من اليونانية ، وتعني حرفيًا "نسبة-رقم" من الشعارات "نسبة ، نسبة ، كلمة" + arithmos "عدد".

اللوغاريتم المشترك لرقم ما هو مؤشر قوة عشرة التي تساوي الرقم. [26] الحديث عن رقم على أنه يتطلب الكثير من الأرقام هو إشارة تقريبية إلى اللوغاريتم المشترك ، وقد أشار إليه أرخميدس على أنه "ترتيب الرقم". [27] أول لوغاريتمات حقيقية كانت طرق إرشادية لتحويل الضرب إلى إضافة ، وبالتالي تسهيل الحساب السريع. استخدمت بعض هذه الطرق جداول مشتقة من الهويات المثلثية. [28] وتسمى هذه الأساليب بالبرودة البديلة.

بدأ اختراع الوظيفة المعروفة الآن باسم اللوغاريتم الطبيعي كمحاولة لأداء تربيع من القطع الزائد المستطيل بواسطة Grégoire de Saint-Vincent ، اليسوعي البلجيكي المقيم في براغ. كتب أرخميدس تربيع القطع المكافئ في القرن الثالث قبل الميلاد ، ولكن التربيع للقطع الزائد استعصى على كل الجهود حتى نشر سانت فنسنت نتائجه في عام 1647. العلاقة التي يوفرها اللوغاريتم بين التقدم الهندسي في حجته والتقدم الحسابي للقيم ، دفعت AA de Sarasa إلى قم بالربط بين تربيع سانت فنسنت وتقليد اللوغاريتمات في تكوين الأطراف الاصطناعية ، مما يؤدي إلى مصطلح "اللوغاريتم الزائدي" ، وهو مرادف للوغاريتم الطبيعي. سرعان ما تم تقدير الوظيفة الجديدة من قبل كريستيان هويجنز وجيمس جريجوري. تم اعتماد التدوين Log y بواسطة Leibniz في عام 1675 ، [29] وفي العام التالي قام بربطه بالتكامل y d y y. >.>

قبل أن يطور أويلر مفهومه الحديث عن اللوغاريتمات الطبيعية المعقدة ، كان لروجر كوتس نتيجة مكافئة تقريبًا عندما أظهر في عام 1714 أن [30]

سجل ⁡ (كوس ⁡ θ + أنا الخطيئة ⁡ θ) = أنا θ

من خلال تبسيط العمليات الحسابية الصعبة قبل توفر الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر ، ساهم اللوغاريتمات في تقدم العلم ، وخاصة علم الفلك. كانت حاسمة للتقدم في المسح ، والملاحة السماوية ، وغيرها من المجالات. دعا بيير سيمون لابلاس اللوغاريتمات

". حيلة رائعة ، من خلال تقليل العمل لعدة أشهر إلى بضعة أيام ، يضاعف من عمر الفلكي ، ويجنبه الأخطاء والاشمئزاز اللذين لا ينفصلان عن الحسابات الطويلة." [31]

كوظيفة F(x) = ب x هي الدالة العكسية للسجلب x، فقد أطلق عليه اسم antilogarithm. [32]

تحرير جداول السجل

كانت الأداة الرئيسية التي مكنت من الاستخدام العملي للوغاريتمات هي جدول اللوغاريتمات. [33] قام هنري بريجز بتجميع أول جدول من هذا النوع في عام 1617 ، بعد اختراع نابير مباشرة ولكن مع ابتكار استخدام 10 كقاعدة. احتوى جدول بريجز الأول على اللوغاريتمات المشتركة لجميع الأعداد الصحيحة في النطاق من 1 إلى 1000 بدقة 14 رقمًا. بعد ذلك ، تمت كتابة جداول ذات نطاق متزايد. أدرجت هذه الجداول قيم السجل10 x لأي عدد x في نطاق معين بدقة معينة. تم استخدام لوغاريتمات Base-10 عالميًا للحساب ، ومن هنا جاء اسم اللوغاريتم الشائع ، لأن الأرقام التي تختلف حسب عوامل 10 لها لوغاريتمات تختلف حسب الأعداد الصحيحة. يمكن فصل اللوغاريتم المشترك لـ x إلى جزء عدد صحيح وجزء كسري ، يُعرف بالخاصية والجزء العشري. تحتاج جداول اللوغاريتمات إلى تضمين الجزء العشري فقط ، حيث يمكن تحديد الخاصية بسهولة عن طريق حساب الأرقام من الفاصلة العشرية. [34] خاصية 10 × هي واحد زائد خاصية س ، وعشوائها هي نفسها. وبالتالي ، باستخدام جدول سجل مكون من ثلاثة أرقام ، يتم تقريب لوغاريتم 3542 بواسطة

يمكن الحصول على دقة أكبر عن طريق الاستيفاء:

قيمة 10 x يمكن تحديده من خلال البحث العكسي في نفس الجدول ، لأن اللوغاريتم دالة رتيبة.

تحرير الحسابات

حاصل ضرب وحاصل عددين موجبين c و د تم حسابها بشكل روتيني على أنها مجموع وفرق اللوغاريتمات الخاصة بهم. المنتج قرص مضغوط أو حاصل قسمة ج / د جاء من البحث عن اللوغاريتم المضاد للمجموع أو الفرق ، عبر نفس الجدول:

بالنسبة للحسابات اليدوية التي تتطلب أي دقة ملحوظة ، فإن إجراء عمليات البحث عن اللوغاريتمين ، وحساب مجموعهما أو فرقهما ، والبحث عن الضرب اللوغاريتمي أسرع بكثير من إجراء الضرب بالطرق السابقة مثل التوليد البدائي ، الذي يعتمد على الهويات المثلثية.

يتم تقليل حسابات القوى والجذور إلى عمليات الضرب أو الأقسام والبحث عن طريق

تم تسهيل الحسابات المثلثية من خلال الجداول التي تحتوي على اللوغاريتمات المشتركة للوظائف المثلثية.

تحرير قواعد الشرائح

تطبيق آخر مهم هو قاعدة الشريحة ، زوج من المقاييس المقسمة لوغاريتميًا المستخدمة في الحساب. تم اختراع المقياس اللوغاريتمي غير المنزلق ، قاعدة غونتر ، بعد اختراع نابير بفترة وجيزة. قام William Oughtred بتحسينها لإنشاء قاعدة الشريحة - زوج من المقاييس اللوغاريتمية القابلة للحركة فيما يتعلق ببعضها البعض. يتم وضع الأرقام على مقاييس منزلقة على مسافات تتناسب مع الاختلافات بين اللوغاريتمات الخاصة بهم. يؤدي انزلاق المقياس العلوي بشكل مناسب إلى إضافة اللوغاريتمات آليًا ، كما هو موضح هنا:

على سبيل المثال ، فإن إضافة المسافة من 1 إلى 2 على المقياس الأدنى إلى المسافة من 1 إلى 3 على المقياس العلوي ينتج عنه منتج 6 ، والذي يتم قراءته في الجزء السفلي. كانت قاعدة الشرائح أداة حسابية أساسية للمهندسين والعلماء حتى سبعينيات القرن الماضي ، لأنها تتيح ، على حساب الدقة ، حسابًا أسرع بكثير من التقنيات القائمة على الجداول. [35]

تتطلب دراسة أعمق للوغاريتمات مفهوم أ وظيفة. الوظيفة هي قاعدة تنتج رقمًا آخر عند وجود رقم واحد. [36] مثال على ذلك هو الدالة التي تنتج القوة x -th لـ b من أي عدد حقيقي x ، حيث يكون الأساس b رقمًا ثابتًا. هذه الوظيفة مكتوبة: f (x) = b x. .,>

تحرير الوظيفة اللوغاريتمية

لتبرير تعريف اللوغاريتمات ، من الضروري إظهار أن المعادلة

له حل x وأن هذا الحل فريد ، بشرط أن يكون y موجبًا وأن يكون b موجبًا وغير مساوي لـ 1. يتطلب إثبات هذه الحقيقة نظرية القيمة المتوسطة من حساب التفاضل والتكامل الأساسي. [37] تنص هذه النظرية على أن دالة متصلة تنتج قيمتين م و ن ينتج أيضًا أي قيمة تقع بين م و ن . الوظيفة هي مستمر إذا لم "تقفز" ، أي إذا كان من الممكن رسم الرسم البياني دون رفع القلم.

يمكن عرض هذه الخاصية للاحتفاظ بالوظيفة F(x) = ب x . لان F يأخذ قيمًا موجبة كبيرة وصغيرة بشكل تعسفي ، أي رقم ذ & gt 0 تقع بين F(x0) و F(x1) لمناسبة x0 و x1 . ومن ثم ، فإن نظرية القيمة المتوسطة تضمن أن المعادلة F(x) = y له حل. علاوة على ذلك ، لا يوجد سوى حل واحد لهذه المعادلة ، لأن الوظيفة F يتزايد بشكل صارم (ل ب & gt 1) ، أو تنازليًا صارمًا (لـ 0 & lt b & lt 1). [38]

الحل الفريد x هو لوغاريتم y للقاعدة b ، logب ذ . تسمى الوظيفة التي تسند إلى y اللوغاريتم دالة اللوغاريتم أو دالة لوغاريتمية (أو فقط اللوغاريتم).

سجل الوظيفةب x يتميز أساسًا بصيغة المنتج

بتعبير أدق ، اللوغاريتم لأي قاعدة ب & gt 1 هي الوظيفة المتزايدة الوحيدة F من الواقعي الإيجابي إلى الواقعي المرضي F(ب) = 1 و [39]

وظيفة عكسية تحرير

تنص صيغة لوغاريتم قوة ما على وجه الخصوص على أي عدد x ،

في النثر ، أخذ x- قوة b ثم القاعدة-ب اللوغاريتم يعيد x. على العكس من ذلك ، بالنظر إلى العدد الموجب y ، الصيغة

يقول أن أخذ اللوغاريتم أولاً ثم الأسس يعيد ص. وبالتالي ، فإن الطريقتين المحتملتين للجمع (أو تكوين) اللوغاريتمات والأسية تعيد الرقم الأصلي. لذلك ، فإن لوغاريتم الأساس ب هو وظيفة عكسية من F(x) = ب x . [40]

ترتبط الوظائف العكسية ارتباطًا وثيقًا بالوظائف الأصلية. تتوافق الرسوم البيانية الخاصة بهم مع بعضها البعض عند تبادل إحداثيات x - و y - (أو عند الانعكاس عند الخط القطري x = y) ، كما هو موضح على اليمين: نقطة (ر, ش = ب ر ) على الرسم البياني لـ F ينتج نقطة (ش, ر = سجلب ش) على الرسم البياني للوغاريتم والعكس صحيح. نتيجة لذلك ، سجلب(x) يتباعد إلى ما لا نهاية (يصبح أكبر من أي رقم معين) إذا كان x ينمو إلى ما لا نهاية ، بشرط أن يكون b أكبر من واحد. في هذه الحالة ، سجلب(x) هي دالة متزايدة. إلى عن على ب العلامة & lt 1 ، تسجيل الدخولب(x) يميل إلى طرح ما لا نهاية بدلاً من ذلك. عندما تقترب x من الصفر ، سجلبx يذهب إلى ما لا نهاية ل ب & gt 1 (بالإضافة إلى ما لا نهاية لـ ب & lt 1 ، على التوالي).

تحرير مشتق وعكسي

تنتقل الخصائص التحليلية للوظائف إلى مقلوبها. [37] وهكذا ، كما F(x) = ب x هي دالة مستمرة وقابلة للتفاضل ، وكذلك السجلب ذ . بشكل تقريبي ، يمكن اشتقاق الدالة المستمرة إذا كان الرسم البياني الخاص بها لا يحتوي على "زوايا" حادة. علاوة على ذلك ، كمشتق من F(x) يقيّم إلى ln (ب)ب x من خلال خصائص الدالة الأسية ، تشير قاعدة السلسلة إلى أن مشتق السجلب x يُعطى بواسطة [38] [41]

وهذا يعني أن ميل المماس يلامس الرسم البياني للقاعدة-ب اللوغاريتم عند النقطة (x، سجلب(x)) يساوي 1 / (x ln (ب)) .

مشتق ln x هو 1 /x هذا يعني أن ln x هو المشتق العكسي الفريد لـ 1 /x التي لها قيمة 0 من أجل x = 1. هذه الصيغة البسيطة للغاية هي التي دفعت إلى تصنيف اللوغاريتم الطبيعي على أنه اللوغاريتم الطبيعي ، وهذا أيضًا أحد الأسباب الرئيسية لأهمية الثابت e.

المشتق مع حجة وظيفية معممة F(x) يكون

يسمى حاصل القسمة في الجانب الأيمن بالمشتق اللوغاريتمي لـ F. الحوسبة F'(x) عن طريق مشتق ln (F(x)) يعرف باسم التمايز اللوغاريتمي. [42] المشتقة العكسية للوغاريتم الطبيعي ln (x) هو: [43]

∫ ln ⁡ (x) d x = x ln ⁡ (x) - x + C.

يمكن اشتقاق الصيغ ذات الصلة ، مثل المشتقات العكسية للوغاريتمات للقواعد الأخرى من هذه المعادلة باستخدام تغيير القواعد. [44]

تمثيل متكامل لتحرير اللوغاريتم الطبيعي

يتمتع هذا التعريف بميزة أنه لا يعتمد على الوظيفة الأسية أو أي دوال مثلثية ، فالتعريف هو من حيث تكامل متبادل بسيط. كجزء لا يتجزأ ، ln (ر) يساوي المساحة بين المحور x والرسم البياني للدالة 1 /x ، تتراوح من x = 1 إلى x = ر . هذا نتيجة للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل وحقيقة أن مشتق ln (x) هو 1 /x . يمكن اشتقاق صيغ لوغاريتم المنتج والطاقة من هذا التعريف. [45] على سبيل المثال ، صيغة المنتج ln (تو) = ln (ر) + ln (ش) على النحو التالي:

تقسم المساواة (1) التكامل إلى قسمين ، بينما المساواة (2) هي تغيير في المتغير ( ث = س /ر ). في الرسم التوضيحي أدناه ، يتوافق التقسيم مع تقسيم المنطقة إلى الجزأين الأصفر والأزرق. إعادة قياس المنطقة الزرقاء اليسرى عموديًا بواسطة العامل ر وتقليصها بنفس العامل أفقيًا لا يغير حجمها. عند تحريكها بشكل مناسب ، تتناسب المنطقة مع الرسم البياني للوظيفة F(x) = 1/x تكرارا. ومن ثم ، فإن المنطقة الزرقاء الموجودة على الجانب الأيسر ، وهي جزء لا يتجزأ من F(x) من ر ل تو هو نفس التكامل من 1 إلى ش. هذا يبرر المساواة (2) بإثبات هندسي أكثر.

صيغة الطاقة ln (ر ص ) = ص ln (ر) بطريقة مماثلة:

تستخدم المساواة الثانية تغيير المتغيرات (التكامل عن طريق الاستبدال) ، ث = x 1 /ص .

مجموع مقلوب الأعداد الطبيعية ،

تسمى السلسلة التوافقية. إنه مرتبط ارتباطًا وثيقًا باللوغاريتم الطبيعي: as ن يميل إلى اللانهاية ، الفرق ،

يتقارب (أي يقترب بشكل تعسفي) من رقم يعرف بثابت أويلر ماسكيروني γ = 0.5772. . تساعد هذه العلاقة في تحليل أداء الخوارزميات مثل الفرز السريع. [46]

تجاوز تحرير اللوغاريتم

تسمى الأعداد الحقيقية غير الجبرية المتعالية [47] على سبيل المثال ، π و ه هي مثل هذه الأرقام ، ولكن 2 - 3 >>>> ليست كذلك. تقريبا جميع الأعداد الحقيقية متسامية. اللوغاريتم هو مثال على وظيفة متعالية. تؤكد نظرية جلفوند - شنايدر أن اللوغاريتمات عادة ما تأخذ قيمًا متعالية ، أي قيم "صعبة". [48]

من السهل حساب اللوغاريتمات في بعض الحالات ، مثل السجل10(1000) = 3. بشكل عام ، يمكن حساب اللوغاريتمات باستخدام سلسلة الطاقة أو الوسط الحسابي الهندسي ، أو استرجاعها من جدول لوغاريتم محسوب مسبقًا يوفر دقة ثابتة. [49] [50] طريقة نيوتن ، طريقة تكرارية لحل المعادلات تقريبًا ، يمكن استخدامها أيضًا لحساب اللوغاريتم ، لأنه يمكن حساب الدالة العكسية ، الدالة الأسية ، بكفاءة. [51] باستخدام جداول البحث ، يمكن استخدام الطرق المشابهة لـ CORDIC لحساب اللوغاريتمات باستخدام عمليات الجمع وتحولات البت فقط. [52] [53] علاوة على ذلك ، تحسب خوارزمية اللوغاريتم الثنائي lb (x) بشكل متكرر ، بناءً على تربيعات متكررة لـ x ، مع الاستفادة من العلاقة

تحرير سلسلة الطاقة

لأي رقم حقيقي z يرضي 0 & lt ض ≤ 2 ، الصيغة التالية صحيحة: [nb 4] [54]

هذا اختصار لقول ذلك ln (ض) إلى قيمة أكثر دقة بالتعبيرات التالية:

على سبيل المثال ، مع ض = 1.5 التقريب الثالث ينتج 0.4167 ، وهو حوالي 0.011 أكبر من ln (1.5) = 0.405465. هذه السلسلة تقترب من ln (ض) بدقة تعسفية ، بشرط أن يكون عدد الحوافز كبيرًا بدرجة كافية. في حساب التفاضل والتكامل الأولي ، ln (ض) إذن هو حد هذه السلسلة. إنها سلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي في ض = 1. سلسلة تايلور من ln (ض) تقريب مفيد بشكل خاص لـ ln (1+ض) عندما تكون z صغيرة ، |ض| العلامة & lt 1 ، منذ ذلك الحين

على سبيل المثال ، مع ض = 0.1 يعطي تقريب الدرجة الأولى ln (1.1) ≈ 0.1 ، وهو أقل من 5٪ من القيمة الصحيحة 0.0953.

تعتمد سلسلة أخرى على دالة الظل الزائدية للمساحة:

لأي رقم حقيقي ض & GT 0. [nb 5] [54] باستخدام تدوين سيجما ، تتم كتابة هذا أيضًا كـ

يمكن اشتقاق هذه السلسلة من سلسلة تايلور أعلاه. يتقارب بسرعة أكبر من سلسلة Taylor ، خاصة إذا كانت z قريبة من 1. على سبيل المثال ، على سبيل المثال ض = 1.5 ، تقارب المصطلحات الثلاثة الأولى من السلسلة الثانية ln (1.5) مع خطأ حوالي 3 × 10 −6. يمكن الاستفادة من التقارب السريع لـ z بالقرب من 1 بالطريقة التالية: إعطاء تقريب منخفض الدقة ذ ≈ ln (ض) ووضع

كلما كان التقريب الأولي y أفضل ، كلما كان A أقرب إلى 1 ، لذلك يمكن حساب لوغاريتمه بكفاءة. يمكن حساب A باستخدام المتسلسلة الأسية ، والتي تتقارب بسرعة بشرط ألا تكون y كبيرة جدًا. يمكن اختزال حساب لوغاريتم z الأكبر إلى قيم أصغر لـ z بالكتابة ض = أ · 10 ب ، لذلك فإن ln (ض) = ln (أ) + b · ln (10).

يمكن استخدام طريقة وثيقة الصلة لحساب لوغاريتم الأعداد الصحيحة. وضع z = n + 1 n >> في السلسلة أعلاه ، يتبع ذلك:

إذا كان لوغاريتم عدد صحيح كبير n معروفًا ، فإن هذه السلسلة تنتج سلسلة متقاربة سريعة للسجل (ن+1) بمعدل تقارب 1 2 n + 1 <2n + 1 >>>.

حسابي - هندسي متوسط ​​التقريب تحرير

ينتج عن المتوسط ​​الحسابي الهندسي تقديرات تقريبية عالية الدقة للوغاريتم الطبيعي. أظهر ساساكي وكانادا في عام 1982 أنه كان سريعًا بشكل خاص للدقة بين 400 و 1000 منزل عشري ، بينما كانت طرق سلسلة تايلور عادةً أسرع عندما كانت هناك حاجة إلى دقة أقل. في عملهم ln (x) بدقة 2 -ص (أو ص بتات دقيقة) بالصيغة التالية (بسبب كارل فريدريش جاوس): [55] [56]

هنا م (x,ذ) يشير إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ x و y. يتم الحصول عليها عن طريق حساب المتوسط ​​بشكل متكرر (x + y) / 2 (الوسط الحسابي) و x y >> (الوسط الهندسي) لـ x و y ثم اجعل هذين العددين يصبحان x و y التاليين. يتقارب الرقمان بسرعة إلى حد مشترك وهو قيمة M (x,ذ) . م يتم اختياره من هذا القبيل

لضمان الدقة المطلوبة. وأكبر م يجعل م (x,ذ) يأخذ الحساب المزيد من الخطوات (يكون الحرفان الأوليان x و y أبعد عن بعضهما البعض ، لذا يتطلب الأمر مزيدًا من الخطوات للتقارب) ولكنه يعطي مزيدًا من الدقة. يمكن حساب الثوابت pi و ln (2) بسلسلة متقاربة بسرعة.

تحرير خوارزمية Feynman

للوغاريتمات العديد من التطبيقات داخل وخارج الرياضيات. ترتبط بعض هذه الأحداث بفكرة ثبات المقياس. على سبيل المثال ، كل غرفة من قشرة نوتيلوس هي نسخة تقريبية من الغرفة التالية ، مقيسة بعامل ثابت. هذا يؤدي إلى دوامة لوغاريتمية. [58] يمكن أيضًا تفسير قانون بينفورد بشأن توزيع الأرقام الأولية من خلال ثوابت المقياس. [59] اللوغاريتمات مرتبطة أيضًا بالتشابه الذاتي. على سبيل المثال ، تظهر اللوغاريتمات في تحليل الخوارزميات التي تحل مشكلة عن طريق تقسيمها إلى مشكلتين صغيرتين متشابهتين وإصلاح حلولهما. [60] أبعاد الأشكال الهندسية المتشابهة بذاتها ، أي الأشكال التي تشبه أجزائها الصورة الكلية ، تستند أيضًا إلى اللوغاريتمات. المقاييس اللوغاريتمية مفيدة في قياس التغيير النسبي للقيمة مقابل اختلافها المطلق. علاوة على ذلك ، لأن سجل الوظيفة اللوغاريتمية (x) ينمو ببطء شديد بالنسبة لـ x الكبيرة ، وتستخدم المقاييس اللوغاريتمية لضغط البيانات العلمية واسعة النطاق. تحدث اللوغاريتمات أيضًا في العديد من الصيغ العلمية ، مثل معادلة صاروخ Tsiolkovsky أو ​​معادلة Fenske أو معادلة Nernst.

تحرير المقياس اللوغاريتمي

غالبًا ما يتم التعبير عن الكميات العلمية على أنها لوغاريتمات كميات أخرى باستخدام a مقياس لوغاريتمي. على سبيل المثال ، الديسيبل هو وحدة قياس مرتبطة بكميات مقياس لوغاريتمي. وهو يعتمد على اللوغاريتم المشترك للنسب - 10 أضعاف اللوغاريتم المشترك لنسبة القدرة أو 20 ضعف اللوغاريتم المشترك لنسبة الجهد. يتم استخدامه لقياس فقدان مستويات الجهد في إرسال الإشارات الكهربائية ، [61] لوصف مستويات قوة الأصوات في الصوتيات ، [62] وامتصاص الضوء في مجالات قياس الطيف والبصريات. تقاس أيضًا نسبة الإشارة إلى الضوضاء التي تصف مقدار الضوضاء غير المرغوب فيها فيما يتعلق بإشارة (ذات مغزى) بالديسيبل. [63] على نفس المنوال ، يتم استخدام ذروة نسبة الإشارة إلى الضوضاء بشكل شائع لتقييم جودة الصوت وطرق ضغط الصورة باستخدام اللوغاريتم. [64]

تُقاس قوة الزلزال بأخذ اللوغاريتم المشترك للطاقة المنبعثة عند الزلزال. يستخدم هذا في مقياس حجم اللحظة أو مقياس حجم ريختر. على سبيل المثال ، يطلق زلزال 5.0 مرات 32 مرة (10 1.5) و 6.0 يطلق 1000 مرة (10 3) طاقة 4.0. [65] يقيس القدر الظاهري سطوع النجوم لوغاريتميًا. [66] في الكيمياء ، يُشار إلى سالب اللوغاريتم العشري ، والكولوغاريتم العشري ، بالحرف p. [67] على سبيل المثال ، الرقم الهيدروجيني هو الكولوغاريتم العشري لنشاط أيونات الهيدرونيوم (شكل أيونات الهيدروجين H +
تأخذ في الماء). [68] نشاط أيونات الهيدرونيوم في الماء المحايد هو 10 −7 mol·L ence1 ، ومن ثم فإن الرقم الهيدروجيني 7. يكون للخل عادةً درجة حموضة تبلغ حوالي 3. الفرق 4 يتوافق مع نسبة 10 4 من النشاط ، أي أن نشاط أيون الهيدرونيوم في الخل يبلغ حوالي 10 3 mol·L −1.

تستخدم الرسوم البيانية نصف اللوغاريتمية (لوغاريتمي - خطي) مفهوم المقياس اللوغاريتمي للتصور: محور واحد ، عادة المحور الرأسي ، يتم قياسه لوغاريتميًا. على سبيل المثال ، يضغط الرسم البياني الموجود على اليمين الزيادة الحادة من مليون إلى 1 تريليون إلى نفس المساحة (على المحور الرأسي) مثل الزيادة من 1 إلى 1 مليون. في مثل هذه الرسوم البيانية ، الوظائف الأسية للنموذج F(x) = أ · ب x تظهر كخطوط مستقيمة بميل يساوي لوغاريتم ب. تقوم الرسوم البيانية اللوغاريتمية بتسجيل كلا المحورين لوغاريتميًا ، مما يتسبب في وظائف النموذج F(x) = أ · س ك يتم تصويرها على أنها خطوط مستقيمة بميل يساوي الأس ك. يتم تطبيق هذا في تصور وتحليل قوانين السلطة. [69]

تحرير علم النفس

تحدث اللوغاريتمات في العديد من القوانين التي تصف الإدراك البشري: [70] [71] يقترح قانون هيك علاقة لوغاريتمية بين الوقت الذي يستغرقه الأفراد لاختيار بديل وعدد الخيارات المتاحة لهم. [72] يتنبأ قانون فيتس بأن الوقت المطلوب للانتقال بسرعة إلى منطقة الهدف هو دالة لوغاريتمية للمسافة إلى الهدف وحجمه. [73] في علم النفس الفيزيائي ، يقترح قانون ويبر-فيشنر علاقة لوغاريتمية بين التحفيز والإحساس مثل الوزن الفعلي مقابل الوزن المدرك لعنصر يحمله الشخص. [74] (هذا "القانون" ، مع ذلك ، أقل واقعية من النماذج الحديثة ، مثل قانون سلطة ستيفنز. [75])

وجدت الدراسات النفسية أن الأفراد الذين لديهم القليل من تعليم الرياضيات يميلون إلى تقدير الكميات لوغاريتميًا ، أي أنهم يضعون رقمًا على خط غير محدد وفقًا لوغاريتمه ، بحيث يتم وضع 10 بالقرب من 100 مثل 100 إلى 1000. زيادة التعليم يغير هذا لتقدير خطي (وضع 1000 على بعد 10 مرات) في بعض الظروف ، بينما يتم استخدام اللوغاريتمات عندما يصعب رسم الأرقام المراد رسمها خطيًا. [76] [77]

نظرية الاحتمالات والإحصاء تحرير

تنشأ اللوغاريتمات في نظرية الاحتمالات: يفرض قانون الأعداد الكبيرة أنه بالنسبة لعملة عادلة ، مع زيادة عدد العملات المعدنية إلى ما لا نهاية ، فإن النسبة المرصودة للرؤوس تقترب من النصف. تقلبات هذه النسبة حوالي النصف موصوفة في قانون اللوغاريتم المتكرر. [78]

تحدث اللوغاريتمات أيضًا في التوزيعات اللوغاريتمية العادية. عندما يكون لوغاريتم متغير عشوائي توزيع طبيعي ، يُقال أن المتغير له توزيع لوغاريتمي عادي. [79] يتم العثور على التوزيعات اللوغاريتمية العادية في العديد من المجالات ، حيث يتم تكوين المتغير كنتاج للعديد من المتغيرات العشوائية الإيجابية المستقلة ، على سبيل المثال في دراسة الاضطراب. [80]

تُستخدم اللوغاريتمات لتقدير الاحتمالية القصوى للنماذج الإحصائية البارامترية. بالنسبة لمثل هذا النموذج ، تعتمد وظيفة الاحتمال على معلمة واحدة على الأقل يجب تقديرها. يحدث الحد الأقصى لوظيفة الاحتمال بنفس قيمة المعلمة كحد أقصى لوغاريتم الاحتمال ("تسجيل احتمال") ، لأن اللوغاريتم دالة متزايدة. ومن الأسهل تعظيم احتمالية اللوغاريتم ، خاصةً مع الاحتمالات المضاعفة للمتغيرات العشوائية المستقلة.

يصف قانون بينفورد حدوث الأرقام في العديد من مجموعات البيانات ، مثل ارتفاعات المباني. وفقًا لقانون Benford ، فإن احتمال أن يكون أول رقم عشري لعنصر ما في عينة البيانات هو د (من 1 إلى 9) يساوي السجل10(د + 1) - سجل10(د) , بغض النظر من وحدة القياس. [82] وبالتالي ، من المتوقع أن تحتوي حوالي 30٪ من البيانات على 1 كأول رقم ، و 18٪ تبدأ برقم 2 ، إلخ. يقوم المدققون بفحص الانحرافات عن قانون بينفورد لاكتشاف المحاسبة الاحتيالية. [83]

التعقيد الحسابي تحرير

تحليل الخوارزميات هو فرع من فروع علوم الكمبيوتر يدرس أداء الخوارزميات (برامج الكمبيوتر تحل مشكلة معينة). [84] اللوغاريتمات ذات قيمة لوصف الخوارزميات التي تقسم المشكلة إلى مشاكل أصغر ، وتنضم إلى حلول المشاكل الفرعية. [85]

على سبيل المثال ، للعثور على رقم في قائمة مرتبة ، تتحقق خوارزمية البحث الثنائي من الإدخال الأوسط وتستمر مع النصف قبل أو بعد الإدخال الأوسط إذا كان الرقم لا يزال غير موجود. تتطلب هذه الخوارزمية ، في المتوسط ​​، تسجيل الدخول2(ن) مقارنات أين ن هو طول القائمة. [86] وبالمثل ، تقوم خوارزمية فرز الدمج بفرز قائمة غير مرتبة عن طريق تقسيم القائمة إلى نصفين وفرزها أولاً قبل دمج النتائج. تتطلب خوارزميات فرز الدمج عادةً وقتًا يتناسب تقريبًا مع ن · سجل(ن). [87] قاعدة اللوغاريتم غير محددة هنا ، لأن النتيجة لا تتغير إلا بعامل ثابت عند استخدام قاعدة أخرى. عادة ما يتم تجاهل عامل ثابت في تحليل الخوارزميات في ظل نموذج التكلفة الموحدة القياسي. [88]

وظيفة F(x) تنمو لوغاريتميًا إذا F(x) يتناسب (تمامًا أو تقريبًا) مع لوغاريتم x. (ومع ذلك ، تستخدم الأوصاف البيولوجية لنمو الكائن الحي هذا المصطلح لوظيفة أسية. [89]) على سبيل المثال ، أي عدد طبيعي ن يمكن تمثيلها في شكل ثنائي في ما لا يزيد عن السجل2(ن) + 1 بت. بمعنى آخر ، مقدار الذاكرة المطلوب للتخزين ن ينمو لوغاريتميًا مع ن.

تحرير الانتروبيا والفوضى

الانتروبيا هو على نطاق واسع مقياس لاضطراب بعض النظم. في الديناميكا الحرارية الإحصائية ، الانتروبيا س يتم تعريف بعض الأنظمة الفيزيائية على أنها

المجموع فوق كل الحالات الممكنة أنا للنظام المعني ، مثل مواضع جزيئات الغاز في الحاوية. وعلاوة على ذلك، صأنا هو احتمال أن تكون الدولة أنا تم بلوغه و ك هو ثابت بولتزمان. وبالمثل ، فإن الانتروبيا في نظرية المعلومات تقيس كمية المعلومات. إذا كان مستلم الرسالة يتوقع أي واحد من ن الرسائل المحتملة ذات الاحتمالية المتساوية ، ثم يتم تحديد كمية المعلومات التي تنقلها أي رسالة من هذا القبيل على أنها سجل2(ن) بت. [90]

يستخدم دعاة ليابونوف اللوغاريتمات لقياس درجة الفوضى في النظام الديناميكي. على سبيل المثال ، بالنسبة لجسيم يتحرك على طاولة بلياردو بيضاوية ، حتى التغييرات الطفيفة في الظروف الأولية تؤدي إلى مسارات مختلفة تمامًا للجسيم. هذه الأنظمة فوضوية بطريقة حتمية ، لأن أخطاء القياس الصغيرة للحالة الأولية تؤدي بشكل متوقع إلى حالات نهائية مختلفة إلى حد كبير. [91] واحد على الأقل من دعاة ليابونوف لنظام فوضوي حتمي إيجابي.

تحرير النمطي هندسي متكرر

تحدث اللوغاريتمات في تعريفات أبعاد الفركتلات. [92] الفركتلات عبارة عن كائنات هندسية متشابهة ذاتيًا: الأجزاء الصغيرة تعيد إنتاج الهيكل العالمي بأكمله ، على الأقل تقريبًا. يمكن تغطية مثلث Sierpinski (في الصورة) بثلاث نسخ منه ، لكل منها نصف طولها الأصلي.هذا يجعل بعد Hausdorff لهذا الهيكل ln (3) / ln (2) ≈ 1.58. يتم الحصول على مفهوم آخر قائم على اللوغاريتم عن طريق حساب عدد المربعات اللازمة لتغطية الفراكتل المعني.

تحرير الموسيقى

ترتبط اللوغاريتمات بالنغمات الموسيقية والفترات الزمنية. في الحالة المزاجية المتساوية ، تعتمد نسبة التردد فقط على الفاصل الزمني بين نغمتين ، وليس على التردد المحدد ، أو درجة الصوت ، للنغمات الفردية. على سبيل المثال ، المذكرة أ بتردد 440 هرتز و شقة ب بتردد 466 هرتز. الفاصل الزمني بين أ و شقة ب هو نصف نغمة ، كما هو بين شقة ب و ب (التردد 493 هرتز). وبناءً عليه ، تتفق نسب التردد على:

لذلك ، يمكن استخدام اللوغاريتمات لوصف الفواصل الزمنية: يتم قياس الفاصل الزمني في نصف نغمات بأخذ لوغاريتم الأساس 2 1/12 لنسبة التردد ، بينما يعبر اللوغاريتم الأساسي 2 1/1200 لنسبة التردد عن الفاصل الزمني بالسنت ، المئات من نصف نغمة. يتم استخدام هذا الأخير للتشفير الدقيق ، حيث إنه ضروري للمزاجات غير المتكافئة. [93]

فاصلة
(يتم تشغيل النغمتين في نفس الوقت)
1/12 تشغيل نغمة (مساعدة · معلومات) عزف النغمة مجرد مسرحية ثالثة رئيسية المسرحية الثالثة الكبرى مسرحية تريتون مسرحية اوكتاف
نسبة التردد ص 2 1 72 ≈ 1.0097 <72>> almost 1.0097> 2 1 12 ≈ 1.0595 <12>> almost 1.0595> 5 4 = 1.25 <4>> = 1.25> 2 4 12 = 2 3 ≈ 1.2599 2 ^ < frac <4> <12>> & amp = < sqrt [<3>] <2>> & amp حوالي 1.2599 end>> 2 6 12 = 2 ≈ 1.4142 2 ^ < frac <6> <12>> & amp = < sqrt <2>> & amp حوالي 1.4142 end>> 2 12 12 = 2 <12> = 2>
عدد المطابقة من نصف نغمات
السجل 2 12 ⁡ (r) = 12 السجل 2 ⁡ (r) ] <2>> (r) = 12 log _ <2> (r)>
1 6 <6>> ،> 1 ≈ 3.8631 4 6 12
العدد المقابل من السنتات
السجل 2 1200 ⁡ (r) = 1200 السجل 2 ⁡ (r) ] <2>> (r) = 1200 log _ <2> (r)>
16 2 3 <3>> ،> 100 ≈ 386.31 400 600 1200

تحرير نظرية الأعداد

ترتبط اللوغاريتمات الطبيعية ارتباطًا وثيقًا بحساب الأعداد الأولية (2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ،.) ، وهو موضوع مهم في نظرية الأعداد. لأي عدد صحيح س ، كمية الأعداد الأولية الأصغر من أو التي تساوي س يرمز لها π (x). تؤكد نظرية الأعداد الأولية أن π (x) تقريبًا بواسطة

بمعنى أن نسبة π (x) وهذا الكسر يقترب من 1 عندما تميل x إلى اللانهاية. [94] نتيجة لذلك ، فإن احتمال أن يكون الرقم الذي تم اختياره عشوائيًا بين 1 و x هو عدد أولي يتناسب عكسياً مع عدد الأرقام العشرية في x. تقدير أفضل بكثير لـ π (x) من خلال دالة تكاملية لوغاريتمية الإزاحة Li (x) ، من تحديد

يمكن تحديد فرضية ريمان ، وهي واحدة من أقدم التخمينات الرياضية المفتوحة ، من حيث مقارنة π (x) و Li (x). [95] تتضمن نظرية Erdős-Kac التي تصف عدد العوامل الأولية المميزة أيضًا اللوغاريتم الطبيعي.

لوغاريتم ن عاملي ن! = 1 · 2 · . · ن ، اعطي من قبل

ln ⁡ (n!) = ln ⁡ (1) + ln ⁡ (2) + ⋯ + ln ⁡ (n).

يمكن استخدام هذا للحصول على صيغة "ستيرلنغ" ، وهي تقريب لـ ن! لكبير ن. [96]

تحرير اللوغاريتم المعقد

جميع الأعداد المركبة أ التي تحل المعادلة

وتسمى اللوغاريتمات المعقدة من z ، عندما تكون z (تعتبر) عددًا مركبًا. يتم تمثيل الرقم المركب بشكل شائع ض = س + أنا ، حيث x و y عددان حقيقيان و i وحدة تخيلية ، مربعها يساوي −1. يمكن تصور هذا الرقم بنقطة في المستوى المركب ، كما هو موضح على اليمين. يرمز النموذج القطبي إلى رقم مركب غير صفري z بقيمته المطلقة ، أي المسافة (الإيجابية ، الحقيقية) r إلى الأصل ، والزاوية بين المحور الحقيقي (x) إعادة والخط الذي يمر عبر كل من الأصل و z. تسمى هذه الزاوية سعة z.

القيمة المطلقة r لـ z تعطى بواسطة

z = x + i y = r (cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ) = r (cos ⁡ (+ 2 k π) + i sin ⁡ (+ 2 k π)) ،

لأي عدد صحيح ك. من الواضح أن وسيطة z ليست محددة بشكل فريد: كلا من φ و φ '= φ + 2ك π هي وسيطات صالحة لـ z لجميع الأعداد الصحيحة k ، لأن جمع 2ك π راديان أو ك⋅360 ° [nb 6] إلى تقابل "لف" حول عقارب الساعة الأصلي بمقدار k المنعطفات. دائمًا ما يكون العدد المركب الناتج هو z ، كما هو موضح على اليمين من أجل ك = 1. يمكن للمرء أن يختار بالضبط واحدة من الحجج المحتملة لـ z كما يسمى الحجة الرئيسية، تدل على Arg (ض) ، برأس مال A ، من خلال اشتراط φ للانتماء إلى واحد ، منعطف محدد بشكل ملائم ، على سبيل المثال ، - π & lt φ ≤ π [97] أو 0 ≤ φ & lt 2 π. < displaystyle 0 leq varphi & lt2 pi.> [98] تسمى هذه المناطق ، حيث يتم تحديد وسيطة z بشكل فريد الفروع من وظيفة الحجة.

باستخدام هذه الصيغة ، ومرة ​​أخرى الدورية ، فإن الهويات التالية تصمد: [99]

أين ln (ص) هو اللوغاريتم الطبيعي الحقيقي الفريد ، أك تشير إلى اللوغاريتمات المعقدة لـ z ، و k هي عدد صحيح عشوائي. لذلك ، اللوغاريتمات المعقدة لـ z ، وهي جميع تلك القيم المعقدة أك من أجله أك-th قوة لـ e يساوي z ، هي القيم اللانهائية

الرسم التوضيحي الموجود على اليمين يصور السجل (ض) ، وحصر وسيطات z في الفترة الزمنية (- π ، π]. وبهذه الطريقة ، فإن الفرع المقابل للوغاريتم المعقد لديه انقطاعات على طول المحور x الحقيقي السلبي ، والذي يمكن رؤيته في القفزة في اللون هناك. هذا الانقطاع ينشأ من القفز إلى الحد الآخر في نفس الفرع ، عند عبور الحدود ، أي عدم التغيير إلى قيمة k المقابلة للفرع المجاور باستمرار. ويسمى هذا الموضع بقطع فرع. إسقاط قيود النطاق على الوسيطة يجعل العلاقات "حجة z" ، وبالتالي "لوغاريتم z" ، وظائف متعددة القيم.

انعكاسات الدوال الأسية الأخرى تحرير

يحدث الأس في العديد من مجالات الرياضيات وغالبًا ما يشار إلى وظيفته العكسية باسم اللوغاريتم. على سبيل المثال ، لوغاريتم المصفوفة هو الدالة العكسية (متعددة القيم) للمصفوفة الأسية. [101] مثال آخر هو ص-اللوغاريتم المتغير ، الدالة العكسية لـ ص-اديك الأسي. يتم تعريف كلاهما عبر سلسلة تايلور المماثلة للحالة الحقيقية. [102] في سياق الهندسة التفاضلية ، تحدد الخريطة الأسية الفضاء المماس عند نقطة من متشعب إلى حي من تلك النقطة. يسمى معكوسها أيضًا الخريطة اللوغاريتمية (أو اللوغاريتمية). [103]

في سياق المجموعات المحدودة ، يتم إعطاء الأس عن طريق ضرب عنصر مجموعة واحد بشكل متكرر ب نفسه. اللوغاريتم المنفصل هو العدد الصحيح ن حل المعادلة

حيث x عنصر من عناصر المجموعة. يمكن إجراء عملية الأُس بكفاءة ، ولكن يُعتقد أن اللوغاريتم المنفصل يصعب حسابه في بعض المجموعات. هذا التباين له تطبيقات مهمة في تشفير المفتاح العام ، على سبيل المثال في تبادل مفاتيح Diffie-Hellman ، وهو روتين يسمح بالتبادل الآمن لمفاتيح التشفير عبر قنوات المعلومات غير الآمنة. [104] لوغاريتم Zech مرتبط باللوغاريتم المنفصل في المجموعة المضاعفة للعناصر غير الصفرية في مجال محدد. [105]

تتضمن الدوال العكسية الأخرى الشبيهة باللوغاريتمات لوغاريتم مزدوج ln (ln (x))، ال فائقة أو مفرطة 4-لوغاريتم (هناك اختلاف طفيف يسمى اللوغاريتم المتكرر في علوم الكمبيوتر) ، ووظيفة Lambert W ، واللوغاريتم. إنها الدوال العكسية للدالة الأسية المزدوجة ، المعايرة ، لـ F(ث) = نحن ث ، [106] والوظيفة اللوجستية ، على التوالي. [107]

تحرير المفاهيم ذات الصلة

من منظور نظرية المجموعة ، سجل الهوية (قرص مضغوط) = تسجيل الدخول (ج) + تسجيل (د) يعبر عن مجموعة تماثل بين الواقعات الإيجابية تحت الضرب والواقعية تحت الجمع. الدوال اللوغاريتمية هي التماثلات المستمرة الوحيدة بين هذه المجموعات. [108] عن طريق هذا التماثل ، مقياس هار (مقياس ليبيسغ) dx بالريال يتوافق مع مقياس هار dx/x على الريالات الإيجابية. [109] الواقعية غير السالبة ليس لها عملية الضرب فحسب ، بل لها أيضًا إضافة ، وتشكل نصفًا ، وتسمى الاحتمالية النصفية ، وهي في الواقع نصف حقل. ثم يأخذ اللوغاريتم الضرب إلى الإضافة (الضرب اللوغاريتمي) ، ويأخذ بالإضافة إلى إضافة اللوغاريتمات (LogSumExp) ، مما يعطي تماثلًا في الأشكال بين نصف الاحتمالية والنصف اللوغاريتمي.

البولي لوغاريتم هي الوظيفة التي تحددها

إنه مرتبط باللوغاريتم الطبيعي بواسطة Li1(ض) = −ln (1 - ض). علاوة على ذلك ، ليس(1) يساوي دالة زيتا ريمان ζ (س) . [111]

  1. ^ القيود المفروضة على x و b موضحة في قسم "الخصائص التحليلية".
  2. ^ بعض علماء الرياضيات لا يوافقون على هذا الترميز. في سيرته الذاتية عام 1985 ، انتقد بول هالموس ما اعتبره "تدوينًا طفوليًا" ، قال إنه لم يستخدمه أي عالم رياضيات على الإطلاق. [18] اخترع عالم الرياضيات إيرفينغ سترينجهام التدوين. [19] [20]
  3. ^ على سبيل المثال C و Java و Haskell و BASIC.
  4. ^ تحمل نفس السلسلة القيمة الأساسية للوغاريتم المركب للأعداد المركبة z مرضية |ض - 1 | & lt 1.
  5. ^ تحمل نفس السلسلة القيمة الأساسية للوغاريتم المركب للأعداد المركبة z مع الجزء الحقيقي الموجب.
  6. ^ انظر راديان للتحويل بين 2 π و 360 درجة.
  1. ^ أبجد"الدليل النهائي للوغاريتم - النظرية والتطبيقات" ، Math Vault، 8 مايو 2016 ، تم استرجاعه في 24 يوليو 2019
  2. ^
  3. هوبسون ، إرنست ويليام (1914) ، جون نابير واختراع اللوغاريتمات ، 1614 محاضرة، مكتبات جامعة كاليفورنيا ، كامبريدج: مطبعة الجامعة
  4. ^
  5. ريميرت ، رينهولد. (1991) ، نظرية الوظائف المعقدة، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN0387971955 ، OCLC21118309
  6. ^
  7. شيرالي ، شاليش (2002) ، كتاب تمهيدي عن اللوغاريتمات، حيدر أباد: مطبعة الجامعات ، ISBN 978-81-7371-414-6 ، esp. القسم 2
  8. ^
  9. كيت ، س. بهابكار ، HR (2009) ، أساسيات الرياضيات، بيون: منشورات فنية ، ISBN 978-81-8431-755-8 ، الفصل 1
  10. ^ يمكن العثور على جميع البيانات الواردة في هذا القسم في Shailesh Shirali 2002 ، القسم 4 ، (Douglas Downing 2003 ، ص 275) ، أو Kate & amp Bhapkar 2009 ، ص. 1-1 ، على سبيل المثال.
  11. ^
  12. برنشتاين ، ستيفن برنشتاين ، روث (1999) ، مخطط Schaum للنظرية ومشاكل عناصر الإحصاء. أنا الإحصاء الوصفي والاحتمالات، سلسلة مخطط Schaum ، نيويورك: McGraw-Hill ، ISBN 978-0-07-005023-5 ، ص. 21
  13. ^
  14. داونينج ، دوجلاس (2003) ، الجبر الطريق السهل، سلسلة بارون التعليمية ، Hauppauge ، NY: Barron's ، ISBN 978-0-7641-1972-9 ، الفصل 17 ، ص. 275
  15. ^
  16. فيجنر ، إنجو (2005) ، نظرية التعقيد: استكشاف حدود الخوارزميات الفعالة، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-21045-0 ، ص. 20
  17. ^
  18. فان دير لوب ، جان سي أ. (1997) ، نظرية المعلوماتمطبعة جامعة كامبريدج ، ص. 3 ، ردمك 978-0-521-46760-5
  19. ^
  20. ألين ، إليزابيث تريانتافيليدو ، صوفي (2011) ، دليل التصوير، تايلور وأمبير فرانسيس ، ص. 228 ، ردمك 978-0-240-52037-7
  21. ^
  22. فرانز إمباشر بيترا أوبرهويمر ، معجم الرياضيات (في الألمانية) ، mathe عبر الإنترنت: für Schule ، Fachhochschule ، Universität unde Selbststudium ، استرجاع 22 مارس 2011
  23. ^ الكميات والوحدات - الجزء 2: الرياضيات (ISO 80000-2: 2019) EN ISO 80000-2
  24. ^
  25. غودريتش ، مايكل تاماسيا ، روبرتو (2002) ، تصميم الخوارزمية: الأسس والتحليل وأمثلة الإنترنت، جون وايلي وأولاده ، ص. 23 ، أحد الجوانب المثيرة للاهتمام والمفاجئة في بعض الأحيان لتحليل هياكل البيانات والخوارزميات هو الوجود في كل مكان للوغاريتمات. كما هو معتاد في أدبيات الحوسبة ، نحذف كتابة الأساس ب من اللوغاريتم عندما ب = 2 .
  26. ^
  27. باركهورست ، ديفيد ف. (2007) ، مقدمة في الرياضيات التطبيقية لعلوم البيئة (إيضاح إيضاح) ، Springer Science & amp Business Media ، ص. 288 ، ردمك 978-0-387-34228-3
  28. ^
  29. جولبرج ، يناير (1997) ، الرياضيات: منذ ولادة الأعداد. ، نيويورك: W. W. Norton & amp Co ، ISBN 978-0-393-04002-9
  30. ^ انظر الحاشية 1 في
  31. بيرل ، يهوشوا رينجولد ، إدوارد م. (ديسمبر 1977) ، "فهم تعقيد بحث الاستيفاء" ، خطابات معالجة المعلومات, 6 (6): 219-22 ، دوى: 10.1016 / 0020-0190 (77) 90072-2
  32. ^
  33. بول هالموس (1985) ، أريد أن أصبح عالم رياضيات: أوتوماتوغرافيا، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-96078-4
  34. ^
  35. ايرفينغ سترينجهام (1893) ، الجبر الأحادي: كونه الجزء الأول من العلاج الأولي للتحليل الرياضي الأعلى، مطبعة بيركلي ، ص. الثالث عشر
  36. ^
  37. روي س.فريدمان (2006) ، مقدمة في التكنولوجيا الماليةأمستردام: Academic Press ، p. 59 ، ردمك 978-0-12-370478-8
  38. ^ انظر نظرية 3.29 في
  39. رودين ، والتر (1984) ، مبادئ التحليل الرياضي (الطبعة الثالثة ، الطبعة الدولية للطلاب) ، أوكلاند: McGraw-Hill International ، ISBN 978-0-07-085613-4
  40. ^
  41. نابير ، جون (1614) ، Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [وصف القاعدة الرائعة للوغاريتمات] (باللاتينية) ، إدنبرة ، اسكتلندا: أندرو هارت
  42. ^
  43. هوبسون ، إرنست ويليام (1914) ، جون نابير واختراع اللوغاريتمات ، 1614، كامبريدج: مطبعة الجامعة
  44. ^
  45. فولكرت ، مينسو لونرت ، ديتر ثوم ، أندرياس (2016) ، "طريقة جوست بورجي لحساب الجيب" ، هيستوريا ماتيماتيكا, 43 (2): 133–147 ، arXiv: 1510.03180 ، دوى: 10.1016 / j.hm.2016.03.001 ، MR3489006
  46. ^
  47. أوكونور ، جون ج.روبرتسون ، إدموند ف. ، "جوست بورجي (1552 - 1632)" ، أرشيف MacTutor تاريخ الرياضيات، جامعة سانت اندروز
  48. ^ وليام جاردنر (1742) جداول اللوغاريتمات
  49. ^
  50. بيرس ، آر سي الابن (يناير 1977) ، "تاريخ موجز للوغاريتمات" ، مجلة الرياضيات للكلية لمدة عامين, 8 (1): 22-26 ، دوى: 10.2307 / 3026878 ، JSTOR3026878
  51. ^ إنريكي جونزاليس فيلاسكو (2011) رحلة عبر الرياضيات - حلقات إبداعية في تاريخها، §2.4 اللوغاريتمات الزائدية ، ص. 117 ، سبرينغر 978-0-387-92153-2
  52. ^فلوريان كاجوري (1913) "تاريخ المفاهيم الأسية واللوغاريتمية" ، American Mathematical Monthly 20: 5 ، 35 ، 75 ، 107 ، 148 ، 173 ، 205.
  53. ^
  54. ستيلويل ، ج. (2010) ، الرياضيات وتاريخها (الطبعة الثالثة) ، سبرينغر
  55. ^
  56. براينت ، والتر دبليو (1907) ، تاريخ علم الفلك، لندن: Methuen & amp Co ، p. 44
  57. ^
  58. Abramowitz ، Milton Stegun ، Irene A. ، eds. (1972) ، كتيب الوظائف الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية (الطبعة العاشرة) ، نيويورك: منشورات دوفر ، ISBN 978-0-486-61272-0 ، القسم 4.7. ، ص. 89
  59. ^
  60. كامبل كيلي ، مارتن (2003) ، تاريخ الجداول الرياضية: من سومر إلى جداول البيانات، منحة أكسفورد عبر الإنترنت ، مطبعة جامعة أكسفورد ، ISBN 978-0-19-850841-0 القسم 2
  61. ^
  62. شبيجل ، موراي ر.موير ، R.E. (2006) ، مخطط Schaum لجبر الكلية، سلسلة مخطط Schaum ، نيويورك: McGraw-Hill ، ISBN 978-0-07-145227-4 ، ص. 264
  63. ^
  64. ماور ، إيلي (2009) ، هـ: قصة رقم، مطبعة جامعة برينستون ، الأقسام 1 ، 13 ، ISBN 978-0-691-14134-3
  65. ^
  66. ديفلين ، كيث (2004) ، المجموعات والوظائف والمنطق: مقدمة في الرياضيات المجردة، Chapman & amp Hall / CRC mathematics (3rd ed.)، Boca Raton، Fla: Chapman & amp Hall / CRC، ISBN 978-1-58488-449-1 ، أو انظر المراجع في الوظيفة
  67. ^ أب
  68. لانج ، سيرج (1997) ، التحليل الجامعي، النصوص الجامعية في الرياضيات (الطبعة الثانية) ، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى: 10.1007 / 978-1-4757-2698-5 ، ISBN 978-0-387-94841-6 ، MR1476913 ، القسم الثالث.
  69. ^ أب لانج 1997 ، القسم IV.2
  70. ^
  71. ديودوني ، جان (1969) ، أسس التحليل الحديث, 1، مطبعة أكاديمية ، ص. 84 قطعة (4.3.1)
  72. ^
  73. ستيوارت ، جيمس (2007) ، حساب المتغير الفردي: التجاوزات المبكرة، بلمونت: طومسون بروكس / كول ، ISBN 978-0-495-01169-9 ، القسم 1.6
  74. ^
  75. "حساب د / دكس (السجل (ب ، س))", ولفرام ألفا، أبحاث ولفرام ، استرجاعها 15 مارس 2011
  76. ^
  77. كلاين ، موريس (1998) ، التفاضل والتكامل: نهج بديهي وجسدي، كتب دوفر في الرياضيات ، نيويورك: منشورات دوفر ، ISBN 978-0-486-40453-0 ، ص. 386
  78. ^
  79. "حساب دمج (ln (x))", ولفرام ألفا، أبحاث ولفرام ، استرجاعها 15 مارس 2011
  80. ^ Abramowitz & amp Stegun ، محرران. 1972 ، ص. 69
  81. ^
  82. كورانت ، ريتشارد (1988) ، حساب التفاضل والتكامل. المجلد. أنا، مكتبة Wiley Classics ، نيويورك: John Wiley & amp Sons ، ISBN 978-0-471-60842-4 ، MR1009558 ، القسم III.6
  83. ^
  84. هافيل ، جوليان (2003) ، جاما: استكشاف ثابت أويلر، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-09983-5 ، الأقسام 11.5 و 13.8
  85. ^
  86. نوميزو ، كاتسومي (1996) ، أوراق مختارة في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية, 172، بروفيدنس ، RI: مكتبة AMS ، ص. 21 ، ردمك 978-0-8218-0445-2
  87. ^
  88. بيكر ، آلان (1975) ، نظرية العدد التجاوزي، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-20461-3 ، ص. 10
  89. ^
  90. مولر ، جان ميشيل (2006) ، وظائف الابتدائية (الطبعة الثانية) ، بوسطن ، ماساتشوستس: Birkhäuser Boston ، ISBN 978-0-8176-4372-0 ، الأقسام 4.2.2 (ص 72) و 5.5.2 (ص 95)
  91. ^
  92. هارت تشيني لوسون وآخرون. (1968) ، تقريبات الكمبيوتر، سلسلة SIAM في الرياضيات التطبيقية ، نيويورك: جون وايلي ، القسم 6.3 ، الصفحات 105-11
  93. ^
  94. تشانغ ، إم ديلجادو فرياس ، ج. Vassiliadis، S. (1994) ، "مخطط نيوتن المدفوع بالجدول لتوليد اللوغاريتمات عالية الدقة" ، إجراءات IEE - أجهزة الكمبيوتر والتقنيات الرقمية, 141 (5): 281–92، doi: 10.1049 / ip-cdt: 19941268، ISSN1350-2387 ، القسم 1 للحصول على نظرة عامة
  95. ^
  96. ميجيت ، جي إي (أبريل 1962) ، "التقسيم الزائف وعمليات الضرب الزائفة" ، مجلة آي بي إم للبحوث والتطوير, 6 (2): 210-26 ، دوى: 10.1147 / rd.62.0210 ، S2CID19387286
  97. ^
  98. كاهان ، و. (20 مايو 2001) ، خوارزميات التقسيم الزائف لوغاريتمات النقطة العائمة والأسي
  99. ^ أب Abramowitz & amp Stegun ، محرران. 1972 ، ص. 68
  100. ^
  101. Sasaki ، T. Kanada ، Y. (1982) ، "تقييم سريع متعدد الدقة عمليًا لسجل (x)" ، مجلة معالجة المعلومات, 5 (4): 247-50 ، استرجاع 30 مارس 2011
  102. ^
  103. Ahrendt ، Timm (1999) ، "Fast Computations of the Exponential Function" ، 99، ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر ، 1564، برلين ، نيويورك: سبرينغر ، الصفحات 302-12 ، دوى: 10.1007 / 3-540-49116-3_28 ، ISBN 978-3-540-65691-3
  104. ^
  105. هيليس ، داني (15 يناير 1989) ، "ريتشارد فاينمان وآلة الاتصال" ، الفيزياء اليوم, 42 (2): 78 ، بيب كود: 1989 PhT. 42 ب 78 هـ ، دوى: 10.1063 / 1.881196
  106. ^ ماور 2009 ، ص. 135
  107. ^
  108. فراي ، بروس (2006) ، الاختراق الإحصائي، سلسلة Hacks ، سيباستوبول ، كاليفورنيا: O'Reilly ، ISBN 978-0-596-10164-0 ، الفصل 6 ، القسم 64
  109. ^
  110. ريكياردي ، لويجي م. (1990) ، محاضرات في الرياضيات التطبيقية والمعلوماتية، مانشستر: مطبعة جامعة مانشستر ، ISBN 978-0-7190-2671-3 ، ص. 21 ، القسم 1.3.2
  111. ^
  112. باكشي ، الإمارات العربية المتحدة (2009) ، هندسة الاتصالات، بيون: منشورات فنية ، ISBN 978-81-8431-725-1 ، القسم 5.2
  113. ^
  114. مالينج ، جورج سي (2007) ، "ضوضاء" ، في روسينج ، توماس د. (محرر) ، كتيب Springer للصوتيات، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-30446-5 ، القسم 23.0.2
  115. ^
  116. تاشيف ، إيفان جيليف (2009) ، التقاط الصوت ومعالجته: مناهج عملية، نيويورك: John Wiley & amp Sons ، p. 98 ، ردمك 978-0-470-31983-3
  117. ^
  118. تشوي ، سي. (1997) ، الموجات: أداة رياضية لمعالجة الإشارات، دراسات SIAM حول النمذجة الرياضية والحساب ، فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية ، ISBN 978-0-89871-384-8
  119. ^
  120. كراودر ، بروس إيفانز ، بيني نويل ، آلان (2008) ، الوظائف والتغيير: نهج نمذجة لكلية الجبر (الطبعة الرابعة) ، بوسطن: Cengage Learning ، ISBN 978-0-547-15669-9 ، القسم 4.4.
  121. ^
  122. برادت ، هيل (2004) ، طرق علم الفلك: نهج فيزيائي للملاحظات الفلكية، Cambridge Planetary Science ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-53551-9 ، القسم 8.3 ، ص. 231
  123. ^
  124. نوربي ، ينس (2000). "أصل ومعنى القليل من الرقم الهيدروجيني في الرقم الهيدروجيني". الاتجاهات في العلوم البيوكيميائية. 25 (1): 36-37. دوى: 10.1016 / S0968-0004 (99) 01517-0. بميد10637613.
  125. ^
  126. IUPAC (1997) ، A. D. McNaught ، A. Wilkinson (ed.) ، مجموعة المصطلحات الكيميائية ("الكتاب الذهبي") (الطبعة الثانية) ، أكسفورد: منشورات بلاكويل العلمية ، دوى: 10.1351 / goldbook ، ISBN 978-0-9678550-9-7
  127. ^
  128. بيرد ، ج. (2001) ، كتاب الجيب للرياضيات الهندسية Newnes (الطبعة الثالثة) ، أكسفورد: نيونس ، ISBN 978-0-7506-4992-6 ، القسم 34
  129. ^
  130. غولدشتاين ، إي.بروس (2009) ، موسوعة التصور، موسوعة الإدراك ، ألف أوكس ، كاليفورنيا: سيج ، ISBN 978-1-4129-4081-8 ، ص 355-56
  131. ^
  132. ماثيوز ، جيرالد (2000) ، الأداء البشري: الإدراك والتوتر والاختلافات الفردية، الأداء البشري: الإدراك ، والإجهاد ، والاختلافات الفردية ، هوف: مطبعة علم النفس ، ISBN 978-0-415-04406-6 ، ص. 48
  133. ^
  134. ويلفورد ، أ. (1968) ، أساسيات المهارة، لندن: ميثوين ، ISBN 978-0-416-03000-6 ، OCLC219156 ، ص. 61
  135. ^
  136. بول إم فيتس (يونيو 1954) ، "قدرة المعلومات لنظام المحرك البشري في التحكم في اتساع الحركة" ، مجلة علم النفس التجريبي, 47 (6): 381–91 ، دوى: 10.1037 / h0055392 ، PMID13174710 ، S2CID501599 ، تمت إعادة طباعته في
  137. بول إم فيتس (1992) ، "قدرة المعلومات لنظام المحرك البشري في التحكم في اتساع الحركة" (PDF) ، مجلة علم النفس التجريبي: عام, 121 (3): 262–69 ، دوى: 10.1037 / 0096-3445.121.3.262 ، PMID1402698 ، استرجاعها 30 مارس 2011
  138. ^
  139. بانيرجي ، جي سي (1994) ، القاموس الموسوعي للمصطلحات النفسية، نيودلهي: منشورات دكتوراه في الطب ، ص. 304 ، ISBN 978-81-85880-28-0 ، OCLC33860167
  140. ^
  141. نادل ، لين (2005) ، موسوعة العلوم المعرفية، نيويورك: John Wiley & amp Sons ، ISBN 978-0-470-01619-0 ، lemmas فيزياء نفسية و التصور: نظرة عامة
  142. ^
  143. سيجلر ، روبرت س.أوبفر ، جون إي (2003) ، "تطوير التقدير العددي. دليل على التمثيلات المتعددة للكمية العددية" (PDF) ، علم النفس, 14 (3): 237–43 ، CiteSeerX10.1.1.727.3696 ، دوى: 10.1111 / 1467-9280.02438 ، PMID12741747 ، S2CID9583202 ، مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 17 مايو 2011 ، استرجاعها 7 يناير 2011
  144. ^
  145. Dehaene ، Stanislas Izard ، Véronique Spelke ، Elizabeth Pica ، Pierre (2008) ، "Log or Linear؟ Distinct of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures" ، علوم, 320 (5880): 1217–20 ، بيب كود: 2008 Sci. 320.1217D ، CiteSeerX10.1.1.362.2390 ، دوى: 10.1126 / العلوم .1156540 ، PMC2610411 ، PMID18511690
  146. ^
  147. بريمان ، ليو (1992) ، احتمالا، كلاسيكيات في الرياضيات التطبيقية ، فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية ، ISBN 978-0-89871-296-4 ، القسم 12.9
  148. ^
  149. أيتشيسون ، ج.براون ، ج. (1969) ، التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-04011-2 ، OCLC301100935
  150. ^
  151. جين ماتيو وجوليان سكوت (2000) ، مقدمة عن التدفق المضطربمطبعة جامعة كامبريدج ، ص. 50 ردمك 978-0-521-77538-0
  152. ^
  153. روز ، كولين سميث ، موراي د. (2002) ، الإحصاء الرياضي مع ماثيماتيكا، نصوص Springer في الإحصاء ، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-95234-5 ، القسم 11.3
  154. ^
  155. تاباتشنيكوف ، سيرج (2005) ، الهندسة والبلياردو، بروفيدنس ، ري: الجمعية الأمريكية للرياضيات ، ص 36-40 ، ISBN 978-0-8218-3919-5 ، القسم 2.1
  156. ^
  157. دورتشي ، سيندي هيليسون ، وليام باتشيني ، كارل (2004) ، "الاستخدام الفعال لقانون بينفورد في كشف الاحتيال في بيانات المحاسبة" (PDF) ، مجلة المحاسبة الجنائية, الخامس: 17–34 ، مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 29 أغسطس 2017 ، استرجاعها 28 مايو 2018
  158. ^
  159. فيجنر ، إنجو (2005) ، نظرية التعقيد: استكشاف حدود الخوارزميات الفعالة، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-21045-0 ، الصفحات 1-2
  160. ^
  161. هاريل ، ديفيد فيلدمان ، يشاي أ. (2004) ، الخوارزميات: روح الحوسبة، نيويورك: أديسون ويسلي ، ISBN 978-0-321-11784-7 ، ص. 143
  162. ^
  163. كنوث ، دونالد (1998) ، فن برمجة الكمبيوتر، قراءة ، ماجستير: أديسون ويسلي ، ISBN 978-0-201-89685-5 ، القسم 6.2.1 ، الصفحات 409-26
  164. ^ دونالد كنوث 1998 ، القسم 5.2.4 ، الصفحات 158-68
  165. ^
  166. فيجنر ، إنجو (2005) ، نظرية التعقيد: استكشاف حدود الخوارزميات الفعالةبرلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، p. 20 ، (ردمك 978-3-540-21045-0)
  167. ^
  168. موهر ، هانز شوبفر ، بيتر (1995) ، فيزياء النبات ، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-58016-4 ، الفصل 19 ، ص. 298
  169. ^
  170. إيكو ، أمبرتو (1989) ، العمل المفتوح، مطبعة جامعة هارفارد ، ISBN 978-0-674-63976-8 ، القسم الثالث
  171. ^
  172. سبروت ، جوليان كلينتون (2010) ، "الفوضى الأنيقة: التدفقات الفوضوية البسيطة جبريًا" ، فوضى أنيقة: تدفقات فوضوية بسيطة جبريًا. حرره سبروت جوليان كلينتون. تم النشر بواسطة شركة النشر العلمي العالمية Pte. المحدودة، نيو جيرسي: وورلد ساينتفيك ، بيب كود: 2010ecas.book. S ، دوى: 10.1142 / 7183 ، ISBN 978-981-283-881-0 القسم 1.9
  173. ^
  174. هيلمبرج ، جيلبرت (2007) ، التعرف على الفركتلات، De Gruyter Textbook ، برلين ، نيويورك: Walter de Gruyter ، ISBN 978-3-11-019092-2
  175. ^
  176. رايت ، ديفيد (2009) ، الرياضيات والموسيقى، بروفيدنس ، RI: مكتبة AMS ، ISBN 978-0-8218-4873-9 ، الفصل 5
  177. ^
  178. بيتمان ، بي تي. دايموند ، هارولد ج. (2004) ، نظرية الأعداد التحليلية: مقرر تمهيدي، نيو جيرسي: العالم العلمي ، ISBN 978-981-256-080-3 ، OCLC492669517 ، نظرية 4.1
  179. ^ بي تي بيتمان وأمبير دايموند 2004 ، نظرية 8.15
  180. ^
  181. سلومسون ، آلان ب. (1991) ، مقدمة في التوافقية، لندن: مطبعة CRC ، ISBN 978-0-412-35370-3 ، الفصل 4
  182. ^
  183. جانجولي ، س. (2005) ، عناصر التحليل المركب، كولكاتا: ناشرون أكاديميون ، ISBN 978-81-87504-86-3 ، التعريف 1.6.3
  184. ^
  185. نيفانلينا ، رولف هيرمان باتيرو ، Veikko (2007) ، "مقدمة في التحليل المعقد" ، لندن: هيلجر، بروفيدنس ، RI: AMS Bookstore ، Bibcode: 1974aitc.book. W ، ISBN 978-0-8218-4399-4 ، القسم 5.9
  186. ^
  187. مور ، ثيرال أورفيس هادلوك ، إدوين هـ. (1991) ، تحليل معقد، سنغافورة: العالم العلمي ، ISBN 978-981-02-0246-0 القسم 1.2
  188. ^
  189. وايلد ، إيفان فرانسيس (2006) ، ملاحظات محاضرة حول التحليل المعقد، لندن: مطبعة إمبريال كوليدج ، ISBN 978-1-86094-642-4 ، نظرية 6.1.
  190. ^
  191. هيغام ، نيكولاس (2008) ، وظائف المصفوفات. النظرية والحساب، فيلادلفيا ، بنسلفانيا: SIAM ، ISBN 978-0-89871-646-7 ، الفصل 11.
  192. ^
  193. نويكيرش ، يورجن (1999) ، Algebraische Zahlentheorie, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322، برلين: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-65399-8 ، MR1697859 ، Zbl0956.11021 ، القسم II.5.
  194. ^
  195. هانكوك ، إدوين آر مارتن ، رالف آر سابين ، مالكولم أ. (2009) ، رياضيات السطوح XIII: المؤتمر الدولي الثالث عشر IMA ، يورك ، المملكة المتحدة ، 7-9 سبتمبر ، 2009 وقائعسبرينغر ، ص. 379 ، (ردمك 978-3-642-03595-1)
  196. ^
  197. ستينسون ، دوجلاس روبرت (2006) ، التشفير: النظرية والتطبيق (الطبعة الثالثة) ، لندن: مطبعة CRC ، ISBN 978-1-58488-508-5
  198. ^
  199. ليدل ، رودولف نيدريتر ، هارالد (1997) ، الحقول المحدودة ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-39231-0
  200. ^
  201. Corless ، R. Gonnet ، G. Hare ، D. Jeffrey ، D. Knuth ، Donald (1996) ، "On the Lambert دبليو وظيفة "(PDF) ، التقدم في الرياضيات الحسابية, 5: 329-59 ، دوى: 10.1007 / BF02124750 ، ISSN1019-7168 ، S2CID29028411 ، مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 14 ديسمبر 2010 ، استرجاعها 13 فبراير 2011
  202. ^
  203. تشيركاسكي ، فلاديمير تشيركاسكي ، فلاديمير إس موليير ، فيليب (2007) ، التعلم من البيانات: المفاهيم والنظرية والطرق، سلسلة Wiley حول أنظمة التعلم والتكيف لمعالجة الإشارات والاتصالات والتحكم ، نيويورك: John Wiley & amp Sons ، ISBN 978-0-471-68182-3 ، ص. 357
  204. ^
  205. نيكولا بورباكي (1998) ، الطوبولوجيا العامة. الفصول 5-10، عناصر الرياضيات ، برلين ، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-64563-4 ، MR1726872 ، القسم V.4.1
  206. ^
  207. أمباتزوميان ، R.V. (1990) ، حساب التفاضل والتكامل والاحتمال الهندسي ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-34535-4 ، القسم 1.4
  208. ^
  209. Esnault، Hélène Viehweg، Eckart (1992)، محاضرات عن نظريات التلاشي، ندوة DMV، 20، بازل ، بوسطن: Birkhäuser Verlag ، CiteSeerX10.1.1.178.3227 ، دوى: 10.1007 / 978-3-0348-8600-0 ، ISBN 978-3-7643-2822-1 ، MR1193913 ، القسم 2
  210. ^
  211. Apostol ، T.M. (2010) ، "Logarithm" ، في Olver ، Frank W.J. Lozier ، Daniel M. Boisvert ، Ronald F. Clark ، Charles W. (eds.) ، كتيب NIST للوظائف الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-19225-5 ، MR2723248
    الوسائط المتعلقة باللوغاريتم في ويكيميديا ​​كومنز. تعريف القاموس لـ اللوغاريتم في ويكاموس
  • وايسشتاين ، إريك دبليو ، "لوغاريتم" ، ماثوورلد
  • "الوظيفة اللوغاريتمية"، موسوعة الرياضيات، مطبعة EMS ، 2001 [1994]
  • كولين بايفليت ، فيديو تعليمي عن اللوغاريتمات ، تم استرجاعه في 12 أكتوبر 2010
  • إدوارد رايت ترجمة عمل نابير على اللوغاريتمات، مؤرشفة من الأصلي في 3 ديسمبر 2002 ، استرجاعها 12 أكتوبر 2010 صيانة CS1: عنوان URL غير صالح (رابط)
  • Glaisher ، James Whitbread Lee (1911) ، "لوغاريتم" ، في تشيشولم ، هيو (محرر) ، Encyclopædia Britannica, 16 (الطبعة 11) ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 868 - 77

160 مللي ثانية 11.9٪ dataWrapper 100 ms 7.5٪ gsub 60 ms 4.5٪ (للمولد) 40 مللي ثانية 3.0٪ Scribunto_LuaSandboxCallback :: اعثر على 40 مللي ثانية 3.0٪ Scribunto_LuaSandboxCallback :: getAllExpandedArguments 40 مللي ثانية 3.0٪ نوع 40 مللي ثانية 3.0٪ [أخرى] 220 مللي ثانية 16.4٪ عدد كيانات Wikibase التي تم تحميلها: 1/400 ->


كيف يمكنك حل _ + _ + _ = 30 باستخدام 1 و 3 و 5 و 7 و 9 و 11 و 13 و 15؟ [محدث]

لماذا ا:-
الشروط: - معرفة أساسيات الرياضيات.

الآن
يمكننا القول أن الرقم الذي يتعين علينا إثباته

للإثبات: - x + y + z = 30

لكل x و y و z ∈ 2n + 1 حيث n∈N (الأعداد الطبيعية).
الدليل: - هنا & # 8217s لا يوجد تركيبة. & # 8217s مستحيل. كل رقم في تلك القائمة فردي.

نعلم أنه يمكن التعبير عن أي عدد زوجي في صورة 2 n حيث n عدد صحيح. يمكن التعبير عن أي رقم فردي على أنه 2 ن - 1.

لاحظ أن m + n + k - 1 هو عدد صحيح آخر. إذا أطلقنا عليها N ، فالنتيجة هي ببساطة
2 ن - 1
وهو ، كما نعلم ، عدد فردي. لذلك فإن مجموع ثلاثة أعداد فردية دائمًا ما يكون عددًا فرديًا.

ومن ثم ثبت .

بكلمات بسيطة ، ليس هناك أي أعداد فردية ، حيث بإضافة أي 3 منهم نحصل على 30 لأن

استنتاج:- لذلك بإضافة 3 أعداد فردية ، لا نحصل على 30. هل هناك طريقة أخرى للقيام بذلك؟
نعم ... اقرأ أدناه ..

2.) كيف يمكن: -

مع استخدام أي وظيفة داخل المشغل
كيف ممكن؟:-

  • طريقة العوامل: -
  • طريقة تغيير القاعدة: -
  • طريقة الجمع والطرح: -

6) 3 أسابيع + يوم واحد + 7 أيام + 13 ساعة + 11 ساعة = 30 يومًا (باستخدام رياضيات التقويم)


باستخدام هذه النتائج ndash شرط 15 & deg

كيف تجد قيمة جيب 15 درجة؟

يتم الحصول على جيب نصف الزاوية في الربع الأول بالتعبير:

إذن جيب 1/2 من 30 درجة سيكون:

ملحوظة: يمكننا أيضًا إيجاد جيب 15 درجة باستخدام الجيب (45 درجة وسالب 30 درجة).

الخطيئة 75& درجة: الآن باستخدام صيغة الجيب لمجموع زاويتين ،

يمكننا إيجاد جيب الزاوية (45 & deg + 30 & deg) لإعطاء جيب 75 درجة.

نوجد الآن جيب الزاوية 36 درجة ، بإيجاد cos 36 درجة أولاً.

جيب تمام 36& درجة: يمكن حساب جيب تمام 36 درجة باستخدام شكل خماسي. شاهد cos36 & deg في CutTheKnot حيث يظهر ذلك

بوضع هذه القيم على مثلث قائم الزاوية وإيجاد الجانب المجهول ، يمكننا أن نستنتج:

الخطيئة 18& درجة: الآن ، جيب الزاوية 18 درجة يأتي من جيب نصف 36 درجة.

بحساب هذا ، يصبح جيب الزاوية 18 درجة

الخطيئة 3& درجة: ما سبق يقودك إلى أحد المسارات لجيب 3 درجات وجيب 6 درجات.

على سبيل المثال ، الجيب (18 درجة - 15 درجة) سيعطينا جيب الزاوية 3 درجات. الذي

sin 3 & deg = sin (18 & deg & ناقص 15 & deg) = sin 18 & deg cos 15 & deg & minus sin 15 & deg cos 18 & deg)

هذا يعطينا القيمة التالية لـ sin 3 & deg:

أو أشكال أخرى حسب كيفية تحليل ما ورد أعلاه.

الخطيئة 6& درجة: باستخدام ما سبق ، يمكن للمرء أن يحسب جيب الزاوية 6 درجات أخيرًا كجيب مرتين 3 درجات للوصول إليه

الخطيئة 1872& درجة: أخذ قيم الجيب وجيب التمام المكافئة 15 درجة و 18 درجة على الجانب الأيمن من

sin 3 & deg = sin (18 & deg & ناقص 15 & deg) = sin 18 & deg cos 15 & deg & minus sin 15 & deg cos 18 & deg)

الخطيئة 3 & درجة = الخطيئة 18 & درجة الخطيئة 75 & درجة & ناقص الخطيئة 15 & درجة الخطيئة 72 درجة

يمكننا حساب قيم الجيب 18 درجة و 72 درجة من التعبير أعلاه.

جيوب الزوايا الأخرى
يمكن حساب العديد من الزوايا بالضبط بعدة طرق. صيغة عملية أخرى هي جيب الزاوية 3 مرات:

الخطيئة 3أ = 3 خطيئة أ & ناقص 4 الخطيئة 3 أ

الخطيئة 9& درجة: على سبيل المثال ، جيب 9 درجات هو جيب (3 مرات و 3 درجات).

إذن ، مع A = 3 ، نصل إلى

الخطيئة 1& درجة: الآن ، لإيجاد جيب درجة واحدة ، يحتاج المرء إلى معرفة جيب الزاوية بمقدار ثلث ثلاث درجات!

يحتاج المرء إلى حل ما سبق لخطيئة (أ) بدلالة 3 أ ، وهذا يتضمن حل المكعب. كما تعلم ، تم حل المكعب منذ سنوات عديدة.

هناك ثلاثة حلول ويحتاج المرء إلى معرفة أي منها يستخدم ومتى! لقد علمتني التجربة استخدام ما يلي لزاوية رباعي (the & quotأنا& quot في هذا التعبير تعني العدد التخيلي & amp ؛ جذري (& ناقص 1). راجع الأعداد المركبة لمزيد من المعلومات.)


[اضغط على الصورة لمشاهدة الحجم الكامل]

استخدم ما يلي عندما يكون لديك زاوية رباعي II:

استخدم ما يلي لزوايا الربع الثالث:


[اضغط على الصورة لمشاهدة الحجم الكامل]

لذلك ، يصبح التعبير عن الجيب (1 & deg)


[اضغط على الصورة لمشاهدة الحجم الكامل]

فوضوي ، أليس كذلك! لكنها تعطيك القيمة الدقيقة لجيب الدرجة الواحدة.


الرياضيات المتقطعة مقدمة مفتوحة

بالنسبة لأنماط النقاط أدناه ، ارسم النمط التالي في التسلسل. ثم أعط تعريفًا تعاوديًا وصيغة مغلقة لعدد النقاط في النمط (n ).

ننتقل الآن إلى مسألة إيجاد صيغ مغلقة لأنواع معينة من التسلسلات.

المتتاليات الحسابية

إذا اختلفت شروط التسلسل بثابت ، فإننا نقول إن التسلسل هو. إذا كان المصطلح الأولي ( (a_0 )) من التسلسل هو (أ ) وكان (د نص <،> ) إذن لدينا ،

التعريف التكراري: (a_n = a_ + d ) مع (a_0 = a text <.> )

صيغة مغلقة: (a_n = a + dn text <.> )

كيف لنا أن نعرف هذا؟ للتعريف العودي ، نحتاج إلى تحديد (a_0 text <.> ) ثم نحتاج إلى التعبير عن (a_n ) بدلالة (a_ text <.> ) إذا استدعينا المصطلح الأول (a text <،> ) ثم (a_0 = a text <.> ) بالنسبة لعلاقة التكرار ، من خلال تعريف المتتالية الحسابية ، الفرق بين المصطلحات المتتالية هو بعض الثوابت ، على سبيل المثال (د نص <.> ) لذلك (أ_n - أ_ = د نص <،> ) أو بعبارة أخرى ،

يبدأ a_0 = a qquad a_n = a_+ د. نهاية

للعثور على صيغة مغلقة ، اكتب أولاً التسلسل بشكل عام:

يبدأ a_0 amp = a a_1 amp = a_0 + d = a + d a_2 amp = a_1 + d = a + d + d = a + 2d a_3 amp = a_2 + d = a + 2d + d = a + 3d amp vdots end

نرى أنه للعثور على الحد (n ) th ، نحتاج إلى البدء بـ (a ) ثم إضافة (d ) عدة مرات. في الواقع ، قم بإضافته (n ) مرات. وهكذا (a_n = a + dn text <.> )

مثال 2.2.1

ابحث عن تعريفات متكررة وصيغ مغلقة للتسلسلات أدناه. افترض أن المصطلح الأول المدرج هو (a_0 text <.> )

أولاً ، يجب أن نتحقق من أن هذه المتتاليات حسابية حقًا عن طريق أخذ الاختلافات في المصطلحات المتتالية.سيؤدي القيام بذلك إلى الكشف عن الاختلاف المشترك (d text <.> )

    (5-2 = 3 نص <،> ) (8-5 = 3 نص <،> ) إلخ. للانتقال من كل مصطلح إلى التالي ، نضيف ثلاثة ، لذلك (د = 3 ) نص <.> ) لذلك فإن التعريف العودي هو (a_n = a_ + 3 ) مع (a_0 = 2 text <.> ) الصيغة المغلقة هي (a_n = 2 + 3n text <.> )

هنا يكون الاختلاف الشائع (- 7 نص <،> ) حيث نضيف (- 7 ) إلى 50 لنحصل على 43 ، وهكذا. وبالتالي لدينا تعريف تعاودي لـ (a_n = a_ - 7 ) مع (a_0 = 50 text <.> ) الصيغة المغلقة هي (a_n = 50-7n text <.> )

ماذا عن التسلسلات مثل (2، 6، 18، 54، ldots text <؟> ) هذا ليس حسابيًا لأن الفرق بين الحدود ليس ثابتًا. ومع ذلك ، فإن نسبة بين المصطلحات المتتالية ثابت. نحن نسمي هذه التسلسلات.

التعريف العودي للتسلسل الهندسي مع المصطلح الأولي (أ ) والنسبة الشائعة (r ) هو (أ_n = أ_ cdot r a_0 = a text <.> ) للحصول على المصطلح التالي ، نضرب المصطلح السابق في (r text <.> ) يمكننا إيجاد الصيغة المغلقة كما فعلنا للتقدم الحسابي. اكتب

يبدأ a_0 amp = a a_1 amp = a_0 cdot r a_2 amp = a_1 cdot r = a_0 cdot r cdot r = a_0 cdot r ^ 2 amp vdots end

يجب أن نضرب المصطلح الأول (أ ) في (r ) عدد من المرات ، (n ) مرات على وجه الدقة. نحصل على (a_n = a cdot r ^ نص <.> )

المتتاليات الهندسية

يتم استدعاء التسلسل إذا كانت النسبة بين الحدود المتتالية ثابتة. لنفترض أن المصطلح الأولي (a_0 ) هو (أ ) وهو (r نص <.> ) ثم لدينا ،

التعريف التكراري: (a_n = ra_) مع (a_0 = a text <.> )

الصيغة المغلقة: (a_n = a cdot r ^ نص <.> )

مثال 2.2.2

ابحث عن الصيغة العودية والمغلقة للتسلسلات أدناه. مرة أخرى ، المصطلح الأول المدرج هو (a_0 text <.> )

مرة أخرى ، يجب أن نتحقق أولاً من أن هذه المتتاليات هندسية حقًا ، هذه المرة بقسمة كل حد على حده السابق. بافتراض أن هذه النسبة ثابتة ، فسنجد (r نص <.> )

    (6/3 = 2 text <،> ) (12/6 = 2 text <،> ) (24/12 = 2 text <،> ) إلخ. نعم ، للحصول من أي المصطلح التالي ، نضرب في (r = 2 text <.> ) لذا فإن التعريف العودي هو (a_n = 2a_) مع (a_0 = 3 text <.> ) الصيغة المغلقة هي (a_n = 3 cdot 2 ^ نص <.> )

النسبة الشائعة هي (r = 1/3 text <.> ) لذا فإن التسلسل له تعريف تعاودي (a_n = frac <1> <3> a_) مع (a_0 = 27 ) وصيغة مغلقة (a_n = 27 cdot frac <1> <3> ^ نص <.> )

في الأمثلة والصيغ أعلاه ، افترضنا أن ملف مبدئي كان المصطلح (a_0 text <.> ) إذا بدأ التسلسل بـ (a_1 text <،> ) يمكنك بسهولة العثور على المصطلح الذي كان من الممكن أن يكون (a_0 ) واستخدامه في الصيغة. على سبيل المثال ، إذا أردنا صيغة للتسلسل (2 ، 5 ، 8 ، ldots ) ​​وأصررنا على ذلك (2 = a_1 text <،> ) فيمكننا إيجاد (a_0 = -1 ) (بما أن التسلسل حسابي مع وجود فرق مشترك 3 ، فلدينا (a_0 + 3 = a_1 )). ثم ستكون الصيغة المغلقة (a_n = -1 + 3n text <.> )

ملاحظة 2.2.3

إذا نظرت إلى كتب مدرسية أخرى أو عبر الإنترنت ، فقد تجد أن صيغها المغلقة للتسلسلات الحسابية والهندسية تختلف عن صيغتنا. على وجه التحديد ، قد تجد الصيغ (a_n = a + (n-1) d ) (حسابي) و (a_n = a cdot r ^) (هندسي). ايهم صحيح؟ كلاهما! في حالتنا ، نأخذ (a ) ليكون (a_0 text <.> ) إذا كان لدينا بدلاً من ذلك (a_1 ) كمصطلحنا الأولي ، فسنحصل على الصيغ (الأكثر تعقيدًا قليلاً) التي تجدها في مكان آخر .

مجموع المتتاليات الحسابية والهندسية

يفتش! 19

يحتوي متجر البقالة في منطقتك على آلة حلوى مليئة بلعبة Skittles.

لنفترض أن آلة الحلوى تحتوي حاليًا على 650 Skittles بالضبط ، وفي كل مرة يُدخل فيها شخص ربعًا ، تخرج 7 Skittles بالضبط من الماكينة.

كم عدد السكيتلات التي سيتم تركها في الماكينة بعد إدخال 20 ربعًا؟

هل سيكون هناك أي لعبة Skittles في الماكينة؟ يشرح.

ماذا لو أعطت آلة الحلوى 7 سكيتل للعميل الأول الذي وضع ربعًا ، 10 إلى الثاني ، 13 إلى الثالث ، 16 إلى الرابع ، إلخ. آلة؟

الآن ، ماذا لو أعطت الآلة 4 سكيتز للعميل الأول ، 7 إلى الثاني ، 12 إلى الثالث ، 19 إلى الرابع ، إلخ. كم عدد السكيتل التي أعطتها الآلة بعد 20 ربعًا تم وضعها في الماكينة؟

انظر إلى التسلسل ((T_n) _) التي تبدأ (1، 3، 6، 10، 15، ldots text <.> ) تسمى هذه بما أنها تمثل عدد النقاط في مثلث متساوي الأضلاع (فكر في كيفية ترتيب 10 دبابيس بولينج: صف من 4 زائد صف من 3 زائد صف من 2 وصف صف من 1).

هل هذا التسلسل حسابي؟ لا ، منذ (3-1 = 2 ) و (6-3 = 3 ne 2 text <،> ) لذلك لا يوجد فرق مشترك. هل التسلسل هندسي؟ لا. (3/1 = 3 ) لكن (6/3 = 2 نص <،> ) لذلك لا توجد نسبة مشتركة. ماذا أفعل؟

لاحظ أن الاختلافات بين المصطلحات تشكل تسلسلًا حسابيًا: (2، 3، 4، 5، 6، ldots text <.> ) هذا يشير إلى أن (n ) الحد رقم من التسلسل (1، 3،6،10،15 ، ldots ) ​​هو مجموع من المصطلحات (n ) الأولى في التسلسل (1،2،3،4،5 ، ldots text <.> ) نقول أن التسلسل الأول هو التسلسل الثاني (مجموع جزئي لأننا لا تأخذ مجموع كل المصطلحات العديدة اللانهائية). إذا عرفنا كيفية جمع حدود المتتالية الحسابية ، فيمكننا استخدام ذلك لإيجاد صيغة مغلقة لمتسلسلة تختلف اختلافاتها في حدود تلك المتتالية الحسابية.

يجب أن يصبح هذا أكثر وضوحًا إذا كتبنا الأرقام المثلثية مثل هذا:

يبدأ 1 أمبير = 1 3 amp = 1 + 2 6 amp = 1 + 2 + 3 10 amp = 1 + 2 + 3+ 4 vdots amp qquad vdots T_n amp = 1 + 2 + 3 + cdots + n. نهاية

ضع في اعتبارك كيف يمكننا إيجاد مجموع أول 100 عدد صحيح موجب (أي ، (T_ <100> )). بدلاً من إضافتها بالترتيب ، نعيد التجميع ونضيف (1 + 100 = 101 نص <.> ) الزوج التالي الذي يجب دمجه هو (2 + 99 = 101 نص <.> ) ثم (3+ 98 = 101 نص <.> ) استمر. يعطي هذا 50 زوجًا يضيف كل منها ما يصل إلى (101 text <،> ) لذا (T_ <100> = 101 cdot 50 = 5050 text <.> ) 1 تُنسب هذه البصيرة عادةً إلى Carl Friedrich Gauss ، أحد أعظم علماء الرياضيات في كل العصور ، والذي اكتشفه عندما كان طفلاً عندما اعتقد مدرسه الابتدائي غير السار أنه سيبقي الفصل مشغولاً من خلال مطالبتهم بحساب المبلغ المطول.

بشكل عام ، باستخدام نفس هذا النوع من إعادة التجميع ، نجد أن (T_n = frac<2> text <.> ) بالمناسبة ، هذا هو بالضبط نفس ( text <،> ) وهو أمر منطقي إذا كنت تفكر في الأرقام المثلثة على أنها تحسب عدد المصافحات التي تحدث في حفلة مع (n + 1 ) أشخاص: الشخص الأول يهز (n ) الأيدي ، يهز التالي يدًا إضافية (n-1 ) وما إلى ذلك.

الهدف من كل هذا هو أن بعض المتتاليات ، رغم أنها ليست حسابية أو هندسية ، يمكن تفسيرها على أنها تسلسل مجاميع جزئية من المتتاليات الحسابية والهندسية. لحسن الحظ ، هناك طرق يمكننا استخدامها لحساب هذه المبالغ بسرعة.

المتتاليات الحسابية في جمع الأقسام الفرعية: عكس وإضافة

هذه تقنية تتيح لنا إيجاد مجموع المتتالية الحسابية بسرعة.

مثال 2.2.4

أوجد المجموع: (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + cdots + 470 text <.> )

الفكرة هي محاكاة كيفية إيجاد صيغة الأعداد المثلثية. إذا أضفنا الحد الأول والأخير ، فسنحصل على 472. الحد الثاني والحد الثاني إلى الأخير يصل أيضًا إلى 472. لتتبع كل شيء ، يمكننا التعبير عن هذا على النحو التالي. اتصل بالمجموع (S text <.> ) ثم ،

(S = ) (2) (+) (5) (+) (8) (+ cdots + ) (467) (+) 470
(+ كواد S = ) (470) (+) (467) (+) (464) (+ cdots + ) (5) (+) 2
(2S = ) (472) (+) (472) (+) (472) (+ cdots + ) (472) (+) (472)

لإيجاد (2S ) نضيف 472 لنفسه عدة مرات. أي رقم؟ نحتاج إلى تحديد عدد المصطلحات () في المجموع. نظرًا لأن المصطلحات تشكل تسلسلًا حسابيًا ، يمكن التعبير عن (n ) المصطلح في المجموع (العد (2 ) باعتباره الحد 0) كـ (2 + 3n text <.> ) إذا ( 2 + 3n = 470 ) ثم (n = 156 text <.> ) لذا (n ) يتراوح من 0 إلى 156 ، مع إعطاء 157 حدًا في المجموع. هذا هو رقم 472 في مجموع (2S text <.> ) وهكذا

يبدأ 2S = 157 cdot 472 = 74104 النهاية

أصبح من السهل الآن العثور على (S text <:> )

يبدأ S = 74104/2 = 37052 النهاية

هذا سوف يعمل لأي مبلغ علم الحساب التسلسلات. استدعاء المجموع (S text <.> ) عكس وإضافة. ينتج عن هذا رقم واحد يضاف إلى نفسه عدة مرات. أوجد عدد المرات. تتضاعف. قسّم على 2. تم.

مثال 2.2.5

ابحث عن صيغة مغلقة لـ (6 + 10 + 14 + cdots + (4n - 2) text <.> )

مرة أخرى ، لدينا مجموع متتالية حسابية. نحتاج إلى معرفة عدد الحدود في المتسلسلة. من الواضح أن كل حد في التسلسل له الشكل (4k -2 ) (كما يتضح من المصطلح الأخير). لأي قيم من (ك ) بالرغم من ذلك؟ للحصول على 6 ، (k = 2 text <.> ) للحصول على (4n-2 ) خذ (k = n text <.> ) لذلك للعثور على عدد المصطلحات ، نحتاج إلى معرفة كم عدد الأعداد الصحيحة في النطاق (2،3 ، ldots ، n text <.> ) الإجابة هي (n-1 text <.> ) (يوجد (n ) أرقام من 1 إلى (n text <،> ) لذلك أقل إذا بدأنا بـ 2.)

نظرًا لوجود (n-2 ) شروط ، نحصل عليها

يبدأ 2S = (n-2) (4n + 4) qquad mbox qquad S = frac <(n-2) (4n + 4)> <2> end

إلى جانب إيجاد المجاميع ، يمكننا استخدام هذه التقنية لإيجاد الصيغ المغلقة للتسلسلات التي نتعرف عليها على أنها متواليات لمجموع جزئية.

مثال 2.2.6

استخدم مجاميع جزئية للعثور على صيغة مغلقة لـ ((a_n) _) التي تبدأ (2، 3، 7، 14، 24، 37، ldots ldots )

أولاً ، إذا نظرت إلى الاختلافات بين المصطلحات ، فستحصل على سلسلة من الاختلافات: (1،4،7،10،13 ، ldots text <،> ) وهي سلسلة حسابية. طريقة أخرى مكتوبة:

يبدأ a_0 amp = 2 a_1 amp = 2 + 1 a_2 amp = 2 + 1 + 4 a_3 amp = 2 + 1 + 4 + 7 النهاية

وهكذا. يمكننا كتابة المصطلح العام لـ ((a_n) ) بدلالة التسلسل الحسابي على النحو التالي:

يبدأ a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + cdots + (1 + 3 (n-1)) النهاية

(نستخدم (1 + 3 (n-1) ) بدلاً من (1 + 3n ) لجعل المؤشرات تصطف بشكل صحيح لـ (a_3 ) نضيف ما يصل إلى 7 ، وهو (1+) 3 (3-1) )).

يمكننا أن نعكس ونضيف ، لكن الرقم 2 الأولي لا يتناسب مع نمطنا. هذا يعني فقط أننا بحاجة إلى إبقاء الرقم 2 خارج الجزء العكسي:

بدون احتساب المصطلح الأول (4) هناك (n ) مجموع (2 + 3 (n-1) = 3n-1 ) بحيث يصبح الجانب الأيمن (2+ (3n-1) n نص <.> )

أخيرًا ، حل من أجل (a_n ) نحصل عليه

فقط للتأكد ، نتحقق من (a_0 = frac <4> <2> = 2 text <،> ) (a_1 = frac <4 + 2> <2> = 3 text <،> ) إلخ. لدينا الصيغة المغلقة الصحيحة.

جمع فرع فرعي المتتاليات الهندسية: اضرب وانحرف واطرح

لإيجاد مجموع متتالية هندسية ، لا يمكننا عكسها وجمعها فقط. هل ترى لماذا؟ سبب إضافة المصطلح نفسه إلى نفسه عدة مرات هو وجود فرق ثابت. لذلك ، عندما أضفنا هذا الاختلاف في اتجاه واحد ، طرحنا الفرق في الاتجاه الآخر ، مما يترك مجموعًا ثابتًا. بالنسبة للمبالغ الهندسية ، لدينا تقنية مختلفة.

مثال 2.2.7

ما المقصود (3 + 6 + 12 + 24 + cdots + 12288 text <؟> )

اضرب كل حد في 2 ، النسبة المشتركة. تحصل على (2S = 6 + 12 + 24 + cdots + 24576 text <.> ) الآن اطرح: (2S - S = -3 + 24576 = 24573 text <.> ) منذ (2S - S = S text <،> ) لدينا إجابتنا.

لمعرفة ما حدث بشكل أفضل في المثال أعلاه ، حاول كتابته بهذه الطريقة:

ثم قسّم كلا الجانبين على (- 1 ) ولدينا نفس النتيجة لـ (S text <.> ) الفكرة هي ، بضرب المجموع في النسبة الشائعة ، يصبح كل مصطلح هو المصطلح التالي. ننتقل على المجموع لنحصل على عملية الطرح التي يتم حذفها في الغالب ، تاركين الحد الأول والحد الأخير الجديد.

مثال 2.2.8

ابحث عن صيغة مغلقة لـ (S (n) = 2 + 10 + 50 + cdots + 2 cdot 5 ^ n text <.> )


كيف تحسب الباقي

  1. ابدأ بكتابة مشكلتك. على سبيل المثال ، تريد قسمة 346 على 7.
  2. حدد أي الأرقام هو المقسوم وأيها المقسوم عليه. المقسوم هو الرقم الذي يتم تنفيذ العملية عليه - في هذه الحالة ، 346. القاسم هو الرقم الذي & quot؛ يقوم بالعمل & quot - في هذه الحالة ، 7.
  3. قم بإجراء القسمة - يمكنك استخدام أي آلة حاسبة تريدها. ستحصل على نتيجة على الأرجح ليست عددًا صحيحًا - في هذا المثال ، 49.4285714.
  4. تقريب هذا الرقم لأسفل. في مثالنا ، ستحصل على 49.
  5. اضرب الرقم الذي حصلت عليه في الخطوة السابقة بالمقسوم عليه. في حالتنا 49 * 7 = 343.
  6. اطرح الرقم من الخطوة السابقة من المقسوم لتحصل على الباقي. 346 - 343 = 3.
  7. يمكنك دائمًا استخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا مع الباقي بدلاً من ذلك وتوفير بعض الوقت :)

كيف تحل مشاكل نظرية الباقي الصينية؟

  1. تأكد من أن لديك مجهول يساوي اثنين أو أكثر من modulos مختلفة، على سبيل المثال x = d mod a، e mod b & amp f mod c.
  2. تحقق من أن جميع الوحدات تحتوي على ملف نفس القاسم المشترك الأكبر.
  3. اضرب كل نموذج في الكل ما عدا واحدًا آخر ، حتى يتم العثور على جميع التركيبات. بالنسبة للوحدات المذكورة أعلاه ، سيكون هذا: بج ، أسيارة أجرة.
  4. اقسم كل رقم على المودولو المفقود. إذا كان يساوي الباقي لهذا النموذج ، على سبيل المثال (ب * ج) / أ = د ، اترك الرقم كما هو.
  5. إذا لم يكن الباقي هو نفسه بالنسبة للمعامل ، فاستخدم التجربة والخطأ للعثور على عدد صحيح موجب لمضاعفة الرقم حتى تصبح الخطوة 4 صحيحة.
  6. اجمع كل الأرقام معًا بمجرد أن تصبح الخطوة 4 صحيحة لجميع المجموعات.

ما هي بعض الحيل المتبقية؟

من المفيد أن تتذكر بعض الاختصارات المتبقية لتوفير الوقت في المستقبل. أولا ، إذا كان الرقم يجري مقسومة على 10، ثم الباقي عادل الرقم الأخير من هذا الرقم. وبالمثل ، إذا كان الرقم قيد التنفيذ قسّم على 9 ، أضف كلًا من الأرقام لبعضها البعض حتى يتبقى لك رقم واحد (على سبيل المثال ، 1164 يصبح 12 والذي بدوره يصبح 3) ، وهو الباقي. أخيرًا ، يمكنك ضرب الرقم العشري للحاصل في المقسوم عليه للحصول على الباقي.

كيف أفسر الباقي؟

تعلم كيفية حساب الباقي العديد من استخدامات العالم الحقيقي، وهو شيء تعلمك المدرسة أنك ستستخدمه بالتأكيد في حياتك اليومية. دع & # x2019s يقول اشتريت 18 دونات لصديقك ولكن ظهر 15 منهم فقط ، ولم يتبق لديك سوى 3. أو كم تبقى من المال بعد شراء الكعك؟ إذا كان الحد الأقصى لعدد القرود في البرميل هو 150 ، وهناك 183 قردة في المنطقة ، كم عدد القرود في المجموعة الأصغر؟

كيف تحول الباقي إلى رقم عشري؟

  1. قم بإعداد القسمة الخاصة بك ، بإضافة منزلة عشرية متبوعة بصفر بعد المقسوم & # x2019s عمود & # x2019s (إذا كان المقسوم الخاص بك رقمًا عشريًا بالفعل ، أضف صفرًا إضافيًا إلى النهاية).
  2. قم بإجراء القسمة كالمعتاد، حتى يتبقى لك الباقي.
  3. بدلاً من كتابة الباقي بعد حاصل القسمة ، حرك الباقي فوق الصفر الإضافي قمت بوضعه.
  4. إذا كان هناك باقٍ من هذا القسمة ، أضف صفرًا آخر إلى المقسوم وأضف الباقي إليه.
  5. استمر على هذا النحو حتى هناك إما: لا يوجد باقي ، الرقم أو الأرقام تكرر نفسها إلى ما لا نهاية ، أو تصل إلى الدرجة المطلوبة من الدقة (3 منازل عشرية عادة ما تكون جيدة).
  6. النتيجة بعد المكان العشري هي الباقي في صورة عدد عشري.

ما هو حاصل القسمة والباقي؟

ال حاصل القسمة يكون عدد المرات التي يتم فيها التقسيم بشكل كامل، بينما ال بقية هو المبلغ المتبقي لا يدخل في المقسوم عليه & # x2019t بالكامل. على سبيل المثال ، 127 مقسومًا على 3 يساوي 42 R 1 ، لذا فإن 42 هو حاصل القسمة و 1 هو الباقي.

كيف تكتب الباقي على شكل كسر؟

بمجرد العثور على باقي القسمة ، بدلاً من كتابة R متبوعًا بالباقي بعد حاصل القسمة ، ببساطة اكتب كسرًا حيث يتم قسمة الباقي على مقسومه على المعادلة الأصلية. إنه & aposs بهذه السهولة!

كيف تكتب الباقي؟

هناك 3 طرق من كتابة الباقي: مع R وككسر وكسر عشري. على سبيل المثال ، سيتم كتابة 821 مقسومة على 4 كـ 205 R 1 في الحالة الأولى ، 205 1 /4 في الثاني و 205.25 في الثالث.

ما هو الباقي عند قسمة 26 على 6؟

الباقي هو 2. لإيجاد ذلك ، ابحث عن أكبر مضاعف للرقم 6 أقل من 26. في هذه الحالة & # x2019s 24. ثم اطرح 24 من 26 للحصول على الباقي ، وهو 2.

ما هو الباقي عند قسمة 599 على 9؟

الباقي هو 5. لحساب هذا ، قسّم أولاً 599 على 9 لتحصل على أكبر مضاعف للرقم 9 قبل 599. 5/9 & lt 1 ، لذا احمل الرقم 5 إلى العشرات ، 59/9 = 6 r 5 ، لذا احمل الرقم 5 إلى الأرقام. 59/9 = 6 r 5 مرة أخرى ، أكبر مضاعف هو 66. اضرب 66 في 9 لتحصل على 594 ، واطرح هذا من 599 لتحصل على 5 ، الباقي.