مقالات

1.6: صيغة أويلر


تربط صيغة أويلر (التي تُنطق "مزيتات") الأسي المعقدة والإحداثيات القطبية والجيب وجيب التمام. الصيغة هي التالية:

[e ^ {i theta} = cos ( theta) + i sin ( theta). التسمية {1.6.1} ]

هناك طرق عديدة للتعامل مع صيغة أويلر. نهجنا هو ببساطة اعتبار المعادلة المرجع {1.6.1} على أنها تعريف الأسي المركب. هذا قانوني ، لكنه لا يوضح أنه تعريف جيد. للقيام بذلك ، نحتاج إلى إظهار أن (e ^ {i theta} ) يخضع لجميع القواعد التي نتوقعها من الأسي. للقيام بذلك ، ننتقل بشكل منهجي إلى خصائص الأسي ونتحقق من احتوائها على الأسي المعقدة.

(e ^ {i theta} ) يتصرف مثل الأسي الحقيقي

P1

يميز (e ^ {i t} ) كما هو متوقع:

[ dfrac {de ^ {it}} {dt} = ie ^ {it}. nonumber ]

دليل - إثبات

هذا يتبع مباشرة من التعريف في المعادلة المرجع {1.6.1}:

[ start {align *} dfrac {de ^ {it}} {dt} & = dfrac {d} {dt} ( cos (t) + i sin (t)) [4pt] & = - sin (t) + i cos (t) [4pt] & = i ( cos (t) + i sin (t)) [4pt] & = ie ^ {it}. النهاية {محاذاة *} ]

P2

[e ^ {i cdot 0} = 1. لا يوجد رقم]

دليل - إثبات

هذا يتبع مباشرة من التعريف في المعادلة المرجع {1.6.1}:

(e ^ {i cdot 0} = cos (0) + i sin (0) = 1 ).

ص 3

القواعد المعتادة للأسس تحمل:

[e ^ {ia} e ^ {ib} = e ^ {i (a + b)}. nonumber ]

دليل - إثبات

يعتمد هذا على صيغ إضافة جيب التمام وجيب الجيب والتعريف في المعادلة المرجع {1.6.1}:

[ begin {align *} e ^ {ia} cdot e ^ {ib} & = ( cos (a) + i sin (a)) cdot ( cos (b) + i sin (b )) [4pt] & = cos (a) cos (b) - sin (a) sin (b) + i ( cos (a) sin (b) + sin (a) cos (b)) [4pt] & = cos (a + b) + i sin (a + b) = e ^ {i (a + b)}. النهاية {محاذاة *} ]

ص 4

يتوافق تعريف (e ^ {i theta} ) مع سلسلة الأس لـ (e ^ x ).

دليل - إثبات

لرؤية هذا علينا أن نتذكر سلسلة القوة لـ (e ^ x ) و ( cos (x) ) و ( sin (x) ). هم انهم

[ begin {align *} e ^ x & = 1 + x + dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 4} {4 !} + ... [4pt] cos (x) & = 1 - dfrac {x ^ 2} {2!} + dfrac {x ^ 4} {4!} - dfrac {x ^ 6 } {6!} + ldots [4pt] sin (x) & = x - dfrac {x ^ 3} {3!} + dfrac {x ^ 5} {5!} + ... نهاية {محاذاة *} ]

يمكننا الآن كتابة سلسلة الأس لـ (e ^ {i theta} ) ثم تقسيمها إلى سلسلة الأس للجيب وجيب التمام:

[ begin {align *} e ^ {i theta} & = sum_ {0} ^ { infty} dfrac {(i theta) ^ n} {n!} [4pt] & = sum_ {0} ^ { infty} (-1) ^ k dfrac { theta ^ {2k}} {(2k)!} + i sum_ {0} ^ { infty} (-1) ^ k dfrac { theta ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!} [4pt] & = cos ( theta) + i sin ( theta). النهاية {محاذاة *} ]

لذا فإن تعريف صيغة أويلر يتوافق مع سلسلة الأس المعتادة لـ (e ^ x ).

ملكيات P1-P4 يجب أن يقنعك بأن (e ^ {i theta} ) يتصرف مثل الأسي.

الأسي المعقدة والصيغة القطبية

دعنا الآن ننتقل إلى العلاقة بين الإحداثيات القطبية والأسية المعقدة.

افترض أن (z = x + iy ) له إحداثيات قطبية (r ) و ( ثيتا ). أي لدينا (x = r cos ( theta) ) و (y = r sin ( theta) ). وهكذا نحصل على العلاقة المهمة

[ start {align *} z & = x + iy [4pt] & = r cos ( theta) + ir sin ( theta) [4pt] & = r ( cos ( theta ) + i sin ( theta)) [4pt] & = re ^ {i theta}. النهاية {محاذاة *} ]

هذا مهم جدًا ولا يجب المضي قدمًا دون فهم. نسجلها أيضًا بدون المعادلة الوسيطة.

[z = x + iy = r e ^ {i theta}. ]

لأن (r ) و ( theta ) هما الإحداثيات القطبية لـ ((س ، ص) ) نسمي (z = re ^ {i theta} ) الشكل القطبي لـ (ض ) ).

دعنا نتحقق الآن من أن المقدار والحجة والمقارن والضرب والقسمة سهلة في الشكل القطبي.

الحجم

(| e ^ {i theta} | = 1 ).

دليل - إثبات

[ start {align *} | e ^ {i theta} | & = | cos ( theta) + i sin ( theta) | [4pt] & = sqrt { cos ^ 2 ( theta) + sin ^ 2 ( theta)} [4pt] & = 1. النهاية {محاذاة *} ]

بالكلمات ، هذا يشير إلى أن (e ^ {i theta} ) دائمًا على دائرة الوحدة - وهذا مفيد للتذكر!

وبالمثل ، إذا (z = r e ^ {i theta} ) ثم (| z | = r ). يمكنك حساب هذا ، ولكن يجب أن يكون واضحًا من التعريفات: (| z | ) هي المسافة من (z ) إلى الأصل ، وهو بالضبط نفس تعريف (r ).

جدال

إذا (z = r e ^ {i theta} ) ثم ( text {arg} (z) = theta ).

دليل - إثبات

هذا هو التعريف مرة أخرى: الحجة هي الزاوية القطبية ( ثيتا ).

المترافقة

( overline {(z = r e ^ {i theta})} = r e ^ {- i theta} ).

دليل - إثبات

[ start {align *} overline {(z = re ^ {i theta})} & = overline {r ( cos ( theta) + i sin ( theta))} [4pt ] & = r ( cos ( theta) - i sin ( theta)) [4pt] & = r ( cos (- theta) + i sin (- theta)) [4pt ] & = re ^ {- i theta}. النهاية {محاذاة *} ]

بالكلمات: الاقتران المعقد يغير علامة الوسيطة

عمليه الضرب

إذا (z_1 = r_1 e ^ {i theta_1} ) و (z_2 = r_2 e ^ {i theta_2} ) إذن

[z_1 z_2 = r_1 r_2 e ^ {i ( theta_1 + theta_2)}. لا يوجد رقم]

هذا ما يسميه علماء الرياضيات تافهًا ، فقط اكتب الضرب بالأسفل. بالكلمات ، تنص الصيغة على أن (z_1 z_2 ) تتضاعف المقدار وتجمع المعطيات.

قسم

مرة أخرى من التافه ذلك

( dfrac {r_1 e ^ {i theta_1}} {r_2 e ^ {i theta_2}} = dfrac {r_1} {r_2} e ^ {i ( theta_1 - theta_2)}. )

مثال ( PageIndex {1} ): الضرب في 2 (i )

إليك مثال بسيط ولكنه مهم. بالنظر إلى الرسم البياني ، نرى أن الرقم (2i ) له حجم 2 والوسيطة ( pi / 2 ). إذن في الإحداثيات القطبية يساوي (2e ^ {i pi / 2} ). هذا يعني أن الضرب في (2i ) يضرب الأطوال في 2 ويضيف ( pi / 2 ) إلى الوسيطات ، أي يستدير بـ (90 ^ { circ} ). يظهر التأثير في الأشكال أدناه

مثال ( PageIndex {2} ): التحوّل إلى قوة

لنحسب ((1 + i) ^ 6 ) و (( dfrac {1 + i sqrt {3}} {2}) ^ 3 )

المحلول

(1 + i ) له الحجم = ( sqrt {2} ) و ( text {arg} = pi / 4 ) ، لذلك (1 + i = sqrt {2} e ^ { أنا بي / 4} ). أصبح الانطلاق إلى السلطة أمرًا سهلاً:

((1 + i) ^ 6 = ( sqrt {2} e ^ {i pi / 4}) ^ 6 = 8 e ^ {6i pi / 4} = 8 e ^ {3i pi / 2} = -8i ).

وبالمثل ، ( dfrac {1 + i sqrt {3}} {2} = e ^ {i pi / 3} ) ، لذلك (( dfrac {1 + i sqrt {3}} {2 }) ^ 3 = (1 cdot e ^ {i pi / 3}) ^ 3 = e ^ {i pi} = -1 )

التعقيد أو الاستبدال المعقد

في المثال التالي سوف نوضح تقنية التعقيد أو استبدال معقد. يمكن استخدام هذا لتبسيط التكامل المثلثي. سيكون مفيدًا عندما نحتاج إلى حساب تكاملات معينة.

مثال ( PageIndex {3} )

استخدم الاستبدال المعقد للحساب

[I = int e ^ x cos (2x) dx. ]

المحلول

لدينا صيغة أويلر

[e ^ {2ix} = cos (2x) + i sin (2x)، ]

لذلك ( cos (2x) = text {Re} (e ^ {2ix}) ). تتمثل خدعة الاستبدال المعقدة في استبدال ( cos (2x) ) بـ (e ^ {2ix} ). نحصل على (التبرير أدناه)

[I_c = int e ^ x cos 2x + ie ^ x sin 2x dx ]

مع

[I = text {Re} (I_c) ]

الحوسبة (I_c ) مباشرة:

[I_c = int e ^ xe ^ {i2x} dx = int e ^ {x (1 + 2i)} dx = dfrac {e ^ {x (1 + 2i)}} {1 + 2i} . ]

هنا سنقوم بالحساب أولاً في الإحداثيات المستطيلة. في التطبيقات ، على سبيل المثال طوال 18.03 ، غالبًا ما يُفضل الشكل القطبي لأنه أسهل ويعطي الإجابة في شكل أكثر قابلية للاستخدام.

[ start {array} {rcl} {I_c} & = & { dfrac {e ^ {x (1 + 2i)}} {1 + 2i} cdot dfrac {1 - 2i} {1 - 2i} } {} & = & { dfrac {e ^ x ( cos (2x) + i sin (2x)) (1 - 2i)} {5}} {} & = & { dfrac { 1} {5} e ^ x ( cos (2x) + 2 sin (2x) + i (-2 cos (2x) + sin (2x)))} end {array} ]

وبالتالي،

[I = text {Re} (I_c) = dfrac {1} {5} e ^ x ( cos (2x) + 2 sin (2x)). ]

تبرير الاستبدال المعقد. تأتي الحيلة عن طريق إضافة جزء جديد بذكاء إلى (I ) على النحو التالي ، دعونا (J = int e ^ x sin (2x) dx ). ثم تركنا

[I_c = I + iJ = int e ^ x ( cos (2x) + i sin (2x)) dx = int e ^ x 2 ^ {2ix} dx. ]

بوضوح ، من خلال البناء ، ( text {Re} (I_c) = I ) كما ادعى أعلاه.

بديل باستخدام الإحداثيات القطبية لتبسيط تعبير (I_c ):

في الشكل القطبي ، لدينا (1 + 2i = re ^ {i phi} ) ، حيث (r = sqrt {5} ) و ( phi = text {arg} (1 + 2i) = text {tan} ^ {- 1} (2) ) في الربع الأول. ثم:

(I_c = dfrac {e ^ {x (1 + 2i)}} { sqrt {5} e ^ {i phi}} = dfrac {e ^ x} { sqrt {5}} e ^ { i (2x - phi)} = dfrac {e ^ x} { sqrt {5}} ( cos (2x - phi) + i sin (2x - phi)) ).

هكذا،

[I = text {Re} (I_c) = dfrac {e ^ x} { sqrt {5}} cos (2x - phi). ]

(N ) الجذور

سنحتاج إلى أن نكون قادرين على إيجاد الجذور (n ) للأعداد المركبة ، أي حل معادلات النموذج

[z ^ N = c، ]

حيث (ج ) هو رقم مركب معين. يمكن القيام بذلك بسهولة أكبر عن طريق التعبير عن (c ) و (z ) في شكل قطبي ، (c = Re ^ {i phi} ) و (z = re ^ {i theta} ) . ثم ، عند الاستبدال ، علينا الحل

[r ^ N e ^ {iN theta} = Re ^ {i phi} ]

لكي تتساوى الأعداد المركبة على اليسار واليمين ، يجب أن تكون مقاديرها متساوية ولا يمكن أن تختلف وسيطاتها إلا بعدد صحيح مضاعف لـ (2 pi ). هذا يعطي

[r = R ^ {1 / N} ) (N theta = phi + 2 pi n ) ، حيث (n = 0، pm 1، pm 2، ... ]

حل من أجل ( theta ) ، لدينا

[ theta = dfrac { phi} {N} + dfrac {2 pi n} {N}. ]

مثال ( PageIndex {4} )

أوجد الجذور الخمسة الخمسة للعدد 2.

المحلول

بالنسبة إلى (c = 2 ) ، لدينا (R = 2 ) و ( phi = 0 ) ، لذا فإن الجذور الخامسة للعدد 2 هي

(z_n = 2 ^ {1/5} e ^ {2n pi i / 5} ) ، حيث (n = 0، pm 1، pm 2، ... )

بالنظر إلى الجانب الأيمن ، نرى أنه بالنسبة إلى (n = 5 ) لدينا (2 ^ {1/5} e ^ {2 pi i} ) وهو نفس الجذر تمامًا عند (n = 0 ) ، على سبيل المثال (2 ^ {1/5} e ^ {0i} ). وبالمثل (n = 6 ) يعطي نفس الجذر تمامًا مثل (n = 1 ) ، وهكذا. هذا يعني أن لدينا 5 جذور مختلفة تقابل (n = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ).

(z_n = 2 ^ {1/5} ، e ^ {1/5} e ^ {2 pi i / 5} ، e ^ {1/5} e ^ {4 pi i / 5} ، e ^ {1/5} e ^ {6 pi i / 5}، e ^ {1/5} e ^ {8 pi i / 5} )

وبالمثل يمكننا القول أنه بشكل عام (c = Re ^ {i phi} ) لها جذور (N ) مميزة (N ):

(z_n = r ^ {1 / N} e ^ {i phi / N + i 2 pi (n / N)} ) لـ (n = 0 ، 1 ، 2 ، ... ، N - 1 ).

مثال ( PageIndex {5} )

أوجد الجذور الرابعة للعدد 1.

المحلول

نحن بحاجة إلى حل (z ^ 4 = 1 ) ، لذلك ( phi = 0 ). لذا فإن الجذور الأربعة المتميزة هي في شكل قطبي

[z_n = 1، e ^ {i pi / 2}، e ^ {i pi}، e ^ {i 3 pi / 2} ]

وفي التمثيل الديكارتي

[z_n = 1، i، -1، -i. ]

مثال ( PageIndex {6} )

أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للعدد -1.

المحلول

(z ^ 2 = -1 = e ^ {i pi + i 2 pi n} ). لذلك ، (z_n = e ^ {i pi + i 2 pi (n / 3)} ) والجذور التكعيبية الثلاثة هي (e ^ {i pi / 3} ) ، (e ^ { i pi} ) ، (e ^ {i 5 pi / 3} ). بما أن ( pi / 3 ) راديان هو (60 ^ { circ} ) يمكننا تبسيط:

(e ^ {i pi / 3} = cos ( pi / 3) + i sin ( pi / 3) = dfrac {1} {2} + i dfrac { sqrt {3}} {2} Rightarrow z_n = -1، dfrac {1} {2} pm i dfrac { sqrt {3}} {2} )

مثال ( PageIndex {7} )

أوجد الجذور الخامسة لـ (1 + i ).

المحلول

[z ^ 5 = 1 + i = sqrt {2} e ^ {i ( pi / 4 + 2n pi)} ]

لـ (n = 0، 1، 2، ... ). إذن ، الجذور الخامسة هي

(2 ^ {1/10} e ^ {i pi / 20} ) ، (2 ^ {1/10} e ^ {i9 pi / 20} ) ، (2 ^ {1/10 } e ^ {i17 pi / 20} ) ، (2 ^ {1/10} e ^ {i25 pi / 20} ) ، (2 ^ {1/10} e ^ {i33 pi / 20} ).

باستخدام الآلة الحاسبة ، يمكننا كتابتها رقميًا كـ (a + bi ) ، لكن لا يوجد تبسيط سهل.

مثال ( PageIndex {8} )

يجب أن نتحقق من أن أسلوبنا يعمل كما هو متوقع لحل مشكلة بسيطة. أوجد الجذور التربيعية للعدد 4.

المحلول

(z ^ 2 = 4 e ^ {i2 pi n} ). إذن ، (z_n = 2e ^ {i pi n} ) ، مع (n = 0 ، 1 ). لذا فإن الجذور هي (2e ^ 0 = 2 ) و (2e ^ {i pi} = -2 ) كما هو متوقع!

هندسة جذور (N ) عشر

بالنظر إلى الأمثلة أعلاه ، نرى أن الجذور دائمًا ما تكون متباعدة بالتساوي حول دائرة متمركزة في الأصل. على سبيل المثال ، الجذور الخامسة لـ (1 + i ) متباعدة بزيادات (2 pi / 5 ) راديان حول دائرة نصف القطر (2 ^ {1/5} ).

لاحظ أيضًا أن جذور الأعداد الحقيقية تأتي دائمًا في أزواج مترافقة.


عشرون دليلًا على صيغة أويلر: V-E + F = 2

العديد من النظريات في الرياضيات مهمة بما يكفي لدرجة أنه تم إثباتها مرارًا وتكرارًا بطرق عديدة ومختلفة بشكل مفاجئ. تتضمن الأمثلة على ذلك وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، وتقييم زيتا (2) ، والنظرية الأساسية للجبر (كثيرات الحدود لها جذور) ، والمعاملة بالمثل التربيعية (صيغة لاختبار ما إذا كان التقدم الحسابي يحتوي على مربع) ، ونظرية فيثاغورس (والتي وفقًا لـ Wells لديها ما لا يقل عن 367 دليلًا). يحدث هذا أيضًا في بعض الأحيان للنظريات غير المهمة ، مثل حقيقة أنه في أي مستطيل مقسم إلى مستطيلات أصغر ، إذا كان لكل مستطيل صغير عرض أو ارتفاع عدد صحيح ، كذلك الحال بالنسبة للمستطيل الكبير.

تسرد هذه الصفحة أدلة على معادلة أويلر: بالنسبة لأي متعدد السطوح محدب ، فإن عدد الرؤوس والوجوه معًا يزيد بمقدار اثنين بالضبط عن عدد الحواف. رمزياً V & ناقص E + F = 2. على سبيل المثال ، يحتوي رباعي الوجوه على أربعة رؤوس وأربعة وجوه وستة حواف 4-6 + 4 = 2.

نسخة من الصيغة تسبق أويلر بما يزيد عن 100 عام ، إلى ديكارت عام 1630. يعطي ديكارت شكلاً منفصلاً لنظرية غاوس-بونيه ، مشيرًا إلى أن مجموع زوايا وجه متعدد السطوح هو 2 & pi (V & ناقص 2) ، ومنه يستنتج أن عدد زوايا المستوى هو 2F + 2V-4. دائمًا ما يكون عدد زوايا المستوى ضعف عدد الحواف ، لذا فإن هذا يعادل معادلة أويلر ، لكن المؤلفين اللاحقين مثل لاكاتوس ومالكيفيتش وبوليا لا يوافقون على ذلك ، حيث يشعرون أن التمييز بين زوايا الوجه والحواف كبير جدًا لدرجة يصعب معها تحقيق ذلك. ينظر إليها على أنها نفس الصيغة. تم (إعادة) اكتشاف الصيغة V & minusE + F = 2 بواسطة أويلر ، وقد كتب عنها مرتين في عام 1750 ، وفي عام 1752 نشر النتيجة ، مع إثبات خاطئ عن طريق تحريض متعدد السطوح على أساس إزالة الرأس واستعادة الثقب المتكون من قبله. إزالة. لا تحافظ خطوة الاسترجاع بالضرورة على التحدب أو الاستواء للشكل الناتج ، لذلك لا يمر الاستقراء. محاولة أخرى مبكرة للإثبات ، قام بها مايستر عام 1784 ، هي أساسًا إثبات إزالة المثلث الوارد هنا ، ولكن دون تبرير وجود مثلث يجب إزالته. في عام 1794 ، قدم Legendre دليلاً كاملاً باستخدام الزوايا الكروية. بدأ كوشي الفعل في عام 1811 ، مستشهداً بـ Legendre وأضاف براهين غير كاملة تستند إلى إزالة المثلث ، وتحلل الأذن ، وإزالة رباعي السطوح من تقسيم متعدد السطوح إلى متعدد الوجوه أصغر. يقدم هيلتون وبيدرسون المزيد من المراجع بالإضافة إلى التكهنات المسلية حول اكتشاف أويلر للصيغة. من المربك أن المعادلات الأخرى مثل e i pi = -1 و phi (n) = 1 (mod n) تذهب أيضًا باسم "صيغة أويلر" كان أويلر رجلًا مشغولًا.

يمكن بالطبع تعميم صيغة متعدد الوجوه بعدة طرق مهمة ، بعضها يستخدم الطرق الموضحة أدناه. أحد التعميمات الهامة هو الرسوم البيانية المستوية. لتشكيل رسم بياني مستوٍ من متعدد السطوح ، ضع مصدر ضوء بالقرب من وجه متعدد السطوح ، ومستوى على الجانب الآخر.

تشكل ظلال حواف متعدد السطوح رسمًا بيانيًا مستويًا ، مدمجًا بطريقة تجعل الحواف مقاطع مستقيمة. تتوافق أوجه متعدد الوجوه مع المضلعات المحدبة التي تمثل أوجه التضمين. يتوافق الوجه الأقرب لمصدر الضوء مع الوجه الخارجي للتضمين ، وهو محدب أيضًا. على العكس من ذلك ، فإن أي رسم بياني مستوٍ له خصائص اتصال معينة يأتي من متعدد الوجوه بهذه الطريقة.

بعض البراهين أدناه تستخدم فقط طوبولوجيا الرسم البياني المستوي ، والبعض الآخر يستخدم هندسة التضمين ، والبعض الآخر يستخدم الهندسة ثلاثية الأبعاد لمتعدد الوجوه الأصلي. لن تكون الرسوم البيانية في هذه البراهين بسيطة بالضرورة: قد تربط الحواف رأسًا بنفسها ، وقد يتم توصيل رأسين بواسطة حواف متعددة. تعتمد العديد من البراهين على نظرية منحنى الأردن ، والتي لها في حد ذاتها أدلة متعددة ، ولكنها لا تستند عمومًا إلى صيغة أويلر ، لذا يمكن للمرء استخدام منحنيات الأردن دون خوف من التفكير الدائري.

  • الدليل الأول: الأشجار المتداخلة
  • الدليل 2: الاستقراء على الوجوه
  • الدليل 3: الاستقراء على الرؤوس
  • الدليل 4: الاستقراء على الحواف
  • الدليل الخامس: فرق تسد
  • الدليل 6: الشحنة الكهربائية
  • الدليل 7: الشحن الكهربائي المزدوج
  • الدليل 8: مجموع الزوايا
  • الدليل 9: الزوايا الكروية
  • الدليل 10: نظرية بيك
  • الدليل 11: تحلل الأذن
  • الدليل 12: القصف
  • الدليل 13: إزالة المثلث
  • الدليل 14: سفينة نوح
  • إثبات 15: التنادد الثنائي
  • إثبات 16: قسم الفضاء الثنائي
  • الدليل 17: التقييمات
  • الدليل 18: ترتيبات الطائرة المفرطة
  • إثبات 19: تعداد عدد صحيح
  • الدليل 20: جولات أويلر
  • كل البراهين
  • مراجع

أتخيل أنه سيكون من الممكن إنشاء تحريض استنادًا إلى تمثيل المجسمات المحدبة على أنها تقاطعات لنصف المسافات أو هياكل محدبة من النقاط ، لكن الحاجة إلى التعامل مع المدخلات في وضع غير عام ستجعل البراهين الناتجة فوضوية تمامًا.

يبدو أيضًا أن هناك ارتباطًا محتملاً مع القيم ذات الحدين: إذا حدد المرء متعدد الحدود p (t) = 1 + Vt + Et 2 + Ft 3 + t 4 ، فيمكن تفسير صيغة أويلر على أنها تقول أن p (t) قابلة للقسمة بواسطة 1 + ر. لكن بالنسبة للمبسطة من أي بُعد ، p (t) = (1 + t) d + 1 بواسطة الصيغة ذات الحدين. ربما يوجد دليل على صيغة أويلر التي تستخدم متعددات الحدود بشكل مباشر بدلاً من مجرد ترجمة أحد التحريضات إلى صيغة متعددة الحدود. يطرح Jim Propp أسئلة مماثلة على polytopes متعددة الأبعاد اللانهائية ، مفسرًا p (t) كسلسلة طاقة (انظر أيضًا توسعه الأخير في هذه الأفكار).


شرح الدرس: صيغة أويلر للهويات المثلثية الرياضيات

في هذا الشرح ، سوف نتعلم كيفية استخدام صيغة أويلر لإثبات المتطابقات المثلثية مثل الزاوية المزدوجة ونصف الزاوية.

عندما نتعلم لأول مرة عن الدوال المثلثية والوظائف الأسية ، يبدو أن هناك القليل من القواسم المشتركة بينهما ، أو لا شيء. الدوال المثلثية دورية ، وفي حالة الجيب وجيب التمام ، يتم تقييدها أعلى وأسفل بـ 1 و

، في حين أن الوظيفة الأسية غير دورية وليس لها حد أعلى. ومع ذلك ، توضح صيغة أويلر أنه من خلال إدخال الأرقام المركبة ، فإن هذه الأفكار التي تبدو غير مترابطة هي في الواقع مرتبطة ارتباطًا وثيقًا وتشبه ، من نواحٍ عديدة ، وجهين لعملة واحدة.

التعريف: صيغة أويلر

تنص صيغة أويلر على ذلك لأي رقم حقيقي

يُشار إلى هذه الصيغة بدلاً من ذلك باسم علاقة أويلر.

صيغة أويلر لها تطبيقات في العديد من مجالات الرياضيات ، مثل التحليل الوظيفي والمعادلات التفاضلية وتحليل فورييه. علاوة على ذلك ، تمتد تطبيقاتها إلى الفيزياء والهندسة في مجالات متنوعة مثل معالجة الإشارات والهندسة الكهربائية وميكانيكا الكم. في هذا الشرح ، سوف نركز على تطبيقاته في علم المثلثات - ولا سيما اشتقاقات المتطابقات المثلثية.

في المثال الأول ، سنوضح كيف يمكننا اشتقاق الهويات المثلثية باستخدام إحدى خصائص الدالة الأسية ثم تطبيق صيغة أويلر.


1.6: صيغة أويلر

يشتهر عالم الفيزياء السويسري ليونارد أويلر بالعديد من الاكتشافات ويعمل في عالم الرياضيات والفيزياء. في عام 1750 ، اشتق أويلر الصيغة F + V = E + 2 التي تنطبق على جميع الأشكال المتعددة السطوح المحدبة. تمثل المتغيرات F و V و E أوجه ورؤوس وحواف متعدد السطوح على التوالي. يمكن ملاحظة ذلك بسهولة مع الأشكال المتعددة السطوح الخمسة المنتظمة الموضحة أدناه.

قد لا يكون هذا مفاجئًا جدًا للبعض وقد يبدو مجرد صدفة. دعونا نفحص عددًا قليلاً من متعددات الوجوه. أولاً ، دعونا نلقي نظرة على مجسم عشري الوجوه المقطوع ، يتكون الشكل من 20 خماسيًا منتظمًا و 12 شكلًا سداسيًا منتظمًا. قد يبدو هذا مألوفًا للبعض أكثر من متعدد السطوح أعلاه (إنها كرة قدم). يتكون متعدد السطوح بقطع 1/3 من كل حافة من عشري الوجوه العادي وكما سنرى ، يلبي صيغة أويلر.

عدد الوجوه: 32 (20 خماسي و 12 سداسي)

دعنا نلقي نظرة على المكعب المقطوع أو السداسي السداسي المقطوع. هذا متعدد السطوح تم تشكيله بشكل مشابه لـ icosedron المقطوع: 1/3 من كل حافة مقطوعة من مكعب.

عدد الوجوه: 14 (8 مثلثات متساوية الأضلاع و 6 مثمنات منتظمة)

تعمل صيغة أويلر مرة أخرى!

الآن لنجرب Icosahedron العظيم (متعدد الوجوه غير المحدب):

تعمل صيغة أويلر مرة أخرى!

لنأخذ مجسمات أخرى غير محدبة. خذ منظورًا مستطيلًا وضع منشورًا مثلثًا أعلى المنشور المستطيل مكونًا شيئًا مشابهًا للصورة أدناه:

6 من المنشور المستطيل ، و 4 من المنشور الثلاثي (الجزء السفلي لم يعد وجهًا)

إجمالي عدد الرؤوس: 14

صيغة أويلر لم تعد معلقة!

تثبت هذه الحالة في حد ذاتها أن الصيغة لا يمكن أن تعمل من أجلها كل متعدد الوجوه ، لكنه يعمل مع البعض. إذن ، هذا يقودنا إلى السؤال النهائي: لأيٍّ من متعددات الوجوه تحمل النظرية؟ كتب Imre Lakatos كتابًا ممتازًا مخصصًا فقط لهذه الصيغة المثيرة للاهتمام بعنوان Proofs and Limitation: The Logic of Mathematical Discovery. إنه يعتبر العديد من البراهين وكذلك الأمثلة المضادة.


كيف تجد صيغة أويلر & # 39s؟

تُعرَّف صيغة أويلر بأن عدد الرؤوس والوجوه معًا يزيد بمقدار اثنين بالضبط عن عدد الحواف.

إنه مكتوب بشكل رمزي F + V = E + 2، أين

F هو عدد الوجوه ، V هو عدد الرؤوس ، و E هو عدد الأضلاع. هذا ينطبق فقط على متعددات الوجوه. الرقم 2 في الصيغة يسمى خاصية أويلر & # 39s.

مثال محلول:

باستخدام صيغة أويلر ، أوجد عدد الرؤوس إذا كان عدد الوجوه 6 وعدد الأضلاع 12؟

المحلول:

باستخدام صيغة أويلر & # 39s ، F + V = E + 2

إذن ، عدد الرؤوس يساوي 8.

وبالمثل ، يمكنك تجربة الآلة الحاسبة لإيجاد عدد الوجوه وعدد الرؤوس وعدد الأضلاع

1) أوجد عدد الوجوه إذا كان عدد الرؤوس 6 وعدد الأضلاع 9؟

2) أوجد عدد الأضلاع إذا كان عدد الرؤوس 9 وعدد الوجوه 22؟


الإحداثيات الديكارتية والقطبية

ترسم صيغة أويلر & # 8217s دائرة وحدة في المستوى المركب كدالة في ( varphi ). هنا ، ( varphi ) هي الزاوية التي يصنعها الخط الذي يربط الأصل بنقطة على دائرة الوحدة مع المحور الحقيقي الموجب ، مقاسة بالراديان.

يمكن تمثيل نقطة في المستوى المركب برقم مركب مكتوب في الإحداثيات الديكارتية. تتيح لك صيغة Euler & # 8217s التحويل بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية. يبسط الشكل القطبي الرياضيات عند استخدامها في الضرب أو قوى الأعداد المركبة. [ويكي]

أي عدد مركب (z = x + jy ) يمكن كتابته كـ


صيغة وطوبولوجيا أويلر

بشكل تقريبي ، أ شبكة الاتصال (أو كما يقول علماء الرياضيات ، أ رسم بياني ) عبارة عن مجموعة من النقاط تسمى الرؤوس ، والخطوط التي تنضم إليهم ، تسمى حواف . تلتقي كل حافة برأسين فقط (أحدهما عند كل طرف من نهايته) ، ويجب ألا تتقاطع حافتان إلا عند الرأس (والتي ستكون حينئذٍ نقطة نهاية مشتركة للحافتين). تشكل مجموعة الحواف حدود مناطق معينة تسمى وجوه . يجب ألا تحتوي الوجوه على ثقوب أو مقابض عليها. إذا كان للوجهين نقاط حد مشتركة ، فيجب أن يتشاركا في حافة مشتركة (وهذا فقط) ، أو رأس مشترك (وهذا فقط).

في الشكل 1 ، يوجد مثالان للشبكات ، وقد تم ذلك
3 وجوه و 12 حافة و 10 رؤوس
و
(2) وجهان و 6 حواف و 5 رؤوس ،
على التوالى.

ليس من الضروري افتراض أن الخطوط الموجودة في الشبكة هي "خطوط مستقيمة" ويمكن أن تكون "منحنيات" من أي نوع باستثناء أنه يجب ألا تتقاطع مع بعضها البعض أو فوق بعضها البعض. علاوة على ذلك ، يمكننا رسم مثل هذه الشبكات على أي سطح (على سبيل المثال ، المستوى ، الكرة ، الأسطوانة ، وما إلى ذلك).

أ التثليث من السطح عبارة عن شبكة على السطح تكون جميع وجوهها مثلثة (أي أنها تحدها ثلاثة حواف). في الواقع ، يرسم المساحون الريف عن طريق تثليثه بـ "نقاط المثلث" (عادة على قمم الجبال) وقياس الزوايا والمسافات بين نقاط المثلث هذه. في هذه الحالة ، تكون نقاط المثلث هي رؤوس التثليث.

تم العثور على أبسط مثال على التثليث على الكرة (الذي نعتقد أنه سطح الأرض) من خلال رسم خط الاستواء ، وعلى سبيل المثال ، $ n $ خطوط الطول. في هذا المثال ، الموضح في الشكل 2 ، هناك وجوه مثلثة $ 2n $ ، ورؤوس $ n + 2 $ ($ n $ على خط الاستواء ، وواحد عند كل قطب) ، وحواف $ 3n $ ، لذلك $ hbox <(عدد الوجوه)> - hbox <(عدد الحواف)> + hbox <(عدد الرؤوس)> = 2n - 3n + (n + 2) = 2. $

ربما يكون من المدهش أن هذه الإجابة لا تعتمد على اختيار $ n $ . أكثر ما يلفت الانتباه هو الحقيقة ، والمعروفة باسم نظرية أويلر ، التي تحملها هذه الصيغة الكل مثلثات الكرة. كان ليونارد أويلر (1707-1783) عالم رياضيات سويسريًا ، وربما كان أكثر علماء الرياضيات إنتاجًا على الإطلاق. وبالتالي ، بالنسبة لأي مثلث للكرة ، على سبيل المثال ، مثلثات $ T $ ، وحواف $ E $ ورؤوس $ V $ ، صيغة أويلر للكرة هو أن $ T-E + V = 2. $

الشيء المهم الذي يجب إدراكه هو أن هذه الصيغة عبارة عن ملف ثابت طوبولوجي : هذا يعني أننا إذا قمنا بتشويه المثلث والكرة بشكل مستمر ، فلن تتغير الأرقام $ T $ و $ E $ و $ V $ وستظل الصيغة صحيحة. على سبيل المثال ، نظرًا لأنه يمكننا تشويه الكرة إلى مكعب ، فإن الصيغة ستظل صامدة بالنسبة للمكعب ، لذلك دعونا نتحقق من ذلك بتثليث واحد معين للمكعب. نقسم كل وجه من وجوه المكعب إلى مثلثين برسم قطري على كل وجه. ثم هناك ستة أوجه للمكعب وكل منها يعطي مثلثين ، وبالتالي فإن $ T = 12 $. من الواضح أن $ V = 8 $ (لا توجد رؤوس جديدة تظهر عند رسم الأقطار) ، و $ E = 18 $ (اثني عشر من المكعب الأصلي وستة أقطار مضافة). وهكذا فإن $ T-E + V = 12-18 + 8 = 2. $

التمرين 1

  1. لرباعي السطوح (هرم بقاعدة مثلثة)
  2. للسطح المتكون من لصق اثنين من رباعي السطوح معًا عبر قاعدتهم
  3. لهرم ذو قاعدة مربعة كما هو موجود في مصر (تذكر أن قاعدة الهرم ، حيث يلامس الهرم الأرض ، هي جزء من سطح الهرم)
  4. للثماني الوجوه (الذي يتكون من لصق هرمين معًا عبر قاعدتهما)
  5. يتكون السطح من لصق هرمين ، كل منهما بقاعدة مربعة ، على وجهين مختلفين من المكعب. يجب أن تفترض أن حجم وجوه المكعب هو نفس حجم قواعد الأهرامات.

تمرين 2

الملاحظة 1:

ملاحظة:

دليل ليجيندر على صيغة أويلر على الكرة

تعتبر هندسة الكرة مهمة للغاية على سبيل المثال ، عندما يعمل الملاحون (في السفن أو الطائرات) على مسارهم عبر أحد المحيطات ، يجب عليهم استخدام هندسة الكرة (وليس هندسة الطائرة!). في المستوى المعتاد في الهندسة الإقليدية ، يكون مجموع زاوية المثلث 180 دولارًا (أو $ pi $ راديان). على سطح الكرة ، يكون قوس أقصر مسافة بين نقطتين هو قوس دائرة كبيرة على الكرة ، وإذا شكلنا مثلثًا "كرويًا" مع هذه الأقواس كأضلاع ، فإن مجموع زوايا المثلث لا يساوي 180 دولارًا درجات دولار. على سبيل المثال ، إذا نظرنا إلى المثلث على الكرة التي يحدها خط الاستواء ، وخط الزوال غرينتش ، وخط الطول المحدد بمقدار 90 دولارًا ^ circ $ شرقًا ، نحصل على مثلث كروي جميع زواياه الثلاثة 90 ^ circ $. دعونا نسمي هذا المثلث $ Delta $. قد ترغب الآن في التفكير في مجاميع زوايا المثلث الأخرى الممكنة على الكرة.

إنها حقيقة ، سنفترض هنا ، أنه إذا كان المثلث الكروي يقع على كرة من نصف قطر الوحدة وله ، على سبيل المثال ، زوايا $ theta_1 $ و $ theta_2 $ و $ theta_3 $ (تقاس بالراديان) ، ثم مساحة المثلث هي $ theta_1 + theta_2 + theta_3 - pi $. بالطبع ، في الهندسة الإقليدية ، سيكون لدينا $ theta_1 + theta_2 + theta_3 = pi $ ، لكن هذه الصيغة لم تعد صالحة لأن مساحتنا منحنية. في أبسط مستوياتها ، نظرية أينشتاين حول الزمكان هو أن الزمكان الذي نعيش فيه منحني ، وبالتالي فإن "صيغ" الفيزياء تختلف عن تلك التي نحصل عليها إذا استخدمنا وجهة النظر الإقليدية.

لاحظ أنه إذا قبلنا الصيغة أعلاه لمساحة المثلث الكروي ، فإن المثلث $ Delta $ الذي تم إنشاؤه أعلاه له مساحة 3 $ ( pi / 2) - pi = pi / 2 $. نظرًا لأن ثماني نسخ من $ Delta $ ستملأ الكرة دون تداخل ، فإننا نرى ذلك مساحة الكرة (نصف قطر الوحدة) هي 4 دولارات pi $.

يمكننا الآن إعطاء دليل Legendre الجميل لصيغة أويلر المبنية على مناقشة بسيطة للهندسة على الكرة. لأي مثلث على الكرة ، لدينا $ hbox = hbox + pi $ افترض أن هناك مثلثات $ T $ وحواف $ E $ ورؤوس $ V $ في مثلث الكرة. بعد ذلك ، بجمع كل الزوايا في كل المثلثات ، يكون مجموع الزوايا الإجمالي هو $ 2 pi V $ (حيث أن جميع الزوايا تظهر عند قمة الرأس دون تداخل ، ومجموع الزاوية عند أي من الرؤوس $ V $ هو بالضبط $ 2 pi $). أيضًا ، مجموع مساحات المثلثات هو مساحة الكرة ، أي $ 4 pi $ وهكذا نرى أن $ 2 pi V = 4 pi + T pi ، $ أو $ V - T / 2 = 2. $ الآن (من خلال حساب حواف كل مثلث مع ملاحظة أن هذا يحسب لكل حافة مرتين) ، نحصل على $ 3T = 2E $ ، أو $ E = 3T / 2 $. وهكذا لدينا $ T - E + V = T - 3T / 2 + (2 + T / 2) = 2 $ وهي صيغة أويلر.

صيغة أويلر لمضلع بسيط مغلق

بالنظر إلى المضلع الذي لا يتقاطع مع نفسه ، يمكننا تثليث الجزء الداخلي من المضلع في مثلثات غير متداخلة بحيث يلتقي أي مثلثين (إن وجد) إما على طول حافة مشتركة أو عند قمة مشتركة. افترض أن هناك مثلثات $ T $ وحواف $ E $ ورؤوس $ V $ إذن صيغة أويلر للمضلع هو $ T-E + V = 1. $ يجب أن تكون قادرًا على تأكيد ذلك في المضلع الموضح في الشكل 3.

تمرين 3

إثبات صيغة أويلر لمضلع بسيط مغلق

نظرًا لأن المصطلحات $ T $ و $ E $ و $ V $ لم تتغير عندما نطبق تغييرًا مستمرًا (أو تشوهًا) على الصورة ، فيمكننا تخيل رسم الصورة على لوح مطاطي مرن. قمنا بقص المضلع من الورقة ، ثم نتعامل معه حتى يتناسب تمامًا مع النصف السفلي من الكرة الجالسة على الطاولة. يمكننا الآن اعتباره مثلثًا لنصف الكرة السفلي من هذا المجال ، وسنستخدم مصطلحات جغرافية ، مثل "خط الاستواء" و "القطب الشمالي" لوصف النقاط الموجودة على الكرة. سيكون هناك عدد معين من الرؤوس ، على سبيل المثال $ N $ ، على "خط الاستواء" للكرة (بالضبط نفس العدد الذي كان على حدود المضلع الأصلي) ، وكما تتناوب الرؤوس والحواف حول خط الاستواء ، هناك ستكون أيضًا حواف $ N $ بالضبط على خط الاستواء. الآن ارسم أقواس الدوائر من "القطب الشمالي" للكرة إلى كل من رؤوس $ N $ هذه (انظر الشكل 4). سيعطينا هذا الآن مثلثًا للكرة بأوجه مثلثة جديدة $ N $ ، وحواف جديدة $ N $ (كلها من القطب الشمالي) ورأس واحد جديد (عند القطب الشمالي). وهكذا ، من صيغة أويلر للكرة ، $ (T + N) - (E + N) + (V + 1) = 2 ، $ وهذا يعطي صيغة أويلر للمضلع ، وهي $ T-E + V = 1. $

صيغة أويلر ذات الوجوه المضلعة على أي سطح

لقد درسنا حتى الآن معادلة أويلر على السطح حيث تحتوي الشبكة على وجوه مثلثة فقط. في الواقع ، يتم الاحتفاظ بالصيغة أيضًا عندما تكون الوجوه مضلعات. يجب أن تجرب بعض الأمثلة على هذا لإقناع نفسك بأن الأمر كذلك. على سبيل المثال ، يحتوي المكعب على ستة أوجه مربعة ، و 12 ضلعًا و 8 رؤوس و 6-12 + 8 = 2.

فيما يلي رسم تخطيطي لإثبات صيغة أويلر للكرة $ F - E + V = 2. $ تم حذف بعض التفاصيل ولكن يجب أن تكون الفكرة العامة واضحة.

نبدأ بمضلع مرسوم على الكرة. لنفترض أن هذا يحتوي على رؤوس $ N $ ومن ثم $ N $ على حدود المضلع. يوجد وجهان (داخل المضلع وخارجه) لذلك لدينا في هذه الشبكة $ F - E + V = 2 - N + N = 2. $ لنفترض أننا وصلنا الآن رأسين من خلال منحنى مضلع - كما هو موضح باللون الأحمر خط في الرسم التخطيطي.

بالنسبة لمنحنى عام من هذا النوع ، نضيف $ k $ حوافًا جديدة ، و $ k - 1 $ رؤوسًا جديدة (في الشكل ، $ k = 4 $) ، ويزداد عدد الوجوه بمقدار واحد (وجه واحد مقسم إلى وجهين ). ثم للشبكة الجديدة $ F_ - ه_ + V_ = (F + 1) - (E + k) + (V + k - 1) = F - E + V = 2. $ بنفس الطريقة يمكننا إضافة خط "منقط" آخر دون تغيير $ F - E + V $ ، وبهذه الطريقة يمكننا بناء شبكة عامة يجب أن يكون لدينا من أجلها $ F - E + V = 2. $

بالنسبة للمضلع ، يكون الإثبات إلى حد كبير مثل الإثبات في القسم 3.

صيغة أويلر لمضلع به ثقوب

ضع في اعتبارك مضلعين ، أحدهما داخل الآخر معطى في الشكل 5. ما هي صيغة أويلر للمنطقة الواقعة بين المضلعين؟ يجب أن ترسم مناطق مختلفة من هذا النوع ، وتثليثها بطرق مختلفة ، وعندما تصل إلى إجابة تجريبية ، حاول إثباتها.

Now try to find Euler's formula for regions with two or more holes like those in Figure 6.

A Euler's formula for a square tube

Consider a square tube with no ends as illustrated in Figure 7, and consider triangulations of this that cover the whole tube. What is Euler's formula for a square tube ? You should draw different triangulations of this, and when you have reached an answer experimentally, try and prove it.

When you have done this, try and find Euler's formula for a `doughnut' : see Figure 8.

The angle deficiency of a polyhedron

Here is an attractive application of Euler's Formula. The angle deficiency of a vertex of a polyhedron is $360^circ $ (or $ 2pi $ radians) minus the sum of the angles at the vertex of the faces that meet at the vertex. For example, for a cube, there are three faces, each with a right angle at each vertex so the angle deficiency (at each vertex) is $ 2pi - 3 imes (pi/2) = pi /2 $ ($ 360^circ - 3 imes90^circ = 90^circ $), or 90 degrees. The total angle deficiency for the cube is $ 8 imes 90^circ = 720^circ $ (or $4pi$ radians). It is a remarkable fact that the total angle deficiency of any polyhedron that is topologically equivalent to a sphere is $720^circ$ or $4pi$ radians .

Suppose that we have a polyhedron which is made up with faces $F_1,ldots F_k$ (each of these is a polygon, which need not be regular). Then we can apply Euler's Theorem to the polyhedron, so let us count the faces, edges and vertices. First, by definition, there are $k$ faces. Suppose that the face $F_j$ has $N_j$ edges (and hence $N_j$ vertices). If we count the total number of edges by looking at them from inside each face we `see' $N_1+cdots +N_k$ edges. But of course, we see each edge twice (for each edge is `seen' from both sides) thus $2E = N_1+cdots + N_k.$ One interesting fact here is that $N_1+cdots +N_k$ must be even this is not obviously so. Finally, the number $V$ of vertices is given by Euler's formula for a sphere (or for any `deformed sphere'), so $V = E-F+2 = (N_1+cdots + N_k)/2 - k +2,$ or $2V = (N_1+cdots + N_k) - 2k +4.$

The polyhedron has $V$ vertices and, by definition, the total angle deficiency of the polyhedron is $2pi V$ minus the sum of the angles of all faces at all vertices . As the interior angle sum of a polygon with $n$ sides is $(n-2)pi$, we see that the total angle deficiency of the polyhedron is $Theta$, where

$ egin Theta &= 2pi V - Big[(N_1-2)pi+(N_2-2)pi + cdots +(N_k-2)piBig] &= 2pi V - (N_1+cdots + N_k)pi+2kpi &= piBig(2V - (N_1+cdots +N_k)+2kBig) &= 4pi. نهاية $

We have now proved the following result.

Theorem

The total angle deficiency of any polyhedron is $4pi$.

An example

Consider the regular tetrahedron. This has three equilateral triangles meeting at each of four vertices, so in this case, $Theta = 8pi - 4 imes (3 imes pi/3) = 4pi.$ You may like to try this with other examples.

The fact that the total angle deficiency of a polyhedron is 720 degrees, together with Euler's formula, gives the key to finding how many regular polyhedra there are (Platonic Solids) and how many semi-regular polyhedra there are (Archimedean solids) and discovering their properties (the shapes and number of faces etc.).

Adding Euler numbers

We are going to show that if we join two surfaces together across the boundary of a hole in each, then the Euler number of the joined surface is the sum of the Euler numbers of the two separate surfaces .

Suppose that we have two surfaces $S_1$ and $S_2$, each with a hole in it. By deforming the surfaces, we may assume that the two holes are circular with the same radius for example as illustrated below.

Now triangulate both surfaces in such a way that there are exactly $k$ vertices, and hence $k$ edges, on each of the circular boundaries of the holes. Again by deforming the surfaces we may assume that these $k$ vertices and $k$ edges match up exactly when the two surfaces are brought together.

Suppose that the triangulation of $S_1$ has $T_1$ triangles, $E_1$ edges and $V_1$ vertices, and similarly for $S_2$. When the surfaces have been joined together at the edges of the two circular holes, we will have a triangulation of the new surface, which we call $S$, and this triangulation will have exactly $T_1+T_2$ triangles in it. However, it will not have $E_1+E_2$ edges because each of the $k$ edges on the boundary of one hole will be joined to one of the other edges on the other boundary thus the new triangulation will have exactly $E_1+E_2-k$ edges and, similarly, $V_1+V_2-k$ vertices. Thus $ egin hbox(S) &=(T_1+T_2) - (E_1+E_2-k) + (V_1+V_2-k) &=(T_1-E_1+V_1) + (T_2-E_2+V_2) &= hbox(S_1) + hbox(S_2). نهاية $

As an example, a disc is topologically a hemisphere, so that these two surfaces have the same Euler number. If we join two hemispheres across their boundaries (for example, the southern and northern hemishperes are joined across the equator) we see that the Euler number of a sphere is twice the Euler number of a hemisphere. Hence the Euler number of a hemisphere, and also of a disc, is one.


Mechanics of Materials

DAN B. MARGHITU , . BOGDAN O. CIOCIRLAN , in Mechanical Engineer's Handbook , 2001

2.10 Intermediate-Length Columns with Central Loading

When the actual slenderness ratio ل/ك is less than (ل/ك)1, and so is in the region in Fig. 2.12 where the Euler formula is not suitable, one can use the parabolic أو J. B. Johnson formula of the form

أين أ و ب are constants that can be obtained by fitting a parabola (the dashed line tangent at تي) to the Euler curve in Fig. 2.12 . Thus, we find


Euler's formula

Our editors will review what you’ve submitted and determine whether to revise the article.

Euler’s formula, either of two important mathematical theorems of Leonhard Euler. The first formula, used in trigonometry and also called the Euler identity, says ه أناx = cos x + أناsin x، أين ه is the base of the natural logarithm and أنا is the square root of −1 (يرى irrational number). متي x is equal to π or 2π, the formula yields two elegant expressions relating π, ه، و أنا: ه أناπ = −1 and ه 2أناπ = 1, respectively. The second, also called the Euler polyhedra formula, is a topological invariance (يرى topology) relating the number of faces, vertices, and edges of any polyhedron. It is written F + الخامس = ه + 2, where F is the number of faces, الخامس the number of vertices, and ه the number of edges. A cube, for example, has 6 faces, 8 vertices, and 12 edges and satisfies this formula.

The Editors of Encyclopaedia Britannica This article was most recently revised and updated by Barbara A. Schreiber.


Consider the white triangle (sf T ) on the sphere shown above. Girard's Theorem gives a formula for the area of…

I’m not gonna show the rigorous proof of this theorem here. A visual demonstration is given in the Wolfram link above. Also a rigorous proof is given in the Princeton blog.

Now that we know what is Geodesic Triangle, can we extend the notion of triangle to any polygon? The answer is: yes, we can. In an analogous manner, we define a Geodesic Polygon as the area bounded by three or more geodesics. Needless to say, the sides of a Geodesic Polygon are parts of some great circles.

In this photo, ABCDE is a geodesic pentagon. The sides AB, BC, CD, DE, EA are actually parts of some geodesics.

In the same way as before, we can now generalize the Harriot-Girard Theorem for polygons. The generalized Harriot-Girard Theorem is: if an n-sided geodesic polygon has angles a₁, a₂, a₃, … , aₙ then the area of this polygon is: a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ –( n–2 )π = sum of angles–nπ+2π.

The proof to the generalization is just using the previous result. For any n-sided geodesic polygons, we can divide it into n-2 geodesic triangles. Just choose any vertex, then connect the other vertices to this chosen vertex using some great circles. Thus we obtain n-2 geodesic triangles. Notice that, the sum of the areas of these triangles is precisely the area of the polygon. Furthermore, the sum of all the angles of the triangles is equal to the sum of the angles of the polygon. Now, if we apply Harriot-Girard Theorem on all the n-2 triangles, we obtain the result.

Alright, enough about spherical geometry. How are these even related to our original problem, Euler’s Polyhedron Formula?

What Legendre does next is, he connects all these seemingly unrelated ideas from spherical geometry to solve a combinatorial problem.

Let’s consider a convex polyhedron with V vertices, E edges and F faces. Take any point X inside the polyhedron. Then construct a hollow sphere centered at X that surrounds the polyhedron completely. The units are not really important here. So we can assume without loss of generality that the sphere is a unit sphere.

What happens next is sheer magic! :0 We project the polyhedron onto the sphere through the point X. We can think of this projection as light and shadow. Assume that there is a lightbulb at the point X. Then we shall mark the shadows of the edges onto the sphere. The shadows will make some geodesic polygons.

The next trick Legendre pulls out of his sleeve is Counting in two ways. This means, if we calculate the same quantity in two different ways, the values we find using the two ways must be the same. Because we are essentially calculating the same thing. And how can a thing can have multiple different values?

What Legendre calculates here is the surface area of the sphere. One possible way to calculate surface area is: we know the formula surface area =4πr². Here the radius is 1, so the surface area is 4π.

We can calculate the same thing by adding the areas of the geodesic polygons we got after projecting. By the generalized Harriot-Girard Theorem, area=sum of angles–nπ+2π, where n is the number of edges of that geodesic polygon. Notice that, each face of the polyhedron corresponds to exactly one geodesic polygon. That means, there are total F polygons. If we take the sum of areas over all polygons, we get

If we choose a vertex of the polyhedron, the projected vertex makes some angles across some geodesic polygons. The sum of these angles is 2π (again, the proof is left as an exercise for the reader). (Σsum of angles) is basically sum of angles across all the vertices. So this quantity is 2πV.

Now, what was n? n was the number of edges in the polygon. From the definition of edge in a polyhedron, each edge is shared by exactly two faces. Hence, when we calculate Σn, we count each edge twice. So Σnπ = πΣn=π(2E)=2πE.

We showed earlier that there are total F polygons. And we are summing over these F polygons. So Σ2π=2πF. Σarea is the surface area of the sphere, which is 4π. Plugging in values, we get


شاهد الفيديو: التحليل العقدي Complex analysis. صيغة اويلر Eulers Formula الجزء الأول. محاضرة 8 (شهر اكتوبر 2021).