مقالات

10.1: في طبيعة الأعداد - الرياضيات


مهارات التطوير

  • حول طبيعة الأعداد: حوار (مع الاعتذار لغاليليو)

المتداخلون: سالفياتي ، ساجريدو ، وسيمبليسيو ؛ ثلاثة من أصدقاء جاليليو جاليلي

جلسة: ثلاثة أصدقاء يلتقون في حديقة لتناول طعام الغداء في Renassaince إيطاليا. كيف حصلوا على نسخة غير واضح.

سالفياتي: يا سادة طيبة. لقد قرأت هذا المجلد الغريب جدًا كما أتمنى أن تكون قد قرأت؟

ساجريدو: لقد وجدته أيضًا غريبًا جدًا.

Simplicio: غريب جدا حقا؛ سخيفة ومحيرة في آن واحد.

سالفياتي: سخيف؟ كيف ذلك؟

Simplicio: يبدأ هؤلاء المؤلفون كتابتهم بالسؤال ، "ما هو الرقم؟"هذا سؤال سخيف بشكل غير عادي ، ألا تعتقد ذلك؟ الأرقام هي أرقام. الجميع يعرف ما هم.

ساجريدو: اعتقدت ذلك أيضًا حتى وصلت إلى الفصل الأخير. لكنني الآن لست متأكدا. وماذا عن هذه الكمية ( أليف _0 )؟ إذا كان هذا يحسب الأعداد الصحيحة الموجبة ، أليس هذا رقمًا؟ إذا لم يكن كذلك ، فكيف يمكن حساب أي شيء؟ إذا كان الأمر كذلك ، فما هو الرقم؟ هذه الأسئلة تزعجني "حتى لا أصدق أنني أعرف أي شيء بعد الآن.

Simplicio: بالطبع ( aleph _0 ) ليس رقمًا! إنه ببساطة اسم جديد للداخل ، واللعنة ليست رقمًا.

ساجريدو: ولكن ليس ( aleph _0 ) أصل مجموعة الأعداد الطبيعية ، ( mathbb {N} ) ، تمامًا مثل أصل المجموعة (S = {سالفياتي ، ساجريدو ، Simplicio } ) هو (3 )؟ إذا كان (3 ) رقمًا ، فلماذا لا يكون ( aleph _0 )؟

Simplicio: آه يا ​​صديقي ، مثل مؤلفينا ، فأنت ببساطة تلعب بالكلمات. تحسب العناصر في المجموعة (S = {Salviati، Sagredo، Simplicio } ) ؛ ترى بوضوح أن عدد العناصر التي يحتوي عليها هو (3 ) ثم تقوم بتغيير لغتك. بدلاً من القول أن عدد العناصر في (S ) هو (3 ) ، فأنت تقول أن الأصل هو (3 ). لكن من الواضح "عدد العناصر في المجموعة" و "عدد العناصر"يعني نفس الشيء.

وبالمثل ، يمكنك استخدام الرمز ( mathbb {N} ) للإشارة إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. بكلمتك ورمزك الجديدين تدلي بعبارة "العلاقة الأساسية (عدد العناصر) لـ ( mathbb {N} ) هي ( aleph _0 )."هذا البيان له نفس الشكل النحوي مثل العبارة"عدد العناصر (العلاقة الأساسية) لـ (S ) هو ثلاثة.بما أن الرقم ثلاثة هو رقم ، فإنك تستنتج أن ( aleph _0 ) هو أيضًا رقم.

لكن هذا مجرد هراء يرتدي ملابس تبدو معقولة. إذا قمنا بفك تدويننا ولغتنا ، فإن بيانك هو ببساطة ، "عدد الأعداد الصحيحة الموجبة غير محدود.من الواضح أن هذا هراء لأن اللامة ليست رقمًا.

حتى لو أخذنا المسؤولية كمصطلح غير محدد وحاولنا تعريفه ببيانك ، فلا يزال هذا هراءًا لأنك تستخدم كلمة "عدد"لتحديد"عدد"دعا في nity. هذا التعريف دائري. وبالتالي فهو ليس تعريفًا على الإطلاق. غير منطقي.

سالفياتي: منطقك في هذا يبدو بالتأكيد سليمًا.

Simplicio: شكرا لك.

سالفياتي: ومع ذلك ، هناك بضع نقاط صغيرة أود دراستها عن كثب إذا كنت ستغمرني؟

Simplicio: بالطبع بكل تأكيد. ما الذي يزعجك؟

سالفياتي: قلت إننا لا نستطيع استخدام كلمة "عددلتحديد الأعداد لأن هذا سيكون تفكيرًا دائريًا. أتفق تمامًا ، لكنني لست متأكدًا من أن هذا ما يفعله مؤلفونا.

ضع في اعتبارك المجموعة ( {1،2،3 } ). هل توافق على أنه يحتوي على ثلاثة عناصر؟

Simplicio: بوضوح.

ساجريدو: آه! أرى وجهة نظرك! إن وجود ثلاثة عناصر لا يعتمد على ماهية تلك العناصر. أي مجموعة تحتوي على ثلاثة عناصر لها ثلاثة عناصر بغض النظر عن طبيعة العناصر. وبالتالي فإن القول بأن المجموعة ( {1،2،3 } ) تحتوي على ثلاثة عناصر لا يحدد كلمة "عدد"بطريقة دائرية لأنه ليس من الملائم أن يكون الرقم (3 ) أحد عناصر المجموعة. وبالتالي ، فإن القول بأن ثلاثة هي العلاقة الأساسية للمجموعة ( {1،2،3 } ) لها نفس المعنى لقول أن هناك ثلاثة عناصر في المجموعة ( {Salviati، Sagredo، Simplicio } ).

في كلتا الحالتين ، الرقم " (3 )" هو الاسم الذي نعطيه لمجموع عناصر كل مجموعة.

سالفياتي: على وجه التحديد. بالطريقة نفسها تمامًا ، ( aleph _0 ) هو الرمز الذي نستخدمه للإشارة إلى مجموع مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.

وبالتالي ، فإن ( aleph _0 ) هو رقم بنفس معنى أن " (3 )" هو رقم ، أليس كذلك؟

Simplicio: أرى أنه يمكننا القول بطريقة ذات مغزى أن الثلاثة هي العلاقة الأساسية لأي مجموعة بها. نحن سوف، . مع ثلاثة عناصر (يصبح من الصعب جدًا التحدث عن هذه الأشياء) ولكن هذا مجرد حشو! إنها طريقة للقول أن المجموعة التي تتكون من ثلاثة عناصر بها ثلاثة عناصر!

هذا يعني فقط أننا أحصيناهم وكان علينا التوقف عند ثلاثة. للقيام بذلك ، يجب أن يكون لدينا أرقام أولًا. وهو ما نقوم به بالطبع. كما قلت ، الجميع يعرف ما هي الأرقام.

ساجريدو: يجب أن أعترف يا صديقي بأنني أصبحت أكثر حيرة فيما نتحدث. لم أعد متأكدًا من أنني أعرف حقًا ما هو الرقم. نظرًا لأنك يبدو أنك احتفظت بيقينك ، فهل يمكنك توضيح هذا الأمر لي؟ هل يمكن أن تخبرني ما هو الرقم؟

Simplicio: بالتأكيد. الرقم هو ما كنا نناقشه للتو. هذا ما تحصل عليه عندما تتوقف عن العد. على سبيل المثال ، ثلاثة هي إجمالي (لاستخدام العبارة الخاصة بك) لعناصر المجموعات ( {Salviati، Sagredo، Simplicio } ) أو ( {1،2،3 } ) لأنني عندما أحسب يجب أن أتوقف عند ثلاثة عناصر في أي من المجموعتين. لا أقل ولا اكثر. وهكذا فإن ثلاثة هو رقم.

سالفياتي: لكن هذا التعريف يربكني فقط! بالتأكيد سوف تسمح بأن الكسور هي أرقام؟ ما الذي يحسب عندما ننتهي بقول (4/5 ) أو (1/5 )؟

Simplicio: هذه هي البساطة نفسها. (4/5 ) هو الرقم الذي نحصل عليه عندما قسمنا شيئًا ما إلى (5 ) أجزاء متساوية وقد عدنا أربعة منها. هذا أربعة على خمسة. هل ترى؟ حتى اللغة التي نستخدمها تتناسب بشكل طبيعي مع هدفنا.

سالفياتي: ولكن ماذا عن واحد وخمس؟ لكي نحسب واحدًا على خمسة ، يجب أولاً أن نقسم شيئًا ما إلى على واحد. للقيام بذلك ، يجب أن نعرف ما هو خامس ، أليس كذلك؟ يبدو أننا نستخدم كلمة "رقم" لتعريف نفسها مرة أخرى. ألم نصل إلى دائرة كاملة ولم نصل إلى أي مكان؟

Simplicio: أعترف أن هذا لم يحدث لي من قبل. ولكن يتم الرد على اعتراضك بسهولة. لحساب واحد - خامسًا ، نقسم ببساطة "شيئا ما"إلى أعشار. ثم نحسب اثنين منهم. بما أن اثنين على عشر هو نفسه واحد على خمسة ، فقد تم حل المشكلة. هل ترى؟

ساجريدو: أرى وجهة نظرك لكنها لن تكفي على الإطلاق! إنه يستبدل فقط السؤال ، "ما هو واحد على خمسة؟" مع، "ما هو عشر؟ولن يجدي القول إن العُشر هو مجرد اثنين من عشرين. هذا ببساطة يغير السؤال إلى مستوى آخر.

قال أرخميدس ، "أعطني مكانًا أقف فيه ورافعة لفترة كافية وسأحرك الأرض.لكنه بالطبع لم يحرك الأرض أبدًا لأنه لم يكن لديه مكان يقف فيه. يبدو أننا نجد أنفسنا في مأزق أرخميدس: ليس لدينا مكان نقف فيه.

Simplicio: أعترف أنني لا أرى طريقة للإجابة على هذا الآن. ومع ذلك ، أنا متأكد من أنه يمكن العثور على إجابة إذا فكرنا بجدية كافية فقط. في غضون ذلك ، لا يمكنني قبول أن ( aleph _0 ) رقم. إنه ، كما قلت من قبل ، اللُحمة واللُحمة ليسا رقمًا! قد نؤمن أيضًا بالجنيات والجذام إذا طلبنا رقمًا في الوطن.

ساجريدو: ولكن مرة أخرى لقد وصلنا إلى دائرة كاملة. لا يمكننا أن نقول تحديدًا أن ( aleph _n ) هو أو ليس رقمًا حتى نتمكن من تحديد ماهية الرقم بثقة. وحتى لو تمكنا من إيجاد أرضية صلبة لحل مشكلة الكسور ، فماذا عن ( sqrt {2} )؟ أو (π )؟ بالتأكيد هذه أرقام لكنني لا أرى أي طريقة للعد على أي منهما.

Simplicio: واحسرتاه! أنا محاصر من قبل الشياطين! أنا مفتون! لم أعد أصدق ما أعرف أنه حقيقي!

سالفياتي: ربما الأمور ليست بهذا السوء. دعونا ننظر إلى أبعد من ذلك. قلتم سابقًا أننا جميعًا نعرف ما هي الأرقام ، وأنا أوافقك الرأي. ولكن ربما يحتاج بيانك إلى صياغة أكثر دقة. لنفترض أننا بدلًا من ذلك نقول إننا جميعًا نعرف ما هي الأرقام التي يجب أن تكون؟ أو أننا نعرف ما نريد أن تكون عليه الأرقام؟ حتى لو لم نستطع أن نقول بالتأكيد ما هي الأرقام بالتأكيد يمكننا أن نقول ما نريده ونحتاجه. هل توافق؟

ساجريدو: أنا افعل.

Simplicio: وأنا كذلك.

سالفياتي: ثم دعونا نبتكر الأرقام من جديد ، كما لو أننا لم نرها من قبل ، مع الأخذ في الاعتبار دائمًا تلك الخصائص التي نحتاجها للأرقام. إذا أخذنا هذا كنقطة بداية ، فإن السؤال الذي نحتاج إلى معالجته هو ، "ماذا نريد أن تكون الأرقام؟

ساجريدو: و هذا واضح! يجب أن نكون قادرين على جمعهما وأن نكون قادرين على ضربهما معًا ، ويجب أن تكون النتيجة أيضًا رقمًا.

Simplicio: و اطرح و اقسم ايضا طبعا.

ساجريدو: لست متأكدًا من أننا في الواقع بحاجة إلى هذه. لا يمكننا تحديد "اطرح اثنين من ثلاثة" أن تكون "اجمع سالب اثنين إلى ثلاثة”وبالتالي الاستغناء عن الطرح والقسمة؟

Simplicio: أعتقد أننا نستطيع ولكن لا أرى أي فائدة في القيام بذلك. لماذا لا يكون مجرد الطرح والقسمة كما عرفناهم دائمًا؟

ساجريدو: الميزة هي البخل. من الأسهل تتبع عمليتين حسابيتين أكثر من أربع. أقترح المضي قدمًا في عمليات الجمع والضرب فقط في الوقت الحالي. إذا وجدنا أننا بحاجة إلى عملية طرح أو قسمة ، فيمكننا النظر إليهما لاحقًا.

Simplicio: متفق. وأرى الآن ميزة أخرى. من الواضح أن الجمع والضرب يجب ألا يعتمد على الترتيب. بمعنى ، إذا كانت (x ) و (y ) أرقام ، فيجب أن تكون (x + y ) مساوية لـ (y + x ) و (xy ) يجب أن تكون مساوية لـ (yx ) ). هذا لا ينطبق على الطرح ، لأن (3 - 2 ) لا يساوي (2 - 3 ). ولكن إذا حددنا عملية الطرح كما تقترح ، فسيتم الحفاظ على هذا التناظر:

[س + (-ص) = (-ص) + س ]

ساجريدو: ممتاز! خاصية أخرى سنطلبها من الأرقام تحدث لي الآن. عند جمع أو ضرب أكثر من رقمين ، لا يهم من أين نبدأ. بمعنى ، إذا كانت (س ) ، (ص ) و (ض ) أرقامًا ، فيجب أن يكون ذلك صحيحًا

[(x + y) + z = x + (y + z) ]

و

[(x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z) ]

Simplicio: نعم! لدينا! أي كائنات تتحد بهذه الطرق الدقيقة يمكن أن تسمى أرقامًا.

سالفياتي: بالتأكيد هذه الخصائص ضرورية ، لكنني لا أعتقد أنها لا تزال كافية لتحقيق هدفنا. على سبيل المثال ، يعتبر الرقم (1 ) فريدًا من حيث أنه الرقم الوحيد الذي يتركه دون تغيير عند ضرب رقم آخر. على سبيل المثال: (1 cdot 3 = 3 ). أو بشكل عام ، إذا كان (x ) رقمًا ثم (1 cdot x = x ).

ساجريدو: نعم. في الواقع. يخطر ببالي أن الرقم صفر يلعب دورًا مشابهًا للإضافة: (0 + x = x ).

سالفياتي: لا يبدو لي أن الجمع والضرب ، كما حددناهما ، يفرضان (1 ) أو (0 ) إلى الوجود لذلك أعتقد أنه سيتعين علينا افتراض وجودهما بشكل مستقل.

ساجريدو: هل هذا كل شيء إذن؟ هل هذا كل ما نطلبه من الأرقام؟

Simplicio: لا أعتقد أننا انتهينا تمامًا حتى الآن. كيف نحصل على الانقسام؟

ساجريدو: بالطريقة نفسها التي حددنا بها الطرح على أنه إضافة عدد سالب ، ألا يمكننا تعريف القسمة على أنها عملية ضرب بالمقلوب؟ على سبيل المثال ، يمكن اعتبار (3 ) مقسومًا على (2 ) (3 ) مضروبًا في (1/2 ) ، أليس كذلك؟

سالفياتي: أعتقد أنه يمكن. لكن لاحظ أن كل رقم يجب أن يكون له قيمة سالبة مقابلة حتى نتمكن من طرح أي مبلغ. ومرة أخرى ، لا يوجد شيء ناقشناه حتى الآن يفرض وجود هذه الأرقام السلبية ، لذا سيتعين علينا افتراض وجودها بشكل منفصل.

Simplicio: وبنفس الطريقة سيحتاج كل رقم إلى مقلوب حتى نتمكن من القسمة على أي مبلغ.

ساجريدو: كل ​​رقم ما عدا الصفر.

Simplicio: نعم هذا صحيح. أليس الغريب أن هذا الرقم الوحيد منهم جميعًا لا يحتاج إلى المعاملة بالمثل؟ هل يجب أن نفترض أيضًا أن الصفر ليس له مقلوب؟

سالفياتي: لا أفهم لماذا يجب علينا. من المحتمل أن ( aleph _0 ) هو مقلوب الصفر. أو ربما لا. لكني لا أرى حاجة لأن نهتم بأشياء لسنا بحاجة إليها.

Simplicio: هل هذا كل شيء إذن؟ هل اكتشفنا كل ما نحتاجه لتكون الأعداد؟

سالفياتي: أعتقد أن هناك خاصية واحدة مفقودة. لقد افترضنا الجمع وافترضنا الضرب ووصفنا الرقمين صفر ورقم واحد اللذان يلعبان دورًا متشابهًا في الجمع والضرب على التوالي. لكننا لم نصف كيفية عمل الجمع والضرب معًا. أي أننا نحتاج إلى قاعدة توزيع: إذا كانت (x ) و (y ) و (z ) كلها أرقام إذن (x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot ض ). مع وجود هذا في مكانه ، أعتقد أن لدينا كل ما نحتاجه.

Simplicio: في الواقع. يمكننا أيضًا أن نرى من هذا أن ( aleph _0 ) لا يمكن أن يكون رقمًا لأنه ، في المقام الأول ، لا يمكن إضافته إلى رقم آخر وفي المرتبة الثانية ، حتى إذا كان من الممكن إضافته إلى رقم ، فالنتيجة هي بالتأكيد ليس رقمًا أيضًا.

سالفياتي: عزيزي Simplicio ، أخشى أن تكون قد فاتتك النقطة تمامًا! لا تُصرح بديهياتنا عن ماهية الرقم ، ولكن فقط كيف يتصرف فيما يتعلق بالجمع والضرب مع الأعداد الأخرى. وبالتالي ، من الخطأ افتراض أن "الأرقام" ليست سوى تلك الأشياء التي طالما اعتقدنا أنها كذلك. في الواقع ، يخطر ببالي الآن أنه لا يلزم أيضًا اعتبار "الجمع" و "الضرب" على أنهما عمليتان لطالما اعتقدنا أنهما كذلك.

لنفترض على سبيل المثال أن لدينا ثلاثة كائنات ، ( {أ ، ب ، ج } ) وافترض أننا حددنا "إضافة" و "عمليه الضرب"بالجداول التالية:

[ start {array} {c | ccc} + & a & b & c hline a & a & b & c b & b & c & a c & c & a & b end {array} qquad qquad begin {array} {c | ccc } cdot & a & b & c hline a & a & a & a b & a & b & c c & a & c & b end {array} ]

أقر بأن مجموعتنا جنبًا إلى جنب مع هذه التعريفات ترضي جميع مسلماتنا ، وبالتالي (أ ) و (ب ) و (ج ) مؤهلون لأن يُطلق عليهم "أعداد.”

Simplicio: هذا لا يمكن أن يكون! لا يوجد صفر ، لا أحد!

ساجريدو: ولكن هناك. ألا ترى أن a يلعب دور الصفر - إذا أضفته إلى أي رقم فستسترد هذا الرقم. وبالمثل يلعب ب دور واحد.

هذا مذهل! إذا كان يمكن أن تكون (أ ) و (ب ) و (ج ) أرقامًا ، فأنا أقل ثقة من أي وقت مضى أنني أعرف ما هي الأرقام! لماذا ، إذا استبدلنا (أ ) و (ب ) و (ج ) بـ Simplicio و Sagredo و Salviati ، فإننا نصبح أرقامًا بأنفسنا!

سالفياتي: ربما يتعين علينا الاكتفاء بمعرفة كيفية تصرف الأرقام بدلاً من معرفة ماهيتها.

ومع ذلك ، فأنا أعترف بأن لدي نوعًا معينًا من الأعداد التي نشأت معها. دعونا نطلق على هؤلاء "حقيقة" أعداد. أي مجموعة أخرى من الأرقام ، مثل ( {أ ، ب ، ج } ) أعلاه سوف نطلق عليها حقل الأرقام ، حيث يبدو أنها توفر لنا أرضية جديدة لاستكشافها. أو ربما مجرد حقل رقم؟

بينما كنا نناقش هذا ، كنت أكتب بديهياتنا. تم ذكرها أدناه.

مقاييس الأرقام

الأرقام هي أي كائنات تحقق جميع الخصائص التالية:

تعريف العمليات: يمكن دمجها من خلال عمليتين ، تدل على " (+ )" و " cdot )."

إنهاء: إذا كانت (x ) و (y ) و (z ) أرقامًا ، فإن (x + y ) هو أيضًا رقم. (x cdot y ) هو أيضًا رقم.

التبادلية: (س + ص = ص + س )

(x cdot y = y cdot x )

الترابطية: ((x + y) + z = x + (y + z) )

((x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z) )

حيادي الجمع: يوجد رقم ، يُرمز إليه (0 ) ، مثل أي رقم ، (س ) ، (س + 0 = س ).

الهوية المضاعفة: يوجد رقم ، يُرمز إليه (1 ) ، مثل أي رقم ، (س ) ، (1 cdot x = x ).

المعكوس الإضافي: عند إعطاء أي رقم ، (x ) ، يوجد رقم ، يُرمز إليه (- x ) ، مع الخاصية التي (x + (-x) = 0 ).

المعكوس الضربي: عند إعطاء أي رقم ، (x neq 0 ) ، يوجد رقم ، يُرمز إليه (x ^ {- 1} ) ، مع الخاصية التي (x cdot x ^ {- 1} = 1 ) .

خاصية التوزيع: إذا كانت (x ) و (y ) و (z ) أرقام إذن (x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z ).

ساجريدو: يا صديقي هذا شيء يفوق الجمال! كل شيء يبدو واضحا بالنسبة لي الآن. الأعداد هي أي مجموعة من الأشياء ترضي بديهياتنا. أي أن الرقم هو أي شيء يعمل كرقم.

سالفياتي: نعم يبدو أن هذا صحيح.

Simplicio: لكن انتظر! لم نحسم السؤال: هل ( aleph _0 ) رقم أم لا؟

سالفياتي: إذا كان كل ما فعلناه للتو صحيحًا ، فيمكن أن يكون ( aleph _0 ) رقمًا. وهكذا يمكن ( أليف _1، أليف _2 cdots ) ​​ما اذا كنا نستطيع الفرنسيسكان الثانية وسيلة لدي فاي شمال شرق الجمع والضرب على مجموعة ( { أليف _0، أليف _1، أليف _2 cdots } ) بطريقة تتفق مع بديهياتنا.

ساجريدو: عملية حسابية للدول! هذه فكرة غريبة جدا. هل يمكن جعل مثل هذا الشيء منطقيًا؟

Simplicio: لا أعتقد ذلك قبل الغداء. هل نتقاعد لتناول وجبتنا؟

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أن (0 neq 1 ).

تلميح

أظهر ذلك إذا (x neq 0 ) ، ثم (0 cdot x neq x ).

تمرين ( PageIndex {2} )

النظر في مجموعة من زوج مرتب من الأعداد الصحيحة: ( {(س، ص) | ق، ص ∈Z } )، ودي فاي شمال شرق الجمع والضرب على النحو التالي:

إضافة: ((a، b) + (c، d) = (ad + bc، bd) )

عمليه الضرب: ((a، b) cdot (c، d) = (ac، bd) ).

  1. إذا أضفنا الاصطلاح الذي [(ab، ad) = (b، d) ] يوضح أن هذه المجموعة مع هذه العمليات تشكل رقم حقل.
  2. أي رقم هذا الحقل؟

تمرين ( PageIndex {3} )

النظر في مجموعة من زوج مرتب من الأعداد الحقيقية، ( {(س، ص) | س، ذ ∈R } )، ودي فاي شمال شرق الجمع والضرب على النحو التالي:

إضافة: ((أ ، ب) + (ج ، د) = (أ + ج ، ب + د) )

عمليه الضرب: ((a، b) cdot (c، d) = (ac-bd، ad + bc) )

  1. أظهر أن هذه المجموعة مع هذه العمليات تشكل حقلًا رقميًا.
  2. أي رقم هذا الحقل؟

مساهم

  • يوجين بومان (جامعة ولاية بنسلفانيا) وروبرت روجرز (جامعة ولاية نيويورك فريدونيا)


شاهد الفيديو: Graad 6 Wiskunde Les 2 Desimale getalle 12 Augustus (شهر اكتوبر 2021).