مقالات

13.6: مستويات الظل والتفاضلات - الرياضيات


أهداف التعلم

  • أوجد معادلة ظل مستوى لسطح معطى عند نقطة ما.
  • استخدم مستوى الظل لتقريب دالة لمتغيرين عند نقطة ما.
  • اشرح متى تكون دالة متغيرين قابلة للاشتقاق.
  • استخدم التفاضل الإجمالي لتقريب التغيير في دالة لمتغيرين.

في هذا القسم ، نأخذ في الاعتبار مشكلة إيجاد المستوى المماس للسطح ، وهو ما يماثل إيجاد معادلة خط المماس لمنحنى عندما يتم تعريف المنحنى بالرسم البياني لدالة متغير واحد ، (y = و (س) ). يتم إعطاء ميل خط الظل عند النقطة (x = a ) بواسطة (m = f ′ (a) ) ؛ ما هو ميل المستوى المماس؟ تعلمنا عن معادلة المستوى في معادلات الخطوط والمستويات في الفضاء ؛ في هذا القسم ، نرى كيف يمكن تطبيقه على المشكلة المطروحة.

طائرات الظل

بديهيًا ، يبدو من الواضح أنه في المستوى ، يمكن أن يكون سطر واحد فقط مماسًا لمنحنى عند نقطة ما. ومع ذلك ، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن أن تكون العديد من الخطوط مماسة لنقطة معينة. إذا كانت هذه الخطوط تقع في نفس المستوى ، فإنها تحدد مستوى الظل عند تلك النقطة. هناك طريقة أكثر بديهية للتفكير في المستوى المماس وهي افتراض أن السطح أملس في تلك النقطة (لا توجد زوايا). بعد ذلك ، لا يحتوي الخط المماس على السطح عند تلك النقطة في أي اتجاه على أي تغييرات مفاجئة في الانحدار لأن الاتجاه يتغير بسلاسة. لذلك ، في حي صغير بما فيه الكفاية حول النقطة ، تلمس طائرة مماسة السطح عند هذه النقطة فقط.

التعريف: خطوط الظل

لنفترض (P_0 = (x_0، y_0، z_0) ) أن تكون نقطة على سطح (S ) ، واجعل (C ) أي منحنى يمر عبر (P_0 ) ويكذب تمامًا في (S ). إذا كانت خطوط الظل لجميع هذه المنحنيات (C ) عند (P_0 ) تقع في نفس المستوى ، فإن هذا المستوى يسمى طائرة تماسية إلى (S ) في (P_0 ) (الشكل ( فهرس الصفحة {1} )).

من أجل وجود مستوى مماس إلى سطح عند نقطة على هذا السطح ، يكفي أن تكون الوظيفة التي تحدد السطح قابلاً للتفاضل في تلك النقطة. نحدد مصطلح الطائرة المماس هنا ثم نستكشف الفكرة بشكل حدسي.

التعريف: الطائرات المماس

لنفترض أن (S ) سطحًا محددًا بوظيفة قابلة للتفاضل (z = f (x، y)، ) واجعل (P_0 = (x_0، y_0) ) نقطة في مجال (f ). بعد ذلك ، يتم إعطاء معادلة المستوى المماس إلى (S ) في (P_0 ) بواسطة

[z = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0). التسمية {tanplane} ]

لمعرفة سبب صحة هذه الصيغة ، دعنا أولاً نجد خطين مماسين على السطح (S ). معادلة خط المماس للمنحنى الذي يمثله تقاطع (S ) مع التتبع الرأسي المعطى بواسطة (x = x_0 ) هي (z = f (x_0، y_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) ). وبالمثل ، فإن معادلة خط المماس للمنحنى الذي يمثله تقاطع (S ) مع التتبع الرأسي المعطى بواسطة (y = y_0 ) هي (z = f (x_0، y_0) + f_x ( x_0 ، y_0) (x − x_0) ). المتجه الموازي لخط الظل الأول هو ( vecs a = ، hat { mathbf j} + f_y (x_0، y_0) ، hat { mathbf k} )؛ المتجه الموازي لخط الظل الثاني هو ( vecs b = hat { mathbf i} + f_x (x_0، y_0) ، hat { mathbf k} ). يمكننا أخذ حاصل الضرب الاتجاهي لهذين المتجهين:

[ start {align *} vecs a times vecs b & = (، hat { mathbf j} + f_y (x_0، y_0) ، hat { mathbf k}) × (، قبعة { mathbf i} + f_x (x_0، y_0) ، hat { mathbf k}) [4pt] & = begin {vmatrix} hat { mathbf i} & hat { mathbf j} & hat { mathbf k} [4pt] 0 & 1 & f_y (x_0، y_0) [4pt] 1 & 0 & f_x (x_0، y_0) end {vmatrix} [4pt] & = f_x (x_0، y_0) ، hat { mathbf i} + f_y (x_0، y_0) ، hat { mathbf j} - ، hat { mathbf k}. النهاية {محاذاة *} ]

هذا المتجه عمودي على كلا الخطين وبالتالي فهو عمودي على مستوى المماس. يمكننا استخدام هذا المتجه كمتجه عادي للمستوى المماس ، جنبًا إلى جنب مع النقطة (P_0 = (x_0، y_0، f (x_0، y_0)) ) في معادلة المستوى:

[ start {align *} vecs n · ((x − x_0) ، hat { mathbf i} + (y − y_0) ، hat { mathbf j} + (z − f (x_0، y_0)) ، hat { mathbf k}) & = 0 [4pt] (f_x (x_0، y_0) ، hat { mathbf i} + f_y (x_0، y_0) ، hat { mathbf j} - ، hat { mathbf k}) · ((x − x_0) ، hat { mathbf i} + (y − y_0) ، hat { mathbf j} + (z − f (x_0، y_0)) ، hat { mathbf k}) & = 0 [4pt] f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) - (z −f (x_0، y_0)) & = 0. النهاية {محاذاة *} ]

حل هذه المعادلة لـ (z ) يعطي المعادلة المرجع {tanplane}.

مثال ( PageIndex {1} ): البحث عن مستوى ظل الظل

أوجد معادلة المستوى المماس للسطح المحدد بواسطة الوظيفة (f (x، y) = 2x ^ 2−3xy + 8y ^ 2 + 2x − 4y + 4 ) عند النقطة ((2، −1) . )

المحلول

أولاً ، يجب أن نحسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ، ثم نستخدم المعادلة مع (x_0 = 2 ) و (y_0 = −1 ):

[ start {align *} f_x (x، y) & = 4x − 3y + 2 [4pt] f_y (x، y) & = - 3x + 16y − 4 [4pt] f (2، - 1) & = 2 (2) ^ 2−3 (2) (- 1) +8 (−1) ^ 2 + 2 (2) −4 (−1) + 4 = 34 [4pt] f_x (2 ، −1) & = 4 (2) −3 (1) + 2 = 13 [4pt] f_y (2، −1) & = - 3 (2) +16 (−1) −4 = −26 . end {محاذاة *} ]

ثم تصبح المعادلة ref {tanplane}

[ start {align *} z & = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) [4pt] z & = 34 +13 (x − 2) −26 (y - (- 1)) [4pt] z & = 34 + 13x − 26−26y − 26 [4pt] z & = 13x − 26y − 18. نهاية {محاذاة *} ]

(انظر الشكل التالي).

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد معادلة المستوى المماس للسطح المحدد بواسطة الوظيفة (f (x، y) = x ^ 3 − x ^ 2y + y ^ 2−2x + 3y − 2 ) عند النقطة ((−1، 3) ).

تلميح

أولاً ، احسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ، ثم استخدم المعادلة المرجع {tanplane}.

إجابه

(ض = 7 س + 8 ص − 3 )

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن مستوى ظل ظل آخر

أوجد معادلة المستوى المماس للسطح المحدد بواسطة الوظيفة (f (x، y) = sin (2x) cos (3y) ) عند النقطة ((π / 3، π / 4). )

المحلول

أولاً ، احسب (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) ، ثم استخدم المعادلة ref {tanplane} مع (x_0 = π / 3 ) و (y_0 = π / 4 ):

[ start {align *} f_x (x، y) & = 2 cos (2x) cos (3y) [4pt] f_y (x، y) & = - 3 sin (2x) sin ( 3y) [4pt] f left ( dfrac {π} {3} ، dfrac {π} {4} right) & = sin left (2 left ( dfrac {π} {3} right) right) cos left (3 left ( dfrac {π} {4} right) right) = left ( dfrac { sqrt {3}} {2} right) left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac { sqrt {6}} {4} [4pt] f_x left ( dfrac {π} {3} ، dfrac {π} {4} right) & = 2 cos left (2 left ( dfrac {π} {3} right) right) cos left (3 left ( dfrac {π} {4} right) right) = 2 left (- dfrac {1} {2} right) left (- dfrac { sqrt {2}} {2} right) = dfrac { sqrt {2}} {2} [4pt] f_y left ( dfrac {π} {3} ، dfrac {π} {4} right) & = - 3 sin left (2 left (2 left ( dfrac {π} {3} right) right) sin left (3 left ( dfrac {π} {4} right) right) = - 3 left ( dfrac { sqrt {3 }} {2} right) left ( dfrac { sqrt {2}} {2} right) = - dfrac {3 sqrt {6}} {4}. نهاية {محاذاة *} ]

ثم تصبح المعادلة ref {tanplane}

[ start {align *} z & = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) [4pt] & = - dfrac { sqrt {6}} {4} + dfrac { sqrt {2}} {2} left (x− dfrac {π} {3} right) - dfrac {3 sqrt {6} } {4} left (y− dfrac {π} {4} right) [4pt] & = dfrac { sqrt {2}} {2} x− dfrac {3 sqrt {6} } {4} y− dfrac { sqrt {6}} {4} - dfrac {π sqrt {2}} {6} + dfrac {3π sqrt {6}} {16} end {محاذاة *} ]

لا يوجد دائمًا المستوى المماس للسطح في كل نقطة على السطح. ضع في اعتبارك الدالة متعددة التعريف

[f (x، y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}، & & (x، y) ≠ (0،0) [4pt ] 0، & & (x، y) = (0،0) end {cases}. تسمية {oddfunction} ]

يتبع الرسم البياني لهذه الوظيفة.

الشكل ( PageIndex {3} ): رسم بياني لدالة ليس لها مستوى مماس في الأصل. شخصية ديناميكية مدعومة من CalcPlot3D.

إذا كان إما (x = 0 ) أو (y = 0 ) ، إذن (f (x ، y) = 0 ، ) بحيث لا تتغير قيمة الوظيفة في (x )- أو (ص )-محور. لذلك ، (f_x (x ، 0) = f_y (0، y) = 0 ) ، لذلك ، إما (x ) أو (y ) تقترب من الصفر ، تظل هذه المشتقات الجزئية مساوية للصفر. استبدالهم في المعادلة يعطي (z = 0 ) كمعادلة خط الظل. ومع ذلك ، إذا اقتربنا من الأصل من اتجاه مختلف ، نحصل على قصة مختلفة. على سبيل المثال ، لنفترض أننا اقتربنا من الأصل على طول الخط (y = x ). إذا وضعنا (y = x ) في الوظيفة الأصلية ، فسيصبح

[f (x، x) = dfrac {x (x)} { sqrt {x ^ 2 + (x) ^ 2}} = dfrac {x ^ 2} { sqrt {2x ^ 2}} = dfrac {| x |} { sqrt {2}}. ]

عندما (x> 0، ) يساوي ميل هذا المنحنى ( sqrt {2} / 2 ) ؛ عندما (x <0 ) ، فإن ميل هذا المنحنى يساوي (- ( sqrt {2} / 2). ) وهذا يمثل مشكلة. في تعريف المستوى المماس ، افترضنا أن جميع الخطوط المماس عبر النقطة (P ) (في هذه الحالة ، الأصل) تقع في نفس المستوى. من الواضح أن هذا ليس هو الحال هنا. عندما ندرس الدوال القابلة للتفاضل ، سنرى أن هذه الوظيفة غير قابلة للاشتقاق في الأصل.

التقريبات الخطية

تذكر من التقريب الخطي والتفاضل أن صيغة التقريب الخطي لوظيفة (f (x) ) عند النقطة (x = a ) معطاة بواسطة

[y≈f (a) + f '(a) (x − a). ]

يظهر الرسم البياني للتقريب الخطي لدالة متغير واحد في الرسم البياني التالي.

يمكن استخدام خط الظل كتقريب للدالة (f (x) ) لقيم (x ) القريبة بشكل معقول من (x = a ). عند العمل بدالة ذات متغيرين ، يتم استبدال خط المماس بمستوى مماس ، لكن فكرة التقريب هي نفسها إلى حد كبير.

التعريف: التقريب الخطي

إعطاء دالة (z = f (x، y) ) مع مشتقات جزئية متصلة موجودة عند النقطة ((x_0، y_0) ) ، التقريب الخطي لـ (f ) عند النقطة ((x_0) ، y_0) ) بواسطة المعادلة

[L (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0). تسمية {تقريبًا} ]

لاحظ أن هذه المعادلة تمثل أيضًا المستوى المماس للسطح المحدد بواسطة (z = f (x، y) ) عند النقطة ((x_0، y_0) ). الفكرة وراء استخدام التقريب الخطي هي أنه إذا كانت هناك نقطة ((x_0 ، y_0) ) تُعرف عندها القيمة الدقيقة لـ (f (x ، y) ) ، فعندئذٍ لقيم (( x ، y) ) قريبة بشكل معقول من ((x_0 ، y_0) ) ، ينتج عن التقريب الخطي (أي مستوى الظل) قيمة قريبة أيضًا بشكل معقول من القيمة الدقيقة لـ (f (x ، y) ) (شكل). علاوة على ذلك ، فإن المستوى المستخدم لإيجاد التقريب الخطي هو أيضًا المستوى المماس للسطح عند النقطة ((x_0، y_0). )

مثال ( PageIndex {3} ): استخدام تقريب مستوى الظل

بالنظر إلى الوظيفة (f (x، y) = sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2} ) ، تقريب (f (2.1،2.9) ) باستخدام النقطة ((2،3) ) لـ ((x_0، y_0). ) ما هي القيمة التقريبية لـ (f (2.1،2.9) ) لأربعة منازل عشرية؟

المحلول

لتطبيق المعادلة المرجع {تقريبًا} ، يجب علينا أولاً حساب (f (x_0، y_0) و f_x (x_0، y_0) و ) و (f_y (x_0، y_0) ) باستخدام (x_0 = 2 ) و (y_0 = 3: )

[ begin {align *} f (x_0، y_0) & = f (2،3) = sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2} = sqrt {41−16−9 } = sqrt {16} = 4 [4pt] f_x (x، y) & = - dfrac {4x} { sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2}} text {so} ؛ f_x (x_0، y_0) = - dfrac {4 (2)} { sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2}} = - 2 [4pt] f_y (x، y) & = - dfrac {y} { sqrt {41−4x ^ 2 − y ^ 2}} text {so} ؛ f_y (x_0، y_0) = - dfrac {3} { sqrt {41−4 (2) ^ 2− (3) ^ 2}} = - dfrac {3} {4}. النهاية {محاذاة *} ]

الآن نستبدل هذه القيم في المعادلة المرجع {تقريبًا}:

[ start {align *} L (x، y) & = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) [4pt ] & = 4−2 (x − 2) - dfrac {3} {4} (y − 3) [4pt] & = dfrac {41} {4} −2x− dfrac {3} {4 } ذ. النهاية {محاذاة *} ]

أخيرًا ، استبدلنا (x = 2.1 ) و (y = 2.9 ) في (L (x ، y): )

[L (2.1،2.9) = dfrac {41} {4} −2 (2.1) - dfrac {3} {4} (2.9) = 10.25−4.2−2.175 = 3.875. لا يوجد رقم ]

القيمة التقريبية لـ (f (2.1،2.9) ) لأربعة منازل عشرية هي

[f (2.1،2.9) = sqrt {41−4 (2.1) ^ 2− (2.9) ^ 2} = sqrt {14.95} ≈3.8665، nonumber ]

والذي يتوافق مع (0.2٪ ) خطأ في التقريب.

تمرين ( PageIndex {2} )

بالنظر إلى الوظيفة (f (x، y) = e ^ {5−2x + 3y}، ) تقريبي (f (4.1،0.9) ) باستخدام النقطة ((4،1) ) من أجل (( x_0، y_0) ). ما هي القيمة التقريبية لـ (f (4.1،0.9) ) لأربعة منازل عشرية؟

تلميح

احسب أولاً (f (x_0، y_0)، f_x (x_0، y_0)، ) و (f_y (x_0، y_0) ) باستخدام (x_0 = 4 ) و (y_0 = 1 ) ، ثم استخدم المعادلة المرجع {تقريبًا}.

إجابه

(L (x، y) = 6−2x + 3y، ) لذا (L (4.1،0.9) = 6−2 (4.1) +3 (0.9) = 0.5 ) (f (4.1،0.9) = e ^ {5−2 (4.1) +3 (0.9)} = e ^ {- 0.5} ≈0.6065. )

الاختلاف

عند العمل مع دالة (y = f (x) ) لمتغير واحد ، يُقال أن الوظيفة قابلة للتفاضل عند نقطة (x = a ) إذا كانت (f ′ (a) ) موجودة. علاوة على ذلك ، إذا كانت دالة لمتغير واحد قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، يكون الرسم البياني "سلسًا" في تلك النقطة (أي لا توجد زوايا) ويكون خط المماس محددًا جيدًا في تلك النقطة.

ترتبط الفكرة الكامنة وراء تفاضل دالة لمتغيرين بفكرة النعومة في تلك المرحلة. في هذه الحالة ، يعتبر السطح أملسًا عند النقطة (P ) إذا كان هناك مستوى مماس للسطح عند تلك النقطة. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما ، فإن المستوى المماس للسطح موجود عند هذه النقطة. تذكر الصيغة (المعادلة المرجع {tanplane}) لمستوى ظل عند نقطة ((x_0، y_0) ) المعطاة بواسطة

[z = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) nonumber ]

من أجل وجود مستوى ظل عند النقطة ((x_0، y_0)، ) يجب أن تكون المشتقات الجزئية موجودة عند هذه النقطة. ومع ذلك ، هذا ليس شرطًا كافيًا للنعومة ، كما هو موضح في الشكل. في هذه الحالة ، كانت المشتقات الجزئية موجودة في الأصل ، ولكن للدالة أيضًا ركن في الرسم البياني في الأصل.

التعريف: وظائف قابلة للتفاضل

الدالة (f (x، y) ) هي قابل للتفاضل عند نقطة (P (x_0، y_0) ) إذا ، بالنسبة لجميع النقاط ((x، y) ) في قرص (δ ) حول (P ) ، يمكننا الكتابة

[f (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) + E (x، y)، label { فرق 1} ]

حيث يرضي مصطلح الخطأ (E )

[ lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 . تسمية {فرق 2} ]

المصطلح الأخير في المعادلة المرجع {diff1} هو مثل مصطلح خطأ وهو يمثل مدى اقتراب المستوى المماس من السطح في حي صغير ( (δ ) قرص) من النقطة (P ). لكي تكون الوظيفة (f ) قابلة للتفاضل عند (P ) ، يجب أن تكون الوظيفة سلسة - أي يجب أن يكون الرسم البياني (f ) قريبًا من مستوى الظل للنقاط القريبة من (P ) .

مثال ( PageIndex {4} ): إظهار التفاضل

أظهر أن الوظيفة (f (x، y) = 2x ^ 2−4y ) قابلة للتفاضل عند النقطة ((2، −3). )

المحلول

أولاً ، نحسب (f (x_0، y_0)، f_x (x_0، y_0)، ) و (f_y (x_0، y_0) ) باستخدام (x_0 = 2 ) و (y_0 = −3، ) ثم نستخدم المعادلة المرجع {diff1}:

[ start {align *} f (2، −3) & = 2 (2) ^ 2−4 (−3) = 8 + 12 = 20 [4pt] f_x (2، −3) & = 4 (2) = 8 [4pt] f_y (2، −3) & = - 4. نهاية {محاذاة *} ]

لذلك (m_1 = 8 ) و (m_2 = −4، ) وتصبح المعادلة المرجع {diff1}

[ start {align *} f (x، y) & = f (2، −3) + f_x (2، −3) (x − 2) + f_y (2، −3) (y + 3) + E (x، y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 20 + 8 (x − 2) −4 (y + 3) + E (x، y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 20 + 8x − 16−4y − 12 + E (x، y) [4pt] 2x ^ 2−4y & = 8x − 4y − 8 + E (x، y) [4pt] E (x ، y) & = 2x ^ 2−8x + 8. نهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نحسب الحد في المعادلة ref {diff2}:

[ begin {align *} lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x + 0) ^ 2 + (y− y_0) ^ 2}} & = lim _ {(x، y) → (2، −3)} dfrac {2x ^ 2−8x + 8} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x، y) → (2، −3)} dfrac {2 (x ^ 2−4x + 4)} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x، y) → (2، −3)} dfrac {2 (x − 2) ^ 2} { sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2} } [4 نقطة]
& = lim _ {(x، y) → (2، −3)} dfrac {2 ((x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2)} { sqrt {(x − 2) ^ 2+ (ص + 3) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x، y) → (2، −3)} 2 sqrt {(x − 2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2} [4pt]
& = 0. النهاية {محاذاة *} ]

بما أن (E (x، y) ≥0 ) لأي قيمة لـ (x ) أو (y ) ، يجب أن يكون الحد الأصلي مساويًا للصفر. لذلك ، (f (x، y) = 2x ^ 2−4y ) قابل للتفاضل عند النقطة ((2، −3) ).

تمرين ( PageIndex {3} )

أظهر أن الوظيفة (f (x، y) = 3x − 4y ^ 2 ) قابلة للتفاضل عند النقطة ((- 1،2) ).

تلميح

أولاً ، احسب (f (x_0، y_0)، f_x (x_0، y_0)، ) و (f_y (x_0، y_0) ) باستخدام (x_0 = −1 ) و (y_0 = 2 ) ، ثم استخدم المعادلة ref {diff2} للعثور على (E (x، y) ). أخيرًا ، احسب الحد.

إجابه

[ start {align *} f (−1،2) & = - 19، quad f_x (−1،2) = 3، quad f_y (−1،2) = - 16، quad E (x ، ص) = - 4 (ص − 2) ^ 2. [4 نقطة]
lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} & = lim_ {(x، y) → (−1،2)} dfrac {−4 (y − 2) ^ 2} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2}} [4 نقطة]
& ≤ lim _ {(x، y) → (−1،2)} dfrac {−4 ((x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2)} { sqrt {(x + 1) ^ 2 + (ص − 2) ^ 2}} [4pt]
& = lim _ {(x، y) → (2، −3)} - 4 sqrt {(x + 1) ^ 2 + (y − 2) ^ 2} [4pt]
& = 0. النهاية {محاذاة *} ]

هذه الوظيفة من (المعادلة المرجع {دالة oddf})

[f (x، y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}، & & (x، y) ≠ (0،0) [4pt ] 0، & & (x، y) = (0،0) end {cases} nonumber ]

غير قابل للتفاضل في الأصل (الشكل ( PageIndex {3} )). يمكننا ملاحظة ذلك بحساب المشتقات الجزئية. ظهرت هذه الوظيفة في وقت سابق في القسم ، حيث أظهرنا أن (f_x (0،0) = f_y (0،0) = 0 ). استبدال هذه المعلومات في المعادلات ref {diff1} و ref {diff2} باستخدام (x_0 = 0 ) و (y_0 = 0 ) ، نحصل على

[ start {align *} f (x، y) & = f (0،0) + f_x (0،0) (x − 0) + f_y (0،0) (y − 0) + E (x ، y) [4pt] E (x، y) & = dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}. نهاية {محاذاة *} ]

حساب

[ lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} ]

يعطي

[ begin {align *} lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} & = lim _ {(x، y) → (0،0)} dfrac { dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} [4pt] & = lim _ {(x، y) → (0،0)} dfrac {xy} {x ^ 2 + y ^ 2}. النهاية {محاذاة *} ]

اعتمادًا على المسار المتجه نحو الأصل ، يأخذ هذا الحد قيمًا مختلفة. لذلك ، الحد غير موجود والدالة (f ) غير قابلة للتفاضل في الأصل كما هو موضح في الشكل التالي.

يرتبط التفاضل والاستمرارية لوظائف متغيرين أو أكثر ، كما هو الحال بالنسبة لوظائف متغير واحد. في الواقع ، مع بعض تعديلات الترميز ، فإن النظرية الأساسية هي نفسها.

نظرية: التفاضل يعني الاستمرارية

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين مع ((x_0، y_0) ) في مجال (f ). إذا كان (f (x، y) ) قابلاً للتفاضل عند ((x_0، y_0) ) ، فإن (f (x، y) ) مستمر عند ((x_0، y_0). )

توضح الملاحظة أنه إذا كانت الوظيفة قابلة للتفاضل عند نقطة ما ، فإنها تكون مستمرة هناك. ومع ذلك ، إذا كانت الوظيفة متصلة عند نقطة ما ، فلا يمكن تمييزها بالضرورة عند هذه النقطة. على سبيل المثال ، الوظيفة التي تمت مناقشتها أعلاه (المعادلة المرجع {وظيفة oddf})

[f (x، y) = begin {cases} dfrac {xy} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}، & & (x، y) ≠ (0،0) [4pt ] 0، & & (x، y) = (0،0) end {cases} nonumber ]

يكون مستمر في الأصل ، لكنها كذلك لا تفاضل بالأصل. هذه الملاحظة مشابهة أيضًا للحالة في حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير.

يمكننا استكشاف العلاقة بين الاستمرارية والتفاضل عند نقطة ما. تقول النظرية التالية أنه إذا كانت الدالة ومشتقاتها الجزئية متصلة عند نقطة ما ، فإن الدالة قابلة للاشتقاق.

النظرية: استمرارية الجسيمات الأولى تدل على التفاضل

لنفترض أن (z = f (x، y) ) دالة لمتغيرين مع ((x_0، y_0) ) في مجال (f ). إذا كانت (f (x، y) ) و (f_x (x، y) ) و (f_y (x، y) ) كلها موجودة في حي ((x_0، y_0) ) و تكون متصلة عند ((x_0، y_0) ) ، ثم (f (x، y) ) قابلة للتفاضل هناك.

تذكر أننا أوضحنا سابقًا أن الدالة في المعادلة المرجع {دالة oddf} لم تكن قابلة للاشتقاق في الأصل. دعونا نحسب المشتقات الجزئية (f_x ) و (f_y ):

[ dfrac {∂f} {∂x} = dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} ]

و

[ dfrac {∂f} {∂y} = dfrac {x ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}}. ]

تنص المادة المعارضة للنظرية السابقة على أنه إذا كانت الوظيفة غير قابلة للتفاضل ، فيجب أن تكون إحدى الفرضيات على الأقل خاطئة. دعنا نستكشف الشرط الذي يجب أن يكون (f_x (0،0) ) مستمرًا. لكي يكون هذا صحيحًا ، يجب أن يكون صحيحًا

[ lim _ {(x، y) → (0،0)} f_x (x، y) = f_x (0،0) ]

لذلك

[ lim _ {(x، y) → (0،0)} f_x (x، y) = lim _ {(x، y) → (0،0)} dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + ص ^ 2) ^ {3/2}}. ]

اسمحوا (x = ky ). ثم

[ begin {align *} lim _ {(x، y) → (0،0)} dfrac {y ^ 3} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} & = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {((ky) ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} [4pt]
& = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {(k ^ 2y ^ 2 + y ^ 2) ^ {3/2}} [4pt]
& = lim_ {y → 0} dfrac {y ^ 3} {| y | ^ 3 (k ^ 2 + 1) ^ {3/2}} [4pt]
& = dfrac {1} {(k ^ 2 + 1) ^ {3/2}} lim_ {y → 0} dfrac {| y |} {y}. النهاية {محاذاة *} ]

إذا (y> 0 ) ، فإن هذا التعبير يساوي (1 / (ك ^ 2 + 1) ^ {3/2} ) ؛ إذا (y <0 ) ، فإنه يساوي (- (1 / (ك ^ 2 + 1) ^ {3/2}) ). في كلتا الحالتين ، تعتمد القيمة على (k ) ، لذلك لا يوجد الحد.

التفاضل

في التقريب الخطي والتفاضل درسنا أولاً مفهوم التفاضلات. يتم تعريف تفاضل (y ) ، المكتوب (dy ) ، على أنه (f ′ (x) dx ). يستخدم التفاضل لتقريب (Δy = f (x + Δx) −f (x) ) ، حيث (Δx = dx ). توسيع هذه الفكرة إلى التقريب الخطي لدالة متغيرين عند النقطة ((x_0، y_0) ) ينتج عنه صيغة التفاضل الكلي لدالة متغيرين.

التعريف: التفاضل الكلي

لنفترض (z = f (x، y) ) أن تكون دالة لمتغيرين مع ((x_0، y_0) ) في مجال (f ) ، ودع (Δx ) و (Δy ) بحيث يكون ((x_0 + Δx، y_0 + y) ) في مجال (f ). إذا كان (f ) قابلاً للتفاضل عند النقطة ((x_0، y_0) ) ، عندئذٍ يتم تعريف الفروق (dx ) و (dy ) على أنها

[dx = Δx ]

و

[dy = Δy. ]

التفاضل (dz ) ، ويسمى أيضًا بامتداد مجموع الفرق من (z = f (x، y) ) في ((x_0، y_0) ) ، يعرف بأنه

[dz = f_x (x_0، y_0) dx + f_y (x_0، y_0) dy. التسمية {total} ]

لاحظ أن الرمز (∂ ) لا يستخدم للدلالة على الفرق الكلي ؛ بدلاً من ذلك ، يظهر (د ) أمام (ض ). الآن ، دعنا نحدد (Δz = f (x + Δx، y + Δy) −f (x، y). ) نستخدم (dz ) لتقريب (Δz ) ، لذلك

[Δz≈dz = f_x (x_0، y_0) dx + f_y (x_0، y_0) dy. ]

لذلك ، يتم استخدام التفاضل لتقريب التغيير في الوظيفة (z = f (x_0، y_0) ) عند النقطة ((x_0، y_0) ) لقيم معينة من (Δx ) و (Δy ). بما أن (Δz = f (x + Δx، y + y) −f (x، y) ) ، يمكن استخدام هذا بشكل أكبر لتقريب (f (x + Δx، y + y): )

[f (x + Δx، y + y) = f (x، y) + Δz≈f (x، y) + fx (x_0، y_0) Δx + f_y (x_0، y_0) Δy. ]

انظر الشكل التالي.

أحد تطبيقات هذه الفكرة هو تحديد انتشار الخطأ. على سبيل المثال ، إذا كنا نصنع جهازًا ونتوقف عن العمل بمقدار معين في قياس كمية معينة ، فيمكن استخدام التفاضل لتقدير الخطأ في الحجم الإجمالي للأداة.

مثال ( PageIndex {5} ): التقريب بالمفرق

أوجد التفاضل (dz ) للدالة (f (x، y) = 3x ^ 2−2xy + y ^ 2 ) واستخدمه لتقريب (Δz ) عند النقطة ((2، −3 ). ) استخدم (Δx = 0.1 ) و (Δy = −0.05. ) ما هي القيمة الدقيقة لـ (Δz )؟

المحلول

أولاً ، يجب أن نحسب (f (x_0، y_0)، f_x (x_0، y_0)، ) و (f_y (x_0، y_0) ) باستخدام (x_0 = 2 ) و (y_0 = −3: )

[ start {align *} f (x_0، y_0) & = f (2، −3) = 3 (2) ^ 2−2 (2) (- 3) + (- 3) ^ 2 = 12 + 12 + 9 = 33 [4pt] f_x (x، y) & = 6x − 2y [10pt] f_y (x، y) & = - 2x + 2y [4pt] f_x (x_0، y_0) & = fx (2، −3) [4pt] & = 6 (2) −2 (−3) = 12 + 6 = 18 [10pt] f_y (x_0، y_0) & = f_y (2، −3) [4pt] & = - 2 (2) +2 (−3) [4pt] & = - 4−6 = −10. النهاية {محاذاة *} ]

بعد ذلك ، نستبدل هذه الكميات في المعادلة ref {total}:

[ start {align *} dz & = f_x (x_0، y_0) dx + f_y (x_0، y_0) dy [4pt] dz & = 18 (0.1) −10 (−0.05) = 1.8 + 0.5 = 2.3 . النهاية {محاذاة *} ]

هذا هو التقريب إلى (Δz = f (x_0 + Δx، y_0 + Δy) −f (x_0، y_0). ) يتم إعطاء القيمة الدقيقة لـ (Δz ) بواسطة

[ start {align *} Δz & = f (x_0 + Δx، y_0 + Δy) −f (x_0، y_0) [4pt] & = f (2 + 0.1، −3−0.05) −f (2 ، −3) [4pt] & = f (2.1، −3.05) −f (2، −3) [4pt] & = 2.3425. النهاية {محاذاة *} ]

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد التفاضل (dz ) للدالة (f (x، y) = 4y ^ 2 + x ^ 2y − 2xy ) واستخدمه لتقريب (Δz ) عند النقطة ((1، −1 ) ). استخدم (Δx = 0.03 ) و (Δy = −0.02 ). ما هي القيمة الدقيقة لـ (Δz )؟

تلميح

أولاً ، احسب (f_x (x_0، y_0) ) و (f_y (x_0، y_0) ) باستخدام (x_0 = 1 ) و (y_0 = −1 ) ، ثم استخدم المعادلة ref {total} .

إجابه

(دز = 0.18 )

(Δz = f (1.03، −1.02) −f (1، −1) = 0.180682 )

اشتقاق دالة من ثلاثة متغيرات

يمكن تعميم جميع النتائج السابقة للتفاضل بين وظائف متغيرين على وظائف ثلاثة متغيرات. أولا التعريف:

التعريف: التفاضل عند نقطة ما

دالة (f (x، y، z) ) قابلة للتفاضل عند نقطة (P (x_0، y_0، z_0) ) إذا كانت لجميع النقاط ((x، y، z) ) في a ( δ ) قرص حول (P ) يمكننا الكتابة

[f (x، y) = f (x_0، y_0، z_0) + f_x (x_0، y_0، z_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0، z_0) (y − y_0) + f_z (x_0، y_0، z_0) (z − z_0) + E (x، y، z)، ]

حيث مصطلح الخطأ ه استوفي

[ lim _ {(x، y، z) → (x_0، y_0، z_0)} dfrac {E (x، y، z)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2}} = 0. ]

إذا كانت دالة من ثلاثة متغيرات قابلة للاشتقاق عند نقطة ((x_0، y_0، z_0) ) ، فإنها تكون متصلة هناك. علاوة على ذلك ، فإن استمرارية المشتقات الجزئية الأولى في تلك النقطة تضمن التفاضل.

المفاهيم الرئيسية

  • التناظرية لخط المماس لمنحنى هو مستوى مماس لسطح لوظائف متغيرين.
  • يمكن استخدام مستويات الظل لتقريب قيم الوظائف القريبة من القيم المعروفة.
  • تكون الوظيفة قابلة للتفاضل عند نقطة ما إذا كانت "سلسة" في تلك النقطة (على سبيل المثال ، لا توجد زوايا أو انقطاع في تلك النقطة).
  • يمكن استخدام التفاضل الإجمالي لتقريب التغيير في دالة (z = f (x_0، y_0) ) عند النقطة ((x_0، y_0) ) لقيم معينة من (Δx ) و (Δy ).

المعادلات الرئيسية

  • طائرة تماسية

(z = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) )

  • تقريب خطي

(L (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) )

  • مجموع الفرق

(dz = f_x (x_0، y_0) dx + f_y (x_0، y_0) dy ).

  • التفاضل (متغيرين)

(f (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) + E (x، y)، )

حيث يرضي مصطلح الخطأ (E )

( displaystyle lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y − y_0) ^ 2}} = 0 ).

  • التفاضل (ثلاثة متغيرات)

(f (x، y) = f (x_0، y_0، z_0) + f_x (x_0، y_0، z_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0، z_0) (y − y_0) + f_z (x_0، y_0، z_0) (z − z_0) + E (x، y، z)، )

حيث يرضي مصطلح الخطأ (E )

( displaystyle lim _ {(x، y، z) → (x_0، y_0، z_0)} dfrac {E (x، y، z)} { sqrt {(x − x_0) ^ 2 + (y− y_0) ^ 2 + (z − z_0) ^ 2}} = 0 ).

قائمة المصطلحات

قابل للتفاضل

دالة (f (x، y) ) قابلة للتفاضل عند ((x_0، y_0) ) إذا كان يمكن التعبير عن (f (x، y) ) بالصيغة (f (x، y) = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) + E (x، y)، )

حيث يفي مصطلح الخطأ (E (x، y) ) ( lim _ {(x، y) → (x_0، y_0)} dfrac {E (x، y)} { sqrt {(x − x_0 ) ^ 2 + (ص − y_0) ^ 2}} = 0 )

تقريب خطي
بالنظر إلى دالة (f (x، y) ) ومستوى مماس للدالة عند نقطة ((x_0، y_0) ) ، يمكننا تقريب (f (x، y) ) للنقاط القريبة من ((x_0، y_0) ) باستخدام صيغة المستوى المماس
طائرة تماسية
بالنظر إلى دالة (f (x، y) ) قابلة للتفاضل عند نقطة ((x_0، y_0) ) ، معادلة المستوى المماس للسطح (z = f (x، y) ) تعطى بواسطة (z = f (x_0، y_0) + f_x (x_0، y_0) (x − x_0) + f_y (x_0، y_0) (y − y_0) )
مجموع الفرق
مجموع الفرق للدالة (f (x، y) ) عند ((x_0، y_0) ) يتم الحصول عليه من خلال الصيغة (dz = f_x (x_0، y_0) dx + fy (x_0، y_0) dy )

المساهمون والسمات

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


الفرق بين الفضاء المماس والمستوى المماس

لقد تجنبت القيام بأي دورات متعددة (نادم عليها إلى حد ما) ، ولكن لدي بعض الفهم. لنفترض أن $ p $ نقطة على السطح $ S: U to Bbb^ 3 دولار ، نحدد:

الفضاء المماس لـ $ S $ عند $ p $ ، $ T_p (S) = <>^ 3 mid موجود textrm gamma: (-، ε) to S textrm gamma (0) = p، gamma '(0) = k > $.

المستوى المماس إلى $ S $ عند $ p $ مثل المستوى $ p + T_p (S) مجموعة فرعية Bbb^3$.

ما أفهمه حاليًا هو أنه في الرسم البياني أسفل المستوى المماس هو المستوى الموضح ، في حين أن الفضاء المماس سيكون p ناقص كل عنصر من عناصر المستوى ، ومن ثم فإن المستوى المقابل يمر عبر الأصل. هل هذا صحيح أم أنه غير صحيح؟ إنني أقوم بدورة تسمى هندسة المنحنيات والأسطح وعدم التأكد من ذلك يجعل فهم الموضوعات اللاحقة أمرًا صعبًا.


2 إجابات 2

أتفق مع إجابة Trandus ، لكن هنا نسخة مختلفة قليلاً.

السؤال 1: يكون $ varphi $ قابلاً للتفاضل فقط عندما يظهر $ x ^ 2 + y ^ 2 & gt 1 $ عند فحص المقامات في حساب $ D varphi $. سيكون من الجيد استخدامه ، لو لم يطلب السؤال المستوى المماس عند النقاط $ (x، y، 0) $ التي تحتوي بالضبط على $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $. بعبارة أخرى ، فإن السؤال يطرح مستويات ظل عند النقاط التي يكون فيها هذا المستوى عموديًا ، لذلك لن يكون من المقبول استخدام دالة $ (x، y) $ لوصفها.

يمكنك العثور على معلمة أخرى من خلال وصف السطح الخاص بك كرسم بياني فوق المستوى $ (y، z) $ على سبيل المثال: حل المعادلة المعطاة لـ $ x $ يعطي $ x = pm sqrt <1 + z ^ 2 - y ^ 2> $ ، ثم تحديد $ psi (y، z) = ( sqrt <1 + z ^ 2 -y ^ 2>، y، z) $ هي معلمات يمكنك استخدامها للعثور على مستويات الظل عند النقاط $ (x، y، 0) $ مع $ x & gt0 $. بالنسبة إلى $ x & lt 0 $ ، اختر العلامة الأخرى للجذر التربيعي ، وإذا كان $ x = 0 $ ، فقم بحل بناء مماثل لـ $ y $ بدلاً من ذلك.

السؤال 2. كما يقول Trandus ، فإن الأعمدة الموجودة في تفاضل $ psi $ ستعطي أساسًا لمستوى الظل. إذا كنت تفضل العثور على معادلة المستوى بدلاً من الأساس ، فهناك طريقة أخرى وهي أن تتذكر أن تدرج الوظيفة يكون دائمًا طبيعيًا لمجموعات المستوى. بالنظر إلى الدالة $ f (x، y، z) = x ^ 2 + y ^ 2 - z ^ 2 $ ، فإن سطحك هو المستوى الذي تم تعيينه $ f (x، y، z) = 1 $. لذا احسب أن التدرج هو $ nabla f = langle 2x، 2y، -2z rangle $ ، مما يمنحك متجهًا عاديًا للمستوى المطلوب. عند النقطة $ (a، b، 0) $ يصبح هذا $ langle 2a، 2b، 0 rangle $ ، والمستوى الذي يحتوي على هذا المتجه العادي يُعطى بالمعادلة $ 2a (xa) + 2b (yb) = 0 لاحظ أنه في `` لغة الهندسة التفاضلية '' ، يتم التعبير عن حقيقة أن $ nabla f $ متجه عادي للماس لمجموعة المستوى من خلال حقيقة أن مساحة الظل لمجموعة المستوى $ f $ at النقطة $ p $ تساوي نواة التفاضل $ f $ عند $ p $.


13.6: مستويات الظل والتفاضلات - الرياضيات

رأينا سابقًا كيف أن المشتقتين الجزئيتين () و () يمكن اعتباره منحدرات آثار. نريد توسيع هذه الفكرة قليلاً في هذا القسم. الرسم البياني للدالة (z = f left ( right) ) سطح في (< mathbb^ 3> ) (الفضاء ثلاثي الأبعاد) ولذا يمكننا الآن البدء في التفكير في المستوى "المماس" للسطح كنقطة.

لنبدأ بنقطة ( يسار (<,> right) ) ودعونا دعونا () يمثل التتبع إلى (f left ( right) ) للطائرة (y = ) (بمعنى آخر. السماح (x ) بالتنوع مع تثبيت (y ) ثابتًا) وسنسمح لـ () يمثل التتبع إلى (f left ( right) ) للطائرة (x = ) (بمعنى آخر. السماح (ص ) بالتنوع مع تثبيت (س ) ثابتًا). الآن ، نحن نعلم أن ( يسار (<,> right) ) هو ميل خط المماس للتتبع () و ( يسار (<,> right) ) هو ميل خط المماس للتتبع (). لذا دع () يكون خط المماس للتتبع () والسماح () يكون خط المماس للتتبع ().

سيكون المستوى المماس هو المستوى الذي يحتوي على السطرين () و (). هندسيًا ، يخدم هذا المستوى نفس الغرض الذي كان يؤديه خط المماس في حساب التفاضل والتكامل I. كان الخط المماس للمنحنى هو الخط الذي لمس المنحنى عند تلك النقطة وكان "موازًا" للمنحنى عند النقطة المعنية. المستويات الجيدة المماس للسطح هي الطائرات التي تلامس السطح عند النقطة وتكون "موازية" للسطح عند النقطة. لاحظ أن هذا يعطينا نقطة على المستوى. منذ مستوى الظل والسطح يتلامسان عند ( يسار (<,> right) ) ستكون النقطة التالية على كل من السطح والمستوى.

ما علينا فعله الآن هو تحديد معادلة مستوى الظل. نحن نعلم أن المعادلة العامة للمستوى تُعطى بواسطة ،

[يسار( > يمين) + ب يسار ( > يمين) + ج يسار ( > يمين) = 0 ]

حيث ( اليسار (<,,> right) ) هي النقطة الموجودة على المستوى التي لدينا. دعونا نعيد كتابة هذا قليلا. سننقل المصطلحات (x ) و (y ) إلى الجانب الآخر ونقسم كلا الجانبين على (c ). القيام بهذا يعطي ،

الآن ، دعونا نعيد تسمية الثوابت لتبسيط التدوين قليلاً. دعونا نعيد تسميتها على النحو التالي ،

مع إعادة التسمية هذه ، تصبح معادلة المستوى المماس ،

and we need to determine values for (A) and (B).

Let’s first think about what happens if we hold (y) fixed, بمعنى آخر. if we assume that (y = ). In this case the equation of the tangent plane becomes,

This is the equation of a line and this line must be tangent to the surface at (left( <,> ight)) (since it’s part of the tangent plane). In addition, this line assumes that (y = ) (بمعنى آخر. fixed) and (A) is the slope of this line. But if we think about it this is exactly what the tangent to () is, a line tangent to the surface at (left( <,> ight)) assuming that (y = ). بعبارات أخرى،

is the equation for () and we know that the slope of () is given by (left( <,> ight)). Therefore, we have the following,

If we hold (x) fixed at (x = ) the equation of the tangent plane becomes,

However, by a similar argument to the one above we can see that this is nothing more than the equation for () and that it’s slope is (B) or (left( <,> ight)). وبالتالي،

The equation of the tangent plane to the surface given by (z = fleft( ight)) at (left( <,> ight)) is then,

Also, if we use the fact that ( = fleft( <,> ight)) we can rewrite the equation of the tangent plane as,

We will see an easier derivation of this formula (actually a more general formula) in the next section so if you didn’t quite follow this argument hold off until then to see a better derivation.

There really isn’t too much to do here other than taking a couple of derivatives and doing some quick evaluations.

The equation of the plane is then,

[eginz - 0 & = 2left( ight) + left( 1 ight)left( ight) z & = 2x + y - 1end]

One nice use of tangent planes is they give us a way to approximate a surface near a point. As long as we are near to the point (left( <,> ight)) then the tangent plane should nearly approximate the function at that point. Because of this we define the linear approximation to be,

and as long as we are “near” (left( <,> ight)) then we should have that,

So, we’re really asking for the tangent plane so let’s find that.

The tangent plane, or linear approximation, is then,

[Lleft( ight) = 5 - frac<1><2>left( ight) + frac<2><3>left( ight)]

For reference purposes here is a sketch of the surface and the tangent plane/linear approximation.


Tangent Planes

Download the video from iTunes U or the Internet Archive.

JOEL LEWIS: Hi. Welcome back to recitation. In lecture, you've been learning about using gradients to compute tangent planes to surfaces. So I have an example of a practice problem here for you. So what I'd like you to do in part a is to use gradients to find the tangent plane to the surface z equals x cubed plus 3x y squared at the point (1, 2, 13). And in part b, I'd like you to do something similar, which is to use gradients to find the tangent line to the curve x cubed plus 2xy plus y squared equals 9 at the point (1, 2). So why don't you pause the video, have a couple goes at those. Come back and we can work on them together.

So hopefully, you had some good luck working on these problems. Let's just take a look at them. So for part a, you're given a function in the sort of usual form that we use to graph it, which is you're given z equals a function of x and y. But in order to apply this gradient method, what we really want is we want to look at this surface as if it were a level surface of some function of three variables. So in order to do that, what we want to do always is to bring the x, y and z all together on the same side with just a zero or a constant on the other side.

So let me do that. So I'm going to rewrite the defining equation of this surface as 0 equals x cubed plus 3x y squared minus z, and I'm going to define this right-hand side to be a new function w of x, y, z. All right? So if I call this thing w, then our surface in question is just a level surface of w. It's the level surface w equals 0. And so we know in that situation that the gradient of w is perpendicular to its level surfaces. It's orthogonal to its level surfaces. So the normal to our surface is exactly the gradient of w. All right?

So gradient of w is the normal to our surface, and a normal is what we use to write down the equation for a tangent line-- oh, tangent plane, excuse me. So, OK, so let's compute the gradient of w. Well, that's not hard to do. We just take the partial derivatives with respect to x, y and z. So the partial derivative of w with respect to x is 3 x squared plus 3 y squared. The partial derivative with respect to y is 6xy, and the partial derivative with respect to z is minus 1.

So one thing to notice is that when you do this method, when you have the function given at z, when you have the surface given in the form z as a function of x and y, you're going to bring the z over, and you always have a minus 1 there when you set the problem up this way. Because you'll have a minus z, and then you'll just take the partial with respect to z, and the other terms will only involve x and y, so they'll be killed by the partial derivative.

So in any case, this is our gradient, so we want the normal vector. We were asked for the tangent plane at a particular point, I believe. Yes, at the point (1, 2, 13). So we need to compute the gradient at that particular point and that will be our normal vector. So the gradient at this point is-- well, we just plug in, so the gradient at (1, 2, 13). So x is 1. So this is 3 times 1 plus 3 times 4, so that's going to be 15, and 6xy is 12, and minus 1 is just minus 1. So this is the gradient vector at our point (1, 2, 13).

So now we have a point, the point (1, 2, 13), and we have the normal vector 15, 12, minus 1, so that gives us the equation for the tangent plane right off. So the equation for the tangent plane, I just dot the normal vector with the vector connecting our point to the point (x, y, z). so that gives us 15 times-- well, our point is (1, 2, 3)-- so it's 15 times x minus 1 plus 12 times y minus 2 minus 1 times z minus 13 equals 0. So in point-normal form, this is the equation for that plane. رائعة. And if you wanted, you could rewrite this a whole bunch of different ways, but I'll just leave it there.

So let's do part b. I guess I'll just start it right below here. So for part b, we have a curve x cubed plus 2xy plus y squared equals 9. So this is a curve that is defined by this implicit relationship between x and y. All right? And so what I want to do is I can do exactly the same process. We're going to do exactly the same thing. We're going to find the normal-point form for the tangent line, and so we're going to do that by defining a function f of x, y. In this case, it's a function of just two variables, because we're only working with a curve in two dimensions. Before, we had a surface in three dimensions, so we had a function of three variables. So f of x, y, and so then our curve is exactly a level curve of the graph of f, right? It's the level curve f equals 9.

So in order to find the tangent line, I can do exactly the same thing. I can find the gradient. The gradient is normal to the tangent line and then I can use normal-point form. So the gradient of f is-- again, f is just a polynomial function so its gradient is easy to compute. It's 3 x squared plus 2y comma 2x plus 2y. And so we're interested in this tangent line at a particular point. So we're interested at the point (1, 2). So the gradient of f at (1, 2), well, I just plug in again, so I get 3 plus 4. That's 7. And 2 plus 4 is 6. And so again, the same analysis as we used in the tangent plane case works in the tangent line case.

Let's come over here. So (x, y) is on the tangent line if and only if we have that the gradient dot-- so that's the gradient, [7, 6]-- dot the vector x minus 1, y minus 2-- this is the vector connecting the point (x, y) to our point (1, 2)-- is equal to 0, if and only if those two things are orthogonal. So this is-- i.e. 7 times x minus 1 plus 6 times y minus 2 is equal to 0. So this is the point-normal form for the equation of that line. And again, you could, you know, expand out and rewrite this in whichever forms you happen to like to see your equations of lines.

لذا ها أنت ذا. Using the gradient, we can compute tangent planes to surfaces. Similarly, we can use the same idea to compute tangent lines to curves. The point is that the gradient vector of a function is orthogonal to the level curves of that function. And so we use that to get the normal vectors to our curves or our surfaces, and with the normal vector, we can then easily compute the tangent plane or the tangent line. So I'll stop there.


New To This Edition

&bull WileyPLUSwith ORION:WileyPLUS is equipped with an adaptive learning module called ORION. Based on cognitive science, WileyPLUS with ORION provides students with a personal, adaptive learning experience to build their proficiency on topics and use their study time more effectively. It helps students learn by learning about them.

&bull ORION Refresher Module: An adaptive practice to master algebra, trigonometry, and polynomial equations provides students with a personalized study plan to master concepts prior to the course, allowing for instructors to focus class time on Calculus.

&bull Video Program: Videos of worked examples and problems covering the subject material in the Single Variable chapters of the 11 th edition.

&bull Math Enhancements: Measure conceptual understanding in an online learning environment, through intelligent tutoring, graphing enhancements, improvements to Show Work Whiteboard, expanded test bank functionality, and enhanced grading rules functionality.

&bull Pre-created activities encourage learning outside of the classroom through gradable reading assignment questions and more than 3,000 end-of-chapter problems coded algorithmically.

&bull Answer Specific Feedback Questions: Within WileyPLUS with ORION this edition of Anton will feature this new question type allowing students to have customized feedback on the actual work they&rsquore doing.


شاهد الفيديو: كيف تفهم الرياضيات (شهر اكتوبر 2021).